1. RECURSIÓN E ITERACIÓN EN ALGORITMOS:
EL CASO LA TORRE DE HANOI
por
Vanessa Santiago Olivares
Monografía sometida en cumplimiento parcial
de los requisitos para el grado de
MAESTRO EN CIENCIAS
en
MATEMÁTICA APLICADA
Universidad Interamericana
Recinto de San Germán
Departamento de Matemáticas
2010
Aprobado por:
_______________________________________
Dr. Balbino García
Director del Proyecto Creativo

2. Resumen
Este documento presenta una comparación entre algoritmos recursivos e
iterativos utilizando como ejemplo el problema de la Torre de Hanoi. De acuerdo
a la literatura, ambos métodos de programación se pueden adaptar a los mismos
problemas pero, en general, los algoritmos recursivos son más simples y toman
mayor tiempo de ejecución. El problema de la Torre de Hanoi, en su formato
original, consiste de tres columnas paralelas. En una de las columnas se colocan
discos concéntricos de diferentes diámetros de forma que la columna pasa por el
centro de los discos y los discos están apilados en orden ascendente de
diámetro, es decir, el disco de menor diámetro está arriba y el de mayor
diámetro abajo. El objetivo es mover los discos de una columna a otra. Para
esto se imponen las restricciones de que (1) sólo se puede mover un disco a la
vez, y (2) los discos sólo se pueden colocar en espacios vacíos o sobre discos de
mayor diámetro. Para realizar la comparación se construyeron dos algoritmos,
uno recursivo y otro iterativo, en Mathematica 7.0.0, y se comparó su ejecución.
El algoritmo recursivo requirió menos líneas de código que el iterativo, lo cual va
de acuerdo a lo reportado en la literatura en el sentido de que los algoritmos
recursivos son más simples que los iterativos. Para evaluar el tiempo de
ejecución, se calculó la razón de tiempo de ejecución a cantidad de discos y se
normalizó a la razón para tres discos. Los resultados sugieren que, en efecto, el
tiempo de ejecución para el algoritmo recursivo es mayor que para el iterativo.
Palabras clave: Algoritmos, Recursión, Torre de Hanoi
2

3. Abstract
This document presents a comparison between recursive and iterative algorithms
using problem of the Tower of Hanoi as example. According to literature, both
programming methods can be adapted to similar problems but, in general,
recursive algorithms are simpler but require longer run times. The problem of the
Tower of Hanoi, on its original format, consists of three parallel columns. In one
of the columns, concentric discs of different diameters are stacked so that the
column goes through the center of the discs. Discs are piled up in ascending of
diameter, that is, the disc with smaller diameter on top and the one of greater
diameter at the bottom. The objective is to move the stack of discs from a
column to another one. The following two restrictions are imposed to accomplish
this objective: (1) only one disc can be moved on each turn, and (2) the discs
can only be placed in empty spaces or over discs of greater diameter. In order to
make the comparison two algorithms were constructed in Mathematica 7.0.0,
one recursive and another iterative one, and their performance compared. The
recursive algorithm required less lines of code than the iterative one, which
agrees with reported literature in the sense that the recursive algorithms are
simpler that the iterative ones. In order to evaluate the run time, the rate of run
time to amount of discs was calculated and standardized to the rate for three
discs. The results suggest that, in fact, the run time for the recursive algorithm
is greater than for the iterative one.
Key words: Algorithms, Recursion, Tower of Hanoi
3

4. Tabla de Contenido
Algoritmos……………………………………………………………………………………….. 5
Recursión e Iteración …………………………………………………………………………. 8
Torre de Hanoi ………………………………………………………………………………….. 10
Solución Gráfica de la Torre de Hanoi …………………………………………. 13
Solución Recursiva de la Torre de Hanoi ……………………………………… 15
Solución Iterativa de la Torre de Hanoi ……………………………………….. 16
Análisis de Resultados ………………………………………………………………………… 19
Conclusión………………………………………………………………………………………… 21
Referencias………………………………………………………………………………………. 22
4

5. Algoritmos
La Real Academia de la Lengua Española define un algoritmo como un “conjunto
ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema”
(RAE, 2001).
La palabra surge del nombre del matemático persa Muhammad ibn Musa al-
Jwarizmi que se estima vivió entre los años 780 y 850 y a quien se considera
como el padre del álgebra y nuestro sistema de numeración. Al-Jwarizmi fue
matemático, astrónomo y geógrafo. Su principal logro consistió en publicar libros
de fácil comprensión que permitían el aprendizaje y aplicación de los
conocimientos en matemática por un mayor número de personas. En sus
tratados enfatizó que especificar de forma clara y concisa la manera
sistematizada de realizar cálculos llevaba a la definición de algoritmos que podían
ser usados en dispositivos mecánicos como los ábacos. Esto lo llevó a estudiar
los modos de reducir las operaciones que componían los cálculos, es decir, el
“conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un
problema” (Dávila-Rascón, 2002).
El estudio de los algoritmos y los efectos de factores externos sobre el
desempeño de estos se conoce como algoritmia. De acuerdo a esta ciencia, los
algoritmos de computación y matemáticas se pueden clasificar, según su función,
en dos tipos principales: de ordenamiento y de búsqueda. Los algoritmos de
ordenamiento colocan los elementos de una lista o vector en un orden específico
siguiendo una serie de reglas preestablecidas. Estos son la base de de procesos
como bases de datos, análisis del escenario mejor, peor o promedio y análisis de
límite inferior (algoritmia.org, 2010).
Existen varias subclases para los algoritmos de ordenamiento.
• Interno versus externo: Si el ordenamiento de lleva a cabo en la memoria
(RAM) de la computadora se le llama interno. Algoritmo externo sería
aquel en que el ordenamiento se lleva a cabo en otro lugar, por ejemplo,
un disco duro.
• Natural versus no-natural: Esta es una clasificación en términos del
tiempo que toma el ordenamiento. Esto depende de si los datos de
entrada ya tienen una estructura ordenada (natural) o hay que generar
dicha estructura para entonces ordenar (no-natural).
• Estable versus inestable: La estabilidad del algoritmo se refiere a su
capacidad de tratar con datos que tienen las mismas claves de
ordenamiento, por ejemplo, un algoritmo que ordene por apellido y se
encuentra con elementos de información que tienen el mismo apellido.
En este caso, el algoritmo estable va a mantener el orden de los
5

6. elementos según apareen en el listado de entrada mientras que el
inestable no lo mantiene.
Los algoritmos de búsqueda, por su parte, pretenden determinar si un elemento
en particular existe dentro de un conjunto, listado o vector de datos. Este
algoritmo se reduce a la aplicación de lógica boleana para encontrar el elemento
de interés. Estos algoritmos pueden ser de tipo secuencial o binario. Algoritmos
de tipo secuencial se utiliza cuando no hay garantía de que el conjunto de datos
esté ordenado. Esta condición hace necesario el pasar por todo el conjunto para
evaluar cada uno de los elementos. Por el contrario, si el conjunto de datos está
ordenado por el criterio de interés, usando un algoritmo binario es posible ir
específicamente al lugar donde podría estar el elemento buscado y determinar si
está presente o no en el conjunto. Esto hace que los algoritmos de búsqueda
binarios sean mucho más eficientes en términos del tiempo de procesamiento
(algoritmia.org).
Otra manera de clasificar los algoritmos es en base a la técnica utilizada
(Brassard y Bratley, 1996; Wikipedia.org, 2010). Técnica se refiere a la forma en
que se construye el algoritmo para enfrentar el problema y tomar decisiones que
lleven a la solución correcta o el mejor estimado posible de dicha solución. Desde
esta perspectiva se consideran las siguientes clases.
• Exacto versus aproximado: Se refiere al tipo de solución que pretende
ofrecer el algoritmo. La selección de uno sobre otro depende de la
complejidad del problema y la incertidumbre de los factores externos.
• Determinístico versus no-determinístico: Algoritmo determinístico o
estático es un algoritmo lineal, tipo receta de cocina, que hace siempre lo
mismo sin tomar en cuenta decisiones o con opciones previamente
definidas. Cada paso del algoritmo tiene únicamente un paso sucesor y
otro antecesor y siempre produce el mismo resultado al enfrentar el
mismo conjunto de datos iniciales. Los no-determinísticos, por otro lado,
son algoritmos que tienen la capacidad de tomar decisiones en base a
parámetros aleatorios (o semi-aleatorios) que cambian cada vez que se
ejecutan. Esto permite que el mismo algoritmo aplicado a los mismos
datos pueda ofrecer resultados diversos.
• En serie, paralelo o distribuidos: Algoritmos que se ejecutan un paso a la
vez se conocen como seriados o en serie. Los algoritmos paralelos y
distribuidos dividen los problemas en subproblemas, o partes menos
complejas, y resuelven cada parte de forma individual y simultánea
utilizando varios sistemas. La diferencia entre algoritmos paralelos y
distribuidos radica en la arquitectura de los sistemas en los que pueden
operar. Los algoritmos paralelos operan en sistemas con varios
6

7. procesadores mientras que los distribuidos operan en redes de
computadoras interconectadas. Ambos son algoritmos de alto nivel que
utilizan otros algoritmos para resolver los subproblemas e integrar sus
soluciones.
• Lógicos: Se clasifican como algoritmos lógicos a aquellos que operan en
función de los conceptos y axiomas de la matemática lógica.
• Recursión versus iteración: Para llegar a la solución deseada, los
algoritmos son comúnmente utilizados en varias ocasiones durante el
procesamiento de los datos. Cuando el algoritmo termina y vuelve a
correr, se dice que está iterando. Por otro lado, cuando el algoritmo se
llama a si mismo para resolver parte del problema, se dice que está
recurriendo.
Otra posible clasificación de los algoritmos es en base al paradigma de
implementación, es decir, la forma en que va a determinar la solución al
problema bajo consideración. En términos generales, existen las siguientes
categorias (Brassard y Bratley, 1996; Wikipedia.org, 2010).
• Solución por fuerza bruta o búsqueda exhaustiva: Este término se utiliza
para denominar algoritmos que exploran todas las posibles
combinaciones para alcanzar la solución óptima.
• Algoritmo ambicioso (“greedy”): Son algoritmos simplistas que toman
decisiones en base a la información disponible de forma inmediata y que
es pre-definida. Esto permite que sean eficientes, fáciles de desarrollar e
implantar, pero su simplicidad no se adapta a muchas situaciones de la
vida real y, por tanto, típicamente su solución no es óptima. Su uso
principal son los problemas de optimización tales como la ruta más corta
o el costo más bajo.
• Divide y vencerás: En esta técnica se divide el problema en subconjuntos
que se resuelven sucesivamente y de forma independiente. Las
soluciones parciales se combinan finalmente para obtener la solución al
problema bajo consideración.
• Programación dinámica: Es una técnica similar a “divide y vencerás” con
la diferencia de que los subconjuntos o subproblemas que trata no son
totalmente independientes, sino que tienen cierto grado de solapamiento.
• Programación lineal: Utiliza un sistema de ecuaciones y desigualdades
que acotan y definen el universo. Estos algoritmos utilizan matemática
lineal para hallar la solución óptima del sistema.
7

8. • Heurísticas: Estos algoritmos se utilizan para encontrar estimados
(soluciones subóptimas) de las soluciones reales en base a experiencias
previas del algoritmo y factores aleatorios.
• Grafos: Algoritmos basados en la teoría de grafos para modelar sistemas
y resolverlos en base a las restricciones impuestas sobre estos.
Recursión e Iteración
Como se mencionó anteriormente tanto la recursión como la iteración buscan
que el algoritmo se ejecute en forma secuencial y consecutiva un cierto número
de veces. La diferencia entre éstas estriba en que la iteración ejecuta el
algoritmo completamente antes de volverlo a llamar, mientras que la recursión
llama al mismo algoritmo para poder resolverlo. Rosen (2003) establece
claramente la diferencia entre ambas técnicas con el ejemplo que se presenta a
continuación y sugiere que la iteración es mucho más efectiva en términos de
tiempo de computación.
Rosen toma como ejemplo el cómputo del factorial de un número n. Por
definición, n! = n(n − 1)(n − 2)...(1). En base a esto es posible establecer un
algoritmo recursivo en C++ que tenga la siguiente estructura.
PROCEDURE factorial(n)
{
IF n = 1
{
nfac = 1
}
ELSE
{
nfac = n*factorial(n-1)
}
RETURN(nfac)
Para visualizar la recursividad de este algoritmo, asumamos que n = 4. Este
valor entra al algoritmo y se dispone a evaluar nfac = n*factorial(n - 1). Esta
ecuación manda a que se evalúe cuanto es factorial( n - 1) antes de proceder.
Entonces se llama el algoritmo por segunda vez pero con n = 3. Esta vez, el
algoritmo requerirá evaluar factorial(n - 1) con n = 2 y recurrirá al algoritmo por
tercera vez. El proceso continúa hasta que en la cuarta recursión se define que
factorial(n - 1) con n = 1 resulta en un valor concreto y permite que las
incógnitas anteriores se puedan evaluar.
8

9. Debe resultar evidente que la recursión causa que haya valores intermedios que
no se pueden evaluar hasta que la recursión se acota. Es entonces cuando el
proceso puede regresar y concluir los ciclos computacionales externos. El tener
que trabajar con valores intermedios que no pueden ser evaluados
completamente requiere de espacio de memoria para almacenar dichos valores y
tiempo de computación adicional.
A modo de comparación, la implementación del cómputo del factorial de n
usando un algoritmo iterativo aparece a continuación.
PROCEDURE factorial(n)
{
nfac = 1
FOR i = 1 TO n
{
nfac = nfac*i
}
RETURN(nfac)
A diferencia del caso anterior, cada ciclo termina sin dejar incógnitas o valores
intermedios sin analizar. Veamos, por ejemplo, el caso para n = 4. Al entrar en
el algoritmo, se asigna un valor inicial de 1 a nfac y se define en valor del índice
de iteración, i. Esto permite que al evaluar la ecuación se obtenga un resultado
concreto cada vez.
A pesar de la simpleza de la iteración, la recursión tiene su lugar el las
matemáticas y la computación ya que en algunos sistemas hay una dependencia
tal entre los estados presente, pasado y futuro que requiere la evaluación de los
diferentes estados para poder definir la solución.
Goodstein (1964), hablado de la teoría recursiva de números, establece una
analogía entre el juego de ajedrez y la aritmética. De acuerdo a esta discusión,
las fichas del juego se pueden comparar con los numerales y los movimientos de
dichas fichas con las operaciones y propiedades de cada numeral. Goodstein
razona que el la pieza denominada rey, no es rey debido a su forma o
construcción ya que el objeto puede ser reemplazado por cualquier otro y
funcionar igual. Siendo así, lo que hace al rey ser tal, son las reglas que definen
sus movimientos particulares. Entonces, cualquier objeto que actúe como rey,
se puede usar como tal. De igual forma, cualquier símbolo se puede utilizar para
representar al 2, lo importante es que las propiedades y efecto al interactuar en
operaciones con otros numerales sean las propias de esa figura.
9

10. Esta analogía sirve para plantear la bondad de los algoritmos recursivos sobre los
iterativos. En el ajedrez, un algoritmo iterativo sólo serviría para mover piezas
sin más lógica que siguiendo las operaciones permitidas. En cambio, un
algoritmo recursivo permitiría la consideración de otras piezas en el tablero y las
posibles consecuencias o estados futuros antes de alcanzar una solución.
La literatura contiene un sin número de trabajos que documentan los principios y
conceptos de la llamada teoría de recursión (Crossley, 1967; Fenstad, 1980;
Goodstein, 1964; Greenberg, 2006; Hinman, 1978; Nerode y Shore, 1984) al
igual que los principios y aplicaciones de la iteración en las matemáticas y
computación (Axelsson, 1994; Beardon, 1991; Palais y Palais, 2009; Norris,
1981).
Torre de Hanoi
La Torre de Hanoi, también conocida como la Torre de Brahma, es un juego
inventado por el matemático francés François Edouard Anatole Lucas en 1883,
quien, además de su trabajo en matemática recreacional, es conocido por su
contribución relacionada a la secuencia Fibonacci y los algoritmos para
determinar si los números son primos (O’Connor y Robertson, 1996).
El juego de la Torre de Hanoi (Figura 1), en su formato original, consiste de tres
columnas paralelas. En una de las columnas se colocan discos concéntricos de
diferentes diámetros de forma que la columna pasa por el centro de los discos y
los discos están apilados en orden ascendente de diámetro, es decir, el disco de
menor diámetro está arriba y el de mayor diámetro abajo. El objetivo del juego
es mover los discos de una columna a otra. Para esto se imponen las
restricciones de que (1) sólo se puede mover un disco a la vez, y (2) los discos
sólo se pueden colocar en espacios vacíos o sobre discos de mayor diámetro.
Figura 1: Juego de la Torre de Hanoi
10

11. Aunque el juego típicamente tiene ocho discos, en la Internet se consiguen
variaciones del juego que van desde tres hasta 12 discos. Otras variaciones del
juego definen o limitan la columna a la cual se desea mover los discos, el tiempo
disponible para hallar la solución, la dirección del movimiento o la cantidad de
movidas para alcanzar el objetivo.
En relación al número de movidas mínimo para alcanzar el objetivo, Valeiras
(2004) reporta que la solución óptima, es decir, el menor número de movidas
para alcanzar la solución final, es 2n-1, donde n es el número de discos en el
juego. La Figura 2 presenta como el número mínimo de movidas crece
exponencialmente con el número de discos en el juego.
300
250 8
Movidas mínimas
200
150
7
100
6
50
5
3 4
0 1 2
0 2 4 6 8
Número de discos
Figura 2: Número mínimo de movidas para la solución óptima según la cantidad de
discos en el juego
Es interesante notar como la observación cuidadosa del número mínimo de
movidas requerido para alcanzar la solución sugiere la recursividad del problema.
De acuerdo a la Tabla 1, para tres columnas (k=3), para poder alcanzar la
solución al problema con n discos, es necesario resolver el problema para n-1
discos primero. Se puede demostrar también que M(n)=2(M(n-1))+1=2n+1.
(Snapp, 2005)
11

12. Tabla 1: Movidas necesarias para alcanzar la solución óptima
Número de discos Solución óptima Número de movidas
M(n) = f(M(n-1))
(n) H(n,3) = 2n+1 M(n)
1 1 1 --
2 3 2(1)+1 2M(1)+1
3 7 2(2(1)+1)+1 2M(2)+1
4 15 2(2(2(1)+1)+1)+1 2M(3)+1
Otras variantes aumentan el número de columnas (por ejemplo, ‘Reve’s puzzle’
es una variante con cuatro columnas) (Houston y Masum, 2004) o la cantidad de
conjuntos de discos a mover (Mascolo, 2007). Estas variantes aún se siguen
estudiando y para muchas de ellas no se han identificado soluciones tales como
el número mínimo de movimientos para mover de una columna a otra.
Berend y Sapir (2006), por ejemplo, estudiaron el problema para, dado alguna
variante del juego y cantidad de discos específico, hallar el diámetro del grafo o
número máximo de pasos para mover los discos de una configuración inicial a
otra final previamente especificada.
Para el caso particular del problema con cuatro torres, Frame (1941) y Steward
(1941) reportaron acerca de un algoritmo que proveía la solución presuntamente
óptima. Sin embargo, dicha solución estaba basada en la llamada conjetura
Frame-Steward que dice que FS(n,k)=H(n,k), es decir, que el resultado del
algoritmo para n discos y k columnas es realmente la solución óptima. En otras
palabras, la solución que provee el algoritmo parece ser óptima, pero no se ha
podido probar, ni negar, que en realidad lo es. Chen y Shen (2004) retaron esta
paradoja y probaron que FS(n,k) y H(n,k) son de la misma magnitud, lo que ellos
llamaron la evidencia más contundente en apoyo a la conjetura Frame-Steward.
Figura 3: Solución óptima de Frame-Steward para la Torre de Hanoi (Shen, 2004)
Stockmeyer y Lunnon (2008) presentan diversas variaciones del problema con
más de un conjunto de discos, donde cada conjunto tiene un color particular.
Para cada caso explorado, los autores proveen claves de cómo hallar la solución
y algoritmos para poder resolver los problemas. No reclaman, sin embargo, que
sus soluciones sean óptimas.
El problema de la Torre de Hanoi ha sido estudiado usando diferentes algoritmos
o implementaciones de dichos algoritmos. Wikipedia, por ejemplo, presenta
12

13. algoritmos binarios, no-recursivos y sub-óptimos para solucionar el problema. El
algoritmo también ha sido implementado en juegos de video y secuencias de
almacenamiento de datos en memorias de computadoras y ordenadores.
SOLUCIÓN GRAFICA DE LA TORRE DE HANOI
Al igual que cualquier otro problema que se desee resolver usando algoritmos
recursivos o iterativos, la clave esta en poder identificar un subproblema que al
repetir la secuencia nos lleve a la solución final. En el caso de soluciones
recursivas, el subproblema debe ser esencialmente una copia reducida del
problema mayor. Este es básicamente el concepto de los modelos fractales de
Sierpinski.
Asumamos que tenemos una Torre de Hanoi con tres columnas (A, B, C) y tres
discos. Para propósitos del grafo, asumamos la siguiente nomenclatura. Los
discos aumentan de tamaño de izquierda a derecha, es decir, el disco menor
está a la izquierda. Además, la localización de disco se identificará con el
nombre de la columna. De esta forma, la notación ABC indica que el disco
mayor está en la columna A, el segundo disco en la columna B y el disco menor
en la columna C.
AAA
AAB AAC
ACB ABC
ACC ACA ABA ABB
BCC CBB
BCA BCB CBC CBA
BCB BAB CAC CCA
BBB BBC BAC BAA CAA CAB CCB CCC
Figura 4: Modelo fractal de Sierpinski que sirve como grafo de la solución al
problema de la Torre de Hanoi
13

14. La Figura 4 muestra el modelo fractal de Sierpinski que representa la solución
gráfica al problema de la Torre de Hanoi. Nótese que los vértices de la
estructura externa (triángulo) son las condiciones en que los tres discos están en
la misma columna. Se aprecia, además, que el triángulo externo está formado
por tres triángulos internos siguiendo el arreglo de Sierpinski, y que estos, a su
vez, están formados por triángulos más pequeños.
De este modelo, es posible establecer que el paso más corto (óptimo) para pasar
los discos de A hasta C (Figura 4) es AAA-AAC-ABC-ABB-CBB-CBA-CCA-CCC y
que consta de siete pasos solamente. Esto concuerda con el número mínimo de
2n - 1 (23 - 1 = 8 – 1 = 7) mencionado anteriormente.
AAA
AAB AAC
ACB ABC
ACC ACA ABA ABB
BCC CBB
BCA BCB CBC CBA
BCB BAB CAC CCA
BBB BBC BAC BAA CAA CAB CCB CCC
Figura 5: Paso óptimo entre A y C
De este grafo es posible obtener otros pasos de interés, por ejemplo, el paso
Hamiltiniano, es decir, el paso que lleve el conjunto de discos a todas las
columnas y los regrese al principio. Hinz y Parisse (2002) probaron que todo
grafo de Hanoi es Hamiltoniano isomórfico y realizaron un análisis exhaustivo de
su planaridad.
Otros pasos de interés son el paso más largo y el paso del vendedor viajero que
pasa por todos los puntos del grafo una sola vez y regresa al origen. Además, es
posible establecer un paso que lleve los discos desde cualquier configuración
inicial permitida hasta la solución final.
14

15. SOLUCIÓN RECURSIVA DE LA TORRE DE HANOI
En términos generales, la literatura reporta el siguiente algoritmo para hallar la
solución al problema de la Torre de Hanoi con tres torres (identificadas como
origen, intermediaria y destino) (McCann, 2007; Snapp, 2005; Valerias, 2004;
Wikipedia, 2010).
1. Mover el disco menor a la columna intermediaria si hay un número par de
discos. Si hay un número impar de discos, mover el disco menor a la
columna destino.
2. Hacer un movimiento legal que no sea reversar el paso anterior (sólo
debe haber una posibilidad).
3. Mover el disco menor a la columna de la cual no provino en su
movimiento anterior.
4. Repetir los pasos dos y tres hasta mover todos los discos.
De forma recursiva, este algoritmo se pude expresar como sigue.
1. Mover los n-1 discos superiores de la columna origen a la columna
intermediaria usando la columna destino como intermediaria.
2. Mover el disco n a la columna destino
3. Mover los n-1 discos superiores de la columna intermediaria a la columna
destino usando la columna origen como intermediaria.
La Figura 6 presenta un algoritmo recursivo programado en Mathematica 7.0.0
para resolver el problema de la Torre de Hanoi con tres torres. Dicha
implementación es una adaptación realizada por la autora del algoritmo
publicado por Weisstein (2006).
El algoritmo de la Figura 6 comienza con la asignación de la cantidad de discos
en el juego; información que se guarda en la variable Discos. La cantidad de
torres está fija a tres, de acuerdo a la versión original del problema. Con esta
cantidad de discos, se procede a calcular la secuencia óptima de juego. Nótese
que la recursión del programa está en la función movida que, para poder
evaluarse, requiere llamarse a si misma.
La Figura 6 presenta además la solución del algoritmo para una corrida con tres
discos. En la matriz resultante, cada columna de la matriz representa una torre
del juego. Las filas de la matriz representan la secuencia de pasos a ejecutar
para llegar a la solución. A la izquierda de la matriz aparece el valor 1.37694
*10-17. Este valor corresponde al tiempo de ejecución del algoritmo para llegar a
la solución.
15

16. Figura 6 Algoritmo recursivo para la solución óptima de la Torre de Hanoi
SOLUCIÓN ITERATIVA DE LA TORRE DE HANOI
El algoritmo recursivo presentado anteriormente fue modificado por la autora
para convertirlo en un algoritmo iterativo. El algoritmo modificado aparece en la
Figura 7 y su solución para la torre con tres discos aparece en la Figura 8.
Al igual que el algoritmo recursivo, esta implementación comienza con la
asignación de la cantidad de discos a la variable Discos. Luego se determina la
el orden en que se van a mover los discos. Finalmente, se entra en un proceso
iterativo que genera la secuencia de pasos necesarios para llegar a la solución
óptima.
16

17. Parte de la simpleza del algoritmo radica en que el patrón de movimiento de los
discos, una vez reconocidos, se repite para los diferentes discos. Por ejemplo,
cuando hay una cantidad par de discos, todos los discos pares se mueven de la
primera columna a la segunda, luego a la tercera y regresan a la primera. En
cada movimiento del disco, se moverá de columna en columna siguiendo este
patrón.
17

18. Figura 7 Algoritmo iterativo para la solución óptima de la Torre de Hanoi
Los resultados del algoritmo iterativo para el caso de tres discos se presentan en
la Figura 8. Cada matriz representa la condición de las torres (columnas de la
matriz) en cada paso de la secuencia.
18

19. Figura 8 Resultado arrojado por el algoritmo iterativo para el caso de tres (3) discos
Análisis de Resultados
Como se vio en la sección anterior, ambos algoritmos proveen la solución óptima
al problema de la Torre de Hanoi. La pregunta queda en relación a su
efectividad en términos de tiempo de computación. Como se estableció
anteriormente, los algoritmos recursivos son más simples de programar (se
pueden programar en menos líneas de código), pero toman más tiempo en
ejecutar por la necesidad de mantener valores intermedios para resolver la
recursión.
Los códigos presentados en la Figuras 6 y 7 ciertamente apoyan lo reportado en
la literatura acerca de la complejidad. El código recursivo se completó en menos
de la mitad del código requerido para el algoritmo iterativo. Claro está, la autora
no reclama ser una experta en programación, por lo que no se concluye que los
algoritmos presentados son óptimos en términos de cantidad de líneas de
código, pero ciertamente este hallazgo va de acuerdo a lo reportado por otros
autores.
19

20. Para probar el reclamo del tiempo de ejecución, los algoritmos anteriormente
descritos fueron ejecutados varias veces para verificar su desempeño y poder
comparar sus resultados. Para cada caso (cantidad de discos), los algoritmos se
ejecutaron cinco (5) veces y se tomó nota del tiempo de ejecución de cada
corrida. La Tabla 2 presenta los resultados como el promedio del tiempo de
ejecución.
Tabla 2: Resultados experimentales del tiempo de ejecución (seg.)
Cantidad de Algoritmo Algoritmo iterativo
Algoritmo recursivo
Discos iterativo modificado*
3 0.0156 1.872056*10-17 0.47705*10-17
4 0.0314 3.23092*10-17 6.04262*10-17
5 0.0686 0.0053 0.0053
6 0.1498 0.0104 0.0107
7 0.3124 0.0156250 0.016
8 0.7062 0.0312500 0.0263
9 1.5590 0.0468750 0.047
10 3.6248 0.0781250 0.094
*Para el algoritmo iterativo modificado se suprimió la impresión de las matrices
intermedias y se cambió el comando Timing, por el comando AbsoluteTiming
para poder tener mayor precisión de los resultados.
Se entiende que, puesto que los resultados de ambos algoritmos difieren en
formato, el tiempo de ejecución va a ser diferente. Por tanto, no sería justo el
realizar comparaciones estadísticas respecto a sus diferencias. No obstante, es
posible hacer comparaciones entre los algoritmos en relación a la diferencia
relativa que tardan en trabajar los problemas cuando aumenta la cantidad de
discos. Esta comparación se presenta en la Figura 9 donde los datos que
forman las curvas se obtuvieron con la siguiente ecuación.
Tiempo de computación para N discos
N
Tiempo de computación para 3 discos
3
20

21. Figura 9 Datos normalizados del tiempo de computación por disco añadido al juego
De la gráfica que aparece en la Figura 9 se observa que los tiempos de ejecución
de los algoritmos recursivo e iterativo difieren grandemente. Nótese que aunque
las curvas tienen formas similares, los ejes no tienen la misma escala. Los
tiempos para el algoritmo recursivo (línea verde en el eje de la izquierda) están
en el orden de 10-15 mientras que el iterativo (línea azul en el eje de la derecha)
toma aproximadamente 70 veces más con diez discos que con 3 discos.
No obstante, al comparar contra los datos del algoritmo iterativo modificado, en
el que se eliminó la impresión de las matrices intermedias para hacerlo más
comparable al funcionamiento del algoritmo recursivo, se observa que el
incremento en tiempo con aumento en discos es menor para el algoritmo
iterativo que para el recursivo. Esto sugiere que, en efecto, los algoritmos
recursivos toman más tiempo de computación que los algoritmos iterativos; lo
cual también apoya lo reportado en la literatura.
Conclusión
Por definición, los algoritmos son “conjuntos ordenados y finitos de operaciones
que permiten hallar la solución de un problema”. Estos se pueden clasificar de
muchas maneras en base a su estructura, acercamiento al problema,
construcción, etcétera.
En este trabajo se realizó una comparación entre algoritmos recursivos e
iterativos. Como se mencionó anteriormente tanto la recursión como la iteración
21

22. buscan que el algoritmo se ejecute en forma secuencial y consecutiva un cierto
número de veces. La diferencia entre éstas estriba en que la iteración ejecuta el
algoritmo completamente antes de volverlo a llamar, mientras que la recursión
llama al mismo algoritmo para poder resolverlo.
De acuerdo a la literatura, los algoritmos recursivos son más simples (requieren
menos líneas de código) que los iterativos, pero toman más tiempo de
computación. Para verificar esto se construyeron algoritmos recursivos e
iterativos para proveer la solución óptima al clásico problema de la Torre de
Hanoi. Los algoritmos implementados fueron de forma tal que permiten
modificación en la cantidad de discos, pero fija la cantidad de columnas a tres.
Los resultados obtenidos de los algoritmos van de acuerdo a lo reportado en la
literatura en el sentido de que el algoritmo recursivo requiere menos líneas de
código para la implementación, pero el tiempo de ejecución aumenta, en
proporción mayor que el iterativo, al aumentar la cantidad de discos en el
problema.
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