El documento explica el método de Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método iterativo asigna valores iniciales a las incógnitas y luego calcula nuevas aproximaciones sustituyendo los valores obtenidos en la iteración actual. El documento incluye la teoría del método, un ejemplo numérico y código para implementarlo computacionalmente.

1. INTRODUCCIÓN
En el presente documento se explica detalladamente El
Método de Gauss-Seidel.
Este es uno de los métodos mas interesantes siendo una
herramienta importante del análisis numérico y
particualmente útil ya que nos permite encontrar la
solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n”
incógnitas.
Normalmente este tema tiene procesos largos y por ello
son ideales para programar por computadora a través de
programas como Mat. LAB y visual Basic y no solamente
para hacerlos sobre el papel. Programar estos temas
permite incluso obtener una mejor comprensión de la teoría
aquí presentada.

2. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
 Comprender las diferentes formas de solucionar
sistemas de ecuaciones lineales por medio del
método de descomposición de Gauss-Seidel.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 tener una idea clara y comprensible del método de
descomposición de Gauss-Seidel.
 Mostrar cómo aplicar el método ya mencionado para
facilitar la solución de sistemas de ecuaciones
Elaborando ejercicios con los conocimientos
obtenidos respecto al tema .

3. Método de gauss Seidel
en análisis numérico el método de gauss-Seidel es un método
iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales este
método es similar al método de Jacobi.
Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para
determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va
utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma
iteración, y no en la siguiente.
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una
aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución
con un margen de error tan pequeño como se quiera.
Bien proseguiré con la explicación del método y luego aclararé los
detalles necesarios para determinar la eficacia del mismo.
Teniendo el siguiente sistema de ecuaciones:
Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de la ecuación 2,…, xn de la
ecuación n, quedando:
Desde la formula anterior resultan las fórmulas que se deberán ir
aplicando en las diferentes iteraciones.
Para comenzar a aplicar el método debemos asignar un valor arbitrario
a las variables x2,…xn con el fin de obtener x1.

4. Lo más conveniente en este caso es que comiencen en cero, lo cual
nos facilitaría el trabajo ya que se reduce el cálculo de las primeras
soluciones, entonces de esto resulta que:
Ahora despejamos x2 de la ecuación 2 y reemplazamos a x1 por el
valor obtenido en la ecuación anterior. De esto nos queda:
Una vez que tenemos x2, despejamos x3 de la ecuación 3 y así
sucesivamente con la n ecuaciones, cada vez asignando el valor de las
x1, x2,… xn-1 obtenido en el paso anterior.
Cuando hemos despejado las xn, tenemos lo que se conoce como
primera solución o solución de la primera iteración:
Con los nuevos valores de x1, x2,…,xn aplicamos los mismos pasos
anteriores pero con los nuevos valores de las xn, de esta manera
conseguimos una segunda solución:
Al tener esta segunda solución estamos en condiciones de calcular el
error que se calcula como sigue:
EJEMPLO 1 DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

5. PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la
solución del sistema:
Hasta que:
SOLUCIÓN:
Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y
3 respectivamente. Se tiene:
Estas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando.
Se comienza el proceso iterativo.
 sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera ecuación,
para calcular el valor de x1:
 Ahora se sustituye y x3 = 0 en la segunda ecuación
para obtener x2:
 Ahora se sustituye y en la tercera
ecuación para obtener x3:
 Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:

6. Puesto que todavía no se puede calcular ningún error
aproximado, se repite el proceso pero ahora con los últimos
datos obtenidos para las incógnitas:
 Sustituyendo y en la ecuación 1 se obtiene
 Sustituyendo y en la ecuación 2 se obtiene
 Finalmente, sustituyendo y en la
ecuación 3 se obtiene .
Es así como se tiene la segunda lista de valores de
aproximación a la solución del sistema:
Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las
incógnitas:
Ya que no se ha logrado el objetivo se debe repetir el mismo proceso
con los últimos valores obtenidos omitiendo los pasos intermedios,

7. Nótese que aunque el error aproximado ya cumple con ser menor
al 1%, esto se debe cumplir para los tres errores aproximados:
En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:
Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno
de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución
aproximada es:
Programa para resolver el método de gauss
seidel
Ahora mostraré un ejemplo, mediante el uso de un programa hecho en
Visual Basic para aplicar el método. El programa podrá ser descargado
desde aqui. Para que todos los puedan ver y tratar de entender el
funcionamiento del método.Al iniciar el programa índico que la matriz
de coeficientes es de 3 filas y 3 columnas (la matriz siempre tiene que
ser cuadrada). Entonces supongamos los siguientes coeficientes:

8. Luego cargo la matriz “b” que es la que contiene el valor de los
resultados de las ecuaciones:
Hago clic en el botón verificar convergencia y si el programa me dice
que se verifica, indico cuantas iteraciones quiero realizar y pulso en el
botón “Calcular solución”.
De esta forma el programa me arroja la solución del sistema (el valor
de x1, x2,…xn) y me muestra el error, denominado por el programa
como “Norma Infinito”.
Se puede apreciar que la norma infinito no las muestra en notación
científica, ya que es un error muy pequeño.
También el programa tiene la opción de guardar todas las iteraciones
que hizo, hasta llegar a la última.

9. Codificación del programa
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
#define L 10
#define P L
float A[L][P],MATRIZ[L][P],VECTOR[L],X[L],CX[L],C[L],RESULTADOS[L],tabla[1000];
float a, b, c, d, e, f;
int it,ini,n,x,y,z,cont=0;
void Gauss_Seidel(int n)
{
for(x=0;x<n;x++)
{
CX[x]=0;
X[x]=0;
}
for(y=0;y<n;y++)
{
for(x=0;x<n;x++) //Ingreso de la matriz A
{
cout<<"A["<<y<<"]["<<x<<"] = ";
cin>>e;
A[y][x]=e;
MATRIZ[y][x]=e; //esta es la matriz q no varia
}
cout<<"Y la constante C["<<y<<"] = ";
cin>>f;
C[y]=f;
VECTOR[y]=f; //este es el vector que no se modifica
}
int sum=0,cont=0,reglon=0;
for(int i=0;i<n;i++) //se suma la diagonal principal
sum=sum+abs(A[i][i]);
for(i=0;i<n;i++) //se compara cada reglon con el valor de la diagonal
{
for(int j=0;j<n;j++)
reglon=reglon+abs(A[i][j]);
if(reglon<=sum) cont++;
reglon=0;
}
int temp[L][P],H[P];
if(cont!=n) //aqui se realiza el pivoteo
{
for(i=0;i<n;i++)
{
for(int j=i;j<n;j++)
{
int d,e;
d=abs(A[i][i]);
e=abs(A[j][i]);
if(d<e)
{
for(int z=0;z<n;z++)
{
temp[i][z]=A[i][z];
A[i][z]=A[j][z];
A[j][z]=temp[i][z];
}
H[i]=C[i];
H[j]=C[j];
C[i]=H[j];
C[j]=H[i];
}
}
}
}
i=0;
for(it=0;it<100;it++)

10. {
for(y=0;y<n;y++)
{
for(x=0;x<n;x++)
CX[y]-=(A[y][x]*X[x])/A[y][y];
CX[y]+=(C[y]/A[y][y]);
X[y]=CX[y];
tabla[i]=CX[y]; //tabla sirve para imprimir la tabla de resultados
i++;
}
}
}
void titulo(int n)
{
int o=10,i=1;
clrscr();
for(i=1;i<n+1;i++)
{
o=o+10;
gotoxy(o,3);
cout<<"X"<<i;
}
gotoxy(15,4);cout<<"--------------------------------------------";
}
void resultados()
{
int q=0,i=1,t=3,s=n,r=0;
int sw=0,w=0,ite=0,h=0;
while((sw==0)&&(w<20))
{
h=0;
while(h<n)
{
if(tabla[r]==tabla[r+s])
{
cont++;
}
if(cont==n)
sw=1;
r++;
s++;
h++;
}
ite++;
w++;
}
w=ite-1;
for(int j=0;j<w;j++)
{
t=t+2;
if((i%10==0))
{
textcolor(LIGHTRED+BLINK);
gotoxy(5,t-2);
cprintf("nn Presione una tecla para ver la siguiente parte de la tabla!!! ");
getch();
textcolor(GREEN);
clrscr();
t=5;
titulo(n);
}
gotoxy(15,t);cout<<i<<"ø";
int y=20,z=0;
for(int r=0;r<n;r++)
{
gotoxy(y+z,t);cout<<tabla[q];
q++;
z=z+10;
}
i++;
}
}

11. void main()
{
textcolor(GREEN);
clrscr();
cout<<" Solucion de ecuaciones simultaneasnnn Metodo de Gauss-Seidel";
cout<<"nn Cuantas incognitas tendra el sistema: ";
scanf("%d",&n);
Gauss_Seidel(n);
titulo(n);
resultados();
cout<<"nnLos resultado son ";
for(x=0;x<n;x++)
{
RESULTADOS[x]=X[x];
cout<<"nX["<<x<<"]= "<<RESULTADOS[x];
}
CONCLUSIÓN
Luego de haber estudiado a profundidad este tema o
herramientas para resolver sistemas de ecuaciones, se
concluye que para resolver estos sistemas de ecuaciones
lineales existen diferentes métodos, pero dependerá del

12. gusto de cada persona elegir uno en específico pues cada
método tiene sus ventajas y sus desventajas.
Algunos métodos son más exactos, otros más fáciles de
programar, otros más cortos, etc. Para ser capaces de
elegir un método apropiado, lo primero que se necesita es
comprender cómo se desarrolla cada uno de estos
procesos.
El aprendizaje adquirido en esta investigación ha sido de
gran valor y seguramente servirá de la misma manera a
aquellos quienes posteriormente lean estas explicaciones y
lo expuesto en este proyecto.

13. Universidad Técnica de Manabí
Facultad de Ciencias Matemáticas
Físicas y Químicas
Proyecto de Métodos Numéricos
Tema: Método de Gauss-Seidel
4º “C”
Rizzo Ponce Jonathan Alfonso
Catedrático: Ing. Hernán Nieto
Septiembre 2010-Febrero 2011