El documento explica el método de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método iterativo despeja cada incógnita en función de las demás y genera sucesivas aproximaciones hasta converger a la solución. Se describe el proceso matemático y se muestra un ejemplo numérico para ilustrarlo.

1. Clase 10

2.  Al resolver un Sistema de ecuaciones lineales por eliminación, la memoria de
máquina requerida es proporcional al cuadrado del orden de A, y el trabajo
computacional es proporcional al cubo del orden de la matriz coeficiente A. Debido
a esto, la solución de sistemas lineales grandes (𝑛 ≥ 50), se vuelve costoso y difícil
en una computadora con los métodos de eliminación, ya que se requiere amplia
memoria, además como el numero de operaciones que se debe ejecutar es muy
grande, se pueden producir errores de redondeo también muy grandes.

3.  Sin embargo, se han resuelto sistemas de orden 1000, y aun mayor, con los métodos
que se estudiaran mas adelante.
 Estos sistemas de un numero muy grande de ecuaciones se presentan en la solución
numérica de ecuaciones diferenciales parciales, en la solución d elos modelos
resultantes en la simulación de columnas de destilación, etc. En favor de estos
sistemas, puede decirse que tienen matrices con pocos elementos distintos de cero y
que estas poseen ciertas propiedades(simétricas, bandeadas, diagonal dominantes,
entre otras), que permiten garantizar el éxito de la aplicación de estos métodos.

4.  Los métodos iterativos mas sencillos y conocidos son una generalización del
método de punto fijo, estudiado anteriormente. Se puede aplicar la misma técnica
a fin de elaborar métodos para la solución de 𝐴𝑥 = 𝑏 para obtener la ecuación.
 𝐴𝑥 − 𝑏 = 0

5.  Ecuación vectorial correspondiente a 𝑓 𝑥 = 0. Se busca ahora una matriz 𝐵 y un
vector 𝑐 de manera que la ecuación vectorial
 𝑥 = 𝐵𝑥 + 𝑐
 Sea solo un arreglo de la ecuación anterior, es decir de manera que la solución de
una sea también la solución de la otra. La ecuación siguiente corresponderá 𝑥 =
𝑔(𝑥). A continuación se propone un valor inicial 𝑥(0) como primera aproximación al
vector solución 𝑥. Luego, se calcula la sucesión vectorial 𝑥(1)
𝑥(2)
, … , de la siguiente
manera

6.  𝑥(𝑘+1)
= 𝐵𝑥(𝑘)
+ 𝑐, 𝑘 = 0, 1, 2, … . ,
 Donde
 𝑥(𝑘)
= 𝑥1
𝑘
𝑥2
𝑘
… 𝑥 𝑛
𝑘 𝑇
 Para que la sucesión 𝑥(0)
, 𝑥(1)
, … , 𝑥(𝑛)
converja al vector solución 𝒙 es necesario que
eventualmente 𝑥𝑗
𝑚
, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 (los componentes del vector 𝑥(𝑚)
), se aproximen tanto a
𝑥𝑗, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 (los componentes correspondientes a 𝑥 ), que todas las diferencias
𝑥𝑗
𝑚
− 𝑥𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 sean menores que n valor pequeño previamente fijado, y que se
conserven menores para todos los vectores siguientes de la iteración; es decir:

7.  lim
𝑚→∞
𝑥𝑗
𝑚
= 𝑥𝑗 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
 La forma como se llega a la ecuación 𝑥 = 𝐵𝑥 + 𝑐 define el algoritmo de
convergencia. Dado el sistema 𝐴𝑥 = 𝑏, la manera más sencilla es despejar 𝑥1 dela
primera ecuación, 𝑥2 de la segunda, etc. Para ello, es necesario que todos los
elementos de la diagonal principal de A, por razones obvias, sean distintos de cero.

8.  Esta técnica muestra cierta similitud con el método de iteración de punto fijo, ya
que consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación dejándola en
función de las otras. La manera mas sencilla es despejar 𝑥1 de la primera
ecuación; 𝑥2 de la segunda ecuación; 𝑥𝑖 de la i-esima ecuación, hasta 𝑥 𝑛 de la n-
esima ecuación. Es necesario, por razones obvias que todos los elementos de la
diagonal principal de la matriz de coeficientes del sistema lineal, sean diferentes
de cero.

9.  Sea el sistema lineal:
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
31 1 32 2 33 3 3n n 3
n1 1 n2 2 n3 3 nm n n
a x a x a x ... a x C
a x a x a x ... a x C
a x a x a x ... a x C
.
.
.
a x a x a x ... a x C
    
    
    
    

10.  Al realizar los despejes
propuestos se obtiene 𝑥1 de la
primera ecuación, 𝑥2 de la
segunda ecuación, etc., se
obtiene:
131 12 1n
1 2 3 n
11 11 11 11
232 21 2n
2 1 3 n
22 22 22 22
3 31 32 3n
3 1 2 n
33 33 33 33
n 1,nn n1 n2
n 1 2 n 1
mn mn mn mn
aC a a
x x x ... x
a a a a
aC a a
x x x ... x
a a a a
C a a a
x x x ... x
a a a a
.
.
.
aC a a
x x x ... x
a a a a


    
    
    
    

11.  Para estimar la primera aproximación a la solución se debe partir de un vector
inicial, el cual puede ser un vector 𝒙 𝟎 = 𝟎, o algún otro que se encuentre próximo
al vector solución 𝒙.

12.  Resolver el sistema lineal por medio del método de Jacobi. Emplear el vector
inicial 𝑥0 = 0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
6x x x 4x 17
x 10x 2x x 17
3x 2x 8x x 19
x x x 5x 14
   
    
   
    

13.  Al despejar las incógnitas correspondientes al esquema se tiene
 
 
 
 
1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2 3
x 17 x x x / 6
x 17 x 2x x / 10
x 19 3x 2x x / 8
x 14 x x x / 5
      
        
     
        

14.  Si se inicia el proceso iterativo con el vector cero se obtiene:
1
1
1
2
1
3
1
4
x 2.833333
x 1.7
x 2.375
x 2.8





15.  Los resultados del vector 𝑥 1 se utilizan para estimar el vector 𝑥(2), los del vector
𝑥 3
y así sucesivamente. Los resultados del proceso iterativo se muestran en la
tabla 1
Tabla 1. Resultado
de las iteraciones

16.  En general, el vector aproximación a la solución después de las iteraciones se
puede calcular de la siguiente manera:

17. k 1 k k k131 12 1n
1 2 3 n
11 11 11 11
k 1 k k k232 21 2n
2 1 3 n
22 22 22 22
k 1 k k k3 31 32 3n
3 1 2 n
33 33 33 33
k 1 k k kn 1,nn n1 n2
n 1 2 n 1
mn mn mn mn
aC a a
x x x ... x
a a a a
aC a a
x x x ... x
a a a a
C a a a
x x x ... x
a a a a
.
.
.
aC a a
x x x ... x
a a a a



 

    
    
    
    

18.  O bien escrito en forma compacta:
 𝑥𝑖
𝑘+1
=
1
𝑎 𝑖𝑖
𝐶𝑖 − 𝑗=1
𝑗≠1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑘
𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛……………………(A)

19. 1. Utilizar la herramienta de Excel para generar la tabla de la figura 1 que
contiene a la matriz aumentada, el vector inicial y la programación de los
despejes que se generen al utilizar la ecuación (A)

20.  Para el método de Jacobi, considere un sistema 𝐴𝑥 = 𝑏
 Sea 𝐴 = 𝐷 − 𝐸 − 𝐹, donde 𝐷 es la diagonal de 𝐴, −𝐸 la triangular inferior y −𝐹 la triangular
superior.
 Así, la sucesión que se construye con este método iterativo será:
 𝐴𝑥 = 𝑏
 𝐷 − 𝐸 − 𝐹 𝑥 = 𝑏
 𝐷𝑥 = 𝐸 + 𝐹 𝑥 + 𝑏
 𝑥 𝑘 = 𝐷−1 𝐸 + 𝐹 𝑥 𝑘−1 + 𝐷−1 𝑏

21.  El siguiente programa resuelve mediante el método de Jacobi un sistema de
ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝑏 con un error menor que una tolerancia dada tol.
 Note que el programa necesita un dato inicial 𝑥0.
 Además, el programa se detiene si se alcanza un número máximo de iteraciones
maxit sin que se satisfaga el criterio de convergencia.

23.  Ejemplo:
 Resuelva 𝐴𝑥(0) = 𝑏, con una aproximación inicial 𝑥(0) = [0 0 0]′