Ivnestigación de matemáticas

CATEDRATICO:

Catedratico: Ing. Rafael Salcedo Muñoz

Universidad Técnica de Mach

PRESENTACIÓN

El estudio de la geometría analítica, sirve para dar un análisis completo

de la investigación cualquiera que sea o motivo particular de que se

trate. El ser conciso en la presentación no se justifica ciertamente si una

conclusión basada en la discusión de uno o varios casos posibles. El

tratamiento de temas geométricos fundamentales sirven de base para

en lo posterior aplicarlos en disciplinas de carácter económico,

administración, industrias de todo tipo y la investigación científica, a

parte de la contabilidad de costos que tiene como base los costos fijos y

variables para dar el punto de equilibrio preciso en la oferta y demanda

de un bien o servicio.

INVESTIGACIÓN DE MATEMÁTICAS Catedratico: Ing. Rafael Salcedo Muñoz.


DEDICATORIA

El presente trabajo lo dedico a Dios y a mis padres que se han

sacrificado diariamente para ayudarme en todo lo que sea necesario

para continuar con mis estudios superiores.

El Autor



AGRADECIMIENTO

A mi maestro y catedrático de la Universidad, Ing. Rafael Salcedo, quien

supo guiarme de la manera correcta para la realización del presente

trabajo científico, a todas y cada una de las personas que colaboraron

para la culminación exitosa de esta obra.



MISIÓN

Conocer los fundamentos de la Geometría Analítica, para satisfacer las

necesidades de maestros y alumnos, a partir de materiales de apoyo

esenciales para motivar, orientar, discutir y ejemplificar casos de la vida

diaria común y científica, que coadyuven al crecimiento científico

personal y de la sociedad, para solucionar problemas que se presentan

diariamente.



VISIÓN

A partir de los conocimientos básicos de Geometría Analítica, aplicarlos

en los estudios micro y macroeconómicos en instrumentos de análisis de

la economía, la Administración y la Contabilidad, que a pesar de ser muy

abstractas son la base para el desarrollo de bastas zonas agrícolas,

ganaderas, mineras y de la pequeña y grande industria de los países en

vías de desarrollo, y muy particularmente del nuestro y lograr con ello a

partir de la experiencia mi desarrollo personal que redundará en mi

propio beneficio económico y de bienestar.



SISTEMAS DE COORDINADAS RECTANGULARES

Es un sistema coordenado lineal, cuyos puntos están restringidos a

estar sobre una recta, el eje. El más importante de estos sistemas es el

sistema coordenado rectangular, muy familiar al estudiante desde su

estudio previo de álgebra y trigonometría.1

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

Coordenadas rectangulares.- Es el sistema de dos ejes coordenados

ortogonales que se cortan en un punto llamado origen, el cual divide a

cada eje en dos semiejes; uno positivo y otro negativo, determinando en

el plano cuatro cuadrantes. Convencionalmente se considera eje

horizontal al eje de las Abscisas (X) t al eje vertical como eje de las

ordenadas (Y).2

Fig. 1

1
SALINAS P. EDMUNDO: Física 1: Cantidades vectoriales – Loja 2000
2
LECHMANN, CH: Geometría Analítica: Sistemas de coordenadas – México 1974



UBICACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL PLANO

Cualquier punto tiene una posición en el plano y representa a un par

ordenado (X, Y) correspondiente a la intersección de la abscisa y la

ordenada la abscisa es la primera componente. Para representar un

punto debemos tomar en cuenta en qué cuadrante debe ubicarse dicho

par ordenado.

Ej.: 1.- Representar los siguientes puntos en el plano:

F (4,7)

G (-3,5)

H (5,-4)

O (0,0)

J (-6,-5)

Fig. 2



En general, los signos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes

están indicados en la siguiente figura:3

Fig. 3

Es evidente que a cada punto P del plano coordenado le corresponde

uno y solamente un par de coordenadas (x, y); recíprocamente, un par

de coordenadas (x, y) cualesquiera determina uno y solamente un punto

en el plano coordenado.4

La distancia de un punto al eje y se llama abscisa del mismo. La

distancia de un punto al eje x es la ordenada y ambas constituyen las

coordenadas del punto en cuestión y se representan por el símbolo (x,

y). Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha

3
KINDLE, JOSEPH: Geometría Analítica: Coordenadas Rectangulares: México, 1970
4



del eje y, y negativas en caso contrario. Las ordenadas son positivas

cuando el punto está por encima del eje x, y negativas en caso

contrario.

Para representar puntos de coordenadas conocidas hay que adoptar

una escala adecuada sobre cada uno de los ejes coordenados. Ambas

escalas pueden ser iguales o distintas.

El trazado de los puntos se facilita notablemente usando papel

coordenado rectangular que tiene cuadrados iguales (papel

milimetrado), se recomienda al estudiante el empleo del papal

coordenado milimetrado cuando se requiera un trazado de gran

exactitud.

Fig. 4



SISTEMA COORDENADO LINEAL

Distancia Horizontal Entre Dos Puntos.- Ahora vamos a estudiar la

idea de correspondencia entre un punto geométrico y un número real.

Consideremos la siguiente figura cuya dirección positiva es de izquierda

a derecha y sea 0 un punto fijo sobre esta línea: si A es un punto de la

recta distinto de 0 u situado a su derecha, el segmento A= puede

considerarse como unidad de longitud. Si P es un punto cualquiera de

la recta situado a la derecha de 0 y tal que el segmento dirigido OP de

longitud positiva, contiene X veces a la unidad de longitud, entonces

diremos que el punto P corresponde al número positivo X.

Análogamente si P’ es un punto cualquiera de la recta situado a la

izquierda de 0 y tal que el segmento dirigido OP’ tenga una longitud

negativa de X’ unidades, entonces diremos que el punto P’ corresponde

al número negativo X’:5

Fig. 5

5



De esta manera, cualquier número real X puede representarse por un

punto P sobre la recta X’X. Y recíprocamente, cualquier punto dado P

situado sobre la recta X’X representa un número real X, cuyo valor

numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo

o negativo según que P esté a la derecha o a la izquierda de 0.

Hemos construido un esquema por medio del cual se establece una

correspondencia biunívoca entre puntos de una recta y los números

reales, tal esquema se llama un sistema coordenado.

La correspondencia es única. Es decir, a cada número le corresponde

uno y solamente un punto sobre el eje, y cada punto del eje le

corresponde uno y solamente un número real.

DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS

Ahora vamos a determinar la longitud del segmento que une dos puntos

dados cualquiera, tales como P1(X1) y P2(X2) de la figura 5. Si X1 y X2

son números conocidos, entonces tenemos:



En cualquier caso la longitud horizontal de un segmento dirigido se

obtiene restando la coordenada del punto inicial de la coordenada del

punto final. Este resultado se enuncia como sigue: En un sistema

coordenado lineal la longitud del segmento dirigido que une dos puntos

dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del

origen de la coordenada del extremo.

La distancia horizontal entre dos puntos se define como el valor

numérico o valor absoluto de la longitud de segmento rectilíneo que une

esos dos puntos. Si representamos la distancia d, podemos escribir:

o también,

Ejemplo: hallar la distancia horizontal entre los puntos: P1(5) y P2(-3)

Finalmente la distancia entre los dos segmentos dirigidos es:

d= -8 = 8 = 8



Fig. 6

DISTANCIA VERTICAL ENTRE DOS PUNTOS

De la misma manera en que se dio el tratamiento geométrico entre dos

puntos horizontales, también sirve para hallar la distancia entre dos

puntos que se encuentran sobre una recta vertical, cambiando

únicamente el significado de la variable X por Y cuya formula es:

Fig. 7

Ejemplo: Hallar la distancia vertical entre los puntos P1(6), P2(-4):

y y



Fig. 8

DISTANCIA INCLINADA ENTRE DOS PUNTOS

Sean P1(X1,Y1) y P2(X2,Y2) dos puntos dados cualquiera (en la figura)

vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2 ambos ejes

coordenados, como se indica en la figura, y sean E su punto de

intersección. Consideremos el triangulo rectángulo P1 EP2. Por el

Teorema de Pitágoras, tenemos:6

6



Fig. 9

Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes

coordenados son .

Luego, tenemos:

Sustituyendo estos valores en la ecuación de arriba, obtenemos:

de donde ,

Este resultado tiene el siguiente enunciado: “La distancia d entre dos

puntos está dada por la fórmula:



Por ejemplo la distancia entre los puntos (4 , -1) y (7 , 3) es:

Fig. 10

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la distancia horizontal entre los puntos cuyas coordenadas

son:

(-5) y (6) ; (3) y (-7) ; (-8) y (-12)

2. La distancia vertical entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos

es (-2), hallar el otro punto (dos casos).7

3. 3.- Hallar la distancia entre:

(-2 , 3) y (5 , 1)

(6 , -1) y (-4 , -3)

7



4. Demostrar que los puntos: A(3 , 8) , B(-11 , 3) y C(-8 , -2) son

los vértices de un triángulo Isósceles .

5. Demostrar que los puntos A(7 , 5) , B(2 , 3) y C(6 , -7) son los

vértices de un triángulo rectángulo, Encuentre su área.

6. En un papel milimetrado, grafique los puntos de coordenadas:

F (-1 , 3)

G (8 , -7)

H (10 , 0)

I (0 , -15)

J (4 , 5)



LA LÍNEA RECTA

DEFINICIÓN.- Toda línea es un lugar geométrico de puntos que gozan

de la propiedad expresada por definición: “La recta es el lugar

geométrico de un punto que se mueve en una misma dirección”. Las

coordenadas de uno cualquiera de sus puntos depende de su posición

sobre la línea, lo cual quiere decir que para cada valor de la abscisa

toma la ordenada correspondiente al punto un valor determinado, esto

es que ambas coordenadas están ligadas por una relación que puede

tener la forma explícita:8

Y = f(x)

O implícita, como:

F(x , y) = 0

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO.- Recordando álgebra, en lo referente

a la representación gráfica de la ecuación de primer grado, la ecuación:9

Y = mx + b

Representa una línea recta que no pasaba por el origen de

coordenadas; de ella se deduce, quitando denominadores si los hay, y

trasponiendo términos, la fórmula general o implícita:

8
POSTIGO, LUIS: MATEMÁTICAS: La línea recta, Barcelona, 1965
9
KINDLE, J: Geometría Analítica: Inclinación y pendiente de una recta, Barcelona, 1965



Ax + By + C = 0

En la que A , B y C son cantidades finitas, positivas o negativas,

algunas de las cuales puede ser cero, no pudiendo anularse a la vez los

coeficientes A y B, pues en este caso no existiría la ecuación. Esta

última fórmula constituye LA ECUACIÓN DE LA RECTA.

INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA.- La inclinación de una

recta L(que no sea paralela al eje x) es el menor de los ángulos que

dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide, desde el eje x a la

recta L, en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Mientras no se

advierta otra cosa, consideremos que el sentido positivo de L es hacia

arriba. Si L fuera paralela al eje x, su inclinación sería cero.

La PENDIENTE de una recta es la TANGENTE DEL ÁNGULO DE

INCLINACIÓN. En estas condiciones, m = tg O el ángulo de inclinación y

m la pendiente.

LA PENDIENTE de la recta que pasa por dos puntos

es :



Fig. 11

Cualesquiera que sean los cuadrantes en los que estén situados los

puntos P1 y P2.10

Ejercicio.- Encuentre la pendiente m y el ángulo de inclinación O de la

recta que une los pares de puntos siguientes:

Shift tg 1 = 45º

10
KINDLE, J: Geometría Analítica: Inclinación y pendiente de una recta, Barcelona, 1965



Fig. 12

ECUACIONES DE LA RECTA

Definición.- Una línea recta, analíticamente es una ecuación lineal o de

primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación

gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos

variables es una RECTA.

Una RECTA queda determinada completamente si se conocen dos

condiciones por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección

(pendiente o coeficiente angular), etc.



FORMAS DE LA ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.-

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos

cualesquiera de sus puntos,. Analíticamente, la ecuación de una recta

también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas

de dos cualquiera de sus puntos:

Fig. 13

La recta que pasa por dos puntos dados

tiene por ecuación:



Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos

(2 , 3) y (1 , 0).

En consecuencia:

es la ecuación de la recta buscada

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE

UNA PENDIENTE

De la figura 13, si se conoce un punto como P2(x2 , y2) y el valor de la

pendiente, el problema se reduce a hallar la ecuación de una recta que

pasa por un punto y tiene una pendiente dada.11

Ejercicio: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (1 , 0) y

tiene de pendiente 3:

11



ECUACIÓN DE LA RECTA CON INTERCEPCIONES SOBRE LOS

EJES X y Y

Llamada también ecuación simétrica de la recta, se define así: sean (a ,

0) y (0 , b) dos puntos de la recta; el problema de obtener la ecuación de

una recta cuando se conocen los segmentos que determina sobre los

ejes se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos

puntos, y se tiene:

Trasponiendo –bx al primer miembro y dividiendo ab, obtenemos:

Esta ecuación es llamada también “Ecuación Simétrica de la Recta”.

Resumiendo tenemos: “ La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y

si a= 0 y b = 0, respectivamente, tiene por ecuación:

Ejemplo:



Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , 0) y (0 ,4):12

Fig. 14

ECUACIÓN DE LA RECTA CON INTERCEPCIÓN CON EL EJE Y Y

UNA PENDIENTE

Consideremos una recta L (FIg. 15), cuya pendiente es m y cuya

ordenada en el origen; es decir, su intercepción con el eje y, es b. Como

se conoce b , el punto cuyas coordenadas son (0 , b) está sobre la recta.

12



Por tanto el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que

pasa por un punto (0 , b) y tiene pendiente dada; la ecuación buscada

es:

Enunciado este resultado como: “La Recta cuya pendiente es m y cuya

ordenada en el origen es b tiene por ecuación”:

Fig. 15

Ejercicio:

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (0 , 5) y tiene de

pendiente -2.



Fig. 16

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Hallar la ecuación de la recta a) que pasa por (-4 , 3) y tenga de

pendiente ½.13

a) Que pasa por (0 , 6) y tenga de pendiente -3.

b) Que pasa por (2 , 0) y tenga de pendiente ¾.

13



2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2 , -3) y

(4 , 2)

3.- Halle la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen

son 5 y -3, respectivamente.

4.- Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2 , -3) y es

paralela a la recta que une los puntos (4 , 1) y (-2 , 2).

5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2 , 3) y es

perpendicular a la recta 2x - 3y + 6 = 0



APLICACIÓN DE LA RECTA EN: OFERTA, DEMANDA Y EQUILIBRIO

DEL MERCADO

LA DEMANDA

¿Qué queremos decir cuando hablamos de Demanda?, los bienes se

demandan porque son útiles, y podría pensarse que son demandados

por todos aquellos que creen que son útiles, Es decir, por todos

aquellos que los desean. De hecho no todas las necesidades de los

consumidores se expresan como demanda en el mercado. El deseo de

los consumidores de comprar un bien solo afecta al precio en el

mercado del bien si este deseo puede ser expresado en forma de

demanda monetaria para el bien en cuestión. En economía, la demanda

se entiende como demanda respaldada por suficiente dinero para pagar

el bien demandado.14

Cuando se relaciona el precio de un bien con la cantidad demandada

del mismo, se produce una curva que muestra para cada precio la

cantidad del bien en cuestión que los consumidores comprarán a dicho

precio. Representa una relación funcional entre el precio y la cantidad

demandada

14
STONIER/HAGUE: MANUAL DE TEORÍA ECONÓMICA: la demanda y la oferta,
Madrid,1973



La curva de demanda es una recta decreciente de izquierda a derecha

con pendiente negativa, esto se debe a que, cuando el precio de un bien

baja, las personas que con anterioridad no podían comprarlo entrarán

en el mercado y por tanto la cantidad demandada del bien sube; pero

si el precio del bien sube, la cantidad demandada baja y los

consumidores se retirarán del mercado. Por ej. La cantidad demandada

de los fardos de algodón para telas:15

Cantidad demandada (fardos de algodón)

Fig. 17

15
SALVATORE, DOMINIO: MICROECONOMÍA: Curvas de oferta, demanda y el equilibrio
del mercado, México, 1980



LA OFERTA

La oferta depende de la escasez, de la misma forma que la demanda

depende de la utilidad. El principal factor que determina los precios de

las diversas cantidades de productos fabricados o de productos

agrícolas es el coste de producirlos. En una palabra: si los consumidores

quieren más cantidad en un bien tiene que pagar más por él. La razón

de esto reside en que es necesario atraer factores de producción desde

otras industrias para la producción del bien en cuestión, y es probable

que estos factores sean menos eficientes o más caros, o las dos cosas;

es decir, que el coste por unidad de producción aumentará cuando la

producción de la industria aumente.

Así se explica de modo muy simplificado la razón por la cual las curvas

de oferta son rectas crecientes con pendiente positiva; lo cual también

significa que solo se ofrecerá una mayor cantidad de cualquier bien

cuando los precios sean altos. Esto quiere decir que la curva de oferta

del mercado es normalmente creciente de izquierda a derecha.



Cantidad ofrecida (fardos de algodón)

Fig. 18

EQUILIBRIO

El Equilibrio se refiere a una condición del mercado que, una vez

alcanzada, tiende a persistir. En la Economía esto ocurre cuando la

demanda de un artículo en el mercado por unidad de tiempo es igual a

la cantidad de ese artículo que se ofrece en el mismo lapso.

Geométricamente, el equilibrio ocurre en la intersección de la curva de

demanda con la curva de oferta. El precio y la cantidad a los cuales

existe el equilibrio se conocen, respectivamente, como PRECIO DE

EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE EQUILIBRIO.

Por ejemplo con las dos curvas anteriores se produce el equilibrio en la

siguiente situación:



FARDOS DE ALGODÓN
Fig. 19

El Equilibrio ocurre, cuando a un precio de $ 60 se venderán y

comprarán 35 fardos de algodón para telas y por ende confecciones.

Cabe mencionar, que la pendiente de la recta significa la elasticidad de

la demanda, la elasticidad de la oferta y la elasticidad-precio, que

marcan los márgenes de satisfacción y utilidad unitaria del producto.



BIBLIOGRAFÍA

1. LEHMANN, CHARLES: Geometría Analítica, Editorial UTEHA,

México, 1974

2. KINDLE, JOSEPH: Geometría Analítica, Editorial McGraw-Hill,

México 1970

3. POSTIGO, LUIS: Matemáticas, Editorial Ramón Sopena,

Barcelona, 1965

4. SALINAS, EDMUNDO: Física 1: Editorial EMAR, Loja, 2000

5. SALVATORE, DOMINICK: Microeconomía, Editorial McGraw-Hill,

México, 1980

6. STONIER/ HAGUE: Manual de Teoría Económica, Editorial

Aguilar, Madrid 1973



ESQUEMA DE CONTENIDOS

CARÁTULA

PRESENTACIÓN

DEDICATORIA

AGRADECIMIENTO

MISIÓN

VISIÓN

Capítulo I:

Sistemas de Coordenadas Rectangulares

Sistema Coordenado Lineal

Distancia Inclinada entre dos puntos

Capítulo II:

La línea Recta

Ecuaciones de la Recta

Capítulo III:

Aplicaciones de la Recta: Oferta, Demanda y

Equilibrio del Mercado

BIBLIOGRAFÍA

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