Este documento presenta la resolución numérica de sistemas de ecuaciones a través del método de eliminación gaussiana. Se aplica el método a dos circuitos eléctricos distintos, resolviendo primero un sistema de ecuaciones reales y luego uno con números complejos. En ambos casos se utilizan programas en C para implementar la eliminación gaussiana y obtener las corrientes, las cuales son verificadas con simuladores.

1. Instituto Politécnico
Nacional
Escuela Superior de Ingeniería
Mecánica y Eléctrica
Departamento de Ingeniería en Control y
Automatización
Análisis numérico
Profesor: Sixto Berrocal José Antonio
Alumno: Jiménez Torres Marco Antonio

2. Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería
Mecánica y Eléctrica
Departamento de Ingeniería en Control y
Automatización
Practica No. 2
CALIFICACION

3. Introducción:
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos,
mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o
distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho
sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del
sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a
una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas
debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Eliminación Gaussiana.
 Se manejan las ecuaciones para eliminar una incógnita de una ecuación.
El resultado de este paso de eliminación es una sola ecuación con una
incógnita.
 Por consiguiente, esta ecuación se puede resolver directamente y el
resultado se sustituye hacia atrás en las ecuaciones originales para
encontrar la incógnita restante.
La eliminación gaussiana es de los métodos más sencillos y el algoritmo que se
usa para determinarlo es:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un
renglón que no tenga cero.
3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos
adecuados a los renglones debajo de el.
4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando
en el paso 1. Al término del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se
han barrido todos los renglones), la matriz deberá tener forma de escalón.
5. Comenzando con el ultimo renglón no cero avance hacia arriba para que
en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de el queden sólo ceros. Para
ello deberá sumar múltiplos adecuados del renglón a los renglones
correspondiente.

4. Es importante observar que en el método de eliminación Gaussiana:
Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente escalonan la matriz; el paso 5
aplicado repetidamente reduce la matriz. En el paso 2, si el elemento no es cero
no se realiza intercambio.
Desarrollo:
Basándonos en la programación estructurada realizaremos la práctica No.2
1. Aplicar eliminación gaussiana al siguiente circuito.
Dónde:
R1=10Ω
R2=3 Ω
R3=20 Ω
R4=5 Ω
R5=7 Ω
Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones (LKV) se obtiene por la malla uno y dos
las siguientes ecuaciones:
Y por la ley de Kirchhoff de corrientes tenemos I1 - I2 = I3
M1
-2v + V1 + V3 + V4 = 0
R1* I1 + R3*I3 + R4*I1 = 2v
(R4 + R1)*I1 + R3*I3 = 2v
15*I1 + 20*I3 = 2v
M2
V2 - V3 + V4 = 0
R2*I2 - R3*I3 + R5*I2 = 0
(R2 + R5)*I2 - R3*I3 = 0
8I2 -20*I3 = 0

5. Dándonos así un sistema de ecuaciones de tres incógnitas.
Aunque existen muchos métodos para resolver el sistema usaremos la eliminación
gaussiana y nos apoyaremos en un programa en lenguaje c.
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define t 100
int i,j,k,n;
float a[t][t+1],x[t],suma;
void pidedatos(){
printf("Este Programa resulve sistemas de ecuaciones con 100 incognitas.");
printf("nNumero de Incognitas: ");
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<=n-1;i++){
for(j=0;j<=n;j++){
printf("nA[%d][%d] = ",i,j);
scanf("%f",&a[i][j]);
}
printf("nn");
}
}
15*I1 + 20*I3 = 2v
8I2 -20*I3 = 0
I1 - I2 = I3

6. void gauss(){
for(i=0;i<=n-1;i++){
for(j=n;j>=0;j--){
a[i][j]=a[i][j]/a[i][i];
}
for(k=i+1;k<=n-1;k++){
for(j=n;j>=0;j--){
a[k][j]=a[k][j]-a[k][i]*a[i][j];
}
}
}
}
void sustitucion(){
for(i=n-1;i>=0;i--){
suma=0;
for(j=0;j<=n-1;j++){
if(j!=i)
suma=suma+a[i][j]*x[j];
}
x[i]=a[i][n]-suma;
}
}

7. void imprime(){
for(i=0;i<=n-1;i++){
printf("nX[%d] = %f",i,x[i]);
}
printf("nn");
}
int main(){
int op;
do{
system("cls");
pidedatos();
gauss();
sustitucion();
imprime();
printf("nnQuieres volver a intentarlo? 1.Si 0.No R = ");
scanf("%f",&op);
}while(op>=1);
printf("nn");
system("pause");
return 0;
}

8. Como podemos ver es un programa muy sencillo, el cual su única función es
realizar la eliminación gaussiana un número indefinido de veces hasta que el
usuario lo decida. Pero gracias a su practicidad y su completo número de
incógnitas lo hacen muy útil para ahorrar trabajo.
El uso de este programa
es muy sencillo, ya que
nos pregunta por el
número de incógnitas que
tenemos en nuestro
sistema y después nos
pregunta qué valor ira en
cada espacio de la matriz
si bien le falta un control
en caso de error y no
muestra la matriz como
generalmente se
encuentra en papel,
resulta muy fácil su uso y
sus respuestas son en
cuestión de segundos,
una gran herramienta a la
hora de cálculos rápidos.
Los valores que proporciona el programa son:
 I1 = 0.092308 A
 I2 = 0.061538 A
 I3 = 0.038769 A
Ahora solo nos falta corroborar si los datos son ciertos y con un simulador de
circuitos en este caso usaremos uno sencillo “livewire”.
Una vez comprobadas las
corrientes podemos decir
que el programa que
calcula sistemas de
ecuaciones por
eliminación gaussiana
funciona.

9. 2. Aplicar eliminación gaussiana al siguiente circuito
Dónde:
Z1 = 2.98 +0.26i Ω
Z2 = 6.89 + 1.21i Ω
Z3 = 8 Ω
Z4 = 5.79 + 1.55i Ω
Z5 = 8.80 + 1.87i Ω
Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones (LKV) se obtiene por la malla uno y dos
las siguientes ecuaciones:
Y por la ley de Kirchhoff de corrientes tenemos I1 - I2 = I3
Dándonos así un sistema de ecuaciones de tres incógnitas.
Resolver sistemas de ecuaciones con numero complejos es un poco más
complicado hacerlo a papel por eso haremos uso de herramientas en el lenguaje
c.
M1
I1*Z1 + I3*Z3 + I1*Z4 = 127
(8.77 + 1.81i) * I1 +8I2 = 127
M2
I2*Z2 + I2*Z5 - I3*Z3 =0
(15.69 + 3.08i) * I2 - 8I2 = 0
(8.77 + 1.81i) * I1 +8I2 = 127
(15.69 + 3.08i) * I2 - 8I2 = 0
I1 - I2 = I3

10. #include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<complex.h>
#define t 100
int i,j,k,n;
float complex a[t][t+1],x[t],suma;
void pidedatos(){
float r,im;
printf("Este Programa resulve sistemas de ecuaciones con 100 incognitas.");
printf("nCon numeros imaginarios ");
printf("nNumero de Incognitas: ");
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<=n-1;i++){
for(j=0;j<=n;j++){
printf("nA[%d][%d] = ",i,j);
scanf("%f %f",&r,&im);
a[i][j]=r+ 1i*im;
}
printf("nn");
}
}
void gauss(){
for(i=0;i<=n-1;i++){
for(j=n;j>=0;j--){
a[i][j]=a[i][j]/a[i][i];
}

11. for(k=i+1;k<=n-1;k++){
for(j=n;j>=0;j--){
a[k][j]=a[k][j]-a[k][i]*a[i][j];
}
}
}
}
void sustitucion(){
for(i=n-1;i>=0;i--){
suma=0;
for(j=0;j<=n-1;j++){
if(j!=i)
suma=suma+a[i][j]*x[j];
}
x[i]=a[i][n]-suma;
}
}
void imprime(){
for(i=0;i<=n-1;i++){
printf("nX[%d] = %f + ( %f)i ",i,creal(x[i]),cimag(x[i]));
}
printf("nn");
}

12. int main(){
int op;
do{
system("cls");
pidedatos();
gauss();
sustitucion();
imprime();
printf("nnQuieres volver a intentarlo? 1.Si 0.No R = ");
scanf("%f",&op);
}while(op>=1);
printf("nn");
system("pause");
return 0;
}
Podemos observar que el
código es similar al otro que
resuelve sistemas de
ecuaciones con numero reales,
pero aquí al ser complejos nos
hacemos ayuda de la librería
“complex” y así poder
operarlos.
Al resolver matrices con
números complejos siempre
existe la posibilidad de tener un
mayor grado de error por lo que
esta clase de herramientas nos
ayudan a adoptar una nueva
forma de resolverlos sin dejar
atrás la comprobación.
Nuevamente este programa es
muy útil para cálculos rápidos.

13. Los valores que proporciona el programa son:
 I1 = 8.793480 -1.342946 i A
 I2 = 2.862175 - 0.825625 i A
 I3 = 5.931305 – 0.517320 i A
Ahora solo nos queda comprobar si el sistema de ecuaciones está bien hecho y
las corrientes son las correctas para eso haremos uso de “MATLAB”.
Con esto podemos
darnos cuenta de que
funciona y que nuestras
corrientes son las
correctas.
Conclusión:
Con base a la práctica 2 uno puede apreciar lo fácil y sencillo que se vuelve
resolver un problema con las herramientas necesarias, si bien hay sistemas de
ecuaciones que son sencillos hay otros con demasiadas incógnitas que para
resolverse se necesitaría de mucha paciencia y mucho esfuerzo, sin embargo se
puede apreciar que con ayuda de estos métodos numéricos nuestro trabajo solo
se convierte en teclear y en su caso corroborar con otras herramientas que sean o
estén especializadas en la tarea que vamos a realizar.
Bibliografía:
 Métodos numéricos para ingenieros, Steven C.Chapra, Raymond P.
Canale, McGraw-Hill, Mexico 1988.
 http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-02.pdf
 http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones