1) Se define el ángulo de inclinación de una recta como el ángulo formado entre la recta y el eje x. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. 2) Existen diferentes fórmulas para calcular la pendiente e inclinación de una recta a partir de puntos o de su ecuación general. 3) Las ecuaciones de una recta pueden expresarse en distintas formas como punto-pendiente, pendiente-ordenada en el origen o forma general.

2. ANGULO DE INCLINACION Y PENDIENTE DE UNA RECTA
Se llama ángulo de inclinación de una recta r al menor de los
ángulos que forma esa recta cuando cruza el eje x y que se
mide desde ese punto a la recta r en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
y
b
x

3. La inclinacion de una recta puede
estar entre 0 y 180 grados.
Si el angulo es cero grados, la recta
es horizontal. Por otra parte si el
angulo es 90 grados, entonces la
recta es vertical.
b
Por otra parte, se llama pendiente de
una recta a la tangente trigonométrica
de su ángulo de inclinación. Si se
representa la pendiente de una recta
con la letra m y su ángulo de
inclinación con la letra b, entonces la
pendiente es:
m = Tang b

4. La formula para obtener la pendiente
de una recta esta determinada por:
m= y2 – y1
x2 – x1
Ejemplo:
Halle la pendiente e inclinación
de la recta que pasa por los
puntos A(-1,-2) y B(4,8)
m = y2 – y1
x2 – x1
m = 8 – (-2) 10 m=2
4 – (-1) 5
Tan b = m……… Tan b = 2
b = Tan-1 (2)…….. 63.43 grados

5. 1.- Determine la pendiente e inclinación de la recta que
pasa por los puntos A(-3,0) y B(1,2)
2.- Obtén la pendiente y la inclinación de la recta que
pasa por los puntos P1(-2,7) y P2(4, -1)

6. Supongamos que una recta r, cuya
ecuación queremos determinar, pasa
por el punto P(x,y) y tiene una pendiente
m.
Si P(x,y) es un punto cualquiera de la
recta y es distinto de P1, tenemos la
ecuación siguiente:
y – y1 = m(x – x1)
Esta ecuación de la recta esta expresada
en la forma punto-pendiente, ya que se
emplea cuando se conocen un punto de
la recta y la pendiente de esta.

7. y
Solución:
Tenemos que y – y1 = m(x – x1), donde x1 = 4, y1 = -5 y m = 3
y – (-5) = 3(x – 4)
y + 5 = 3x - 12
Esta es la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4, -5) y
cuya pendiente es 3, expresada en la forma punto-pendiente.

8. 1.- Pasa por los puntos P(3,7) y tiene pendiente 4.
2.- Pasa por el punto P(-2,5) y tiene pendiente – 3
3.- Pasa por el punto P(-1, -6) y tiene pendiente ¼
4.- Pasa por el punto P(4,-9) y tiene pendiente – 1/5

9. ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PENDIENTE – ORDENADA
EN EL ORIGEN.
Si una recta de pendiente m corta el eje
y en el punto P(0,b), como se muestra en
la figura, de acuerdo con la ecuación de
la forma punto-pendiente tenemos:
P(0, b)
y- y1 = m(x – x1)
Donde y1 = b y x1 = 0, por consiguiente:
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Ecuación de la recta en la forma
punto-ordenada en el origen

10. Ejemplo:
Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y la ordenada en el
origen es – 7. Escribe la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el
origen.
y = mx + b ------ y = 4(x – 7) ----- y = 4x – 7
Ejemplo:
Halla la ecuación de la recta cuya ordenada es el origen es -5 y que es
paralela a la recta y = - 2x + 9. Expresa la ecuación en la forma pendiente-
ordenada en el origen.
Solucion:
Como las rectas son paralelas, entonces tienen pendiente de igual valor. Por
ende, la pendiente de la recta cuya ecuación queremos determinar es -2. Así
y = mx + b --- y = -2x - 5

11. Ejemplo:
Halla la ecuación de la recta cuya ordenada en el origen es – 2 y que es
perpendicular a la recta y = 5x + 2. Expresa la ecuación en la forma pendiente-
ordenada en el origen.
Como las rectas son perpendiculares, entonces los valores de sus pendientes
son recíprocos entre si y de signo contrario. El reciproco de 5 es
1/5, luego, el valor de la pendiente de la recta cuya ecuación queremos
determinar es – 1/5.
y = mx + b ---- y = -1/5(x + (-2)) ----- y = - 1/5x – 2

12. Ejemplo:
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-1,-4) y P(3,2). Expresa
la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen.
Solución:
Se deberá determinar la pendiente:
m = y2 – y1 m = 2 – (-4) m= 2+4 m = 3/2
x2 – x1 3 – (-1) 3+2
Con uno de los puntos y la pendiente 3/2 se puede determinar la ecuacion de la
recta. Tomemos el punto P(3,2)
y – y1 = m(x – x1) ----- y – 2 = 3/2(x - 3) ---- y – 2 = 3/2x – 9/2
----- y = 3/2x - 9/2 + 4/2 ----

13. FORMAS DE LA ECUACION DE UNA RECTA
DETERMINACION DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA EN EL
ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACION GENERAL
La ecuación de la forma Ax + By + C = 0 se llama ecuación general de la
recta, donde A, B y C son números reales y además, A y B no pueden tomar
el valor de cero. Con esta ecuación es posible determinar todas las rectas
posibles.

14. EJEMPLO:
Escribe en la forma general la ecuación de la recta que pasa por estos dos
puntos P(-2,-5) Q(3,5)
Solución: Primero determinaremos la pendiente, para lo cual usaremos la
ecuación siguiente:
m= y2 – y1
x2 – x1
m=2
Con el valor de la pendiente y tomando cualesquiera de los dos puntos,
determinamos la ecuación de la recta. Si consideramos Q(3,5):
y – y1 = m(x – x1)
y = 2x – 6 + 5 ---- y = 2x -1 , luego 2x – y – 1 = 0

15. Se resolvieron tres ejemplos en la
clase

16. DETERMINACION DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA EN
EL ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACION GENERAL.
A partir de la ecuación general Ax + By + C = 0, si despejamos la variable
y, tenemos:
By = - Ax – C ------ y = - Ax – C ------ y = - Ax - C
B B B
La ecuación anterior es de la forma y = mx + b, por lo que podemos decir
entonces que:
m=-A b=- C
B B
Donde b es la ordenada en el origen, o sea b es la ordenada del punto P(0,b)

17. Determina la pendiente y ordenada en el origen (intersección con el eje y) de la
recta 2x – 5y + 8 = 0
Solución:
A partir de la ecuación general Ax + By + C = 0, tenemos que A = 2, B = -5 y C =
8, por tanto:
m= -A m= -2 m= 2 ----------------- La pendiente de la recta
B -5 5 2x – 5y + 8 = 0, es m = 2/5
Ahora determinemos la ordenada en el origen b.
b=-C --------------- - 8 b = 8/5
B -5
Otra forma de encontrar la pendiente y ordenada al origen es despejando la
variable y de la ecuación 2x – 5y + 8 = 0

18. EJEMPLO:
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y que es
perpendicular a la recta 7x + 6y + 8 = 0.
La pendiente de la recta 7x + 6y * 8 = 0 es
m= -A m= -7 La pendiente de la recta debe ser reciproca y de
B 6 signo contrario, por lo tanto, m = 6/7
Así, con m = 6/7 y el punto P(4,5) podremos hallar la ecuacion de la recta
indicada:
y – y1 = m(x – x1) ------- y – 5 = 6/7 (x – 4)
7(y – 5) = 6(x – 4) ----- 7y – 35 = 6x – 24
6x – 7y + 11 = 0