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![Prefacio • x v
Ejercidos de repaso acumulativo Todos los conjun
tos d e ejercicios (salvo los dos prim eros) contienen p re
guntas referentes a secciones y capítulos anteriores. Los
ejercicios planteados en la sección “Ejercicios d e repaso
acumulativo” refuerzan los tem as estudiados con anterio
ridad, y ayudan a retener el m aterial ya analizado mien
tras se estudia el nuevo. Para beneficio d e los estudiantes,
los ejercicios d e repaso acum ulativo indican, p o r m edio
de corchetes com o [3.4], la sección en donde se revisó el
material.
Ejercicioscon icono de vídeo Los ejercicios q u e se re
suelven con detalle en las videocintas aparecen m arcados
con el icono « , lo cual perm ite una identificación fácil y
rápida. E ste m aterial se adquiere p o r separado y se en
cuentra en idiom a inglés.
Actividad ©n equipo Muchos conjuntos d e ejercidos
tienen ejercicios de “Actividad en equipo” q u e conducen a
interesantes discusiones en grupo. A lgunos estudiantes
aprenden m ejor en un am biente cooperativo,y estos ejer
cicios perm itirán q u e los alum nos hablen d e m atem áticas
entre ellos.
Resumen del capítulo Al final d e cada capítulo se
m uestra un resum en q u e incluye “Térm inos y frases im
portantes”.
Ejercicios de repaso del capítulo Al final d e cada
capítulo hay ejercicios d e repaso q u e abarcan todos los
temas analizados en el mismo. Los núm eros en color rojo
y en tre corchetes sirven p ara identificar la sección en
donde se presen tó el m aterial p o r p rim era vez.
Exámenes de práctica del capítulo El am plio exa
m en q u e se encuentra al final de cad a capítulo perm ite
q u e los estudiantes determ inen q u é tan preparados es
tán p ara presentar el exam en real d e cada p arte del cu r
so. Las respuestas a las preguntas del exam en d e repaso
acum ulativo aparecen en seguida del m ism o, d e m odo
q u e se p u ed an verificar ráp id am en te sus resultados.
D espués d e cad a respuesta se incluye una leyenda en
tre corchetes, com o [Sec. 4.2, Obj. 5], p ara indicar la sec
ción y el objetivo en d o n d e se e stu d ió el m aterial
correspondiente.
Examen de repaso acumulativo El propósito d e es
tos exámenes,q u e aparecen al final d e cada capítulo (salvo
en el prim ero), es verificar los conocim ientos adquiridos
respecto del m aterial analizado desde el principio del li
bro hasta el capítulo en el q u e se encuentre. Puede utili
zar estos exám enes como repaso o com o preparación para
el exam en final. A l igual q u e los “Ejercicios d e repaso
acum ulativo”, estos exám enes sirven p ara reforzar lo
aprendido de los tem as analizados con anterioridad. Las
respuestas a las preguntas del exam en d e repaso acum ula
tivo aparecen en seguida del mismo, d e m odo q u e se p u e
d an verificar rápidam ente sus resultados. D espués de
cada respuesta se incluye una leyenda en tre corchetes,
com o [Sec. 4.2, Obj. 5], para indicar la sección y el objeti
vo en donde se estudió el m aterial correspondiente.
Respuestas E l libro proporciona las respuestas a los
problem as de núm ero im par d e cada conjunto d e ejerci
cios, así com o las respuestas a todos los ejercicios d e las
secciones d e uso d e calculadora graficadora, los “Ejerci
cios d e repaso acum ulativo”, los ejercicios d e repaso, los
exám enes y los exám enes d e repaso acumulativo del capí
tulo. Por otro lado, no se d a la respuesta a los ejercicios de
“A ctividad en equipo”, y a q u e su intención es q u e los
estudiantes logren acuerdos al respecto.
M o d o s d e e n se ñ a n za
El constante refuerzo d e los conceptos d a p o r resultado
una m ayor com prensión y retención del m aterial p o r p ar
te d e sus estudiantes. Por otro lado, el form ato y la legibi
lidad d e este libro lo hacen apropiado p ara m uchos estilos
de enseñanza, p o r ejemplo:
• clase institucional (clásica)
• educación a distancia
• aprendizaje autodidacta
• clase modificada
• estudio en equipo o cooperativo
• laboratorio d e enseñanza
C a m b io s en la sexta edición
Cuando escribí la sexta edición, tom é en cuenta muchos
com entarios y revisiones d e los estudiantes y profesores.
Quiero agradecer a todos aquellos q u e hicieron sugeren
cias p ara m ejorar este libro. Tam bién quiero agradecer a
la gran can tid ad d e profesores y estudiantes q u e escri
bieron p ara inform arm e lo m ucho q u e disfrutaron y
aprendieron del texto.
Algunos d e los cam bios realizados en esta sexta edi
ción son:
• E l capítulo d e raíces, radicales y núm eros com plejos
se reorganizó y reescribió p ara darle m ayor claridad.
A hora puede leerse d e m anera más fluida.
• Se hizo m ayor hincapié en la geom etría; en el texto
hay m ás ejem plos y ejercicios relacionados con esta
disciplina.
• Se agregó una gran variedad d e problem as a los con
juntos d e ejercicios d e todo el libro. E n general, se am
pliaron d e m anera notable.
• E n secciones seleccionadas se agregaron problem as
d e m ayor com plejidad al final d e los conjuntos de
ejercicios.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-15-320.jpg)
![Problem as d e reto
Los problemas de la sección Reto
estimulan el interés de los
estudiantes con ejercicios más
demandantes o difíciles en los
aspectos conceptual o de realización.
Actividad en equipo
Las actividades en equipo
proporcionan a los estudiantes
oportunidades para desarrollar el
aprendizaje colaborativo.
Ejercicios d e repaso
acumulativo
Los Ejercicios de repaso acumulativo
refuerzan los temas tratados con
anterioridad. Estos ejercicios indican
las secciones en donde se explicó el
material.
5 2 • C a p JtiJo 1 • C o n c e p to s b á s ic o s
R eto
H t la sección 72 aprenderá que las reglas de lo s ex ponentes que acabam os de presentar,tam bién se aplican cuando Ios ex ponentes
son números racionales. Con base en esta Inform ación y en las reg/as de Ios exponentes, resuelva cada expresión
- $r - m - (*
- g? - m
Actividad e n eq u ipo______________
Analice y responda en equipo el ejercido 143.
M3. C entavos qu e crecen B día 1 se le da un centavo. Cada
uno de lo s días que siguen se le dará e l doble d e la canti
dad que se le entregó el d b anterior.
a) Escriba1» cantidades que le darbn en cada uno de lo s
primeros 6 días.
b) Señale rata uno de estos números com o una expresión
exponencial con una base de 2.
c) Buscando un patrón determine una expresión ex p o
nencial para e l núm ero de centavos que recibirá el
día 10.
Ejercicios d e rep aso acum ulativo
[ 1 ¿ ] 144.Si A - { 3 . 4, 6) y B - { 1 . 2. 5. 8 ). determine
a )A U f iy b)<4 C fl.
145.1ustre e l siguiente conjunto en la recu numérica:
{*|-3 * x < 2 ) .
d) Eacxiha unaexpresión exponencial general para e l nú-
merode centavos que redará e l día n
el Escriha una expratión exponencial para e l número de
centavos que recibirá e l d b 30.
f) Q d cu led valor de b expresión en taparle e ) S i tiene
calculadora, utiícela.
V) Determine la cantidad,en pesos, que obtuvo com o re-
s u lu d o e n b parte I),
h) Escriba unaexpresiónexponencbl general para el nú
mero d e p a o s que re d a r á en e l día n.
[1.4] MóXblcule: 6 + |12 | + |- 3 | - 4 -2 1.
147ívaluate S^=T25.
1.6 NO TAC IÓ N C IENTIFICA
1 E s c rb ir n ú m e ro s e n n o tación científica.
2 C a m b ia r n ú m e ro s e n no tació n clentfflca a fo rm a d ecim a l.
3 U s a r no tació n clentfflca e n la resolución d e p ro blem a s.
1 Escribir números en notación clentfflca____________________________________________
C on m u ch a frecu en cia, lo s cien tíficos c ingenieros tien en q u e trabajar co n núm eros
m uy gran d es y m uy p e q u e ñ o s Por ejem p lo, la frecuencia d e la señ a l d e u n rad io FM
p u e d e ser d e 14,200,000,000 hertz (o c ic lo s p o r seg u n d o ), y e l d iám etro d e u n átom o
d e h id rógeno e s d e alred ed or d e 0.0000000001 m etros D e b id o a la dificultad q u e im
p lica trabajar c o n m uchas ceros, a m enu d o las cien tíficos exp resan tales num eres co n
exp on en tes. Por ejem p lo, e l n ú m ero 14,200,000,000 p od ría escribirse co m o 1.42 X 10'°
y 0.0000000001 com o 1 X 10“ '".Esta representación abreviada s e co n o ce com o n o ta d ó n
d e n tífica. E n n o ta d ó n cien tífica, b s núm eros ap arecen com o un núm ero m ayor o igual
a 1 y m en or q u e 10, m u ltip licad o p o r alg u n a p o ten cia d e 10. E l ex p o n en te d e 10 d e
b e ser u n en te ro . C u a n d o una p o ten cia d e 10 n o tie n e co e ficien te n u m érico , co m o
A P á g in a 5 2
X X V](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-25-320.jpg)
![S e cció n 1.2 • C o n ju n to s y o tro s c o n c e p to s básicos • 1 3
e) Los núm eros irracionales son núm eros reales q u e no son racionales. Los siguientes
núm eros son irracionales
V7,-VIT,-7r
f ) Todos los núm eros del conjunto son núm eros reales. L a unión d e los núm eros ra
cionales y los núm eros irracionales conform a el conjunto d e los núm eros reales.
« . « « a ™ » - 3 , 0 , f . 2 . 2 5 , ^ , - V I l , f , 5 , 7 . 1 , - 1 7 , , #
No todos los núm eros son núm eros reales. Algunos d e los núm eros q u e estudia
rem os más adelante y q u e no son núm eros reales, son núm eros com plejos y núm eros
imaginarios.
M atem áticas en a c c ió n
Conjuntos bien definidos y conjuntos difusos
Al tipo d e conjuntos acerca d e los q u e usted está apren
diendo en este capítulo, m uchas veces se les conoce co
mo conjuntos bien definidos. U n elem ento es o no es
miembro d e un conjunto bien definido. Es evidente que
Q es un elem ento del conjunto {Tt R, Q, F] y q u e B no
k) es. M ás allá del mundo d e las matem áticas, podem os
reconocer q u e la afirmación: “A braham Lincoln es un
elem ento del conjunto d e todos los presidentes d e Es-
lados U nidos”, refleja el concepto d e los conjuntos bien
definidos.
Ahora piense en el conjunto d e todos los hom bres
con cabellera com pleta, y digam os q u e una cabellera
com pleta es aquella q u e cuenta con 100 mil o más ca
bellos. Federico se levanta en la m añana con 100 mil
cabellos en su cabeza,d e modo q u e él pertenece al con
junto. Al tom ar una ducha,cinco cabellos caen de su cabe
za y se van p o r el desagüe. A hora él no pertenece al
conjunto. Bueno, eso es correcto, aunque suene tonto.
U na categorización rígida com o ésta no sería muy útil
para una em presa q u e reúne informaciónpara com ercia
lizar una línea d e productos p ara el cuidado del cabello.
E n 1965 fue mencionado p o r prim era vez el con
cepto d e conjunto difuso. P ara explicarlo d e m anera
sencilla, digam os q u e un elem ento q u e form a p arte de
un conjunto difuso tiene cierto grado d e pertenencia a
él. Volviendo al ejem plo d e Federico, si un conjunto di
fuso fuese definido com o “todos los hom bres con una
cabellera com pleta”,cuando Federico se levantó e n la
m añana era m iem bro d e ese conjunto con un valor de
1 (o d e 100 p o r ciento). D espués d e la ducha, Federico
seguía perteneciendo en ese conjunto, pero con un va
lor de, digamos, 0.999.
E l razonam iento asociado a los conjuntos difusos,
gobernado p o r las reglas d e la lógica difusa, es la base
para que los program as d e cómputo logren el reconoci
miento d e patrones, por ejem plo el reconocimiento de
voz. La pronunciación d e un ganadero de M onterrey,en
México, difiere considerablem ente d e la d e un corredor
efe bolsa d e M adrid, E spaña Para reconocer la diferen
cia, el program a aplicará una gran cantidad d e pruebas
de la lógica difusa p ara determ inar el grado hasta el que
un sonido coincide con otro almacenado en su base de
datos de conjuntos difusos. Al no insistir en que haya una
correspondencia exacta p ara cualquier letra o sílaba
—por ser difusa— ,el program a puede “entender” el ha
bla hum ana con sorprendente precisión.
C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1.2
Ejercicios conceptuales
L ¿Qué es una variable?
2. ¿Qué es una expresión algebraica?
3. ¿Qué es un conjunto?
4. ¿Cómo les llamamos a las partes que conforman un con
junto?
5. ¿Qué es un conjunto vacíoo conjunto nulo?
6. H conjunto de los números naturales o números para con
tar, ¿es un conjunto finito o infinito? Explique.
7. Liste los cinco símbolos de desigualdad y explique cómo
sí lee cada uno de ellos.
8. Proporcione un ejemplo de un conjunto vacío.
9. Liste el conjunto de enteros entre 2 y 7.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-41-320.jpg)
![1 4 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
10. Liste el conjunto de enteros entre -1 y 3 inclusive.
V 1L Explique por qué todos los números enteros son también
“ números racionales.
12. Describa los números para contar, los números enteros no
negativos, los números enteros, los números racionales, los
números irracionales y los números reales. Explique las
relaciones entre los conjuntos de números.
En los ejercicios 13a 22, indique si cada afirmación es verdadera
o falsa.
13. Todos los números naturales son enteros no negativos.
14. Algunos números racionales son enteros.
15. Todos los números enteros no negativos son números na
turales.
16. Todos los números racionales son enteros.
17. Todos los números enteros son números racionales.
18. La unión del conjunto de los números racionales y el con
junto de los números irracionales forma el conjunto de los
números reales.
19. La interseccióndel conjunto de los números racionales y el
conjunto de los números irracionales es un conjunto vacío.
20. Elconjunto de los números naturales es un conjunto finito.
2L El conjunto de los números enteros entre ir y 4 es un con
junto vacío (nulo).
22. El conjunto de los números irracionales entre 3 y n es un
conjunto infinito.
Problemas de aplicación
Escriba < o > en el área sombreada para hacer que la afirmación sea verdadera.
23. 3 ■ 4 24. - 1 B 5 25. - 3 ■ 0 26. - 1 ■ 1
27. - 1 ■ - 1.01 28.
co
1
■
■
'
T
Q. 29. - 5 ■ -3 30. -6 M - 1
3L -14.98 ■ -14.99 32. -3 .6 ■ -3.2 33. 1.1 ■ 1.9 34 -1.1 ■ -1.9
35. - ir M - 4 36. -7 8 0 ■ -655
- 4 - ! 38.
_ 4 . _ 5
7 9
En ¡os ejercicios39 a 48, escribacada conjunto en forma de lista.
39. A = { * |-1 < * < l y x e Z }
4 L C = {z z es un entero par mayor que 16y menor que
o igual a 20}
43. E = {xx < 3y x e W }
45. H = {xx es un entero no negativo múltiplo de 7}
47. / = {*|* > Oy x e Z )
49. Cbnsidereel conjunto {-3 , 4, f , 0, V 2 , V 8 , -1.23, %
¡ó]
Liste los elementos que son:
a) números naturales.
b) enteros no negativos.
c) enteros.
d) números racionales.
e) números irracionales.
f) números reales.
40. B = {y|y es un número natural impar menor
que 8}
42. D = {*|* > - 3 y * e Z }
44. F = {* i- 6 ^ - 15
5 T y't "}
46. L = {*|* es un entero mayor que -5}
48. K = {*|* es un entero no negativo entre 3 y 4}
50. Cbnsidere el conjunto {2, 4, -5.33, f , V 7, V 2, -100,
-7, 4.7}. Liste los elementos que son:
a) números enteros no negativos.
b) números naturales.
c) números racionales.
d) números enteros.
e) números irracionales.
f) números reales.
Determine A U B y A H B,para cada conjunto A y B.
5L A = {1,2, 3, 4, 5}, B = { 2 4 ,6 ,8 )
53. A = { -3 , - 2 , - 1 ,0 ) , B = { -1 ,0 ,1 ,2 }
55. A = { } , B = {2,4,6,8,10)
57. A = {0,10,20,30), B = {5,15,25}
59. A = {—1,0,1, e,i,ir}, B = { -1 ,0 ,1 }
52. A = { 1 ,2 ,3 } , B = {4,5,6}
54 >1 = { - 3 ,- 1 ,1 , 3}, B = { -4 , -3 , -2 , -1 , 0}
56. A = {2 4 ,6 } , B = {2 ,4 ,6, 8, ...}
58. A = {1, 3, 5},B = {1,3,5, 7, ...}](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-42-320.jpg)
![S e cció n 1.2 • C o n ju n to s y o tro s c o n c e p to s básicos * 1 5
Describa cada conjunto.
6L A = {1,2, 3,4, ...}
63. C = {0,3, 6, 9, ...}
65. B = { ...,- 5 ,- 3 ,- 1 ,1 , 3, 5, ...}
V 61 B = {2, 4, 6, 8, ...}
64. A - { a ,b , c , d , . .. ,z }
66. C - {Aguascalientes, Baja California,..., Zacatecas}
En los ejercicios 67 y 68, a) escriba cómo leería cada conjunto; b) escriba el conjunto en forma de lista.
67. A = {*|* < 8 y * e N } 68. B = {xx es una de las últimas cinco letras mayúsculas del
alfabeto castellano}
Ilustre cada conjunto en una recta numérica.
69. {xx > 0 } 70. {yy < 4}
71. {zz ^ 3} 72. {ww > -5 }
73. {pl~4 < p < 3} 74. {*1-1.67 < * < 5.02}
75. {qq > - l y q e N ) 76. {*|-1.90 < * < 2 . 1 y * e Z }
77. {rr < 7r y r e W] 78.
r i <-
csf y-
ce'v}
Exprese en notación de construcción de conjuntos cada conjunto de números indicado en las rectas numéricas.
79.
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
80.
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
8L
83.
85.
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
■ I I , -------
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
-2.5 4.2
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
87. « I l i » + + + » ? l l l -----
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
84.
- 4 ♦ » ♦ 1 ■
- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4
— - h
- 3 - 2
4
1 1 • 1
- 1 0 1 2
7 .6
H — -
3
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
* 1 !' 1
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
12 3
1— 1— t -
5
-----4—
10
■ -4— 1— 1— 1— -t— ►
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
Consulte el recuadro de la página II para recordar el significado de R, N, W ,Z,Q e I. Luego determine si el primer conjunto de cada
par es un subconjunto del segundo.
89. N ,W 90. W,Q
93. Q ,¡ 94. Q, R
Resolución de problemas
97. Construya un conjunto que contenga cinco números ra
cionales entre 1 y 2.
99. Determine dos conjuntos A y B tales que A U B = {2,4,
5 ,6 ,8 ,9 } y A n £ = {4,5,9}.
9L Z,Q 92. W ,N
95. /, R 96. Q ,Z
98. Cónstruya un conjunto que contenga cinco números ra-
aonales entre 0 y 1 .
100. Determine dos conjuntos A y B tales que A U 8 = {3,5,
7,8,9} y A C B = {5,7}.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-43-320.jpg)
![Sección 1.4 • O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 2 9
Determine la diferencia en la balanza depagos per cápita entre los siguientes estados.
a) NM y CT b) OK y MI c) VA y NJ d) TX y CA
144 Pequeñas empresas La cámara de comercio de Guadala-
jara, en México, estudió el éxito y fracaso de nuevas pe
queñas empresas (con menos de cinco empleados) en su
ciudad. Al hacerlo, determinaron los gastos promedio en
que incurrieron el primer año y los ingresos promedio que
obtuvieron en el mismo periodo, como se muestra en la
gráfica de barras a la derecha. Calcule la utilidad prome
dio que lograron durante el primer año, restando los gas
tos promedio del primer año del ingreso promedio del
mismo periodo.
Reto
Gastos
($1,000)
Ingreso
($ 1,000)
40 30 20 10
-28
10 20 30 40 50 60
145. Realice esta operación: 1 - 2 + 3 - 4 + -- - + 9 9 ~ 100. (Sugerencia: Agrupe los números en parejas.)
146. Realice esta operación: 1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + 7 + 8 - 9 + 1 0 + 1 1 - 12 + ••• + 22 + 23 - 24. (Sugerencia: Exa
mine grupos de tres números.)
(1) • |—
2| •( —
3) •|4| •( —
5)
147. Realice esta operación: -— ¡------------ ¡— ¡--------¡— -. 148. Realice esta operación:
( l)( - 2 )( 3 ) (- 4 )( 5 ) -( 9 7 )( - 9 g )
( 1)(2)( 3)(4)( 5) - (—
97)(98) *
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.2] 149. Responda verdadero o falso:Todos los números ra
cionales son números reales.
150. Liste el conjunto de los números naturales.
151. Considere el conjunto {3, 4, -2 , V 3 , o}. Liste
los elementos que son
a) números enteros,
b) números racionales,
c) números irracionales,
d) números reales.
152. A = {4,7,9,12}; B = {1, 4, 7,15}. Determine
a) i4 U 8 ,
b) A D B .
153. Ilustre {x| - 4 < x ^ 6} en una recta numérica.
I 1 .4 O R D E N D E L A S O P E R A C IO N E S
a
t
1 Calcular expresiones exponenciales.
2 Calcular raíces cuadradas y raíces de orden superior.
3 Calcular expresiones por m edio del orden de las operaciones.
4. Calcular expresiones que contengan variables.
5 Calcular expresiones con una calculadora graficadora.
A ntes d e estudiar el orden d e las operaciones, es necesario q u e hablem os brevem en
te acerca d e los exponentes y las raíces. Analizarem os m ás a fondo los exponentes en
las secciones 1.5 y 7.2.
1 C a lc u la r e x p re s io n e s e x p o n e n c ia le s
E n un problem a d e m ultiplicación, los núm eros o expresiones q u e se m ultiplican
reciben el nom bre d e factores. Si a-b = c,entonces a y b son factores d e c. Por ejemplo,
com o 2 - 3 = 6 , entonces 2 y 3 son factores d e 6. E l núm ero 1 es un factor d e todo
núm ero y expresión. ¿Puede explicar p o r qué?](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-57-320.jpg)
![Sección 1.4 • O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 3 3
— C ó m o utilizar su ca lcu la d o ra
Cálculo de raíces co n una calculadora científica
Para determ inar las raíces cuadradas con una calculadora,se em plea la tecla correspondiente, [ V * [ . Para calcular V 25
en las calculadoras q u e tienen esta tecla, presione
i resu lta d o m o strad o
25 V * 5
Las raíces d e o rd en superior p u ed en determ inarse en calculadoras q u e tien en la tecla V y
Para calcular ^ 6 2 5 en una calculadora con la tecla V y , haga lo siguiente:
i resu lta d o m o strad o
o la tecla
625
Observe q u e el número que está dentro del signo radical (el radicando),625,se introduce prim ero, luego se presiona
la tecla ' ^ y y despuésse introduce la raíz (o índice),4. Cuando se presiona la tecla [ ^ ] aparece la respuesta: 5.
Para calcular ^625 en una calculadora con la tecla | y x ^utilice la tecla “inverso” com o sigue:
j resu lta d o m o strad o
625 ' IN V 0 4 0 5
•L a s tecjas p u e d e n v ariar e n c a d a c alcu la d o ra . A lg u n as tie n e n las teclas L i li o e n lugar d e la te c la [ ¿ J y o tra s tie n e n u n a tecla
o i sh ifl I e n lu g a r d e la tecla 1N V .
Cóm o utilizar su ca lcu la d o ra g ra fica d o ra
Cálculo de raíces con una calculadora graficadora
Para determ inar la raíz cuadrada en una calculadora graficadora, use V - . Por lo general, el sím bolo V - aparece
arriba d e la tecla | x 2 , así q u e usted tendrá q u e presionar la tecla 121
*11p ara calcular raíces cuadradas. Por ejem
plo, p ara calcular V 5 5 presione
[2a ] [ x* 25 1E N T E R 5 <
----- resultado mostrado
O tando presiona [2nd] | x 2 , la calculadora Texas Instrum ents T I-8 3 Plus genera V - (. Luego usted inserta el ra
dicando y presiona E N T E R . para aprender a calcular raíces cúbicas y d e orden superior, consulte el m anual
de su calculadora graficadora. C on la T I-8 3 Plus, puede usar la tecla
varias opciones, incluyendo la 4 y la 5, q u e se m uestran a continuación.
4: V ~( 5
M A TH . O tando la presione obtendrá
La opción 4 puede usarse p ara calcular raíces cúbicas, y la opción 5 p ara determ inar raíces d e orden superior, co
mo se m uestra en los siguientes ejemplos.
E J E M P L O
Solución
Calcule: ^ 1 2 0 .
M A TH 4 120
s e le c c io n é in tro d u zca
la o p c ió n 4 e l rad ican d o
E N T E R
l----------
4.932424149
resu lta d o m o strad o
(continúa en la página siguiente)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-61-320.jpg)
![3 4 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
Para determ inar una raízcon un índice m ayor q u e 3,prim ero introduzca el índice, luego presione la tecla
y después la opción 5.
M A TH
E J E M P L O Calcule: ^ 6 2 5 .
S o lu c ió n
índice
/
M A TH 5 625
* >
— —
sele c c io n e 7 in tro d u zca
la o p c ió n e l rad ican d o
E N T E R
resu lta d o m o strad o
Cuando estudiem os los exponentes racionales en la sección 7.2, m ostrarem os o tra form a d e determ inar raí
ces e n una calculadora graficadora.
AHOR A RESUELVA EL EJERCICIO 37
3 C a lc u la r e x p re s io n e s p o r m e d io d el o rd e n d e las o p e ra c io n e s
M uchas veces usted tendrá q u e calcular expresiones q u e contienen varias operaciones.
Para hacerlo, siga el orden de las operaciones que se indica a continuación.
O rd e n d e las o p e ra c io n e s
Para calcular expresiones matemáticas, utilice este orden:
1. Primero calcule las expresiones que están dentro de símbolos de agrupación, in
cluyendo los paréntesis ( ), los corchetes [ ],y las llaves { }. Si la expresión con
tiene símbolos de agrupación anidados (una par de símbolos de agrupación
dentro de otro), calcule primero las expresiones que están dentro de los símbolos
de agrupación más internos.
2. Después calcule todos los términos que tengan exponentes y raíces.
3. A continuación realice todas las multiplicaciones y divisiones, en el orden en que
aparezcan, trabajando de izquierda a derecha.
4 Pbr último, realice todas las sumas y restas en el orden en que aparezcan, traba
jando de izquierda a derecha.
Es necesario aclarar q u e la barra de fracción actúa com o un símbolo d e agrupación. Por
lo tanto, cuando se calculan expresiones q u e contienen una barra d e fracción, se tra
baja d e form a separada arriba y abajo de la misma.
Los corchetes se usan con frecuencia en lugar d e paréntesis p ara evitar confusio
nes. Por ejem plo, la expresión 7((5 • 3 ) + 6 ) es más fácil d e seguir cuando se escribe
7[(5 • 3) + 6]. R ecuerde calcular prim ero el grupo más interno.
E J E M P L O 7 C alcule8 + 3 • 52 - 7.
Solución U sarem os un som breado p ara indicar el orden en el q u e se realizan las operaciones.
Com o en esta expresión no hay paréntesis, prim ero calculam os 52.
8 + 3 - 5 2 - 7 = 8 + 3 - S 2 - 7
D espués realizam os las multiplicaciones y divisiones d e izquierda a derecha.
= 8 + 75-7
Por últim o, realizam os las sum as y restas d e izquierda a derecha.
= 8 3 - 7
= 76 #](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-62-320.jpg)
![Sección 1.4 • O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 3 5
E J E M P L O 8 Calcule: 10 + {6 - [4(5 - 2)]}2.
S o l u c i ó n Prim ero, trabaje con la expresión q u e está dentro d e los paréntesis más internos. C on
tinúe d e acuerdo con el orden d e las operaciones.
10 + {6 - [4(5 - 2)]}2 = 10 + {6 - [4(3)]}2
= 10 + [6 - (12)]2
= 10 + (-6 )2
= 10 + 36
AHOR A RESUELVA EL EJER CICIO 7 7 = 46 #
E J E M P L O 9 Calcule: 1 + ^ ^
S o l UCÍÓn R ecuerde q u e la barra d e fracción actúa com o un sím bolo d e agrupación. T rabaje de
m anera separada las operaciones q u e están arriba y abajo d e la barra d e fracción.
6 + + 5|7 —3| 6 f | + 5|4|
l + ( 3 - 5 ) + 2 ” l + (-2 ) + 2
12 + 20
" 1 + ( - 1 )
= —
0
Com o la división entre cero no es posible, la expresión original no está definida. #
4- E v a lu a r e x p re s io n e s q u e c o n te n g a n v a ria b le s
Para evaluar expresiones m atem áticas usamos el orden d e las operaciones q u e acaba
d e explicar. E l ejem plo 10 es un problem a d e aplicación en el q u e lo hacemos.
E J E M P L O 1 O R em edios alternativos La frustración q u e en ocasiones provoca la m edicina con
vencional ha llevado a m uchos estadounidenses a intentar rem edios alternativos, tales
com o vitam inas, hierbas y o tro s com plem entos disponibles sin la prescripción del
doctor. Las ventas aproxim adas d e tales com plem entos entre 1995 y 2002, en miles de
m illones d e dólares, puede calcularse p o r medio d e la ecuación
ventas = -0.063a
:2 + 1.62a
: + 9.5
en donde x representa los años desde 1995. E n la expresión q u e está a la derecha del
signo de igualdad, sustituya x por 1 p ara calcular las ventas d e com plem entos en 1996,
x p o r 2 p ara estim ar las ventas d e com plem entos en 1997, y así sucesivamente.
Calcule las ventas d e com plem entos durante a) 1996 y b) 2000.
S o l u c i ó n a ) Sustituirem os x por 1 p ara estim ar las ventas d e com plem entos en
1996.
ventas = -0.063.*2 + 1.62a: + 9.5
= -0.063(1)2 + 1.62(1) + 9.5
= -0.063 + 1.62 + 9.5
= 11.057
Por lo tanto, en 1996 se vendieron com plem entos con un valor d e alrededor d e $11.057
miles d e millones en Estados Unidos.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-63-320.jpg)
![Sección 1.4 • O rd e n de las o p e ra cio n e s • 3 7
E N T E R , aparecerá
diferente d e la variable. L ea el m anual d e su calculadora graficadora p ara aprender
cómo realizar cálculos con una expresión p ara diferentes valores d e la variable sin tener
q u e reintroducirla cada vez. E n la T I- 8 3 Plus, después de calcular una expresión p ara
un valor d e la variable,puede presionar | 2 nd 11 E N T E R | para desplegar el valor asig
nado previam ente y la expresión a calcular. D espués puede reem plazar el valor q u e fue
asignado a X con el nuevo valor. Luego d e hacerlo y presionar
la nueva respuesta.
La pantalla d e la calculadora q u e se m uestra en la figura 1.9 ilustra dos puntos
im portantes respecto d e las calculadoras graficadoras.
L O bserve los paréntesis alrededor d e 2/3. Algunas calculadoras graficadoras inter
pretan 2/Z3*2 com o 2/(3*2). Para calcular §*2 en ellas, deb e usar paréntesis alre
d ed o r d e 2/3. E s necesario q u e aprenda cóm o trab aja su calculadora con
expresiones tales com o 2/3X2. Siempre que tenga duda, utilice paréntesis para pre
venir posibles errores.
2. E n la pantalla observará q u e el signo negativo q u e precede a 2.3 es ligeram ente
m enor y está m ás arriba q u e el signo d e resta q u e antecede al núm ero 4 en la
expresión. Por lo regular, las calculadoras graficadoras tienen una tecla d e signo ne
gativo, ( ~ ) , y o tra p ara el signo d e sustracción, D eb e estar seguro de
utilizar la tecla correcta u ob ten d rá un resultado erróneo. L a tecla del signo nega
tivo se usa p ara introducir un número negativo. L a tecla d e sustracción se em plea
p ara restar una cantidad d e o tra. Para introducir la expresión - x - 4 en una
calculadora gráfica, podría presionar
E JE M P L O 12
3+X:0.71X2+2.16X
+145.39
158.26
8+X:0.71X2+2.16X
+145.39
208.11
F IG U R A 1.10
Solución
H l | x , T , 0 , n | P 1 4
T
signo
negativo
T
resta
R ecuerde q u e - x - 4 significa - l x - 4. Al iniciar con [ ( ~ ) [ usted introduce el coe
ficiente - 1 . D iferentes calculadoras usan teclas distintas p ara introducir la variable x.
La tecla que se muestra después del signo negativo, es la q u e se utiliza en la calculadora
T I-8 3 Plus.
Precio prom edio de venta de viviendas Tasas bajas d e interés, facilidad p ara obtener
créditos y una fuerte dem anda d e la clase m edia mantuvieron bajo control el precio p ro
m edio d e venta d e las viviendas en Estados U nidos en tre 1992 y 2001. E l precio p ro
medio d e una casa,en miles d e dólares,durante ese periodo puede estim arse m ediante
esta ecuación:
precio prom edio d e venta = 0.71*2 + 2.16* + 145.39
en donde * representa los años desde 1992. E n la expresión q u e está a la derecha del
signo igual, sustituya * por 1 p ara calcular el precio prom edio d e venta d e una casa en
1993,* por 2 para calcular el precio prom edio d e venta en 1994, y así sucesivamente.
Si cuenta con ella, utilice una calculadora graficadora para calcular el precio prom edio
d e venta d e una casa en a) 1995 y b) 2000. Fuente: Asociación Nacional d e C orredo
res d e Bienes Raíces (de Estados Unidos).
a) Al año 1995 le corresponde el valor * = 3, d e m odo q u e com ience p o r asignar a*
un valor d e 3; luego introduzca la expresión y presione | E N T E R ]. E n la figura 1.10
se m uestra la pantalla de una calculadora T I -8 3 Plus con el cálculo p ara expresión
cuando el valor es * = 3. Com o puede ver, el precio prom edio d e venta d e una casa en
1995 fue de aproxim adam ente 158.26 miles d e dólares, es decir, $158,260.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-65-320.jpg)
![3 8 • C apítulo 1 • C o n c e p to s básicos
b) Como 2000 - 1992 = 8, al año 2000 le corresponde el valor x = 8. A signe prim ero
a x un valor d e 8 ; después vuelva a introducir la expresión y presione E N T E R
Com o puede ver en la figura 1.10,el precio prom edio d e venta d e una casa en 2000 fue
d e aproxim adam ente 208.11 miles d e dólares, es decir, $208,110. #
SU G ERENCIA Siem pre revise la pantalla d e su calculadora p ara asegurarse d e q u e no presionó
alguna tecla p o r error ni om itió algún dato. O bserve q u e no es necesario introdu
cir el 0 antes del punto decim al en térm inos com o - O J lx 2.
C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1.4
Ejercicios conceptuales
h C b n s id e re la e x p r e s ió n an y re s p o n d a :
a) ¿ C ó m o s e d e n o m in a a e n e s ta e x p re s ió n ?
b) ¿ C ó m o s e d e n o m in a ni
2 . ¿ C u á l e s e l s ig n ific a d o d e a ” ?
3 . C b n s id e re la e x p r e s ió n ra d ic a l /a .
a) ¿ C ó m o s e d e n o m in a n e n e s ta e x p re s ió n ?
b) ¿ C ó m o s e d e n o m in a a?
4 . S i = b, ¿ q u é sig n ific a ?
5 . ¿ C u á l e s la ra íz c u a d r a d a p rin c ip a l d e u n n ú m e ro p o sitiv o ?
6 . E x p liq u e p o r q u é V ^ 4 n o p u e d e s e r u n n ú m e ro re a l.
7 . E x p liq u e p o r q u é u n a ra íz im p a r d e u n n ú m e ro n e g a tiv o
s e r á n e g a tiv a .
8 . E x p liq u e p o r q u é u n a ra íz im p a r d e u n n ú m e ro p o sitiv o s e
rá p o s itiv a .
9. Explique con sus propias palabras el orden de las opera-
dones que se debe seguir cuando se evalúa una expresión
matemática.
10. a) Explique con sus propias palabras y paso a paso cómo
calcularía la siguiente expresión
5 - 18 -s- 32
4 - 3-2
b) Realice los cálculos y dé el resultado de la expresión
anterior.
11. a) Explique con sus propias palabras y paso a paso cómo
calcularía 16 -s- 22 + 6 •4 - 24 h- 6.
b) Realice los cálculos y dé el resultado de la expresión
anterior.
12. a) Explique con sus propias palabras y paso a paso cómo
calcularía {5 - [4 - (3 - 8)]}2.
b) Realice los cálculos y dé el resultado de la expresión
anterior.
Problemas de aplicación
Resuelva cada expresión sin utilizar una calculadora.
13. 32 14. ( - 4 ) 3 15. - 3 2 16.
17. ( -3 )2
- ( I T » • - ( ! T
20.
2L
- ( - ! ) ’
22. V I44 23. -V 3 6 24.
25.
3/-216
*■ V 343
27. ^0.001 28.
—
43
(0.3)2
V ^64
T
Utilice una calculadorapara resolver cada expresión. Redondee las respuestas al milésimo más cercano.
29. (0.35)4 30. -(1 .7 )3-9 31. 32.
33. (6.721)5.9
34. V92 35. ^ 5 36. - < / ñ J
15](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-66-320.jpg)
![Calcule a) x2y b) - x 2para cada valor dado de x
4L 3 42. 4 43. 1 44. -2
45. -1 46. - 5 & 47. | 48. - |
Calcule a) x*y b) -x 3para cada valor dado de x.
49. 3 50. - 5 51. - 3 5Z -1
Sección 1.4 • O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 3 9
Calcule cada expresión.
57. 32 + 23 - 22 - 33 58. ( -1 )2 + ( - 1 ) 3 - l4 + l5 £ 59. - 2 2 - 23 + l10 + ( - 2 ) 3
60. ( - 3 ) 3 - 22- ( - 2 ) 2+ (4 - 4)2 6L (1.5)2 - (3.9)2 + (-2 .1 )3 61 (3.7)2 - (0.8)2 + (2.4)3
“ g H -B J +íf
Calcule cada expresión.
65. 2 + 5-8 66. (2 - 7 ) + 5 + 1 67. 1 8 - 6 + 6 + 5
68. 4*3 -s- 6 - 2 2 69.
3
— —
4
i - 2 + 2 + 4
2
70. 3 -4 - 1 2 + |
7L
1 . 2 . 3 _ 1 / 1
2 3 4 6 V 3 /
72. 3[4 + (-2 )(8 )] + 33 73. 10 + [(3 + 22) - (24 - 8)]
74 [3 - (4 - 23)2]2 75. 5 (^ T ¡ + ^ 1 6 ) : V J°° 76. {3 + [42 - 3(2 - 7)] - 3 )2
77. {[(12 - 15) - 3] - 2}2 78. 3{6 - [ ( 2 5 + 5) - 2]}3 79. 4(5(13 - 3) + (25 + 5)2]2
80.
15 + 3 + 2 -2 ^
81.
4 - (2 + 3)2 - 6 2 (—
3) + 4 -5 - 32
V 25 + 5 + 8 + 2 4(3 - 2) 32 824 - 6 + V5(22 - 1)
83.
8 + 4 r 2 - 3 + 4
84.
- i
+ 4
8 - [4 - (3 - l ) 2]
52 - 32•2 - 7
z
5 - ( -3 )2 + 4 + 2
86. 12 - 15 -i- |5| - (|4| - 2)2 87. "2 - 3 | - V 36 + |2| + 32
4 - |—
12| + |3|
2 ( 4 - |5 |) + 9
89.
6 - |-4 | - 4|6 - 3|
90. - i [ 8 - |-6 | + 3 - 4]2
5 - 6*2 -i- |-6 |
91. |[ > f é 7 - |- 9 | + 4 - 3 2]2
3(5 -
o?
2)2 2(32 - 42)
^ - 3 4 - (-2 )
93.
24 - 5 - 42 4 - ( - 3 ) 2 + 4| - 2 - 8 + 4 ! -18| [(8 - 3)2 - 4]2
|-8 | + 4 - 2 ( 3 ) 32 - 4*3 + |--7| 94 |8| - VB4 ' 22 + 16
Calcule cada expresión para el valor o valores dados.
95. 5*2 + 3* cuando x = 2 96. 5*2 - 2x + 5 cuando x = 3
97. -9 * 2 + 3* - 29 cuandox = - 1 98. 3(* - 2)2cuando* = j
99. 16(* + 4)3 - 25(* + 4) cuando* = - 3 100. -6 * + 3 / cuando * = 2, y = 4
101. 6*2 + 3y3 - 5 cuando * = 1, y = - 3 102. 4*2 - 3y - 5 cuando * = 4, y = - 2](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-67-320.jpg)
![4 0 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
S 103. 3(a + b)2 + 4(a + b) - 6 cuando a = 4, b = -1
105. - 6 - {* - [2* - (x - 3)]} cuando* = 4
- b + V b 2 - 4ac
107.
2a
cuando a = 6 ,b = -11, c = 3
104. - 3 - [2x ~ [5* - (2* + 1)]} cuando* = 3
(* - 3f (y + 5)2
106. ---- + ------77---- cuando * = 4, y = 3
108.
9 16
- b - Vfr2 ~ 4ac
2a
cuando a = 2, b = 1, c = -1 0
Resolución de problemas
En los ejercicios 109 a 113, escriba una expresión algebraicapara cada problema* Luego calcule la expresiónpara el valor dado de la
variable o variables.
109. Multiplique la variable y por 7. Del producto que obtenga
reste 14.Ahora divida esta diferencia entre 2. Determine
el valor de esta expresión cuando y = 6.
110. Reste 4 de z .Multiplique esta diferencia por 5. Ahora ele
ve al cuadrado el producto. Determine el valor de esta ex
presión cuando z = 10.
í ~ 111. Sesuma 6 al producto de 3 y *. Esta expresiónse multiplica
después por 6. Luego se resta 9 del producto. Determine
el valor de la expresión cuando * = 3.
0 Utilice una calculadorapara responder los ejercicios 114 a 121.
114. Centenarios A las personas que viven 100 años o más se
lesconoce como centenarios. De acuerdo con la Oficina de
Cénsos de Estados Unidos, los centenarios conforman el
grupo de edad que crece más rápido en el mundo. El nú
mero aproximado de centenarios que viven o vivirán en
Estados Unidos entre los años 1995 y 2050,en miles, pue
de estimarse mediante la ecuación
número de centenarios = 0.30*2 - 3.69* + 92.04
en donde * representa los años desde 1995. Sustituya * por
1 para determinar el número de centenarios que había en
1996,* por 2 para encontrarel número de centenarios que
había en 1997,y así sucesivamente.
a) Estime el número de centenarios que vivían en Estados
Unidos en 2000.
b) Estime el número de centenarios que vivirán en Esta
dos Unidos en 2050.
Fuente:Oficina de Censos de Estados Unidos.
115. Transportepúblico El aumento en el precio de la gasolina
y el creciente problema de congestionamientos de tránsito
en lasprincipales ciudades de Estados Unidos han provoca-
cb queel transporte público se utilicecada vez más Para cal
cular el número aproximado de viajesen transporte público
realizadoscada añoentre 1992y 2001 en Estados Unidos,en
milesde millones, puede calcularse usando la ecuación
número de viajes = 0.065*2 - 0.39* + 8.47
en donde * representa los años desde 1992.Sustituya * por
1 para calcular el número de viajes realizados en 1993, *
par 2 para calcular el número de viajes hechos en 1994,y
asísucesivamente.
a) Calcule el número de viajes realizados en transporte
público en 2000.
b) Suponga que la tendencia de aumento continúa. Calcu
le el número de viajes que se realizarán en 2010.
Fuente: Asociación Estadounidense de Transporte
Público.
112. La suma de * y y se multiplica por 2. Después se resta 5 de
este producto. Luego, esta expresiónse eleva al cuadrado.
Determine el valor de la expresión cuando * = 2 y y =
-3.
113. Se suma 3 a *. El resultado se divide entre el doble de y.
Luego, el cociente resultante se eleva al cuadrado. Por úl
timo,se resta 3 de esta expresión. Determine el valor de la
expresión cuando * = 5 y y = 2.
116. Dióxido de carbono Desde 1905, la cantidad de dióxido
de carbono (C 02) presente en la atmósfera terrestre ha
ido aumentando. La producción total de C 02de todos los
países, excepto Estados Unidos, Canadá y las naciones de
Europa Occidental (medida en millones de toneladas mé
tricas) puede calcularse mediante la ecuación
C02 = 0.073*2 - 0.39* + 0.55
endonde * representa cada periodo de 10 años desde 1905.
Sustituya * por 1 para calcular la producción de C 0 2en
1915,* por 2 para calcular la producción de C 0 2en 1925,
* por 3 para calcularla en 1935,etcétera.
a) Determine la cantidad aproximada de CO?producida
por todos los países (excepto Estados Unidos, Canadá
y las naciones de Europa Occidental), en 1945.
b) Suponga que esta tendencia de aumento continúa; de
termine la cantidad aproximada de C 0 2producida por
todos los pafces (excepto Estados Unidos, Canadá y las
naciones de Europa Occidental) a i 2005.
Véase el ejercicio 115](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-68-320.jpg)
![Sección 1.4 • O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 4 1
bu 117. Niños auíosuficientes El número de niños autosuficien-
tes, es decir, niños que se cuidan solos mientras sus padres
trabajan, aumenta en relación directa con la edad. El por
centaje de niños de edades diferentes, de 5 a 14 años,que
son autosuficientes puede calcularse mediante la ecuación
porcentaje de niños = 0.23*2 - 1.98* + 4.42.
El valor de x representa la edad de los niños. Por ejemplo,
sustituya x por 5 para obtener el porcentaje de todos los
niños autosuficientes de 5 años;sustituya x por 6 para ob
tener el porcentaje de todos los niños autosuficientes de 6
años, etcétera.
a) Determine el porcentaje de todos los niños autosufi-
cientes de 10 años.
b) Determine el porcentaje de todos los niños autosufi
cientes de 14 años.
118. Lectoresdeperiódicos El número de estadounidenses que
acostumbran leer periódicos va constantemente a la baja.
El porcentaje de lectores de periódicos puede calcularse
mediante la ecuación
porcentaje = - 6.2* + 82.2
en donde * representa cada periodo de 10 años desde 1960.
Sustituya * por 1para obtenerel porcentaje para 1970;pa
ra 1980sustituya * por 2;sustituya * por 3 para obtener el
porcentaje para 1990,etcétera.
a) Determine el porcentaje de estadounidenses adultos
que leían periódicos en 1970.
b) Suponiendo que esta tendencia a la baja continúe, de
termine el porcentaje de estadounidenses adultos que
leerán periódicos en 2010.
119. Cultivos orgánicos El aumento del temor que provoca
el uso de pesticidas y la manipulación genética de las co
sechas, ha ocasionado que las personas tiendan cada vez
más acomprar alimentos cultivados de manera orgánica.
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.2] 122. A = [a, b, c, d,f , B = Determine
a) A H B,
b) A U B.
[1.3] En los ejercicios123 a 125, la letra a representa un número
real. ¿Paraqué valores de a será verdaderacada afirmación?
123. U = |-fl|
Entre 1990 y 2001, las ventas,en miles de millones de dó
lares, de alimentos cultivados de manera orgánica puede
calcularse por medio de la ecuación
ventas = 0 .062*2 + 0.020* + 1.18
en donde * representa los años desde 1990.Sustituya * por
1para calcular las ventas de alimentos cultivados de ma
nera orgánica en 1991, sustituya * por 2 para estimar las
ventas en 1992,y asísucesivamente.
a) Calcule las ventas de este tipo de alimentos en 1991.
b) Calcule las ventas de este tipo de alimentos en 2001.
120. Afiliación asindicatos El número de trabajadores sindica-
izados ha estadocambiando en Estados Unidos. Entre 1983
y2001, la afiliación, considerada como un porcentaje de la
fueiza laboral total,puede calcularse usando la ecuación
porcentaje de trabajadores sindicalizados =
0.016*2 - 0.62* + 19.69
en donde * representa los años desde 1983.Sustituya * por
1 para calcular el número de trabajadores sindicalizados
como un porcentaje de la fuerza laboral total en 1984, *
por 2 para estimar el porcentaje en 1985,etcétera.
a) Calcule el número de trabajadores sindicalizados como
un porcentaje de la fuerza laboral total en 1991.
b) Calcule el número de trabajadores sindicalizados co
mo un porcentaje de la fuerza laboral total en 2001.
Fuente: Oficina de Estadísticas Laborales de Estados
Unidos.
121. Teléfonoscelulares El uso de teléfonos celulares está au
mentando en la actualidad. El número de usuarios de ce
lulares,en millones, puede calcularse mediante la ecuación
número de usuarios = 0.42*2 - 3.44* + 5.80
en donde * representa los añosdesde 1982.Sustituya* por 1
para obtener el número de usuarios en 1983,* por2 para ob
tener el número de usuarios en 1984,y asísucesivamente.
a) Determine el número de usuarios de teléfonos celula
res en 1989.
b) Determine el número de usuarios de teléfonos celula
res en 2002.
124 |a| = a
125. a = 4
126. Liste de menor a mayor: —16|, -4 , |-5 |, - |- 2 |,0 .
127. Señale el nombre de esta propiedad: (2 + 3) + 5 =
2 + (3 + 5).](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-69-320.jpg)
![Reto
5 2 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
En la sección 7.2 aprenderá que las reglas de los exponentes que acabamos de presentar, también se aplican cuando los exponentes
son números racionales. Con base en esta información y en las reglas délos exponentes, resuelva cada expresión.
( *
4Y
b ) 139.
b J
x w y - w / , v y V
*5^5/3 142.
UV'V
Actividad en equipo_____________
Analice y responda en equipo el ejercicio 143.
143. Centavos que crecen El día 1 se le da un centavo. Cada
m o de los días que siguen se le dará el doble de la canti
dad que se le entregó el día anterior.
a) Escriba lascantidades que le darían en cada uno de los
primeros 6 días.
b) Señale cada uno de estos números como una expresión
exponencial con una base de 2.
c) Buscando un patrón, determine una expresión expo
nencial para el número de centavos que recibirá el
día 10.
Ejercicios de repaso acumulativo
d) Escriba una expresión exponencial general para el nú
mero de centavos que recibirá el día n.
e) Escriba una expresión exponencial para el número de
centavos que recibirá el día 30.
f) Calcule el valor de la expresión en la parte e). Si tiene
calculadora, utilícela.
g) Determine la cantidad, en pesos, que obtuvo como re
sultado en la parte f).
h) Escriba una expresión exponencial general para el nú
mero de pesos que recibirá en el día n.
[1.2] 144. Si A ={3, 4, 6} y B = {1, 2, 5, 8}, determine [1.4] 146. Calcule: 6 + |l2| -r |- 3 | - 4 -2 2.
a M U B y h M n * . 147.Evalúale '3/-T2S.
145. Ilustre el siguiente conjunto en la recta numérica:
{*1-3 < * < 2}.
1 .6 N O T A C I Ó N C IE N T IF IC A
f l ¡Sé
1 Escribir núm eros en notación científica.
2 Cam biar núm eros en notación científica a form a decimal.
3 Usar notación científica en la resolución de problemas.
1 E s c rib ir n ú m e ro s e n n o ta c ió n cien tífica
C on m ucha frecuencia, los científicos e ingenieros tienen q u e trabajar con núm eros
muy grandes y muy pequeños. Por ejem plo, la frecuencia d e la señal d e un radio FM
puede ser d e 14,200,000,000 hertz (o ciclos p o r segundo), y el diám etro d e un átom o
d e hidrógeno es de alrededor d e 0.0000000001 metros. D ebido a la dificultad q u e im
plica trabajar con m uchos ceros, a m enudo los científicos expresan tales núm eros con
exponentes. Por ejem plo, el núm ero 14,200,000,000 podría escribirse com o 1.42 X 1010
y 0.0000000001 com o 1 X 10~10. Esta representación abreviada se conoce com o notación
científica. E n notación científica, los núm eros aparecen com o un número m ayor o igual
a 1 y m enor q u e 10, m ultiplicado p o r alguna potencia d e 10. E l exponente d e 10 d e
be ser un entero. C uando una potencia d e 10 no tiene coeficiente num érico, com o](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-80-320.jpg)
![5 6 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
Así, alrededor d e $1.94256 X 1011 o $194,256,000,000 fueron recaudados a partir de
los ingresos personales m ediante im puestos en 2000.
b) En 1970 se recaudó $4,800 X 1010en impuestos. E n 2000 se recaudaron $5.396 X 1011
p o r el mismo concepto. Para determ inar la diferencia en estas cantidades, restarem os
el m onto recaudado en 1970 del recaudado e n 2000. Escribim os 4.800 X 1010com o
480 X 1010y restam os com o sigue:
d iferencia e n im puestos recaudados = 5.396 X 1 0 " - 4.80 x 1010
= 53.96 X 1010 - 4.80 X 1010
= (53.% - 4.80) X 1010
= 49.16 X 1010
= 4.916 X 1 0 "
Por lo tan to , $4.916 X 1011 o $491,600,000,000 m ás fu ero n recaudados e n 2000 q u e
e n 1970.
c) Para determ inar el número de veces que fue m ayor la cantidad recaudada en 2000
q u e en 1970, dividimos com o sigue:
n ú m ero d e veces m ayor = -
m onto recaudado en 2000
m onto recaudado en 1970
5.396 x 101
1
4.80 X 1010
5 3 9 6 -MI_10
4.80 * 10
« 1.1242 X 10*
Así, la cantidad recaudada en 2000 fue alrededor d e 1.1242 X 101u 11.242 veces m a
yor q u e la cantidad recaudada en 1970.
d) A partir d e los resultados obtenidos en las partes b) y c), sabem os q u e se recaudó
una cantidad d e im puestos m uy superior en 2000 q u e en 1970. Las gráficas m uestran
que un porcentaje más pequeño en 2000 proviene d e los im puestos sobre las ventas
(47% contra 57% ),y un porcentaje más grande proviene del impuesto sobre el ingre
so personal (36% contra 19% ). Tam bién hay cam bios m enores en los porcentajes de
los otros sectores. #
3.2E12. En ambos casos se representa 3.2 X 1012,que es igual a 3,200,000,000,000.
Para introducir números en notación científica en una calculadora científica o en una calculadora graficadora, por
b común se utilizan las teclas E E E X P E E ,o bien, 4.6. La pan-
. Para introducir 4.6 X 10®,se debe presionar 4.6
talla de su calculadora podría mostrar 4.6 °8, o bien,4.6E8.
En la T I-8 3 Plus, la leyenda EE aparece debajo de la tecla [T . Por lo tanto, para introducir (8,000,000)(400,000)
en notación científica presionaría
8 J ^ j ] [7]6 [ x ] 4 T|5 E N T E R
r resultado mostrado
3.2E12
para activar EE para activar EE](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-84-320.jpg)
![Reto
6 0 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
79. Ano luz Un año luz es la distancia que recorre la luz du
rante 1 año solar.
a) Determine el número de millas en un año luz,si la luz
viaja a 3 X 105kilómetros por segundo.
b) SlaTierra está alejada del Sol por 150,000,000 kilóme
tros, ¿cuánto tarda la luzdel Sol en llegar a la Tierra?
c) Nuestra galaxia, la Vía Láctea, tiene una longitud de
casi 1 X 1017kilómetros. Si una nave espacial viajase a
la mitad de la velocidad de la luz, ¿cuánto tardaría en
ir de un extremo a otro de la galaxia?
R e s u m e n d e l c a p i t u l o
Términos y frases importantes
1.2
C onstante
Núm eros p ara contar
Elementos de un conjunto
Puntos extrem os
Expresión
D esigualdades
Enteros
Intersección de conjuntos
Núm eros irracionales
Núm eros naturales
Conjunto vacío (o nulo)
O peraciones
Núm eros racionales
N úm eros reales
Form a d e lista
Conjunto
N otación d e construcción
d e conjuntos
Subconjunto
U nión d e conjuntos
Variable
E nteros no negativos
1 .3
Valor absoluto
Idéntico aditivo
Inverso aditivo
Propiedades asociativas
Propiedades conmutativas
Propiedad distributiva
Idéntico multiplicativo
Inverso multiplicativo
O puestos
Propiedades d e los núm e
ros reales
Recíproco
1 . 4
Base
Exponente
Expresión exponencial
Factor
Calculadora graficadora
Indice
O rden d e las operaciones
R aíz cuadrada principal
Signo radical
Radicando
Expresión indefinida
1.6
N otación científica
H e c h o s i m p o r t a n t e s
Conjuntos de núm eros
Núm eros reales
Núm eros naturales o p ara contar
Núm eros enteros no negativos
Enteros
Núm eros racionales
Núm eros irracionales
{*|* es un p u n to d e la recta num érica}
{1,2, 3 ,4 ,5 ,...}
{0,1,2, 3,4,...}
{ . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3, ...}
p y q so n en tero s, q * 0
{*1* es un núm ero real q u e no es racional}
Desigualdades en la recta d e los n úm e ros reales
{ x x > a } ^_____j*
{ x x < a )
{xa < x < b]
(continúa en la página siguiente)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-88-320.jpg)
![Ejercicios de repaso del capítulo
6 2 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
[1.2] Exprese cada conjunto en forma de lista.
L A = {x|* es un número natural entre 3 y 8}. 2. B = {*|* es un entero no negativo múltiplo de 3}.
Sea N = conjunto de los números naturales, W = conjunto de los enteros no negativos, Z = conjunto de los enteros, Q = conjunto de
números racionales, I = conjunto de números irracionales, y R = conjunto de números reales. Determine si el primer conjunto es un
subconjunto del segundo conjunto para cada pareja.
3. N ,W 4. Q, 5. /, 6. Q J
Considere el conjunto de números {-2, 4,6, V f , V 3 ,0, ¿f, - j, 1.47}. Usté los elementos del conjunto que son:
7. números naturales. 8. enteros no negativos. 9. enteros.
10. números racionales. 11. números irracionales. 12 números reales.
Indique si cada afirmación es verdadera o falsa.
13. y no es un número real.
15. Un número real no puede dividirse entre cero.
Determine A U B y A D B para cada conjunto A y B.
17. A = {X 2, 3, 4,5, 6}, B = {2, 4, 6, 8,10}
19. A = {1,3, 5, 7, ...} ,« = {2, 4, 6, 8, ...}
Ilustre cada conjunto en la recta numérica.
2L {*|* > 5} 2 2 {xx ^ -2 }
14. 0, | , -2 , y 4 son números racionales.
16. Todos los números racionales y todos los números irracio
nales son números reales.
18. A = {3, 5,7, 9}, 8 = {2,4, 6, 8}
20. A = {4,6,9,10,11 },B = {3,5, 9,10,12}
23. {jr|—
1.3 < x £ 2.4} 24 j.v j S * < 4 y xeA /)
[1.3] Escriba < , > o = en el área sombreada entre los dos números para que cada afirmación sea verdadera.
25. - 8 B 0
29. |-4 | ■ |-6 |
26. - 4 ■ -3.9
30. 13 ■ - 5
27. 1.06 « 1 .6
31.
28. |-3 | ■ 3
3 2 —|—
2| ■ -5
Ordene los números de cada lista de menor a mayor.
33. 7 7 , - 7 7 , - 3 , 3
35. |- 7 |, |-5 |,3 , - 2
37. -4 , 6, —
| —
3|, 5
Mencione el nombre de cada una de las siguientes propiedades.
39. - l ( x + 4) = - I x - 28
4L (x + 3) + 2 = * + (3 + 2)
43. 5(rs) = (5r)s
45. 5(0) = 0
34 0 ,|,2 .3 ,|- 3 |
36. |- 3 |, - 7 , |- 7 |, - 3
38. |1.6|, |-2 .3 |, - 3 ,0
40. m n = nm
42 q + 0 = 0
44. - ( - 5 ) = 5
46. a + (~a) = 0
47. = 1
x
48. * + / = !• (* + /)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-90-320.jpg)
![Ejercicios d e re p a so del capítulo • 6 3
[1.3, 1.4] Resuelva las siguientes expresiones.
49. 7 + 32 - V36 + 2
52. 2 |-7 | - 4 |-6 | + 3
55. + ^ 6 4 + </Í6
58. 52 + ( - 2 + 22)3 + l4
5+ 7-4- (32 - 2 ) + 4 - l
6L
50. - 4 -r ( - 2 ) + 16 - V49
53. (6 - 9) + (9 - 6) + 1
56. 32 - 6 •9 + 4 -i- 22 - 3
59. - 3 2 + 14 + 2 -3 - 6
- ( 4 - 6)2 - 3(—
2) + |-6 |
5L (4 - 6) - ( - 3 + 5) + 12
54 | 6 - 3 | + 3 + 4 - 8 - 1 2
57. 4 - (2 - 9)° + 32 + 1 + 3
60. {[(9 + 3)2 - l] 2 + 8}3
V Sl + V I - 10
62.
1 8 -9 -4 - 3-5
63. Resuelva Ix2 + 3x + 1 cuando x = 2.
64 Resuelva 5o2 - Ib2cuando a = - 3 y b = —
4—
65. Campaña política El costo de las campañas políticas ha
cambiado de formadramática desde 1952.El monto gastado,
en millones de dólares, en todas las elecciones de Estados
Unidos,incluyendo elecciones municipales,estatales y de mi
nisterios nacionales, partidos políticos,comitésde acciónpo
lítica y papelería para la votación, se puede calcular por
medio de dólares gastados = 50.86*2- 316.75* + 541.48,
en donde x representa cada periodo de 4 añas desde 1948.
Sustituya x por 1 para obtener el monto gastado en 1952,
x por 2 para obtener el monto gastado en 1960,y asísuce
sivamente.
a) Determine el monto gastado en las elecciones de 1976.
b) Calcule la cantidad que se gastará en las elecciones de
2004.
66. Tránsito ferroviario El tránsito ferroviario en Estados
Unidos ha aumentado de manera continua, duplicándose
desde 1965. La razón principal de esto es el incremento de
tos trenes utilizados para transportar bienes por medio de
contenedores. Podemos calcularel monto de la carga trans
portada en toneladas-milla (1 tonelada-milla es igual a
1 tonelada de carga transportada a lo largo de una milla)
por medio de esta ecuación
carga transportada = 14.04*2 + 1.96* + 712.5
en donde * representa cada periodo de 5 años desde 1960.
Sustituya x por 1 para obtener la cantidad de carga en
1965, * por 2 para obtener la cantidad de carga transpor
tada en 1970, * por 3 para 1975,etcétera.
a) Determine la cantidad de carga transportada por vía
ferroviaria en 1980.
b) Determine la cantidad de carga transportada por vía
ferroviaria en 2000.
[1.5] Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos.
67. 23-22 68. *2-* 3 69.
a1
2
fl4
70.
y 2
y
7L
b1
b-2 72. c3*c-5 73. 5“2•5-1 74 3*°
75. ( - 2 m3)2 76.
r 77.
(ir 78.
W
79. ( 5 x y 3) ( - 3 x 2y ) 80. (2v3w~4)(5v~6w) 8L
6 * - y
2 x2y ~ 2
82.
1 2 x ~ 3y~*
4 *- y
83.
g -2h - 'f
84.
21m~3n 2
7 //T V
85. 86.
m
87.
( pV Y ( - 2 a b - > V ( * x y 3 2
90.
í 9m~2n V
U v J
88.
l c2 )
89.
* ) 3mn )
9L (—2m2#T3)"’2 92.
( i 5 * w 2v
V-3*yvy
93.
(2 x-y z* y
3 x * y ~ 2z~ 2)
94
(8x-yy](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-91-320.jpg)
![6 4 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
[1.6] Exprese cada número en notación científica.
95. 0.0000742 96. 260,000 97. 183,000 98. 0.000001
Simplifique cada expresión y exprese la respuesta sin exponentes.
18 X 103
99. (25 X 10_3)( 1.2 X 106) 100.
9 X 105
10L
4,000,000
0.02
102. (a004)(500,000)
103. Publicidadpor televisión Los fabricantes de automóviles
gastan millones de dólares cada año en publicidad televi
siva. En el segundo trimestre de 2001, los"tres grandes” fa
bricantes de automóviles de Estados Unidos gastaron los
sguientes montos en anuncios por televisión:General Mo
tors - $2.64 X 108;Ford - $1.51 X 108,y Daimler Chrys
ler - $9.2 X 107.
a) ¿Cuánto más gastó General Motors en comparación
con Ford?
b) ¿Cuánto más gastó Ford en comparación con Daimler
Chrysler?
c) ¿Cuántas veces es mayor la cantidad que gastó General
Motora que la cantidad que gastó Daimler Chrysler?
n i Í3JA2 t ..
104. Voyager El 17de febrero de 1998, la astronave VoyagerI
se convirtió en el explorador más distante del sistema so-
Examen de práctica del capítulo
lar, rompiendo el récord del Pioneer 10. El Voyager 1,con
20 años de edad, ha recorrido más de 1.04 X 10'° kilóme
tros desde laTierra (alrededor de 70 veces la distancia en
tre el Sol y laTierra).
a) Represente 1.04 X 10'°como un número decimal.
b) ¿Cuántos miles de millones de kilómetros ha viajado
el Voyager 1.
c) Suponiendo que el Voyager 1 ha recorrido aproxima
damente el mismo número de kilómetros cada uno du
rante sus 20 de vida, ¿cuántos kilómetros recorrió en
promedio en un año?
d) Si 1 kilómetro =5 0.6 millas, ¿qué tan lejos, en millas,
ha viajado el Voyager 11
L Escriba en forma de lista A = {x|x es un número natural mayor que o igual a 6}.
Indique si cada afirmación es verdadera o falsa.
2. Todos los números reales son números racionales. 3. La unión del conjunto de los números racionales y el con
junto de los números irracionales es el conjunto de los nú
meros reales.
Considere el conjunto de números {- 1,2, -4 ,0 , Jf, 257, V 8, V 2, -1.92}. Liste los elementos del conjunto que sean,
4. números racionales. 5. números reales.
Determine A U B y A IT B para los conjuntos A y B.
6. A = {8,10,11,14}, B = {5,7,8,9,10} 7. A = {1,3,5,7, ...},B = {3,5,7,9,11}](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-92-320.jpg)
![E x a m e n de práctica del capítulo • 6 5
En los ejercicios 8 y 9, ilustre cada conjunto en la recta numérica*
8. {*|-2.3 * < 5.2}
>. | * < * < f y * e Z
2 5
10. Liste de menor a mayor: |3|, -|4 |, -2.6.
Señale el nombre de cada una de las siguientes propiedades.
1L (* + y) + 3 = * + (y +3)
12. 3* + 4y = 4y + 3*
Evalúe cada expresión.
13. {4 — [7 —32 (32 —2*3)]}
14 24 + 42 -r 2? • y/25 + 7
-3 |4 - 8| h
- 2 + 4
15.
16.
-V 5 6 + 18 - 32 + 4
- ó 2 + 3(4 - |6|) - 6
4 - ( - 3 ) + 12 H-4*5
17. Evalúe + 2*y + y2cuando * = 2 y y = 3.
18. Devolución de impuestos Desde 1990,el promedio de de
volución de impuestos federales se ha incrementado en
Estados Unidos. El reembolso promedio de 1990 a 2002
puede calcularse por medio de
devolución promedio de impuestos federales =
Ó.42*2 + 13.9* + 970
en donde * representa el número de años desde 1990. Sus
tituya * por 1 para calcular la devolución promedio de im
puestos federales en 1991, * por 2 para estimar la
devolución promedio de impuestos federales en 1992, y
así sucesivamente.
a) Calcule la devolución promedio de impuestos federa
les en 1995.
b) Calcule la devolución promedio de impuestos federa
les en 2002.
Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin expo
nentes negativos.
2
19. 3"2
24a2b~3c°
2L
30a3b2c-2
20.
22.
4ni- 3
n
- 3 *3y
x - y
- 2 - 3
23. Cbnvierta 242,000,000 a notación científica.
3.12 X 106
24. Simplifique -p------ —
—
¿y escriba el número sin expo-
1.2 X lu
nentes.
25. Empleo por género El número total de personas
empleadas en Estados Unidos en 2000 fue alrededor de
1.41 X 108. La gráfica muestra la división hombres / mu
jeres.
a) ¿Cuántos hombres fueron empleados?
b) ¿Cuántas mujeres fueron empleadas?
c) ¿Cuántos hombres másque mujeres fueron empleados?](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-93-320.jpg)
![Sección 2.1 • Resolución d e e cu a cio n e s lineales • 6 9
E J E M P L O 1
Solución
E J E M P L O 2
Solución
Ejemplos de reducción de térm inos semejantes
5 * - 2 x = (5 - 2 ) * = 3*
3 x 2 - 5 x 2 = (3 - 5 ) ^ = -2x>
- 7 x 2y + 3 ¿ y = ( - 7 + 3) x 2y = - 4 x 2y
4 ( x - y ) - ( x - y ) = 4 ( x - y ) - l ( x - y ) = (4 - l) ( x - y ) = 3 ( x - y)
Al simplificar expresiones,podem os reordenar los térm inos aplicando las propie
dades conm utativa y asociativa q u e se analizaron en el capítulo 1.
Simplifique. Si una expresión no puede simplificarse, dígalo.
a) - 2 x +5 + 3x - 7 b) l x 2 - 2 x 2 + 3 x + 4 c) 2x - 3y + 5* - 6y + 3
a) ~ 2 x + 5 + 3 x — 7 = ~ 2 x + 3 x + 5 — 1 ColoqueJuntos loe términoseemejantee.
x -2
E sta expresión se simplifica y resulta x - 2.
b) - l x 2 + 3 x + 4 = 5 x 2 + 3 x + 4
c ) 2 x - 3 y + 5 x - 6 y + 3 = 2 x + 5 x - 3 y - 6 y + 3
= l x - 9 y + 3
ColoqueJuntoe loe térmlnoe
eemejantee.
AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 55
Simplifique - 2 (a + 7) - [ - 3 {a - 1) + 5].
- 2 (a + 7) - [ - 3 (a - 1) + 5] = - 2 (a + 7) - l [ - 3 {a - 1) + 5]
= - 2 a - 14 - l [ - 3 a + 3 + 5]
Propiedad dietributlva.
= —2a — 14 — 1 [—
3a + 8] Peduclmoe loe térml
noe eemejantee.
= —2a — 14 + 3 — 8 Propiedad dietrlbutiva.
= a — 22 Peduclmoe loe térmlnoe eemejantee. ^
3 R e s o lv e r e c u a c io n e s lineales
U na ecuación es una proposición m atem ática d e igualdad. Las ecuaciones deben con
tener un signo de igual y una expresión m atem ática a cada lado del mismo.
Ejemplos de ecuaciones
* + 4 = - 7
2 x2 - 4 = - 3 x + 5
Los núm eros q u e hacen q u e una ecuación sea una proposición verdadera, se lla
m an soluciones o raíces d e la ecuación. E l conjunto solución d e una ecuación es el
conjunto d e núm eros reales q u e hacen q u e la ecuación sea verdadera.
Ecuación Solución Conjunto solución
2a: + 3 = 9 3 {3}
Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que
son ecuaciones equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven iniciando con
la ecuación dad a y produciendo una serie d e ecuaciones equivalentes más simples.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-97-320.jpg)
![7 2 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades
4 x - 4.0 = 5.6*
4 x - 4 x - 4.0 = 5.6* - 4x
- 4 .0 = 1.6*
- 4 .0 = L 6*
1.6 1.6
- 2 .5 = *
Peete 4 x en amboe ladoe.
Ovidaamboe ladoeentre 1.6 .
L a solución es -2 .5 . #
Para ahorrar espacio, en este libro no se m ostrará siem pre la com probación de
las respuestas, pero usted sí deb e verificarlas todas. C uando la ecuación contenga nú
m eros decimales, puede utilizar una calculadora p ara resolver y verificar la ecuación
m ás rápido.
C ó m o utilizar su c a lcu la d o ra
••••
Com p ro b a ció n d e soluciones p o r sustitución
Las soluciones d e las ecuaciones pueden com probarse p o r medio d e una calculadora. Para verificar, sustituya la
variable d e am bos lados d e la ecuación con su resultado p ara ver si obtiene el mismo valor (algunas veces puede
haber una pequeña diferencia en los últimos dígitos). L a pantalla d e la calculadora graficadora d e la figura 2.1
m uestra am bos lados d e la ecuación dad a en el ejem plo 5,con un resultado d e -2 2 .4 cuando x se sustituye con -2.5.
Por lo tanto, la solución -2 .5 satisface la ecuación.
4 (x - 3.1) = 2.1 (* - 4) + 3.5*
4( —
2.5 - 3.1) = 2.1 ( —
2.5 - 4 ) + 3 .5 (-2 .5 )
KK - 2 . 5 - 3 . 1>
- 2 2 .4
2 . 1< - 2 .5 - 4 > + 3 .5 *
- 2 .5
- 2 2 .4
Valordel ladoIzquierdo
de laecuación.
Valordel ladoderecho
de la ecuación.
Ejercicios
Utilice su calculadora p ara determ inar si el número
dado es la solución d e la ecuación.
L 5.2(* - 3.1) = 2 .3 (* - 5.2); 1.4
2. -2 .3 ( 4 - * ) = 3.5(* - 6.1); 10.125
FIGURA 2.1
E J E M P L O 6
Solución
A continuación resolverem os un ejem plo q u e contiene paréntesis anidados.
Resuelva la ecuación 7c - 15 = -2 [6 (c - 3 ) - 4 (2 - c)].
7c - 15 = - 2 [6 ( c - 3) - 4 (2 - c)]
Propiedaddietributiva.
Reduccióndetérminoeeemejantee.
Propiedaddietributiva.
AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 91
1c - 15= -2 [6 c - 18 - 8 + 4c]
1 c - 15= -2 [1 0 c - 26]
7 c - 15= -2 0 c + 52
7c + 20c - 15= -2 0 c + 20c + 52
27c - 15 = 52
27c - 15 + 15 = 52 + 15
27c = 67
27c = 67
27 27
67
27
Sume 20c en amboe ladoe.
Sume 15en amboe ladoe.
Dividaamboe ladoe entre 27.
c =](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-100-320.jpg)
![Sección 2.1 • Resolución de e c u a c io n e s lineales • 7 7
3L 6 32. - 3 33. -5 * 3 4 18 * V
35. 5a2b*c 36. *4y6 37. 3x5y 6z 38. - 2 x*y7z?
Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, indíquelo.
39. 7r + 3 b - 11* +12y 40. 3x2 + 4* + 5 41. 5*2 - 3x + 2x - 5
42. l i a - 126 - 4c + 5a 43. 10.6c2- 2.3c + 5.9c - 1.9c2 4 4 l y + 3x - 7 + 4* - 2y
45. 103+ ic2- íe + 1 46. b + b2 - 4b + b2 + 3b 47. 6p q - 7pq + p + q
48. 7 * V + 11y3*2 49. 1 2 ^ | + - d 50. 4.3 - 3.2* - 2(x - 2)
5L 3^.t + j ) - j * + 5 52. 6n + 0.6(n - 3) - 5(n + 0.7)
- 53. 4 - [6(3* + 2) - *] + 4 54 3(* + y) - 4 (* + y) - 3
55. 4* - [3* ~ (5* - 4y)] + y 56. -2 [3 * - (2y - 1) - 5x ] + y
57. 5b - {7[2(3¿> - 2 ) - (4b +9)] - 2} 58. 2{[3a - (2b - 5a)] - 3(2a - ¿>)}
59. —{[2rs - 3(r + 2s)]- 2(2r 2- s)} 60. p2q + 4pq - [ - ( p q + 4p2g) + pq]
Resuelva cada ecuación.
61. 5a - 1 = 14 61
Si
*
+
3 + * = 9 63. 5* - 9 = 3(* - 2)
64 5s - 3 = 2s + 6 65. 4* - 8 = -4 (2 * - 3) + 4 66. S w + 7 = -3 to - 4
67. - 6 (z - 1) = - 5 (z + 2) 68. 7(* "- 1) = 4(* + 2) 69. - 3 (/ - 5) = 2 (t - 5)
70.
+
H
C
-¡
1
II
1
H
7L 3* + 4(* - 2) = 4* - 5 72. 6(9 - 3) = - 4 (q + 2)
73. 2 - (* + 5) = 4* - 8 74 4* - 2(3* - 7) = 2* - 6 75. P ~ (P + 4) = 4(p - 1) + 2p
76. 8* + 2 (x - 4) = 8* + 10 77. -3(>r - 1) + 2y = 4(y - 3) 78. 5r - 13 - 6r = 3(r + 5) - 16
79. 6 - (* + 3) = 3* + 5 - 2* 80. 8 - 3(2* - 4) = 5 + 3* - 4* 8L 4(2* - 2) - 3(* + 7) = - 4
82. - 2 ( 3 w + 6) - (4ic - 3) = 21 83. -4 (3 - 4*) - 2(* - 1) = 12* 84. -4 (2 z - 6) = -3 (z - 4) + z
85. 5(a + 3) - a = - (4a - 6) + 1 86. 3(2* - 4) + 3(* + 1) = 9 87. 5(* - 2) - 14* = * - 5
88. 3[6 - (h + 2)] - 6 = 4 ( - h + 7) “ 89. 2[3* - (4* - 6 ) ] = 5(* - 6)
90. - z - 6z + 3 = 4 - [6 - z - (3 - 2z)] 91. 4{2 - [3(c + 1) - 2(c + 1)]} = -2 c
92. 3{[(* - 2) + 4*] — (jc —3)} = 4 - (* - 12) 93. -{ 4 (d + 3) - 5[3d - 2(2d + 7)] -8 } = -lO d - 6
94 -3 (6 - 4*) = 4 - {5* - [6x - (4* - (3* + 2))]}
Resuelva cada ecuación. Si su respuesta no es un entero, déjela como una fracción.
95. ^ = -1 6 96. 3 = 2 97. — ^ 2 = - 6 98. | ( 6 * - 10) = 7
99. j í + = 39 100. ^ (* - 2) = ^ (2 * + 6 ) 10L 4 - | * = 7
102. a: - 2 = | ( * + 4) £¡ 103. | = | * - ^ 104. | m - ^ + |
Resuelva cada ecuación. Redondee las respuestas al centésimo más cercano.
105. 0.4* + 4.7 = 5.1* 106.0.2(* - 30) = 1.6*
107. 4.7* - 3.6(* - 1) = 4.9 108. 6.1p - 4.5(3 - 2p) = 15.7](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-105-320.jpg)
![7 8 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades
109. 5(z + 3.41) = -7.89(2z - 4) - 5.67 110. 0.05(2000 + 2*) = 0.04(2500 - 6*)
111. 0.6(500 - 2.4*) = 3.6(2* - 4000) 112. 0.42* - * = 5.1(* + 3)
113. 1000(7.34*7 + 14.78) = 100(3.91 - 4.21?) 114. 0.6(14* - 8000) = -0.4(20* + 12,000) + 20.6*
Determine el conjunto solución para cada ejercicio. Luego indique si la ecuación escondicional, inconsistente o una identidad.
115. 3(y + 3) - 4(2y - 7) = - 5 y + 2 116. 4* + 12 - 8* = -6 (* - 2) + 2*
117. 4(2* - 3) + 5 = -6 (* - 4) + 12* - 31 118. -5 (c + 3) + 4<c - 2) = 2(c + 2)
119. - { - b + 7) - 6( b + 3) = - 5 ( b + 5) 120. - [ 4 - (* - 2)] = 2* - 2 - *
£ 121. 6(* - 1) = -3 (2 - *) + 3* 122. 6(z + 5) - 5(z + 2)= -3 (z + 1) + 4(z - 5)
123. - 5 (d - 4) + 3d - 5 = 3{d + 1 - 2d)+ d 124. 4(2 - 3*) = -[6 * - (8 - 6*)]
Resolución de problemas
w 125. Bebés dormilones El doctor Richard Ferber, un pediatra
experto en problemas del sueño, ha desarrollado un méto
do* para ayudar a los niños, de 6 meses de edad en adelan
te, a dormir toda la noche. Conocido como "Ferberizing”,
este método consiste en que los padres deben esperar in
tervalos de tiempo cada vez más grandes antes de entrar
a la habitación del niñopara consolarsu llanto durante la
noche. El tiempo sugerido de espera depende de cuántas
noches se ha utilizado el método, y puede determinarse
por medio de la ecuación
W = 5n + 5
en donde W esel tiempo de espera en minutos y n es el nú
mero de noches. Por ejemplo, la primera noche es n = 1,
lasegunda noche es n = 2, etcétera.
a) ¿Cuánto deben esperar los padres la primera noche?
b) ¿Cuánto deben esperar la cuarta noche?
c) ¿En qué noche los padres deben esperar 30 minutos?
d) ¿En qué noche deben esperar 40 minutos?
sucesivamente. Si la densidad de población continúa en
aumento a la tasa actual,
a) determine la densidad poblacional de Estados Unidos
en 2005.
b) ¿en que año la densidad poblacional de Estados Uni
dos llegará a 100personas por milla cuadrada?
127. Participación de mercado de losfabricantes de automó
viles Desde 1993, los fabricantes estadounidenses de au
tomóviles han ido perdiendo parte del mercado ante sus
competidores de Asia y Europa. Del total de automóvi
les vendidos en Estados Unidos,el porcentaje que corres
ponde a los autos de fabricacióndoméstica puede estimarse
usando la ecuación
M = -1.26* + 75.34
en donde M es el porcentaje de automóviles de fabrica
cióndoméstica del total vendido en Estados Unidos, y * es
el número de años desde 1993. Utilice * = 1 para 1994,
* = 2 para 1995,etcétera.
a) ¿Qué porcentaje del total de automóviles vendidos en
Estados Unidos corresponde a autos de fabricacióndo
méstica en 2003?
b) ¿En qué año el porcentaje de autos de fabricación
doméstica será de 58.%% sobre el total de ventas en
Estados Unidos?
126. Densidadpoblacional La densidad poblacional de Esta
dos Unidos ha aumentado de manera constante desde
1990,y puede estimarse por medio de la ecuación
P = 0.8l í + 70.4
en donde P es la densidad poblacional, es decir, el núme
rode personas por milla cuadrada, y i es el número de años
desde 1990. Utilice t = 1para 1991, t = 2 para 1992, y así
•Antes de utilizareste método, los padres deben consultar a un médico pediatra.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-106-320.jpg)
![Sección 2 .2 • Resolución d e p roblem as y u so d e fórm ulas • 7 9
128. Pensiones Las pensiones son seguros de vida que garan
tizan pagos futuros. Una de sus variantes,denominada pen
sión variable, es una cuenta de retiro que permite invertir
en un fondo mutualista y diferir el pago de impuestos has
ta que se realicen los retiros en el futuro. El número de
personas que opta por este tipo de pensiones ha aumen
tado de manera constante en los años recientes, y su núme
ro puede calcularse mediante la ecuación
S = 10* + 20
en donde S representa la venta total de pensiones varia
bles (en miles de millones de dólares), y x es el número
de años desde 1991. Utilice x = 1 para 1992, x = 2 para
1993, etcétera.
a) Determine la venta total de pensiones variables en 2001.
b) ¿En qué año la venta de este tipo de pensión alcanza
rá los 140 mil millones de dólares?
129. Población deJamestown La poblacióndel municipio de
Jamestown, en Wisconsin, ha estado creciendo paulatina
mente desde 1996. La población puede calcularse usando
la ecuación
P = 7* + 2170
en donde P es la poblacióndel municipiode Jamestown y x
es el número de años desde 19%. Utilice x = 1para 1997,
x = 2 para 1998,y así sucesivamente.
a) ¿Cuál fue la población en 2003?
b) Sicontinúa la misma tasa de crecimiento, ¿en qué año
la población llegará a 2240 habitantes?
130. Cbnsidere la ecuación x = 4. Proporcione tres ecuaciones
equivalentes. Explique por quéson equivalentes.
131. Cbnsidere la ecuación 2x = 5.Proporcione tres ecuaciones
equivalentes. Explique por quéson equivalentes.
132. Invente una ecuaciónque sea una identidad. Explique có
mo creó la ecuación.
133. Invente una ecuación que sea inconsistente. Explique có
mo creó la ecuación.
134. Cree una ecuacióncon tres términos a la izquierda del sig
no igual y dos términos a la derecha, y que sea equivalen
te a la ecuación 3x + 1 = x + 5.
135. O ee una ecuacióncon dos términos a la izquierda del sig
no igualy tres términos a la derecha, y que sea equivalen
te a la ecuación x + 3 = 6.
136. En la ecuación-3(x + 2) + 5x + 12 = n, ¿qué número real
debe ser n
para que la soluciónsea 6? Explique cómo de
terminósu respuesta.
137. En la ecuación 2(x + 5) + n = 4x - 8, ¿qué número real
debe ser n para que la solución sea -2 ? Explique cómo
determinósu respuesta.
138. En la ecuación f + J = 2, ¿qué número real debe ser n
para que la solución sea x = 2? Explique cómo determi
nósu respuesta.
Resuelva cada ecuación para el símbolo dado. Suponga que el símbolo que despeja representa la variable, y que todos los demás
símbolos representan números reales diferentes de cero. Vea el ejemplo 11.
139. D e* A - □ = ©despeje A.
141. De © □ + A = 0 despeje O.
140. De A (O + □) = 0 despeje A.
142. De A (O + □) = 0 despeje □.
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.3] 143. a) Explique con sus propias palabras cómo se de
termina el valor absoluto de un número,
b) Escriba la definiciónde valor absoluto.
[1.4] Evalúe.
144. a) - 3 2
145. ^ = 6 4
3 3
146. -
b) ( - 3 ) 2
2 . 2 R E S O L U C IÓ N D E P R O B L E M A S Y U S O D E F Ó R M U L A S
2 f e
1 Usar ©I procedimiento para resolución de problemas.
2 Despejar una variable en una ecuación o fórmula.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-107-320.jpg)
![9 0 • Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades
86. Prueba de esfuerzo Qiando un médico realiza una prue
ba de esfuerzo en un paciente, sabe que, cuando su ritmo
cardiaco llegue a cierto punto, deberá interrumpirla. El
máximo ritmo cardiaco permitido, m,en latidos por minu
to, puede calcularse mediante la ecuación m = -0.875* +
190,en donde * representa la edad del paciente de 1 a 99
años. Usando este modelo matemático, determine
a) el ritmo cardiaco máximo permitido para un persona
de 50 años.
b) la edad de una persona cuyo ritmo cardiaco máximo
permitido es de 160 latidos por minuto.
87. Saldo de una cartera de inversión Algunos especialistas en
finanzas recomiendan la siguiente regla a los inversionis
tas. De su inversión total, el porcentaje de acciones debe
ssr igual a 100 menos su edad; el resto debe ser colocado
en bonos o mantenerse en efectivo.
a) Construya modelos matemáticos para calcularqué por
centaje debe conservarse en acciones (utilice S para re
presentarel porcentaje de acciones y a para representar
la edad de la persona).
b) Utilizando la regla mencionada, determine el porcen
taje en acciones que debe poseer una persona de 60
años.
índice de masa muscular El índice de masa muscular es
una método estándarpara calcular el peso corporal de una
persona respecto de su estatura. Para determinar su índi
ce de masa corporal (IMC) usando medidas métricas, di
vida su peso (en kilogramos) entre su estatura (en metros)
elevada al cuadrado. Una forma abreviada para calcular el
IMC usando libras y pulgadas, consiste en multiplicar por
705 su peso (en libras) y luego dividir el resultado entre el
cuadrado de su altura (en pulgadas).
a) Cree una fórmula para determinar el IMC de una per-
a>na usando kilogramos y metros.
b) Cree una fórmula para determinar el IMC de una per
sona cuando el peso está dado en libras y la altura en
pulgadas.
c) Determine su IMC.
Reto
s/t
89. En la ecuación r = despeje a) s, b) u.
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.4] 90. Evalúe - V 3 2 + 42 + |3 - 4| - 52.
7 + 9 h
- (23 + 4 4)
9L Evalúe
|3 —7| + V 5 2 - 32 ’
92. Evalúe <f - 3a2b + 3ab2- b3cuando a = -2 , b = 3.
[2.1] 93. Resuelva la ecuación + = ^ ~
2 . 3 A P L IC A C IO N E S D E L Á L G E B R A
f i f e
1 Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o a
una ecuación.
2 Utilizar el procedimiento para resolución d e problemas.
1 T ra d u c ir u n a p ro p o s ic ió n v e rb a l a u n a e x p re s ió n a lg e b ra ic a o a u n a e c u a c ió n
E n las siguientes secciones se presentarán algunos d e los m uchos usos del álgebra en
situaciones d e la vida real. Cuando sea posible, incluiremos otras aplicaciones relevan
tes a lo largo del texto.
Q uizá la parte más difícil al resolver un problem a verbal,consiste en transform ar
lo en una ecu ació a Éste es el paso 2 del procedim iento para resolución d e problem as
qu e se presentó en la sección 2.2. A ntes d e representar los problem as com o ecuacio
nes, darem os algunos ejem plos d e frases representadas com o expresiones algebraicas.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-118-320.jpg)
![Actividad en equipo______________
104. • C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades
Analice y responda en equipo el ejercicio 54.
54, a) Cada miembro del equipo seleccione un número. Lue
go multiplíquelo por 2, sume 33, reste 13,divida entre
2 y reste el número con que inició. Registre cada res
puesta.
b) Ahora comparen las respuestas.Si no obtuvieron la mis
ma respuesta, verifiquen cada uno el trabajo del otro.
c) Expliquen en equipo por qué este procedimiento tie
ne como resultado una respuesta de 10 para cualquier
número real n seleccionado.
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.3] Resuelva.
55. 2 + - | 56. -6 .4 - (-3 .7 ) 57. -2 58. 5 - |—
3| -
[1.5] 59. Simplifique (2x4y~6)~3.
2 . 4 P R O B L E M A S A D IC IO N A L E S D E A P L IC A C IÓ N
£ É É j
1 Resolver problem as d e movimiento
2 Resolver problem as de m ezclas
E n esta sección analizarem os dos tipos adicionales d e problem as d e aplicación: proble
m as d e movim iento y d e mezcla. Los hem os colocado en la misma sección, porque se
resuelven utilizando procedim ientos similares.
1 R esolver p ro b le m a s d e m ovim iento
U na fórm ula con m uchas aplicaciones útiles es
cantidad = velocidad • tiempo
La “cantidad” en esta fórm ula puede ser una m edida d e m uchas cantidades di
ferentes, dependiendo de la tasa d e cambio (o velocidad). Por ejemplo, si la tasa se mi
d e en distancia por unidad d e tiem po, la cantidad será la distancia. Si la tasa se m ide
en volum en p o r unidad d e tiem po, la cantidad será volum en, etcétera.
Cuando aplique esta fórm ula, asegúrese d e q u e las unidades son consistentes.
Por ejemplo, cuando hablam os acerca d e una copiadora, si la velocidad está dad a en
copias p o r m inuto, el tiempo deb e estar dado en minutos. Los problem as q u e pueden
resolverse con esta fórm ula se denom inan problem as de m ovim iento,ya q u e incluyen
movim iento, a una tasa constante, durante cierto periodo.
U na enferm era q u e aplica a su paciente un suero vía intravenosa puede utilizar
esta fórm ula p ara determ inar la tasa de goteo del fluido q u e está siendo inyectado.
U na com pañía d e perforación d e pozos petroleros o d e agua puede em plear esta fór
m ula p ara determ inar la cantidad d e tiempo necesaria p ara alcanzar su meta.
Cuando la fórm ula d e movim iento se utiliza p ara calcular distancia, la palabra
cantidad se reem plaza con el térm ino distancia, y la fórm ula se denom ina fórm ula de
distancia.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-132-320.jpg)
![114 • C apítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades
¿a qué horadebe lanzarse elsegundo cohete si ambas naves
cfeben reunirse a una distanciade 38,000 millasde laTierra.
a) Explique cómo encontró lasoluciónpara este problema.
b) Determine la solución del problema.
47. a) Invente su propio problema de movimiento que pue
da representarse como una ecuación.
b) Escriba la ecuaciónque representa a su problema.
c) Resuelva la ecuación y luego determine la respuesta a
su problema.
48. a) Invente su propio problema de mezclas que pueda re
presentarse como una ecuación.
b) Escriba la ecuaciónque represente su problema.
c) Resuelva la ecuación y luego determine la respuesta a
su problema.
Reto
49. Distancia a Calais El Eurotúnel (túnel submarino que 50. Automóviles de carreras Dos automóviles, A y fí.partici-
comunica Folkestone, Inglaterra, con Calais, Francia) tiene pan en una carrera de 500 vueltas; cada vuelta cubre una
31 millas de longitud. Una persona puede abordar el tren distancia de 1 milla. El automóvil que va adelante, A ,pro-
bala en París,viajarsin parar a través del Eurotúnel y llegar media 125 millas por hora cuando llega a la mitad de la
a Londres en 3 horas. El tren bala recorre la distancia entre carrera;el automóvil B estáexactamente 62 vueltas detrás
a) Determine la velocidad promedio del automóvil B.
b) Cuando el automóvil A llega a la mitad de la carrera,
¿qué tan lejos de él, en segundos, está el automóvil B1
5L Solución anticongelante El radiadorde un automóvil tiene
una capacidad de 16 cuartos de galón. En este momento
está Heno con una solución anticongelante con concentra
ción de 20%. ¿Cuántos cuartos deben drenarse y reempla
zarse con anticongelante puro para hacer que el radiador
contenga una solución anticongelante con concentración
de 50%?
Distancia a Calais El Eurotúnel (túnel submarino que
comunica Folkestone, Inglaterra, con Calais, Francia) tiene
31 millas de longitud. Una persona puede abordar el tren
tala en París,viajarsin parar a través del Eurotúnel y llegar
a Londres en 3 horas. El tren bala recorre la distancia entre
Parísy Calais en un promedio de 130 millas por hora; des
pués reduce su velocidad a un promedio de 90 millas por
lora a lo largo del trayectode31 millasdel Eurotúnel. Cuan-
cb sale del Eurotúnel, cubre el trayecto de 68 millas entre
folkestone y Londres a un promedio de 45 millas por hora,
cbbido a que transita por víasobsoletas. Con esta informa
ción, determine la distancia que hay entre París y Calais.
Ejercicios de repaso acumulativo
2 .7 X 1 0 15
[1.6] 52. Exprese el cociente en notación científica. - 1
- ---- —j
4 .5 X 1™
Resuelva
[2.1] 53. 0.6* + 0.22 = 0.4(* - 2.3)
2 1
54. - x + 3 = x + -
3 2
[2.2] 55. Despeje y en la ecuación ~ (x - 2) = ~(2x + 3y)
[2.3] 56. Renta de un camión La agencia de renta de camio
nes Transportes, S. A. cobra $30 por día más $0.14
por milla recorrida. Por su parte, la agencia Camio
nes, S. A. cobra $16 por día más $0.24 por milla re
corrida. ¿Qué distancia debería conducir en 1 día
para que el precio de Transportes, S. A. sea igual al
de Camiones, S. A.?
para y.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-142-320.jpg)
![1 1 6 • C apítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades
que am bos lados d e una desigualdad pueden multiplicarse o dividirse p o r cualquier nú
m ero real positivo. Las dos últimas propiedades indican que cuando am bos lados de
una desigualdad se m ultiplican o dividen p o r u n n ú m ero negativo, la dirección d e la d e
sigualdad se invierte.
Ejem plo d e multiplicación
por un n úm e ro negativo
Multiplique ambos lados
de a desigualdad poi— I
e invierta la dirección del
símbolo de desigualdad.
4 > - 2
- 1 ( 4 ) ( - 2)
- 4 < 2
Ejem plo d e división entre
un núm ero negativo
10
10
- 2
- 5
- 4
- 4
Divida ambos lados de la
desigualdad entre -2
e Invierta la dirección de!
símbolo de desigualdad.
S U G E R E N C I A No olvide invertir la dirección del símbolo de desigualdad cuando multiplique o divi
da ambos lados de la desigualdad por un número negativo.
Dirección del sím bolo de
Desigualdad la desigualdad
-3 * 6
-3 * < 6 — - > —
- 3 -3
" f > 5 ( - 2 ) ( - § ) < ( - 2 ) ( 5 )
E J E M P L O 1
Solución
Resuelva la desigualdad 5f - 7 > -2 2 .
5 í - 7 ^ - 2 2
5í - 7 + 7 > - 2 2 + 7
51 > - 1 5
51 - 1 5
— > ------
5 5
t > - 3
Sume 7 en ambos lados.
Divida ambos lados entre 5.
E l conjunto solución es {tt > -3 } . Cualquier núm ero real m ayor q u e o igual a - 3 sa-
AHORARESUELVAELEJERCICI017 tisface la desigualdad.
2 Representar soluciones gráficamente en la recta numérica, notación de inter
valo y conjuntos solución
Com o se indicó en la sección 1.2, la solución d e una desigualdad puede representarse
gráficam ente sobre una recta num érica, o escribirse com o un conjunto solución. La
solución tam bién puede escribirse en notación d e intervalo, com o se ilustra a conti
nuación. Casi todos los profesores tienen preferencia p o r alguna d e estas form as para
indicar la solución d e una desigualdad.
Recuerde que en la recta numérica, un círculo relleno indica que elpunto extremo es
parte de la solución, y un círculo vacío indica que elpunto extremo no es parte de la solu
ción. En notación de intervalos se utilizan los corchetes, [ ],para indicar que lospuntos ex
tremos son parte de la solución, y los paréntesis, ( ) , para indicar que los puntos extremos
no son parte de la solución. El símbolo oo,que se lee “infinito”,indica que el conjunto so
lución continúa indefinidamente. C ada vez que se utilice el símbolo ooen notación de in
tervalo,debemos usar un paréntesis del lado correspondiente de esta notaciónde intervalo.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-144-320.jpg)
![S e cció n 2 .5 • Resolución d e d e sigu a lda des lineales * 1 1 7
Solución de
desigualdad
x > a
x > a
x < a
x < a
a < x < b
a < x < b
a < x < b
a < x < b
x > 5
* < 3
2 < x 6
- 6 x < - 1
Conjunto
solución indicado
en la recta numérica
— 4 —
- l <
• ■ 1 1 1 -t
) 1 2 3 4 :
> ■ i t i ---------►
> 6 7 8 9 10 11
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 11 1 2 3 4 5 6
- 3 - : ’ -1 0 1 2
1
1 4 5 6 7 8
»— t— * 1 :
9
Conjunto
solución representado
en notación de intervalo
(a, oo)
[a, oo)
( - o o , a)
( - o o , fl]
(a, b)
[a,b]
(a, b]
[a, b)
[5, oo)
( —0 0 ,3 )
( 2. 6]
[ - 6. - 1]
- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
E n el siguiente ejem plo resolverem os una desigualdad q u e tiene fracciones.
E J E M P L O 2 Resuelva la siguiente desigualdad y d é la solución tanto en la recta num érica com o en
notación d e intervalo.
1 1 2 z „
4Z ~ 2 K T +2
Solución Podem os elim inar las fracciones d e una desigualdad al m ultiplicar am bos lados d e la
desigualdad p o r el m ínim o com ún denom inador, M CD, d e las fracciones. E n este
caso multiplicam os am bos lados d e la desigualdad p o r 12. Luego resolvemos la desi
gualdad resultante, tal com o hicim os en el ejem plo anterior.
1 1 2 z „
? Z " 2 < T + 2
i2lW ) <i2if +
2
2z Multipliqueambos
ladoe porel MCD, 12.
Propiedad distributiva.
3 z ~ 6 < 8z + 24
3 z ~ 8 z ~ 6 < 8 z ~ 8 z + 2 4 Peste &zen ambos lados.
~ 5 z - 6 < 24
- 5 z - 6 + 6 < 2 4 + 6
- 5 z < 30
Sume & en ambos lados.
- 5 z . 30
- 5 - 5
z > - 6
Dvida ambos lados entre —5
y cambie ladirección del
símbolode desigualdad.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-145-320.jpg)
![1 2 0 • C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades
U S T A Y —1 U tilice si s u e s t a d o civil e s C a s a d o
p o r b ie n e s m a n c o m u n a d o s o v iu d o (a )
Si la cantidad en la
forma 1040, línea 39,
es: mayor que—
Pero no
mayor que—
Escriba la forma 1040,
línea 40
de la cantidad
por encima de—
$0 $45,200 15% $0
45300 109350 $6,780.00 + 27.5% 45,200
109350 166300 24,393.75 + 30.5% 109,250
166,500 297350 41,855.00 + 35.5% 166,500
297,350 88,306.75 + 39.1% 297,350
b) D eterm ine el impuesto q u e deb e pagar una pareja casada p o r bienes m ancom una
dos, si sus ingresos gravables son d e $36,000.
c) D eterm ine el impuesto q u e debe pagar una pareja casada p o r bienes m ancom una
dos, si sus ingresos gravables son d e $136,000.
S o lu c ió n a) Las palabras “Pero no m ayor q u e” significa “m enor q u e o igual a”. Los ingresos
gravables q u e conform an los cinco son:
(0, 45,200] p ara el rango d e 15%
(45,200,109,250] para el rango d e 27.5%
(109,250,166,500] p ara el rango d e 30.5%
(166,500,297350] p ara el rango d e 35.5%
(297350, oo) p ara el rango d e 39.1%
b) E l impuesto q u e deb e pagar una pareja casada p o r bienes m ancom unados con un
ingreso gravable d e $36,000 es 15% d e $36,000. Por lo tanto,
im puesto = 0.15(36,000) = $5400
E l im puesto a pagar es d e $5400.
c) U n ingreso gravable d e $136,000 coloca a la pareja en el rango d e im puestos de
30.5%. E l impuesto es d e $24393.75 + 30.5% del ingreso gravable m ayor a $109,250.
E l ingreso m ayor a $109,250 es $136,000 - $109350 = $26,750. Por lo tanto,
im puesto = 24393.75 + 0.305(26,750) = 24393.75 + 8158.75 = 32352.50
E l im puesto a pagar es d e $32352.50. #
3 R esolver d e sig u a ld a d e s c o m p u e s ta s q u e incluyan “y”
U na desigualdad com puesta está form ada p o r dos desigualdades ligadas con la pala
bra y o la palabra o. E n ocasiones la palabra y está implícita, aunque no esté escrita.
E je m p lo s d e d e s i g u a l d a d e s c o m p u e s t a s
3 < x y x < 5
x + 4 > 3 o 2* - 3 < 6
4* - 6 > - 3 y x - 6< 5](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-148-320.jpg)
![S e cció n 2 .5 • Resolución de de sigualdades lineales * 1 2 1
E J E M P L O 8
Solución
AHORARESUELVAELEJERCICIO 57
E J E M P L O 9
Solución
E n esta parte analizarem os las desigualdades com puestas q u e utilizan o implican
la palabra y. La solución d e una desigualdad com puesta que utiliza la palabra y son todos
los núm eros q u e hacen ambas partes de la desigualdad verdaderas. Por ejem plo, en
3 < x y x < 5
¿cuáles núm eros satisfacen am bas desigualdades? Los núm eros q u e satisfacen am bas
desigualdades pueden determ inarse con facilidad si representam os gráficam ente la so
lución d e cada desigualdad en una recta num érica (vea la figura 2.9). A hora observe
q u e los núm eros q u e satisfacen am bas desigualdades son los núm eros en tre 3 y 5. El
conjunto solución es |*|3 < x < 5).
3 < x ( o x > 3 ) —
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x < 5 « i 1 I 1
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Solución: 3 < x < 5 ■
*
—
I
—I
—I
—I : H K —
F I G U R A 2.9 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Recuerde que, com o se explicó en el capítulo 1, la intersección d e dos conjuntos
es el conjunto d e elem entos com unes a ambos. Para determinarel conjunto solución de
una desigualdad que contenga la palabra y tom e la intersección de los conjuntos solu
ción de las dos desigualdades.
Resuelva * + 2 < 5 y 2 x - 4 > - 2 .
Com ience p o r resolver cada desigualdad p o r separado.
* + 2 < 5 y 2* - 4 > - 2
* < 3 2 x > 2
x > 1
A hora tom e la intersección d e los conjuntos [xx < 3) y xx > 1(.Cuando encontram os
[xx < 3 ) 0 {*1* > 1), determ inam os los valores d e x com unes a am bos conjuntos. La
figura 2.10 ilustra q u e el conjunto solución es |*|1 < * < 3). E n notación d e intervalo,
la solución es (1,3].
- 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x > i - I ■ í t !
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
__ 4 „ Solución: l < x < 3 -M : I ; I 1 !
----- I—
►
FIGURA 2.10 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A veces es posible escribir en una form a más corta las desigualdades com puestas que
utilizan la palabra y. Por ejem plo, podem os escribir 3 < x y x < 5 com o 3 < x < 5. La
p alab ra y no aparece cuando la desigualdad se escribe de esta m anera, pero está
im plícita. L a desigualdad com puesta 1 < * + 5 y * + 5 < 7 puede escribirse com o
1 < x + 5 ^ 7 .
Resuelva 1 < x + 5 < 7.
1 < x + 5 < 7, significa l < A r + 5 y * + 5 ^ 7 . Resuelva cada desigualdad p o r separado.
l < * + 5 y * + 5 < 7
- 4 < x x < 2](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-149-320.jpg)
![1 2 2 • C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades
E JE M P L O 10
Solución
AHORARESUELVAELEJERCICIO 35
E JE M P L O 11
Solución
R ecuerde q u e - 4 < x significa * > - 4 . L a figura 2.11 ilustra q u e el conjunto solución
es |* | - 4 < * < 2). E n notación d e intervalo, la solución es (-4 ,2 ].
-4 < x ( o x > -4)
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
X ^ 2
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
Solución: -4 <x*¿2
FIGURA 2.11 -6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
La desigualdad del ejem plo 9,1 < * + 5 < 7,puede resolverse de o tra forma. Pode
mos seguir utilizando las propiedades analizadas anteriorm ente para resolver desigualda
des compuestas. Sin embargo,cuando trabajamos con tales desigualdades, lo que hagamos
para una parte lo debem os hacer para las tres partes. E n el ejemplo 9 podríam os restar 5
de las tres partes para aislar la variable de enm edio y resolver la desigualdad.
1 < * + 5 =<7
l - 5 < * + 5 - 5 ^ 7 - 5
—4 < * < 2
O bserve q u e ésta es la m ism a solución q u e obtuvim os en el ejem plo 9.
Resuelva la desigualdad - 3 < 2x - 7 < 8.
Queremos aislar la variable *. Comenzamos por sumar 7 a las tres partes de la desigualdad.
- 3 < 2 x - 1 < 8
- 3 + 7 < 2 * - 7 + 7 < 8 + 7
4 < 2 x < 15
A hora divida las tres partes d e la desigualdad en tre 2.
4 2 x 15
— < — < —
2 2 2
15
2 s * < y
L a solución tam bién puede ilustrarse en una recta num érica, escribirse en notación de
intervalo, o presentarse com o un conjunto solución. A continuación m ostram os cada
form a.
f
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L a respuesta en notación d e intervalo es
{
x
2
sx
<
1í
2 ,- ^ ) . E l conjunto solución es
4 - 3 *
Resuelva la desigualdad - 2 < — - — < 8.
M ultiplique las tres partes p o r 5 p ara elim inar el denom inador.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-150-320.jpg)
![1 2 4 • C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades
400 < 313 + a: < 450
400 - 313 < 313 - 313 + a: < 450 - 313
87 < a: < 137
Moisés necesitaría una calificación mínima d e 87 en su último exam en para obtener una
nota final d e B. Si la calificación más alta q u e se puede alcanzar en el exam en es 100,
¿M oisés podría obtener una nota final d e A (prom edio d e 90 o más)? Explique. #
80 < 3135+ X < 90
4 R e s o lv e r d e s ig u a ld a d e s c o m p u e s ta s q u e in c lu ya n “o ”
L a solución d e una desigualdad com puesta q u e utiliza la palabra o, son todos los nú
m eros q u e hacen verdadera cualquiera de las desigualdades. Por ejemplo, en la desi
gualdad com puesta
x > 3 o x < 5
¿cuáles núm eros satisfacen la desigualdad com puesta? R epresentem os gráficam ente
la solución d e cada desigualdad m ediante la recta num érica (vea la figura 2.12). O b
serve q u e todo núm ero real satisface al m enos una d e las dos desigualdades. Por lo
tanto, el conjunto solución d e la desigualdad com puesta es el conjunto d e todos los
núm eros reales, R.
x > 3 *
x < 5
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6
4 Solución: R .....................................................
FIGURA 2.12 -6 - 5 - 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
R ecuerde que, com o se explicó en el capítulo 1, la unión d e dos conjuntos es el
conjunto d e elem entos que pertenecen a cualquiera d e ellos. Para determinar el con
junto solución d e la desigualdad q u e contenga la palabra o y tom e la unión de los
conjuntos solución de las dos desigualdades que conform an la desigualdad compuesta.
E J E M P L O 1 3 R esuelvax + 3 < - l o - 4 x + 3 < - 5 .
Solución Resuelva cada desigualdad p o r separado.
a + 3 - 1 o r
x < - 4
- 4 a
: + 3 < - 5
—4a
: < - 8
a: > 2
A hora represente gráficam ente cada solución en rectas num éricas y después determ i
ne la unión (vea la figura 2.13). L a unión es x < - 4 o x > 2.
x*z - 4 -
FIGURA 2.13
x > 2
Solución: x -4 o x > 2
' 1 1
— 1
— 1
— 1-
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0
-I— 1
— 1
— l
1 2 3 4 5
__1
___1
___1
___1
___1
___1
________ 1
— i — 1—
^1— ■
—^
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
- 7 - 6 - 5 -4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
E l conjunto solución es [xx < - 4 ) U{a:|a: > 2), q u e podem os escribir com o [xx < - 4
AHORARESUELVAELEJERCICIO 59 o x > 2). E n notación d e intervalo, la solución es ( - 0 0 , -4 ] U (2,00 ) . #](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-152-320.jpg)
![1 2 6 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades
2L 4<* —2) < 4* - 8 22. 15.3 > 3(a - 1.4)
23. 56 - 6 > 3(6 + 3) + 26 24. - l ( d + 2) < - 9 d + 2(d - 4)
25. | + | £ 4 26. 2y - 6y + 10 £ 2 (-2 y + 3)
Resuelva cada desigualdad y dé la solución en notación de intervalo.
27. 4 + y < 6 28. 4 - 3 * < 7 + 2* + 4
1
m
1
A
l
1
•/•»
1
m
a
30.
6 5 7 ,
2 ~ 6 < S + h
t 4t
3L - - / + 2 < - y + 3 32.
3(* - 2) 5(2 - x)
5 3
« 33. -3 x + 1 < 3[(* + 2) - 2x] - 1 34. 4[x - (3* - 2)] > 3(
Resuelva cada desigualdad y dé la solución en notación de intervalo.
35. - 2 < q + 3 < 4 36. - 7 < p - 5 < -5
37. -1 5 < - 3 z ^ 12 38. -1 6 < 5 - 3n < 10
- 39. 4 < 2x - 4 < 7 40. -1 2 < 3x - 5 < - 4
41. 14 < 2 —3g < 20 42. | < 3* + 4 < 6
Resuelva cada desigualdad y proporcione el conjunto solución.
43. 5 S 3%+ 1 < 11 44.
3 - x - 5 r
~5 < 3 < 6
45. 6 < -3 (2 * - 4) < 12 46.
r 4 - 3 * 2
" 6 < 2 < 3
. 3(M " 4) „
47. 0 < -^ - y — - < 1 48. - 1 5 < 3(7 2 ) , 0
Resuelva cada desigualdad e indique el conjunto solución.
49. c < 2 y e > - 3 50. d > O o d < 5
51. x < 2 y x > 4 52. w < —
1 o te > 5
£ 53. * + 1 < 3 y * + 1 > - 4 54. 5* - 3 < 7 o - x + 3 < - 5
Resuelva cada desigualdad e indique la solución en notación de intervalo.
55. 2s + 3 < 7 o -3 s + 4 < - 1 7 56. 2a + 3 > 7 y -3 a + 4 < -17
5 7 . 4x + 5 > 5 y 3* - 4 < 2 58. 5* - 3 > 10 y 5 - 3* < - 3
59. 4 — x < - 2 o 3 x - 1 < - 1 60. —x + 3 < 0 o 2 x - 5 > 3
6L 2A + 5 > - l y 7 - 3 H 7 62. 2? - 7 < - 3 o 2 - 3? < 11
Resolución de problemas_______________________________________________________
63. Servicio de mensajería Para poder enviar un paquete por b) Un servicio de mensajería definió el término circunfe-
mensajería, es necesario que la suma de su largo más su cir- iencia como eldoble del ancho másel doble del grosor,
conferencia no sea mayor de 130 pulgadas. Escriba una desigualdad que use las variables largo, /,
a) Plantee una desigualdad que exprese esta información; ancho, w , y el grosor, d, para indicar las dimensiones
utilice / para representar el largo y g para la circunfe- permitidas para los paquetes que pueden enviarse por
rencia. mensajería.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-154-320.jpg)
![S e cció n 2 .6 • Resolución d e e c u a c io n e s y desigualdades c o n va lo re s a b so luto s • 1 2 9
L a a s e g u r a d o r a p a g a
0, si c < $100
0.80(c - 100), si $100 < c < $2100
c - 500, si c > $2100
Explique por qué este conjunto de desigualdades descri
be el plan de pago de la aseguradora.
86. Explique por qué no puede despejarse x en la desigual
dad a < b x + c < d , a menos que se proporcione informa
ción adicional
Reto
87. Calificaciones calculadas Las primeras cinco calificacio
nes de RubénAguirre en un curso de historia europea fue
ron 82,90,74, 76 y 68. El examen final del curso cuenta
una tercera parte del promedio final. Un promedio final
mayor que o igual a 80 y menor que 90 daría como resul
tado una nota final de B. ¿Cuál es el rango de calificacio
nesque debe obtener Rubénen el último examen para lo
grar una calificaciónfinal de B? Suponga que la calificación
máxima posible es 100.
En los ejercicios88 a 90, a) explique cómo resolvercada desigualdad, y b) resuelvay proporcione la solución en notación de intervalo.
88. * < 3* - 10 < 2* 90. * + 3 < * + l < 2 . *
89. x < 2 x + 3 < 2 x + 5
Ejercicios de repaso acumulativo
[1 .2 ] 91. Para A = {1,2,6 ,8,9} y B = (1,3,4 ,5 ,8},determine
a) A U B .
b) A D B .
92. Para A = j -3 ,4 , V 7 ,0, - J , liste los ele
mentos que son
a) números para contar.
b) enteros no negativos.
c) números racionales.
d) números reales.
[1.3] Indique el nombre de cada propiedad.
93. (3x + 6) + 4y = 3x + (6 + Ay)
9 4 3x + y = y + 3x
[2.2] 95. Despeje Ven la fórmula R = L + (V — D)r.
2 . 6 R E S O L U C IÓ N D E E C U A C I O N E S Y D E S IG U A L D A D E S
C O N V A L O R E S A B S O L U T O S
a
*
1 E n te n d e r la in te r p re ta c ió n g e o m é tr ic a d e l v a lo r a b s o lu to .
2 R e s o lv e r e c u a c i o n e s d e la f o r m a |x|= a , a > 0.
3 R e s o lv e r d e s ig u a l d a d e s d e la f o r m a |x| < a , a > 0.
4- R e s o lv e r d e s ig u a l d a d e s d e la f o r m a |x| > a , a > 0.
5 R e so lv e r d e s ig u a ld a d e s d e la fo rm a |x| > a o |x| < a , c u a n d o a < 0.
6 R e s o lv e r d e s ig u a l d a d e s d e la f o r m a |x| > 0 o |x| < 0.
7 R e s o lv e r e c u a c i o n e s d e la f o r m a |x| = |y|.
1 Entender la interpretación geométrica del valor absoluto
E n la sección 1.3 se explicó el concepto de valor absoluto. Según se indicó, el valor ab
soluto d e un núm ero puede considerarse com o su distancia (sin signo) respecto del
núm ero 0 en la recta num érica. E l valor absoluto d e 3, escrito |3|, es 3, ya q u e está a 3](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-157-320.jpg)
![S e c c ió n 2 .6 • R e s o lu c ió n d e e c u a c io n e s y d e s ig u a ld a d e s c o n v a lo r e s a b s o lu t o s • 133
4 Resolver desigualdades con la forma |
x
| > a, a > 0
E J E M P L O 6
Solución
E J E M P L O 7
Solución
E J E M P L O 8
A hora veam os las desigualdades con la form a x > a. C onsidere |*| > 3. E sta desi
gualdad representa el conjunto d e valores q u e están a más de 3 unidades d e distan
cia respecto del 0 en la recta num érica (vea la figura 2.14c). E l conjunto solución es
{*1* < - 3 o x > 3). E l conjunto solución p ara |*| > a es el conjunto d e valores q u e
están a m ás distancia que a unidades respecto del 0 en la recta num érica.
Resuelva la desigualdad 2x - 3| > 5 y represente gráficam ente la solución en la rec
ta numérica.
La solución p ara |2* - 3| > 5 es el conjunto d e valores tales que la distancia entre 2x - 3
y 0 en la recta num érica será mayor q u e 5. La cantidad 2x - 3 debe ser m enor q u e - 5 o
mayor que 5 (vea la figura 2.16).
—2 x - 3 —| |—2 x - 3 —
+ r - H — I-i I I I í I I i- - - - - - - - - - - - - - - - Í 1 1 1 ►
FIGURA 2.16- 8 - 7 -6 - 5 - 4 - 3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Com o 2x - 3 deb e ser m enor q u e - 5 o m ayor q u e 5, establecem os y resolvemos la si
guiente desigualdad com puesta:
2 x - 3 < - 5 o r 2 x - 3 > 5
2 x < —2 2 x > 8
x < - 1 x > 4
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
El conjunto solución p ara 2x - 3| > 5 es {*1* < - 1 o x > 4). C uando x es cualquier
número m enor q u e - 1 o m ayor q u e 4, la expresión 2x - 3 representará un número que
está a m ás d e 5 unidades d e distancia respecto del 0 en la recta num érica (es decir, un
núm ero m enor q u e - 5 o m ayor q u e 5). #
Para resolver desigualdades con la form a |a:| > a,podem os usar el procedim ien
to siguiente.
P a ra re s o lv e r d e s ig u a ld a d e s c o n la fo rm a |x| > a
Si |*| > a y a > O, entonces x < - a o x > a.
Resuelva la desigualdad |2x - 1 1> 7 y represente gráficam ente la solución en la recta
numérica.
C om o esta desigualdad tiene la form a |*| > a , utilizam os el procedim iento q u e se
p lan teó antes.
2 * - 1 < - 7 o r 2* - 1> 7
2 x < - 6 2 * > 8
x < - 3 x > 4
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 O 1 2 3 4 5 6
Cualquier valor d e x m enor o igual q u e - 3 , o m ayor o igual q u e 4, d aría com o resul
tado q u e 2a: —1 represente un número m ayor o igual q u e 7 unidades d e distancia res
pecto del Oen la recta numérica. El conjunto solución es {a:|a: < - 3 o x > 4). E n notación
d e intervalo, la solución es ( - o o , -3 ] U [4,oo). #
R esuelva la desigualdad
recta numérica.
3 x - 4
> 9 y represente gráficam ente la solución en la](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-161-320.jpg)
![1 4 - 0 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades
Resuelva. Explique cómo determinó su respuesta.
m . x + 1| = 2x - 1 ' 112. |3* + l| = x - 3 ' 113. x - 2 = - ( x - 2)
Reto
Resuelva considerando los signos posibles para x.
114. Ixl + x = 6 115. x + -x = 6 116. x - x = 6 117. x - x = 6
Actividad en equipo
Analice y responda el ejercicio 118 en equipo.
118. Cbnsidere la ecuación x + y = y + x.
a) Cada miembro del equipo seleccione un valor para x y
uno para y, y determine si la ecuación se cumple. Re
pita con otros dos valores para x y y.
b) Determinen en equipo para qué valores de x y y es ver
dadera la ecuación. Expliquen su respuesta.
c) Ahora consideren x - y = -y - x. ¿Bajo qué con
diciones será verdadera esta ecuación?
Ejercicios de repaso acumulativo
(0
Evalúe.
[1.4] 119. J +
120. 4(x + 3y ) - 5xy cuando x = 1, y = 3
[2.4] 121. Natación Raúl Sánchez cruza a nado un lago,pro
mediando 2 millas por hora. Luego da vuelta y re
gresa, promediando esta vez 1.6 millas por hora. Si
el tiempo total de su recorrido es 1.5 horas, ¿cuál es
el ancho del lago?
[2.5] 122. Determine el conjunto solución para la desigualdad
3(x —2) —4(x —3) > 2.
R e s u m e n d e l C A P Í T U L O
Térm inos y frases importantes
2.1 M ínimo com ún múltiplo 2.2 2.4
Coeficiente (o coeficiente (M CM ) Fórm ula Fórm ula d e la distancia
numérico) Térm inos sem ejantes M odelo m atem ático Problem a d e mezcla
Ecuación condicional Ecuaciones lineales con Fórm ula d e interés sim ple Problem a d e movim iento
C onstante una variable Subíndices
Contradicción Simplificar una expresión 2.5
G rado d e un térm ino Conjunto solución 2.3 Y; intersección
Ecuación Soluciones d e una ecua Ángulos com plem entarios D esigualdad com puesta
Ecuaciones equivalentes ción Á ngulos suplem entarios D esigualdad
Identidad Térm inos O; unión
Mínimo com ún Térm inos no sem ejantes O rden (o sentido) d e una
denom inador (M CD) desigualdad
H e c h o s im p o r t a n t e s H f f l l
P r o p i e d a d e s d e la I g u a ld a d
Propiedad reflexiva: a = a.
Propiedad d e sim etría: si a = b, entonces b = a.
Propiedad transitiva; si a =■b y b = c , entonces a = c.
(continúa en la página siguiente)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-168-320.jpg)
![Ejercicios d e re p a so del capítulo * 1 4 . 1
Propiedad d e sum a (o aditiva) a = b , entonces a + c = b + c.
Propiedad d e m ultiplicación (o multiplicativa) d e la igualdad: si a = b ,entonces ac = be; c =h0
Para resolver e cuacio nes lineales
1. E lim ine las fracciones.
2. Simplifique cada lado d e form a separada.
3. Aísle el térm ino con la variable en un lado.
4. D espeje la variable.
5. Com pruebe.
Procedim iento p a ra la resolución d e problem as
1. E n tien d a el problem a.
2. Traduzca el problem a a lenguaje matemático.
3. Realice los cálculos m atem áticos necesarios p ara resolver el problem a.
4. Com pruebe la respuesta obtenida en el paso 3.
5. R esponda la pregunta.
Fórm ula d e distancia Fórm ula d e interés sim ple
distancia = velocidad • tiem po interés = capital • tasa • tiem po
II
o
o i = p rt
P ropiedades usadas para resolver desigualdades
1. Si a > b yentonces a + c > b + c. 4. Si a > b y c > 0, entonces ^
2. Si a > b, entonces a - c > b - c. 5. Si a > b y c < 0, entonces ac < be.
3. S i a > 6 y c > 0 entonces ac > be.
a b
6. Si a > b y e < 0 ,entonces— < —.
V&lor absoluto p a ra a > 0
Si x = a, entonces x = a o x = - a . Si |*| > a, entonces * < - a o x > a.
Si x < a, entonces - a < x < a. Si |*| = |y|, entonces * = y o * = - y .
Ejercicios de repaso del capítulo
[2.1] Indique el grado de cada término.
L 23a3b5 2. 6x 3. - 4 x y ¿
Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, especifíquelo.
4. a{a + 3) - 4{a - 1) 5. x2 + 2xy + 6*2 - 4
6. b2 + b - 7 7. 2 [ - ( x - y) + 3x] - 5y+ 6
Resuelva cada ecuación. Si una ecuación no tiene solución, especifíquelo.
8. 5(c + 4) - 2c = ~(c - 4) 9. 3(* + 2) - 6 = 4(* - 5) 10. 3 + ^
l o](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-169-320.jpg)
![1 4 2 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades
U . j( 3 r + 4 ) = j ( 4 r + l ) 12. - 4) = 3 ^x + 13. 3x - 4 = 6x + 4 - 3x
14. 2(x - 6) - 5 - {2x - [4(x - 3) - 5]>
[2.2] Evalúe cada fórmula para los valores dados.
15. m = —— — cuandoy2 = 5, y, = -2 , x2 = -8 , x, = 6
xi x
17. h = + Vq
I + h0cuando a = -32, v0= 0, h0= 80, t = 1
Despeje la variable indicada en cada ecuación.
19. E = IR, para R
2h P = 21 + 2w, para w
23. y = m x + b, para m
25. Rt = Ri + R i + /?3,para/?2
27. K = 2(d + /), para /
/2 .3 J £>i los ejercicios 28 a 32, escriba una ecuación que pue
da utilizarse para resolver cada problema. Resuelva elproble
ma y verifique su respuesta.
28. Venta de calendarios El 1de febrero, un almacén pone a
la venta todos loscalendarios con 75% de descuento sobre
el precio original Si MaríaCristina Solís aprovecha la ofer
ta para comprar un calendario por $5.50, ¿cuál era el pre
cio original del calendario?
29. Aumento poblacional La población de un pequeño pue
blo se incrementa a razón de 350 personas por año. Si la
población actual es de 4750, ¿en cuánto tiempo el pobla
do alcanzará 5800 habitantes?
30. Comisión El salario de DamiánAlcoceres de $300 por se
mana más6% de comisiónpor las ventasque realice. ¿Cuán
todebe vender Damiánpara ganar $650en una semana?
31. Comparación deprecios En el aeropuerto de la ciudad de
Kansas, una empresa ofrece el alquiler de un Ford Focus
por $24.99 diarios con millaje ilimitado. El costo por al
quilar el mismo automóvil en otra compañía es de $19.99
diarios más $0.10 por milla. Si Andrea Ojeda necesita al
quilar un automóvil durante 3 días, determine el número
de millas que necesitaría conducir para que el costo del
alquiler sea igual en ambas compañías
- b + V t)1-4 a c
16. x = — - cuando a = 8, b = 10, c = -3
2 a
18. z = ------—cuando x = 60, p = 64, o = 5, n = 25
<
r
v a
20. A = irr*h, para h
22. A — ~^bh, para h
24. 2x - 3y = 5, para y
^ 3a + b
26. S = — -— , para a
32. Venta En una venta por liquidación, los muebles se venden
con 40% de descuento sobre suprecio normal.Además, a los
artículos con etiqueta verde se lesdescuentan $20 adiciona
les. Si Eduardo Brambila adquirió un artículo con etiqueta
verde y pagó$120,determine cuálera su precio normal.
[2.4] En los ejercicios 33 a 37, resuelva los problemas de mo
vimiento y de mezcla.
33. Inversión en bonos Cuando Gonzalo Brizuela recibió un
bono en el trabajo, invirtió parte del dinero en una cuen
ta del mercado de valores que produce 3.5% de interés
simple, y el resto en un certificado de depósito que pro
duce 4.0% de interés simple. Si la cantidad total de interés
que el señor Brizuela ganódurante el año fue de $187.15,
determine el monto total invertido en cada cuenta.
34. Soluciones defertilizante Enrique Castillo tiene solucio
nes de fertilizante líquido que contienen 20% y 60% de
nitrógeno. ¿Cuántos galones de cada una de estas solucio
nes debe mezclar Enrique para obtener 250 galones de
una solución que contenga 30% de nitrógeno?
35. Dos trenes Dos trenes parten de Portland, Oregón, al mis
mo tiempo y en direcciones opuestas. Un tren viaja a 60
millas por hora y el otro a 90 millas por hora. ¿En cuántas
horas estarán a 400 millas de distancia uno del otro?
36. D-ansbordadores espaciales El transbordador espacial 2
despega 05 hora despuésde que despega el transbordador
espacial 1.Si el transbordador 2 viaja 300 millas por hora
más rápido que el transbordador 1y lo rebasa exactamen
te 5 horas después de haber despegado, determine
a) la velocidad del transbordador espacial 1.
b) la distancia que hay entre el lugar de lanzamiento y
el punto en donde el transbordador 2 rebasa al trans
bordador 1.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-170-320.jpg)
![Ejercicios de re p a so del capítulo • 1 4 3
37. Mezcla de café El señor Santiago Negrete, propietario de
un cafégourmet, vende dos tipos de café, uno a $6.00 la li
bra y el otro a $6.80 la libra. ¿Cuántas libras de cada tipo
de café debe mezclar para producir 40 libras de café que
pueda vender a $6.50 la libra?
de solución al 6% para que la mezcla tenga 12% de solu
ciónde tinte azul?
44. Dos Inversiones Luis Saldaña invierte $12,000 en dos
cuentas de ahorro. Una cuenta paga 10% de interés simple,
yla otra 6% de interés simple.Sien un año Luisganael mis
mo interésen cada cuenta, ¿cuánto invirtió a cada tasa?
45. Centro desalud Elgimnasio Deltoides tiene dos planes de
membresía. Con el primer plan se pagan $40 al mes más un
cargo de $1.00 por visita. El segundo plan exige $25 men
suales más un pago de $4.00 por visita. ¿Cuántas visitas al
mesdebe hacer Eric Mendoza para que le convenga el pri
mer plan?
46. Trenesen Alaska Dos trenes parten de Anchorage al mis
mo tiempo, en vías paralelas, viajando en direcciones
opuestas. El tren más rápido viaja 10 millas por hora más
rápido que el más lento. Determine la velocidad de cada
tren, si entre ambos hay una distancia de 270 millas des
pués de 3 horas.
[2.3, 2 .4 ] Resuelva.
38. Venta de electrónicos El precio de un teléfono inalám
brico se redujo en 20%. Si el precio de venta actual es de
$24,determine el precio original.
39. Trote Nidia Reyes trota cierta distancia; luego da vuelta y
camina de regreso hasta su punto de partida. Mientras trota,
su velocidad promedia 12 millas por hora; al caminar, su
velocidad promedia 2.4 millas por hora. Siel tiempo total
que emplea en su recorrido es de 4 horas, determine
a) el tiempo total que trotó, y
b) ladistancia total que recorrió.
40. Medidas de ángulos Determine las medidas de tres án
gulos de un triángulo si uno de ellos mide 25° más que el
ángulo más pequeño, y el otro ángulo mide 5o menos que
el doble del ángulo más pequeño.
41. Alberca Dos mangueras se utilizan para llenar una alber
ca. La manguera con mayor diámetro suministra 1.5 ve
ces más agua que la de menordiámetro. La manguera más
grande se abre 2 horas antes que la manguera más peque
ña. Si después de 5 horas de haber abierto la primera hay
3150 galones de agua en la alberca, determine la veloci
dad de flujo de cada manguera.
42. Ángulos complementarios Un ángulo complementario
tiene una medida que es 15° menos que el doble de la me
dida del otro ángulo. Determine las medidas de los dos án
gulos.
43. Tinte azul Un fabricante de telas tiene dos soluciones de
tinte azul, ambas hechas con el mismo concentrado. Una
solución tiene 6% de tinte azuly la otra tiene 20%. ¿Cuán
tas onzas de la solución al 20% debe mezclar con 10onzas
[2.5] Resuelva cada desigualdad y responda las preguntas.
Represente gráficamente las soluciones en una recta numérica.
47. 3Z + 7 < 13
48. 5 - 2w > -7
49. 2x + 4 > 9
50. 16 < 4x - 5
4x + 3
51. > - 3
S I 2(x - 3) > 3* + 4
53. - 4(x - 2) > 6x + 8 - 10*](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-171-320.jpg)
![1 4 4 • C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades
Escriba una desigualdad que pueda usarsepara resolver cada problema. Resuelva las desigualdades y responda las preguntas.
55. Límite depeso Una canoa puede transportar de manera
segura un total de 500 libras. Si Joel Bañuelos pesa 180 li
bras, ¿cuál es el número máximo de cajas con 40 libras de
alimento que puede transportar de manera segura en su
canoa?
56. Caseta telefónica Javier Cabrera, un operador telefónico,
feinforma a un cliente que el cargo por realizar una llama
da a Omaha, Nebraska, es de $4.50 por los primeros 3 mi
nutos y 95 centavos por cada minuto o fracción de minu
to adicional. ¿Cuánto tiempo puede hablarel cliente si tie
ne $8.65?
57. Gimnasio Un gimnasio garantiza a sus clientes la pérdida
de peso por un mínimo de 3 libras la primera semana y 1.5
libras cada semana adicional. Determine el tiempo máxi
mo necesario para perder 27 libras.
58. Calificaciones Las primeras cuatro calificaciones de Jaz
mín Alatorre son 94,73,72 y 80. Si para recibir una nota
final de B,es necesario que alcance un promedio final ma
yor que o igual a 80 y menor que 90, ¿qué rango de califi
caciones debe obtener Jazmín en el quinto y último
examen para recibir una B en el curso? Suponga que la
calificación máxima que puede obtener es 100.
Resuelva cada desigualdad. Escriba la solución en notación de intervalo.
59. 1 < * - 4 < 7
6Z - 1 2 < 6 - 3x < - 2
60. 7 < p + 10 < 15
Determine el conjunto solución para cada desigualdad compuesta.
65. h < 2 y Ih - 4 > -25
67. 4* —5 < 11 y - 3 x - 4 > 8
61. 3 < 2x - 4 < 8
64. - 8 < 4 ~ 2X < 0
66. 2 * - l > 5 o 3 * - 2 < 7
68. 7 , 2g < - 5 o - > 1
¡2.5, 2 .6 ] Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad.
69. |a| = 2
72. |/ + 5| = 11
75. —2q + 9| < 7
78. |4d - 1| = 6d + 9|
70. |*| < 3
73. |* - 2| > 5
2* - 3
76. = 1
79. 12* - 31 + 4 > -1 0
71. |*| > 4
74. |4 —2*| = 5
* - 4
77. < 6
Resuelva cada desigualdad. Proporcione la solución en notación de intervalo.
80. |3c + 8| - 5 < 2
82. —
6 £ — 7 — < 5
4
84. * - 3 < 4 o 2 * - 5 > 9
8L 3 < 2* - 5 < 9
83. 2p —5 < 7y 9 —3p ^ 12
85. - 1 0 < 3(* - 4) < 12
Examen de práctica del capítulo
1. Diga cuáles el grado del término -4 a1
be*. En los ejercicios 4 a 8, resuelva las ecuaciones.
Simplifique 4 7(¿ + 2) =3 (2d - 4)
2. 2p — 3q + 2pq - 6p{q - 3) - 4p r 2 _ 8
3. lq - {2[3 - 4 (9 + 7)] + 5q] - 6 & 6 + 3 ~ 9](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-172-320.jpg)
![E x a m e n de re p a so a cum u la tivo • 1 4 5
6. - 2 ( x + 3) = 4{3[x - (3* + 7)] + 2}
7. I x - 6(2* - 4) = 3 - (5* - 6)
8. - |( 4 * - 6) = j ( 3 - 6x) + 2
9. Determine el valor de S„ para los valores dados.
1 _ r , fli = 3, r = n = 3
10. Despeje b en c =
n - 36
ÍL Despeje 62en A = —6(6, + 62).
En los ejercicios 12 a 16, escriba una ecuación que pueda usarse
para resolver cada problema. Resuelva las ecuaciones y respon
da las preguntas planteadas.
12. Para jugar al g o lf Determine el costo de un equipo de
palos de golf, sin impuestos, si su costo total incluyendo
7% de impuestos es $668.75.
13.
14
Membresía H precio a pagar para ser miembro de un gim
nasio es de $240 por año más $2 por visita (para el lavado
de toallas y la compra de artículos de tocador). Si Leo
poldo López desea gastar un total de $400 al año en el
gimnasio, ¿cuántas visitas puede hacer?
Paseo en bicicleta Gabriel Fonseca y Roberto Fernández
inician un paseo en bicicleta en el mismo punto, pero en di
recciones opuestas. La velocidad de Gabriel es de 15 millas
por hora,y lade Robertoes de 20 millas por hora. ¿En cuán
tas horas habrá una distancia de 147 millas entre losdos?
15. Solución salina ¿Cuántos litros de soluciónsalina con con
centración de 12% deben añadirse a 10 litros de solución
salina con concentración de 25% para obtener una solu
ción con concentración de 20%?
16. Dos inversiones Juana Blanco tiene $12,000 para invertir,
asíque coloca parte de su dinero en una cuenta de ahorros
que paga 8% de interés simple y el resto en una cuenta de
ahorros que paga el 7% de interés simple. Siel total de in
tereses de las dos cuentas al final de un año es de $910,
determine cuánto dinero invirtióJuana en cada cuenta.
Resuelva cada desigualdad y represente gráficamente las solu
ciones en una recta numérica.
17. 3(2? + 4) < 5(q - 1) + 7
6 - 2 *
18. > - 1 2
Resuelva cada desigualdad y escriba la solución en notación de
intervalo.
19. * - 3 < 4 y 2 * - 4 > 5
20. 1 s < 7
Determine el conjunto soluciónpara las siguientes ecuaciones.
2L |26 + 5| = 9
22. |2x - 3| = - , - 1 0
Determineel conjunto solución para las siguientes desigualdades.
23. |4z -+-12| = 0
24. |2x - 3 1+ 1 > 6
25.
2 * - 3
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que apa
recen al final. Revise laspreguntas que haya respondido inco
rrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde
se analiza el material correspondiente se indica después de cada
respuesta.
L Si 4 = {1 ,3,5,7,9,11,13,15} y
B = {2, 3, 5, 7,11,13}, determine
a) A U B .
b) A C B .
2. Indique el nombre de cada propiedad.
a) 4* + y = y + 4*
b) (2*)y = 2(xy)
c) 2(* + 3) = 2* + 6
Resuelva.
3. —
42 + ( -6 )2 - (23 - 2)2
4 ( ftf + ab2 - 3b cuando a
& 8 ~ ^ 2 7 -3 9
|-5 | - [5 - (12 ^ 4)]2
= -1 y 6 = - 2](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-173-320.jpg)
![1 4 6 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades
En los ejercicios 6 y 7, simplifique
6. (2 ,y ) - 2
7.
3mv i Y
v i
8. Comparación de territorios Rhode Island tiene un área
territorial de aproximadamente 1.045 X 103millascuadra
das.Alaska tiene un área territorial de casi 5.704 X105mi
llas cuadradas. ¿Cuántas veces es más grande el área
territorial de Alaska que la de Rhode Island?
En b s ejercicios 9 a 11, resuelva las ecuaciones.
9. - 3 (y + 7) =2 ( - 2 y - 8)
10. 1.2(x - 3) = 2.4* - 4.98
2m 1 4
1L T - 6 = 9 W
12. Explique la diferencia entre una ecuación lineal condicio
nal, una identidad y una ecuación inconsistente. Propor
cione un ejemplo de cada una.
— b + / h 2 —4ac
13. Evalúe la fóimula * = ------- — Para <
*= 3,b =
- 8 y c = —
3.
14 Despeje * de la fórmula y - y = m(x - *j).
15. Resuelva la desigualdad - 4 < ^ < 2 y propor
cione la respuesta:
a) en una recta numérica,
b) como un conjunto solución, y
c) en notaciónde intervalo.
En los ejercicios 16 y 17, determine el conjunto solución.
16. 3h - 1| = 8
17. ¡2* - 4¡ - 6 > 18
18. Serie de béisbol Una semana después de la serie mundial,
una tienda de artículos deportivos marca el precio de to
dos sus mercancías relacionadas con el béisbol con un des
cuento de 40%. Si Martín Garduño compra un bate de
béisbol en $21, ¿cuálera el precio original del bate?
19. Dos automóviles Dos autos parten de Caldwell, Nueva
Jersey, al mismo tiempo viajando en direcciones opuestas.
El auto que viaja hacia el norte se mueve 10 millas por ho
ra más rápido que el autoque viaja hacia el sur.Si entre los
dos autos hay 270 millas de distancia después de 3 horas,
determine la velocidad de cada uno.
20. Mezcla de nueces Mónica Quintero, propietaria de La Ca
sa de las Nueces, tiene castañas que cuestan $6.50 por li
bra y cacahuates que cuestan $2.50 la libra. Si desea
producir 40 libras de una mezcla de castañas y cacahuates
para venderlas a $4.00cada una, ¿cuántas libras de casta
ñas y cuántas de cacahuates debe mezclar?
Respuestas al examen de repaso acumulativo
1 a) {1,2,3,5,7,9,11,13,15) b) p , 5,7,11,13); [Sec. 12, Obj. 4] 2. a) propiedad conmutativa de la adición;
b) propiedad asociativa de la multiplicación; c) propiedad distributiva; [Sec. 1.3, Obj. 6] 3. -15; [Sec. 1.4, Obj. 3]
1 9m i0
4 -6 ; [Sec. 1.4, Obj. 4] 5. 7; [Sec. 1.4, Obj. 3] 6. [Sec. 1.5, Obj. 6] [Sec. 15, Obj. 7] 8. * 545.8 veces;
[Sec. 1.6, Obj. 3] 9. 5; [Sec. 2.1, Obj. 3] 10. 1.15; [Sec. 2.1, Obj. 3] 11. [Sec. 2.1, Obj. 4] 12. La ecuación lineal condicio
nal es verdadera sólo para un valor, una ecuación lineal que es una identidad siempre es verdadera, una ecuación lineal
inconsistente nunca es verdadera; [Sec 2.1, Obj. 5] 13. 3; [Sec 2.2, Obj. 1] 14. * = - — ^ [Sec 2.2, Obj. 2]
15.a) . b) j * | - 2 < x < ! } c) ( - 2 , ! ) ; [Sec.2.5,O bj.3] 16. |-|,3 } ;[S e c .2 .6 ,O b j.2 ]
5
17. {*(* < -1 0 o * > 14); [Sec. 2.6, Obj. 4] 18. $35; [Sec 2.3, Obj. 2] 19. 40 millas por hora, 50 millas por hora;
[Sec. 2.4, Obj. 2] 20. Castañas: 15 libras; cacahuates: 25 libras.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-174-320.jpg)
![Sección 3.2 • F u n cio n e s • 1 6 3
Ejercicios de repaso acumulativo
12.2] 103. Evalúe
- b + V¿>2 -_4ac
2a
para a = 2, b = 7,
y c = -15.
[2.3] 104. Renía de un camión La agencia Renta de Camio
nes cobra una cuota diaria de $60 más $0.10por mi
lla. La agencia Automóviles Nacionales cobra una
cuota diaria de $50 más $0.24 por milla por el mis
mo camión. ¿Qué distancia tendría que conducir
durante un día para que el costo de renta fuera igual
con ambas compañías?
[2.5] 105. Resuelva la desigualdad - 4 <
4 —3*
< 5. Es
criba la solución en notación de construcción de
conjuntos.
[2.6] 106. Determine el conjunto solución para la desigualdad
|3* + 2| > 5.
3 .2 FUNCIONES
1 E n t e n d e r la s r e la c io n e s .
2 R e c o n o c e r f u n c io n e s .
3 U t iliz a r la p r u e b a d e la r e c t a v e r t ic a l.
4- E n t e n d e r la n o t a c ió n d e f u n c io n e s .
5 A p l ic a c io n e s d e f u n c i o n e s e n la v i d a d ia r ia .
1 E n ten d e r las relacio n es
E n la vida diaria, con frecuencia descubrim os relaciones en tre dos cantidades. Por
ejem plo, la cantidad q u e usted gasta al com prar naranjas está relacionada con el nú
mero d e naranjas q u e le entregan a cam bio; la velocidad a la q u e viaja un bote d e ve
la está relacionada con la velocidad del viento; y el im puesto q u e usted paga está
relacionado con los ingresos q u e obtiene.
Suponga q u e las naranjas cuestan 30 centavos cada una. Entonces, una naranja
cuesta 30 centavos, dos naranjas cuestan 60 centavos, tres naranjas cuestan 90 centavos,
y asísucesivamente. Podem os organizar esta inform ación,o relación,com o un conjunto
de pares ordenados, listando prim ero el número de naranjas y luego su costo en centa
vos. E n este caso, los pares ordenados serían (1,30), (2,60), (3,90),etcétera. U na ecua
ción que representa esta situación es c = 30rt,en donde c es el costo en centavos, y n es
el número d e naranjas. Como el costo depende del número de naranjas, decim os q u e el
costo es la variable dependiente y el núm ero d e naranjas es la variable independiente.
A hora pensem os en la ecuación y = 2x + 3. E n ella, el valor obtenido p ara y d e
pende del valor seleccionado p ara x. Por lo tanto, * es la variable independiente y y es la
variable dependiente. O bserve que, a diferencia del caso d e las naranjas,en este ejemplo
no existe una relación física entre * y y. La variable * es la variable independiente y y es
la variable dependiente sim plem ente a consecuencia del lugar que ocupan en la ecuación.
Para una ecuación con las variables * y y,si el valor d e y cfepende del valor d e *,en
tonces y es la variable dependiente y * es la variable independiente. Ya q u e las cantida
des relacionadas pueden representarse como pares ordenados, el concepto de relación
puede definirse como sigue.
DEFINICIÓN U na relación es cualquier conjunto d e pares ordenados.
2 R ec o n o c er fu n cio n es
A continuación analizarem os el concepto d e función, uno d e los m ás im portantes en
matem áticas. U n a función es un tipo especial d e relación en el q u e a cada elem ento de
un conjunto (llamado dom inio) le corresponde exactamente un elem ento de un segundo
conjunto (llam ado rango).](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-191-320.jpg)
![S e cció n 3.2 • F u n cio n e s * 1 6 7
E J E M P L O 4
AHORARESUELVAELEJERCICIO33
E n la gráfica q u e se m uestra en la figura 3.26,
a) ¿qué elem ento del rango form a el p ar de 4 en el dom inio?
b ) ¿qué elem entos del dom inio form an el p ar d e - 2 en el rango?
c) ¿cuál es el dom inio d e la función?
d ) ¿cuál es el rango d e la función?
S o l u c i ó n a) El rango es el conjunto de valores d e y. El valor d e y que tiene como
par el valor d e a: 4 es 3.
b) El dom inio es el conjunto d e valores d e x. Los valores d e x que tienen com o p ar el
valor d e y igual - 2 son 2 y 6.
c) E l dom inio es el conjunto d e valores d e x, del 0 al 7. Por lo tanto, el dom inio es
{a
t|0 £ i s ] | o [0 ,7 ]
d) E l rango es el conjunto d e valores y, d e - 2 a 3. Así, el rango es
{ y ~ 2 ^ y * 3 } o [ - 2 ,3 ] #
E J E M P L O 5 L a figura 3.27 ilustra una gráfica d e velocidad contra tiem po d e un hom bre q u e salió
a cam inar y trotar. E scriba una historia q u e describa el paseo d e este hom bre y q u e
corresponda a esta función.
FIGURA 3.27
I
6
5 - -
4 - -
3 - -
2
1
FI hom bre sale a cam inar y trotar
10 15 20 25
Tiempo (minutos)
30
Solución
AHORARESUELVAELEJERCICIO65
E n t ie n d a e l p r o b le m a El eje horizontal es el tiem po y el eje vertical es la ve
locidad. Cuando la curva es horizontal, significa q u e la persona está trasladándose a la
velocidad constante indicada en el eje vertical. Las rectas casi verticales q u e aum entan
con el tiempo (o q u e tienen una pendiente positiva, com o se estudiará más adelante),
indican un aum ento en la velocidad, m ientras q u e las rectas casi verticales q u e dism i
nuyen con el tiem po (o q u e tienen pendiente negativa), indican una dism inución en la
velocidad.
R e s p o n d a Ésta es una posible interpretación d e la gráfica. E l hom bre cam ina d u
rante más o m enos cinco m inutos a una velocidad d e casi dos millas p o r hora;después,
el hom bre aum enta su velocidad hasta casi cuatro millas p o r hora, y cam ina o tro ta a
esa velocidad durante más o m enos 10 minutos; luego dism inuye su velocidad hasta d e
tenerse, y después descansa durante cinco m inutos;finalm ente, el hom bre aum enta su
velocidad hasta casi cinco millas p o r hora, y trota a esa velocidad durante más o menos
10 minutos. #
4 E n te n d e r la n o ta c ió n d e fu n c io n e s
E n la sección 3.1 graficamos varias ecuaciones, tal com o se resum e en la tabla 3.1. Si
exam ina cada ecuación d e la tabla, verá q u e todas ellas son funciones, ya q u e sus grá
ficas pasan la prueba d e la recta vertical.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-195-320.jpg)
![Ejercicios de repaso acumulativo
Sección 3.3 • F u n cio n e s lineales: gráficas y aplicaciones * 1 7 9
[2.1] 80. Resuelva la ecuación 3x - 2 = ~ ( 3x - 3).
[2.2] 81. Despeje p2de la siguiente fórmula.
E = a ,p , + a2p2 + a3p3
[2.5] 82. Resuelva la desigualdad y (x - 3) > y (3 - x) e
indique la solución a) en la recta numérica; b) en
notación de intervalos, y c) en notación de cons
trucciónde conjuntos.
x - 4
[2.6] 83. Resuelva la ecuación + 2 = 4.
3 . 3 F U N C I O N E S L IN E A L E S : G R Á F IC A S Y A P L IC A C IO N E S
1 Graficar funciones lineales.
2 Graficar funciones lineales usando las intersecciones.
3 Graficar ecuaciones con la form a x = a y y = b .
A Analizar aplicaciones de funciones.
5 Ftesolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una variable.
1 G ra fic a r fu n c io n e s lineales
E n la sección 3.1 graficamos ecuaciones lineales. Para graficar la ecuación lineal y = 2x
+ 4, podem os construir una tabla d e valores, determ inar los puntos y trazar la gráfica,
com o se m uestra en la figura 3.32. O bserve q u e está gráfica representa una función, ya
q u e pasa la prueba d e la recta vertical.
X y
-2 0
0 4
1 6
FIGURA 3.32
1— 1_
_ ______|_
_ L ¿.
5
A l y = 7 x + 4
•t
................................ /
i
« - 5 - 4 - 3 - A ~ 1 _ , 2 3 $ ♦
/
i jF * 2
■/ 3 “
/ —A
i
i _c
/
/ - 6
/
Utilizando la notación d e fundones, podem os escribir la ecuación q u e se grafi-
có en la figura 3.32 com o /( * ) = 2x + 4. É ste es un ejem plo d e una fiinción lineal, es
decir, una función con la form a f ( x ) = ax + b. A l graficar cualquier función lineal, se
obtiene una línea recta. El dom inio d e todas las funciones lineales es el conjunto d e nú
m eros reales p ara los q u e la fu n d ó n es un núm ero real; p o r lo tanto, el dom inio de
cualquier función lineal es el conjunto d e todos los núm eros reales, IR: al sustituir x
con cualquier núm ero real en una función lineal, resultará q u e f ( x ) es un núm ero real.
Estudiarem os con más profundidad el tem a dom inios d e funciones en la sección 3.6.
Para graficar una función lineal, tratam os a f ( x ) com o si fuera y y seguimos el
mismo procedim iento utilizado p a ra graficar ecuaciones lineales.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-207-320.jpg)
![Sección 3 .4 • L a fo rm a pendiente intersección de u n a e cu a ció n lineal • 1 9 1
Despeje x en cada ecuación como se hizo en el ejemplo 9. Si cuenta con ella, utilice una calculadora graficadora;de lo contrario trace
la gráfica usted mismo.
65. 3* + 2 = 2x + 3 66. -2 (x - 2) = 3(x + 6) + 1
67. 0.3(* + 5) = -0 .6 (* + 2) 6 8 .2 * + i = 5 * - i
Con ayuda de su calculadora graficadora, localice las intersecciones de los ejes x y y de la gráfica de cada ecuación.
69. y = 2(x + 3.2) 70. 5x - 2y = 7
Tí. ~4x - 3.2y = 8 72. y = j x - -
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.4] 73. Evalúe 4{2 - 3[(1 - 4) - 5]} - 2. [2.1] 7 4 R esuelva-y - 3 y = 6(y + 2).
]2.6] En los ejercicios 75 a 77 a ) explique el procedimiento para despejar x en cada ecuación o desigualdad (suponga que b > 0), y
b) resuelva la ecuación o desigualdad.
75. x - a = b
77. x - a > b
76. x - a < b
78. Resuelva la ecuación x - 4 = 2x - 2.
3 . 4 L A F O R M A P E N D IE N T E IN T E R S E C C IÓ N D E U N A E C U A C IÓ N L IN E A L
1 E n te n d e r la tr a s la c ió n d e g rá fic a s .
2 D e te rm in a r la p e n d i e n te d e u n a r e c ta .
3 R e c o n o c e r la p e n d i e n te c o m o u n a r a z ó n d e c a m b io .
4- E sc rib ir e c u a c io n e s lin e a le s e n la f o r m a p e n d i e n te in te r s e c c ió n .
5 G ra fic a r e c u a c i o n e s lin e a le s p o r m e d io d e la p e n d i e n te y la
in te r s e c c ió n d e l e j e y.
6 U s a r la fo rm a p e n d ie n te -in te rs e c c ió n p a r a c o n s tru ir m o d e lo s a
p a rtir d e g rá fic a s .
1 E n te n d e r la tra s la c ió n d e g rá fic a s
E n esta sección estudiarem os la traslación d e gráficas, el concepto d e pendiente, y la
form a pendiente intersección de una ecuación lineal.
Considere estas tres ecuaciones
y = 2 x + 3
y = 2x
y = 2 x - 3
L a gráfica d e cada una d e estas ecuaciones aparece e n la figura 3.50.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-219-320.jpg)
![Ejercicios de repaso acumulativo
S ección 3.5 • L a form a p u nto pendiente de u n a e cu a ció n lineal • 2 0 5
[1.4] 84. Resuelva
- 6 2 - 16 -r 2 -h |—
4|
5 - 3 -2 - 4 - 22
Resuelva cada ecuación.
[2.1] 85. |* + j = | ( * - 2)
86. 2.6* - (-1 .4 * + 3.4) = 6.2
[2.4] 87. Trenes Dos trenes parten de Chicago,Illinois,viajan
do en la misma dirección a lo largo de víasparalelas.
El primer tren sale tres horas antes que el segundo,
y su velocidad es de 15 millas por hora más rápido
que el segundo. Determine la velocidad de cada
tren, si tres horas despuésde que el segundo tren sa
le de Chicago entre ambos trenes hay una distancia
de 270 millas.
[2.6] 88. Resuelva
a) |2* + 1
| > 3, b) |2* + 1
| < 3.
| 3 . 5 L A F O R M A P U N T O P E N D IE N T E D E U N A E C U A C I Ó N L IN E A L
A 1 Entender la form a punto pendiente de una ecuación lineal.
ss 2 Utilizar la form a punto pendiente para construir m odelos a
partir de gráficas.
2 3 Reconocer rectas paralelas y perpendiculares.
1 Entender la forma punto pendiente de una ecuación lineal
E n la sección anterior aprendim os a utilizar la form a pendiente intersección p ara d e
term inar la ecuación d e una recta cuando se conocen su pendiente y su intersección del
eje y. E n esta sección aprendem os a usar la form a punto pendiente para determ inar la
ecuación d e una recta cuando se conocen su pendiente y uno d e sus puntos. L a form a
punto pendiente puede desarrollarse a partir d e la expresión p ara la pendiente en tre
cualesquiera dos puntos (*,y) y (* i,y i) de la recta, com o se m uestra en la figura 3.65.
m =
yi
* - * i
M ultiplicando am bos lados d e la ecuación p o r * - x h obtenem os
y - y, = m (x - x t)
DEFINICIÓN L a form a punto pendiente de una ecuación lineal es
y - y, = m (x - x ,)
en donde m es la pendiente de la recta y (* i,y i) es un punto en la recta.
E J E M P L O 1 Escriba, en la form a pendiente intersección, la ecuación d e la recta q u e pasa p o r el
punto (1,4) y q u e tiene una pendiente d e - 2 .
SoIUC¡Ón Ya q u e se nos dio la pendiente d e la recta y un punto en ella,podem os escribir la ecua
ción en la form a punto pendiente. Entonces podrem os despejar y de la ecuación p ara
escribirla en la form a pendiente intercepción. L a pendiente, m , es - 2 . E l punto en la
recta, (* i,y i),es (1,4). Sustituya m p o r - 2 ,* , p o r 1 y y, p o r 4 en la form a punto p en
diente.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-233-320.jpg)
![212 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones
29. y = 2 X + 3
- 2 x + 4y = 8
30. —4x + 6y = 12
2x - 3y = 6
31. x - 3 y = - 9
y = 3x + 6
Determine la ecuación de una recta con las propiedades dadas. Escriba la ecuación en la forma indicada.
« 33. Pasa por (2,5) y es paralela a la gráfica de y = 2x + 4 (for
ma pendiente intersección).
34. Pasa por (-3 ,2 ) y es paralela a la gráfica de 4x - 2y = 6
(forma pendiente intersección).
35. Pasa por (-3 , -5 ) y es paralela a la gráfica de 2x - 5y = 7
(forma general).
36. Pasa por (-1 ,3 ) y es perpendicular a la gráfica de y = -2 x
- 1 (forma general).
37. Cbn intersección del eje x en (3,0) e intersección del eje
yen (0,5) (forma pendiente intersección).
38. Pasa por (-2 , -1 ) y es perpendicular a la gráfica de
— _]_x + j (notaciónde funciones).
39. Pasa por (5, -1 ) y es perpendicular a la gráfica de
y = —.r + 1 (notaciónde funciones).
40. Pasa por (-3 ,4 ) y es perpendicular a la recta con intersec
ción del eje x en (2,0) e intersección del eje y en (0,2)
(forma general).
41. Pasa por (6,2) y es perpendicular a la recta con intersec
ción del eje* en (2,0) e intersección del eje y en (0, -3 )
(forma pendiente intersección).
42. Pasa porel punto (2,1) yes paralela a la recta que pasa por
tos puntos (3,5) y (-2 ,3 ) (notación de funciones).
Resolución de problemas
43. Rutina en una caminadora El número de calorías que se
quemanen una hora de ejercicio en una caminadora es una
función de la velocidad que se emplea. Una persona pro
medio que se ejercita en una caminadora (con una inclina
ción de 0o) a una velocidadde 25 millas por hora, quemará
alrededorde 210calorías.A 6 millas por hora, esta persona
quemará más o menos 370 calorías. Sea C las calorías que
s queman en una hora y s lavelocidad de la caminadora.
a) Determine una función lineal C(s) que se ajuste a los
datos.
b) Calcule las calorías que quema una persona promedio
qercitándose 1 hora en la caminadora a una velocidad
de 5 millas por hora.
44. Caminadora inclinada El número de calorías que se que
man por hora al hacer ejercicio en una caminadora a ve
locidad constante, es una función de la inclinación de la
misma. A 4 mph por hora y con una inclinación de 5o,una
persona promedio quemará 525 calorías; a 4 mph y con
una inclinaciónde 15°,la misma persona quemará 880 calo
rías.Sea C las calorías quemadas y d tos grados de inclina
ciónde la caminadora.
a) Determine una función lineal C(d) que se ajuste a los
datos.
b) Calcule el número de calorías que quema una persona
promedio alejercitarse durante una hora en una camina
dora a 4 millas por hora y con una inclinación de 7o.
45. Demanda de reproductores de D VD La demanda de un
producto se refiere al número de ejemplares de ese pro
ducto que el público estádispuesto a comprar a un precio
dado. Suponga que la demanda, d, de reproductores de
DVD vendidos en un mes es una función lineal del pre
cio,p, para $150 ^ p $400. Siel precio es $200,entonces
se venderán 50 aparatos de DVD por mes. Si el precio es
$300, sólo se venderán 30.
a) Usando los pares ordenados de la forma (p, d), escri
ba una ecuación en que la demanda, d,sea una función
del precio,p.
b) Rjr medio de la función resultante de la parte a), deter
mine la demanda cuando el precio de los reproducto
res de DVD es $260.
c) Itor medio de la función resultante de la parte a), deter
mine el precio de los reproductores de DVD si su de
manda es 45.
46. Demanda decomida rápida El gerente de mercadotecnia
efeun restaurantede comida rápda determinaque lademan
da, d,de una nueva ensalada de pollo es una función lineal
de su precio,p, para $0.80 < p < $4.00.Si el precio es $1.00,
entonces cada mes se venderán530 ensaladas de pollo; siel
precio es $2.00,sólo se venderán 400 ensaladas al mes.
a) Usando los pares ordenados de la forma (p, d), escri
ba una ecuación en que la demanda, d,sea una función
del precio,/?.
b) Itor medio de la función resultante de la parte a), deter
mine la demanda cuando el precio de las ensaladas de
pollo es $1.50.
c) R>rmedio de la función resultante de la parte a),deter
mine el precio de las ensaladas de pollo si su demanda
es 205.
47. Oferta de yo -yo s La oferta de un producto se refiere al
número de ejemplares de ese producto que un vendedor
estádispuesto a vender a un precio dado. La empresa que
fabrica un nuevo tipo de y o -y o para niños determina
que el número de yo-yos que estádispuesta a proveer, s.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-240-320.jpg)
![S e cció n 3 .6 • Á lge b ra d e funcion e s « 2 1 5
Actividad en equipo
57. La siguiente gráfica muestra el crecimiento de la circunfe
rencia de la cabeza de un grupo de niñas. La línea central
representa la circunferencia promedio de la cabeza de
todas las niñas para la edad dada, mientras que las líneas
inferior y superior representan los límites respecto del
rango normal. Analice y responda en equipo las siguientes
preguntas.
a) Explique por qué la gráfica de la circunferencia pro
medio de la cabeza representa una función.
b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la varia
ble dependiente?
c) ¿Cuál es el dominio de la gráfica de la circunferencia
promedio de la cabeza? ¿Cuál es el rango?
d) ¿Cuál es el intervalo considerado como normal para
niñas de 18 años?
e) En esta gráfica, ¿la circunferencia de la cabeza es una
funciónde la edad, o la edad es una función de la cir
cunferencia de la cabeza? Explique su respuesta.
f) Calcule la circunferencia promedio de la cabeza de las
niñas a los 10y a los 14 años.
Ejercicios de repaso acumulativo
g) Esta gráfica es casi lineal. Determine una ecuación o
funciónque pueda usarse para calcular la línea central
entre (2,48) y (18,55).
Circunferencia de la cabeza
[2.5] 58. Resuélvala desigualdad4 - x > 2x + 3 e indi
que la soluciónen notaciónde intervalos.
59. Giando ambos lados de una desigualdad se multi
plicano dividen por un número negativo, ¿quédebe
hacer?
[3.2] 60. a) ¿Qué es una relación?
6L
b) ¿Qué es una función?
c) Dibuje una gráfica que represente una relación
pero que no sea una función.
Determine el dominio del rango de la función
{(4,3), (5 ,-2 ),(3 ,2 ) (6,-1)}.
3 . 6 Á L G E B R A D E F U N C IO N E S
a &
1 Determinar la sum a, diferencia, producto y cociente de las
funciones.
2 Representar gráficamente la sum a de funciones.
1 Determinar la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones
A continuación analizarem os algunas form as en las q u e se pueden com binar las fun
ciones. Si determ inam os q u e /( * ) = * + 2 y g(x) = x2 + 2xypodem os encontrar /( 5 )
y g(5) com o sigue.
/ ( * ) = x + 2 g ( x ) = x 2 + 2x
/ ( 5 ) = 5 + 2 = 7 g( 5) = 52 + 2 (5 ) = 35
Si sum am os/( * ) + g(x), obtenem os
/ ( * ) + g ( x ) = ( x + 2) + (x2 + 2x)
= x 2 + 3 x + 2
Edad (años)
Fuente:C entro N acional para Esladfelicas d e S alu d d e E stados U n idos](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-243-320.jpg)
![2 2 0 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones
a) Calcule la cantidad d e gas natural destinado al uso residencial/com ercial en 2000.
b) Calcule la cantidad d e gas natural destinado al uso industrial en 2000.
c ) Calcule la cantidad d e gas natural destinado al uso en servicio público/transporte
en 2000.
d) Calcule la cantidad total d e gas natural utilizado en 2000.
S o l u c i ó n a) Al leer la gráfica, vemos q u e la cantidad d e gas natural destinado al uso residencial
e n 2000 (indicada p o r el área inferior d e la gráfica) fue d e más o m enos 8 billones de
pies cúbicos.
b) La siguiente área d e la gráfica representa la cantidad d e gas natural destinado al uso
industrial. E n 2000, esta área inicia en 8 billones y term ina aproxim adam ente en 19 b i
llones. L a diferencia en tre estos dos valores, 19 billones- 8 billones, es 11 billones. Por
lo tanto, más o m enos 11 billones d e pies cúbicos d e gas natural fueron destinados al
uso industrial en 2000.
c ) La siguiente área d e la gráfica representa la cantidad d e gas natural destinada al ser
vicio público/transporte. E n 2000, esta área inicia en 19 billones y term ina e n aproxi
m adam ente 39 billones. L a diferencia entre estos dos valores, 39 billones-1 9 billones,
es 20 billones. Por lo tanto, alrededor d e 20 billones d e pies cúbicos de gas natural se
destinaron al uso d e servicio público/transporte en 2000.
d) E n 2000, la cantidad total d e gas natural utilizado en Estados U nidos fue d e casi 39
billones d e pies cúbicos. Esto puede interpretarse directam ente a partir d e la gráfica.
O bserve tam bién q u e 39 billones es el resultado d e sum ar las cantidades determ inadas
E n el ejem plo 4, la cantidad total d e gas natural utilizado en cualquier año es la
sum a del gas natural destinado a las tres categorías. Por ejem plo, si sum am os las res
puestas obtenidas en las partes a), b) y c), obtenem os 8 + 11 + 20 = 39. Así, en 2000
se utilizaron alrededor d e 39 billones d e pies cúbicos d e gas natural. L a línea superior
d e la gráfica m uestra la cantidad total d e gas natural usado.
AHORARESUELVAELEJERCICIO59 en las partes a), b) y c). #
nes. U na m anera d e lograrlo es introducir las funciones d e form a individual. Luego, siguiendo las instrucciones
q u e vienen con su calculadora, puede sum arlas, restarlas, m ultiplicarlas o dividirlas. Por ejem plo, la pan talla de
la figura 3.76 m uestra una T I-8 3 Plus preparada para graficar Y, = x - 3, Y2 = 2x + 4, y la sum a d e las funciones,
Y3 = Y, + Y2. Para obtener Y3 = Y , + Y 2en la T I-8 3 Plus, presione la tecla V A R S ¡. Luego m ueva el cursor a
Y —VARS y seleccione 1: Function. A h o ra presione: Function. A h o ra presione: [ T ] p ara introducir Y ,; luego
presione presione V A R S y vaya a Y -V A R S p ara seleccionar l:Function. Por últim o, presione 2 p ara
introducir Y2. L a figura 3.77 m uestra las gráficas d e las dos funciones y la gráfica d e la sum a d e las funciones.
FIG U R A 3.76 FIG U R A 3.77](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-248-320.jpg)
![2 2 4 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
E je rc ic io s d e re p a s o a c u m u la tiv o
[1.5] 72. Evalúe (-3 ) “3. [3.1] 76.Grafique y =|x |- 2.
[1.6] 73. Exprese 1,630,000 en notación científica. [3 3 ] 7?<Grafique 3* - 4y = 12.
[2.2] 74. Despeje h en A = bh.
[2.3] 75. Lavadora El precio de unalavadora, incluyendo
6% de impuesto, es de $477. Determine su precio
sn tomar en cuenta el impuesto.
3 . 7 G R A F IO A C IÓ N D E D E S IG U A L D A D E S L IN E A L E S
fi A
1 Representar gráficamente desigualdades lineales con dos
variables.
1 R e p re s e n ta r g rá fic a m e n te d e s ig u a ld a d e s lineales c o n d o s v a ria b le s
U n a desigualdad lin eal resulta cuando, en una ecuación lineal, el signo d e igual se
reem plaza con un signo d e desigualdad.
Ejem plos de desigualdades lineales co n d o s variables
2 x + 3 y > 2 3 y < 4 x - 6
- x - 2 y < 3 5 x > 2 y - 3
U na recta divide un plano en tres regiones: la recta misma y los dos sem iplanos
uno a cada uno d e sus lados. E n este caso, la recta se denom ina fro n tera. Al graficar la
ecuación lineal 2x + 3y = 6, la recta resultante, llam ada recta frontera, divide el plano
en el conjunto d e puntos q u e satisfacen la desigualdad 2x + 3y < 6 y el conjunto de
puntos q u e satisfacen la desigualdad 2x + 3y > 6. Com o la desigualdad 2x + 3 y < 6
significa 2* + 3 y < 6 o 2 * + 3y = 6,la desigualdad 2x + 3y < 6 contiene a la recta fron
tera. Lo mismo ocurre con la desigualdad 2x + 3y > 6. L a gráfica d e las desigualdades
2 r + 3 y < 6 y 2 * + 3 y > 6 n o contiene la recta frontera. A continuación analizarem os
cóm o graficar desigualdades lineales.
P a ra re p re s e n ta r g rá fic a m e n te u n a d e s ig u a ld a d lineal c o n
d o s va ria b le s
1. Reemplace el símbolo de desigualdad con un signo igual.
2. Trace la gráfica de la ecuación en el paso 1. Si la desigualdad original contiene un símbo
lo > o trace la gráfica utilizando una línea sólida.Si la desigualdad original contiene
un símbolo > o < , trace la gráfica utilizando una línea punteada o discontinua.
3. Seleccione un punto que no esté sobre la línea y determine si éste es una solución de la
desigualdad original. Si el punto seleccionado es una solución, sombree el área de la
gráfica que estédel lado de la línea que contiene este punto. Si el punto seleccionado
no satisface la desigualdad, sombree el área de la gráfica que esté del lado de la línea
que no contiene este punto.
E n el paso 3 decidim os cuál conjunto d e puntos cum ple con la desigualdad dada.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-252-320.jpg)
![Sección 3.7 • G raficación d e d e sigu a ld a d es lineales • 2 2 7
17. 2x - 3y > 12
21. 2x + y < 4
18. 2* + 3y > 6
22. 3* - 4y < 12
^ 19. y < -3 * + 5
23. 10 > 5* - 2y
20. y < - x + 3
2 4 - * - 2 y > 4
Resolución de problemas
m 25. Seguro de vida La tarifa mensual por un segurode vida de
$100,000 para mujeres aumenta de forma casi lineal para
lasedades de 35 a 50. La tarifa para una mujer de 35 años
de edad es de $10.15 al mes,y para una mujerde 50 años es
de $16.45 al mes. Fuente: R.K. Reynolds Insurance Service.
a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos.
b) Marque el área de la gráfica en donde la tarifa es me
nor o igual a $15 al mes.
c) Calcule la edad a la que la tarifa excede, por primera
vez,$15 al mes.
26. índice de Precios al Consumidor El índice de Precios al
Consumidor (IPC) es una medida de la inflacióa Desde
1990, el IPC ha crecido de manera casi lineal. El IPC en
1990 fue de 130.7, y en 2000 el IPC fue de 172.2. Fuente:
Oficina de Censos de Estados Unidos.
a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos.
b) Marque el área de la gráfica en donde el IPC es mayor
que o igual a 150.
c) Calcule el primer añoen el que el IPC fue mayor que
o igual a 150.
27. Remuneraciónpor hora La remuneración por hora es el
monto anual total de los gastos requeridos para emplear
a un individuo, dividido entre el número de horas al año
que éste trabaja. En Estados Unidos, la remuneración pro
medio por hora para todos los empleados ha aumentado
de manera máso menos lineal desde 1975.En ese año,la re
muneración promedio por hora era de $6.36; en 2000, la
remuneración promedio por hora era de $19.86. Fuente:
Oficina de Estadísticas Laborales de Estados Unidos.
a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos.
b) Marque el área de la gráfica en donde la remuneración
promedio por hora es mayorque o igual a $10 por hora.
28.
29.
30.
c) Calcule el primer año en que la remuneración prome
dio por hora excediólos $10 por hora.
7ierras de cultivo en California La cantidad de terreno
de cultivo en California ha disminuido de manera casi li
neal desde 1980. En ese año, California tenía alrededor de
34 millones de acres de tierras de cultivo; en 2000 eran 28
millones de acres. Fuente: Departamento de Agricultura
de Estados Unidos.
a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos.
b) Marque el área de la gráfica en donde la cantidad de
tierras de cultivo es menor que o igual a 30 millones
de acres.
c) Calcule el primer año en que la cantidad de tierras de
cultivo fue menor que o igual a 30 millones de acres.
a) Grafique f(x) = 2x - 4.
b) Marque el área de la gráfica acotada por /(* ), x = 2,
x = 4 y el eje x.
a) Grafique g(x) = —x + 4.
b) Marque el área de la gráfica acotada porg(*),* = 1
y los ejes x y y.
Reto
Grafique cada desigualdad.
3L y < |*| 32. y > x 2
Ejercicios de repaso acumulativo
33. y < x 2 —4
[2.1] 34. Resuelva la ecuación 4 — y - = -6 .
_ (j _
[2.2] 35. Si C = x + Z —^=, determine C cuando * = 80,
V n
Z = 1.96, <r = 3 , y /t = 25.
[2.3] 36. Ofertasmusicales Una tienda de discos está a pun
to de cerrarsus puertas para siempre. La primera se
mana, el precio de todos los artículos se ha reducido
en 10%; la segunda semana se da un descuento adi
cional de $2.Si durante la segunda semana Antonio
Sánchez compra un CD por $12.15, determine el
precio original del CD.
[3.2] 37. /(* ) = - x 1+ 3;determine / ( —
1).
[3.3] 38. Escriba una ecuación de la línea que pasa por el
punto (6, - 2) y es perpendicular a la línea cuya
ecuación es 2x - y = 4.
[3.4] 39. Determine la pendiente de la recta que pasa por
(-4 ,7 ) y (2 ,-1 ).](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-255-320.jpg)
![Ejercicios d e re p a so del capítulo • 2 2 9
O p e r a c i o n e s s o b r e f u n c i o n e s
Suma d e funciones: ( / + g)(*) = f ( x ) + g(x)
D iferencia d e funciones: ( f ~ g ) ( x ) = f ( x ) - g(x)
Producto d e funciones: ( / • g)(*) = /( * ) • g(x)
f ( x )
C ociente d e funciones: { f / g ) ( x ) = , g ( r ) 0
8 x )
Ejercicios de repaso del capítulo
[3.1] 1. Trace los pares ordenados en los mismos ejes.
a) >4(5,3)
Grafique cada ecuación.
1
b) B (0, 4) 0 c (5I ) d ) D ( - 4 ,3 ) e) E (-6 , -1 ) f ) F ( - 2 ,0 )
4. y = 2 * + 3
9. y = |x| - 1
5. y = - ^ x + l
-
10. y = x
3. y = —2x — 1
7. y = x 2 - 1 8. y = |*|
[3.2] 12. Defina qué es una función.
13. ¿Toda relaciónes una función? ¿Toda función es una relación? Explique.
Determine si las siguientes relaciones son funciones;explique sus respuestas.
14. ! 15. {(2,5), (3 ,- 4 ), (5,11), (6 ,- 1 ), (2 ,-5 )}
b 2
c '3
6. y = x 2
11. y = x 3 + 4
En los ejercicios 16 a 19, a ) determine si las gráficas representan funciones; b ) determine el dominio y el rango de cada una.
16. V 17. y
y
4
3
2--
- 4 - 3 - 2 - J
-2
- 3 -
4
3 - -
2--
■ : ; - 4 - 3 - 2 '
—
2--
—
3- -
- 4 - -
3 4](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-257-320.jpg)
![2 3 0 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones
20.
2L
22.
Si f ( x ) = - x 2 + 3x - 5, determine
a ) / ( 2 ) y b ) /(/,).
Si g(t) = 2f3 - 3í2 + 1,determine
a ) g ( - l ) y •>) g(a).
Velocidad de un automóvil Jaime González transita a
bordo de un automóvil. La siguiente gráfica muestra la ve
locidad del automóvil como una función del tiempo. Idee
una historia que corresponda a esta gráfica.
2T 7
0
£ 6
0
W 50 +
Ü 20
> 10 +
30
0 5 10 15 20 25
T iem p o (m in u to s)
[3.3] Grafique cada ecuación usando intersecciones.
25. 3x - 4y = 6
Grafique cada ecuación o función.
27. f ( x ) = 4
28. x = -2
29. Compañía derosquillas La utilidad al año,p,de una com
pañía que se dedica a producir rosquillas puede calcularse
por medio de la función p(x) = 0.1* - 5000, en donde x
es el número de rosquillas que se venden al año.
a) Trace una gráfica de utilidades contra rosquillas vendi
das hasta 250,000.
23. Huerto El número de canastas de manzanas, N, que pro
ducen x árboles en un pequeño huerto (x ^ 100),está dado
por la función N(x) = 40.t - O.lx2. ¿Cuántas canastas de
manzanas producen
a) 20 árboles?
b) 50 árboles?
24. M o ta en descenso Siuna pelota se deja caerdesde lo alto
de un edifido de 100 pies, su altura respecto del suelo, h,
en cualquier tiempo, /, puede determinarse por medio de
la función h{t) = -16/2 + 100,0 < t < 2^. Determine la
altura de la pelota
a) 1segundo después de dejarla caer.
b) 2 segundos después de dejarla caer.
26. j x = l y + 20
b ) Calcule el número de rosquillas que deben venderse
para que la compañía alcance el punto de equilibrio
(es decir,que no gane ni pierda).
c) Calcule el número de rosquillas vendidas si la compa
ñía tiene una ganancia de $20,000.
30. Interés Trace una gráfica que ilustre el interés sobre un
préstamode $12,000 por unperiodode un añopara diferen
tes tasas de interés hasta de 20%. Utilice la fórmula interés
= capital • tasa • tiempo.
[3.4] Determine la pendiente y la intersección del eje y de la gráfica representada por cada ecuación.
31* y = 2x “ 3
34 3x + 4y = 10
32. f ( x ) = - 2 x + 1
35. x = - 2
33. 3x + 5y = 12
36. f ( x ) = 6
Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.
37. (2, 5), ( - 2 , 7) 38. (-2 , 3 )(4 ,1)
Determine la pendiente de cada recta. Si la pendiente es indefinida, indíquelo. Luego escriba la ecuación de la recta.
39. y . 40. 41.
A
O.
*-
1—
1
-* - í - -1
1 2 4
-7 -
--
A
—4 — i'A -
7
A
1 . 1 -1—
1
4 - 2 - ? - i i 1 4
—O-
Z
á
— X 'i.
—A
■r](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-258-320.jpg)
![Ejercicios de re p a so del capítulo • 2 3 1
4Z Si la gráfica que se obtiene de y = -2 x + 3 se traslada 4
unidades hacia abajo, determine
a) lapendiente de la gráfica trasladada,
a) la intersección del eje y de la gráfica trasladada,
a) la ecuación de la gráfica trasladada.
43. Si un punto de una gráfica es (-6 , -8 ) y su pendiente es
|, determine la intersección del eje y de la gráfica.
44 Fiebre tifoidea La siguiente tabla muestra el número de
casos reportados de fiebre tifoidea en Estados Unidos pa
ra años seleccionados entre 1970 y 2000.
a) Determine cada punto y trace los segmentos de recta
entre ellos.
b) Calcule la pendiente de los segmentos de recta.
c) ¿Durante qué periodo de diez años el número de casos
reportados de fiebre tifoidea aumentó más?
Año Número de casos de fiebre tifoidea reportados
1970 346
1980 510
1990 552
2000 317
Fuente: Departamento de Salud y Servicios Humanos de
Estados Unidos.
45. Seguridad social La siguiente gráfica muestra el número
de beneficiarios de seguridad social desde 1980,y proyec
tados hasta 2070. Utilice la forma pendiente intersección
para determinar la función n(t) (representada por la línea
recta punteada) que puede usarse para representar estos
datos.
[3.5] Determine si las dos rectas dadas son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas.
46. 2x - 3y = 10
2 .
y = - x - 4
47. 2x - 3y = 9
-3 * - 2y = 6
48. 4* - 2y = 10
- 2 x + 4y = -8
Determine la ecuación déla recta con laspropiedades indicadas. Escriba sus respuestas en la forma pendiente intersección.
49. Pendiente = —
,pasa por (4,5).
5L Pasa por (0,4) y es paralela a la recta que se obtiene al
graficar y = - j x + 1
53. Pasa por (-3 ,1 ) y es perpendicular a la recta cuya ecua
ción es y = y * + 5
50. P á s a p o r(-3 ,l)y ((2 ,-4 ).
52. Pasa por (2,3) y es paralela a la recta cuya ecuación es 5x
—2y = 7.
54. Pasa por (4,2) y es perpendicular a la recta cuya ecuación
es 4x - 2y = 8.
Se dan dos puntos en l¡ y dos puntos en /2. Determine si /, es paralela a l?, si l¡ es perpendicular al ^ o ninguna de ellas.
55. /,: (4, 3) y (0, - 3 );/2: (1, - 1 ) y (2, -2 )
57. /,: (4,0) y (1,3); fe: (5,2) y(6,3)
59. Tarifas de seguros Las tarifas mensuales por un seguro
de vida de $100,000 para hombres aumenta de manera ca
si lineal de los 35 a los 50 años de edad. La tarifa para un
hombre de 35 años es de $10.76 al mes, y la tarifa para
un hombre de 50 años es de $19.91 al mes. Sea r la tarifa
y a la edad de un hombre entre 35 y 50 años edad.
a) Determine una función lineal r(a) que se ajuste a estos
datos.
b) Utilizando la función resultante de la parte a), calcule
la tarifa mensual para un hombre de 42 añcs de edad.
56. (3,2) y (2, 3); fe: (4 ,1 ) y (1,4)
58. /,: ( -3 ,5 ) y (2,3); h ' (-4 , - 2 ) y (-1 ,2 )
60. Quema decalorías El número de calorías que se queman
al practicar natación durante una hora, cuando se nada a
una velocidad entre 20 y 50 yardas por minuto, es una fun
ción lineal de la velocidad del nadador. Una persona que
nada a 30 yardas por minuto quemará alrededor de 489
calorías en una hora, mientras que nadando a 50 yardas
por minuto quemará más o menos 525 calorías en una ho
ra. Esta información se muestra en la siguiente gráfica.
Beneficiarios de seguridad social](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-259-320.jpg)
![2 3 2 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones
Calorías que se queman al nadar
w 600
| 400
cr
200
489
525
0 10 20 30 40 50
Yardas por minuto
Fuem e: H ealth M agazine, sitio W eb w ww .health.com
a) Determine una función lineal que pueda usarse para
calcularel número de calorías,C,que se quemanen una
hora cuando una persona nada a y yardas por minuto.
b) Utilice la función obtenida en la parte a), para deter
minar el número de calorías que se queman en una
hora cuando una persona nada a 40 yardas por minuto.
c) Utilice la función obtenida en la parte a), para deter
minar la velocidad a la que una persona necesita nadar
para quemar 600 calorías en una hora.
[3.6] Dadas f(x) = x1 - 3x + 4 y g(x) = 2x - 5, determine:
6L ( / + g)(*)
62- ( / + *)(3)
(« - /) (* )
64. ( « - / ) ( - 1 )
65. ( f - g ) ( ~ 1)
66. ( f - g ) ( 5)
67. (f/g)( 1)
68- (f/g)(2)
69. Periódicos La siguiente gráfica muestra el número de pe
riódicos que han circulado en Estados Unidos para años
seleccionados entre 1960 y 2000.
Periódicos en Estados Unidos
2000
1500
1000
500
Vespertinos
Matutinos
1960 1970 1980
Año
F uente: A sociación E stadounidense d e Periódicos.
1990 2000
a) Calcule el número de periódicos matutinos que había
en 1 9 6 0 .
b ) Calcule el número de periódicos matutinos que había
en 2000.
c) Calcule el número de periódicos vespertinos que había
en 1 9 6 0 .
d) Calcule el número de periódicos vespertinos que había
en 2000.
e) Calcule el número total de periódicos que había en
1 9 6 0 .
f) Calcule el número total de periódicos que había en
2000.
70. Registros de vehículos automotores La siguiente gráfica
muestra el número de automóviles registrados en todo el
mundo,el número de camiones y autobuses registrados en
todo el mundo, y el número total de vehículos automoto
res registrados en todo el mundo, para años seleccionados
entre 1 9 7 0 y 2 0 0 0 . Sea c el número de automóviles regis
trados y t el número de camiones y autobuses registrados.
Con base en estos datos, calcule:
a) c(2000)
b) í(2000)
c) (c + /)(2000)
Registros de vehículos automotores en el mundo
1970 1980 1990
Año
Füente: Departam ento d e E nergfad e E stados U n id o s
2000
[3.7] Grafique cada desigualdad.
7L y > - 3 71 r < 4
73. y < 4x - 3 74 y < - x - 2](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-260-320.jpg)
![2 3 4 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones
manera casi lineal desde más o menos 1970. La siguiente
gráficade barras indica el número de muertes provocadas
por enfermedades cardiacas, por cada 100,000decesos, en
años seleccionados desde 1970.
a) Sea r el número de muertes provocadas por enferme
dades cardiacas por cada 100,000 decesos, y sea t los
años desde 1970. Escriba una función lineal r(t) que
represente esta información.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), de
termine el índicede muertes provocadas por enferme
dades cardiacas en 1995.
c) Suponiendo que esta tendencia continúa, determine la
tasa de muertes provocadas por enfermedades cardia
cas en 2010.
índice de m uertes por enfermedades cardiacas
1980 1990
Año
Fuente: Departam ento d e S a lu d y S ervid os H um anos d e Estados Unidos.
En los ejercicios 21 a 23, si / ( x) = 2x2 - x y g(x) = x - 5,
determine:
2 t ( f + g)(3)
22. ( f / g ) ( - 1)
23. f (a)
24 Uso del papel La siguiente gráfica muestra el uso del pa
pel en Estados Unidos en 1995 y el uso del papel proyec
tado de 1995 a 2015.
a) Calcule el número total de toneladas de papel que se
usará en 2010.
b) Calcule el número de toneladas de papel que usarán
las empresas en 2010.
c) Calcule el número de toneladas de papel que se usará
en 2010 en referencias, medios de comunicación im
presos y uso en el hogar.
U so del papel
| 50
40
Referencia, medios de comunicación
impresos y uso en el hogar
1995 2000
fu e n te : C A P V en tures.
25. Grafique y < 3x - 2.
2015
Examen de repaso acumulativo
Resuelvael examen y verifiquesus respuestascon lasque aparecen
d final. Revise laspreguntas que haya respondido incorrectamen
te. Los números de la sección y el objetivo en donde seanaliza el
material correspondiente seindican después de cada respuesta.
L Para A = {1,3,5,7,9} y B = {2,3,5,7,11,13}, determine:
a) A H B.
b) A U S.
2. Cbnsidere el conjunto { - 6 , - 4 , 0 , V3,4.67,” , - V 2 }
Liste los elementos del conjunto que son
a) números naturales.
b) números reales.
3. Evalúe 2 —{3[6 —4(62 4)]}.
Simplifique.
4 ^
y"3
2 * y 2
4xy3
Ingresos municipales En 2001, el monto total de los in
gresos disponibles en cierto municipio fue de $1376 X 109.
La siguiente gráfica muestra un desglose de las fuentes de
ese dinero.
Cobro por —
servicios 15.6%
a) ¿Cuánto dinero se obtuvo a partir de impuestos pre
diales?
b) ¿Cuánto dinero se obtuvo a partir de subvenciones
federales?
c) ¿Cuánto más se obtuvo a partir de impuestos estata
les que a partir de subvenciones estatales?
Origen del dinero
(1576 millones)
Subvenciones t------- 0tras fuentes52%
federales
142%
Impuesto
predial
30.7%
locales 5.0%
Impuesto
Impuestosestatales Subvenciones J?
compartidos 103% estatales 9.4% renta9.6%
Fuente: Departam ento d e Finanzas m u n icp ales d e la ciudad d e Baltimore.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-262-320.jpg)
![R esp ue stas al e xa m e n d e re p a so acum ulativo • 2 3 5
En los ejercicios 7 y 8,resuelva las ecuaciones.
7. 2 (x + 4) - 5 = -3 [ x - {2x + 1)]
9. Simplifique 5* - {4 - [2(x - 4)] - 5}.
10. Despeje b¡ de A = ^ h ( b x + b2).
11. Solucionesdeperóxido dehidrógeno ¿Cuántos galones de
soluciónde peróxido de hidrógeno con una concentración
de 15% deben mezclarse con 10 galones de una solución
del mismo compuesto con concentración de 4% para ob
tener una solución con concentración de 10%?
12. Resuelva la desigualdad 3(* - 4) < 6(2* + 3).
13. Resuelva la desigualdad - 4 < 3x - 7 < 8.
14 Determine el conjunto solución de |3* + 5| = 2x - 10|.
15. Determine el conjunto solución de |2»r —1| < 3.
16. Grafique y = -|% r - 4.
17. a) Determine si la siguiente gráfica representa una fun
ción.
b) Determine el dominio y el rango de la gráfica.
18. Determine la pendiente de la recta que pasa por los pun
tos (-5 ,3 ) y (4,1).
19. Determine si las rectas que resultan al graficar las siguien
tes ecuaciones son paralelas, perpendiculares, o ninguna
de ellas.
2x - 5y = 6
5 x - 2 y = 9
20. Sif(x) =x2+ 3x —2y g(x) =4x - 6 ,determine (f + g)(x).
Respuestas al examen de repaso acumulativo
L a) {3,5,7} b) {1,2, 3, 5, 7, 9,11,13}; [Sec. 1.2, Obj. 4)
Obj.5] 3.92; [Sec. 1.4, Obj. 3] 4 1 6 ^ [Sec. 1.5,Obj. 7]
b) $2.23792 X 108 o $223,792,000 c) $1.4184 x 107 o $1
138
8 . - ^ ; [Sec.2.1, Obj. 4] 9. I x - 7; [Sec. 2.1, Obj. 2] 10
12.* > - r p [Sec.2.5, Obj. 1] 13.1 < * < 5; [Sec. 2.5,0
15. {x| -1 < * < 2}; [Sec.2.6, Obj. 3] 16. y
2
l i l i i i
-6 -4
y = ~ h ~
-6 -
17. a) No es una función b) Dominio: {*1* ^ 2}; rango: (R;
19. Ninguna; [Sec.3.5, Obj. 3] 20. + I x - 8; [Sec.3.6,Ob
2. a) Ninguno b) - 6 , -4 , 0, V 5, 4.67,y , - V 2; [Sec. 1.2,
5.^ j ; [Sec. 15, Obj. 7] 6. a) $4.83832 x 108o $483,832,000
4,184,000; [Sec. 1.5, Obj. 7] 7.0; [Sec. 2.1, Obj. 3]
2A
bx = — - by, [Sec. 2.2, Obj. 2] 11.12 gal; [Sec. 2.4, Obj. 2]
n
bj.3] 14. {-15,1}; [Sec.2.6, Obj. 7]
[Sec.3.1, Obj. 2]
—
M—
1
----1
2 x
1
Sec. 3.2, Obj. 3] 18. [Sec. 3.4,Obj. 2]
j l ]](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-263-320.jpg)
![Ejercicios de repaso acumulativo
Sección 4 .2 • Resolución d e sistem as d e e cu a cio n e s c o n tre s variables • 2 4 9
[1.2] 102. Explique la diferencia entre un número racional y
uno irracional.
[1.2] 103. a) ¿Todos los números racionales son números
reales?
b) ¿Todos los números irracionales son números
reales?
[2.1] 104. Resuelva la ecuación ^-(x - 7) = ^ ( 2 x + 1).
[22] 105. Encuentre todos los números talesque x - 4| = |4 - *|.
[2.2] 106. Evalúe A = p ^ l + -cuando p = 500,r = 0.08,
n = 2 y t = 1.
• [3.5] 107. ¿La relación {(-3,4), (7,2),(-4,5),(5,0),(-3,2)}
es una función? Explique su respuesta.
[3.6] 108. Sea f(x) = x + 3 y g(x) = x2 - 9. Determine
(ffgX3).
4 . 2 R E S O L U C IÓ N D E S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S C O N T R E S V A R IA B L E S
1 Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables.
2 Aprender a interpretar geom étricam ente un sistema de ecua
ciones con tres variables.
3 Reconocer sistemas inconsistentes y dependientes.
1 R e s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s c o n tre s v a ria b le s
La ecuación 2 x - 3 y + 4 z = 8 es un ejemplo de una ecuación linealcon tres variables. La
solución de este tipo de ecuaciones lineales es una tem a ordenada de la forma (x ,y ,z ).
Una solución para la ecuación dada es (1,2,3). Compruébelo.
Para resolversistemasde ecuaciones linealescon tres variables,podemos usar los
métodos de sustitución o de la suma que analizamos en la sección 4.1.
E J E M P L O 1 Resuelva el siguiente sistema por sustitución.
* = - 3
3 x + 4 y = 7
- 2 x - 3 y + 5 z = 19
Solución Como sabemos que x = - 3 ,sustituimos x por -3 en la ecuación 3 x + 4 y = 7, y des
pejamos y.
3 x + 4 y = 7
3(—
3) + 4 y = 1
- 9 + 4 y = 1
4y = 16
y = 4
Ahora sustituimos x = - 3 y y = 4 en la última ecuación,y despejamos z.
- 2 x - 3 y + 5 z = 19
- 2 ( -3 ) - 3(4) + 5z = 19
6 - 12 + 5z = 19
- 6 + 5z = 19
5z = 25
z = 5](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-277-320.jpg)
![2 5 0 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades
AHORA RESUELVA EL E JE R C IC IO 3
E J E M P L O 2
Solución
Comprobación x = - 3 , y = 4 , z = 5. L a solución debe verificarse en las tres ecua
ciones originales.
x = - 3 3 x + 4y = 7 - 2 x - 3 y + 5 z = 19
- 3 = - 3 3 ( - 3 ) + 4 (4) = 7 —
2 ( - 3 ) - 3 (4) + 5(5) = 19
7 = 7 Verdadero 19 = 19 Verdadero
L a solución es la terna ordenada (-3 ,4 ,5 ). R ecuerde q u e la tem a ordenada lista pri
m ero el valor a, después el valor y y p o r último el valor z. #
No todos los sistem as lineales con tres variables pueden resolverse p o r sustitu
ción d e form a tan directa com o en el ejem plo 1. Cuando un sistem a d e tercer orden no
puede resolverse fácilm ente p o r sustitución, podem os encontrar la solución utilizan
do el m étodo d e la sum a, com o se ilustra en el ejem plo 2 .
Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones m ediante el m étodo d e la suma.
3 a + 2y + z = 4 (ec. 1)
2 a - 3y + 2 z = - 7 (ec. 2)
a + 4y - z = 10 (ec. 3)
Para resolver este sistem a d e ecuaciones, debem os o b ten er prim ero dos ecuaciones
con las mismas dos variables. Esto se hace eligiendo dos ecuaciones y utilizando el m é
todo d e la sum a p ara elim inar una d e las variables. Por ejem plo, sum ando la (ec. 1) y
la (ec. 3) elim inam os la variable z. D espués utilizamos un p ar diferente d e ecuaciones
[ya sea (ec. 1) y (ec. 2) o (ec. 2) y (ec. 3)] y em pleam os el m étodo d e la sum a p ara eli
m inar la m ism a variable q u e fue elim inada con anterioridad. Si multiplicam os (ec. 1)
po r - 2 y la sum am os a (ec. 2), la variable z será elim inada nuevam ente. E ntonces ten
drem os dos ecuaciones con sólo dos incógnitas. Comencemos p o r sum ar (ec. 1) y (ec. 3).
3a + 2y + z = 4 (ec. 1)
a + 4y - z = 10 (ec. 3)
4 a + 6y = 1 4 Suma de las ecuaciones, (ec. 4).
U tilicem os ahora un conjunto diferen te d e ecuaciones y elim inem os d e nuevo la
variable z.
- 6 a - 4 y - 2z = - 8 (ec. 1) Multiplicada por -2 .
2a - 3 y + 2z = - 7 (ec. 2)
_ 4a — 7 y = —15 Suma de las ecuaciones, (ec. 5).
A hora tenem os un sistem a d e dos ecuaciones co n dos incógnitas, (ec. 4) y (ec. 5). Si
sum am os estas dos ecuaciones, elim inarem os la variable a.
4a + 6 y = 14 (ec. 4)
- 4 a ~ 7 y = - 1 5 (ec. 5)
—y = —1 Suma de las ecuaciones,
y = 1
Luego sustituim os y = 1 en cualquiera d e las dos ecuaciones con sólo dos variables
[(ec. 4) o (ec. 5)] y despejam os a.
4a + 6y = 14 (ec. 4)
4a + 6 (1) = 14 Sustituya y por! en la (ec. A).
4 a + 6 = 14
4 a = 8
a = 2](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-278-320.jpg)
![2 5 6 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades
Reto
Determine la soluciónpara los siguientes sistemas de ecuaciones.
49. 3p + 4q = 11 50. 3a + 2b - c = 0
2p + r + s = 9 2a + 2c + d = 5
q - s = -2 a + 2b - d = -2
p + 2q - r = 2 2 a - b + c + d = 2
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 51. Esquí a campo traviesa Margarita Suárez empieza
a esquiar a 3 millas por hora. Diez minutos después,
hora),su esposo, David, comienza a esquiar por
el mismo camino a cinco 5 por hora.
a) ¿Cuáito tiempo despuésde que Davidcomienza
a esquiar alcanzará a Margarita?
b) ¿A qué distancia desde el punto inicial se en
contrarán?
[2.6] Determine cada conjunto solución.
2x 3* - 4 1
S I
4 ~ T
> 5 53.
2 - 1 < 5 54
^2
= -5
4 - 3 S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S L IN E A L E S : A P L IC A C IO N E S Y R E S O L U C IÓ N
D E P R O B L E M A S
1 Utilizar sistemas de ecuaciones para resolver problem as de
aplicación.
2 Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver
problemas de aplicación.
1 U tiliza r s is te m a s d e e c u a c io n e s p a ra re s o lv e r p ro b le m a s d e a p lic a c ió n
M uchos d e los problem as d e aplicación q u e se resolvieron e n capítulos anteriores usan
do una sola variable pueden resolverse usando dos variables. E n seguida se presentan
algunos ejem plos q u e m uestran cómo pueden describirse los problem as d e aplicación
m ediante sistem as d e ecuaciones.
EJ E M PLO 1 Cam bios en la fuerza d e trab a jo L a gráfica d e la figura 4.6 in
dica que,en Estados Unidos, el porcentaje d e hom bres en la fuerza d e trabajo está dis
m inuyendo d e m anera constante, m ientras q u e el p orcentaje d e m ujeres está
aum entando gradualmente. La función m (t) = -0.251 + 85.4, en donde t = años desde
1955, puede usarse p ara calcular el porcentaje de hom bres q u e participa en la fuerza
d e trabajo,y la función w(t) = 0.521 + 35.7 puede usarse p ara calcular el porcentaje de
mujeres. Si esta tendencia continúa,determ ine en qué año el porcentaje d e mujeres que
participa en la fuerza d e trabajo será igual al porcentaje d e hombres.
Solución E n tie n d a e l p r o b le m a y tr a d u z c a C onsidere las dos funciones
d adas anteriorm ente com o el sistem a d e ecuaciones. P ara determ inar en q u é año el
porcentaje d e m ujeres será igual al porcentaje d e hom bres,podem os establecer las dos
funciones d e tal m anera q u e sean iguales, y despejar el tiem po, t.
Mujeres y hombres en
la fuerza de trabajo
(Porcentaje de población en
la fuerza de trabajo civil)
Año
Fuenle: Departam ento d e Trabajo d e
E stados Unidos.
FIGURA 4.6](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-284-320.jpg)
![Actividad en equipo_________________________
2 7 0 • C apítulo 4 • Sistem as de e cu a cio n e s y desigualdades
Analicen y respondan en equipo el ejercicio 55.
55. Dos automóviles Un sistema no lineal de ecuaciones es
aquel que contiene al menos una ecuación que no es li
neal. (Los sistemas no lineales de ecuaciones se estudiarán
en el capítulo 10). La gráfica muestra un sistema no lineal
de ecuaciones. Las curvas representan velocidad contra
tiempo para dos automóviles.
a) ¿Las dos curvas son funciones? Expliquen.
b) Analicen el significado de esta gráfica.
c) En el momento t = 0.5 h, ¿cuálde los automóviles está
viajando a mayor velocidad? Expliquen su respuesta.
d) Supongan que los dos automóviles inician en la misma
posición y viajan en la misma dirección. ¿Cuál auto
móvil,A o B, viaja más lejos en una hora? Expliquen
su respuesta.
Tiempo (horas)
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.4] 56. Evalúe x + x y + y cuando x = - 2 , y = 5.
57. Resuelva 4 - 2[(x - 5) + 2x] = ~(x + 6).
58. Explique cómo determinar si una gráfica represen
ta una función.
59. Escriba una ecuación para la recta que pasa por los
puntos (6, -4 ) y (2, -8).
I 4 . 4 R E S O L U C IÓ N D E S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S P O R M E D IO D E M A T R IC E S
1 Escribir una m atriz aum entada.
é k
2 Resolver sistemas de ecuaciones lineales.
3 Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.
f t
a Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes.
1 Escribir una matriz aumentada
U n a m atriz es un arreglo rectangular d e núm eros dentro d e corchetes. E jem plos de
m atrices son
"4 ó l [ 5 7 2 1
9 - 2 j [ - 1 3 4 j
Los núm eros dentro d e los corchetes se denom inan elem entos de la matriz.
La m atriz d e la izquierda contiene 2 filas y 2 colum nas; p o r lo tanto, se le llama
matriz d e 2 p o r 2 (2 X 2). L a matriz d e la derecha contiene 2 filas y 3 columnas; p o r lo
tanto,es una m atriz d e 2 p o r 3 (2 X 3). Al escribir las dim ensiones d e una m atriz, siem
p re se indican prim ero las filas y luego las colum nas d e q u e consta. U na m atriz cuadra
da tiene el mismo número d e filas q u e d e columnas. Así, la matriz d e la izquierda es una
matriz cuadrada.
E n esta sección utilizarem os m atrices p ara resolver sistem as d e ecuaciones li
neales. Para ello, prim ero hay q u e escribir cada ecuación en la form a ax + b y = c. El](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-298-320.jpg)
![Sección 4 .4 • R esolución d e sistem as de e cu a cio n e s p o r m edio d e m atrices • 2 7 1
siguientepasoconsisteenescribir lamatrizaumentada,esdecir,unamatriz conform a
da por dos matricespequeñasseparadas por una barravertical. Los números a la
izquierdade lalíneaverticalsonloscoeficientesde lasvariablesdelsistemadeecua
ciones,y losnúmeros aladerechasonlasconstantes. Parael sistemadeecuaciones
a xx + b xy = ci
a2x + b2y = c2
lamatrizaumentadaseescribe
a x bi
c
'l
_a2 ¿2
c
J
A continuacióntenemosunsistemadeecuacionesy sumatriz aumentada.
Sistem a de e cuacio nes M atriz aum entada
- * + 2 y = 4
■3*
1 2
-3 -5
Observequelabarraverticalde lamatriz aumentadaseparaloscoeficientesnuméri
cosde lasconstantes. Como lamatrizessólo unaformaabreviadadeescribirelsiste
made ecuaciones, podemos resolver un sistema lineal utilizando matricesde una
manerasimilar acomo lohacemosmedianteel métodode lasuma.
2 R e s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s lineales
Pararesolverunsistemadedosecuacioneslinealesmediantematrices,reescribimosla
matriz aumentadaen form a triangular,
IkJ:]
endondea, p y q sonconstantes. A partir deestetipo de matriz aumentadapode
mosescribir unsistemadeecuacionesequivalente. Esta matriz representaal siste
malineal
1x + ay = p
Ox + 1y = q
x + ay = p
y = q
Porejemplo,
1 3
0 1
representa
* + 3y = 4
y = 2
Observequeelsistemadel ladoderechopuederesolversefácilmenteporsustitución.
Susoluciónes(-2,2).
Parareescribir lamatrizaumentadaenformatriangular,utilizamostransform a
ciones d e fila, mismasquepuedenrealizarsemediantetresprocedimientos.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-299-320.jpg)
![2 7 2 • C apítulo 4 • Sistem as de e cu a cio n e s y desigualdades
E J E M P L O 1
Solución
P rocedim ientos p a ra la transform ación d e filas
L Todos los números de una fila pueden multiplicarse por (o dividirse entre) cualquier
número real distinto de cero. (Esto es lo mismo que multiplicar ambos lados de una
ecuaciónpor un número real distinto de cero).
2. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por cualquier número real distinto
de cero. Los productos resultantes pueden sumarse a los números correspondientes en
cualquier otra fila. (Esto es equivalente a eliminar una variable del sistema de ecuacio
nes utilizando el método de la suma).
3. Dos filas de una matriz pueden intercambiarse. (Esto es b mismo que intercambiar
dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones).
Por logeneral, al cambiar unelementode lamatriz aumentadapor 1seutiliza
elprimerodelosprocedimientosdescritos,y alcambiarunode loselementospor0uti
lizamoselsegundoprocedimiento.Se trabaja por columnas,comenzando por la de la
izquierda;enotraspalabras,inicieconlaprimerafilade laprimeracolumna.
Resuelvaelsiguientesistemadeecuacionesutilizando matrices.
2 x - 3 y = 10
2 x + 2 y = 5
Primeroescribimos lamatriz aumentada.
2 -3
2 2
10
Nuestroobjetivoesobtener unamatrizdelaforma
[kJ:].Paraello,comenza
mospor utilizarel procedimiento 1delastransformacionesdefilaparacambiar el 2
en laprimerafilade laprimeracolumnapor 1. Parahacerlo,multiplicamoslaprime
rafilade númerospor1. (Abreviamosestamultiplicacióncomo R Xy colocamosla
expresiónaladerechadelamatriz,en lamismafilaendondese realizó laoperación.
Estopuedeayudarleaseguir elprocedimientoconmásclaridad).
Conestoseobtiene
2 (1 ) -3 (1
2 2
10(¿
5
i - i
El paso siguienteesobtener 0 en lasegundafilade laprimera columna,dondepor
el momentoseencuentraun2. Lo haremosmultiplicando por-2 los númerosdela
primerafila,y sumamoslosproductosalosnúmerosde lasegundafila. (Esto seabre
via - 2 R X + R2).
Losnúmerosde laprimerafila,multiplicadospor -2 son
l(-2 ) - - ( - 2 ) 5(-2)
Ahorasumamosestosproductosasusnúmerosrespectivosdelasegundafila. Cones
toobtenemos
2 + l(-2 ) 2 + ( - f ) ( - 2 ) 5 + 5(-2) -2 R, + R-](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-300-320.jpg)
![Sección 4 .4 • Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s p o r m edio de m atrices • 2 7 3
A hora tenem os
1 " I
0 5
5
Para obtener 1 en la segunda fila d e la segunda colum na, multiplicam os la segunda fi
la d e núm eros p o rj.
so) i -5(i;
[M I 4]
L a m atriz se encuentra ahora en la form a q u e buscábamos. E l sistem a d e ecuaciones
triangular equivalente es
3 .
* " 2 :V = 5
y = - i
A hora podem os despejar * m ediante sustitución.
* - y = 5
* - | ( - D = 5
* + 2 = 5
7
X = 2
AHORARESUELVAELEJERCICI019 Com pruebe q u e la solución del sistem a es ( | , —1).
3 R e s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s lineales c o n tre s v a ria b le s
A hora utilizaremos las matrices p ara resolver un sistema d e tres ecuaciones lineales con
tres variables. Usarem os el mismo procedim iento d e transform aciones d e filas q u e em
pleam os para resolver un sistem a d e dos ecuaciones lineales. N uestro objetivo es o b
tener una m atriz aum entada en form a triangular
P
<
i1
r _
donde a, b , c , p yq y r son constantes. E sta m atriz representa el siguiente sistem a de
ecuaciones.
1x + a y + b z = p x + a y + b z = p
0* + 1y + cz = q o y + c z = q
Ox + Oy + i z = r z = r
Al construir una matriz aum entada, trabajep o r columnas, com enzando p o r la del
extremo izquierdo y finalizando con la del extremo derecho. Siempre termine las ope
raciones en una colum na antes de pasar a la siguiente. E n cada colum na, prim ero ob-](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-301-320.jpg)
![2 7 6 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
4 R e c o n o c e r s is te m a s in c o n s is te n te s y s is te m a s d e p e n d ie n te s
Al resolver un sistem a d e dos ecuaciones, si usted obtiene una m atriz aum entada en
la q u e todos los núm eros d e una fila al lado d e la barra vertical son ceros, pero no hay
ceros q u e les correspondan en el o tro lado, significa q u e el sistem a es inconsistente y
no tiene solución. Por ejemplo, un sistem a d e ecuaciones con el q u e se obtiene la si
guiente m atriz aum entada es un sistem a inconsistente.
Sistema inconsistente.
L a segunda fila d e la m atriz representa la ecuación
Ox + O y = 4
qu e nunca es verdadera.
Si obtiene una matriz con ceros en toda una fila, el sistem a d e ecuaciones es d e
pendiente. Por ejemplo, un sistem a d e ecuaciones q u e produce la siguiente m atriz au
m entada es un sistem a dependiente.
I - 3 -2~|
) 0 0 I «----------Sistema dependiente.
L a segunda fila d e la m atriz representa la ecuación
Ox + Qy = 0
qu e siem pre es verdadera.
Los sistem as d e ecuaciones con tres ecuaciones cum plen reglas similares.
Sistema inconsistente.
AHORARESUELVAELEJERCICIO27
" l 2 4 5"
0 0 0 - 1
_0 1 - 2 3_
" l 3 - 1 2~
0 0 0 0
_0 4 1 - 3 _
Sistema dependiente.
30 C ó m o utilizar su ca lcu la d ora g ra fica d o ra
M uchas calculadoras graficadoras p u ed en trab ajar con m atrices y realizar operaciones en las filas. Por
consiguiente, estas calculadoras graficadoras pueden utilizarse p ara resolver sistem as d e ecuaciones m ediante
matrices.
Lea el m anual d e instrucciones q u e viene con su calculadora graficadora p ara ver si puede m anipular m atri
ces. Si es así, aprenda a utilizarla p ara resolver sistem as d e ecuaciones m ediante matrices.
C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 4 . 4
Ejercicios conceptuales
L ¿Qué es una matriz cuadrada?
2. Explique cómo construir una matriz aumentada.
3. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un
sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para
completar el procedimiento? Explique.
1 3 I ó ]
0 - 1 4](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-304-320.jpg)
![Se cció n 4 .5 • Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s por m edio d e d e term inantes... • 2 7 9
52. Navegadores Web La siguiente gráfica muestra que en
2002, Microsoft y Netscape controlaron la mayorparte del
mercado de navegadores Web. Microsoft controló alrede
dor de 49% más mercado que Netscape, y Netscape con
troló alrededor de ocho veces la cantidad que controlaban
todos los demás productores de este tipo de programas.
Determine el porcentaje que corresponde a cada sector
de la gráfica que se muestra.
Ejercicios de repaso acumulativo
Distribución del mercado de navegadores Web
Otras
Netscape
Microsoft
Fuente: www.wcbrcvlew.ccm
[1.2] 53. A = (1,2,4,6,9}; B = {3,4,5,6,10}. Determine
a ) á U 8 ;
b) A n B.
[2.5] 54. Indique la desigualdad - 2 < x < 4
a) en una recta numérica,
b) como un conjunto solución, y
c) en notaciónde intervalo.
[3.2] 55. ¿Qué representa una gráfica?
[3.4] 56. 56.Si/(a:) = - I x 2 + 4x - 6, determ ine/(-5).
4 . 5 R E S O L U C IÓ N D E S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S P O R M E D IO D E
D E T E R M I N A N T E S Y L A R E G L A D E C R A M E R
a f e
1 Evaluar un determinante de una matriz 2 x 2 .
2 Utilizar la regla de Cramer.
3 Evaluar un determinante de una matriz 3 x 3 .
4 Utilizar la regla de Cram er con sistemas de tres variables.
1 Evaluar un determinante de una matriz 2 x 2
Hemosestudiadovariosmétodospararesolversistemasdeecuacioneslineales:grafi-
cación,sustitución,el métodode lasuma(o eliminación) y m
atrices. Los sistemasde
ecuaciones linealestambiénpuedenresolversemediantedeterminantes.
Todaslasmatricescuadradastienenunnúmeroasociadoqueseconocecomosu
determinante. Enelcasodeunamatrizde2 X 2,eldeterminantesedefinecomosigue.
D E F IN IC IÓ N
El determinante de una matrizde 2 X 2
evalúacomo
a M
, sedenotapor
_a2 b2J
a x bx
a2 ¿>2
y se
a x bx
a2 bi
= abi ~ a2bx
E J E M P L O 1 Evalúecadadeterminante.
2 - 1
a) 3 5
Solución a) a ¡ = 2 , a 2 = 3yb, = -1 yb2 = 5
b)
-2 3
-1 4
2 x _ 1
3 5
= 2 (5) - (3 )(—1) = 10 + 3 = 13](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-307-320.jpg)
![2 8 2 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades
E J E M P L O 3
S o lu c ió n
terminantemenorde Losdeterminantesmenoresde losdemáselementosseloca
lizandemanerasimilar.
b¿ c 2
bi c3
Determinante menorde a,.
b Ci
bi c3
Determinante menorde a2-
bx c,
b i c 2
Determinante menorde a3.
Paraevaluar losdeterminantesde unamatriz de3 X 3,utilizamoslosdeterminan
tes menores. En el siguiente recuadro semuestracómo evaluarlospor el desarrollo
d e m enores delaprimeracolumna.
Desarrollo d e los dete rm in an tes m ediante los m e n o re s
de la p rim e ra co lu m n a
Determinante Determinante Determinante
menor menor menor
d e a d e a 2 d e a 3
i i 1
a, b { cj
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
= a
b 2 c 2
b 3 c3
- a 2
b C i
b $ c3
+ a 3
b i c,
b2 c2
4 - 2 6
Evalúe 3 5 0
1 -3 -1
resde laprimeracolumna.
utilizandoel desarrollo del determinantemediantelosmeno-
Seguiremoselprocedimiento indicadoenelcuadro.
4 - 2 6
3 5 0
1 -3 -1
= 4 [5 (-l) - (-3)0] - 3[(—2)( —1) - (-3)6] + l[(-2 )0 - 5(6)]
= 4(—5 + 0) - 3(2 + 18) + 1(0 - 30)
= 4(—5) - 3(20) + 1(—30)
= -20 - 60 - 30
= -1 1 0
= 4
5 0
3 -1
- 3
2 6
3 -1
+ 1
- 2 6
5 0
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13 E l d e te rm in a n te tie n e u n v a lo r d e - 1 1 0 . #](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-310-320.jpg)
![2 8 6 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades
37. a - b + 2c = 3
a - b + c = 1
la + ¿> + 2c = 2
38. 2* + y - 2 = 0
3x + 2 y + z = 3
x - 3y - 5z = 5
39. a + Ib + c = 1
a - b + c = 1
2a + ¿> + 2c = 2
40. 4x - 2y + 6z = 2
-6 * + 3y - 9z = - 3
2x - l y + l l z = -5
4L 1.1* + 2.3y - 4.0z = -9.2
-2.3* + 4.6z = 6.9
-8.2y - 7.5z = -6.8
42. 4.6y - 2.1z = 24.3
-5.6* + 1.8y = -5.8
2.8* - 4.7y - 3.1z = 7.0
43. -6 * + 3y - 9z = - 8
5* + 2y - 3z = 1
2* - y + 3z = -5
46. i * - + 3z = -3
2* —3y + 2z = -1
1 1 1 i
6^ + F ' 3Z = 1
44. x —2y + z = 2
4* - 6y + 2z = 1
2* - 3y + z = 0
47. 0.2* - O.ly - 0.3z = -0.1
0.2* - O.ly + O.lz = -0.9
0.1* + 0.2y - 0.4z = 1.7
45. 2* + - y - 3z = 5
-3 * + 2y + 2z = 1
4x ~ y ~ i z = 4
48. 0.6« - 0.4u +0.5w = 3.1
0.5w + 0.2ü +0.2w = 1.3
0.1a + O.lv +0.1w = 0.2
Resolución de problemas
49. Dado un determinante de la forma , ¿cómo carn
a l b i
Ü
2 th
biará el valor del determinante si se intercambian entre sí
a2 b2
las a y se intercambian entre sí las b,
su respuesta.
a, bx
? Explique
50. Dado un determinante de la forma , ¿cómo cam-
a, by
Ü
2 b
>
2
biará el valor del determinante si las a son intercambia-
by O
y
das con las b.
b2 02
? Explique su respuesta.
5L Si las dos filas de un determinante de 2 X 2 son iguales,
¿cuál es el valor del determinante?
Determine el valor de la letra dada.
- 57.
Reto
4 6
- 2 y
= 32 58.
b - 2 - 4
b + 3 - 6
= 14
52. Si todos loselementos de una fila o de una columna de un
determinante de 2 X 2son 0, ¿cuáles el valor del determi
nante?
53. Si todos loselementos de una fila o de una columna de un
determinante 3 X 3 son 0, ¿cuál es el valor del determi
nante?
54 Dado un determinante de 3 X 3,si todos los elementos de
una fila se multiplican por - 1, ¿cambiará el valor del de
terminante? Explique.
55. Dado un determinante de 3 X 3, si la primera y segunda fi
lasse intercambian, ¿cambiará el valordel determinante?
Explique.
56. En un determinante de 3 X 3,si cualesquiera dos filas son
iguales, ¿puede hacer una generalización acerca del valor
del determinante?
59.
4 7 y
3 - 1 2
4 1 5
= -3 5 60.
3 * -2
0 5 - 6
1 4 -7
= -3 1
61. Utilice el método de la suma para resolver el siguiente sistema para a) *, y b) y.
axx + byy = c,
a2x + b rf = c2
Ejercicios de repaso acumulativo
12.5] 62. Resuelva la desigualdad 3(x - 2) < j( x - 4) e indique la solución en notaciónde intervalo.
Grafique 3* + 4y = 8, mediante el método indicado.
[3.2] 63. ft>r medio del trazo de puntos.
64. Utilizando las intersecciones de los ejes x y y.
[3.3] 65. Utilizando la pendiente y la intersección del eje y.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-314-320.jpg)
![2 9 2 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades
Sin graficar, determine el número de soluciones para cada uno délos siguientes sistemas de desigualdades. Explique sus respuestas.
47. 2x + y < 6 48. 3x - y < 4
2x + y > 6 3* - y > 4
49. 5^ - 2y < 3
£ 5jc - 2y > 3
50. 2x - y < 7 V 5L 5* - 3y > 5
3x - y < 4 5* - 3y > 6
5Z x + y < 0
* - y > 0
Reto
Determine la soluciónpara cada sistema de desigualdades.
53. y ^ x 2 54. y < 4 - x? 55. y < |x
y < 4 y > - 5 y < 4
56. y > |x - 2|
y < - |x - 2|
Ejercicios de repaso acumulativo
/2 .2 J 57. En física, una fórmula para palancas es fd i + f1dl = Despeje fi de esta fórmula.
[3.2] Establezca el dominio y rango de cada función.
58. {(4,3), (5 ,-2 ), (-1 ,2 ), (0 ,-5 )} 60. y
k
59. f { x ) = x - 4 2'
j
. . / ,
--1
--1
--
-2-
. y i **
(2.-1)
R e s u m e n d e l C A P IT U L O
Términos y frases importantes
4.1 Sistemadeecuaciones 4.4 4.6
Métodode lasuma(o lineales Matriz aumentada Restricciones
eliminación) Elementos Programaciónlineal
Sistemadeecuaciones 4.2 Matriz Sistemadedesigualdades
consistente Interpretacióngeométrica Transformacióndefilas lineales
Sistemadeecuaciones de unsistemade Matrizcuadrada Sistemadedesigualdades
dependiente ecuacioneslineales Formatriangular linealesconvalor
Sistemadeecuaciones contresvariables absoluto
inconsistente 4.5
Témaordenada 4.3 Reglade Cramer
Soluciónde unsistema Anguloscomplementarios Determinante
deecuaciones Ángulossuplementarios Desarrollodel determi
Sustitución nantepor menores
Determinantemenor
(continúa en la página siguiente)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-320-320.jpg)
![Ejercicios de repaso del capítulo
2 9 4 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y d e sigualdades
[4.1] Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección. Sin graficar ni resolver, determine si el sistema de ecuaciones linea
les es consistente, inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución o un
número infinito de soluciones.
1. 2* - 3y = - 1 2. 2* - 5y = 8 3. y = x + 4 4. 6
x = 4y - &
- 4 x + 6
y = 1 3* + 4y = 9 x + 2y = 8 4* = 6y + 8
Determine gráficamente la solución de cada sistema de ecuaciones. Si el sistema es inconsistente o dependiente, indíquelo.
5. y = x + 3 6
. x = - 2 7. 2* + 2y = 8 8
. 2y = 2x - 6
y = 2x + 5 y = 3 2x - y = - 4 1 _ 1 = 3
2 X 2 y 2
Determínela solución de cada sistema de ecuaciones mediante sustitución.
9. y = —4x + 2 10. 4x —3y = - 1 11. a = 2b - 8 12. 3* + y = 17
y = 3 x - 12 y = - 3x - 4 21, - 5a = 0 1 3
2X ~ 4y = 1
Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
13. * - 2y = 5 14 - 2 x - y = 5 15. 2a + 3b = 1
2* + 2y = 4 2* + 2y = 6 a - 2b = - 7
16. 0.4* - 0.3y = 1.8 17. 4r - 3s = 8 18. - 2 m + 3n = 15
-0.7* + 0.5y = -3.1 2r + 5s = 8 3m + 3* = 10
2 9 3 5
19. * + - y = - 20. 2* + 2y = 8 2L y = - - * + -
3 . y = 4x - 3 5 7
X ~ 2 y = X + 4 y = 2
22. 2* - 5y = 12 23. 2x + y = 4 24 2* = 4y + 5
4 1 2y = * —6
x - - y = -2 x + - y = 2
[4.2] Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución o el de la suma.
2 5 . * —2y —4z = 13 2 6 . 2 a + ¿ > - 2 c = 5 27. * + 2y + 3z = 3
3y + 2z = - 2 3b + 4c = 1 -2 * - 3y - z = 5
5z = -2 0 3c = - 6 4* + 2y + 5z = -8
28. - * —4y + 2z = 1 29. 3y - 2z = - 4 30. 3a + 2b - 5c = 19
2* + 2y + z = 0 3* - 5z = - 7 2a - 3b + 3c = -1 5
-3 * - 2y - 5z= 5 2* + y = 6 5 a - 4 b - 2 c = - 2
31. * - y + 3z = 1
- * + 2y - 2z = 1
* - 3y + z = 2
32. -2 * + 2y - 3z = 6
4* - y + 2z = -2
2* + y - z = 4](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-322-320.jpg)
![Ejercicios d e re p a so del capítulo • 2 9 5
[4 .3 ] Exprese cada problem a com o un sistema de ecuaciones lineales y utilice el m étodo de su elección para determinar la solución.
33.
34.
35.
EdadesJorge Valdés es 10 años mayorque su sobrina Jen- 36.
nifer. Si la suma de sus edades es 66,determine la edad de
Jorge y la edad de Jennifer.
Velocidad del viento Un avión puede viajar a 560 millas
por hora con el viento a favor y a 480 millas por hora con 37.
el viento en contra. Determine la velocidad del viento y
la velocidad del avión sin viento.
Mezcla de soluciones Jaime Cervantes tiene dos solucio
nes áridas con las características que se muestran en la si
guiente figura. ¿Qué cantidad de cada una debe mezclar
para obtener6 litros de una solución de ácido con concen
tración de 40%? 38.
..
7 0 -
60
50
40 -
30
2 0 -
10
20%
50%
o
Solución Solución
A B
[4.4] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando matrices.
Fútbol La admisión a un partido de fútbol cuesta $15 por
adulto y $11 por niño.Si se vendió un total de 650 boletos
por un monto de $8790, determine cuántos boletos para
niños y cuántos boletos para adultos se vendieron.
Regresó al espacio John Glenn fue el primer astronauta
estadounidense en dar la vuelta a la Tierra. Muchos años
después de esta hazaña, Glenn regresó al espacio. Esta vez
tenía cinco años menos que el doble de su edad cuando
hizo el primer viaje. La suma de la edad que tenía en
cada ocasión es 118. Determine qué edad tenía en cada
uno de sus viajes.
Cuenta de ahorros MarciaTorres tiene un total de $40,000
invertidos en tres cuentas de ahorro diferentes. Parte del
dinero está invertido en una cuenta que otorga 7% de in
terés; en la segunda cuenta tiene $5,000 menos que en la
primera, y recibe 5% de interés; la tercera cuenta le da 3%
de interés Si el monto total que recibe Marcia al año por
concepto de interés es de $2300,determine cuánto dinero
tiene invertido en cada cuenta.
39. x + 5 y = 1
- 2 x - Sy = - 6
40. 2x - 3y = 3
2x + 4y = 10
4L y = 2x - 4
4x = 2y + 8
4Z 2 x - y - z = 5
x + 2y + 3z = -2
3x - 2y + z = 2
43. 3a - b + c = 2
2a - 3b + 4c = 4
a + 2b - 3c = - 6
44 x + y + z = 3
3x + 2y = l
y - 3 z = -1 0
[4.5] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes.
45. l x - Sy = -1 0
-5 * + 4y = 2
46. x + 4y = 5
- 2 x - 2y = 2
47. 4m + 3n = 2
Im - 2n = -1 1
48. p + q + r = 5
2p + q ~ r = - 5
- p + 2q - 3r = - 4
49. -2 a + 3b - 4c = -7
a + b + c = 4
-2 a - 3b + 4c = 3
50. y + 3z = 4
- x - y + 2z = 0
x + 2y + z = l
[4.6] Determine gráficamente la solución de cada sistema de desigualdades.
51. - x + 3y > 6
2x - y < 2
52. 5* - 2y < 10
3x + 2y > 6
53. y > 2x + 3
y < - x + 4
54 x > ~2y + 4
1 3
y < ~ 2x~2
Determine la solución de cada sistema de desigualdades.
55. x > 0
y > 0
x + y < 6
4x + y < 8
56. x > 0
y > 0
2x + y < 6
4 r + 5y < 20
57. x < 3
Ivl > 2
58. |*| > 4
|y - 2| £ 3](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-323-320.jpg)
![E x a m e n de re p a so acum ulativo • 2 9 7
22. Mezcla de soluciones Teresa Muñoz, una química, tiene
soluciones con concentración de 6% y 15% de ácido sul
fúrico. ¿Qué cantidad de cada solución debe mezclar pa
ra obtener 10 litros de una solución con concentración de
9%?
23. Suma de números La suma de tres números da por resul
tado 25. El número más grande es tres veces el número
más pequeño, y el tercer número es uno más que el doble
del número más pequeño. Determine los tres números.
Determine la soluciónpara cada sistema de desigualdades.
24 3* + 2y < 9
- 2 x + 5y < 10
25. x
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con lasque aparecen alfinal. Revise laspreguntas que haya respondido incorrectamen
te . Los números de la sección y el objetivo en donde seanaliza el material correspondiente seindican después de cada respuesta.
L Evalúe 16 -s- “ 32 j-
2. Considere el siguiente conjunto de números.
-4 ,9 ,0 , V5, -4.63,1}
Indique los elementos del conjunto que sean
a) números naturales;
b) números racionales;
c) números reales.
3. Escriba los siguientes números de menor a mayor.
-1. M .f .f .- |- 8 |,|- i o |
Resuelva.
4. - [ 3 - 2 (x - 4)] = 3 (x - 6)
6. 2 x - 3| - 4 = 5
7. Despeje x de la fórmula A
1 - ^ (a + x) por x
8. Determine el conjunto solución de la desigualdad.
o < ^ 2 , 8
9. Simplifique
3 * y
10. Grafique 2y = 3x - 8
11. Escriba en forma pendiente intersección la ecuación de la
recta paralela a la recta 2x - 3y = 8 y que pasa porel pun
to (2,3).
12. Grafique la desigualdad 6
x - 3y < 12.
13. Determine cuáles de las gráficas siguientes representan
funciones. Explique.
b) y
2*4-
C)
- 2 - - 2 x
- 2 2 *
- 2 -
14. si / W = 4 ^ f . determine a) / ( —
4) b) f ( h) y
O /(3)
Resuelva cada sistema de ecuaciones.
15. 3x + y = 6
y = 2x + 1
16. 2p + 3q = 11
- 3 p - 5q = -1 6
17. x - 2 y = 0
2x + z = 7
y - 2 z = - 5
18. Ángulos de un triángulo Si el ángulo mayor de un trián
gulo mide nueve veces lo que el ángulo menor, y el ángu
lo mediano mide 70° más que el más pequeño, determine
la medida de tos tres ángulos.
19. Caminar y trotar Dolores Castro camina a una velocidad
efe4 millaspor hora, y Judit Páez trota a 6 millaspor hora.
Dolores comienza a caminar { hora antes de que Judit
comienza a trotar. Si Judit trota siguiendo la misma ruta
que Dolores, ¿en cuánto tiempo Judit alcanzará a Dolores?
20. Concierto de rock Las entradas a un concierto de rock tie
nen dos precios diferentes. Las más caras se venden a $20
y las más baratas a $16.Si se vende un total de 1000 boletos
por un monto de $18,400, ¿cuántas entradas de cada tipo
se vendieron?](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-325-320.jpg)
![Respuestas al examen de repaso acumulativo
2 9 8 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades
L l ; [Sec 1.4,Obj.3] l a ) 9,1 b) | , -4 ,9 ,0 , -4.63,1 c) -4 ,9 ,0 , V 3, -4.63,1; [Sec. 1.2,Obj. 5]
3 .- | - 8 | , - l , f . f , |-4 |, |-1 0 |; [Sec. 1.3,O bj.l] 4 7; [Sec. 2,1, Obj. 3] 5 .^ -; [Sec. 2.1,Obj. 4] 6 .6 ,-3 ; [Sec.2.6,Obj. 2]
1.x = 2 M - a; [Sec 2.2,Obj. 2] 8. j * | | < * < y }; [Sec.2.5,Obj.3] 9 . ^ ; [Sec. 1.5,Obj. 7]
; [Sec.3.3, Obj. 2] 11. y = + | ; [Sec 3.5, Obj. 3] 12. y
4
2+
/
m u — i /
- 4 - 2 -- / 2 4
- 2 - /
[Sec. 3.7, Obj. 1] 13.a) función b) función c) no es función; [Sec.3.2, Obj. 3] 1 4 a) ~ b) ^ + ^
c) indefinido; [Sec. 3.2, Obj. 4] 15.(1, 3); [Sec. 4.1, Obj. 2] 16. (7 ,-1 ); [Sec. 4.1, Ob. 3] 17. (2,1, 3); [Sec. 4.2, Obj. 1]
18.10°, 80°, 90°; [Sec. 2.3, Obj. 2) 19.1 hora; [Sec. 2.4, Obj. 1] 20.600 a $20,400 a $16; [Sec. 43, Obj. 1]](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-326-320.jpg)
![Sección 5.1 • S u m a y resta d e polinom ios • 3 0 7
Indique a) d grado de cada polinomio y b) su coeficiente principal.
2 9 . a 4 + 3 a 6 - 2 a - 1 0
- 3L 4 * y + 6xy* + 9 x /
33. -J m V p ® + | m 3p6 -
Evalúe cada función polinomial en el valor dado.
35. Determine P(2),si P(x) = x2- 6 a + 1.
« 37. Determine ^ Q ^ - s i p (/ = 2
x2- 3 x - 6
.
39. Determine P(0.4),si P(x) = 0 .2 a 3 + 1.6*2 - 2.3.
Simplifique.
4L ( a 2 + 3 * - 7 ) + ( 6 * - 5 )
43. (x 2- 8 a + 2) - (5x + 9)
45. ( 4 / + 9y - 1) - ( 2 / + 1 0 )
47. ( - J , +« ) + ( “ I " 2 - - X)
49. (1 .4 a:2 + 1 .6 a - 8 .3 ) - (4 .9 a 2 + 3 .7 a + 1 1 .3 )
5L ( - J*3+x*y + 8*y2
) + (-*3- |A + x f)
£ 53. (3a - 6
b + 5c) - ( - 2 a + 4b - 8
c)
55. (3a2b - 6ab + 5b2) - (4ab - 6b2- 5a2
b)
57. (8r2- St2+ 2rt) + (-6 /7 + I t2- r2)
59. 6 a 2 - 2 a - [3 a - (4 a 2 - 9 ) ]
61. 5to - (no2~ [(3to - 2w 2) - (4w + w 2)]
63. Reste (4 a - 1 1 ) de (7 a + 3).
« 65. Sume - 2 a 2 + 4a - 12 y - a2 - 2a .
67. Reste 0.2a2 - 3.9a + 26.4 de -4.2a2 - 9.6a.
69. Reste ^ A 2y + de ( - x 2y + A y2 + |
30. - 2 a 4 + 6 a 5 - a 7 + 5 a 3
32. - a W + 7 a W - 5 fl?c2#
34. - 0 . 6 a 2/ / - 2 . 9 a > / - 1 .3 a 8/
36. Determine P( - 1) ,si P ( a ) = 4 a 2 + 6a + 12.
38. Determine si P (a ) = ^ a3 - a 2 + 6.
40. Determine P (-1.2),si P (a) = -1.6*3 - 4 .6 a 2 - 0 .1 a .
42 ( 5 b 2 - 4 b + 7) - (2¿>2 - 3 b - 5 )
44. ( 2 a - 5) - ( 3 a 2 - 4 a + 1 6 )
46. (5 /í2 - 7) + (2 /i2 + 3 n + 1 2 )
48. ( 6 / - 9 y + 4 ) - ( - 2 / - y - 8 )
50. ( - 12.4A 2y - 6.2a> - + 9 . 3 / ) - ( - 5 .3 A 2y + 1.6xy - 1 0 . 4 / )
a ( - k + l ) - ( - l " , + ! )
54 ( 6 r + 7s - t ) + ( - 2 r - 2s - 5 t )
56. ( 3 a 2 - 5 / - 2 a / - ( 4 a 2 + 8 / - 9 a /
58. (a2 - ¿>
2 + 5a¿) + ( - 3 b 2- lab + a2)
60. 3 a / - 2 a - [ - ( 4 a / + 3 a ) - 5 a /
62 - [ —(5r2 - 3r) - (2r - 3r2) - 2 / ]
64 Reste ( —a 2 + 3 a + 5 ) de (4 a 2 — 6 a + 2 ).
66. Reste (5 a 2 - 6 ) de (2 a 2 - 4 a + 8).
68 . Sume 6 a 2 + 3Ay y - 2 a 2 + 4Ay + 3y.
70. Reste (6x2y + 3 a / de (2 /y + 1 2 a / .
Simplifique. Suponga que todos los exponentes representan números naturales.
7L ( 3 a * - 7 a ' + 1) + ( 2 a 2' - 3a ' + 2 ) 72 (bx2
' - 5 a ' + 4) + ( 2 a 2' + a ' + 3 )
73. (a25 - 8a s + 6) - (2 a 2* - 4 a 5 - 9) 74. (5a2" - 6a" + 4) - (2a2" + 7)
75. (7b*" - 5b2
" + 1) - (3b3" - b2
") 76. (-3 r 3*+ r* - 6) - ( - 2 r3*- 5 r* + 6)
Resolución de problemas
En los ejercicios 77 a 82, determine una expresión para el perímetro de cadafigura. Véase el ejemplo 9.
78.
Cuadrado Rectángulo
í 2 + 2 t + 5 x ? - x + 7](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-335-320.jpg)
![3 0 8 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
79.
81.
*2 + 8
x2+ 3x + 1
80.
8Z
x2 + 3
7x + 9
8x + 7
83. ¿La suma de dos trinomios siempre da por resultado un
trinomio? Explique y proporcione un ejemplo que susten
te su respuesta.
84. ¿La suma de dos binomios siempre da por resultado un
binomio? Explique y proporcione un ejemplo que susten
te su respuesta.
85. ¿La suma de dos polinomios cuadráticos siempre da por
resultado un polinomio cuadrático? Explique y propor
cione un ejemplo que sustente su respuesta.
86. ¿La diferencia de dos polinomios cúbicos siempre da por
resultado un polinomio cúbico? Explique y proporcione
un ejemplo que sustente su respuesta.
87. Área El área de un círculo es una función de su radio, en
donde A(r) = i t i2. Determine el área de un círculo si su
radio mide 6 pulgadas. Utilice la tecla [tt] de su calcula
dora.
88. Globo El volumen de una esfera es una función de su ra
dio, en donde V (r) = j i r r Determine el volumen de un
globo esférico cuando su radio mide 4 pulgadas.
^ 89. Altura Cuando un objeto se deja caer desde el edificio
Empire State (altura = 1250 pies), la altura del objeto, h,
en pies, respecto del piso en el instante t, en segundos, des
pués de que se ha soltado, puede determinarse mediante
h = P{t) = -1 6 í2 + 1250
Determine a qué distancia del piso se encuentra un obje
to 6 segundos después de que se ha dejado caer.
90. Concurso de ortografía El número de maneras en que
puede seleccionarse a los ganadores del primero, segun
do y tercer lugares en un concurso de ortografía entre n
participantes, está dado por P(n) = n3- 3n2+ 2n. Si hay
seis participantes, ¿de cuántas maneras pueden seleccio
narse el primero, segundo y tercero lugares?
Utilidad La utilidad de una compañía se determina restando sus costos de sus ingresos. En los ejercicios 91 y 92, R(x) representa el
ingreso de la compañía cuando se venden x artículos, y C(x) representa el costo de la compañía cuando seproducen x artículos, a)
Determine una función déla utilidad P(x). b) Evalúe P(x), cuando x = 10
0
.
x2+
9L R(x ) = 2x2- 60x,
C( x) = 8050 - 420x
92. R(x) = 5.5x2 - 80.3*
C( x ) = 1.2*2 + 16.3* + 12,040.6](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-336-320.jpg)
![S e cció n 5.2 • M ultiplicación d e polinom ios • 311
104. y = 2x4 + 9x¿ - 5
c)
Actividad en equipo
Analicen y respondan en equipo los ejercicios 105 y 106.
105. Siel término principal de una función polinomial es 3X3, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Expliquen.
Consideren lo que sucede cuando x tiene valores positivos grandes, y cuando x tiene valores negativos grandes.
c)
106. Si el término principal de un polinomio es - 2x4, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Explique.
a)
l)
b)
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.4] 107. Evalúe-^81.
1 4 1
[2.1] 108. Resuelva - =
[2.4] 109. Máquinasdemodelado Una vieja máquina de mo
delado puede producir 40 cubetas de plástico en
una hora. Una máquina más nueva puede fabricar
50 cubetas en una hora. ¿Cuánto tiempo les tomará
a las dos máquinas producir un total de 540 cubetas?
[3.4] 110. Determine la pendiente de la recta que pasa por los
puntos (8, —
4) y ( —
1, - 2).
[4.2] 111. Resuelva el sistema de ecuaciones.
—4s + 3/ = 16
2t - 2u = 2
—s + 6
u = -2
5 . 2 M U L T IP L IC A C IÓ N D E P O L IN O M IO S
1 M u lt ip lic a r u n m o n o m i o p o r u n p o lin o m io .
2 M u lt ip lic a r u n b i n o m i o p o r u n b in o m io .
3 M u lt ip lic a r u n p o lin o m io p o r u n p o lin o m io .
4. D e t e r m i n a r e l c u a d r a d o d e u n b in o m io .
5 D e t e r m i n a r e l p r o d u c t o d e la s u m a y d i f e r e n c ia d e lo s m is m o s
d o s t é r m i n o s ( p r o d u c t o d e b i n o m io s c o n j u g a d o s ) .
6 D e t e r m i n a r e l p r o d u c t o d e f u n c i o n e s p o lin o m ia le s .](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-339-320.jpg)
![S e cció n 5.2 • M ultiplicación d e polinom ios * 3 1 5
4 Determinar el cuadrado de un binomio
Ahoraestudiaremosalgunasfórmulasespeciales. Confrecuencianecesitamoscalcular
elcuadrado de un binomio, asíque contamosconfórmulasespecialesparahacerlo.
C u a d ra d o d e un binom io
(a + f>
)2= a2+ lab + b2
(a - b)2 = a2 - lab + b2
Siustedolvidalasfórmulas,puedededucirlasfácilmentemultiplicando (a + b)(a - b) y
( a - b ) ( a - b ) .
Los ejemplos7y8ilustranelusodelafórmulaparaelcuadradodeun binomio.
E J E M P L O 7 Desarrolle, a) (3* + 5)2 b) (4X2 - 3y f
S o lu c ió n a) (3* + 5)2 = (3a:)2 + 2(3*)(5) + (5)2
= 9x2 + 30* + 25
b) (4** - 3y)2= (ó*2)2 - 2(4*2)(3y) + (3y)2
= 16*4 - 24*2
y + 9y2 #
El cuadrado de los binomios, comoen el ejemplo 7, también sepuede calcular
medianteel método PIES.
C Ó M O E V IT A R Siem
prerecuerdeeltérminodeenm
edioalcalcularelcuadradodeunbinom
io.
E R R O R E S C O M U N E S
C o r r e c t o In c o r r e c t o
(x + 2 ) 2 = (x + l) (x + 2 )
= x2+ 4x + 4
( * - 3 ) 2= ( * - 3 ) ( * - 3 ) p ^ - S ) ? - j £ = l|=9
= x 2 - 6 * + 9
E J E M P L O 8 D esarrolle [x + (y - 1)]2.
Solución E ste problem a parece más com plicado q u e los ejem plos anteriores, pero se resuelve
d e la misma form a q u e los otros cuadrados d e binomios. C onsidere a x com o el prim er
térm ino y a (y - 1 ) com o el segundo. Utilice dos veces la fórmula.
[* + (y - l)]2 = ( * ) 2 + 2(*)(y - 1) + (y - l)2
= x 2+ {2x ) ( y - 1) + y 2- 2y + 1
= x 2+ 2x y - 2x + y 2- 2y + 1
N inguno d e los seis térm inos son térm inos sem ejantes, p o r lo q u e no se pueden re
ducir. O bserve q u e (y - 1)2 tam bién es el cuadrado d e un binomio, y fue desarrollado
AHORARESUELVAELEJERCICIO 51 com o tal. #
5 Determinar el producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos
(binomios conjugados)
A continuación m ultiplicarem os (x + 6)(x - 6) utilizando el m étodo PIES.
( x + 6 )(* - 6) = x 2- 6
x + 6
x - (6)(6) = x 2- (?
O bserve q u e los productos externos e internos sum an cero. A l exam inar este ejem plo,
vemos q u e el producto d e la sum a y la diferencia d e los mismos dos térm inos es la di
ferencia d e los cuadrados d e los dos términos.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-343-320.jpg)
![3 1 6 • C a p ítu lo s • Polinom ios y fun cione s polinom iales
P rod ucto d e la su m a y diferencia d e los m ism o s d o s
térm inos (b in o m io s co n ju g a d o s )
E J E M P L O 9
(a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 1
E n otras palabras, p ara m ultiplicar dos binom ios q u e sólo difieren en el signo
en tre sus dos térm inos, reste el cuadrado del segundo térm ino del cuadrado del prim e
ro. O bserve q u e a2- b2 representa una diferencia de dos cuadrados.
M ultiplique, a) - | j b) (0.2* + 0.3z2)(0.2* - 0.3Z2)
S o l u c i ó n C ada uno es un producto d e la sum a y diferencia d e los mismos dos térm in o s, es d e
cir, son binom ios conjugados. Por lo tanto,
. , ( „ +i ) ( 3 , ( ! ) ’ = » , - ±
b) (0.2* + 0.3Z2) (0.2* - 0.3z 2) = (0.2*)2- (0.3z2)2
= 0.04*2 - 0.09z4 #
E J E M P L O 1 0 M ultiplique (5* + y 3) (5* - y3).
Solución (5* + / ) ( 5 * - y3) = (5*)2 - (y5)2 = 2S*2 - y6 #
E J E M P L O 11 M ultiplique [4* + (3y + 2)][4* - (3y + 2)].
S o l u c i ó n TVatamos a 4* com o el prim er térm ino y a 3y + 2 com o el segundo. E n consecuencia,
obtenem os la sum a y la diferencia d e los mismos dos términos.
[4* + (3y + 2)][4* - (3y + 2)] = (4*)2 - (3y + 2)2
= 16*2 - (9y2 + 12y + 4)
AHORARESUELVAELEJERCICIO 55 = 16*2 - 9y2 - 12y - 4 #
E J E M P L O 1 2 Área La figura 5.11 consiste d e un cuadrado y dos rectángulos. D eterm ine una expre
sión polinom ial p ara calcular el área total d e la figura.
S o IU C ¡Ó n Para determ inar el área total, encuentre las áreas d e las tres regiones y
luego súmelas.
Á rea del cuadrado = * • * = x2
Á rea del rectángulo d e la derecha = * - 4 = 4*
Á rea del rectángulo inferior = * * 5 = 5*
FIGURA 5.11 ,
E l área total es la sum a d e estas tres cantidades.
AHORARESUELVAELEJERCICIO 85 Á rea total = X? + 4* + 5* = X2+ 9*. #
6 D e te rm in a r el p ro d u c to d e fu n c io n e s p o lin o m ia le s
A ntes se m encionó q u e p ara funciones /(* ) y g(*), ( /• g)(*) = /(* ) • g(*). A hora re
solverem os un ejem plo q u e incluye multiplicación d e funciones polinomiales.
E J E M P L O 1 3 Sea /(* ) = * + 4 y g(*) = * - 2. D eterm ine
a > /( 3 ) ’*(3) b) (/-g )(* ) c) (/'g ) ( 3 )
Solución a) /(* ) y g(*) son funciones polinom iales, ya q u e las expresiones a la derecha d e los
signos d e igual son polinomios.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-344-320.jpg)
![3 1 8 • C a p ítu lo s • Polinom ios y fun cione s polinom iales
5 . a ) ¿Qué se entiende por el producto de la suma y la dife
rencia de los mismos dos términos (producto de bino
mios conjugados)?
b) Proporcione ejemplo de un problema que sea produc
to de la suma y diferencia de los mismos dos términos
(binomios conjugados).
c) ¿Cómo se multiplicaelproducto de la suma y la diferen-
da de los mismos dos términos (binomios conjugados)?
d) Multiplique el ejemplo que dio en la parte b) median
te el procedimiento de la parte c).
Problemas de aplicación______________
Multiplique.
9. {4 x y ){6 x /)
- "■ 6 'V ) ( I 'W )
1 3 . - 3 x 2
y ( - 2 x 4
y 2+ 3xy 3+ 4 )
15. | y z ( 3 * + 4 y - 9 y 2)
17. 0 .3 (2 a 2 - 5 a + 7 y )
19. 0.3a5
b4
(9.5a6b - 4 .6 a4
b3+ 1 .2 ab5)
Multiplique los siguientes binomios.
2 1 . (4 a - 6 ) (3 a - 5 )
£ 23. ( 4 - a ) ( 3 + 2 a 2)
2 5 . [ x + 2 y ) ( l x - | r )
2 7 . (0.3a + 5b)(2a - 0 .7 b)
Multiplique los siguientes polinomios.
29. (a 2 + 3a + 1 ) ( a - 2 )
3 1 . (a - 3b)(2a2- ab + 2b2)
3 3 . (a 3 - a 2 + 3 a + 7 ) (a + 1 )
3 5 . (5 a 3 + 4 a 2 - 6 a + 2 ) ( a + 5 )
3 7 . (3 m 2- 2m + 4 )(m 2- 3m - 5 )
3 9 . ( 2 a - l ) 3
4 1 . ( 5 r 2 — rs + 2s2)(2r2 — s2)
Multiplique mediante lafórmulapara el cuadrado de un binomio
mismos dos términos (producto de binomios conjugados).
& 4 3 . ( a + 2 ) ( a + 2 )
4 5 . (2 a - 3 ) ( 2 a - 3 )
4 7 . (4 a - 3 y ) 2
£ 4 9 . ( 5 m 2 + 2n)(5m2- 2n)
5 1 . [ y + ( 4 - 2 a ) ] 2
5 3 . [5 a + ( 2 y + 3 ) ] 2
5 5 . [a + (b + 2 )][a - (b + 2 ) ]
6. ¿El producto de dos binomios siempre da por resultado un
a) binomio?
b) ¿Trinomio? Explique.
7. ¿El producto de dos polinomios de primer grado siempre
será un polinomio de segundo grado?
8. a) Dadas f(x) y g(A), explique cómo determinaría
(f ' g) ( *)•
b) Sif(x) = x - 2 y g(x) = x + 2,determine (f •g) (a).
10. ( - 2 A y 4)(3 A 4y 6)
12. 2y3(3y2 + 2y - 6)
14. 3A4(2 A y 2 + 5 a 7 - 6y)
16. ~ x 2
y(4x5
y 2+ 3a - 6y2)
18. 0.8(0.2a + 0.9b - 1.3c)
20. - 2.bm3
r? + 5.9n4)
22. ( 2 a - 1 ) (5 a + 7 )
24. (5 a + y)(6A - y)
*• 6 a + - b)
28. (4.6r - 5.8s)(0.2r - 2.3s)
30. (a + 3 )(2 a 2 - a - 9)
32. ( I p - 3 )(-2 p 2 - 4 p + 1)
34. ( 2 a - 1 ) ( a 3 + 3 a 2 - 5 a + 6 )
36. (a3- 2a2+ 5a - 6)(2a2- 5a - 2)
38. (2 a 2 - 6
a + 3)(3a2- 5a - 2)
40. (3 a + y)3
42. (4 a 2 - 5Ay + y2)(A2 - 2y2)
bien utilizando la delproducto de la suma y diferencia de los
44. (y - 4)(y - 4)
46. (3z + 5)(3z + 5)
48. (2a + 5b)2
50. (5p2 + 6c/2)(5p2 + ó^2)
52. [(a + b) + 9]2
54. [ 4 — ( p — 3^)]2
56. [2 a + (y + 5 ) ] [ 2 a - (y + 5)]](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-346-320.jpg)
![S e cció n 5.2 • M ultiplicación d e polinom ios • 3 1 9
Multiplique.
59. x y 4 x 2 + 3*y - l y 2)
6L - y x y V ^ - x y V - 5x y +
63. (3a + 4 )(7a - 6)
65. ( a * + i ) ( s x -
67. (2* - 9y)2
f i 69. (x + 3 )(2*2 + 4* - 3)
7L (2 p - 3q)(3p2+ 4W - 2*2)
73. [(3x + 2) + y)[(3* + 2 ) - y]
75. (a + b)(a - b)(a2 - ¿>
2)
77. (x - 4 )(6 + x )(2 x - 8)
Rtra las funciones dadas, determine a) (/• g)(x) y b) (f- g)(4).
79. f ( x ) = x - 5 , g ( x ) = x + 4
£ 8L f ( x ) = l x 2+ 6
x - 4, g(x) = 5x + 3
83. /( x ) = - x 2+ 3x, g(x) = x 2+ 2
57. 2 x y ( x 2 + x y + 3 y 2) 58.
60. + ^ x y + 3)
62- f * 2/ ( f * > 3 - x ' y + 2x y h s)
64. (5p - 9q)(4p - q )
66. f a - j f a + j )
68. ( 2* + i ) 3
70. (5a + 4)(a2- a + 4)
72. (2m + /i)(3/w2 —m n + 2a2)
74. [ a + (3b + 4)][a - (3Z> + 4)]
76. (2a + 3)(2a - 3)(4a2 + 9)
78. (3x - 5)(5 - 2*)(3* + 8)
80. f ( x ) = 2
x - 3,g(x) = x - 6
82. f ( x ) = 4 x 2+ 7, g(x) = 2 - x
& 84. f ( x ) = - x 2 + 2x + 7, g(x) = x 2 - l
Resolución de problemas
En los ejercicios 85 a 8
8
, determine una expresión polinomialpara calcular el área total de cada figura.
85. 86.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-347-320.jpg)
![S e cció n 5.3 • División d e polinom ios y división sintética • 3 2 1
103. Interés compuesto La fórmula para calcular el interés
compuesto es
/ r '*
A =
- K i + í ) '
donde A es el monto, P es el capital invertido, r es la tasa
de interés anual, n es el número de veces que el interés se
paga cada año y t es el tiempo en años,
a) Simplifique esta fórmula para n = 1.
b ) Determine el valor de ;4 ,s i P = $1000, n = 1, r = 6%
y t = 2años.
104. Interés compuesto Utilice la fórmula indicada en el ejer
cicio 103 para determinar y4,si P = $4000,n = 2,r = 8%
y t = 2años.
105. Si f(x) = x2- 3x + 5,determinef(a + b) sustituyendo ca
da x de la fórmula por (a + b).
106. Si/(x) = 2X2 - x + 3, determine/(a +b).
En los ejercicios 107 a 112, simplifique. Suponga que todas las variables representan números naturales.
107. 3*'(5*2'" 1 + 6**)
109. (6
x m - 5 )(2 x ^ - 3)
m. ( y - T b
108. 5kr+2
(4kr
+
2- 3k ' - k)
110. (**" - y 2
j')(x2jt + 2y 4n)
112. (am+n)m+n
En los ejercicios 113 y 114, realice la multiplicación polinomio!.
m (x - 3,)*
115. a) Explique cómo puede verificarse por medio de una cal
culadora graficadora una multiplicación en una variable,
tal como {x1+ 2
x + 3)(x + 2) = x3 + 4x2+ Ix + 6.
b) Compruebe la multiplicación indicada en la parte a)
con ayuda de su calculadora graficadora.
114. (2a - 4b)4
1
116. a) Con ayuda de su calculadora graficadora, muestre que
b multiplicación (x2- 4x - 5)(* - l j ^ j ^ + ó ^ - S x + ó.
b) Multiplique (x2 - 4x - 5)(x - 1).
c) Compruebe en su calculadora graficadora la respues
ta que dio en la parte b).
Reto
Multiplique.
117. [ ( y + l ) - ( x + 2 )]2 118. [(a - 2) - (a + 1)]=
Ejercicios de repaso acumulativo
4 / 3
1.3] 119. Evalúe y - [ -
.5] 120. Simplifique
4 - 1 )
2r V Y
[2.5] 12L Resuelva la desigualdad -1 2 < 3x - 5 ^ -4 ,e in
dique la solución en notación de intervalo.
[3.2] 122. Sig(x) = -x 2 —2x + 3, determine
5 . 3 D IV IS IÓ N D E P O L IN O M IO S Y D IV IS IÓ N S I N T É T IC A
S
1 Dividir un polinomio entre un monomio.
2 Dividir un polinomio entre un binomio.
3 Dividir polinomios mediante la división sintética.
4 Utilizar el teorem a del residuo.
1 D ividir u n p o lin o m io e n tre u n m o n o m io
E n la división d e polinom ios, la división entre 0 no está perm itida. C uando se nos da
un problem a d e división con una variable en el denom inador, siempre supondremos que
el denom inador es diferente de 0.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-349-320.jpg)
![3 3 2 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
109. Ladivisiónsintética puede utilizarse paradividirpolinomios
entre binomios con la forma ax - b, a J=1. Para realizar
esta operación, divida ax - b entre a para obtener x ~ ~-
Luego coloque la izquierda de los coeficientes numéri
cos del polinomio. Resuelva el problema como se explicó
previamente. Después de sumar los valores numéricos de
bajo de la línea, divida todos ellos, excepto el residuo,
entre a. Después escriba el cociente del problema utilizan
do esos números.
a) Utilice este procedimiento para dividir 9X3 + 9x* + 5x
+ 12entre 3x + 5.
b) Explique por qué no dividimos el residuo entre a.
Ejercicios de repaso acumulativo
8.45 X 102
5
[1.6
] 110. Divida ‘ --- —tj y exprese la respuesta en no-
4.225 X 10
tación científica.
[2.3] 111. Triángulo Determine los tres ángulos de un trián
gulo, si uno de ellos mide el doble del ángulo más
pequeño, y el tercero mide 60° más que el ángulo
más pequeño.
[2.6
] 112. Determine el conjunto solución para
5* ~ 3 + 3 = 7.
[3.6] 113. Sea f(x) = x1- 4 y g(x) = - 5 x + 3. Determine
/(6)*(6).
[5.1] 114 Sume (6r + 5s - /) + (—
3 r - 2s - 5l).
5 .4 FACTO RIZACIÓ N D EL FA C TO R C O M Ú N DE LO S TÉR M IN O S
DE UN PO LIN O M IO Y FACTO R IZACIÓ N POR A G R U P A CIÓ N
t
1 Determinar el máximo factor com ún.
2 Factorizar un m onom io de un polinomio (factorizar el factor
com ún).
3 Factorizar un factor binomial com ún.
4. Factorizar por agrupación.
L a facíorización es la operación opuesta a la multiplicación. Factorizar una expresión
significa escribirla com o un producto d e otras expresiones. Por ejem plo, en la sec
ción 5.2 aprendim os a realizar las siguientes multiplicaciones:
3 * 2(6* + 3 y + 5 x 3) = l S x 3+ 9 x2y + 15x5
y
(6x + 3y ) ( 2 x ~ 5y ) = 12x2- 24x y - 1 5 f
E n esta sección, aprenderem os a determ inar los factores efe una expresión dada. Por
ejem plo, aprenderem os cóm o realizar cada una d e las siguientes factorizaciones.
18*3 + 9 * 2.y + 15X5 = 3 x 2{6x + 3y + 5 x3)
y
12a:2 - 24*y - 15y2 = (6
x + 3 y ) ( 2 x - 5y )
1 D e te rm in a r el m á x im o fa c to r c o m ú n
Para factorizar un monomio d e un polinom io, factorizam os al m áxim o factor común
(M FC) d e cada térm ino del polinomio. E l M FC es el producto d e los factores com u
nes a todos los térm inos del polinom io. Por ejemplo, el M FC p ara 6
x + 15 es 3, ya que](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-360-320.jpg)
![3 3 4 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
E J E M P L O 4
Solución
AHORARESUELVAELEJERCICIO 19
E J E M P L O 5
Solución
E J E M P L O 6
Solución
AHORARESUELVAELEJERCICIO 65
Factorice20a3
/ + 6a2
/ -12*/.
El MFC es2a/. Escribacadatérminocomoproductodel MFC y otroproducto. Luego
factoriceel MFC.
20a3/ + 6 a2/ - 12a/ = 2a/ • 10a2 + 2a/ ■3a^ - 2 a/ - 6 /
= 2a/(10a2+ 3xy - 6/)
C o m p ro b a c ió n 2a/(10a2 + 3xy - 6 / ) = 20a3
/ + 6a2
/ - 12a/ #
Cuandoelcoeficienteprincipalde unpolinomioesnegativo,por logeneral factoriza-
mos un factor común con un coeficiente negativo. Esto da como resultado que el
polinomio restantetengauncoeficienteprincipal positivo.
Factorice a) -12a - 18 b) -2b3 + 6b2- 18b
Como loscoeficientesprincipalesenlaspartesa) y b) sonnegativos,factorizamosfac
torescomunesconuncoeficientenegativo.
a) —12a — 18 = —6(2a + 3) Factorizar-6 .
b) ~2b3 + 6b2 - 18b = -2 b(b2 - 3b + 9) Factorizar-2b. #
L a n z a m ie n to d e u n a p e lo ta Cuandoselanzaunapelotahaciaarribaconunaveloci
dadde32piesporsegundodesdelapartemásaltade unedificiode160piesdealtu
ra, su distancia, d , respecto del piso en cualquier instante /, puede determinarse
mediantelafunciónd(t) = -16/2+32t + 160.
a) Determine ladistanciadelapelota respecto del piso despuésde3 segundos;es
decir,determined(3).
b) Factoriceel MFC del ladoderechode lafunción.
c) Evalúed(3) en laformafactorizada.
d) Comparesusrespuestasde laspartesa) y c).
a) d(t) = -1612 + 32/ + 160
d (3) = —16(3)2 + 32(3) + 160 Sustituya t por3.
= -16(9) +96 + 160
= 112
Ladistanciaes112pies.
b) Factorice -16 de lostrestérminosaladerechadel signo igual.
d(t) = -16(/2 - 2 1 - 10)
c) d(t) = -16(/2 - 2t - 10)
d (3) = —16[32 — 2(3) — 10] Sustituya t por3.
= -16(9 - 6 - 10)
= —16(—7)
= 112
d) Lasrespuestassoniguales. Puededeterminar loscálculosde lapartec) conmayor
facilidadque loscálculosde lapartea). #
3 Factorizar un factor binomial común
A lgunas veces la factorización exige factorizar un binomio com o el máximo factor co
m ún, com o se ilustra en los ejem plos 7 a 9.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-362-320.jpg)
![E J E M P L O 7 Factorice 3*(5* - 2 ) + 4(5* - 2 ).
Solución El M FC es (5* - 2). A l factorizar el M FC se obtiene
3 x (5 x - 2) + 4 (5* - 2) = (5* - 2) ( 3x + 4) #
E n el ejem plo 7, tam bién podríam os haber colocado el factor com ún a la d ere
cha p ara obtener
3* (5* - 2)+ 4 (5* - 2) = (3* + 4)(5* - 2)
Las form as factorizadas (5* - 2)(3* + 4) y (3* + 4)(5* - 2) son equivalentes de
acuerdo con la propiedad conm utativa d e la multiplicación,y am bas son correctas. Por
lo general, cuando listamos la respuesta a un ejem plo o ejercicio, colocam os el térm i
no com ún q u e se ha factorizado a la izquierda.
E J E M P L O 8 Factorice 9(2* - 5) + 6(2* - 5)2.
Solución EL M FC es 3(2* - 5). Reescriba cada térm ino com o producto del M FC y otro factor.
9(2* - 5) + 6(2* - 5)2 = 3(2* - 5) *3 + 3(2* - 5) *2(2* - 5)
= 3(2* — 5) [3 + 2(2* — 5 )] Factorizar 3(2* —5).
= 3 (2* — 5 )[3 + 4 * — 10] Propiedad distributiva.
= 3 (2* — 5 ) (4* — 7 ) Simplificar.
E J E M P L O 9 Factorice (2* - 5 )(a + b ) - (* - l)(fl + b).
S o l u c i ó n E l binom io a + b es el M FC d e los dos terrenos. Por lo tanto, lo factorizamos.
(2* - 5 )(a + ¿f) ~ (x ~ l ) ( a + b) = (a + b)[(2x - 5) - (* - 1)] Factorizar(a + b).
= (a + b )(2 * — 5 — * + 1) Simplificar.
AHORARESUELVAELEJERCICIO43 = (a + b ) ( x - 4) Factores. #
E J E M P L O 1 O Á rea E n la figura 5.13, el área del rectángulo grande es 7*(2* + 9 ),y el área del rec
tángulo pequeño es 3(2* + 9). D eterm ine una expresión, en form a factorizada, para
calcular la diferencia entre las áreas d e estos dos rectángulos.
Sección 5 .4 • Factorización del fa ctor c o m ú n d e los té rm inos d e un polinom io... • 3 3 5
A = 7*(2x + 9)
A = 3(2* + 9)
Solución Para determ inar la diferencia en tre las áreas, reste el área del rectán
gulo pequeño del área del rectángulo grande.
7 * (2 * + 9 ) - 3(2* + 9) Restariasáreas.
FIGURA 5.13
= (2* + 9 )(7 * — 3) Factorizar (2* + 9).
AHORARESUELVAELEJERCICIO 59 L a diferencia d e las áreas p ara los dos rectángulos es (2* + 9)(7* - 3).
4 Factorizar por agrupación
Cuando un polinom io contiene cuatro términos, es posible factorizarlo p o r agrupa
ción. Para factorizar por agrupación, quitam os los factores com unes d e grupos d e tér
minos. E ste procedim iento se ilustra en el siguiente ejemplo.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-363-320.jpg)
![Sección 5 .4 • Factorización del fa ctor c o m ú n d e los té rm inos d e un polinom io... • 3 3 9
Lea el ejercicio 69 antes de resolver los ejercicios 70 a 72.
70. Precio de un vestido El precio de un vestido se reduce en
10%, y luego se le aplica un nuevo descuento de 10%.
a) Escriba una expresión para calcular el precio final del
vestido.
b ) Cbmpare el precio final con el precio normal del ves
tido; ¿cómo son? Utilice factorización para obtener su
respuesta.
7L Precio de una segadora El precio de una segadora au
mentó 15%. Más tarde, en una venta especial, su precio se
redujo en 20%.
Rtctorice.
73. 5fl(3* - 2)5 + 4(3* - 2)4
75. 4*2(* - 3)3 - 6*(* - 3)2 + 4(* - 3)
77. ax2 + 2ax - 3 a + bx2+ 2bx - 3b
a) Escriba una expresión para calcular el precio final de
la segadora.
b) Compare el precio final con el precio normal; ¿cómo
s>n? Utilice factorización para obtener su respuesta.
72. Determinación deprecio ¿En cuál de las siguientes par
tes, a) o b),el precio final será menor y por cuanto?
a) Disminuya el precio de un artículo en 6% y luego au
méntelo en 8%.
b) Aumente el precio de un artículo en 6% y luego dis
minuyalo en 8%.
74 4p(2r - 3)7 - 3(2r - 3)6
76. 12(p + 2q)A - 40(p + 2q f + 12(p + 2q)2
78. 6a2 - a2c + 18a - 3ac + 6ab - abe
80. x2mn + *‘
82. r>'+4 + r y * 3 + r>+2
84. 6akbk - 2akck - 9bk + 3c*
.4mu
Rtclorice. Suponga que todas las variables de los exponentes representan números naturales.
79. **" - 2x4m
8L 3x4m - 2x3m + **"
83. arbr + ¿ V - ardr - <?dr
8 5 . a) ¿ó*3 —3x2 +9x = 3*(2*2 —* + 3)?
b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser
el valor de 6*3 - 3*2 + 9* - f3*(2*2 - * + 3)] para
cualquier valor de *? Explique.
c) Seleccione un valor para * y evalúe la expresión de la
parte b). ¿Obtuvo loque esperaba? Si no,explique por
qué.
86. a) Determine si la siguiente factorización es correcta.
3(* - 2)2 - 6(x - 2) = 3(* - 2 ) [ ( x - 2) - 2]
= 3(x - 2 ) ( x - 4)
b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser
el valor de 3(* - 2)2 - 6(* - 2) - [3(* - 2)(* - 4)J
para cualquier valor de*? Explique.
c) Seleccione un valor para * y evalúe la expresión de la
parte b). ¿Obtuvo loque esperaba? Si no,explique por
qué.
8 7 . Considere la factorización 8X3 - 16*2- 4* = 4*(2*2 - 4*
- i ) .
a) Sideterminamos
y , = 8*3 - 16*2 - 4*
= 4*(2*2 - 4* - 1)
y graficamos cada función, ¿qué debería suceder? Ex
plique.
b) En su calculadora graficadora, grafique y1y y2como se
dieron en la parte a).
c) ¿Obtuvo los resultados que esperaba?
d) Al verificar un procedimiento de factorización me
diante esta técnica, ¿qué significa si las gráficas no se
intersecan? Explique.
Considere la factorización 2*4 - ó*3 - 8*2 = 2*2(*2 -
3* - 4).
a) Introduzca
y! = 2*4 - 6*3 - 8*2
* = 2*2(*2 - 3* - 4)
en su calculadora.
b) Si utiliza la característicaTABLE de su calculadora, al
comparar la tabla de valores para y, con la tabla de va
lores para y2,¿qué esperaría? Explique.
c) Utilice la característicaTABLE para mostrar los valo
res de y, y y2 para valores de * de 0 a 6.
d) ¿Obtuvo los resultados que esperaba?
e) Cuando comprueba un proceso de factorización me
diante la característica TABLE, ¿qué significa que los
valores deyi y y2sean diferentes?
Ejercicios de repaso acumulativo
1 12
[1.4]
[2.1]
[3.1]
89. Evalúe . 2. ■
“ m *I si
90. Resuelva 3(2* - 4) + 3(* + 1) = 9.
91. Grafique y = ** —1.
[4.3] 92. Ejercicio Javier Bernal hace ejercicio todos los
días: camina a 3 mph y luego trota a 5 mph. Si tar
da 0.9 horas en recorrer un total de 3.5 millas,
¿cuánto tiempo trota?
[5.2] 93. Multiplique (7a - 3 ) (-2 a 2- 4a + 1).](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-367-320.jpg)
![A hora factorice x2 - x - 6.
= (x + 2 ){ x - 3)
Finalm ente, sustituya x con y2p ara obtener
= (y2 + 2 ) ( / - 3) Sustituir y2porx.
Así, y4 - y2 - 6 = (y2 + 2 ) ( / - 3). O bserve q u e y2se sustituyó p o r x, y después * se
sustituyó nuevam ente p o r y2. #
E J E M P L O 1 3 Factorice 3z4 - 17z 2 - 28.
Solución Sea * = z 2. Entonces el trinomio puede escribirse
3z4 - 17z2 - 28 = 3 (z2)2 - 17z2 - 28
= 3 / - 17x - 28 Sustituir z2porx.
= (3a: + 4 )(x — 7) Factorizar.
A hora sustituya x por z2.
- (3Z2 + 4JÍZ2 “ 7) S uet/tu/rjporz2.
AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 69 Así, 3z4 - 17z2 - 28 = (3z2 + 4 )(z2 - 7). #
E J E M P L O 1 4 Factorice 2 (a: + 5)2 - 5 (x + 5) - 12 .
Solución N uevam ente usarem os una sustitución, com o en los ejem plos 12 y 13. A l sustituir
a = x + 5 en la ecuación, obtenem os
2 (a: + 5 )2 - 5 (a: + 5) - 12
= 2a2 — 5a — 12 Sustituir(x + 5) pora.
A hora factorice 2a1 - 5a - 12.
= (2a + 3 ){a - 4)
Por últim o, reem place a con x + 5 p ara obtener
= [2(a: + 5) + 3][(a: + 5) — 4] Sustituirá por(x + 5).
= [2x + 10 + 3] [a: + 1]
= (2a: + 13) (a
: + 1)
Así, 2(a: + 5)2 - 5(a: + 5) - 12 = (2 a: + 13)(a: + 1). O bserve q u e a: + 5 se sustituyó
AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 7 3 po r a, y luego a p o r a: + 5 . #
E n los ejem plos 12 y 13 usamos x en nuestra sustitución, m ientras q u e en el ejem
plo 14 utilizam os a. L a letra seleccionada no afecta la respuesta final.
3 4 8 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5 . 5
Ejercicios conceptuales
L ¿Cuál debe ser siempre el primer paso para factorizar un
trinomio?
2. En un examen, Luis González escribió la siguiente facto
rización,pero el profesor la consideró incompleta. Expli
que por qué.
15*2 - 21* - 18 = (5* + 3)(3* - 6).
3. a) Explique paso a paso el procedimiento para factorizar
ó * 2 - * - 12.
b ) Factorice ó*2 - * - 12 mediante el procedimiento que
explicó en la parte a).
4. a) Explique paso a paso el procedimiento para factorizar
Sx2- 26* + 6.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-376-320.jpg)
![Sección 5 .6 • Fó rm u la s especiales de factorización • 3 5 1
115. Considerex2 + 2x - 8 = (x + 4 )(x - 2 ) .
a) Explique cómo puede comprobar esta factorización
mediante gráficas en su calculadora graficadora.
b) Compruebe si la factorización es correcta siguiendo el
procedimiento que explicó en la parte a).
Ejercicios de repaso acumulativo
a) Explique cómo puede comprobar esta factorización
utilizando la característicaTABLE de una calculadora
graficadora.
b) Cbmpruebe si la factorización es correcta siguiendo el
procedimiento que explicó en la parte a).
116. Cbnsidere dr’ - l l x 2 - 10* = x(2 x - 5)(3x + 2).
[2.2] 117. Resuelva F = j C + 32 para C.
[3.3] 118. Grafique y = -3 x + 4.
[4.5] 119. Evalúe el determinante
3 - 2 -1
2 3 - 2
1 - 4 1
[5.2] 120. Multiplique [ (x + y) + 5]2.
[5.3] 12L Factorice 2x3 + 4x2 - 5x - 10.
5 .6 F Ó R M U L A S E S P E C IA L E S D E F A C T O R IZ A C IÓ N
Ü ÉÉ
1 Factorizar la diferencia d e dos cuadrados.
2 Factorizar trinomios cuadrados perfectos.
3 Factorizar la sum a y la diferencia de dos cubos.
1 Factorizar la diferencia de dos cuadrados
E n esta sección se presentan algunas fórm ulas especiales para factorizar la diferencia
de dos cuadrados, trinomios cuadrados perfectos, y la sum a y diferencia d e dos cubos.
L e será d e utilidad m em o rizar estas fórmulas.
La expresión jc
2 - 9 es un ejem plo d e la diferencia d e dos cuadrados.
x 2 - 9 = (x ) 2 - (3 )2
Para factorizar la diferencia d e dos cuadrados,es conveniente usar la fórmula para la di
ferencia de dos cuadrados, misma q u e se analizó en la sección 5.2 cuando hablamos del
producto de la sum a y diferencia de los mismos dos térm inos (binomios conjugados).
Diferencia de d o s cu a d ra d o s
a2 - b2 = (a + b )(a - b)
E J E M P L O 1
Solución
E J E M P L O 2
Solución
Factorice las siguientes expresiones m ediante la fórm ula d e la diferencia d e dos cua
drados.
a) r 2 - 16 b) 25a:2 - 9 /
Reescriba cada expresión como una diferencia de dos cuadrados. Luego utilice la fórmula.
a) ¿ — 16 = (.x )2 ~ (4)2
= (x + 4 )(x - 4)
b) 25x2 - 9 y 2 = (5a:)2 - (3y )2
= (5x + 3 y ) ( 5 x - 3 y ) #
Factorice las siguientes diferencias d e cuadrados,
a) * 6 - y 4 b) 2 z4 ~ 162a:6
R eescriba cad a expresión com o una diferencia d e d o s cuadrados. Luego utilice la
fórm ula.
a) ¿ - / = (x3)2 - (y2)2
= ( x ¡ + ? ) { j ? - / )](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-379-320.jpg)
![3 5 2 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
b) 2 z4 - 162x6 = 2 (z4 ~ 81a:6)
= 2[(z2)2 - (9X3)2]
= 2(z2 + ftO í* 2 - 9X3) #
Factorice x4 - 16y4.
x 4 - 16y 4 = í*2)2 - (4y*)2
= (x2 + 4y2)(* 2 - 4 / )
O bserve q u e (x2 - 4y2) tam bién es una diferencia d e dos cuadrados. Utilice la fórm u
la d e la diferencia d e dos cuadrados una segunda vez p ara obtener
= (a 2 + 4y2)[(x )2 - (2y )2]
= ( x 2 + 4 / ) ( x + 2 y ) ( x - 2 y ) #
Factorice (* - 5)2 - 49 m ediante la fórm ula p ara la diferencia d e dos cuadrados.
Prim ero expresam os (* - 5)2 - 49 com o una diferencia d e dos cuadrados.
(x - 5 )2 - 49 = (x - 5 )2 - l 2
= [ ( * - 5 ) + ? ] [ ( * - 5 ) - 7 ]
= (x + 2 )(x - 12) #
Observación: No es posible factorizar la suma de dos cuadrados con la forma a2 + b2
en el conjunto de los números reales.
Por ejem plo, no es posible factorizar x2 + 4, ya q u e x2 + 4 = x2 + 22, es una su
m a d e dos cuadrados (y no una diferencia d e cuadrados).
2 Factorizar trinomios cuadrados perfectos
E n la sección 5.2, vimos que
(a + b )2 = a2 + 2ab + b2
(a ~ b )2 = a2 - 2ab + b2
Si invertim os los lados izquierdo y derecho d e estas dos fórm ulas, obtenem os dos
fórmulas especiales de factorización.
Trinom io s cu a d ra d o s p e rfe cto s
a2 + lab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Estos dos trinom ios se denom inan trinomios cuadrados perfectos, ya q u e ca
d a uno es el cuadrado d e un binom io. Para ser un trinom io cuadrado perfecto, el p ri
m ero y el últim o térm inos debe ser el cuadrado de alguna expresión, y el térm ino
central debe ser eldoble delproducto delprimero y último términos. Cuando se le pida
factorizar un trinom io, determ ine si es un trinom io cuadrado perfecto antes d e inten
tar factorizarlo m ediante los procedim ientos explicados en la sección 5.5. Si es un
trinom io cuadrado perfecto, puede factorizarlo m ediante las fórm ulas indicadas con
anterioridad.
Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos
y 1 + 6 y + 9 o y 2 + 2 (y )(3 ) + 32
9a2b2 - 24a b + 16 o (3ab)2 - 2(3aZ>)(4) + 42
(r + s ) 2 + 1 0(r + s) + 25 o {r + s)2 + 2(r + s)(5 ) + S2
A hora factoricem os algunos trinom ios cuadrados perfectos.
AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 17
E J E M P L O 3
Solución
E J E M P L O 4
Solución
AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 25](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-380-320.jpg)
![Sección 5 .6 • Fó rm u la s especiales d e factorización • 3 5 3
E J E M P L O 5
Solución
AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 29
E J E M P L O 6
Solución
E J E M P L O 7
Solución
AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 39
E J E M P L O 8
Solución
AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 45
E J E M P L O 9
Solución
Factorice x 2 - Sx + 16.
Com o el prim ero y último térm inos,*2y 42, son cuadrados, este trinom io podría ser un
trinom io cuadrado perfecto. Para determ inar si lo es, tom e el doble del producto d e *
y 4 para ver si obtiene 8*.
2 (* )(4 ) = 8*
Com o Sx es el térm ino central, y com o su signo es negativo, factorice com o sigue:
a2 - 8* + 16 = ( x ~ 4)2 #
Factorice 9a
:4 - 12*2 + 4.
E l prim er térm ino es un cuadrado, (3a2 )2, lo mismo q u e el último térm ino, 22. Com o
2(3x¿)(2) = 12a2, factorizam os com o sigue:
9x* - 1 2 a 2 + 4 = (3 a 2 — l f #
Factorice (a + b )2 + 6 (a + b) + 9.
E l prim er térm ino, (a + b)2,es un cuadrado. E l último térm ino, 9 o 32, también. E l tér
mino central es 2(a + b )(3 ) = 6(a + b). Por lo tanto,éste es un trinomio cuadrado p er
fecto. Así,
(a + b )2 + 6 (a + b ) + 9 = [(a + b) + 3]2 = (a + b + 3 )2 #
Factorice a2 - 6 a : + 9 - y 2.
Como a2 - 6a: + 9 es un trinomio cuadrado perfecto que puede expresarse com o (a: - 3)2,
escribim os
{x - 3)2 - /
A hora (a: - 3 )2 - y2 es una diferencia d e cuadrados; p o r lo tanto
( * - 3 ) 2 - y2 = [ ( x - 3 ) + y] [ ( x - 3 ) - y]
= ( x - 3 + y ) ( x - 3 - y )
Así, a2 - 6a: + 9 - y2 = {x - 3 + y )(x - 3 - y ) . #
El polinom io del ejem plo 8 tiene cuatro términos. E n la sección 5.4 aprendim os
a factorizar p o r agrupación los polinom ios con cuatro térm inos. Si analiza el ejem plo
8, verá q u e sin im portar cuánto se trate, los cuatro térm inos no pueden acom odarse de
m odo q u e tanto los prim eros dos térm inos com o los últim os dos tengan un factor co
mún. Siem pre q u e un polinom io con cuatro térm inos no pueda factorizarse p o r agru
pación, intente reescribir tres d e los térm inos com o el cuadrado d e un binomio, y luego
factorice m ediante la fórm ula d e la diferencia de dos cuadrados.
Factorice 4a2 + 12ab + 9b2 - 25.
Prim ero com probam os q u e este polinom io d e cuatro térm inos no puede factorizarse
p o r agrupación. Después, lo analizamos p ara determ inar si tres d e los térm inos q u e lo
conform an pueden expresarse com o el cuadrado d e un binomio. Ya q u e esto es posi
ble, escribim os los tres térm inos com o el cuadrado d e un binomio. P ara com pletar la
factorización, utilizam os la fórm ula d e la diferencia d e dos cuadrados.
4a2 + Ylab + 9b2 - 25 = (2a + 3b)2 - 52
= [(2a + 3b) + 5][(2a + 3b) - 5]
= (2a + 3b + 5 )(2a + 3b - 5 ) #](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-381-320.jpg)
![3 5 4 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
3 Factorizar la suma y la diferencia de dos cubos
E JE M P L O 10
Solución
E J E M P L O 11
Solución
AHORA RESUELVA EL EJER CICIO 57
E JE M P L O 12
Solución
Al principio d e esta sección factorizam os la diferencia d e dos cuadrados. A hora fac-
torizarem os la sum a y la diferencia d e dos cubos. C onsidere el producto d e (a + b)
(a2 - ab + b2).
a2 - ab + b2
a + b
a2b - ab2 + b3
a3 - a2b + ab2
a 3 + b 3
Así, a3 + b3 = (a + b )(a 2 - ab + b2).Tam bién m ediante la multiplicación podem os
m ostrar q u e a3 - b3 = (a - b )(a 2 + ab + b2). Las fórm ulas p ara factorizar la sum a y
la diferencia de dos cubos aparecen en los siguientes recuadros.
S u m a d e d o s cu b o s
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Diferencia de d o s c u b o s
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Factorice x3 + 64.
Reescriba x 3 + 64 com o una sum a d e dos cubos, x 3 + 43. D eterm ine q u e x correspon
d a a a y 4 a b. Luego factorice m ediante la fórm ula d e la sum a d e dos cubos.
a3 + b3 = (a + b )(a 2 - a b + b2)
1 1 1 1 1 1 1 1
¿ + 43 = (* + 4 )[jc2 - x{4) + 4
2]
= (* + 4)(*2- 4x + 16)
A sí,*3 + 64 = (x + 4)(*2 - 4x + 16). #
Factorice 27X3 - 8y6.
Prim ero observam os q u e 27*3y 8y6 no tienen factores com unes distintos d e 1. Como
podem os expresar a 27*3y a 8y6com o cubos, podem os factorizar m ediante la fórm u
la para la diferencia de dos cubos.
27X3 - 8 / = (3 x)3 - ( 2 / f
= (3x - 2 /) [ ( 3 x ) 2 + ( 3 x ) ( 2 f ) + [ 2 / f ]
= (3* - 2y2){9x2 + 6xy* + 4y 4)
A sí, 21x3 - 8 / = (3x - 2y2)(9x2 + 6 x f + 4 / ) . #
Factorice 8 / - 6 4 /'.
Prim ero factorice 8, q u e es com ún a los dos términos.
8y3 - 64*6 = 8 { f - 8*6)
A hora factorice y3 - 8*0escribiéndolo com o una diferencia d e dos cubos.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-382-320.jpg)
![Sección 5 .6 • Fó rm u la s especiales d e factorización • 3 5 5
E JE M P L O 13
Solución
AHORARESUELVAELEJERCICIO 65
- 8*”) = q [ y y - ( Z rT J
= 8(y - 2x2) [ f + y (Ix 2) + ( Ix 2)2]
= 8( y - 2 x 2 ) ( y 2 + 2x 2 y + 4x4)
A sí,8 y2 - t o x 6 = 8 ( y - 2 x 2)(y2 + 2x2y + 4xi ). #
Factorice (x - 2)3 + 125.
Escriba (x - 2)3 + 125 com o una sum a de dos cubos; luego factorice utilizando la fór-
m uía p ara la sum a d e dos cubos.
(x - 2 Y + (5)3 = [(x - 2 ) + 5 ][(* - 2 )2 - (X - 2 ) (5) + (5)2]
= {x - 2 + SJÍx2 - 4x + 4 - 5* + 10 + 25)
= (* + 3)(x2- 9 x + 39) m
S U G E R E N C I A El cuadrado de un binomio tiene un 2 como parte del término central del trinomio.
(a + b)2 = a2 + la b + b2
(a ~ b)2 = a2 - la b + b1
La suma o la diferencia de dos cubos tiene un factor similar al del trinomio en el cuadrado
del binomio.Sin embargo, el término central no incluye un 2.
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
no es lab
EJ E M PL O 14 Volumen Utilizando los cubos d e la figura 5.16, determ ine una expresión, en form a
factorizada, p ara calcular la diferencia en tre sus volúmenes.
4*
FIGURA 5.16
Solución Para encontrar la diferencia en tre los volúmenes, reste el volum en del cubo pequeño
del volum en del cubo grande.
Volumen del cubo grande = (4*)3
Volumen del cubo pequeño = 33
Diferencia en tre los volúm enes = (4*)3- 33 te sta r volúmenes.
= (4x " 3)[(4x:)2 + (4*)3 + 3*] Factorizar.
= (4x - 3X16*2 + 12* + 9 ) Simplificar.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 87 L a d ife re n c ia e n tr e lo s v o lú m e n e s d e los d o s c u b o s e s (4 * - 3 )(1 6 x* + 12* + 9 ). #
Cubo grande Cubo pequeño](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-383-320.jpg)
![Sección 5.7 • R e p a so general de factorización • 3 5 9
Reto
119. La expresión x6 - 1 puede factorizarse usando la dife
rencia de dos cuadrados o la diferencia de dos cubos. Al
principio los factores no parecen ser los mismos, pero
con un poco de manipulación algebraica puede demos
trarse que son iguales. Factorice x6 - 1 mediante a) la
diferencia de dos cuadrados, y b) la diferencia de dos cu
bos. c) Muestre que ambas respuestas son iguales, facto-
rizando completamente las respuestas obtenidas en la
parte a). Luego multiplique los dos binomios por los dos
trinomios.
O Actividad en equipo
Analice y responda en equipo el ejercicio 120.
120. Más adelante en el curso necesitaremos construir trino
mios cuadrados perfectos. Examinen algunos trinomios
cuadrados perfectos con coeficiente principal 1.
a) Expliquen cómo están relacionados b y c, si el trino
mio x2 + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto.
Ejercicios de repaso acumulativo
b) Cbnstruyan un trinomio cuadrado perfecto, si los pri
meros dos términos son x1+ 6x.
c) Construyan un trinomio cuadrado perfecto, si los pri
meros dos términos son x2 -ÍO x.
d) Cbnstruyan un trinomio cuadrado perfecto, si los pri
meros dos términos son x2 -1 4 x.
[2.1] 121. Simplifique -2[3x - (2y - 1) - 5.r] + y. [5.4] 124 Factorice el máximo factor común de 45y12+ 30y10.
[3.6] 122. Si/)*) = ** - 3 í + 4 y g(x) = 2 x - 5 , determine l2S- Factorice U x2 - 9xy + 4xy - 3>2
.
( * - / ) ( - ! ) •
[4.4] 123. Ángulos Un ángulo recto se divide en tres ángulos
más pequeños. El más grande de los tres mide el do
ble del más pequeño. El ángulo restante mide 10°
más que el ángulo más pequeño. Determine la me
dida de cada ángulo.
5 . 7 R E P A S O G E N E R A L D E F A C T O R IZ A C IÓ N
8 m
1 F a c to riz a r p o lin o m io
1 Factorizar polinomios mediante una com binación d e técnicas.
>s m e d ia n te u n a c o m b in a c ió n d e té c n ic a s
H em os presentado varios m étodos p ara factorizar. A hora com binarem os problem as y
técnicas d e las secciones anteriores.
U n procedim iento general p ara factorizar cualquier polinom ios es el siguiente.
P a ra facto riza r un polinom io
L Determine si todos los términos del polinomio tienen un máximo factor común distin
to de 1.Si es así, factorice el MFC.
2. Siel polinomio tiene dos términos, determine si es una diferencia de dos cuadrados o
una suma o diferencia de dos cubos. En cualquiera de estos casos, factorice utilizando
la fórmula adecuada.
(continúa en la página siguiente)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-387-320.jpg)
![3 6 0 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
E J E M P L O 1
Solución
E J E M P L O 2
Solución
AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 27
E J E M P L O 3
Solución
E J E M P L O 4
Solución
E J E M P L O 5
Solución
AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 10
E J E M P L O 6
Solución
3. Si el polinomio tiene tres términos, determine si es un trinomio cuadrado perfecto. Si
lo es, factorícelo como corresponde. De lo contrario, factorice el trinomio utilizando
el método de prueba y error, por agrupación o por sustitución, como se explicó en la
sección 5.5.
4 Siel polinomio tiene más de tres términos, intente factorizarlo mediante agrupación. Si
eso no funciona, vea si tres de los términos son el cuadrado de un binomio.
5. Como paso final, examine el polinomio factorizado para ver si los factores enumera
dos tienen un factor común y se pueden factorizar más. Si encuentra un factor común,
factorícelo.
Los siguientes ejem plos ilustran cóm o utilizar este procedim iento.
Factorice 3x4 - 48 / .
Prim ero verifique si existe un máximo factor com ún distinto d e 1. Com o 3 / es com ún
a am bos térm inos, factorícelo.
3a:4 - 48a:2 = 3a:2(a:2 - 16) = 3 x 2(x + 4 )(* - 4)
O bserve q u e / - 16 se factoriza com o una diferencia d e dos cuadrados. #
Factorice 3 / / - 2 4 a:/ + 4 8 /.
Com ience factorizando el M FC, 3 / , de cada térm ino.
3a:2/ - 2 4 a :/ + 4 8 / = 3 / { x 2 - 8 x + 16) = 3y x - 4 )2
Observe q u e x2 - 8x +16 es un trinomio cuadrado perfecto. Si no lo reconoce, tam bién
podrá obtener la respuesta correcta factorizando el trinom io en (x - 4 )(x - 4). %
Factorice 2 4 / - 6xy + 16xy - 4 / .
Como siem pre,com ience p o r determ inar si todos los térm inos del polinom io tienen un
factor com ún. E n este ejem plo, el núm ero 2 es com ún a todos los términos. Factorice
el 2;después factorice el polinom io d e cuatro térm inos resultante m ediante agrupación.
24a:2 - 6 x y + 16xy - 4 / = 2(12a:2 - 3a:^ + 8 x y - 2y 2)
= 2[3x{4x - y ) + 2 y (4 x - y )]
= 2 (4a: - y )(3 x + 2y ) #
Factorice 1 0 /6 - 15ab + 206.
1 0 / 6 - 15ab + 206 = 5 6 ( 2 / - 3a + 4)
Com o 2a1 - 3 a + 4 no puede factorizarse, concluim os aquí. #
Factorice 2x4y + 54xy.
2x 4y + 54x y = 2 x y (x 3 + 27)
= 2 a :/a : + 3 ){ x 2 - 3 x + 9)
O bserve q u e factorizam os / + 27 com o una sum a d e dos cubos. #
Factorice 6x2 - 3 x + 6 / - 9.
Prim ero factorizamos el 3 d e los cuatro términos.
6a:2 - 3 x + 6 / - 9 = 3(2a:2 - a: + 2 / - 3)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-388-320.jpg)
![Se cció n 5.7 • R e p a so general de factorización • 361
A hora verem os si podem os factorizar los cuatro térm inos dentro d e los paréntesis m e
diante agrupación. Com o puede ver, esto no es posible, así q u e analizarem os si p ode
mos escribir tres d e los térm inos com o el cuadrado d e un binomio. Sin im portar cómo
los reordenem os, esto tam poco es posible. Concluim os q u e esta expresión no se p u e
d e factorizarse más. Por lo tanto,
6 x2 - 3 x + 6 y 2 - 9 = 3{2x2 - x + 2 y 2 - 3) #
E J E M P L O 7 F actorice3x* - 18* + 2 7 - 3 y 2.
Solución Factorizam os el 3 de los cuatro términos.
3 x2 - 18* + 27 - 3 / = 3 {x 2 - 6 x + 9 - y 2)
A hora intentarem os factorizar p o r agrupación. Com o los cuatro térm inos entre p a
réntesis no pueden factorizarse p o r este m étodo, veam os si podem os escribir tres de
los térm inos com o el cuadrado d e un binomio. Ya q u e esto sí es posible, expresam os
x2 ~ 6x + 9 com o (x - 3)2y después utilizam os la fórm ula p ara la diferencia d e dos
cuadrados. Así,
S x2 - 18* + 27 - 3 / = 3[(x - 3)2 - y 2]
= 3 [(* - 3 + y ) ( x - 3 - y ) ]
AHORA RESUEU/A EL EJER CICIO 4 3 = 3 {x ~ 3 + y ) { x ~ 3 ~ y ) #
SU G ER EN CIA
C 0 N 5 E J 0 P A R A
E 5 T U D I A R
En esta sección hemos repasado todas las técnicas para la factorización de expresiones.
Si todavía tiene problemas para factorizar, vuelva a estudiar el material de las seccio
nes 5.4 a 5.6.
C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5 . 7
Ejercicios conceptuales
L Explique los procedimientos que pueden utilizarse para 2. ¿Cuál es el primer paso en el procedimiento de factori-
factorizar un polinomio de a) dos términos, b) trestérminos, zación ?
y c) cuatro términos.
Problemas de aplicación
Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios.
3. 3*2 - 75 4 3x2 - 24* + 48
£ 5. lOs2 + 19s - 15 6. 6 * y + io * v 3 + s*2/
7. —
8r2 + 26r - 15 8. 4*3 - 16*2 - 48*
9. 0.4*2 - 0.036 10. 0.5*2 - 0.08
1L 6x5 - 54* 12. l x 2y 2z 2 - 28*2^ 2
13. 3*6 - 3x5 + 12*5 - 12*4 14 2*2^ 2 + 6 * / - 10xy2 - 30y
15. 5 * V + 2 0 * Y + 15*3/ + 6 0 * Y 16. 6*2 - 15* - 9
£ 17. *4 - * y 18. 6*3 + 162
£
—
19. *y - * y 20. *4 - 81
2L *5 - 16* 22. i l x 2y 2 + 3 3 * / - 9 /
23. 2x6 + 1 6 / 24 8*4 - 4*3 - 4*3 + 2*2
25. 2(a + b f - 50 26. 12*3y2 + 4*2/ - 4 0 * /
£ 27. 6*2 + 36*y + 5 4 / 28. 3*2 - 30* + 75
£ 29. (x + 2)2 - 4 30. 4 / - 36x6](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-389-320.jpg)
![Ejercicios de repaso acumulativo
3 6 4 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
[2.1] 92. Resuelva 6{x + 4) - 4(3* + 3) = 6.
[2.6] 93. Determineel conjunto solución para
6 + 2 z
> 2 .
[4.3] 94. Mezcla decafés Aian Morales piensa abrir una tien
da de abarrotes, y desea mezclar 30 libras de café
para vender a un costo total de $170. Por obtener la
mezcla, utilizará café que vende a $5.20 por libra y
café que vende a $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de
cada café debe utilizar?
[5.2] 95. Multiplique (Sx + 4)(*2 - x + 4).
[5.4] 96. Factorice Ix 3 + 4x2 - S x - 10.
5 . 8 E C U A C I O N E S P O L IN O M IA L E S
1 Usar la propiedad del factor nulo para resolver ecuaciones.
2 Usar la factorización para resolver ecuaciones.
3 Usar la factorización para resolver problem as de aplicación.
4 Usar la factorización para determ inar las intersecciones del eje
x d e una función cuadrática.
Siem pre q u e se establece q u e dos polinom ios son iguales entre sí, tenem os una ecua
ción polinomial.
Ejemplos d© ecuaciones polinomiales
x 2 + 2 x = x - 5
y 3 + 3 y - 2 = 0
4a:4 + 2 x 2 = - 3 x + 2
El g'ado de una ecuación polinomial esel mismo que el del término con mayor grado. Por
ejemplo, las tres ecuaciones anteriores tienen grados 2,3 y 4, respectivamente. Con frecuen
cia, una ecuación d e segundo grado con una variable se denom ina ecuación cuadrática.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas
3 X 2 + 6 x - 4 = 0
5 x = 2 x 2 - 4
( x + 4 )(x - 3) = 0
Cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma general.
Fo rm a ge n era l de u n a ecua ció n cu a d rá tica
ax2 + bx + c = 0, a * 0
donde a, b y c son números reales.
A ntes d e continuar, asegúrese d e q u e puede convertir cada una d e las tres ecua
ciones cuadráticas dadas anteriorm ente a su form a general, con a > 0.
1 U s a r la p ro p ie d a d d el fa c to r n u lo p a r a re s o lv e r e c u a c io n e s
P ara resolver ecuaciones utilizando factorización, em pleam os la propiedad del fac
tor nulo.
P ropiedad d el fa cto r nulo
Para todos los números reales a y b, sia •b = 0, entonces a = 0 o 6 = 0, o bien a y b = 0.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-392-320.jpg)
![3 7 0 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
Puede determ inar soluciones aproxim adas a ecuaciones cuadráticas q u e no son factorizables p o r m edio de
su calculadora graficadora. C onsidere el siguiente ejem plo d e la vida real.
E J E M P L O A n ten a s d e celulares E n E stados U nidos, el núm ero de antenas
repetidoras d e señales d e telefonía celular ha estado creciendo; entre 1996 y 2002, el
núm ero d e estas antenas, N , en miles, puede calcularse p o r medio d e la función
N ( t ) = -1 .4 5 t2 + 21.88* + 25.44
en donde t es el núm ero d e años desde 1996. D eterm ine el año en q u e el núm ero de
antenas repetidoras llegó a 80,000.
S o lu c ió n E n tie n d a e l p ro b le m a y tr a d u z c a Para responder esta pregunta
necesitam os q u e la función N (t) sea igual a 80, y despejar t.
-1 .4 5 12 + 21.88/ + 25.44 = 80 OitermlnarN(l) = 80.
No podem os resolver esta ecuación m ediante factorización, pero sí utilizando
una calculadora graficadora. Para hacerlo, denom inam os a un lado d e la ecuación y!
y al o tro y2.
y, = - í .4 5 x 2 + 21.88* + 25.44
>
■2 = 80
R ealice lo s c á lc u lo s A hora grafique las dos funciones en su calculadora grafica
dora y utilice las teclas T R A C E Z O O M u otras teclas (por ejem plo la tecla
C A L C con la opción 5yintersect, en la T I-8 3 Plus) p ara obtener su respuesta. La
[0,6,1,0,120,30]
FIGURA 5.22
figura 5.22 ilustra la pantalla de una T I-8 3 Plus, m ostrando q u e la coordenada x de
la intersección d e las ecuaciones está aproxim adam ente en x = 3.1520.
R e s p o n d a ftjr consiguiente,en 1999 (3 años a partir d e 1996) había casi 80,000 an
tenas repetidoras.
4 Utilizar la factorización para determinar las intersecciones del eje x
de una función cuadrática
Considere la gráfica d e la figura 5.23.
E n las intersecciones del eje x , el valor d e la función, o y, es 0. A sí, si desea
m os determ inar las intersecciones del eje x d e una gráfica, podem os establecer la
función = Oy despejar x.
E J E M P L O 10 D eterm ine las intersecciones del eje x de la gráfica q u e se obtiene al graficar y = x2 -
2x -8 .
Solución E n las intersecciones del eje x , y tiene un valor d e 0. Por lo tanto, para determ inar las
y * intersecciones del eje x escribim os
x 2 ~ 2 x - 8 = 0
(x ~ 4 ) ( x + 2 ) = 0
x — 4 = 0 o * + 2 = 0
* = 4 x = - 2
Las soluciones d e x2 - 2x - 8 = 0, son 4 y -2 . Las intersecciones del eje * de la grá
fica que se obtiene d e y = x2 - 2x - 8son ( -2 ,0 ) y (4,0),como se ilustra en la figura 5.24.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-398-320.jpg)
![Sección 5 .8 • E c u a c io n e s polinom iales • 3 7 1
FIGURA 5.24
AHORA RESUEU/A EL E JER CIC IO 75
Si conocem os las intersecciones del eje a:de una gráfica, podem os determ inar la
ecuación d e la gráfica. L ea el siguiente recuadro p ara aprender cóm o hacerlo con ayu
d a d e su calculadora graficadora.
Cómo utilizar su calculadora graficadora
E n el ejem plo 10 vimos q u e la gráfica q u e se obtuvo d e y = x L- 2 x - 8 tenía las intersecciones del eje a: en
- 2 y 4. Si conocem os las intersecciones del eje x de una gráfica,podem os determ inar ecuaciones cuyas gráficas sean
esas intersecciones. Por ejemplo,
Intersecciones
del eje a: en Factores Ecuación
- 2 y 4 (x + 2 )(x - 4) y = (x + 2)(a: - 4)
o y = x 2 - 2 x - 8
Ténga en cuenta q u e otras ecuaciones pueden tener gráficas con las mismas intersecciones del eje a:. Por ejem plo,
la gráfica d e y = 2(a^ - 2a: - 8 ) o y = Ix2 - 4x - 16 d a p o r resultado gráficas q u e tam bién tienen intersecciones
del eje a: en 4 y - 2 . D e hecho, la gráfica d e y = a f é - 2x - 8), p ara cualquier núm ero real distinto d e cero a, ten
d rá intercepciones del eje a: en 4 y -2 .
C onsidere la gráfica d e la figura 5.25.
[ - 10,10,1, - 10,20,2]
FIGURA 5.25 FIGURA 5.26
Si suponem os q u e las intersecciones son valores enteros, las intersecciones del eje a
: están en 2 y 8. Por con
siguiente,
Intersecciones
del eje x en Factores Ecuación
2 y 8
i
S
i
1
00
y = ( x - 2)(x - 8)
o y = x 2 - 1 0 a : + 16
Si cam biam os la ventana,vem os q u e la intersección del eje y de la gráfica está en 16 (vea la figura 5.26). Por lo tan
t o ^ = x2 - 10a: + 16 podría ser la ecuación q u e dio lugar a la gráfica. Si, p o r ejem plo, la intersección del eje y de
la gráfica estuviese en 32, entonces la ecuación d e la gráfica podría ser y = 2(x2 - 10a: + 16) o y = Ix 2 - 20x + 32.
(continúa en la página siguiente)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-399-320.jpg)
![3 7 6 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
117. Cbnsidere la gráfica siguiente de una función cuadrática.
y
118.
a) Escriba una función cuadrática que tenga las intersec
ciones del eje x indicadas.
b) Escriba una ecuación cuadrática con una variable cuya
salución sea - 2 y -5.
c) ¿Cuántas funciones cuadráticas diferentes pueden te
ner intersecciones del eje x de - 2 y -5? Explique.
d) ¿Cuántas ecuaciones cuadráticas diferentes con una va
riable pueden tenersoluciones de - 2 y -5? Explique.
Lagráfica de laecuacióny = x2 + 4se ilustra acontinuación.
a) ¿Cuántas intersecciones del eje x tiene la gráfica?
b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x2 + 4 = 0?
Explique su respuesta.
119. Cbnsidere la función cuadrática
P(x) = ax2 + bx + c,a > 0.
a) La gráfica de este tipo de función puede no tener inter
secciones del eje x, una intersección del eje x o dos in
tersecciones del eje x. Bosqueje cada una de estas
posibilidades.
b) ¿Cuántas posibles soluciones reales puede tener la
ecuación ax1+ bx + c = 0,a > 0! Explique su respues
ta a la parte b) utilizando los bosquejos de la parte a).
120. Distanciapara detenerse Ladistancia, d en pies,para de
tener un automóvil común que viaja sobre pavimento se
co puede calcularse mediante la función d(s) = 0.034s2 +
0.56s - 17.11,en donde s es la velocidad del automóvil an
tes de frenar y 60 =2s ^ 80 millas por hora. Si un automó
vil requiere de 190pies para detenerse después de aplicar
tos frenos, ¿qué tan rápido va el automóvil?
12L Distanciapara detenerse Ladistancia, d en pies, para de
tener un automóvil común que viaja sobre pavimento mo
jado puede calcularse mediante la función d(s) = -0.031S2
+ 59.82s - 2180.22, en donde s es la velocidad del auto
móvil antes de frenar y 60 < s < 80 millas por hora. Si un
automóvil requiere de 545 pies para detenerse después de
aplicar los frenos, ¿qué tan rápido va el automóvil?
Reto
Resuelva*
122. x4 - 5x2 + 4 = 0 123. x4 - 13x2 = -3 6 124 x6 - 9X3 + 8 = 0
2. Actividad en equipo
En cursos más avanzados de matemáticas podría necesitar despejar y' (se lee “
y prima”) en una ecuación. Cuando esto ocurra, trate
a y' como una variable diferente de y De forma individual despeje y' de cada ecuación. En equipo, compare sus respuestas y obtenga
las respuestas correctas.
125. xy' + yy ' = 1 126. xy - xy ' = 3y ' + 2 127. 2x y y ' - x y = x - 3y'
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.5] 128. Simplifique (4x“2y3)”2. [4.1] 130. Resuelva el sistema de ecuaciones
[2.5] 129. Resuelva la desigualdad y grafique la solución en 3x + 4y = 2
la recta numérica. 2x = - 5 y —1
[5.2] 131. Si f(x) = - x 2 + 3x y g
< 4 (3 * _ -2 ) ^ 5 ( f .g)(4).
[5.7] 132. Factorice (x + 1) — (x + 1 ) — 6.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-404-320.jpg)
![3 7 8 • C a p ít u lo 5 • P o lin o m io s y f u n c io n e s p o lin o m ia le s
F o r m a g e n e r a l d e u n a e c u a c i ó n c u a d r á t i c a : ax? + bx + c = 0, a # 0.
P r o p i e d a d d e l f a c t o r n u lo : Si a • b = 0 , entonces a = 0 o b = 0 ,o am bos a y b = 0.
T e o r e m a d e P i t á g o r a s :
cateto2 + cateto2 = hipotenusa2o a2 + b2 = c¿.
a
Ejercicios de repaso del capítulo
[5.1] Determine si cada expresión es un polinomio. Si la expresión es un polinomio, a) proporcione el nombre especial del polino
mio, si lo tiene, b)escriba el polinomio en orden descendente de la variable x, y c) indique el grado del polinomio.
L 3x2 + 2
3. 8a: - x"1 + 6
Realice cada operación indicada.
5. (x 2 - 5x + 6) + (2x + 3)
7. (2a - 3b - 2) - ( - a + 5b - 8 )
9. (3x 2y + 6xy - 5y 2) - (4y 2 + 3a:>-)
11. Sume x2- 3x + 5 con 4x*2 + l(k - 9.
13. Determine P ^ . s i P(x) =2x2 - 3 x + 13.
2. 5a: + 4a:3 - 9
4. - 3 - 10*2y + 6xy3 + 2xA
6. ( lx 2 + 2 x - 5) - (2a:2 - 9 x - 1)
8. (4a:3- 4a:2- 2a:) + (2 a3 + 4a:2- 7a: + 10)
10. (-8 a b + 2b2 - 3 a ) + ( - b 2 + 5ab + a)
12. Reste 3a1b - 5ab de -7 a2/» - ab.
14 Determine P(-3 ), si P(x) = x3 - 3 X 2 + 4x - 9.
En los ejercicios 15 y 16, determine una expresión polinomialpara calcular el perímetro de cada figura.
15. , . ^ 16. _ ^ + 7
, x 2 + 1 13a
: + 8
A^ + 2r
En ¡os ejercicios17y 18de la página 379, utilizamos la siguiente gráfica, en donde semuestran los ingresos y egresos de laAdministración de
Seguridad Social de Estados Unidos entre 1997y 2025.
Ingresos y egresos de seguridad social
$2000j
| $1600
% $1200
1
$800
$400
97 98 99 00 01 02 03 Ot 05 06 10 15 20 25
Año
Fuente: A dm inistración d e S egundad Social de Estados Unidos](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-406-320.jpg)
![Ejercicios de re p a so del capítulo • 3 7 9
17. Ingresos en seguridad social La función R(¡) = 0.78/2 +
20.28/ + 385.0, en donde / representa los años desde 1997
y 0 ^ / ^ 28,sirve para calcular los ingresos aproximados
que genera la industria de la seguridad social en Esta
dos Unidos,/?(/), en miles de millones de dólares.
a) Mediante la función proporcionada, estime los ingresos
en 2010.
b) Cbmpare su respuesta en la parte a) con la gráfica en
la página 378. ¿La gráfica apoya su respuesta?
[5.2] Multiplique.
19. 2x(3x2 - I x + 5)
2L (3x - 5){2x + 1)
23. (x + 8y)2
25. (2xy - l)(5x + 4y)
TI. (2a + 9 b f
29. ( I x + 5y)(7x - 5y)
31. (5xy + 6)(5xy - 6)
33. [(x + 3y) + 2]2
35. (3x2 + 4x - 6)(2x - 3)
18. Egresos en seguridad social La función G(t) = 1.74/2 +
7.32i + 383.91, en donde / representa años desde 1997 y
0 < / < 28, sirve para calcular los egresos de la industria
de seguridad social, G(/),en miles de millones de dólares.
a) Mediante la función proporcionada, estime los egresos
en 2010.
b) Campare su respuesta de la parte a) con la gráfica en
la página 378. ¿La gráfica apoya su respuesta?
20. - 3 x / ( x 3 + xy4 - 6y5)
22. (5a + 9)( 10a - 3)
24. (a - 11b)2
26. (2pq - r)(3pq + Ir)
28. (3x - 2y)2
30. (2a - 5b2)(2a + 5b2)
32. (9a2 - 2b2)(9a2 + 2b2)
34. [(2p - q ) - 5]2
36. (4x3 + 6x - 5)(x + 3)
En los ejercicios 37 y 38, determine una expresión para calcular el área total de cada figura.
37. 38.
ñtra cada par de funciones, determine a) ( f •g) (x) y b) ( f ‘ g)(3).
39. f ( x ) = x + 2,g (x ) = x - 3
4L f ( x ) = x2 + x - 3, g (x) = x - 2
[5.3] Divida.
6x2 + 9x + 12
43.
45.
47.
21y3 + 6y + 2
4x3y2 + 8x2y3 + 12xy4
8xy3
4 9 . (2x4 - 3x3 + 4X2 + 17x + 7) + (2x + 1)
5L (x2 + x - 18) + (x - 3)
40 . f ( x ) = 2x - 4 , g(x) = x2 - 3
42 . f ( x ) = x2 - 2,g (x ) = x2 + 2
44.
46.
l a 2 - 1 6 a + 2 0
45pq - 2 5 c f - 10q
48. (8x2 + 14x - 15) + (2x + 5)
50. (4a4 - la 2 - 5a + 4) + (2a - 1)
52. (4x3 + 12x2 + x - 10) + (2x + 3)
Utilice la división sintéticapara obtener el cociente de cada expresión.
53. (3x3 - 2x2 + 10) + (x - 3) 54. (2y5 - 10y3 + y - 1) + (y + 1)
55. ( í s - 20) + (jc - 2) 56. {2x3 + *2 + 5jt - 3 ) (jr - i )
Determine el residuo de cada división mediante el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indiquelo.
57. (x2 - 4x + 11) + (x - 3) 58. (2x3 - 6x2 + 3x) + (x + 4)
59. (3*3 - 6) -5
- ( x - j ) 60. (2x‘ - 6x2 - 8) *• (x + 2)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-407-320.jpg)
![3 8 0 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
[5.4] En cada expresión, factorice el máximo factor común.
61. 4*2 + 8* + 24
63. 10a3¿>
3 - 12a2b6
Factoricepor agrupación.
65. 5*2 - x y + 20xy - 4 /
67. (2x - 3)(2x + 1) - (2* - 3)(x - 8)
62. 15*4 + 6*3 - 12*4/
64. 12*yV + 6*2/ z2 - 15x 3y V
66. 12a2 - 8 a b + 15ab - 10b2
68. 7*(3* - 5) + 3(3* - 5)2
En los ejercicios 69 y 70, A representa el área de la figura. Determine una expresión en forma factorizada, para calcular la diferencia
entrelas áreas de lasfiguras geométricas.
69.
A = 13*(5* + 2)
70.
I
A = 7(5* + 2)
A = 14*2+ 18* A = 7* + 9
En los ejercicios 71 y 72, V representa el volumen de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la dife
rencia entre los volúmenes de lasfiguras geométricas.
e
y = 7(17*+ 3)
[5.5] Factorice cada trinomio.
73. / + 8* + 12
75. / - 4* - 21
77. - * 2 + 12* + 45
79. 2*3 + 13*2 + 6*
81. 4a3 - 9a2 + 5a
83. / - 15xy - 54y2
85. *4 + 8*2 + 15
87. (* + 5)2 + 10(* + 5) + 24
72.
©
V = 20x2 + 25x V = 8x+10
74. *2 + 2* - 15
76. *2 - 10* + 16
78. - * 2 + 13* - 12
80. 8*3 + 10*2 - 25*
82. 1 2 / + 6 1 / + 5 /
84. 6p2 - 19p q + 1 0 /
86. *4 + 2*2 - 63
88. ( * - 2 )2 - ( * - 2) - 20
En los ejercicios 89 y 90, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada en cada figura.
89. 90.
x + 2
x + 9
x + 4
[5.6] Utilice unafórmula especial defactorización parafactorizar las siguientes expresiones.
91. x2 - 49 92. *2 - 100
93. *4 - 16 94 *4 - 81
95. 4a2 + 4a + 1 96. 4 / - 12y + 9
97. (* + 2)2 - 9 98. (3y - l) 2 - 25](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-408-320.jpg)
![Ejercicios de re p a so del capítulo • 381
99. p* + 16p2 + 64 100. bA - 14b2 + 49
101. *2 + 8* + 16 - y 2 102. a2 + 6ab + 9b2 - 4c2
103. 9*2 + 6xy + y 2 104. 36b2 - 60bc + 25c2
105. *3 - 27 106. / + 64
107. 125*3 - 1 108. 8a3 - 21b3
109. (* + l) 3 - 8 110. (* - 2)3 - 27
111. y 3 - 6 4 / 112. (a + 3)3 + 1
En los ejercicios113 y 114, determine una expresión, en formafactorizada, para calcularel área de la región sombreada en cadafigura.
113.
115. Volumen Determine una expresión, en forma factoriza
da, para calcular la diferencia entre los volúmenes de es
tos dos cubos.
116. Volumen Determine una expresión, en forma factoriza
da, para calcular el volumen de la región sombreada de
esta figura.
[5.4-5.7] Factorice completamente.
117. x 2/ - 2xy2 - 15y 2
119. 3*3/ + 18*y - 6X2/ - 3 6 * /
121. 2x3y + 16y
123. 6*3 - 21x2 - 12*
125. 3*3 + 2 4 /
127. 4(2* + 3)2 - 12(2* + 3) + 5
129. (* - l) * 2 - (* - 1 )* - 2(x - 1)
131. 6p 2q2 - Spq - 6
133. 4y 2 - (* 2 + 4* + 4)
135. 6*4/ + 9*3/ - 27* Y
a c
118. 3*3 - 18*2 + 24*
120. 3y5- 27y
122. 5x*y + 20x 3y + 20*2y
124. *2 + 10* + 25 - /
126. *2(* + 4 ) + 3 * (* + 4 ) - 4 (x + 4)
128. 4*4 + 4*2 - 3
130. 9ax - 3 bx + 12ay - 4by
132. 9*4 - 12*2 + 4
134. 6(2a + 3 )2 - 7 (2 a + 3 ) - 3
^ x 3 " ^ f y6
Área En los ejercicios 137 a 142, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada
de cada figura.
137.
y + 7](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-409-320.jpg)
![3 8 2 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales
139.
b ¿
>
h b
b b
b
140.
b b
14L
a + 3b
a b a b
ü
142.
a
a a
b
[5.8] Resuelva..
143. (x - 3)(4* + 1) = 0
146. 15*2 + 20* = 0
149. x2 = 8x - 7
152. 20/t2 - 6 = 7p
144. (2 * + 5)(3* + 7) = 0
147. j*2 + Ix + 12 = 0
150. c3 - 6c2 + 8c = 0
153. 5*2 = 20
145.
148.
2x2 = 4*
a2 + a - 30 = 0
151. 12d2 = 13d + 4
154. x (x + 3) = 2(x + 4) - 2
íM/ce factorización para determinar las intersecciones del eje x de la gráfica de cada ecuación.
155. y = 2x2 - 2x - 60 156. y = 20*2 - 49* + 30
Escriba una ecuación cuya gráfica tenga las intersecciones del eje x en los valores dados.
3 5
157. - 3 y 6
“ *
• - F - 6
En los ejercicios 159 a 163, responda la pregunta.
159. Alfombra El área de una alfombra rectangular es de 99
piescuadrados. Determine el largo y ancho de la alfombra,
si el largo es 2 pies mayor que el ancho.
160. Anuncio triangular La base de un anuncio triangular mi
de 3 pies más que el doble de la altura. Determine la base
y la altura, si el área del triángulo es 22 pies cuadrados.
161. Cuadrado Un cuadrado tiene un lado de 4 pulgadas ma
yorque el lado de un segundo cuadrado. Siel área del cua
cad o más grande es de 49 pulgadas cuadradas,determine
la longitud de cada lado de ambos cuadrados.
162. Velocidad Un proyectil es lanzado hacia arriba, desde la
parte más alta de un edificio de 144 pies de altura, con una
velocidadde 128pies porsegundo. La distancia del proyec
til respecto del suelo en cualquier instante /, en segundos,
está dada mediante la fórmula s(/) = -161
2 + 128/ + 144.
Determine el tiempo que tarda el proyectil en estrellarse
contra el suelo.
163. Postes telefónicos Sesujetan dos cables tensados a un pos
te telefónico para ayudar a estabilizarlo. El cable se suje
ta a * pies de la base del poste, sobre el suelo. La altura
del poste es * + 31 y el largo del cable es * + 32. Deter
mine *.](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-410-320.jpg)
![E x a m e n d e r e p a s o a c u m u la t iv o
3Q A • C apítulo 5 • Polinom ios y funcion e s polinom iales
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrecta
mente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta.
L Determine A U B para A = {2,4,6,8} y B = (3,5,6,8}.
2. Ilustre {r|x ^ -5} en la recta de los números reales.
3. Divida + (-2 ).
4 Evalúe ( -3 )3 - 22 - ( - 2 ) 2 + (7 - 7)2.
implifique [ y -
2 rV Y
5. Simplifique { 2 . .
6. Resuelva 4(2* —2) —3(* + 7) = —
4.
7. Resuelva k =2(d + e) para e.
8. Terreno Un arquitecto desea cercardos áreas iguales, co
mo se ilustra en la figura. Si ambas áreas son cuadrados y
el largo total de la cerca utilizada es de 91 metros, deter
mine las dimensiones de cada cuadrado.
9. Copias Cecilia Sánchez tiene un manuscrito y necesita
obtener 6 copias del mismo antes de enviárselo a un edi
tor en Argentina. La primera copia cuesta 15 centavos por
página y cada copia adicional cuesta 5 centavos por pági
na. Si el pago total es de $248, ¿cuántas páginas tiene el
manuscrito?
10. Promedio de calificaciones Las primeras cuatro califi
caciones que obtuvo Luis Ruiz en sus exámenes son 68,
72, 90 y 86. ¿Qué rango de calificaciones de su quinto
examen producirá un promedio mayor o igual que 70 y
menor que 80?
IL ¿(4,1) es una solución de la ecuación 3x + 2y = 9?
12. Escriba la ecuación 2 = 6x - 3y en la forma general.
13. Determine la pendiente de la línea que pasa por los pun
tos (8, —
4) y ( —
1 , - 2).
14 Sif{x) = 2x* - 4X2 + x - 16,determine/(-4 ).
15. Grafique la desigualdad 2x - y ^ 6.
16. Resuelva el sistema de ecuaciones.
2 8
r - y = 3
17. Resuelva el sistema de ecuaciones.
x - 2 y = 2
2x + 3y = 11
- y + 4z = 7
18. Evalúe el determinante.
7 3
- 2 1
19. Divida (2x3 - 9 x + 15) - (x - 6).
20. Factorice 64.r’ - 27y3.
R e s p u e s t a s a l e x a m e n d e r e p a s o a c u m u la t iv o
-5 16
4 - 3 5 ; [Sec. 1.4,O bj.3] 5 .8 rV s;[Sec. 1.5,Obj.7] 6.5; [Sec. 2.1,Obj. 3) 7.e = - ~ — ; [Sec.2 2 ,Obj.2]
13 metros; [Sec. 2.3, Obj. 2] 9.620 páginas; [Sec. 2.3, Obj. 2] 10.34 £ * < 84; [Sec. 2.5,Obj. 3] 11. No;
12.6* - 3y = 2; [Sec. 3.3, Obj. 2] 13. - 1 ; [Sec. 3.4, Obj. 2] 14. - 212; [Sec. 3.6, Obj. 1] 15. y
[Sec. 3.7, Obj. 1] 16. (10, 4); [Sec.4.1, Obj. 3] 17. (4,1,2); [Sec. 42, Obj. 1] 2;
393
18.13; [Sec.4.5, Obj. 1] 19.2*2 + 12* + 63 + [Sec. 5.3, Obj. 2] M M l_
20. (4* - 3y)(16*2 + 12*y + 9y 2); [Sec. 5.6, Obj. 3] " 2I
-4 -
i
Obj. 5]
8. 13 metros por
Sec.3.1,Obj. 2]
1 1/ l 1
----í
- Y 4 x](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-412-320.jpg)
![3 9 6 • C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s
111. Cbn base en la función racional f ( x ) - —.
a) Determine el dominio de la función.
b) Cúmplete la siguiente tabla.
X -1 0 - i -0.5 -0.1 -0.01 0.01 0.1 0.5 1 10
y
c) Trace la gráfica de f ( x) = —. Indique qué le sucede a
x
la función conforme x se aproxima a 0, tanto por la
izquierda como por la derecha.
d) ¿Esta gráfica puede tener un valor de 0? Explique su
respuesta.
Actividad en equipo
112. Analicen la función racional f ( x ) =
x2 - 4
x - 2
a) Determinen en equipo su dominio.
b) De manera individual cada miembro del equipo com
plete la siguiente tabla para la función.
x - 2 -1 0 1 1.9 1.99 2.01 2.1 3 4 5 6
y
c) Cbmparen sus respuestas a la parte b),y pónganse de
acuerdo acerca de cuáles son los valores correctos de
la tabla.
x 2 — 4
d) Tracen en equipo la gráfica de f ( x) = — — r-. ¿La
x ¿
función está definida cuando x = 2?
e) ¿Esta gráfica puede tener algún valor de 0? Si es así,
¿para qué valor o valores de a es f(a) = 0?
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 113. Despeje y de 3(x - 2) + 3y = 6x.
4x
[2.5] 114 Resuelva 4 + — < 6 y proporcione la respuesta
en notación de intervalo.
2x - 4
[2.6] 115. Resuelva = 12.
[3.2] 116. Sea f{x) = |6 - 3x| - 2 Determine/(1.3).
[4.1] 117. Resuelva el sistema de ecuaciones.
3x + 4y = 2
2x + 5y = - 1
[5.6] 118. Factorice 9X2 - 6xy + y2 - 4.
6 . 2 S U M A Y R E S T A D E E X P R E S IO N E S R A C IO N A L E S
i ÉÉ
1 Sum ar y restar expresiones con un denom inador com ún.
2 Determinar el mínimo com ún denom inador (M C D ).
3 Sum ar y restar expresiones sin denom inadores com unes.
4. Analizar aplicaciones de expresiones racionales.
1 S u m a r y re s ta r e x p re s io n e s c o n u n d e n o m in a d o r c o m ú n
A l sum ar (o restar) dos expresiones racionales con un com ún denom inador,sum am os
(o restam os) los num eradores y conservam os el denom inador común.
P a ra su m a r o re s ta r e xp re sio n e s racionales
Para sumar o restar expresiones racionales, utilice las siguientes reglas.
Suma R e sta
c * 0 c * 0
c c c c c c
(continúa en la página siguiente)](https://image.slidesharecdn.com/lgebraintermedia-angel-06-220626050109-21023f4e/85/Algebra-Intermedia-Angel-06-pdf-424-320.jpg)
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- 5. Álgebra interm edia Sexta edidón AlienR. Angel M o n ro e C o m m u n ity C ollege Con la colaboración de R ich a rd S e m m le r N o rth e rn V irg in ia C o m m u n ity C o lle g e y D ennis C. Runde M a n a te e C o m m u n ity C o lle g e T R A D U C C IÓ N Víctor Hugo ¡barra Mercado Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional REVISIÓN TÉCNICA CarlosArmando Martínez Reyes Departamento de Matemáticas División Preparatoria Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México Alejandro Chávez Ochoa Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Ciudad de México PEARSON M éxico • A rgentina • Brasil • C olom bia • C osta R ica • C hile • E cuador España • G uatem ala • Panam á • Perú • P uerto R ic o • U ruguay •Venezuela Luis Martínez Vázquez Coordinador del Area de Matemáticas de Preparatoria Universidad PopularAutónoma del Estado de Puebla Juan Manuel Rodríguez Marín Profesor de Matemáticas Escuela Preparatoria Universidad LaSalle Pascual Gallegos Mqyorga Profesor de tiempo completo ColegioAnáhuac, extensión Chapalita
- 6. bibliográfica ANGEL, ALLEN R. Álgebrainterm edia. Sexta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004 ISBN: 970-26-0499-0 Área: Bachillerato Formato: 20 x 25.5 cm Faginas: 848 Authorized translation fiom the English language edition, entitled intermedíate Algebrafo r College Students, S xth Edition, by Alien R. Angel, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright ©2004. All rights reserved. ISBN 0-13-140059-2 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Intermedíate Algebrafo r College Students, Sixth Edition, por Alien R. Angel, publi cada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE-HALL INC., Copyright ©2004. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor Guillermo Trujano Mendoza e-mail: Euillermo.tniiano@pearsoned.com Supervisor de desarrollo: M iguel B. Gutiérrez Hernández Supervisorde producción: José D. Hernández Garduño Edición en inglés Sénior Acquisitions Editor: Paul Murphy Editor in Chief: Christine Hoag Project Manager: AnnHeath Media Project Manager, Developmental Math: Audra J.Walsh Vice President/Director of Production and Manufacturing: David W. Riccardi Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Sénior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Production Editor: Elm Street Publishing Services, Inc. Production Assistant: Nancy Bauer Assistant Managing Editor,Math Media Productiore John Matthews Manufacturing Buyer: Michael Bell Manufacturing Manager: Ttudy Pisciotti Executive Marketing Manager: Eilish Collins Main Marketing Assistant: AnnettUebel DevelopmentEditor: DonGecewicz SupplementsCoordinator: LizCovello SEXTA EDICIÓN, 2004 D.R. © 2004 por Pearson Educación de México, SA . de C.V. Atlacomulco 500-5to. piso IndustrialAtoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. N úm . 1031 Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recu peración de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por foto copia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejem plar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0499-0 Impreso en México. Printed in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 0 7 0 6 05 04 PEARSON Editor in Chief, Development Carol Trueheart Editorial Assistant/Supplements Editor: Kerri-Ann O’Donnell Art Director/Cover Designen John Christiana Interior Designer: Jonathan Boylan Art Editor: Thomas Benfatti Creative Director: CaroleAnson Director ofCreative Services: Paul Belfanti Director, Image Resource Center: Melinda Reo Manager, Rights and Permissions: Zina Arabia Interior Image Specialist: Beth Brenzel Cover Image Specialist: Karen Sanatar Image Coordinator: Charles Morris Photo Researcher: Sheila Norman Cover Photo: © Royalty-Free/CORBIS Art Studio: Scientific Illustrators Compositor: Preparé, Inc.
- 7. A mi madre, SylviaAngel-Baumgarten Y a la m em oria de mi padre, Isaac Angel
- 9. C o ntenid o Prefacio xiii Al estudiante xxvi C o n c e p t o s b á s ic o s 1 1.1 Habilidades d e estudio para tener éxito en m atem áticas y uso de la calculadora 2 1 .2 Conjuntos y otros co n ce p to s b ásico s 6 1 .3 Propiedades de los núm eros reales y operaciones con ellos 18 1 .4 O rden d e las op eracion es 2 9 1 .5 Expo nentes 4 2 1 .6 Notación científica 5 2 Resum en del capítulo 6 0 Ejercicios d e rep aso del capítulo 6 2 Exam en de práctica del capítulo 6 4 2 E c u a c io n e s y d e s ig u a ld a d e s 6 6 2.1 Resolución d e e cua cio n e s lineales 6 7 2 .2 Resolución de problem as y uso d e fórm ulas 7 9 2 .3 Aplicaciones del álge bra 9 0 2 .4 Problem as adicionales d e aplicación 1 0 4 2 .5 Resolución d e desigualdades lineales 115 2 .6 Resolución d e e cuaciones y desigualdades co n valores absolutos 1 2 9 Resum en del capítulo 1 4 0 Ejercicios d e rep aso del capítulo 141 Exam en de práctica del capítulo 1 4 4 Exam en de rep aso acum ulativo 1 4 5 3 G rá fic a s y fu n c io n e s 14-7 3.1 Gráficas 1 4 8 3 .2 Funciones 1 6 3 3 .3 Funciones lineales: gráficas y aplicaciones 1 7 9 3 .4 La form a pendiente intersección de una ecuación lineal 191 3 .5 La form a punto pendiente de una ecuación lineal 2 0 5 3 .6 Álgebra de funciones 2 1 5 3 .7 Graficación d e desigualdades lineales 2 2 4 s F i r m a i x
- 10. x • Co n te n id o R esum en del capítulo 2 2 8 Ejercicios d e rep aso del capítulo 2 2 9 Exam en de práctica del capítulo 2 3 3 Exam en de rep aso acum ulativo 2 3 4 S is te m a s d e e c u a c io n e s y d e s ig u a ld a d e s 2 3 6 4.1 Resolución d e sistem as de e cuaciones con d o s variables 2 3 7 4 .2 Resolución d e sistem as d e e cuaciones con tres variables 2 4 9 4 .3 Sistem as d e ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución d e p ro b lem a s 2 5 6 4 .4 Resolución d e sistem as d e e cuaciones p o r m edio de m atrices 2 7 0 4 .5 Resolución d e sistem as de ecuaciones p o r m edio de determ inantes y la regla d e C ra m e r 2 7 9 4 .6 Resolución d e sistem as d e desigualdades lineales 2 8 7 R esum en del capítulo 2 9 2 Ejercicios d e rep aso del capítulo 2 9 4 Exam en de práctica del capítulo 2 9 6 Exam en de rep aso acum ulativo 2 9 7 P o lin o m io s y fu n c io n e s p o lin o m ia le s 2 9 9 5.1 Su m a y resta d e polinom ios 3 0 0 5 .2 Multiplicación de polinom ios 311 5 .3 División d e polinom ios y división sintética 3 2 1 5 .4 Factorización del factor co m ú n d e los térm inos de un polinom io y factorización p o r a grupación 3 3 2 5 .5 Factorización d e trinom ios 3 4 0 5 .6 Fórm ulas especiales de factorización 3 5 1 5 .7 Repaso general d e factorización 3 5 9 5 .8 Ecuaciones polinom iales 3 6 4 R esum en del capítulo 3 7 7 Ejercicios d e rep aso del capítulo 3 7 8 Exam en de práctica del capítulo 3 8 3 Exam en de rep aso acum ulativo 3 8 4 E x p re s io n e s ra c io n a le s y e c u a c io n e s 3 8 5 6.1 Dom inios d e funciones racionales y multiplicación y división de expresiones racionales 3 8 6 6 .2 Su m a y resta d e expresiones racionales 3 9 6 6 .3 Fracciones com plejas 4 0 8 6 .4 Resolución d e e cuacio nes racionales 4 1 4 6 .5 Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de p rob lem a s 4 2 7 6 . 6 Variación 4 3 8
- 11. C o nte n id o • x i Resum en del capítulo 4 4 7 Ejercicios d e rep aso del capítulo 4 4 8 Exam en de práctica del capítulo 4 5 1 Exam en de rep aso acum ulativo 4 5 2 R a íc e s , ra d ic a le s y n ú m e r o s c o m p le jo s 4 5 4 7.1 Raíces y radicales 4 5 5 7 .2 Exponentes racionales 4 6 4 7 .3 Simplificación de radicales 4 7 3 7 .4 Sum a, resta y multiplicación d e radicales 4 8 1 7 .5 División de radicales 4 8 8 7 .6 Resolución d e e cuacio nes con radicales 4 9 7 7 .7 N ú m ero s co m p lejo s 5 0 9 Resum en del capítulo 5 1 8 Ejercicios d e rep aso del capítulo 5 1 9 Exam en de práctica del capítulo 5 2 3 Exam en de rep aso acum ulativo 5 2 4 F u n c io n e s c u a d r á tic a s 5 2 5 8.1 Resolución d e e cuaciones cuadráticas com pletando el cu a d ra d o 5 2 6 8 .2 Resolución d e e cuaciones cuadráticas m ediante fc afórm ula cuadrática 5 3 6 8 .3 Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución de p rob lem a s 5 4 9 8 .4 Planteam iento de e cuacio nes en form a cuadrática 5 5 9 8 .5 Graficación d e funciones cuad rá ticas 5 6 6 8 . 6 Desigualdades cuadráticas y d e otros tipos co n tria variable 5 8 5 R esum en del capítulo 5 9 6 Ejercicios d e rep aso del capítulo 5 9 6 Exam en de práctica del capítulo 6 0 0 Exam en de rep aso acum ulativo 601 F u n c io n e s e x p o n e n c ia le s y lo g a rítm ic a s 6 0 3 9.1 R jncio n es co m p u e sta s e inversas 6 0 4 9 .2 R jncio n es exponenciales 6 1 6 9 .3 R jncio n es logarítm icas 6 2 6 9 .4 P ropiedades d e los logaritm os 6 3 2 9 .5 Logaritm os co m u n e s 6 3 8 9 .6 Ecuaciones exponenciales y logarítm icas 6 4 6
- 12. x ii •C o n te n id o 9 .7 Función exponencial natural y función logarítm ica natural 6 5 2 R esum en del capítulo 6 6 4 Ejercicios d e rep aso del capítulo 6 6 5 Exam en de práctica del capítulo 6 6 8 Exam en de rep aso acum ulativo 6 6 9 10 S e c c io n e s c ó n ic a s 671 La parábola y el círculo 6 7 2 La elipse 6 8 3 La hipérbola 6 9 0 Sistem as d e ecuaciones no lineales y sus aplicaciones 6 9 8 R esum en del capítulo 7 0 7 Ejercicios d e rep aso del capítulo 7 0 8 Exam en de práctica del capítulo 7 1 0 Exam en de rep aso acum ulativo 7 1 0 11 S u c e s io n e s , s e rie s y el te o re m a del b in o m io 712 11.1 Sucesiones y series 7 1 3 1 1 .2 Sucesiones y series aritm éticas 721 1 1 .3 Sucesiones y series ge om étricas 7 2 8 1 1 .4 Te o re m a del binom io 7 4 0 R esum en del capítulo 7 4 5 Ejercicios d e rep aso del capítulo 7 4 6 Exam en de práctica del capítulo 7 4 9 Exam en de rep aso acum ulativo 7 4 9 A p é n d ic e Fórmulas geom étricas 751 R e s p u e s ta s A1 ín d ice 1 1 C ré d ito s d e las fo to g ra fía s F1
- 13. Prefacio E l objetivo principald e este libro es ofrecer una ob ra que los estudiantes puedan leer,entender y disfrutar. Para lograrlo hem os utilizado oraciones cortas, explica ciones claras y muchos ejem plos resueltos con detalle. A fin d e q u e el libro tenga más relevancia p ara los estudian tes,se abordan aplicaciones prácticas a lo largo d e todo el texto. Características d el libro F o rm ato a d o s c o lo re s Los colores se utilizan d e for ma pedagógica d e la m anera siguiente: • Se resaltan e n recuadros las definiciones y procedi m ientos más im portantes. • El color se utiliza p ara resaltar otros conceptos im por tantes, adem ás de las definiciones y procedim ientos. • E n las ilustraciones se resaltan los conceptos explica dos en el texto. • El segundo color perm ite q u e el estudiante identifique con facilidad las características im portantes o varia bles q u e se vayan a modificar en los ejemplos. • E l texto se hace más atractivo y am eno debido a que se resaltan los títulos y subtítulos. Legibilidad U na d e las características más im portantes del texto es q u e resulta muy fácil d e com prender, incluso por aquellos q u e no son muy hábiles en la lectura. Se uti lizan oraciones breves y claras y, siem pre q u e es posible, en un lenguaje fácil d e entender y reconocer. R -eásió n E n los textos d e matem áticas, la precisión es esencial;para garantizarla, m atem áticos tanto d e Estados U nidos com o d e Latinoam érica leyeron el contenido con sumo cuidado, a fin d e detectar errores tipográficos y ve rificar todas las respuestas. R e la c io n e s M uchos estu d ian tes tien en problem as para dom inar com pletam ente los nuevos conceptos la pri m era vez q u e se les presentan. E n este texto, se pide a los estudiantes q u e establezcan relaciones;esto es, se presen ta un concepto, lo volvemos a m encionar brevem ente y, más adelante, proporcionam os ejem plos donde se le uti liza. Los conceptos im portantes se utilizan en m uchas sec ciones del texto. C uando esto sucede, le recordam os al estudiante en dónde se em pleó y en dónde se usará de nueva cuenta. Esto sirve p ara hacer hincapié en la im por tancia del concepto. Adem ás, los conceptos d e m ayor re levancia se refuerzan a lo largo d e todo el texto, especial m ente en los “Ejercicios d e repaso acumulativo” y en los “E xám enes d e repaso acum ulativo”. Problema de aplicación al inicio de cada capítulo C ada capítulo inicia con un problem a d e la vida real, en donde se sugiere cóm o aplicar en la práctica el m aterial que se abordará en seguida. C uando los estudiantes ter m inen d e estudiar el capítulo, habrán adquirido los cono cim ientos necesarios para resolver el problem a. Avance de lalección E sta sección, q u e encontrará al inicio d e cada capítulo,proporciona un adelanto d e lo que se abordará en el mismo, e indica en q u é otros capítulos del libro se utilizará. E ste m aterial ayuda al estudiante a establecer relaciones entre los diferentes tem as del libro, y su aplicación en situaciones reales. Iconos Al inicio d e cad a capítulo y d e cada sección aparecen varios iconos q u e indican en dónde puede o b te ner ayuda adicional en caso d e necesitarla. Estos iconos hacen referencia al C D y las videocintas q u e acom pañan al libro, y el sitio W eb d e Alien A n g el, g j f . M ás adelante encontrará inform ación adicional. Objetivos clave de cada sección C ada sección ini cia con una lista d e las habilidades q u e el estudiante d e berá adquirir. Los objetivos están num erados e n la secuencia en q u e se revisarán a lo largo d e la sección. R esolución de problemas En la sección 2.2se analiza el procedim iento d e G eorge Polya de cinco pasos p ara la resolución d e problemas. A lo largo del libro se hace hinca pié en la resolución d e problem as a partir d e este modelo. Aplicaciones prácticas En todo el texto se hace énfasis en las aplicaciones prácticas del álgebra. Los estudiantes necesitan aprender cóm o traducir problem as d e aplica ción a sím bolos algebraicos. E l m étodo d e resolución de problem as utilizado en este texto proporciona una am plia práctica en este sentido. Las aplicaciones prácticas motivan a los estudiantes. Ejemplos resueltos detalladamente A lo largo del texto se presenta la resolución detallada, paso a paso, de m uchos ejem plos. Los pasos m ás im portantes en cada x iii
- 14. x iv •Prefacio procedim iento d e resolución aparecen resaltados, y no se om ite ninguno d e ellos hasta q u e los estudiantes hayan visto un núm ero suficiente d e ejem plos similares. Ahora resuelva el ejercicio E n cada sección se pide re solver problem as específicos al mismo tiem po q u e se dan los ejem plos necesarios. Estas secciones, identificadas con la frase “A hora resuelva el ejercicio”, pretenden q u e los estudiantes se vuelvan sujetos activos durante el proceso de aprendizaje. Al resolver los problem as, refuerzan los conceptos analizados,d e tal m anera que puedan aplicar de form a inm ediata lo q u e han aprendido. Problemas d e aplicación Muchos d e los estudiantes que tom an cursos d e álgebra tienen malos hábitos d e estu dio. La sección 1.1, la prim era del texto, analiza los hábitos de estudio necesarios p ara tener éxito en m atem áticas. Esta sección será d e gran utilidad p ara sus estudiantes, y tos ayudará a alcanzar el éxito en sus estudios. Sugerencias Los recuadros d e “Sugerencias” ofrecen consejos p ara la resolución de problem as y otros temas diversos. Se han resaltado d e m anera especial dentro del texto p ara asegurar su lectura. Sugerencias - Consejos para estudiar E sta es una nueva característica del texto; los recuadros “Sugerencia- Consejo para estudiar” ofrecen información valiosa sobre tem as relacionados con el estudio y el aprendizaje del m aterial q u e se presenta. Cóm o ©vitar errores comunes E n esta sección se presentan los errores q u e se com eten con más frecuen cia,explicando las razones p o r las q u e los procedim ientos son incorrectos, e ilustrando el procedim iento correcto para resolver el problem a. Matemáticas en acción Esta nueva característica evi dencia la necesidad d e utilizar las m atem áticas en situa ciones de la vida real. E n ella se proporcionan ejem plos del uso d e las m atem áticas en m uchas profesiones,y d e la form a en q u e las utilizam os en la vida cotidiana, a veces sin darles m ucha importancia. Esto puede m otivar a sus estudiantes y ayudarles a apreciar m ejor las matemáticas. C ó m o utilizar su calculadora Los recuadros “Cóm o utilizar su calculadora” se encuentran en lugares estraté gicos dentro del texto, d e tal m anera q u e ayuden a refor zar los tem as algebraicos q u e se presentan en la sección inm ediata anterior, y proporcionen al estudiante infor mación pertinente sobre el uso d e calculadoras científi cas p ara resolver problem as algebraicos. C ó m o utilizar su calculadora graficadora E ste libro está diseñado para d ar al profesor la opción d e utilizar o no calculadoras graficadoras en sus cursos. Los recuadros “Cóm o utilizar su calculadora graficadora” se encuentran en lugares estratégicos dentro del texto, d e tal m anera que ayuden a reforzar los tem as algebraicos analizados en la sección inm ediata anterior, ofreciendo, en ocasio nes, métodos alternativos p ara resolver problemas. Muchos de estos recuadros contienen ejercicios p ara calculadoras graficadoras, cuyas soluciones aparecen en la sección de respuestas del libro. Las ilustraciones q u e se m uestran en los recuadros corresponden a la calculadora Texas Instru ments 83 Plus (TI-83 Plus). U sted puede utilizar la calcu ladora gradicadora o el softw are d e m atem áticas (que le perm ita graficar) lo q u e prefiera. Estos recuadros se escri bieron suponiendo q u e el estudiante no tiene experiencia con calculadoras graficadoras. Conjunto d e ejercicios El “C onjunto d e ejercicios” se divide en tres categorías principales: “E jercicios conceptuales”, “Problem as de aplicación” y “Resolución d e problem as”. M uchos con juntos d e ejercicios tam bién presentan “R etos” y “A cti vidades en equipo”. L a dificultad d e cada conjunto de ejercicios está graduada; los prim eros ejercicios ayudan a desarrollar la confianza del estudiante antes d e plantearle problem as más difíciles. E n cada sección ap arece una cantidad suficiente y variada d e ejem plos p ara q u e el es tudiante resuelva con éxito los problem as m ás difíciles. La cantidad d e ejercicios d e cada sección es más q u e su ficiente p ara q u e los alum nos hagan tareas y practiquen. Enerados conceptuales Casi todos los conjuntos de ejercicios incluyen u n a sección en d o n d e se le p id e al estu d ian te responder p o r escrito a fin d e reforzar los conceptos analizados. Estos ejercicios m ejoran la com prensión del m aterial cubierto en el texto e im plican la resolución d e problem as p ara el m ejoram iento d e las ha bilidades d e razonam iento y de pensam iento crítico de los alumnos. Los ejercicios conceptuales se indican m e diante el sím bolo . Resolución de problemas Estos ejercicios ayudan a acostum brarse a la resolución y análisis d e problem as. Es muy im portante q u e los estudiantes sean capaces d e apli car en situaciones d e la vida real lo que han aprendido,por lo q u e en esta sección se plantean muchos ejercicios de este tipo. R eto Los problem as d e la sección “R eto”, q u e form an parte d e muchos de los conjuntos d e ejercicios,proporcio nan una am plia variedad d e situaciones. Muchos d e ellos se escribieron p ara estim ular la reflexión; otros más propor cionan aplicaciones adicionales de álgebra o presentan m a terial q u e se analizará e n secciones posteriores, d e tal m anera que se estudien por su cuenta los tem as antes de erlos en clase;en otros casos,estos problem as representan un reto mayor que los del conjunto d e ejercicios general.
- 15. Prefacio • xv Ejercidos de repaso acumulativo Todos los conjun tos d e ejercicios (salvo los dos prim eros) contienen p re guntas referentes a secciones y capítulos anteriores. Los ejercicios planteados en la sección “Ejercicios d e repaso acumulativo” refuerzan los tem as estudiados con anterio ridad, y ayudan a retener el m aterial ya analizado mien tras se estudia el nuevo. Para beneficio d e los estudiantes, los ejercicios d e repaso acum ulativo indican, p o r m edio de corchetes com o [3.4], la sección en donde se revisó el material. Ejercicioscon icono de vídeo Los ejercicios q u e se re suelven con detalle en las videocintas aparecen m arcados con el icono « , lo cual perm ite una identificación fácil y rápida. E ste m aterial se adquiere p o r separado y se en cuentra en idiom a inglés. Actividad ©n equipo Muchos conjuntos d e ejercidos tienen ejercicios de “Actividad en equipo” q u e conducen a interesantes discusiones en grupo. A lgunos estudiantes aprenden m ejor en un am biente cooperativo,y estos ejer cicios perm itirán q u e los alum nos hablen d e m atem áticas entre ellos. Resumen del capítulo Al final d e cada capítulo se m uestra un resum en q u e incluye “Térm inos y frases im portantes”. Ejercicios de repaso del capítulo Al final d e cada capítulo hay ejercicios d e repaso q u e abarcan todos los temas analizados en el mismo. Los núm eros en color rojo y en tre corchetes sirven p ara identificar la sección en donde se presen tó el m aterial p o r p rim era vez. Exámenes de práctica del capítulo El am plio exa m en q u e se encuentra al final de cad a capítulo perm ite q u e los estudiantes determ inen q u é tan preparados es tán p ara presentar el exam en real d e cada p arte del cu r so. Las respuestas a las preguntas del exam en d e repaso acum ulativo aparecen en seguida del m ism o, d e m odo q u e se p u ed an verificar ráp id am en te sus resultados. D espués d e cad a respuesta se incluye una leyenda en tre corchetes, com o [Sec. 4.2, Obj. 5], p ara indicar la sec ción y el objetivo en d o n d e se e stu d ió el m aterial correspondiente. Examen de repaso acumulativo El propósito d e es tos exámenes,q u e aparecen al final d e cada capítulo (salvo en el prim ero), es verificar los conocim ientos adquiridos respecto del m aterial analizado desde el principio del li bro hasta el capítulo en el q u e se encuentre. Puede utili zar estos exám enes como repaso o com o preparación para el exam en final. A l igual q u e los “Ejercicios d e repaso acum ulativo”, estos exám enes sirven p ara reforzar lo aprendido de los tem as analizados con anterioridad. Las respuestas a las preguntas del exam en d e repaso acum ula tivo aparecen en seguida del mismo, d e m odo q u e se p u e d an verificar rápidam ente sus resultados. D espués de cada respuesta se incluye una leyenda en tre corchetes, com o [Sec. 4.2, Obj. 5], para indicar la sección y el objeti vo en donde se estudió el m aterial correspondiente. Respuestas E l libro proporciona las respuestas a los problem as de núm ero im par d e cada conjunto d e ejerci cios, así com o las respuestas a todos los ejercicios d e las secciones d e uso d e calculadora graficadora, los “Ejerci cios d e repaso acum ulativo”, los ejercicios d e repaso, los exám enes y los exám enes d e repaso acumulativo del capí tulo. Por otro lado, no se d a la respuesta a los ejercicios de “A ctividad en equipo”, y a q u e su intención es q u e los estudiantes logren acuerdos al respecto. M o d o s d e e n se ñ a n za El constante refuerzo d e los conceptos d a p o r resultado una m ayor com prensión y retención del m aterial p o r p ar te d e sus estudiantes. Por otro lado, el form ato y la legibi lidad d e este libro lo hacen apropiado p ara m uchos estilos de enseñanza, p o r ejemplo: • clase institucional (clásica) • educación a distancia • aprendizaje autodidacta • clase modificada • estudio en equipo o cooperativo • laboratorio d e enseñanza C a m b io s en la sexta edición Cuando escribí la sexta edición, tom é en cuenta muchos com entarios y revisiones d e los estudiantes y profesores. Quiero agradecer a todos aquellos q u e hicieron sugeren cias p ara m ejorar este libro. Tam bién quiero agradecer a la gran can tid ad d e profesores y estudiantes q u e escri bieron p ara inform arm e lo m ucho q u e disfrutaron y aprendieron del texto. Algunos d e los cam bios realizados en esta sexta edi ción son: • E l capítulo d e raíces, radicales y núm eros com plejos se reorganizó y reescribió p ara darle m ayor claridad. A hora puede leerse d e m anera más fluida. • Se hizo m ayor hincapié en la geom etría; en el texto hay m ás ejem plos y ejercicios relacionados con esta disciplina. • Se agregó una gran variedad d e problem as a los con juntos d e ejercicios d e todo el libro. E n general, se am pliaron d e m anera notable. • E n secciones seleccionadas se agregaron problem as d e m ayor com plejidad al final d e los conjuntos de ejercicios.
- 16. x v i• Prefacio • E n los ejem plos y ejercicios se agregó una m ayor va riedad d e situaciones del m undo real q u e im plican el uso del álgebra y d e los conceptos analizados en el texto. • E n ediciones anteriores d e este libro, el análisis d e los ángulos com plem entarios y suplem entarios se encon traba únicam ente en los ejercicios; ahora, este tem a se aborda tam bién en el cuerpo del texto. • Parte del material del capítulo de gráficas y funciones se reorganizó y reescribió para facilitar su comprensión. • Se agregaron más ejercicios conceptuales en donde era necesario. • E n el capítulo d e polinom ios y funciones polinom ia- les se repasan las reglas pertinentes d e los exponen tes y se proporcionan ejem plos, antes de p resen tar el m aterial so b re m ultiplicación y división d e poli nomios. • H ay más m aterial sobre multiplicación d e radicales. • Al analizar las fracciones com plejas se indica con m a yor claridad cuándo es m ejor usar los distintos m éto dos d e simplificación d e fracciones complejas. • Para d ar m ayor claridad al texto,p arte del m aterial del capítulo d e funciones exponenciales y logarítmicas fue reescrito. • Las características básicas d e las funciones exponen ciales y logarítmicas ahora se analizan d e m anera más com pleta. • E n el capítulo d e funciones exponenciales y logarítmi cas se am plió la cantidad d e ejem plos y ejercicios. • E n el capítulo d e secciones cónicas se agregó el m ate rial para determ inar el área d e una elipse. • Algunas d e las definiciones del capítulo d e sucesiones, series y el teorem a del binom io se reescribieron p ara facilitar la com prensión del estudiante. • E l libro tiene un nuevo diseño q u e perm ite identificar con m ayor facilidad los ejercicios. • Las respuestas al “E xam en d e repaso acum ulativo” aparecen ahora justo después d e ellos, d e form a que se tenga una retroalim entación inm ediata. Además, se indica el núm ero d e la sección y el objetivo en donde se analizó el m aterial. • L a sección “Avance d e la lección” reem plazó a la sec ción “Vista prelim inar y perspectiva”. L a inform ación que se proporciona ahora ofrece a los estudiantes un panoram a general del capítulo, y d e la form a en que su contenido se relaciona con otros tem as del libro y con situaciones del m undo real. • Se agregó la sección “M atem áticas en acción”, con el propósito d e reforzar la necesidad d e las m atem áticas en la vida real y su im portancia en la resolución d e p ro blemas cotidianos. Esta sección puede ser una gran m o tivación p ara sus estudiantes. • Se agregaron recuadros d e sugerencias y sobre “Cómo evitar errores com unes” en lugares estratégicos. • Para reforzar y am pliar las habilidades d e estudio ne cesarias p ara tener éxito en el aprendizaje y aplicación d e las m atem áticas (analizadas a detalle en la sección 1.1) se agregaron recuadros d e “Sugerencia-Consejo p ara estudiar”. • Los “Problem as d e aplicación” se actualizaron y se hi cieron m ás interesantes a lo largo d e todo el libro. • E n esta edición, los recuadros “Cómo utilizar su calcu ladora graficadora” m uestran, a m anera d e ejem plo, secuencias d e teclas y p an tallas d e una calculadora Texas Instrum ents 83 Plus. • Al factorizar p o r agrupación, el factor com ún ahora se coloca del lado izquierdo, p ara ser consistentes con otros problem as d e factorización. • Para hacer más atractivo e interesante el texto se agre garon más fotografías q u e se relacionan con el texto. S u ple m en to s d e la sexta edición Para esta edición del libro, el autor coordinó personal m ente e l desarrollo d el Instructor’s Solution M anual. Para su redacción se seleccionaron con sum o cuidado profesores con basta experiencia en la enseñanza d e las m atem áticas y e n el desarrollo d e este tipo d e m ateria les. C abe hacer mención d e q u e todo el m aterial com ple m entario m encionado en esta sección aparecen en idiom a inglés. Para los profesores (en inglés) Suplem entos im presos hstructor’s Solutions Manual (0-13-140061-4) • Soluciones a los ejercicios d e núm ero par. • Soluciones a todos los ejercicios d e las secciones de “Ejercicios d e repaso del capítulo”, “Exam en d e prác tica del capítulo” y “Exam en d e repaso acum ulativo”. hstructor’s Test Manual (0-13-140063-0) • D os exám enes d e práctica p o r cada capítulo (de res puestas abiertas). • Ocho exám enes p o r cada capítulo (tres d e opción m úl tiple y cinco d e respuesta abierta). • D os exám enes d e repaso acumulativo (uno d e opción m últiple, uno d e respuesta abierta) cada dos capítulos. • Ocho exám enes finales (tres d e opción múltiple, cinco d e respuesta abierta).
- 17. Prefacio • xv ii • Veinte ejercicios adicionales p o r sección p ara agregar se a los ejercicios d e exam en, e n caso necesario. Suplem entos electrónicos 2SJUEVO! CD-ROM TestGen-EQ con QuizMaster (Windows y Macintosh) (0-13-140064-9) • Programa de prueba específico de texto,ejecutado algo rítmicamente. • Se puede utilizar en red para adm inistrar los exám enes y calificarlos en línea. • E dite y agregue sus propias preguntas para crear un núm ero casi ilimitado d e exámenes. • U tilice la nueva característica “Function Plotter” p ara crear gráficas. • Los exám enes se p u ed en exportar con facilidad a HTM L,d e modo que puedan colocarse en un sitio Web para q u e los estudiantes practiquen. • Para los usuarios en red, incluye una función d e correo electrónico (e-m ail), q u e perm ite a los profesores en viar mensajes a un estudiante específico o bien a todo un grupo. • D isponibilidad d e inform es y resúm enes d e califica ciones acum uladas o seleccionadas para una clase o para un estudiante a través d e la red. • A signe cuestionarios (o exám enes rápidos), o super vise a los estudiantes y envíeles resultados d e sus exá m enes vía correo electrónico. • Incluye vínculos a otros sitios W eb en donde se ofrece inform ación adicional sobre los temas. Para los estudiantes (en inglés) Serie de videocintas (0-13-140069-X) • Clasificadas p o r cada sección del texto. • B rinda soluciones paso a paso p ara los ejercicios del texto identificados con el icono d e vídeo. S fe Sitio W eb Companion (w ww .pearsoneducacion.net/argel) • Problem as y exám enes d e práctica con retroalim enta- ción inmediata. • Instrucciones d e las secuencias d e teclas p ara realizar operaciones en calculadoras graficadoras. • Incluye vínculos a otros sitios W eb en donde se ofrece inform ación adicional sobre los temas. Stio W eb Companion (www.pearsoneducacion.net/angel) • Cree un temario personalizado en línea con el Syllabus Manager.
- 19. R e con o cim ie n to s E scribir un libro d e texto es un proyecto q u e exige una gran cantidad d e tiempo. M uchas personas m erecen mi agradecim iento p o r su em peño y p o r su apoyo en la realización d e este proyecto. A quien m ás deseo agrade cer su ayuda es a m i esposa Kathy y a mis hijos R obert y Steven. Sin su apoyo y com prensión constantes, este p ro yecto no se hubiera convertido en realidad.Tam bién quie ro agradecer a mi nuera todo su apoyo. D eseo d ar las gracias a R ichard Sem m ler, del N o rt hern Virginia Com unity College, y a D ennis Runde, del M anatee Com munity College,p o r ayudarm e con muchos detalles del libro. Mi agradecim iento especial a Richard, quien tam bién trabajó conmigo a lo largo d e todo el p ro ceso d e producción. Q uiero agradecer a Aim ee Calhoun y a Larry Ciar,del M onroe Com m unity College, y a Lauri Sem arne p o r leer las pruebas y verificar las respuestas del libro. A M itchel Levy, del B row ard Com m unity C ollege tam bién le doy las gracias p o r ayudar con los exám enes d e repaso acu mulativo. Asimismo agradezco a mis editores d e Prentice Hall, Paul M urphy y A nn H eath, a mi ed ito ra d e desarrollo, D on Grecewicz, y a mi editor d e proyecto, Phyllis Crit- tenden, d e E lm Street Publishing Service, Inc., p o r sus valiosas sugerencias y su m eticulosidad e n la realización de este proyecto. Agradezco tam bién a quienes trabajaron conmigo en el desarrollo d e los diferentes suplem entos q u e acom pa ñan este libro. A continuación listo algunos d e ellos. Instructor’s Solutions M anual: D on Lavigne, Austin Com munity College. Instructor’s Test M anual: C harles O dion, H ouston C om munity College. Tam bién m e gustaría expresar mi agradecim iento a los siguientes revisores y lectores d e pruebas, p o r sus ra zonables com entarios y sugerencias. Laura A dkins, M issouri Southern State College A rthur A ltshiller, L os Angeles Valley College Peter Arvanites, State University o fN ew York-Rockland C om m unity College Jon Becker, Indiana University Paul Boisvert, O akton Com m unity College (IL) Beverly Broom ell, S uffolk C ounty C om m unity College (N Y) Lavon B urton, Abilene Christian University (TX ) M arc Cam pbell, D aytona Beach C om m unity College (FL) Mitzi C haffer, Central Michigan University Térry Cheng, Irvine Vallege College (CA) Ted Corley,A rizona State University y Glendale C om m unity College Charles Curtís, Missouri Southern State College Gary Egan, M onroe Com m unity College (N Y ) Elizabeth Farber, Bucks C ounty C om m unity College (PA) W arrene Ferry, Jones C ounty Júnior College (M S) G ary Glaze, Spokane Falls C om m unity College (W A) Jam es Griffiths, San Jacinto College (T X ) K athy Gross, Cayuga C om m unity College (N Y) A bdollah H ajikandi, State University o f New York-Buffalo Mary B eth Headlee, Manatee C om m unity College (FL) Kelly Jahns, Spokane C om m unity College (W A) Judy Kasabian, E l Camino College (CA) M aryanne Kirkpatrick, Laramie C ounty C om m unity College (W Y) M arcia Kleinz, Atlantic Cape Com m unity College (NJ) Shannon Lavey, Cayuga C om m unity College (N Y) Shywanda M oore, Meridian C om m unity College (M S) Catherine M oushon, Elgin C om m unity College (IL) K athy Nickell, College ofD uP age (IL) Shelle Patterson, M oberly Area C om m unity College (M O) D ennis Reissig, Suffolk C ounty C om m unity College (N Y) Linda R etterath, Mission College (CA) Dale R ohm , University ofW isconsin-Stevens Point TVoy Rux, Spokane Falls C om m unity College (W A) H assan Saffari, Prestonburg C om m unity College (K Y ) Rick Silvey, S t M ary College (KS) Julia Simms, Southern Illinois University-Edwardsville Jed Soifer, Atlantic Cape C om m unity College (NJ) Elizabeth Suco,M iam i-D ade C om m unity College (FL) H arold Tanner, Orangeburg-Calhoun Technological College (SC) D ale Thielker, Ranken Technological College (M O) Patrick W ard, Illinois Central College Cindy W ilson, Henderson State University (A Z ) x i x
- 20. Enfoque P edagógico Laserie Angel es bien conocida y muy respetada por su enfoque realista y práctico del álgebra, que incluye ejemplos y datos del mundo real, y conjuntos de ejercicios con un enfoque pedagógico, integrado y actualizado. Avance de la lección Cada capítulo inicia con un Avance de la lección para dar al estudiante un panorama global del capítulo y explicar cómo se relaciona éste con el resto del material y con situaciones reales. Habilidades de estudio para tener éxito en m atem áticas (sección 1.1) Desarrollar las habilidades de estudio que se presentan en esta sección aumenta de manera considerable las oportunidades para tener éxito en éste y en todos los demás cursos de matemáticas. A va n ce d e la lección E n e s te ca p ítu lo repasarem os lo s c o n c e p to s d e álgebra fu n d am en tales para q u e u sted a lca n ce lo s ob jetivos d e esta materia. A l o largo d e to d o e l libro usarem os d a to s d e ejem p lo s reales q u e m u estran la im p ortan cia d e las m atem áticas e n la vida diaria. E n la secció n 1 . 1 p resentam os algun os con sejos q u e le ayudarán a estab lecer há b itos y h abilidad es d e estu d io efectivos. E n la sec ció n 1 .2 hablarem os d e lo s con ju n tos, incluyendo b s co n cep to s d e u nión e intersección . E stos co n ce p to s estarán p resentes en cu alqu ier cu rso d e m atem áticas q u e u sted llegu e a lom ar. E n las seccio n es L 3 ,1.4 y 1 3 , analizarem os las p rop iedad es d e b s n ú m ero s reales, e l o rd en d e las o p eracion es y las reglas d e les ex p o n en to s respectivam ente. E stas secciones cubren casi todas las reglas básicas para dom inar e l álgebra, y su co n te n id o será útil a lo largo d e to d o este libro, s í co m o e n les d e álgebra avan zad a,d e p rcc á b u lo y d e cálcu lo. 1.1 H A B IL I D A D E S D E E S T U D IO P A R A T E N E R É X IT O E N M A T E M Á T I C A S , Y U S O D E L A C A L C U L A D O R A 1 Mantener u n a actitud positiva. 2 Prepararse p ara laclase y p o ne r atención e n a la . 3 Estudiar y presentar exám enes. 4 Buscar ayuda. 5 A p rende r a utfear una cakxáadora. A n tes q u e n a d a .e s n ecesario q u e usted a d q u iera ciertas h abilidad es d e estu d io q u e le lau d arán a com p letar c o n éx ito n o s ó lo este cu rso, s in o cu alcsq u ier otros, re la cio n a d o s c o n las m atem áticas,qu e torn een e l fu tu ra E s im p ortan te q u e tom e e n cu en ta q u e e s te cu rso e s e l fu n dam ento d e cu rso s d e m atem áticas m ás avan zad as S i u sted tien e una b uena com pren sión d e l álgeb ra, le s e rá m ás sen cillo ten er éx ito e n cu rsos p osteriores d e m atem áticas ▲P á g in a 2 Ejem plos en el texto Una gran cantidad de ejemplos ilustran el concepto que se presenta en el texto, y proporciona una solución detallada, paso a paso. Ahora resuelva el ejercicio Ahora resuelva el ejercicio aparece después de algunos ejemplos seleccionados, y su propósito es reforzar conceptos importantes. Esta sección permite practicar sus nuevos conocimientos de manera inmediata, convirtiendo a los estudiantes en sujetos activos. EJEM PLO 2 Solución EJEM PLO 3 Solución AHORAINTENTEELEJERCIQ0 39 A P á g in a 1 9 M ediante la definición d e valor ab so lu to , evalúe: a ) - |5 | b ) - |- 6 . 4 3 | a ) T enem os q u e d e te rm in a r e l o p u esto (o in v erso ad itiv o ) d e l v alo r ab so lu to d e 5. C o m o e l valor ab so lu to d e 5 es positivo, su o p u esto d eb e ser negativo. _ |5 | = - (5 ) = - 5 b ) D ebem os d e te rm in a r e l o p u esto d el valor ab so lu to d e -6 .4 3 . C o m o e l v alo r a b so luto d e —6.43 es positivo, su o p u esto d e b e ser negativo. —|— 6 .4 3 1= - ( 6 .4 3 ) = - 6 .4 3 f t E scriba < , > o = e n e l á re a som breada e n tre los d o s v alo res p ara hacer q u e cada afir m ación sea v e rd a d e ra a ) (8| ■ |- 8 | b ) |- 1 | ■ —|—3| a ) C óm o tan to |8| co m o |—8 | so n iguales a 8, tenem os q u e |8 | = |- 8 |. b ) C óm o | - l | = 1 y —|—3 | = - 3 , tenem os q u e | - l | > —|—3 |. # X X
- 21. La serie Angelestá diseñada para ayudar a los estudiantes a identificar rápidamente la información importante que necesitan para aprender conceptos y temas. Definiciones, procedim ientos y hechos im portantes Definiciones, procedimientos y hechos im portantes. se presentan en recuadros a lo largo del texto, lo cual permite localizar fácilmente el material y concentrarse en él al estudiar o prepararse para los exámenes. D E F I N I C I Ó N P á g in a 1 8 Inverso acJttvo E l inverso aditivo d e cualquier núm ero real a, i C b m id ereel número - 5 . S u inverso aditivo e s - ( - 5 ) . Com o sa h emes,e l inverso aditivo d e u n número negativo debe ser positiva lo cual implica q u e - ( - 5 ) - 5. Éste a un ejem plo d e la propiedad d el doble negativa FYoptedad d e l d o b le negativo Paracualquier número reala, - ( - a ) - a D ebido a la propiedad d el d cb le negativo, - ( - 7 . 4 ) = 7 .4 y - ( — y ) = r - S U G E R E N C IA Existen varias formas d e escribir la solución d e un problema d e desigualdad. A segú rese d e indicar la solución e n la form a solicitada por su profesor. A continuación p ro porciónam e» ejem p los d e varias formas. N o ta ció n d o C o n ju n to intervalo so lución D esigualdad * < f - ‘ < “ 5 R ecta n u m é ric a 5 I -6 -S - 4 - 3 -2 -1 -6 - S - 4 - 3 -2 -1 I 2 3 4 S 6 -<•! *<f -4 < “ í Sugerencias Las Sugerencias ofrecen instrucciones útiles para resolver problemas y otros temas. a P á g in a 1 2 5 S U G E R E N C IA U S E JO PARA ESTUDIAR A continuación s e Están algunas sugerencias, por si usted tiene dificultades con los problem as d e aplicadón. L Profesor - H aga una rita para ver a su profesor. A segúrese d e haber leído e l m a terial d el libro y d e haber intentado resolver todcs le s problemas d e tarea. A cu d a a la cita con su instructor, llevando preguntas específicas. 2 A sesoría - Si su escu ela ofrece asesoría gratuita, aprovéchela. 3, G rupo d e estucho - Forme un grupo d e estudio con sus compartere» d e dase. In tercam bie num eres telefónicos y direcciones d e correo electrónico. Podrían ayu darse u ñ osa otros 4 Sitio W eb - S i dispone d e una com putadora, visite e l sitio W eb d e Pearson Educa ción y A lien A ngel enpearsoneducarion.net/angel y estudie e l material relaciona d o con este cap itu la Encontrará m ás ejem p los y ejerrirics resuelles. a P á g in a 9 9 C Ó M O E V IT A R Siempre recuerde el término de com edio al calcular el cuadrado de un binomio. E R R O R E S C O M U N E S GCfiRECTO iMXflRECTO { x + 2 f - { x + 2 ) { x + 2 ) - x 3 + 4 x + 4 - x 1 - 6* + 9 A P á g in a 3 1 5 Sugerencias— Consejos para estudiar Las Sugerencias— Consejos para estudiar refuerzan las habilidades de estudio para tener éxito en matemáticas, que se analizan en la sección 1 .1 . C ó m o evitar errores com unes Los recuadros Cómo evitar errores comunes ilustran errores frecuentes, explican por qué ciertos procedimientos están equivocados y muestran métodos correctos para resolver el problema. x x i
- 22. en la resoluciónde problem as En la sexta edición de este libróse sigue haciendo hincapié en la resolución de problemas de tal m anera que los es tudiantes aprendan a trabajar con ellos cada vez con más confianza. En el proceso, el texto ayuda a entender p o r qué se realiza cierta operación y, al mismo tiempo, se enseña cómo realizarla. Aunque aparece a lo largo de todo el texto, la resolución de problemas se presenta al principio del libro. Procedim iento d e cinco pasos para la resolución de problem as Los ejemplos en el texto demuestran cómo resolver cada ejercicio de aplicación con base en el procedimiento cinco pasos, de Polya, para la resolución de problemas debe: Entender el problema, traducir, realizar los cálculos, com probar y responder. G u ía p a ra la re so lu ció n d e p ro b le m a s L Entienda el problema • Lea el problema cuidadosamente al menos dos veces. E n la primera lectura, hágase una idea general del problema. En la segunda,determine a) exactamen te qué se le está pidiendo,y b) qué información proporciona el problema. • De ser posible, haga un bosquejo que ilustre el problema. Identifique la infor mación proporcionada. • Liste la informaciónen una tabla,si cree que hacerlo le ayudará a resolver el problema. 2. Traduzca el problema a lenguaje matemático. • R>r lo general,esto quiere decir expresar el problema en forma algebraica. • E n ocasiones esto incluye la selección de una fórmula específica a utilizar;en otras, usted tendrá que crear su propia ecuación. Incluso,podría ser necesario verificarotras fuentes de información para encontrar la fórmula apropiada que se debe utilizar. 3. Realice los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema. 4 Compruebe la respuesta obtenida en el paso 3. • Pregúntese: “¿esta respuesta tiene sentido?, ¿es razonable?". Si la respuesta no es razonable,vuelva a verificar el método que utilizópara resolver el problema y compruebe sus cálculos. • De ser posible,verifique la solución en el problema original. 5. Responda la pregunta. Asegúrese de haber respondido la pregunta realizada. Es tablezca las respuestas con claridad. Enfoque ▲P á g in a 8 0 R e s o lu c ió n d e p ro b le m a s 93. Grosord e l vidrio Ciertos tipos de vidrio tienen, idealmen te. un grosor de 0.089 pulgada. Sin embargo, debido a las limitaciones en el proceso d e fabricación,se permite que el grosor varié en 0.004 pulgada respecto del grosor ideal. Si i representa el grosor real del vidrio, entonces el rango de grosor permitido puede representarse por medio de la desigualdad |r - 0.089| s 0.004. Fuente: «ww.ppg.com a) Resuelva esta desigualdad para <(utilice la notación de intervalo). b) ¿Cuál es el menor grosor permitido para el vidrio? c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para el vidrio ? 94. Garantía d e calidad f-.l grosor de cierto tipo de madera la minada está garantizado en j de pulgada con una toleran cia d e hasta x; de pulgada.Si r representa el grosor real de la madera laminada,entonces el rango permitido puede representarse por m edio de la desigualdad |r — ^ •%. Fuente: www.sticktrade.com a ) Resuelva esta desigualdad para i (utilice la notación d e intervalo). h) ¿Cuál es el menor grosor permitido para la madera la minada? c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para la madera la minada? 95. Exploración subm arina Un submarino está 160 pies por b) ¿Entre qué distancias verticales <o profundidades),me didas respecto del nivel del mar.puede moverse el sub marino? 96. R ebote d e resorte Un resorte sujeto al techo describe un movimiento de rebote hacia arriba y hacia abajo, de mo do que su distancia, d. respecto del piso satisface la desi gualdad ¿I — 4| £ 7 píe (vea la figura). a) Resuelva esta desigualdad para < 1. Escriba su respues ta en notación d e intervalo. b) ¿Entre qué distancias,medidas respecto del piso, rebo ta el resorte? % --------- Ejercicios de resolución de problem as Están diseñados para ayudar a los estudiantes a ser más analíticos. ▲P á g in a 1 3 9
- 23. Enfoque en problemas d e aplicación del m u n d o real M a t e m á t i c a s e n a c c i ó n Cada capítulo inicia con una aplicación ilustrada del mundo real para motivar a los estudiantes y estimularlos a utilizar el álgebra como una parte importante de su vida cotidiana. A lo largo de todo el libro aparecen problemas que tienen como base datos reales de una amplia diversidad de temas. M atem áticas en acción La sección Matemáticas en acción enfatiza la necesidad y la importancia de las matemáticas en el mundo real. 4 P á g in a 1 3 Aplicaciones del m un d o real Una gran cantidad de maravillosos ejem plos del mundo real, totalmente actualiza dos, hacen que el estudiante realmente ponga en práctica sus conocimientos sobre álgebra. El em pleo de datos reales en situaciones cotidianas realzan la im portancia del material estudiado. < P á g in a 2 2 2 y d e s ig u a ld a d e s Aplicaciones al inicio del capítulo Nuevas aplicaciones al inicio de cada capítulo hacen hincapié en el papel que juegan las matemáticas en la vida cotidiana y en el mercado de trabajo, lo que permite introducir a los estudiantes a los temas que s abordarán desde una perspectiva real. P á g in a 6 6 ► 2 . 1 Roootoctondo to u to b n o o In sola* 2 Í R oso licto n d o (r o & o n ta a y i s o d o tV n x to o 2 3 « p lb a O n a s ú a “ O * * * 2 A O o d a n a s « m o n d o s do a p la a to n 2 . 6 n a c o tiO ú n d o d a ag isik io - (tasln oas 2 .6 R sso U cttn d a routoD n ae ydoaQ Q JrtalO B io n «sto r e s CÉtSO UtO O conjunto. Bueno, eso es corred! Un* calegori/acton rtgkla como Cuna imprecaque reúnen íoi una Urnade productos parí En 1965 fue mendonado | cepto de ion/un» difuso. Par* tondfla.digamos que un eleme* a.Vóhtondo *1 ejempto de Fed. cabeftfra comptola",cuando Federico se levantó en la maftana era miembro de ew conjunto con un valor de 1 (0 de 100porciento). Despuót de la ducha.Federico seguía perteneciendo en ese conjunto,pero con un va- to*de. digamos,0.999. El rconttffittAto t o o ido a kw conjuntos dífusot, gobernado por las regí» de la lógica difusa, es la b » e paraque tos program» de cómputo togrenel reconocí- m anto de patronee,por epmpto el roonodm ento de Lapronuncácton de un ganaderode Monterrey.en difieveconsklcfshknvntc de li de un cofftdor de boba de Madrid. Espafta. Parareconocer ladMeren da, el programaapiicará unagran cantUad de pruebas de la lógica difusapara determinarel gradohasta el que untonálo coincide con otro alm*cn*do en su base de datosde conjuntosdilusos.A lno insistiren que haya una correspondencia exacU para cualquier letra osflaba —p or serdifusa—, el programapuede~entender” d ha bla humanacon sorprendente precisión. C onjuntos b ie n d efln id oe y con ju n tos d fu e o e A ltipo deconjuntos m rca de los que ustedestá apren diendo en este capíuto. muchasv e o s se les conoce co m o conjunto» bien definidos. Un elemento es o no es miembrode un conjunto bien definido Ese tálente que Q es un elemento del conjunto ( T,R, Q , / | y que B no lo es. Mis alládel mundo de lasmatemáíkas.podemos reconocer que la afirmación: ’Abraham Lincoln es un elemento d d conguito de todos los pvctidentcs de Es* Udos Unidos , ícfk ji d a>ncq>tode los conjuntos ben definido*. Ahorapiense en elconjunto de todos tos hombres con cabellera completa, y digamos que una cabellera completa es aqueBaque cuenta con 100 mBo más ca bellos. Federico se levanta en la maftana con 100 mil cabcftts en su cabera,de modo que a pertenece alcon juntaAl tomarunadicha,dnco cabdbscaen desu cabe- ra y se tan por el desagüe.Ahora é l no pertenece al V > ’i* D eprv n o o .líS ilitty S T v m lu n a) ¿Cómo se determinó la grifa» para tos gastos totato* a partird e l» re d » de tos gastosen instituckmespri. tadase instituctonespúbltoas? b | ¿Durante qué pertodo de 10 artos el monto total de gastos en salud aumento menos? c) ¿Durante qué pertodo de 10 aftos el monto total de gastos salud aumento más? Fuentes de electricidad La siguknte gráfi* muestra I» ( ¿MOi ir vdi»d i ii I nirhe. a) Calcule el número de masito hospitalarto en tejer en 2000. Rrrvfid araesrk*«n¡n rulad w fo l Ir/unkm afc»|toliic x x i i i
- 24. Enfoque en ejercicios Losconjuntos de ejercicios se desarrollaron con mucho cuidado. Cada ejercicio es más difícil que el anterior con el objetivo de ayudar al estudiante a ganar confianza e intentar ejercicios de mayor complejidad. Al final de cada conjunto de ejercicios se incluye también un conjunto de problemas de reto. Ejercicios conceptuales Los ejercicios conceptuales alientan al estudiante a analizar y escribir sobre los conceptos que está aprendiendo. ▼ P á g in a 5 7 Ejercicios conceptuales 1 . ¿Cuáles la forma de un número en notación d e MUc¿? 2. ¿ 1 X 10"puede 9er un número negativo para algún ente ro positivo n i Explique. Práctica d e habilidades 3. ¿Cuál deestasexpresiones esm ayor.l X 10**ol X 10~*? Explique. 4. ¿ 1 X 10 -* puede ser un núnKto negativo para algún ente ro positivo n i Explique. Exprese cada número en notación científica S. 47(0 6. S60 8. 000X 00718 9. 36000) 7. 0031 ltt 5^60000.000 Ejercicios de problem as de aplicación Los ejercicios de la sección Proble mas de aplicación cubren todos los tipos de problemas presentados en el capítulo. A P á g in a 4 9 Problem as d e aplicación R zu e lv a cada expresión. D. 23 .2Í u . 3 J-3’ 15. 3’ 35 16. r 7J n . 6-J K. 4 -’ 19. 1 2-3 20. 1 3-' 2 1. 13° 22. 17° 23. (2*)’ 24. (.y f 25. (2 -3 )1 26. (3*5)* 27. ÍIT 28. (IT R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s 9J. O r o u n M vidrio C ierto* Upo*«le iid rio llenen, iifcahncn- ic. u n ¿ ro to r d e O lí- " p ulgada. Sin em bargo, d é b alo a Us lim itaciones e n e l p ro ce so d e fabricación, w p erm ite que e l ¡ r o to r varic e n <1(01pulgada te sp e c io d e l p o to » id e a l *¡l r re p rése n la e l ¿ ro to r re a l d e l vidno. entonces el rungo d e g ro so r p e rm itid o puede representarse p o r m edio d e U desigualdad |r — (LÓ89f * QOOt. Fuente: *w w .p p y co m al R e su e lta c ria desigualdad para i (u tilice la notación d é intervalo» h ) ¿C uál e s e l m enor grosor perm itido p a ra d vidrio . ' t ) ¿C uál e s e l m ayor g r o o * p e rm itid o p a ra el vidrio? 94. tianmtia d ttaUdod I I grosor d e lic ito tl|Xl ilc m ad era la m inada e s tá g a ra n tiz ad o e n í d e p u lgada c o n u n a toleran c ia de hasta T íd e pulgada. Si t re p rese n ta e l grosor real de la m adera lam inada, e n tu m e s e l ra n g o p e rm itid o puede rep rese n ta rse p o r m edio d e la d esig ualdad |i — - ~ Flurae: w unsticktrude.com a | R c tu d v * e sta d esigualdad p u ra i (u tilice la notación d e intervalo» b ) ¿.Cuál e s el m e n o r grosor p e rm itid o para la m ad era la minada'.1 b) ¿ E ntre q u é distancias «v tlk alesto p rofundábales» m e d id )* respecto d e l nivel d e l m a r.puede m overse e l stib- 9ft. Itcho u de rtsoN t U n re so rte sujeto a l techo d c scn b c un m o lim ie n to de re b o te hacia a rrib a y h a cia abajo, d e m u d o q u e su distancia, rf. resp e cto d e l p iso satisface la desi gu ald ad |rf— 4 j p ie (v e a lo I p ira ) a l R e su e b a e sta desigualdad p a ra d E scriba su respues ta e n n o ta ció n d e in te rv alo 1..... ñu ili’ji-~ri-h r Ejercicios de resolución de problem as Los ejercicios de la sección Resolución de problemas están diseñados para ayudar a los estudiantes a ser más analíticos. a P á g in a 139 x x i v
- 25. Problem as de reto Los problemas de la sección Reto estimulan el interés de los estudiantes con ejercicios más demandantes o difíciles en los aspectos conceptual o de realización. Actividad en equipo Las actividades en equipo proporcionan a los estudiantes oportunidades para desarrollar el aprendizaje colaborativo. Ejercicios d e repaso acumulativo Los Ejercicios de repaso acumulativo refuerzan los temas tratados con anterioridad. Estos ejercicios indican las secciones en donde se explicó el material. 5 2 • C a p JtiJo 1 • C o n c e p to s b á s ic o s R eto H t la sección 72 aprenderá que las reglas de lo s ex ponentes que acabam os de presentar,tam bién se aplican cuando Ios ex ponentes son números racionales. Con base en esta Inform ación y en las reg/as de Ios exponentes, resuelva cada expresión - $r - m - (* - g? - m Actividad e n eq u ipo______________ Analice y responda en equipo el ejercido 143. M3. C entavos qu e crecen B día 1 se le da un centavo. Cada uno de lo s días que siguen se le dará e l doble d e la canti dad que se le entregó el d b anterior. a) Escriba1» cantidades que le darbn en cada uno de lo s primeros 6 días. b) Señale rata uno de estos números com o una expresión exponencial con una base de 2. c) Buscando un patrón determine una expresión ex p o nencial para e l núm ero de centavos que recibirá el día 10. Ejercicios d e rep aso acum ulativo [ 1 ¿ ] 144.Si A - { 3 . 4, 6) y B - { 1 . 2. 5. 8 ). determine a )A U f iy b)<4 C fl. 145.1ustre e l siguiente conjunto en la recu numérica: {*|-3 * x < 2 ) . d) Eacxiha unaexpresión exponencial general para e l nú- merode centavos que redará e l día n el Escriha una expratión exponencial para e l número de centavos que recibirá e l d b 30. f) Q d cu led valor de b expresión en taparle e ) S i tiene calculadora, utiícela. V) Determine la cantidad,en pesos, que obtuvo com o re- s u lu d o e n b parte I), h) Escriba unaexpresiónexponencbl general para el nú mero d e p a o s que re d a r á en e l día n. [1.4] MóXblcule: 6 + |12 | + |- 3 | - 4 -2 1. 147ívaluate S^=T25. 1.6 NO TAC IÓ N C IENTIFICA 1 E s c rb ir n ú m e ro s e n n o tación científica. 2 C a m b ia r n ú m e ro s e n no tació n clentfflca a fo rm a d ecim a l. 3 U s a r no tació n clentfflca e n la resolución d e p ro blem a s. 1 Escribir números en notación clentfflca____________________________________________ C on m u ch a frecu en cia, lo s cien tíficos c ingenieros tien en q u e trabajar co n núm eros m uy gran d es y m uy p e q u e ñ o s Por ejem p lo, la frecuencia d e la señ a l d e u n rad io FM p u e d e ser d e 14,200,000,000 hertz (o c ic lo s p o r seg u n d o ), y e l d iám etro d e u n átom o d e h id rógeno e s d e alred ed or d e 0.0000000001 m etros D e b id o a la dificultad q u e im p lica trabajar c o n m uchas ceros, a m enu d o las cien tíficos exp resan tales num eres co n exp on en tes. Por ejem p lo, e l n ú m ero 14,200,000,000 p od ría escribirse co m o 1.42 X 10'° y 0.0000000001 com o 1 X 10“ '".Esta representación abreviada s e co n o ce com o n o ta d ó n d e n tífica. E n n o ta d ó n cien tífica, b s núm eros ap arecen com o un núm ero m ayor o igual a 1 y m en or q u e 10, m u ltip licad o p o r alg u n a p o ten cia d e 10. E l ex p o n en te d e 10 d e b e ser u n en te ro . C u a n d o una p o ten cia d e 10 n o tie n e co e ficien te n u m érico , co m o A P á g in a 5 2 X X V
- 26. Al estudiante E l álgebraes una disciplina q u e no puede aprender se p o r observación: usted deb e convertirse en un participante activo; debe leer el texto, poner atención en d ase y,lo q u e es más im portante, resolver ejercicios. C uán tos más ejercicios resuelva, mejor. El texto se escribió teniéndolo a u sted en m ente. Se utilizan oraciones breves y claras, y se proporcionan m u chos ejem plos p ara ilustrar puntos específicos. E l texto hace hincapié en las aplicaciones prácticas del álgebra. E speram os q u e, co n fo rm e avance en e l cu rso , se d é cuenta q u e el álgebra no es só lo o tro curso obligatorio d e m atem áticas, sin o u n a disciplina co n aplicaciones útiles. E ste texto incluye varios tipos d e inform ación que u sted identificará fácilm ente gracias al uso d e recua dros. Por ejem plo, los recuadros titulados Sugerencia deben estudiarse con cuidado, ya q u e resaltan la inform ación más im portante. Los recuadros Cóm o evitar errores co m unes tam bién deben analizarse atentam ente, dado que señalan los errores q u e con más frecuencia com eten los estu d ian tes y m u estran los procedim ientos co rrecto s p ara evitarlos en la resolución d e problem as. Pregunte a su profesor lo más pronto si podrá usar una calculadora durante el curso. Si su respuesta es positiva, preste particular atención a las secciones Cóm o utilizar su calculadora y Cóm o utilizar su calculadora graficado- ra (esto último aunque no se le perm ita utilizarla e n cla se). Tal vez la inform ación q u e se presenta allí le ayude a com prender m ejor los conceptos algebraicos. Algo más q u e deb e preguntar a su profesor al inicio del curso es: ¿cuáles d e los suplem entos del libro están disponibles? ¿E n dónde puede obtener ayuda cuando el profesor no esté disponible? Los suplem entos disponibles y los iconos em pleados p ara representarlos en el texto son: V ideocintas y (incluyendo u n a videocinta sobre las habilidades d e estudio p a ra ten er éxito en m atem áticas). O tra fuente d e ayuda es el sitio W eb de A ngel, . E stos com plem entos se analizan en la sección 1 .1 d e este libro. Tal vez desee form ar un grupo d e estudio con otros es tudiantes d e su clase. M uchos estudiantes han descubier to q u e el trabajo en grupos pequeños resulta un excelente mecanismo d e aprendizaje. Al discutir con otras personas o explicar los conceptos y ejercicios, se refuerza su propia com prensión. U na vez determ inados los criterios y proce dim ientos con los q u e trabajará su grupo d e estudio, ase gúrese d e cumplirlos. U na de las prim eras cosas q u e deb e hacer es leer la sección 1 .1 ;en ella se listan los hábitos d e estudio necesa rios p ara tener éxito en matemáticas. Lea esta sección len ta y cuidadosam ente, y preste particular atención a los consejos q u e se brindan en ella. R elea estas recom enda ciones d e vez en cuando. L ea el m aterial con cuidado al hacer su tarea o asistir a clase. Al final d e todos los conjuntos d e ejercicios (salvo los dos prim eros) están los Ejercicios de repaso acumulativo. U sted deb e resolver estos problem as d e m anera regular, incluso si no se le han asignado. Estos problem as se re fieren a secciones y capítulos anteriores del texto, así que le servirán p ara refrescar su m em oria y reforzar su apren dizaje d e los tem as correspondientes. Si tiene problem as al resolver estos ejercicios, lea la sección adecuada del texto o estudie sus notas respecto d e ese m aterial. L a sec ción del texto en donde se presenta la inform ación rela tiva a los ejercicios de repaso acum ulativo se indica m ediante corchetes / / , a la izquierda del ejercicio. Si aun después d e revisar el m aterial tiene problem as, haga una cita con su profesor. TVabajar con los ejercicios d e repaso acumulativo durante todo el sem estre le ayudará a prepa rarse p ara el exam en final. Al final d e cada conjunto d e ejercicios están las sec ciones R esum en del capítulo. Ejercicios de repaso del ca pítulo y Exam en del capítulo. A ntes d e cada exam en debe revisar estas secciones con m ucho cuidado y realizar el exam en propuesto. Si usted obtiene buenos resultados en él, seguram ente tam bién logrará una buena calificación en el exam en form al q u e aplique su profesor. Al lado de las preguntas d e los ejercicios d e repaso aparece el nú mero de la sección en donde se presentó el m aterial co rrespondiente p o r prim era vez. Si tiene problem as con alguna pregunta d e los ejercicios d e repaso, vuelva a leer la sección indicada. Por o tro lado, tal vez sería convenien te q u e realizara el E xam en de repaso acum ulativo que aparece al final de cada capítulo. E n la últim a parte del texto esta la sección de respues tas con las soluciones a los ejercicios d e núm ero im par, incluyendo los problem as d e Reto. Tam bién se propor cionan todas las respuestas a los ejercicios p ara calculado X X V i
- 27. Al estudiante •x x v i i ra graficadora, a los ejercicios d e repaso acum ulativo, a qercicio s d e repaso del capítulo y a los exám enes del capítulo. Sin em bargo, no se proporcionan las respuestas a los ejercicios de actividades en equipo, ya q u e deseam os que los estudiantes lleguen a soluciones acordadas entre ellos p ara responderlos. Sólo deb e utilizar las respuestas para verificar su trabajo. L as respuestas a los ejercicios del exam en d e repaso acumulativo aparecen inm ediata m ente después d e él, p ara q u e tenga una retroalim enta ción inm ediata. D espués d e cada respuesta, aparecen los núm eros d e sección y objetivo en donde se abordó ese ti po d e problem as. Intenté hacer este libro lo más claro posible y evitar b s errores en la m edida d e mis posibilidades. Sin em bar go, ningún texto es perfecto. Si el libro le gustó, si en cuentra algún error e n él, o si advierte q u e un ejem plo o sección puede m ejorarse, m e encantaría saberlo. Puede ponerse en contacto conm igo en www.pearsoneducacion. net/angel. Alien R. Angel
- 29. C a pít u lo 1 ■ 11 kA* C onceptos básicos 1.1 Habilidades d e estudio para tener éxito en m atem áticas y uso de la calculadora 1 .2 Conjuntos y otros co n ce pto s básicos 1 .3 P ropiedades d e los núm eros reales y operaciones con ellos 1 .4 O rden d e las operaciones 1 .5 Exponentes 1 .6 Notación científica R esum en del capítulo Ejercicios d e repaso del capítulo Exam en d e práctica del capítulo A lguna vez se ha preguntado: “¿cuándo voy a usar las m atem áticas?”. E n este capítulo v ere mos m uchas áreas en las q u e se puede utilizar el álgebra p ara analizar y resolver situaciones de la vida diaria. Estas situaciones van desde el uso d e rem edios d e medicina alternativa (ejemplo 10, página 35) hasta el cálculo del aum ento d e las em isiones d e dióxido d e carbono (ejercicio 116, página 40). G racias a éstos y otros ejem plos,descubrirem os q u e las m atem áticas pueden usarse en prácticam ente todas las áreas de nuestras vidas. A S (Tí })
- 30. 2 • Capítulo1 • C o n c e p to s básicos A va n ce d e la lección T~¡* n este capítulo repasarem os los conceptos d e álgebra fundam entales p ara que 1 —j usted alcance los objetivos d e esta m ateria. A lo largo d e todo el libro usaremos datos d e ejem plos reales q u e m uestran la im portancia d e las m atem áticas en la vida diaria. E n la sección 1 .1 presentam os algunos consejos q u e le ayudarán a establecer há bitos y habilidades d e estudio efectivos. E n la sección 1.2 hablarem os d e los conjuntos, incluyendo los conceptos d e unión e intersección. E stos conceptos estarán presentes en cualquier curso d e m atem áticas q u e usted llegue a tomar. E n las secciones 1.3,1.4 y 1.5, analizaremos las propiedades d e los núm eros reales, el orden de las operaciones y las reglas de los exponentes, respectivamente. Estas secciones cubren casi todas las reglas básicas p ara dom inar el álgebra, y su contenido será útil a lo largo d e todo este libro, así com o en los d e álgebra avanzada, d e precálculo y d e cálculo. 1.1 H A B IL ID A D E S D E E S T U D IO P A R A T E N E R É X IT O E N M A T E M Á T IC A S Y U S O D E L A C A L C U L A D O R A s 1 Mantener una actitud positiva. 2 Prepararse para la clase y poner atención en ella. 3 Estudiar y presentar exámenes. 4. Buscar ayuda. 5 Aprender a utilizar una calculadora. A ntes que nada, es necesario q u e usted adquiera ciertas habilidades d e estudio q u e le ayudarán a com pletar con éxito no sólo este curso, sino cualesquier otros, relaciona dos con las matem áticas, q u e tom e en el futuro. Es im portante q u e tom e en cuenta q u e este curso es el fundam ento d e cursos de m atem áticas más avanzadas. Si usted tiene una buena com prensión del álgebra, le se rá m ás sencillo tener éxito en cursos posteriores d e matemáticas. 1 M a n te n e r u n a a c titu d p o s itiva Podría estar pensando: “O dio las m atem áticas”, u “Ojalá no tuviera q u e tom ar esta clase”. Tal vez haya escuchado el concepto fobia a las matemáticas, y considere que usted cae en esa categoría. Lo prim ero q u e necesita hacer p ara ten er éxito en este curso es cam biar esta actitud p o r o tra m ás positiva. D eb e estar dispuesto a darse y darle a este curso una oportunidad justa. Con base en su experiencia previa con las m atem áticas es probable q u e piense qu e esto será difícil. Sin em bargo, las m atem áticas son una disciplina en la q u e es p re ciso trabajar. M uchas d e las personas q u e tom an este curso son más m aduras d e lo que era n cuando tom aron cursos anteriores d e m atem áticas. Su m adurez y su deseo de aprender son extrem adam ente im portantes, y pueden hacer una gran diferencia para tener éxito con las matemáticas. C reo q u e usted puede tener éxito en este curso, pero tam bién necesita usted creerlo. 2 P re p a ra rs e p a r a la c la s e y p o n e r a te n c ió n e n ella R e v is e el m a te ria l A ntes d e clase, es recom endable que destine algunos m inutos a revisar cualquier m a terial nuevo en el libro d e texto. No es necesario q u e entienda todo; se trata solam en te d e q u e tenga una idea d e las definiciones y conceptos q u e se estudiarán. E ste rápido repaso le ayudará a com prender lo q u e explique su profesor d u ran te la clase. Después
- 31. Sección 1.1 •Habilidades d e estudio p ara te n e r éxito e n m a te m á tica s y u so d e la ca lcu la d o ra • 3 q u e el m aterial haya sido explicado en clase, lea lenta y cuidadosam ente, palabra por palabra, las secciones correspondientes e n el texto. L e a el libro d e te x to Los libros d e texto d e m atem áticas no son novelas, así q u e deben leerse despacio y cuidadosam ente. Si usted no com prende lo q u e está leyendo, vuelva a leer el m aterial. Cuando encuentre un concepto o definición nuevos, tal vez sería bueno q u e los subra yara o resaltara con un m arcador,d e m odo q u e sobresalga. D e esta m anera,cuando los busque posteriorm ente le será m ás fácil encontrarlos. Cuando vea un ejem plo desarro llado, léalo y analice con cuidado su solución. No se conform e con exam inarlo super ficialmente; trate d e desarrollarlo p o r su cuenta en o tra hoja.Tam bién es recom endable q u e resuelva los ejercicios d e las secciones A hora resuelva el ejercido, q u e aparecen en el texto después d e varios ejemplos. Estas secciones están diseñadas para q u e usted tenga la oportunidad d e aplicar nuevos conceptos d e m anera inm ediata. Tom e nota d e todo lo q u e no entienda, para pedirle a su profesor q u e se lo explique. H a g a la ta re a L o s dos com prom isos m ás importantes que usted debe contraerpara tener éxito en es te curso son:asistira clase y hacerla tarea con regularidad. U sted debe resolver p o r com pleto y a co n d en cia las tareas q u e le dejen. No e s posible apren d er m atem áticas m ediante la observación; es necesario practicar lo visto en clase. Sólo haciendo sus tareas com prenderá el material. No olvide com probar las respuestas d e sus tareas. Las respuestas a los ejerd d o s de núm ero im par están al final d e este libro, en donde tam bién encontrará la solución a todos los Ejercicios d e repaso acumulativo, Ejercicios d e repaso del capítulo y a los Exám enes d e práctica del capítulo. Las respuestas a las preguntas d e los Exám enes de repaso acumulativo aparecen justo después d e los mismos exámenes. Además,después de cada respuesta encontrará en tre corchetes los núm eros d e la sección y del objetivo en donde se presentó p o r prim era vez el concepto relacionado. Las respuestas a los E jerdcios d e actividades en equipo no se proporcionan porque querem os q u e las o b tengan precisam ente m ediante el trabajo en equipo. Si tiene alguna dificultad con algunos d e los ejercicios, m árquelos y no dud e en preguntar acerca d e ellos e n clase. No se detenga hasta q u e entienda todos los concep tos necesarios p ara resolver todos los problem as asignados. Cuando haga su tarea, asegúrese d e escribirla con claridad y cuidado. Ponga espe cial atención en copiar correctam ente los signos y los exponentes. H aga su tarea paso a paso. D e esta m anera podrá consultarla posteriorm ente y com prender con claridad lo q u e haya escrito. A s is ta a c la s e y p a rtic ip e E s recom endable q u e asista a todas las clases. Casi todos los profesores coinciden en que hay una relación inversa en tre las inasistencias y las calificaciones: entre más inasis tencias tenga, m enor será su calificación. C ada vez q u e usted falta a una clase, pierde inform ación im portante; cuando esto ocurra, contacte cuanto antes a su profesor y averigüe q u é tarea dejó y q u é deb e leer p ara m antenerse al día. Cúando esté en clase, ponga atención a lo q u e dice su profesor. Si no com pren d e algo, pídale q u e repita la lección o q u e la vuelva a explicar. Si leyó el m aterial por anticipado y tiene dudas, pregunte a su profesor; si no lo hace, éste no sabrá q u e usted tiene problem as p ara com prender la lección. En clase, sea cuidadoso al tom ar notas. Escriba d e m anera clara los núm eros y las letras para q u e pueda leerlos después. No es necesario q u e escriba todo lo q u e di ce el profesor; tom e no ta d e los puntos principales y d e los ejem plos q u e no estén en el libro d e texto. No es aconsejable q u e escriba d e m anera frenética, ya que, al hacer lo, podría perder la secuencia d e lo q u e está diciendo su profesor. C reer q u e puede es-
- 32. 4 • Capítulo1 • C o n c e p to s básicos cribir todo lo q u e se discute en clase sin entenderlo y suponer q u e podrá com prender lo después, es un error. E s tu d ie E studie en el am biente apropiado,es decir,e n un área donde no se le interrum pa cons tantem ente, d e tal m anera que toda su atención esté dedicada a lo q u e está leyendo. E sta área deb e estar bien ventilada e ilum inada; su escritorio deb e tener suficiente espacio p ara distribuir en él todo su m aterial, y su silla debe ser cóm oda. E s recom en dable q u e minimice las distracciones m ientras estudia. Por otro lado, no deb e estudiar sin parar; lo m ejor es tom ar breves periodos d e descanso cada cierto tiempo. Al estudiar no sólo deb e entender cóm o resolver un problem a, sino tam bién por q u é sigue unos pasos específicos p a ra hacerlo. Si no com prende p o r q u é está si guiendo un proceso específico, no podrá resolver problem as similares. A d m in is tre s u tie m p o Es recom endable q u e los estudiantes dediquen, en prom edio, dos horas p ara estudiar y hacer tareas p o r cada hora d e clase. E ncontrar el tiem po necesario para estudiar no siem pre es fácil; éstas son algunas sugerencias q u e podrían serle d e utilidad: 1 . H aga un plan. D eterm ine cuándo tendrá tiempo p ara estudiar y hacer su tarea. No program e otras actividades en esos horarios, y trate d e distribuir equitativam en te sus horas d e estudio a lo largo d e la sem ana. 2. O rganícese d e m odo q u e no pierda tiem po en buscar sus libros, bolígrafo, calcu ladora o notas. 3. U tilice su calculadora p ara realizar cálculos tediosos. 4. Cuando deje d e estudiar, m arque con claridad en su libro d e texto el lugar donde se detuvo. 5. Intente no adquirir responsabilidades d e más. D ebe establecer sus prioridades: si su educación es im portante, com o deb e ser,quizá tenga q u e reducir el tiem po que dedica a otras actividades. 6. Si el tiempo es un problem a, no se agobie con dem asiados cursos. Si el sistem a de su escuela lo perm ite, considere la posibilidad d e cursar m enos m aterias. Si no cuenta con suficiente tiem po para estudiar,tanto su aprendizaje com o las califica ciones d e todos sus cursos se verán afectados. 3 E s tu d ia r y p re s e n ta r e x á m e n e s E s tu d ie p a r a s u s e x á m e n e s Si estudia un poco todos los días, no necesitará cargarse d e inform ación la noche an terior a su exam en. Por el contrario, si espera hasta el último m inuto, no tendrá tiem po d e buscar ayuda si la necesita. Al prepararse p ara presentar un exam en, tom e en cuenta estas sugerencias: 1 . L ea las notas q u e tom ó en clase. 2. R epase sus tareas. 3. E studie las fórm ulas, definiciones y procedim ientos q u e necesitará en el examen. 4. L ea con cuidado los recuadros sobre Cóm o evitar errores com unes y los d e Suge rencias. 5. L ea el resum en q u e aparece al final d e cada capítulo. 6. Resuelva los ejercicios d e repaso q u e se ofrecen al final d e cada capítulo. Si tiene dificultades con alguno d e ellos, vuelva a estudiar las secciones correspondientes; si aún así tiene problem as, busque ayuda. 7. Resuelva el exam en d e práctica del capítulo.
- 33. Sección 1.1 •Habilidades d e estudio p ara te n e r éxito e n m a te m á tica s y u so d e la ca lcu la d o ra • 5 8. R epase los exám enes que haya tenido con anterioridad si el m aterial q u e se trata en ellos form ará p arte del próxim o examen. 9. E n caso d e q u e el exam en abarque m aterial d e los capítulos anteriores, resuelva el Exam en d e repaso acumulativo. P a ra p re s e n ta r el e x a m e n Asegúrese d e dorm ir bien la víspera del exam en; si estudió apropiadam ente, no tendrá que desvelarse haciéndolo e n el último momento. Llegue tem prano al lugar en donde se aplicará el exam en p ara tener unos m inutos d e relajam iento. Si llega d e m anera apresurada al sitio del exam en, se sentirá nervioso e inquieto. Al recibir el exam en, haga lo siguiente: 1 . Escriba con cuidado todas las fórm ulas o conceptos que quiera recordar. 2. Revise rápidam ente todo el exam en p ara tener una idea d e su longitud y asegu rarse d e q u e no falta ninguna página. Necesitará hacer una distribución d e su tiem po para estar seguro d e q u e podrá com pletar todo el exam en; tenga en cuenta que deberá destinar más tiempo a la resolución d e los problem as q u e valen más puntos. 3. L ea con cuidado las instrucciones del examen. 4. Lea con atención cada problem a. R esponda com pletam ente cada pregunta y ase gúrese d e q u e su respuesta corresponda exactam ente con lo q u e se pregunta. 5. Inicie con la pregunta 1; responda las preguntas en orden. Si tiene dificultades p a ra responder a una pregunta, no le dedique dem asiado tiempo: continúe y respon d a las preguntas q u e entienda; después, regrese y responda aquellas d e cuya contestación no esté seguro. No pierda dem asiado tiempo en responder una sola pregunta. 6. Intente resolver todos los problem as, d e esta m anera tendrá m ayores oportunida des d e obtener una m ejor calificación o adquirir más créditos. 7. TVabaje con cuidado y escriba claram ente a fin d e q u e su profesor pueda leer y en tender sus respuestas. E s com ún com eter errores cuando la escritura no es clara. 8. Si tiene tiem po, verifique su trabajo y sus respuestas. 9. No se preocupe si otras personas term inan su exam en antes q u e usted. No se apure si usted es el último en com pletarlo;ocupe todo el tiempo d e q u e disponga para verificar sus respuestas. 4 B u s c a r a y u d a U tilice lo s s u p le m e n to s Este libro de texto cuenta con varios suplementos. Averigüe cuáles d e ellos están dispo nibles y cuáles podrían ser útiles. La lectura d e esos suplem entos no deb e considerarse com o un reem plazo d e la lectura del texto, sino com o un recurso com plem entario. Visite el sitio W eb d e este libro en www.pearsoneducacion.net/angel donde encontrará muchísimo m aterial, en inglés, q u e le ayudará en sus lecciones: ejercicios adicionales, cuestionarios de práctica que pueden calificarse, instrucciones para el uso d e calculado ras graficadoras d e todas las marcas, y proyectos d e los capítulos. B u s q u e a y u d a U n consejo q u e subrayo mucho a mis estudiantes es: i'obtenga ayuda tan pronto com o la necesite! £No espere! E n m atem áticas, p o r lo general el m aterial q u e se revisa un día se basa en el q u e se analizó el día anterior. A sí q u e si no entiende el m aterial de hoy, no podrá entender el d e mañana. ¿E n dónde buscar ayuda? C on frecuencia en los cam pus universitarios existen varios lugares en donde o b ten er ayuda. Sería bueno q u e trata ra d e hacer un amigo en clase, alguien con quien pueda estudiar; a m enudo podrán ayudarse m utuam ente.
- 34. 6 • Capítulo1 • C o n c e p to s básicos O tra idea sería form ar un grupo d e estudio con algunos com pañeros d e su clase. A n a lizar los conceptos y hacer las tareas junto con sus com pañeros reforzará su propia com prensión del m aterial. No dude en acudir a su profesor cuando tenga problem as con el m aterial. Sin em bargo, asegúrese d e leer el m aterial asignado e intente resolverlo antes d e consul tarlo. Llegue preparado con preguntas específicas. Con frecuencia hay o tras fuentes d e ayuda a su disposición. M uchos colegios tienen un laboratorio o un centro d e aprendizaje d e m atem áticas co n asesores p a ra ayudar a los estudiantes. Pregunte a su profesor al principio del curso si la insti tución cu en ta co n este servicio y e n d ó n d e se localiza. U tilice la asesoría cuando sea necesario. 5 A p r e n d e r a utilizar u n a c a lc u la d o ra M uchos profesores solicitan a sus estudiantes q u e com pren una calculadora y la utili cen en clase; d e ser así, usted deb e saber lo más pronto posible cuál es la calculadora que su profesor espera q u e utilice. Si planea llevar cursos adicionales d e matem áticas, deb e determ inar q u é tipo d e calculadora necesitará, y evaluar la posibilidad d e com p rar una sola q u e se adapte a todos los cursos, si es q u e su profesor lo perm ite. Muchos profesores solicitan una calculadora científica, y otros una calculadora graficadora. En este libro se proporciona inform ación acerca d e am bos tipos d e calculadora. Siem pre lea y guarde el m anual del usuario d e cualquier calculadora q u e compre. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1.1 ■k L ¿Cuál es el nombre de su profesor? 2. ¿Cuál es el horario en que su profesor puede atenderlo? 3. ¿En dónde se localiza la oficina de su profesor? 4. ¿Cómo puede encontrar más fácilmente a su profesor? m 5. ¿En dónde puede obtener ayuda si su profesor no está disponible? 6. ¿De qué complementos dispone como ayuda para su aprendizaje? 7. ¿Su profesor recomienda o requiere una calculadora es pecífica? Si es así, ¿cuál? 8. ¿Cuándo puede utilizar su calculadora? ¿Puede utilizarla en clase,para hacer las tareas, o durante los exámenes? 9. ¿Cuáles son las reglas de asistencia a clases estipuladas par su profesor? « 10. ¿Por qué es importante que asista a todas las clases po sibles? IL ¿Sabe el nombre y número telefónico de alguno de sus compañeros de clase? ft>rcada hora de clase, ¿cuántas horas se recomienda que dedique al estudio y a la realización de tareas? 13. liste lo que debe hacer a fin de estar bien preparado para la clase. 14 Explique cómo debe leerse un texto de matemáticas. 15. Escriba un resumen de los pasos que deben seguirse para presentar un examen. 16. Mantener una actitud positiva es muy importante para tener éxito en este curso. ¿Está comenzando este curso con una actitud positiva? ffis importante que lo haga! 17. Debe comprometerse a dedicar el tiempo necesario para aprender el material, hacer las tareas y para asistir a las dases con regularidad. Explique por qué piensa que este compromiso es necesario para tener éxito en este curso. 18. ¿Cuáles son sus razones para tomar este curso? 19. ¿Cuáles son sus metas para este curso? 20. ¿Ha pensado en estudiarcon un amigo o grupode amigos? ¿Ve alguna ventaja en hacerlo? ¿Ve alguna desventaja en hacerlo? ¿Conoce usted toda la información siguiente? Si no,pregúntesela a su profesor lo más pronto posible. 12. 1 .2 C O N J U N T O S V O T R O S C O N C E P T O S B Á S IC O S 1 Identificar conjuntos. 2 Identificar y utilizar desigualdades. 3 Usar la notación de construcción de conjuntos. A Determinar la unión e intersección de conjuntos. 5 Identificar conjuntos importantes de números.
- 35. S ección 1.2• C o n ju n to s y o tro s c o n c e p to s básicos • 7 Comencemos con algunas definiciones importantes. Cuando una letra se usa para repre sentar varios números, recibe el nombre de variable. Por ejemplo, si t = tiempo en horas que dura el viaje de un automóvil, entonces t es una variable, ya que el tiempo cambia de m anera constante conforme el automóvil viaja. Con frecuencia usamos las letras x ,y ,z y t para representar variables;sin embargo,pueden emplearse tam bién otras letras. Cuando presentam os propiedades o reglas, a m enudo las letras a,b y c,se utilizan como variables. Si una letra representa un valor particular, se le denom ina constante. Por ejem plo, si s = núm ero d e segundos q u e hay en un m inuto, entonces s representa una cons tante, ya q u e en un minuto siem pre hay 60 segundos. E l núm ero d e segundos q u e hay en un minuto no varía. E n este libro, las letras q u e representan variables y constantes aparecen en itálicas (o cursivas). El térm ino expresión algebraica,o sim plem ente expresión,se usará con frecuencia en el texto. U na expresión es cualquier com binación d e números, variables,exponentes, símbolos m atem áticos (distintos del signo igual) y operaciones matemáticas. 1 Identificar c o n ju n to s Los conjuntos se em plean en m uchas áreas d e las matem áticas, d e m odo q u e es im po rtan te com prenderlos y conocer su notación. U n conjunto es una colección o grupo de partes. Las partes q u e conform an un conjunto reciben el nom bre de elem entos del conjunto. Los elem entos q u e integran un conjunto se indican m ediante llaves { } y, con frecuencia, los conjuntos se identifican con letras mayúsculas. C uando los ele m entos d e un conjunto están listados dentro d e las llaves, com o se ilustra a conti nuación, se dice q u e el conjunto está e n form a de lista. A = {a, b, c} B = {am arillo, verd e, azul, rojo} C = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } E l conjunto A tiene tres elem entos, el conjunto B tiene cuatro elem entos, y el conjun to C tiene cinco elementos. E l sím bolo e se utiliza p ara indicar q u e cierto elem ento form a parte d e un conjunto. Com o 2 es un elem ento del conjunto C ,podem os escribir 2 e C; esto se lee “2 es un elem ento del conjunto C ”. U n conjunto puede ser finito o infinito. Los conjuntos A , B y C tienen, cada uno, un núm ero determ inado d e elem entos; p o r lo tanto, son conjuntos finitos. E n algunos conjuntos es imposible listar todos los elem entos; a éstos se les conoce com o conjuntos infinitos. E l siguiente conjunto, llam ado conjunto d e los núm eros naturales o conjun to d e los núm eros para contar, es un ejem plo d e conjunto infinito. N = {1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,...} Los tres puntos después d e la últim a com a, llam ados puntos suspensivos, indican que el conjunto continúa d e la misma m anera. O tro im portante conjunto infinito es el d e los núm eros enteros. E l conjunto de los enteros es Z = { . . . , - 4 , - 3 ,- 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } O bserve q u e el conjunto d e los núm eros enteros incluye tanto a los enteros positivos com o a los enteros negativos y al núm ero cero. Si escribimos D = { 1 ,2 , 3 ,4 ,5 ,...,2 8 0 } querem os decir q u e el conjunto continúa, incluyendo los núm eros 6 al 279 y hasta el número 280. E l conjunto D es el conjunto d e los prim eros 280 núm eros naturales; por lo tanto, D es un conjunto finito. Los conjuntos especiales q u e no contienen elem entos reciben el nom bre de con juntos nulos o conjuntos vados, y se indican con { } o 0 . Por ejem plo, el conjunto de estudiantes d e su clase q u e tienen más d e 150 años, es un conjunto vacío o nulo. 2 Identificar y utilizar d e s ig u a ld a d e s A ntes d e p resen tarle un segundo m étodo p ara representar conjuntos, denom inado notación constructiva de conjuntos, hablarem os d e los sím bolos d e desigualdad.
- 36. 8 • Capítulo1 • C o n c e p to s básicos E J E M P L O 1 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO29 Sím bolos d e desigualdad > se lee “es mayor que". > se lee “es mayor que o igual a". < se lee “es m enor que". < se lee “es m enor que o igual a". * se lee “no es igual a". Las desigualdades pueden explicarse p o r medio d e la recta d e los núm eros reales (figura 1 .1 ). « : i I I t I I I I I I I I ► F I G U R A 1.1- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 El núm ero a es m ayor q u e el núm ero b (es decir, a > b ), cuando a e stá a la derecha d e b en la recta num érica (figura 1 .2). Tam bién podem os establecer q u e el núm ero b es m enor q u e a (b < a),cuando b está a la izquierda d e a en la recta num éri ca. L a desigualdad a # b significa q u e a < b o q u e a > b. M enor M ayor ------ ♦----------------------------------♦----*- FIGURA 1.2 b a E scriba > o < en el área som breada en tre los núm eros p ara q u e cada afirm ación sea verdadera. a) 6 ■ 2 b) - 7 ■ 1 c) - 4 ■ - 5 Trace una recta num érica p ara ilustrar la localización d e todos los valores señalados (figura 1.3). FIGURA 1.3 - 7 -6 - 5 - 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 a) 6 > 2 O bserve q u e 6 está a la derecha d e 2 en la recta numérica. b) - 7 < 1 O bserve q u e - 7 está a la izquierda d e 1 en la recta numérica. c) - 4 > - 5 O bserve q u e - 4 está a la derecha d e - 5 e n la recta num érica. # Recuerde que, si la desigualdad es verdadera, el sím bolo siempre señala o apunta al m ás pequeño de los dos números. U tilizam os la notación x > 2 , q u e se lee ux es m ayor q u e 2", p ara representar a todos los núm eros reales m ayores q u e 2 . Utilizam os la notación x < - 3 , q u e se lee ux es m enor q u e o igual a - 3 ”, para representar a todos los núm eros reales q u e son m enores q u e o iguales a - 3 . E n la notación - 4 < x < 3, la variable x representa a todos los núm eros m ayores q u e o iguales a - 4 , y a todos los m enores q u e 3. E n las d e sigualdades x > 2 y x < - 3 , el núm ero 2 y el núm ero - 3 reciben el nom bre de puntos extrem os. E n la desigualdad - 4 < x < 3, el - 4 y el 3 son los puntos extrem os. Las soluciones d e las desigualdades en q u e se usan los sím bolos < o > no incluyen a los puntos extrem os, pero las soluciones d e las desigualdades en q u e se utilizan < o > sí los incluyen. C uando las desigualdades se ilustran en la recta num érica, se em plea un círculo relleno p ara indicar q u e el punto extrem o está incluido en la respuesta, y se usa un círculo vacío p ara indicar q u e el punto extrem o no está incluido. E n seguida se m uestran algunos ejem plos d e cómo se indican algunas desigualdades en la recta numérica.
- 37. Sección 1.2 •C o n ju n to s y o tro s c o n c e p to s b á sico s • 9 Desigualdad x > 2 Desigualdad indicada en la recta numérica - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 - 4 X < 3 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 A lgunos estudiantes confunden el significado de la palabra entre. L a palabra entre indica q u e los puntos extrem os no están incluidos en la respuesta. Por ejem plo, puntos extrem os, podem os usar la p alab ra inclusive. Por ejem plo, el conjunto de núm eros naturales en tre 2 y 6 inclusive es { 2,3 ,4,5 ,6). A hora q u e hem os revisado los sím bolos d e desigualdad, analizarem os otro m étodo para indicar un conjunto, denom inado notación de construcción d e conjuntos. Un ejem plo d e este tipo de notación es E sta expresión se lee: “el conjunto E es el conjunto d e todos los elem entos x, tales que a: es un núm ero natural m ayor q u e 6 ” . E n form a d e lista, este conjunto se escribe E l m étodo general q u e se usa para crear una notación d e construcción d e conjuntos es A m enudo usarem os la variable x cuando utilicemos la notación d e construcción de conjuntos, aunque cualquier variable puede em plearse. D os form as abreviadas d e escribir el conjunto E = {xx es un núm ero natural m ayor q u e 6 } en notación d e construcción d e conjuntos son: E l conjunto A = {x - 3 < x < 4 y x e Z} es el conjunto d e núm eros enteros mayores q u e - 3 y m enores q u e o iguales a 4. E l conjunto escrito en form a d e lista es {- 2 , - 1 , 0 ,1 ,2 ,3 ,4 } . O bserve que el punto extrem o - 3 no está incluido en el conjunto, pero el punto extrem o 4 sí. ¿E n qué difieren los conjuntos B = {xx > 2 y x e N } y C = {xx > 2 (? ¿Puede escribir cada uno d e estos conjuntos en form a d e lista? ¿Puede ilustrar am bos conjun tos en la recta num érica? E l conjunto B sólo contiene los núm eros naturales mayores q u e 2 , esto es, {3,4,5,6,...}. E l conjunto C contiene no sólo los núm eros naturales m a yores q u e 2 , sino tam bién fracciones y núm eros decim ales m ayores q u e 2 . Si usted in tentara escribir el conjunto C en form a d e lista, ¿por dónde em pezaría? ¿C uál es el núm ero más pequeño m ayor q u e 2 ? ¿Es 2.1 o 2.01 o 2.001? Com o no hay núm ero más pequeño m ayor q u e 2,este conjunto no puede escribirse en form a d e lista. A continua ción se ilustran estos dos conjuntos en la recta num érica, así com o otros dos con p ro blem as similares. el conjunto d e los núm eros naturales en tre 2 y 6 es {3,4, 5). Si deseam os incluir los 3 U s a r la n o ta c ió n d e c o n s tru c c ió n d e c o n ju n to s E = {xx es un núm ero natural m ayor q u e 6 } E = { 7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 , ...} { x | x tien e la p ro p ied ad p } elementos x que propiedad dada E = { x x > 6 y N } o E = { x x > 7 y x e N }
- 38. 10 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos Conjunto Conjunto indicado e n la recta numérica {*1* > 2 y x<=N} { x x > 2 } - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - I 0 1 m 5 6 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 { * |-1 < * < 4 y * e / } {*1-1 < * < 4} - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 I i ! I + + ♦ ♦ + * 1 O tro m étodo p ara indicar desigualdades, denom inado notación de intervalos, se estu- AHORARESUELVAELEJERCICIO 75 diará en la sección 2.5. 4 D e te rm in a r la u n ió n e in te rs e c c ió n d e c o n ju n to s A l igual q u e se realizan operaciones, tales com o la sum a y la multiplicación, con los núm eros, tam b ién es posible hacer operaciones co n los conjuntos. D os d e estas operaciones son la unión y la intersección to d e elem entos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Ya q u e la palabra o , tal com o se usa en este contexto, significa pertenencia al conjunto A , o al conjunto f i ,o a am bos conjuntos, la unión está form ada p o r la com- m ento form a p arte del conjunto A , o del conjunto B, o d e am bos conjuntos, entonces es un elem ento d e la unión d e los conjuntos. Con la notación d e construcción d e conjuntos, podem os expresar A U B como d e todos los elem entos q u e son com unes a am bos conjuntos, A y B. Ya q u e la palabra y, tal com o se utiliza en este contexto, significa pertenencia a am bos conjuntos, al conjunto A y al conjunto B , la intersección se form a usando sólo aquellos elem entos q u e están en am bos conjuntos. Si un elem ento está en sólo uno de los dos conjuntos, entonces no es un elem ento d e la intersección d e los conjuntos. O bserve que,en el último ejem plo, los conjuntos A y B no tienen elem entos en común. Por lo tanto, su intersección es un conjunto vacía C on la notación d e construcción de conjuntos, podem os expresar A C B como D E F IN IC IÓ N L a unión del conjunto A y el conjunto B , indicada m ediante A U B, es el conjun- binación o reunión d e los elem entos del conjunto A con los del conjunto B. Si un ele- D E F IN IC IÓ N L a iitersección del conjunto A y el conjunto B, indicada p o r A n B,es el conjunto AHORARESUELVAELEJERCICIO 57 A C B = { x x e A y * e 5 }
- 39. Sección 1.2 •Conjuntos y otros conceptos básicos • 1 1 5 Identificar c o n ju n to s im p o rta n te s d e n ú m e ro s E n este m om ento contam os con toda la inform ación necesaria para estudiar conjuntos im portantes d e núm eros reales. E n el siguiente recuadro se describen estos conjuntos, y se indican las letras q u e se utilizan con frecuencia para representarlos. C o n j u n to s i m p o r t a n t e s d e n ú m e r o s r e a l e s Números reales IR = {xx es un punto de la recta numérica} Números naturales o para contar N = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,...} Enteros no negativos W = {0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,...} Números enteros Z = { ...,- 3 , -2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,...} Números racionales Q = | ~ | p Y9 son enteros, q * 0 j Números irracionales / = {xx es un número real que no es racional} Echem os un vistazo rápido a los núm eros racionales, irracionales y reales. Un núm ero racional es cualquier núm ero q u e puede representarse com o un cociente de dos enteros, con el denom inador distinto d e cero. Ejemplos de núm eros racionales | , 0, 1.63, 7, -1 2 , V 4 O bserve q u e 0, o cualquier otro núm ero entero, tam bién es un núm ero racional, ya que puede escribirse com o una fracción con un denom inador igual a 1. Por ejem plo 0 = ? y 7 = '- E l núm ero 1.63 puede escribirse com o -¡óoy, por lo tanto, es un cociente d e dos enteros. C om o V 4 = 2 y 2 es un entero, V 4 es un núm ero racional. Todo núm ero racional, cuando se escribe com o un núm ero decimal, será un núm ero cuya parte deci m al se repite, o bien, que termina. Ejemplos de decim ales Ejemplos de decim ales que se repiten que terminan | = 0.6666... | = 0-5 El número 6 ee repite. y = 0.142857142857... y = 1.75 El bloque 142857 ee repite. Para indicar q u e un dígito o que un grupo d e dígitos se repite, podem os colocar una barra o línea horizontal sobre ellos. Por ejem plo, podem os escribir 2 - = 0.6 y - = 0.142857 3 J 7 A unque V 4 es un núm ero racional, las raíces cuadradas d e casi todos los dem ás nú m eros enteros no lo son. L a mayoría d e las raíces cuadradas tendrán decim ales q u e no term inan ni se repiten cuando se expresan com o núm eros decimales, y serán núm eros irracionales. Algunos núm eros irracionales son V 5 , V 3 , V 5 y V 6 . O tro número irra cional es pi, 7r. C uando dam os un valor decim al a un núm ero irracional, sólo estam os representando una aproximación a su valor. El símbolo % significa “es aproxim adam en te igual a”. 7T » 3.14 V 2 « 1.41
- 40. 1 2 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos Los núm eros reales se form an d e la unión d e los núm eros racionales y los núm e ros irracionales. Por consiguiente, cualquier número real debe ser un núm ero racional o un núm ero irracional. Con frecuencia se utiliza el símbolo IRp ara representar al con junto de los núm eros reales. E n la figura 1.4 se ilustran varios núm eros reales en la recta numérica. -V 23 -3.62 “ f 0 1 V 2 2 Ttt 43 ----- 1 ------ H-----h---------- I— •— I * I - *------ 4------ ------1 ------ ! ------- FIGURA 1.4 -6 - 5 - 4 - 3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 U n prim er conjunto es un subconjunto de un segundo conjunto cuando todos los elem entos del prim ero son elem entos del segundo. Por ejem plo, el conjunto d e los nú m eros naturales {1 , 2, 3 , 4,...} es un subconjunto d e los enteros no negativos {0, 1 , 2 , 3 ,4 ,...} , ya q u e todos los elem entos del conjunto d e los núm eros naturales tam bién son elem entos del conjunto d e los enteros no negativos. E n la figura 1.5 se ilustran las relaciones entre los diferentes subconjuntos d e los núm eros reales. E n la figura 1.5a, observe q u e el conjunto de los núm eros naturales es un subconjunto del conjunto de los enteros no negativos,del conjunto d e los enteros,y del conjunto d e los núm eros ra cionales. Por lo tanto, todo núm ero natural tam bién deb e ser un entero no negativo, un entero y un núm ero racional. Por m edio del mismo razonam iento, podem os ver que el conjunto d e enteros no negativos es un subconjunto del conjunto d e enteros y del conjunto d e núm eros racionales, y q u e el conjunto d e los enteros es un subconjunto del conjunto d e los núm eros racionales. Al observar la figura 1.5b, vemos q u e los enteros positivos, el número 0 y los en teros negativos form an el conjunto d e los enteros, q u e los núm eros enteros y los nú m eros racionales q u e no son enteros form an el conjunto d e los núm eros racionales, y así sucesivamente. Números reales Números racionales f , - 235 Enteros -5, -9, -103 Enteros no negativos 0 Números naturales 1,4,92 Números irracionales V 2 V 3 -V 5 V29 Enteros positivos Enteros Cero Números Enteros negativos Números racionales Números racionales no enteros reales FIGURA 1.5 E J E M P L O 2 (a) Números irracionales (b) Solución C onsidere el siguiente conjunto: { -3,0, y 12.25, V7, - V i l ,y , 5,7.1, -17,77} Liste los elem entos del conjunto q u e son a ) núm eros naturales. b) enteros no negativos. c) enteros, d) núm eros racionales. e ) núm eros irracionales. f) núm eros reales, a) N úm eros naturales: 5 b) Enteros no negativos: 0,5 c) E n tero s:- 3 ,0 ,5 ,- 1 7 d ) Los núm eros racionales pueden indicarse en la form a p /q , q * 0. C ada uno d e los siguientes núm eros puede indicarse en esta form a, y todos son núm eros racionales.
- 41. S e cción 1.2 • C o n ju n to s y o tro s c o n c e p to s básicos • 1 3 e) Los núm eros irracionales son núm eros reales q u e no son racionales. Los siguientes núm eros son irracionales V7,-VIT,-7r f ) Todos los núm eros del conjunto son núm eros reales. L a unión d e los núm eros ra cionales y los núm eros irracionales conform a el conjunto d e los núm eros reales. « . « « a ™ » - 3 , 0 , f . 2 . 2 5 , ^ , - V I l , f , 5 , 7 . 1 , - 1 7 , , # No todos los núm eros son núm eros reales. Algunos d e los núm eros q u e estudia rem os más adelante y q u e no son núm eros reales, son núm eros com plejos y núm eros imaginarios. M atem áticas en a c c ió n Conjuntos bien definidos y conjuntos difusos Al tipo d e conjuntos acerca d e los q u e usted está apren diendo en este capítulo, m uchas veces se les conoce co mo conjuntos bien definidos. U n elem ento es o no es miembro d e un conjunto bien definido. Es evidente que Q es un elem ento del conjunto {Tt R, Q, F] y q u e B no k) es. M ás allá del mundo d e las matem áticas, podem os reconocer q u e la afirmación: “A braham Lincoln es un elem ento del conjunto d e todos los presidentes d e Es- lados U nidos”, refleja el concepto d e los conjuntos bien definidos. Ahora piense en el conjunto d e todos los hom bres con cabellera com pleta, y digam os q u e una cabellera com pleta es aquella q u e cuenta con 100 mil o más ca bellos. Federico se levanta en la m añana con 100 mil cabellos en su cabeza,d e modo q u e él pertenece al con junto. Al tom ar una ducha,cinco cabellos caen de su cabe za y se van p o r el desagüe. A hora él no pertenece al conjunto. Bueno, eso es correcto, aunque suene tonto. U na categorización rígida com o ésta no sería muy útil para una em presa q u e reúne informaciónpara com ercia lizar una línea d e productos p ara el cuidado del cabello. E n 1965 fue mencionado p o r prim era vez el con cepto d e conjunto difuso. P ara explicarlo d e m anera sencilla, digam os q u e un elem ento q u e form a p arte de un conjunto difuso tiene cierto grado d e pertenencia a él. Volviendo al ejem plo d e Federico, si un conjunto di fuso fuese definido com o “todos los hom bres con una cabellera com pleta”,cuando Federico se levantó e n la m añana era m iem bro d e ese conjunto con un valor de 1 (o d e 100 p o r ciento). D espués d e la ducha, Federico seguía perteneciendo en ese conjunto, pero con un va lor de, digamos, 0.999. E l razonam iento asociado a los conjuntos difusos, gobernado p o r las reglas d e la lógica difusa, es la base para que los program as d e cómputo logren el reconoci miento d e patrones, por ejem plo el reconocimiento de voz. La pronunciación d e un ganadero de M onterrey,en México, difiere considerablem ente d e la d e un corredor efe bolsa d e M adrid, E spaña Para reconocer la diferen cia, el program a aplicará una gran cantidad d e pruebas de la lógica difusa p ara determ inar el grado hasta el que un sonido coincide con otro almacenado en su base de datos de conjuntos difusos. Al no insistir en que haya una correspondencia exacta p ara cualquier letra o sílaba —por ser difusa— ,el program a puede “entender” el ha bla hum ana con sorprendente precisión. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1.2 Ejercicios conceptuales L ¿Qué es una variable? 2. ¿Qué es una expresión algebraica? 3. ¿Qué es un conjunto? 4. ¿Cómo les llamamos a las partes que conforman un con junto? 5. ¿Qué es un conjunto vacíoo conjunto nulo? 6. H conjunto de los números naturales o números para con tar, ¿es un conjunto finito o infinito? Explique. 7. Liste los cinco símbolos de desigualdad y explique cómo sí lee cada uno de ellos. 8. Proporcione un ejemplo de un conjunto vacío. 9. Liste el conjunto de enteros entre 2 y 7.
- 42. 1 4 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos 10. Liste el conjunto de enteros entre -1 y 3 inclusive. V 1L Explique por qué todos los números enteros son también “ números racionales. 12. Describa los números para contar, los números enteros no negativos, los números enteros, los números racionales, los números irracionales y los números reales. Explique las relaciones entre los conjuntos de números. En los ejercicios 13a 22, indique si cada afirmación es verdadera o falsa. 13. Todos los números naturales son enteros no negativos. 14. Algunos números racionales son enteros. 15. Todos los números enteros no negativos son números na turales. 16. Todos los números racionales son enteros. 17. Todos los números enteros son números racionales. 18. La unión del conjunto de los números racionales y el con junto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales. 19. La interseccióndel conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales es un conjunto vacío. 20. Elconjunto de los números naturales es un conjunto finito. 2L El conjunto de los números enteros entre ir y 4 es un con junto vacío (nulo). 22. El conjunto de los números irracionales entre 3 y n es un conjunto infinito. Problemas de aplicación Escriba < o > en el área sombreada para hacer que la afirmación sea verdadera. 23. 3 ■ 4 24. - 1 B 5 25. - 3 ■ 0 26. - 1 ■ 1 27. - 1 ■ - 1.01 28. co 1 ■ ■ ' T Q. 29. - 5 ■ -3 30. -6 M - 1 3L -14.98 ■ -14.99 32. -3 .6 ■ -3.2 33. 1.1 ■ 1.9 34 -1.1 ■ -1.9 35. - ir M - 4 36. -7 8 0 ■ -655 - 4 - ! 38. _ 4 . _ 5 7 9 En ¡os ejercicios39 a 48, escribacada conjunto en forma de lista. 39. A = { * |-1 < * < l y x e Z } 4 L C = {z z es un entero par mayor que 16y menor que o igual a 20} 43. E = {xx < 3y x e W } 45. H = {xx es un entero no negativo múltiplo de 7} 47. / = {*|* > Oy x e Z ) 49. Cbnsidereel conjunto {-3 , 4, f , 0, V 2 , V 8 , -1.23, % ¡ó] Liste los elementos que son: a) números naturales. b) enteros no negativos. c) enteros. d) números racionales. e) números irracionales. f) números reales. 40. B = {y|y es un número natural impar menor que 8} 42. D = {*|* > - 3 y * e Z } 44. F = {* i- 6 ^ - 15 5 T y't "} 46. L = {*|* es un entero mayor que -5} 48. K = {*|* es un entero no negativo entre 3 y 4} 50. Cbnsidere el conjunto {2, 4, -5.33, f , V 7, V 2, -100, -7, 4.7}. Liste los elementos que son: a) números enteros no negativos. b) números naturales. c) números racionales. d) números enteros. e) números irracionales. f) números reales. Determine A U B y A H B,para cada conjunto A y B. 5L A = {1,2, 3, 4, 5}, B = { 2 4 ,6 ,8 ) 53. A = { -3 , - 2 , - 1 ,0 ) , B = { -1 ,0 ,1 ,2 } 55. A = { } , B = {2,4,6,8,10) 57. A = {0,10,20,30), B = {5,15,25} 59. A = {—1,0,1, e,i,ir}, B = { -1 ,0 ,1 } 52. A = { 1 ,2 ,3 } , B = {4,5,6} 54 >1 = { - 3 ,- 1 ,1 , 3}, B = { -4 , -3 , -2 , -1 , 0} 56. A = {2 4 ,6 } , B = {2 ,4 ,6, 8, ...} 58. A = {1, 3, 5},B = {1,3,5, 7, ...}
- 43. S e cción 1.2 • C o n ju n to s y o tro s c o n c e p to s básicos * 1 5 Describa cada conjunto. 6L A = {1,2, 3,4, ...} 63. C = {0,3, 6, 9, ...} 65. B = { ...,- 5 ,- 3 ,- 1 ,1 , 3, 5, ...} V 61 B = {2, 4, 6, 8, ...} 64. A - { a ,b , c , d , . .. ,z } 66. C - {Aguascalientes, Baja California,..., Zacatecas} En los ejercicios 67 y 68, a) escriba cómo leería cada conjunto; b) escriba el conjunto en forma de lista. 67. A = {*|* < 8 y * e N } 68. B = {xx es una de las últimas cinco letras mayúsculas del alfabeto castellano} Ilustre cada conjunto en una recta numérica. 69. {xx > 0 } 70. {yy < 4} 71. {zz ^ 3} 72. {ww > -5 } 73. {pl~4 < p < 3} 74. {*1-1.67 < * < 5.02} 75. {qq > - l y q e N ) 76. {*|-1.90 < * < 2 . 1 y * e Z } 77. {rr < 7r y r e W] 78. r i <- csf y- ce'v} Exprese en notación de construcción de conjuntos cada conjunto de números indicado en las rectas numéricas. 79. - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 80. - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 8L 83. 85. - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 ■ I I , ------- - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 -2.5 4.2 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 87. « I l i » + + + » ? l l l ----- - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 84. - 4 ♦ » ♦ 1 ■ - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 — - h - 3 - 2 4 1 1 • 1 - 1 0 1 2 7 .6 H — - 3 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * 1 !' 1 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 12 3 1— 1— t - 5 -----4— 10 ■ -4— 1— 1— 1— -t— ► - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 Consulte el recuadro de la página II para recordar el significado de R, N, W ,Z,Q e I. Luego determine si el primer conjunto de cada par es un subconjunto del segundo. 89. N ,W 90. W,Q 93. Q ,¡ 94. Q, R Resolución de problemas 97. Construya un conjunto que contenga cinco números ra cionales entre 1 y 2. 99. Determine dos conjuntos A y B tales que A U B = {2,4, 5 ,6 ,8 ,9 } y A n £ = {4,5,9}. 9L Z,Q 92. W ,N 95. /, R 96. Q ,Z 98. Cónstruya un conjunto que contenga cinco números ra- aonales entre 0 y 1 . 100. Determine dos conjuntos A y B tales que A U 8 = {3,5, 7,8,9} y A C B = {5,7}.
- 44. 1 6 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos 101. Ropa para adolescentes La siguiente tabla muestra las marcas preferidas por adolescentes de ambos sexos,según lainformación obtenida por el índice de Ventas de Ame rican Express, en una encuesta de compras por el regreso a clases en el verano de 2001.Con base en esos datos: a) Determine el conjunto de marcas que fueron listadas en una u otra de las categorías (niños o niñas). b) ¿La parte a) representa la unióno la inteisecciónde las marcas? Explique. c) Determine el conjunto de marcas que fueron listadas en ambas categorías (niños y niñas)? d) ¿La parte c) representa la unión o la intersección de las marcas? Explique. M arcas m á s populares de ro pa para adolescentes en 2 0 0 1 Niñas Niños 1. Oíd Navy l.Tommy Hilfiger 2.TTie Gap 2. Nike 3.Tommy Hilfiger 3. Adidas 4. Abercrombie & Rtch 4. Polo/Ralph Lauren 5. Express/TTie Limited 5.FU B U Fuente:American Expressy M. Booth y asociados. 102. Inversión enpublicidad Lasiguiente tabla lista a las cin co empresas estadounidenses que más invirtieron en pu blicidad en televisión abierta, y las cinco que más lo hicieron en televisión por cable durante abril-junio de 2001. a) Determine el conjunto de empresas que estuvieron en una u otra de las categorías durante ese periodo. b) ¿La parte a) representa la unióno la intersecciónde las empresas? Explique. c) Determine el conjunto de empresas que estuvieron en ambas categorías durante ese periodo. d) ¿La parte c) representa la unión o la intersección de las empresas? Explique. TV abierta TV por cable 1. G eneral Motors Corp. 1. Philip Morris Cos., Inc. 2. Philip Morris Cos., Inc. 2. AOL Time Warner, Inc. 3. Johnson & Johnson 3. G eneral Motors Corp. 4. Pfizer, Inc. 4. Procter & Gamble Co. 5. Pepsico, Inc. 5. Johnson & Johnson Fuente: Nielson Media Research. 103. Niños exploradores Los "lobatos” del grupo 108 deben completar cuatro actividades para ganarse una nueva in signia. Francisco González, su guía, tiene la siguiente tabla en su libro de registro. Un Sí indica que el “lobato” ha completado la actividad. Sea A = el conjunto de exploradores que han completa do la actividad 1: Prueba de habilidad. Sea B = el conjunto de exploradores que han completado la actividad 2:Izar la bandera. Sea C = el conjunto de exploradores que han completado la actividad 3: Cocinar y comer. Sea D = el conjunto de exploradores que han completado la actividad 4: Toma de decisiones. a) Escriba cada conjunto A, B, C y D en forma de lista. b) Determine el conjunto A D B D C D D;esto es,deter mine el conjunto de elementos que son comunes a los cuatro conjuntos. c) ¿Quéexploradores han cumplido con todos los reque rimientos para recibir su nueva insignia? Actividades Explorador 1 2 3 4 Alejandro Sí Sí Sí Sí Jaime Sí Sí No No Jorge No Sí No Sí Carlos No Sí No Sí Esteban No No Sí No 104. Bienes y servicios La siguiente gráfica muestra el peso porcentual de diferentes bienes y servicios, según el índi ce de precios al consumidor de Estados Unidos. a) Liste el conjunto de bienes y servicios que tienen un peso de 17% o mayor. b) Liste el conjunto de bienes y servicios que tienen un peso menor que 6%. Vivienda 413% manteni- Atención miento médica Fuaue. o fid n a «fe Estadísticas Laborales 5 5 % 7 .4 % d e Estadcs Uradcs.
- 45. Se cció n1.2 • C onjuntos y o tro s c o n c e p to s básicos • 1 7 105. El siguiente diagrama se denomina diagrama de Venn. Con base en él, determine los conjuntos que se indican: a) A, b) B, c) A U B , d) A D B . 106. Utilice el siguiente diagrama de Venn para determinar los conjuntos que se indican: a) A, b) B, c) A U B , d) ADB. Reto 109. a) Escriba tas números decimales equivalentes a £ ,f, yf. b) Escriba las fracciones equivalentes a 0.4,0.5 y 0.6. ' l v Actividad en equipo 110. Losdiariospreferidos El siguiente diagrama de Venn ilus tra los resultados de una encuesta aplicada a 45 estadou nidenses donde se muestra cuántas de esas personas leen el New York Posi,cuántas el New York Daily News y cuán tas The Wall StreelJournal. Journal 107. a) Explique la diferencia entre los siguientes conjuntos de números: {*|* > 1 y * e N } y {xx > 1 }. b) Escriba en forma de lista el primer conjunto dado. c) ¿Puede escribir el segundo conjunto en forma de lis ia? Explique su respuesta. 108. Repita el ejercicio 107 para los conjuntos {x2 < x < 6 y * E N } y {.*|2 < x < 6 }. c) ¿A qué es igual 0.9? Explique cómo determinó su res puesta. a) Miembro 1del equipo: Determine el número de encues- tados que leen ambos diarios, el News y el Post,esto es, News D Post. b) Miembro 2 del equipo: Determine el número de perso nasque leen ambos diarios, el Post y eJournal,esto es, Post D Journal, c) Miembro 3 del equipo: Determine el número de perso nas que leen ambos diarios, el News y el Journal, esto es,News D Journal. d) Cbmparta su respuesta con losotros miembros del equi po y averigüe si están de acuerdo con su respuesta. e) Determinen el número de personas que leen los tres diarios. f) Determinen en equipo el número de personas que no leen alguno de los tres diarios.
- 46. 1 8 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos 1 .3 P R O P IE D A D E S D E L O S N U M E R O S R E A L E S Y O P E R A C IO N E S C O N E L L O S £ Ü 1 Evaluar valores absolutos. 2 Sum ar núm eros reales. 3 Restar núm eros reales. 4 Multiplicar núm eros reales. 5 Dividir núm eros reales. 6 Usar las propiedades d e los núm eros reales. Para m anejar el álgebra con efectividad, deb e entender cóm o sum ar, restar, m ultipli car y dividir núm eros reales. A ntes d e poder explicar la sum a y resta d e núm eros rea les es necesario q u e analicem os el concepto d e valor absoluto. C uando dos núm eros están a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas en la recta num érica, se dice q u e son inversos aditivos,opuestos o simétricos uno del otro. Por ejem plo, 3 es el inverso aditivo d e - 3 , y - 3 es el inverso aditivo de 3. E l núm ero 0 es su propio inverso aditivo. L a sum a d e un núm ero y su inverso aditi vo d a p o r resultado cero. ¿Cuáles son los inversos aditivos d e -56.3 y y ? Sus inversos aditivos son 56.3 y - y , respectivamente. O bserve q u e el inverso aditivo d e un núm e ro positivo es un núm ero negativo, y el inverso aditivo d e un número negativo es un núm ero positivo. D E F IN I C IÓ N Inverso aditivo E l inverso aditivo d e cualquier núm ero real a, es - a . Considere el número -5 . Su inverso aditivo es - (-5 ). Como sabem os, el inverso aditivo d e un número negativo deb e ser positivo, lo cual implica q u e - ( - 5 ) = 5. Éste es un ejem plo d e la propiedad del doble negativo. P ro p ie d a d d e l d o b le n e g a tiv o Para cualquier número real a, - ( - a ) = a. D ebido a la propiedad del doble negativo, - ( - 7 .4 ) = 7 .4 y - ( - y ) = y . 1 E v a lu a r v a lo re s a b s o lu to s E l valor absoluto de un núm ero es su distancia respecto del núm ero 0 en una recta num érica. E l sím bolo | | se usa p ara indicar un valor absoluto. |—-3 unidades —3 unidades -*j i----------1 ------------------ 1 --------|---------i-------- 1 ---------I -------- 1 ---------I-------- 1 -------- 1 -------I- FIGURA 1.6 -6 - 5 - 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Considere los núm eros 3 y - 3 (figura 1.6). A m bos están a 3 unidades d e distan cia respecto del 0 en la recta num érica. Por lo tanto,
- 47. Se cció n1.3 • P ro p ie da de s de los n ú m e ro s reales y o p e ra cion e s c o n ellos • 1 9 E J E M P L O 1 Solución Evalúe, a) l b) | - 6.l| c) |0| a ) M = 7, ya q u e 7 está a 7 unidades d e distancia respecto del 0 en la recta numérica. b) | - 6.l| = 6.1 , ya q u e - 6.1 está a 6.1 unidades d e distancia respecto del cero en la recta numérica. C) |0| = 0. El valor absoluto d e cualquier núm ero distinto del cero siem pre será un núm e ro positivo, y el valor absoluto del núm ero 0 es cero. Para determ inar el valor absoluto d e un núm ero real sin utilizar la recta num é rica, use la siguiente definición. # DEFINICIÓN E JE M P L O 2 Solución E J E M P L O 3 Solución AHORARESUEU/AELEJERCICIO 39 Valor absoluto Si a representa cualquier núm ero real, entonces a = a si a ^ 0 - a si a < 0 E sta definición indica q u e el valor absoluto d e cualquier núm ero positivo es él mismo, y q u e el valor absoluto d e cualquier núm ero negativo es su inverso aditivo (u opuesto). E l valor absoluto d e un número puede determ inarse p o r medio d e esta d e finición, com o se ilustra a continuación. |8.4| = 8.4 Como 8.4 es m ayor q u e o igual a 0, su valor absoluto es 8.4. |0| = 0 Como 0 es igual a 0, su valor absoluto es 0. |- 1 2 | = - ( - 1 2 ) = 12 Cómo -1 2 es m enor q u e0 .su valor absoluto es - ( - 12 ) o 12 . M ediante la definición d e valor absoluto,evalúe: a) - |5 | b) —|— 6.43| a) Tenem os q u e determ inar el opuesto (o inverso aditivo) del valor absoluto de 5. Com o el valor absoluto d e 5 es positivo, su opuesto deb e ser negativo. —1 5 | = - (5) = - 5 b) D ebem os determ inar el opuesto del valor absoluto de -6.43. Com o el valor abso luto d e -6 .4 3 es positivo, su opuesto deb e ser negativo. - |- 6 .4 3 | = - (6 .4 3 ) = -6 .4 3 # Escriba < , > o = en el área som breada en tre los dos valores p ara hacer q u e cada afir m ación sea verdadera, a) |8| ■ |—8| b) | - l | ■ —|—3| a) Com o tanto |8| com o | - 8 | son iguales a 8, tenem os q u e |8| = | - 8 |. b) Como | - l | = l y —|—3 | = - 3 , tenem os que | - l | > —| — 3 |. # 2 S u m a r n ú m e ro s re a le s Prim ero analizarem os cóm o sum ar dos núm eros con el mismo signo, am bos positivos o am bos negativos; después verem os cóm o sum ar dos núm eros con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo. P a ra s u m a r d o s n ú m e ro s c o n e l m is m o s ig n o (a m b o s p o s itivo s o a m b o s n e g a tiv o s ) Sume sus valores absolutos y coloque el signo común antes del resultado.
- 48. 2 0 •C apítulo 1 • C o n c e p to s básicos E J E M P L O 4 Solución E J E M P L O 5 Solución E J E M P L O 6 Solución E J E M P L O 7 Solución AHORARESUELVAELEJERCICI0135 La sum a de dos núm eros positivos d ará por resultado un núm ero positivo, y la sum a de dos núm eros negativos dará por resultado un núm ero negativo. R ealice la suma: - 4 + ( - 7 ) . Como los dos núm eros q u e se sum an son negativos,el resultado será negativo. Para d e term inarlo, sum e los valores absolutos d e estos núm eros y coloque un signo negativo antes del valor resultante. | - 4 | = 4 | - 7 | = 7 A hora sum e los valores absolutos. |- 4 | + |- 7 | = 4 + 7 = 11 Como am bos núm eros son negativos, el resultado d e la sum a deb e ser negativa. Por lo tanto, - 4 + ( - 7 ) = - 1 1 # P a ra s u m a r d o s n ú m e ro s c o n s ig n o s d ife re n te s (u n o p o sitivo y e l o tro n e g a tiv o ) Reste el valor absoluto m enor del valor absoluto mayor. El resultado tendrá el signo del número con el valor absoluto más grande. La sum a de un núm ero positivo y un núm ero negativo puede dar por resultado ya sea un núm ero positivo, uno negativo o cero. E l signo del resultado coincidirá con el signo del núm ero con el valor absoluto m ás grande. R ealice la suma: 5 + ( - 9 ) . Como los números que se sum an son de signos opuestos, restam os el valor absoluto m e nor del valor absoluto mayor. Prim ero determ inam os el valor absoluto d e cada número. |5 | = 5 |— 9| = 9 A hora determ inam os la diferencia: 9 - 5 = 4. E l núm ero - 9 tiene un valor absoluto m ayor q u e el núm ero 5, p o r lo q u e el resultado d e la sum a es negativo. 5 + ( - 9 ) = - 4 # 7 5 R ealice las sumas: a) 1.3 + (-2 .7 ) b) - — + — a) 1.3 + ( -2 .7 ) = - 1 .4 b) Inicie escribiendo am bas fracciones con el denom inador com ún mínimo, 24. 7 5 21 20 ( - 2 1 ) + 20 - 1 1 8 + 6 " 24 + 24 ~ 24 " 24 " 24 # Profundidad de las fosas oceánicas La fosa oceánica Palau, localizada en el océano Pacífico, se encuentra a 24,424 pies (8,054 m etros) bajo el nivel del mar. L a fosa sub m arina más profunda del planeta, la fosa d e las M arianas, es 9416 pies (2,870 m etros) más profunda q u e la fosa Palau (vea la figura 1.7). A partir d e estos datos, determ ine la profundidad de la fosa d e las Marianas. Si consideram os la distancia bajo el nivel del m ar com o un núm ero negativo, la profun didad total es -2 6 ,4 2 4 + (-9 4 1 6 ) = -3 5 ,8 4 0 pies o 10,840 m etros bajo el nivel del m ar. #
- 49. Sección 1.3 •Propiedades de los números reales y operaciones con ellos • 2 1 3 R e s ta r n ú m e ro s re a le s Profundidad bajo e l nivel d el m ar Todo problem a d e sustracción puede expresarse com o un problem a d e sum a si utili zam os la siguiente regla. - 5 - 1 0 - - 1 5 - Fosa de -2 0 - Palau I -2 5 26,424 pies — ' «i _in £ ■ Fosa de las Marianas - 4 0 - 9416 pies más - 4 5 - profunda FIGURA 1.7 E J E M P L O 8 S o lu c ió n E J E M P L O 9 S o lu c ió n E J E M P L O 1 0 S o lu c ió n E J E M P L O 11 S o lu c ió n AHORARESUELVAELEJERCICIO57 E J E M P L O 1 2 R e s ta d e n ú m e ro s re a le s a - b = a + ( - b ) Para restar b de a, sum e el opuesto (o inverso aditivo) d e b a a. Bar ejem plo,5 - 7 es iguala 5 - (+ 7 ). Para restar 5 - 7,sum e el opuesto d e + 7, q u e es - 7 , a 5. 5 - 7 = 5 + ( - 7 ) t restar7 sumar 7 positivo negativo Com o 5 + ( - 7 ) = - 2 , entonces 5 - 7 = - 2 . Realice las restas:, a) 3 - 8 b ) - 6 - 4 a) 3 - 8 =3 +( - 8 ) = - 5 b) - 6 - 4 = - 6 + ( - 4 ) = - 1 0 # Realice la resta: 8 - (-1 0 ). E n este problem a se está restando un número negativo; sin em bargo, el procedim iento para realizar la resta sigue siendo el mismo. 8 - ( - 10 ) = 8 + 10 = 18 t í restar 10 sumar 10 negativo positivo Por lo tanto, 8 - ( -1 0 ) = 18. # Al estudiar el ejem plo 9 y problem as similares,podem os ver q u e para cualesquie ra núm eros reales a y b, a - ( ~ b ) = a + b Podem os utilizar este principio p ara evaluar problem as tales com o 8 - (-1 0 ) y otros en donde restamos una cantidad negativa. Realice la resta:- 4 - (-1 2 ). - 4 - ( -1 2 ) = - 4 + 12 = 8 # 3 , 5 b) R este ——de - —. a) R este 35 d e -42. a) - 4 2 - 35 = - 7 7 h4 _ ( _ 3 _ _5_ 3 _ _ 2 5 , 27 _ _2_ ' 9 V 5 J 9 5 45 45 45 # Tem peraturas extrem as L a tem peratura más alta registrada en Estados U nidos fue 134°F, y ocurrió el 10 d e julio d e 1913 en el Valle d e la M uerte, ubicado en G reenland Ranch, California. L a tem peratura más baja se registró el 23 d e enero d e 1971 en las Montañas Endicott d e Prospect Creek Ranch,Alaska,y fue d e -79.8°F (vea la figura 1.8).
- 50. Grados Fahrenheit 2 2 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos A partir d e estos datos, determ ine la diferencia entre am bas tem peraturas. Fuente: Si tio W eb L earning N etw ork Internet. Solución Para determ inar la diferencia, restamos: 134° - (-7 9 .8 ° ) = 134° + 79.8° = 213.8° # Con frecuencia, la sum a y resta están com binadas en el mismo problem a, como e n los ejem plos siguientes. A menos q u e haya paréntesis, si la expresión sólo incluye sum as y restas, realizam os las operaciones d e izquierda a derecha. C uando se utilizan paréntesis, realizamos prim ero las operaciones q u e están en tre paréntesis,y después su m am os y restam os d e izquierda a derecha. E J E M P L O 13 Solución R ealice la operación: - 1 5 + ( — 37) - (5 - 8 ). - 1 5 + ( - 3 7 ) - (5 - 8 ) = - 1 5 + ( - 3 7 ) - ( - 3 ) = - 1 5 - 37 + 3 = - 5 2 + 3 = - 4 9 E JE M P L O 14 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 69 R ealice la operación 2 - |—3| + 4 - (6 - |- 7 |) . Inicie reem plazando los núm eros q u e están entre el sím bolo d e valor absoluto p o r sus equivalentes num éricos; luego realice la operación. 2 - |— 3| + 4 - (6 - |- 7 |) = 2 - 3 + 4 - ( 6 - 7 ) = 2 - 3 + 4 - ( - 1 ) = 2 - 3 + 4 + 1 = - 1 + 4 + 1 = 3 + 1 = 4 # 4 M u ltip lica r n ú m e ro s re a le s Las siguientes reglas se utilizan p a ra determ inar e l producto q u e resulta cuando se m ultiplican dos números. M ultip lica ció n d e d o s n ú m e ro s re a le s 1. Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negati vos, multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo. 2. Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo. E JE M P L O 15 R ealice las multiplicaciones, a) (4 .2 )(-1 .6 ) b) Solución a) (4.2)( —1.6) = — 6.72 Loe númeroe tienen elgnoe ¿Hferentee. — 8 Loe númeroe tienen eignoe ¡guatee, amboe negatlvoe. E JE M P L O 16 R ealice la m u ltip lic ac ió n 4 (-2 )(- 3 )( 1 ). Solución 4(—2)(—3)(1) = (—8)(—3)(1) = 24(1) = 24
- 51. O iando multiplicamos más de dos núm eros, el producto será negativo cuando exista un núm ero Im p a r te núm eros negativos. E l producto será positivo cuando exis ta un núm ero p a r de núm eros negativos. La propiedad del cero en la m ultiplicación indica q u e el producto d e 0 m ultipli cado p o r cualquier núm ero es cero. Sección 1.3 • P ro p ie da de s de los n ú m e ro s reales y o p e ra cion e s c o n ellos • 2 3 P ro p ie d a d d e l c e ro e n la m ultiplicació n Para cualquier número a, a -0 = Q-a = 0 D ebido a esta propiedad, 5(0) = 0 y ( —7.3)(0) = 0. E J E M P L O 1 7 Realice la m ultiplicación:9 (5 ) ( -2 .6 3 )(0 )(4 ). Solución Si uno o más d e los factores es 0, el producto es 0. Así, 9(5)(-2 .6 3 )(0)(4) = 0. ¿Puede explicar p o r q u é el producto d e la multiplicación d e cualquier número d e factores será igual a 0 si cualquiera d e los factores es 0? # 5 D ividir n ú m e ro s re a le s Las reglas p ara la división d e núm eros reales son sim ilares a las de la multiplicación d e núm eros reales. División d e d o s n ú m e ro s re a le s L Para dividir dos números con signos iguales,ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. El resultado es positivo. 2. Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. El resultado es negativo. E J E M P L O 1 8 Divida: a) -2 4 -r 6 b) -6.45 -5 - (-0 .4 ) —24 S o lu c ió n a) -— — — —4 Loe números tienen signosdiferentes, o -6.45 b) — 77-7 - = 16.125 Loe números tienen signos Iguales. E J E M P L O 1 9 Divida: S o lu c ió n Como AHORARESUELVAELEJERCICIO85 -0 .4 - 3 8 -2 -2 es igual a —, escribimos ^ 3 ^ 8 -2 ^ 3 8 A hora invertim os el divisor y proceda com o en la multiplicación. l l ^ 1 = l l 1 = ~3 ' 5 = 8 ' 5 8 *2 8 -2 16 Cuando el denom inador de una fracción es un número negativo, por lo com ún re- escribimos la fracción con un denom inador positivo. Para hacerlo partim os d e esta regla.
- 52. 2 4 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos S ig n o d e u n a fra c c ió n Para cualquier número a y cualquier número b distinto de cero, _a - a _ - b ~ b b Por lo tanto, cuando tenem os un cociente d e , lo reescribim os com o — o z z z 6 U s a r las p ro p ie d a d e s d e los n ú m e ro s re a le s Ya hem os analizado la propiedad del doble negativo y la propiedad del cero en la m ul tiplicación. E n la tabla 1.1 se listan otras propiedades básicas p ara las operaciones de sum a y multiplicación de núm eros reales. T A B L A 1.1 ftira números reales a , b y c Suma Multiplicación Propiedad conmutativa a + b = b + a ab = ba Propiedad asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(be) Propiedad del idéntico (aditivo o multiplicativo) identidad a + 0 = 0 + a = a ÍO se denomina elem ento V idéntico aditivo. ) a •1 = 1 = a í 1 se denomina elemento idéntico multiplicativo. ) Propiedad del inverso (aditivo o multiplicativo) a + (-a) = (-a) + a = 0 ( - a se denomina inverso V aditivo u opuesto de a. ) 1 1 . a-— = —•a = 1 a a í ¡a se denomina inverso m ulti- plicativo o recíproco de a, a *■O.y Propiedad distributiva (de la multiplicación sobre la suma) a(b + c) =ab + ac E J E M P L O 2 0 S o lu c ió n Observe q u e la propiedad conm utativa implica un cambio en el orden, y la p ro piedad asociativa un cam bio en la agrupación. La propiedad distributiva se aplica cuando hay más d e dos núm eros dentro de los paréntesis. a(b + c + d + ■ ■■+ n ) = ab + ac + a d + ■•■+ an E sta form a am pliada de la propiedad distributiva con frecuencia se denom ina propie dad distributiva extendida. Sin em bargo, cuando usemos la propiedad distributiva ex tendida, sólo nos referirem os a ella com o propiedad distributiva. Señale el nom bre d e cada una d e las propiedades q u e se ilustran. a) 1 ■m = m - 1 b) (a + 4 ) + 2b = a + (4 + 2b) c) 4s + 5t = 5t + 4s d) 2 v (w + 3 ) = 2 v w + 2 v 3 a) Propiedad conm utativa d e la multiplicación: cambio d e orden: 7 •m = m • 7. b) Propiedad asociativa de la sum a: cambio en la agrupación: (a + 4 ) + 2b = a + (4 + 2b) c) Propiedad conm utativa d e la suma: cambio d e orden: 4s + 5t = 5t + 4s d) Propiedad distributiva: 2 v (w + 3 ) = 2 v 'W + 2v •3 #
- 53. Sección 1.3 •P ro p ie da de s de los n ú m e ro s reales y o p e ra cion e s c o n ellos • 2 5 AHORARESUELVAELEJERCICIO119 E JE M P L O 21 Solución E J E M P L O 22 En el ejem plo 20 d ), la expresión 2 v w + 2 v 3 puede sim plificarse a 2vw + 6v gracias a las propiedades d e los núm eros reales. ¿Puede explicar p o r qué? Señale el nom bre d e cada una d e las propiedades q u e se ilustran, a) 4 - 1 = 4 b) * + 0 = .* c) 4 + ( - 4 ) = 0 d) 1 {x + y ) = x + y a) Propiedad del idéntico multiplicativo. b ) Propiedad del idéntico aditivo. c) Propiedad del inverso aditivo. d) Elem ento neutro d e la multiplicación o elem ento idéntico. # Escriba el inverso aditivo (u opuesto) y el inverso multiplicativo (o recíproco) de: 2 a) - 3 b) Solución a) E l inverso aditivo es 3. E l inverso multiplicativo es - 3 2 1 3 b) E l inverso aditivo es - —.E l inverso multiplicativo es — = —. j z z C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1 .3 Ejercicios conceptuales L ¿Qué son los inversos aditivos u opuestos? 2. Proporcione unejemplode la propiedaddeldoble negativo. Determine el o los números desconocidos. Explique cómo determinó 5. Todos losnúmeros a tales que |a| = |-a | 6. Todoslosnúmeros a tales que |a| = a 7. Todoslosnúmeros a tales que |a| = 5 8. Todoslosnúmeros a tales que |a| = - a 9. Todoslosnúmeros a tales que a = - 3 10. Todos los números x tales que x - 3 = 3 - x 1L Explique con sus propias palabras cómo sumardos núme ros con signos iguales. 12. Explique con sus propias palabras cómo sumardos núme ros con signos diferentes. 13. Explique con sus propias palabras cómo restar números reales. 14. Explique con sus propias palabras en qué se parecen las reglas para la multiplicación y la división de números reales. 3. ¿El valor absoluto de cualquier número real es un núme ro positivo? Explique. 4. Dé la definiciónde valor absoluto. su respuesta. 15. Liste otras dos maneras en que puede escribirse la a fracción - b 16. a) Escriba la propiedad asociativa de la multiplicación, b) Explique esta propiedad con sus propias palabras. 17. a) Escriba la propiedad conmutativa de la suma. b) Explique esta propiedad con sus propias palabras. 18. a) Escriba la propiedad distributiva de la multiplicación robre la suma. b) Explique esta propiedad con sus propias palabras. 19. Por medio de un ejemplo, explique por qué la suma no es distributiva sobre la multiplicación. Es decir, explique por quéa + (b ‘C) * (a + b ) ‘ (a + c). 20. Roporcione un ejemplo de la propiedad distributiva ex tendida.
- 54. Problemas de aplicación 26 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos Determine el valor absoluto de cada expresión. 2L |5| 22. |- 4 | 25. - 29. —|— 7| 26. |— 9.34| 30. - I - ttI 23. |-7 | 27. |0| 3L - Escriba < , > ,o = en el áreasombreada para que cada afirmación sea verdadera. 33. |- 7 | ■ |7| 37. | tt m - 3 4L - ( - 3 ) ■ - |- 3 | 34. |— 4| ■ p | 38. —|—1| ■ -1 42. |—( — 4)| ■ - 4 35. |-5 | ■ - 5 39. |- 7 | ■ -|3 | 43. |19| ■ |-2 5 | 24 |1.3| 28. -Ill 31 - 36. |-1 0 | ■ -5 40. -|9 | ■ - |l l | 44 - | - l | ■ | - 6| Liste los valores de menor a mayor. 45. - 1 , -2 , |— 3|, 4, — 15| S¿ 47. -3 2 , |-7 |, 15, —14|, 4 49. -2.1, - 2 , -2.4, |-2 .8 |, — 12.9| 46. ir, - ir ,|- 3 |, —|— 3|, — 2, |— 2| 48. - 8, -1 2 , —19|, — 120|, — |—18| 50. -6.1, |-6.3|, - |- 6 .5 |,6.8, |6.4| 1 5L 3 7 , - 2, 52. Realice las siguientes operaciones de suma y resta. 53. 7 + ( - 6) 54. - 2 + 5 57. - 9 - (-5 ) 64. —|7.3l| - (-3.28) + 4.76 67. |5 - 12| - |3| 70. |— 4| - |— 4| - 1-4 - 4| 58. -2.18 - 3.14 62* _ 1 “ 16 55. - 1 1 + 1 0 59. -1 4 .2 1 -(-1 3 .2 2 ) 56. -1 2 - (-4 ) 65. 8.9 - |8.5| - |17.6| 68. |12 - 5| - |5 - 121 ~(h b 63. 9 - (-2.31) + (-4.39) 66. |9 - 4| - 6 - 69. —|— 3| - |7| + (6 + |-2 |) 72* 5^ ” Realice las siguientes operaciones de multiplicación y división. 73. -5 * 7 7 4 ( — 9 )(— 3) £ 77. ( 1)( 2)( 1)(2)( 3) 78. (-2 .1 )(-7 .8 )(-9 .1 ) 8L -5 5 - (-1 1 ) 85. ( - | ) + | - 8| Dé el resultado de las siguientes operaciones. 89. 10 - 14 90. -1 2 - 15 7 5 . 7 6 . - 4( - | ) ( - i ) 79. (-1.1)(3.4)(8.3)(-7 .6 ) 80. -1 6 + 8 82. -4 * H ) 83. 5 . - " 9 9 84. 1 N J | t-* • -3 4 86. 3 8 + ( - 2) 87. -5 6 4 . - 1 2 88. 9 ' 1 -5| 9 14 +(-¿) 95. (-3.2)(4.9)(-2.73) - <-!)(-!) 96. (4 .2 )(-l)(-9 .6 )(3 .8 ) 91. -5 6 + 7 94 (1.32 - 2.76) - (-3 .8 5 + 428) 97. -16.4 - (-9 .6 ) - 14.8
- 55. S e cción 1.3 • P ro p ie da de s d e los n ú m e ro s reales y o p e ra cion e s c o n ellos • 2 7 - 1 - 1 2 3 ( - 2 - 1 ) 99. — 18| • 2 100. - 5 • 4 104. 101. -9 - 4 9 107. (25 - |3 2 |)(-6 - 5) 103. 5 - |- 7 | + 3 - |-2 | 106. ( | - 4 | - 3 ) - (3 -|-5 |) 108. ( - 2) Señale el nombre de cada una de laspropiedades ilustradas. e x 109. c + d = d + c 110. 5(v + w ) = 5 v + 5 w 111. b - 0 = 0 112. c ' d = d ' c 113. (x + 3) + 6 = x + (3 + 6) 114 x + 0 = x 115. X = l ‘ X 116. + M II a + x z 117. 5 ( x y ) = (5x ) y 118. ( 2 x - 3 y ) - 4 y = 2 x - ( 3 y 4 y ) 119. 4 { x + y + 2) == 4 x + 4 y + 8 120. - ( - 1 ) = 1 121. 5 + 0 = 5 122. 4 » 123. 3 + ( -3 ) = 0 124. 6 -0 = 0 125. , 2 = 1 X 126. + ll H- + y) 127. - ( - x ) = X 128. O II H 1 + K Liste el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para cada problema. 129. 6 130. -1 1 131. - y 132. Resolución de problemas____________ 133. El documental Gold Durante la producción del filme do cumental Gold,e1equipo experimentó drásticos cambios en la temperatura. En un mina de oro de Sudáfrica, 5 ki lómetros bajo la superficie de la tierra, la temperatura era de 60°C. En una montaña próxima a Cuzco, Perú, la tem peratura era de 4°C Determine la diferencia de las tem peraturas entre estos dos escenarios de la filmación. Fuente: Sitio web de la empresa televisiva History Chan- nel. 134. Cambio de temperatura El cambio de temperatura más raro.de acuerdo con el libro de récords mundiales Guinness, ocurrió entre las 7:30 a.m. y las 7:32 a.m. del 22 de ene ro de 1943, en Spearfish, Dakota del Sur. Durante estos dos minutos, la temperatura cambió de - 20°C a 7°C. Determine el aumento de la temperatura que se dio en esos dos minutos. 135. Inmersión submarina Un submarino se sumerge 109.4 metros. Poco después, sube 642 metros. Determine la pro fundidad en que se encuentra el submarino al final, res pecto de su punto inicial. (Considere la distancia hacia abajo como un valor negativo). 136. Cuenta de cheques Sara Castro tenía un saldo de -$32.64 en su cuenta de cheques; después depositó en ella $99.38. ¿Cuál es su nuevo saldo?
- 56. 2 8 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos 137. Contrato editorial Roberto Martínez firmó un contrato con una compañíaeditorial,en el cual se estipulaba que és ta le pagaría un adelanto de $60,000 sobre la venta de su libro Grandes puentes del mundo. Cuando la obra se pu blique y comience a venderse, la editorial deducirá auto máticamente ese adelanto de las regalías del autor. a) Seis meses después de la publicación del libro, las re galías del autor sumaban un total de $47,600 antes de que el adelanto fuese deducido. Determine cuánto di nero recibirá el autor o, en su caso, cuánto le deberá a la editorial. b) Después de un año, las regalías suman $87,500. Deter mine cuánto dinero recibiráel autoro,en su caso,cuán to le deberá a la editorial. 138. Temperaturas extremas La temperatura más baja regis trada en Estados Unidos fue de -62°C, y tuvo lugar el 23 de enero de 1971 en Prospect Creek, Alaska. La tempera tura más baja entre todos los demás estados de la federa ción (excepto Alaska y Hawai) fiiede -56.5°C,y tuvo lugar el 20 de enero de 1954en Rogers Pass, Montana. Determi ne la diferencia entre estas temperaturas. 139. Impuestos estimados En 2002,Juana Beltrán realizó cua tro pagos trimestrales, de $3,000 cada uno, sobre los im puestos estimados. Cuando llenó los formularios de impuestossobre los ingresosdel año2002,se percatóde que su impuesto total era de $10,125. a) ¿Juana tendrá derecho a un reembolso o tendrá que pagar más impuestos? Explique. b) ¿Cuánto recibirá de reembolso o cuánto tendrá que pagar en impuestos? Bansacciones bursátiles El 21 de septiembre de 2001, Tomás García compró 100 acciones de Home Depot en $30.30 cada una. El 8 de septiembre de 2002, vendió las 100 acciones a un precio de $51.10 cada una. ¿Cuál fue la ganancia o pérdida total de Tomás en esta transacción? Redacte su propio problema realista que implique la res ta de un número positivo de un número negativo. Indique la respuesta. V 142. Redactesu propio problema realistaque implique la resta de un número negativo de un número negativo. Indique la respuesta. 143. Balanza de pagos La gráfica muestra la balanza de pa gos en 2000 entre el gobierno federal estadounidense y tos 50 estados confederados. En algunos estados había un gran superávit, ya que el gobierno federal gastó bas tante más en ellos de lo que recaudó en impuestos. Por otra parte, ciertos estados tenían un gran déficit, ya que pagaron mucho más en impuestos de lo que obtuvieron del gobierno federal. 140. 14L Vea el ejercicio 143 Balanza de pagos estadounidense en 2000 V Fuente:C entro T aubm an para G cfciem os E statales y M unicipales, Universidad d e Harvard. DSuperávit por persona: el dinero que el gobierno federal gastó en el estado es una cantidad superior a los impuestos que éste pagó ■ Déficit por persona: el dinero que el gobierno federal gastó en el estado es una cantidad menor a los impuestos que éste pagó
- 57. Sección 1.4 •O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 2 9 Determine la diferencia en la balanza depagos per cápita entre los siguientes estados. a) NM y CT b) OK y MI c) VA y NJ d) TX y CA 144 Pequeñas empresas La cámara de comercio de Guadala- jara, en México, estudió el éxito y fracaso de nuevas pe queñas empresas (con menos de cinco empleados) en su ciudad. Al hacerlo, determinaron los gastos promedio en que incurrieron el primer año y los ingresos promedio que obtuvieron en el mismo periodo, como se muestra en la gráfica de barras a la derecha. Calcule la utilidad prome dio que lograron durante el primer año, restando los gas tos promedio del primer año del ingreso promedio del mismo periodo. Reto Gastos ($1,000) Ingreso ($ 1,000) 40 30 20 10 -28 10 20 30 40 50 60 145. Realice esta operación: 1 - 2 + 3 - 4 + -- - + 9 9 ~ 100. (Sugerencia: Agrupe los números en parejas.) 146. Realice esta operación: 1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + 7 + 8 - 9 + 1 0 + 1 1 - 12 + ••• + 22 + 23 - 24. (Sugerencia: Exa mine grupos de tres números.) (1) • |— 2| •( — 3) •|4| •( — 5) 147. Realice esta operación: -— ¡------------ ¡— ¡--------¡— -. 148. Realice esta operación: ( l)( - 2 )( 3 ) (- 4 )( 5 ) -( 9 7 )( - 9 g ) ( 1)(2)( 3)(4)( 5) - (— 97)(98) * Ejercicios de repaso acumulativo [1.2] 149. Responda verdadero o falso:Todos los números ra cionales son números reales. 150. Liste el conjunto de los números naturales. 151. Considere el conjunto {3, 4, -2 , V 3 , o}. Liste los elementos que son a) números enteros, b) números racionales, c) números irracionales, d) números reales. 152. A = {4,7,9,12}; B = {1, 4, 7,15}. Determine a) i4 U 8 , b) A D B . 153. Ilustre {x| - 4 < x ^ 6} en una recta numérica. I 1 .4 O R D E N D E L A S O P E R A C IO N E S a t 1 Calcular expresiones exponenciales. 2 Calcular raíces cuadradas y raíces de orden superior. 3 Calcular expresiones por m edio del orden de las operaciones. 4. Calcular expresiones que contengan variables. 5 Calcular expresiones con una calculadora graficadora. A ntes d e estudiar el orden d e las operaciones, es necesario q u e hablem os brevem en te acerca d e los exponentes y las raíces. Analizarem os m ás a fondo los exponentes en las secciones 1.5 y 7.2. 1 C a lc u la r e x p re s io n e s e x p o n e n c ia le s E n un problem a d e m ultiplicación, los núm eros o expresiones q u e se m ultiplican reciben el nom bre d e factores. Si a-b = c,entonces a y b son factores d e c. Por ejemplo, com o 2 - 3 = 6 , entonces 2 y 3 son factores d e 6. E l núm ero 1 es un factor d e todo núm ero y expresión. ¿Puede explicar p o r qué?
- 58. 3 0 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos E J E M P L O 1 Solución SUGERENCIA CO NSEJO PARA ESTUDIAR E J E M P L O 2 Solución E JE M P L O 3 Solución La cantidad 32se denom ina expresión exponencial.En ella, al 3 se le llam a base y al 2 se llam a exponente. L a expresión 32 se lee “tres al cuadrado” o “tres a la segun d a potencia”. O bserve que 32 = 3 ‘3 . 2 factores d e 3 L a expresión 53 se lee “cinco al cubo” o “cinco a la tercera potencia”. O bserve que 53 = 5 - 5 - 5 3 factores d e 5 E n general, la base b a la n -é s im a p o ten cia se escribe bn. P ara cualquier núm ero n atural n bn = b - b - b - b b n factores d e b O bserve q u e 0o es indefinido. Realice estas operaciones: a) (0.5)3 b ) ( —3 )5 c) l25 d) a) (0.5)3 = (0.5)(0.5)(0.5) = 0.125 b) ( - 3 )5 = ( —3 ) ( — 3 ) ( —3 ) ( — 3 ) ( —3) = -2 4 3 c) l25 = 1; el resultado d e 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1. ¿Por qué? Sea cuidadoso cuando escriba o copie exponentes. Como los exponentes son pequeños es muy fácil escribir o copiar uno y más tarde no reconocer lo que ha escrito. Algunos exponentes que se pueden confundir con facilidad si no se escriben claramente, son 1 y 7,2 y 3,3 y 5,4 y 9,5 y 6,5 y 8. No es necesario escribir el exponente 1. Siempre q u e encuentre un valor num é rico o una variable sin exponente, suponga q u e éste es 1. Así, 3 significa 3l, x significa x ¿ y significa y - x y significa - x ly Muchas veces los estudiantes evalúan de m anera incorrecta las expresiones que incluyen -A ^.L a expresión - x 2 significa - (.x2), no { - x ) 2. O bserve q u e - 5 2 significa - ( 5 2) = -(5 -5 ) = -2 5 , m ientras q u e ( - 5 )2significa ( —5)( - 5 ) = 25. E n general, - x m significa - (xm), no ( - x ) m. La expresión - x 2se lee negativo de x alcuadrado o d opues to de x2. La expresión (- x ) 2se lee el cuadrado del negativo de x. C alcule - x 2p ara cada valor d e x. a) 3 b ) - 3 a ) - * 2 = —(3 )2 = - 9 b) - * 2 = - ( — 3 )2 = - ( 9 ) = - 9 # C alcule - 5 2 + ( - 5 )2 - 43 + ( - 4 ) 3. Prim ero evaluam os cada expresión exponencial. Luego sum am os o restamos, trabajan do d e izquierda a derecha.
- 59. Sección 1.4 •O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 3 1 - 5 2 + ( - 5 ) 2 - 4 3 + ( - 4 ) 3 = AHORARESUELVAEL EJERCICIO 50 -(5 2) + (— 5)2 - (43) + ( - 4)3 -25 + 25 - 64 + (-6 4 ) - 2 5 + 25 - 64 - 64 -1 2 8 — C ó m o utilizar su ca lcu la d o ra Cálculo de expresiones exponenciales con una calculadora científica y co n una calculadora graficadora Tanto en las calculadoras científicas com o en las graficadoras la tecla V | puede usarse p ara elevar un nú mero al cuadrado. A continuación se m uestra la secuencia d e teclas q u e se deben oprim ir para calcular 52 en cada caso. Calculadora científica Calculadora graficadora: r 25 E N T E R r 25 resultado mostrado resultado mostrado Para calcular expresiones exponenciales con otros exponentes, puede utilizar las teclas y x o 0 . Casi to das las calculadoras científicas tienen una tecla ¿ J * , m ientras q u e las calculadoras graficadoras utilizan la tecla P ~ l- P ara calcular expresiones exponenciales con estas teclas, prim ero introduzca la base, luego presione la te- cla y x 1o , y después introduzca el exponente. Por ejem plo, p ara calcular 64procedem os com o sigue: --------------resultado mostrado Calculadora científica Calculadora gráfica: 6 E 4E 1 2 ^ 6 0 4 resultado mostrado E N T E R 1296 •Algunas calculadoras tienen las teclas X y o a en lugarde la tecla y x . 2 C a lc u la r ra íc e s c u a d ra d a s y ra íc e s d e o rd e n s u p e rio r El símbolo q u e se usa para indicar una raíz, V ~ , se denom ina signo radical. El número o expresión q u e está dentro del signo radical se llam a radicando. E n V25, el radican do es 25. L a raíz cuadrada principal o positiva de un número positivo a,escrita V a , es el núm ero positivo que, al m ultiplicarse p o r sí mismo, d a p o r resultado a. Por ejem plo, la raíz cuadrada principal d e 4 es 2, es decir, V i = 2 , y a q u e 2*2 = 4. E n general, V a = b , si b 'b = a. Siem pre q u e usemos la expresión raíz cuadrada, estarem os ha ciendo referencia a la “raíz cuadrada principal”. E J E M P L O 4 Calcule a) V25 b) ^ c) V 0.64 d) - V 4 9 S o lu c ió n a) V25 = 5, ya q u e 5*5 = 25 9 3 3 3 9
- 60. 3 2 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos E J E M P L O 5 Solución E J E M P L O 6 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO25 C) V 0 6 4 = 0.8, y a q u e (0.8)(0.8) = 0.64 d) - V 49 significa - ( V 4 9 ). D eterm inam os q u e V 4 9 = 7, ya q u e 7 * 7 = 49. Por lo tanto, - V 4 9 = - 7 . # La raíz cuadrada d e 4, V 4 , es un núm ero racional, ya q u e es igual a 2 . Las raí ces cuadradas d e otros números, com o V 2 , V 3 , y V 5 , son núm eros irracionales. Los valores decim ales d e los núm eros irracionales nunca pueden determ inarse con exac titud,ya q u e son núm eros decim ales q u e no term inan ni se repiten. El valor aproxim a do d e V 2 y d e otros núm eros irracionales p u ed e determ inarse con ayuda d e una calculadora. V 5 1.414213562 Obtenido con una calculadora. En esta sección hablarem os d e las raíces cuadradas, de las raíces cúbicas, sim bo lizadas p o r V ~; y d e las raíces d e orden superior. E l núm ero utilizado p ara indicar la raíz se denom ina índice. índice signo radical '"Sé ,— v a ♦ — radicando E l índice d e una raíz cuadrada es 2. Sin em bargo, en las raíces cuadradas generalm en te no se escribe el índice. Por lo tanto,V a = Va. El concepto usado p ara explicar raíces cuadradas puede am pliarse p ara explicar tam bién raíces cúbicas y raíces d e orden superior. L a raíz cúbica d e un núm ero ase es cribe ‘V a. Va = b si b ' b - b = a 3 facto res d e b Por ejem plo, V S = 2, ya q u e 2 • 2 • 2 = 8. L a expresión V a se lee “la raíz n -ésim a d e a ”. V a = b si b - b ' b b = a n factores d e b Calcule: a) V f2 5 b) V S Í c) V t t a) V m = 5, ya q u e 5 - 5 - 5 = 125 b) V $ T = 3, y a q u e 3 - 3 - 3 - 3 = 81 c) V t t = 2 , y a q u e 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 # Calcule: a) b) c) - V s a) ^ = l ’ yaqUe( í ) ( Í ) ( j ) = Í b) V - 8 = - 2 , ya q u e ( - 2) ( - 2 ) ( - 2 ) = - 8 c) - V S significa - ( V S ) . D eterm inam os q u e V E = 2, ya q u e 2 - 2 - 2 = 8. Por lo tanto, - V E = - 2 . # Observe que en el ejem plo 6 c), la raíz cúbica d e un número negativo es negativa. ¿Por q u é sucede esto? A nalizarem os los radicales con más detalle en el capítulo 7.
- 61. Sección 1.4 •O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 3 3 — C ó m o utilizar su ca lcu la d o ra Cálculo de raíces co n una calculadora científica Para determ inar las raíces cuadradas con una calculadora,se em plea la tecla correspondiente, [ V * [ . Para calcular V 25 en las calculadoras q u e tienen esta tecla, presione i resu lta d o m o strad o 25 V * 5 Las raíces d e o rd en superior p u ed en determ inarse en calculadoras q u e tien en la tecla V y Para calcular ^ 6 2 5 en una calculadora con la tecla V y , haga lo siguiente: i resu lta d o m o strad o o la tecla 625 Observe q u e el número que está dentro del signo radical (el radicando),625,se introduce prim ero, luego se presiona la tecla ' ^ y y despuésse introduce la raíz (o índice),4. Cuando se presiona la tecla [ ^ ] aparece la respuesta: 5. Para calcular ^625 en una calculadora con la tecla | y x ^utilice la tecla “inverso” com o sigue: j resu lta d o m o strad o 625 ' IN V 0 4 0 5 •L a s tecjas p u e d e n v ariar e n c a d a c alcu la d o ra . A lg u n as tie n e n las teclas L i li o e n lugar d e la te c la [ ¿ J y o tra s tie n e n u n a tecla o i sh ifl I e n lu g a r d e la tecla 1N V . Cóm o utilizar su ca lcu la d o ra g ra fica d o ra Cálculo de raíces con una calculadora graficadora Para determ inar la raíz cuadrada en una calculadora graficadora, use V - . Por lo general, el sím bolo V - aparece arriba d e la tecla | x 2 , así q u e usted tendrá q u e presionar la tecla 121 *11p ara calcular raíces cuadradas. Por ejem plo, p ara calcular V 5 5 presione [2a ] [ x* 25 1E N T E R 5 < ----- resultado mostrado O tando presiona [2nd] | x 2 , la calculadora Texas Instrum ents T I-8 3 Plus genera V - (. Luego usted inserta el ra dicando y presiona E N T E R . para aprender a calcular raíces cúbicas y d e orden superior, consulte el m anual de su calculadora graficadora. C on la T I-8 3 Plus, puede usar la tecla varias opciones, incluyendo la 4 y la 5, q u e se m uestran a continuación. 4: V ~( 5 M A TH . O tando la presione obtendrá La opción 4 puede usarse p ara calcular raíces cúbicas, y la opción 5 p ara determ inar raíces d e orden superior, co mo se m uestra en los siguientes ejemplos. E J E M P L O Solución Calcule: ^ 1 2 0 . M A TH 4 120 s e le c c io n é in tro d u zca la o p c ió n 4 e l rad ican d o E N T E R l---------- 4.932424149 resu lta d o m o strad o (continúa en la página siguiente)
- 62. 3 4 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos Para determ inar una raízcon un índice m ayor q u e 3,prim ero introduzca el índice, luego presione la tecla y después la opción 5. M A TH E J E M P L O Calcule: ^ 6 2 5 . S o lu c ió n índice / M A TH 5 625 * > — — sele c c io n e 7 in tro d u zca la o p c ió n e l rad ican d o E N T E R resu lta d o m o strad o Cuando estudiem os los exponentes racionales en la sección 7.2, m ostrarem os o tra form a d e determ inar raí ces e n una calculadora graficadora. AHOR A RESUELVA EL EJERCICIO 37 3 C a lc u la r e x p re s io n e s p o r m e d io d el o rd e n d e las o p e ra c io n e s M uchas veces usted tendrá q u e calcular expresiones q u e contienen varias operaciones. Para hacerlo, siga el orden de las operaciones que se indica a continuación. O rd e n d e las o p e ra c io n e s Para calcular expresiones matemáticas, utilice este orden: 1. Primero calcule las expresiones que están dentro de símbolos de agrupación, in cluyendo los paréntesis ( ), los corchetes [ ],y las llaves { }. Si la expresión con tiene símbolos de agrupación anidados (una par de símbolos de agrupación dentro de otro), calcule primero las expresiones que están dentro de los símbolos de agrupación más internos. 2. Después calcule todos los términos que tengan exponentes y raíces. 3. A continuación realice todas las multiplicaciones y divisiones, en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a derecha. 4 Pbr último, realice todas las sumas y restas en el orden en que aparezcan, traba jando de izquierda a derecha. Es necesario aclarar q u e la barra de fracción actúa com o un símbolo d e agrupación. Por lo tanto, cuando se calculan expresiones q u e contienen una barra d e fracción, se tra baja d e form a separada arriba y abajo de la misma. Los corchetes se usan con frecuencia en lugar d e paréntesis p ara evitar confusio nes. Por ejem plo, la expresión 7((5 • 3 ) + 6 ) es más fácil d e seguir cuando se escribe 7[(5 • 3) + 6]. R ecuerde calcular prim ero el grupo más interno. E J E M P L O 7 C alcule8 + 3 • 52 - 7. Solución U sarem os un som breado p ara indicar el orden en el q u e se realizan las operaciones. Com o en esta expresión no hay paréntesis, prim ero calculam os 52. 8 + 3 - 5 2 - 7 = 8 + 3 - S 2 - 7 D espués realizam os las multiplicaciones y divisiones d e izquierda a derecha. = 8 + 75-7 Por últim o, realizam os las sum as y restas d e izquierda a derecha. = 8 3 - 7 = 76 #
- 63. Sección 1.4 •O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 3 5 E J E M P L O 8 Calcule: 10 + {6 - [4(5 - 2)]}2. S o l u c i ó n Prim ero, trabaje con la expresión q u e está dentro d e los paréntesis más internos. C on tinúe d e acuerdo con el orden d e las operaciones. 10 + {6 - [4(5 - 2)]}2 = 10 + {6 - [4(3)]}2 = 10 + [6 - (12)]2 = 10 + (-6 )2 = 10 + 36 AHOR A RESUELVA EL EJER CICIO 7 7 = 46 # E J E M P L O 9 Calcule: 1 + ^ ^ S o l UCÍÓn R ecuerde q u e la barra d e fracción actúa com o un sím bolo d e agrupación. T rabaje de m anera separada las operaciones q u e están arriba y abajo d e la barra d e fracción. 6 + + 5|7 —3| 6 f | + 5|4| l + ( 3 - 5 ) + 2 ” l + (-2 ) + 2 12 + 20 " 1 + ( - 1 ) = — 0 Com o la división entre cero no es posible, la expresión original no está definida. # 4- E v a lu a r e x p re s io n e s q u e c o n te n g a n v a ria b le s Para evaluar expresiones m atem áticas usamos el orden d e las operaciones q u e acaba d e explicar. E l ejem plo 10 es un problem a d e aplicación en el q u e lo hacemos. E J E M P L O 1 O R em edios alternativos La frustración q u e en ocasiones provoca la m edicina con vencional ha llevado a m uchos estadounidenses a intentar rem edios alternativos, tales com o vitam inas, hierbas y o tro s com plem entos disponibles sin la prescripción del doctor. Las ventas aproxim adas d e tales com plem entos entre 1995 y 2002, en miles de m illones d e dólares, puede calcularse p o r medio d e la ecuación ventas = -0.063a :2 + 1.62a : + 9.5 en donde x representa los años desde 1995. E n la expresión q u e está a la derecha del signo de igualdad, sustituya x por 1 p ara calcular las ventas d e com plem entos en 1996, x p o r 2 p ara estim ar las ventas d e com plem entos en 1997, y así sucesivamente. Calcule las ventas d e com plem entos durante a) 1996 y b) 2000. S o l u c i ó n a ) Sustituirem os x por 1 p ara estim ar las ventas d e com plem entos en 1996. ventas = -0.063.*2 + 1.62a: + 9.5 = -0.063(1)2 + 1.62(1) + 9.5 = -0.063 + 1.62 + 9.5 = 11.057 Por lo tanto, en 1996 se vendieron com plem entos con un valor d e alrededor d e $11.057 miles d e millones en Estados Unidos.
- 64. 3 6 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos b) E l año 2000 es el número 5 del periodo; p ara com probarlo podem os restar 1995 de 2000. Por lo tanto,p ara calcular las ventas d e com plem entos en 2000,sustituim os x por 5 en la ecuación. ventas = -0 .0 6 3 a:2 + 1.62* + 9.5 = -0 .0 6 3 (5 )2 + 1.62(5) + 9.5 = -0 .0 6 3 (2 5 ) + 8.1 + 9.5 = 16.025 E l resultado es razonable: con base en la inform ación dada, era previsible un aum en to. E n 2000, se vendieron com plem entos con un valor d e alrededor d e $16.025 miles de AHORARESUELVAELEJERCICI0115 millones en Estados Unidos. # E J E M P L O 11 Calcule: - * 3 - x y - y 2cuando * = - 2 y y = 5. Solución Sustituya -c a d a x por - 2 y cada y por 5 en la expresión. Después haga las operaciones. - x 3 - * y - f = - ( - 2 ) 3 - ( - 2 ) ( 5 ) - (5 )2 = - ( - 8 ) - ( - 1 0 ) - 2 5 = 8 + 1 0 - 2 5 AHORARESUELVAELEJERCICIO101 = “ 7 # 5 E v a lu a r e x p re s io n e s c o n u n a c a lc u la d o ra g ra fic a d o ra g A lo largo d e este libro, el m aterial q u e hace referencia al uso d e las calculadoras gra neadoras (o gráficas) con frecuencia reforzará los conceptos presentados. Por lo tan to, incluso si usted no tien e o no utiliza una calculadora graficadora, deb e leer el m aterial relativo siem pre q u e aparezca. Tal vez descubra q u e realm ente le ayuda a com prender los conceptos. Parte d e esta inform ación se presentará dentro del cuerpo del texto, y o tra m ediante los recuadros Cómo utilizar su calculadora graficadora, co mo el d e la página 33. La inform ación presentada en este libro no pretende reem plazar la q u e contie ne el m anual d e su calculadora graficadora. D ebido a las lim itaciones d e espacio en es te libro, el m anual d e su calculadora graficadora puede proporcionarle inform ación m ás detallada acerca d e algunas d e las tareas q u e analizarem os, adem ás d e m ostrarle muchos otros usos d e su calculadora. L a secuencia d e teclas que se deb e utilizar varía d e calculadora a calculadora. Cuando ilustrem os secuencias d e teclas y pantallas, se rán tom ando com o modelo la calculadora Texas Instrum ents T I-8 3 Plus. Sugerimos que lea cuidadosamente el m anual que viene con su calculadora graficadora para determ i nar la secuencia de teclas que debe em plear para realizar tareas específicas. Muchas calculadoras graficadoras pueden alm acenar una expresión (o ecuación) y luego realizar los cálculos p ara diferentes valores de la variable o variables, sin necesi dad d e reintroducir la expresión cada vez. Esto es muy valioso en cursos d e m atem áticas y d e ciencias. Por ejem plo, cuando hagam os graficación en el capítulo 3, necesitare mos realizar cálculos para varios valores d e la variable de una expresión. E n la figura 1.9 se m uestra la pantalla d e una calculadora graficadora T I-8 3 Plus con la expresión x 2 + 2 x - 4, a partir d e la cual se realizan cálculos p ara x = 6 y x = -2 .3 . E n la pantalla d e esta calculadora, 6 -> X m uestra q u e asignam os el valor 6 a X. L a expresión en q u e se basa el cálculo, (2 /3 )X2 + 2X - 4, se m uestra después d e los dos puntos. E l 32 q u e aparece a la derecha d e la pantalla (o ventana),es el valor d e la expresión cuando X = 6. E n la siguiente línea, al lado izquierdo d e la pantalla, vem os -2 .3 -> X, q u e m uestra q u e un valor d e -2 .3 se ha asignado a X. Vemos q u e el valor d e la expresión es -5.073333333 cuando X = -2 .3 . D espués q u e se ha introducido la expresión a calcular no es necesario volver a hacerlo para realizar cálculos con un valor 6+X:(2/3)X2+2X-4 32 ■2.3+X:<2/3)X2+2 X-4 -5.073333333 F IG U R A 1.9
- 65. Sección 1.4 •O rd e n de las o p e ra cio n e s • 3 7 E N T E R , aparecerá diferente d e la variable. L ea el m anual d e su calculadora graficadora p ara aprender cómo realizar cálculos con una expresión p ara diferentes valores d e la variable sin tener q u e reintroducirla cada vez. E n la T I- 8 3 Plus, después de calcular una expresión p ara un valor d e la variable,puede presionar | 2 nd 11 E N T E R | para desplegar el valor asig nado previam ente y la expresión a calcular. D espués puede reem plazar el valor q u e fue asignado a X con el nuevo valor. Luego d e hacerlo y presionar la nueva respuesta. La pantalla d e la calculadora q u e se m uestra en la figura 1.9 ilustra dos puntos im portantes respecto d e las calculadoras graficadoras. L O bserve los paréntesis alrededor d e 2/3. Algunas calculadoras graficadoras inter pretan 2/Z3*2 com o 2/(3*2). Para calcular §*2 en ellas, deb e usar paréntesis alre d ed o r d e 2/3. E s necesario q u e aprenda cóm o trab aja su calculadora con expresiones tales com o 2/3X2. Siempre que tenga duda, utilice paréntesis para pre venir posibles errores. 2. E n la pantalla observará q u e el signo negativo q u e precede a 2.3 es ligeram ente m enor y está m ás arriba q u e el signo d e resta q u e antecede al núm ero 4 en la expresión. Por lo regular, las calculadoras graficadoras tienen una tecla d e signo ne gativo, ( ~ ) , y o tra p ara el signo d e sustracción, D eb e estar seguro de utilizar la tecla correcta u ob ten d rá un resultado erróneo. L a tecla del signo nega tivo se usa p ara introducir un número negativo. L a tecla d e sustracción se em plea p ara restar una cantidad d e o tra. Para introducir la expresión - x - 4 en una calculadora gráfica, podría presionar E JE M P L O 12 3+X:0.71X2+2.16X +145.39 158.26 8+X:0.71X2+2.16X +145.39 208.11 F IG U R A 1.10 Solución H l | x , T , 0 , n | P 1 4 T signo negativo T resta R ecuerde q u e - x - 4 significa - l x - 4. Al iniciar con [ ( ~ ) [ usted introduce el coe ficiente - 1 . D iferentes calculadoras usan teclas distintas p ara introducir la variable x. La tecla que se muestra después del signo negativo, es la q u e se utiliza en la calculadora T I-8 3 Plus. Precio prom edio de venta de viviendas Tasas bajas d e interés, facilidad p ara obtener créditos y una fuerte dem anda d e la clase m edia mantuvieron bajo control el precio p ro m edio d e venta d e las viviendas en Estados U nidos en tre 1992 y 2001. E l precio p ro medio d e una casa,en miles d e dólares,durante ese periodo puede estim arse m ediante esta ecuación: precio prom edio d e venta = 0.71*2 + 2.16* + 145.39 en donde * representa los años desde 1992. E n la expresión q u e está a la derecha del signo igual, sustituya * por 1 p ara calcular el precio prom edio d e venta d e una casa en 1993,* por 2 para calcular el precio prom edio d e venta en 1994, y así sucesivamente. Si cuenta con ella, utilice una calculadora graficadora para calcular el precio prom edio d e venta d e una casa en a) 1995 y b) 2000. Fuente: Asociación Nacional d e C orredo res d e Bienes Raíces (de Estados Unidos). a) Al año 1995 le corresponde el valor * = 3, d e m odo q u e com ience p o r asignar a* un valor d e 3; luego introduzca la expresión y presione | E N T E R ]. E n la figura 1.10 se m uestra la pantalla de una calculadora T I -8 3 Plus con el cálculo p ara expresión cuando el valor es * = 3. Com o puede ver, el precio prom edio d e venta d e una casa en 1995 fue de aproxim adam ente 158.26 miles d e dólares, es decir, $158,260.
- 66. 3 8 •C apítulo 1 • C o n c e p to s básicos b) Como 2000 - 1992 = 8, al año 2000 le corresponde el valor x = 8. A signe prim ero a x un valor d e 8 ; después vuelva a introducir la expresión y presione E N T E R Com o puede ver en la figura 1.10,el precio prom edio d e venta d e una casa en 2000 fue d e aproxim adam ente 208.11 miles d e dólares, es decir, $208,110. # SU G ERENCIA Siem pre revise la pantalla d e su calculadora p ara asegurarse d e q u e no presionó alguna tecla p o r error ni om itió algún dato. O bserve q u e no es necesario introdu cir el 0 antes del punto decim al en térm inos com o - O J lx 2. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1.4 Ejercicios conceptuales h C b n s id e re la e x p r e s ió n an y re s p o n d a : a) ¿ C ó m o s e d e n o m in a a e n e s ta e x p re s ió n ? b) ¿ C ó m o s e d e n o m in a ni 2 . ¿ C u á l e s e l s ig n ific a d o d e a ” ? 3 . C b n s id e re la e x p r e s ió n ra d ic a l /a . a) ¿ C ó m o s e d e n o m in a n e n e s ta e x p re s ió n ? b) ¿ C ó m o s e d e n o m in a a? 4 . S i = b, ¿ q u é sig n ific a ? 5 . ¿ C u á l e s la ra íz c u a d r a d a p rin c ip a l d e u n n ú m e ro p o sitiv o ? 6 . E x p liq u e p o r q u é V ^ 4 n o p u e d e s e r u n n ú m e ro re a l. 7 . E x p liq u e p o r q u é u n a ra íz im p a r d e u n n ú m e ro n e g a tiv o s e r á n e g a tiv a . 8 . E x p liq u e p o r q u é u n a ra íz im p a r d e u n n ú m e ro p o sitiv o s e rá p o s itiv a . 9. Explique con sus propias palabras el orden de las opera- dones que se debe seguir cuando se evalúa una expresión matemática. 10. a) Explique con sus propias palabras y paso a paso cómo calcularía la siguiente expresión 5 - 18 -s- 32 4 - 3-2 b) Realice los cálculos y dé el resultado de la expresión anterior. 11. a) Explique con sus propias palabras y paso a paso cómo calcularía 16 -s- 22 + 6 •4 - 24 h- 6. b) Realice los cálculos y dé el resultado de la expresión anterior. 12. a) Explique con sus propias palabras y paso a paso cómo calcularía {5 - [4 - (3 - 8)]}2. b) Realice los cálculos y dé el resultado de la expresión anterior. Problemas de aplicación Resuelva cada expresión sin utilizar una calculadora. 13. 32 14. ( - 4 ) 3 15. - 3 2 16. 17. ( -3 )2 - ( I T » • - ( ! T 20. 2L - ( - ! ) ’ 22. V I44 23. -V 3 6 24. 25. 3/-216 *■ V 343 27. ^0.001 28. — 43 (0.3)2 V ^64 T Utilice una calculadorapara resolver cada expresión. Redondee las respuestas al milésimo más cercano. 29. (0.35)4 30. -(1 .7 )3-9 31. 32. 33. (6.721)5.9 34. V92 35. ^ 5 36. - < / ñ J 15
- 67. Calcule a) x2yb) - x 2para cada valor dado de x 4L 3 42. 4 43. 1 44. -2 45. -1 46. - 5 & 47. | 48. - | Calcule a) x*y b) -x 3para cada valor dado de x. 49. 3 50. - 5 51. - 3 5Z -1 Sección 1.4 • O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 3 9 Calcule cada expresión. 57. 32 + 23 - 22 - 33 58. ( -1 )2 + ( - 1 ) 3 - l4 + l5 £ 59. - 2 2 - 23 + l10 + ( - 2 ) 3 60. ( - 3 ) 3 - 22- ( - 2 ) 2+ (4 - 4)2 6L (1.5)2 - (3.9)2 + (-2 .1 )3 61 (3.7)2 - (0.8)2 + (2.4)3 “ g H -B J +íf Calcule cada expresión. 65. 2 + 5-8 66. (2 - 7 ) + 5 + 1 67. 1 8 - 6 + 6 + 5 68. 4*3 -s- 6 - 2 2 69. 3 — — 4 i - 2 + 2 + 4 2 70. 3 -4 - 1 2 + | 7L 1 . 2 . 3 _ 1 / 1 2 3 4 6 V 3 / 72. 3[4 + (-2 )(8 )] + 33 73. 10 + [(3 + 22) - (24 - 8)] 74 [3 - (4 - 23)2]2 75. 5 (^ T ¡ + ^ 1 6 ) : V J°° 76. {3 + [42 - 3(2 - 7)] - 3 )2 77. {[(12 - 15) - 3] - 2}2 78. 3{6 - [ ( 2 5 + 5) - 2]}3 79. 4(5(13 - 3) + (25 + 5)2]2 80. 15 + 3 + 2 -2 ^ 81. 4 - (2 + 3)2 - 6 2 (— 3) + 4 -5 - 32 V 25 + 5 + 8 + 2 4(3 - 2) 32 824 - 6 + V5(22 - 1) 83. 8 + 4 r 2 - 3 + 4 84. - i + 4 8 - [4 - (3 - l ) 2] 52 - 32•2 - 7 z 5 - ( -3 )2 + 4 + 2 86. 12 - 15 -i- |5| - (|4| - 2)2 87. "2 - 3 | - V 36 + |2| + 32 4 - |— 12| + |3| 2 ( 4 - |5 |) + 9 89. 6 - |-4 | - 4|6 - 3| 90. - i [ 8 - |-6 | + 3 - 4]2 5 - 6*2 -i- |-6 | 91. |[ > f é 7 - |- 9 | + 4 - 3 2]2 3(5 - o? 2)2 2(32 - 42) ^ - 3 4 - (-2 ) 93. 24 - 5 - 42 4 - ( - 3 ) 2 + 4| - 2 - 8 + 4 ! -18| [(8 - 3)2 - 4]2 |-8 | + 4 - 2 ( 3 ) 32 - 4*3 + |--7| 94 |8| - VB4 ' 22 + 16 Calcule cada expresión para el valor o valores dados. 95. 5*2 + 3* cuando x = 2 96. 5*2 - 2x + 5 cuando x = 3 97. -9 * 2 + 3* - 29 cuandox = - 1 98. 3(* - 2)2cuando* = j 99. 16(* + 4)3 - 25(* + 4) cuando* = - 3 100. -6 * + 3 / cuando * = 2, y = 4 101. 6*2 + 3y3 - 5 cuando * = 1, y = - 3 102. 4*2 - 3y - 5 cuando * = 4, y = - 2
- 68. 4 0 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos S 103. 3(a + b)2 + 4(a + b) - 6 cuando a = 4, b = -1 105. - 6 - {* - [2* - (x - 3)]} cuando* = 4 - b + V b 2 - 4ac 107. 2a cuando a = 6 ,b = -11, c = 3 104. - 3 - [2x ~ [5* - (2* + 1)]} cuando* = 3 (* - 3f (y + 5)2 106. ---- + ------77---- cuando * = 4, y = 3 108. 9 16 - b - Vfr2 ~ 4ac 2a cuando a = 2, b = 1, c = -1 0 Resolución de problemas En los ejercicios 109 a 113, escriba una expresión algebraicapara cada problema* Luego calcule la expresiónpara el valor dado de la variable o variables. 109. Multiplique la variable y por 7. Del producto que obtenga reste 14.Ahora divida esta diferencia entre 2. Determine el valor de esta expresión cuando y = 6. 110. Reste 4 de z .Multiplique esta diferencia por 5. Ahora ele ve al cuadrado el producto. Determine el valor de esta ex presión cuando z = 10. í ~ 111. Sesuma 6 al producto de 3 y *. Esta expresiónse multiplica después por 6. Luego se resta 9 del producto. Determine el valor de la expresión cuando * = 3. 0 Utilice una calculadorapara responder los ejercicios 114 a 121. 114. Centenarios A las personas que viven 100 años o más se lesconoce como centenarios. De acuerdo con la Oficina de Cénsos de Estados Unidos, los centenarios conforman el grupo de edad que crece más rápido en el mundo. El nú mero aproximado de centenarios que viven o vivirán en Estados Unidos entre los años 1995 y 2050,en miles, pue de estimarse mediante la ecuación número de centenarios = 0.30*2 - 3.69* + 92.04 en donde * representa los años desde 1995. Sustituya * por 1 para determinar el número de centenarios que había en 1996,* por 2 para encontrarel número de centenarios que había en 1997,y así sucesivamente. a) Estime el número de centenarios que vivían en Estados Unidos en 2000. b) Estime el número de centenarios que vivirán en Esta dos Unidos en 2050. Fuente:Oficina de Censos de Estados Unidos. 115. Transportepúblico El aumento en el precio de la gasolina y el creciente problema de congestionamientos de tránsito en lasprincipales ciudades de Estados Unidos han provoca- cb queel transporte público se utilicecada vez más Para cal cular el número aproximado de viajesen transporte público realizadoscada añoentre 1992y 2001 en Estados Unidos,en milesde millones, puede calcularse usando la ecuación número de viajes = 0.065*2 - 0.39* + 8.47 en donde * representa los años desde 1992.Sustituya * por 1 para calcular el número de viajes realizados en 1993, * par 2 para calcular el número de viajes hechos en 1994,y asísucesivamente. a) Calcule el número de viajes realizados en transporte público en 2000. b) Suponga que la tendencia de aumento continúa. Calcu le el número de viajes que se realizarán en 2010. Fuente: Asociación Estadounidense de Transporte Público. 112. La suma de * y y se multiplica por 2. Después se resta 5 de este producto. Luego, esta expresiónse eleva al cuadrado. Determine el valor de la expresión cuando * = 2 y y = -3. 113. Se suma 3 a *. El resultado se divide entre el doble de y. Luego, el cociente resultante se eleva al cuadrado. Por úl timo,se resta 3 de esta expresión. Determine el valor de la expresión cuando * = 5 y y = 2. 116. Dióxido de carbono Desde 1905, la cantidad de dióxido de carbono (C 02) presente en la atmósfera terrestre ha ido aumentando. La producción total de C 02de todos los países, excepto Estados Unidos, Canadá y las naciones de Europa Occidental (medida en millones de toneladas mé tricas) puede calcularse mediante la ecuación C02 = 0.073*2 - 0.39* + 0.55 endonde * representa cada periodo de 10 años desde 1905. Sustituya * por 1 para calcular la producción de C 0 2en 1915,* por 2 para calcular la producción de C 0 2en 1925, * por 3 para calcularla en 1935,etcétera. a) Determine la cantidad aproximada de CO?producida por todos los países (excepto Estados Unidos, Canadá y las naciones de Europa Occidental), en 1945. b) Suponga que esta tendencia de aumento continúa; de termine la cantidad aproximada de C 0 2producida por todos los pafces (excepto Estados Unidos, Canadá y las naciones de Europa Occidental) a i 2005. Véase el ejercicio 115
- 69. Sección 1.4 •O rd e n d e las o p e ra cio n e s • 4 1 bu 117. Niños auíosuficientes El número de niños autosuficien- tes, es decir, niños que se cuidan solos mientras sus padres trabajan, aumenta en relación directa con la edad. El por centaje de niños de edades diferentes, de 5 a 14 años,que son autosuficientes puede calcularse mediante la ecuación porcentaje de niños = 0.23*2 - 1.98* + 4.42. El valor de x representa la edad de los niños. Por ejemplo, sustituya x por 5 para obtener el porcentaje de todos los niños autosuficientes de 5 años;sustituya x por 6 para ob tener el porcentaje de todos los niños autosuficientes de 6 años, etcétera. a) Determine el porcentaje de todos los niños autosufi- cientes de 10 años. b) Determine el porcentaje de todos los niños autosufi cientes de 14 años. 118. Lectoresdeperiódicos El número de estadounidenses que acostumbran leer periódicos va constantemente a la baja. El porcentaje de lectores de periódicos puede calcularse mediante la ecuación porcentaje = - 6.2* + 82.2 en donde * representa cada periodo de 10 años desde 1960. Sustituya * por 1para obtenerel porcentaje para 1970;pa ra 1980sustituya * por 2;sustituya * por 3 para obtener el porcentaje para 1990,etcétera. a) Determine el porcentaje de estadounidenses adultos que leían periódicos en 1970. b) Suponiendo que esta tendencia a la baja continúe, de termine el porcentaje de estadounidenses adultos que leerán periódicos en 2010. 119. Cultivos orgánicos El aumento del temor que provoca el uso de pesticidas y la manipulación genética de las co sechas, ha ocasionado que las personas tiendan cada vez más acomprar alimentos cultivados de manera orgánica. Ejercicios de repaso acumulativo [1.2] 122. A = [a, b, c, d,f , B = Determine a) A H B, b) A U B. [1.3] En los ejercicios123 a 125, la letra a representa un número real. ¿Paraqué valores de a será verdaderacada afirmación? 123. U = |-fl| Entre 1990 y 2001, las ventas,en miles de millones de dó lares, de alimentos cultivados de manera orgánica puede calcularse por medio de la ecuación ventas = 0 .062*2 + 0.020* + 1.18 en donde * representa los años desde 1990.Sustituya * por 1para calcular las ventas de alimentos cultivados de ma nera orgánica en 1991, sustituya * por 2 para estimar las ventas en 1992,y asísucesivamente. a) Calcule las ventas de este tipo de alimentos en 1991. b) Calcule las ventas de este tipo de alimentos en 2001. 120. Afiliación asindicatos El número de trabajadores sindica- izados ha estadocambiando en Estados Unidos. Entre 1983 y2001, la afiliación, considerada como un porcentaje de la fueiza laboral total,puede calcularse usando la ecuación porcentaje de trabajadores sindicalizados = 0.016*2 - 0.62* + 19.69 en donde * representa los años desde 1983.Sustituya * por 1 para calcular el número de trabajadores sindicalizados como un porcentaje de la fuerza laboral total en 1984, * por 2 para estimar el porcentaje en 1985,etcétera. a) Calcule el número de trabajadores sindicalizados como un porcentaje de la fuerza laboral total en 1991. b) Calcule el número de trabajadores sindicalizados co mo un porcentaje de la fuerza laboral total en 2001. Fuente: Oficina de Estadísticas Laborales de Estados Unidos. 121. Teléfonoscelulares El uso de teléfonos celulares está au mentando en la actualidad. El número de usuarios de ce lulares,en millones, puede calcularse mediante la ecuación número de usuarios = 0.42*2 - 3.44* + 5.80 en donde * representa los añosdesde 1982.Sustituya* por 1 para obtener el número de usuarios en 1983,* por2 para ob tener el número de usuarios en 1984,y asísucesivamente. a) Determine el número de usuarios de teléfonos celula res en 1989. b) Determine el número de usuarios de teléfonos celula res en 2002. 124 |a| = a 125. a = 4 126. Liste de menor a mayor: —16|, -4 , |-5 |, - |- 2 |,0 . 127. Señale el nombre de esta propiedad: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5).
- 70. 4 2 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos 1 .5 E X P O N E N T E S A f 1 Usar la regla del producto para exponentes. 2 Usar la regla del cociente para exponentes. 3 Usar la regla del exponente negativo. 4 Usar la regla del exponente cero. 5 Usar la regla para elevar una potencia a una potencia. 6 Usar la regla para elevar un producto a una potencia. 7 Usar la regla para elevar un cociente a una potencia. E n la sección anterior hablamos d e los exponentes. E n ésta estudiarem os sus reglas. Co m enzarem os p o r la regla del producto p ara exponentes. 1 U s a r la re g la d el p ro d u c to p a ra e x p o n e n te s C onsidere la multiplicación x3•x5. Podem os sim plificar esta expresión com o sigue: X 3•X 5=(X 'X •X )•( X •X 'x•X 'x )=X 8 E ste problem a tam bién podría simplificarse m ediante la regla del producto para ex ponentes.* R e g la d e l p ro d u c to p a ra e x p o n e n te s Si m y n son números naturales y a es cualquier número real, entonces am‘an =am+n Para multiplicar expresiones exponenciales, mantenga la base com ún y sum e los exponentes. x 3 -x 5= *3+5 = *8 E J E M P L O 1 S o lu c ió n Simplifique, a) 23■2 4 b) d 2 • d 5 c ) h • h 6 a) 23 -2 4 = 23+4 = 2 7 = 128 b) d 2 -d 5 = d 2+s = d 1 c) h - h 6 = h l - h 6 = h l + e = h 1 # 2 U s a r la re g la d el c o c ie n te p a r a e x p o n e n te s C onsidere la división x1 -s- x4. Podem os sim plificar esta expresión com o sigue: x1 ¡t •<*• X • x •x •x , x4 " - f x - x - x 1 1 1 1 E ste problem a tam bién podría sim plificarse p o r medio d e la regla del cociente para ex ponentes. R e g la d e l c o c ie n te p a ra e x p o n e n te s Si a es cualquier número real diferente de cero y m y n son enteros diferentes de cero, entonces *Las re g la s q u e se p re sen ta n e n e s ta secció n ta m b ié n se ap lican p a ra ex p o n en tes racio n ales o fracciona rios. L os ex p o n en tes racionales se e stu d ia rá n e n la secck5n7.2. E n ese m om ento, rep asarem o s estas re g la s
- 71. Sección 1.5 •E x p o n e n te s • 4 -3 Paradividirexpresionesen forma exponencial, mantenga labasecomún y restelos exponentes. E J E M P L O 2 Simplifique, a) - j b) — c) 5 52 b) * 2 c) y S o l u c i ó n a) = 54~2 = 52 = 25 b) = x3' 2 = x3 c) = y 2~s = y-3 5 a:2 y 5 # 3 U s a r la re g la d el e x p o n e n te n e g a tiv o E n el ejem plo 2 c), observe q u e la respuesta contiene un exponente negativo. Volva mos a resolver la p arte c), cancelando los factores comunes. , i » / _ i - # _ i y¡ f - f - y - y - y y3 Al cancelar los factores com unes y usar el resultado del ejem plo 2 c),podem os razonar q u e y ~3 = 1/y3. É ste es un ejem plo d e la regla del exponente negativo. R e g la d e l e x p o n e n te n e g a tiv o Para cualquier número real, a, diferente de cero y cualquier número entero no ne gativo, m, Una expresión elevada a un exponente negativo es igual a 1 dividido entre la ex presión con el signo del exponente cambiado. E J E M P L O 3 Escriba cada expresión sin exponentes negativos, a) 5~2 b) la~4 c) p j S o l u c i ó n a) 5~2 = j-2 = ¿ b) l a 4 = 7 ~ 4 c ) i = H c , = u i = U = c4 AHORARESüaVA ELEJERCICIO37 C-4 c4 1 1 SUGERENCIA En el ejemplo 3 c) mostramos que p j = c4. En general, para cualquier número real diferente de cero, a, y cualquier entero no negativo, m, = am. Cuando un factor del numerador o del denominador se eleva a cualquier potencia, el factor puede mover se al otro lado de la fracción, siempre y cuando se cambie el signo del exponente. Así, por ejemplo 7a-3 b2 2 a3# a 2 bA „ - 3 ¿ V _2
- 72. 4 4 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos ft>r lo general, en las expresiones exponenciales no se conservan los exponentes negativos. Cuando indicam os que una expresión exponencialse simplificará, queremos decir que la respuesta debe escribirse sin exponentes negativos. E J E M P L O 4 Simplifique, a) ^ b) 4W c) - 3 * * V * 3 r7 2 Solución a) — r = 3 * y V 1 27 x 1 c) - - y f y - ’ = - ( 3 a)* * - AHORARESUELVAELEJERCICIO61 c» - 3 ^ = - ( 3 V p = - V O bserve q u e las expresiones del ejem plo 4 no incluyen sum as ni restas. L a p re sencia d e un signo d e sum a o d e resta las convierte en problem as muy diferentes, co mo verem os en el siguiente ejemplo. E J E M P L O 5 Simplifique, a) 3"1 + 6_1 b) 2 •3"2 + 5 ■6~2 Solución a) 3_I + 6_1 = — + — Regla del exponente negativo. 3 o 2 1 = — + — Reeecrlba con el denominador común mínimo 6. o o 2 + 1 3 1 6 " 6 " 2 b) 2 •3-2 + 5 * 6 -2 = 2 •- r + 5 •— ~ Regla del exponente negativo. 3 6 _ 2 1 S m J _ “ 1 * 9 + 1*36 2 5 9 + 36 8 5 = — —+ — Reeectiba con el denominador común mínimo 30. AHORARESUELVAELEJERCICIO75 36 36 8 + 5 = 13 36 36 # 4 U s a r la re g la d el e x p o n e n te c e ro L a siguiente regla q u e estudiarem os es la regla del exponente cero. Cualquier núm e ro distinto d e cero dividido en tre sí mismo es igual a 1. Por lo tanto, * 5 A plicando la regla del cociente para los exponentes, 1
- 73. Sección 1.5 •E x p o n e n te s • 4 5 Como x° = y = 1» aplicando la propiedad transitiva d e la igualdad, x 5 x 5 *° = 1 R e g la d e l e x p o n e n te c e ro Si a es cualquier núm ero real distinto d e cero, entonces a° = 1 La regla del exponente cero ilustra q u e cualquier núm ero real distinto de cero con un exponente 0 es igual a 1. D ebem os especificar q u e a * 0, ya q u e 0o no está d e finido. E J E M P L O 6 Simplifique (suponga q u e la base no e s 0). a) 200° b ) 7 / c) - y ° d) ~ ( l x + 9y )° Solución a) 200°= 1 b) 7 y ° = 7 - y ° = 7 - 1 = 7 c) - y ° = - 1 - y ° = - 1 - 1 = - 1 d) — ( 7 x + 9y ) ° = -1 •( I x + 9y ) ° = -1 •1 = - 1 # 5 U s a r la re g la p a r a e le v a r u n a p o te n c ia a u n a p o te n c ia C onsidere la expresión (x3)2. Podem os simplificar esa expresión com o sigue: (x3)2 = x 3 -x 3 = x3+3 = x6 E ste problem a tam bién podría sim plificarse p o r m edio d e la regla p ara elevar una po tencia a una potencia (tam bién llam ada regla de la potencia). E le v a r u n a p o te n c ia a u n a p o te n c ia (re g la d e la p o te n c ia ) Si a es un núm ero real y m y n son enteros, entonces (am)n = amn Para elevar una expresión exponencial a una potencia, mantenga la base y m ulti plique los exponentes. (*3)2 = *3-2 = ^6 Simplifique (suponga q u e la base no es 0). a) (22)4 b) (z-3)4 c) (2“3)2 a) (2 2)4 = 22« = 28 = 256 b) (z- y = *-»■. = = L c ) (2-3)’ = 2 - = r < = 4 = - L E J E M P L O 7 Solución AHOR A RESUELVA EL EJER CICIO 81
- 74. 4 -6 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos SU G ERENCIA Muchas veces los estudiantes confunden la regla delproducto. am-an = am + H con la regla de la potencia (am)n = amn Pór ejemplo, (x3)2 = x6, no x5. 6 U s a r la re g la p a r a e le v a r u n p ro d u c to a u n a p o te n c ia C onsidere la expresión (x y )2. Podem os sim plificar esta expresión com o sigue: (x y )2 = { x y )(x y ) = X ' X ' y y = x 2y 2 E sta expresión tam bién podría simplificarse usando la regla p ara elevar un producto a una potencia. E le v a r u n p ro d u c to a u n a p o te n c ia Si a y b son números reales y m es un entero, entonces (ab)m = ambm Para elevar un producto a una potencia, eleve todos los factores dentro d elparén tesis a la potencia indicada fuera de los paréntesis. E J E M P L O 8 Simplifique: a) (-4 * 3) b) (3x~2y 3) -2..3X-3 Solución a) (-4*3 )2= (-4)2 (/ )2= 16/ b) ( 3 * - y r 3 = 3 - V T V r 3 = — . v* . V-9 33 * y 1 1 = -------. Y6-•----- 27 V9 Eleve un producto a una potencia. Regla del exponente negativo, regla de la potencia. Regla del exponente negativo. AHORARESUELVAELEJERCICIO93 2 7 / 7 U s a r la re g la p a r a e le va r u n c o c ie n te a u n a p o te n c ia C onsidere la expresión ) . Podem os simplificar esta expresión com o sigue: X 2 X X X ' X x 2 y y y my / E sta expresión tam bién podría sim plificarse p o r m edio d e la regla p ara elevar un co ciente a una potencia.
- 75. Sección 1.5 •E x p o n e n te s • 4 7 E J E M P L O 9 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO99 E JE M P L O 10 Solución E levar un co cien te a u n a p o ten cia Si a y b son números reales y m es un entero, entonces (! )'= £ ■ **• Para elevar un cociente a una potencia, eleve todos los factores en elparéntesis al exponente indicado fuera de los paréntesis. 2 V / 4x~2^~2 Simplifique: a) [ I b) . ^ 2V 23 8 x 2) (x 2) 1 x6 4x -2Y 2 _ 4 2(x~2y 2 ( ñ 4 - V a> b) I 3- I — 2 Eeve un cociente a una potencia. y ) ( r ) *y * y 16 Regla de la potencia. Regla del exponente negativo. Cbnsidere ( .Aplicando la regla para elevar un cociente a una potencia, obtenem os a y = cT_ = bP_ = ( b n b ) b~n d 1 a ) A partir d e este resultado, vemos q u e cuando tenem os un núm ero racional elevado a un exponente negativo, podem os tom ar el recíproco d e la base y cam biar el signo del exponente com o sigue: (§r=(i)' w - ( i í A continuación trabajarem os algunos ejem plos q u e com binan varias propieda des. Siem pre q u e la misma variable aparece arriba y abajo d e la barra d e fracción, por lo general movemos la variable con el exponente menor. Esto d ará com o resultado que el exponente d e la variable sea positivo cuando se aplique la regla del producto. Los ejem plos 10 y 11 ilustran este procedim iento. 6 * y y ( 3 * v V 3 Simplifique, a) 1 ^ 1 « * > 1 ^ = 1 M uchas veces las expresiones exponenciales pueden sim plificarse d e varias maneras. E n general, será más fácil sim plificar prim ero la expresión q u e está dentro d e los p a réntesis. *> (S?)’■ ■ 9j,‘
- 76. 4 8 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos AHORA RESUELVA EL E JE R C IC I0 109 E J E M P L O 11 Solución AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 115 ^ I y | ( x •x Muevax ,y 2. y z- 1 al otro ladode la barrade fraccióny 6 x y 3 z ~ 1 / 2 ? - y 2 ) cambie loe6lgnosde sus exponentos. Regla delproducto. x h V V . l í . x 2 V '3 *3'V 83^ x V 3 Tomeelrecíprocode laexpresión que está dentrode los x ZJ paréntesisy cambie el 6lgnodel exponente. Eleve un cociente a unapotencia. Simplifique ( 2 p ~ y y 2 ( p ~ v r 3 ' Prim ero utilice la regla de la potencia. Luego siga simplificando. ( 2 p - V ) - 2 2 V V 8 ( p - y r 3 p ‘V Reglade lapotencia. q~*-qn | 5 Mueva 2~2,p6,y q '2al otro ladode la barrade fraccióny cambie P P loe signosde 6 U 6 exponente6. Regladelproducto. q s + n J p ¡5=6 4 p 9 # R e s u m e n d e re g la s d e lo s e x p o n e n te s Para todos los números reales a y b y todos los enteros m y n: Regla del producto am•an = am+n Regla del cociente a * 0 Regla del exponente negativo a * 0 Regla del exponente cero Elevar una potencia a una potencia Elevar un producto a una potencia a° = 1, (am)n = amH (ab)m = ambm a * 0 Elevar un cociente a una potencia ( a m am b ) bm' b * 0
- 77. Sección 1.5 •E x p o n e n te s • 4 9 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1.5 Ejercicios conceptuales 1. a) Mencione la regla del producto para exponentes, b) Explique la regla del producto. 2. a) Mencione la regla del cociente para exponentes, b) Explique la regla del cociente. 3. a) Mencione la regla del exponente cero, b) Explique la regla del exponente cero. 4. a) Mencione la regla del exponente negativo, b) Explique la regla del exponente negativo. 5. a) Mencione la regla para elevar un producto a una po tencia. b) Explique la reglapara elevar un producto a una potencia. 6. a) Mencione la regla para elevar una potencia a una potencia. b) Expliquela regla paraelevar una potencia a una potencia. 7. a) Mencione la regla para elevar un cociente a una potencia. b) Explique la regla para elevar uncociente a una potencia. 8. Si no aparece exponente alguno en una variable o coefi ciente, ¿cuál es su exponente? 9. Si x_1 = 5, ¿cuáles el valor de *? Explique. 10. Six~* = y2, ¿cuál es el valor de *? Explique. 11. a) Explique la diferencia entre el opuesto de * y el recí proco de x. Para las partes b) y c) considere x, 1_ ,-i ’ _ » x x b) ¿Cuál representa (oes igual a) el recíproco de *? c) ¿Cuál representa el opuesto (o inverso aditivo) de*? 1 12. Explique por qué - 2 “ * (~ 2 ): Problemas de aplicación Resuelva cada expresión. 13. 23-22 14. 32*33 15. 37 35 16. 74 73 17. 6~2 18. 4-3 19. 1 2-3 20. 1 3“2 2L 13° 22. 17° 23. (23)2 24 (32)2 25. (2 - 3)2 26. (3*5)2 27. (IT 28. (IT Resuelva cada expresión. 29. a) 3~2 b) (~ 3 )-2 c) - 3 -2 d) 30. a) 5“3 b) (-5 ) - 3 c) -5 " 3 d) 3L a) ( f ) ‘ b) er C) -er d) -(-ir - ■ »er b) Í-IT C) -er d) -(-r
- 78. 5 0 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos. Suponga que todas las bases representadas por medio variables son diferentes de cero. 33. a) 5*° b) -5 x° 0 (-5 * )° d) -(-5 * )° 34 a) 3 / b) (3y)° c) - 3 / d) (-3 y )° 35. a) 3xyz° b) (3xyz)° c) 3x(yz)° d) 3 ( W 36. a) *° + y° b) (* + y)° c) x + / d) *° + .y Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos. 37. 5y~3 38- A 5 / * 2a 4L V 3 44 ^ a 4S. 46 l0a¿5 47 6" ^ ' 48 5" Z 2c-3 * • x - y 1 Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos. 49. 25-2"6 50. a3-a4 5L *6 *-2 S I x-* ‘x 3 65 53. 63 42 33- ^ m~s 57. — w 5 a 59. 5,° ; to 7 61. 3a~2-4a* 62. (-7 « * )(-3 tT 5) 63. (-3 p -2) ( V ) 6 4 (2x~3y~Á)(6x~A y 1) 65. (5r2s-2) ( — 2r5s2) 66. (-3 p -496)(2p39) “ 67. (2 * y )(4 * 3^ ) 7Ax3y 2 68. — ----- Sxy 69 9 x Y 70. W -2 * V T t 9? Í 3 - 3 x yz ( * '2)(4*2) ^ x3 Resuelva cada expresión. 73. a) 3(a + b)° b) 3a° + 3b° c) (3a + 3¿>)° d) - 3 a° + 3b° 74 a) - 2 o + (-2 )° b) - 2 o - (-2 )° c) - 2 o + 2o d) _2° _ 2o 75. a) 4-1 - 3-1 b) 4_1 + 3 '1 c) 2 •4-1 + 3 •5_1 d) (2 -4 )- + (3 -5 )- 76. a) 5“2 + 4_1 b) 5~2 - 4 -' c) 3 •5-2 + 2 •4_1 d) (3-5)-2 - (2 -4 )-' Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos. 77. (32)2 78. (52) '1 79. (32)”2 80. (x2) '3 8L (¿T3)"2 82. ( - c ) ‘ 83. ( - c y 84 ( -x ) - 2 85. (-3x~3)2 86. -3 (* -3)2 87. 5-1 + 2_1 88. 4~2 + 8 '1
- 79. Sección 1.5 •E x p o n e n te s • 5 1 89. 3 •4-2 + 5 •8_1 90. 5*2“3 + 7*4- 9 h I — (? )■ 92. ( - 2 m V )3 - 93. ( 4 x V 2)2 94. (4x2y3)-3 95. (3p V ) ' 3 96. (7s -Y 4)2 97. 98. s ix Y Y »• ( f )' 100. m 101. m 102. (3 » fn * V 6 m 4n7) - m r 104 m r 105. m 106. f f l - m 108. m 109. m i 110. m r ^ m r 11Z (6 x ^ z ‘Y 2xy-tz-2) 113. ( - a 3b~[c-3Y 114. (2 x -y r3 m 0 * - V ) 3 116. (2x / z 3f { latfc-* ) (3x~'y3 )2 (2xVf (3x-'yer' R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s Sim plifique cada expresión. Suponga que todas las variables representan enteros distintos de cero. 117. x ^ - x 5* * 3 118. y 2 m * 3 ,y 5 m - 7 119. itp - s - w * - 2 120. . ¿ ¡,-t « 12L x2w+3 x“ ' 4 122. y5m-l y 7 m -l 123. (x3' +5)(x2' - 3) 124 125. x-m ( x ^ 2 ) 126. y3b+ 2 . y2 b +4 25rrf*bnb~a 5 n f~ bna+b 128. 2Qx‘+y+4 4xc- y 6 129. a) ¿Para qué valores de x es x4> x3? b) ¿Para qué valores de x es x4< x3? c) ¿Para qué valores de x es X4 = x3? d) ¿ft>r qué no se puede decir que x4> a3? 130. ¿3"®es mayor o menor que 2~8? Explique. N 131. a) Explique por qué (-1 )" = 1 para cualquier número par n. b) Explique por qué ( - l ) n = -1 para cualquier número impar n. 132. a) Explique por qué el resultado de (-12) es positivo, b) Explique por qué el resultado de (-12) ”7es negativo. b) ¿(x) “2será igual a ( -x )-2 P31" 3 todos los números rea les x, excepto 0? Explique su respuesta. 134. a) es igual a ? b) ¿(x) “3será igual a ( -x )-3 P31" 3 cualquier número real x distinto de cero? Explique. c) ¿Cuál es la relación entre ( -x )~ 3y (x)~3 para cual quier número real* distinto de cero? Determine qué exponentes deben colocarse en el áreasombreada para que cada afirmación sea verdadera. Cada una de las áreas sombreadas puede representar un exponente diferente. Explique cómo determinó su respuesta. m . 136. x - y z y z12 x4y"z- 3 x18y6 137.
- 80. Reto 5 2 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos En la sección 7.2 aprenderá que las reglas de los exponentes que acabamos de presentar, también se aplican cuando los exponentes son números racionales. Con base en esta información y en las reglas délos exponentes, resuelva cada expresión. ( * 4Y b ) 139. b J x w y - w / , v y V *5^5/3 142. UV'V Actividad en equipo_____________ Analice y responda en equipo el ejercicio 143. 143. Centavos que crecen El día 1 se le da un centavo. Cada m o de los días que siguen se le dará el doble de la canti dad que se le entregó el día anterior. a) Escriba lascantidades que le darían en cada uno de los primeros 6 días. b) Señale cada uno de estos números como una expresión exponencial con una base de 2. c) Buscando un patrón, determine una expresión expo nencial para el número de centavos que recibirá el día 10. Ejercicios de repaso acumulativo d) Escriba una expresión exponencial general para el nú mero de centavos que recibirá el día n. e) Escriba una expresión exponencial para el número de centavos que recibirá el día 30. f) Calcule el valor de la expresión en la parte e). Si tiene calculadora, utilícela. g) Determine la cantidad, en pesos, que obtuvo como re sultado en la parte f). h) Escriba una expresión exponencial general para el nú mero de pesos que recibirá en el día n. [1.2] 144. Si A ={3, 4, 6} y B = {1, 2, 5, 8}, determine [1.4] 146. Calcule: 6 + |l2| -r |- 3 | - 4 -2 2. a M U B y h M n * . 147.Evalúale '3/-T2S. 145. Ilustre el siguiente conjunto en la recta numérica: {*1-3 < * < 2}. 1 .6 N O T A C I Ó N C IE N T IF IC A f l ¡Sé 1 Escribir núm eros en notación científica. 2 Cam biar núm eros en notación científica a form a decimal. 3 Usar notación científica en la resolución de problemas. 1 E s c rib ir n ú m e ro s e n n o ta c ió n cien tífica C on m ucha frecuencia, los científicos e ingenieros tienen q u e trabajar con núm eros muy grandes y muy pequeños. Por ejem plo, la frecuencia d e la señal d e un radio FM puede ser d e 14,200,000,000 hertz (o ciclos p o r segundo), y el diám etro d e un átom o d e hidrógeno es de alrededor d e 0.0000000001 metros. D ebido a la dificultad q u e im plica trabajar con m uchos ceros, a m enudo los científicos expresan tales núm eros con exponentes. Por ejem plo, el núm ero 14,200,000,000 podría escribirse com o 1.42 X 1010 y 0.0000000001 com o 1 X 10~10. Esta representación abreviada se conoce com o notación científica. E n notación científica, los núm eros aparecen com o un número m ayor o igual a 1 y m enor q u e 10, m ultiplicado p o r alguna potencia d e 10. E l exponente d e 10 d e be ser un entero. C uando una potencia d e 10 no tiene coeficiente num érico, com o
- 81. Sección 1.6 •N otación científica • 5 3 El diámetro de esta galaxia es de alrededor de El diámetro de estos virus (las figuras semejantes a hongos 1 X 1021 metros. que se desprenden de la superficie) es de casi 1 X 10"7metros. en 105, suponem os q u e el coeficiente num érico es 1. A sí, 105significa 1 x 105,y 10“4 significa 1 X 10~4. E je m p lo s d e n ú m e r o s e n n o ta c ió n c ie n tífic a 3.2 X 106 4.176 X 103 2.64 X 10"2 El siguiente ejem plo m uestra el número 32,400,expresado en notación científica. 32,400 = 3.24 X 10,000 = 3.24 X 104 (10,000 = 104) E n 10,000 hay cuatro ceros, el mismo núm ero q u e indica el exponente en 104. E l p ro cedim iento para escribir un núm ero en notación científica es: P a ra e s c rib ir u n n ú m e ro e n n o ta c ió n científica 1. Mueva el punto decimal del número hasta la derecha del primer dígito distinto de cero. Esto da por resultado un número mayor o igual a 1 y menor que 10. 2. Cuente el número de lugares que movió el punto decimal en el paso 1. Si el número original es 10o mayor,el exponente será positivo. Si el número original es menor que 1, el exponente será negativo. 3. Multiplique el número que obtuvo en el paso 1 por 10 elevado a la cuenta (poten cia) que determinó en el paso 2. E J E M P L O 1 Escriba los núm eros siguientes en notación científica. a) 68,900 b) 0.000572 c) 0.0074 S o l u c i ó n a) E n 68,900, el punto decim al está a la derecha del último cero. 68,900. = 6.89 X 104 AHOR A RESUELVA EL EJER CICIO 11 El punto decim al se m ueve cuatro lugares. Com o el núm ero original es m ayor q u e 10, el exponente es positivo. b ) 0.000572 = 5.72 X 10~4 E l punto decim al se m ueve cuatro lugares. Com o el núm ero original es m enor q u e 1, el exponente es negativo. c) 0.0074 = 7.4 X 10"3 #
- 82. 2 C am b ia r n ú m e ro s e n n o ta c ió n cien tífica a fo rm a d e c im a l 5 4 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos E n ocasiones puede ser necesario convertir un núm ero escrito en notación científica a su form a decimal. E l procedim iento q u e se deb e realizar es: P a ra co n ve rtir un n ú m e ro en notación científica a fo rm a de cim a l h Observe el exponente de la base 10. Z a) Si el exponente es positivo, mueva el punto decimal del cociente hacia la derecha, el mismo número de lugares que indica el exponente. Podría ser necesario que agregue ceros al número. Esto dará como resultado un número mayor o igual a 10. b) Si el exponente es cero, el punto decimal del cociente no se mueve de su posición original. Quite el factor 10°.Esto dará por resultado un número mayor o igual a 1. c) Siel exponente es negativo, mueva el punto decimal del cociente hacia la iz quierda, el mismo número de lugares que indica el exponente. Tal vez necesite agregar ceros. Esto dará por resultado un número menor que 1. E J E M P L O 2 Escriba los siguientes números sin exponentes. a) 2.1 X 104 b) 8.73 X 10"3 c) 1.45 X 108 S o l u c i ó n a) M ueva el punto decim al cuatro lugares hacia la derecha. 2.1 X 104 = 2.1 X 10,000 = 21,000 b) M ueva el punto decim al tres lugares hacia la izquierda. 8.73 x 10"3 = 0.00873 c) M ueva el punto decim al ocho lugares hacia la derecha. AHORARESUELVAELEJERCICIO25 1.45 X 108 = 14^000,000 ^ 3 U s a r n o ta c ió n cien tífica e n la re s o lu c ió n d e p ro b le m a s Cuando trabajam os con núm eros escritos en notación científica, podem os utilizar las reglas d e los exponentes, com o se ilustra en los siguientes ejemplos. E J E M P L O 3 Deuda pública por persona La deuda pública es el m onto total q u e el gobierno de un país adeuda a sus acreedores en form a de bonos. Por ejemplo,el 15 d e enero d e 2002, la d eu d a publica d e E stados U nidos e ra d e aproxim adam ente $5,894,000,000,000 (5 billones,894 mil millones d e dólares). L a población estadounidense en esa fecha era d e alrededor de 286,000,000 personas. a) D eterm ine la deuda prom edio p o r persona en Estados U nidos (deuda p er capita). b) E l 30 d e septiem bre d e 1982, la deuda d e Estados U nidos era d e aproxim adam en te $1,142,000,000,000. ¿Por cuánto superó la deuda en 2002 a la d e 1982? c) ¿C uántas veces fue m ayor la deuda en 2002 q u e en 1982? S o l u c i ó n a) Para determ inar la deuda p er capita,dividimos la deuda pública en tre la población. Así, la deuda p er capita fue d e casi $20,600. E sto significa q u e si los ciudadanos d e E stados U nidos deseasen “com partir los gastos” y saldar la deuda federal, cada hom bre, m ujer y niño estadounidense tendría q u e pagar $20,600.
- 83. Sección 1.6 •N otación científica • 5 5 b) Necesitam os encontrar la diferencia en tre las deudas d e 2002 y 1982. 5,894,000,000,000 - 1,142,000,000,000 = 5.894 X 1012 - 1.142 X 1012 = (5.894 - 1.142) X 1012 = 4.752 X 1012 = 4,752,000,000,000 La deuda pública d e Estados Unidos fue $4,752,000,000,000 mayor en 2002 q u e en 1982. c) Para determ inar cuántas veces fue m ayor la deuda pública d e 2002, dividimos la deuda d e 2002 en tre la deuda d e 1982, com o sigue: 5.894.000.000.000 = 5.984 X 1012 1.142.000.000.000 1.142 X 1012 ~ ' Así, la deuda pública d e 2002 fue casi 5.2 veces m ayor q u e en 1982. # E J E M P L O 4 Recaudación de impuestos Los datos con q u e se crearon las gráficas d e la figura 1.11 se tom aron d e la edición 2001 del Resum en Estadístico d e Estados Unidos. Las gráfi cas m uestran la recaudación fiscal estatal acum ulada en 1970 y 2000. Los m ontos re caudados están expresados en notación científica. Recaudación de impuestos estatales, por tipo: 1970y 2000 R ec a u d a ció n total $4.800 X 1010 1970 R ecau d ació n total $ 5 3 9 6 X 1011 2000 Ingresos p e rso n ale s V en tas y 19% factu ració n b ru ta 57% Ingreso em p re sa rial neto 8% V ehículos a u to m o to re s y licen cias de c o n d u cto re s 6% V e n tas y Ingresos factu ració n p e rso n ale s b ru ta 47% Ingreso e m p re sa rial neto 6% eh ícu lo s au to m o to res y licen cias d e co n d u cto res 3 % FIGURA 1.11 O tro s 10% (a) R ien te: O ficina d e C enso d e Estados U nidos O tro s 8 % (b) a) U sando notación científica, determ ine cuánto dinero se recaudó a partir d e los in gresos personales (m ediante im puestos) en 2000. b) U sando notación científica, determ ine cuántos dólares más se recaudaron en total en 2000, en com paración con 1970. c) U sando notación científica, determ ine cuántas veces fue m ayor la cantidad recau dada en 2000 q u e la cantidad recaudada en 1970. d) D escriba las principales diferencias q u e puede percibir en tre los im puestos recau dados e n 2000 y en 1970. Solución a) E n 2000,36% d e los $5,396 X 1011 fueron recaudados a partir d e im puestos sobre los ingresos personales. Expresado en form a decim al, 36% es igual a 0.36; expresado en notación científica,es igual a 3.6 X 10_I.Para determ inar 36% d e $5,396 X 10n , mul tiplicam os usando la notación científica com o sigue: recaudación d e im puestos so b re ingresos = (3.6 x 10"1) (5.396 X 1011) = (3.6 X 5.396)(10"‘ X 1011) = 19.4256 X 1 0 '1+n = 19.4256 X 1010 = 1.94256 X 10n
- 84. 5 6 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos Así, alrededor d e $1.94256 X 1011 o $194,256,000,000 fueron recaudados a partir de los ingresos personales m ediante im puestos en 2000. b) En 1970 se recaudó $4,800 X 1010en impuestos. E n 2000 se recaudaron $5.396 X 1011 p o r el mismo concepto. Para determ inar la diferencia en estas cantidades, restarem os el m onto recaudado en 1970 del recaudado e n 2000. Escribim os 4.800 X 1010com o 480 X 1010y restam os com o sigue: d iferencia e n im puestos recaudados = 5.396 X 1 0 " - 4.80 x 1010 = 53.96 X 1010 - 4.80 X 1010 = (53.% - 4.80) X 1010 = 49.16 X 1010 = 4.916 X 1 0 " Por lo tan to , $4.916 X 1011 o $491,600,000,000 m ás fu ero n recaudados e n 2000 q u e e n 1970. c) Para determ inar el número de veces que fue m ayor la cantidad recaudada en 2000 q u e en 1970, dividimos com o sigue: n ú m ero d e veces m ayor = - m onto recaudado en 2000 m onto recaudado en 1970 5.396 x 101 1 4.80 X 1010 5 3 9 6 -MI_10 4.80 * 10 « 1.1242 X 10* Así, la cantidad recaudada en 2000 fue alrededor d e 1.1242 X 101u 11.242 veces m a yor q u e la cantidad recaudada en 1970. d) A partir d e los resultados obtenidos en las partes b) y c), sabem os q u e se recaudó una cantidad d e im puestos m uy superior en 2000 q u e en 1970. Las gráficas m uestran que un porcentaje más pequeño en 2000 proviene d e los im puestos sobre las ventas (47% contra 57% ),y un porcentaje más grande proviene del impuesto sobre el ingre so personal (36% contra 19% ). Tam bién hay cam bios m enores en los porcentajes de los otros sectores. # 3.2E12. En ambos casos se representa 3.2 X 1012,que es igual a 3,200,000,000,000. Para introducir números en notación científica en una calculadora científica o en una calculadora graficadora, por b común se utilizan las teclas E E E X P E E ,o bien, 4.6. La pan- . Para introducir 4.6 X 10®,se debe presionar 4.6 talla de su calculadora podría mostrar 4.6 °8, o bien,4.6E8. En la T I-8 3 Plus, la leyenda EE aparece debajo de la tecla [T . Por lo tanto, para introducir (8,000,000)(400,000) en notación científica presionaría 8 J ^ j ] [7]6 [ x ] 4 T|5 E N T E R r resultado mostrado 3.2E12 para activar EE para activar EE
- 85. Sección 1.6 •N otación científica • 5 7 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1.6 Ejercicios conceptuales L ¿Cuál es la forma de un número en notación científica? 2 ¿1 X 10" puede ser un número negativo para algún ente ro positivo n i Explique. 3. ¿Cuálde estas expresiones es mayor, 1 X 10-2o 1 X 10"3? Explique. 4. ¿1 X lO-"puede ser un número negativo para algún ente ro positivo n i Explique. Problemas de aplicación Exprese cada número en notación científica* 5. 4700 6. 560 8. 0.000000718 9. 360,000 11. 0.00000186 12. 0.00000914 14 0.0000773 15. 0.000101 Exprese cada número sin exponentes. 17. 3.1 X 104 18. 5 X 108 20. 5.78 X 10"5 2 t 9.17 X 10_1 23. 9 X 106 24 7.3 X 104 26. 9.35 X 10-6 27. 1 X 106 7. 0.031 10. 5,260,000,000 & 13. 5,780,000 16. 998,000,000 £ 19. 213 X 10"5 22. 5.3 X 101 25. 207 X 105 28. 1 X 10"8 Exprese cada valor sin exponentes. 29. (4 X ltf ) (6 X 102) 25 X 103 5 X 10'2 35. (8.2 X 105)(1.3 X 10"2) 4.8 x 10"2 38. 30. (5.6 X 10“3)(1.2 X 10"1 ) 6.75 x 10~3 2.5 X 102 36. (6.3 X 104)(3.7 X 10"8) 39. (9.1 X 1 0 ^)(6 3 X lo-4) 2.4 x 10"6 Exprese cada valor en notación científica. 4L (0.03)(0.0005) 42 (2500)(” fl00) 44. 560,000 0.0008 £ 47. (47,000)(35,000,000) 0.018 50. 480 45. 48. 51. 0.00046 23,000 0.0000282 0.00141 0.00153 0.00051 £ 31. 8.4 X 10-6 4 X 10-4 34 (6.7 X 10-3)(4.1 X 105) 37. 40. 43. 46. 49. 1.68 x 104 5.6 x 107 6.2 x 10~ 8 3.1 x 10"6 35,000,000 7000 0.000012 0.000006 672 0.0021 52 (0.0015)(0.00036) Exprese cada valor en notación científica. Redondee los números decimales al milésimo más cercano. 3.33 X 103 53. (4.78 X 109)(1.96 X 105) 55. (7.23 X 10_3)( 1.37 x 105) 54 1.11 X 101 56. (5.71 X 105)(4.7 x 10"3)
- 86. 5 8 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos 57. 4.36 x 10' 8.17 x 10"7 59. (4.89 X 1015)(7.91 X 10"41) 6L (7.71 X 1 < P )(9 M X 10"31) 1.50 x 1035 63. 4.5 x KT26 58. 8.45 x 1025 4.225 x 1015 60. (4.36 x l<r*)(1.07 x KT6) 3.71 X 1Q1 1 4.72 x 10-9 64. (3.7 X 105) (1.347 X 1031) Resolución de problemas 65. Explique cómo se puede dividir con rapidez un número dado en notación científica entre a) 10, b) 1 0 0 , c) 1 millón. d) Divida 658 X 10-4entre un millóa Exprese su respues ta en notación científica. 66. Explique cómo se puede multiplicar rápidamente un nú mero dado en notación científica, por a) 10, b) 100, c) 1 millón. d) Multiplique 7.59 X 107 por un millóa Exprese su res puesta en notación científica. 67. Experimento científico Durante un experimento cientí fico, usted encontróque la respuesta correcta para el pro blema planteado es 5.25 X 104. a) Siporerror escribe la respuesta como 4.25 X 104, ¿por cuánto es errónea su respuesta? b) Siporerror escribe la respuesta como 5.25 X 105, ¿por cuánto es errónea su respuesta? c) ¿Cuál de los dos errores es más serio desde el punto de vista cuantitativo? Explique. 68. L a ó r b i t a d e I a T i e r r a a) LaTierra completa su órbita de 9.4 X 108kilómetros al rededor del Sol en 365 días. Determine la distancia re corrida por día. b) La velocidad de la Tierra es alrededor de ocho veces mayor que la de una bala. Estime la velocidad de una bala en millas por hora. 69. Distancia entre la Tierra y el Sol La distancia entre la Tierra y el Sol es de 150,000,000 kilómetros. Si una nave es pacial viaja a una velocidad de 5,000 kilómetros por hora, ¿cuánto tardaría en llegar al Sol? 70. la Via Láctea Segúnse ha comprobado, existen al menos 1021estrellas en la Vía Láctea. a) Exprese este número sin exponentes. b) ¿Cuántos millonesde estrellas representaesa expresión? c) Explique cómo determinó su respuesta para esta pregunta « 7L Poblaciones de Estados Unidos y del mundo Según el censo realizado el 1 de abril de 2000, la población de Estados Unidos era de casi 2.82 X 108. El mismo día la po blación total del planeta era de casi 6.14 X 109. Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos. a) ¿Cuántas personas vivían fuera de Estados Unidos en 2000? b) ¿Qué porcentaje de la población mundial vivía en Es tados Unidos en 2000? 72. Producto Interno Bruto El Producto Interno Bruto (PIB) es una medida de la actividad económica de un país. El PIB es la cantidad total de bienes y servicios producidos en un país durante un año. En 2000, el PIB de Estados Unidos fue de casi $9.8729 billones, y su población era de alrededor de 281.42 millones de personas. Fuente: Sitio Wfebdel Departamento del Tesoro de Estados Unidos. a) Escriba cada uno de estos números en notación cien tífica. b) Determine el PIB percapita,dividiendo el PIB entre la población de Estados Unidos. 73. E l puente New River George Este puente, ilustrado en la fotografía de la parte inferior, tiene una longitud de 923.7 metros. Se terminó de construir en 1977, cerca de Fayettevilie, Virginia Occidental, y describe el arco con mayor amplitud en el mundo. Su peso total es de 4.3 X 107kilogramos; su pieza más pesada es de 9.1 x 104 kilogramos. a) ¿Cuántas veces es más grande el peso total del puente que el peso de la pieza más pesada? b) ¿Cuál es la diferencia entre el peso total del puente y el de la pieza más pesada?
- 87. Sección 1.6 •N otación científica • 5 9 74 Reciclaje deplástico Únicamente en Estados Unidos, al rededor de 5% de las 2.09 X 109 kilogramos de plástico usado se recicla anualmente. a) ¿Cuántos kilogramos se reciclan cada año? b) ¿Cuántos kilogramos no se reciclan anualmente? 75. Aeropuertos Los cinco principales aeropuertos de Esta dos Unidos en 2001,según el número de usuarios que los utilizaron, aparecen en la siguiente gráfica. Alrededor de 139,200,000 o 1.392 X 108pasajeros usaron las instalacio nes de estos cinco aeropuertos. La gráfica también mues tra el porcentaje del número total de pasajeros que utilizaron estos cinco aeropuertos. Loscincoaeropuertos en Estados Unidosen pasajeros (porcentaje) Dallas/FL Worth 18.2% Los Ángeles 20.7% Phoenix (Sky Harbor) 12.4% Chicago (O’Hare) 222% Atlanta (Hartsfield) 26.5% Fuente:C on sejo Internacional d e A eropuertos a) ¿Cuántos pasajeros utilizaron el aeropuerto O'Hare de Chicago? b) ¿Cuántos pasajeros utilizaron el aeropuerto Hartsfield de Atlanta? c) ¿Cuántas veces es mayor el número de pasajeros que utilizaron el aeropuerto Hartsfield en comparacióncon los que emplearon el aeropuerto Sky Harbor? 76. Distancia a Próxima Centauri La distancia entre la Tie rra y el Sol es de alrededor de 150 millones de kilómetros. La estrella más cercana a laTierra es Próxima Centauri. Esta estrella se encuentra casi 268,000 veces más alejada de la Tierra que el Sol. Calcule la distancia que separa a Próxima Centauri de laTierra. Escriba su respuesta en no tación científica. Fuente:Sitio Web de la NASA. TI. lo s países más poblados En 2001, los seis países más po blados contaban con 3,114,000,000 personas del total de 6,137,000,000que constituyen la poblacióntotal del plane ta. Los seis pafces más poblados en 2001 se muestran en la siguiente gráfica,junto con sus respectivas poblaciones. Losseis países más poblados (población en millones) Pakistán 145 Brasil 172 Indonesia 206 Estados Unidos 285 Fuente:O ficina d e C en sos d e E stados Unidos N ota:C h ina in d u y e C h ina continental yTaiw án. a) ¿Cuántas personas más vivíanen China que en Estados Unidos? b) ¿Qué porcentaje de la población mundial vivía en China? c) Si la superficie de China es de 9.58 X 106 kilómetros cuadrados, determine la densidad de población de China (personas por kilómetro cuadrado). d) Si el área de Estados Unidos es 9.4 X 106 kilómetros cuadrados, determine la densidad de población de Estados Unidos.* 78. Población mundial Se requirió el desarrollo total de la historia de la humanidad para que la población mundial al canzara 6.14 X 109personas en el año 2000.A las tasas de aecimiento poblacional actuales, la población mundial se duplicará en alrededor de 54 años. a) Estime la población mundial en 2054. b) Suponiendo que cada año tiene 365 días, estime el nú mero promedio de personas que se agregan a la pobla ción mundial diariamente entre 2000 y 2054. Próxima Centauri *E1 área con la mayor densidad de población es Macao, con80,426 personas por kilómetrocuadrado. El país con la densidad de población másgrande es Mónaco,con de 41,076 personas por kilómetro cuadrado.
- 88. Reto 6 0 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos 79. Ano luz Un año luz es la distancia que recorre la luz du rante 1 año solar. a) Determine el número de millas en un año luz,si la luz viaja a 3 X 105kilómetros por segundo. b) SlaTierra está alejada del Sol por 150,000,000 kilóme tros, ¿cuánto tarda la luzdel Sol en llegar a la Tierra? c) Nuestra galaxia, la Vía Láctea, tiene una longitud de casi 1 X 1017kilómetros. Si una nave espacial viajase a la mitad de la velocidad de la luz, ¿cuánto tardaría en ir de un extremo a otro de la galaxia? R e s u m e n d e l c a p i t u l o Términos y frases importantes 1.2 C onstante Núm eros p ara contar Elementos de un conjunto Puntos extrem os Expresión D esigualdades Enteros Intersección de conjuntos Núm eros irracionales Núm eros naturales Conjunto vacío (o nulo) O peraciones Núm eros racionales N úm eros reales Form a d e lista Conjunto N otación d e construcción d e conjuntos Subconjunto U nión d e conjuntos Variable E nteros no negativos 1 .3 Valor absoluto Idéntico aditivo Inverso aditivo Propiedades asociativas Propiedades conmutativas Propiedad distributiva Idéntico multiplicativo Inverso multiplicativo O puestos Propiedades d e los núm e ros reales Recíproco 1 . 4 Base Exponente Expresión exponencial Factor Calculadora graficadora Indice O rden d e las operaciones R aíz cuadrada principal Signo radical Radicando Expresión indefinida 1.6 N otación científica H e c h o s i m p o r t a n t e s Conjuntos de núm eros Núm eros reales Núm eros naturales o p ara contar Núm eros enteros no negativos Enteros Núm eros racionales Núm eros irracionales {*|* es un p u n to d e la recta num érica} {1,2, 3 ,4 ,5 ,...} {0,1,2, 3,4,...} { . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3, ...} p y q so n en tero s, q * 0 {*1* es un núm ero real q u e no es racional} Desigualdades en la recta d e los n úm e ros reales { x x > a } ^_____j* { x x < a ) {xa < x < b] (continúa en la página siguiente)
- 89. R esum endel capítulo • 6 1 P ropiedades del sistem a d e los n úm e ro s reales Propiedades conm utativas a + b = b + a. a b = ba Propiedades asociativas (a + b ) + c = a + (b + c ), (a b )c = a(bc) Propiedades d e las identidades a + 0 = 0 + a = a> a - 1 = l • a = a Propiedades d e los inversos a + ( - a ) = ( - a) + a = 0 , a - — = — -a = 1 ( a * 0 ) a a Propiedad distributiva a ( b + ) = a b + ac Propiedad distributiva extendida a ( b + c + d + ■■ •+ n ) = a b + a c + a d + ■ + an Propiedad del cero en la multiplicación a -0 = 0 -fl = 0 Propiedad del doble negativo - ( - a ) = a a a > 0 Valor absoluto: <2 = s [ - a a < 0 Exponentes y raíces bn = b - b - b - - ■■•b y / a = b s i b - b - b .......b = a n factores de b n tactores de b O rden d e las operaciones 1 . Paréntesis y otros sím bolos d e agrupación. 3. Multiplicaciones y divisiones d e izquierda a d e 2. Exponentes y raíces recha. 4. Sumas y restas d e izquierda a derecha. Reglas d e los exponentes 1 . am -an = am+n Regla del producto. 4. a° = l , a 0 Regladel exponente cero. am 2. — = am n, a * 0 Regla del cociente. 5. {om)n — amn Elevarunapotencia a unapo tencia (reglade lapotencia). 3. a~m = a ^ 0 Regladel exponentenegativo. 6. (ab)m = ambm Elevar un producto a una potencia. ( a m am 7. 1— 1 = b ^ 0 Elevaruncociente a una po- b tencla. Notación científica E n la notación científica, los núm eros aparecen com o un número m ayor q u e 0 igual a 1 y m enor q u e 10, m ultipli cado p o r alguna potencia d e 10. E l exponente d e 10 deb e ser un entero.
- 90. Ejercicios de repasodel capítulo 6 2 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos [1.2] Exprese cada conjunto en forma de lista. L A = {x|* es un número natural entre 3 y 8}. 2. B = {*|* es un entero no negativo múltiplo de 3}. Sea N = conjunto de los números naturales, W = conjunto de los enteros no negativos, Z = conjunto de los enteros, Q = conjunto de números racionales, I = conjunto de números irracionales, y R = conjunto de números reales. Determine si el primer conjunto es un subconjunto del segundo conjunto para cada pareja. 3. N ,W 4. Q, 5. /, 6. Q J Considere el conjunto de números {-2, 4,6, V f , V 3 ,0, ¿f, - j, 1.47}. Usté los elementos del conjunto que son: 7. números naturales. 8. enteros no negativos. 9. enteros. 10. números racionales. 11. números irracionales. 12 números reales. Indique si cada afirmación es verdadera o falsa. 13. y no es un número real. 15. Un número real no puede dividirse entre cero. Determine A U B y A D B para cada conjunto A y B. 17. A = {X 2, 3, 4,5, 6}, B = {2, 4, 6, 8,10} 19. A = {1,3, 5, 7, ...} ,« = {2, 4, 6, 8, ...} Ilustre cada conjunto en la recta numérica. 2L {*|* > 5} 2 2 {xx ^ -2 } 14. 0, | , -2 , y 4 son números racionales. 16. Todos los números racionales y todos los números irracio nales son números reales. 18. A = {3, 5,7, 9}, 8 = {2,4, 6, 8} 20. A = {4,6,9,10,11 },B = {3,5, 9,10,12} 23. {jr|— 1.3 < x £ 2.4} 24 j.v j S * < 4 y xeA /) [1.3] Escriba < , > o = en el área sombreada entre los dos números para que cada afirmación sea verdadera. 25. - 8 B 0 29. |-4 | ■ |-6 | 26. - 4 ■ -3.9 30. 13 ■ - 5 27. 1.06 « 1 .6 31. 28. |-3 | ■ 3 3 2 —|— 2| ■ -5 Ordene los números de cada lista de menor a mayor. 33. 7 7 , - 7 7 , - 3 , 3 35. |- 7 |, |-5 |,3 , - 2 37. -4 , 6, — | — 3|, 5 Mencione el nombre de cada una de las siguientes propiedades. 39. - l ( x + 4) = - I x - 28 4L (x + 3) + 2 = * + (3 + 2) 43. 5(rs) = (5r)s 45. 5(0) = 0 34 0 ,|,2 .3 ,|- 3 | 36. |- 3 |, - 7 , |- 7 |, - 3 38. |1.6|, |-2 .3 |, - 3 ,0 40. m n = nm 42 q + 0 = 0 44. - ( - 5 ) = 5 46. a + (~a) = 0 47. = 1 x 48. * + / = !• (* + /)
- 91. Ejercicios d ere p a so del capítulo • 6 3 [1.3, 1.4] Resuelva las siguientes expresiones. 49. 7 + 32 - V36 + 2 52. 2 |-7 | - 4 |-6 | + 3 55. + ^ 6 4 + </Í6 58. 52 + ( - 2 + 22)3 + l4 5+ 7-4- (32 - 2 ) + 4 - l 6L 50. - 4 -r ( - 2 ) + 16 - V49 53. (6 - 9) + (9 - 6) + 1 56. 32 - 6 •9 + 4 -i- 22 - 3 59. - 3 2 + 14 + 2 -3 - 6 - ( 4 - 6)2 - 3(— 2) + |-6 | 5L (4 - 6) - ( - 3 + 5) + 12 54 | 6 - 3 | + 3 + 4 - 8 - 1 2 57. 4 - (2 - 9)° + 32 + 1 + 3 60. {[(9 + 3)2 - l] 2 + 8}3 V Sl + V I - 10 62. 1 8 -9 -4 - 3-5 63. Resuelva Ix2 + 3x + 1 cuando x = 2. 64 Resuelva 5o2 - Ib2cuando a = - 3 y b = — 4— 65. Campaña política El costo de las campañas políticas ha cambiado de formadramática desde 1952.El monto gastado, en millones de dólares, en todas las elecciones de Estados Unidos,incluyendo elecciones municipales,estatales y de mi nisterios nacionales, partidos políticos,comitésde acciónpo lítica y papelería para la votación, se puede calcular por medio de dólares gastados = 50.86*2- 316.75* + 541.48, en donde x representa cada periodo de 4 añas desde 1948. Sustituya x por 1 para obtener el monto gastado en 1952, x por 2 para obtener el monto gastado en 1960,y asísuce sivamente. a) Determine el monto gastado en las elecciones de 1976. b) Calcule la cantidad que se gastará en las elecciones de 2004. 66. Tránsito ferroviario El tránsito ferroviario en Estados Unidos ha aumentado de manera continua, duplicándose desde 1965. La razón principal de esto es el incremento de tos trenes utilizados para transportar bienes por medio de contenedores. Podemos calcularel monto de la carga trans portada en toneladas-milla (1 tonelada-milla es igual a 1 tonelada de carga transportada a lo largo de una milla) por medio de esta ecuación carga transportada = 14.04*2 + 1.96* + 712.5 en donde * representa cada periodo de 5 años desde 1960. Sustituya x por 1 para obtener la cantidad de carga en 1965, * por 2 para obtener la cantidad de carga transpor tada en 1970, * por 3 para 1975,etcétera. a) Determine la cantidad de carga transportada por vía ferroviaria en 1980. b) Determine la cantidad de carga transportada por vía ferroviaria en 2000. [1.5] Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos. 67. 23-22 68. *2-* 3 69. a1 2 fl4 70. y 2 y 7L b1 b-2 72. c3*c-5 73. 5“2•5-1 74 3*° 75. ( - 2 m3)2 76. r 77. (ir 78. W 79. ( 5 x y 3) ( - 3 x 2y ) 80. (2v3w~4)(5v~6w) 8L 6 * - y 2 x2y ~ 2 82. 1 2 x ~ 3y~* 4 *- y 83. g -2h - 'f 84. 21m~3n 2 7 //T V 85. 86. m 87. ( pV Y ( - 2 a b - > V ( * x y 3 2 90. í 9m~2n V U v J 88. l c2 ) 89. * ) 3mn ) 9L (—2m2#T3)"’2 92. ( i 5 * w 2v V-3*yvy 93. (2 x-y z* y 3 x * y ~ 2z~ 2) 94 (8x-yy
- 92. 6 4 •Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos [1.6] Exprese cada número en notación científica. 95. 0.0000742 96. 260,000 97. 183,000 98. 0.000001 Simplifique cada expresión y exprese la respuesta sin exponentes. 18 X 103 99. (25 X 10_3)( 1.2 X 106) 100. 9 X 105 10L 4,000,000 0.02 102. (a004)(500,000) 103. Publicidadpor televisión Los fabricantes de automóviles gastan millones de dólares cada año en publicidad televi siva. En el segundo trimestre de 2001, los"tres grandes” fa bricantes de automóviles de Estados Unidos gastaron los sguientes montos en anuncios por televisión:General Mo tors - $2.64 X 108;Ford - $1.51 X 108,y Daimler Chrys ler - $9.2 X 107. a) ¿Cuánto más gastó General Motors en comparación con Ford? b) ¿Cuánto más gastó Ford en comparación con Daimler Chrysler? c) ¿Cuántas veces es mayor la cantidad que gastó General Motora que la cantidad que gastó Daimler Chrysler? n i Í3JA2 t .. 104. Voyager El 17de febrero de 1998, la astronave VoyagerI se convirtió en el explorador más distante del sistema so- Examen de práctica del capítulo lar, rompiendo el récord del Pioneer 10. El Voyager 1,con 20 años de edad, ha recorrido más de 1.04 X 10'° kilóme tros desde laTierra (alrededor de 70 veces la distancia en tre el Sol y laTierra). a) Represente 1.04 X 10'°como un número decimal. b) ¿Cuántos miles de millones de kilómetros ha viajado el Voyager 1. c) Suponiendo que el Voyager 1 ha recorrido aproxima damente el mismo número de kilómetros cada uno du rante sus 20 de vida, ¿cuántos kilómetros recorrió en promedio en un año? d) Si 1 kilómetro =5 0.6 millas, ¿qué tan lejos, en millas, ha viajado el Voyager 11 L Escriba en forma de lista A = {x|x es un número natural mayor que o igual a 6}. Indique si cada afirmación es verdadera o falsa. 2. Todos los números reales son números racionales. 3. La unión del conjunto de los números racionales y el con junto de los números irracionales es el conjunto de los nú meros reales. Considere el conjunto de números {- 1,2, -4 ,0 , Jf, 257, V 8, V 2, -1.92}. Liste los elementos del conjunto que sean, 4. números racionales. 5. números reales. Determine A U B y A IT B para los conjuntos A y B. 6. A = {8,10,11,14}, B = {5,7,8,9,10} 7. A = {1,3,5,7, ...},B = {3,5,7,9,11}
- 93. E x am e n de práctica del capítulo • 6 5 En los ejercicios 8 y 9, ilustre cada conjunto en la recta numérica* 8. {*|-2.3 * < 5.2} >. | * < * < f y * e Z 2 5 10. Liste de menor a mayor: |3|, -|4 |, -2.6. Señale el nombre de cada una de las siguientes propiedades. 1L (* + y) + 3 = * + (y +3) 12. 3* + 4y = 4y + 3* Evalúe cada expresión. 13. {4 — [7 —32 (32 —2*3)]} 14 24 + 42 -r 2? • y/25 + 7 -3 |4 - 8| h - 2 + 4 15. 16. -V 5 6 + 18 - 32 + 4 - ó 2 + 3(4 - |6|) - 6 4 - ( - 3 ) + 12 H-4*5 17. Evalúe + 2*y + y2cuando * = 2 y y = 3. 18. Devolución de impuestos Desde 1990,el promedio de de volución de impuestos federales se ha incrementado en Estados Unidos. El reembolso promedio de 1990 a 2002 puede calcularse por medio de devolución promedio de impuestos federales = Ó.42*2 + 13.9* + 970 en donde * representa el número de años desde 1990. Sus tituya * por 1 para calcular la devolución promedio de im puestos federales en 1991, * por 2 para estimar la devolución promedio de impuestos federales en 1992, y así sucesivamente. a) Calcule la devolución promedio de impuestos federa les en 1995. b) Calcule la devolución promedio de impuestos federa les en 2002. Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin expo nentes negativos. 2 19. 3"2 24a2b~3c° 2L 30a3b2c-2 20. 22. 4ni- 3 n - 3 *3y x - y - 2 - 3 23. Cbnvierta 242,000,000 a notación científica. 3.12 X 106 24. Simplifique -p------ — — ¿y escriba el número sin expo- 1.2 X lu nentes. 25. Empleo por género El número total de personas empleadas en Estados Unidos en 2000 fue alrededor de 1.41 X 108. La gráfica muestra la división hombres / mu jeres. a) ¿Cuántos hombres fueron empleados? b) ¿Cuántas mujeres fueron empleadas? c) ¿Cuántos hombres másque mujeres fueron empleados?
- 94. E n el casod e casi todas las personas, la com pra d e una casa es la transacción com ercial m ás im p o rtan te q u e realizan en sus vidas. D espués d e negociar el precio d e la casa, p o r lo general, es preciso elegir un plan d e crédito hipotecario. ¿Cóm o hacerlo? Cuando d e escoger un plan de crédito se trata, ¿se busca el q u e no incluye un costo p o r la solicitud, el q u e exige m enos requisi tos, el q u e ofrece la tasa d e interés más baja,o el q u e regala boletos d e avión gratis? ¿H ay q u e p en sar en algo más? E n la página 97 se com paran los costos d e dos créditos hipotecarios, m ediante ecuaciones q u e describen el costo d e cada uno, d e tal m anera q u e se pueda determ inar en qué mes los costos en que se incurre p o r cada uno son iguales. Al hacer este tipo d e cálculos com pren derem os que,cuando se selecciona un plan hipotecario, un factor clave a considerar es durante cuán to tiem po tendrem os la casa. i (STZD 2.1 Resolución d e ecuaciones lineales 2 .2 Resolución d e problem as y uso d e fórm ulas 2 .3 Aplicaciones del álgebra 2 .4 P roblem as adicionales de aplicación 2 .5 Resolución d e desigualda des lineales 2 .6 Resolución d e ecuaciones y desigualdades con va lo res absolutos R esum en del capítulo Ejercicios d e repaso del capítulo Exam en de práctica del capítulo Exam en de repaso acum ulativo 6 6
- 95. Sección 2.1 •Resolución de e c u a c io n e s lineales • 6 7 A va n ce d e la lección T~? n este capítulo enfocarem os nuestra atención a la resolución d e ecuaciones y de- X Ü /sigualdades lineales, y a la utilización d e ecuaciones, fórm ulas y desigualdades lineales p ara resolver problem as d e la vida real. D espués d e revisar el procedim iento a realizar p ara resolver ecuaciones (en la sección 2 .1 ), se presenta una útil técnica de resolución d e problem as (en la sección 2.2). Utilizarem os esta técnica a lo largo d e las secciones 2.2,2.3 y 2.4, así com o en el resto d e este libro. E n la sección 2.5 hablarem os d e las ecuaciones y desigualdades q u e incluyen valor absoluto. A lo largo del capítu lo, nos darem os cuenta del poder del álgebra com o una herram ienta p ara la resolución d e problem as en una gran variedad d e áreas, incluyendo bienes raíces, quím ica, nego cios, banca, física y finanzas personales. 2 .1 R E S O L U C IÓ N D E E C U A C I O N E S L IN E A L E S 1 Identificar las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. 2 Reducir términos semejantes. 3 Resolver ecuaciones lineales. a 4 Resolver ecuaciones con fracciones. 5 Identificar ecuaciones condicionales, ecuaciones inconsisten tes e identidades. 6 Entender los conceptos para resolver ecuaciones. 1 Identificar las p ro p ie d a d e s reflexiva, s im é tric a y tra n sitiva E n álgebra elem ental usted aprendió a resolver ecuaciones lineales. E n esta sección re pasarem os brevem ente el procedim iento. No obstante, antes d e hacerlo es necesario conocer tres útiles propiedades d e la igualdad: la propiedad reflexiva, la propiedad simétrica y la propiedad transitiva. P ro p ie d a d e s d e la ig u a ld a d Para todos los números reales a ,b y c: t a = a. P ro p ie d a d re fle x iva Z Si a = b, entonces b = a. P ro p ie d a d s im é tric a 3. Sifl = b y b = c, entonces a = c. P ro p ie d a d tra n s itiv a Ejemplos de la propiedad reflexiva 7 = 7 x + 3 = x + 3 Ejemplos de la propiedad simétrica Si x = 3, ento n ces 3 = x. Si y = x + 4, entonces x + 4 = y. Ejemplos de la propiedad transitiva Si x = a y a = 4y, entonces x = 4y. Si a + b = c y c = 4 r, ento n ces a + b = 4r. E n este libro utilizarem os con frecuencia estas propiedades, sin referirnos a ellas por su nombre.
- 96. 6 8 •Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 2 R e d u c ir té rm in o s s e m e ja n te s Cuando una expresión algebraica consta d e varias partes, las partes q u e se sum an o res tan son los términos d e la expresióa L a expresión 3X2 - 6x - 2, q u e puede escribirse 3x? + ( - 6 x ) + ( - 2), tiene tres térm inos; 3x2y- 6 x y -2 . L a expresión ó * 2 - 3 ( x + y ) - 4 + x + 2 tiene cuatro térm inos: óx2, - 3 ( x + y), - 4 y — - — . Expresión Térm inos 3 x - 7 x - 3 x , - 7 z z - 5 x 3 + 3x 2y - 2 - 5 x 3, 3x 2y , - 2 4 (x + 3) + 2 x + 5 { x - 2) + 1 4 (x + 3 ), 2*, 5 { x - 2), 1 La parte num érica del térm ino q u e precede a la variable, es su coeficiente numé rico o, sim plem ente, su coeficiente. E n el térm ino óx2, el 6 es el coeficiente numérico. Cuando el coeficiente es 1 o - l ,p o r lo general om itim os el número. Por ejem plo, x sig nifica lx , - x 2y significa - 1 x2^, y (x + y) significa l( x + y). Térm ino Coeficiente numérico 5k 5 7 7 —4 (x + 2) - 4 x - 2 1 3 3 - ( x + y ) - 1 x - 2 1 Observe que — - — significa —(x - 2 ) y - ( x + y ) significa - l ( x + y). Cuando un térm ino consta d e un solo núm ero, a éste p o r lo general se le llama constante. Por ejem plo, en la expresión x2 - 4, el - 4 es una constante. El grado de un término con exponentes enteros no negativos es la sum a d e los exponentes d e la variable del térm ino. Por ejem plo, 3X2 es un térm ino d e segundo grado y - 4 x es un térm ino d e prim er grado ( - 4 x significa - 4 x ‘ ). E l núm ero 3 p u e d e escribirse com o 3x°, así q u e el núm ero 3 (y cualquier o tra constante d iferen te de cero) tiene grado cero. Cuando un térm ino tiene el exponente 0, se dice q u e el térm i no no tiene grado. E l térm ino 4xy> es un térm ino d e sexto grado, ya q u e la sum a d e los exponentes es 1 + 5, o 6. E l térm ino ó x V es un térm ino d e octavo grado, puesto que 3 + 5 = 8. Los términos semejantes son aquellos q u e tienen las m ismas variables con los mismos exponentes. Por ejem plo, 3x y 5x son térm inos sem ejantes, l x 2y -3X 2son tér m inos sem ejantes, al igual q u e 3x?y y - h e 2y. Los térm inos q u e no reúnen esta condi ción reciben el nom bre de términos no semejantes.Todas las constantes se consideran térm inos semejantes. Simplificar una expresión significa reducir (o com binar) todos los térm inos sem ejantes en la expresión. Para reducir térm inos sem ejantes,podem os aplicar la p ro piedad distributiva.
- 97. Sección 2.1 •Resolución d e e cu a cio n e s lineales • 6 9 E J E M P L O 1 Solución E J E M P L O 2 Solución Ejemplos de reducción de térm inos semejantes 5 * - 2 x = (5 - 2 ) * = 3* 3 x 2 - 5 x 2 = (3 - 5 ) ^ = -2x> - 7 x 2y + 3 ¿ y = ( - 7 + 3) x 2y = - 4 x 2y 4 ( x - y ) - ( x - y ) = 4 ( x - y ) - l ( x - y ) = (4 - l) ( x - y ) = 3 ( x - y) Al simplificar expresiones,podem os reordenar los térm inos aplicando las propie dades conm utativa y asociativa q u e se analizaron en el capítulo 1. Simplifique. Si una expresión no puede simplificarse, dígalo. a) - 2 x +5 + 3x - 7 b) l x 2 - 2 x 2 + 3 x + 4 c) 2x - 3y + 5* - 6y + 3 a) ~ 2 x + 5 + 3 x — 7 = ~ 2 x + 3 x + 5 — 1 ColoqueJuntos loe términoseemejantee. x -2 E sta expresión se simplifica y resulta x - 2. b) - l x 2 + 3 x + 4 = 5 x 2 + 3 x + 4 c ) 2 x - 3 y + 5 x - 6 y + 3 = 2 x + 5 x - 3 y - 6 y + 3 = l x - 9 y + 3 ColoqueJuntoe loe térmlnoe eemejantee. AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 55 Simplifique - 2 (a + 7) - [ - 3 {a - 1) + 5]. - 2 (a + 7) - [ - 3 (a - 1) + 5] = - 2 (a + 7) - l [ - 3 {a - 1) + 5] = - 2 a - 14 - l [ - 3 a + 3 + 5] Propiedad dietributlva. = —2a — 14 — 1 [— 3a + 8] Peduclmoe loe térml noe eemejantee. = —2a — 14 + 3 — 8 Propiedad dietrlbutiva. = a — 22 Peduclmoe loe térmlnoe eemejantee. ^ 3 R e s o lv e r e c u a c io n e s lineales U na ecuación es una proposición m atem ática d e igualdad. Las ecuaciones deben con tener un signo de igual y una expresión m atem ática a cada lado del mismo. Ejemplos de ecuaciones * + 4 = - 7 2 x2 - 4 = - 3 x + 5 Los núm eros q u e hacen q u e una ecuación sea una proposición verdadera, se lla m an soluciones o raíces d e la ecuación. E l conjunto solución d e una ecuación es el conjunto d e núm eros reales q u e hacen q u e la ecuación sea verdadera. Ecuación Solución Conjunto solución 2a: + 3 = 9 3 {3} Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que son ecuaciones equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven iniciando con la ecuación dad a y produciendo una serie d e ecuaciones equivalentes más simples.
- 98. 7 0 •Capítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades Ejemplo de ecuaciones equivalentes Ecuaciones Conjunto solución 2 x + 3 = 9 2 x = 6 x = 3 {3} {3} {3} E n esta sección explicarem os cómo resolver ecuaciones lineales con una variable. U na ecuación lineal es aquella q u e puede escribirse en la form a ax + b = c, a * 0. Para resolver ecuaciones, aplicamos las propiedades de sum a y multiplicación de la igualdad para aislar la variable en un lado del signo igual. P ro p ie d a d d e s u m a d e la ig u a ld a d Si a = b, entonces a + c = b + c para cualesquiera a, b , y c. La p ropiedad de sum a de la igualdad establece q u e podem os sum ar el mismo núm ero en am bos lados d e una ecuación sin alterar la solución d e la ecuación original. Como la resta se define en los mismos térm inos q u e una sum a, la propiedad de su m a de la igualdad tam bién nos perm ite restar el m ism o núm ero en am bos lados de una ecuación. P ro p ie d a d d e m ultiplicació n d e la ig u a ld a d Si a = b, entonces a • c = b • c para cualesquiera a, b , y c. La propiedad d e multiplicación d e la igualdad establece q u e podem os m ultipli car am bos lados d e una ecuación p o r el mismo núm ero sin alterar la solución. Como la división se define en los mismos térm inos q u e la multiplicación, la propiedad de m ul tiplicación de la igualdad también nos permite dividir am bos lados de una ecuación en tre el mismo núm ero distinto de cero. Para resolver una ecuación, m uchas veces se tiene q u e aplicar una com binación d e propiedades a fin d e aislar la variable. N uestra m eta es tener la variable com pleta m ente sola en un lado d e la ecuación (esto es, despejarla o aislarla). A continuación se explica un procedim iento general p ara resolver ecuaciones lineales. P a ra re s o lv e r e c u a c io n e s lineales L Elimine las fracciones. Si la ecuación contiene fracciones, elimínelas multiplican do ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. 2. Simplifique cada lado por separado. Simplifique cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Utilice la propiedad distributiva para eliminar paréntesis y re duzca los términos semejantes cuando sea necesario. 3. Aísle el término variable en un lado. Utilice la propiedad de la suma para dejar todos los términos que contienen a la variable en un lado de la ecuación, y todos los términos constantes en el otro lado. Para hacer esto puede ser necesario apli car varias veces la propiedad de la suma. 4 Despeje la variable. Aplique la propiedad de la multiplicación para obtener una ecuación que tenga sólo la variable (con un coeficiente de 1) en un lado. 5. Compruebe. Verifique la solución resultante del paso 4, sustituyendo con ella la variable en la ecuación original.
- 99. Sección 2.1 •Resolución de e cu a cio n e s lineales • 7 1 E J E M P L O 3 Solución E J E M P L O 4 Solución AHORA RESUEU/A EL E JER CIC IO 63 E J E M P L O 5 Solución Resuelva la ecuación 2x + 4 = 9. 2 x + 4 = 9 2 x + 4 — 4 = 9 — 4 Peste 4 en ambos lados. 2 * = 5 2 x 5 = — Divida ambos lados entre 2. 2 2 i 5 X = 2 V erifique: 2 x + 4 = 9 Y | ) + 4 Í 9 5 + 4 = 9 9 = 9 Solución correcta. Com o el valor satisface la ecuación, la solución es f . Siem pre q u e una ecuación contenga térm inos sem ejantes del mismo lado del signo igual, redúzcalos antes d e aplicar las propiedades d e sum a Resuelva la ecuación - 2 b + 5 = 3b -1 0 . - 2 b + 5 = 3b - 10 —2b + 2 6 + 5 = 36 + 26 - 10 Sume 2b en ambos lados. 5 = 56 - 10 5 + 10 = 56 — 10 + 10 Sume 10 en ambos lados. 15 = 56 15 56 5 5 3 = 6 Divida ambos ladosentre 5. El ejem plo 5 incluye núm eros decimales. P ara resolver este problem a, siga el procedim iento q u e se explicó antes. Resuelva la ecuación 4(* - 3.1) = 2.1(* - 4) + 3.5*. 4 (x - 3.1) = 2 .1 (* - 4) + 3.5* 4 (* ) - 4(3.1) = 2.1 (* ) - 2.1(4) + 3.5* Propiedad distributiva. 4* - 12.4 = 2.1* - 8.4 + 3.5* 4* - 12.4 = 5.6* - 8.4 Reduzca los términos semejantes. 4 * — 12.4 + 8.4 = 5.6* — 8.4 + 8.4 Sume 3.4 en ambos lados.
- 100. 7 2 •Capítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades 4 x - 4.0 = 5.6* 4 x - 4 x - 4.0 = 5.6* - 4x - 4 .0 = 1.6* - 4 .0 = L 6* 1.6 1.6 - 2 .5 = * Peete 4 x en amboe ladoe. Ovidaamboe ladoeentre 1.6 . L a solución es -2 .5 . # Para ahorrar espacio, en este libro no se m ostrará siem pre la com probación de las respuestas, pero usted sí deb e verificarlas todas. C uando la ecuación contenga nú m eros decimales, puede utilizar una calculadora p ara resolver y verificar la ecuación m ás rápido. C ó m o utilizar su c a lcu la d o ra •••• Com p ro b a ció n d e soluciones p o r sustitución Las soluciones d e las ecuaciones pueden com probarse p o r medio d e una calculadora. Para verificar, sustituya la variable d e am bos lados d e la ecuación con su resultado p ara ver si obtiene el mismo valor (algunas veces puede haber una pequeña diferencia en los últimos dígitos). L a pantalla d e la calculadora graficadora d e la figura 2.1 m uestra am bos lados d e la ecuación dad a en el ejem plo 5,con un resultado d e -2 2 .4 cuando x se sustituye con -2.5. Por lo tanto, la solución -2 .5 satisface la ecuación. 4 (x - 3.1) = 2.1 (* - 4) + 3.5* 4( — 2.5 - 3.1) = 2.1 ( — 2.5 - 4 ) + 3 .5 (-2 .5 ) KK - 2 . 5 - 3 . 1> - 2 2 .4 2 . 1< - 2 .5 - 4 > + 3 .5 * - 2 .5 - 2 2 .4 Valordel ladoIzquierdo de laecuación. Valordel ladoderecho de la ecuación. Ejercicios Utilice su calculadora p ara determ inar si el número dado es la solución d e la ecuación. L 5.2(* - 3.1) = 2 .3 (* - 5.2); 1.4 2. -2 .3 ( 4 - * ) = 3.5(* - 6.1); 10.125 FIGURA 2.1 E J E M P L O 6 Solución A continuación resolverem os un ejem plo q u e contiene paréntesis anidados. Resuelva la ecuación 7c - 15 = -2 [6 (c - 3 ) - 4 (2 - c)]. 7c - 15 = - 2 [6 ( c - 3) - 4 (2 - c)] Propiedaddietributiva. Reduccióndetérminoeeemejantee. Propiedaddietributiva. AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 91 1c - 15= -2 [6 c - 18 - 8 + 4c] 1 c - 15= -2 [1 0 c - 26] 7 c - 15= -2 0 c + 52 7c + 20c - 15= -2 0 c + 20c + 52 27c - 15 = 52 27c - 15 + 15 = 52 + 15 27c = 67 27c = 67 27 27 67 27 Sume 20c en amboe ladoe. Sume 15en amboe ladoe. Dividaamboe ladoe entre 27. c =
- 101. Sección 2.1 •Resolución de e c u a c io n e s lineales • 7 3 Observe q u e las soluciones a los ejem plos 5 y 6 no son núm eros enteros. No d e be esperar q u e las soluciones a las ecuaciones sean siem pre núm eros enteros. Al resolver ecuaciones, om itirem os algunos pasos interm edios. E n seguida se ilustra cómo puede acortarse el procedim iento. Solución Solución abreviada a ) * + 4 = 6 a ) * + 4 = 6 * + 4 - 4 = 6 - 4 «------- Haga eete paeo * = 2 X = 2 mentalmente. b) 3* = 6 b) 3 * = 6 — = — <------- Haga eete paeo mentalmente. * = 2 * = 2 4 R e s o lv e r e c u a c io n e s c o n fra c c io n e s Cuando una ecuación tiene fracciones, em pezam os m ultiplicando am bos lados d e la ecuación p o r el mínimo com ún denom inador. E l mínimo com ún denom inador (MCD) d e un conjunto d e denom inadores (tam bién llam ado m ínimo com ún m últiplo, M CM ), es el núm ero más pequeño q u e divide a cada uno d e los denom inadores sin obtener residuo (residuo 0). Por ejem plo, si los denom inadores d e dos fracciones son 5 y 6, en tonces el m ínimo com ún denom inador es 30,ya q u e 30 es el núm ero más pequeño que dividen 5 y 6 d e m anera exacta, es decir, sin residuo. Cuando se multiplican am bos lados d e la ecuación p o r el MCD, en realidad se está m ultiplicando cada término de la ecuación p o r el mínimo com ún denom inador. Después de realizar este paso, la ecuación no debe tener fracciones. 2* EJ E M P LO 7 Resuelva la ecuación 5 - — = -9. S o l u c i ó n E l mínimo com ún denom inador es 3. M ultiplique am bos lados d e la ecuación p o r 3 y después aplique la propiedad distributiva en el lado izquierdo. Este procedimiento eli minará todas las fracciones de la ecuación. 3í 5 — ) = 3(—9) Multipliqueamboe ladoepor3. 3(5) — -3^— ^ = —27 Propiedaddietributlva. i 15 - 2* = -27 15 - 15 - 2* = -27 - 15 Peete 15 en amboe ladoe. -2* = -42 -2* -42 - 2 - 2 * = 21 Qvida amboe ladoeentre —2.
- 102. 7 4 •Capítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades E J E M P L O 8 Resuelva la ecuación)- (x + 4) = x . z j Solución Em piece multiplicando am bos lados d e la ecuación p o r 6, el mínimo com ún denom i nador d e 2 y 3. SU G ERENCIA 2 (X + 4) - 6 1 3 , Multiplique ambos lado6 por 6. 3 (x + 4 ) = 2 x Simplifique. 3 x + 12 = 2 x Propiedad distributiva. 3 x - 2* + 12 = 2 x - 2 x Peste 2x en ambos lados, x + 12 = 0 X + 12 — 12 = 0 — 12 Peste 12en ambos lados. x - -1 2 # En la sección6.4 estudiaremos más a fondo las ecuaciones que contienen fracciones. La ecuación del ejemplo 8 también puede escribirse como ¿Puede explicar por qué? x + 4 C óm o utilizar su c a lcu la d o ra g ra fica d o ra Las ecuaciones con una variable pueden resolverse p o r medio d e una calculadora graficadora. E n la sección 3.3 analizam os cóm o hacerlo. Si lo desea, puede revisar ese m aterial ahora. 5 Identificar ecuaciones condicionales, ecuaciones inconsistentes e identidades Todas las ecuaciones q u e se han analizado hasta el m om ento han sido verdaderas só lo p ara un valor d e la variable. E ste tipo d e ecuaciones reciben el nom bre de ecuacio nes condicionales. Algunas ecuaciones nunca son verdaderas y no tienen solución; a éstas se les denom ina ecuaciones inconsistentes. O tras ecuaciones, llam adas identida des, tienen un núm ero infinito d e soluciones. L a tabla 2.1 resum e estos tipos d e ecua ciones lineales y su correspondiente número d e soluciones. TABLA 2.1 Tipo de ecuación lineal Solución Ecuación condicional Una Ecuación inconsistente Ninguna (conjunto solución: 0 ) Identidad Número infinito (conjunto solución IR El conjunto solución de una ecuación condicional se presenta en tre llaves. Por ejem plo, el conjunto solución del ejem plo 8 es { - 1 2 ) - E l conjunto solución d e una ecuación inconsistente es el conjunto vacío o nulo, representado p o r {) o 0 . E l con junto solución d e una identidad es el conjunto d e los núm eros reales, y se representa com o R. E JE M P L O 9 D eterm ine si la ecuación 5(d - 7) + 4d + 3 = 3(3d - 10) - 2 es una ecuación condi cional, una ecuación inconsistente o una identidad. D é el conjunto solución p ara la ecuación.
- 103. Sección 2.1 •Resolución de e c u a c io n e s lineales • 7 5 Solución 5 {d - 7)+ 4d + 3 = 3 (3 d - 10) - 2 5 d — 35+ 4d + 3 = 9 d — 30 — 2 Propiedad distributiva. 9 d — 32 = 9 d —32 Reduzca loe términos eemejantee. Como obtenem os la misma expresión en am bos lados d e la ecuación,podem os concluir que es una identidad. E n otras palabras, esta ecuación es verdadera p ara todos los nú- AHORARESUELVAELEJERCICI0121 m eros reales y, p o r lo tanto, su conjunto solución es IR. # E JE M P L O 10 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 115 D eterm ine si 2(3x + 1) = 6x + 3 es una ecuación condicional, una ecuación inconsis tente o una identidad. Proporcione el conjunto solución p ara la ecuación. 2(3* + 1) = 6* + 3 6 * + 2 = 6* + 3 6* - 6* + 2 = 6* - 6* + 3 2 = 3 Propiedad distributiva. Peste &x en ambos lados. Com o 2 = 3 la proposición nunca será verdadera; p o r lo tanto, esta ecuación es in consistente y su conjunto solución es 0 . i 6 E n te n d e r lo s c o n c e p to s p a r a re s o lv e r e c u a c io n e s Los núm eros o variables que aparecen en las ecuaciones no afectan los procedim ien tos q u e se utilizan p ara resolverlas. E n el ejem plo siguiente, q u e no contiene letras ni núm eros, resolverem os la ecuación utilizando los conceptos y procedim ientos q u e se han presentado. EJ E M PL O 11 E n la ecuación siguiente, suponga q u e O representa la variable cuyo valor querem os averiguar,y q u e los dem ás símbolos representan núm eros reales diferentes d e cero. R e suelva la ecuación p ara O. □ 0 + A = # Solución Para conocer el valor d e O , es necesario aislar O. Para ello utilizarem os las propieda des d e la sum a y la multiplicación. □ O + A = # □ © + A — A = # — A Peste A en ambos lados. □ O = # - A □ O # - A Vivida ambos lados entre □. □ |n e = # - A □ ^ # ” A Por lo q u e la solución es O = — —— . C onsidere la ecuación 5* + 7 = 12. Si hacem os q u e 5 = □ , * = O, 7 = A , y 12 = #, la ecuación tiene la misma form a q u e la del ejem plo 11. Por lo tanto, la solu ción será semejante.
- 104. 7 6 •Capítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades Ecuación Solución # - A □ O + A = # O = □ 5* + 7 = 12 * = = | = 1 Si usted resuelve la ecuación 5* + 7 = 12,v erá q u e su solución es 1. Por lo tanto,el p ro cedim iento utilizado p ara resolver una ecuación no depende d e los núm eros o varia- AHORARESUELVAELEJERCICIO 139 bles dadas en la ecuación. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 2.1 Ejercicios conceptuales ¿Quéson los términos de una ecuación? Determine el coeficiente de cada término. a - Ib a) x 2y 5 b) - a 3b 7 c) - 3. Determine el coeficiente de cada término. a) x + y b) - ( * + 3) c) - 3(* + 2) 4 - 5 4 ¿Cómo se determina el grado de un término? 5. a) ¿Qué son los términos semejantes? b) ¿Los términos 3* y 3x2san semejantes? Explique. 6. ¿Quées una ecuación? 7. ¿La soluciónde la ecuación 2* + 3 = * + 5es4? Explique. 8. ¿El conjunto solución para la ecuación * + l = 2 * -7 e s {8}? Explique. 9. Establezca la propiedad de suma de la igualdad. 10. Establezca la propiedad de multiplicación de la igualdad. 11. a) ¿Cuántas soluciones tiene una identidad? b) Si una ecuación lineal es una identidad, ¿cuál es su con junto solución? 12. a) ¿Que es una ecuación inconsistente? b) ¿Cuál es el conjunto solución de una ecuación incon sistente? 13. a) Explique con sus propias palabras lospasos necesarios para resolver la ecuación 5* - 2(x - 4) = 2(x - 2) b) Resuelva la ecuación anterior. 14. a) Explique con sus propias palabras lospasos necesarios para resolver la ecuación 1 2 1 6 3 * 8 b) Resuelva la ecuación anterior. Problemas de aplicación Diga el nombre de cada propiedad. 15. Si x = 13,entonces 13 = x. 17. Si b = c y c = 7, entonces b = 7. 19. a + c = a + c 2L Si x = 8, entonces * - 8 = 8 - 8. 23. Si 5* = 4, entonces-j(5*) = j í 4). * • S í + 3 = 6 1em° nCeS 12( í + s ) = 12( f ) ' 16. S ix + 2 = 3,entonces 3= x + 2. 18. Si* + 1= a y a = 2y, entonces* + 1 = 2 y. 20. Si* = 4 ,entonces* + 3 = 4 + 3 . 22. Si 2* = 4,entonces 3(2*) = 3(4). 24. Si* + 2 = 4,entonces*+ 2 - 2 = 4 - 2 . 26. Si* - 3 = * + y y* +y= z,entonces* - 3 = z. Indique el grado de cada término. 1
- 105. Sección 2.1 •Resolución de e c u a c io n e s lineales • 7 7 3L 6 32. - 3 33. -5 * 3 4 18 * V 35. 5a2b*c 36. *4y6 37. 3x5y 6z 38. - 2 x*y7z? Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, indíquelo. 39. 7r + 3 b - 11* +12y 40. 3x2 + 4* + 5 41. 5*2 - 3x + 2x - 5 42. l i a - 126 - 4c + 5a 43. 10.6c2- 2.3c + 5.9c - 1.9c2 4 4 l y + 3x - 7 + 4* - 2y 45. 103+ ic2- íe + 1 46. b + b2 - 4b + b2 + 3b 47. 6p q - 7pq + p + q 48. 7 * V + 11y3*2 49. 1 2 ^ | + - d 50. 4.3 - 3.2* - 2(x - 2) 5L 3^.t + j ) - j * + 5 52. 6n + 0.6(n - 3) - 5(n + 0.7) - 53. 4 - [6(3* + 2) - *] + 4 54 3(* + y) - 4 (* + y) - 3 55. 4* - [3* ~ (5* - 4y)] + y 56. -2 [3 * - (2y - 1) - 5x ] + y 57. 5b - {7[2(3¿> - 2 ) - (4b +9)] - 2} 58. 2{[3a - (2b - 5a)] - 3(2a - ¿>)} 59. —{[2rs - 3(r + 2s)]- 2(2r 2- s)} 60. p2q + 4pq - [ - ( p q + 4p2g) + pq] Resuelva cada ecuación. 61. 5a - 1 = 14 61 Si * + 3 + * = 9 63. 5* - 9 = 3(* - 2) 64 5s - 3 = 2s + 6 65. 4* - 8 = -4 (2 * - 3) + 4 66. S w + 7 = -3 to - 4 67. - 6 (z - 1) = - 5 (z + 2) 68. 7(* "- 1) = 4(* + 2) 69. - 3 (/ - 5) = 2 (t - 5) 70. + H C -¡ 1 II 1 H 7L 3* + 4(* - 2) = 4* - 5 72. 6(9 - 3) = - 4 (q + 2) 73. 2 - (* + 5) = 4* - 8 74 4* - 2(3* - 7) = 2* - 6 75. P ~ (P + 4) = 4(p - 1) + 2p 76. 8* + 2 (x - 4) = 8* + 10 77. -3(>r - 1) + 2y = 4(y - 3) 78. 5r - 13 - 6r = 3(r + 5) - 16 79. 6 - (* + 3) = 3* + 5 - 2* 80. 8 - 3(2* - 4) = 5 + 3* - 4* 8L 4(2* - 2) - 3(* + 7) = - 4 82. - 2 ( 3 w + 6) - (4ic - 3) = 21 83. -4 (3 - 4*) - 2(* - 1) = 12* 84. -4 (2 z - 6) = -3 (z - 4) + z 85. 5(a + 3) - a = - (4a - 6) + 1 86. 3(2* - 4) + 3(* + 1) = 9 87. 5(* - 2) - 14* = * - 5 88. 3[6 - (h + 2)] - 6 = 4 ( - h + 7) “ 89. 2[3* - (4* - 6 ) ] = 5(* - 6) 90. - z - 6z + 3 = 4 - [6 - z - (3 - 2z)] 91. 4{2 - [3(c + 1) - 2(c + 1)]} = -2 c 92. 3{[(* - 2) + 4*] — (jc —3)} = 4 - (* - 12) 93. -{ 4 (d + 3) - 5[3d - 2(2d + 7)] -8 } = -lO d - 6 94 -3 (6 - 4*) = 4 - {5* - [6x - (4* - (3* + 2))]} Resuelva cada ecuación. Si su respuesta no es un entero, déjela como una fracción. 95. ^ = -1 6 96. 3 = 2 97. — ^ 2 = - 6 98. | ( 6 * - 10) = 7 99. j í + = 39 100. ^ (* - 2) = ^ (2 * + 6 ) 10L 4 - | * = 7 102. a: - 2 = | ( * + 4) £¡ 103. | = | * - ^ 104. | m - ^ + | Resuelva cada ecuación. Redondee las respuestas al centésimo más cercano. 105. 0.4* + 4.7 = 5.1* 106.0.2(* - 30) = 1.6* 107. 4.7* - 3.6(* - 1) = 4.9 108. 6.1p - 4.5(3 - 2p) = 15.7
- 106. 7 8 •Capítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades 109. 5(z + 3.41) = -7.89(2z - 4) - 5.67 110. 0.05(2000 + 2*) = 0.04(2500 - 6*) 111. 0.6(500 - 2.4*) = 3.6(2* - 4000) 112. 0.42* - * = 5.1(* + 3) 113. 1000(7.34*7 + 14.78) = 100(3.91 - 4.21?) 114. 0.6(14* - 8000) = -0.4(20* + 12,000) + 20.6* Determine el conjunto solución para cada ejercicio. Luego indique si la ecuación escondicional, inconsistente o una identidad. 115. 3(y + 3) - 4(2y - 7) = - 5 y + 2 116. 4* + 12 - 8* = -6 (* - 2) + 2* 117. 4(2* - 3) + 5 = -6 (* - 4) + 12* - 31 118. -5 (c + 3) + 4<c - 2) = 2(c + 2) 119. - { - b + 7) - 6( b + 3) = - 5 ( b + 5) 120. - [ 4 - (* - 2)] = 2* - 2 - * £ 121. 6(* - 1) = -3 (2 - *) + 3* 122. 6(z + 5) - 5(z + 2)= -3 (z + 1) + 4(z - 5) 123. - 5 (d - 4) + 3d - 5 = 3{d + 1 - 2d)+ d 124. 4(2 - 3*) = -[6 * - (8 - 6*)] Resolución de problemas w 125. Bebés dormilones El doctor Richard Ferber, un pediatra experto en problemas del sueño, ha desarrollado un méto do* para ayudar a los niños, de 6 meses de edad en adelan te, a dormir toda la noche. Conocido como "Ferberizing”, este método consiste en que los padres deben esperar in tervalos de tiempo cada vez más grandes antes de entrar a la habitación del niñopara consolarsu llanto durante la noche. El tiempo sugerido de espera depende de cuántas noches se ha utilizado el método, y puede determinarse por medio de la ecuación W = 5n + 5 en donde W esel tiempo de espera en minutos y n es el nú mero de noches. Por ejemplo, la primera noche es n = 1, lasegunda noche es n = 2, etcétera. a) ¿Cuánto deben esperar los padres la primera noche? b) ¿Cuánto deben esperar la cuarta noche? c) ¿En qué noche los padres deben esperar 30 minutos? d) ¿En qué noche deben esperar 40 minutos? sucesivamente. Si la densidad de población continúa en aumento a la tasa actual, a) determine la densidad poblacional de Estados Unidos en 2005. b) ¿en que año la densidad poblacional de Estados Uni dos llegará a 100personas por milla cuadrada? 127. Participación de mercado de losfabricantes de automó viles Desde 1993, los fabricantes estadounidenses de au tomóviles han ido perdiendo parte del mercado ante sus competidores de Asia y Europa. Del total de automóvi les vendidos en Estados Unidos,el porcentaje que corres ponde a los autos de fabricacióndoméstica puede estimarse usando la ecuación M = -1.26* + 75.34 en donde M es el porcentaje de automóviles de fabrica cióndoméstica del total vendido en Estados Unidos, y * es el número de años desde 1993. Utilice * = 1 para 1994, * = 2 para 1995,etcétera. a) ¿Qué porcentaje del total de automóviles vendidos en Estados Unidos corresponde a autos de fabricacióndo méstica en 2003? b) ¿En qué año el porcentaje de autos de fabricación doméstica será de 58.%% sobre el total de ventas en Estados Unidos? 126. Densidadpoblacional La densidad poblacional de Esta dos Unidos ha aumentado de manera constante desde 1990,y puede estimarse por medio de la ecuación P = 0.8l í + 70.4 en donde P es la densidad poblacional, es decir, el núme rode personas por milla cuadrada, y i es el número de años desde 1990. Utilice t = 1para 1991, t = 2 para 1992, y así •Antes de utilizareste método, los padres deben consultar a un médico pediatra.
- 107. Sección 2 .2• Resolución d e p roblem as y u so d e fórm ulas • 7 9 128. Pensiones Las pensiones son seguros de vida que garan tizan pagos futuros. Una de sus variantes,denominada pen sión variable, es una cuenta de retiro que permite invertir en un fondo mutualista y diferir el pago de impuestos has ta que se realicen los retiros en el futuro. El número de personas que opta por este tipo de pensiones ha aumen tado de manera constante en los años recientes, y su núme ro puede calcularse mediante la ecuación S = 10* + 20 en donde S representa la venta total de pensiones varia bles (en miles de millones de dólares), y x es el número de años desde 1991. Utilice x = 1 para 1992, x = 2 para 1993, etcétera. a) Determine la venta total de pensiones variables en 2001. b) ¿En qué año la venta de este tipo de pensión alcanza rá los 140 mil millones de dólares? 129. Población deJamestown La poblacióndel municipio de Jamestown, en Wisconsin, ha estado creciendo paulatina mente desde 1996. La población puede calcularse usando la ecuación P = 7* + 2170 en donde P es la poblacióndel municipiode Jamestown y x es el número de años desde 19%. Utilice x = 1para 1997, x = 2 para 1998,y así sucesivamente. a) ¿Cuál fue la población en 2003? b) Sicontinúa la misma tasa de crecimiento, ¿en qué año la población llegará a 2240 habitantes? 130. Cbnsidere la ecuación x = 4. Proporcione tres ecuaciones equivalentes. Explique por quéson equivalentes. 131. Cbnsidere la ecuación 2x = 5.Proporcione tres ecuaciones equivalentes. Explique por quéson equivalentes. 132. Invente una ecuaciónque sea una identidad. Explique có mo creó la ecuación. 133. Invente una ecuación que sea inconsistente. Explique có mo creó la ecuación. 134. Cree una ecuacióncon tres términos a la izquierda del sig no igual y dos términos a la derecha, y que sea equivalen te a la ecuación 3x + 1 = x + 5. 135. O ee una ecuacióncon dos términos a la izquierda del sig no igualy tres términos a la derecha, y que sea equivalen te a la ecuación x + 3 = 6. 136. En la ecuación-3(x + 2) + 5x + 12 = n, ¿qué número real debe ser n para que la soluciónsea 6? Explique cómo de terminósu respuesta. 137. En la ecuación 2(x + 5) + n = 4x - 8, ¿qué número real debe ser n para que la solución sea -2 ? Explique cómo determinósu respuesta. 138. En la ecuación f + J = 2, ¿qué número real debe ser n para que la solución sea x = 2? Explique cómo determi nósu respuesta. Resuelva cada ecuación para el símbolo dado. Suponga que el símbolo que despeja representa la variable, y que todos los demás símbolos representan números reales diferentes de cero. Vea el ejemplo 11. 139. D e* A - □ = ©despeje A. 141. De © □ + A = 0 despeje O. 140. De A (O + □) = 0 despeje A. 142. De A (O + □) = 0 despeje □. Ejercicios de repaso acumulativo [1.3] 143. a) Explique con sus propias palabras cómo se de termina el valor absoluto de un número, b) Escriba la definiciónde valor absoluto. [1.4] Evalúe. 144. a) - 3 2 145. ^ = 6 4 3 3 146. - b) ( - 3 ) 2 2 . 2 R E S O L U C IÓ N D E P R O B L E M A S Y U S O D E F Ó R M U L A S 2 f e 1 Usar ©I procedimiento para resolución de problemas. 2 Despejar una variable en una ecuación o fórmula.
- 108. 8 0 •Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades 1 Usar el procedimiento para resolución de problemas U na d e las principales razones p ara estudiar matem áticas, es q u e las podem os utilizar p ara resolver problem as d e la vida diaria. Para resolver d e form a m atem ática casi to dos los problem as d e aplicación d e la vida real, es necesario q u e podam os expresarlos m ediante símbolos m atem áticos e n expresiones o ecuaciones; al hacerlo, estam os crea do un m odelo m atem ático de la situación. E n esta sección se presenta un procedim iento p ara resolución d e problem as y se analizan fórmulas. U na fórm ula es una ecuación o m odelo matem ático d e una situación d e la vida real. A lo largo del libro resolveremos problem as y, p ara hacerlo, determ ina remos una ecuación o fórmula que represente o m odele la situación del mundo real. A continuación se indica un procedim iento general d e cinco pasos p ara resolver problem as, desarrollado p o r G eorge Polya y presentado en su libro How to Solve it (Cóm o resolverlo). Siguiendo este procedim iento general, es posible enfrentar cual q uier problem a. G u ía p a ra la re s o lu c ió n d e p ro b le m a s 1. Entienda el problema • Lea el problema cuidadosamente al menos dos veces. En la primera lectura, hágase una idea general del problema. En la segunda, determine a) exactamen te qué se le está pidiendo, y b) qué información proporciona el problema. • De ser posible, haga un bosquejo que ilustre el problema. Identifique la infor mación proporcionada. • Liste la información en una tabla, si cree que hacerlo le ayudará a resolver el problema. 2 Traduzca el problema a lenguaje matemático. • Pór lo general, esto quiere decir expresar el problema en forma algebraica. • En ocasiones esto incluye la selección de una fórmula específica a utilizar; en otras, usted tendrá que crear su propia ecuación. Incluso, podría ser necesario verificar otras fuentes de información para encontrar la fórmula apropiada que se debe utilizar. Realice los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema. 4 Compruebe la respuesta obtenida en el paso 3. • Pregúntese: “¿esta respuesta tiene sentido?, ¿es razonable?”. Si la respuesta no es razonable, vuelva a verificar el método que utilizó para resolver el problema y compruebe sus cálculos. • De ser posible, verifique la solución en el problema original. & Responda la pregunta. Asegúrese de haber respondido la pregunta realizada. Es tablezca las respuestas con claridad. Los siguientes ejem plos m uestran cóm o aplicar estas instrucciones p ara la re solución d e problem as. E n algunos ejem plos se indicarán claram ente los cinco p a sos p ara ilustrar e l procedim iento. Sin em bargo, en o tro s q u izá no se a posible o necesario. Como se indica en el paso 2 d e la guía para la resolución d e problem as — traduz ca elproblem a a lenguaje matemático— .algunas veces es necesario encontrar y usar una fó rm u la ; en e sta sección se m uestra cóm o hacerlo. E n la sección 2.3 explicarem os cóm o construir ecuaciones p ara resolver problem as d e la vida real. EJ E M P L O 1 Préstam o personal Sofía G utiérrez le hace un préstam o a su herm ano, Saúl. E l m on to del préstam o es d e $5000, con un interés simple d e 6% anual, y Saúl tendrá q u e d e volverlo 3 años después. George Polya
- 109. Se cció n2.2 • Resolución d e p ro b le m a s y u so d e fórm ulas • 8 1 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO67 E J E M P L O 2 Solución a) ¿Q ué interés le pagará Saúl a Sofía transcurridos los 3 años? b) Cuando Saúl pague el préstam o 3 años después, ¿cuánto dinero,en total,deberá p a garle a Sofía? a) E n tie n d a e l p r o b le m a Cuando una persona obtiene un préstam o con interés simple, deberá pagar tanto el interés com o el capital (es decir, el m onto original que se le prestó) en una fecha determ inada. Por ejem plo, si un préstam o con interés sim ple tiene una vigencia d e 3 años, transcurrido ese tiem po tendrá q u e pagarse el capi tal m ás el interés. E n el problem a se nos dice q u e el interés simple tiene una tasa de 6% , y q u e la vigencia del préstam o es d e 3 años. T r a d u z c a M uchos libros d e m atem áticas financieras y d e inversiones incluyen la fórm ula d e interés simple: interés = capital • tasa • tiem po o i = p rt E sta fórm ula puede usarse p ara determ inar el interés simple, i. E n la fórm ula, p es el capital,r es la tasa d e interés sim ple (siem pre se cam bia a form a decim al cuando se usa en la fórm ula) y t es el tiempo. E l tiempo y la tasa deben representarse en las mismas unidades. Por ejem plo, si la tasa es de 6% p o r año,entonces el tiempo deb e represen tarse en años. E n este problem a,p = $5000, r = 0.06 y t = 3. E l valor del interés sim ple, i, se obtiene sustituyendo estos valores en la fórmula. i = prt Realice los cálculos = 5000(0.06)(3) = 900 C o m p r u e b e L a respuesta p arece razonable, ya q u e indica q u e Saúl pagará $900 p o r utilizar los $5000 d e Sofía d u ra n te 3 años. R e s p o n d a a ) Saúl le pagará a Sofía $900 d e interés simple. b) Transcurridos 3 años, Saúl deb e pagar el capital q u e le prestaron, $5000, m ás el in terés determ inado en la p arte a ), $900. (E l capital m ás el interés que se deb e se d eno m ina m onto adeudado, A ). Por lo tanto, cuando Saúl salde su deuda, deberá pagarle $5900 a Sofía. # Finanzas personales Catalina C arm ona recibe un reem bolso d e im puestos p o r $1425, e invierte este dinero p ara ayudar a pagar el prim er sem estre d e la universidad d e su hermano. Catalina invierte el dinero en un certificado d e depósito q u e le ofrece una tasa d e interés anual d e 3% com puesto d e form a m ensual durante 18 meses. a) ¿Cuánto valdrá el certificado d e depósito después d e 18 meses? b ) ¿C uánto ganará C atalina p o r concepto d e intereses d u ran te los 18 meses? a) E n tie n d a e l p r o b le m a A ntes d e nada, deb e com prender qué es el interés com puesto. E ste concepto significa q u e el inversor obtiene un interés sobre inversión en el prim er periodo; en el periodo siguiente, obtiene el interés sobre su inversión, m ás el interés sobre el interés q u e se pagó en el prim er periodo. E ste proceso se repite en ca d a periodo. Com o puede ver, en m uchas situaciones d e la vida real, y en m uchas que podrían presentársele en su trabajo, es necesario hacer cierta investigación p ara res ponder las preguntas q u e se nos plantean. Según se plantea en el problem a, se hizo una inversión d e $1425 p o r 18 m eses y con una tasa d e interés d e 3% com puesto mensual.
- 110. 8 2 •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades T r a d u z c a Si busca en un libro de m atem áticas financieras o le pregunta a una p er sona relacionada con las finanzas, averiguará q u e la fórm ula del interés com puesto es: a = p{ 1+ 0 “ Las instituciones financieras utilizan la fórmula del interéscompuesto para calcular la can tidad acum ulada (o el saldo),A ,de las cuentas de ahorros y otras inversiones que deven gan interés com puesto. E n la fórm ula,/? representa el capital (o inversión inicial),r representa la tasa d e interés (escrita en form a decim al), n representa el número d e p e riodos p o r año que se paga el interés, y t representa el tiempo m edido en años. E n este problem a,/? = $1425,r = 0.03,t = 1.5 (18 meses es igual a 1.5 años) y,como el interés se paga cada mes, n = 12 Sustituya estos valores e n la fórm ula y haga los cálculos. a = p( 1+ 0 " ' = 1425^1 + R e a lice lo s c á lc u lo s = 1425(1 + = 1425(1.0025)1 8 = 1425(1.04596912) Obtenido con una calculadora. = 1490.51 Redondeadoal centavo más cercano. C o m p r u e b e L a respuesta, $1490.51, es razonable, ya q u e es una cantidad supe rior a la q u e C atalina invirtió al principio. R e s p o n d a El certificado d e depósito d e C atherine tendrá un valor d e $1490.51 transcurridos 18 meses. b) E n tie n d a e l p r o b le m a El m onto total q u e se obtiene p o r concepto d e intereses será la diferencia en tre el m onto original invertido y el valor del certificado d e depó sito transcurridos los 18 meses. T ra d u z c a interés = ( A v/alor d el cerf ‘cad ° d e ) - ( m onto ¡"v ertid o ') depósito d esp u és d e 18 m e s e s / originalm ente / R e a lic e lo s c á lc u lo s = 1490.51 - 1425 = 65.51 C o m p r u e b e E l m onto d e los intereses es razonable, y e l cálculo p u ed e verifi carse fácilm ente. AHORARESUELVAELEJERCICIO77 R e s p o n d a El interés ganado en el periodo d e 18 m eses será d e $65.51. # M uchas veces, las fórm ulas incluyen subíndices,que son núm eros (u otras varia bles) colocados debajo y a la derecha d e las variables; su función es ayudar a clarificar las. Por ejem plo, si una fórm ula co n tien e dos velocidades, la velocidad inicial y la velocidad final, estas velocidades pueden representarse com o V0y respectivam en te. Los subíndices se leen usando la palabra “sub”. Por ejem plo, Vf se lee “V su b / ’y x2 se lee “* sub 2”. L a fórm ula utilizada en el ejem plo 3 tiene subíndices. E J E M P L O 3 C om paración de inversiones M ariana G óm ez percibe ingresos p o r un m onto gra- vable co n un im puesto federal d e 27% . M ariana está tratan d o d e decidir si deb e invertir en bonos m unicipales libres d e im puestos (que pagan una tasa d e interés de 2.24% ), o en certificados d e depósito gravables co n una tasa d e 3.70%. a ) D eterm ine la tasa d e interés gravable equivalente a 2.24% lib re d e im puestos p a ra M ariana. b) Si am bas inversiones tuvieran vigencia p o r el mismo periodo, ¿cuál le proporciona ría a M ariana el m ayor rendim iento sobre su inversión?
- 111. S e cción 2 .2 • Resolución de p ro b le m a s y u so de fórm ulas • 8 3 S o l u c i ó n a) Entienda el problema Los intereses q u e recibimos p o r ciertas inversiones,como los bonos m unicipales, no so n gravables. E sto significa q u e no tenem os q u e pagar im puestos federales sobre el interés q u e recibimos. Los intereses devengados p o r otras inversiones com o las cuentas d e ahorro o los certificados d e depósito, sí son gravables. Pagar im puestos sobre el interés, provoca una reducción en el m onto q u e en realidad deberíam os recibir p o r nuestra inversión. D e acuerdo con el problem a, necesitam os d e term inar la tasa d e interés gravable q u e es equivalente a una tasa d e 2.24% libre d e im puestos para M ariana (o para cualquier persona que perciba ingresos gravables con una tasa fiscal d e 27% ). Traduzca U n a fórm ula q u e ofrecen m uchos libros d e finanzas y algunas publica ciones gubernam entales p ara com parar tasas d e interés gravables y libres d e im puestos es T f = 7.(1 - F ) en donde Tf es la tasa libre de impuestos, T¿ es la tasa gravable y F e s el rango d e in gresos gravables con impuestos federales. P ara determ inar la tasa gravable, Ta>susti tuim os los valores apropiados en la fórm ula y despejam os Ta. Tf = 7.(1 - F ) 0.0224 = Ta( 1 - 0.27) Realice los cálculos 0.0224 = Tfl(0.73) 0.0224 = 0.73 0.0307 ~ Ta Redondee a cuatro decimales. Compruebe L a respuesta parece razonable, ya q u e es m ayor a 2.24% , tal com o se esperaba. Responda La tasa d e im puestos gravable equivalente p a ra M ariana es d e alrede d o r d e 3.07% ; esto significa q u e después d e pagar impuestos, una inversión gravable q u e produzca alrededor d e 3.07% le daría a M ariana aproxim adam ente la m ism a ta sa d e interés q u e una inversión libre d e im puestos d e 2.24%. b) Se nos pidió determ inar q u é inversión proporcionaría a M ariana el m ayor rendi m iento sobre su inversión. Podem os com parar la tasa gravable equivalente a los bonos municipales,con la tasa d e interés gravable d e los certificados d e depósito. L a tasa más alta proporcionará a M ariana el m ayor rendim iento sobre su inversión. Como vimos en la parte a),la tasa gravable equivalente a los bonos municipales es de 3.07%. La tasa sujeta a impuestos d e los certificados d e depósito es d e 3.70%. Por lo tanto,el certificado d e depósito, que paga 3.70%, d ará a M ariana un mayor rendim iento AHORARESUELVAELEJERCICIO 83 sobre su inversión que el bono municipal libre de im puestos,que paga 224% . # 2 Despejar una variable en una ecuación o fórmula H ay m uchas situaciones en las q u e usted podría tener una ecuación o fórm ula con una variable despejada, pero tener la necesidad d e despejar otra. E n el ejem plo 3, supon ga q u e querem os determ inar la tasa gravable equivalente, Tayp ara m uchas tasas d e in terés libres d e im puestos y m uchos rangos d e ingresos. Podríam os resolver cada problem a d e form a individual, com o ya lo hicimos. Sin em bargo, sería mucho más rá pido despejar Taen la fórm ula Tf = Ta( l - F) y luego sustituir los valores apropiados en la fórmula. H arem os esto en el ejem plo 8. Com enzarem os resolviendo ecuaciones p ara la variable y. N ecesitarem os hacer esto en el capítulo 3,cuando estudiem os graficación. Como las fórmulas son ecuaciones,
- 112. 8 A •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades E J E M P L O 4 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO29 E J E M P L O 5 Solución E J E M P L O 6 Solución p ara despejar una variable en ellas se usa el mismo procedim iento q u e p ara despejar la en una ecuación. CXiando se le d é una ecuación (o fórm ula) con una variable despejada y usted quiera despejar o tra diferente, trate cada variable d e la ecuación, excepto la q u e quie re despejar, com o si fuesen constantes. Después, aísle la variable q u e quiere despejar utilizando los mismos procedim ientos q u e se utilizan p ara resolver ecuaciones. D espeje y en la ecuación 5x - Sy = 16. D espejarem os la variable y aislando el térm ino que contiene a y en el lado izquierdo d e la ecuación 5 * - 8y = 16 5 x - 5 x - 8 y = - 5 x + 16 —8y = - 5 * + 16 - 8 y —5* + 16 -8 y = y = y = -8 - 5 x + 16 - 8 - l ( - 5 * + 16) —1 (— 8) 5 x - 16 Peete 5x en amboe ladoe. C^vidaamboe ladoe entre Multipliquepor-1 el numeradory el denominador. 8 O y - J X - 2 D espeje y en la ecuación 2y - 3 = —(x + 3 y ). Com o la ecuación contiene una fracción, em pezam os p o r m ultiplicar am bos lados por el mínimo com ún denom inador, 2. Luego aislamos la variable y agrupando todos los térm inos q u e la contienen en un lado d e la ecuación, y los dem ás térm inos en el otro lado. 2 y - 3 = ~ ( x + 3y) 2 (2y - 3) = 2 + 3y) 4 y - 6 = x + 3y 4y - 3y - 6 = x + 3y - 3y y - 6 = x y - 6 + 6 = * + 6 y = x + 6 Multiplique amboe ladoeporel MCD,2. Propiedaddietributiva. Peete 3y en amboe ladoe. Sume &en amboe ladoe. A hora despejem os una variable en una fórmula. R ecuerde: nuestro objetivo es aislar la variable q u e querem os despejar. Para ello usam os el mismo procedim iento general em pleado en los ejem plos 4 y 5. L a fórm ula p ara calcular el perím etro d e un rectángulo es P =21 + 2 w ,en donde / es el largo y w es el ancho del rectángulo (vea la figura 2.2). D espeje w en esta fórmula. Ya q u e vam os a despejar la variable w ,debem os aislarla en un lado d e la ecuación.
- 113. S e cción 2 .2 • Resolución de p ro b le m a s y u so de fórm ulas • 8 5 Rectángulo / FIGURA 2.2 E J E M P L O 7 Solución Trapecio b2 FIGURA 2.3 AHORARESUELVAELEJERCICIO57 E J E M P L O 8 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 63 P = 21 + 2 w P - 2 1 = 21 - 2 1 + 2w P - 2 1 = 2w P - 2 1 = 2 w 2 2 P - 2 1 Peste 21 en ambos ladoe. C^vida amboe ladoe entre 2. = w P - 2 1 P 21 P A * » - “ ¿ - o W = - - - = - - l . # L a fórm ula p ara determ inar el área d e un trapecio es A = h ( b i + b2)>en donde h es la altura y b xy b2son las longitudes d e las bases inferior y superior del trapecio, res pectivam ente (vea la figura 2.3). D espeje b2 en esta fórmula. Em pezam os multiplicando am bos lados d e la ecuación p o r el M C D , 2, p ara elim inar las fracciones. A = - h ( b t + fe) 2 ■A = 2 'h ( b i + b2) 2A = h(bi + bz) 2 A _ h ( b + b2) h 2 A h h = bx + b2 2 A h 2 A h ~ b = bx — bi + b2 - b ^ b , Multiplique amboe ladoe por2. Vivida amboe ladoe entre h. Peste b en amboe ladoe. E n el ejem plo 3 se presentó la fórm ula 7) = Ta(1 - F). a) D espeje Ta en esta fórmula. b ) Juan y D olores Cuevas perciben ingresos p o r un m onto gravable con 35% . ¿Cuál es el rendim iento gravable equivalente a 3% del rendim iento libre d e impuestos? a) D eseam os despejar Ta en esta fórm ula. Por lo tanto, tratarem os a todas las dem ás variables d e la ecuación com o si fueran constantes. Com o la variable Tase multiplica p o r (1 - F), p ara aislarla dividimos am bos lados d e la ecuación en tre 1 - F. 1 - F Olvida amboe ladoe entre 1 —F. 1 - F = Tn o r T„ = 1 - F b ) Sustituya los valores apropiados en la fórm ula resultante en la p arte a). Ta = 1 - F 0.03 T = a 1 - 0.35 0.03 0.65 « 0.046 Así, el rendim iento gravable equivalente sería d e alrededor d e 4.6%.
- 114. 8 6 •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 2 . 2 Ejercicios conceptuales L ¿Quées una fórmula? 2. ¿Quées un modelo matemático? 3. Describa el procedimiento de cinco pasos que utilizare mos para la resolución de problemas. 4. Para despejar una variable en una fórmula, necesitamos aislarla. Explique qué significa esto. 5. En la ecuación 16 = 21+ 2(3) y la fórmula P = 21 + 2w, a) despeje / de la ecuación. b) despeje / de la formula. c) ¿Fue diferente el procedimiento que utilizó para des pejar / en la fórmula que el que usópara despejar / en la ecuación? d) En la fórmula de la parte b) en que despejó /, sustitu ya P por 16 y w por 3; luego determine el valor de /. ¿Cómo se compara el resultado con la respuesta que dio en la parte a)? Explique por qué. 6 . a) ¿Qué son los subíndices? b) ¿Cómo se lee x07 c) ¿Cómo se lee ly? Problemas de aplicación Evalúe las siguientes fórmulas para los valores dados. Utilice la tecla ir de su calculadora cuando sea necesario. Redondee las res puestas al centésimo más cercano. 7. E = IR, cuando I = 1.2, R = 100 (fórmula conocida como hb 17. Ley de Ohm,utilizada en electrónica y electricidad). 8. C = 27rr cuando r = 12 (fórmula para determinar la cir cunferencia de un círculo). 9. R = R x + R2,cuando Rx = 100, R2 = 200 (fórmula utiliza da en electrónica y electricidad). 10. A = ^b h cuando b = l , h = 6 (fórmula para determinar el área de un triángulo). 1L A = tti2cuando r = 8 (fórmula para determinar el área de un círculo). 12. P x = T XP2 cuando T , = 250, T2 = 500, P2 = 300 14 A = ~^h{b + b2) cuando h = 10, b = 20, ¿>2 = 30 (fórmula para determinar el área de un trapecio). 15. A = P + Prt cuando P = 200,r = 0.05, t = 2 (fórmula ban cada para calcular el saldo total de una cuenta después de agregar el interés). 16. E = ax p x + a2 p 2cuando a, = 10,p x = 0.2, a2 = 100,p2 = 0.3 (fórmula estadística para determinarel valor esperado de un evento). 21. * = (fórmula química que relaciona la temperatura y la presión de gases). 13. x = — j cuando x¡ = 40, x2 = 120, -c3 = 80 (fórmula para determinar el promedio de tres números). 22. x = m _ y_i— y>_cuandoy2= 4ty, = - 3 , x2 = - 2 , x x = -6 X2 X (fórmula para calcular la pendiente de una línea recta; es tudiaremos esta fórmula en el capítulo 3). m ,nu 18. F = G — cuando G = 0.5 m, = 100, m2 = 200, r = 4 (fórmula de física que proporciona la fuerza de atracción entre dos masas separadas por una distancia, r). R R = '""V cuando R = 100, R2 = 200 (fórmula de K1 + « 2 electrónica para determinar la resistencia total en un cir cuito paralelo que tiene dos resistores 20. d = V (* 2 - * i ) 2 + (y z -y i)2 cuando x2 = 5, xx = -3, y2 = -6 , yx = 3 (fórmula para determinar la distancia en tre dos puntos sobre una línea recta; estudiaremos esta fórmula en el capítulo 10). - b + V¿>2 - 4ac — cuando a = 2, b = -5 , c = -1 2 la 23. (de la fórmula cuadrática; analizaremos la fórmula cua drática en el capítulo 8). - b - V b 2 ~ 4ac , „ , . cuando a = 2, b = 5, c = -1 2 2a (de la fórmula cuadrática). A = p ^ l + cuandop = 100,r = 0.06, n = 1, t = 3 (fórmula para calcular el interés compuesto; vea el ejem plo 2). x - ¡x a V ñ cuando x = 80, ¡x - 70, a = 15, n = 25 (fórmula estadística para determinar la desviación están dar, o calificación z,de una media muestral,7)
- 115. Sección 2 .2• Resolución d e p roblem as y u so d e fórm ulas • 8 7 Despeje y en cada ecuación (vea ios ejemplos 4 y 5). £ 25. 3x + y = 5 26. Ix + 3y = 9 27. x - 4 y = 13 28. -3 * + 5y =25 29. 6 x - 2 y = 16 30. 6 r = l y + 23 31. x - y = 1 32. * - ' = 1 4 6 £ 33. 3( x - 2) +3y = 6x 34 'O + H C N | m I I 1 35. y + 1 = ~ ( x - 9) 36. + 3y) =j ( 2 x Despeje la variable indicada en cada ecuación (vea ¡os ejemplos 6 a 8). 37. d = rt, para / 38. C = 7tí/, para d 39. i = prt, para / 40. A = Iw , para / 41. P = 2/ + 2tü, para / 4Z P = 21 + 2to, para tu 43. V = Iwh, para h 44. A = —bh, para b 45. V = 7rr2/i, para h 46. A x + B y = C, para y 47. V = j hoh, para l 48. A = P + Prt, para r 49. y = m x + b, para m 50. IR + Ir = E, para F 5L y - y, = m (x - *,), para m 52. x - p Z ~ ^ . para <r 53. x - p Z ~ ^ , para/x 54. k x y — — »para z 55. P - 7l/>2 r Pi , p ara/2 '2 56. r - — — , para m 57. >4 = + ¿> 2), para/i 58. X X + * 2 + * 3 y4 ^ .paran 59. 5 = ^ ( / + / ) paran 60. S =f ^ + / ) ' P a r a / 6 L C = |( F - 3 2 ) , p a r a F 61 9 F - ~ C + 32, para C 63. k m xm 2 F 2 ,paraw , d 64 >4 = + /> ? ), para/», Resolución de problemas En los ejercicios 65 a 88, redondee su respuesta a dos decimales cuando sea necesario. 65. Tipo de cambio a) De acuerdo con el sitio Web Universal se podía cambiarse por9.15 pesos mexicanos. Escriba una Converter, el 23 de enero de 2002,1 dólar estadouniden- fórmula para convertir dólares ( d ) a pesos (p).
- 116. 8 8 •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades b) Escriba una fórmula para convertir pesos a dólares. c) Explique cómo determinó sus respuestas a las partes a) y b). 66. Velocidad deI Titanic Los barcos miden en nudos la ve locidad a que se mueven. Por ejemplo, cuando el Titanic chocó con el iceberg, su velocidad era de casi 20.5 nudos. Un nudo equivale a 1 milla náutica por hora. Una milla náutica equivale aproximadamente a 6076 pies. Cuando la velocidad se mide en millas por hora, una milla equiva le a 5280 pies. a) Determine una fórmula para convertir nudos (n) en millas por hora (m). b) Explique cómo determinóesta fórmula. c) Determine la velocidad, en millas por hora, a la que viajaba el Titanic cuando chocó con el iceberg. En los ejercicios 67 a 70, utilice la fórmula para calcular el inte rés simple i = prt. Vea el ejemplo 1. 67. Préstamo personal David Jiménez le prestó a su colega, Mauricio Prado, $550por 4 años a una tasa de interés sim ple de 7% anual. Determine el interés simple que debe pagar Mauricio a David cuando le pague el préstamo al término de los 4 años. 68. Determine la tasa de interés Jerónimo Hernández pidió prestados $250 por dos años a su unión de crédito. El in terés simple que pagó fue de $26.45. ¿Cuál fue la tasa de interés simple que le cobraron? 69. Determine la duración de un préstamo Jacqueline Bel- trán le prestó a su hermana Daniela $20,000 a una tasa de interés simple de 3.75% anual. Al final del periodo del préstamo, Daniela le pagó a Jacqueline los $20,000 origi nales más $4875 de interés. Determine el tiempo que du ró el préstamo. 70. Un certificado de depósito Femando Sáenz recibió $2000 como pago por una conferencia que ofreció en un semina riode planeación financiera. Femando invirtióel dinero en un certificado de depósito durante 2 años. Cuando lo co bró, recibió $2166. ¿Cuál fue la tasa de interés simple que recibiópor este certificado de depósito? Resuélvalos ejercicios 71 a 76;si no estáseguro de qué fórmula debe utilizar, consulte el apéndice A. 71. Área de una diana George Young, campeón de tiro con dardos en el estado de Michigan, practica en una diana con círculos concéntricos,como la que se muestra en la fi gura. / X ^ 5 0 ^ ■ (100 ) ■ '^ p u lg J ---- 6 pulg.------ ---------10pulg.---------- a) Determine el área del círculo marcado con 100. b) Determine el área total de la diana. 72. CorraI infantil Alicia Cortés está planeando construir un corral rectangular para que su hijajuegue.Tiene 38 pies de madera para construirlo. Si el largo del corral será de 11 pies, ¿cuál será el ancho? 73. Concreto para estacionamiento Braulio Ledesma utili zará concreto para hacer un estacionamiento en su casa. El espacio para fabricarlo tiene 15 pies de largo por 10 pies de ancho y 6 pulgadas de profundidad. a) Determine, en pies cúbicos,el volumen de concreto que necesitará. b) Si 1 yarda cúbica = 27 pies cúbicos, ¿cuántas yardas cúbicas de concreto son necesarias? c) Si el concreto cuesta $35 por yarda cúbica, ¿cuál es el costo del concreto necesario? El concreto debe com prarse en yardas cúbicas completas. 74. Área de un helipuerto Un helipuerto de Monterrey, Nue vo León, tiene dos círculos concéntricos, como se muestra en la figura. Determine el área del círculo exterior de la figura. 75. Recipientespara helado Lacompañíade helados de Rodri go y Patricia vende helados en dos recipientes, un bote ci lindrico y una caja rectangular como los que se muestran en la siguiente ilustración. ¿A cuál recipiente le cabe más helado y cuál es la diferencia de volúmenes entre ambos?
- 117. S e cción 2 .2 • Resolución de p ro b le m a s y u so de fórm ulas • 8 9 / T / 3.5 pulg. I> 76. Capacidad de una cubeta Belén Poltorak tiene una cube- ta en la que desea diluirdetergente. Las dimensiones de la cubeta se muestran en la figura. 9 p ulg- 10.5 pulg. a ) Determine lacapacidadde lacubetaen pulgadas cúbicas. b) S 231 pulgadas cúbicas = 1galón, ¿cuáles la capacidad de la cubeta en galones? c) Si las instrucciones de la botella de detergente indican que se debe agregar 1 onza por galón de agua, ¿cuán to detergente debe agregar Belén a la cubeta llena de agua? Rira resolver los ejercicios 77 a 80, consulte el ejemplo 2. « 77. Cuenta de ahorros Beatriz Retana invirtió $10,000en una cuenta de ahorro que paga 6% de interés compuesto ca da trimestre. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta de aho rros al cabo de 2 años? 78. Capitalización mensual Isabel Montes invirtió $8500 en una cuenta de ahorro que paga 6.5% de interés compues to cada mes. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta al cabo de 4 años? Para resolver los ejercicios 81 a 84, consulte el ejemplo 3. 8L Tasagravable equivalente María Pérez es una estudian teque percibe ingresos por un monto gravable con 15% de impuestos federales. Ella está considerando invertir$1500 en un bono de un fondo mutualista libre de impuestos que paga 3.5% de interés simple. Determine la tasa gravable equivalente a 3.5% de tasa libre de impuestos. 82. Comparación de inversiones Laura Girón obtiene ingre sas por un monto gravable con 38.6% de impuestos fede rales, y está tratando de decidir si debe invertir su dinero en un bono municipal libre de impuestos que paga 3% de interés simple, o en un certificado de depósito gravable que paga 3.5% de interés simple. ¿Cuál inversión le da un mayor rendimiento? 83. Inversiónfamiliar Carlos Menéndez percibe ingresos por un monto gravable con 38.6% de impuestos federales, y su hijo, Antonio,obtiene un monto gravable con 27%. Ca da uno de ellos está considerando invertir su dinero en un fondo mutualista libre de impuestos que produce 4.6% de interés simple. a) Determine la tasa gravable equivalente a una tasa libre de impuestos de 4.6% para Carlos. b) Determine la tasa gravable equivalente a una tasa libre de impuestos de 4.6% para Antonio 84. Comparación de inversiones Marissa Fernández está pen sando invertir$9200 en una cuenta gravable que da 6.75%, o en una cuenta libre de impuestos que produce 5.5%. Si Marissaobtiene ingresos por un monto gravable con 27% efeimpuestos, ¿qué inversión le daráel mayor rendimiento? Los ejercicios 85 a 88presentan diversassituaciones.Resuélvalos. 85. Pérdida de peso Un nutriólogo leexplica a JosefinaTorres que, para perder peso, es necesario quemar más calorías de las que se consumen. Por ejemplo, Josefina, una mujer de 5'6"que pesa 132 libras, mantendrá máso menos el mis mo peso con una dieta diaria de 2400 calorías y haciendo ejercicio normal. Si quema más de 2400 calorías diaria mente, perderá una cantidad de libras que puede calcular se mediante el modelo matemático w = 0.02c,en donde w es la pérdida de peso semanal y c es el número de calorías quemadas por día, por arriba de 2400. a) Determine cuántas libras perderá Josefina si hace ejer cicio y quema 2600 calorías por día. b) ¿Cuántas calorías debería quemar Josefina en un día para perder 2 libras en una semana? 79. Certificado de depósito Demetrio Sánchez invierte $4390 en un certificado de depósito que paga 4.1% de interés compuesto cada semestre. ¿Cuánto valdrá el certificado después de 36 meses? 80. Comparación de cuentas Nadia Cisneros tiene $1500 pa ra invertir durante un año,y tiene que decidir entre abrir una cuenta en una unión de crédito que paga 4.5% de in terés simple anual, y una cuenta bancaria que paga 4% de interés compuesto cada trimestre. Determine cuál cuenta pagaría más interés y por cuánto.
- 118. 9 0 •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades 86. Prueba de esfuerzo Qiando un médico realiza una prue ba de esfuerzo en un paciente, sabe que, cuando su ritmo cardiaco llegue a cierto punto, deberá interrumpirla. El máximo ritmo cardiaco permitido, m,en latidos por minu to, puede calcularse mediante la ecuación m = -0.875* + 190,en donde * representa la edad del paciente de 1 a 99 años. Usando este modelo matemático, determine a) el ritmo cardiaco máximo permitido para un persona de 50 años. b) la edad de una persona cuyo ritmo cardiaco máximo permitido es de 160 latidos por minuto. 87. Saldo de una cartera de inversión Algunos especialistas en finanzas recomiendan la siguiente regla a los inversionis tas. De su inversión total, el porcentaje de acciones debe ssr igual a 100 menos su edad; el resto debe ser colocado en bonos o mantenerse en efectivo. a) Construya modelos matemáticos para calcularqué por centaje debe conservarse en acciones (utilice S para re presentarel porcentaje de acciones y a para representar la edad de la persona). b) Utilizando la regla mencionada, determine el porcen taje en acciones que debe poseer una persona de 60 años. índice de masa muscular El índice de masa muscular es una método estándarpara calcular el peso corporal de una persona respecto de su estatura. Para determinar su índi ce de masa corporal (IMC) usando medidas métricas, di vida su peso (en kilogramos) entre su estatura (en metros) elevada al cuadrado. Una forma abreviada para calcular el IMC usando libras y pulgadas, consiste en multiplicar por 705 su peso (en libras) y luego dividir el resultado entre el cuadrado de su altura (en pulgadas). a) Cree una fórmula para determinar el IMC de una per- a>na usando kilogramos y metros. b) Cree una fórmula para determinar el IMC de una per sona cuando el peso está dado en libras y la altura en pulgadas. c) Determine su IMC. Reto s/t 89. En la ecuación r = despeje a) s, b) u. Ejercicios de repaso acumulativo [1.4] 90. Evalúe - V 3 2 + 42 + |3 - 4| - 52. 7 + 9 h - (23 + 4 4) 9L Evalúe |3 —7| + V 5 2 - 32 ’ 92. Evalúe <f - 3a2b + 3ab2- b3cuando a = -2 , b = 3. [2.1] 93. Resuelva la ecuación + = ^ ~ 2 . 3 A P L IC A C IO N E S D E L Á L G E B R A f i f e 1 Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o a una ecuación. 2 Utilizar el procedimiento para resolución d e problemas. 1 T ra d u c ir u n a p ro p o s ic ió n v e rb a l a u n a e x p re s ió n a lg e b ra ic a o a u n a e c u a c ió n E n las siguientes secciones se presentarán algunos d e los m uchos usos del álgebra en situaciones d e la vida real. Cuando sea posible, incluiremos otras aplicaciones relevan tes a lo largo del texto. Q uizá la parte más difícil al resolver un problem a verbal,consiste en transform ar lo en una ecu ació a Éste es el paso 2 del procedim iento para resolución d e problem as qu e se presentó en la sección 2.2. A ntes d e representar los problem as com o ecuacio nes, darem os algunos ejem plos d e frases representadas com o expresiones algebraicas.
- 119. Sección 2 .3• Aplicaciones d e l á lge b ra • 91 E J E M P L O 1 Solución SUG ERENCIA C O N S E J O P A R A E S T U D I A R E J E M P L O 2 Solución SUG ERENCIA Frase Expresión algebraica un núm ero increm entado en 4 x + 4 dos veces un núm ero 2x 5 m enos q u e un núm ero x - 5 1 x un octavo d e un num ero ~ x o — o o 2 más 3 veces un núm ero 3 x + 2 4 m enos 6 veces un núm ero 6 x - 4 3 veces la sum a d e un núm ero y 5 3 (x + 5) A quí utilizamos la variable x en las expresiones algebraicas, pero hubiéram os podido utilizar cualquier o tra p ara representar una cantidad desconocida. E xprese cada frase com o una expresión algebraica. a) E l radio, r, dism inuido en 2 centím etros. b ) 5 m enos q u e dos veces la distancia, d. c) 7 veces un núm ero, n, increm entado en 4. a) r - 2 b ) 2 d - 5 c) I n + 4 # Es importante que se prepare cuidadosamente para estudiar el resto del capítulo; ase gúrese de leer el texto y los ejemplos con cuidado. Asista a clase todos los días y, sobre todo, realice todos los ejercicios que se le asignen. Conforme lea los ejem plos del resto del capítulo, piense cómo se ampliarían para dar respuesta a problemas similares. Como muestra, en el ejem plo 1 a) estableci mos que el radio,r, disminuido en 2 centímetros, podía representarse como r - 2 . Pue de generalizar esto y aplicarlo en otros problemas similares; por ejem plo un peso, w , disminuido en 15 libras, puede representarse como w - 15. Escriba cada una d e las siguientes frases com o expresión algebraica. a) el costo d e com prar x cam isas a $4 cada una b) la distancia recorrida en t horas a 55 millas p o r hora c) el núm ero d e centavos en n m onedas d e cinco centavos d) una com isión d e 8% en una venta p o r x dólares. a) Podem os razonar así: una cam isa costaría 1(4) dólares, dos camisas, 2(4) dólares, tres camisas,3(4) dólares, cuatro camisas, 4(4) dólares, y así sucesivamente. C ontinuan do con esta idea,podem os ver q u e x cam isas costarían x{4) o 4x dólares. Podem os apli car el mismo razonam iento para resolver cada una d e las otras partes. b) 551 c) 5n d) 0.08* (8% se escribe com o 0.08 en form a decim al) # Cuando se nos pide determinar un porcentaje, significa que debemos calcularlo respec to de alguna cantidad. Pbr lo tanto, cuando se menciona un porcentaje, siempre se mul tiplica por un número o una variable. En los siguientes ejemplos utilizamos la variable c, pero podríamos utilizar cualquier otra letra para representarla. (continúa en la página siguiente)
- 120. 9 2 •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades Frase C ó m o se escribe 6% de un número 0.06c el costo de un objeto incrementado en 7% de impuestos c + 0.07c el costo de un artículo disminuido en 25% c - 0.25c A veces,en un problem a se pueden presentar dos núm eros relacionados en tre sí. Con frecuencia representam os uno d e ellos con una variable y el otro con una expre sión q u e contiene a esa variable. Por lo general representam os con la variable la des cripción m enos com plicada, y escribim os la expresión m ás com pleja en térm inos d e la variable. E n los siguientes ejem plos utilizamos * p ara representar la variable. Primer Segundo Frase número núm ero L a edad actual d e D aniel y la edad d e Daniel dentro d e 6 años x * + 6 u n n ú m ero es 4 veces e l o tro x 4x u n n ú m ero es 5 m enos q u e e l o tro x x - 5 u n n ú m ero y e l n ú m ero in crem entado e n 7% X x + 0.07* u n n ú m ero y e l n ú m ero dism inuido en 10% X * - 0.10* la sum a d e dos núm eros es 10 X 10 - * u n a tab la d e 6 pies co rtad a en dos p artes X 6 - * $10,000 com partidos p o r dos personas X 10,000 - * Los últimos tres ejem plos tal vez no resulten muy claros. A nalicem os “la sum a de dos núm eros es 10”. C uando sum am os x y 10 - x obtenem os x + (10 - x) = 10. Cuando una tabla d e 6 pies se co rta en dos partes, éstas serán x y 6 - x. Por ejem plo, si una p arte m ide 2 pies, la o tra debe m edir 6 - 2 = 4 pies. SU G ERENCIA E J E M P L O 3 Suponga que lee el siguiente enunciado en un problema de aplicación:“Una cuerda de 12 pies se corta en dos trozos”. Probablemente sabe que debe usar x (o alguna otra va riable) para representar la longitud del primer trozo de lacuerda, pero quizá no le resul te tan claro si debe utilizar x - 12o 12 - x para representar la longitud del segundo. Para decidirlo, podría ser útil que utilizara números específicos para establecer un patrón. En este ejemplo, podría utilizar un patrón similar al que se muestra a continuación. Si el primer trozo mi de... entonces el segundo trozo m ide... 2 pies 10 pies = 12 pies - 2 pies 5 pies 7 pies = 12 pies - 5 pies Con base en este patrón, es claro que si el prim er trozo mide x pies, entonces el segun do trozo mide 12 - x pies. Para cada una d e las siguientes relaciones, elija una variable q u e represente una can tidad, y exprese la segunda cantidad en térm inos d e la prim era. a) L a velocidad del segundo tren es 1.2 veces la velocidad del primero. b) D avid y su herm ano com parten $90. c) Tomás requiere tres horas más q u e R obería p a ra term inar la tarea. d) H ilda tiene $4 más q u e el doble d e dinero q u e Héctor. e) E l largo d e un rectángulo mide 2 unidades m enos q u e 3 veces su ancho.
- 121. Sección 2 .3• Aplicaciones del á lge b ra • 9 3 Solución a) L a velocidad del prim er tre n ,s; la velocidad del segundo tren, 1.2s b) L a cantidad q u e tiene D avid, a:; la cantidad q u e tiene su herm ano, 90 - x. c) R oberta, l;•Tomás, t + 3 d) H éctor, *; H ilda,2* + 4 e) Ancho, x; largo, 3* - 2 # La palabra es en un problem a verbal, con frecuencia significa es igual a y se re presenta m ediante un signo d e igual, =. P ro p o s ic ió n v e rb a l 4 m enos q u e 3 veces un núm ero es 5 un núm ero dism inuido en 4 es 3 más q u e dos veces el núm ero el producto d e dos enteros consecutivos es 20 un núm ero increm entado en 15% es 90 un núm ero dism inuido en 12% es 38 la sum a d e un núm ero y el núm ero increm entado en 4% es 204 el costo p o r rentar una videograbadora durante x días a $15 p o r d ía es $120 2 U tiliza r el p ro c e d im ie n to p a ra re s o lu c ió n d e p ro b le m a s Existen muchos tipos de problem as verbales, pero el procedim iento general para reso lución d e problem as que se presentó en la sección 2.2 puede utilizarse para resolverlos todos. A continuación se m encionarán nuevam ente los cinco pasos del procedim ien to, para q u e pueda consultarlo con facilidad. H em os incluido inform ación adicional después del paso 2 , ya q u e en esta sección harem os hincapié en la traducción d e p ro blem as verbales a ecuaciones. P ro ce d im ie n to p a ra resolución d e p ro b le m a s d e aplicación I. Entienda el problem a. Identifique la cantidad o cantidades que se le pide d e terminar. 2 Traduzca el problema a lenguaje matemático (exprese el problema como una ecuación). a) Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que representa. Represente cualquier otra cantidad a determ inar en términos de esta variable. b) Utilizando la información del paso a), escriba una ecuación que represente al problema verbal. 3k Realice los cálculos matemáticos (resuelva la ecuación). 4 Compruebe la respuesta (utilice el planteamiento original del problema). & Responda la pregunta planteada. E c u a c ió n a lg e b r a ic a 3 x - 4 = 5 x - 4 = 2 x + 3 x ( x + 1) = 20 * + 0.15* = 90 * - 0.12* = 38 * + (* + 0.04*) = 204 15* = 120 Algunas veces com binarem os los pasos u om itirem os algunos, debido a la limi tación d e espacio. A un si no m ostram os la com probación del resultado d e un proble
- 122. 9 -4 •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades m a, usted siem pre deb e verificarlo p ara asegurarse d e q u e su respuesta es razonable y d e q u e tiene sentido. E J E M P L O 4 Planes para llamadas de larga distancia El plan d e pago d e la com pañía telefónica M e jo res Tiem pos requiere q u e el cliente pague una cuota m ensual base d e $4.75, y luego 7 centavos p o r minuto d e cualquier llam ada d e larga distancia realizada. E l plan d e la em presa Valor del Tiempo no exige un pago m ensual, pero el cliente paga 9 centavos po r m inuto p o r cualquier llam ada d e larga distancia q u e realice. Pablo Jáuregui está pensando co n tratar uno d e estos planes. D eterm ine el n ú m ero d e m inutos q u e é l necesitaría dedicar a llam adas d e larga distan cia p ara q u e el costo d e los dos planes fuesen iguales. Solución Entienda el problema El problem a plantea q u e hay dos planes posi bles: uno no exige el pago de una cuota m ensual y el otro sí. Se nos pide determ inar el número de m inutos de llamadas de larga distancia que daría por resultado que ambos pla nes tuvieran el mismo costo total. Para resolver el problem a, prim ero establecerem os un mismo costo para los dos planes, y luego calcularem os el número d e minutos. Traduzca Sea n = núm ero d e m inutos en llam adas d e larga distancia entonces 0.07 n = costo d e n m inutos a 7 centavos p o r minuto y 0.09 n = costo d e n m inutos a 9 centavos p o r minuto costo delplan M ejores Tiempos = costo delplan Valor del Tiempo cuota m ensual + costo d e la llam ada = costo total d e la llam ada 4.75 + 0.07* = 0.09* Realice los cálculos 4.75 + 0.07* = 0.09* 4.75 = 0.02* 4.75 _ 0.02* 0.02 0.02 237.5 = n Compruebe E l n ú m ero d e m inutos q u e resu lta es razonable, y los cálculos p u e d e n verificarse fácilm ente. Responda Si se utilizaran alrededor d e 238 minutos p o r mes, am bos planes tendrían AHORARESUELVAELEJERCICIO 15 casi e l m ism o COStO total. # E J E M P L O 5 Gastos en salud E l C entro p ara el C ontrol y Prevención d e Enferm edades (CCPE) es un organism o gubernam ental cuya tarea es proteger la salud y seguridad d e la p o blación estadounidense. E n 2002, el C C PE tuvo un presupuesto d e $4.093 mil millones, cantidad q u e incluye un increm ento d e 22.5% respecto del presupuesto d e 2000, pero una dism inución d e 2.6% respecto del presupuesto d e 2001. a) D eterm ine el presupuesto del CC PE en 2000. b) D eterm ine el presupuesto del C C PE en 2001. a) Entienda el problema Necesitamos determ inar el presupuesto que tuvo el CCPE en 2000. Para resolver el problem a usaremos el dato de que el presupuesto se incremen tó en 22.5% entre 2000 y 2002,y que el presupuesto de 2002 fue de $4.093 mil millones. Traduzca Sea x = al presupuesto del C C PE en 2000 ento n ces 0.225x = increm ento del p resu p u esto e n tre 2000 y 2002 / presupuesto del / aumento del presupues- _ / presupuesto del A l CCPE en 2000 ) + l to en tre 2000 y 2002 C C P E en2002 ) * + 0.225* = 4.093 Solución
- 123. Sección 2 .3• Aplicaciones del á lge b ra • 9 5 R ealice lo s c á lc u lo s * + 0.225* = 4.093 1.225* = 4.093 * « 3.341 C o m p r u e b e y r e s p o n d a E l núm ero obtenido es m enor q u e el presupuesto de 2002, tal com o se esperaba. El presupuesto d e 2002 fue aproxim adam ente d e $3.341 mil millones. b) E n tie n d a e l p r o b le m a D ebem os determ inar cuál fue el presupuesto del CCPE en 2001; se nos indicó q u e el presupuesto dism inuyó 2.6% entre 2001 y 2002. TYaduci- rem os esta inform ación en una ecuación, usando un enfoque sim ilar al d e la parte a). T ra d u z c a Sea * = presupuesto del CC PE en 2001 entonces 0.026* = dism inución d el p resu p u esto del C C P E e n tre 2001 y 2002 / presupuesto del / dism inución del presu- / p resu p u esto d e l I C C P E en 2001 t I - ( puesto e n tre 2001 y 2002 I = I C C P E en 2002 ) * - 0.026* = 4.093 R ealice lo s c á lc u lo s * - 0.026* = 4.093 0.974* = 4.093 * * 4.202 C o m p r u e b e y r e s p o n d a E l núm ero obtenido es m ayor q u e el presupuesto de 2002, tal com o se esperaba. Por lo tanto,el presupuesto del CCPE en 2001 fue d e $4.202 mil millones. # M atem áticas en a c c ió n “H ouston, tenem os un problem a.” Estas palabras, p ro nunciadas por el astronauta Jim Lovell (interpretado por Tóm Hanks) en la película Apollo 13, marcaron el inicio de una larga cadena de problemas a los que se enfrentó la tripulación de una nave espacial dañada durante su viaje con destino a la Luna. El “problem a” al que se refiere Lovell es una explosión que cam bió la misión original, aterrizar en la Luna, por la de lograr que los astronautas regresaran a salvo a laTierra. Utilizando algunas activida- cfesexcepcionales para la resolución de problem as, la tri pulación y el equipo de Control de Misión (en Houston) fiieron capaces de vencer los increíbles obstáculos que implicaba regresar el Apollo 13 seguro a la Tierra. A lo laigo de esta película,el espectador es testigo de la reso luciónde muchos problem as matemáticos. E n una de las escenas,se nos muestra a un equipo completo de ingenie ros tratando de resolver una y o tra vez una ecuación con la ayuda de reglas d e cálculo. E n otra, se puede ver a los astronautas haciendo cálculos a mano,encerrados en una aeronave sin oxígeno. Aunque los cálculos matemáticos que debieron realizar los astronautas reales están fuera ¿ 1 alcance de este libro,el enfoque sistemático que se uti lizó para resolver tan peligrosa situación podría haberse inspirado en las páginas del libro de G eorge ft)lya, How lo Solve ii (vea la página 80). Ojalá que sus estudios de matemáticas encontraran inspiraciónen otro famoso diá logo de la película: cuando los ingenieros inician la fase final de su misión reorganizada,el controlador de vuelo de la NASA, Gene Kranz (interpretado por Ed Harris) gri ta, “ffallar no es una opción!”. E J E M P L O 6 Compras en el área de Tampa Bay E n enero d e 2001, había 36 im portantes tiendas departam entales en el área d e Tam pa Bay. H abía el mismo núm ero d e tiendas Sears q u e d e Burdines. H ab ía una m ás d e D illars q u e d e Sears, y había una m ás d e JC Penney q u e d e Sears. E l número d e las tiendas M ontgom ery W ards era nueve menos q u e el doble d e tiendas Sears. H abía seis m enos d e Saks q u e d e Sears. ¿C uántas de cada una d e estas tiendas departam entales había?
- 124. 9 6 •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades S o lu c ió n E n t ie n d a e l p r o b le m a Se nos pide determ inar el núm ero d e tiendas Sears, Burdi nes, Dillards,JC Penney, M ontgom ery W ards y Saks. O bserve q u e el núm ero d e las d e m ás tiendas se d a en térm inos del núm ero d e tiendas Sears. Por lo tanto, elegirem os com o nuestra variable desconocida el núm ero d e tiendas Sears, y representarem os el número de las otras tiendas en términos d e esta variable. Tam bién observe q u e el total d e tiendas sum a 36. T ra d u z c a Sea n = número d e tiendas Sears en tonces n = n ú m ero d e tiendas B urdines y n + 1 = n ú m ero d e tiendas D illards y n + 1 = n ú m ero d e tiendas JC Penney y 2n - 9 = n ú m ero d e tiendas M ontgom ery W ards y n - 6 = n ú m ero d e tiendas Saks número de /n ú m ero de / número de / número de / número Burdines ) + Dillards / + JC Penney ) + ^Montgomery W ards/ + de S aks/ - 36 n + (n + 1) + (n + 1) + (2n - 9) + (n - 6) = 36 R e a lic e lo s c á lc u lo s n + n + n + l + n + l + 2 n - 9 + n - 6 = 36 7/i — 13 = 36 In = 49 n = 1 C o m p r u e b e y r e s p o n d a H abía 7 tiendas Sears y 7 tiendas Burdines. H abía n + 1,o 7 + l,u 8 tiendas Dillards. H abía /i + l , o 7 + l ,u 8 tiendas JC Penney. H abía 2n - 9, o 2(7) - 9, o 5 tiendas M ontgom ery Wards. H abía / i - 6 , o 7 - 6 , o l tienda Saks. Si sum am os los núm eros d e cada una d e las seis cadenas d e tiendas, obtenem os 7 + 7 + AHORARESUELVAELEJERCICIO27 8 + 8 + 5 + 1 = 3 6 tiendas. Por lo tanto, la respuesta es correcta. # E J E M P L O 7 R eino M ágico D am ián Velásquez llevó a su familia a visitar el Reino Mágico en Walt Disney World. Se hospedaron una noche en el hotel H oliday Inn d e Kissimmee. C uan do hicieron la reservación, les cotizaron un precio d e $95 p o r noche más impuestos. C uando pagaron, su cuenta total fue d e $110.85, cantidad q u e incluía el im puesto por la habitación y un cargo d e $3.50 p o r un chocolate (tom ado d e la nevera d e la habita ción). D eterm ine cuál fue la tasa del impuesto q u e les cobraron p o r la habitación. E n tie n d a e l p r o b le m a L a cuenta total q u e pagó D am ián, incluye el precio del hos pedaje, el impuesto p o r la habitación y los $3.50 q u e costó el chocolate. E l impuesto p o r la habitación se determ ina multiplicando el costo d e hospedaje p o r la tasa del im puesto de la habitación. Se nos pide determ inar la tasa d e im puesto d e la habitación. T r a d u z c a Sea t = tasa d e impuesto d e la habitación en tonces O.Olí = im puesto d e la habitación com o decim al costo del hospedaje + im puesto p o r la habitación + chocolate = total 95 + 95(0.01í) + 3.50 = 110.85 R e a lic e lo s c á lc u lo s 95 + 0.95í + 3.50 = 110.85 0.95í + 98.50 = 110.85 0.95í = 12.35 t = 13 / núm ero ^de Sears/ + n + Solución
- 125. Sección 2.3 •A plicaciones d e l álgebra • 9 7 AHORARESUELVAELEJERCICIO23 E J E M P L O 8 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO3 F IG U R A 2.4 C o m p r u e b e y r e s p o n d a Si sustituye t por 13 en la ecuación, verá q u e las respues tas son correctas. L a tasa d e impuesto p o r la habitación es 13%. # Préstamo hipotecario Lilia Páez com prará su prim era casa, p ara lo cual piensa p e d ir un préstam o hipotecario p o r $60,000. Citicorp, uno d e los bancos q u e está conside rando, cobra una tasa d e interés d e 6.50% sin puntos p o r un préstam o a 30 años. (U n punto es un cobro único d e 1% sobre el m onto total d e la hipoteca). Los pagos m en suales del préstam o, en el caso d e Citicorp, serían d e $379.24. C iticorp tam bién cobra una cuota d e $200 p o r la solicitud. E l Banco d e A m érica cobra una tasa d e interés de 6.00% con 2 puntos p o r un préstam o a 30 años. Los pagos m ensuales del Banco de A m érica serían de $359.73, y el costo d e los puntos q u e Lilia tendría que pagar al m o m ento d e obtener el préstam o es 0.02($60,000) = $1200. E l Banco d e A m érica no co bra p o r la solicitud. a) ¿C uánto tiem po tom aría p ara q u e los pagos totales d e la hipoteca d e Citicorp fue ran ¡guales a los pagos totales d e la hipoteca del Banco d e América? b) Si Lilia planea conservar su casa durante 20 años, ¿cuál hipoteca resultaría en un costo total m enor? a) E n tie n d a el p r o b le m a Citicorp cobra una tasa de interés más alta y una pequeña cuota por la solicitud,pero no cobra puntos. El Banco d e América cobra una tasa m enor y no cobra por la solicitud,pero cobra 2 puntos. Necesitamos determ inar el número de m e ses que se requieren para que los pagos totales de los dos préstamos sean iguales T r a d u z c a Sea * = núm ero d e meses entonces 379.24a : = costo d e pagos de la hipoteca p o r x meses con Citicorp y 359.73a : = costo d e pagos d e la hipoteca p o r x m eses con el Banco d e A m érica costo total con Citicorp = costo total con Banco d e A m érica pagos d e la hipoteca + costo d e la solicitud = pagos d e la hipoteca + puntos 379.24a: + 200 359.73a : + 1200 R e a lic e lo s c á lc u lo s 379.24* + 200 = 359.73* + 1200 379.24* = 359.73* + 1000 19.51* = 1000 * « 51.26 R e s p o n d a E l costo d e am bas hipotecas sería el mismo aproxim adam ente a los 51.26 meses, es decir, transcurridos casi 4.3 años. b) E l costo total sería el mismo después d e casi 4.3 años; antes d e los 4.3 años, el cos to del préstam o del Banco d e A m érica sería m ayor, debido al cobro inicial d e $1200 p o r los puntos. Sin em bargo, después d e 4.3 años el costo del Banco d e A m érica sería m enor, ya que el pago m ensual es m enor. Si calculam os el costo total del préstam o de C iticorp d u ran te 20 años (240 pagos m ensuales),obtenem os $91,217.60. Si calcula m os el costo total del préstam o del Banco d e A m érica durante 20 años, obtenem os $87,535.20. Por lo tanto, Lilia ahorrará $3682 en un periodo d e 20 años si pide el prés tamo al Banco d e A m érica. # A hora veamos dos ejem plos q u e incluyen ángulos. E n el ejem plo 9 utilizamos ángulos com plem entarios, es decir, ángulos cuya sum a d a p o r resultado 90° (vea la figura 2.4). E n la figura 2.4, el ángulo * (representado p o r < * ) y el ángulo y (y ( < y )) son com plem entarios, ya q u e su sum a d a por resultado 90°.
- 126. 9 8 •Capítulo 2 • E cu a cio n e s y desigualdades E J E M P L O 9 Ángulos complementarios Si el ángulo A y el ángulo B son com plem entarios, y el ángulo B es 42° m ayor q u e el ángulo A , determ ine las m edidas d e los ángulos A y B. Solución E n tie n d a e l p r o b le m a La sum a d e las m edidas d e los dos ángulos deb e d ar p o r re sultado 90°,ya q u e son ángulos complementarios. Usarem os este dato p ara plantear una ecu ació a Com o el ángulo B está descrito en térm inos del ángulo A , representarem os con x la m edida del ángulo A . T r a d u z c a Sea x = m edida del ángulo A entonces x + 42 = m edida del ángulo B m edida del ángulo A + m edida del ángulo B = 90° * + * + 42 = 9 0 R e a lic e lo s c á lc u lo s 2 x + 42 = 90 2 x = 48 a: = 24 AHORARESUELVAELEJERCICIO 1 C o m p r u e b e y r e s p o n d a Com o x = 24, la m edida del ángulo A es 24°. L a m edida del ángulo B = x + 42 = 66, p o r lo q u e el ángulo B m ide 66°. O bserve q u e el ángulo B es 42° m ayor q u e el ángulo A ,y la sum a d e las m edidas d e am bos ángulos d a p o r re sultado 90° (24° + 66° = 90°). # F I G U R A 2.5 E n el ejem plo 10 utilizam os ángulos suplementarios, es decir, dos ángulos cuya sum a d a p o r resultado 180° (vea la figura 2.5). E n la figura 2.5, los ángulos x y y son ángulos suplem entarios, ya q u e la sum a de sus m edidas d a p o r resultado 180°. E J E M P L O 1 0 Ángulos suplementarios Si los ángulos C y D son suplem entarios, y la m edida del ángulo C es 6o m ayor q u e el doble d e la m edida del ángulo D ,determ ine las medidas d e los ángulos C y D. Solución E n t ie n d a e l p r o b le m a L a sum a d e las m edidas d e los dos ángulos deb e d ar p o r re sultado 180°,ya q u e son suplem entarios. Como el ángulo C se describe en térm inos del ángulo D , representarem os con x la m edida del ángulo D. T r a d u z c a Sea x = m edida del ángulo D entonces 2x + 6 = m edida del ángulo C m edida del ángulo C + m edida del ángulo D = 180° 2x + 6 + * = 180 R e a lic e lo s c á lc u lo s 3 * + 6 = 180 3 x = 174 a: = 58 AHORARESUELVAELEJERCICIO3 C o m p r u e b e y r e s p o n d a Com o x = 58, la m edida del ángulo D es 58°. L a m e did a del ángulo C = 2a: + 6 = 2(58) + 6 = 122; p o r lo tanto, la m edida del ángulo C = 122°. O bserve q u e la m edida del ángulo C es 6o m ayor q u e el doble d e la m e did a del ángulo D , y q u e la sum a d e las m edidas d e los ángulos d a p o r resultado 180° (1 2 2 °+ 5 8 ° = 180°). #
- 127. Sección 2 .3• Aplicaciones del á lge b ra • 9 9 SU G EREN CIA C O N S E J O R A R A E S T U D I A R A continuación se listan algunas sugerencias, por si usted tiene dificultades con los problemas de aplicación. 1. Profesor - Haga una cita para ver a su profesor. Asegúrese de haber leído el m a terial del libro y de haber intentado resolver todos los problemas de tarea. A cu da a la cita con su instructor, llevando preguntas específicas. 2. Asesoría - Si su escuela ofrece asesoría gratuita, aprovéchela. 3. Grupo de estudio - Forme un grupo de estudio con sus compañeros de clase. In tercambie números telefónicos y direcciones de correo electrónico. Podrían ayu darse unos a otros. 4 Sitio Web - Si dispone de una computadora, visite el sitio Web de Pearson Educa ción y Alien Angel en pearsoneducacion.net/angel y estudie el material relaciona do con este capítulo. Encontrará más ejemplos y ejercicios resueltos. £Es importante que usted siga esforzándose! Recuerde, conforme más practique, mejor será en la resolución de problemas de aplicación. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 2 . 3 P ro b le m a s d e a p lic a c ió n y re s o lu c ió n d e p ro b le m a s En los ejercicios 1 a 45, plantee una ecuación que pueda usarse para resolver cada problema y determine su solución. L Ángulos complementarios Los ángulos A y B son ángu los complementarios. Determine las medidas de los ángu los A y B si el ángulo A es cuatro veces el tamaño del ángulo B. Vea el ejemplo 9. 2. Ánguloscomplementarios Los ángulos C y D a3n comple mentarios Determine las medidas de los ángulos Cy D,si el ángulo D es 15° menor que el doble del ángulo C. » 3. Ángulos suplementarios Los ángulos A y B son suple mentarios. Determine las medidas de los ángulos A y B, si el ángulo B es 4 veces el tamaño del ángulo A. Vea el ejemplo 10. 4 Ángulos suplementarios Los ángulos A y B son suple mentarios. Determine las medidas de cada ángulo,si el án gulo A es 30° mayor que el ángulo B. ^ 5. Ángulos en un triángulo La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo da por resultado 180°.Determine las medidas de los tres ángulos, si un ángulo es 20° mayor que el ángulo más pequeño y el tercer ángulo es el doble del ángulo más pequeño. 6. Ángulos en un triángulo Determine las medidas de los tres ángulos de un triángulo si un ángulo es eldoble del án gulo más pequeño y el tercer ángulo es 60° mayor que el ángulo más pequeño. 7. Sociedad de Honor Thomas Penna es miembro de Phi Alpha Theta, una sociedad de honor de la historia esta dounidense. Uno de los beneficios de ser miembro, con siste en obtener 25% de descuento en todas las suscrip ciones a revistas de historia.Thomas usó este descuento para pedir una suscripción anual a la revista American Heritage, y pagó $24. ¿Cuál era el costo normal de la sus cripción? 8. Traje nuevo Carlos Castro comprará un traje nuevo. En Trajes a la medida, el precio de un traje con un descuen to de 25% es $187.50. Determine el precio normal del traje. 9. Pásede autobús CéciHaSosa compró un pase con valorde $45,que le da derecho a viajar en autobús tantas veces co mo quiera durante un mes. Sin el pase, cada viaje cuesta $1.80. ¿Cuántos viajes por mes tendría que realizar Ceci lia para que el costo total sin el pase fuera igual al valordel pase. 10. Costo de lavandería Miguel Sanabria gasta $12.50 cada semana en lavar y secar su ropa en la lavandería de la es quina. Si una lavadora y una secadora cuestan un total de $940, ¿cuántas semanas serían necesarias para que el costo de la lavandería fuera igual al costo de la lavadora y la secadora? (No tome en cuenta el costo de la energía eléctrica). “ 1L Renta de un camión E1costo de rentar un camión es de $35 diarios más $020 por milla. SiAntonia Reyes sólo tie ne $80, ¿qué tan lejos puede llegar en 1 día?
- 128. 100 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades 12. Peaje en elpuente George Washington Al ira Nueva York par el puente George Washington, los automovilistas de ben pagar un peaje (no se paga peaje para regresar a Nue va Jersey) de $6 en efectivo, de $4 (en horas de menor tránsito) usando el sistema de pase EZ. El sistema de pa se EZ es un plan prepagado por el que también se exige un pago único de $10. ¿Cuántos viajes a Nueva York ne cesitaría hacer una persona (en horas de menor tránsito) para que el gasto total con el pase EZ fuera igual al gasto par peaje sin el uso del pase EZ? I 13. Impuesto al consumidor La tasa de impuesto al consu midor es de 4.225%. ¿Cuál es el monto real (sin impues to) que Alvaro y Sandra López pagarán por un escritorio para computadora, si su costo, incluyendo el impuesto al consumidor, es $650? 14. Derecho de paso El señor y la señora Ordóñez viven en un desarrollo turístico de una isla que se comunica con tie rna firme a través de un puente. El derecho de paso por el puente cuesta $2.50 por automóvil sise va a la isla, pero es gratuito al salir de ella. Los residentes de la isla pueden comprar un pase mensual con valor de $20, que les per mite cruzar el puente por sólo $0.50 cada vez. ¿Cuántas veces al mes deberían los Ordóñez ir de tierra firme a la Bla para que el costo del pase mensual sea igual al costo de peaje regular? 15. Juego de g o lf Andrés Pinzón desea unirse al Club Mira- flores para jugar golf. Para hacerlo tiene dos opciones: la primera es una membresíapor la que pagaría $1775 al año; además le cobrarían una cuota de $50 por el green y una cuota de $25 por el carrito de golf cada vez que juegue. Otra membresía cuesta $2425 por año; con ésta Andrés sólo pagaría $25 por el carrito de golf cuando juegue. ¿Cuántas veces por año necesitaríajugar para que las dos opciones costaran lo mismo? 16. Sueldo de mesera Rafaela Fuentes trabaja como mesera en banquetes; tiene un sueldo de $2.63 por hora más 15% del costo total de los alimentos y bebidas que sirve durante el banquete. Sidurante un servicio de 5 horas, Rafaela ganó $400, ¿cuál fue el costo total de los alimentos y bebidas que sirvió? 17. Fondos mutualistas El 4 de febrero de 2002, los fondos mutualistas que ofrecían los mayores rendimientos anua lesfueron losde Wasatch Micro Cap (WMC) y los de Sch- roeder Ultra Investor (SUI). Los activos de WMC fueron alrededor de 2.7 veces los activos de SUI. Si la suma de los activos de estos dos fondos mutualistas daba por re sultado aproximadamente $636.4 millones, determine los activos (en dólares) de WMC y de SUI. 18. Ibndos de retiro Ricardo Roldán realiza contribuciones por $5000 anuales a su fondo de retiro. Una parte de sus contribuciones se invierte en acciones, y la otra se suma al fondo global. La parte que se invierte en acciones es de $250 menos que el doble de la parte que se suma al fondo global. ¿Con cuánto contribuye a cada fondo? 19. Presupuesto de la NASA En 2002, el presupuesto de la NASA fue de alrededor de $14.51 mil millones. 99.8% de ese presupuesto se destinó a dos categorías: los Vuelos Es paciales Humanos (VEH),que incluye todas las misiones espaciales y operaciones en estaciones espaciales, y laTec nología en Ciencia y Aeronáutica (TCA),que incluye to das las investigaciones realizadas por la NASA en Estados Unidos. Si la NASA gastó $0.10 mil millones más en VEH que enTCA, determine cuánto se gastó en VEH y cuánto en TCA. Redondee su respuesta a dos decimales. 20. Polen Hay57 fuentes principalesde polen en Estados Uni dos;éstas fuentes se clasifican en pastos, malezas y áiboles. Si el número de malezas es 5 menos que el doble del nú mero de pastos, y el número de árboles es 2 más que el do ble del número de pastos, determine el número de pastos, malezas y árboles que son fuentes principales de polen.
- 129. S e cción 2 .3 • A plicaciones del á lge b ra • 101 2L Huesos y acero De acuerdo con la revista Health, la presión que puede soportar un hueso (medida en libras por pulgada cuadrada) es 6000 libras más que 3 veces la cantidad que puede soportar el acero. Si la diferen cia entre la cantidad de presión que pueden soportar un hueso y el acero es de 18,000 libras por pulgada cua drada, determine la presión que pueden soportar el ace ro y el hueso. 22. Sistema antiasalto En la compra e instalaciónde un sis tema antiasalto LoJack, Paula Sandoval puede ahorrar 15% del precio de su seguro automotriz. Comprare insta lar el sistema LoJack cuesta $743.65.Si el costo anual del seguro de Paula antes de la instalacióndel sistema LoJack es $849.44, ¿en cuántos años el sistema LoJack se pagaría a sí mismo? 23. Orden de comida Después de que Carolina Pardo consi guió mesa en un restaurante, se dio cuenta de que sólo te nía $20.00. Si debe pagar 7% de impuesto al consumo y desea dejar 15% de propina sobre el costo total (alimen tos más impuesto), ¿cuáles el precio máximo del consumo que puede ordenar? 24 Plan de pago El club de tenis Valle del Sol ofrece a sus miembros dos planes de pago. El plan 1 consta de un pa go mensual de $25 más $10 por hora de renta de la can cha. El plan 2 no exige pagos mensuales, pero la hora de renta de la cancha es de $18.50. ¿Cuántas horas tendría que jugar al mes la señora Larios para que le convenga el plan 1? 25. Impuestos a la gasolina en Europa En septiembre de 2000, los europeos protestaron por el precio de la gasoli na y pidieron a sus gobiernos que redujeran los altos im puestos sobre ese combustible. En el Reino Unido, los consumidores pagaban $4.29 por galón (en dólares). Este precio representaba 68% más que el precio de la gasolina sin impuestos. a) Determine el precio de la gasolina sin impuestos. b) Determine el monto de impuesto que se paga por ca da galón de gasolina. 26. Impuestos de hospedaje En sus vacaciones en Costa Ri ca, a la familia Méndez le cotizaron el precio de una habi tación en $85 por noche más impuesto. Si después de permanecer una noche su cuenta ascendió a $97.41, ¿cuál fue la tasa de impuestos? 27. Medallas olímpicas En tos Juegos Olímpicos de Verano de 2000, Estados Unidos, Rusia, China, Australia y Ale mania ganaron un total de 359 medallas. Estados Unidos ganó 19 menos medallas que el doble de las que obtuvo Australia; Rusia ganó 28 medallas menos que el doble de las que consiguió Australia; China ganó 1 medalla más que las que ganó Australia; Alemania ganó un medalla menos que Australia. Determine el número de medallas que ganaron Estados Unidos, Rusia, China, Australia y Alemania en esajusta olímpica. 28. Aumento del salario m ínim o Entre 1980 y 2002, en Estados Unidos el salario mínimo por hora se ha incre mentado alrededor de 66.13%, hasta alcanzar un total de $5.15 por hora. ¿Cuál era el salario mínimo por hora en 1980? 29. Alquiler mensual El alquiler promedio mensual de un apartamento de dos recámaras en San José,California, au mentó casi 13.3% entre 2001 y 2002.Si el alquiler prome dio mensual en 2002 era de $1199, determine cuál era el alquiler promedio mensual en 2001. 30. Comparación dehipotecas La familia Sánchez va a com prar una nueva casa, y están pensando en solicitar un cré dito hipotecario de $70,000, pagadero a 30 años. Para ello pueden elegir entre dos bancos diferentes. El Banco Ma- dison cobra 9.0% con 0 puntos, y el Banco Nacional co bra 8.5% con 2 puntos, más $200 por gastos de operación, mientras que el Banco Madison no cobra ninguna cuota por ese concepto. Los pagos mensuales con el Banco Ma dison serían de $563.50,y con el Banco Nacional serían de $538.30. a) ¿Después de cuántos meses los pagos totales para los dos bancos serían los mismos? b) Si el plan de los Sánchez es mantener su casa por 30 años, ¿cuál plan hipotecario les saldría a más bajo cos to? (Vea el ejemplo 8.) « 31. Refinandamiento hipotecario Luis Uribe quiere refinan- ciar su préstamo hipotecario para que le cobren una ta sa de interés más baja. La tasa de interés de su hipoteca es de 11.875%; en la actualidad hace pagos mensuales de $510 por capital e intereses, y le faltan 20 años para liquidar la hipoteca. Yaque han bajado las tasas de inte rés, Hipotecas Nacionales le ofrece refinanciar la hipo teca con una tasa de 9.5%, con lo cual pagaría $420.50 al
- 130. 1 0 2• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades mes por capital e intereses durante 20 años. Sin embargo, para obtener ese préstamo, el precio de contratación se ría de $2500. a) ¿Cuántos meses después de la refinanciación gastaría Luis la misma cantidad con su nueva hipoteca más el precio de contratación, que lo que gastaría con su hipo teca original? b) Siplanea pasar lospróximos 20 años en esa casa, ¿aho rraría dinero al refinanciar? 32. Comidaspara seminarios AnaTorres, una planificadora financiera, promueve comidas para seminarios. Debe pa gar de su propio bolsillo las comidas de los asistentes. Pa ra su próxima comida, eligió un restaurante en donde caben 40 personas y le cobran $9.50 por cubierto. Si gana 12% de comisión por ventas, ¿cuánto debe vender a estas 40 personas a) para no perder ni ganar; b) para obtener una ganancia de $500? 33. Perímetro de un triángulo Julián está desarrollando unjue go que contiene un tablero triangular. El perímetro del ta blero es de 36 pulgadas. Determine la longitud de los tres lados del triángulo si uno es 3 pulgadas mayor que el lado más pequeño y el tercer lado es 3 pulgadas menor que el cbble de la longitud del lado más pequeño. 34. Jardín triangular El perímetro de unjardín triangular es de 60 pies. Determine la longitud de los tres lados, si uno es4 pies mayorque el doble de la longituddel lado más pe queño y el tercer lado es 4 pies menor que 3 veces la lon gitud del lado más pequeño. 35. Ángulos de un triángulo Una pieza de papel de 85 por 11 pulgadas se corta desde esquinas opuestas para formar un triángulo. Uno desús ángulos mide 12° más que el ángu lo más pequeño. El tercer ángulo mide 27° menos que el triple del ángulo más pequeño Si la suma de los ángulos hteriores de un triángulo mide 180°,determine las medi das de los tres ángulos. 36. Barandal de escalera Un barandal de escalera tiene un di seño con forma de triángulos. Uno de sus ángulos mide 20° menos que el doble del ángulo menor. El tercer ángu lo mide 25° más que el doble del ángulo menor. Determi ne las medidas de los tres ángulos. 37. Conalito Ernesto Olguín planea construir un corral rec tangular para que jueguen sus hijos. Desea que su largo sea 3 pies mayor que su ancho. Encuentre el largo y ancho del corral si Ernesto sólo dispone de 22 pies de madera para formar el armazón. Utilice la fórmula P = 21 + 2w. 38. Dimensiones de una cerca César Campanella, un arqui tecto que diseñajardines, desea dividir un terreno en dos áreas iguales mediante una cerca, como se ilustra en la si guiente figura. Si ambas áreas son cuadradas y la longitud total de la cerca utilizada es de 91 metros, determine lasdi mensiones de cada cuadro. 39. Dimensiones de un estante José Murray desea construir un estante con cuatro repisas (incluyendo la parte supe rior) como se muestra en la figura siguiente. El ancho del estante será 3 veces mayor que su altura. Si José cuenta sólo con 30 pies de madera para construir el estante, ¿qué dimensiones tendrá éste? niílllMlirM 1 M f 40. Dimensiones de una cerca Demetrio Larios tiene un te rreno junto al rÍQy quiere dividirlo en tres áreas rectan gulares, como se ilustra en la siguiente figura. Cada rectángulo tendrá las mismas dimensiones, y el largo de cada rectángulo será 1 metro mayor que su ancho (a lo largo del río). Determine el largo y ancho de cada rectán gulo si la cantidad total de cerca utilizada es de 114 metros. ™ 4L Ofertas Durante la primera semana de ofertas por liqui dación, el almacén de Samuel reduce todos sus precios en 10%. En la segunda semana de ofertas, Samuel reduce 5 dólares más al precio de todos sus artículos. Si Silvia Gó mez compró una calculadora por $49 durante la segunda semana de oferta, determine su precio original. 42. División de unagranja La granja de Minerva Bonilla es tá dividida en tres regiones. El área de una región es dos veces más larga que el área de la región más pequeña, y el área de la tercera regiónes 4 acres menor que el triple del área de la región más pequeña. Si el total de acres de la granja es de 512,determine el área de cada una de las tres regiones.
- 131. Se cció n2 .3 • A plicaciones d e l á lge b ra • 1 0 3 43. Comparación de venia dejuguetes Joel Morales quiere comprar una cocina dejuguete para su sobrina, y sabe que el almacén Niños Felices y la cadenaTiendas de Descuen to ofrecen este artículo al mismo precio. El 26 de diciem bre, Niños Felices ofrece la cocina con 37% de descuento sobre el precio original, y Tiendas de Descuento la vende con $50 de ahorro. Después de visitar ambas tiendas, Joel descubre que el precio que ofrecen sigue siendo igual. a) Determine el precio original de la cocina. b) Determine el precio de la cocina, con el descuento in cluido. 44. Venta depinturas El artista plástico Pablo Basurto vende cada una de sus pinturas por $500. La galería en donde expone su trabajo le cobra $1350 al mes, más una comi siónde 10% sobre las ventas. ¿Cuántas pinturas debe ven der Pablo al mes para no ganar ni perder dinero? 45. Bombillas eléctricas El costo de las bombillas incandes centes con duración de 9750 horas es de $9.75. El costo de la energía eléctrica necesaria para que las bombillas fun cionendurante ese periodo es de$73. El costo de una bom billa fluorescente equivalente que dura aproximadamente 9750 horas es de $20. Utilizando una bombilla fluorescen te en vez de una incandescente durante 9750 horas, el aho rro total (el precio de la bombilla másel costo de la energía eléctrica) es de $46.75.¿Cuál es el costo de la energía eléc trica utilizando la bombilla fluorescente durante este periodo? 46. Costo de cena Los cinco miembros de la familia Narváez van a cenar con tres miembros de la familia Lujáa Antes de la cena, deciden que los Narváez pagaránf de la cuenta (sin la propina) y los Luján pagaránf más toda la propina R e to 52. Mercado de dinero El lunes, Sonia Maldonado compró acciones en un fondo del mercado de dinero. El martes, el valor de las acciones subió 5%, y el miércoles cayó 5%. ¿Cuánto pagóSonia el lunes por las acciones,si las vendió eljueves por $59.85? de 15%. Si la cuenta total, incluido 15% de propina, es de $184.60, ¿cuánto pagará cada familia? 47. Plantas y animales En el mundo existen aproximada mente 1,500,000especies, clasificadas en categorías como plantas, animales e insectos. Los insectos, a su vez, se di viden en escarabajos e insectos que no son escarabajos. Existen aproximadamente 100,000especies de plantas más que de animales. Existen 290,000 más insectos que no son escarabajos que animales. El número de escarabajos es 140,000 menos que dos veces el número de animales. En cuentre el número de animales, plantas, insectos que no a>n escarabajos y escarabajos. 48. La mejor calificación Para calcular el promedio de un conjunto de calificaciones, sumamos las notas, y dividimos el resultado entre el número de calificaciones. En sus pri meros exámenes de álgebra, las calificaciones de Pamela Chacón fueron 87,93,97 y 96. a) Escriba una ecuaciónque pueda usarse para determi nar la calificación que necesita obtener Pamela en su quinto examen para lograr un promedio de 90. b) Explique cómo determinósu ecuación. c) Resuelva la ecuación y determine la calificación. 49. Promedio en examen defísica Las calificaciones que ob tuvo Felipe Enríquez en cinco exámenes de física fueron: 70,83,97,84 y 74. a) Siel examen final contara el doble que losdemás, ¿qué calificación necesita obtener Felipe en él para lograr un promedio de 80? b) Si la calificación más alta que se puede obtener en el examen final es 100, ¿es posible para Felipe lograr un promedio de 90? Explique. 50. a) O ee su propio problema verbal que incluya porcenta jes, y represéntelo como una ecuación, b) Resuelva la ecuación y responda el problema. 5L a) Plantee verbalmente un problema realista que involu cre dinero. Represéntelo como una ecuación, b) Resuelva la ecuación y responda el problema. 53. Renta de un camión La agencia Alquiler de Camiones, S.A. cobra $28 por día más $0.15 por milla. Si Denise Té- llez rentó un pequeño camión por tres días y el cobro total fiiede $121.68,incluyendo4% de impuesto, ¿cuántas millas condujo?
- 132. Actividad en equipo______________ 104.• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades Analice y responda en equipo el ejercicio 54. 54, a) Cada miembro del equipo seleccione un número. Lue go multiplíquelo por 2, sume 33, reste 13,divida entre 2 y reste el número con que inició. Registre cada res puesta. b) Ahora comparen las respuestas.Si no obtuvieron la mis ma respuesta, verifiquen cada uno el trabajo del otro. c) Expliquen en equipo por qué este procedimiento tie ne como resultado una respuesta de 10 para cualquier número real n seleccionado. Ejercicios de repaso acumulativo [1.3] Resuelva. 55. 2 + - | 56. -6 .4 - (-3 .7 ) 57. -2 58. 5 - |— 3| - [1.5] 59. Simplifique (2x4y~6)~3. 2 . 4 P R O B L E M A S A D IC IO N A L E S D E A P L IC A C IÓ N £ É É j 1 Resolver problem as d e movimiento 2 Resolver problem as de m ezclas E n esta sección analizarem os dos tipos adicionales d e problem as d e aplicación: proble m as d e movim iento y d e mezcla. Los hem os colocado en la misma sección, porque se resuelven utilizando procedim ientos similares. 1 R esolver p ro b le m a s d e m ovim iento U na fórm ula con m uchas aplicaciones útiles es cantidad = velocidad • tiempo La “cantidad” en esta fórm ula puede ser una m edida d e m uchas cantidades di ferentes, dependiendo de la tasa d e cambio (o velocidad). Por ejemplo, si la tasa se mi d e en distancia por unidad d e tiem po, la cantidad será la distancia. Si la tasa se m ide en volum en p o r unidad d e tiem po, la cantidad será volum en, etcétera. Cuando aplique esta fórm ula, asegúrese d e q u e las unidades son consistentes. Por ejemplo, cuando hablam os acerca d e una copiadora, si la velocidad está dad a en copias p o r m inuto, el tiempo deb e estar dado en minutos. Los problem as q u e pueden resolverse con esta fórm ula se denom inan problem as de m ovim iento,ya q u e incluyen movim iento, a una tasa constante, durante cierto periodo. U na enferm era q u e aplica a su paciente un suero vía intravenosa puede utilizar esta fórm ula p ara determ inar la tasa de goteo del fluido q u e está siendo inyectado. U na com pañía d e perforación d e pozos petroleros o d e agua puede em plear esta fór m ula p ara determ inar la cantidad d e tiempo necesaria p ara alcanzar su meta. Cuando la fórm ula d e movim iento se utiliza p ara calcular distancia, la palabra cantidad se reem plaza con el térm ino distancia, y la fórm ula se denom ina fórm ula de distancia.
- 133. S e cción 2 .4 • P roblem as adicionales d e aplicación • 1 0 5 L a fó rm u la d e d is ta n c ia es distancia = velocidad •tiempo o d = rt O tando un problem a d e m ovim iento tiene dos velocidades diferentes, con fre cuencia es útil poner la inform ación en una tabla p ara analizar m ejor la situación. E J E M P L O 1 34.5 mph 202 mph i«— -— 100 m illas FIGURA 2.6 Solución Barcos en el m ar El portaviones USS John F Kennedy y el subm arino nuclear USS M em phis partieron al mismo tiempo d e la estación naval Puget Sound, y se dirigieron al mismo destino en el océano índico. E l portaviones viaja a su velocidad máxima, 34.5 millas p o r hora, y el subm arino se m ueve sum ergido a su velocidad máxima, 20.2 mi llas p o r hora. Estos vehículos m antienen la velocidad durante cierto tiem po, hasta que se encuentran a 100 millas d e distancia uno del otro; en ese m om ento, reciben nuevas instrucciones d e la base naval. ¿C uánto tiem po pasará p ara q u e el portaviones y el subm arino estén separados 100 millas? (Vea la figura 2.6) Entienda el problema D eseam os determ inar cuánto tiem po pasa hasta q u e ambos vehículos están separados p o r una distancia d e 100 millas. Para resolver este proble ma, usarem os la fórm ula d e distancia, d = vt. C uando presentam os el procedim iento para resolver problem as, indicam os que, a veces, colocar la inform ación en una tabla puede ayudarnos a com prender el problem a, y eso es lo q u e harem os a continuación. Sea í = tiempo. Velocidad Tiempo Distancia Pbrtaviones 34.5 / 34.5/ Submarino 20.2 / 20.2/ Escuela m i l i ■■■ iui ^ Pedro 4 m ph C asa Juan 6 m ph Juan llega a casa 1/2 hora antes que Pedro F IG U R A 2.7 Traduzca tanto, Los vehículos están separados p o r una distancia d e 100 millas. Por lo d istancia d el portaviones - distancia del subm arino = 100 34.5/ - 20.2/ = 100 Realice los cálculos 14.3/ = 100 / « 6.99 Responda El portaviones y el subm arino estarán separados entre síp o r una distan cia d e 100 millas cuando hayan transcurrido alrededor d e 7 horas. # E J E M P L O 2 C orriendo a casa Para estar en form a p ara la próxim a carre ra d e la tem porada, Juan y Pedro Santiago corren a casa después d e la escuela. Juan corre a una velocidad d e 6 m ph y Pedro corre a 4 mph. C uando salen d e la misma es cuela al mismo tiem po, Juan llega a casa hora antes q u e Pedro. Vea la figura 2.7. a) ¿C uánto tiem po le tom a a Pedro llegar a casa? b) ¿A q u é distancia viven Juan y Pedro d e la escuela?
- 134. 1 0 6• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades Solución AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 9 E J E M P L O 3 a) Entienda el problema Am bos niños correrán la misma distancia; sin em bargo, com o Juan corre más rápido q u e Pedro, el tiem po d e Juan será m enor q u e el d e Pedro po r j hora. sea t = tiem po d e P ed ro p ara llegar a casa ento n ces1 ~ = Tiem po d e Juan p ara llegar a casa Corredor Velocidad Tiempo Distancia Pedro 4 t 4í Juan 6 * - k Traduzca Cuando los niños llegan a casa, am bos han corrido la misma distancia desde la escuela. De m odo que distancia d e P edro = distancia d e Juan Realice los cálculos 4í = 6 t - 3 -2 1 = -3 Responda Pedro llegará a casa en 1.5 horas. b) L a distancia puede determ inarse usando la velocidad y el tiempo d e Pedro o de Juan. M ultiplicarem os la velocidad d e Pedro p o r el tiempo d e Pedro p ara determ inar la distancia. d = rt = 4 ( | j = ■ y = 6 m illas Por lo tanto, Juan y Pedro viven a 6 millas d e su escuela. E n el ejem plo 2, ¿cam biaría la respuesta si representáram os con t el tiempo que corre Juan, en lugar del tiem po q u e corre Pedro? Inténtelo y determ ine la respuesta. Producción de ju g o U na m áquina llena botellas con jugo y las sella. L a m áquina p u e d e trabajar a dos velocidades diferentes; a la velocidad más rápida, la m áquina llena y sella 600 botellas más p o r hora q u e a la velocidad más lenta. L a m áquina trabaja a la velocidad m ás lenta durante 4.8 horas, y luego a la velocidad más rápida durante 3.2 horas. D urante estas 8 horas se llenó y selló un total d e 25,920 botellas. D eterm ine la tasa d e am bas velocidades. Solución Entienda el problema E ste problem a m enciona un núm ero de botellas, es decir, una cantidad, en lugar d e una distancia; sin em bargo, utilizarem os un m étodo sim ilar al q u e ya conocem os p ara resolverlo: la fórm ula can tid ad = veloci d a d • tiempo. Se nos ha dicho q u e la m áquina puede trabajar a dos velocidades dife rentes, y se nos pidió q u e determ ináram os esas dos velocidades. U sarem os el dato de q u e la cantidad d e botellas llenadas a la velocidad más lenta más la cantidad d e bote llas llenadas a la velocidad m ás rápida es igual a la cantidad total d e botellas llenadas. sea r = velocidad más lenta entonces r + 600 = velocidad m ás rápida
- 135. S e cción 2 .4 • P roblem as adicionales de aplicación * 1 0 7 Velocidad Tiempo Cantidad Velocidad más lenta r 4.8 4.8r Velocidad más rápida r + 600 3.2 3.2(r + 600) Traduzca cantidad de botellas llenadas a la velocidad más lenta+ cantidad de botellas llenadas a la velocidad más rápida = 25,920 4.8r + 3 .2 (r + 600) = 25,920 4.8r + 3.2r + 1920 = 25,920 Realice los cálculos 8 r + 1920 = 25,920 8 r = 24,000 r = 3000 Responda A la velocidad m ás lenta se llenan 3000 botellas p o r hora. L a velocidad AHORARESUEU/AELEJERCICIO 11 más rápida es r + 600 o 3000 + 600 = 3600 botellas p o r hora. # 2 Resolver problemas de mezclas Cualquier problem a en donde dos o más cantidades se com binan p ara producir una cantidad diferente, o e n donde una cantidad simple se divide en dos o más cantidades diferentes, puede considerarse un problem a de mezcla. Igual q u e cuando trabajam os con problem as d e movimiento, usaremos tablas p ara ayudar a organizar la información. Los ejem plos 4 y 5 son problem as d e mezcla q u e incluyen dinero. E J E M P L O 4 D os inversiones B ernardo Sepúlveda vendió su b o te en $15,000, y le prestó una p ar te d e ese dinero a su am iga E lena Cárdenas. E l préstam o fue p o r 1 año, con una tasa d e interés sim ple d e 4.5% . B ernardo invirtió el resto del dinero en una cuenta d e aho rro q u e producía 3.75% d e interés simple. U n año más tarde, m ientras calculaba sus im puestos, B ernardo d eterm inó q u e había ganado un to tal d e $637.50 p o r las dos inversiones,pero no podía recordar cuánto dinero le había prestado a Elena. D eterm i ne la cantidad q u e B ernardo le prestó a Elena. Solución Entienda el problema y traduzca Para resolver este problem a usarem os la fór m ula p ara calcular el interés simple: interés = capital • tasa • tiempo. Sabem os que p arte d e la inversión produjo 4.5% y el resto 3.75% d e interés sim ple; se nos pide d e term inar la cantidad q u e B ernardo prestó a Elena. sea p = can tid ad p resta d a a E len a a 4.5% entonces 15,000 - p = can tid ad in v ertid a a 3.75% Observe q u e la sum a d e las dos cantidades es igual a la cantidad total invertida, $15,000. D eterm inarem os cuánto se le prestó a E lena con la ayuda d e una tabla. Inversión Capital Tasa Tiempo Interés Préstamo a Elena P 0.045 1 0045/7 Cuenta de ahorro 15,000 - p 0.0375 1 0.0375(15,000 - p) Com o el interés total producido es igual a $637.50, escribimos: interés d el p réstam o a 4.5% + in terés d e la cu e n ta a 3.75% = in terés total 0.045p + 0.0375(15,000 - p ) = 637.50
- 136. 1 0 8• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades E J E M P L O 5 Solución E J E M P L O 6 Solución Realice los cálculos 0.045p + 0.0375(15,000 - p ) = 637.50 0.045/? + 562.50 - 0.0375p = 637.50 0.0075 p + 562.50 = 637.50 0.0075/? = 75 p = 10,000 Responda R jr lo tan to , el préstam o fu e d e $10,000, y $15,000 - p o $15,000 - $10,000 = $5000 fue lo q u e B ernardo invirtió en la cuenta d e ahorro. # Com ida rápida M ateo tiene un puesto d e com ida rápida; en él, vende cada ham bur guesa a $2.00, y cada salchicha a $2.25. Si la venta total del día fue de $585.50 y se ven dieron 278 productos, ¿cuántos d e cada uno se vendieron? Entienda el problema y traduzca Se nos pide determ inar el núm ero d e ham burguesas y d e salchichas vendidas. sea x = n ú m ero d e ham burguesas vendidas entonces 278 - x = núm ero d e salchichas vendidas Producto Costo del producto Número de productos Venta total Hamburguesas 2.00 * 2.00* Salchichas 2.25 278 - * 2.25(278 - *) v enta to tal d e ham burguesas + venta to tal d e salchichas = venta total 2.00* + 2.25(278 - * ) = 585.50 Realice los cálculos 2.00* + 625.50 - 2.25* -0 .2 5 * + 625.50 -0 .2 5 * * Responda Por lo tanto, se vendieron 160 ham burguesas y 278 - 160 = 118 sal chichas. # E n el ejem plo 5 podríam os haber m ultiplicado am bos lados d e la ecuación por 100 para elim inar los núm eros decim ales, y luego resolver la ecuación. El ejem plo 6 es un problem a d e mezcla q u e incluye la mezcla d e dos soluciones. Mezcla de m edicam entos Javier Reynosa, un químico, tiene dos soluciones d e citra- to d e litio, con concentraciones d e 6% y 15% , y desea obtener 0.5 litros d e una solu ción d e citrato d e litio con concentración d e 8% . ¿Q ué cantidad d e cada solución debe utilizar en la mezcla? Entienda el problema y traduzca Se nos pide determ inar la cantidad d e cada so lución necesaria p ara la mezcla. sea * = n ú m ero d e litros d e solución al 6% entonces 0.5 - * = núm ero d e litros d e solución al 15% La cantidad de citrato d e litio en una solución se determ ina multiplicando el porcentaje de citrato d e litio en la solución por el volumen d e la misma. Harem os un bosquejo grá fico del problem a (vea la figura 2.8), y luego organizarem os los datos en una tabla. = 585.50 = 585.50 = - 4 0 -4 0 -0 .2 5 = 160
- 137. S e cción 2 .4 • P roblem as adicionales d e aplicación • 1 0 9 Solución 1 Solución 2 Mezcla * i ^ i * Número de litros x + 0.5 - x = 0.5 FIGURA 2.8 Porcentaje de concentración 6% 15% 8% Solución Concentración Número Cantidad de citrato de la solución de litros de litio 1 0.06 X 0 .0 6 a: 2 0.15 0.5 - * 0.15(0.5 - x ) Mezcla 0.08 0.5 0.08(0.5) cantidad de ( cantidad de / , ,.t. , . . , ,.t. ( can tid ad d e citrato d e litio citrato d e litio en + citrato d e litio en = 1 . . la solución al 6% / l a solución al 15% / ' 60 a m e z c a 0.06a: + 0.15(0.5 - x) = 0.08(0.5) R ealice lo s c á lc u lo s 0.06a: + 0.15(0.5 - x ) = 0.08(0.5) 0.06a : + 0.075 - 0.15a: = 0.04 0.075 - 0.09a : = 0.04 -0 .0 9 * = -0 .0 3 5 a = -(H)9* = ^ 31 cent^6lmo redondeo icentéeim máe cercano. Jaim e d eb e m ezclar 0.39 litros d e la solución co n concentración d e 6% y 0.5 - x o 0.5 - 0.39 = 011 litros de la solución con concentración d e 15% para obtener 0.5 litros AHORARESUELVAELEJERCICIO21 d e una solución con concentración d e 8% . # C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 2 . 4 Problemas de aplicación y resolución de problemas En los ejercicios 1 a 14, escriba una ecuación que pueda usarse para resolver elproblema de movimiento. Resuelva la ecuación y res ponda las preguntas. “ L Una excursión a las Montañas Rocallosas Dos amigos, Fausto Cabañas y Rita Maldonado, van de excursión a las Montañas Rocallosas; durante el paseo, llegan hasta el lago del Oso y se sorprenden al ver su tamaño, asíque de- dden determinar cuánto mide. Fausto sabe que camina a 5 mph, y Rita sabe que lo hace a 4.5 mph. Si comenzaron a caminar al mismo tiempo en direcciones opuestas alre- cfcdordel lago y se encontraron después de 12 horas, ¿cuál es el diámetro del lago? Ondasde choquede un terremoto Un terremoto ocurre en undesierto de California. I^s ondas de choque viajan ale jándose en una trayectoria circular, similar a cuando se lanza una piedra a un lago.Si la o n d a-P (una clase de on da de choque) viaja a 2.4 millas por segundo, ¿cuánto tar-
- 138. daría la ondaen tener un diámetro de 60 millas? (Vea la figura.) 110 • C apítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades 3. Vuelo en globo En Albuquerque, Nuevo México, se ce lebra todos los años un festival de globos aerostáticos, en el que la gente puede pasear en ellos. Suponga que par te de la familia Díaz viaja en un globo y el resto en otro globo. Como los globos vuelan a diferentes alturas y lle van diferentes pesos, uno viaja a 16 millas por hora y el otro a 14 millas por hora en la misma dirección. ¿En cuántas horas estarán a 4 millas de distancia uno del otro? 4. Trenes Un tren de pasajeros parte de Norfolk, Virginia, 1.2 horas después que parte un tren de carga. El tren de pasajeros viaja 18 millas por hora más rápido que el de carga, y ambos transitan en vías paralelas. Los trenes via jan en la misma dirección, y estarán en el mismo punto 3 loras después de la salida del tren de pasajeros. Calcule la velocidad de cada tren. 5. Maizal Roberto Nieto y Armando Preciado están cose chando maíz de un campo que mide 1.5 millas de largo. Roberto empieza a cosechar a una velocidad de 0.15 mi llas por hora. Armando empieza del lado opuesto al de Roberto y cosecha a 0.10 millas por hora. Si losdos empie zan al mismo tiempo y continúan trabajando a esas velo cidades, ¿en cuánto tiempo se encontrarán? 6. Fotocopias Para sacar un gran número de copias, San dra Gil utiliza dos fotocop¡adoras. Una puede producir 35 copias por minuto; la otra saca 40 copias por minuto. Si Sandra empieza a sacar copias al mismo tiempo en ambas máquinas, ¿cuánto tiempo se necesitará para que las dos fotocop ¡adoras produzcan un total de 1050 copias? 7. Carrera de beneficencia Un club femenino trata de ob tener dinero para una casa de beneficencia; para ello, organiza cada año una carrera de bicicletas. Lina Mora viaja al doble de la velocidad de Francisco Parra; Lina y Francisco empiezan la carrera al mismo tiempo; después de 3 horas, Lina está 18 millas adelante de Francisco. a) ¿Cuál es la velocidad de Francisco? b) ¿Cuál es la velocidad de Lina? 8. Snooty, el manatí En un museo del surde Florida, un ma natí llamado Snooty vive en un tanque con capacidad pa ra 60,000 galones de agua. Una vez al año limpian el tanque y cambian el agua. El tanque cuenta con dos vál vulas que tienen la misma velocidad de flujo. Para llenar lo,la primera válvulase abre durante 17 horas,y la segunda durante 7 horas. Determine, en galones por hora, la velo cidad de llenado de las 2 válvulas. 9. Paseo por el cañón Marcia Cepeda desciende por el ca ñón Bryce, acampa una noche en el fondo, y escala para sa lir de él al día siguiente. En el descenso, su velocidad promedia 3.6 millas por hora, y en su viaje de regreso pro media 1.2 millas por hora. Si dedicó un total de 16 horas aldescenso y al ascenso, determine a) ¿cuánto tiempo necesitópara llegar al fondo del cañón? b) ¿cuál fue la distancia total que recorrió? 10. Olvido NicolásRuiz empieza una larga caminata a 4 mph; 45 minutos después, Guadalupe, su esposa, se da cuenta
- 139. S e cción 2 .4 • P roblem as adicionales d e aplicación * 1 1 1 de que olvidósu cartera. Entonces, sube a su bicicleta y va a buscarlo a una velocidad de 24 mph. a) ¿Cuánto tiempo necesitará Guadalupe para alcanzar a Nicolás? b) ¿Qué tan lejos de su casa se encontrarán Guadalupe y Nicolás? “ 11. Empacado de espagueti Dos máquinas de distinto tama ña empacan espagueti. La máquina más pequeña puede empacar 400 cajas por hora, y la máquina más grande pue de empacar 600 cajas por hora. Si la máquina más grande comienza a trabajar 2 horas antes que la más pequeña, ¿cuánto tiempo después de que empiece a funcionar esta última se habrán empacado 15,000 cajas de espagueti? « 12. Carreras de caracoles Como proyecto de ciencias en su clase de preescolar, la profesora Graciela Farías organiza una carrera de caracoles. El primer caracol se llama Ve loz, y se mueve a 5 pies por hora. El segundo caracol, Lu- cecita, se mueve a 4.5 pulgadas por hora. Si los caracoles siguen un camino recto y Veloz termina la carrera 0.25 ho ras antes que Lucecita, a) determine el tiempo que necesitó Lucecita para terminar la carrera. b) determine el tiempo que necesitó Veloz para terminar la carrera. c) ¿qué distancia recorrieron los dos caracoles? 13. Viaje al aeropuerto Lidia Marín se dirige al aeropuerto, conduciendo su automóvil a una velocidad de 35 millas por hora; 15 minutos después de su salida, sus padres se dan cuenta de que olvidósus boletos, asíque tratan de al canzarla en un automóvil que va a 50 millas por hora. ¿Cuánto tiempo se tardarán en alcanzar a Lidia? 14 Alcancedéla señal Un equipode radiocomunicacióntiene un alcance de aproximadamente 2 millas.Alicia Robledo y Delia García llevan sus radios cuando inician una camina taen direcciones opuestas a lo largo de un sendero natural. S Alicia camina a una velocidad de 3.5 mph y Deba lo hace a una velocidad de 4.5 mph, ¿cuánto tiempo pasará hasta que ya no puedan comunicarse con sus radios? En los ejercicios 15 a 28, plantee una ecuación que pueda usarse para resolverproblemas de mezcla. Resuelva cada ecuación y res ponda las preguntas. 15. Dos inversiones Vicente Sanabria invirtió $30,000 en dos cuentas diferentes; una paga 3% y la otra 4.1% de interés simple anual. Si Vicente ganó un total de $1091.73 por las cbs inversiones, ¿cuánto invirtió en cada cuenta? 16. Dos inversionesTeresa Solóizano invirtió $10,000 duran te un año, una parte a 7% y otra a 6.25%. Si ganó un total de $656.50 por concepto de intereses, ¿cuánto invirtió a cada tasa? « 17. Mezcla de café Juana Gaytán es propietaria de la cafete ría LaTacita. Enella, ofrece muchas variedades de café, in cluyendo un mezcla llamada Kona que vende a $6.20 por Ibra, y otra de Amaretto que vende a $5.80por libra. Jua na descubrió que, si mezcla ambas variedades, obtiene un nuevo sabor que se vende muy bien. Si utiliza 18 libras de Amaretto en la mezcla y desea vender el nuevo sabor a $6.10por libra, ¿cuántas libras del café Kona debe mezclar con el café Amaretto? 18. Mezcla de nueces Jacinto Pedraza es propietario de una tienda de semillas; en ella, vende las almendras a $6por li bra, y las nueces a $520 por libra. Cierto día, recibe un pe dido especial de un cliente que quiere comprar30 libras de una mezcla de almendras y nueces, pero no quiere pagar más que $165. Jacinto utilizó el álgebra para determinar la cantidad de cada semilla, tomando en cuenta que sólo puede utilizar una cantidad de almendras tal, que el valor total de la mezcla no exceda $165. Determine cuántas li bras de almendras y de nueces mezcló Jacinto. 19. Inversión de una herencia Bartolomé Velasco heredó $250,000, y desea invertirlos en acciones de las empresas Johnson & Johnson y AOL Time Warner. Bartolomé de sea comprarel doble de acciones de AOLque de acciones de Johnson & Johnson. El 11 de febrero de 2002, el pre cio de las acciones de Johnson & Johnson era de $56.88 cada una, y el de las acciones de AOL era de $27.36 ca da una. a) Si Bartolomé desea comprar acciones en bloques de 100, ¿cuántas acciones de cada compañía puede comprar? b) ¿Cuánto dinero le quedaría después de realizar la compra? 20. Solución de ácido acético César León, un maestro de quí mica, necesita una solución de ácido acético con concen tración de 10% para su próxima clase. Cuando revisa el almacén, se da cuenta de que sólo tiene 16 onzas de una solución de ácido acético con concentración de 25%. No hay suficiente tiempo para solicitar más,de modo que de cide hacer una solución de áddo acético con concentración de 10% agregando agua a la solución de que dispone. Cómo sabe álgebra, hace cálculos para determinar cuánta agua debe agregar. Haga lo mismo y cálcule cuánta agua debe agregar César a la solucióncon concentraciónde 25% para reducirla a una solución con concentración de 10%. 21. Solución de vinagre Por lo común, el vinagre blanco des tilado que se vende en lossupermercados tiene un nivel de acidezde 5%. Para preparar un platillo, la chef Julia Pala- dos marina carne de ternera durante toda la noche, en un vinagre especial, destilado al 8%, que ella creó. Para lo grar su solución al 8%, Julia mezcla una solución normal de vinagre al 5% con otra al 12% que compra en un al macén especializado. ¿Cuántas onzas de vinagre al 12% debe agregar a 40 onzas de vinagre al 5% para obtener una soluciónde vinagre al 8%?
- 140. 1 1 2• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades 22. Solución deperóxido dehidrógeno Arturo Godínez tra baja como ingeniero químico para la compañía Peróxido. S. A., y tiene 2500 galones de solución de peróxido de hi drógeno de clase comercial, con 60% de peróxido de hi drógeno puro. ¿Cuánta agua destilada (que tiene 0% de peróxido de hidrógeno) necesitará agregar a esa solución para crear una nueva mezcla con 25% de peróxido de hi drógeno puro? 23. Salsa derábanos Angélica Garduño tiene una receta pa ra la que requiere una salsa de rábanos con 45% de rába nos puros. En la tienda encuentra una salsa de rábanos que tiene 30% de rábanos puros, y otra con 80%. ¿Cuán tas cucharadas de cada una de estas salsas debe mezclar Angélica para obtener 4 cucharadas de salsa de rábano con 45% de rábanos puros? 24 Mezcla de semillas El vivero Siempre Verde vende dos tipos de semillas de césped a granel. La semilla de baja ca lidad tiene una tasa de germinación de 76%, pero se des conoce la tasa de germinaciónde la semilla de alta calidad. Doce libras de la semilla de alta calidad se mezclan con 16 libras de la semilla de baja calidad. Si un análisis poste rior de la mezcla revela que la tasa de germinación de la mezcla fue de 82%, ¿cuál es la tasa de germinación de la semilla de alta calidad? 25. Solución ácida Un químico tiene dos soluciones de ácido sulfúrico.Una tiene una concentraciónde 20%, pero la eti queta que indica la concentración de la otra está perdida. Cierto día, se hace una mezcla con 200 mi de la solución con concentración de 20% y 100 mi de la solución con la concentracióndesconocida.Despuésde un análisis,se deter- minóque la mezcla tiene una concentraciónde 25%. Deter mine la concentración de la solución sin etiqueta. 26. Estrategiafiscal Algunos estados permiten que cada cón yuge presente su declaración de impuestos estatales de manera individual aunque den cuenta de sus ingresos en conjunto. Por lo regular, ésta es una ventaja para los con tribuyentes cuando marido y mujer trabajan, ya que de berán una menor cantidad de impuestos (o tendrán derecho a una devolución mayor) cuando los ingresos gra- vables de ambos cónyuges sean iguales. El año pasado, el ingreso gravable del señor Junco fiiede $28,200,y el de la señora de Junco fue de $32,450. La deduccióntotal de impuestos de losJunco fueron de $6400. Esta deducción puede dividirse entre el señor y la señora Junco como ellos deseen. ¿Cómo deben dividir los $6400 entre ellos para que tengan el mismo ingreso gravable? 27. Mezcla de semilla de girasol El vivero Alameda vende dos tipos de semilla de girasol; la semilla rayada cuesta $1.20por libra, mientras que la semilla de girasol de acei te negro cuesta $1.60 por libra. ¿Cuántas libras de cada una debe utilizar el vivero para obtener una mezcla de 20 libras que se venda a $30? 28. Niveles de octano El nivel de octano de una gasolina in dica el porcentaje de octano puro que contiene. Por ejem plo, casi todas las gasolinas comunes tienen un nivel de octano de 87, lo que significa que está compuesta por87% de octano (y 13% de algúnotro combustible, como penta- no). Orlando Troncoso es propietario de una estación de gasolina, y tiene 150 galones de gasolina con 87 octanos. ¿Cuántos galones de gasolina con 97 octanos debe mezclar con la gasolina de 87 octanos para obtener gasolina con 89 octanos? 29. Ruta 66 La famosa Ruta 66, una carretera de Estados Uni- cbs,comunica aChicago con Los Ángelesy tiene unaexten siónde 2448 millas.Judy KasabiansaledeChicago y conduce aúna velocidad promedio de 45 mph por la Ruta 66 hacia Los Ángeles. Al mismo tiempo, Kamilia Nemri sale de Los Ángelesyconduce por la Ruta 66 a una velocidadde 50 mph con direccióna Chicago.Si Judy y Kamilia mantienen estas velocidadespromedio, ¿cuánto tardaránen encontrarse? 30. Reunión en un restaurante Mateo Coria y Simón Cerdeña viven a 225 millas uno del otro. Ellos se reúnen con fre cuencia para comer en un restaurante que está entre am bos puntos. Partiendo al mismo tiempo de sus respectivas casas, Mateo necesita 1 hora y 45 minutos para llegar al restaurante, y Simón tarda 1 hora y 15 minutos en llegar. Si cada uno de ellos maneja a la misma velocidad, a) determine sus velocidades. b) ¿aquédistanciade la casade Simónestáel restaurante? 3L Bombas de agua Gregorio Álvarez necesita vaciar su al- berca de 15,000 galones, de modo que pide ayuda al de partamento de bomberos. El jefe del escuadrón accede a prestarle dos bombas para desaguar la alberca. Una bom ba saca 10galones de agua por minuto y la otra 20 galones por minuto. Si las bombas comienzan a trabajar al mismo tiempo y permanecen encendidas hasta que la alberca es tá vacía, ¿cuánto tiempo tarda en vaciarse la alberca? 32. Dos inversiones Jesús Carrión invirtió $8000 durante un año,una parte a 6% y otra a 10% de interés simple. ¿Cuán to invirtió en cada cuenta, si recibió la misma cantidad de intereses por cada una? fea ejercicio 27 En los ejercicios 29 a 46, escriba una ecuación que pueda usarse para resolverproblemas de mezcla o de movimiento. Resuelva cada ecuación y responda las preguntas.
- 141. S e cción 2 .4 • P roblem as adicionales d e aplicación • 113 33. Solución anticongelanle ¿Cuántos cuartos de galónde an ticongelante puro debe agregar Doris Quezada a 10 cuar tosde una soluciónde anticongelante conconcentraciónde 20% para obtener una soluciónconconcentraciónde 50%? 34. Viaje a Hawai Un avión voló de Chicago a Los Ángeles a una velocidad promedio de 500 millas por hora. Después continuósu trayecto sobre el océano Pacífico hacia Hawai a una velocidad promedio de 550 millas por hora. Siel via je completo cubrió 5200 millas y el vuelo sobre el océano es el doble del vuelo sobre tierra, ¿cuánto tiempo duró el viaje completo? 35. Reabastecimienlo de unjet Unjet de la fuerza aérea reali- zaráun largo vuelo,asíque necesitará reabastecerse de com bustible en pleno vuelo sobre el océano Pacífico.Unaviónde reabastecimiento que transporta combustible puede viajar mucho más lejos,pero vuela a una velocidad menor. El avión de reabastecimiento y el jet saldrán de la misma base, pero el primero partirá2 horas antes que eljet. Éste volará a 800 mph y el otro volará a 520 millas por hora. 4Z 43. 44 45. 38. Viaje de trabajo José Luis Guerra vive a 28 millas de su trabajo. Debido a irregularidades en el camino, él debe manejar los primeros 20 minutos a una velocidad 14 mph más lenta que en el resto del trayecto. Si el viaje comple to le toma 35 minutos, determine la velocidad de José Luis en cada parte de su trayecto. « 39. Solución de alcohol Heriberto Sosa tiene una solución de alcohol metílico con concentración de 80%, y desea ob tener un galón de solución para el limpiaparabrisas de su auto, mezclando su solución de alcohol metílico con agua. Si 128 onzas, o un galón, de fluido para el limpiaparabri sas debe contener 6% de alcohol metílico, ¿qué propor ción de la solución con concentración de 80% y cuánta agua debe mezclar? 40. Pbdadora de jardines Sergio Rivera utiliza una tractor para arreglar su jardía Utilizándola para podar parte de sujardín en segunda velocidad y otra parte en tercera ve locidad, tardó 2 horas en terminar y el odómetro de su tractor muestra que cubrió 13.8 millas mientras cortaba el pasto. Si promedió4.2 millas por hora en segunda veloci dad y 7.8 millas por hora en tercera velocidad, ¿cuárto tar dó en cada velocidad? 4L Pastel de carne Silvana Garza hace un pastel de carne combinando trozos de carne de solomillo con carne de cordero. El solomillo contiene 12 gramos de grasa poron za y el cordero contiene 0.3 gramos de grasa por onza. Si Silvana quiere que su mezcla de 64 onzas sólo tenga 0.8 gramos de grasa por onza, determine cuánto solomillo y cuánto cordero debe usar. Mezcla de leche El restaurante Buen Provecho tiene 400 cuartos de galón de leche entera que contiene 5% de cre ma. ¿Cuántos cuartos de galón de leche baja en grasa con 1.5% de crema deben agregarse para producir leche que contenga 2% de crema? Comparación de transporte Emilio Silva puede ir en su bicicleta al trabajo, y tarda 3/4 hora en el trayecto. Si uti liza su automóvil, el viaje dura 1/6 hora. Si Emilio condu ce su automóvil a un promedio de 14 millas por hora más rápidoque la velocidad que alcanza con su bicicleta, deter mine la distancia que recorre al trabajo. Máquina envasadora Una antigua máquina que dobla y sella cajas para leche puede producir 50 cajas por minuto. Una máquina nueva puedeproducir70 cajas por minuto. La máquina antigua ha fabricado 200 cajas de cartón cuando se enciende la máquina nueva. Si ambas máquinas conti núan trabajando, ¿cuánto tiempo después de comenzar a trabajar la máquina nueva producirá la misma cantidad de cajas que la máquina antigua? Salinidad del océano La salinidad (contenido de sal) del océano Atlántico promedia 37 partes por millar.Si se co locan al sol 64 onzas de agua, ¿cuántas onzas de agua pu ra se tendrían que evaporar para que la salinidad del líquido restante se elevara a 45 partes por millar? (Sólo el agua se evapora; la sal queda sedimentada.) Dos cohetes Dos cohetes se lanzan al espacio desde el centro espacial Kennedy; el primero, lanzado a mediodía, viajará a 8000 millas por hora; el segundo será lanzado poco tiempo después y viajará a 9500 millas por hora. a) ¿Cuánto tiempo después del despegue del jet se en contrarán los aviones? b) ¿A quédistancia de la base tendrá lugar el reabasteci miento? 36. Dosempleos Anselmo Ramírez tiene dos empleos de me dio tiempo. En uno le pagan $7.00 por hora, y en el otro $7.75 por hora. La semana pasada Anselmo ganó un total de $190.25 y trabajó un total de 26 horas. ¿Cuántas ho ras dedicó a cada empleo? 37. Ventadepinturas Leonardo Casillas,un artista,vende pin turas de todo tamaño en una galería de Madrid. Las pintu ras más pequeñas tienen un precio de $60, y las grandes valen $180.Al finalde la semana, Leonardo determinóque el monto total por la venta de 12pinturas fue $1200. Deter mine el número de pinturas pequeñas y grandes que vendió.
- 142. 114 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades ¿a qué horadebe lanzarse elsegundo cohete si ambas naves cfeben reunirse a una distanciade 38,000 millasde laTierra. a) Explique cómo encontró lasoluciónpara este problema. b) Determine la solución del problema. 47. a) Invente su propio problema de movimiento que pue da representarse como una ecuación. b) Escriba la ecuaciónque representa a su problema. c) Resuelva la ecuación y luego determine la respuesta a su problema. 48. a) Invente su propio problema de mezclas que pueda re presentarse como una ecuación. b) Escriba la ecuaciónque represente su problema. c) Resuelva la ecuación y luego determine la respuesta a su problema. Reto 49. Distancia a Calais El Eurotúnel (túnel submarino que 50. Automóviles de carreras Dos automóviles, A y fí.partici- comunica Folkestone, Inglaterra, con Calais, Francia) tiene pan en una carrera de 500 vueltas; cada vuelta cubre una 31 millas de longitud. Una persona puede abordar el tren distancia de 1 milla. El automóvil que va adelante, A ,pro- bala en París,viajarsin parar a través del Eurotúnel y llegar media 125 millas por hora cuando llega a la mitad de la a Londres en 3 horas. El tren bala recorre la distancia entre carrera;el automóvil B estáexactamente 62 vueltas detrás a) Determine la velocidad promedio del automóvil B. b) Cuando el automóvil A llega a la mitad de la carrera, ¿qué tan lejos de él, en segundos, está el automóvil B1 5L Solución anticongelante El radiadorde un automóvil tiene una capacidad de 16 cuartos de galón. En este momento está Heno con una solución anticongelante con concentra ción de 20%. ¿Cuántos cuartos deben drenarse y reempla zarse con anticongelante puro para hacer que el radiador contenga una solución anticongelante con concentración de 50%? Distancia a Calais El Eurotúnel (túnel submarino que comunica Folkestone, Inglaterra, con Calais, Francia) tiene 31 millas de longitud. Una persona puede abordar el tren tala en París,viajarsin parar a través del Eurotúnel y llegar a Londres en 3 horas. El tren bala recorre la distancia entre Parísy Calais en un promedio de 130 millas por hora; des pués reduce su velocidad a un promedio de 90 millas por lora a lo largo del trayectode31 millasdel Eurotúnel. Cuan- cb sale del Eurotúnel, cubre el trayecto de 68 millas entre folkestone y Londres a un promedio de 45 millas por hora, cbbido a que transita por víasobsoletas. Con esta informa ción, determine la distancia que hay entre París y Calais. Ejercicios de repaso acumulativo 2 .7 X 1 0 15 [1.6] 52. Exprese el cociente en notación científica. - 1 - ---- —j 4 .5 X 1™ Resuelva [2.1] 53. 0.6* + 0.22 = 0.4(* - 2.3) 2 1 54. - x + 3 = x + - 3 2 [2.2] 55. Despeje y en la ecuación ~ (x - 2) = ~(2x + 3y) [2.3] 56. Renta de un camión La agencia de renta de camio nes Transportes, S. A. cobra $30 por día más $0.14 por milla recorrida. Por su parte, la agencia Camio nes, S. A. cobra $16 por día más $0.24 por milla re corrida. ¿Qué distancia debería conducir en 1 día para que el precio de Transportes, S. A. sea igual al de Camiones, S. A.? para y.
- 143. S e cción 2 .5 • Resolución de de sigualdades lineales • 1 1 5 2 . 5 R E S O L U C IÓ N D E D E S IG U A L D A D E S L IN E A L E S A s 1 Resolver desigualdades. 2 Representar soluciones gráficamente en la recta numérica, no tación de intervalo y conjuntos solución. 3 Resolver desigualdades com puestas que incluyan “y ”. 4- Resolver desigualdades com puestas que incluyan “o ”. 1 Resolver desigualdades E n la sección 1.2 analizam os las desigualdades y la notación d e conjuntos. Si lo d e sea, p u ed e repasar ahora esa sección. Los sím bolos d e desigualdad se p resentan a continuación.* Sím bolos d e desigualdad > es mayor que > es mayor o igual que < es menor que < es menor o igual que U na expresión m atem ática con uno o más d e estos sím bolos es una desigualdad. L a dirección del sím bolo d e desigualdad a veces se denom ina o rd en o sen tid o d e la d e sigualdad. Ejem plos de desigualdades con una variable 2 x + 3 s 5 4 x > 3x - 5 1.5 s -2 .3 * + 4.5 x + 3 > 0 z Para resolver una desigualdad, debem os aislar la variable en un lado del sím bo lo de desigualdad. Para aislar la variable, utilizam os las mismas técnicas básicas utili zadas p ara resolver ecuaciones. P ro p ie d a d e s utilizadas p a ra re s o lve r d esig u a ld a d e s L Si a > b, entonces a + c > b + c. 2. Si a > b, entonces a - c > b - c. 3. Si a > b, y c > 0, entonces ac > be. 4 Si a > b, y c > 0, entonces c c 5. Si a > b, y c < 0, entonces ac < be. a b 6. Si a > b, y c < 0, entonces - < Las prim eras dos propiedades establecen q u e podem os sum ar o restar el mismo número en am bos lados d e una desigualdad. La tercera y cuarta propiedades establecen es distinto de, también es una desigualdad; * significa < o >. Así,2 * 3 significa2 < 3 o 2 > 3.
- 144. 1 1 6• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades que am bos lados d e una desigualdad pueden multiplicarse o dividirse p o r cualquier nú m ero real positivo. Las dos últimas propiedades indican que cuando am bos lados de una desigualdad se m ultiplican o dividen p o r u n n ú m ero negativo, la dirección d e la d e sigualdad se invierte. Ejem plo d e multiplicación por un n úm e ro negativo Multiplique ambos lados de a desigualdad poi— I e invierta la dirección del símbolo de desigualdad. 4 > - 2 - 1 ( 4 ) ( - 2) - 4 < 2 Ejem plo d e división entre un núm ero negativo 10 10 - 2 - 5 - 4 - 4 Divida ambos lados de la desigualdad entre -2 e Invierta la dirección de! símbolo de desigualdad. S U G E R E N C I A No olvide invertir la dirección del símbolo de desigualdad cuando multiplique o divi da ambos lados de la desigualdad por un número negativo. Dirección del sím bolo de Desigualdad la desigualdad -3 * 6 -3 * < 6 — - > — - 3 -3 " f > 5 ( - 2 ) ( - § ) < ( - 2 ) ( 5 ) E J E M P L O 1 Solución Resuelva la desigualdad 5f - 7 > -2 2 . 5 í - 7 ^ - 2 2 5í - 7 + 7 > - 2 2 + 7 51 > - 1 5 51 - 1 5 — > ------ 5 5 t > - 3 Sume 7 en ambos lados. Divida ambos lados entre 5. E l conjunto solución es {tt > -3 } . Cualquier núm ero real m ayor q u e o igual a - 3 sa- AHORARESUELVAELEJERCICI017 tisface la desigualdad. 2 Representar soluciones gráficamente en la recta numérica, notación de inter valo y conjuntos solución Com o se indicó en la sección 1.2, la solución d e una desigualdad puede representarse gráficam ente sobre una recta num érica, o escribirse com o un conjunto solución. La solución tam bién puede escribirse en notación d e intervalo, com o se ilustra a conti nuación. Casi todos los profesores tienen preferencia p o r alguna d e estas form as para indicar la solución d e una desigualdad. Recuerde que en la recta numérica, un círculo relleno indica que elpunto extremo es parte de la solución, y un círculo vacío indica que elpunto extremo no es parte de la solu ción. En notación de intervalos se utilizan los corchetes, [ ],para indicar que lospuntos ex tremos son parte de la solución, y los paréntesis, ( ) , para indicar que los puntos extremos no son parte de la solución. El símbolo oo,que se lee “infinito”,indica que el conjunto so lución continúa indefinidamente. C ada vez que se utilice el símbolo ooen notación de in tervalo,debemos usar un paréntesis del lado correspondiente de esta notaciónde intervalo.
- 145. S e cción 2 .5 • Resolución d e d e sigu a lda des lineales * 1 1 7 Solución de desigualdad x > a x > a x < a x < a a < x < b a < x < b a < x < b a < x < b x > 5 * < 3 2 < x 6 - 6 x < - 1 Conjunto solución indicado en la recta numérica — 4 — - l < • ■ 1 1 1 -t ) 1 2 3 4 : > ■ i t i ---------► > 6 7 8 9 10 11 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 11 1 2 3 4 5 6 - 3 - : ’ -1 0 1 2 1 1 4 5 6 7 8 »— t— * 1 : 9 Conjunto solución representado en notación de intervalo (a, oo) [a, oo) ( - o o , a) ( - o o , fl] (a, b) [a,b] (a, b] [a, b) [5, oo) ( —0 0 ,3 ) ( 2. 6] [ - 6. - 1] - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 E n el siguiente ejem plo resolverem os una desigualdad q u e tiene fracciones. E J E M P L O 2 Resuelva la siguiente desigualdad y d é la solución tanto en la recta num érica com o en notación d e intervalo. 1 1 2 z „ 4Z ~ 2 K T +2 Solución Podem os elim inar las fracciones d e una desigualdad al m ultiplicar am bos lados d e la desigualdad p o r el m ínim o com ún denom inador, M CD, d e las fracciones. E n este caso multiplicam os am bos lados d e la desigualdad p o r 12. Luego resolvemos la desi gualdad resultante, tal com o hicim os en el ejem plo anterior. 1 1 2 z „ ? Z " 2 < T + 2 i2lW ) <i2if + 2 2z Multipliqueambos ladoe porel MCD, 12. Propiedad distributiva. 3 z ~ 6 < 8z + 24 3 z ~ 8 z ~ 6 < 8 z ~ 8 z + 2 4 Peste &zen ambos lados. ~ 5 z - 6 < 24 - 5 z - 6 + 6 < 2 4 + 6 - 5 z < 30 Sume & en ambos lados. - 5 z . 30 - 5 - 5 z > - 6 Dvida ambos lados entre —5 y cambie ladirección del símbolode desigualdad.
- 146. 1 1 8• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades AHORARESUELVAELEJERCICIO 25 E J E M P L O 3 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 23 SU G ERENCIA EJEM PLO 4 Solución R ecta num érica Notación d e intervalo ( - 6, 00) - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 El conjunto solución es {zz > -6 } . En el ejemplo 2 ilustramos la solución en la recta numérica, en notación d e inter valo y com o un conjunto solución. Su profesor le puede indicar cuál form a prefiere. Resuelva la desigualdad 2 (3 p - 4) + 9 < 8 (p + 1) - 2 (p - 3). 2(3p - 4) + 9 < 8 (p + 1) - 2 (p - 3) 6 p - 8 + 9 < 8 p + 8 - 2 p + 6 6 p + 1 ^ 6 p + 14 6 p — 6 p + 1 ^ 6 p — 6 p + 14 1 < 14 Como 1 siem pre es m enor q u e o igual a 14, la desigualdad es verdadera p ara todos los núm eros reales. Cuando una desigualdad es verdadera p ara todos los núm eros reales, el conjunto solución es el conjunto de todos los núm eros reales, IR. El conjunto solución para este ejem plo, tam bién puede indicarse en la recta num érica o en notación d e in tervalo. - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 O 1 2 3 4 5 6 o ( - 0 0 , 00) Si en el ejem plo 3 hubiera resultado la expresión 1 > 14, la desigualdad nunca sería verdadera,ya q u e 1 nunca es mayor q u e o igual a 14. Cuando una desigualdad nun ca es verdadera, no tiene solución; su conjunto solución es el conjunto vacío o conjunto nulo, 0 o | ). E n la recta num érica, el conjunto vacío se representa com o -------1 ► . Pbr lo general, cuando se escribe la solución de una desigualdad, la variable se coloca a la izquierda. Por ejemplo, cuando resolvemos una desigualdad, si obtenemos 5 > y, escribiríamos la solución como y < 5. Por ejem plo, - 6 < x significa a x > - 6 (el símbolo de desigualdad apunta a - 6 en ambos casos) - 3 > x significa a x < - 3 (el símbolo de desigualdad apunta a r e n ambos casos) a < x significa a x > a (el símbolo de desigualdad apunta a a en ambos casos) a > x significa a x < a (el símbolo de desigualdad apunta a a; en ambos casos) Transporte aéreo U n pequeño avión m ono m otor puede transportar un peso máximo d e 1500 libras. M ilagros Pruneda, la piloto, tiene q u e transportar cajas q u e pesan 80.4 libras cada una. a) Plantee una desigualdad q u e pueda usarse p ara determ inar el núm ero máximo de cajas q u e Milagros puede transportar d e form a segura en su aeroplano, tom ando en cuenta q u e ella pesa 125 libras. b) D eterm ine el núm ero máximo d e cajas q u e M ilagros puede transportar, a) Entienda el problema y traduzca Sea n = núm ero d e cajas. p eso d e M ilagros + p eso d e n cajas < 1500 125 + 80.4n < 1 5 0 0
- 147. S e cción 2 .5 • Resolución de de sigualdades lineales * 1 1 9 E J E M P L O 5 AHORARESUELVAELEJERCICIO 65 E J E M P L O 6 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 69 E J E M P L O 7 b) Realice los cábulos 125 + 80.4n < 1500 80.4n < 1375 n 17.1 Responda R)r lo tanto, Milagros puede transportar hasta 17 cajas en cada viaje. # BolicheEn el boliche B olaram a, el alquiler d e zapatos para boliche cuesta $2.50, y ca d a línea vale $4.00. a) Escriba una desigualdad q u e pueda usarse p ara determ inar el núm ero máximo de líneas q u e Ricardo Z urbarán puede jugar si sólo tiene $20. b ) D eterm ine el núm ero máximo d e líneas que puede jugar Ricardo. Solución a) Entienda el problema y traduzca Sea g = núm ero d e líneas jugadas ento n ces 4.00g = costo d e ju g a r g líneas costo del alquiler d e zapatos + costo d e ju g a r g líneas ^ dinero q u e tiene R icardo 2.50 + 4.00g < 20 b) Realice los cábulos 2.50 + 4.00g ^ 20 4.00g < 17.50 4.00g ^ 17.50 4.00 “ 4.00 g < 4.375 Responda y com pruebe Com o Ricardo no puede jugar sólo p arte d e una línea, el núm ero máximo d e juegos q u e puede perm itirse es 4. Si Ricardo jugara 5 líneas, su cuenta sería d e $2.50 + 5($4.00) = $22.50, cantidad superior a los $20 q u e tiene. # Utilidad Para q u e un negocio logre una utilidad, su ingreso, R , deb e ser m ayor que los costos en q u e incurre, C. Esto es, se obtendrá una utilidad cuando R > C (el punto d e equilibrio d e un negocio es cuando R = Q . U na em presa q u e fabrica naipes tiene una ecuación d e costo sem anal d e C = 1525 + 1.7x,y una ecuación d e ingresos sem a nales d e R = 4.2x,en donde x es el número d e mazos d e naipes fabricados y vendidos en una sem ana. ¿C uántos mazos d e naipes deben fabricarse y venderse en una sem a na para q u e la em presa tenga una utilidad? Entienda el problema y traduzca La em presa tendrá una utilidad cuando R > C, o 4.2* > 1525 + 1.7* Realice los cálculos 2.5* > 1525 1525 X > T T * > 610 Responda La em presa tendrá una utilidad cuando fabrique y venda más d e 610 m a zos d e naipes en una sem ana. # Tablas deimpuestos G racias a una ley aprobada e n 2001, la tasa fiscal q u e pagan ca si todos los estadounidenses se redujo. a) Escriba, en notación d e intervalo, las cantidades d e ingresos gravables q u e confor m an cada uno d e los cinco rangos d e im puestos listados en la siguiente tabla, esto es, los rangos d e 15% , 27.5% , 30.5% , 35.5% y 39.1%.
- 148. 1 2 0• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades U S T A Y —1 U tilice si s u e s t a d o civil e s C a s a d o p o r b ie n e s m a n c o m u n a d o s o v iu d o (a ) Si la cantidad en la forma 1040, línea 39, es: mayor que— Pero no mayor que— Escriba la forma 1040, línea 40 de la cantidad por encima de— $0 $45,200 15% $0 45300 109350 $6,780.00 + 27.5% 45,200 109350 166300 24,393.75 + 30.5% 109,250 166,500 297350 41,855.00 + 35.5% 166,500 297,350 88,306.75 + 39.1% 297,350 b) D eterm ine el impuesto q u e deb e pagar una pareja casada p o r bienes m ancom una dos, si sus ingresos gravables son d e $36,000. c) D eterm ine el impuesto q u e debe pagar una pareja casada p o r bienes m ancom una dos, si sus ingresos gravables son d e $136,000. S o lu c ió n a) Las palabras “Pero no m ayor q u e” significa “m enor q u e o igual a”. Los ingresos gravables q u e conform an los cinco son: (0, 45,200] p ara el rango d e 15% (45,200,109,250] para el rango d e 27.5% (109,250,166,500] p ara el rango d e 30.5% (166,500,297350] p ara el rango d e 35.5% (297350, oo) p ara el rango d e 39.1% b) E l impuesto q u e deb e pagar una pareja casada p o r bienes m ancom unados con un ingreso gravable d e $36,000 es 15% d e $36,000. Por lo tanto, im puesto = 0.15(36,000) = $5400 E l im puesto a pagar es d e $5400. c) U n ingreso gravable d e $136,000 coloca a la pareja en el rango d e im puestos de 30.5%. E l impuesto es d e $24393.75 + 30.5% del ingreso gravable m ayor a $109,250. E l ingreso m ayor a $109,250 es $136,000 - $109350 = $26,750. Por lo tanto, im puesto = 24393.75 + 0.305(26,750) = 24393.75 + 8158.75 = 32352.50 E l im puesto a pagar es d e $32352.50. # 3 R esolver d e sig u a ld a d e s c o m p u e s ta s q u e incluyan “y” U na desigualdad com puesta está form ada p o r dos desigualdades ligadas con la pala bra y o la palabra o. E n ocasiones la palabra y está implícita, aunque no esté escrita. E je m p lo s d e d e s i g u a l d a d e s c o m p u e s t a s 3 < x y x < 5 x + 4 > 3 o 2* - 3 < 6 4* - 6 > - 3 y x - 6< 5
- 149. S e cción 2 .5 • Resolución de de sigualdades lineales * 1 2 1 E J E M P L O 8 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 57 E J E M P L O 9 Solución E n esta parte analizarem os las desigualdades com puestas q u e utilizan o implican la palabra y. La solución d e una desigualdad com puesta que utiliza la palabra y son todos los núm eros q u e hacen ambas partes de la desigualdad verdaderas. Por ejem plo, en 3 < x y x < 5 ¿cuáles núm eros satisfacen am bas desigualdades? Los núm eros q u e satisfacen am bas desigualdades pueden determ inarse con facilidad si representam os gráficam ente la so lución d e cada desigualdad en una recta num érica (vea la figura 2.9). A hora observe q u e los núm eros q u e satisfacen am bas desigualdades son los núm eros en tre 3 y 5. El conjunto solución es |*|3 < x < 5). 3 < x ( o x > 3 ) — - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x < 5 « i 1 I 1 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Solución: 3 < x < 5 ■ * — I —I —I —I : H K — F I G U R A 2.9 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Recuerde que, com o se explicó en el capítulo 1, la intersección d e dos conjuntos es el conjunto d e elem entos com unes a ambos. Para determinarel conjunto solución de una desigualdad que contenga la palabra y tom e la intersección de los conjuntos solu ción de las dos desigualdades. Resuelva * + 2 < 5 y 2 x - 4 > - 2 . Com ience p o r resolver cada desigualdad p o r separado. * + 2 < 5 y 2* - 4 > - 2 * < 3 2 x > 2 x > 1 A hora tom e la intersección d e los conjuntos [xx < 3) y xx > 1(.Cuando encontram os [xx < 3 ) 0 {*1* > 1), determ inam os los valores d e x com unes a am bos conjuntos. La figura 2.10 ilustra q u e el conjunto solución es |*|1 < * < 3). E n notación d e intervalo, la solución es (1,3]. - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x > i - I ■ í t ! - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 __ 4 „ Solución: l < x < 3 -M : I ; I 1 ! ----- I— ► FIGURA 2.10 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A veces es posible escribir en una form a más corta las desigualdades com puestas que utilizan la palabra y. Por ejem plo, podem os escribir 3 < x y x < 5 com o 3 < x < 5. La p alab ra y no aparece cuando la desigualdad se escribe de esta m anera, pero está im plícita. L a desigualdad com puesta 1 < * + 5 y * + 5 < 7 puede escribirse com o 1 < x + 5 ^ 7 . Resuelva 1 < x + 5 < 7. 1 < x + 5 < 7, significa l < A r + 5 y * + 5 ^ 7 . Resuelva cada desigualdad p o r separado. l < * + 5 y * + 5 < 7 - 4 < x x < 2
- 150. 1 2 2• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades E JE M P L O 10 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 35 E JE M P L O 11 Solución R ecuerde q u e - 4 < x significa * > - 4 . L a figura 2.11 ilustra q u e el conjunto solución es |* | - 4 < * < 2). E n notación d e intervalo, la solución es (-4 ,2 ]. -4 < x ( o x > -4) - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 X ^ 2 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 Solución: -4 <x*¿2 FIGURA 2.11 -6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 La desigualdad del ejem plo 9,1 < * + 5 < 7,puede resolverse de o tra forma. Pode mos seguir utilizando las propiedades analizadas anteriorm ente para resolver desigualda des compuestas. Sin embargo,cuando trabajamos con tales desigualdades, lo que hagamos para una parte lo debem os hacer para las tres partes. E n el ejemplo 9 podríam os restar 5 de las tres partes para aislar la variable de enm edio y resolver la desigualdad. 1 < * + 5 =<7 l - 5 < * + 5 - 5 ^ 7 - 5 —4 < * < 2 O bserve q u e ésta es la m ism a solución q u e obtuvim os en el ejem plo 9. Resuelva la desigualdad - 3 < 2x - 7 < 8. Queremos aislar la variable *. Comenzamos por sumar 7 a las tres partes de la desigualdad. - 3 < 2 x - 1 < 8 - 3 + 7 < 2 * - 7 + 7 < 8 + 7 4 < 2 x < 15 A hora divida las tres partes d e la desigualdad en tre 2. 4 2 x 15 — < — < — 2 2 2 15 2 s * < y L a solución tam bién puede ilustrarse en una recta num érica, escribirse en notación de intervalo, o presentarse com o un conjunto solución. A continuación m ostram os cada form a. f - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L a respuesta en notación d e intervalo es { x 2 sx < 1í 2 ,- ^ ) . E l conjunto solución es 4 - 3 * Resuelva la desigualdad - 2 < — - — < 8. M ultiplique las tres partes p o r 5 p ara elim inar el denom inador.
- 151. S e cción 2.5 • Resolución d e d e sigualdades lineales • 1 2 3 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 4 3 SUG ERENCIA E JE M P L 0 12 Solución - 1 0 < 4 - 3 * < 40 - 1 0 — 4 < 4 — 4 — 3 * < 4 0 - 4 - 1 4 < - 3 * < 36 A hora divida las tres partes d e la desigualdad entre - 3 . R ecuerde q u e cuando m ulti plicamos o dividimos una desigualdad p o r un núm ero negativo, la dirección del sím bolo d e desigualdad se invierte. - 1 4 - 3 x 36 > - 3 - 3 - 3 Y > x > - i 2 Aunque y > x > - 1 2 es correcto,p o r lo general escribimos desigualdades com puestas con el valor más pequeño a la izquierda. Por lo tanto, rescribirem os la solución como - n < x < f L a solución tam bién puede ilustrarse en la recta num érica, escribirse en notación de intervalo, o presentarse com o un conjunto solución. 14 - 1 2 3 -I- -1 6 -1 4 -1 2 -1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 L a solución en notación de intervalo es ( - 1 2 ,y ). E l conjunto solución es { * |-1 2 < * < y } . Debe tener cuidado al escribir la solución de una desigualdad compuesta. En el ejem plo 11, podemos cambiar la solución de y > * > - 1 2 a - 1 2 < * < y Esto es correcto, ya que ambas expresiones indican que * es mayor que -1 2 y menor que y . Observe que el símbolo de la desigualdad en ambos casos apunta al número menor. En el ejemplo 11, si hubiéramos escrito la respuesta y < * < -1 2 , habríamos dado una solución ñcorrecta. Recuerde que la desigualdad y < * < -1 2 significa que y < * y * < -12.. No existe un número que sea al mismo tiempo mayor que y ym enorque -12. Además, si examinamos la desigualdad y < * < -1 2 , nos daremos cuenta de que parece como si dijéramos que -1 2 es un número mayor que y , lo que obviamente es incorrecto. También sería incorrecto escribir la respuesta como Cálculo d e calificaciones E n un curso de anatom ía y fisiología, una calificaciónprom e dio mayor que o igual a 80 y m enor que 90 tiene com o resultado una nota d e B. Moisés Landeros recibió calificaciones d e 85,90,68 y 70 en sus prim eros exámenes. Para que M oisés reciba una n o ta final de B en el curso, ¿entre cuáles dos calificaciones deb e es tar su quinto (y último) exam en? Sea * = calificación d e M oisés en el último examen. 80 < prom edio d e los cinco exám enes < 90 85 + 9 0 + 68 + 70 + * ^ 80 < ----------------- < 90
- 152. 1 2 4• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades 400 < 313 + a: < 450 400 - 313 < 313 - 313 + a: < 450 - 313 87 < a: < 137 Moisés necesitaría una calificación mínima d e 87 en su último exam en para obtener una nota final d e B. Si la calificación más alta q u e se puede alcanzar en el exam en es 100, ¿M oisés podría obtener una nota final d e A (prom edio d e 90 o más)? Explique. # 80 < 3135+ X < 90 4 R e s o lv e r d e s ig u a ld a d e s c o m p u e s ta s q u e in c lu ya n “o ” L a solución d e una desigualdad com puesta q u e utiliza la palabra o, son todos los nú m eros q u e hacen verdadera cualquiera de las desigualdades. Por ejemplo, en la desi gualdad com puesta x > 3 o x < 5 ¿cuáles núm eros satisfacen la desigualdad com puesta? R epresentem os gráficam ente la solución d e cada desigualdad m ediante la recta num érica (vea la figura 2.12). O b serve q u e todo núm ero real satisface al m enos una d e las dos desigualdades. Por lo tanto, el conjunto solución d e la desigualdad com puesta es el conjunto d e todos los núm eros reales, R. x > 3 * x < 5 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 4 Solución: R ..................................................... FIGURA 2.12 -6 - 5 - 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 R ecuerde que, com o se explicó en el capítulo 1, la unión d e dos conjuntos es el conjunto d e elem entos que pertenecen a cualquiera d e ellos. Para determinar el con junto solución d e la desigualdad q u e contenga la palabra o y tom e la unión de los conjuntos solución de las dos desigualdades que conform an la desigualdad compuesta. E J E M P L O 1 3 R esuelvax + 3 < - l o - 4 x + 3 < - 5 . Solución Resuelva cada desigualdad p o r separado. a + 3 - 1 o r x < - 4 - 4 a : + 3 < - 5 —4a : < - 8 a: > 2 A hora represente gráficam ente cada solución en rectas num éricas y después determ i ne la unión (vea la figura 2.13). L a unión es x < - 4 o x > 2. x*z - 4 - FIGURA 2.13 x > 2 Solución: x -4 o x > 2 ' 1 1 — 1 — 1 — 1- - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 -I— 1 — 1 — l 1 2 3 4 5 __1 ___1 ___1 ___1 ___1 ___1 ________ 1 — i — 1— ^1— ■ —^ - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 7 - 6 - 5 -4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 E l conjunto solución es [xx < - 4 ) U{a:|a: > 2), q u e podem os escribir com o [xx < - 4 AHORARESUELVAELEJERCICIO 59 o x > 2). E n notación d e intervalo, la solución es ( - 0 0 , -4 ] U (2,00 ) . #
- 153. S e cción 2.5 • Resolución d e d e sigualdades lineales • 1 2 5 Con frecuencia encontram os desigualdades en nuestra vida diaria. Por ejemplo, en una carretera la velocidad m ínima puede ser d e 45 millas p o r hora, y la m áxim a de 65 millas por hora; un restaurante puede ostentar un letrero en donde se establezca que su capacidad m áxim a e s d e 300 personas, y la velocidad m ínim a d e despegue d e un aeroplano puede ser d e 125 millas p o r hora. Existen varias formas de escribir la solución de un problema de desigualdad. Asegú rese de indicar la solución en la forma solicitada por su profesor. A continuación pro porcionamos ejemplos de varias formas. R e c t a N o ta c ió n d e C o n ju n to D e s ig u a ld a d n u m é r ic a in te rv a lo 5 s o lu c ió n 5 ------ 1 1 1 i ■ 1 1 1 i 1 1 - / 5 / 1 51 * < - -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 - 0 0 , - 1 XX<V _ 4 < í « : 5 . : l i l i . ( '_ 4 ¿1 3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 3 J «/-»| C O V I X V ■ * * 1 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 2 . 5 Ejercicios conceptuales 1. Al resolver una desigualdad, ¿cuándo es necesario cam biar la dirección del símbolo de la desigualdad? 2. Explique la diferencia entre x < 7 y x ^ 7. 3. a) Al indicar la soluciónde un problema en una recta nu mérica, ¿cuándo se utilizan círculos vacíos? b) ¿Cuándo se utilizan círculos llenos? c) Proporcione unejemplo de una desigualdad cuya solu ción en una recta numérica contendría un círculo vacío. d) Proporcione un ejemplo de una desigualdad cuya solu ciónen una recta numérica contendría un círculo lleno. 4. ¿Quées una desigualdad compuesta? Dé un ejemplo. 5. ¿Quésignifica la desigualdada < x < b l 6. Explique por qué {a:|5 < x < 3} no es un conjunto solución aceptable para una desigualdad. Problemas de aplicación Exprese cada desigualdad a) utilizando una recia numérica, b) en notación de intervalo, y c) como un conjunto solución (utilice la notación de construcción de conjuntos) 7. x > - 2 8. x > | 9. w < tí 10. - 2 < x < 3 11. - 3 <<7 ^ 7 l Z x > ~ 7 Sí 13. - 7 < i < - 4 14 - 2 1 - < k < - l l 5 < 8 ' Resuelva cada desigualdad y represente gráficamente la solución en la recta numérica. 15. x - 7 > - 4 16. 2* + 3 > 4 17. 3 - x < - 4 18. 9b - 5 < 5b + 7 19. 4.7* - 5.48 > 11.44 20. 1.4* + 2.2 < 2.6* - 0.2
- 154. 1 2 6• Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades 2L 4<* —2) < 4* - 8 22. 15.3 > 3(a - 1.4) 23. 56 - 6 > 3(6 + 3) + 26 24. - l ( d + 2) < - 9 d + 2(d - 4) 25. | + | £ 4 26. 2y - 6y + 10 £ 2 (-2 y + 3) Resuelva cada desigualdad y dé la solución en notación de intervalo. 27. 4 + y < 6 28. 4 - 3 * < 7 + 2* + 4 1 m 1 A l 1 •/•» 1 m a 30. 6 5 7 , 2 ~ 6 < S + h t 4t 3L - - / + 2 < - y + 3 32. 3(* - 2) 5(2 - x) 5 3 « 33. -3 x + 1 < 3[(* + 2) - 2x] - 1 34. 4[x - (3* - 2)] > 3( Resuelva cada desigualdad y dé la solución en notación de intervalo. 35. - 2 < q + 3 < 4 36. - 7 < p - 5 < -5 37. -1 5 < - 3 z ^ 12 38. -1 6 < 5 - 3n < 10 - 39. 4 < 2x - 4 < 7 40. -1 2 < 3x - 5 < - 4 41. 14 < 2 —3g < 20 42. | < 3* + 4 < 6 Resuelva cada desigualdad y proporcione el conjunto solución. 43. 5 S 3%+ 1 < 11 44. 3 - x - 5 r ~5 < 3 < 6 45. 6 < -3 (2 * - 4) < 12 46. r 4 - 3 * 2 " 6 < 2 < 3 . 3(M " 4) „ 47. 0 < -^ - y — - < 1 48. - 1 5 < 3(7 2 ) , 0 Resuelva cada desigualdad e indique el conjunto solución. 49. c < 2 y e > - 3 50. d > O o d < 5 51. x < 2 y x > 4 52. w < — 1 o te > 5 £ 53. * + 1 < 3 y * + 1 > - 4 54. 5* - 3 < 7 o - x + 3 < - 5 Resuelva cada desigualdad e indique la solución en notación de intervalo. 55. 2s + 3 < 7 o -3 s + 4 < - 1 7 56. 2a + 3 > 7 y -3 a + 4 < -17 5 7 . 4x + 5 > 5 y 3* - 4 < 2 58. 5* - 3 > 10 y 5 - 3* < - 3 59. 4 — x < - 2 o 3 x - 1 < - 1 60. —x + 3 < 0 o 2 x - 5 > 3 6L 2A + 5 > - l y 7 - 3 H 7 62. 2? - 7 < - 3 o 2 - 3? < 11 Resolución de problemas_______________________________________________________ 63. Servicio de mensajería Para poder enviar un paquete por b) Un servicio de mensajería definió el término circunfe- mensajería, es necesario que la suma de su largo más su cir- iencia como eldoble del ancho másel doble del grosor, conferencia no sea mayor de 130 pulgadas. Escriba una desigualdad que use las variables largo, /, a) Plantee una desigualdad que exprese esta información; ancho, w , y el grosor, d, para indicar las dimensiones utilice / para representar el largo y g para la circunfe- permitidas para los paquetes que pueden enviarse por rencia. mensajería.
- 155. Se cció n2 .5 • Resolución de d e sigu a lda des lineales * 1 2 7 c) Si el largo de un paquete es de 40 pulgadas y su ancho es de 20.5 pulgadas, determine el grosor máximo que puede tener. 64. Equipaje Desde el 8 de octubre de 2001, muchas aerolí neas han limitado el tamaño del equipaje que los pasaje ros pueden llevar consigo en los vuelos que se realizan en territorio estadounidense. La longitud, /, más el ancho, w , más el grosor, d, del equipaje que puede acompañar al pa sajero no debe exceder 45 pulgadas. a) Escriba una desigualdad que describa esta restricción; utilice las letras /, w y d como se describió antes. b) Siel equipaje de Héctor Zúñiga mide 26 pulgadas de largo y 12 de ancho, ¿cuál es el grosor máximo que puede tener para que pueda llevarlo consigo en el avión? En los ejercicios 65 a 79, plantee una desigualdad que pueda usarsepara resolver cada problema* Resuélvala y determine el valor solicitado. " 65. Lím ite de peso Néstor Pedroza, un conserje, debe trasla dar varias cajas con libros del primero al quinto piso. El le trero del elevador dice "Peso máximo: 800 libras”.Si cada caja de libros pesa 70 libras,calcule el número de cajas que Néstor puede subir al elevador. 66. Lím ite en un elevador Siel conserje del ejercicio 65,que pesa 170 libras, debe subir al elevador junto con las cajas de libros, calcule el número máximo de cajas que puede subir al elevador. 67. Larga distancia Una compañía telefónica que ofrece ser vicio de larga distancia, cobra a sus clientes $0.99 por los primeros 20 minutos y luego $0.07porcada minuto (o frac ción) posterior. Si Patricia Lanz es una de sus clientes, ¿cuánto tiempo puede hablar por $5.00? 68. Estacionamiento Un estacionamiento del centro de la ciudad cobra $1.25 por la primera hora y $0.75 por cada hora o fracción adicional. ¿Cuál es el tiempo máximo que alguien puede estacionarsu auto ahísi no desea pagar más de $3.75? 69. Utilidad de un libro Miriam Landeta piensa escribir y publicarsu propio libro. Para calcularsus ingresos, Miriam desarrolló la ecuación R = 6.42* y, para determinar sus costos, la ecuación C = 10,025 +1.09*,en donde * es el nú mero de libros que vende. Determine el número mínimo de libros que debe vender para obtener una ganancia. Vea el ejemplo 6. 70. Utilidades de una tintorería Patricio Suárez va a inaugu rar una tintorería. Para calcular sus costos, desarrolló la ecuación C = 8000 + 0.08* y, para calcular sus ingresos, la ecuación R = 1.85*,en donde * es el número de pren das lavadas en un año. Determine el número mínimo de prendas que se deben lavar en un año para que Patricio obtenga una ganancia. 7L Correo deprimera clase El 1dejulio de 2002,el costo por enviar un paquete porcorreo de primera clase era de $037 por la primera onza y $0.23 porcada onza adicional. ¿Cuál es el peso máximo que debe tener un paquete para poder loenviar por primera clase gastando solamente $10.00? 72. Correo de primera claseprepagado Una empresa puede enviar piezas de correo que pesen hasta una onza usando el correo prepagado de primera clase. La compañía debe adquirir prim ero un permiso que cuesta $150 y tiene vigencia de un año, y luego pagar $0.275 por cada pieza enviada. Sin el permiso, enviar cada pieza costaría $0.37. Determine el número mínimo de piezas de correo que es ta empresa tendríaque enviarpara que valiera la pena uti lizar este servicio postal. 73. Comparación deplanes depago Linda Ochoa aceptó ha ce poco un puesto como vendedora, en donde le ofrecie ron elegir entre dos planes de pago. El plan 1es un salario de $300 por semana más una comisión de 10% sobre las ventas. El plan 2 es un salario de $400 porsemana más 8% de comisiónsobre las ventas. ¿Cuánto tendría que vender semanalmente Linda para ganar más con el plan 1? 74 Empleopara estudiantes Siquiere seguir recibiendo una beca universitaria, Norma Díaz no puede ganar más de $2000 durante las 8 semanas que dura el verano. En este momento ella gana $90 a la semana como asistente do méstica; además, está pensando trabajar por la tarde en un restaurante de comida rápida, en donde ganaría $6.25 por hora. ¿Cuántas horas porsemana puede trabajar como máximo en el restaurante sin arriesgar su beca? 75. Calificaciónpara aprobar Para aprobar un curso, María Matute necesita obtener un promedio de 60 o más Si sus calificaciones son 65,72,90,47 y 62,determine la califica ción mínima que Maríadebe obtener en su sexto y último examen para aprobar el curso. 76. Calificación mínima Para recibir una A en un curso, Ray- mundo Rentería debe obtener un promedio de 90 o más en cinco exámenes. Si las primeras cuatro calificaciones efeRaymundo son90,87,96 y 79, ¿cuáles la calificación mí nima que debe obtener en el quinto examen para lograr una A? 77. Calificación promedio Las calificaciones de Camila An- drade en sus primeros cuatro exámenes son 87,92,70 y 75. Un promedio mayorque o igual a 80 y menorque 90 le da ría una nota final de B. ¿Cuál es el rango de calificaciones que debe obtener Camila en su quinto y último examen para lograr una calificación final de B? Suponga que la ca lificación máxima es 100. 78. Aire limpio Para que el aire se considere "limpio”, tres contaminantes deben tener una concentración promedio menor que 3.2 partes por millón (ppm). Si los primeros dos contaminantes tienen una concentración de 2.7 y 3.42 ppm, ¿en qué rango de valores debe estar la concentra ción del tercer contaminante para que el aire se conside re limpio?
- 156. 1 2 8• Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades 79. Acidez del agua Gabriel Ángel quiere verificar la acidez del agua en una alberca; ésta se considera normal cuando elpromedio de tres lecturas diarias de pH es mayorque 7.2 y menorque 7.8.Si lasdos primeras lecturas del pH son de 7.48 y 7.15, encuentre el rango de valores de pH que debe tener la tercera lectura para que resulte un nivel de aci dez normal. a) ¿En qué años,entre 1991 y 2000, los vehículos Porsche vendidos en todo el mundo fueron menos de 20,000, y los vendidos en Estados Unidos fueron menos de 10,000? Explique cómo determinósu respuesta. b) ¿En qué años,entre 1991 y 2000, se vendieron más de 30,000 vehículos Porsche en todo el mundo o tos ven didos en Estados Unidos fueron más de 20,000? Expli que cómo determinósu respuesta. 83. Comparación de deudas Fannie Mae y Freddie Mac son compañías auspiciadas por el gobierno estadounidense, con el propósito de prestar dinero a la gente que desea comprar bienes inmuebles. Debido a las bajas tasas de in terés y al aumento del poder adquisitivo, desde 1995 la deuda de Fannie Mae y Freddie Mac ha aumentado de manera abrupta. Al mismo tiempo, la deuda pública de Estados Unidos ha disminuido bruscamente. La siguiente gráfica muestra las deudas proyectadas de Fannie Mae y Freddie Mac, asícomo la deuda pública estimada para los años 2001 a 2005. 80. Impuesto sobre la renta Consulte el ejemplo 7, página 119. Manuel y María González presentan un ingreso man comunado en su declaración de impuestos. Determine el impuesto de 2001 que deben pagar Manuel y María si su ingreso gravable es a) $78,221. b) $301,233. 8L Impuesto sobre la renta Consulte el ejemplo 7, página 119. José y Miklred Batista presentan un ingreso manco munado en su declaración de impuestos. Determine el impuesto sobre la renta de 2001 que deben pagar José y Mildred si su ingreso gravable es a) $128,479. b) $175,248. 82. Ventas de Porsche Desde mediados de los años noventa, las ventas de automóviles Porsche han tenido un rápido incremento. La siguiente gráfica ilustra el número de ve hículos Porsche vendidos (en miles) entre 1991 y 2000. Ventas de Porsche a) ¿Durante qué años,entre 1995 y 2005,se estima que la deuda de Fannie Mae/Freddie Mac es menor de $1 bi llón y la deuda pública está por encima de los $3 billo nes? Explique cómo determinó su respuesta. b) ¿Durante qué años,entre 1995 y 2005,se estima que la deuda de Fannie Mae/Freddie Mac es superior a $1 bi llón o la deuda pública está por debajo de $3 billones? Explique cómo determinósu respuesta. 84. Si a > b, ¿a2siempre será mayor que ó2? Explique y pro porcione un ejemplo que respalde su respuesta. 85. Póliza de seguros Una pólizade seguro para gastos médi cos tiene un deducible de $100; por las cantidades supe riores a ese monto, la aseguradora paga 80% del total de gastos médicos, c.El cliente paga el 20% restante, pero si sus gastos superan los $500, la aseguradora paga el 100%. Itodemos describir esta póliza como sigue: Deuda pública de EE.U U $2.76 billones $3.6billones Fannie Mae/ Freddie Mac $419 miles de z millones $2.21 billones Rebasando al Tío Sam Segúnse estima, la deuda de Fannie Mae y Freddie Mac fflbrepasará la deuda públicade Estados Unidos en 2005. á 1995 2000 2005 Año N o ta : Las cifras d e 2001-2005 so n estim adas (D epartam ento d elT esoro) y proyectadas (Fannie Mac^Frcddie M ac). R íem e : S u h com itéd c S ervicios Financieros para Vivienda e n M ercados d e Capitales. Año Fuente- Revistra Ibrlune, 19 d e febrero d e 2001. 60
- 157. S e cción 2 .6 • Resolución d e e c u a c io n e s y desigualdades c o n va lo re s a b so luto s • 1 2 9 L a a s e g u r a d o r a p a g a 0, si c < $100 0.80(c - 100), si $100 < c < $2100 c - 500, si c > $2100 Explique por qué este conjunto de desigualdades descri be el plan de pago de la aseguradora. 86. Explique por qué no puede despejarse x en la desigual dad a < b x + c < d , a menos que se proporcione informa ción adicional Reto 87. Calificaciones calculadas Las primeras cinco calificacio nes de RubénAguirre en un curso de historia europea fue ron 82,90,74, 76 y 68. El examen final del curso cuenta una tercera parte del promedio final. Un promedio final mayor que o igual a 80 y menor que 90 daría como resul tado una nota final de B. ¿Cuál es el rango de calificacio nesque debe obtener Rubénen el último examen para lo grar una calificaciónfinal de B? Suponga que la calificación máxima posible es 100. En los ejercicios88 a 90, a) explique cómo resolvercada desigualdad, y b) resuelvay proporcione la solución en notación de intervalo. 88. * < 3* - 10 < 2* 90. * + 3 < * + l < 2 . * 89. x < 2 x + 3 < 2 x + 5 Ejercicios de repaso acumulativo [1 .2 ] 91. Para A = {1,2,6 ,8,9} y B = (1,3,4 ,5 ,8},determine a) A U B . b) A D B . 92. Para A = j -3 ,4 , V 7 ,0, - J , liste los ele mentos que son a) números para contar. b) enteros no negativos. c) números racionales. d) números reales. [1.3] Indique el nombre de cada propiedad. 93. (3x + 6) + 4y = 3x + (6 + Ay) 9 4 3x + y = y + 3x [2.2] 95. Despeje Ven la fórmula R = L + (V — D)r. 2 . 6 R E S O L U C IÓ N D E E C U A C I O N E S Y D E S IG U A L D A D E S C O N V A L O R E S A B S O L U T O S a * 1 E n te n d e r la in te r p re ta c ió n g e o m é tr ic a d e l v a lo r a b s o lu to . 2 R e s o lv e r e c u a c i o n e s d e la f o r m a |x|= a , a > 0. 3 R e s o lv e r d e s ig u a l d a d e s d e la f o r m a |x| < a , a > 0. 4- R e s o lv e r d e s ig u a l d a d e s d e la f o r m a |x| > a , a > 0. 5 R e so lv e r d e s ig u a ld a d e s d e la fo rm a |x| > a o |x| < a , c u a n d o a < 0. 6 R e s o lv e r d e s ig u a l d a d e s d e la f o r m a |x| > 0 o |x| < 0. 7 R e s o lv e r e c u a c i o n e s d e la f o r m a |x| = |y|. 1 Entender la interpretación geométrica del valor absoluto E n la sección 1.3 se explicó el concepto de valor absoluto. Según se indicó, el valor ab soluto d e un núm ero puede considerarse com o su distancia (sin signo) respecto del núm ero 0 en la recta num érica. E l valor absoluto d e 3, escrito |3|, es 3, ya q u e está a 3
- 158. 1 3 0• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades unidades d e distancia respecto del Oen la recta num érica. D e igual m anera,el valor ab soluto d e - 3 , escrito |- 3 |, tam bién es 3, ya q u e está a 3 unidades d e distancia respec to del Oen la recta numérica. E n x = 3, ¿q u é valores de x hacen v erdadera esta ecuación? Sabem os q u e |3| = 3 y |- 3 | = 3. Las soluciones d e x = 3 son 3 y -3 . C uando resolvem os la ecua ción |a| = 3, querem os encontrar los valores q u e están exactam ente a una distancia de 3 unidades respecto del Oen la recta num érica (vea la figura 2.14a). w = 3 uni dades 3 _ 3uni- dades M < 3 menor que menor que i—3 uni- — *i— 3 uni- _ dades dades mayor que 3 unidades W > 3 -* _ t - 2 - 1 i 1 1 2 - 3 - 2 - 1 0 1 2 t t ! ; - 2 - 1 0 1 2 (a) (b) (c) mayorque 3 unidades FIGURA 2.14 Ahora considere la desigualdad |a| < 3. Para resolver esta desigualdad, necesitamos determ inar el conjunto de valores cuya distancia respecto del Oes m enor que 3 unidades en la recta numérica. Éstos son los valores d e x entre - 3 y 3 (vea la figura 2.14b). Para resolver la desigualdad |a | > 3 , necesitam os determ inar el conjunto d e va lores cuya distancia respecto del O es m ayor q u e 3 unidades en la recta num érica. É stos son los valores q u e son m enores q u e - 3 o m ayores q u e 3 (vea la figura 2.14c). E n esta sección resolverem os ecuaciones y desigualdades com o las siguientes: 2x — 1| = 5 |2a - l | < 5 2x - l | > 5 L a interpretación geom étrica d e 2x - 1| = 5 es sim ilar a |a| = 3. C uando resolvemos 2x - 1| = 5, estam os determ inando el conjunto d e valores p ara los q u e 2 a: — 1 está exactam ente a 5 unidades d e distancia respecto del Oen la recta numérica. La interpretación geom étrica d e 2x - 1| < 5 es similar a la interpretación geo m étrica d e x < 3. C uando resolvemos |2a - 1| < 5, estam os determ inando el conjun to d e valores p ara los q u e 2a - 1es m enor que o igual a 5 unidades de distancia respecto del Oen la recta numérica. La interpretación geom étrica d e |2a - l | > 5 es sim ilar a la de |a| > 3. C uan do resolvem os |2a - l | > 5, estam os determ inando el conjunto d e valores p ara los qu e 2 a - 1 es m ayor q u e 5 unidades d e distancia respecto d e Oen la recta numérica. E n el resto d e esta sección resolverem os ecuaciones y desigualdades con va lor absoluto d e m anera algebraica. Prim ero resolverem os ecuaciones co n valor ab soluto, y d esp u és desigualdades co n valor absoluto. T erm inarem os la sección resolviendo ecuaciones con valores absolutos en am bos lados d e la ecuación, por ejem plo, x + 3| = |2a - 5|. 2 R e s o lv e r e c u a c io n e s c o n la f o rm a |x| = a , a > O Cuando resolvem os una ecuación con la form a |a| = a, a > O, estam os determ inando los valores q u e están exactam ente a a unidades d e distancia respecto del Oen la recta num érica. Podem os utilizar el siguiente procedim iento p ara resolver este tipo d e p ro blemas. P a ra re so lve r e cu a cio n e s de la fo rm a |x| 5 a Si |a| = a y a > O, entonces x = a o x = - a .
- 159. Se cció n2 .6 • Resolución d e e c u a c io n e s y desigualdades co n va lo re s a bsolutos • 1 3 1 E J E M P L O 1 Solución E J E M P L O 2 Solución Resuelva cada ecuación a) x = 7 b> |:r| = 0 c) |jr| = — 7 a) Al usar el procedim iento,obtenem os x = 7 o x = - 7 . El conjunto solución es {-7,7). b) E l único núm ero real cuyo valor absoluto es igual a cero es 0. Así, el conjunto so lución p ara x = 0 es (0). c) El valor absoluto d e un número nunca es negativo, asíque no existen soluciones para esta ecu ació a E l conjunto solución es 0 . # Resuelva la ecuación 2w - 1| = 5. A p rim era vista, esta ecuación no responde a la form a x = a sin em bargo, si hace m os q u e 2w - 1 sea x y 5 sea a>entonces verem os q u e la ecuación sí tiene esa form a. Estam os buscando los valores d e w tales q u e 2w - 1 esté exactam ente a 5 unidades d e distancia respecto del 0 en la recta num érica. Así, la cantidad 2w - 1 deb e ser igual a 5 o -5 . 2w —1 = 5 o 2w - 1 = - 5 2w = 6 w = 3 2w = - 4 w = - 2 C om pruebe w = 3 2w - 1| = 5 |2(3) - 1| = 5 |6 - l| = 5 151 ¿ 5 w = - 2 |2w - l| = 5 |2 (-2 ) - 1| = 5 |- 4 —l | = 5 ? 5 = 5 brdadero -5 | = 5 5 = 5 Verdadero Cada una d e las soluciones 3 y - 2 en 2w - l,d a n com o resultado una distancia d e 5 uni- AHORARESUELVAELEJERCICIO21 dades respecto del 0 en la recta numérica. E l conjunto solución es |- 2 , 3). # Considere la ecuación 2w - 1| - 3 = 2. E l prim er paso p ara resolverla es aislar el térm ino con el valor absoluto. H acem os esto sum ando 3 en am bos lados d e la ecua ción; esto resulta en la ecuación q u e resolvimos en el ejem plo 2. 3 R e s o l v e r d e s i g u a l d a d e s c o n l a f o r m a |x | < a , a > 0 A hora enfoquem os nuestra atención e n las desigualdades con la form a x < a. C onsi dere x < 3. E sta desigualdad representa al conjunto d e valores q u e están a m enos de 3 unidades d e distancia respecto del 0 en la recta num érica (vea la figura 2 .14b). El con junto solución es {x - 3 < x < 3). E l conjunto solución d e una desigualdad con la for m a x < a es el conjunto d e valores q u e están a m enos o igual distancia que a unidades respecto del 0 en la recta numérica. Podem os utilizar el mismo proceso d e razonam iento p a ra resolver problem as más com plicados, com o se m uestra en el ejem plo 3. EJ E M P LO 3 Resuelva la desigualdad 2x - 3| < 5. S o l u c i ó n L a solución d e esta desigualdad será el conjunto d e valores tales q u e la distancia en tre 2x - 3 y 0 en la recta num érica sea m enor q u e 5 unidades (vea la figura 2.15). U ti lizando la figura 2.15, podem os ver q u e - 5 < 2x - 3 < 5. -----------2 * - 3 * - I I i ■ í I t ■ 1 I í FIGURA 2.15 -6 - 5 - 4 - 3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
- 160. 1 3 2• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades E J E M P L O 4 Solución E J E M P L O 5 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO37 Resolviendo, obtenem os - 5 < 2 x - 3 < 5 - 2 < 2 x < 8 - 1 < x < 4 E l conjunto solución es {x|- 1 < x < 4). C uando x es cualquier núm ero en tre - 1 y 4, la expresión 2x - 3 representará un número q u e está a m enos d e 5 unidades d e dis tancia respecto del 0 en la recta numérica (es decir, un número entre - 5 y 5). # Pára resolver desigualdades con la form a x < a,podem os utilizar el procedim ien to siguiente. P ara re so lve r d esig u a ld a d e s d e la fo rm a |x| < a Si |*| < a y a > 0, entonces - a < x < a . Resuelva la desigualdad 3x - 4| < 5 y represente gráficam ente la solución en la rec ta numérica. Com o esta desigualdad tiene la form a x < a, escribim os - 5 ^ 3 x - 4 < 5 - 1 <; 3 x 9 - i < * < 3 i "3 3 ♦ - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 Cualquier valor d e x mayor o igual que ~ ¿ y m enor o igual q u e 3 d a como resultado que 3x - 4 esté a 5 unidades o m enos d e distancia respecto del 0 en la recta num érica. # Resuelva la desigualdad |5.3 - 2x¡ - 8.1 < 9.4, y represente gráficam ente la solución en la recta numérica. Prim ero aísle el valor absoluto sum ando 8.1 en am bos lados d e la desigualdad. Después resuelva com o en los ejem plos anteriores. |5.3 - 2*| - 8.1 < 9.4 |5.3 - 2*| < 17.5 -1 7 .5 < 5.3 - 2 x < 17.5 -2 2 .8 < - 2 x < 12.2 -2 2 .8 —2 x 12.2 > — — > - 2 - 2 - 2 11.4 > * > -6 .1 o -6 .1 < * < 11.4 -6.1 11.4 « ; : I I I i ■I I I ■ i I I t ■> II 1 » - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 E l conjunto solución es [x-6 .1 < x < 11.4). E l conjunto solución en notación d e in tervalo es (-6.1,11.4). #
- 161. S e cc ió n 2 .6 • R e s o lu c ió n d e e c u a c io n e s y d e s ig u a ld a d e s c o n v a lo r e s a b s o lu t o s • 133 4 Resolver desigualdades con la forma | x | > a, a > 0 E J E M P L O 6 Solución E J E M P L O 7 Solución E J E M P L O 8 A hora veam os las desigualdades con la form a x > a. C onsidere |*| > 3. E sta desi gualdad representa el conjunto d e valores q u e están a más de 3 unidades d e distan cia respecto del 0 en la recta num érica (vea la figura 2.14c). E l conjunto solución es {*1* < - 3 o x > 3). E l conjunto solución p ara |*| > a es el conjunto d e valores q u e están a m ás distancia que a unidades respecto del 0 en la recta num érica. Resuelva la desigualdad 2x - 3| > 5 y represente gráficam ente la solución en la rec ta numérica. La solución p ara |2* - 3| > 5 es el conjunto d e valores tales que la distancia entre 2x - 3 y 0 en la recta num érica será mayor q u e 5. La cantidad 2x - 3 debe ser m enor q u e - 5 o mayor que 5 (vea la figura 2.16). —2 x - 3 —| |—2 x - 3 — + r - H — I-i I I I í I I i- - - - - - - - - - - - - - - - Í 1 1 1 ► FIGURA 2.16- 8 - 7 -6 - 5 - 4 - 3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Com o 2x - 3 deb e ser m enor q u e - 5 o m ayor q u e 5, establecem os y resolvemos la si guiente desigualdad com puesta: 2 x - 3 < - 5 o r 2 x - 3 > 5 2 x < —2 2 x > 8 x < - 1 x > 4 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 El conjunto solución p ara 2x - 3| > 5 es {*1* < - 1 o x > 4). C uando x es cualquier número m enor q u e - 1 o m ayor q u e 4, la expresión 2x - 3 representará un número que está a m ás d e 5 unidades d e distancia respecto del 0 en la recta num érica (es decir, un núm ero m enor q u e - 5 o m ayor q u e 5). # Para resolver desigualdades con la form a |a:| > a,podem os usar el procedim ien to siguiente. P a ra re s o lv e r d e s ig u a ld a d e s c o n la fo rm a |x| > a Si |*| > a y a > O, entonces x < - a o x > a. Resuelva la desigualdad |2x - 1 1> 7 y represente gráficam ente la solución en la recta numérica. C om o esta desigualdad tiene la form a |*| > a , utilizam os el procedim iento q u e se p lan teó antes. 2 * - 1 < - 7 o r 2* - 1> 7 2 x < - 6 2 * > 8 x < - 3 x > 4 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 O 1 2 3 4 5 6 Cualquier valor d e x m enor o igual q u e - 3 , o m ayor o igual q u e 4, d aría com o resul tado q u e 2a: —1 represente un número m ayor o igual q u e 7 unidades d e distancia res pecto del Oen la recta numérica. El conjunto solución es {a:|a: < - 3 o x > 4). E n notación d e intervalo, la solución es ( - o o , -3 ] U [4,oo). # R esuelva la desigualdad recta numérica. 3 x - 4 > 9 y represente gráficam ente la solución en la
- 162. 1 3 4• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades Solución Com o la desigualdad tiene la form a |*| > a, escribim os 3* - 4 AHORARESUELVAELEJERCICIO 53 < - 9 3 x - 4 n O -----:-----> 9 2 2 A hora m ultiplique am bos lados d e cada desigualdad p o r el m ínimo com ún denom ina dor, 2. Después, resuelva cada desigualdad. 3 x - 4 ' - 9 - 2 o 3 x - 4 9 - 2 3* - 4 - 1 8 3 x - 1 4 14 * ^ — - Z 3 x - 4 ^ 18 3 x ^ 22 22 xasT 22 3 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S U G E R E N C I A A continuación se ofrece alguna información general acerca de las ecuaciones y desi gualdades con valor absoluto. Para números reales a , b y c, en donde a i=0y c > 0: Form a d e la ecuación Solución en o desigualdad La solución será: la recta numérica: |ax + b = c Dos números distintos,/» y q. ------- 1 ---------I------- - |ax + b < c p El conjunto de números entre dos números,/» < x < q p Q H------- - « 7 |ax + b > c El conjunto de números menores que un número o mayores que un ¿ segundo núm ero,* < p o * > q < 7 5Resolver desigualdades con la forma |x | > a o | x | < a, cuando a < 0 H em os resuelto desigualdades con la form a |*| < a en donde a> 0. A hora analicem os lo q u e sucede en una desigualdad con valor absoluto cuando a < 0. C onsidere la d e sigualdad |*| < - 3 ; com o |*| siem pre tendrá un valor m ayor q u e o igual a 0 p ara cual quier núm ero real *, esta desigualdad nunca puede ser verdadera, así q u e la solución es el conjunto vacío, 0 . Siem pre q u e tengam os una desigualdad con valor absoluto de este tipo, la solución será el conjunto vacío. EJ E M PL O 9 Resuelva la desigualdad |3* - 8| + 3 < 2. Solución Com ience restando 3 en am bos lados d e la desigualdad. |3* - 8| + 3 < 2 3x - 8 | < - 1 Cómo |3* - 8| siempre será mayor que o igual a 0 para cualquier número real *, esta des- AHORARESUELVAELEJERCICIO41 igualdad nunca puede ser verdadera. Por lo tanto, lasolución es el conjunto vacío, 0 . # A hora considere la desigualdad |*| > - 3 . Com o |*| siem pre tendrá un valor m a yor q u e o igual a 0 p ara cualquier número real *, esta desigualdad siem pre será ver dadera.
- 163. S e cción 2 .6 • Resolución d e e c u a c io n e s y desigualdades c o n va lo re s a b so luto s • 1 3 5 E JE M P L O 10 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 59 Cómo todo valor d e x h ará d e esta desigualdad una proposición verdadera, la solución es el conjunto d e todos los núm eros reales, IR. Siem pre q u e tengam os una desigualdad con valor absoluto d e este tipo, la solución será el conjunto d e todos los núm eros reales, IR. Resuelva la desigualdad |2* + 3| + 4 > - 7 . Com ience p o r restar 4 en am bos lados d e la desigualdad. 2x + 3| + 4 2x + 3| - 7 -1 1 Com o 2x + 3| siem pre será m ayor q u e o igual a 0 p ara cualquier núm ero real a:, esta desigualdad es verdadera p ara todos los núm eros reales;p o r lo q u e la solución es el con junto d e todos los núm eros reales, IR. # 6 Resolver desigualdades con la forma | x | > 0 o | x | < 0 A hora analicemos las desigualdades en las q u e uno d e sus lados es 0. E l único valor que satisface la ecuación x - 5| = 0 es 5, ya q u e 5 hace q u e la expresión dentro del valor absoluto sea 0. A hora considere x - 5 | < 0. Com o el valor absoluto nunca es nega tivo, esta desigualdad es cierta sólo cuando x = 5. L a desigualdad x - 5| < 0 no tie n e solución. ¿Puede explicar p o r qué? ¿C uál e s la solución d e x - 5| > 0? Com o cualquier valor d e x dará com o resultado q u e el valor absoluto sea m ayor q u e o igual a 0, la solución es el conjunto d e todos los núm eros reales, R. ¿C uál es la solución p ara x - 5| > 0? L a solución es todos los núm eros reales excepto 5. ¿Puede explicar p o r q u é el 5 se excluye d e la solución? E J E M P L O 11 Solución Resuelva cada desigualdad, a) x + 3| > 0 b) |3* - 4| < 0. a) La desigualdad será verdadera p ara todo valor d e x excepto - 3 . E l conjunto solu ción es {xx < - 3 o x > -3 ). b ) D eterm ine el núm ero con el q u e el valor absoluto es igual a 0, haciendo q u e la expresión dentro del valor absoluto sea igual a 0 y despejando x. 3 x - 4 = 0 3 x = 4 X 3 L a desigualdad será cierta sólo cuando x = f . E l conjunto solución es {f}. # 7 Resolver ecuaciones con la forma | x | = y A nalicem os ahora las ecuaciones en las q u e hay un valor absoluto en cada lado. Para resolver ecuaciones con la form a |*| = |y|, utilice el procedim iento siguiente. P a r a r e s o l v e r e c u a c i o n e s c o n l a f o r m a |x | = |y| Si x = y, entonces x = y o x = -y . C uando resolvam os una ecuación con una expresión d e valor absoluto a cada lado del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben ser iguales entre sí o ser opuestas entre sí.
- 164. 1 3 6• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades E JE M P L O 12 Solución E JE M P L O 13 Solución AHORARESUEU/AELEJERCICIO 63 Resuelva la ecuación |z + 3| = 2z - 1. Si hacem os q u e z + 3 sea x y 2z - 7 sea y, esta ecuación tiene la form a x = y. Utili zando el procedim iento indicado anteriorm ente, obtenem os las dos ecuaciones Z + 3 = 2 z - 7 A hora resuelva cada ecuación. z + 3 = 2z - 7 3 = z - 7 10 = z z + 3 = —(2z - 7) z + 3 = - ( 2 z - 7) z + 3 = - 2 z + 7 3z + 3 = 7 3 z = 4 4 z = ~ Compruebe z = 10 |z + 3 | = |2z - 7| |10 + 3| = |2 (1 0 ) - 7| |13| = |20 - 7| |13| ¿ |13| 13 = 13 Verdadero El con ju n to solución es { l0 , j} . Z = j | z + 3 | = | 2 z - 7 | 3 + 3 21 3 13 3 13 13 — = — Verdadero Resuelva la ecuación |4x - 7| = |6 - Ax. 4 x - 7 = 6 - 4 x o 8 x - 7 = 6 8 x = 13 13 8 x = 4 x - 7 = - ( 6 - 4x) 4 x - 7 = - 6 + 4x —7 = —6 Faleo Com o la ecuación 4x - 7 = - (6 - 4x) tiene com o resultado una proposición falsa, la ecuación con valor absoluto tiene una única solución. U na verificación m ostrará que el conjunto solución es{ ^ } . # R esum en de los p ro ce d im ie n to s p a ra re so lve r e cua cio n e s y desigua lda d es co n va lo r absoluto Para a > 0, Si x = a , entonces x = a o x = - a . Si |jr| < a , entonces - a < x < a. Si x > a , entonces x < - a o x > a. Si x = |y|, entonces x = y o x = -y .
- 165. Se cció n2 .6 • Resolución de ecua cione s y d esigualdades c o n va lo re s a b solutos * 1 3 7 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 2 . 6 Ejercicios conceptuales L ¿Cómo se resuelven las ecuaciones con la forma |*| = a, a > 01 2. Determine el conjunto solución para cada una de las si guientes ecuaciones,y explique cómo lo hizo. a) x = -2 b ) |*| = 0 c) x = 2 3. ¿Cómo se resuelven las desigualdades de la forma x < a, a >01 4 ¿Cómo podemos comprobar si - 7 es una solución para 2x + 3| = 11? ¿ -7 es una solución? 5. ¿Cómo se resuelven las desigualdades de la forma x > a, a > 0? 6. ¿Cuál es la solución de x < 01 Explique su respuesta. 7. ¿Cuál es la solución de |*| > 0? Explique su respuesta. 8. Suponga que m y n (m < n) son dos soluciones distintas para la ecuación |a* + b = c. Indique las soluciones para cada desigualdad, usando símbolos de desigualdad y la rec ta numérica. (Vea la Sugerencia de la página 134.) a) |ax + b < c b ) |ax + b > c 9. Explique cómo resolver una ecuaciónde la forma x = y|. 10. ¿Cuántas soluciones tendrá ax + b = k,a # 0,si a) k < 0 b ) k = 0 c) k > 0 11. ¿Cuántas soluciones tendrán las siguientes ecuaciones o desigualdades, si a # 0 y k > 0? a) ax + b = k b) ax + b < k c) ax + b > k 12. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones o desi gualdades con valor absoluto con la gráfica de su conjun to solucióncorrespondiente. a) 1*1 = 4 A. - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 d) 1*1 4 D. « 1 *4—: i I I I : i 11-H-*' - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 e)1*1 < 4 E. - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 13. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones o desi gualdades con valor absoluto con su conjunto solución correspondiente. a) |*| = 5 A. {*|* < - 5 O * > 5} b) |*| < 5 B. {*| — 5 < * < 5} c) |*| > 5 C. { * |-5 < * < 5 } d) |*| —5 D. { -5 ,5 } e) |*| > 5 E. {*|* < - 5 o * > 5} 14 Suponga que |*| < |y| y * < 0 y y < 0. a) ¿Cuál de las siguientes expresiones debe ser verdade ra? * < y, x > y, o * = y. b) Dé un ejemplo que apoye su respuesta a la parte a) Problemas de aplicación Determine el conjunto solución para cada ecuación. 16. |b| = 13 15. a = 2 18. |*| = 0 21. I* + 5| = 7 S 27. 30. 24 |4.7 - 1.6z| = 14.3 * - 3 4 5* - 3 + 2 = 6 U. M I = - 4 22. |3 + y = | 25. |5 - 3*| = 3z + 5 * - 3 = 5 28. 6 0 II m 1 29. 4 Determine el conjunto solución para cada desigualdad. 31. w < 11 32. p < 7 33. q + 5| s 8 34 ¡7 - x < 5 17. | c | = - 20. |/ + 4| = 6 23. |4.5q + 22.5| = 0 26. |3(y + 4)| = 12 + 4 = 4
- 166. 1 3 8• Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades 35. |5b - 15| < 10 37. ¡2*+ 3| - 5 < 10 39. ¡3*- 7¡ + 5 < 11 AL |2*- 6| + 5 < 2 1 43. 45. 2' + 3 < í 36. x - 3| - 2 < 3 38. ¡4 - 3x| - 4 < 11 40. 2x —3| < -4 42. 2 x - 1 * —3 < 6 44. 2 - 4 < -2 46. |Z t + 3| < 0 Determine el conjunto solución para cada desigualdad. 47. y > 7 - 49. |* + 4| > 5 5L |7 - 3b > 5 12h - 5 53. 55. 57. > 1 0.1* - 0.4| + 0.4 > 0.6 ^ 5 f + 4 59. 7w + 3| - 6 > - 6 61. 4 - 2*1 > 0 48. 50. a > 9 2b - 7| > 3 52. 6 + 2 z 3 > 2 54. 2* - 1| - 4 > 8 56. 3.7d + 6.91- 2.1 > -5 .4 58. 4 - f > 9 60. 3 - 2 * | > 0 62. 4c - 16| > 0 Determine el conjunto soluciónpara cada ecuación. 63. 65. 67. 69. 3/7 - 5| = 2p + 10| 6*1 = |3* - 9| 3 6 m + 8 4 i - 3 7 - 64. |6w + 3| = |4* - 13| 66. |5í - 10| = |10 - 5/| 68. |3* - 5| = |3* + 5| 3m 3 1 70. ~ r + 2 — - r - 3 4 2 2 Determine el conjunto soluciónpara cada ecuación o desigualdad. 7 L h = 1 73. q + 6| > 2 75. 2w - 7| < 9 77. |5fl - 1| = 9 79. |5 + 2*| > 0 £ 8L |4 + 3*| < 9 83. |3/i + 8 w + 4 85. 87. 3 |3* - 2 - 4 = -1 0 - 1 < 3 « 89. |2* - 8| = 9L |2 - 3*1 = r + 3 - i * 72. H < 5 74. |9d + 7| < -1 76. |2z - 7| + 5 > 8 78. ¡2* - 4| + 2 = 10 80. |7 - 3b = 5b + 15| 82. |2.4* + 4| + 4.9 > 1.9 4 - 2*| - 5 = 5 5/ - 10 84. 86. 90. 92. 6 2* - 4 = 12 F + 3 - 2 u + 3 F “ 1
- 167. Resolución de problemas Se cció n 2 .6 • Resolución d e e c u a c io n e s y desigualdades c o n va lo re s a b so luto s * 1 3 9 93. Grosordel vidrio Gertos tipos de vidrio tienen, idealmen te, un grosor de 0.089 pulgada. Sin embargo, debido a las limitaciones en el proceso de fabricación, se permite que el grosor varíe en 0.004 pulgada respecto del grosor ideal. Si t representa el grosor real del vidrio, entonces el rango de grosor permitido puede representarse por medio de la desigualdad |í - 0.089| < 0.004. Fuente: www.ppg.com a) Resuelva esta desigualdad para t (utilice la notación de intervalo). b) ¿Cuál es el menor grosor permitido para el vidrio? c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para el vidrio? 94 Garantía de calidad El grosorde cierto tipo de madera la minada está garantizado en f de pulgada con una toleran cia de hasta de pulgada. Si t representa el grosor real de la madera laminada, entonces el rango permitido puede representarse por medio de la desigualdad k - l l Fuente: www^ticktrade.com a) Resuelva esta desigualdad para t (utilice la notación de intervalo). b) ¿Cuáles el menor grosor permitido para la madera la minada? c) ¿Cuál es el mayorgrosor permitido para la madera la minada? b) ¿Entre qué distancias verticales (o profundidades), me didas respectodel nivel del mar, puede moverse el sub marino? 96. Rebote de resorte Un resorte sujeto al techo describe un movimiento de rebote hacia arriba y hacia abajo, de mo do que su distancia, d, respecto del piso satisface la desi gualdad d - 4| < jp ie (vea la figura). a) Resuelva esta desigualdad para d. Escriba su respues ta en notaciónde intervalo. b) ¿Entre quédistancias, medidas respecto del piso, rebo ta el resorte? 95. Exploración submarina Un submarino está 160 pies por debajo del nivel del mar. Arriba y a los lados del mismo hay una formación rocosa, así que no debe modificar su profundidad en más de 28 pies. La profundidad a que se encuentra respecto del nivel del mar, d,puede describirse por medio de la desigualdad |d - 160| =£28. a) Resuelva la desigualdad para d. Escriba su respuesta en notación de intervalo. ípies ípies T 4 pies En los ejercicios 97 a 100, determine una ecuación o una desi gualdad con conjunto solución indicado. 97. { -5 ,5 } 98. { * |-5 < * < 5} 99. {*|* < - 5 o * > 5} 100. { * |-5 < * < 5} V 10L ¿Para qué valor de * será verdadera la desigualdad ax + b ^ 0? Explique. 102. ¿Para qué valor de * no será verdadera la desigualdad ax + b > 0? Explique. 103. a) Explique cómo determinar la solución para la ecua ción ax + b = c. (Suponga que c > 0 y a # 0.) b) Resuelva esta ecuación para *. 104 a) Explique cómo determinar la solución para la desigual dad |n* + b < c. (Suponga que a > 0 y c > 0.) b) Resuelva esta desigualdad para *. 105. a) Explique cómo determinar la solución para la desigual dad ax + b > c. (Suponga que a > 0 y c > 0.) b) Resuelva esta desigualdad para*. 106. a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la desigualdad - 2 | 3 * - 5 | < - 6 ? b) Resuelva esta desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalo. Determine qué valores de x harán verdadera cada ecuación. Explique su respuesta. 107. |* - 3| = |3 - *| V 109. |*| = * 108. |* - 3| = - |* - 3| V 110. |* + 2|= * + 2
- 168. 1 4 -0 • Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades Resuelva. Explique cómo determinó su respuesta. m . x + 1| = 2x - 1 ' 112. |3* + l| = x - 3 ' 113. x - 2 = - ( x - 2) Reto Resuelva considerando los signos posibles para x. 114. Ixl + x = 6 115. x + -x = 6 116. x - x = 6 117. x - x = 6 Actividad en equipo Analice y responda el ejercicio 118 en equipo. 118. Cbnsidere la ecuación x + y = y + x. a) Cada miembro del equipo seleccione un valor para x y uno para y, y determine si la ecuación se cumple. Re pita con otros dos valores para x y y. b) Determinen en equipo para qué valores de x y y es ver dadera la ecuación. Expliquen su respuesta. c) Ahora consideren x - y = -y - x. ¿Bajo qué con diciones será verdadera esta ecuación? Ejercicios de repaso acumulativo (0 Evalúe. [1.4] 119. J + 120. 4(x + 3y ) - 5xy cuando x = 1, y = 3 [2.4] 121. Natación Raúl Sánchez cruza a nado un lago,pro mediando 2 millas por hora. Luego da vuelta y re gresa, promediando esta vez 1.6 millas por hora. Si el tiempo total de su recorrido es 1.5 horas, ¿cuál es el ancho del lago? [2.5] 122. Determine el conjunto solución para la desigualdad 3(x —2) —4(x —3) > 2. R e s u m e n d e l C A P Í T U L O Térm inos y frases importantes 2.1 M ínimo com ún múltiplo 2.2 2.4 Coeficiente (o coeficiente (M CM ) Fórm ula Fórm ula d e la distancia numérico) Térm inos sem ejantes M odelo m atem ático Problem a d e mezcla Ecuación condicional Ecuaciones lineales con Fórm ula d e interés sim ple Problem a d e movim iento C onstante una variable Subíndices Contradicción Simplificar una expresión 2.5 G rado d e un térm ino Conjunto solución 2.3 Y; intersección Ecuación Soluciones d e una ecua Ángulos com plem entarios D esigualdad com puesta Ecuaciones equivalentes ción Á ngulos suplem entarios D esigualdad Identidad Térm inos O; unión Mínimo com ún Térm inos no sem ejantes O rden (o sentido) d e una denom inador (M CD) desigualdad H e c h o s im p o r t a n t e s H f f l l P r o p i e d a d e s d e la I g u a ld a d Propiedad reflexiva: a = a. Propiedad d e sim etría: si a = b, entonces b = a. Propiedad transitiva; si a =■b y b = c , entonces a = c. (continúa en la página siguiente)
- 169. Ejercicios d ere p a so del capítulo * 1 4 . 1 Propiedad d e sum a (o aditiva) a = b , entonces a + c = b + c. Propiedad d e m ultiplicación (o multiplicativa) d e la igualdad: si a = b ,entonces ac = be; c =h0 Para resolver e cuacio nes lineales 1. E lim ine las fracciones. 2. Simplifique cada lado d e form a separada. 3. Aísle el térm ino con la variable en un lado. 4. D espeje la variable. 5. Com pruebe. Procedim iento p a ra la resolución d e problem as 1. E n tien d a el problem a. 2. Traduzca el problem a a lenguaje matemático. 3. Realice los cálculos m atem áticos necesarios p ara resolver el problem a. 4. Com pruebe la respuesta obtenida en el paso 3. 5. R esponda la pregunta. Fórm ula d e distancia Fórm ula d e interés sim ple distancia = velocidad • tiem po interés = capital • tasa • tiem po II o o i = p rt P ropiedades usadas para resolver desigualdades 1. Si a > b yentonces a + c > b + c. 4. Si a > b y c > 0, entonces ^ 2. Si a > b, entonces a - c > b - c. 5. Si a > b y c < 0, entonces ac < be. 3. S i a > 6 y c > 0 entonces ac > be. a b 6. Si a > b y e < 0 ,entonces— < —. V&lor absoluto p a ra a > 0 Si x = a, entonces x = a o x = - a . Si |*| > a, entonces * < - a o x > a. Si x < a, entonces - a < x < a. Si |*| = |y|, entonces * = y o * = - y . Ejercicios de repaso del capítulo [2.1] Indique el grado de cada término. L 23a3b5 2. 6x 3. - 4 x y ¿ Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, especifíquelo. 4. a{a + 3) - 4{a - 1) 5. x2 + 2xy + 6*2 - 4 6. b2 + b - 7 7. 2 [ - ( x - y) + 3x] - 5y+ 6 Resuelva cada ecuación. Si una ecuación no tiene solución, especifíquelo. 8. 5(c + 4) - 2c = ~(c - 4) 9. 3(* + 2) - 6 = 4(* - 5) 10. 3 + ^ l o
- 170. 1 4 2• Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades U . j( 3 r + 4 ) = j ( 4 r + l ) 12. - 4) = 3 ^x + 13. 3x - 4 = 6x + 4 - 3x 14. 2(x - 6) - 5 - {2x - [4(x - 3) - 5]> [2.2] Evalúe cada fórmula para los valores dados. 15. m = —— — cuandoy2 = 5, y, = -2 , x2 = -8 , x, = 6 xi x 17. h = + Vq I + h0cuando a = -32, v0= 0, h0= 80, t = 1 Despeje la variable indicada en cada ecuación. 19. E = IR, para R 2h P = 21 + 2w, para w 23. y = m x + b, para m 25. Rt = Ri + R i + /?3,para/?2 27. K = 2(d + /), para / /2 .3 J £>i los ejercicios 28 a 32, escriba una ecuación que pue da utilizarse para resolver cada problema. Resuelva elproble ma y verifique su respuesta. 28. Venta de calendarios El 1de febrero, un almacén pone a la venta todos loscalendarios con 75% de descuento sobre el precio original Si MaríaCristina Solís aprovecha la ofer ta para comprar un calendario por $5.50, ¿cuál era el pre cio original del calendario? 29. Aumento poblacional La población de un pequeño pue blo se incrementa a razón de 350 personas por año. Si la población actual es de 4750, ¿en cuánto tiempo el pobla do alcanzará 5800 habitantes? 30. Comisión El salario de DamiánAlcoceres de $300 por se mana más6% de comisiónpor las ventasque realice. ¿Cuán todebe vender Damiánpara ganar $650en una semana? 31. Comparación deprecios En el aeropuerto de la ciudad de Kansas, una empresa ofrece el alquiler de un Ford Focus por $24.99 diarios con millaje ilimitado. El costo por al quilar el mismo automóvil en otra compañía es de $19.99 diarios más $0.10 por milla. Si Andrea Ojeda necesita al quilar un automóvil durante 3 días, determine el número de millas que necesitaría conducir para que el costo del alquiler sea igual en ambas compañías - b + V t)1-4 a c 16. x = — - cuando a = 8, b = 10, c = -3 2 a 18. z = ------—cuando x = 60, p = 64, o = 5, n = 25 < r v a 20. A = irr*h, para h 22. A — ~^bh, para h 24. 2x - 3y = 5, para y ^ 3a + b 26. S = — -— , para a 32. Venta En una venta por liquidación, los muebles se venden con 40% de descuento sobre suprecio normal.Además, a los artículos con etiqueta verde se lesdescuentan $20 adiciona les. Si Eduardo Brambila adquirió un artículo con etiqueta verde y pagó$120,determine cuálera su precio normal. [2.4] En los ejercicios 33 a 37, resuelva los problemas de mo vimiento y de mezcla. 33. Inversión en bonos Cuando Gonzalo Brizuela recibió un bono en el trabajo, invirtió parte del dinero en una cuen ta del mercado de valores que produce 3.5% de interés simple, y el resto en un certificado de depósito que pro duce 4.0% de interés simple. Si la cantidad total de interés que el señor Brizuela ganódurante el año fue de $187.15, determine el monto total invertido en cada cuenta. 34. Soluciones defertilizante Enrique Castillo tiene solucio nes de fertilizante líquido que contienen 20% y 60% de nitrógeno. ¿Cuántos galones de cada una de estas solucio nes debe mezclar Enrique para obtener 250 galones de una solución que contenga 30% de nitrógeno? 35. Dos trenes Dos trenes parten de Portland, Oregón, al mis mo tiempo y en direcciones opuestas. Un tren viaja a 60 millas por hora y el otro a 90 millas por hora. ¿En cuántas horas estarán a 400 millas de distancia uno del otro? 36. D-ansbordadores espaciales El transbordador espacial 2 despega 05 hora despuésde que despega el transbordador espacial 1.Si el transbordador 2 viaja 300 millas por hora más rápido que el transbordador 1y lo rebasa exactamen te 5 horas después de haber despegado, determine a) la velocidad del transbordador espacial 1. b) la distancia que hay entre el lugar de lanzamiento y el punto en donde el transbordador 2 rebasa al trans bordador 1.
- 171. Ejercicios de rep a so del capítulo • 1 4 3 37. Mezcla de café El señor Santiago Negrete, propietario de un cafégourmet, vende dos tipos de café, uno a $6.00 la li bra y el otro a $6.80 la libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de café debe mezclar para producir 40 libras de café que pueda vender a $6.50 la libra? de solución al 6% para que la mezcla tenga 12% de solu ciónde tinte azul? 44. Dos Inversiones Luis Saldaña invierte $12,000 en dos cuentas de ahorro. Una cuenta paga 10% de interés simple, yla otra 6% de interés simple.Sien un año Luisganael mis mo interésen cada cuenta, ¿cuánto invirtió a cada tasa? 45. Centro desalud Elgimnasio Deltoides tiene dos planes de membresía. Con el primer plan se pagan $40 al mes más un cargo de $1.00 por visita. El segundo plan exige $25 men suales más un pago de $4.00 por visita. ¿Cuántas visitas al mesdebe hacer Eric Mendoza para que le convenga el pri mer plan? 46. Trenesen Alaska Dos trenes parten de Anchorage al mis mo tiempo, en vías paralelas, viajando en direcciones opuestas. El tren más rápido viaja 10 millas por hora más rápido que el más lento. Determine la velocidad de cada tren, si entre ambos hay una distancia de 270 millas des pués de 3 horas. [2.3, 2 .4 ] Resuelva. 38. Venta de electrónicos El precio de un teléfono inalám brico se redujo en 20%. Si el precio de venta actual es de $24,determine el precio original. 39. Trote Nidia Reyes trota cierta distancia; luego da vuelta y camina de regreso hasta su punto de partida. Mientras trota, su velocidad promedia 12 millas por hora; al caminar, su velocidad promedia 2.4 millas por hora. Siel tiempo total que emplea en su recorrido es de 4 horas, determine a) el tiempo total que trotó, y b) ladistancia total que recorrió. 40. Medidas de ángulos Determine las medidas de tres án gulos de un triángulo si uno de ellos mide 25° más que el ángulo más pequeño, y el otro ángulo mide 5o menos que el doble del ángulo más pequeño. 41. Alberca Dos mangueras se utilizan para llenar una alber ca. La manguera con mayor diámetro suministra 1.5 ve ces más agua que la de menordiámetro. La manguera más grande se abre 2 horas antes que la manguera más peque ña. Si después de 5 horas de haber abierto la primera hay 3150 galones de agua en la alberca, determine la veloci dad de flujo de cada manguera. 42. Ángulos complementarios Un ángulo complementario tiene una medida que es 15° menos que el doble de la me dida del otro ángulo. Determine las medidas de los dos án gulos. 43. Tinte azul Un fabricante de telas tiene dos soluciones de tinte azul, ambas hechas con el mismo concentrado. Una solución tiene 6% de tinte azuly la otra tiene 20%. ¿Cuán tas onzas de la solución al 20% debe mezclar con 10onzas [2.5] Resuelva cada desigualdad y responda las preguntas. Represente gráficamente las soluciones en una recta numérica. 47. 3Z + 7 < 13 48. 5 - 2w > -7 49. 2x + 4 > 9 50. 16 < 4x - 5 4x + 3 51. > - 3 S I 2(x - 3) > 3* + 4 53. - 4(x - 2) > 6x + 8 - 10*
- 172. 1 4 4• C apítulo 2 • E c u a c io n e s y desigualdades Escriba una desigualdad que pueda usarsepara resolver cada problema. Resuelva las desigualdades y responda las preguntas. 55. Límite depeso Una canoa puede transportar de manera segura un total de 500 libras. Si Joel Bañuelos pesa 180 li bras, ¿cuál es el número máximo de cajas con 40 libras de alimento que puede transportar de manera segura en su canoa? 56. Caseta telefónica Javier Cabrera, un operador telefónico, feinforma a un cliente que el cargo por realizar una llama da a Omaha, Nebraska, es de $4.50 por los primeros 3 mi nutos y 95 centavos por cada minuto o fracción de minu to adicional. ¿Cuánto tiempo puede hablarel cliente si tie ne $8.65? 57. Gimnasio Un gimnasio garantiza a sus clientes la pérdida de peso por un mínimo de 3 libras la primera semana y 1.5 libras cada semana adicional. Determine el tiempo máxi mo necesario para perder 27 libras. 58. Calificaciones Las primeras cuatro calificaciones de Jaz mín Alatorre son 94,73,72 y 80. Si para recibir una nota final de B,es necesario que alcance un promedio final ma yor que o igual a 80 y menor que 90, ¿qué rango de califi caciones debe obtener Jazmín en el quinto y último examen para recibir una B en el curso? Suponga que la calificación máxima que puede obtener es 100. Resuelva cada desigualdad. Escriba la solución en notación de intervalo. 59. 1 < * - 4 < 7 6Z - 1 2 < 6 - 3x < - 2 60. 7 < p + 10 < 15 Determine el conjunto solución para cada desigualdad compuesta. 65. h < 2 y Ih - 4 > -25 67. 4* —5 < 11 y - 3 x - 4 > 8 61. 3 < 2x - 4 < 8 64. - 8 < 4 ~ 2X < 0 66. 2 * - l > 5 o 3 * - 2 < 7 68. 7 , 2g < - 5 o - > 1 ¡2.5, 2 .6 ] Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad. 69. |a| = 2 72. |/ + 5| = 11 75. —2q + 9| < 7 78. |4d - 1| = 6d + 9| 70. |*| < 3 73. |* - 2| > 5 2* - 3 76. = 1 79. 12* - 31 + 4 > -1 0 71. |*| > 4 74. |4 —2*| = 5 * - 4 77. < 6 Resuelva cada desigualdad. Proporcione la solución en notación de intervalo. 80. |3c + 8| - 5 < 2 82. — 6 £ — 7 — < 5 4 84. * - 3 < 4 o 2 * - 5 > 9 8L 3 < 2* - 5 < 9 83. 2p —5 < 7y 9 —3p ^ 12 85. - 1 0 < 3(* - 4) < 12 Examen de práctica del capítulo 1. Diga cuáles el grado del término -4 a1 be*. En los ejercicios 4 a 8, resuelva las ecuaciones. Simplifique 4 7(¿ + 2) =3 (2d - 4) 2. 2p — 3q + 2pq - 6p{q - 3) - 4p r 2 _ 8 3. lq - {2[3 - 4 (9 + 7)] + 5q] - 6 & 6 + 3 ~ 9
- 173. E x am e n de re p a so a cum u la tivo • 1 4 5 6. - 2 ( x + 3) = 4{3[x - (3* + 7)] + 2} 7. I x - 6(2* - 4) = 3 - (5* - 6) 8. - |( 4 * - 6) = j ( 3 - 6x) + 2 9. Determine el valor de S„ para los valores dados. 1 _ r , fli = 3, r = n = 3 10. Despeje b en c = n - 36 ÍL Despeje 62en A = —6(6, + 62). En los ejercicios 12 a 16, escriba una ecuación que pueda usarse para resolver cada problema. Resuelva las ecuaciones y respon da las preguntas planteadas. 12. Para jugar al g o lf Determine el costo de un equipo de palos de golf, sin impuestos, si su costo total incluyendo 7% de impuestos es $668.75. 13. 14 Membresía H precio a pagar para ser miembro de un gim nasio es de $240 por año más $2 por visita (para el lavado de toallas y la compra de artículos de tocador). Si Leo poldo López desea gastar un total de $400 al año en el gimnasio, ¿cuántas visitas puede hacer? Paseo en bicicleta Gabriel Fonseca y Roberto Fernández inician un paseo en bicicleta en el mismo punto, pero en di recciones opuestas. La velocidad de Gabriel es de 15 millas por hora,y lade Robertoes de 20 millas por hora. ¿En cuán tas horas habrá una distancia de 147 millas entre losdos? 15. Solución salina ¿Cuántos litros de soluciónsalina con con centración de 12% deben añadirse a 10 litros de solución salina con concentración de 25% para obtener una solu ción con concentración de 20%? 16. Dos inversiones Juana Blanco tiene $12,000 para invertir, asíque coloca parte de su dinero en una cuenta de ahorros que paga 8% de interés simple y el resto en una cuenta de ahorros que paga el 7% de interés simple. Siel total de in tereses de las dos cuentas al final de un año es de $910, determine cuánto dinero invirtióJuana en cada cuenta. Resuelva cada desigualdad y represente gráficamente las solu ciones en una recta numérica. 17. 3(2? + 4) < 5(q - 1) + 7 6 - 2 * 18. > - 1 2 Resuelva cada desigualdad y escriba la solución en notación de intervalo. 19. * - 3 < 4 y 2 * - 4 > 5 20. 1 s < 7 Determine el conjunto soluciónpara las siguientes ecuaciones. 2L |26 + 5| = 9 22. |2x - 3| = - , - 1 0 Determineel conjunto solución para las siguientes desigualdades. 23. |4z -+-12| = 0 24. |2x - 3 1+ 1 > 6 25. 2 * - 3 Examen de repaso acumulativo Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que apa recen al final. Revise laspreguntas que haya respondido inco rrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indica después de cada respuesta. L Si 4 = {1 ,3,5,7,9,11,13,15} y B = {2, 3, 5, 7,11,13}, determine a) A U B . b) A C B . 2. Indique el nombre de cada propiedad. a) 4* + y = y + 4* b) (2*)y = 2(xy) c) 2(* + 3) = 2* + 6 Resuelva. 3. — 42 + ( -6 )2 - (23 - 2)2 4 ( ftf + ab2 - 3b cuando a & 8 ~ ^ 2 7 -3 9 |-5 | - [5 - (12 ^ 4)]2 = -1 y 6 = - 2
- 174. 1 4 6• Capítulo 2 • E c u a c io n e s y d esigualdades En los ejercicios 6 y 7, simplifique 6. (2 ,y ) - 2 7. 3mv i Y v i 8. Comparación de territorios Rhode Island tiene un área territorial de aproximadamente 1.045 X 103millascuadra das.Alaska tiene un área territorial de casi 5.704 X105mi llas cuadradas. ¿Cuántas veces es más grande el área territorial de Alaska que la de Rhode Island? En b s ejercicios 9 a 11, resuelva las ecuaciones. 9. - 3 (y + 7) =2 ( - 2 y - 8) 10. 1.2(x - 3) = 2.4* - 4.98 2m 1 4 1L T - 6 = 9 W 12. Explique la diferencia entre una ecuación lineal condicio nal, una identidad y una ecuación inconsistente. Propor cione un ejemplo de cada una. — b + / h 2 —4ac 13. Evalúe la fóimula * = ------- — Para < *= 3,b = - 8 y c = — 3. 14 Despeje * de la fórmula y - y = m(x - *j). 15. Resuelva la desigualdad - 4 < ^ < 2 y propor cione la respuesta: a) en una recta numérica, b) como un conjunto solución, y c) en notaciónde intervalo. En los ejercicios 16 y 17, determine el conjunto solución. 16. 3h - 1| = 8 17. ¡2* - 4¡ - 6 > 18 18. Serie de béisbol Una semana después de la serie mundial, una tienda de artículos deportivos marca el precio de to dos sus mercancías relacionadas con el béisbol con un des cuento de 40%. Si Martín Garduño compra un bate de béisbol en $21, ¿cuálera el precio original del bate? 19. Dos automóviles Dos autos parten de Caldwell, Nueva Jersey, al mismo tiempo viajando en direcciones opuestas. El auto que viaja hacia el norte se mueve 10 millas por ho ra más rápido que el autoque viaja hacia el sur.Si entre los dos autos hay 270 millas de distancia después de 3 horas, determine la velocidad de cada uno. 20. Mezcla de nueces Mónica Quintero, propietaria de La Ca sa de las Nueces, tiene castañas que cuestan $6.50 por li bra y cacahuates que cuestan $2.50 la libra. Si desea producir 40 libras de una mezcla de castañas y cacahuates para venderlas a $4.00cada una, ¿cuántas libras de casta ñas y cuántas de cacahuates debe mezclar? Respuestas al examen de repaso acumulativo 1 a) {1,2,3,5,7,9,11,13,15) b) p , 5,7,11,13); [Sec. 12, Obj. 4] 2. a) propiedad conmutativa de la adición; b) propiedad asociativa de la multiplicación; c) propiedad distributiva; [Sec. 1.3, Obj. 6] 3. -15; [Sec. 1.4, Obj. 3] 1 9m i0 4 -6 ; [Sec. 1.4, Obj. 4] 5. 7; [Sec. 1.4, Obj. 3] 6. [Sec. 1.5, Obj. 6] [Sec. 15, Obj. 7] 8. * 545.8 veces; [Sec. 1.6, Obj. 3] 9. 5; [Sec. 2.1, Obj. 3] 10. 1.15; [Sec. 2.1, Obj. 3] 11. [Sec. 2.1, Obj. 4] 12. La ecuación lineal condicio nal es verdadera sólo para un valor, una ecuación lineal que es una identidad siempre es verdadera, una ecuación lineal inconsistente nunca es verdadera; [Sec 2.1, Obj. 5] 13. 3; [Sec 2.2, Obj. 1] 14. * = - — ^ [Sec 2.2, Obj. 2] 15.a) . b) j * | - 2 < x < ! } c) ( - 2 , ! ) ; [Sec.2.5,O bj.3] 16. |-|,3 } ;[S e c .2 .6 ,O b j.2 ] 5 17. {*(* < -1 0 o * > 14); [Sec. 2.6, Obj. 4] 18. $35; [Sec 2.3, Obj. 2] 19. 40 millas por hora, 50 millas por hora; [Sec. 2.4, Obj. 2] 20. Castañas: 15 libras; cacahuates: 25 libras.
- 175. y funciones 3.1 Gráficas 3.2 Funciones 3 .3 Funciones lineales: gráficas y aplicaciones 3 .4 La form a pendiente intersección d e una ecuación lineal 3 .5 La form a punto pendiente de una ecuación lineal 3 .6 Álgebra de funciones 3 .7 Graficación de desigualdades lineales R esum en del capítulo Ejercicios d e repaso del capítulo Exam en d e práctica del capítulo Exam en d e repaso acum ulativo P ara m uchas personas, ser propietarias d e su propio negocio constituye una gran oportunidad de progreso. Si su negocio va bien, sus esfuerzos podrían verse recompensados con generosidad. Sin em bargo, las em presas nuevas enfrentan perm anentem ente el riesgo de desaparecer, muchas veces debido a q u e sus propietarios no saben cóm o calcular apropiadam ente sus ganancias. E n la página 185 usamos una función p ara determ inar cuál deb e ser el salario del propietario d e una tienda de juguetes. Siguiendo este ejemplo, en los ejercicios d e las páginas 189 y 190, utilizamos al gunas otras funciones p ara solucionar otras situaciones d e la vida real. A 1 4 7
- 176. 1 4 8• C apítulo 3 • Gráficas y funciones A va n ce d e la lección T T no d e los principales objetivos d e este libro, e s ayudarle a com prender cóm o ^ J graficar y a trabajar con funciones. L a graficación es un elem ento clave en éste y en m uchos otros cursos d e matem áticas. Por ello, aquí analizarem os la graficación y utilizarem os lo aprendido p ara crear m odelos a partir d e los datos d e la vida real que aparecen todos los días en periódicos y revistas. Las funciones están estrecham ente relacionadas con la graficación, y la graficación d e funciones es un elem ento prim or dial en m uchos cursos d e m atem áticas; utilizaremos la inform ación d e am bos tem as en el resto del libro. Adem ás, hablarem os d e graficación d e ecuaciones lineales y no linea les, y d e desigualdades lineales; revisarem os cada uno d e estos tem as en capítulos posteriores. 3 .1 G R Á F IC A S I f e s 1 Localizar puntos ©n ©I sistema d© coordenadas cartesianas. 2 Trazar gráficas por m edio d e puntos. 3 Graficar ecuaciones no lineales. 4. Usar una calculadora graficadora. 5 Interpretar gráficas. 1 L o c a liz a r p u n to s e n el s is te m a d e c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s . M uchas relaciones algebraicas son m ás fáciles d e entender con la ayuda d e una repre sentación visual. Las gráficas son, precisam ente, representaciones visuales q u e mues tran la relación en tre dos o m ás variables en una ecuación. A ntes d e aprender cómo trazar una gráfica, es preciso conocer el sistem a d e coordenadas cartesianas. El sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), llam ado asíen honor del m atem ático y filósofo francés R ené D escartes (1596-1650), consiste en el trazo d e dos ejes (o rectas num éricas), perpendiculares uno respecto del otro, sobre un plano (vea la figura 3.1). O bserve cóm o la intersección d e los dos ejes determ ina la form ación de cuatro cuadrantes, señalados con num erales romanos: I, II, III y IV. * René Descartes FIGURA 3.1 y 6- Segundo * cuadrante II 3 2 - 1 - 1 i Primer cuadrante I x Origen 1 i i i k 1 1 : r—t |— - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 i i i ^ 1 2 3 4 5 6 X - 2 Tercer -3- Cuarto cuadrante -4- cuadrante -5- IV -6 El eje horizontal se denom ina eje x. E l eje vertical se denom ina e je y. E l punto d e intersección d e los dos ejes se llama origen. D el origen y hacia la derecha, los núm eros crecen; del origen hacia la izquierda, los núm eros decrecen. D el origen hacia arriba, los núm eros crecen;del origen hacia abajo, los núm eros disminuyen. O bserve que el eje a: y el eje y son sim plem ente rectas numéricas, una horizontal y la o tra vertical.
- 177. Sección 3.1 •G ráficas • 1 4 9 Un par ordenado (x, y) se utiliza p ara señalar las dos coordenadas de un punto. Si, p o r ejem plo, la coordenada x de un punto es 2 y su coordenada y es 3, el p ar ord e nado q u e representa ese punto es (2 ,3 ). L a coordenada x siem pre es la prim era que se indica en el p ar ordenado. Para trazar un punto,encuentre la coordenada x en el eje * y la coordenada y en el eje y;luego im agine q u e una recta vertical sale d e la coor denada x siguiendo una trayectoria paralela al eje y,y q u e una recta horizontal sale de la coordenada y siguiendo una trayectoria paralela al eje a:. E l punto se coloca en d o n d e se intersectan las dos rectas imaginarias. Por ejem plo, el punto correspondiente al p ar ordenado (2,3) aparece en la figu ra 3.2. Con frecuencia, abreviam os la frase “el punto correspondiente al p ar ordenado (2 ,3 )” com o “el punto (2 ,3 )”. Por ejem plo, si escribim os “el punto ( - 1 ,5 ) ”, nos refe rim os al p ar ordenado ( - 1 , 5 ) . E n la figura 3.3 aparecen los pares ordenados A en ( - 2 , 3 ) , f í e n ( 0 , 2 ) , C e n (4, - 1 ) y D e n ( - 4 , 0 ) . -5 -4 -: (2 3) D FIGURA 3.2 FIGURA 3.3 E J E M P L O 1 Localice cada uno d e los siguientes puntos en el mismo plano. a) A ( 1 ,4 ) b) f í ( 4 , 1) c) C ( 0 , 2) d) £ > (-3 ,0 ) e) £ ( - 3 , - 1 ) f) F ( 2 , - 4 ) S o lu c ió n Vea la figura 3.4.Observe q u e el punto (1,4)es diferente del punto (4,1).Fíjese tam bién en que, cuando la coordenada x es 0, com o en la parte c ), el punto está sobre el eje y. Cuando la coordenada y es 0, com o en la parte d ), el punto está sobre el eje x. AHORARESUELVAELEJERCICIO7 FIGURA 3.4 2 T razar gráficas p o r m edio d e p u n to s E n el capítulo 2 resolvim os ecuaciones con una variable. E n éste analizarem os ecua ciones con dos variables. Si una ecuación tiene dos variables, sus soluciones son pares d e números.
- 178. 1 5 0• C apítulo 3 • Gráficas y funciones E J E M P L O 2 D eterm ine si los siguientes pares ordenados son soluciones d e la ecuación y = 2 x - 3. a) (1 ,-1 ) c) (3,4) d> ( - 1 ,- 5 ) Solución Sustituim os p o r x el prim er núm ero del p ar ordenado, y p o r y el segundo. Si al hacer lo obtenem os una afirm ación verdadera,el p ar ordenado es una solución p ara la ecua ción. Si la sustitución d a p o r resultado una afirm ación falsa, el p ar ordenado no es una solución d e la ecuación. La ecuación del ejem plo 2 tiene m uchas otras soluciones;d e hecho, una infinidad d e soluciones. U n m étodo q u e puede utilizarse p a ra determ inar soluciones d e una ecuación com o y = 2x - 3, consiste en sustituir valores p ara x y determ inar los valo res correspondientes d e y. Por ejem plo, p ara determ inar la solución para la ecuación y = 2x - 3 cuando x = O, sustituim os x p o r Oy despejam os a y. Así, otra solución p ara la ecuación es (O, - 3 ) . U na gráfica es una representación visual del conjunto d e puntos cuyas coorde nadas satisfacen la ecuación. Algunas veces, cuando trazam os una gráfica, listam os en una tabla algunos puntos q u e satisfacen la ecuación, luego los localizamos y después dibujam os una línea q u e pase p o r esos puntos p ara obtener la gráfica. E n la figura 3.5 se m uestra tanto la tabla en donde se listan algunos d e los puntos q u e satisfacen la ecuación y = l x - 3, com o la gráfica resultante. O bserve q u e la ecuación y = 2x - 3 tiene un núm ero infinito d e soluciones,y q u e la recta trazada en la gráfica continúa de m anera indefinida en am bas direcciones (como indican las flechas). E n la figura 3.5, los cuatro puntos conform an una línea recta. C uando esto ocu rre, se dice q u e los puntos son colineales.y la gráfica resultante se denom ina lineal, ya qu e es una línea recta. C ualquier ecuación cuyas soluciones graficadas d en lugar a una línea recta, se denom ina ecuación lineal (la ecuación y = 2x - 3 es un ejem plo); a es te tipo d e ecuaciones tam bién se les denom ina ecuaciones de primer grado, ya q u e el exponente más grande q u e aparece en cualquier variable es 1. E n los ejem plos 3 y 4 graficarem os ecuaciones lineales. a) y = 2 x - 3 -1 l 2(1) - 3 - 1 = 2 - 3 - 1 = - 1 Verdadero - 2 = 1 - 3 - 2 = - 2 Verdadero c) y = 2 x - 3 d) y = 2 x - 3 - 5 = 2(—1) - 3 - 5 = - 2 - 3 - 5 = -5 4 = 2(3) - 3 4 = 6 - 3 4 = 3 Faieo Verdadero Por lo tanto, los pares ordenados (1, - 1 ) , ( |, - 2 ) y ( - 1 , - 5 ) son soluciones p ara la ecuación y = l x - 3;el p ar ordenado (3,4) no es una solución. # y = 2 x - 3 y = 2(0) - 3 y = 0 - 3 y = - 3
- 179. Sección 3.1 •G ráficas * 1 5 1 y X y ( x ,y ) -1 -5 ( - L - 5 ) 0 - 3 (0, - 3 ) 1 2 - 2 M ) 1 - 1 a - i ) l x - 3 / 7: FIGURA 3.5 SUG ERENCIA C 0 N 5 E J 0 FAKA E5TUDIAF En este capítulo, y en varios de los siguientes, graficaremos puntos y trazaremos gráficas usando el sistema de coordenadas cartesianas. Algunas veces los estudiantes tienen proble mas para trazar gráficas precisas. Las siguientes son algunas sugerencias para mejorar la ca lidad de sus gráficas. 1. Giando haga su tarea, utilicepapel cuadriculado para dibujar sus gráficas. Esto le ayu dará a mantener una escala consistente en ellas Pregunte a su profesorsi puede utilizar este tipo de papel también en sus exámenes. 2. Utilice una regla para trazar los ejes y las rectas; de esta manera se verán mucho me jor y serán más precisos. 3. Si no utiliza papel cuadriculado, emplee la graduación de una regla para que la escala de sus ejes sea consistente. Es imposible obtener una gráfica precisa cuando los ejes es tán marcados con una escala desigual. 4 Utilice un lápiz en lugar de bolígrafo, ya que, si comete errores al trazar sus gráficas, pDdrá corregirlos más rápido con una goma en lugar de tener que volver a empezar. 5. Necesitará de práctica para mejorar sus habilidades en la creación de gráficas. Traba je todos los problemas que se le asignen. Para verificar sus gráficas de los ejercicios con número par, puede usar una calculadora graficadora. E J E M P L O 3 Solución G rafique y = x. Prim ero determ inam os los pares ordenados q u e son soluciones para los valores selec cionados d e * y los valores correspondientes d e y. Para x seleccionarem os 0, algunos valores positivos y algunos valores negativos.Tam bién seleccionaremos núm eros cerca nos a 0, d e m odo q u e los pares ordenados se ajusten e n los ejes. L a gráfica resultante se ilustra en la figura 3.6. 1. Seleccionar valores p ara x. 2. C alcular y .------------------------ X y ( x 9y ) - 2 - 2 ( - 2 , - 2 ) - 1 - 1 ( - 1 , - 1 ) 0 0 ( 0 , 0 ) 1 1 ( 1 , 1 ) 2 2 ( 2 , 2 ) 3. Pares o rd en a d o s.----------------------------------- 4 D eterm in ar los p u n to s y trazar la gráfica. m / * / / F IG U R A 3.6
- 180. 1 5 2• C apítulo 3 • Gráficas y funciones E J E M P L O 4 Grafiquey = + 1. Solución Seleccionarem os algunos valores p ara *, determ inarem os los valores correspondien tes d e y, y luego harem os la gráfica. C uando elijam os valores para *, seleccionarem os algunos valores positivos, algunos valores negativos y 0. L a gráfica resultante se ilus tra en la figura 3.7. (Para ahorrar espacio, en las tablas no siem pre listarem os una co lumna para los pares ordenados.) AHORARESUELVAELEJERCICIO35 1. S eleccionar valores p ara x. 2. C alcular y .------------------------ X y -6 3 -3 2 0 1 3 0 6 - 1 3 . D eterm in ar los puntos y traz ar la gráfica. FIGURA 3.7 En el ejem plo 4, observe q u e p ara los valores d e x seleccionam os múltiplos de 3, d e tal m anera q u e no tuviéram os q u e trabajar con fracciones. Si nos p id e n graficar una ecuación en la q u e no se ha despejado la y , tal com o x + 3y = 3, nuestro prim er paso será hacerlo. Por ejem plo, si despejam os a y de x + 3y = 3 utilizando el procedim iento estudiado en la sección 2.2, obtenem os x + 3 y = 3 3 y = - x + 3 - x + 3 y = — ó — y = + 1 = ~ x + i Reste x en ambos lados. Vivida ambos lados entre 3. L a ecuación resultante,y = - x + 1, es la misma q u e graficamos en el ejem plo 4. Por lo tanto, la gráfica d e x + 3y = 3 tam bién está ilustrada en la figura 3.7. 3 Graficar ecuaciones no lineales H ay m uchas ecuaciones cuyas gráficas no son líneas rectas; este tipo d e ecuaciones se denom ina ecuaciones no lineales. Para graficarlas determ inando puntos se sigue el mismo procedim iento em pleado p ara graficar ecuaciones lineales. Sin em bargo, como las gráficas resultantes no so n líneas rectas, podríam os necesitar m ás puntos p ara trazarlas.
- 181. Sección 3.1 •G ráficas • 1 5 3 E J E M P L O 5 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO41 E J E M P L O 6 Solución AHO R A RESUELVA EL EJERCICIO 51 G rafique y = x 2 - 4. Seleccionamos algunos valores para x y determ inam os los valores correspondientes de y. Luego determ inam os esos puntos y los unimos por medio de una curva suave. Cuan do sustituimos valores p ara x y evaluam os el lado derecho d e la ecuación, seguimos el orden d e las operaciones que se m encionó en la sección 1.4. Por ejemplo, si x = - 3 , en tonces y = ( - 3 ) 2 - 4 = 9 - 4 = 5. La gráfica resultante se muestra en la figura 3.8. y X y -3 5 -2 0 -1 -3 0 - 4 1 -3 2 0 3 5 FIGURA 3.8 Si sustituim os x por 4, y sería igual a 12. C uando x = 5, y = 21. O bserve q u e esta grá fica crece d e m anera consistente alejándose del origen. # G rafique y = —. Iniciamos p o r seleccionar valores para x y determ inar los valores correspondientes de y. Luego determ inam os los puntos y trazam os la gráfica. O bserve q u e si sustituim os x p o r 0, obtenem os y = Com o | es un núm ero indefinido, no podem os utilizar el 0 com o prim er coordenada. E l punto x = 0 no existirá en la gráfica. D eterm inarem os puntos a la izquierda d e x = 0 y puntos a la derecha d e x = 0, d e forma separada. Seleccione puntos cercanos a 0 p a ra ver q u é le sucede a la gráfica cuando x e s cer cana a x = 0. Por ejem plo,observe q u e cuando x = y = ~ “ 2. Esta gráfica tiene dos ramas, una a la izquierda y o tra a la derecha del eje y,com o se m uestra en la figura 3.9. x y -3 i 3 -2 1 2 -1 -1 1 2 -2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 1 3 FIGURA 3.9 #
- 182. 1 5 4• C apítulo 3 • Gráficas y funciones E J E M P L O 7 Solución CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES En la gráfica resultante del ejem plo 6, observe que p ara los valores d e x más leja nos d e 0 hacia la derecha, o m ás lejanos d e 0 hacia la izquierda, la curva se aproxim a al eje *,pero no lo toca. Por ejem plo,cuando x = 1000,y = 0.001,y cuando x = -1000, y = -0.001. ¿Puede explicar p o r q u é y nunca puede tener un valor d e 0? G rafique y = |*|. R ecuerde q u e x se lee “valor absoluto d e x ' Los valores absolutos se estudiaron en la sección 1.3. Para graficar esta ecuación con valor absoluto,seleccionamos algunos va lores para x y determ inam os los valores correspondientes p ara y. Por ejem plo, si x = - 4 , entonces y = | — 4| = 4 . Luego determ inam os los puntos y trazam os la gráfica. O bserve q u e esta gráfica tiene form a de V, com o se m uestra en la figura 3.10. X y - 4 4 -3 3 -2 2 -1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 FIGURA 3.10 # Cuando grafican ecuaciones lineales, muchos estudiantes no determinan los puntos suficien- 1 tes para obtener una imagen real de la gráfica. Por ejemplo, cuando se gráfica y = — muchos estudiantes sólo consideran valores enteros para x. A continuación se muestra una tabla de valores para esta ecuación, y dos gráficas que contienen los puntos indicados en la tabla. X - 3 - 2 - 1 1 2 3 y _ i _ 1 _i i i i 3 2 1 1 2 3 C orrecta Incorrecta y. y = 1 2 3 4 X FIGURA 3.12 (continúa en la siguiente página)
- 183. Sección 3.1 •G ráficas • 1 5 5 Si usted selecciona y traza valores fraccionarios de x cercanos a 0, como se hizo en el ejemplo 6, obtendrá la gráfica de la figura 3.11. La gráfica de la figura 3.12 es incorrecta, ya que la ecuación no está definida cuando x es 0 y,por lo tanto, la curva no puede cruzar el eje y.Siempre que trace una gráfica que contenga una variable en el denominador, seleccione para ella valores muy cercanos a aquel que hace el denominador igual a 0, y observe qué sucede. ft>r ejemplo, al graficar y = — — - debe utilizar valores de x cercanos a 3,tales como 2.9 y x J 3.1 o 2.99 y 3.01,y ver qué valores para y obtiene. Asimismo,cuando grafique ecuaciones no lineales, es recomendable que tome en cuenta valores positivos y valores negativos. Por ejemplo, si sólo utiliza valores positivos de x cuando gráfica y = |x|, la curva sería una línea recta que pasa por el origen, en lugar de la curva en forma de V que se mostró en la figura 3.10. 4- U s e u n a c a lc u la d o ra g ra fic a d o ra Si una ecuación es com pleja, determ inar los pares ordenados d e puntos puede llevar i f f i l algún tiempo. E n esta sección presentam os un procedim iento general q u e puede usar- se p ara graficar ecuaciones p o r medio d e una calculadora graficadora. Uno d e los principales usos d e las calculadoras graficadoras consiste en gra ficar ecuaciones. E n ellas, la pan talla rectangular en donde se m uestran las gráficas recibe el nom bre de ventana d e graficación. La figura 3.13 muestra la ventana de grafi- cación d e una calculadora T I-8 3 Plus con alguna inform ación; la figura 3.14 ilustra su significado. Xmin y ' ""Y m ax Xscl i i Ym in x _ __ , Xmax -Y s c l FIGURA 3.13 IWTÑDOW Xroin=-10 Xnax=10 X s c l= l V riin=-10 Vr.ax=10 V s c l= l X res=l FIGURA 3.14 - 10, 10, 1, - 10, 10,1 FIGURA 3.15 En la pantalla estándar de la calculadora,el eje a: va desde - 1 0 (el valor mínimo d e x yXm in) hasta 10 (el valor máximo d e x , Xmax) en una escala de 1. Por lo tanto, cada m arca d e división representa 1 unidad (Xscl = 1). E l eje y va desde - 1 0 (el va lor m ínim o d e y, Ymin) hasta 10 (el valor máxim o d e y, Y m ax) en una escala d e 1 (Yscl = 1). Como la ventana es rectangular, la distancia entre las m arcas d e división son m a yores en el eje horizontal q u e en el eje vertical. Al graficar, con frecuencia usted necesitará cam biar los valores d e esta ventana. L ea el m anual d e su calculadora graficad o ra p ara aprender cóm o hacerlo. E n la T I-8 3 Plus, se tiene q u e presionar la tecla W I N D O W p ara cam biar los parám etros. Como la graficadora no m uestra los valores d e x y y en la ventana, ocasional m ente listarem os un conjunto d e valores debajo d e la pantalla. La figura 3.15 m uestra la ventana de una calculadora T I-8 3 Plus con la ecuación y = - x + 4 graficada. D e bajo d e la ventana se m uestran seis núm eros q u e representan,en orden: Xmin, Xmax, Xscl, Y min, Ymax y Ysel, es decir, la escala en los ejes x y y, respectivamente. Cuando mostrem os la ventana estándar d e la calculadora,p o r lo general estos valores no se ilus trarán debajo d e la pantalla. Para graficar la ecuación y = - x + 4 en la T I-8 3 Plus, presione
- 184. 1 5 6• C apítulo 3 • Gráficas y funciones Luego, cuando presione V 1 = < ^2 ÍK * H i n r , X=2.76595?5 FIGURA 3.16 X V i Q H I 5.5 -2 5 -1 H.5 0 H 1 3.5 2 3 3 2.5 X= "3 G R A P H , la ecuación será graficada. L a tecla X , T , Q ,n p uede usarse p ara introducir cualquiera d e los sím bolos con q u e está etiquetada. E n este libro, esta tecla siem pre se usará p ara introducir la variable x. Casi todas las calculadoras graficadoras ofrecen una característica T R A C E (ras treo) que le perm ite investigar puntos individuales después de q u e se m ostró la gráfi ca. Para tener acceso a esta característica, m uchas veces lo único q u e hay q u e hacer es presionar la tecla T R A C E . D espués d e hacerlo,puede m over el cursor a lo largo de la línea presionando las teclas d e flecha. Cuando el cursor se mueve a lo largo d e la lí nea, los valores d e * y y cam bian d e acuerdo con su posición. L a figura 3.16 m uestra la gráfica d e la figura 3.15, después q u e se presionó la tecla T R A C E y el cursor se m ovió hacia la derecha utilizando la tecla d e flecha. M uchas calculadoras graficadoras tam bién propo rcio n an u n a característica T A B L E (tabla), con la cual es posible desplegar una tabla d e pares ordenados para cualquier función introducida. E n la T I-8 3 Plus, la característica TA B LE com parte la tecla G R A P H ,así que, para obtener una tabla, hay que presionar 2 nd G R A P H x + 4. Para FIGURA 3.17 AHO R A RESUELVA EL EJER CICIO 93 desplazarse hacia arriba y hacia abajo d e la tabla, utilice las teclas d e flecha. Con la tecla T B L SE T (cuya función consiste e n modificar los parám etros d e la característica TA BLE),usted puede controlar los valores d e x que aparezcan en la tabla. Por ejem plo, si quiere q u e la tabla m uestre los valores d e x en décimos, puede d eter m inarlo m ediante TBLSET. E sta sección brinda solam ente una breve introducción a la graficación d e ecua ciones, a la característica T R A C E y a la característica TA B LE d e las calculadoras gra ficadoras. U sted deb e leer el m anual d e su calculadora para aprender a utilizar todas las funciones d e estas características. 5 Interpretar gráficas D iariam ente vem os m uchos tipos diferentes d e gráficas en periódicos, revistas, televi sión, etcétera. Incluso en este mismo libro se presentan diversas clases d e gráficas. E n vista d e q u e poder trazar e interpretar gráficas es una habilidad muy im portante, la es tudiarem os con m ayor profundidad en la sección 3.2. Por lo pronto,en el ejem plo 8 us ted deb e entender e interpretar las gráficas para responder la pregunta. E JE M P L O 8 Para visitar a su m adre en M ontevideo, Uruguay, Juan H ernández abordó un avión de A erolíneas Argentinas. E l avión estuvo en la p u erta d e salida d u ran te 20 minutos, avanzó p o r la pista d e salida y despegó; después, voló a casi 600 m illas p o r hora d u ran te m ás o m enos 2 horas. Luego redujo su velocidad a 300 m illas p o r hora y voló e n círculos alrededor del aeropuerto d e M ontevideo durante casi 15 m inutos antes de aterrizar. U na vez en tierra el avión avanzó hacia la puerta d e salida y se detuvo. ¿Cuál d e las siguientes gráficas (figuras 3.18a a 3.18d) ilustra m ejor esta situación? FIGURA 3.18 (Lafígura conti- rúa en la página siguiente). 7 0 0 - - 50 100 150 200 250 Tiempo (minutos) (a) 50 100 150 200 250 Tiempo (minutos) (b)
- 185. Sección 3.1 •G ráficas * 1 5 7 Solución L a gráfica q u e representa m ejor la situación descrita es (c), misma q u e se reproduce con anotaciones en la figura 3.19. L a gráfica m uestra la velocidad en relación con el tiem po (éste se representa en el eje horizontal). M ientras el avión espera su salida d u rante 20 minutos, su velocidad es d e 0 millas p o r hora (la recta horizontal en 0 duran te 20 m inutos); después, el avión despegó y su velocidad aum entó hasta 600 millas p o r hora (la recta casi vertical q u e va d e 0 a 600 m ph); luego el avión voló durante 2 horas a más o m enos 600 millas p o r hora (la recta horizontal próxim a a las 600 m ph); más tarde, desciende a 300 millas p o r ho ra (la recta casi vertical q u e va d e 600 m ph a 300 m ph); a continuación el avión d a vueltas en círculo a m ás o m enos 300 millas por hora durante 15 m inutos (la recta horizontal próxim a a las 300 m ph);entonces,el avión aterrizó (lo cual se representa m ediante la recta casi vertical q u e va d e aproxim a dam ente 300 m ph a casi 20 m ph), avanzó hacia la puerta d e salida (la recta horizon tal próxim a a las 20 m ph);por último, la aeronave se detuvo (la recta casi vertical que cae hasta 0 mph). El avión despega y aumenta su velocidad hasta600 mph El avión vuela FIGURA 3.19 El avión disminuye su velocidad hasta300 mph Elavión vuela en círculos a 300 mph Elavión inicia su aterrizaje El avión se detiene 50 100 150 200« Tiempo (minutos) El avión está detenido Elavión se dirige a la puerta AHORARESUELVAELEJERCICIO81 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 3.1 Ejercicios conceptuales h a) ¿Cómo es la gráfica de cualquier ecuación lineal? b) ¿Cuántos puntos son necesarios para graficar una ecua- dón lineal? Explique. 2. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos variables? ¿Qué podemos concluir cuando un conjunto de puntos es colineal? Giando se gráfica la ecuación y = —, ¿con qué valor no s; puede sustituir a x l Explique.
- 186. problemas de aplicación 15 8 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones Lisie los pares ordenados que corresponden a los puntos indicados. y 'I £ 9 y . M 9 *- 1. A B i i i 7 - - - - 3 - 5 - 3 4 - 2 G a. - 1 D - 4 — » - - 1 0 - 8 - 6 - 4 F y “*r £ H t 1 ♦ ----------- ► 2 4 6 8 10 12 14 X 7. Grafique los siguientes puntos en un solo plano. >4(4,2) B ( - 6,2) C (0 ,-1 ) £>(-2,0) Determine en qué cuadrante está cada punto. 9. (3,5) 10. (-3 ,1 ) 13. (-3 5 ,1 8 ) 14. ( -2 4 . -8 ) Determinesi elpar ordenado es una solución para la ecuación dada. 17. (2,21); y = 2x — 5 19. (-4 , -2 ); y = |*| + 2 & 2L (-2 ,5 ); s = 2 r 2 - r - 5 23. (2,1); - a 2 + 2b2 = -2 1 4 } 8. Grafique los puntos siguientes en un solo plano. > 4 (-4 ,-2 ) B(3 ,2 ) C(2, - 3 ) D (-3 ,3 ) 1L (4 ,-2 ) 15. ( -6 ,- 1 9 ) 12. (36,41) 16. (8 ,-1 2 0 ) 25. 18. (1,1); 2x + 3y = 6 20. (1,1); y = x2 + x - 1 ^ ( M ) y=|x - 3 | 24. (-1 0 , -2 ); p - 3|9| = 4 26. ( - 3 , y ) ; 2 ¿ + 3m = 2 Grafique cada ecuación. 27. y = x 28. y = 3x 29. y = r 30. y = _ 3 * £ 31. y = 2x + 4 32. y = * + 2 33. y = - 3 x - 5 34. y = —2x + 2 35. , - x - i 36. y = - j * + 2 37. y = ~ x “ 3 38. y = - j x + 4 39. y = *2 40. y = x 2 - 4 41. y = - * 2 4Z y = - x 2 + 4 £ 43. y = |x| + l 4 4 y = |*| + 2 45. y = -|x | 46. y = x - 2 47. y = *3 48. y - - * 3 £ 49. y = x3 + 1 50. 1 51. 1 52. *2 = 1 + y 53. * - | y | 54 * = y2 En los ejercicios 55 a 62, utilice una calculadorapara obtener al menos ocho puntos que sean soluciones para cada ecuación. Luego grafique la ecuación trazando los puntos. 55. y = x3 - *2 - * + 1 56. y = - x 3 + x 2 + x - 1 57. i > ~ * + i 58. y = - + l 59. y = V x 60. y = V * + 4 61. i 6Z |*2|
- 187. Sección 3.1 •G ráficas • 1 5 9 Resolución de problemas 6 3 . ¿ E l p u n to r e p re s e n ta d o p o r e l p a r o r d e n a d o ^ ^ e s tá e n la g rá fic a d e la e c u a c ió n y _ & o E x p liq u e , * + 1 6 4 . ¿ E l p u n to r e p r e s e n ta d o p o r e l p a r o r d e n a d o I ( - i - ! ) e s tá e n la g rá fic a d e la e c u a c ió n _ x + ^ 9 E x p liq u e , y x 2 - l 65. a) T r a c e l o s p u n t o s A ( 2 ,7 ) ,l ? ( 2 ,3 ) ,C ( 6 ,3 ) ,y l u e g o t r a c e AB, A C , y BC. ( A B r e p r e s e n ta e l s e g m e n to d e re c ta d e A a R ) b) D e te r m in e e l á re a d e la fig u ra. 66. a) T ra c e lo s p u n to s A ( - 4 , 5 ^ B (2 , 5 ) , C (2 , - 3 ) y D ( - 4 , - 3 ) ; d e s p u é s , tra c e AB, BC, CD, y DA. b) D e te r m in e e l á re a d e la fig u ra. 67. Ventas de computadoraspersonales L a s ig u ie n te g rá fic a m u e s tra las v e n ta s d e c o m p u ta d o ra s p e rs o n a le s e n to d o e l m u n d o e n tr e 1999 y 2 0 0 3 ( e n m illo n e s ). fentas de computadoras personales en todo el mundo Área total de cultivos modificados genéticamente V V -I R íe m e : w w w isaaa.org A ñ o A ñ o Fuem e: International Data Corporation. a) C a lc u le las v e n ta s d e c o m p u ta d o ra s e n to d o e l m u n d o e n 1999. b) C a lc u le las v e n ta s d e c o m p u ta d o ra s e n to d o e l m u n d o e n 200 3 . c) ¿ E n q u é a ñ o s las v e n ta s d e c o m p u ta d o ra s e n to d o e l m u n d o e x c e d ie ro n 140 m illo n e s d e u n id a d e s? d) ¿ E l a u m e n to e n la v e n ta d e c o m p u ta d o ra s e n to d o e l m u n d o e n t r e 1 9 9 9 y 2 0 0 3 p a re c e c a s i lin e a l? E x p liq u e . Cultivosmodificadosgenéticamente E n to d o e l m u n d o , la p r o d u c c ió n d e c u ltiv o s m o d if ic a d o s g e n é t ic a m e n te — ta n to e n n a c io n e s e n vías d e d e s a r r o llo c o m o e n p a ís e s in d u s tria liz a d o s — e s tá c r e c ie n d o c o n ra p id e z . L a s ig u ie n te g rá fic a m u e s tra e l á re a d e l te r r e n o d e d ic a d o a e s te tip o d e cu ltiv o s e n las n a c io n e s e n v ías d e d e s a rr o llo , e n lo s p a íse s h d u s tria liz a d o s , y e n to d o e l m u n d o e n t r e 1995 y 200 0 . E l á re a e s tá d a d a e n m illo n e s d e h e c tá re a s ; s e g ú n e l s iste m a m étrico , c a d a h e c tá re a e q u iv a le m á s o m e n o s a 2.7 4 1 acres. a) Calcule el área que las naciones en vías de desarrollo dedicaron a los cultivos modificados genéticamente en 1999. b) Calcule el área que los países industrializados dedica ron a los cultivos modificados genéticamente en 1999. c) ¿En qué años, entre 1995 y 2000, el área total dedica da a cultivos modificados genéticamente fue menor a 20 millones de hectáreas? d) ¿En qué años,entre 1995 y 2000 el área total dedicada a cultivos modificados genéticamente fue mayor a 35 millones de hectáreas? En la sección3.4 analizaremos muchos de los conceptos que se presentan en los ejercicios 69 a 76. 69. Grafique y = x + 1,y = x + 3 y y = x - l e n e mismo ¡ plano. a) ¿Qué nota respecto de las ecuaciones y los valores en donde las gráficas intersectan al eje y? b) ¿Todas lasgráficas que resultan de estas ecuaciones pa recen tener la misma inclinación (o pendiente)? 70. Grafique y = j x , y = ^ x + 3, y y = - 4 en el mismo plano. a) ¿Qué nota respecto de las ecuaciones y los valores en donde las gráficas intersectan al eje y? b) ¿Todas lasgráficas que resultan de estas ecuaciones pa recen tener la misma inclinación (o pendiente)? 7L Grafique y = 2x. Determine la razó n d e cam bio de y res pecto de X',esto es, ¿en cuántas unidades cambia y en com paracióncon cada unidad que cambia .r? 72. Grafique y = 3x. Determine la razón de cambio de y res pecto de x. í 73. Grafique y = 3x + 2. Determine la razón de cambio de y respecto de x. 74 Grafique y = x . Determine la razón de cambio de y res pecto de x.
- 188. 1 6 0• C apítulo 3 • Gráficas y funciones 75. El par ordenado (3, -6 ) representa un punto en la gráfi ca de una ecuación lineal. Si en la gráfica y aumenta 4 uni dades por cada unidad que aumenta x, determine otras cbs soluciones para la ecuación. 76. El par ordenado (1 ,-4 ) representa un punto en la gráfi ca de una ecuación lineal.Si en la gráfica y aumenta 3 uni dades por cada unidad que aumenta x, determine otras dos soluciones para la ecuación. Relacione cada uno de los ejercicios 71 a 80 con la gráfica correspondiente de altura respecto del nivel del mar, identificadas con ¡os incisos a) a d). 77. María Andrade caminódurante cinco minutos a nivel del suelo; luego, escaló una colina durante 5 minutos; después caminó una vez más a nivel del suelo durante cinco minu tos;durante lossiguientes cinco minutos, escaló una colina inclinada y, finalmente, los siguientes 10 minutos descen dió de manera uniforme hasta alcanzar la altura a la que había iniciado su recorrido. 78. Danilo Guzmán caminó a nivel del suelo durante cinco ninutos; después descendió una colina empinada duran te 10 minutos;los siguientes cinco minutos caminó nueva mente a nivel del suelo; luego siguió caminando por cinco minutos hasta volver a la altura en donde inició su reco- nido; los últimos cinco minutos caminó una vez más a nivel del suelo. 79. Nancy González inició su caminata ascendiendo por una colina empinada durante cinco minutos; los siguientes cin co minutos caminó descendiendo una colina empinada hasta llegar a una elevación menor a la que tenía el pun to en donde iniciósu recorrido; los siguientes 10 minutos caminó a niveldel suelo; luego ascendió una colina un poco inclinada durante 10 minutos; en ese momento alcanzó la misma elevación a la que inició su recorrido. 80. Jaime Canales comenzó su caminata ascendiendo una co linadurante cinco minutos; los siguientes 10 minutos des cendió una colina hasta llegar a la misma elevación a la que inicióel recorrido; tos siguientes 10 minutos caminó a nivel del suelo; por último, descendió la colina en una ca minata de cinco minutos. 10 15 20 25 T iem p o (m in u to s) (a) 5 10 15 20 25 Tiempo (minutos) (c) T iem p o (m in u to s) Tiempo (minutos) Relacione cada uno de ¡os ejercicios 81 a 84 con la gráfica correspondiente de velocidad contra tiempo, entre las identificadas con los incisos a) a d) en la página 161. 81. Para llegar hasta su trabajo, Cleotüde Manzano caminódu rante tres minutos,esperóel trendurante cinco minutos, via jó en éldurante 15 minutos,ycaminódurante 7 minutos más. 82. Para llegar hasta su trabajo,Timoteo Pérez condujo entre in pesado tránsito (que lo obligaba a avanzar y parar re petidamente) durante cinco minutos; luego manejóen una autopista durante 20 minutos, y finalmente volvió a circu lar entre tránsito pesado durante cinco minutos. 83. Para llegar hasta su trabajo, Silvia Gámez manejó por una carretera rural durante 10 minutos; después condujo por una autopista durante doce minutos, y luego entre el trán sito pesado durante ocho minutos. 84. Para llegar hasta su trabajo, Brenda Pinzóncondujo su bi cicleta colina arriba durante 10 minutos, después colina abajo durante 15 minutos, y luego en una calle plana du rante cinco minutos.
- 189. Sección 3.1 •G ráficas * 1 6 1 •a E 70 - - 60 50 40 30 20 1 0 - 0-F 5 10 15 20 25 30 Tiempo desde que salió (minutos) (a) Tiempo desde que salió (minutos) (c) Tiempo desde que salió (minutos) (b) Tiempo desde que salió (minutos) (d) Relacione cada uno de los ejercicios 85 a 88 con la gráfica correspondiente de velocidad contra tiempo, entre las identificadas con ¡os incisos a) a d). 85. Cristina Maldonado realizó durante cinco minutos una caminata de calentamiento, trotó durante 20 minutos, y después caminóotra vez durante cinco minutos hasta dis minuir su ritmo cardiaco. 86. Ana Domínguez decidió pasear en bicicleta, y la condujo a una velocidad constante durante 30 minutos. 87. Miguel Orduña dio un paseo a pie por su vecindario du rante 30 minutos; durante el trayecto, se detuvo brevemen te en siete ocasiones para levantar basura. 88. Ricardo Dávalos caminó por su vecindario y se detuvo tres veces para platicar con sus vecinos; estuvo fuera de su casa durante 30 minutos. Tiempo (minutos) (a) Tiempo (minutos) (c) Tiempo (minutos) (b) Tiempo (minutos) (d)
- 190. 1 6 2• C apítulo 3 • Gráficas y funciones Relacionecada uno de los ejercicios89 a 92 con la gráficacorrespondiente de distancia contra tiempo, entrelasidentificadascon los incisos a) a d). Recuerdeque en el capítulo 2 sedijo que distancia = velocidad X iempo. Las distanciasseleccionadas seindican en lasgráficas. ■b 89. El tren A viajó a una velocidad de 40 mph durante una 9L H tren B viajó una velocidad de 20 mph durante dos ho- hora, luego durante dos horas a 80 mph. y luego a 60 mph ras, luego a 60 mph durante tres horas, y después a 80 mph durante tres horas. durante una hora. 90. El tren C viajó a una velocidad de 80 mph durante dos ho- 92. El tren D viajó a 30 mph durante una hora, después a ras, luego permaneció parado en una estacióndurante una 65 mph durante dos horas, y luego a 30 mph durante tres hora, y después viajó a 40 mph durante tres horas. horas. 1 2 3 4 5 6 Tiempo (horas) (a) 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (horas) (c) Tiempo (horas) (b) Tiempo (horas) (d) I Utilice una calculadora graficadora para graficar cada función. Asegúrese de seleccionar valores que muestren la curvatura de la grá fica en la ventana. Luego, si su calculadora puede mostrar tablas, despliegue una tabla de valores de x, en unidades de 0 a 6. 93. y = 2x - 3 96. y = —x 2 + 16 Reto 94 y = - x + 2 97. y = x 3 - 2x + 4 95. y = x 2 - 2x - 8 98. y = 2x3 — 6x2 — 1 Grafique cada ecuación. 99. y = U - 21 100. x = y2 + 2 i r Actividad en equipo Analice y resuelva en equipo los ejercicios 101 y 102. 101. a) Miembro uno del equipo: en una gráfica trace los pun tos ( - 2,4) y (6,8). Determine elpunto medio del seg mento de línea que conecta estos puntos. Miembro dos del equipo: siga las instrucciones ante riores para los puntos (-3 , -2 ) y (5,6). Miembro tres del equipo: siga las instrucciones ante riores para los puntos (4,1) y (-2 ,4 ). b) Determinen en equipo una fórmula para localizar el punto medio de un segmento de línea que conecta los puntos (xu yi) y i Nola: analizaremos la fóimula para localizarelpunto medio en el capítulo 10). 102. Trespuntos que conforman losvértices de un paralelogra- mo son: A(3,5), B(8,5) y C ( - l, -3 ). a) De forma individual, determinen un cuarto punto, D, que complete el paralelogramo. b) De forma individual,calculenel áiea de su paralelogramo. c) Comparen sus respuestas. ¿Todos obtuvieron la misma respuesta? De no ser así, ¿por qué? d) ¿Se puede usar más de un punto para completar el pa ralelogramo? De ser así,indiquen los puntos y determi nen el área de cada uno de los paralelogramos.
- 191. Sección 3.2 •F u n cio n e s • 1 6 3 Ejercicios de repaso acumulativo 12.2] 103. Evalúe - b + V¿>2 -_4ac 2a para a = 2, b = 7, y c = -15. [2.3] 104. Renía de un camión La agencia Renta de Camio nes cobra una cuota diaria de $60 más $0.10por mi lla. La agencia Automóviles Nacionales cobra una cuota diaria de $50 más $0.24 por milla por el mis mo camión. ¿Qué distancia tendría que conducir durante un día para que el costo de renta fuera igual con ambas compañías? [2.5] 105. Resuelva la desigualdad - 4 < 4 —3* < 5. Es criba la solución en notación de construcción de conjuntos. [2.6] 106. Determine el conjunto solución para la desigualdad |3* + 2| > 5. 3 .2 FUNCIONES 1 E n t e n d e r la s r e la c io n e s . 2 R e c o n o c e r f u n c io n e s . 3 U t iliz a r la p r u e b a d e la r e c t a v e r t ic a l. 4- E n t e n d e r la n o t a c ió n d e f u n c io n e s . 5 A p l ic a c io n e s d e f u n c i o n e s e n la v i d a d ia r ia . 1 E n ten d e r las relacio n es E n la vida diaria, con frecuencia descubrim os relaciones en tre dos cantidades. Por ejem plo, la cantidad q u e usted gasta al com prar naranjas está relacionada con el nú mero d e naranjas q u e le entregan a cam bio; la velocidad a la q u e viaja un bote d e ve la está relacionada con la velocidad del viento; y el im puesto q u e usted paga está relacionado con los ingresos q u e obtiene. Suponga q u e las naranjas cuestan 30 centavos cada una. Entonces, una naranja cuesta 30 centavos, dos naranjas cuestan 60 centavos, tres naranjas cuestan 90 centavos, y asísucesivamente. Podem os organizar esta inform ación,o relación,com o un conjunto de pares ordenados, listando prim ero el número de naranjas y luego su costo en centa vos. E n este caso, los pares ordenados serían (1,30), (2,60), (3,90),etcétera. U na ecua ción que representa esta situación es c = 30rt,en donde c es el costo en centavos, y n es el número d e naranjas. Como el costo depende del número de naranjas, decim os q u e el costo es la variable dependiente y el núm ero d e naranjas es la variable independiente. A hora pensem os en la ecuación y = 2x + 3. E n ella, el valor obtenido p ara y d e pende del valor seleccionado p ara x. Por lo tanto, * es la variable independiente y y es la variable dependiente. O bserve que, a diferencia del caso d e las naranjas,en este ejemplo no existe una relación física entre * y y. La variable * es la variable independiente y y es la variable dependiente sim plem ente a consecuencia del lugar que ocupan en la ecuación. Para una ecuación con las variables * y y,si el valor d e y cfepende del valor d e *,en tonces y es la variable dependiente y * es la variable independiente. Ya q u e las cantida des relacionadas pueden representarse como pares ordenados, el concepto de relación puede definirse como sigue. DEFINICIÓN U na relación es cualquier conjunto d e pares ordenados. 2 R ec o n o c er fu n cio n es A continuación analizarem os el concepto d e función, uno d e los m ás im portantes en matem áticas. U n a función es un tipo especial d e relación en el q u e a cada elem ento de un conjunto (llamado dom inio) le corresponde exactamente un elem ento de un segundo conjunto (llam ado rango).
- 192. 1 6 4. • C apítulo 3 • Gráficas y funciones FIGURA 3.20 E J E M P L O 1 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO17 DEFINICIÓN Volvamos al ejem plo de las naranjas q u e cuestan 30 centavos cada una. Podemos ilustrar el núm ero d e naranjas y su costo p o r medio d e la figura 3.20. Número de naranjas, n Correspondencia c = 30n Costo de naranjas, c (centavos) Observe q u e cada cifra del conjunto Número d e naranjas corresponde a (o tiene relación con) exactam ente un núm ero en el conjunto Costo d e naranjas. Por consi guiente, esta correspondencia es una función. E l conjunto conform ado p o r los núm e ros d e naranjas, { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,...} ,se denom ina dom inio. E l conjunto conform ado por los costos en centavos, { 3 0 ,6 0 ,9 0 ,1 2 0 ,1 5 0 ,...} , se denom ina rango. E n general, el conjunto d e valores para la variable independiente es el dom inio, y el d e valores para la variable dependiente es el rango (vea la figura 3.21). Correspondencia FIGURA 3.21 D eterm ine si cada una d e las siguientes correspondencias es una función. a) i 2 3 -»1 b) m ariquita grillo jilguero halcón E spaña M éxico Irlanda a ) Para que una correspondencia sea una función,cada elem ento del dom inio deb e co rresponder exactam ente a un elem ento del rango. A quíel dom inio es {1,2,3} y el ran go es {1, 4, 9}. Com o cada elem ento del dom inio corresponde exactam ente a un elem ento del rango, esta correspondencia es una función. b) A quí el dom inio es {m ariquita, grillo,jilguero, halcón) y el rango es {insecto, av e ). A unque el dom inio tie n e cuatro elem entos y el rango tien e dos, cad a elem ento del dom inio corresponde exactam ente a un elem ento del rango. Por lo tanto, esta corres pondencia es una función. c) A quíel dom inio es {idioma español, idiom a inglés) y el rango es {España, México, Irlan d a). O bserve q u e idiom a español corresponde tanto a España com o a México. E n este caso, uno d e los elem entos del dom inio corresponde a dos elem entos del rango (es decir,a o hay una correspondencia exacta uno a uno). E n consecuencia,esta correspon dencia es una relación, pero no una función. # A continuación definirem os d e m anera form al el concepto d e función. U n a función es una correspondencia e n tre un prim er conjunto d e elem entos (dom inio),y un segundo conjunto d e elem entos (rango),de tal m anera q u e a ca d a elem ento del dom inio le corresponde exactamente un elem ento del rango.
- 193. Sección 3.2 •F u n cio n e s • 1 6 5 E J E M P L O 2 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO23 ¿C uáles d e las siguientes relaciones es una función? a) {(1,4)J2,3),(3,5),(-1,3)(0,6)} b) {(~1,3 )(4 ,2 ), ( 3 ,1), (2,6), (3,5)} a) El dom inio es el conjunto d e las prim eras coordenadas en el conjunto de pares ord e nados, {1,2,3, - 1 ,0 } , y el rango es el conjunto de segundas coordenadas, {4,3,5,6}. Observe q u e cuando listamos el rango sólo incluimos el número 3 una vez, aunque apa rece en (2,3) y (-1 ,3 ). Al exam inar el conjunto d e pares ordenados, vemos q u e cada número del dom inio corresponde exactam ente a un número del rango. Por ejemplo, el 1 del dom inio corresponde solam ente al 4 del rango, y asísucesivamente. Ningún valor d e x corresponde a más de un valor d e y. Por lo tanto, esta relación es una función. b) El dominio es { -1 ,4 ,3 ,2 ( y el rango es {3,2,1,6,5(.O bserve que el 3 aparece como la prim era coordenada d e dos pares ordenados, aunque está listado sólo una vez en el conjunto d e elem entos q u e representa el dominio. Com o los pares ordenados (3,1) y (3 ,5 ) tienen la misma primera coordenada y una segunda coordenada diferente, no todos los valores del dom inio corresponden exactam ente a un valor del rango. Por lo tanto, esta relación no es una función. # El ejem plo 2 conduce a una definición alternativa d e función. DEFINICIÓN U na funciónes un conjunto d e pares ordenados, en donde no se repite una primera coordenada. Si la segunda coordenada en un conjunto d e pares ordenados se repite, el con junto todavíapuede ser una función,com o en el ejem plo 2 a).Sin em bargo,si dos o más pares ordenados tienen la misma prim era coordenada,com o en el ejem plo 2 b ),e l con junto no es una función. 3 U tiliza r la p ru e b a d e la re c ta ve rtica l L a gráficadeuna funcióno relaciónes la gráfica d e su conjunto d e pares ordenados. Los dos conjuntos d e pares ordenados del ejem plo 2 se grafican en las figuras 3.22a y 3.22b. O bserve que, en la función d e la figura 3.22a, no es posible trazar una recta ver tical q u e intersecte dos puntos d e la curva. Esto es norm al, ya que, en una función, ca d a valor d e x deb e corresponder exactam ente a un valor d e y. E n la figura 3.22b podemos trazar una recta vertical q u e intersecte dos puntos d e la curva (3,1) y (3,5). Esto dem uestra q u e no todos los valores d e x corresponden exactam ente a un valor de y; p o r lo tanto, la gráfica no representa una función. E ste m étodo p ara determ inar si una gráfica representa una función se denom ina pruebadelarectavertical. Síes una función y 7 t 6 « A ♦ 7 1 - — - - 5 - -1 2 $ X No es una función y _ ü 7 J J J ¡ / O ___ i- 4 . A 7 ----- ------ L a . 1 ^ . Zé 1 • X ----- - 3 - -u 4 J J FIGURA 3.22 (a) Primer conjunto de pares ordenados (b) Segundo conjunto de pares ordenados
- 194. 1 6 6• C apítulo 3 • Gráficas y funciones FIGURA 3.23 E J E M P L O 3 Solución P ru e b a d e la re c ta ve rtica l Si en cualquierparte de la gráfica es posible trazar una recta vertical que intersecte a más de un punto de la curva, la gráfica no representa una función. Si no es posible trazar una recta vertical que intersecte a más de un punto de la curva, la gráfica representa una función. Utilizarem os la prueba d e la recta vertical p ara dem ostrar q u e la figura 3.23b repre senta una función, m ientras q u e las figuras 3.23a y 3.23c no. No es una función Síes una función y No es una función y U tilice la prueba d e la recta vertical p ara determ inar si las gráficas siguientes represen tan funciones. Tam bién determ ine el dom inio y el rango d e cada función o relación. a) No es posible trazar una recta vertical q u e intersecte más d e un punto d e la curva d e la figura 3.24. Por lo tanto, ésta es la gráfica de una función Com o la curva se ex tiende d e m anera indefinida en am bas direcciones, cada valor d e x estará incluido en el dominio. E l dom inio es el conjunto d e los núm eros reales. D om inio: IR o ( —o o ,o o ) E l rango tam bién es el conjunto d e los núm eros reales, ya q u e todos los valores de y están incluidos en la gráfica. R ango: IR o ( - 00, 00) b) Com o sí se puede trazar una recta vertical q u e intersecte m ás de un punto d e la curva en la figura 3.25,ésta no es la gráfica d e una función. E l dom inio d e esta relación es el conjunto d e valores m ayores q u e o iguales a - 3 . D om inio: {xx > - 3 } o [ - 3 , 00) E l rango es el conjunto d e valores d e y ,q u e puede ser cualquier núm ero real. R ango: IR o ( - 0 0 , 0 0 ) %
- 195. S e cción 3.2 • F u n cio n e s * 1 6 7 E J E M P L O 4 AHORARESUELVAELEJERCICIO33 E n la gráfica q u e se m uestra en la figura 3.26, a) ¿qué elem ento del rango form a el p ar de 4 en el dom inio? b ) ¿qué elem entos del dom inio form an el p ar d e - 2 en el rango? c) ¿cuál es el dom inio d e la función? d ) ¿cuál es el rango d e la función? S o l u c i ó n a) El rango es el conjunto de valores d e y. El valor d e y que tiene como par el valor d e a: 4 es 3. b) El dom inio es el conjunto d e valores d e x. Los valores d e x que tienen com o p ar el valor d e y igual - 2 son 2 y 6. c) E l dom inio es el conjunto d e valores d e x, del 0 al 7. Por lo tanto, el dom inio es {a t|0 £ i s ] | o [0 ,7 ] d) E l rango es el conjunto d e valores y, d e - 2 a 3. Así, el rango es { y ~ 2 ^ y * 3 } o [ - 2 ,3 ] # E J E M P L O 5 L a figura 3.27 ilustra una gráfica d e velocidad contra tiem po d e un hom bre q u e salió a cam inar y trotar. E scriba una historia q u e describa el paseo d e este hom bre y q u e corresponda a esta función. FIGURA 3.27 I 6 5 - - 4 - - 3 - - 2 1 FI hom bre sale a cam inar y trotar 10 15 20 25 Tiempo (minutos) 30 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO65 E n t ie n d a e l p r o b le m a El eje horizontal es el tiem po y el eje vertical es la ve locidad. Cuando la curva es horizontal, significa q u e la persona está trasladándose a la velocidad constante indicada en el eje vertical. Las rectas casi verticales q u e aum entan con el tiempo (o q u e tienen una pendiente positiva, com o se estudiará más adelante), indican un aum ento en la velocidad, m ientras q u e las rectas casi verticales q u e dism i nuyen con el tiem po (o q u e tienen pendiente negativa), indican una dism inución en la velocidad. R e s p o n d a Ésta es una posible interpretación d e la gráfica. E l hom bre cam ina d u rante más o m enos cinco m inutos a una velocidad d e casi dos millas p o r hora;después, el hom bre aum enta su velocidad hasta casi cuatro millas p o r hora, y cam ina o tro ta a esa velocidad durante más o m enos 10 minutos; luego dism inuye su velocidad hasta d e tenerse, y después descansa durante cinco m inutos;finalm ente, el hom bre aum enta su velocidad hasta casi cinco millas p o r hora, y trota a esa velocidad durante más o menos 10 minutos. # 4 E n te n d e r la n o ta c ió n d e fu n c io n e s E n la sección 3.1 graficamos varias ecuaciones, tal com o se resum e en la tabla 3.1. Si exam ina cada ecuación d e la tabla, verá q u e todas ellas son funciones, ya q u e sus grá ficas pasan la prueba d e la recta vertical.
- 196. 1 6 8• C apítulo 3 • Gráficas y funciones Cómo la gráfica d e cada una de estas ecuaciones representa una función, pod e mos referim os a ellas com o funciones. C uando nos referimos a un ecuación en las va riables x y y como una función,significa q u e la gráfica d e la ecuación satisface el criterio p ara ser función. Esto es, cada valor de x corresponde exactam ente a un valor d e y , y la gráfica d e la ecuación pasa la prueba d e la recta vertical. No todas las ecuaciones son funciones, com o verem os en el capítulo 10, en d o n d e analizarem os ecuaciones d e círculos y elipses. Sin em bargo, todas las ecuaciones qu e estudiarem os hasta ese m om ento serán funciones. A nalicem os la ecuación y = 3x + 2. Al aplicar la p ru eb a d e la recta vertical a su gráfica (figura 3.28), podem os ver q u e ésta representa una función. C uando una ecuación en las variables x y y es una función, con frecuencia la escribim os utilizando notación de funciones, o /( * ) , expresión q u e se lee “/ d e x ”. Com o la ecuación y = 3x + 2 es u n a función, y el valor d e y dep en d e del valor d e x, decim os q u e y es una función de x. C uando se nos d a una ecuación lineal en las variables x y y, en la que y está despejada,podem os escribir la ecuación en notación d e funciones com o /( * ) = 3x + 2. La notación f ( x ) representa la variable dependiente y no significaf p o r x. Adem ás d e/p u ed e n usarse otras letras p ara indicar funciones. Por ejem plo,g(x) y h(x) tam bién representan funciones d e x , y en la sección 5.1 utilizarem os P(x) p ara representar funciones polinomiales.
- 197. Sección 3.2 •F u n cio n e s • 1 6 9 Las funciones escritas en notación d e funciones tam bién son ecuaciones, ya que contienen un signo d e igual. Podem os referim os a y = 3x + 2 ya sea com o una ecuación o com o una fu n ció a D e m anera análoga, podem os referim os a /( * ) = 3x + 2 com o una función o com o una ecuación. Si y es una función d e x, la notación /( 5 ) , q u e se lee “/ d e 5”, hace referencia al valor d e y cuando * es 5. Para evaluar una función p ara un valor específico d e x, susti tuya x con ese valor en la función. Por ejem plo, si f ( x ) = 3x + 2, entonces /( 5 ) se d e term ina com o sigue: f { x ) = 3 x + 2 / ( 5 ) = 3 (5) + 2 = 17 Por lo tanto, cuando x es 5, y es 17. E l p ar ordenado (5,17) aparecería en la gráfica de y = 3x + 2. SUG ERENCIA E J E M P L O 6 Solución E J E M P L O 7 Solución Las ecuaciones lineales en las que y no está despejada, pueden escribiise usando notación de funciones, despejando y en la ecuación, y luego reemplazando y con /(* ). Por ejemplo, la ecuación -9 * + 3y = 6 se convierte en y = 3x + 2, cuando se despeja y. Por lo tanto, podemos escribir f(x) = 3x + 2. C) f ( a ) AHORA RESUEU/A a EJER CICIO 45 Si f ( x ) = - 4 x 2 + 3 x - 2, determ ine a) / ( 2 ) b) / ( - 1 ) a) f { x ) = - 4 x 2 + 3 x - 2 / ( 2 ) = - 4 ( 2 ) 2 + 3 (2) - 2 = - 4 (4 ) + 6 - 2 = - 1 6 + 6 - 2 = - 1 2 •») / ( “ I ) = - 4 ( - l ) 2 + 3( —1) - 2 = - 4 ( 1 ) - 3 - 2 = - 4 - 3 - 2 = - 9 c) Para evaluar la función en a, reem plazam os cada x d e la función con una a. f ( x ) = - 4 x 2 + 3x - 2 f ( a ) = - 4 a 2 + 3a - 2 D eterm ine cada valor indicado d e la función. a) g ( ~ 2 ) p ara g ( í) = b) /i(5) p a ra h ( s ) = 2 |s - 6| c) 7 (—3 ) p ara j (r) = V 6 - r E n cada parte, sustituya el valor indicado en la función y resuélvala. ■) * ( - 2 ) = z ¿ T 5 = J b) h(5) = 2|S - 6| = 2 |- 1 | = 2(1) = 2 c) ; ( - 3 ) = V 6 - ( - 3 ) = V 6 T 1 = V 9 = 3 5 Aplicaciones de funciones en la vida diaria M uchas d e las aplicaciones q u e se estudiaron e n el capítulo 2 eran funciones. Sin em bargo, no habíam os definido el concepto en ese momento. A continuación analizaremos algunas aplicaciones adicionales d e funciones. E J E M P L O 8 El to rn eo M asters de golf E n abril d e cada año se celebra el torneo M asters de golf. La gráfica d e la figjra 3.29 m uestra los puntos del nivel de audiencia q u e tuvo este
- 198. 1 7 0• Capítulo 3 • Gráficas y funciones Audiencia del torneo de golf FIGURA 3.29 torneo en televisión en tre 1980 y 2001. U n punto d e nivel d e audiencia representa 1% d e los hogares q u e cuentan con televisión. Por ejem plo, si un program a d e televisión recibe una puntuación d e 14.1, significa q u e 14.1% d e los hogares con televisión sin tonizaron ese program a. a) Explique p o r q u é la gráfica en la figura 3.29 representa una función. b) D eterm ine el nivel d e audiencia q u e tuvo este torneo en 1993. c) D eterm ine el porcentaje d e aum ento d e audiencia en tre 1993 y 1997. Tiger Woods* D eterm ine el porcentaje d e dism inución d e audiencia en tre 1997 y 2000. SoIU C ¡Ó n a ) E sta gráfica representa una función,porque cada año corresponde a un núm ero es pecífico d e puntos d e nivel d e audiencia. O bserve q u e la gráfica pasa la prueba d e la recta vertical. b) E n 1993, el torneo tuvo más o m enos siete puntos d e nivel d e audiencia. Si llam a mos a la fu n ció n /,en to n ces/(1993) = 7. c) Seguirem os nuestro procedim iento para responder esta pregunta E n t ie n d a e l p r o b le m a y t r a d u z c a Se nos pidió q u e determ ináram os el porcen taje d e aum ento d e audiencia entre 1993 y 1997. Para hacerlo, usamos la fórm ula f can tid ad en el / can tid ad e n el po rcen taje d e cam bio _ yúltim o p erio d o ,/ V periodo an terio r^ (aum ento o dism inución) “ can tid ad en el p erio d o anterior E l últim o periodo es 1997,y el periodo anterior es 1993. A l sustituir los valores corres pondientes, obtenem os . • , i_. 14.1 - 7.0 porcentaje d e cambio = ----- — ----- R e a lic e lo s c á lc u lo s = « 1.0143 « 1 0 1 .4 % C o m p r u e b e y r e s p o n d a N uestros cálculos p arecen correctos. E n tre 1993 y 1997 hubo aproxim adam ente 101.4% d e aum ento en el nivel d e audiencia p ara el torneo. *Debe hacerse notar que el altísimo nivel de audiencia de 1997 se debió, principalmente, a que Tiger Woodsganó el evento.
- 199. Sección 3.2 •F u n cio n e s • 1 7 1 E J E M P L O 9 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO75 d) Para determ inar el porcentaje d e dism inución d e audiencia en tre 1997 y 2000, se guim os el mismo procedim iento q u e en la p arte c). /a u m e n to e n e l / aum ento e n el p orcentaje de cam bio = l últim o p e rio d o j ~ ^p erio d o an terio rJ (aum ento o dism inución) aum ento e n el p erio d o anterior E l signo negativo q u e precede a 29.1% indica una dism inución porcentual. Por lo tanto, hubo una dism inución d e aproxim adam ente 29.1 % en los puntos del nivel d e audiencia para el torneo M asters entre 1997 y 2000. # Inm igración E n la actualidad, el núm ero d e extranjeros naturalizados q u e habitan en Estados U nidos es el más alto d e todos los tiempos. E n 1890 la población d e extranje ros naturalizados q u e habitaba en Estados U nidos era d e nueve m illones d e personas; en 1910 era d e 14 millones; en 1930 era d e 14 millones; en 1950 era d e 10 millones; en 1970 era d e 10 millones;e n 1990 era d e 20 millones; en 2000 era d e 28 millones d e p er sonas, y se pronostica q u e en 2005 será d e 31 millones d e personas. a) R epresente esta inform ación en una gráfica. b) Por m edio d e su gráfica, explique p o r q u é este conjunto d e puntos representa una función. c) Por medio d e su gráfica, calcule el número d e extranjeros naturalizados q u e vivían en Estados U nidos e n 2003. N úm ero d e extranjeros naturalizados en E stados U nidos 35 - - 's? 'V I - s 30 = 25 g 2 0 - • I 15” * « 10-; • • I 5" 0 “ ! i ! i 1 ----------------i — I— I------------------- 1890 1910 1930 1950 1970 1990 1 A f tO 2005 Fw oife-O ficina d e C ensos d e Estadas U nidos. FIGURA 3.30 N úm ero d e extranjeros naturalizados en E stados Unidos £ ñ ien ie: Oficina d e C en ses d e E stados Unidos. FIGURA 3.31 a) E l conjunto d e puntos se m uestra en la figura 3.30. Colocam os el año en el eje ho rizontal y el núm ero d e extranjeros naturalizados q u e habitan en E stados U nidos, en millones de personas, en el eje vertical. b) Como cada año corresponde exactam ente a un núm ero d e extranjeros naturaliza dos, este conjunto d e puntos representa una función. O bserve q u e esta gráfica pasa la prueba d e la recta vertical. c) Podem os conectar los puntos con segm entos d e línea recta, com o se m uestra en la figura 3.31. Después, a partir d e la gráfica es posible calcular q u e en 2003 había apro xim adam ente 30 millones d e extranjeros naturalizados en Estados Unidos. Si llamamos / a la función,entonces/(2 0 0 3 ) = 30. # E n la sección 2.2 aprendim os a usar fórmulas. Pensem os p o r ejem plo en la fór m ula p ara considerar el área del círculo, A = ttr2. E n la fórm ula, it es una constante con un valor aproxim ado d e 3.14. Para cada valor específico del radio, r, corresponde exactam ente un área,A . Por lo tanto, el área del círculo es una función d e su radio. E n consecuencia, podem os escribir A {r ) = irr2 Con frecuencia, las fórm ulas se escriben usando notación d e funciones com o ésta. 3 5 -
- 200. E J EM P L O 1 0 L a tem peratura Celsius, C, es una función d e la tem peratura Fahrenheit, F. C ( F ) = | ( F - 3 2 ) D eterm ine la tem peratura Celsius q u e corresponde a 50°F. Solución N ecesitam os determ inar C(50).Lo harem os p o r medio d e sustitución. C ( F ) = | ( F - 32) C (5 0 ) = f (50 - 32) = f (18) = 10 Por lo tanto, 5 0 °F = 10°C. E n el ejem plo 10, F e s la variable independiente y C es la variable dependiente. Si despejáram os F en la función, obtendríam os F ( C ) = 5C + 32. E n esta fórm ula, C AHORARESUELVAELEJERCICIO55 es la variable independiente y F es la variable dependiente. % 1 7 2 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 3 . 2 Ejercicios conceptuales L ¿Qué es una función? 2. ¿Qué es una relación? 3. ¿Todas las funciones son también relaciones? Explique. 4. ¿Todas las relaciones son también funciones? Explique. 5. Explique cómo usar la prueba de la recta vertical para de terminar si la relaciónes una función. 6. ¿Qué es el dominio de una función? 7. ¿Qué es el rango de una función? 8. ¿Cuál es el dominio y cuál es el rango de la función f(x) = 2x + 1? Explique su respuesta. 9. Cbnsidere la función y = —, ¿cuál es el dominio y cuál es el rango? Explique 10. ¿Cuáles son el dominio y el rango de una función con la forma f(x) = ax + b , a ± 0? Explique su respuesta. 11. Cbnsidere la función del valor absoluto y = |x|, ¿cuál es el dominio y cuál es el rango? Explique 12. ¿Quées una variable dependiente? 13. ¿Quées una variable independiente? 14. ¿Cómo se lee “/(* )”? Problemas de aplicación En los ejercicios 15 a 20, a) determine si la relación ilustrada es una función;b) indique cuál es el dominio y cuál es el rango de cada función o relación. 15. el doble de un número 3 ----------->6 5 ----------->10 10-------------->20 16. Sobrenombres Roberto Margarita 17. número de descendientes Rogelio >1 Carlos *2 Andrea 18* un número al cuadrado 4 ------------>16 5 ------------>25 6 ------------>36 s¿ 19. costo de una estampilla
- 201. S e cción 3.2 • F u n cio n e s • 1 7 3 En los ejercicios 21 a 28, a) determine cuáles de las siguientes relaciones también son funciones;b) indique cuál es el dominio y cuál es el rango de cada relación o función. £ 2 L { ( 1 , 4 ) , ( 2 ,2 ) , (3 , 5 ), (4, 3 ) , ( 5 , 1 ) } 23. { ( 3 , - 1 ) , (5 , 0 ), ( 1 ,2 ) , (4, 4 ) , ( 2 ,2 ) , (7 , 5 ) } 25. { ( 1 , 4 ) , (2 , 5 ) , (3 , 6 ), ( 2 ,2 ) , ( 1 , 1 ) } 27. { ( 0 , 3 ) , ( 1 ,3 ) , ( 2 ,2 ) , ( 1 , - 1 ) , ( 2 , - 7 ) } 22. { ( 1 , 1 ) , (4 , 2 ) , ( 9 ,3 ) , (1 , - 1 ) , (4 , - 2 ) , (9 , - 3 ) } 2 4 { ( - 1 , 1 ) , (0 , - 3 ) , ( 3 ,4 ) , (4 , 5 ), ( - 2 , - 2 ) } 26. { ( 6 , 3 ), ( - 3 , 4 ) , (0 , 3 ), ( 5 ,2 ) , (3 , 5 ), (2 , 5 ) } 28. { ( 3 , 5 ), (2 , 5 ) , ( 1 ,5 ) , ( 0 ,5 ) , ( - 1 , 5 ) } En los ejercicios 29 a 40, a) determine si la gráfica ilustrada representa unafunción; b) indique cuál es el dominio y cuál es el rango de cadafunción no relación; c) calcule el valor o valores de x en donde y = 2. 30. 4 - - 3 - - 4 - 3 - 2 - 1 M+ - 2 - 3 - 4 1 2 3 4 * 36. y. ■ i 3 - 2-- 1- - —I—h - 4 - 3 - 2 - 1 M - - - 2 - - - 3 - - - 4 -
- 202. 1 7 4• Capítulo 3 • Gráficas y funciones 40. Evalúe cada función en los valores indicados. 4h f ( x ) = - 2 x + 5; determine a) /(2 ). b) /( - 3 ) . 4Z f {a) = - a + 2; determine a) /(O). b) f ( - 6 ) . 43. h{x) = x2 - x - 6; determine a) /i(0). b) h ( - 1). 44. g(x) = - 2 x 2 + x + 2; determine =) «(2). b) g 45. r(l) = -<3 - 2l2 + t + 4; deter- mine a) r(l). b) r(— 2). g (') = 4 - 5t + I6í! - 2Í3; deter- mine a) 8(0)- b) 8(3). 47. /i(z) = |5 - 2z|; determine a) h{6). b) /.(f). 50. /( / ) = V 5 - 2í; determine a) / ( “ 2). b) /(2 ). 48. 9(x) = -2 |* + 3| - 3; determine 49. s(t) = V i + 2; determine a) ^(0). b) 9 (-4 ). x 3 - 2 51. g{x) = -------—; determine x - 2 a) g(0). b) g(2). a) s ( - 2). b) 5(7). 5Z /»(*) = x2 + 4x x + 6 ;determine a) M “ 3). b» *(f).
- 203. S e cción 3.2 • F u n cio n e s • 1 7 5 Resolución de problemas 53. Área de un rectángulo La fóimula para determinarel área de un rectángulo es A = Iw.Si la longitud de un rectángu lo es de 6 pies,entonces el área es una funciónde su ancho, A(w) = 6w.Determine el área cuando el ancho es a) 2 pies. b) 4.5 pies. 54. Interés simple La fórmula para calcular el interés simple generado durante un 1 año es i = pr, en donde p es el ca pital invertido y r es la tasa de interés simple. Sise invier ten $1000, el interés simple generado en un año es una función de la tasa de interés simple, i(r) = lOOOr. Deter mine el interés simple generado en un año si la tasa de interés es a) 3%. b) 4.25%. 55. Área de un circulo La fórmula para determinar el área de un círculo es A = iir2. El área es una función del radio. a) Escriba esta función en notación de funciones. b) Determine el área cuando el radio mide 10 yardas. 56. Perímetro de un cuadrado La fórmula para determinar el perímetro de un cuadrado es P = As,en donde s repre senta la longitud de cualquiera de los lados del cuadrado. a) Escriba esta función en notación de funciones. b) Determine el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 3 metros de longitud cada uno. 57. Temperatura La fórmula para convertir temperaturas en grados Fahrenheit a temperatura en grados Celsius es C = —( F - 32). La temperatura Celsius es una funciónde la temperatura Fahrenheit. a) Escriba esta función en notación de funciones. b) Determine la temperatura Celsius que corresponde a — 40°F. 58. Volumen de un cilindro La fórmula para determinar el volumen de un cilindro circular recto es V = ir^/j.Si la al tura, A,es de tres pies, entonces el volumen es una función del radio, r. a ) Escribaesta fóimula en notaciónde funciones,teniendo en cuenta que la altura del cilindro es de tres pies. b) Determine el volumen si el radio del cilindro es de dos pies. 59. Temperatura en un sauna La temperatura de un sauna (7) en grados Celsius, n minutos después de haberlo en cendido, está dada por la función T(n) = -0.03n2 + 1.5n + 14. Determine la temperatura del sauna después de a) 3 minutos. b) 12 minutos. 60. Distancia para detenerse La distancia en metros, d, nece saria para que un automóvil que viaja a v km/h se detenga, estádado por la función d{v) = 0.18v + 0.01v 2.Determine la distancia necesaria para que el auto se detenga si viaja a las velocidades siguientes: a) 50 km/h b) 25 km/h 6L Aire acondicionado Cuando un aparato de aire acondi cionado se enciende al máximo en una habitación que es tá a 80°,la temperatura, 7de la habitación después de A ninutos, puede calculaise por medio de la función T(A) = — 0.02A 2 - 0.344 + 80,0 < A < 15. a) Calcule la temperatura de la habitacióncuatro minutos después de que se encendió el aparato de aire acondi cionado. b) Calcule la temperatura de la habitación 12 minutos después de que se encendió el aparato de aire acondi cionado. 62. Accidentes Durante un mes,el númerode accidentes,n, en que intervienen conductores de x años de edad, puede cal cularse por medio de la función n(x) = 2x2- 150* + 4000. Determine el número aproximado de accidentes en que, durante un mes, intervienen conductores de a) 18 años. b) 25 años. 63. Naranjas El número total de naranjas, 7en una pirámi- cb cuadrada cuya base es de n porn naranjas, estádada por medio de la función T (n) = J " 3 + n 2 + n Determine el número total de naranjas, si la base es de a) 6 por 6 naranjas. b) 8 por 8 naranjas. 64 Concierto de rock Siel costo de un boleto para asistir a un conciertode rock se aumenta ax dólares,el aumento estima- cb en el ingreso, R,en miles de dólares estádado por medio de la función R(x) = 24 + 5x - ¿ , x < &Determine el au mento en los ingresos, si el costo del boleto se aumenta en a) $1. b) $4.
- 204. 1 7 6• Capítulo 3 • Gráficas y funciones Revise el ejemplo 5 antes de resolver los ejercicios 65 a 70. 65. Frecuencia cardiaca La siguiente gráfica muestra el ritmo cardiacode una persona mientrasestáhaciendoejercicio. Es criba una historia que pueda representarse con esta gráfica. 66. Nivel de agua La siguiente gráfica muestra el nivel de agua en un momento dado durante una inundación. Escri ba una historia que pueda representarse con esta gráfica. Tiempo (minutos) Tiempo (horas) 67. Altura sobre el nivel del mar La siguiente gráfica muestra la altura sobre el nivel del mar a lo largo de un periodo, cuando un hombre sale de su casa y va a caminar. Escriba una historia que pueda representare con esta gráfica. 68. Nivel de agua en una tina La siguiente gráfica mues tra el nivel de agua en una tina a lo largo de un periodo. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica. Tiempo (minutos) Tiempo (minutos) 69. Velocidad de un automóvil La siguiente gráfica muestra la velocidad de un automóvil a lo largo de cierto tiempo. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica. Tiempo (minutos) 70. Distancia recorrida Lasiguiente gráfica muestra la distan cia recorrida por una persona en un automóvil durante cierto tiempo. Escriba una historia que pueda represen tarse con esta gráfica. 3 5 0 - 310 300 250 200 150 1 5 0 / — * 150 100 5 0 - n 3 0 / U-i 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (horas)
- 205. Sección 3.2 •F u n cio n e s • 1 7 7 7L Venías de computadoras La siguiente gráfica muestra la cantidad de dinero que las empresas estadounidenses gas taron en la compra de computadoras y equipo relaciona do entre 1995 y 2000. Gasto en computadoras y equipo relacionado A ño Fílenle: Fortune,18 de diciembre d e 2000. a) ¿Esta gráfica representa una función? Explique. b) En esta gráfica,¿cuál es la variable independiente? c) Si/representa la función, determine /(2000). d) Determine el porcentajede aumentoen la cantidad que lasempresas estadounidenses gastaron en la compra de computadoras y equipo relacionado entre 1997 y 2000. 72. Exportación decomputadoras La siguiente gráfica mues tra la cantidad de dinero que Estados Unidos recibió por concepto de exportación de computadoras y equipo rela cionado, entre 1995 y 2000. Exportación de computadoras y equipo relacionado A ñ o Fiienie: Fortune, 18 d e diciembre d e 2000. a) ¿Esta gráfica representa una función? Explique. b) ¿Cuál es la variable independiente en esta gráfica? c) Si g representa la función, determine g(2000). d) Determine el porcentaje de aumento en la exportación efecomputadoras yequipo relacionadoentre 1998y 2000. 73. Déficit comercial La siguiente gráfica muestra que la im portación de productos chinos a Estados Unidos ha au mentado con rapidez, mientras que la importación de productos estadounidenses a China se ha elevado a una velocidad mucho más lenta. a) ¿La gráfica de importaciones de productos chinos a Estados Unidos representa una función? Explique. b) ¿La gráfica de importaciones de productos estadouni denses a China representa una función? Explique. c) ¿La gráfica de importaciones de productos chinos a Es tados Unidos parece más o menos lineal? Explique. d) ¿La gráfica de importaciones de productos estadouni denses a China parece más o menos lineal? Explique. e) Si/representa la funciónde importaciones de produc tos chinos a Estados Unidos y si t es el año,determine l si f(t) = $80 mil millones. f) Si g representa la funciónde importaciones de produc tos estadounidenses a China y si t es el año,determine t si g(t) = $18 mil millones. 74. Agencias de viaje en línea La cantidad total de reserva- dones para viajar (en miles de millones de dólares) que se realizan en Estados Unidos a través de Internet se mues tra en la siguiente gráfica de barras. Las reservaciones en línea han crecido rápido R eserv acio n es e n línea e n E sta d o s U nidos Fuente: Business W eek,11 de ju n io de 2001. • Estimación a) Trace una gráficade tíreasque muestre esta informacióa b) ¿La gráfica que trazó en la parte a) parece más o me nos lineal? Explique. A ñ o Fuente: N ew s»vek,26de abril d e 2001. Aumento en el déficit comercial estadounidense La im portaciónd e productos chinos a Estados U nidas ha aum en tado súbitam ente, m ientras q u e la im portaciónde productos estadounidenses a China lo ha hecho a un ritm o m ucho más lento:
- 206. 1 7 8• Capítulo 3 • Gráficas y funciones c) Suponiendo que esta tendencia continúa, calcule con baseen la gráficaque trazóquémonto alcanzarán las re servaciones realizadas a travésde Interneten el año2003. d) ¿La gráfica de barras representa una función? e) ¿La gráfica de líneas que trazóen la parte a) represen ta una función? 75. Publicidad en el Súper Tazón H precio promedio de un mensaje comercial de 30 segundos transmitido por televi- sióndurante el SúperTazónha aumentadoconelpasode los años. En la siguiente tabla se proporciona el costo aproxi mado de un comercial de 30 segundos en distintos años, entre 1981 y 2001. Año Costo (miles de dólares) 1981 280 1985 500 1989 740 1993 970 1997 1300 2001 2300 a) Trace una gráficade Ureasque muestre esta información. b) ¿La gráfica parece más o menos lineal? Explique. c) Con base en la gráfica, calcule el costo de un comer cial de 30 segundos en el año 2000. 76. Gasto fam iliar El promedio anual del gasto familiar es una funcióndel ingreso familiar promedio anual. El gasto promedio puede calcularse por medio de la función f (i ) = 0.6* + 5000 $3500 < i < $50,000 en donde f(i) es el gasto familiar promedio e / es el ingre sa familiar promedio. a) Trace una gráfica que muestre la relaciónentre el ingre sa familiar promedio y el gasto familiar promedio. b) Calcule el gasto familiar promedio para una familia con un ingreso promedio de $3 0 ,0 0 0 . 77. Oferta y demanda Elprecio de las mercancías (porejem plo,del maíz),se determina por medio de la oferta y la de manda. Sise produce demasiado maíz,la oferta será mayor que la demanda y el precio disminuirá; si no se produce suficiente maíz, la demanda será mayor que la oferta y el precio aumentará. Por lo tanto, el precio del maíz es una función del número de búshels (medida inglesa de capa cidad que se utiliza para granos) de maíz producidos. El precio de un búáiel de maíz puede estimarse por medio de la función f ( Q ) = -0.00004£ + 4.25, 10,000 < Q < 60,000 en donde f (Q) es el precio de un búshel de maíz y Q es el número anual de búshels de maíz producidos. a) Trace una gráfica que muestre la relación entre el nú mero de búshels de maíz producidos y el precio por búshel. b) Calcule el costo de un búshel de maíz, si se producen 4 0 ,0 0 0 búáiels de maíz en un año dado. Actividad en equipo En muchas situaciones de la vida real,para representar un problemapuede ser necesario utilizar más de unafunción. Con frecuencia esto ocurre en aquellas situaciones en que intervienen dos o más tasas diferentes. Pbr ejemplo, cuando hablamos del temafiscal, sabe mos que hay diferentes tasas de impuestos. Cuando se utilizan dos o más funciones para representar un problema, la función se de nominafunción definidapor partes. A continuación se dan dos ejemplos defunciones definidas porpartes, incluyendo sus gráficas. f ( x ) = - x + 2, 2x - 10, Grafiquen en equipo las siguientesfunciones definidas por partes.
- 207. Ejercicios de repasoacumulativo Sección 3.3 • F u n cio n e s lineales: gráficas y aplicaciones * 1 7 9 [2.1] 80. Resuelva la ecuación 3x - 2 = ~ ( 3x - 3). [2.2] 81. Despeje p2de la siguiente fórmula. E = a ,p , + a2p2 + a3p3 [2.5] 82. Resuelva la desigualdad y (x - 3) > y (3 - x) e indique la solución a) en la recta numérica; b) en notación de intervalos, y c) en notación de cons trucciónde conjuntos. x - 4 [2.6] 83. Resuelva la ecuación + 2 = 4. 3 . 3 F U N C I O N E S L IN E A L E S : G R Á F IC A S Y A P L IC A C IO N E S 1 Graficar funciones lineales. 2 Graficar funciones lineales usando las intersecciones. 3 Graficar ecuaciones con la form a x = a y y = b . A Analizar aplicaciones de funciones. 5 Ftesolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una variable. 1 G ra fic a r fu n c io n e s lineales E n la sección 3.1 graficamos ecuaciones lineales. Para graficar la ecuación lineal y = 2x + 4, podem os construir una tabla d e valores, determ inar los puntos y trazar la gráfica, com o se m uestra en la figura 3.32. O bserve q u e está gráfica representa una función, ya q u e pasa la prueba d e la recta vertical. X y -2 0 0 4 1 6 FIGURA 3.32 1— 1_ _ ______|_ _ L ¿. 5 A l y = 7 x + 4 •t ................................ / i « - 5 - 4 - 3 - A ~ 1 _ , 2 3 $ ♦ / i jF * 2 ■/ 3 “ / —A i i _c / / - 6 / Utilizando la notación d e fundones, podem os escribir la ecuación q u e se grafi- có en la figura 3.32 com o /( * ) = 2x + 4. É ste es un ejem plo d e una fiinción lineal, es decir, una función con la form a f ( x ) = ax + b. A l graficar cualquier función lineal, se obtiene una línea recta. El dom inio d e todas las funciones lineales es el conjunto d e nú m eros reales p ara los q u e la fu n d ó n es un núm ero real; p o r lo tanto, el dom inio de cualquier función lineal es el conjunto d e todos los núm eros reales, IR: al sustituir x con cualquier núm ero real en una función lineal, resultará q u e f ( x ) es un núm ero real. Estudiarem os con más profundidad el tem a dom inios d e funciones en la sección 3.6. Para graficar una función lineal, tratam os a f ( x ) com o si fuera y y seguimos el mismo procedim iento utilizado p a ra graficar ecuaciones lineales.
- 208. 1 8 0• C apítulo 3 • Gráficas y funciones E J E M P L O 1 G rafique f ( x ) = j x - 1. Solución C onstruim os una tabla d e valores sustituyendo valores p ara x y determ inando los valores correspondientes d e f ( x ) (o y). Luego determ inam os los puntos y trazam os la gráfica, com o se ilustra en la figura 3.33. Observe q u e el eje vertical d e la figura 3.33 tam bién puede denom inarse /(* ), en lugar d e y, aunque en este libro continuarem os llam ándolo y. 2 Graficar funciones lineales usando las intersecciones Las ecuaciones lineales no siem pre tienen la form a y = ax + b. L a ecuación l x + 3y = 6 es un ejem plo d e un ecuación lineal con una form a general. DEFINICIÓN L a form a general de una ecuación lineal es a x + b y = c en donde a, b y c son núm eros reales, y a y b son distintos d e cero. E je m p lo s d e e c u a c i o n e s lin e a le s e n la f o r m a g e n e r a l AHORARESUELVAELEJERCICI013 2 x + 3 y = 4 ~ x + 5 y = ~ 2 A lgunas veces, cuando una ecuación está dad a en la form a general, puede ser más fácil trazar la gráfica usando las intersecciones con el eje x y con el eje y. Exam ine los d o s puntos en la gráfica q u e se m uestra en la figura 3.32. O bserve q u e la gráfica cruza el eje x en el punto ( - 2 ,0 ) . Por lo tanto, ( - 2 ,0 ) se denom ina intercepción x o intersección con el eje x. E n ocasiones decim os q u e la intersección con el eje a: está en - 2, la coordenada x del p ar ordenado. La gráfica cruza el eje y en el punto (0,4). Por consiguiente, (0,4) se denom ina intercepción y o intersección con el eje y. E n ocasiones decim os q u e la intersección con el eje y está en 4, la coordenada y del p ar ordenado. A continuación se explica cóm o las intersecciones con el eje a:y con el eje y pue d en determ inarse d e m anera algebraica. P a ra d e te rm in a r la s In te rs e c c io n e s c o n e l e je xy c o n e l e je y Para determinar la intersección con el eje y , determine a: = Oy despeje y . Para determinar la intersección con el eje a :, determine y = Oy despeje x.
- 209. S ección 3.3 • F u n cio n e s lineales: gráficas y aplicaciones * 1 8 1 E J E M P L O 2 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO23 E J E M P L O 3 Solución Para graficar una ecuación lineal utilizando las intersecciones del eje a : y el eje y, prim ero encontram os las intercepciones y trazam os los puntos, para después dibu jar una línea recta q u e pase p o r ellos. D ebe ser muy cuidadoso cuando grafique ecua ciones lineales p o r medio de las intersecciones. Si traza erróneam ente alguno d e sus puntos, su gráfica será incorrecta. G rafique la ecuación 5x = lOy - 20 trazando las intersecciones del eje x y del eje y. P ara localizar la intersección del eje y (el punto en donde la gráfica cruza el eje y), determ ine x = 0 y despeje y. 5 x = 10y - 20 5(0) = lO y - 20 0 = lO y - 20 20 = lOy 2 = y L a gráfica cruza el eje y e n y = 2. E l p a r ordenado q u e representa la intersección y es (0, 2 ). Para localizar la intersección del eje x (el punto en donde la gráfica cruza el eje *), determ ine y = 0 y despeje x. 5 x = lO y - 20 5* = 10(0) - 20 5* = - 2 0 x = - 4 La gráfica cruza el eje x en x = - 4 . E l p a r ordenado q u e representa la inter sección del eje x es ( - 4 ,0 ) . A hora trace las intercepciones y dibuje la gráfica (vea la figura 3.34). G rafique f ( x ) = - —x - 1 por medio d e las intersecciones del eje x y del eje y. TVate a f ( x ) com o si fuera y. Para localizar la intersección del eje y, determ ine a: = 0 y despeje / ( a). f ( x ) = - x - l f(*) = - j ( 0 ) - 1 = - 1 L a intersección del eje y es (0, -1 ).
- 210. 1 8 2• C apítulo 3 • Gráficas y funciones AHORARESUELVAELEJERCICIO17 E J E M P L O 4 Solución Para determ inar la intersección del eje x>determ ine / ( x) = 0 y despeje x. / W = - 3 * - 1 0 = - - X - 1 3 (0) = 3 ^ —~ X ~ 1 ^ Multiplique ambos lados por 3. 0 = - x - 3 x = - 3 Propiedad distributiva. Sume x en ambos lados. La intersección del eje x es ( - 3 ,0 ) . L a gráfica se m uestra en la figura 3.35. Las gráficas d e la form a ax + by = 0 pasan p o r el origen y tienen la misma inter sección en los ejes Xy y, (0,0). Para graficar tales ecuaciones podem os usar la intersec ción com o un punto, sustituir valores p ara x y determ inar los valores correspondientes d e y para obtener otros puntos en la gráfica. G rafique - 6 x + 4y = 0. Si sustituim os x = 0, encontram os q u e y = 0. Por lo tanto, la gráfica pasa a través del origen. Seleccionarem os x = - 2 y x = 2,y sustituimos estos valores en la ecuación, uno a la vez, p ara determ inar otros dos puntos en la gráfica. Sea x = - 2 . - 6 x + 4 y = 0 — 6 ( — 2 ) + 4 y = 0 12 + 4 y = 0 4 y = - 1 2 y = - 3 pares ordenados: ( - 2 , - 3 ) Sea x = 2. - 6 x + 4 y = 0 - 6 ( 2 ) + 4 y = 0 - 1 2 + 4 y = 0 4 y = 12 y = 3 (2 ,3 ) Hem os encontrado otros dos puntos en la gráfica: ( - 2 , - 3 ) y (2,3). L a gráfica d e - 6 x + 4y = 0 se m uestra en la figura 3.36.
- 211. Sección 3 .3• F u n cio n e s lineales: gráficas y aplicaciones • 1 8 3 AHORARESUELVAELEJERCICIO35 FIGURA 3.36 C ó m o utilizar su ca lcu la d o ra g ra fica d o ra E n ocasiones puede ser difícil calcular con precisión las intersecciones d e una gráfica. C uando esto ocurra, puede utilizar una calculadora graficadora; a continuación se m uestra cómo. E J E M P L O D eterm ine las intersecciones d e los ejes a: y y d e la gráfica d e y = 3 ( x - 3.2). S o lu c ió n Presione la tecla Y = G R A P H y luego asigne el valor 3 { x - 3.2) a y. Luego presione la tecla p ara graficar la función y x = 1.3(* - 3.2), com o se m uestra en la figura 3.37a. Puede ser difícil determ inar las intersecciones a partir d e la gráfica. U na m anera d e lograrlo consiste en uti lizar la característica T R A C E ,que fue analizada en la sección3.1. L a figura 3.37b m uestra la pantalla d e una T I-8 3 Plus después d e presionar la tecla T R A C E O bserve q u e la intersección del eje y está en -4.16. FIGURA 3.37a FIGURA 3.37b A lgunas calculadoras graficadoras son capaces d e determ inar las intersecciones del eje * d e una función, con tal sólo presionar unas cuantas teclas. U n cero (o raíz) d e una función es un valor d e x tal q u e f ( x ) = 0. U n cero (o raíz) d e una función, es la coordenada x d e la intersección del eje x d e la gráfica d e la función. L ea el m anual d e su calculadora p ara aprender cóm o determ inar los ceros o raíces d e una función. E n la T I -8 3 Plus se deben presionar las teclas ¡2a* *[ T R A C E p ara obtener el m enú CA LC (calcular). Luego hay q u e seleccionar la opción 2 , zero, entonces, la calculadora m ostrará Left bound? E n esto m om ento, se d eb e m over el cursor a lo largo d e la curva hasta q u e esté a la izquierda del cero, y presionar | E N T E R [.A h o ra la calculadora m ostrará R ight bound? E n ese m om ento hay q u e m over el cursor a lo largo d e la curva hasta q u e esté a la derecha del cero, y presionar E N T E R . A hora la calculadora m ostrará Guess? Se deberá presionar E N T E R p o r tercera vez p ara q u e aparezca el cero en la parte inferior d e la pantalla, com o se m uestra en la figura 3.38. Así, la intersección del eje x d e la función está e n 3.2. P ara practicar la localización d e intersecciones en su calculadora, resuelva los ejercicios 69 a 72. Z4K0 S X=3.2 X - . 0 FIGURA 3.38
- 212. 184. • Ca p ítu lo 3 • G rá fica s y fu n c io n e s 3 Graficar ecuaciones con la forma x = a y y = b Los ejem plos 5 y 6 ilustran cóm o se grafican las ecuaciones con la form a x = a y y = b yen donde a y b son constantes. E J E M P L O 5 G rafique la ecuación y = 3. S o l u c ¡Ó n Esta ecuación puede escribirse com o y = 3 + 0 * . Así,para cualquier valor seleccionado d e a:, y es 3. L a gráfica d e y = 3 se ilustra en la figura 3.39. H y ---- A ■ f y = 3 — — í-7- Z 1 l 5 - 4 - : - 2 - 1 , . 1 2 3 4 5 1 — ? Z — --» — — A- ■ t -.4. FIGURA 3.39 y 5 3 * 1 J O z 1 - - -< - 2 _ X — O * - -A -S 3 FIGURA 3.40 La graficación de cualquier ecuación con la forma y = b siempre dará por resultado una línea horizontal para cualquier número real b. O bserve q u e la gráfica d e y = 3 es una función, ya q u e pasa la prueba d e la rec ta vertical. Para cada valor seleccionado d e x, el valor d e y, o valor d e la función, es 3. É ste es un ejem plo d e una función constante. Podem os escribir f ( x ) = 3 Cualquier ecuación con la form a y = b o f ( x ) = b, en donde b representa una cons tante, es una función constante. E J E M P L O 6 G rafique la ecuación* = - 2. S o l u c i ó n Esta ecuación puede escribirse com o x = - 2 + Oy. Por lo tanto, para cada valor seleccionado d e y, * tendrá un valor d e - 2 (figura 3.40). # La graficación de cualquier ecuacióncon la forma x = a dará siempre por resultado una rec ta vertical para cualquier número real a. O bserve q u e la gráfica d e * = - 2 no representa una función, ya q u e no pasa la prueba d e la recta vertical. P ara x = - 2 hay más d e un valor d e y. D e hecho, cuando AHORARESUELVAELEJERCICIO41 * = - 2 , hay un núm ero infinito d e valores p ara y. 4 Analizar aplicaciones de funciones C on frecuencia las gráficas se utilizan p ara m ostrar la relación en tre variables. No es indispensable q u e los ejes d e una gráfica se etiqueten siem pre com o * y y; puede d e signárseles con cualquier variable, com o en el siguiente ejemplo. E J E M P L O 7 Utilidades L a utilidad a n u a l,p ,d e una tienda d e neum áticos puede calcularse por medio d e la función p(n) = 20n - 30,000,en donde n es el núm ero d e neum áticos ven didos p o r año. a) Trace una gráfica d e la utilidad en relación con la venta d e hasta 6000 neumáticos. b) Calcule el núm ero d e neum áticos q u e deben venderse p a ra q u e la com pañía no pierda ni gane (punto d e equilibrio). c) Calcule el número d e neumáticos vendidos si la com pañía tiene un utilidad de $40,000. Solución a) E n tie n d a e l p r o b le m a La utilidad,p, es una función del núm ero d e neum á ticos vendidos, n. Por lo tanto, el eje horizontal será N úm ero d e neum áticos vendidos (la variable independiente), y el eje vertical será U tilidad (la variable dependiente). Com o el número mínimo d e neum áticos q u e pueden venderse es 0,no es necesario lis tar valores negativos en el eje horizontal. Por consiguiente, el eje horizontal irá d e 0 a 6000 neumáticos.
- 213. Sección 3 .3• F u n cio n e s lineales: gráficas y aplicaciones • 1 8 5 E J E M P L O 8 s m 0 200 10,000 1200 20,000 2200 Solución m(s) = 200 + O.lQs 5 10 15 20 s Ventas (milesde dólares) FIGURA 3.42 AHO R A RESUELVA EL EJER CICIO 53 Graficarem os esta ecuación determ inando y trazando las intersecciones. T ra d u z c a y rea lice lo s c á lc u lo s Para localizar la intersección p , determ inarem os n = 0 y despejarem osp(n). p { n) = 20n - 30,000 p ( n ) = 20(0) - 30,000 = -3 0 ,0 0 0 Por lo tanto, la intersección p es (0, -30,000). Para localizar la intersección n, determ inam osp ( n) = 0 y despejam os n. p ( n ) = 20n - 30,000 0 = 20n - 30,000 30,000 = 20n 1500 = n Por lo tanto, la intersección n es (1500,0). R e s p o n d a A hora utilizarem os las intersecciones p y n p ara trazar la gráfica (vea la figura 3.41). b) E l punto d e equilibrio es el núm ero d e neum áticos q u e la em presa deb e vender para no tener ganancias ni pérdidas. E n la gráfica, este punto se d a en donde la gráfi ca intersecta al eje n , en este caso, e n donde la utilidad,p, es 0. Para alcanzar el punto d e equilibrio deben venderse aproxim adam ente 1500 neumáticos. c) Para tener una utilidad d e $40,000, deben venderse aproxim adam ente 3500 neu máticos, tal com o ilustra la línea punteada en la gráfica de la figura 3.41. Algunas veces es difícil obtener una respuesta exacta a partir d e una gráfica. E n el ejem plo 7,p ara determ inar el número exacto de neumáticos que se debe vender para alcanzar el punto d e equilibrio,sustituya p{ri) p o r 0 en la función p ( n ) = 20n - 30,000 y despeje n .P ara determ inar el número exacto d e neumáticos q u e se deb e vender p ara obtener una utilidad d e $40,000, sustituya p( n) p o r 40,000 y despeje n. Ventas en una juguetería A ndrés Fernández es propietario d e una juguetería, y se ha fijado un salario m ensual d e $200 más 10% d e las ventas. a) Escriba una función q u e exprese su salario m ensual, m yen relación con las ventas d e la tienda, s. b) TVace una gráfica d e su salario m ensual p ara ventas d e $20,000 y superiores. c) Si en abril las ventas d e la tienda fueron d e $15,000, ¿cuál será el salario d e A ndrés en ese mes? a) E l salario m ensual d e A ndrés es una función d e las ventas. Su salario m ensual, m , es de $200 más 10% de las ventas, s. E n decimales, 10% d e s es O.lOs. Asíque la función para determ inar el salario d e A ndrés es m ( s ) = 200 + O.lQs b) Com o el salario m ensual es una función d e las ventas, Ventas estará representado en el eje horizontal y Salario m ensual estará representado en el eje vertical. D ado que las ventas no pueden ser negativas,el salario m ensual tampoco. Por lo tanto, am bos ejes tom arán en cuenta sólo núm eros positivos. Para trazar esta gráfica com enzarem os por determ inar los puntos. Seleccionarem os valores p ara s, determ inarem os los valores correspondientes d e m , y luego trazarem os la gráfica. Para s podem os seleccionar va lores entre $0 y $20,000 (vea la figura 3.42). c) Al interpretar cuidadosam ente nuestra gráfica, podem os calcular que, cuando las ventas d e la tienda son d e $15,000, el salario m ensual d e A ndrés es d e más o menos $1700. # Número de neumáticos vendidos (miles) FIGURA 3.41 p ( n ) = 2 0 n - 30,000
- 214. 1 8 6• C apítulo 3 • Gráficas y funciones M atem áticas en a c c ió n Contam inación atmosférica La relación entre la contam inación y el aum ento d e en ferm edades respiratorias y cardiopulm onares se ha he cho másevidente en los últimos años. L a gente q u e vive en áreas urbanas con altos niveles d e contam inación tienen un m ayor riesgo d e m uerte q u e aquellas q u e vi ven en ciudades con m enos contam inación. Los conta m inantes relacionados m ás directam ente con el aum ento d e la incidencia d e enferm edades y muertes incluyen el ozono,partículas suspendidas, monóxido de carbono,dióxido d e azufre,com puestos orgánicos volá tiles y óxidos d e nitrógeno. Las partículas — m ateria suspendida en el aire— con los rangos m ás bajos en d iám etro (10 m ieras o m enos) se denom inan partículas finas,y son capaces de pasar a través del sistem a d e filtración natural d e la na riz y d e la garganta, llegando a penetrar profundam en te en los pulm ones y causando serios daños. E n el este de Estados Unidos,el porcentaje másgrande d e partícu las finas son los aerosoles d e sulfato q u e provienen del dióxido d e azufre producido p o r la com bustión d e car bono y petróleo. Los aerosoles d e nitrato,q u e constitu yen alrededor d e una te rc era p arte d e las partículas finas e n la atm ósfera d e Los Ángeles, provienen d e las em isiones d e vehículos automotrices. U n estudio realizado durante 16 años p o r inves tigadores d e la universidad d e H arvard en seis ciudades, llevó un registro d e la salud d e más d e 8,000 perso nas. Los resultados, publicados en 1993, m ostraron una relación casi lineal en tre las concentraciones d e partícu las y el aum ento d e las tasas d e m ortalidad; incluso nive les relativam ente bajos d e contam inación p o r partículas finas tuvieron un efecto m edible en la salud. Las investigaciones q u e correlacionan las enfer m edades y la m ortalidad con factores causales com o la contam inación atm osférica en todas sus form as, brin dan inform ación d e gran im portancia p ara el público y p ara los legisladores, cuando se form ulan leyes p ara li m itar las em isiones d e los autom óviles y d e la indus tria. U na gráfica q u e m uestre una línea recta,en esencia está relacionando miles d e m uertes con toneladas de partículas e n el aire, enviando un m ensaje m uy difí cil d e ignorar. 5 R e s o lv e r d e m a n e ra g rá fic a e c u a c io n e s lineales c o n u n a v a ria b le E n una sección anterior analizam os la graficación d e /( * ) = 2x + 4. E n la figura 3.43 se ilustran las gráficas d e f ( x ) y d e g(x) = 0. O bserve que, en las dos gráficas, la recta intersecta el punto (-2 ,0 ). Podem os obtener la coordenada x del p ar ordenado resol viendo la ecuación / ( * ) = g(x). R ecuerde q u e tanto f ( x ) com o g(x) representan a y, y despejando x de esta ecuación obtendrem os el valor d e x en donde las y son iguales. f ( x ) = g ( x ) 2 x + 4 = 0 2 x = - 4 x = - 2 O bserve q u e obtenem os - 2 , la coordenada x del p ar ordenado en el punto d e inter sección. A hora localicem os la coordenada x del punto en donde las gráficas d e /( * ) = 2* + 4 y g(*) = 2 se intersectan. Prim ero resolvemos la ecuación f ( x ) = g(x). f ( x ) = g ( x ) 2 x + 4 = 2 2 x = - 2 x = - 1
- 215. Sección 3 .3• F u n cio n e s lineales: gráficas y aplicaciones * 1 8 7 y 6 - 5 - / 2 - i W - o / 1 - ^T + II -a _ 1 _ _______ 1 _ _ 1 _ _ - 6 - 5 - 4 - i p . - l j 1 2 3 4 5 6 / - 2 J -3_ FIGURA 3.43 y 6 5 - 4 , g(x) = 2 / J f ( x ) = 2 t+ 4 - 6 - 5 - 4 - 3 / 2 -1 .J 1 2 3 4 5 6 X / ~2~ I _3~ FIGURA 3.44 La coordenada x del punto d e intersección d e las dos gráficas es - 1 , com o se mues tra en la figura 3.44. O bserve q u e / ( —1) = 2 ( - l ) + 4 = 2. En general, si se nos d a una ecuación en una variable, podem os considerar cada lado d e la ecuación com o una función separada. Para obtener la solución, podem os graficar las dos funciones. L a coordenada x del punto d e intersección será la solución d e la ecuación. EJ E M PLO 9 D eterm ine gráficamente la solución d e la ecuación 3x + 2 = 4x - 4. Solución Sea /( * ) = 3x + 2 y g(x) = 4x - 4. L a gráfica d e estas funciones se ilustra en la figura 3.45. L a coordenada x del punto d e intersección es 6. Por lo tanto, AHORARESUELVAELEJERCICIO65 la solución d e la ecuación es 6. C om pruébela. # C ó m o utilizar su ca lcu la d o ra g ra fica d o ra E n el ejem plo 9 resolvimos una ecuación en una variable p o r medio d e la graficación d e dos funciones. E n el siguiente ejem plo se explica cóm o determ inar el punto d e intersección d e dos funciones en una calculadora gra ficadora. E JE M P L O Utilice una calculadora graficadora p ara determ inar la solución d e 2 ( x + 3 ) = —x + 4. 1 S o lu c ió n A signe el valor 2(x + 3) a Y xy el valor —x + 4 a Y2p ara obtener Y, = 2 ( x + 3) Y , = - x + 4 l*'*' 1■/. 1 A hora presione la tecla |G R A P H p ara graficar las funciones. L a gráfica d e las funciones se m uestra en la figura 3.46. Exam inando la gráfica, ¿puede determ inar la coordenada * del punto d e inter sección? ¿E s - 1 , -1 .5 o algún o tro valor? Podem os determ inar el punto d e intersec ción d e varias maneras. U na d e ellas consiste en utilizar las características T R A C E y Z O O M d e su calculadora. L a figura 3.47 m uestra la ventana d e una T I-8 3 Plus d es pués d e utilizar la característica T R A C E y m over el cursor hasta un punto m uy cer cano al punto d e intersección. (Para cam biar d e una función a o tra puede presionar las teclas d e flecha hacia arriba y hacia abajo). FIGURA 3.46 Y1=2(K*3) ' ‘ y 1' X=-1.276596 Y=3.HH6B0B5 FIGURA 3.47 FIGURA 3.45 (continúa en la página siguiente)
- 216. 1 8 8• C apítulo 3 • Gráficas y funciones E n la p arte inferior d e la pantalla d e la figura 3.47, vem os las coordenadas x y y junto al cursor. Para obtener una vista más cercana alrededor del área del cursor, podem os realizar un acercamiento (zoom in) por medio d e la tecla Z O O M . Después d e hacerlo puede acercar más el cursor al punto d e intersección para obtener una mejor lectura (vea la figura 3.48). Puede hacer esto una y o tra vez hasta lograr tanta precisión com o necesite para su res puesta. D e acuerdo con la figura 3.48, aparentem ente la coordenada x de la intersección está m ás o m enos en -1.33. Utilizando ciertas teclas, las calculadoras graficadoras tam bién pueden m ostrar la intersección d e dos gráfi cas . D epende d e su calculadora q u é teclas deberá presionar; lea el m anual p ara saberlo. Por lo general este p ro cedim iento es el m ás rápido y fácil p ara determ inar el punto d e intersección d e dos gráficas. IH =-1.3£97B 7 V =5.30fiSSlfi FIGURA 3.48 ' * > ' ' I n t 4 r s 4 C t i o n X = - 1 . 3 3 3 3 3 3 5 ! _ FIGURA 3.49 E n la T I-8 3 Plus, seleccione la opción 5:IN 1E R SE C T del m enú CA LC p ara determ inar la intersección. U na vez q u e haya seleccionado la característica IN TERSECT, la calculadora m ostrará First curve? E n ese m om ento, m ueva el cursor a lo largo d e la prim era línea hasta q u e esté cerca del punto d e intersección. Luego presione la tecla | E N T E R . A hora la calculadora m ostrará Second curve? El cursor aparecerá entonces en la segunda línea. Si el cursor no está cerca del punto d e intersección, muévalo a lo largo d e esta línea hasta colocarlo ahí. A hora presione E N T E R . A continuación la calculadora m ostrará Guess? Presione E N T E R o tra vez; el punto d e intersección aparecerá en la pantalla. La figura 3.49 muestra la ventana después d e que se ha realizado este procedimiento. Vemos que la coordenada x del punto d e intersección es -1 .3 3 3 ... o - l | , y que la coordenada y cfel punto d e intersección es 3.333... o 3 j. Para practicar el uso d e una calculadora graficadora en la resolución d e ecuaciones en una variable, resuel va los ejercicios 65 a 68. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 3 . 3 Ejercicios conceptuales L ¿Cuál es la forma general de un ecuación lineal? 2. Si le dan una ecuación lineal en forma general y desea escribirla por medio de notación de funciones, ¿cómo lo haría? 3. Explique cómo localizar las intersecciones de los ejes x y y en la gráfica de una ecuación. 4 ¿Qué términos utiliza una calculadora graficadora para in dicar la intersección del eje *? 5. ¿Cómo es la gráficaque se obtiene de x = a para cualquier número real a? 6. ¿Cómo es la gráfica que se obtiene de y = b para cual quier número real bl 7. ¿Cómo es la gráfica que se obtiene de f(x) = b para cual quier número real bl 8. ¿La gráfica de x = a es una función? Explique. 9. Explique cómo resolvergráficamente una ecuación en una variable. 10. Explique cómo resolver gráficamente la ecuación 2(x - 1) = 3* - 5.
- 217. Sección 3 .3• F u n cio n e s lineales: gráficas y aplicaciones • 1 8 9 Problemas de aplicación Escriba cada ecuación en la forma general, l h y = —2x + 4 13. 3(* - 2) = 4(y - 5) 12. 2x = 3y - 6 14 - y = 2(* - 3) + 4 Grafique cada ecuaciónpor medio de las intersecciones de los ejes x y y. 15. y = - 2x + 4 19. 2y = 4x + 6 23. 15* + 30y = 60 27. 120* - 360y = 720 Grafique cada ecuación. 3L y = -2 * 35. 2* + 4y = 0 Grafique cada ecuación. 39. y = 4 43. y = -1.5 47. * = 0 16. y = * - 5 20. * + 2y = 4 24. 0.2* - 0.3y = 1.2 28. 125 = 25* - 25y 32. y = 2 X 36. -6 * + 3y = 0 40. * = 4 44. /( * ) = - 3 48. * = -3.25 17. /( * ) = 2* + 3 2L f x =y - 3 25. 0.25* + 0.50y = 1.00 29. x + y = 12 33. /( * ) = - * 37. 4* - 6y = 0 41. 45. * = - 4 5 X = 2 18. /( * ) - -6 * + 5 22. x + 2y = 4 26. — 1.6y = 0.4* + 9.6 3°. i * + I y = - 1 3 4 g(x) = 4* 38. 15* + 5y = 0 42. y = - 4 46. g(x) = 0 Resolución de problemas 49. Distancia Por medio de la fórmula de distancia distancia = velocidad • tiempo, o d = rt trace una gráfica de distancia contra tiempo para una ve locidad constante de 30 millas por hora. 50. Interés simple Por medio de la fórmula interés simple interés = capital • tasa • tiempo, o i = prt trace una gráfica de interés contra tiempo para un capital de $500y una tasa de 3%. 51. Utilidades La utilidad de un fabricante de bicicletas puede calcularse por medio de la funciónp(x) = 60* - 80,000,en donde * es el número de bicicletas producidas y vendidas. a) Trace una gráfica de utilidad contra el número de bici cletas vendidas (hasta 5000). b) Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía alcance el punto de equilibrio. c) Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía tenga una utilidad de $150,000. 52. Costo de operación de un taxi El costo semanal de ope ración del taxi de Raúl López es de $75 más 15 centavos por milla. a) Escriba una función que exprese el costo semanal de Raúl, c, en términos del número de millas,m. b) Trace una gráfica que ilustre el costo semanal contra el número de millas, hasta 200, recorridas por semana. c) Sidurante una semana Raúlconduce el taxi 150 millas, ¿cuál sería su costo? d) ¿Cuántas millas tendría que conducir Raúl para que su costo semanal fuese de $147? 53. Salario máscomisión Elsalario semanal deJimenaOlguín es de $500 más 15% de comisión sobre sus ventas sema nales. a) Escriba una funciónque exprese el salario semanal de Jimena, s,en términos de sus ventas semanales,*. b) Trace una gráfica del salario semanal de Jimena contra sus ventas semanales (hasta $5000). c) ¿Cuáles el salario semanal de Jimena si sus ventas son de $2500? d) Si en una semana Jimena recibe $1025 de salario, ¿de cuánto fueron sus ventas? 54 Salario máscomisión Luisa Pineda, una agente de bienes raíces, gana $150 por semana más 1% de comisión sobre la venta de cada propiedad. a) Escriba una función que exprese su salario semanal, s, en términos de las ventas,*.
- 218. 1 9 0• C apítulo 3 • Gráficas y funciones 55. Peso La siguiente gráfica muestra el peso, en kilogramos, de un grupo de niñas (de hasta 36 meses de edad) contra su estatura, en centímetros. La línea más gruesa representa el peso promedio de todas las niñas de la estatura dada, y las líneas más delgadas representan los límites superior e hferior del rango normal. O ecim iento físico de un grupo de niñas (desde recién nacidas hasta los 36 meses de edad) Crecimiento lineal ($10cada año en su alcancía) 20 30 40 50 60 Años i . i i i i 1 1 1 1 . 11 i t . . i i i . 1111. 1 1 1 1 . 1 1 i 1 . : 111 . i 11 1. 1111.. 1111J 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 Estatura (centímetros) Fuente: C entro N acional d e Estadísticas d e Salu d d e Estados Unidos. a) Explique por qué la línea gruesa representa una función. b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la varia ble dependiente? c) ¿La gráfica del peso contra la estatura es más o menos lineal? d) ¿Cuál es el peso, en kilogramos, de la niña promedio con una estatura de 85 centímetros? e) ¿Cuál es la altura, en centímetros, de la niña promedio con un peso de 7 kilogramos? f) ¿Qué rango de peso se considera normal para una ni ña de 95 centímetros de estatura? g) ¿Qué le sucede al rango normal conforme aumenta la estatura? ¿Esto es lo esperaba que sucediera? Ex plique. 56. Interés compuesto La siguiente gráfica ilustra el efecto del interés compuesto. 57. 58. f i 59. 60. 6L 61 Si un niñoguarda en su alcancía $10 cada año,sus ahorros crecerán linealmente, como muestra la línea inferior. Si, alcumplirdiez años el niño invierte$100 en una cuenta con un interés compuesto de 7% anual, sus ahorros crecerán de manera exponencial. a) Explique porqué ambas gráficas representan funciones. b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuáles la varia ble dependiente? c) ft>r medio de la curva de crecimiento lineal, determi ne cuánto tiempo necesitaría el niño para ahorrar $600. d) R»rmediode lacurvade crecimientoexponencial,lacual inicia en el año 10, determine ¿cuánto tiempo después de abrir la cuenta los ahorros del niño llegarían a $600? e) A partir del año 20 ¿cuánto tiempo pasaría para que el dinero se duplicara si creciera a una tasa lineal? f) A partir del año 20 ¿cuánto tiempo pasaría para que el dinero se duplicara si creciera a una tasa exponencial? (Analizaremos con más detalle el crecimiento expo nencial en el capítulo 9). ¿Cuándo, si sucede, las intersecciones de los ejes x y y de una gráfica serán iguales? Explique. Escriba dos funciones lineales cuyas intersecciones de los ejes x y y sean (0,0). Escriba una función cuya gráfica no tenga intersección del eje x, pero sí intersección del eje y en (0,4). Escriba una ecuación cuya gráfica no tenga intersección del eje y,pero sí intersección del eje x en - 2. Si las intersecciones de los ejes x y y de una función lineal están en 1 y -3 , respectivamente, ¿cuáles serán las nue vas intersecciones de los ejes x y y si la gráfica se mueve (o traslada) tres unidades hacia arriba? Si las intersecciones de los ejes * y y de una función lineal son -1 y 3, respectivamente, ¿cuáles serán las nuevas in tersecciones de los ejes x y y,si la gráfica se mueve (o tras lada) cuatro unidades hacia abajo? b) Trace una gráfica de su salario contra sus ventas sema nales (hasta de $100,000). c) Si Luisa vende cada semana una propiedad con valor de $80,000, ¿cuál será su salario semanal? Crecimiento exponencial ($1000 invertidosa 7% de interés anual) En los ejercicios 63 y 64 se dan dos pares ordenados que son las intersecciones de los ejes x y y de una gráfica, a) Tracelos puntos y dibuje una línea para unirlos, b) Determine el cambio en y o cambio vertical, entre las intersecciones, c) Determine el cambio en x, o cambio horizontal, entre las intersecciones, d) Determine la razón del cambio vertical al cambio horizontal entre estos dos puntos. ¿Sabe lo que representa esta razón? (Estudiaremos esto con más detalle en la sección 3.4.) 63. (0.2) y (-4 .0 ) 64. (3, 5) y ( - 1 , - 1 )
- 219. Sección 3 .4• L a fo rm a pendiente intersección de u n a e cu a ció n lineal • 1 9 1 Despeje x en cada ecuación como se hizo en el ejemplo 9. Si cuenta con ella, utilice una calculadora graficadora;de lo contrario trace la gráfica usted mismo. 65. 3* + 2 = 2x + 3 66. -2 (x - 2) = 3(x + 6) + 1 67. 0.3(* + 5) = -0 .6 (* + 2) 6 8 .2 * + i = 5 * - i Con ayuda de su calculadora graficadora, localice las intersecciones de los ejes x y y de la gráfica de cada ecuación. 69. y = 2(x + 3.2) 70. 5x - 2y = 7 Tí. ~4x - 3.2y = 8 72. y = j x - - Ejercicios de repaso acumulativo [1.4] 73. Evalúe 4{2 - 3[(1 - 4) - 5]} - 2. [2.1] 7 4 R esuelva-y - 3 y = 6(y + 2). ]2.6] En los ejercicios 75 a 77 a ) explique el procedimiento para despejar x en cada ecuación o desigualdad (suponga que b > 0), y b) resuelva la ecuación o desigualdad. 75. x - a = b 77. x - a > b 76. x - a < b 78. Resuelva la ecuación x - 4 = 2x - 2. 3 . 4 L A F O R M A P E N D IE N T E IN T E R S E C C IÓ N D E U N A E C U A C IÓ N L IN E A L 1 E n te n d e r la tr a s la c ió n d e g rá fic a s . 2 D e te rm in a r la p e n d i e n te d e u n a r e c ta . 3 R e c o n o c e r la p e n d i e n te c o m o u n a r a z ó n d e c a m b io . 4- E sc rib ir e c u a c io n e s lin e a le s e n la f o r m a p e n d i e n te in te r s e c c ió n . 5 G ra fic a r e c u a c i o n e s lin e a le s p o r m e d io d e la p e n d i e n te y la in te r s e c c ió n d e l e j e y. 6 U s a r la fo rm a p e n d ie n te -in te rs e c c ió n p a r a c o n s tru ir m o d e lo s a p a rtir d e g rá fic a s . 1 E n te n d e r la tra s la c ió n d e g rá fic a s E n esta sección estudiarem os la traslación d e gráficas, el concepto d e pendiente, y la form a pendiente intersección de una ecuación lineal. Considere estas tres ecuaciones y = 2 x + 3 y = 2x y = 2 x - 3 L a gráfica d e cada una d e estas ecuaciones aparece e n la figura 3.50.
- 220. 1 9 2• C apítulo 3 • Gráficas y funciones ¿Cuáles son las intersecciones del eje y d e y = 2x + 3, y = 2x (o y = 2x + 0), y y = 2x - 3? Las intersecciones del eje y están en (0,3), (0,0) y (0, - 3 ) , respectivam en te. O bserve q u e la gráfica d e y = 2x + 3 es tam bién la gráfica d e y = 2x desplazada, o trasladada, 3 unidades hacia arriba, y q u e y = 2* - 3 es la gráfica d e y = 2x traslada da 3 unidades hacia abajo. Las tres rectas so n paralelas; esto es, no se intersectan sin im portar cuánto se extiendan. A partir de esta inform ación, ¿podría conjeturar cuál es la intersección del eje y de y = 2x + 4? ¿Y la intersección del eje y d e y = 2 x - §? Si respondió (0,4) y (o, - | ) , respectivam ente, es correcto. E n efecto, la gráfica d e una ecuación con la form a y = 2x + b, tendrá una intersección del eje y en (0, b). A hora considere las gráficas d e las ecuaciones y = - x + 4 , y = - x y y = - x - 2, mismas q u e se m uestran en la figura 3.51. Las intersecciones del eje y d e las tres rectas son (0 ,4 ), (0 ,0 ) y (0, - 2 ) , respectivam ente. L a gráfica d e y = - x + b tendrá una intersección del eje y en (0, b). Al observar las ecuaciones anteriores, sus gráficas e intersecciones del eje y, ¿podría determ inar la intersección del eje y de la gráfica q u e se obtiene d e y = m x + b ,en donde m y b son núm eros reales? Si su respuesta es (0, b ), contestó correctam en te. E n general, la gráfica d e y = m x + b,en donde m y b son núm eros reales, tiene una intersección del eje y en (0, b). Si observam os las gráficas d e la figura 3.50, nos darem os cuenta d e q u e la p en diente (o inclinación) de las tres parece igual, y lo mismo ocurre con la pendiente de las gráficas d e la figura 3.51, aunque d e m anera diferente. Si consideram os la ecuación y = m x + b ye n donde la b determ ina la intersección del eje y de la recta,podem os concluir q u e la m es responsable de la pendiente (o incli nación) d e la recta. 2 D e te rm in a r la p e n d ie n te d e u n a re c ta A hora hablem os acerca de la pendiente. L a pendiente de una recta es la razón del cambio vertical (o elevación) respecto del cambio horizontal (odesplazam iento) entre cualesquiera dos puntos d e la recta. Considere la gráfica q u e se obtiene d e y = 2x (la recta central en tre las q u e aparecen en la figura 3.50, y q u e se repite en la figura 3.52a). D os puntos en esta línea son (1 ,2 ) y (3,6). D eterm inem os la pendiente d e la recta a partir d e estos puntos. Si dibujam os una línea paralela al e je * de tal m anera q u e pase po r el punto (1,2),y una línea paralela al eje y que pase p o r el punto (3,6), am bas se in- tersectaránen el punto (3,2), tal como m uestran las líneas punteadas en la figura 3.52b. Con la gráfica d e la figura 3.52b podem os determ inar la pendiente d e la recta. El cambio vertical (a lo largo del eje y) es 6 - 2, o 4 unidades. E l cambio horizontal (a lo largo del eje *) es 3 - 1, o 2 unidades. cam bio vertical 4 p en d ien te = ------— — :— :--------- = — = 2 cam bio horizontal 2
- 221. Sección 3 .4• L a fo rm a pendiente intersección d e u n a e cu a ció n lineal • 1 9 3 FIGURA 3.52 y FIGURA 3.53 D E F IN I C IÓ N Por lo tanto, la pendiente d e la recta q u e pasa p o r los puntos (3,6) y (1 ,2 ) es 2. A l exa m inar la recta q u e conecta estos dos puntos,podem os ver q u e p o r cada 2 unidades que la gráfica se desplaza hacia arriba en el eje y,se m ueve 1 unidad hacia la derecha en el eje x (vea la figura 3.53). H em os determ inado q u e la pendiente d e la gráfica q u e se obtiene d e y = 2x es 2. Si calculáram os la pendiente d e las otras dos rectas d e la figura 3.50, veríamos que las gráficas q u e se obtienen de y = 2 x + 3 y y = 2 x - 3 tam bién tienen una pendiente d e 2. ¿Puede conjeturar cuál es la pendiente d e las gráficas d e las ecuaciones y = - 3 x + 2 ,y = - 3 x y y = - 3 x - 2? L a pendiente d e las tres rectas es -3 . E n general, la p en diente d e una ecuación con la form a y = m x + b es m * A hora determ inem os el procedim iento p ara encontrar la pendiente d e una recta q u e pasa p o r los dos puntos (xv yx) y (xv y2). O bserve la figura 3.54. Podem os deter m inar el cam bio vertical restando yx d e y2, y el cambio horizontal restando x xde x2. L a pendiente d e una recta q u e pasa p o r los puntos distintos (xxyi)y (x^ y2) es cam bio en y (cam bio vertical) y2 - y x p en d ien te = -------—---------- ------- ——-— :--------— = ------------ cam bio en x (cam bio horizontal) x 2 - x x siem pre y cuando x x # x2. Al determ inar la pendiente d e una recta, no im porta cuáles sean los dos puntos q u e elijam os, ni a cuál d e ellos denom inem os (*1, yi) o (x^ yi)- Com o se m encionó antes, la letra m se utiliza p ara representar la pendiente d e una recta. L a letra griega m ayúscula delta, A,se utiliza p ara representar las palabras “el cam bio en ”. *La letra m se usa tradicionalmente para representar la pendiente.Se cree que m proviene de la pala bra francesa monter,que significaescalar.
- 222. 1 9 4. • C apítulo 3 • Gráficas y funciones Así, en ocasiones la pendiente se indica como Ay y i ~ y m = — = ------------ A* x 2 ~ * 1 E J E M P L O 1 D eterm ine la pendiente d e la recta d e la figura 3.55. S o l u c i ó n D os puntos d e la recta son ( - 2 ,3 ) y (1, - 4 ) . Sea (x^ y2) = ( - 2 ,3 ) y (x hy i) = (1, - 4 ) . Entonces y i - yi m = 3 - ( - 4 ) 3 + 4 *2 - *i - 2 - 1 - 3 3 FIGURA 3.55 La pendiente d e la recta es O bserve q u e si hubiéram os determ inado (x v y,) = AHORARESUELVAELEJERCICIO35 ( - 2 ,3 ) y (** y2) = (1, - 4 ) , la pendiente seguiría siendo - § . Compruébelo. # Una recta que se eleva de izquierda a derecha (figura 3.56a) tiene una pendiente positiva. U na recta que no se eleva ni desciende d e izquierda a derecha (figura 3.56b) tiene pendiente cero. U na recta que desciende d e izquierda a derecha (figjra 3.56c) tie ne una pendiente negativa. Pendiente indefinida y . 44* (3,5) (3.2) 1 2 * = 3 4 5 6 Pendiente cero y* 4 3 + Pendiente negativa i 4 X - 4 - 3 - 2 - 1 - 1 -- - 2 - - 3 - - 4 1 2 3 4 X Considere la gráfica que se obtiene d e x = 3 (figura 3.57). ¿Cuál es su pendiente? La gráfica es una recta vertical que pasa por los puntos (3,2) y (3,5). Sea (3,5) el punto correspondiente a (x^ y2) y sea (3,2) el punto correspondiente a (xh yi). Entonces, la pendiente d e la recta es m = y i ~ y _ 5 - 2 _ 3 X 2 - X i 3 - 3 0 FIGURA 3.57 Como no tiene sentido dividir entre 0, decim os q u e la pendiente d e esta recta es inde- AHORARESUELVAELEJERCICI019 finida. L a pendiente de cualquier recta vertical es indefinida. SUGERENCIA Cuando se pide a los estudiantes que determinen la pendiente de una recta horizontal o vertical, con frecuencia responden de manera incorrecta. En el primer caso, su respuesta debería ser “la pendiente es 0”.Si usted responde "no tiene pendiente”,su profesor podría considerar que su contestación es incorrecta, ya que esa frase puede tener varias interpreta ciones.Cuando se le pida determinar la pendiente de una recta vertical, su respuesta debe ser"la pendiente es indefinida”.Nuevamente, si usted utiliza la frase "no tiene pendiente”,su profesor podría interpretarla en otro sentido y calificar su respuesta como incorrecta. Pendiente positiva (a) FIGURA 3.56
- 223. S e cc ió n 3 .4 • L a fo rm a p e n d ie n te in te rse c c ió n d e u n a e c u a c ió n lineal • 195 3 R e c o n o c e r la p e n d ie n te c o m o u n a ra z ó n d e c a m b io E J E M P L O 2 Año Deuda interna de Estados Unidos (miles de millones de dólares) 1910 1.1 1930 16.1 1950 256.1 1970 370.1 1990 3323.3 2002 5957.2 E n ocasiones es útil describir la pendiente com o una razón de cambio. C onsidere una pendiente d e §. Esto significa q u e el valor d e y aum enta 5 unidades p o r cada aum ento d e 3 unidades en x. D e form a equivalente, podem os decir q u e el valor d e y aum en ta 3 unidades, o 1.6 unidades p o r cada aum ento d e 1 unidad en *. C uando establece mos el cam bio en y en relación con el cam bio en unidades en x, estam os determ inando la pendiente com o una razón de cambio. Esto puede ser d e utilidad cuando analizamos situaciones d e la vida real o al crear m odelos matemáticos. D euda pública L a siguiente tabla d e valores y la gráfica correspondiente ( figura 3.58) ilustran la deuda interna d e E stados U nidos en miles d e m illones d e dólares, en tre 1910 ) 2 0 0 2 . Deuda interna de Estados Unidos , (miles de m illones de dólares) Fuente: D e p a rta m e n to d e l T eso ro d e E sta d o s U nidos, O ficina d e D e u d a In tern a. 3 1 a. ■8 9 & 1910 1930 1950 1970 1990 2010 A ñ o FIGURA 3.58 a) D eterm ine la pendiente d e los segm entos d e recta en tre 1910 y 1930, y en tre 1970 y 2002. b) Com pare las dos pendientes determ inadas en la parte a ) y explique q u é significa es to en térm inos d e la deuda interna d e Estados Unidos. S o l u c i ó n a) E n tie n d a e l p ro b le m a Para determ inar la pendiente entre cualesquiera p ar de años, calcule la razón del cambio en la deuda en relación al cam bio en los años. Pendiente de 1910 a 1930 16.1 - 1.1 15 _ __ m 1930 - 1910 20 La deuda pública d e Estados U nidos aum entó a razón d e $0.75 miles d e millones por año entre 1910 y 1930. Pendiente de 1990 a 2002 = 5957.2 - 3323.3 = 2633,9 ^ 2002 - 1990 12 La deuda pública d e Estados U nidos aum entó a razón d e más o m enos $219.49 miles d e millones p o r año entre 1990 y 2002. b) La pendiente m ide una razón d e cambio. Al com parar las pend riodos, se observa un increm ento mucho m ayor en la razón d e cambio prom edio d e la deuda interna entre 1990 y 2002 q u e entre 1910 y 1930. L a pendiente del segm ento de recta de 1990 a 2002 es m ayor q u e la pendiente d e cualquier otro segm ento d e recta d e la gráfica. E sto indica q u e la deuda interna creció en tre 1990 y 2002 en una razón AHORARESUELVAELEJERCICIO67 m ayor q u e en cualquier otro d e los periodos ilustrados.
- 224. DEFINICIÓN 4 Escribir ecuacioneslineales en la forma pendiente intersección Ya hem os m ostrado q u e p ara una ecuación con la form a y = m x + b, m representa la pendiente y b la intersección del eje y. Por esta razón, se dice q u e las ecuaciones linea les escritas en la form a y = m x + b están en la forma pendiente intersección (o form a pendiente ordenada al origen). L a form a pendiente intersección d e una ecuación lineal es y = m x + b en donde m es la pendiente efe la recta y (0, b) es la intersección del e je y de la recta. te m p lo s de e cuacio nes en form a pendiente intersección 1 3 y = 3* - 6 y = x + - Pendiente — ^ j— La intersección del ejey e s (O, b) y = m x + b Ecuación Pendiente Intersección del eje y 1 9 6 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones y = 3 x - 6 3 (0, - 6 ) 1 3 1 2 X + 2 2 Para escribir una ecuaciónen la forma pendiente intersección, despeje y a i la ecuación. 1 3 1 y = ^ x + - - ( o , - J EJ E M P L O 3 D eterm ine la pendiente y la intersección del eje y d e la ecuación -5* + 2y = 6. Solución Escriba la ecuación en la form a pendiente intersección, despejando y. —5 x + 2 y = 6 2 y = 5 x + 6 5* + 6 _ 5 * 6 y 2 2 y- | x + 3 AHORARESUELVAELEJERCICIO45 La pendiente es la intersección del eje y es (0,3). 5 Graficar ecuaciones lineales por medio de la pendiente y la intersección del eje y U na razón p ara estudiar la form a pendiente intersección d e una recta es q u e puede ser útil al trazar la gráfica d e una ecuación lineal, com o se ilustra en el ejem plo 4.
- 225. Sección 3 .4• L a fo rm a pendiente intersección d e u n a e cu a ció n lineal • 1 9 7 G rafique 2y + 4x = 6 p o r medio d e la pendiente y la intersección del eje y. Em piece p o r despejar y p ara obtener la ecuación en la form a pendiente intersección. 2 y + 4 x = 6 2y = - 4 x + 6 y = —2 x + 3 L a pendiente es - 2 , y la intersección del eje y es (0,3). E n el eje y coloque un punto en 3 (figura 3.59). Luego utilice la pendiente p ara obtener un segundo punto. L a p en diente es negativa; p o r lo tanto, la gráfica debe descender conform e va d e izquierda a derecha. Como la pendiente es - 2 , la razón del cambio vertical respecto del cambio horizontal deb e ser d e 2 a 1 (recuerde, 2 significa 7). Por lo tanto, si com enzam os en y = 3 y nos movemos dos unidades hacia abajo y una unidad hacia la derecha,obtendre mos un segundo punto en la gráfica. Continúe este proceso, moviéndose 2 unidades hacia abajo y 1 unidad a la derecha para obtener un tercer punto. A hora trace una recta que pase por los tres puntos. # E n el ejem plo 4 elegim os m ovem os hacia abajo y a la derecha p ara o b ten er el segundo y tercer puntos. Tam bién podríam os haber decidido m overnos hacia arriba y hacia la izquierda p ara lograrlo. 4 EJ E M P LO 5 G rafique f ( x ) = - x - 3 por medio d e la pendiente y la inter sección del eje y. Solución Ya q u e f ( x ) es lo mismo q u e y, esta función está en la form a pendien te intersección. L a intersección del eje y es (0, - 3 ) , y la pendiente es 4/3. C oloque en el eje y un punto en - 3 . Luego, com o la pendiente es positiva, obtendrá el segundo y tercer puntos m oviéndose cuatro unidades hacia arriba y tres unidades hacia la d ere cha; la gráfica resultante se m uestra en la figura 3.60. # 6 Usar la forma pendiente-intersección para construir modelos a partir de gráficas Con frecuencia podem os utilizar la form a pendiente intersección de una ecuación lineal para determ inar una función q u e represente (o m odele) una situación d e la vida real. E l ejem plo 6 m uestra cómo. EJ E M P L O 6 Periódicos O bserve la gráfica d e la figura 3.61, la cual m uestra la dism inución del nú mero d e adultos estadounidenses q u e leen el periódico todos los días. O bserve q u e la gráfica es casi lineal. a) Escriba una función lineal cuya gráfica sea sem ejante a la q u e se muestra. b) Suponiendo q u e esta tendencia continúa,calcule el porcentaje d e adultos q u e leerán diariam ente un periódico en 2005; utilice la función determ inada en la parte a). Porcentaje de adultos estadounidenses que leen diariamente un periódico a? Año FIGURA 3 . 6 1 Fuente. NAA M aik el & B usiness A n a ly sis proyecciones d e la revista N ew sw eek. E J E M P L O 4 Solución FIGURA 3.60 AHORARESUELVAELEJERCICIO 51
- 226. SoIU C iÓn a) Para facilitar el trabajo con los números,seleccionaremos 1965 como año de referencia. Entonces podem os reem plazar 1965 conO, 1966 con 1,1967 con 2, y asísucesivamente; d e acuerdo con ello, 2001 sería 36 (vea la figura 3.62). 1 9 8 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones Porcentaje de adultos estadounidenses que leen diariamente un periódico 80 70 | 60 I £ 50 4 0 l . i i i i i ■ J_L 1 I I 1 1 1 1 ___ 1 1 1 1 ___ I 1 1 PR O YECTAD O i i i l i l i i i i i FIGURA 3.62 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Número de años desde 1965 Fuente: N A M arket & B usiness Analysis; proyecciones d e la revista N ew sw eek. Sidenom inam os al eje vertical y y al eje horizontal x ,entonces la intersección del eje y es 80. E l p ar ordenado q u e representa la intersección del eje y es (0,80). A paren tem ente en 2001 alrededor de 57% d e la población estadounidense adulta leía diaria m ente un periódico. Seleccionem os (36,57) como un segundo punto en la gráfica que trazam os en la figura 3.62. D esignam os (36,57) com o (x2, y2) y (0,80) com o (x¡,y¡). p en d ien te = cam bio e n p o rcen taje y2 - y x cam bio e n año X2 - x¡ 57 - 80 23 Como la pendiente es aproxim adam ente -0 .6 4 y la intersección del eje y es (0,80), la ecuación d e la línea recta es y = -0 .6 4 * + 80. E n notación d e funciones, esta ecua ción es f ( x ) = -0 .6 4 a : + 80. Para usar esta función recuerde q u e x = 0 representa a 1965,a: = 1 representa a 1966,etcétera. O bserve q u e /(a :),e l porcentaje,es una función d e x, el número d e años a partir d e 1965. b) Para determ inar el porcentaje aproxim ado d e lectores d e diarios q u e habrá en 2005, y com o 2005 - 1965 = 40, sustituim os x por 40 en la función. f { x ) = -0 .6 4 a: + 80 /( 4 0 ) = -0 .6 4 (4 0 ) + 80 = -2 5 .6 + 80 = 54.4 Por lo tanto,si la tendencia actual continúa, alrededor d e 54% d e los adultos estadouni- AHORARESUELVAELEJERCICIO71 denses leerán el periódico todos los días en 2005 (figura 3.62). ^ C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 3 . 4 Ejercicios conceptuales L Explique cómo determinar la pendiente de una línea a partir de su gráfica. 2. Explique qué significa que la pendiente de una recta sea negativa. 3. Explique qué significa que la pendiente de una recta sea positiva. 4. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal? Explique. 5. ¿Ibr qué la pendiente de una recta vertical es indefinida? 6. a) Por medio de la fórmula para calcular la pendiente, m = — — , determine la pendiente de la recta for- X2 X mada a partir de lospuntos (3,4) y (4,6).Utilice (3,4) como (*i,y,). b) Calcule la pendiente nuevamente, pero esta vez utilice (4,6) como (*i,yi). c) Al determinar la pendiente por medio de la fórmula, ¿su respuesta será la misma sin importar cuál de los puntos designe como (x^y,)? Explique.
- 227. Sección 3 .4• L a fo rm a pendiente intersección d e u n a e cu a ció n lineal • 1 9 9 7. Explique cómo se escribe en forma pendiente intersección V una ecuación dada en forma general. 8. En la ecuación y = mx + b, ¿qué representa m? ¿Qué re presenta b7 9. a ) ¿Qué significa trasladar una gráfica tres unidades hacia abajo? b) Si la intersección del eje y de una gráfica es (0, -3 ) y la gráfica se traslada tres unidades hacia abajo, ¿cuál V será la nueva intersección del eje y? 10. a) ¿Qué significa trasladar una gráfica cuatro unidades hacia arriba? b) Si la intersección del eje y de una gráfica es (0,2) y la recta se traslada cuatro unidades hacia arriba, ¿cuál se rá la nueva intersección del eje y? 1 1 ¿Qué significaque la pendiente esté dada como una razón de cambio? 12. Explique cómo graficar una ecuación lineal por medio de su pendiente y su intersección del eje y. Problemas de aplicación Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados. Si la pendiente de la recta es indefinida, indíquelo. 13. (2, 5) y (0,9) 14 (2, 3) y (5.4) £ 15. (5, 2) y (1,4) 16. (-3 , 5) y (5 ,-3 ) 17. (-3 , 5) y (2,0) 18. (2,3) y (2 ,-3 ) 19. (4, 2) y (4, -1 ) 20. ( 8 ,- 4 ) y ( - 1 ,- 2 ) 2L ( -3 ,4 ) y (-1 ,4 ) 22. (2,3) y ( -5 ,3 ) 23. (-2 , 3) y (7 ,-3 ) 24 (2 ,-4 ) y ( - 5 ,- 3 ) Despeje la variable dada si la recia que pasa por los dos punios indicados tiene la pendiente quese señala. 25. (3,2) y (4, b),m = 1 27. (5,3) y(1, k ),m = i £ 29. (* ,2 ) y (3, —4), m = 2 3 1 (2, -2 ) y (r, -1 ), m = Determine la pendiente de la recta en cada una de las gráficas, ecuación de la recta dada. 26. ( _ 4 ,3) y (-2 , b), m = - 3 28. (5,d) y (9, 2), m = - f 30. ( - 2 , - 3 ) y (* ,4 ) , m = ± 32 ( - 4 , - 1 ) y (* ,2 ),m = - | la pendiente de la recta es indefinida, indíquelo. Luego escriba una
- 228. 200 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones 37. y A •t 'X O ! - L . I -.1 —1 38. ¿ 1 ■ f o L i - 3 - 2 - l , : 4 1 - 1 —7 - —< 1 Escriba cada ecuación en laforma pendiente intersección (si no estádada en esa forma). Determine la pendiente y la intersección del eje y; utilícelaspara trazar la gráfica de la ecuación lineal. & 43. y = - * + 2 46. -2 * = 3y + 6 44. -3 * + y = 6 47. -50* + 20y = 40 45. 5* + 15y = 30 48. 60* = -3 0 y + 60 Utilice ¡a pendiente y la intersección del eje y para graficar cada función. 49. /( * ) = -2 * + 1 Resolución de problemas 50. g (*) = - * - 4 51. h(x) = - ± * + 2 52. h(x) = - - * + 4 53. Dada la ecuación y = mx + b, para tos valores de m y b señalados, relacione las partes a) a d) con las gráficas apropiadas en tre las numeradas del 1 al 4. a) m > 0, b < 0 b) m < 0, b < 0 2. , c) m < 0, b > 0 d) m > 0, b > 0
- 229. Sección 3 .4• L a fo rm a pendiente intersección d e u n a e cu a ció n lineal • 2 0 1 54. Dada la ecuación y = mx + b, para los valores de m y b señalados, relacione las partes a) a d) con las gráficas apropiadas entre las numeradas del 1 al 4. c) mes indefinida, d) m es indefinida, intersección del eje x intersección del eje x > O 3. v 4. a) m = O, b > O 1. y x b )m = O, b < O 2. y y 55. En la siguiente sección estudiaremos las rectas paralelas. Con base en lo que ha leído en esta sección, explique có mo podría determinar (sin graficar) que las rectas de dos ecuaciones son paralelas. 56. ¿Cómo podríadeterminar si dos rectas son paralelas? » 57. Si un punto de la gráfica es (6,3) ysu pendiente es j, de termine la intersección del eje y. 58. Si un punto de la gráfica es (6,1) y su pendiente es m = , determine la intersección del eje y. 59. En la siguiente gráfica, la recta de la derecha es una tras laciónde la recta de la izquierda. a) Determine la ecuación de la recta de la izquierda. b) Utilice la ecuación de la recta de la izquierda para de terminar la ecuaciónde la recta de la derecha. 60. En la siguiente gráfica, la recta superior (en rojo) es una traslaciónde la recta inferior. a) Determine la ecuación de la recta inferior. b) Utilice la ecuaciónde la recta inferiorpara determinar la ecuación de la recta superior. 6 1 . L a re c ta q u e s e o b tie n e a l g ra fic a r y = x - 1 s e tra s la d a tres u n id a d e s h a c ia a r rib a . D e te r m in e a ) la p e n d ie n te d e la g rá fic a tra s la d a d a . b ) la in te rs e c c ió n d e l e je y d e la g rá fic a tra s la d a d a . c) la e c u a c ió n d e la g rá fic a tra s la d a d a . 62 . L a re c ta q u e r e s u lta a l g ra fic a r y = - x + 3 s e tra s la d a c u a tro u n id a d e s h a c ia a b ajo . D e te r m in e a ) la p e n d ie n te d e la g rá fic a tra s la d a d a . b ) la in te rs e c c ió n d e l e je y d e la g rá fic a tra s la d a d a . c) la e c u a c ió n d e la g rá fic a tra s la d a d a . “ 6 3 . L a re c ta q u e r e s u lta a l g ra fic a r 3x - 2y = 6 s e tr a s la d a c u a tr o u n id a d e s h a c ia a b ajo . D e te r m in e la e c u a c ió n d e la g rá fic a tra s la d a d a . 6 4 . L a re c ta q u e r e s u lta a l g ra fic a r -3 x - 5y = 10s e tr a s la d a d o s u n id a d e s h a c ia a r r ib a . D e te r m in e la e c u a c ió n d e la g rá fic a tra s la d a d a . 65 . S i u n a lín e a p a sa p o r lo s p u n to s ( 6 ,4 ) y ( - 4 , 2 ), d e te rm in e e l c a m b io d e y re s p e c to d e l c a m b io d e u n a u n id a d e n x. 66. Si u n a lín e a p a sa p o r lo s p u n to s ( -3 , - 4 ) y (5,2) ,d e te r m i n e e l c a m b io d e y re s p e c to d e l c a m b io d e u n a u n id a d e n x. 6 7 . Gastos de A m Irak L a c o m p a ñ ía d e tr a n s p o r te e s ta d o u n i d e n se N a tio n a l R a ilro a d a n d P a sse n g e r C o rp o ra tio n , m e jo r c o n o c id a c o m o A m tr a k , c o n tin ú a e n f r e n ta n d o p ro b le m a s e c o n ó m ic o s . D e s d e 1985, s u s g a s to s h a n c r e c id o m u c h o m á s rá p id o q u e su s in g re s o s E n la s ig u ie n te ta b la s e lis ta n los g a sto s , e n m illo n e s d e d ó la re s, e n q u e in c u rrió A m tra k e n a ñ o s se le c c io n a d o s . Año Gastos de Amtrak (en millones de dólares) 1985 $1600 1990 $2012 1995 $2257 2000 $2876 Fuente (Inform Amtrak, año fiscal2000 e Anual). a) Trace estos puntos en una gráfica. b) Cbnecte estos puntos utilizando segmentos de recta.
- 230. 2 0 2• C apítulo 3 • Gráficas y funciones c) Determine la pendiente de cada uno de los tres seg mentos de recta. d) ¿En qué periodo tuvo lugar la razón de cambio pro medio más grande? Explique. Computadoras veloces Cada año las computadoras se vuelven más rájidas y poderosas En lasiguiente tabla se re gistra la velocidad,en milesde millones de operaciones por segundo, de las llamadas "súper computadoras" en años seleccionados. Año Operaciones por segundo (miles de millones) 1994 143 1996 303 1997 1070 2001 7226 Fuente: Estados Departamento de energía de Unidos. a) Trace estos puntos en una gráfica. b) Cbnecte los puntos utilizando segmentos de rectas. c) Determine la pendiente de cada uno de los tres seg mentos de recta. d) ¿En qué periodo la razónde cambio promedio fue más grande? Explique. 69. Ritmo cardiaco La siguiente gráfica de barras muestra el ritmo cardiaco máximo recomendado bajo presión, en la tidos por minuto, para hombres de diferentes edades. Las bañas están conectadas por medio de una línea recta. a) Utilice la línea recta para determinar una función que pueda usarse para calcular el ritmo cardiaco máximo recomendado, h, para O^ x ^ 50,en donde x es la edad a partir de los 20 años. b) Usando la función de la parte a), determine el ritmo cardiaco máximo recomendado para un hombre de 34 años de edad. Ritmo cardiaco vs. edad 70. Umbral depobreza Elgobierno estadounidense define el umbral de pobreza en relación al ingreso familiar anual necesario para gozar lo que la sociedad define como es tándar de vida mínimo aceptable. La siguiente gráfica de barras muestra el umbral de pobreza para una familia de cuatro integrantes entre 1995 y 2000. Umbral de pobreza en Estados Unidos para una familia de cuatro integrantes 19,000 17,603 15,569 1995 1996 1997 1998 Año Fuente: O ficina d e C en ses d e E stados U n id o s 1999 2000 a) Determine una función lineal que pueda usarse para calcular el umbral de pobreza de una familia de cua tro integrantes, P, entre 1995 y 2000. Sea t el número de años desde 1995. (En otras palabras, 1995 corres ponde a / = 0,1996 corresponde a t = 1, y así sucesi vamente). b) Utilizando la función de la parte a), determine el um bral de pobreza en 1997. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponden. c) Suponiendo que esta tendencia continúa,determine el umbral de pobreza para una familia de cuatro integran tes en el año 2005. d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿en qué año el umbral de pobreza para una familia de cuatro inte grantes será de $20,000? 7L Debajo del umbral de pobreza El umbral de pobreza se definió en el ejercicio 70. La siguiente gráfica muestra el número de estadounidenses, en millones, que se encuen tran debajo del umbral de pobreza entre 19% y 2000. ftrsonas debajo del umbral de pobreza 40 50 Edad Fuente: Socied ad E stadounidense d e G eriatría. Año Fiiente: O ficina d e C en ses d e Estados Unidos.
- 231. Sección 3 .4• L a fo rm a pendiente intersección de u n a e cu a ció n lineal • 2 0 3 a) Con 1996 como año de referencia, determine una fun ción lineal que pueda usarse para estimar el número de personas, N, debajo del umbral de pobreza entre 19% y 2000. En la función, / representa el número de años desde 19%. b) Utilizando la funciónde la parte a), estime el número de personas que estaban debajo del umbral de pobreza en 1998. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponden. c) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuántas per- amas estarándebajo del nivelde pobreza en 2005? d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿en qué año habrá 25 millones de personas debajo del nivel de po breza? 72. Poder adquisitivo del dólar Elpoder adquisitivo del dó lar se mide comparando el precio actual de ciertos artícu los con los precios de esos mismos artículos en 1982. A partir de la gráfica siguiente, verá que el poder adquisiti vo del dólar ha descendido de manera constante entre 1990y 2000. Esto significa que cada año el dólar tiene me nos valor. Poder adquisitivo del dólar 1.0. 1990 1992 1994 1996 1998 2000 Año Fuente: O ficina d e A n á isis E conóm ico d e E stados Unidos. a) Con 1990como añode referencia, determine una fun ción lineal que pueda usarse para calcular el poder ad quisitivo, P,entre 1990y 2000. Haga que / represente el número de años desde 1990 en la función. b) Utilizando la función de la parte a), estime el poder adquisitivo del dólar en 1994. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponde. c) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuálserá el poder adquisitivo del dólar en 2006? d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuándo ten drá el dólar un poder adquisitivo de $0.45? 73. Hospitales estadounidenses El número de hospitales en Estados Unidos, ha disminuido de manera casi lineal des de 1975. En 1975 había 7,156 hospitales. En 2000 había 5,890.Sea n el número de hospitales en Estados Unidos y t el número de años desde 1975. (Haga que / = 0 correspon da a 1975 y t = 25 corresponda a 2000). Fuente: Asocia ción Estadounidense de Hospitales. a) Determine una función lineal n(t) que se ajuste a estos datos. b) Utilice la función de la parte a) para calcular el núme rode hospitales que había en Estados Unidos en 1995. c) Siesta tendencia continúa, calcule el número de hospi tales que habrá en Estados Unidos en 2005. d) Si esta tendencia continúa, ¿en qué año el número de hospitales seráde 5,000 en Estados Unidos? 74. Disminución del tétanos Debido principalmente a amplias campañas de vacunación, la incidencia del tétanos ha dis minuido rábidamente en Estados Unidos. Esta disminución ha sido casi lineal desde 1990. En 1990 hubo 64 casos re portados; en 2000,26.Sea C el número de casos de tétanos en Estados Unidos y t el número de años desde 1990. Fuen te: Centros de Control y Prevención de Enfermedades. a) Determine una función lineal C(/) que se ajuste a estos datos. b) Utilice la función de la parte a) para calcular el núme ro de casos reportados en 1998. c) Si esta tendencia continúa, calcule el número de casos de tétanos que se reportarán en 2005. d) Si esta tendencia continúa, determine en qué año se habrá erradicado esta enfermedad en Estados Unidos. 75. Precios en bienes raíces El precio de lascasas de tipo me dio en Estados Unidos se ha elevado de forma lineal des de 1995. El precio en 1995 era de $110,500, mientras que en 2000 era de $139,000. Sea P el precio de las casas de tipo medio y / el número de años desde 1995. Fuente: Asocia ción Nacional de Vendedores de Bienes Raíces. a) Determine una función P(t) que se ajuste a los datos. b) Utilice la funciónde la parte a ) para estimar el precio de las casas de tipo medio en 1997. c) Si esta tendencia continúa, estime el precio de venta de las casas de tipo medio en 2010. d) Siesta tendencia continúa, ¿en qué añoel precio de las casas de tipo medio será de $200,000? 76. Seguridad Social El número de trabajadores por benefi ciario de seguridad social ha disminuido de manera casi lineal en Estados Unidos desde 1970. En 1970 había 3.7 trabajadores por beneficiario, y se cree que en 2050 habrá 20 trabajadores por beneficiario. Sea W bs trabajadores por beneficiario de seguridad social y / el número de años desde 1970. a) Determine la función 1V(/) que se ajuste a los datos. b) Calcule el número de trabajadores por beneficiario que habrá en 2020.
- 232. 2 0 4• C apítulo 3 • Gráficas y funciones Suponga que intenta graficar las ecuaciones que se muestran y que obtiene las pantallas que se muestran. Explique cómo sabe que cometió un error al introducir cada ecuación. En cada gráfica se utilizó la ventana estándar. 77. y = 3x + 6 V 78. y = - 2 x - 4 79. y = + 4 N 80. y = - 4 x - 1 Reto 81. 8 2 . Una reda tangente es una línea recta que toca a una cur va en un solo punto (si se prolonga, la recta tangente pue de cruzar la curva en un punto diferente). La figura 3.63 muestra tres rectas tangentes a la curva en los puntos a, b, y c. Observe que la recta tangente del punto a tiene una pendiente positiva, la recta tangente del punto b tie ne una pendiente de 0 y la recta tangente del punto c tiene una pendiente negativa. Ahora considere la curva que se muestra en la figura 3.64. Imagine que se dibujan rectas tangentes en todos los puntos de la curva, excepto en los extremos a ye . ¿Cuál de esas líneas tangentes tendrían una pendiente positiva, cuáluna pendiente de 0 y cuál una pendiente negativa? FIGURA 3.63 FIGURA 3.64 En la siguiente fotografía se muestra la construcción cono cida como El Castillo o Templo de Kukulcán en Chichón Itzá, México.Cada lado del edificio tiene una escalera de 91 escalones.Éstos son muy estrechos y empinados, por lo que subir a la cimadel edificioresulta difícil.La distancia vertical total de los91 escalones es de 12922 pulgadas Sise dibuja ra una línea rectaque conectara los bordes de losescalones, d valor absoluto de la pendiente de la recta sería 221875. Determine la altura yel ancho promedio de un escalón. Actividad en equipo_____________ 83. La siguiente gráfica, tomada de una publicación estadou nidense llamada Consumer Reports,muestra la deprecia ción de un automóvil común. El precio de compra inicial sí representa como 100%. a) fvfiembro uno del equipo: determine el periodo de un año en el que un automóvil se deprecia más. Calcule el porcentaje de depreciación durante ese periodo de acuerdo con la gráfica. b) Miembro 2 del equipo:determine entre qué años la de preciación parece lineal o casi lineal. c) fvfiembro3 delequipo:determine entre quéparde años la depreciaciónes la más baja. d) Calculen en equipo la pendiente del segmento de rec ta del año 0 al año 1. Expliquen qué significa esto en téiminos de la razón de cambio. Curva típica de depreciación Años
- 233. Ejercicios de repasoacumulativo S ección 3.5 • L a form a p u nto pendiente de u n a e cu a ció n lineal • 2 0 5 [1.4] 84. Resuelva - 6 2 - 16 -r 2 -h |— 4| 5 - 3 -2 - 4 - 22 Resuelva cada ecuación. [2.1] 85. |* + j = | ( * - 2) 86. 2.6* - (-1 .4 * + 3.4) = 6.2 [2.4] 87. Trenes Dos trenes parten de Chicago,Illinois,viajan do en la misma dirección a lo largo de víasparalelas. El primer tren sale tres horas antes que el segundo, y su velocidad es de 15 millas por hora más rápido que el segundo. Determine la velocidad de cada tren, si tres horas despuésde que el segundo tren sa le de Chicago entre ambos trenes hay una distancia de 270 millas. [2.6] 88. Resuelva a) |2* + 1 | > 3, b) |2* + 1 | < 3. | 3 . 5 L A F O R M A P U N T O P E N D IE N T E D E U N A E C U A C I Ó N L IN E A L A 1 Entender la form a punto pendiente de una ecuación lineal. ss 2 Utilizar la form a punto pendiente para construir m odelos a partir de gráficas. 2 3 Reconocer rectas paralelas y perpendiculares. 1 Entender la forma punto pendiente de una ecuación lineal E n la sección anterior aprendim os a utilizar la form a pendiente intersección p ara d e term inar la ecuación d e una recta cuando se conocen su pendiente y su intersección del eje y. E n esta sección aprendem os a usar la form a punto pendiente para determ inar la ecuación d e una recta cuando se conocen su pendiente y uno d e sus puntos. L a form a punto pendiente puede desarrollarse a partir d e la expresión p ara la pendiente en tre cualesquiera dos puntos (*,y) y (* i,y i) de la recta, com o se m uestra en la figura 3.65. m = yi * - * i M ultiplicando am bos lados d e la ecuación p o r * - x h obtenem os y - y, = m (x - x t) DEFINICIÓN L a form a punto pendiente de una ecuación lineal es y - y, = m (x - x ,) en donde m es la pendiente de la recta y (* i,y i) es un punto en la recta. E J E M P L O 1 Escriba, en la form a pendiente intersección, la ecuación d e la recta q u e pasa p o r el punto (1,4) y q u e tiene una pendiente d e - 2 . SoIUC¡Ón Ya q u e se nos dio la pendiente d e la recta y un punto en ella,podem os escribir la ecua ción en la form a punto pendiente. Entonces podrem os despejar y de la ecuación p ara escribirla en la form a pendiente intercepción. L a pendiente, m , es - 2 . E l punto en la recta, (* i,y i),es (1,4). Sustituya m p o r - 2 ,* , p o r 1 y y, p o r 4 en la form a punto p en diente.
- 234. 2 0 6• C apítulo 3 • Gráficas y funciones AHORARESUELVAELEJERCICIO 5 E J E M P L O 2 Solución L a gráfica resultante d e y = ( M ) . y ~ y = m { x - x x) y — 4 = — 2 {x — 1) Forma punto pendiente, y - 4 = - 2 x + 2 y = - 2 * + 6 fbrma pendiente intercepción. - 2 x + 6 tiene una pendiente d e - 2 y pasa p o r el punto E n el ejem plo 1 usam os la form a punto pendiente p ara obtener la ecuación de una recta cuando se nos ha dado uno d e sus puntos y su pendiente. La form a punto p en diente tam bién puede usarse para encontrar la ecuación d e una recta cuando se nos dan dos d e sus puntos. E n el ejem plo 2 m ostram os cóm o hacerlo. Escriba, en la form a pendiente intersección, la ecuación d e la recta que pasa p o r los puntos (2,3) y (1,4). A unque no se nos dio la pendiente d e la recta, podem os usar los dos puntos p ara d e term inarla, y después proceder com o se hizo en el ejem plo 1. D eterm inem os q u e (2, 3) sea (xu yi) y (1 ,4 ) sea f e y z ) . m = t t - y i = 4 - 3 = 1 x 2 ~ x¡ 1 - 2 - 1 = - 1 AHORARESUELVAELEJERCICIO11 La pendiente, m , es - 1 . A hora debem os elegir uno d e los dos puntos dados para uti lizarlo com o (x¡fyi) en la form a punto pendiente d e la ecuación; seleccionarem os (2 ,3) para ese propósito. Sustituya m p o r - l,x¡ por 2 y yxpor 3 en la form a punto pendiente. y - y i = m { x ~ * i ) y - 3 = - l ( x - 2) y - 3 = - x + 2 y = - x + 5 L a gráfica d e y = - x + 5 se m uestra en la figura 3.66. O bserve q u e la intersección del eje y d e esta recta está en 5, la p endiente es - 1 , y la recta pasa p o r los puntos (2>3) y (1 ,4 ). Tam bién podríam os haber seleccionado el punto (1 ,4 ) p ara sustituir en la for m a punto pendiente. D e haberlo hecho habríam os obtenido d e cualquier m anera la ecuación y = - x + 5.Verifíquelo. # 2 U tiliza r la fo rm a p u n to p e n d ie n te p a ra c o n s tru ir m o d e lo s a p a rtir d e g rá fic a s A hora veamos una aplicación en donde se utiliza la form a punto pendiente p ara d e term inar una función q u e nos perm ita m odelar una situación dada. E J E M P L O 3 Quema de calorías Los especialistas en acondicionam iento físico recom iendan a quie nes desean quem ar calorías y perder peso, que hagan ejercicio consistentem ente d u ran te largos periodos. E l núm ero d e calorías q u e se quem an al conducir una bicicleta durante una hora, es una función lineal d e la velocidad a la q u e se realiza el ejercicio. E n prom edio, una persona q u e conduce a 12 millas p o r hora quem ará alrededor d e 564 calorías en una hora, y si conduce a 18 m ph quem ará más o m enos 846 calorías en el mismo tiempo. E sta inform ación se m uestra en la siguiente gráfica (figura 3.67). a) D eterm ine una función lineal q u e pueda utilizarse p ara calcular el núm ero d e ca lorías, C, q u e se quem an en una ho ra cuando se conduce una bicicleta a r m ph, p ara 6 < r < 2 4 . FIGURA 3.66
- 235. S e cción 3 .5 • L a form a p u nto pendiente d e u n a e cu a ció n lineal • 2 0 7 FIGURA 3.67 b) Utilice la función determ inada en la parte a) para calcular el número d e calorías que se quem an en una hora cuando se conduce una bicicleta a 20 mph. c) U tilice la función determ inada en la parte a) para calcular la velocidad a la q u e se tiene q u e conducir una bicicleta p ara quem ar 1000 calorías en una hora. Solución a) E n tie n d a e l p r o b le m a y tr a d u z c a E n este ejem plo, e n lugar d e utilizar las variablesx y y como en los ejem plos 1 y 2 , em pleam os las variables r (para velocidad) y C (para calorías). Sin im portar las variables q u e se utilicen,el procedim iento p ara d e term inar la ecuación d e la recta es el mismo. Para determ inar la función necesaria, usarem os los puntos (12, 564) y (18, 846) y procederem os com o en el ejem plo 2. Prim ero calcularem os la p en diente y después utilizarem os la form a punto pendien te p a ra determ inar la ecuación d e la recta. C 2 ~ C, R ealice lo s c á lc u lo s m = ------------ >2 “ >1 = 846 - 564 = 282 1 8 - 1 2 6 A hora escribim os la ecuación p o r medio d e la form a punto pendiente. Seleccionare mos el punto (12,564) p ara (rlt C (). C - Cj = m ( r - r,) C — 564 — 47 (r — 12) Forma punto pendiente. C - 564 = 47 r - 564 C = 4 7 r Forma pendiente Intersección. R e s p o n d a Como el núm ero d e calorías quem adas, C, es una función d e la veloci dad, r, la función q u e buscam os es C ( r ) = 41r b) Para calcular el núm ero d e calorías q u e se quem an en una hora m ientras se condu ce a 20 m ph, sustituim os r p o r 20 en la función. C ( r ) = 47r C (20) = 47(20) = 940 Por lo tanto, cuando se conduce a 20 m illas p o r ho ra d u ran te una hora, se quem an 940 calorías. Millaspor hora F uente: A sociación C ardiaca d e E stados U n id or Calorías que se queman al conducir una bicicleta
- 236. 2 0 8• C apítulo 3 • Gráficas y funciones c) Para calcular la velocidad a la q u e deb e conducirse una bicicleta para quem ar 1000 calorías en una hora, sustituim os C (r) por 1000 en la función. C( r) = Air 1000 = Air 1000 r « 21.28 Por lo tanto, para quem ar 1000 calorías en una hora es necesario conducir la bicicleta AHORARESUELVAELEJERCICIO 53 a más O m enos 21.28 mph. # E n el ejem plo 3, la función que se obtuvo fue C (r) = 47r. La línea resultante al graficar esta función tiene una pendiente de 47 y una intersección del eje y en (0,0). Si la recta d e gráfica q u e se m uestra en la figura 3.67 se prolongase hacia la izquierda, intersec- taría el origen. Esto tiene sentido, ya q u e si se condujera la bicicleta a una velocidad d e cero millas p o r hora, se quem arían cero calorías en una hora. 3 Reconocer rectas paralelas y perpendiculares R ec ia s p a ra le la s R e c ia s p e rp e n d ic u lares E n la figura 3.68 se ilustran dos rectas paralelas. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Todas las rectas verticales son paralelas aunque sus pendientes sean indefinidas. E n la figura 3.69 se ilustran rectas perpendiculares. D os rectas son perpendicu lares cuando se cortan entre sí e n ángulos rectos (es decir, d e 90°). Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocos de signo contrario. - 1 El recíproco de signo contrario d e cualquier núm ero a distinto d e cero es — o 1 - 1 1 — . Por ejemplo, el recíproco negativo d e 2 es - - o - —. El producto d e cualquier nú- a z z mero distinto d e cero multiplicado p o r su recíproco negativo es -1 . a I - - I = “ I O bserve q u e cualquier recta vertical es perpendicular a cualquier recta hori zontal, aun cuando no se pueda aplicar la regla del recíproco negativo, debido a que es im posible dividir entre cero. E J E M P L O 4 D os puntos d e la recta lxson (6,3) y ( 2 , - 3 ) . D os puntos d e la recta l2son (0,2) y (6, - 2 ) . D eterm ine si /, y l2son rectas paralelas o perpendiculares. Solución D eterm ine las pendientes d e /j y l^. 3 - ( - 3 ) _ 6 _ 3 4 2 m x = 6 - 2 m 2 = 2 - ( - 2 ) 0 - 6 -6 C om o sus pendientes son diferentes, lxy l2 no so n paralelas. P ara ver si son p erp en diculares, necesitam os d ete rm in a r si sus p en d ien tes so n recíprocos negativos.
- 237. S ección 3.5 • L a form a p u nto pendiente de u n a e cu a ció n lineal • 2 0 9 Si m {m 2 = - 1 , las pendientes so n recíprocos d e signo contrario y, p o r lo tanto, las rectas son perpendiculares. AHORARESUELVAELEJERCICI015 Como el producto d e las pendientes es igual a - 1, las rectas son perpendiculares. # E J E M P L O 5 C onsidere la ecuación 2x + 4y = 8. D eterm ine la ecuación d e la recta q u e tiene una intersección del eje y d e 5 y es a) paralela a la recta dad a y b) perpendicular a la rec ta dada. SoIU C ¡Ón a) Si conocem os la pendiente de una recta y su intersección del eje y,podem os utilizar la form a pendiente intersección, y = m x + b, p ara escribir la ecuación. Em pezarem os p o r despejar y de la ecuación dada. 2 x + 4 y = 8 4 y = - 2 x + 8 - 2 x + 8 D os rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente d e la recta paralela a la línea dad a deb e ser C om o su pendiente es - y su inter sección y es 5, su ecuación deb e ser y = ~x +5 Las gráficas resultantes d e 2* + 4y = 8 y y = - x + 5 se m uestran en la figura 3.70. FIGURA 3.70 b) D os rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocos negativos. Sabemos que la pendiente de la recta dad a es - j . Por lo tanto, la pendiente d e la recta perpendicular deb e ser - 1 /( - o 2. L a recta perpendicular a la línea dad a tiene una intersección del eje y d e 5. Así, la ecuación es y = 2 x + 5 E n la figura 3.70 se m uestra tam bién la gráfica resultante d e y = 2x + 5. #
- 238. E J EM P L O 6 2 1 0 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones C onsidere la ecuación 5y = - 1 0 * + 7. a) D eterm ine la ecuación d e la recta q u e pasa p o r ( 4 ,|) , y q u e es perpendicular a la recta q u e resulta al graficar la ecuación dada. Escriba la ecuación en la form a general. b) Escriba la ecuación q u e determ inó en la parte a) por medio d e la notación d e fun ciones. S o l u c i ó n a) D eterm ine la pendiente d e la recta dad a despejando y d e la ecuación. 5 y = - 1 0 * + 7 - 1 0 * + 7 y = — c— AHORARESUELVAELEJERCICIO30 y = - 2 * + y Com o la pendiente d e la recta dad a es - 2, la pendiente d e una recta perpendicular a ella deb e ser el recíproco negativo d e - 2, q u e es 2■L a recta q u e buscam os deb e pasar p o r el punto (4 , 5). Por medio d e la form a punto pendiente, obtenem os y ~ yi = m ( x - * J Forma punto pendiente. A hora multiplicam os am bos lados d e la ecuación p o r el mínimo com ún denom inador, 6, p ara elim inar las fracciones. 2 (x - 4) 6 [ y - ~ ) = 6 6 y - 2 = 3 (* - 4) 6 y - 2 = 3 * - 12 D espués escribim os la ecuación en la form a general. - 3 * + 6 y - 2 = - 1 2 - 3 * + 6 y = - 1 0 Forma general. O bserve q u e 3* - 6y = 10 tam bién es una respuesta aceptable (vea la figura 3.71). b) Para escribir la ecuación utilizando la notación d e funciones, despejam os y d e la ecuación determ inada en la p arte a), y luego la reem plazam os p o r /(* ). D ejarem os q u e usted dem uestre q u e la función es / ( * ) = x - # z j SU G ERENCIA En la siguiente tabla se resumen las tres formas en que se puede presentar una ecuación lineal, de acuerdo con lo que hemos estudiado, y se menciona cuándo puede ser útil cada una de ellas. Forma general: ax + by = c Útil cuando se quieren determinar las intersecciones de una gráfica La usaremos en el capítulo 4, Sistemas de ecuaciones y desi gualdades (continúa en la página siguiente)
- 239. S e cción 3.5 • L a form a p u nto pendiente de u n a e cu a ció n lineal • 2 1 1 Se emplea para determinar la pendiente y la intersección del eje y de una recta Se utiliza para determinar la ecuación de una recta a partir de su pendiente y su intersección del eje y Se usa para determinar si dos rectas son paralelas o perpen diculares Se utiliza para graficar una ecuación lineal Forma punto pendiente: Se emplea para determinar la ecuación de una recta a partir de su pendiente yde uno de sus puntos y - y = m (x - X) Se utiliza para determinar la ecuación de una recta a partir de dos de sus puntos Forma pendiente intersección: y = m x + b C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 3 . 5 Ejercicios conceptuales L Indique la forma punto pendiente de una ecuación lineal. 4. ¿ft>rqué no puede utilizarse la prueba del recíproco nega- 2 ¿Cómo se puede determinar si dos rectas son paralelas? tivoPara determinar si una recta vertical es perpendicular 3. ¿Cómo se puede determinar si dos rectas son perpendi culares? a una recta horizontal? Problemas de aplicación Utilice laforma punto pendiente para determinar la ecuación de una recta con laspropiedades dadas. Luego escriba la ecuación en laforma pendiente intersección. 5. Pendiente = 2, pasa por (1,1) 6. Pendiente = -l,p a sa por (-2 ,3 ) 7. Pendiente = - —, pasa por (4 ,-1 ) 8. Pendiente = , pasa por (-8 , -2 ) o £ 9. Pendiente = - , pasa por (-1 , -5 ) 11. Pasa por (-4 ,6 ) y (4, -6). 13. Pasa por (4, -3 ) y (6, -2). 10. Pendiente = - —, pasa por (-1 , -2 ) 12 Phsapor (4 ,-2 ) y (1,9). 14 Phsapor (4,3) y (-1 ,2 ). Se dan dos puntos de fey dos puntos de fe. Determine si fees paralela a l* si feesperpendicular al ^ o si ninguna de estascondiciones se cumple. 15. fe: (2, 0) y (0,2); l¿ (5, 0) y (0, 5) 17. fe: (1,1) y (5 ,7 );fe: ( - 1 ,- 1 ) y (1,4) £ 19. /a: (3,2) y ( - 1 ,- 2 ) ; fe: (2,0) y (3 ,-1 ) 16. fe: (3,2) y ( — 1,5);/2: (5, - 1 ) y (9, -4 ) 18. fe: ( -3 ,4 ) y (4, -3 ); fe: (-5 , - 6 ) y (6, -5 ) 20. fe: (0, 2) y (6, 2);Z2: (4, 0) y (6,3) Determine si las dos ecuaciones representan líneas paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas. 2L y = ~ x + l y = —5x + 2 25. Ax + 2y = 6 - x + 4y = 4 2 2 l x + 3y = 6 2 y = - - * + 5 26. 6* + 2y = 8 4x - 9 = - y £ 23. 4* + 2y = 8 8x = 4 —4y - 3 y = 6* + 9 24 2x - y = 4 2x + 4y = 8 28. 2y —6 = —5x y = - - 2
- 240. 212 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones 29. y = 2 X + 3 - 2 x + 4y = 8 30. —4x + 6y = 12 2x - 3y = 6 31. x - 3 y = - 9 y = 3x + 6 Determine la ecuación de una recta con las propiedades dadas. Escriba la ecuación en la forma indicada. « 33. Pasa por (2,5) y es paralela a la gráfica de y = 2x + 4 (for ma pendiente intersección). 34. Pasa por (-3 ,2 ) y es paralela a la gráfica de 4x - 2y = 6 (forma pendiente intersección). 35. Pasa por (-3 , -5 ) y es paralela a la gráfica de 2x - 5y = 7 (forma general). 36. Pasa por (-1 ,3 ) y es perpendicular a la gráfica de y = -2 x - 1 (forma general). 37. Cbn intersección del eje x en (3,0) e intersección del eje yen (0,5) (forma pendiente intersección). 38. Pasa por (-2 , -1 ) y es perpendicular a la gráfica de — _]_x + j (notaciónde funciones). 39. Pasa por (5, -1 ) y es perpendicular a la gráfica de y = —.r + 1 (notaciónde funciones). 40. Pasa por (-3 ,4 ) y es perpendicular a la recta con intersec ción del eje x en (2,0) e intersección del eje y en (0,2) (forma general). 41. Pasa por (6,2) y es perpendicular a la recta con intersec ción del eje* en (2,0) e intersección del eje y en (0, -3 ) (forma pendiente intersección). 42. Pasa porel punto (2,1) yes paralela a la recta que pasa por tos puntos (3,5) y (-2 ,3 ) (notación de funciones). Resolución de problemas 43. Rutina en una caminadora El número de calorías que se quemanen una hora de ejercicio en una caminadora es una función de la velocidad que se emplea. Una persona pro medio que se ejercita en una caminadora (con una inclina ción de 0o) a una velocidadde 25 millas por hora, quemará alrededorde 210calorías.A 6 millas por hora, esta persona quemará más o menos 370 calorías. Sea C las calorías que s queman en una hora y s lavelocidad de la caminadora. a) Determine una función lineal C(s) que se ajuste a los datos. b) Calcule las calorías que quema una persona promedio qercitándose 1 hora en la caminadora a una velocidad de 5 millas por hora. 44. Caminadora inclinada El número de calorías que se que man por hora al hacer ejercicio en una caminadora a ve locidad constante, es una función de la inclinación de la misma. A 4 mph por hora y con una inclinación de 5o,una persona promedio quemará 525 calorías; a 4 mph y con una inclinaciónde 15°,la misma persona quemará 880 calo rías.Sea C las calorías quemadas y d tos grados de inclina ciónde la caminadora. a) Determine una función lineal C(d) que se ajuste a los datos. b) Calcule el número de calorías que quema una persona promedio alejercitarse durante una hora en una camina dora a 4 millas por hora y con una inclinación de 7o. 45. Demanda de reproductores de D VD La demanda de un producto se refiere al número de ejemplares de ese pro ducto que el público estádispuesto a comprar a un precio dado. Suponga que la demanda, d, de reproductores de DVD vendidos en un mes es una función lineal del pre cio,p, para $150 ^ p $400. Siel precio es $200,entonces se venderán 50 aparatos de DVD por mes. Si el precio es $300, sólo se venderán 30. a) Usando los pares ordenados de la forma (p, d), escri ba una ecuación en que la demanda, d,sea una función del precio,p. b) Rjr medio de la función resultante de la parte a), deter mine la demanda cuando el precio de los reproducto res de DVD es $260. c) Itor medio de la función resultante de la parte a), deter mine el precio de los reproductores de DVD si su de manda es 45. 46. Demanda decomida rápida El gerente de mercadotecnia efeun restaurantede comida rápda determinaque lademan da, d,de una nueva ensalada de pollo es una función lineal de su precio,p, para $0.80 < p < $4.00.Si el precio es $1.00, entonces cada mes se venderán530 ensaladas de pollo; siel precio es $2.00,sólo se venderán 400 ensaladas al mes. a) Usando los pares ordenados de la forma (p, d), escri ba una ecuación en que la demanda, d,sea una función del precio,/?. b) Itor medio de la función resultante de la parte a), deter mine la demanda cuando el precio de las ensaladas de pollo es $1.50. c) R>rmedio de la función resultante de la parte a),deter mine el precio de las ensaladas de pollo si su demanda es 205. 47. Oferta de yo -yo s La oferta de un producto se refiere al número de ejemplares de ese producto que un vendedor estádispuesto a vender a un precio dado. La empresa que fabrica un nuevo tipo de y o -y o para niños determina que el número de yo-yos que estádispuesta a proveer, s.
- 241. Sección 3 .5• L a form a p u nto pendiente de u n a e cu a ció n lineal • 2 1 3 es una función lineal de su precio de venta /?,para $2.00 ^ p =£$4.00. Si un y o -y o se vende a $2.00, entonces se pondrán a la venta 130al mes;si se venden a $4.00,enton ces se pondrán a la venta 320 al mes. a) Usando los pares ordenados de la forma (p, s),escriba una ecuaciónen donde la oferta,*,sea una función del precio,/?. b) R>rmedio de la función resultante de la parte a),deter mine la oferta cuando el precio de los yo-yos es de $2.80 cada uno. c) R>rmedio de la función resultante de la parte a),deter mine el precio a pagar si la oferta es de 225 yo-yos. 48. Oferta de corriólas El fabricante de carreólas para bebé determina que la oferta, s,es una función lineal de su pre cio de venta, /?,para $200 ^ p ^ $300. Si una carreóla se vende a $210.00,entonces se pondrán a la venta 20 al mes. Si una carreóla se vende a $230.00,entonces se pondrán a la venta 30 al mes. Vf '■ m m a) Usando los pares ordenados de la forma (p, *),escriba una ecuaciónen donde la oferta, *,sea una función del precio,/?. b) ft?r medio de la función resultante de la parte a),deter mine la oferta cuando el precio de una carriola es de $206.00. c) Itor medio de la función resultante de la parte a),deter mine el precio a pagar si la oferta es de 35 carritos. 49. Gasto degasolina La cantidad de millas por galónde ga solina, m, que puede recorrer un automóvil, es una fun ción lineal de la velocidad, *,a la que éste se conduce, para 40 ^ s ^ 90.Si el automóvil se conduce a 45 mph, el ren dimiento de la gasolina es de 40 millas por galón. Si el au tomóvil se conduce a 90 mph,el rendimiento de la gasolina es de 25 millas por galóa Fuente: h/p://physics.nadn.navy.mil/physics/faculty/ schneider/buick.htm a) Utilice esta información para escribir el rendimiento, en millas por galón de gasolina, m, como una función de la velocidad, s del automóvil. b) R>rmedio de la función resultante de la parte a),deter mine el rendimiento, en millas por galón, del automó vil conducido a una velocidad de 60 mph. c) ft>rmedio de la función resultante de la parte a),deter mine la velocidad a la cual se debe conducir el auto móvil para obtener un rendimiento de 30 millas por galón de gasolina. 50. Gasto degasolina La cantidad de millas por galón de ga solina, m,de otro automóvil es una función lineal de la ve locidad,*^ la que éste se conduce,para 40 < s <90.Si este automóvil se conduce a 45 mph, su rendimiento es de 50 millas por galón; si el automóvil se conduce a 90 mph, su rendimiento es de 20 millas por galón. a) Utilice esta información para escribir el rendimiento de este automóvil, en millas por galón de gasolina, m, como una función de la velocidad, s. b) Por medio de la función resultante de la parte a), de termine el rendimiento, en millas por galón de gaso lina, si el automóvil se conduce a una velocidad de 60 mph. c) R>rmedio de la función resultante de la parte a),deter mine la velocidad a la que debe conducirse este au tomóvil para obtener un rendimiento de 30 millas por galón de gasolina. 5L Salario oficial El pago mensual que recibe un oficial del ejército, es una función lineal de los años que ha dedica do al servicio. Un oficial con diez años de servicio recibe $3477 al mes, mientras que otro con 20 años de servicio recibe $4168 al mes. a) Utilice estos datos para escribir el pago mensual,p, co mo una funciónde los años de servicio,*. b) ft>rmedio de la función resultante de la parte a), deter mine el salario mensual que recibe un oficial con 18 años de servicio. c) R>rmedio de la función resultante de la parte a), deter mine el número de años de servicio necesarios para que un oficial gane un salario mensual de $4000. 52. Salario magisterial El salario anual de un profesor uni versitario es una función lineal del número de años que se ha dedicado a la docencia. Un profesor con nueve años de experiencia recibe $26,350;un profesor con 15 años de ex periencia recibe $31,687. a) Utilice estos datos para escribirel salario anual, *,de un profesor, como una funcióndel número de años de ex periencia como docente,/!. b) R>rmedio de la función resultante de la parte a), deter mine el salario anual de un profesor con diez años de experiencia. c) Ibr medio de la función resultante de la parte a), cal cule el número de años de experiencia que debe tener un profesor para ganar un salario anual de $30,000. 53. Esperanza de sobrevida Cómo puede verse en la siguien te gráfica, la esperanza de sobrevida de una persona, en número de años, y, es casi una función lineal. La esperan za de sobrevida es una función de la edad actual, a,de la persona, para 30 < a < 80. Porejemplo, con base en la grá fica vemos que una persona de 50 años tiene un esperan za de sobrevida de 36.0 años más. Esperanza de sobrevida y fin 30 40 50 60 70 80 Edad actual Fuente: TIA A /C REF.
- 242. 2 1 4• C apítulo 3 • Gráficas y funciones a) Apartirde losdos puntos indicados en la gráfica,deter mine la función y(a) que puede usarse para obtener la gráfica. b) ft>rmedio de la función resultante de la parte a), calcu le la esperanzade sobrevida de una persona que actual mente tiene 37 años de edad. c) ft>rmedio de la función resultante de la parte a),calcu le laedad actual de una persona que tiene un esperanza de sobrevida de 25 años. 54. Losviolines Gesu Los violines Gesü fabricados a mano al rededor de 1735 por el italiano Giuseppe Antonio Guar nen, son extremadamente raros y valiosos. La siguiente gráfica muestra que el valor proyectado, v, de un violín Gesü, es una función lineal de su antigüedad en años, a, para 261 < a < 290. 55. Peso El siguiente diagrama muestra la altura y peso de un grupo de niños varones desde el nacimiento hasta los 36 meses de edad, en percentiles. En general, las gráficas que lo integran no son resultado de funciones lineales; sin embargo, ciertas partes de ellas pueden calcularse me diante una función lineal. Porejemplo, la gráfica que repre senta el percentil 95 del peso de los niños (la línea superior de la sección Peso,) entre 18y 36 meses de edad, es más o menos lineal. Valor de un violín Gesu £ V. o 20 261 275 Edad del violín (años) F uente: M achold Rare Violins, LTD. a) Determine la función v(a) representada por esta línea. b) Rjr medio de la función resultante de la parte a),deter mine el valor proyectado de un violín Gesü con 280 años de antigüedad. c) R>rmedio de la función resultante de la parte a),deter mine la edad de un violín Gesü con un valor proyecta do de $15 millones. G uarnen del Gesü, “Sainton”, 1741. F uente: C entro N acional para E stadfcticasde Salud a) Utilice lospuntos que se muestran en la gráfica del per centil95 para escribirel peso,w,como una funciónlineal de la edad, a,para niños entre 18 y 36 meses. b) ft>r medio de la función resultante de la parte a), cal cule el peso de un niñode 22 meses que forma parte del percentil 95 de peso. Compare su respuesta con la grá fica para ver si corresponden. 56. Estatura El diagrama del ejercicio 55 muestra que la gráfica del percentil 95 de estaturas (la línea superior) de los niños en edad de 18 a 36 meses, es más o menos lineal. a) Utilice lospuntos que se muestran en la gráfica del per centil 95 para escribir la estatura, /, como una función lineal de la edad, a,para niños entre 18 y 36 meses. b) ft>rmedio de la función resultante de la parte a), calcu le la estatura de un niño de 21 meses que forma parte del percentil 95. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponden. Niños: 0 a 36 meses Percentiles de estatura y peso por edad 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 Edad (meses)
- 243. S e cción 3 .6 • Á lge b ra d e funcion e s « 2 1 5 Actividad en equipo 57. La siguiente gráfica muestra el crecimiento de la circunfe rencia de la cabeza de un grupo de niñas. La línea central representa la circunferencia promedio de la cabeza de todas las niñas para la edad dada, mientras que las líneas inferior y superior representan los límites respecto del rango normal. Analice y responda en equipo las siguientes preguntas. a) Explique por qué la gráfica de la circunferencia pro medio de la cabeza representa una función. b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la varia ble dependiente? c) ¿Cuál es el dominio de la gráfica de la circunferencia promedio de la cabeza? ¿Cuál es el rango? d) ¿Cuál es el intervalo considerado como normal para niñas de 18 años? e) En esta gráfica, ¿la circunferencia de la cabeza es una funciónde la edad, o la edad es una función de la cir cunferencia de la cabeza? Explique su respuesta. f) Calcule la circunferencia promedio de la cabeza de las niñas a los 10y a los 14 años. Ejercicios de repaso acumulativo g) Esta gráfica es casi lineal. Determine una ecuación o funciónque pueda usarse para calcular la línea central entre (2,48) y (18,55). Circunferencia de la cabeza [2.5] 58. Resuélvala desigualdad4 - x > 2x + 3 e indi que la soluciónen notaciónde intervalos. 59. Giando ambos lados de una desigualdad se multi plicano dividen por un número negativo, ¿quédebe hacer? [3.2] 60. a) ¿Qué es una relación? 6L b) ¿Qué es una función? c) Dibuje una gráfica que represente una relación pero que no sea una función. Determine el dominio del rango de la función {(4,3), (5 ,-2 ),(3 ,2 ) (6,-1)}. 3 . 6 Á L G E B R A D E F U N C IO N E S a & 1 Determinar la sum a, diferencia, producto y cociente de las funciones. 2 Representar gráficamente la sum a de funciones. 1 Determinar la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones A continuación analizarem os algunas form as en las q u e se pueden com binar las fun ciones. Si determ inam os q u e /( * ) = * + 2 y g(x) = x2 + 2xypodem os encontrar /( 5 ) y g(5) com o sigue. / ( * ) = x + 2 g ( x ) = x 2 + 2x / ( 5 ) = 5 + 2 = 7 g( 5) = 52 + 2 (5 ) = 35 Si sum am os/( * ) + g(x), obtenem os / ( * ) + g ( x ) = ( x + 2) + (x2 + 2x) = x 2 + 3 x + 2 Edad (años) Fuente:C entro N acional para Esladfelicas d e S alu d d e E stados U n idos
- 244. 2 1 6• C apítulo 3 • Gráficas y funciones E J E M P L O 1 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO11 E sta nueva función, conform ada p o r la sum a d e /( * ) y g(x), se designa com o ( f + g ) (*). Por lo tanto, podem os escribir ( / + * )(* ) = x 2 + 3 x + 2 D eterm inam os ( f + g)(5) com o sigue. ( / + 8)15) = 52 + 3 (5) + 2 = 25 + 15 + 2 = 42 O bserve que /(5 ) + g ( 5) = ( / + *)(5) 7 + 35 = 42 Wsrtiadero D e hecho, p ara cualquier núm ero real con q u e sustituya a:,encontrarem os que / ( * ) + g ( x ) = ( / + g) ( x ) Existe una notación similar p ara la resta, la m ultiplicación y la división d e funciones. O p e ra c io n e s s o b re fu n c io n e s Si f(x) representa una función, g(x) representa una segunda función y x está en el dominio de ambas, entonces pueden realizarse las siguientes operaciones sobre funciones. Suma de funciones: (f + g)(x) = f (x) + g(x) Diferencia de funciones: ( / - g)(x) = f(x) - g(x) Producto de funciones: f ' g ) ( x ) = f (x) • g(x) Cociente de funciones: (f / g ) ( x ) = siempre queg(x) # 0. Si f ( x ) = x 2 + x - 6 y g(x) = x - 2, determ ine a) ( / + *)(*) b) ( / - *)(*) c) (g - / ) ( * ) d ) ¿C uándo ( / - g ) ( x ) = ( g - / ) ( * ) ? Para responder las partes d e a) a c),realizam os las operaciones indicadas. a) ( / + * ) (* ) = / ( * ) + g(x) = (x2 + x - 6 ) + (* - 2) = x 2 + x - 6 + x - 2 = x 2 + 2 x - 8 b) ( / - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = ( x 2 + x - 6) - ■(* - 2) = x 2 + x - 6 - x + 2 = x 2 - 4 C ) ( g - f ) ( x ) = g ( x ) - f { x ) = (x - 2) - ( x 2 + x - 6) = x - 2 - x 2 - x + 6 = - x 2 + 4 d ) Al com parar las respuestas d e las partes b) y c), vemos que ( / - g )(x ) * ( g - f ) { x ) i E JE M P L O 2 Si f { x ) = x 2- 4 y g(^) = x - 2 , determine a) ( / - g)(6) b) (/-g )(4 ) c) ( f / g ) { 8)
- 245. S e cción 3 .6 • Á lge b ra de funcione s • 2 1 7 Solución a) ( / - g ) [ x ) = f ( x ) - g { x ) = ( x 2 - 4 ) - ( x - 2 ) = x 2 - x - 2 ( / - * )(6 ) = 6* - 6 - 2 = 3 6 - 6 - 2 = 28 Tam bién podríam os haber encontrado la solución com o sigue: f ( x ) = x2 - 4 g ( x ) = x - 2 f { 6) = 62 - 4= 32 g ( 6) = 6 - 2 = 4 ( / - 8 )(6 ) = / ( 6 ) - g (6 ) = 32 - 4 = 28 b) E ncontrarem os (/ • g)(4) utilizando el hecho d e que ( /• S ) ( 4 ) = / ( 4 ) ’ g (4 ) f ( x ) = x 2 - 4 g (x ) = x - 2 f ( 4 ) = 42 - 4 = 12 g (4 ) = 4 - 2 = 2 A sí f ( 4 ) • g(4) = 12 • 2 = 24. Por lo tanto, ( / • g)(4) = 24.Tam bién podríam os haber encontrado (/• g)(4) multiplicando / ( x) • g(x) y sustituyendo luego 4 en el producto. A nalizarem os cóm o hacer esto en la sección 5.2. c) D eterm inarem os (//g )(8 ) p o r medio del hecho de que ( / / * ) ( 8) = / ( 8 )/g ( 8) f ( x ) = x 2 - 4 g ( x ) = x - 2 / ( 8) = 82 - 4 = 60 g (8 ) = 8 - 2 = 6 E n to n ces/(8 )/g (8 ) = 60/6 = 10. Por lo tanto, (//g )(8 ) = 10.Tam bién podríam os haber encontrado (//g )(8 ) dividiendo f ( x ) ¡ g ( x ) y sustituyendo luego 8 en el cociente. AHOR A RESUELVA ELEJERCICIO31 A nalizarem os cóm o hacer esto en el capítulo 5. # Observe q u e hem os incluido la frase “y x está en el dom inio d e am bas funciones” en el cuadro Operaciones sobre funciones d e la página 216. Como se m encionó anterior m ente, el dom inio d e una función es el conjunto d e valores q u e pueden ser usados por la variable independiente. Por ejem plo, el dom inio de la función / ( x) = 2X2 - 6x + 5 es todos los núm eros reales, ya q u e cuando x es cualquier núm ero real,/( * ) tam bién será un número real. El dom inio d e g (* ) = — es todos los números reales excepto x j 3, ya q u e cuando x es cualquier núm ero real excepto 3, la función g(x) es un número real. Cuando * es 3, la función no es un número real, ya q u e ¿ es indefinido. Estudiare mos el dom inio d e funciones con m ayor detalle en la sección 6.1. 2 Representar gráficamente la suma de funciones A hora explicarem os cóm o podem os representar gráficam ente la sum a, la diferencia, el producto o el cociente de dos funciones. L a figura 3.72 en la página 218, m uestra dos funciones,/( * ) y g(*). Para graficar la sum a de f ( x ) y g ( x ), o ( f + g){x), utilizam os ( / + g)(*) = f ( x ) + g(x). L a siguiente tabla proporciona los valores enteros d e x desde - 2 hasta 4, los valores d e / ( - 2 ) a /( 4 ) y los valores d e g( - 2 ) a g(4). E stos valores se tom aron direc tam ente d e la figura 3.72. Los valores d e ( / + g )( - 2 ) a ( / + g)(4) se determ inaron su mando los valores d e /( * ) y g(jr). L a gráfica d e J + g)(x) = f ( x ) + g(x) se ilustra como línea discontinua en la figura 3.73.
- 246. 2 1 8• C apítulo 3 • Gráficas y funciones AHOR A RESUELVA EL EJERCICIO 4 3 E J E M P L O 3 Solución X m g(x) < / + g)(x) - 2 -3 1 - 3 + 1 = - 2 -1 0 1 0+ 1= 1 0 3 1 3 + 1 = 4 1 3 -2 3 + ( - 2 ) = 1 2 3 0 3 + 0 = 3 3 -2 0 - 2 + 0= -2 4 -3 3 - 3 + 3 = 0 Podríamos graficar la diferencia,el producto o el cociente d e dos funciones usan do una técnica similar. Por ejem plo, para graficar la función producto ( / • g){x), p o dríam os evaluar ( f • g ) ( - 2) com o sigue: ( / • í r ) ( - 2 ) = / ( - 2 ) - g ( - 2 ) = (-3 )(1 ) = -3 Así, la gráfica d e (/• g)(x) tendría un p ar ordenado en ( - 2 , - 3 ) . O tros pares ordena dos se determ inarían siguiendo el mismo procedim iento. E n periódicos y revistas encontram os con frecuencia gráficas q u e m uestran la sum a d e dos funciones; este tipo d e gráficas p o r lo general se ilustra d e dos formas. E n el ejem plo 3 se m uestra una d e ellas, y la o tra en el ejem plo 4. Cuentas en fondos mutualistas E l núm ero d e cuentas en fondos m utualistas se ha elevado d e m anera im portante desde 1980. L a siguiente gráfica m uestra las cuentas en tres categorías de fondos mutualistas, y el total d e estas tres categorías p ara años se leccionados entre 1980 y 2000. a) ¿Cómo se determ ina la gráfica del número total d e cuentas, T, a partir d e las gráficas d e las cuentas en acciones, 5, en bonos/híbridos, B , y en m ercado d e valores, Af? b) ¿E n q u é periodo d e cinco años aum entó m ás el núm ero d e cuentas en acciones? c) Si y representa el año, describa q u é representa la función (B + M)(y). a) E n la figura 3.74, las gráficas para cuentas en acciones, bonos/híbridos y m ercado de valores se m uestran d e form a se p arad a en los m ism os ejes. L a gráfica p a ra el total d e estas cuentas se o b tien e sum ando el núm ero d e cuentas en acciones, bo n o s/h í bridos y en m ercado d e valores. Por ejem plo, en 1995 había alrededor d e 70 millones d e cuentas en acciones, casi 30 millones d e cuentas en bonos/híbridos y alrededor de
- 247. S e cción 3 .6 • Á lge b ra d e funcion e s • 2 1 9 FIGURA 3.74 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57 E J E M P L O 4 Cuentas en fondos mutualistas Año fu e n te : Instituto d e C om pañ ía, d e In vcrsión dc Estados U n id os 25 m illones d e cuentas e n m ercado d e valores. L a sum a d e estos núm eros e s igual a 125 millones,q u e es el núm ero total d e cuentas q u e se m uestra en la gráfica p ara 1995. O tros puntos en la gráfica del total d e cuentas se determ inan d e la misma manera. b) D e 1980 a 1985 y d e 1985 a 1990,el aum ento del número d e cuentas en acciones fue mucho m enor q u e 50 millones. D e 1990 a 1995 el aum ento en el núm ero d e cuentas en acciones fue d e más o m enos 50 millones. E ntre 1995 y 2000 el aum ento fue mucho m a yor q u e 50 millones. Por lo tanto, el aum ento más grande en el núm ero d e cuentas de acciones tuvo lugar d e 1995 a 2000. c) Si y representa el año, entonces B(y) representa el núm ero d e cuentas en bonos/ híbridos y M ( y ) representa el número d e cuentas en m ercado d e valores en el año y. La función (B + M ) ( y) es igual a B(y) + M(y). Por consiguiente, (B + M)( y) se refiere a la sum a del núm ero d e cuentas e n bonos/híbridos y el número d e cuentas en m erca do d e valores en el año y. # E n el ejem plo 4 tam bién se m uestra la sum a d e funciones; esta vez, las catego rías “se apilan” una encim a d e la otra. U so del gas natural L a gráfica d e la figura 3.75 m uestra el uso d e gas natural en E stados U nidos, d e acuerdo con tres categorías: residencial/com ercial, industrial y servicio público/transporte p ara años seleccionados en tre 1950 y 2000. L a cantidad d e gas natural q u e se em plea en cada categoría es una función del año. L a cantidad to tal d e gas natural q u e se utiliza, indicada p o r la línea superior, tam bién es una función del año. 1960 1970 1980 1990 2000 A ño Fuente: Departam ento d e E nergía d e E stados Unidos. Uso del gas natural en Estados Unidos Residencial/comercial FIGURA 3.75
- 248. 2 2 0• C apítulo 3 • Gráficas y funciones a) Calcule la cantidad d e gas natural destinado al uso residencial/com ercial en 2000. b) Calcule la cantidad d e gas natural destinado al uso industrial en 2000. c ) Calcule la cantidad d e gas natural destinado al uso en servicio público/transporte en 2000. d) Calcule la cantidad total d e gas natural utilizado en 2000. S o l u c i ó n a) Al leer la gráfica, vemos q u e la cantidad d e gas natural destinado al uso residencial e n 2000 (indicada p o r el área inferior d e la gráfica) fue d e más o m enos 8 billones de pies cúbicos. b) La siguiente área d e la gráfica representa la cantidad d e gas natural destinado al uso industrial. E n 2000, esta área inicia en 8 billones y term ina aproxim adam ente en 19 b i llones. L a diferencia en tre estos dos valores, 19 billones- 8 billones, es 11 billones. Por lo tanto, más o m enos 11 billones d e pies cúbicos d e gas natural fueron destinados al uso industrial en 2000. c ) La siguiente área d e la gráfica representa la cantidad d e gas natural destinada al ser vicio público/transporte. E n 2000, esta área inicia en 19 billones y term ina e n aproxi m adam ente 39 billones. L a diferencia entre estos dos valores, 39 billones-1 9 billones, es 20 billones. Por lo tanto, alrededor d e 20 billones d e pies cúbicos de gas natural se destinaron al uso d e servicio público/transporte en 2000. d) E n 2000, la cantidad total d e gas natural utilizado en Estados U nidos fue d e casi 39 billones d e pies cúbicos. Esto puede interpretarse directam ente a partir d e la gráfica. O bserve tam bién q u e 39 billones es el resultado d e sum ar las cantidades determ inadas E n el ejem plo 4, la cantidad total d e gas natural utilizado en cualquier año es la sum a del gas natural destinado a las tres categorías. Por ejem plo, si sum am os las res puestas obtenidas en las partes a), b) y c), obtenem os 8 + 11 + 20 = 39. Así, en 2000 se utilizaron alrededor d e 39 billones d e pies cúbicos d e gas natural. L a línea superior d e la gráfica m uestra la cantidad total d e gas natural usado. AHORARESUELVAELEJERCICIO59 en las partes a), b) y c). # nes. U na m anera d e lograrlo es introducir las funciones d e form a individual. Luego, siguiendo las instrucciones q u e vienen con su calculadora, puede sum arlas, restarlas, m ultiplicarlas o dividirlas. Por ejem plo, la pan talla de la figura 3.76 m uestra una T I-8 3 Plus preparada para graficar Y, = x - 3, Y2 = 2x + 4, y la sum a d e las funciones, Y3 = Y, + Y2. Para obtener Y3 = Y , + Y 2en la T I-8 3 Plus, presione la tecla V A R S ¡. Luego m ueva el cursor a Y —VARS y seleccione 1: Function. A h o ra presione: Function. A h o ra presione: [ T ] p ara introducir Y ,; luego presione presione V A R S y vaya a Y -V A R S p ara seleccionar l:Function. Por últim o, presione 2 p ara introducir Y2. L a figura 3.77 m uestra las gráficas d e las dos funciones y la gráfica d e la sum a d e las funciones. FIG U R A 3.76 FIG U R A 3.77
- 249. S e cción 3 .6 • Á lge b ra d e funcion e s • 2 2 1 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 3 . 6 Ejercicios conceptuales L Para todos los valores de x, ¿f ( x) + g(x) = (f + g) (x)? 2. Para todos los valores de x, ¿/(x) - g(x) = (f - g) (x)? 3. ¿Qué restricción se impone a la propiedad /(x)/g(x) = (//g)(r)? Explique. 4. Para todos los valores de x, ¿ (/ + g)(x) = (g + /)(x)? Explique y proporcione un ejemplo que apoye su res puesta. 5. Para todos los valores dex, ¿(f —g)(x) = (g —/)(x)? Ex plique y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta. 6. Si f(2) = 9 y g(2) = -3 , determine Problemas de aplicación a) ( f + g)(2) b) ( / - g)(2) 0 ( f - g ) ( 2) d ) (//g )(2 ) 7. Si/ ( — 2) = - 3 y g ( - 2 ) = 5, determine a) ( / + g )(-2 ) b) ( / - g )(— 2 ) 0 2) d) (//g)(-2) 8. S i/(7 ) = 6 y g (7 ) = 0 ,determine a) ( / + g)(7) b) ( / - g)(7) O i f - g ) ( 7) d ) (//g )(7 ) ftra cada par de funciones, determine a) (f+ g)(x), A) ( / + g) (a) y c) ( f + g)(2 ). 9. f ( x ) = x + l,g (x ) = x2 + x 11. /( x ) = -3 x 2 + x - 4, g(x) = x3 + 3x2 13. f ( x ) = 4x3 - 3x2 - x, g(x) = 3X2 + 4 10. /( x ) = x2 - x - 2, g (x) = x2 + 1 12. /( x ) = 4x3 + 2x2 - x - 1 ,g(x) = x3 - x 2 + 2x + 3 14 f ( x ) = 3x2 - x + 4, g (x) = 6 - 4x2 S e a /(x )= x 2 - 4 y g (x ) = 15. /(3 ) + g(3) !»• / T i - «I 2L «a: 24 g (6 )-/(6 ) -5x + 3. Determine: 16- /(7 ) + g(7) e 19. / ( 3)-g(3) 22. / ( - 2 )/g (-2 ) 25. g (0 )//(0 ) Sea /(x ) = 2xL- x y g(x) = x - 6. Determine: 27. ( / + g)(x) 30. ( / + g ) ( - l ) 33. (/-g )(0 ) 36- (//g )(6 ) “ 39. (g - /)(x ) 28. ( / + g)(a) 31. ( / - g )(-3 ) 34. ( / - g ) ( - 5) 37. (g //)(5 ) 40. (g - /) ( r ) 17. / ( - 2 ) - g (— 2) 20. / ( - 4 ) - g ( - 4 ) 23. g (-3 ) - / ( - 3 ) 26. /(2 )/g (2 ) 29. ( / + g)(0) 32. ( / - g)( 1) 35- ( / / g ) ( - l ) 38. (g - /)(3 ) Resolución de problemas Pbr medio de la gráfica, determine el valor de: 4 L ( / + g)(0) 42. ( / - g)(0) S 43. ( /• g)(2) 44. ( / / g )(4 ) 45* (g —/ ) ( — 1) 46. (g + / ) ( - 3 ) 47. (g //)(4 ) 48. ( g - /) ( - 3 )
- 250. Por medio dela gráfica siguiente, determine el valor de: 2 2 2 • C apítulo 3 • Gráficas y funciones 49. ( f + g )(3) 5L ( / '« ) ( ! ) 53. (//« )(4 ) 55. (« //)(2 ) 5«. ( / - g)(3) 52. (g - /)(2 ) 5 4 (g //)(5 ) 5 4 (g ‘/)(0 ) 57. Gastos en salud La siguiente gráfica muestra los gastos de salud en instituciones privadas y públicas en Estados Unidos, así como el total para años seleccionados entre 1970 y 2000. Gasto en salud en Estados Unidos b) ¿Durante qué periodo de diez años la cantidad de elec tricidad generada a partirde fuentes nucleares aumen tó más? c) ¿Cuál de las cuatro categorías indicadas aumentó me nos de 1960 a 2000? Fuentes de electricidad 59. Beneficiarios de seguridad social La siguiente gráfica muestra el número de beneficiarios de seguridad social con derecho a tratamiento hospitalario en dos categorías: discapacidad por invalidez y discapacidad por vejez, para años entre 1980 y 2000. a) ¿Cómo se determinó la gráfica para los gastos totales a partir de las rectas de los gastos en instituciones pri vadas e instituciones públicas? b) ¿Durante qué periodo de 10 años el monto total de gastos en salud aumentó menos? c) ¿Durante qué periodo de 10 años el monto total de gastos en salud aumentó más? 58. Fuentes de electricidad La siguiente gráfica muestra las fuentes de la electricidad generada en Estados Unidos pa ra años seleccionados entre 1960 y 2000. a) ¿Cómo se determinó la gráfica de la electricidad total generada a partir de las gráficas de la electricidad ge nerada utilizando fuentes fósiles, nucleares y otras? Beneficiarios de seguridad social ü-atamiento hospitalario 10,000 8000 8 6000 .2 4000 va 8 £ 2000 Discapacidad por invalidez Discapacidad por vejez 1980 1985 1995 2000 1990 Año Fuente: Administración Financiera d e Seguridad Social, D ivisión de Presupuesta a) Calcule el número de personas con derecho a trata miento hospitalario en la categoría discapacidad por vejez en 2000. b) Calcule el número de personas con derecho a trata miento hospitalario en la categoría discapacidad por invalidez en 2000. c) Calcule el número total de personas con derecho a tra tamiento hospitalario en 2000. 2 Año Fuente: Departam ento d e E nergíade E stados Unidos. Año F uente: Departam ento d e Salu d y S ervicios H um anos d e Estados U n id os
- 251. Se cció n3 .6 • Á lge b ra d e fun cione s • 2 2 3 60. Asistencia alimentaria La gráficade la derecha muestra el número de participantes en los programas de asistencia ali mentaria, clasificada de acuerdo con estas categorías: vales para alimentos, programas escolares (incluyendo almuer zo, desayuno y programas de alimentación en guarderías infantiles) y mujeres-recién nacidos-niños (MRN). a) Calcule el número de participantes en el programa de vales para alimentos en 2000. b) Calcule el número de participantes en los programas escolares en 2000. c) Calcule el número de participantes en los programas MRN en 2000. d) Calcule el número total de todos losprogramas de asis tencia de alimentación en 2000. Programas de asistencia alimentaria 8 0 6 0 4 0 £ 20 MRN Programas escolares Vales de o 1970 1980 1990 Año F uente: Departam ento d e Agricultura d e E stados Unidos. 2000 Fhra los ejercicios 61 a 66, sean f y g dos funciones graficadas en los mismos ejes. 61. Si,en a,(f+ g)(a) = 0, ¿qué condicióndeben cumplirf(a) y 62. Si,en **,(/• g)(a) =0, ¿quécondicióndeben cumplirf(a) yg(fl)? “ 63. Si,en a, (f - g)(a) = 0, ¿qué condicióndeben cumplirf(a) y *(«)? 64. S i,en a,(/-g )(a) < 0, ¿quécondicióndeben cumplirf(a) yg(*)? 65. Si, en a, (//g) (a) < 0, ¿qué condición deben cumplir f(a) y s W 66. Si,en a, ( /• g)(a) < 0, ¿quécondicióndeben cumplirf(a) y«(«0? Grafique las siguientes funciones en su calculadora graficadora. 67. = 2x + 3 68. yi = x - 3 69. y x = x yz = - x + 4 y i = 2 x y i = x + 5 yj = yi + yi y* = y - yi = y r y i 70. y i = 2 x 2 - 4 yi = x y 3= y j y ¿ á f Actividad en equipo 7L Calificaciones La siguiente gráfica muestra las calificacio nes promedio que obtuvo un grupo de estudiantes en las pruebas de aptitud en matemáticas y en habilidades ver bales para los años 1992 a 2002. Suponga que/represen ta las calificaciones en matemáticas y g las calificaciones en habilidades verbales, y que t representa el aña Tracen en equipo una gráfica que represente ( / + g)(/). Tendencia durante 10 años en calificaciones de pruebas de aptitud Año Fuente: U SA T oday,28 de agosto d e 2002.
- 252. 2 2 4• Capítulo 3 • Gráficas y funciones E je rc ic io s d e re p a s o a c u m u la tiv o [1.5] 72. Evalúe (-3 ) “3. [3.1] 76.Grafique y =|x |- 2. [1.6] 73. Exprese 1,630,000 en notación científica. [3 3 ] 7?<Grafique 3* - 4y = 12. [2.2] 74. Despeje h en A = bh. [2.3] 75. Lavadora El precio de unalavadora, incluyendo 6% de impuesto, es de $477. Determine su precio sn tomar en cuenta el impuesto. 3 . 7 G R A F IO A C IÓ N D E D E S IG U A L D A D E S L IN E A L E S fi A 1 Representar gráficamente desigualdades lineales con dos variables. 1 R e p re s e n ta r g rá fic a m e n te d e s ig u a ld a d e s lineales c o n d o s v a ria b le s U n a desigualdad lin eal resulta cuando, en una ecuación lineal, el signo d e igual se reem plaza con un signo d e desigualdad. Ejem plos de desigualdades lineales co n d o s variables 2 x + 3 y > 2 3 y < 4 x - 6 - x - 2 y < 3 5 x > 2 y - 3 U na recta divide un plano en tres regiones: la recta misma y los dos sem iplanos uno a cada uno d e sus lados. E n este caso, la recta se denom ina fro n tera. Al graficar la ecuación lineal 2x + 3y = 6, la recta resultante, llam ada recta frontera, divide el plano en el conjunto d e puntos q u e satisfacen la desigualdad 2x + 3y < 6 y el conjunto de puntos q u e satisfacen la desigualdad 2x + 3y > 6. Com o la desigualdad 2x + 3 y < 6 significa 2* + 3 y < 6 o 2 * + 3y = 6,la desigualdad 2x + 3y < 6 contiene a la recta fron tera. Lo mismo ocurre con la desigualdad 2x + 3y > 6. L a gráfica d e las desigualdades 2 r + 3 y < 6 y 2 * + 3 y > 6 n o contiene la recta frontera. A continuación analizarem os cóm o graficar desigualdades lineales. P a ra re p re s e n ta r g rá fic a m e n te u n a d e s ig u a ld a d lineal c o n d o s va ria b le s 1. Reemplace el símbolo de desigualdad con un signo igual. 2. Trace la gráfica de la ecuación en el paso 1. Si la desigualdad original contiene un símbo lo > o trace la gráfica utilizando una línea sólida.Si la desigualdad original contiene un símbolo > o < , trace la gráfica utilizando una línea punteada o discontinua. 3. Seleccione un punto que no esté sobre la línea y determine si éste es una solución de la desigualdad original. Si el punto seleccionado es una solución, sombree el área de la gráfica que estédel lado de la línea que contiene este punto. Si el punto seleccionado no satisface la desigualdad, sombree el área de la gráfica que esté del lado de la línea que no contiene este punto. E n el paso 3 decidim os cuál conjunto d e puntos cum ple con la desigualdad dada.
- 253. Sección 3 .7• Graficación de desigualdades lineales • 2 2 5 -3 -2 -L , - 2 E J E M P L O 1 Solución 1 2 7 T 5 6 7 FIGURA 3.78 G rafique la desigualdad y < —x - 3. Prim ero gradeam os la ecuación y = x - 3. Como la desigualdad original condene un signo m enor que, < , utilizamos una línea punteada al trazar la gráfica (vea la figura 3.78). L a línea punteada indica q u e los puntos d e esta línea no son soluciones d e la desigualdad y < x - 3. Seleccione un punto q u e no esté en la línea y determ ine si éste satisface la desigualdad. M uchas veces lo más sencillo es utilizar com o referencia el punto origen, (0,0). P u n t o d e p r u e b a (O , O ) 2 y < - x - 3 0 ¿ | ( 0 ) - 3 0 i . 0 - 3 0 < - 3 Faleo > ■ f O z » i. ✓ 1 - (0 °?; . ' aa -2 2 ^ y 1 c y *B FIGURA 3.79 Com o 0 no es m enor q u e - 3 , el punto (0 ,0 ) no satisface la desigualdad. L a solución serán todos los puntos del lado d e la línea opuesto al punto (0,0). Som bree esta área (figura 3.79). C ada punto q u e esté en el área som breada satisface la desigualdad d a da. Com probem os con los puntos A, B y C. AHORARESUELVAELEJERCICI015 P u n t o A (6, 0) y < h ~ 3 o ¿ f ( 6) - 3 0 i . 4 - 3 0 < 1 Verdadero P u n t o B ( 3 ,- 3 ) y < j x - 3 - 3 i f (3 ) - 3 - 3 í 2 - 3 — 3 < —1 Verdadero P u n t o C (0, - 4 ) y < X ~ 3 - 4 i. f (0) - 3 - 4 k 0 - 3 —4 < —3 brdadero EJ E M P LO 2 G rafique la desigualdad y > - - x . Solución Prim ero graficamos la ecuación y = - x . Com o la desigualdad es > , utilizam os una línea sólida para indicar q u e los puntos d e la línea son soluciones d e la desigualdad (fi gura 3.80). Com o el punto (0,0) está sobre la línea, no podem os utilizarlo com o refe rencia p ara determ inar la solución; en su lugar, elegim os el punto (3 ,1 ) d e m anera arbitraria. P u n t o d e p r u e b a ( 3 , 1) 1 y ~ 2 X 1 ¿ - f ( 3 ) Verdadero
- 254. 2 2 6• C apítulo 3 • Gráficas y funciones E J E M P L O 3 y / s 4 'X / / / / / > ( 0. 0) - 5 - 4 - 3 / 2 - i . 4 5 X / _ / L / - 3 / 3 / —A / * / - 5 - / FIGURA 3.81 AHORARESUELVAELEJERCICIO23 Como el punto (3 ,1 ) satisface la desigualdad, todo punto q u e esté en el mismo lado d e la línea q u e (3 ,1 ) tam bién satisfará la desigualdad y ^ ~ 2X- Som bree esta área com o se indica. Todo punto q u e se encuentre en el área som breada, así com o to do punto sobre la recta, satisface la desigualdad. # G rafique la desigualdad 3x - 2 y < -6 . S o l u c i ó n Prim ero graficamos la ecuación 3x - 2 y = -6 . Com o la desigualdad es < , utilizam os una línea pun tead a para trazar la gráfica (vea la figura 3.81). Al sustituir el punto d e prueba (0,0) en la desigualdad, obtenem os una afirm ación falsa. Punto d e p ru eb a (O, O) 3 x — 2 y < - 6 3 (0 ) - 2 (0 ) < - 6 0 < -6 Faleo Por lo tanto, la solución es la parte del plano q u e no contiene al origen. # C ó m o utilizar su c a lcu la d o ra gráfica Las calculadoras graficadoras tam bién pueden m ostrar gráficas d e desigualdades. E l procedim iento p ara lograrlo varía según el modelo. E n la figura 3.82 se m uestra la gráfica d e y > 2x + 3. L ea el m anual d e su calcula d ora graficadora p ara aprender cóm o m ostrar gráficas d e desigualdades. FIGURA 3.82 C o n j u n t o d© e j e r c i c i o s 3 . 7 Ejercicios conceptuales L Cuando se gráfica una desigualdad que contiene > o <, ¿por qué los puntos de la línea no son soluciones de la desigualdad? 2. Cuando se gráfica una desigualdad que contiene ^ o ¿porqué lospuntos de la línea sí son soluciones de la desi gualdad? Cuando se gráfica una desigualdad lineal, ¿cuándo no pue de utilizarse el punto (0,0) como un punto de prueba? Cuando se gráfica una desigualdad lineal con la forma y > ax + b,en donde a yb san números reales, ¿lasoluciónsiem pre estará por arriba de la recta? Explique. Problemas de aplicación Grafique cada desigualdad. « 5. x > 1 9. y ^ ~ x 13. y > 2x - 1 1 6. io. y < 14. y < - x + 2 7. y < -2 U . y < 2 x + 1 15. y ^ - x - 3 8. y < x 12. y > 3* - 1 16. y < 3x + 5
- 255. Sección 3.7 •G raficación d e d e sigu a ld a d es lineales • 2 2 7 17. 2x - 3y > 12 21. 2x + y < 4 18. 2* + 3y > 6 22. 3* - 4y < 12 ^ 19. y < -3 * + 5 23. 10 > 5* - 2y 20. y < - x + 3 2 4 - * - 2 y > 4 Resolución de problemas m 25. Seguro de vida La tarifa mensual por un segurode vida de $100,000 para mujeres aumenta de forma casi lineal para lasedades de 35 a 50. La tarifa para una mujer de 35 años de edad es de $10.15 al mes,y para una mujerde 50 años es de $16.45 al mes. Fuente: R.K. Reynolds Insurance Service. a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos. b) Marque el área de la gráfica en donde la tarifa es me nor o igual a $15 al mes. c) Calcule la edad a la que la tarifa excede, por primera vez,$15 al mes. 26. índice de Precios al Consumidor El índice de Precios al Consumidor (IPC) es una medida de la inflacióa Desde 1990, el IPC ha crecido de manera casi lineal. El IPC en 1990 fue de 130.7, y en 2000 el IPC fue de 172.2. Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos. a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos. b) Marque el área de la gráfica en donde el IPC es mayor que o igual a 150. c) Calcule el primer añoen el que el IPC fue mayor que o igual a 150. 27. Remuneraciónpor hora La remuneración por hora es el monto anual total de los gastos requeridos para emplear a un individuo, dividido entre el número de horas al año que éste trabaja. En Estados Unidos, la remuneración pro medio por hora para todos los empleados ha aumentado de manera máso menos lineal desde 1975.En ese año,la re muneración promedio por hora era de $6.36; en 2000, la remuneración promedio por hora era de $19.86. Fuente: Oficina de Estadísticas Laborales de Estados Unidos. a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos. b) Marque el área de la gráfica en donde la remuneración promedio por hora es mayorque o igual a $10 por hora. 28. 29. 30. c) Calcule el primer año en que la remuneración prome dio por hora excediólos $10 por hora. 7ierras de cultivo en California La cantidad de terreno de cultivo en California ha disminuido de manera casi li neal desde 1980. En ese año, California tenía alrededor de 34 millones de acres de tierras de cultivo; en 2000 eran 28 millones de acres. Fuente: Departamento de Agricultura de Estados Unidos. a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos. b) Marque el área de la gráfica en donde la cantidad de tierras de cultivo es menor que o igual a 30 millones de acres. c) Calcule el primer año en que la cantidad de tierras de cultivo fue menor que o igual a 30 millones de acres. a) Grafique f(x) = 2x - 4. b) Marque el área de la gráfica acotada por /(* ), x = 2, x = 4 y el eje x. a) Grafique g(x) = —x + 4. b) Marque el área de la gráfica acotada porg(*),* = 1 y los ejes x y y. Reto Grafique cada desigualdad. 3L y < |*| 32. y > x 2 Ejercicios de repaso acumulativo 33. y < x 2 —4 [2.1] 34. Resuelva la ecuación 4 — y - = -6 . _ (j _ [2.2] 35. Si C = x + Z —^=, determine C cuando * = 80, V n Z = 1.96, <r = 3 , y /t = 25. [2.3] 36. Ofertasmusicales Una tienda de discos está a pun to de cerrarsus puertas para siempre. La primera se mana, el precio de todos los artículos se ha reducido en 10%; la segunda semana se da un descuento adi cional de $2.Si durante la segunda semana Antonio Sánchez compra un CD por $12.15, determine el precio original del CD. [3.2] 37. /(* ) = - x 1+ 3;determine / ( — 1). [3.3] 38. Escriba una ecuación de la línea que pasa por el punto (6, - 2) y es perpendicular a la línea cuya ecuación es 2x - y = 4. [3.4] 39. Determine la pendiente de la recta que pasa por (-4 ,7 ) y (2 ,-1 ).
- 256. 2 2 8• C apítulo 3 • Gráficas y funciones R e s u m e n d e l c a p i t u l o T é rm in o s y f r a s e s im p o r ta n te s 3 .1 E je a : 3 . 3 R ecta tangente Sistema d e coordenadas E je y Función constante G ráfica trasladada cartesianas Función lineal Pendiente cero Puntos colineales 3 . 2 Raíz Coordenadas Variable dependiente Form a general d e una 3 . 5 Ecuación d e prim er grado Dominio ecuación lineal Recíproco negativo Gráfica Función Intersección del eje a : R ecta perpendicular Calculadora graficadora N otación d e funciones Intersección del eje y Form a punto pendiente Ecuación lineal Gráfica d e una función o Cero o raíz d e una ecuación lineal Punto medio d e una relación Característica ZO O M Ecuación no lineal Variable independiente 3 . 6 Par ordenado Función definida p o r p ar 3 . 4 D iferencia d e funciones Origen tes Pendiente negativa Producto d e funciones Cuadrante Rango R ectas paralelas Cociente d e funciones Sistem a rectangular de Relación Pendiente positiva Sum a d e funciones coordenadas O ferta y dem anda R azón d e cambio Característica TA BLE Prueba d e la recta vertical Pendiente d e una recta 3 . 7 Característica T R A C E y es una función d e x Form a pendiente inter Desigualdad lineal Ventana d e una calcula sección d e una ecua d ora graficadora ción lineal H e c h o s im p o r ta n tes Ay y? — yi Pendiente d e una recta m = - — = ------------ A* x 2 ~ *1 Form as de una ecuación lineal Form a general: ax + by = c Forma pendiente intersección y = m x + b Forma punto pendiente: y - y x = m (x - *i) Paradeterminar lainterseccióndel ejex , determ ine y = 0 y despeje y en la ecuación. Paradeterminar lainterseccióny , determ ine x = 0 y despeje a: en la ecuación. Paraescribir unaecuaciónen laformapendienteintersección,despeje y en la ecuación. Pendiente positiva Pendiente cero Pendiente negativa Rendiente indefinida (continúa en la página siguiente)
- 257. Ejercicios d ere p a so del capítulo • 2 2 9 O p e r a c i o n e s s o b r e f u n c i o n e s Suma d e funciones: ( / + g)(*) = f ( x ) + g(x) D iferencia d e funciones: ( f ~ g ) ( x ) = f ( x ) - g(x) Producto d e funciones: ( / • g)(*) = /( * ) • g(x) f ( x ) C ociente d e funciones: { f / g ) ( x ) = , g ( r ) 0 8 x ) Ejercicios de repaso del capítulo [3.1] 1. Trace los pares ordenados en los mismos ejes. a) >4(5,3) Grafique cada ecuación. 1 b) B (0, 4) 0 c (5I ) d ) D ( - 4 ,3 ) e) E (-6 , -1 ) f ) F ( - 2 ,0 ) 4. y = 2 * + 3 9. y = |x| - 1 5. y = - ^ x + l - 10. y = x 3. y = —2x — 1 7. y = x 2 - 1 8. y = |*| [3.2] 12. Defina qué es una función. 13. ¿Toda relaciónes una función? ¿Toda función es una relación? Explique. Determine si las siguientes relaciones son funciones;explique sus respuestas. 14. ! 15. {(2,5), (3 ,- 4 ), (5,11), (6 ,- 1 ), (2 ,-5 )} b 2 c '3 6. y = x 2 11. y = x 3 + 4 En los ejercicios 16 a 19, a ) determine si las gráficas representan funciones; b ) determine el dominio y el rango de cada una. 16. V 17. y y 4 3 2-- - 4 - 3 - 2 - J -2 - 3 - 4 3 - - 2-- ■ : ; - 4 - 3 - 2 ' — 2-- — 3- - - 4 - - 3 4
- 258. 2 3 0• C apítulo 3 • Gráficas y funciones 20. 2L 22. Si f ( x ) = - x 2 + 3x - 5, determine a ) / ( 2 ) y b ) /(/,). Si g(t) = 2f3 - 3í2 + 1,determine a ) g ( - l ) y •>) g(a). Velocidad de un automóvil Jaime González transita a bordo de un automóvil. La siguiente gráfica muestra la ve locidad del automóvil como una función del tiempo. Idee una historia que corresponda a esta gráfica. 2T 7 0 £ 6 0 W 50 + Ü 20 > 10 + 30 0 5 10 15 20 25 T iem p o (m in u to s) [3.3] Grafique cada ecuación usando intersecciones. 25. 3x - 4y = 6 Grafique cada ecuación o función. 27. f ( x ) = 4 28. x = -2 29. Compañía derosquillas La utilidad al año,p,de una com pañía que se dedica a producir rosquillas puede calcularse por medio de la función p(x) = 0.1* - 5000, en donde x es el número de rosquillas que se venden al año. a) Trace una gráfica de utilidades contra rosquillas vendi das hasta 250,000. 23. Huerto El número de canastas de manzanas, N, que pro ducen x árboles en un pequeño huerto (x ^ 100),está dado por la función N(x) = 40.t - O.lx2. ¿Cuántas canastas de manzanas producen a) 20 árboles? b) 50 árboles? 24. M o ta en descenso Siuna pelota se deja caerdesde lo alto de un edifido de 100 pies, su altura respecto del suelo, h, en cualquier tiempo, /, puede determinarse por medio de la función h{t) = -16/2 + 100,0 < t < 2^. Determine la altura de la pelota a) 1segundo después de dejarla caer. b) 2 segundos después de dejarla caer. 26. j x = l y + 20 b ) Calcule el número de rosquillas que deben venderse para que la compañía alcance el punto de equilibrio (es decir,que no gane ni pierda). c) Calcule el número de rosquillas vendidas si la compa ñía tiene una ganancia de $20,000. 30. Interés Trace una gráfica que ilustre el interés sobre un préstamode $12,000 por unperiodode un añopara diferen tes tasas de interés hasta de 20%. Utilice la fórmula interés = capital • tasa • tiempo. [3.4] Determine la pendiente y la intersección del eje y de la gráfica representada por cada ecuación. 31* y = 2x “ 3 34 3x + 4y = 10 32. f ( x ) = - 2 x + 1 35. x = - 2 33. 3x + 5y = 12 36. f ( x ) = 6 Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados. 37. (2, 5), ( - 2 , 7) 38. (-2 , 3 )(4 ,1) Determine la pendiente de cada recta. Si la pendiente es indefinida, indíquelo. Luego escriba la ecuación de la recta. 39. y . 40. 41. A O. *- 1— 1 -* - í - -1 1 2 4 -7 - -- A —4 — i'A - 7 A 1 . 1 -1— 1 4 - 2 - ? - i i 1 4 —O- Z á — X 'i. —A ■r
- 259. Ejercicios de rep a so del capítulo • 2 3 1 4Z Si la gráfica que se obtiene de y = -2 x + 3 se traslada 4 unidades hacia abajo, determine a) lapendiente de la gráfica trasladada, a) la intersección del eje y de la gráfica trasladada, a) la ecuación de la gráfica trasladada. 43. Si un punto de una gráfica es (-6 , -8 ) y su pendiente es |, determine la intersección del eje y de la gráfica. 44 Fiebre tifoidea La siguiente tabla muestra el número de casos reportados de fiebre tifoidea en Estados Unidos pa ra años seleccionados entre 1970 y 2000. a) Determine cada punto y trace los segmentos de recta entre ellos. b) Calcule la pendiente de los segmentos de recta. c) ¿Durante qué periodo de diez años el número de casos reportados de fiebre tifoidea aumentó más? Año Número de casos de fiebre tifoidea reportados 1970 346 1980 510 1990 552 2000 317 Fuente: Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. 45. Seguridad social La siguiente gráfica muestra el número de beneficiarios de seguridad social desde 1980,y proyec tados hasta 2070. Utilice la forma pendiente intersección para determinar la función n(t) (representada por la línea recta punteada) que puede usarse para representar estos datos. [3.5] Determine si las dos rectas dadas son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas. 46. 2x - 3y = 10 2 . y = - x - 4 47. 2x - 3y = 9 -3 * - 2y = 6 48. 4* - 2y = 10 - 2 x + 4y = -8 Determine la ecuación déla recta con laspropiedades indicadas. Escriba sus respuestas en la forma pendiente intersección. 49. Pendiente = — ,pasa por (4,5). 5L Pasa por (0,4) y es paralela a la recta que se obtiene al graficar y = - j x + 1 53. Pasa por (-3 ,1 ) y es perpendicular a la recta cuya ecua ción es y = y * + 5 50. P á s a p o r(-3 ,l)y ((2 ,-4 ). 52. Pasa por (2,3) y es paralela a la recta cuya ecuación es 5x —2y = 7. 54. Pasa por (4,2) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 4x - 2y = 8. Se dan dos puntos en l¡ y dos puntos en /2. Determine si /, es paralela a l?, si l¡ es perpendicular al ^ o ninguna de ellas. 55. /,: (4, 3) y (0, - 3 );/2: (1, - 1 ) y (2, -2 ) 57. /,: (4,0) y (1,3); fe: (5,2) y(6,3) 59. Tarifas de seguros Las tarifas mensuales por un seguro de vida de $100,000 para hombres aumenta de manera ca si lineal de los 35 a los 50 años de edad. La tarifa para un hombre de 35 años es de $10.76 al mes, y la tarifa para un hombre de 50 años es de $19.91 al mes. Sea r la tarifa y a la edad de un hombre entre 35 y 50 años edad. a) Determine una función lineal r(a) que se ajuste a estos datos. b) Utilizando la función resultante de la parte a), calcule la tarifa mensual para un hombre de 42 añcs de edad. 56. (3,2) y (2, 3); fe: (4 ,1 ) y (1,4) 58. /,: ( -3 ,5 ) y (2,3); h ' (-4 , - 2 ) y (-1 ,2 ) 60. Quema decalorías El número de calorías que se queman al practicar natación durante una hora, cuando se nada a una velocidad entre 20 y 50 yardas por minuto, es una fun ción lineal de la velocidad del nadador. Una persona que nada a 30 yardas por minuto quemará alrededor de 489 calorías en una hora, mientras que nadando a 50 yardas por minuto quemará más o menos 525 calorías en una ho ra. Esta información se muestra en la siguiente gráfica. Beneficiarios de seguridad social
- 260. 2 3 2• C apítulo 3 • Gráficas y funciones Calorías que se queman al nadar w 600 | 400 cr 200 489 525 0 10 20 30 40 50 Yardas por minuto Fuem e: H ealth M agazine, sitio W eb w ww .health.com a) Determine una función lineal que pueda usarse para calcularel número de calorías,C,que se quemanen una hora cuando una persona nada a y yardas por minuto. b) Utilice la función obtenida en la parte a), para deter minar el número de calorías que se queman en una hora cuando una persona nada a 40 yardas por minuto. c) Utilice la función obtenida en la parte a), para deter minar la velocidad a la que una persona necesita nadar para quemar 600 calorías en una hora. [3.6] Dadas f(x) = x1 - 3x + 4 y g(x) = 2x - 5, determine: 6L ( / + g)(*) 62- ( / + *)(3) (« - /) (* ) 64. ( « - / ) ( - 1 ) 65. ( f - g ) ( ~ 1) 66. ( f - g ) ( 5) 67. (f/g)( 1) 68- (f/g)(2) 69. Periódicos La siguiente gráfica muestra el número de pe riódicos que han circulado en Estados Unidos para años seleccionados entre 1960 y 2000. Periódicos en Estados Unidos 2000 1500 1000 500 Vespertinos Matutinos 1960 1970 1980 Año F uente: A sociación E stadounidense d e Periódicos. 1990 2000 a) Calcule el número de periódicos matutinos que había en 1 9 6 0 . b ) Calcule el número de periódicos matutinos que había en 2000. c) Calcule el número de periódicos vespertinos que había en 1 9 6 0 . d) Calcule el número de periódicos vespertinos que había en 2000. e) Calcule el número total de periódicos que había en 1 9 6 0 . f) Calcule el número total de periódicos que había en 2000. 70. Registros de vehículos automotores La siguiente gráfica muestra el número de automóviles registrados en todo el mundo,el número de camiones y autobuses registrados en todo el mundo, y el número total de vehículos automoto res registrados en todo el mundo, para años seleccionados entre 1 9 7 0 y 2 0 0 0 . Sea c el número de automóviles regis trados y t el número de camiones y autobuses registrados. Con base en estos datos, calcule: a) c(2000) b) í(2000) c) (c + /)(2000) Registros de vehículos automotores en el mundo 1970 1980 1990 Año Füente: Departam ento d e E nergfad e E stados U n id o s 2000 [3.7] Grafique cada desigualdad. 7L y > - 3 71 r < 4 73. y < 4x - 3 74 y < - x - 2
- 261. Exa m en d e p rá ctica del capítulo • 2 3 3 Examen de práctica del capítulo L Grafique y = -2 * + 1. 2. Grafique y - V * . 3. Grafique y = x 2 - 4. 4. Grafique y = |*|. En los ejercicios 7 y 8, determine si las gráficas representan funciones. Proporcione el dominio y el rango de cada relación o función. 5. Defina qué es una funcióa 6. ¿El siguiente conjunto de pares ordenados es una función? Explique su respuesta. {(3,1), (-2 ,6 ), (4, 6), (5,2), (6,3)} 7. y 5 - f 4 * 9. Si f { x ) = 3*2 - 6x + 2, determine /( - 2 ) . Proyección de la población de Estados Unidos Deter- nine la función representada por la recta en la gráfica, que pueda utilizarse para calcular la población que se esti ma habrá en Estados Unidos, p, entre 2000 y 2050. Sea 2000el añode referencia,de modo que 2000 está represen tado por t = 0. - 4 14. 15. Determine la pendiente y la intersección del eje y de la recta que se obtiene al graficar la ecuación 4x - 3 y = 9. 16. Determine la ecuación, en la forma pendiente intersec ción, de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (3,4). 17. Determine la ecuación,en la formapendiente intersección, de la recta que pasa porel punto (5, -3 ) y que es perpen dicular a la recta que se obtiene al graficar y = —x + 1. 19. Determine si las rectas que resultan al graficar estas dos ecuaciones son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas. Explique su respuesta. 2x —3y = 6 4* + 8 = 6y 20. Enfermedad cardiaca Aunque el índice de muertes a con secuenciadeenfermedadescardiacas es másalto en Estados Unidos que en muchos otros países,éste ha disminuido de En los ejercicios 10 y 11, grafique la ecuación usando las inter secciones délos ejes x y y. 10. -1 0 * + 5y = 20 " • H - 12. Grafique/( * ) - -3 . 13. Grafique * = 4. Gráfica de utilidad La utilidad anual, p, que le reportó cierto libro a una compañíaeditorial, puede calcularse por medio de la función p(x) = 10.2* - 50,000,en donde * es el número de libros impresos y vendidos. a) Trace una gráfica de utilidad contra libros vendidos (hasta 30,000 libros). b) Utilice la funciónp(x) para calcularel número de libros que deben venderse para que la compañía alcance el punto de equilibrio. c) Utilice la funciónp(x) para calcularel número de libros que la compañíadebe venderpara obtener una utilidad de $100,000. Proyeccionesde población en Estados Unidos para 2000-2050 Año Fuente: O fid n a d e C ensos d e Estades U n ido*
- 262. 2 3 4• C apítulo 3 • Gráficas y funciones manera casi lineal desde más o menos 1970. La siguiente gráficade barras indica el número de muertes provocadas por enfermedades cardiacas, por cada 100,000decesos, en años seleccionados desde 1970. a) Sea r el número de muertes provocadas por enferme dades cardiacas por cada 100,000 decesos, y sea t los años desde 1970. Escriba una función lineal r(t) que represente esta información. b) Por medio de la función resultante de la parte a), de termine el índicede muertes provocadas por enferme dades cardiacas en 1995. c) Suponiendo que esta tendencia continúa, determine la tasa de muertes provocadas por enfermedades cardia cas en 2010. índice de m uertes por enfermedades cardiacas 1980 1990 Año Fuente: Departam ento d e S a lu d y S ervid os H um anos d e Estados Unidos. En los ejercicios 21 a 23, si / ( x) = 2x2 - x y g(x) = x - 5, determine: 2 t ( f + g)(3) 22. ( f / g ) ( - 1) 23. f (a) 24 Uso del papel La siguiente gráfica muestra el uso del pa pel en Estados Unidos en 1995 y el uso del papel proyec tado de 1995 a 2015. a) Calcule el número total de toneladas de papel que se usará en 2010. b) Calcule el número de toneladas de papel que usarán las empresas en 2010. c) Calcule el número de toneladas de papel que se usará en 2010 en referencias, medios de comunicación im presos y uso en el hogar. U so del papel | 50 40 Referencia, medios de comunicación impresos y uso en el hogar 1995 2000 fu e n te : C A P V en tures. 25. Grafique y < 3x - 2. 2015 Examen de repaso acumulativo Resuelvael examen y verifiquesus respuestascon lasque aparecen d final. Revise laspreguntas que haya respondido incorrectamen te. Los números de la sección y el objetivo en donde seanaliza el material correspondiente seindican después de cada respuesta. L Para A = {1,3,5,7,9} y B = {2,3,5,7,11,13}, determine: a) A H B. b) A U S. 2. Cbnsidere el conjunto { - 6 , - 4 , 0 , V3,4.67,” , - V 2 } Liste los elementos del conjunto que son a) números naturales. b) números reales. 3. Evalúe 2 —{3[6 —4(62 4)]}. Simplifique. 4 ^ y"3 2 * y 2 4xy3 Ingresos municipales En 2001, el monto total de los in gresos disponibles en cierto municipio fue de $1376 X 109. La siguiente gráfica muestra un desglose de las fuentes de ese dinero. Cobro por — servicios 15.6% a) ¿Cuánto dinero se obtuvo a partir de impuestos pre diales? b) ¿Cuánto dinero se obtuvo a partir de subvenciones federales? c) ¿Cuánto más se obtuvo a partir de impuestos estata les que a partir de subvenciones estatales? Origen del dinero (1576 millones) Subvenciones t------- 0tras fuentes52% federales 142% Impuesto predial 30.7% locales 5.0% Impuesto Impuestosestatales Subvenciones J? compartidos 103% estatales 9.4% renta9.6% Fuente: Departam ento d e Finanzas m u n icp ales d e la ciudad d e Baltimore.
- 263. R esp uestas al e xa m e n d e re p a so acum ulativo • 2 3 5 En los ejercicios 7 y 8,resuelva las ecuaciones. 7. 2 (x + 4) - 5 = -3 [ x - {2x + 1)] 9. Simplifique 5* - {4 - [2(x - 4)] - 5}. 10. Despeje b¡ de A = ^ h ( b x + b2). 11. Solucionesdeperóxido dehidrógeno ¿Cuántos galones de soluciónde peróxido de hidrógeno con una concentración de 15% deben mezclarse con 10 galones de una solución del mismo compuesto con concentración de 4% para ob tener una solución con concentración de 10%? 12. Resuelva la desigualdad 3(* - 4) < 6(2* + 3). 13. Resuelva la desigualdad - 4 < 3x - 7 < 8. 14 Determine el conjunto solución de |3* + 5| = 2x - 10|. 15. Determine el conjunto solución de |2»r —1| < 3. 16. Grafique y = -|% r - 4. 17. a) Determine si la siguiente gráfica representa una fun ción. b) Determine el dominio y el rango de la gráfica. 18. Determine la pendiente de la recta que pasa por los pun tos (-5 ,3 ) y (4,1). 19. Determine si las rectas que resultan al graficar las siguien tes ecuaciones son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas. 2x - 5y = 6 5 x - 2 y = 9 20. Sif(x) =x2+ 3x —2y g(x) =4x - 6 ,determine (f + g)(x). Respuestas al examen de repaso acumulativo L a) {3,5,7} b) {1,2, 3, 5, 7, 9,11,13}; [Sec. 1.2, Obj. 4) Obj.5] 3.92; [Sec. 1.4, Obj. 3] 4 1 6 ^ [Sec. 1.5,Obj. 7] b) $2.23792 X 108 o $223,792,000 c) $1.4184 x 107 o $1 138 8 . - ^ ; [Sec.2.1, Obj. 4] 9. I x - 7; [Sec. 2.1, Obj. 2] 10 12.* > - r p [Sec.2.5, Obj. 1] 13.1 < * < 5; [Sec. 2.5,0 15. {x| -1 < * < 2}; [Sec.2.6, Obj. 3] 16. y 2 l i l i i i -6 -4 y = ~ h ~ -6 - 17. a) No es una función b) Dominio: {*1* ^ 2}; rango: (R; 19. Ninguna; [Sec.3.5, Obj. 3] 20. + I x - 8; [Sec.3.6,Ob 2. a) Ninguno b) - 6 , -4 , 0, V 5, 4.67,y , - V 2; [Sec. 1.2, 5.^ j ; [Sec. 15, Obj. 7] 6. a) $4.83832 x 108o $483,832,000 4,184,000; [Sec. 1.5, Obj. 7] 7.0; [Sec. 2.1, Obj. 3] 2A bx = — - by, [Sec. 2.2, Obj. 2] 11.12 gal; [Sec. 2.4, Obj. 2] n bj.3] 14. {-15,1}; [Sec.2.6, Obj. 7] [Sec.3.1, Obj. 2] — M— 1 ----1 2 x 1 Sec. 3.2, Obj. 3] 18. [Sec. 3.4,Obj. 2] j l ]
- 264. C a pít u lo 4 Sistem as de ecuaciones y desigualdades 4.1 Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables 4 .2 Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables 4 .3 Sistemas de ecuaciones ¡neales: aplicaciones y resolución de problemas 4 .4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 4 .5 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determ inantes y la regla de Cram er 4 .6 Resolución de sistemas de desigualdades lineales R esum en del capítulo Ejercicios d e rep aso del capítulo Exam en d e práctica del capítulo Exam en d e repaso acum ulativo L os em presarios se esfuerzan para que sus compañías funcionen a toda su capacidad, maximizando la utilidad d e sus recursos. Las m atem áticas pueden usarse p ara determ inar la form a más efec tiva d e distribuir esos recursos. E n las páginas 262 a 264, resolverem os un sistem a d e ecuaciones relacionado con la construcción d e botes inflables. Posteriorm ente, en los ejercicios q u e inician en la página 265,se presentan problem as similares a partir de situaciones en las industrias d e producción d e muebles, alim ento para anim ales y m etalurgia, en tre otros productos. E l cam po d e las m atem á ticas q u e analiza este tipo d e problem as, se denom ina investigación de operaciones. /Si 2 3 6 C Q 3
- 265. Section 4.1 •Resolución d e sistem as d e ecua cione s c o n do s variables • 2 3 7 A van ce d e la lección E n este capítulo resolverem os sistem as d e ecuaciones lineales m ediante los m éto d o s d e graficación, sustitución, sum a, m atrices y determ inantes y la regla de Cram er. Tam bién resolverem os sistem as d e desigualdades lineales. A lo largo d e este capítulo, e n especial e n la sección 4.3, se p lan tean m uchas aplicaciones d e estos tem as en la vida real, adem ás d e o tras cuestiones esenciales q u e las em presas em plean p ara analizar las relaciones e n tre las variables involucradas en su operación cotidiana. 4 .1 R E S O L U C IÓ N D E S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S C O N D O S V A R IA B L E S g A 1 Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante graficación. 2 Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución. 3 Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el m étodo de la suma. Con frecuencia es necesario determ inar una solución com ún a dos o más ecuaciones lineales. A este conjunto d e ecuaciones se le denom ina sistema de ecuaciones lineales (o ecuaciones lineales sim ultáneas). Por ejemplo, ( 1 ) y - * + 5 (2) y = 2 x + 4 Sistema de ecuaciones lineales. L a solución d e un sistema de ecuaciones es un p ar ordenado (o pares ordenados) que satisface todas las ecuaciones del sistem a. L a única solución del sistem a del ejem plo anterior es (1,6). V erificación e n la e c u a c ió n (1) ( 1. 6 ) y = x + 5 ? = + 5 6 = 6 brdadero V erificación e n la e c u a c ió n (2) ( 1. 6) y = 2 x + 4 = 2 ( ) + 4 6 = 6 Verdadero E l p ar ordenado (1,6) satisface am bas ecuaciones y es, p o r lo tanto, la solución del sis tem a d e ecuaciones. Un sistema d e ecuaciones puede estar conformado p o r más de dos ecuaciones. Si un sistema consta de tres ecuaciones con tres variables,com o x, y y z , la solución será una terna ordenada de la form a (*, y, z). Para q u e la terna ordenada (*, y, z) sea una solución del sistema, debe satisfacer las tres ecuaciones que lo constituyen. Los sistemas con tres ecuaciones y tres variables se estudian en la sección 4.2. Los sistemas d e ecuaciones p u e den tener más d e tres variables,pero en este libro no analizaremos este tipo d e sistemas. 1 R e s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s lineales m e d ia n te g ra fic a c ió n Para resolver un sistem a d e ecuaciones lineales con dos variables m ediante la grafica- ción, debem os graficar am bas ecuaciones del sistem a en los mismos ejes. L a solución del sistem a será el p ar o pares ordenados com unes a am bas rectas, o el punto d e inter sección d e las rectas del sistema. Cuando graficam os dos rectas pueden presentarse tres posibilidades, com o se ilustra en la figura 4.1. E n la figura 4.1a, las rectas 1 y 2 se intersecan exactam ente en un punto;p o r lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución. Éste es un ejem plo de un sistem a d e ecuaciones consistente. U n sistem a d e ecuaciones con sistente es aquel q u e tien e solución.
- 266. 2 3 8• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades FIGURA 4.1 E J E M P L O 1 Solución Las rectas 1 y 2 d e la figura 4.1b son diferentes pero paralelas. Las rectas no se intersecan, así q u e este sistem a d e ecuaciones no tiene solución. É ste es un ejem plo de un sistema de ecuaciones inconsistente. U n sistema de ecuaciones inconsistente es aquel q u e no tiene solución. E n la figura 4.le , las rectas 1 y 2 son,en realidad, la misma. E n este caso, todo p u n to d e la recta satisface am bas ecuaciones y es una solución del sistem a d e ecuaciones. E ste sistem a tiene un núm ero infinito de soluciones. Éste es un ejem plo d e un sistem a d e ecuaciones dependiente. E n un sistem a d e ecuaciones lineales dependiente, am bas ecuaciones representan la misma recta. U n sistema de ecuaciones dependiente es aquel q u e tiene un núm ero infinito d e soluciones. Observe que un sistema dependiente tam bién es un sistema consistente, ya que tiene solución. Exactamente 1 solución (las rectas se intersecan) Consistente (a) Sin solución (rectas paralelas) Número infinito de soluciones (la misma recta) (b) Dependiente (c) Rjdem os determ inar si un sistem a d e ecuaciones lineales es consistente, incon sistente o dependiente escribiendo cada ecuación en form a pendiente intersección (o form a ordenada al origen) y com parando las pendientes y las intersecciones del eje y d e sus rectas; si las pendientes d e las rectas son diferentes (figura 4.1a), el sistem a es consistente. Si las pendientes son las mismas pero sus intersecciones del eje y son di ferentes (figura 4.1b), el sistem a es inconsistente; si las dos pendientes y las intersec ciones del eje y son las mismas (figura 4.1c), el sistem a es dependiente. Sin graficar las ecuaciones, determ ine si el siguiente sistem a d e ecuaciones es consis tente, inconsistente o dependiente. 3 x - 4 y = 8 - 6 x + S y = - 1 6 Escriba cada ecuación en la form a pendiente intersección. 3 x - 4 y = 8 - 6 x + 8y = - 1 6 - 4 y = - 3 x + 8 S y = 6 x - 16 Como am bas ecuaciones tienen la misma pendiente,f , y la misma intersección y (0, -2 ), las ecuaciones representan a la m ism a recta. Por lo tanto, el sistem a es dependiente y AHORARESUELVAELEJERCICI019 tiene un núm ero infinito d e soluciones. #
- 267. Sección 4.1 •Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s c o n d o s variables • 2 3 9 E J E M P L O 2 Resuelva gráficam ente el siguiente sistem a d e ecuaciones. y = x + 2 y = - x + 4 Solución Grafique am bas ecuaciones en los mismos ejes (figura 4.2). La solución es el punto en q u e se intersecan las dos rectas (1,3). AHORARESUELVAELEJERCICIO25 # El sistem a d e ecuaciones del ejem plo 2 podría representarse en notación de funciones como f { x ) = x + 2 g ( x ) = - x + 4 C ó m o utilizar su ca lcu la d o ra g ra fica d o ra E n el recuadro Cóm o utilizar su calculadora graficadora d e la página 187, sección 3.3, analizam os el uso de una calculadora graficadora para determ inar la intersección d e dos gráficas. A hora utilizarem os esa inform ación p ara resolver un sistem a d e ecuaciones. E JE M P L O Utilice su calculadora graficadora p ara resolver el sistem a d e ecuaciones. R edondee la solución al centésim o más cercano. -2 .6 * - 5.2y = -1 5 .3 S o lu c ió n Prim ero despeje y d e cada ecuación. -2 .6 * - 5.2y = -1 5 .3 -2 .6 * = 5.2y - 15.3 -2 .6 * + 15.3 = 5.2y -2 .6 * + 15.3 -8 .6 * + 3.7y = -1 2 .5 -8 .6 * + 3.7y = -1 2 .5 3.7y = 8.6* - 12.5 8.6* - 12.5 y = 5.2 = y 3.7 -2 .6 * + Í5.3 8.6* - 12.5 ^ J „ A hora,determ ine y x = -------- — --------y y 2 = ------- — -------.L as gráficas d e y xy y2se ilustran en la figura 4.3. 5.2 3.7 / / Intersección #=2.2379H« Y=i.B2333H6 FIGURA 4.3 FIGURA 4.4 Redondeando al centésim o m ás cercano, en la figura 4.4 se m uestra q u e la intersección d e las dos gráficas ocurre en (2.24,1.82). Utilicesu calculadora graficadorapara determinarla solución de cada sistema. Redondee sus respuestasal centésimo más cercano. L 2* + 3y = 8 2. 5* - 6y = 9 -3 * + 4y = - 5 -3 * + 5y = 8 3. 3.4* - 5.6y = 10.2 4 -2.3* + 7.9y = 88.3 5.8* + 1.4y = -33.6 -5.3* - 2.7y = -16.5
- 268. 2 4 0• Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades 2 Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución E J E M P L O 3 Solución E J E M P L O 4 Solución C on frecuencia resulta difícil d eterm in ar u n a solución exacta p ara un sistem a d e ecuaciones m ediante graficación. Incluso puede ocurrir q u e una calculadora grafica do ra no proporcione una respuesta exacta. C uando se requiere una respuesta exacta, el sistem a deb e resolverse d e m anera algebraica, ya sea p o r el m étodo d e sustitución o p o r el d e sum a (o de eliminación) d e ecuaciones. Analizarem os prim ero el m étodo de sustitución. P a ra re s o lv e r un s is te m a d e e c u a c io n e s lineales p o r sustitución 1. Despeje una variable en cualquier ecuación (De ser posible, despeje una variable con un coeficiente numérico igual a 1 para no trabajar con fracciones). 2. Sustituya la variable en la otra ecuación, con la expresióndeterminada en el paso 1. Cbn esto obtendrá una ecuación con una sola variable. 3. Resuelva la ecuaciónobtenida en el paso 2 para determinar el valor de esta variable. 4 Sustituya la variable en la ecuacióndel paso 1,con el valor determinado en el paso 3. Resuelva la ecuación para determinar la variable restante. 5. Cbmpruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema. Resuelva el sistem a d e ecuaciones m ediante sustitución. y = 3 a - 13 y = - 4 x + 1 Com o en am bas ecuaciones y ya está despejada, podem os sustituir esa variable por 3x - 13 en la segunda ecuación, para después despejar la variable restante, x. 3a: — 13 = - 4 x + 1 I x - 13 = 1 I x = 14 a = 2 A hora determ inam os y sustituyendo x = 2 en cualquiera d e las ecuaciones originales. U tilicem os la prim era ecuación. y = 3a - 13 y = 3(2) - 13 y = 6 - 13 = - 7 Si verifica, com probará q u e la solución del sistem a d e ecuaciones es (2, - 7 ) . # Resuelva p o r sustitución el siguiente sistem a d e ecuaciones. 2 a + y = 11 a + 3y = 18 Com ience p o r despejar una d e las variables e n cualquiera d e las ecuaciones. Puede elegir cualquiera d e ellas; sin em bargo, si despeja una variable con coeficiente num éri co 1, puede evitar trabajar con fracciones. E n este sistem a, el térm ino y e n 2 A + y = l l y el térm ino a en a + 3y = 18 tienen coeficiente num érico 1. D espejem os yen2A + y = l l . 2 a + y = 11 y = - 2 a + 11
- 269. S ección 4.1• Resolución de sistem as de ecua cione s c o n do s variables • 24 -1 A hora sustituyam os y p o r - 2 x + 11 en la otra ecuación, x + 3y = 18, y despejem os la variable restante,*. * + 3 y = 18 * + 3 (—2 x + 11) = 18 5u6tltuya -2 * + 11por y. x - 6 x + 33 = 18 - 5 * + 33 = 18 - 5 * = - 1 5 * = 3 Por últim o, sustituim os * = 3 en la ecuación y = - 2 x + 11 y despejam os y. y = —2 x + 11 y = - 2 (3 ) + 11 = 5 AHORARESUELVAELEJERCICIO41 L a solución es el p ar ordenado (3,5). Com pruébelo. # Si, al resolver un sistema d e ecuaciones ya sea p o r sustitución o p o r el m étodo d e la sum a, se llega a una ecuación falsa com o 5 = 6 o 0 = 3, significa q u e el sistem a es inconsistente y no tiene solución. Si se obtiene una ecuación q u e siem pre es verda dera, com o 6 = 6 o 0 = 0, significa q u e el sistem a es dependiente y tiene un número infinito d e soluciones. SUG ERENCIA Es frecuente que los estudiantes obtengan bien el valor de una de las variables y se olviden de obtener el valor de la otra. Recuerde que una solución debe contener un valor numérico para cada variable del sistema. 3 Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de la suma U n tercer m étodo p ara resolver un sistem a d e ecuaciones, y con frecuencia el más sencillo, es el m étodo de la sum a (o d e elim inación). E l objetivo d e este procedi m iento consiste en obtener dos ecuaciones cuya sum a d é p o r resultado una ecuación con una sola variable. Tenga en m ente q u e su m eta inm ediata es o b ten er una ecua ción con una sola incógnita. EJ E M P L O 5 Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones con el m étodo d e la suma. 2 x + 5 y = - 1 3 x - 5 y = 11 Solución O bserve q u e una ecuación incluye +5y y la o tra - 5 y. Sum ando las ecuaciones, p ode mos elim inar la variable y y obtener una ecuación con una sola incógnita,*. 2* + 5y = —1 3* - 5y = 11 5* = 10 A hora despejam os la variable q u e queda,*. 5* = 10 5 5 * = 2
- 270. 2 4 2• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades E J E M P L O 6 Solución Por últim o, despejam os y sustituyendo x p o r 2 en cualquiera d e las ecuaciones o ri ginales. 2 x + 5 y = - 1 2(2) + 5 y = - 1 4 + 5y = —1 5y = - 5 y = - i Si verifica, com probará q u e la solución es (2, - 1 ) . # P a ra re s o lv e r u n s is te m a d e e c u a c io n e s lineales m e d ia n te el m é to d o d e la s u m a (o e lim in a c ió n ) L En caso necesario, reescriba cada ecuación en la forma general, es decir, de modo que bs términos con variables queden al lado izquierdo del signo igual y la constante al lado derecho. 2. Sies necesario, multiplique una o ambas ecuaciones por una constante (o constantes) para que, al sumarlas, el resultado contenga sób una variable. 3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones. Con esto obtendrá una sola ecuación con una variable. 4 Despeje la variable en la ecuación obtenida en el paso 3. 5. Sustituya la variable en cualquiera de las ecuaciones originales con el valor determi nado en el paso 4. Resuelva esa ecuación para determinar el valor de la variable restante. 6. Cbmpruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema. E n el paso 2 del procedim iento, se indica q u e puede ser necesario multiplicar am bos lados d e una ecuación p o r una constante. Para evitar confusión, num erarem os nuestras ecuaciones m ediante paréntesis, com o (ec. 1) o (ec. 2 ). E n el ejem plo 6, resolverem os el mismo sistem a resuelto en el ejem plo 4, pero esta vez usarem os el m étodo d e la suma. Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones utilizando el m étodo d e la suma. 2 x + y = 11 (ec. 1) * + 3 y = 18 (ec. 2) E l objetivo del proceso d e sum a es obtener dos ecuaciones cuya sum a d é p o r resulta do una ecuación con una sola variable. Para elim inar la variable x , multiplicarem os la (ec. 2) p o r - 2 y sum arem os las dos ecuaciones. 2 x + y = 11 (ec. 1) - 2 x - 6 y = - 3 6 (ec. 2) Multiplicada por - 2 . A hora sumamos, 2 x + y = 11 - 2 x - 6 y = - 3 6 - 5 y = - 2 5 y = 5 A hora despejam os x, sustituyendo y p o r 5 en cualquiera d e las ecuaciones originales.
- 271. Sección 4.1 •Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s c o n d o s variables • 2 4 -3 E J E M P L O 7 Solución AHORARESUEU/AELEJERCICIO67 E J E M P L O 8 Solución 2 x + y = 11 2 x + 5 = 11 Suetltulry por 5. 2a = 6 * = 3 L a solución es (3,5). O bserve q u e podríam os haber elim inado la variable y m ultipli cando la (ec. 1) p o r - 3 y después sum ando. # A veces cada ecuación deb e multiplicarse p o r núm eros diferentes p ara elim inar una d e las variables. E l ejem plo 7 ilustra este procedim iento. Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones utilizando el m étodo d e la suma. 4 x + 3 y = 7 (ec. 1) 3 x - l y = - 3 (ec. 2) L a variable x puede elim inarse m ultiplicando la (ec. 1) por - 3 , y la (ec. 2) p o r 4. —12a : — 9 y = - 2 1 (ec. 1) Multiplicada por -3 . 12a - 28y - - 1 2 (ec. 2) Multiplicada por 4. — 37y — — 33 Suma de !ae ecuaclonee. 33 y 37 A hora podem os determ inar x sustituyendo y por ^ en una d e las ecuaciones origina les, y despejando x. Si usted lo intenta verá que, aunque es posible hacerlo, esto no es fácil. U n método más sencillo p ara obtener el valor d e x consiste en regresar a las ecua ciones originales y elim inar la variable y. 2 8 a + 21y = 49 (ec. 1) Multiplicada por 7. 9 a - 21y = - 9 (ec. 2) Multiplicada por 3. 3 7 a = 4 0 Suma de lae ecuaclonee. 4 0 * = 37 L a solución es (37*|f ) • En el ejem plo 7 podría obtenerse la misma solución multiplicando la (ec. 1) por 3 y la (ec. 2) p o r -4 , p ara después sumarlas. Inténtelo para com probarlo. Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones utilizando el m étodo d e la suma. 0.2 a + 0.1.y = 1.1 (ec. 1) Cuando un sistem a d e ecuaciones incluye fracciones o núm eros decimales, en general es m ejor eliminarlos. E n la (ec. 1), si multiplicamos p o r 10 am bos lados d e la ecuación, obtenem os 10 (0 .2 a ) + 10 (O .ly) = 10(1.1) 2 a + y = 11 (ec. 3)
- 272. 2 4 4• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades E J E M P L O 9 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 59 E JE M P L O 10 Solución E n la (ec.2),si multiplicamos am bos lados d e la ecuación p o r el mínimo com ún den o m inador, 18, obtenem os 18( s ) + 18(6) - 18« a + 3y = 18 (ec. 4) A hora, el sistem a d e ecuaciones se ha simplificado a 2 x + y = 11 (ec. 3) x + 3 y = 18 (ec. 4) É ste es el mismo sistem a d e ecuaciones q u e se resolvió en el ejem plo 6. Por lo tanto, la solución es (3,5), la mismo q u e se obtuvo en el ejem plo 6. # Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones p o r el m étodo d e la suma. x - 3 y =4 (ec. 1) - 2a + 6 y = 1 (ec. 2) 2a - 6 y = 8 (ec. 1) Multiplicada por2. - 2a + 6 y = 1 (ec. 2) 0 = 9 Falso C om o 0 = 9 es una proposición falsa, este sistema no tiene solución. E l sistema es in consistente y las gráficas de estas ecuaciones son rectasparalelas. # Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones utilizando el m étodo d e la suma. y = 2 a - 4 Prim ero alineam os los térm inos a y y del lado izquierdo d e la ecuación. x - y = 2 (e c .l) 2a - y = 4 (ec. 2) A hora procedem os com o en los ejem plos anteriores. - 2 a + y = - 4 (ec. 1) Multiplicada por -2 . 2a - y = 4 (ec. 2) 0 = 0 Verdadero C om o 0 = 0 es una proposición verdadera, el sistema es dependiente y tiene un núm e ro infinito de soluciones. A m bas ecuaciones representan la m ism a recta. O bserve que si multiplica am bos lados d e la (ec. 1) por 2,obtendrá la (ec. 2). # H em os ilustrado tres m étodos q u e pueden utilizarse p ara resolver un sistem a de ecuaciones lineales: graficación, sustitución y suma. ¿Q ué método deb e utilizar cuando le pidan resolver un sistem a d e ecuaciones? C uando necesite una solución exacta, la graficación no es el m étodo apropiado. D e los dos m étodos algebraicos, el d e la sum a puede ser el más sencillo d e utilizar si no hay coeficientes num éricos 1 en el sistema. Si al m enos una de las ecuaciones tiene un coeficiente igual a 1,puede utilizar cualquier m étodo. E n la sección 4.4 se presentará un cuarto m étodo con matrices, y en la sección 4.5, un quinto m étodo, con determ inantes.
- 273. Sección 4.1 •Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s c o n d o s variables • 2 4 5 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 4.1 Ejercicios conceptuales L ¿Cuál es una solución para un sistema de ecuaciones li neales? 2. ¿Cómo se denomina la soluciónpara un sistema de ecua ciones lineales con tres variables? 3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones dependiente? 4 ¿Qué es un sistema de ecuaciones inconsistente? 5. ¿Qué es un sistema de ecuaciones consistente? 6. Explique cómo determinar de manera gráfica la solución de un sistema de ecuaciones. 7. Explique cómo se puede determinar, sin graficar ni resol ver, si un sistema de dos ecuaciones lineales es consisten te, inconsistente o dependiente. 8. ¿Cuál es el objetivo del método de la suma cuando se re suelve un sistema de ecuaciones lineales? 9. ¿Cómo puede saberse si un sistema lineal es dependiente mediante el método de la suma? 10. ¿Cómo puede saberse si un sistema lineal es inconsisten te mediante el método de la suma? Problemas de aplicación Determine cuáles, si ¡os hay, de los pares ordenados o ternas ordenadas satisfacen el sistema de ecuaciones lineales. 13. x + y = 25 Q.25x + 0A5y = 7.50 a) (5,20) b) (18.75, 6.25) y = 2x + 4 12. 3^ - 5y = 12 y = 2x - 1 3 . a) (0,4) , = - x - 3 b) (3,10) a) (4,0) b) (8, 3) * 7 y = T “ 7 15. x + 2y - z = - 5 3 3 2* - y + 2z = 8 5* - 35 = 15y 3jc + 3y + 4z = 5 a) (1, -2 ) a) ( 1 ,3 ,- 2) b) (4, -1 ) b) (1 ,-2 , 2) 16. 4* + y - 3z = 1 2x - 2y + 6z = 11 -6 * + 3y + 12z = - 4 a) (2, - 1 , -2 ) b) ( i - 2,1 Escriba cada ecuación en forma pendiente intersección. Sin graficar las ecuaciones, determine si el sistema de ecuaciones es consis tente, inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución, no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. 17. - 6 x + 3y = 1 Ay + 12 = -6 x 18. x - - y = 5 2x - y = 1 Ax + 3 y = 12 4x - y = 12 £ 2L 3x - 3y = 9 2x - 2 y = - 4 22. 2x = 3y + 4 6x - 9y = 12 3* - 2y = 24 x - y = 3 x ~ 2y = ~6 Determine gráficamente la solución de cada sistema de ecuaciones. Indique si el sistema es inconsistente o dependiente. 25. y = x + 5 y = - x + 3 26. y = 2x + 4 y = - 3 x - 6 27. y = 4x - 1 2y = 8* + 6 28. x + y = 1 3x - y = -5 29. 2x + 3y = 6 4x = - 6 y + 12 30. y = - 2 x - 1 x + 2y = 4 3 h x + 3 y = 4 x = 1 32. 2 x - 5y = 10 fií 33. y = - 5 x + 5 y = 2 x - 2 34 4x —y = 9 x - 3y = 16 35. 2x - y = - 4 2y = 4x - 6 36. y = - ~ x - l 3y = 4 x - 18
- 274. 2 4 -6• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades Determinepor sustitución la solución de cada sistema de ecuaciones. 37. x + 3y = - 1 y = x + 1 38. 3* - 2y = -7 y = 2x - 3 39. x = 2y + 3 y = x 40. y = 3x - 14 x = y 41. + 3b = 5 7a - b = 3 42. 6s + 3t = 4 1 * = 2 ' 43. y + - x = 0 x + 4y - 1 = 0 44. x = 0.5y + 1.7 lOx - y = 1 £ 45. a - - b = 2 b = 7a - 4 49. 5x - 4y = -7 46. x + 3y = - 2 1 2 y = - 3 * - 3 50. aaj + 2/¡ = 4 m + —/i = 4 47. 5x - 2y = -7 y = f * + i 1 1 5 L 2 ■* - 3 :V = 2 v + F = 6 48. y = - X - 1 2x - 3y = 5 5Z I * + = 13 Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma. 53. x + y = 7 54. - x + y = 4 55. 4x - 3y = 1 x - y = -3 •o II 1 H 5x + 3y = -1 0 56. 2x - 5y = 6 57. 10m —2/i = 6 58. 4/ —35 = 2 -4 x + 10y = -1 - 5 m + n = -3 7r + s = 6 59. 2c - 54 = 1 60. 2v - 3tc = 8 6L 3 p - 2 q = -4 c + 104 = 6 3ü - 6to = 1 2p + 5q = 7 62. 5a - 10b = 15 63. r- II 1 X 64. en II 1-* 1 a a= 7b + 3 t = S + 1 -5 x + 3y = 7 65. 2x - y = 8 66. 3x + 4y = 2 67. 3x - 4y = 5 3x + y = 6 1 •/I 1 II ¿3 2x = 5y - 3 68. 4x + 5y = 3 69. 0.2x + 0.5y = 1.6 70. 0.15x - 0.40y = 0.65 2x - 3y = 4 -0.3x + 0.4y = -0.1 0.60x + 0.25y = -1.1 7L 7.m - 0.6n = 8.4 72. -a 2 5 x + 0.1Oy = 1.05 £ 73. v - b - 1 -1.5m - 0.3/1 = -6 .0 -a 4 0 x - 0.625y = -a 6 7 5 2 3 1 1 2 4 x ~ 9 y ~ 3 74. i x = 4 - l y 75. 1 . 4 - 76. 2 A 1 2 8 1 3x = 4y 3 * - y = 3 1 ^ II & 1 H Resolución de problemas 77. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sea más fácil de resolver por sustitución. b) Explique por qué la sustitución sería el método más fádl de usar. c) Resuelva el sistema por sustitución. 78. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sea más fácil de resolver por el método de la suma. b) Explique por qué el método de suma sería el más fácil de usar. c) Resuelva el sistema por el método de suma.
- 275. Sección 4.1 •Resolución d e sistem as d e e cu a cio n e s c o n d o s variables • 2 4 7 79. Edad de los recién casados De acuerdo con información censal, los hombres y las mujeres esperan cada vez más para casarse. La siguiente gráfica muestra la edad prome dio a la que hombres y mujeres contraen matrimonio por primera vez. Edad promedio en el primer matrimonio Año La edad promedio a la que las mujeres contraen matrimo nio por primera vez,puede calcularse mediante la función W(t) = 0.121 + 20.3, y la edad promedio a la que los hom bres lo hacen puede calcularse por medio de la función M(t) = 0.1/ + 22.8, en donde / es años desde 1960.Si esta tendencia continúa, determine el año en que la edad pro medio a la que hombres y mujeres contraerán matrimonio por primera vez será la misma. 80. Periódicos La siguiente gráfica muestra que el número de periódicos vespertinos editados en Estados Unidos ha disminuido de forma casi lineal desde 1980, mientras que el número de periódicos matutinos ha aumentado casi linealmente. Periódicos Año El número de periódicos vespertinos, £(/), puede calcu larse mediante la función £(/) = -33.05/ + 1388, y el número de periódicos matutinos por medio de la función M(t) = 18.95/ + 387, en donde / representa el número de años desde 1980. Con base en estas funciones, determine en qué año el número de periódicos vespertinos era igual al número de periódicos matutinos. 8L Explique, basándose sólo en la observación, cómo puede decir que este sistema es dependiente. 2x + 3y = 1 4* + 6y = 2 82. Explique, basándose só b en la observación, cómo puede decir que este sistema es inconsistente. - * + 3y = 5 2x - 6y = -1 3 83. Las soluciones de un sistema de ecuacbnes lineales incluye bs pares ordenados (-4 ,3 ) y (-6,11). a) ¿Cuántas soluciones más tiene el sistema? Explique. b) Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-4 ,3 ) y (-6,11). Determine una ecuación de la recta que contenga esos puntos, y luego establezca la intersección del eje y. c) ¿Esta recta representa una función? 84. Las soluciones de un sistema de ecuacbnes lineales incluye bs pares ordenados (-5 ,1 ) y (-5 , -4). a) ¿Cuántas soluciones más tiene el sistema? Explique. b) Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5 ,1 ) y (-5 , -4). Obtenga una ecuación de la recta que contiene esos puntos. ¿Esta gráfica tiene una intersección del eje y? Explique. c) ¿Esta recta representa una función? 85. Cbnstruya un sistemade ecuacbnes dependiente. Explique cómo creó su sistema. 86. Cbnstruya un sistemade ecuaciones inconsistente.Explique cómo creó su sistema. En los ejercicios 87 y 88, a ) cree un sistema de ecuaciones li neales con la solución indicada, y b) explique cómo determinó su solución. 87. (2,5). 88. (-3,4). « 89. La solución para el siguiente sistema de ecuaciones es (2, -3). Determine A y B. A x + 4y = - 8 3x - B y = 21 90. La solución para el siguiente sistema de ecuaciones es (-5 ,3 ). Determine A y B. 3x4- A y = - 3 B x - 2 y = -1 6 9L Si (2,6) y (-1 , -6 ) son dos soluciones de/(x) = mx + b, determine m y b. 92. Si (3, -5 ) y (-2,10) son dos soluciones de/(*) = mx + b, determine m y b. 93. Suponga que usted gráfica un sistema de dos ecuaciones lineales en su calculadora graficadora, pero só b se ve una recta en la ventana. ¿Cuáles son dos posibles explicaciones para esto?
- 276. 2 4 8• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades 94. Suponga que usted gráfica un sistema de ecuaciones linea les en su calculadora graficadora y obtiene lo siguiente. a) Observando la ventana, ¿puede usted asegurarque este ástema es inconsistente? Explique. b) ¿Qué puede hacer en su calculadora graficadora para determinar si el sistema es inconsistente? Reto Resuelva cada sistema de ecuaciones. x + 2 y + 4 95. — ----------:— = 4 2 2 3 S r 9 * • y + 3y = - + y x - y = 6x + 12 Resuelva cada sistema de ecuaciones. (Pista: —= 3 •—= 3x si x = —). a a a 98. — + — = — 1 * y —- - = - 3 x y Despejando x y y determine la solución para cada sistema de ecuaciones. En todas las ecuaciones a * O y b # 0. La solución incluirá las literales a, b, o ambas. 99. 4ax + 3y = 19 100. ax = 2 - by - a x + y = 4 - ax + 2by - 1 = 0 á f Actividad en equipo Analice y responda en equipo el ejercicio 101. ÍOL Tendencia La siguiente gráfica apareció en las revistas médicas Journal o f the American Medical Association y SeientifieAmerican. La línea inferior indica la tendencia a largo plazo de las muertes provocadas por armas de fuego, y la líneasuperior la tendencia a largo plazo de las muertes provocadas por accidentes automovilísticos. Las líneas delgadas negras indican la tendencia a corto plazo en am bas situaciones. a) Analice la tendencia a largo plazo de las muertes pro vocadas por accidentes automovilísticos. b) Analice la tendencia a largo plazo de las muertes pro vocadas por armas de fuego. c) Compare las tendencias a corto y largo plazo de las muertes provocadas por accidentes automovilísticos. d) Compare las tendencias a corto y largo plazo de las muertes provocadas por armas de fuego. e) Utilice las tendencias a largo plazo para calcularel mo mento en que el número de muertes provocadas por armas de fuego será igual al número de muertes provo cadas por accidentes automovilísticos. f) Repita la parte e) utilizando las tendencias a corto plazo. g) Determine una función, M(t), que pueda usarse para calcular el número de muertes provocadas por acciden tes automovilísticos (a largo plazo) en un universo de 100,000 personas, entre 1965 y 2010. h) Determine una función, F(t), que pueda usarse para calcular el número de muertes provocadas por armas de fuego (a largo plazo) en un universo de 100,000per sonas, entre 1965 y 2010. i) Resuelva los sistemas de ecuaciones determinados en laspartes g) y h). ¿La solución coincide con la solución de la parte e)? Si no,explique por qué. Tendencias de mortalidad Por arma de fuego • Por accidentes automovilísticos
- 277. Ejercicios de repasoacumulativo Sección 4 .2 • Resolución d e sistem as d e e cu a cio n e s c o n tre s variables • 2 4 9 [1.2] 102. Explique la diferencia entre un número racional y uno irracional. [1.2] 103. a) ¿Todos los números racionales son números reales? b) ¿Todos los números irracionales son números reales? [2.1] 104. Resuelva la ecuación ^-(x - 7) = ^ ( 2 x + 1). [22] 105. Encuentre todos los números talesque x - 4| = |4 - *|. [2.2] 106. Evalúe A = p ^ l + -cuando p = 500,r = 0.08, n = 2 y t = 1. • [3.5] 107. ¿La relación {(-3,4), (7,2),(-4,5),(5,0),(-3,2)} es una función? Explique su respuesta. [3.6] 108. Sea f(x) = x + 3 y g(x) = x2 - 9. Determine (ffgX3). 4 . 2 R E S O L U C IÓ N D E S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S C O N T R E S V A R IA B L E S 1 Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables. 2 Aprender a interpretar geom étricam ente un sistema de ecua ciones con tres variables. 3 Reconocer sistemas inconsistentes y dependientes. 1 R e s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s c o n tre s v a ria b le s La ecuación 2 x - 3 y + 4 z = 8 es un ejemplo de una ecuación linealcon tres variables. La solución de este tipo de ecuaciones lineales es una tem a ordenada de la forma (x ,y ,z ). Una solución para la ecuación dada es (1,2,3). Compruébelo. Para resolversistemasde ecuaciones linealescon tres variables,podemos usar los métodos de sustitución o de la suma que analizamos en la sección 4.1. E J E M P L O 1 Resuelva el siguiente sistema por sustitución. * = - 3 3 x + 4 y = 7 - 2 x - 3 y + 5 z = 19 Solución Como sabemos que x = - 3 ,sustituimos x por -3 en la ecuación 3 x + 4 y = 7, y des pejamos y. 3 x + 4 y = 7 3(— 3) + 4 y = 1 - 9 + 4 y = 1 4y = 16 y = 4 Ahora sustituimos x = - 3 y y = 4 en la última ecuación,y despejamos z. - 2 x - 3 y + 5 z = 19 - 2 ( -3 ) - 3(4) + 5z = 19 6 - 12 + 5z = 19 - 6 + 5z = 19 5z = 25 z = 5
- 278. 2 5 0• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades AHORA RESUELVA EL E JE R C IC IO 3 E J E M P L O 2 Solución Comprobación x = - 3 , y = 4 , z = 5. L a solución debe verificarse en las tres ecua ciones originales. x = - 3 3 x + 4y = 7 - 2 x - 3 y + 5 z = 19 - 3 = - 3 3 ( - 3 ) + 4 (4) = 7 — 2 ( - 3 ) - 3 (4) + 5(5) = 19 7 = 7 Verdadero 19 = 19 Verdadero L a solución es la terna ordenada (-3 ,4 ,5 ). R ecuerde q u e la tem a ordenada lista pri m ero el valor a, después el valor y y p o r último el valor z. # No todos los sistem as lineales con tres variables pueden resolverse p o r sustitu ción d e form a tan directa com o en el ejem plo 1. Cuando un sistem a d e tercer orden no puede resolverse fácilm ente p o r sustitución, podem os encontrar la solución utilizan do el m étodo d e la sum a, com o se ilustra en el ejem plo 2 . Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones m ediante el m étodo d e la suma. 3 a + 2y + z = 4 (ec. 1) 2 a - 3y + 2 z = - 7 (ec. 2) a + 4y - z = 10 (ec. 3) Para resolver este sistem a d e ecuaciones, debem os o b ten er prim ero dos ecuaciones con las mismas dos variables. Esto se hace eligiendo dos ecuaciones y utilizando el m é todo d e la sum a p ara elim inar una d e las variables. Por ejem plo, sum ando la (ec. 1) y la (ec. 3) elim inam os la variable z. D espués utilizamos un p ar diferente d e ecuaciones [ya sea (ec. 1) y (ec. 2) o (ec. 2) y (ec. 3)] y em pleam os el m étodo d e la sum a p ara eli m inar la m ism a variable q u e fue elim inada con anterioridad. Si multiplicam os (ec. 1) po r - 2 y la sum am os a (ec. 2), la variable z será elim inada nuevam ente. E ntonces ten drem os dos ecuaciones con sólo dos incógnitas. Comencemos p o r sum ar (ec. 1) y (ec. 3). 3a + 2y + z = 4 (ec. 1) a + 4y - z = 10 (ec. 3) 4 a + 6y = 1 4 Suma de las ecuaciones, (ec. 4). U tilicem os ahora un conjunto diferen te d e ecuaciones y elim inem os d e nuevo la variable z. - 6 a - 4 y - 2z = - 8 (ec. 1) Multiplicada por -2 . 2a - 3 y + 2z = - 7 (ec. 2) _ 4a — 7 y = —15 Suma de las ecuaciones, (ec. 5). A hora tenem os un sistem a d e dos ecuaciones co n dos incógnitas, (ec. 4) y (ec. 5). Si sum am os estas dos ecuaciones, elim inarem os la variable a. 4a + 6 y = 14 (ec. 4) - 4 a ~ 7 y = - 1 5 (ec. 5) —y = —1 Suma de las ecuaciones, y = 1 Luego sustituim os y = 1 en cualquiera d e las dos ecuaciones con sólo dos variables [(ec. 4) o (ec. 5)] y despejam os a. 4a + 6y = 14 (ec. 4) 4a + 6 (1) = 14 Sustituya y por! en la (ec. A). 4 a + 6 = 14 4 a = 8 a = 2
- 279. Sección 4 .2• Resolución d e sistem as d e e cu a cio n e s c o n tre s variables • 2 5 1 E J E M P L O 3 Solución Por último, sustituim os A = 2 y y = l e n cualquiera d e las ecuaciones originales, y des pejam os z. 3 a + 2y + z = 4 (ec. 1) 3(2) + 2(1) + z = 4 Sustituya x por2 y y por 1en (ec 1). 6 + 2 + z = 4 8 + z = 4 Z = ~ 4 L a solución es la terna ordenada (2,1, -4 ). C om pruebe esta solución en las tres ecua ciones originales. # E n el ejem plo 2 elegim os elim inar p rim ero la variable z utilizando las ecua ciones (ec. 1) y (ec. 3), y después las ecuaciones (ec. 1) y (ec. 2). Podríam os haber o p tad o p o r elim inar p rim ero la variable a o la variable y. Por ejem plo, podríam os haber elim inado la variable a m ultiplicando (ec. 3) p o r - 2 y después sum ándola a (ec. 2). Tam bién podríam os elim inar la v ariab le a m ultiplicando (ec. 3) p o r - 3 y después sum ándola a (ec. 1). R esuelva el sistem a del ejem plo 2 elim inando prim ero la v ariab le x. Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones. 2 a - 3y + 2z = - 1 (ec. 1) a + 2y = 1 4 (ec. 2) a - 3z= - 5 (ec. 3) L a tercera ecuación no incluye la variable y. Por lo tanto, trabajarem os para obtener o tra ecuación q u e tam poco la contenga. Para hacerlo, utilizarem os (ec. 1) y (ec. 2). 4 a - 6 y + 4 z = - 2 (ec. 1) Multiplicada por 2. 3 a + 6y____= 42 (ec. 2) Multiplicada por 3. l x + 4z= 40 Suma de lae ecuaclonee (ec 4). A hora tenem os dos ecuaciones q u e incluyen sólo las variables a y z. l x + 4 z = 40 (ec. 4) a - 3 z = - 5 (ec. 3) Elim inem os la variable a. 1 x 4 - 4z = 40 (ec. 4) - l x + 21z - 35 (ec. 3) Multiplicada p o r-7. 25Z ~ 75 Suma de lae ecuaclonee. z = 3 A hora despejem os a utilizando una d e las ecuaciones q u e incluyen sólo las variables Ay z.S ustituim osz p o r 3 en (ec.3). a - 3z = - 5 (ec. 3) A — 3(3) = — 5 Sustituya z por 3 en (ec. 3). a - 9 = - 5 a = 4
- 280. 2 5 2• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades Por último,despejam os y utilizando cualquiera d e las ecuaciones originales q u e incluyen la variable y. x + 2 y = 14 4 + 2 y = 14 2 y = 10 y = 5 L a solución es la terna ordenada (4,5,3). (ec.2) 5u6tltuya x por 4 en la (ec. 2). AHORARESUELVAELEJERCICIO 11 Comprobación (ec. 1) 2 x - 3 y + 2 z = - 1 2 (4) - 3(5) + 2 (3 ) i -1 8 - 15 + 6 = - 1 - 1 = - 1 Verdadero (ec. 2 ) x + 2 y = U 4 + 2 (5) = 14 4 + 10 = 14 14 = 14 Verdadero (ec. 3) x - 3 z = ~5 4 - 3(3) i - 5 4 - 9 = - 5 - 5 = - 5 Verdadero SU G ERENCIA Si una de las ecuaciones de un sistema contiene fracciones, elimínelas multiplicando cada término de la ecuaciónpor el mínimo común denominador. Después continúe resolviendo el sistema. Por ejemplo, si una ecuación del sistema es x - §y + z - , multiplique am bos lados de la ecuaciónpor 8 para obtener la ecuación equivalente, 6x - 5y + 8z = 4. 2 A p r e n d e r a in te rp re ta r g e o m é tric a m e n te u n s is te m a d e e c u a c io n e s c o n tre s v a ria b le s Cuando tenem os un sistem a d e ecuaciones lineales con dos variables, podem os d eter m inar gráficam ente su solución utilizando el sistem a d e coordenadas cartesianas. U na ecuación lineal con tres variables,*, y y z , puede graficarse en un sistem a d e coorde nadas con tres ejes perpendiculares entre sí (vea la figura 4,5). U n punto trazado en este sistema d e tres dim ensiones aparecería com o un p u n to en el espacio. Si graficáram os una ecuación com o * + 2y + 3z = 4, encontraríam os que su gráfica sería un plano, y no una recta. E n el ejem plo 3 indicamos q u e la solu ción era la terna ordenada (4,5,3). E sto significa q u e los tres planos, uno p o r cada una d e las ecuaciones dadas, se intersecan en el punto (4,5,3). L a figura 4.5 m uestra la lo calización d e este punto d e intersección d e los tres planos. L a gráfica del ejercicio 39 ilustra tres planos q u e se intersecan en un punto. 3 R e c o n o c e r s is te m a s in c o n s is te n te s y d e p e n d ie n te s E n la sección 4.1 analizam os los sistem as d e ecuaciones inconsistentes y dependientes. Los sistem as d e ecuaciones lineales con tres variables tam bién pueden ser inconsis tentes o dependientes. Al resolver un sistema d e ecuaciones lineales con tres variables, si se obtiene una proposición falsa com o 3 = 0 , significa q u e el sistem a es inconsistente y no tiene solución. Esto significa q u e los planos no son concurrentes,es decir, no existe punto en q u e coincidan los tres planos, p o r lo q u e no se pueden intersecar. (V ea los ejercicios 37 y 38). Al resolver un sistema lineal con tres variables, si se obtiene una proposición ver dadera, 0 = 0, significa q u e el sistema es dependiente y tiene un número infinito d e so luciones. Esto puede suceder cuando las tres ecuaciones representan al mismo plano o cuando la intersección d e los planos es una recta,com o en la gráfica del ejercicio 40. Los ejemplos 4 y 5 ilustran un sistema inconsistente y uno dependiente, respectivamente.
- 281. Sección 4 .2• Resolución d e sistem as d e e cu a cio n e s c o n tre s variables • 2 5 3 E JE M P L O 4 Resuelva el siguiente sistem a d e ecuaciones. - 3 x + 5 y + z = - 3 (ec. 1) 6 x - ÍOy - 2 z = 1 (ec. 2) 7 x - 4y + 11z = - 6 (ec. 3) S o l u c i ó n Com enzarem os p o r elim inar la variable * d e (ec.1)y d e (ec. 2). - 6 x + IOy+2z = - 6 (ec. 1) Multiplicadapor2. 6 x - IOy- 2 z = 1 (ec. 2) 0 = — 5 Falso Como hem os obtenido la proposición falsa 0 = - 5 , este sistem a es inconsistente y no AHORARESUELVAELEJERCICIO31 tiene solución. # E J E M P L O 5 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones. x -y+z =1 (ec. 1) * + 2 y - z = 1 (ec. 2 ) * - 4 y + 3 z = 1 (ec. 3) Solución Com enzarem os elim inando la variable * d e (ec. 1) y d e (ec. 2 ),p ara después hacerlo de (ec. 1) y d e (ec.3). - x + y ~ Z = - 1 (ec. 1) Multiplicada por -1. x + 2 y - Z = 1 (ec. 2) 3y ~ 2 z — 0 Suma de Ia6ecuaciones (ec 4). * - y + z = 1 (ec. 1 ) - X + 4 y - 3 z = - 1 (ec. 3) Multiplicada por - 1 . 3 y — 2 z = 0 &umade las ecuaciones (ec 5). A hora elim inam os la variable y utilizando (ec. 4) y (ec. 5). - 3 y + 2 z = 0 (ec. 4) Multiplicada p o r - 1 . 3 y - 2 z = 0 (ec. 5) 0 = 0 Verdadero Como obtuvim os la proposición verdadera 0 = 0, este sistem a es dependiente y tiene un núm ero infinito d e soluciones. R ecuerde q u e en la sección 4.1 se m encionó q u e los sistem as d e ecuaciones AHORARESUELVAELEJERCICIO33 dependientes tam bién son consistentes, ya q u e tienen una solución. ^ C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 4 . 2 Ejercicios conceptuales ¿Cuál será la gráfica de una ecuación como 3* - 4y + 2z = 1? 2. Suponga que la solución para un sistema de ecuaciones lineales con tres variables es (1,3,5). Geométricamente, ¿quésignifica esto?
- 282. 2 5 4• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades Problemas de aplicación Resuelva por sustitución. 3 . * = 1 2* - y = 4 -3 * + 2y - 2Z = 1 6. 2 x - 5 y = 12 - 3 y = - 9 2x - 3y + 4z = 8 £ i 7. - * + 3y - 5z = 7 2y - z = 4 z = 2 * + 2y = 6 3y = 9 a: + 2z = 12 5 . 5 x - 6 z = - 1 7 3* - 4 y + 5z = - 1 2z = - 6 8 . a - y + 5z = - 4 3* - 2z = 6 4 z = 2 Resuelva utilizando el método de la suma. 9 . x - 2y = - 3 10. 3* + 2y = 7 2 a - 4y + z = - 6 l Z x - y + 2z = l 13. y - 4 z = 2 - 2 a + 2y - 5z =2 15. p + < 7+ r = 4 16. p - 2q - r = 1 2p - q - 2r = -1 18. 2 a - y —2z = 3 19. * - 3y - 4z = 2 a + y + 2z = — 1 2L 2a + 2b — c = 2 22. 3a + 4b + c = - 4 5a - 2b - 3c = 5 2 4 A + y + z = 0 25. - * - y + Z = 0 — a + y + z = 0 2 2 27. A - - y — - z = — 2 28. 2 2 1 3 * + y - 3 * = 3 1 1 3 “ 4 X + ' " 4 Z = 4 3 0 . 0.3* - 0.4y + 0.2z = 1.6 -0.1* - 0.2y + 0.3z = 0.9 -0.2* - O.ly - 0.3z = -1.2 2* + y - 8 = 0 3* - 4z = -3 2* - 3z = 1 1 1 . 2y + 4z = 6 * + y + 2z = 0 2* + y + z = 4 3p + 2q = 11 4<7 - r = 6 2p + 2r = 2 1 4 -4 s + 3 t= 16 21 - 2a = 2 - s + 6a = - 2 * - 2y + 3z = -7 2* - y - z = 7 - * + 3y + 2z = -8 £ 17. 2* - 2y + 3z = 5 2* + y - 2z = -1 4* - y - 3z = 0 r - 2s + / = 2 2r + 2$ —/ = — 2 2r —s —2í = 1 20. 3a - 3b + 4c = -1 a - 2b + 2c = 2 2a - 2¿> - c = 3 * - 2y + 2z = 3 2* - 3y + 2z = 5 * + y + z = -1 1 1 1 23. - * + 3y + z = 0 -2 * + 4y - z = 0 3* - y + 2z = 0 2 1 1 - 4 * + F " 2* 1 1 1 1 1 1 i 2 X ~ 2 y + 4 Z = 1 26. 3 * + y - 3 * " 3 1 5 —* + y + z = 2 1 1 1 3 4 ^ - 4 > ' + 4 Z = 2 1 1 - * + - y + z = 3 1 1 17 3 * + ^ + Z = T 1 1 1 5 - 4 * + r - 2 * - - 6 29. 0.2* + 0.3y + 0.3z = 1.1 0.4* - 0.2y + O.lz = 0.4 -0.1* - O.ly + 0.3z = 0.4 Determine si los siguientes sistemas son inconsistentes, dependientes, o ninguna de estas posibilidades. - 3L 2* + y + 2z = 1 * - 2y - z = 0 3* - y + z = 2 34 2p —4q + 6r = 8 — p + 2<y - 3r = 6 3p + 4q + 5r = & 32. 5a - 4¿> + 2c = 5 -5 a + 4b - 2c = -5 -7 a - 4 b + c = 7 35. * + 3y + 2z = 6 * - 2y - z = 8 -3 * - 9y - 6z = - 4 3 3 . * - 4y - 3z = -1 2* - lOy - 7z = 5 -3 * + 12y + 9z = 3 3 6 . 2* - 2y + 4 z = 2 -3 * + y = - 9 2* - y + z = 5
- 283. Sección 4 .2• Resolución d e sistem as d e e cu a cio n e s c o n tre s variables • 2 5 5 Resolución de problemas Una ecuación con tres variables,xyy z, representa un plano. Considere un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones con tres varia bles. Responda las siguientes preguntas. 37. Si los tres planos son paralelos entre sí,como se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común los tres pla nos? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique su respuesta. I II 38. Si dos de los planos son paralelos entre sí y el tercer pla no interseca cada uno de los otros dos planos, ¿cuántos puntos tendrán en común los tres planos? ¿El sistema es consistente o inconsistente’ Explique su respuesta. I II 39. Si los tres planos muestran una disposición como la que se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique su respuesta. II ni i 40. Si los tres planos muestran una disposición como la que se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común? ¿El sistema es dependiente? Explique su respuesta. 4L ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tenga exactamente a) cero soluciones, b) una solución, c) dos soluciones? Explique su respuesta. 4Z En un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, si las gráficas de dos ecuaciones son planos paralelos, ¿es po sble que el sistema sea a) consistente, b) dependiente, c) inconsistente? Explique su respuesta. 43. Tres soluciones para la ecuación A x + By + Cz = 1 son (— 1,2, — 1),(— 1,1,2) y (1, -2,2). Determine losvalores de A, B y C, y escriba la ecuación utilizando los valores nu méricos encontrados. 44. Tres soluciones para la ecuación A x + By + Cz = 14 son (3, -1,2), (2, -2,1) y (-5,3, -24). Determine los valores de A, B y C, y escriba la ecuación utilizando los valores nu méricos encontrados. Escriba un sistema de ecuaciones lineales con tres variables que tenga la solución dada. Explique cómo determinó su respuesta. 46. (-2,5,3). 45. (3,1,6). 47. a) Determine los valores de a, b y c tales que los puntos (1, -1), (-1 , -5 ) y (3,11) pertenezcan a la gráfica de y = ax2 + bx + c. b) Determine la ecuacióncuadrática cuya gráfica pasa por tos tres puntos indicados. Explique cómo determinó su respuesta. 48. a) Determine los valores de a, b y c tales que los pun tos (1,7), (-2 , -5 ) y (3,5) pertenezcan a la gráfica de y = ax2 + bx + c. b) Determine la ecuación cuadrática cuya gráfica pasa a través de los tres puntos indicados. Explique cómo determinó su respuesta.
- 284. 2 5 6• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades Reto Determine la soluciónpara los siguientes sistemas de ecuaciones. 49. 3p + 4q = 11 50. 3a + 2b - c = 0 2p + r + s = 9 2a + 2c + d = 5 q - s = -2 a + 2b - d = -2 p + 2q - r = 2 2 a - b + c + d = 2 Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 51. Esquí a campo traviesa Margarita Suárez empieza a esquiar a 3 millas por hora. Diez minutos después, hora),su esposo, David, comienza a esquiar por el mismo camino a cinco 5 por hora. a) ¿Cuáito tiempo despuésde que Davidcomienza a esquiar alcanzará a Margarita? b) ¿A qué distancia desde el punto inicial se en contrarán? [2.6] Determine cada conjunto solución. 2x 3* - 4 1 S I 4 ~ T > 5 53. 2 - 1 < 5 54 ^2 = -5 4 - 3 S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S L IN E A L E S : A P L IC A C IO N E S Y R E S O L U C IÓ N D E P R O B L E M A S 1 Utilizar sistemas de ecuaciones para resolver problem as de aplicación. 2 Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver problemas de aplicación. 1 U tiliza r s is te m a s d e e c u a c io n e s p a ra re s o lv e r p ro b le m a s d e a p lic a c ió n M uchos d e los problem as d e aplicación q u e se resolvieron e n capítulos anteriores usan do una sola variable pueden resolverse usando dos variables. E n seguida se presentan algunos ejem plos q u e m uestran cómo pueden describirse los problem as d e aplicación m ediante sistem as d e ecuaciones. EJ E M PLO 1 Cam bios en la fuerza d e trab a jo L a gráfica d e la figura 4.6 in dica que,en Estados Unidos, el porcentaje d e hom bres en la fuerza d e trabajo está dis m inuyendo d e m anera constante, m ientras q u e el p orcentaje d e m ujeres está aum entando gradualmente. La función m (t) = -0.251 + 85.4, en donde t = años desde 1955, puede usarse p ara calcular el porcentaje de hom bres q u e participa en la fuerza d e trabajo,y la función w(t) = 0.521 + 35.7 puede usarse p ara calcular el porcentaje de mujeres. Si esta tendencia continúa,determ ine en qué año el porcentaje d e mujeres que participa en la fuerza d e trabajo será igual al porcentaje d e hombres. Solución E n tie n d a e l p r o b le m a y tr a d u z c a C onsidere las dos funciones d adas anteriorm ente com o el sistem a d e ecuaciones. P ara determ inar en q u é año el porcentaje d e m ujeres será igual al porcentaje d e hom bres,podem os establecer las dos funciones d e tal m anera q u e sean iguales, y despejar el tiem po, t. Mujeres y hombres en la fuerza de trabajo (Porcentaje de población en la fuerza de trabajo civil) Año Fuenle: Departam ento d e Trabajo d e E stados Unidos. FIGURA 4.6
- 285. Sección 4 .3• Sistem as d e ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problem as • 2 5 7 Realice los cálculos p orcentaje d e m ujeres = p orcentaje d e hom bres 0.52/ + 35.7 = -0 .2 5 / + 85.4 0.77/ = 49.7 / « 64.5 Responda Por lo tanto, el porcentaje d e m ujeres q u e participa en la fuerza d e tra bajo será igual al porcentaje d e hom bres aproxim adam ente 64.5 años a partir d e 1955. AHORARESUELVAELEJERCICIO37 Com o 1955 + 64.5 = 2019.5, el porcentaje será igual en el año 2019. ^ EJ E M PLO 2 V elocidad de u n a canoa L a fam ilia V ázquez viaja en canoa p o r un río , a u n a velo cidad prom edio d e 4.75 millas p o r hora cuando rem an con la corriente a favor, y 2.25 millas p o r hora cuando lo hacen a contracorriente. D eterm ine la velocidad d e la canoa con la corriente a su favor, y la velocidad d e la corriente. S o lu c ió n Entienda el problema Cdando los V ázquez viajan con la corriente a su favor, la velocidad d e la canoa es igual a su velocidad m ás la velocidad de la co rriente. Cuando viajan a contracorriente, la velocidad d e la canoa es igual a su veloci d ad m enos la velocidad d e la corriente. Traduzca Sea s = velocidad d e la canoa con la corriente a favor c = velocidad d e la co rrien te E l sistem a d e ecuaciones es: velocidad d e la canoa viajando con la corriente a favor: s + c = 4.75 velocidad d e la canoa viajando a contracorriente: s - c= 2.25 Realice los cálculos U sarem os el m étodo d e la sum a, analizado en la sección 4.1, para resolver este sistem a d e ecuaciones. s + c = 4.75 s ~ c = 2.25 2 s = 7 s = 3.5 L a velocidad d e la canoa con la corriente a favor es d e 3.5 m illas p o r hora. A hora determ inarem os la velocidad d e la corriente. s + c = 4.75 3.5 + c = 4.75 c = 1.25 Responda L a corriente tiene una velocidad d e 1.25 millas p o r hora, y la velocidad d e la canoa con la corriente a favor es d e 3.5 millas p o r hora. # E J E M P L O 3 Salario Yamil Bermudez, un vendedor d e electrónicos, recibe un salario sem anal más una com isión porcentual sobre sus ventas. U n a sem ana e n q u e vendió m ercancía p o r $3000, su paga total fue d e $850; la sem ana siguiente, en q u e vendió mercancía por $4000,su pago total fue de $1000. D eterm ine cuáles su salario sem anal y cuál su porcen taje d e comisión. S o lu c ió n Entienda el problema El pago d e Yamil consiste d e su salario sem anal m ás la comisión. Se nos d a inform ación acerca d e dos sem anas específicas q u e podem os usar para determ inar su salario sem anal y su porcentaje d e comisión. T ra d u z c a sea s = su salario sem anal r = su p o rcen taje d e com isión
- 286. 2 5 8• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades AHORARESUELVAELEJERCICIO 11 E J E M P L O 4 E n la sem ana 1, su com isión sobre $3000 es 3000r,y en la sem ana 2, su com isión sobre $4000 es 4000r. Por lo tanto, el sistem a d e ecuaciones es salario + com isión = pago Prim era sem ana s + 3000r = 850 [ Segunda sem ana s + 4000r = 1000 j R ealice lo s c á lc u lo s - s - 3000r = -8 5 0 5 + 4000r = 1000 lOOOr = 150 150 Sistema de ecuaciones. Primerasemana multiplicadapor —1. Segunda semana. Suma de ecuaciones. r = 1000 r = 0.15 La com isión d e Yamil es d e 15% sobre sus ventas. A hora determ inarem os su salario sem anal, sustituyendo r p o r 0.15 en cualquiera d e las ecuaciones. 5 + 3000r = 850 5 + 3000(0.15) = 850 Sustituya r por 0.15 en la ecuación de la primera semana. s + 450 = 850 s = 400 R e s p o n d a E l salario sem anal d e Yamil es d e $400, y su porcentaje d e com isión so bre ventas es d e 15%. # Paseo en caballo Benjam ín Aceves sale d e su rancho m ontando su caballo a 5 millas po r hora. M edia hora más tarde,José D om ínguez sale del mismo rancho y se dirige por la misma ruta m ontando su caballo a ocho millas p o r hora. a) ¿C uánto tiem po tardará José en alcanzar a Benjam ín? b) Cuando José alcance a Benjam ín, ¿a q u e distancia del rancho estarán? Solución a) E n tie n d a ©I p ro b le m a Cuando José alcance a Benjam ín,am bos habrán recorrido la misma distancia, aunque José la habrá cubierto en hora menos, ya q u e él salió ho ra después q u e Benjam ín. U sarem os la fórm ula distancia = veloci dad • tiem po, p ara resolver este problem a. T ra d u z c a se a b = tiem po del reco rrid o d e B enjam ín j = tiem po d e l reco rrid o d e Jo sé Construirem os una tabla p ara organizar la inform ación. Velocidad Tiempo Distancia Benjamín 5 b 5b José 8 J 8i Tanto Benjam ín com o José recorrieron la misma distancia, así q u e escribim os d istancia d e B enjam ín = distancia d e José 5b = 8/
- 287. Sección 4 .3• Sistem as de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución d e problem as • 2 5 9 N uestra segunda ecuación proviene del hecho q u e José ha viajado ¿ hora m enos que Benjam ín. Por lo tan to ,; = b - Así, nuestro sistem a d e ecuaciones es: 5b = 8; ¡ = b ~ R ealice lo s c á lc u lo s Resolvem os este sistem a d e ecuaciones usando el m étodo de la sustitucióa Com o j = b - sustituim os j p o r b - en la prim era ecuación y des pejam os b. 5b = 8; 5b = s (b - 1 5b = &b - 4 - 3 b = - 4 - ; - í R)r consiguiente, el tiempo q u e Benjamín ha estado viajando es l | horas. Para obtener el tiempo q u e José ha viajado, restarem os hora del tiempo d e Benjamín. ’- K . = 4 _ j . = 8 _ 3 = 5 7 3 2 6 6 6 R e s p o n d a José alcanzará a Benjam ín f d e una hora (o 50 m inutos) después d e que el prim ero haya salido del rancho. b) Puede utilizar ya sea la distancia recorrida p o r Benjam ín o la recorrida p o r José para determ inar la distancia recorrida desde el rancho. Utilizarem os la distancia reco rrida p o r José. Así, José alcanzará a Benjam ín cuando estén a 6§ millas del rancho. # E J E M P L O 5 Mezcla de soluciones L a ingeniera quím ica Alicia H ernández desea crear un nuevo lim piador p ara el hogar con una concentración d e 30% d e fosfato trisódico (TSP). Para obtener 6 litros d e dicho limpiador, Alicia necesita mezclar una solución con con centración d e 16% d e T SP co n o tra cuya concentración e s d e 72% . ¿C uántos litros d e cada una d e estas soluciones necesita mezclar? Solución E n tie n d a e l p ro b le m a Para resolver este problem a partirem os del hecho d e que la cantidad d e T SP en una solución se determ ina multiplicando el porcentaje d e con centración d e la solución p o r el núm ero d e litros (el volum en) d e la misma. A licia necesita mezclar dos soluciones, con concentración de 16% y 72% , respectivam ente, para obtener 6 litros d e una solución con una concentración d e 30%. T ra d u z c a se a * = núm ero d e litros d e la solución d e 16% y = núm ero d e litros d e la solución d e 72% D ibujarem os un diagram a (figura 4.7) y después harem os una tabla q u e nos ayude a analizar el problem a.
- 288. 2 6 0• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades 16% 72% Solución Solución Mezcla Volumen x + y = 6 FIGURA 4.7 Solución Concentración de solución Número de litros Cantidad de TSP solución de 16% 0.16 * 0.16* solución de 72% 0.72 y 0.72y Mezcla 0.30 6 0.30(6) Com o la sum a d e los volúm enes d e la solución d e 16% y la solución d e 72% d a p o r re sultado 6 litros, nuestra prim era ecuación es x + y = 6 Deducimos la segunda ecuación a partir del hecho d e q u e am bas soluciones se mezclan. ( cantidad d e T SP + / can tid ad d e T S P _ / can tid ad d e T SP en la solución d e 16% / e n la solución d e 72% ) en la m ezcla ) 0.16* + 0.72y = 0.30(6) Por lo que, el sistem a d e ecuaciones es x + y = 6 0.16* + 0.72y = 0.30(6) R ealice lo s c á lc u lo s A l despejar y en * + y = 6, obtenem os y = —x + 6. A l sus tituir y p o r * + 6 e n la segunda ecuación, obtenem os 0.16* + 0.72y 0.16* + 0 .7 2 (-* + 6) 0.16* - 0.72* + 4.32 -0 .5 6 * + 4.32 -0 .5 6 * * Por lo tanto, A licia deb e utilizar 4.5 litros d e la solución co n concentración d e 16%. Com o las dos soluciones deben sum ar 6 litros, hay q u e utilizar 6 - 4.5 o 1.5 litros de la solución con concentración d e 72%. E n el ejem plo 5, la ecuación 0.16* + 0.72y = 0.30(6) podría sim plificarse m ulti plicando am bos lados d e la ecuación p o r 100. Esto daría p o r resultado la ecuación 16* + 12y = 30(6) o 16* + 12y = 180. Entonces, el sistem a d e ecuaciones sería * + y = 6 = 0.30(6) = 0.30(6) = 1.8 = 1.8 = -2 .5 2 Concentración 16% 72% 30%
- 289. y 16* +12y = 180. Si resuelve este sistem a, deberá obtener la m ism a solución. Com- AHORARESUEU/A ELEJERCICIO 13 pruébelo. 2 Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver problemas de aplicación A hora veam os algunas aplicaciones q u e im plican el uso d e ecuaciones con tres va riables. E J E M P L O 6 Préstamos bancarios La juguetería Diversión para chicos deb e pedir un préstam o d e $25,000 p ara pagar una am pliación. E n vista d e q u e no p u ed e o b te n er todo ese dinero d e un solo banco, pedirá tres préstam os a igual núm ero de bancos diferentes. El prim ero cobra 8% d e interés. E n el segundo banco pedirá un préstam o d e $2000 más q u e la m itad d e la cantidad solicitada al prim er banco. L a tasa d e interés del segundo banco es d e 10%. E l resto d e los $25,000 se obtendrá m ediante un préstam o d e un ter cer banco q u e cobra 9% d e interés. E l interés anual total q u e paga Diversión p ara chi cos p o r el préstam o d e los tres bancos es d e $2220. ¿C uánto dinero pidió prestado esta juguetería a cada tasa? Solución E n tie n d a e l p ro b le m a Nos piden determ inar cuánto se p id e prestado a cada una d e las tres tasas d e interés. Por lo tanto, este problem a tendrá tres variables, una para cada m onto q u e se pidió prestado. E n vista d e lo anterior, tendrem os q u e determ inar tres ecuaciones p ara nuestro sistem a d e ecuaciones. T ra d u z c a sea * = can tid ad p resta d a p o r el p rim e r banco y = can tid ad p re sta d a p o r e l seg u n d o banco z = can tid ad p resta d a p o r el tercer banco Com o la cantidad total prestada es d e $25,000, sabem os que X + y + Z = 25,000 La cantidad total preetada ee $25,000. E n el segundo banco, Diversión p ara chicos pidió prestado $2000 más q u e la m itad del dinero solicitado al prim er banco. Por lo tanto, la segunda ecuación es y = ~ X + 2000 Eleegundo préetamo, y, ee $2000máequel, delprimero,x. z Para obtener nuestra últim a ecuación, partim os del hecho d e q u e el m onto total que cobran los tres bancos p o r concepto d e interés es d e $2220. El porcentaje d e interés de cada banco se determ ina m ultiplicando la tasa d e interés p o r la cantidad prestada. 0.08* + O.lOy + 0.09z = 2220 Elpago total por interée ee $2220. Así, nuestro sistem a d e ecuaciones es * + y + Z = 25,000 (1) y = x + 2000 (2) z 0.08* + O.lOy + 0.09z = 2220 (3) A m bos lados d e la ecuación (2) pueden multiplicarse p o r 2 p ara elim inar las fracciones. 2 (y ) = 2 ( 1 * + 2000J 2y = * + 4000 Propiedad distributiva. —* + 2y = 4000 Peetarx en amboe ladoe. Sección 4 .3 • Sistem as d e ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución d e problem as • 2 6 1
- 290. 2 6 2• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades Podem os elim inar los decim ales de la ecuación (3) multiplicando am bos lados d e la ecuación p o r 100, p ara obtener 8* + 10y + 9 z = 222,000 N uestro sistem a d e ecuaciones simplificado es, entonces x + y + z = 25,000 (ec. 1) - x + 2y = 4000 (ec. 2) S x + 10y + 9 z = 222,000 (ec. 3) R ealice lo s c á lc u lo s Existen varias form as d e resolver este sistema. Utilicemos (ec. 1) y (ec. 3) p ara elim inar la variable z. —9 x ~ 9 y - 9 z=-225,000 (ec. 1) Multiplicada por -9 . S x + lOy + 9 z= 222,000 (ec. 3) —X + y = — 3000 9uma de !ae ecuaciones (ec. 4). A hora usam os (ec. 2) y (ec. 4) para elim inar la variable x y despejar y. x - 2y = -4 0 0 0 (ec. 2) Multiplicada por -1. - x + y = -3 0 0 0 (ec. 4) —y = — 7000 5uma de las ecuaciones, y = 7000 A hora q u e conocem os el valor d e y, podem os despejar x. - x + 2 y = 4000 (ec. 2) —x + 2(7000) = 4000 Sustituya y por 7000 en (ec.2). - * + 14,000 = 4000 - * = -1 0 ,0 0 0 a: = 10,000 Por últim o, despejam os z. x + y + z = 25,000 (ec. 1) 10,000 + 7000 + z = 25,000 17,000 + z = 25,000 z = 8000 R e s p o n d a La juguetería Diversión p ara chicos pidió prestados $10,000 a 8% , $7000 a 10% y $8000 a 9% d e interés. # E J E M P LO 7 Botes inflables C ierta em presa tiene una pequeña planta q u e fabrica tres tipos de botes inflables: p ara una, dos y cuatro personas. L a fabricación d e cada bote requiere d e tres departam entos: corte, ensam blaje y em paque. Los departam entos d e corte, en sam blaje y em paque pueden utilizar un total d e 380,330 y 120 horas -p e rso n a p o r se m ana, respectivamente. E l tiempo que cada departam ento requiere para fabricar un
- 291. Sección 4 .3• Sistem as de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución d e problem as • 2 6 3 bote aparece en la siguiente tabla. D eterm ine cuántos botes d e cada tipo deben p ro ducirse p o r sem ana p ara q u e la planta opere a toda su capacidad. Tiempo (persona-hora) Departamento Bote para una persona Bote para dos personas Bote para cuatro personas Corte 0.6 1.0 1.5 Ensamblaje 0.6 0.9 1.2 Empaque 0.2 0.3 0.5 Solución E n tie n d a e l p ro b le m a Nos dicen q u e se fabrican tres tipos d e botes diferentes, y nos piden d eterm in ar la cantidad q u e se p ro d u ce d e cada uno. Com o este proble m a incluye tres cantidades p o r determ inar, el sistem a tendrá tres ecuaciones con tres variables. T ra d u z c a U sarem os la inform ación proporcionada en la tabla. s e a x = el n ú m ero d e botes p a ra u n a p erso n a y = núm ero d e botes p ara dos personas Z = n ú m ero d e botes p ara cu a tro personas E l núm ero total d e horas q u e se requiere p ara cortar los tres tipos d e botes deb e ser igual a 380 horas-persona. 0.6* + 1.0y + 1.5z = 380 El núm ero total d e horas q u e se requiere p ara ensam blar deb e ser igual a 330 ho ras -p erso n a. 0.6* + 0.9y + 1.2z = 330 E l número total d e horas que se requiere p ara em pacar deb e ser igual a 120 horas- persona. 0.2* + 0.3y + 0.5z = 120 Por lo tanto, el sistem a d e ecuaciones es 0.6* + l.Oy + 1.5z = 380 0.6* + 0.9y + 1.2z = 330 0.2* + 0.3y + 0.5z = 120 A l m ultiplicar cada ecuación del sistem a p o r 10, se elim inan los núm eros decim ales y se obtiene un sistem a d e ecuaciones simplificado. 6* + lO y + 15z = 3800 (ec. 1) 6* + 9 y + 12z = 3300 (ec. 2) 2* + 3y + 5 z = 1200 (ec. 3) R ealice lo s c á lc u lo s Prim ero elim inarem os la variable * utilizando (ec. 1) y (ec. 2), y después (ec. 1) y (ec. 3). 6* + lO y + 15z = 3800 (ec. 1) - 6 * - 9 y - 12z ~ -3 3 0 0 (ec. 2)Multiplicada por-I. y + 3Z = 500 5umade lae ecuaclone6, (ec.4).
- 292. 2 6 4• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades 6 x + 10y + 15z = 3800 (ec. 1) - 6 x - 9 y - 15z ~ -3 6 0 0 (ec. 3) Multiplicada por - 3 . y — 200 Suma de Ia6 ecuaciones (ec. 5). O bserve q u e al sum ar las dos últimas ecuaciones, las variables x y z se elim inaron si m ultáneam ente. A hora q u e conocem os el valor d e y, podem os despejar z. y + 3 z = 500 (ec. 4) 200 + 3z = 500 Sustituya y por200. 3 z = 300 z = 100 Por últim o, determ inam os x. 6 x + 10y + 15z = 3800 (ec. 1) 6 x + 10(200) + 15(100) = 3800 6 x + 2000 + 1500 = 3800 6 x + 3500 = 3800 6 x = 300 * = 50 Responda L a planta deb e producir 50 botes p ara una persona, 200 botes p ara dos AHORARESUELVAELEJERCICIO 51 personas y 100 botes p ara cuatro personas p o r sem ana. # M atem áticas en a cció n Un grupo d e ecuaciones puede determ inar el m o vimiento del m utante,que consiste d e desplazam ientos básicos, determ inados p o r variables com o el tiem po, la proxim idad d e otros objetos y la puntuación actual. D e m anera similar, la trayectoria q u e sigue el ra yo m ortal es controlada p o r ecuaciones cuyas variables dependen d e la posición del arm a, d e si usted ha com prado energía láser adicional, y d e si el m utante ha le vantado un escudo deflector con energía solar. E n fin... Al final todo depende d e ecuaciones expresadas como algoritm os d e com putadora. Algunas ecuaciones pueden resolverse d e m ane ra simultánea,com o un grupo,en sistemas d e ecuaciones; otras pueden resolverse en rápida sucesión a partir de valores calculados q u e pasan de una ecuación a la si guiente. C ientos d e miles d e cálculos d an por resultado la posición d e los objetos q u e vemos en la pantalla de video q u e funciona, a su vez,com o un plano d e coorde nadas cartesianas. Cuando los núm eros determ inan que el m utante y el rayo m ortal q u e usted dispara ocupen las m ism as coordenadas en el mismo instante,¿adiós mutante! C a p ! íPing! fflang! £Mate! A unque p u ed en parecer m uy serias, las m atem áticas tienen mucho q u e ver con una divertida actividad que disfrutan m illones d e personas en todo el m undo, los videojuegos. C uando usted apunta su arm a d e rayos m ortales hacia el m utante q u e intenta destruir su esta ción d e energía neutrónica interestelar,el éxito o fraca so depende d e un gran núm ero d e ecuaciones inmersas en miles d e líneas d e código d e program ación q u e con trolan la acción. Jl Z
- 293. Sección 4 .3• Sistem as de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución d e problem as • 2 6 5 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 4 . 3 Problemas de aplicación y resolución h Parques temáticos Los dos parques temáticos más visita dos e n Estados Unidos e n 2001 fu ero n el Reino Mágico de Walt Disney, e n Florida, y Disneylandia, e n California. El número total de visitantes a estos parques fue de 27.1 mi llones de p erso n as. Al Reino Mágico acu d iero n 2.5 millo nes de personas más que a Disneylandia. ¿Cuántas personas visitaron cada uno de estos parques e n 2001? Fuente: H -ww.saferparkz.org Espectadoresde televisiónpor cable En la semana que fi nalizó el 23 de marzo de 2002,dos de los programas de te levisión por cable más populares fueron The Osbournes y Bob Esponja. Casi 150,000 personas más vieron The Os bournes que Bob Esponja. El número total de televiden tes para ambos programas fue de 5,842,000. ¿Cuántas personas vieron cada uno de estos programas esa sema na? Fuente: w-ww.tv.zap2it.com Contenido de grasa Un nutriótogo determinóque una or den grande de papas fritas tiene más grasa que una ham burguesa de un cuarto de libra (quarter-pound). Las papas fritas tienen cuatro gramos más que tres veces la cantidad de grasa de la hamburguesa. La diferencia en can tidad de grasa entre las papas fritas y la hamburguesa es de 46 gramos. Determine el contenido de grasa de la ham burguesa y de las papas fritas. Gastos enel béisbol Elllamado índicedel Costo porAficio nado (ICF,por sus siglasen inglés)es una medida para calcu lar los gastos en que incurren los aficionados del béisbol al acudirá los partidos de susequipos favoritos. En general, in cluye: el costo de 4 boletos promedio, dos cervezas peque ñas, 4 refrescos pequeños, 4 hot dogs, estacionamiento, dos programas y dos gorras. En 2001,el equipo de las ligas ma yores con el ICF más bajo fueron los Expos de Montreal, y el equipo con el ICF más alto fueron los Medias Rojas de Boston. El ICF de los Medias Rojas fue de $25.92 menos que tres vecesel ICFde los Expos.La diferencia entre el ICF de los Medias Rojas y el ICF de los Expos fue de $134.24. Determineel ICFde los MediasRojas y el ICFde los Expos. de problemas 5. Ángulos complementarios Los ángulos complementarios son aquellos cuya sumada por resultado 90°.(Vea la sección 23.) Si la medida del más grande de los dos ángulos com plementarios es 15° másque dos veces la medida del ángu lo máspequeño* determine las medidas de los dos ángulos. 6. Ángulos complementarios La diferencia entre las medi das de dos ángulos complementarios es de 58°. Determi ne las medidas de los dos ángulos. Ángulos suplementarios Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma da por resultado 180°.(Vea la sección 23.) Determine las medidas de dos ángulos suplementa rios,si uno de ellos mide 28° menos que el triple del otro. Ángulos suplementarios Determine las medidas de dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide tres veces y media más que el otro. Velocidad al remar Durante sus sesiones de entrenamien to, un equipo de remo alcanzó un promedio de 15.6 millas por hora con la corriente a su favor,y de 8.8 millas por ho racon la corriente en contra. Determine la velocidad de re model equipo con la corriente a su favor,y la velocidad de la corriente. B 7 . 8. 9 . 1 0. Velocidadde vuelo Un aeroplano voló a un promedio de 121 millas por hora con el viento a favor, y a 87 millas por hora con el viento en contra. Determine la velocidad del aeroplano sin viento y la velocidad del viento. 1 1 . Salario más comisión Ricardo TéHez, representante de una empresa que alquila equipo para oficina, gana un sa lario semanal más una comisión sobre sus ventas. Una semana, su salario total fue de $660, incluyendo su comi sión sobre la venta de $4000. La siguiente semana, su sa lario total fue de $740, incluyendo su comisión sobre la venta de $6000. Determine el salario semanal de Ricardo ysu porcentaje sobre las ventas. 12. Alquiler de un camión Una agencia de alquilerde camio nes cobra una cuota diaria más un costo por millas reco rridas. A Julia le cobraron $85 por dos días y 100 millas recorridas, y a Cristina $165 por tres días y 400 millas. ¿Cuál es la cuota diaria que cobra la agencia, y cuál es el costo por cada milla?
- 294. 2 6 6• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades 1 3 . Aceite de lavanda Paulina Rivas, una masajista, necesita tres onzas de una solución de aceite de lavanda con con centración de 20%, pero sólo tiene soluciones de 5% y 30%. ¿Cuántas onzas de cada una debe mezclar para ob tener la solución deseada? 1 4 Soluciones defertilizantes Damián Gómez necesita apli car una solución líquidade nitrógeno con concentraciónde 10% a su jardín de rosas, pero sólo tiene una solución con concentración de 4% y otra de 20%. ¿Quécantidad de ca da una de ellas debe mezclar para obtener 10 galones de solución con concentración de 10%? 15. Eliminador de maleza Un líquido para eliminación de maleza consiste de 18% de glifosfato, un ingrediente ac tivo (y 82% de ingredientes inactivos). A este líquido se le agregará agua, y la mezcla se aplicará sobre la male za. Si la mezcla final contendrá 0.9% de ingrediente ac tivo, ¿qué cantidad del líquido original y qué cantidad de agua deben mezclarse para producir 200 galones del líquido final? 16. Fertilizantepara césped Un fertilizante para césped con tiene 22% de nitrógeno. Otro contiene 4% de nitrógeno, fvfiguel Soto, propietario de un vivero,desea mezclarestos dos fertilizantes para producir 400 libras de una mezcla con concentración de 10% de nitrógeno para abonar el césped. ¿Cuánto de cada fertilizante debe mezclar? 17. Alpiste El alpiste cuesta $0.59 por libra y la semilla de gi rasolcuesta $0.89 por libra. La tienda de mascotas de Án gela Leinenbachs desea producir 40 libras de una mezcla de alpiste y semillas de girasol que se venda a $0.76 por li bra. ¿Cuántas libras de cada tipo de semilla debe usar? 18. Café Juan Bañuelos tiene una tienda de abarrotes y desea mezclar 30 libras de café que tenga un costo total de $170. Paraobtenerlas, Juan mezcla un café que cuesta $5.20 por ábra, con otro que cuesta $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de cada café debe utilizar? 19. Ligas menores Los boletos de admisiónpara el juego de estrellas de las ligas menores cuestan $4.00 para los adul tos y $1.50 para los niños. Se vendieron 225 boletos, por bs que se recaudaron $500. ¿Cuántos boletos para adulto y cuántos boletos para niño se vendieron? 20. Carne de búfalo La Casa del Búfalo vende órdenes ta maño regular y tamaño gigante de carne de búfalo. La or- cfen regularcuesta $5.99y laorden gigante $8.99. El sábado se vendieron 134órdenes por un total de $1024.66. ¿Cuán tas órdenes de tamaño regulary cuántas de tamaño gigan te se vendieron? 2L Cuentas de ahorro El señor y la señora Allende invierten un total de $10,000 en dos cuentas de ahorro. Una cuenta paga 5% de interés y la otra 6%. Determine el monto co locado en cada cuenta, si por las dos se recibe un total de $540 por concepto de intereses después de un año. Utili ce la fórmula interés = capital • tasa • tiempo. 22. Inversiones Luis Ordoñez invirtió $30,000 en dos partes, una a 9% y otra a 5%. Si hubiera invertido el monto total a 6.5%, su interés total sería el mismo que la suma de los intereses recibidos por las dos cuentas. ¿Cuánto invirtió a cada tasa de interés? 23. Leche Berta Silva trabaja en una planta productora de le che,y desea mezclar leche entera, que tiene 3.25% de gra sa, y leche descremada, que no tiene grasa, para obtener 260galones de leche que contenga 2% de grasa. ¿Cuántos galones de leche entera y cuántos de leche descremada debe mezclar para obtener el tipo de leche que desea? 2 4 Repostería Una receta para pastel requiere 2 tazas (16 onzas) de crema ligera que tiene 20% de grasa de leche. Cbn frecuencia es difícil encontrar crema con estas carac terísticas en el supermercado, ya que casisiempre sólo tie nen crema pesada, con 36% de grasa de leche, o crema media, con 10.5% de grasa de leche. ¿Qué cantidades de cada una de estas cremas se deben mezclar para obtener el tipo de crema que requiere la receta? 2 5 . Aves hambrientas Las maestras de unjardín de niños de sean comprar 20 libras de alpiste para atraer a las aves hasta el patio de su escuela. Para atraer tantas aves como s a posible, los maestras desean comprardos variedades de alpiste, una que cuesta $1.79 la libra y otra de $1.19 la li bra. Si las maestras quieren gastar $28 en alpiste, ¿cuántas libras de cada tipo deben comprar? 26. Jugo Una empresa vende jugo de manzana a 8.3 centa vos la onza, y jugo de frambuesa a 9.3 centavos la onza. La empresa desea vender botes de ocho onzas dejugo de manzana-frambuesa a 8.7 centavos la onza. ¿Cuántas on zas de cadajugo debe mezclar?
- 295. Sección 4 .3• Sistem as d e ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problem as • 2 6 7 Recorrido en automóvil Dos automóviles inician su re corrido en el mismo punto, pero viajan en direcciones opuestas. Un automóvil viaja a 5 millas por hora más rá pido que el otro. Después de cuatro horas, entre ambos automóviles hay una distancia de 420 millas.Determine la velocidad de cada automóvil. Construcción de un camino Manuel Sandoval conduce su automóvil a lo largo de una ruta de 430 millas. Debido a que están construyendo un camino y al tránsito pesado, durante la primera parte de su viaje Manuel conduce a una velocidad promedio de 50 millas por hora. Durante el resto del trayecto conduce a una velocidad promedio de 70 millas por hora. Si el recorrido total tomó siete horas, ¿cuántas horas condujo a cada velocidad? para la pintura. ¿Cuántas sillas de cada modelo pueden fabricarse? Mezcla Pro teína (%) Carbohidratos (%) Mezcla A 10 6 Mezcla B 20 2 32. Fabricación desillas Una compañía fabrica dos modelos de sillas. La información acerca del tiempo que se requie re para fabricar cada modelo se indica en la siguiente tabla. En un día específico, la compañía asignó 46.4 horas-persona para el ensamblaje y 8.8 horas-persona Modelo Tiempo de ensamblaje Tiempo de pintura Modelo A 1 hora 0.5 hora Modelo B 3.2 hora 0.4 hora 29. Conferencistas Las representantes de ventas Sabrina Dávila y Diana Mendoza asistieron a una conferencia fue ra de sus respectivas ciudades de residencia. Después de la conferencia, Sabrina regresa a su casa conduciendo a una velocidad promedio de 65 millas por hora, mientras que Diana lo hace a una velocidad promedio de 50 millas por hora. Si la suma de sus tiempos de recorrido es igual a 11.4 horas, y si la suma de las distancias recorridas es igual a 690 millas, determine el tiempo que cada una de ellas necesitópara llegar a casa. 3 0 . Ejercicio Para su rutina de ejercicios, Rita Sánchez condu ce una bicicleta durante hora y media y luego trota durante hora y media. Rita conduce la bicicleta a una velocidad que es cuatro veces la velocidad a laque trota. Si la distancia to tal que cubre Rita es de 12.5 millas,determine la velocidad a la que conduce la bicicleta y la velocidad a la que trota. 3 L Dieta para animales En un experimento, se ha impuesto una dieta estricta a un grupo de animales. Cada uno de ellos recibe, entre otros nutrientes, 20 gramos de proteína y 6 gramos de carbohidratos. El científico a cargo del ex perimento sólo tiene dos mezclas de alimento, cada una con la composición que se detalla en la siguiente tabla. ¿Cuántos gramos de cada mezcla debe usar para obtener la dieta correcta para cada animal? 3 3 . Aleación de latón En peso, una aleación de latón consta de 70% de cobre y 30% de zinc. O tra aleaciónes 40% de cobre y 60% de zinc. ¿Cuántos gramos de cada una de estas aleaciones se necesita combinar para obtener 300 gramos de una aleación de latón que tenga 60% de cobre y 40% de zinc? 34. Aleación de plata La plata sterling tiene 92.5% de plata pura. ¿Cuántos gramos de plata pura (100%) y cuántos gramos de plata sterling deben mezclarse para obtener250 gramos de una aleación de plata de 94%? 3 5 . Conductores intrépidos Tomás Álvarez y Melissa Acino empiezan a manejar al mismo tiempo en diferentes auto móviles, pero en la misma dirección. Cuando Melissa había recorrido una distancia de 150 millas,el trayecto de Tomás sólo había sido de 120 millas. Si Melissa condujo a unpromedio de 15 millas por hora más rápido queTomás, determine la velocidad promedio de cada automóvil. 3 6 . Caminar y correr Gerardo Jáuregui se ejercita todos los días, caminando a 3 millas por hora y luego corriendo a 5 millas por hora. Si tarda 0.9 horas en recorrer un total de 3.5 millas, ¿cuánto tiempo corre? 37. Devolución de impuestos La siguiente gráfica muestra el porcentaje de impuestos federales que se devolvió a los estadounidenses por medios electrónicos o mediante che que entre 1996 y 2001. Si t representa el número de años desde 19%, el porcentaje de impuestos que se devolvie ron por medios electrónicos puede calcularse con la fun ción E(t) = 3.621 + 12.6,y el porcentaje de impuestos que se devolvieron mediante cheque puede calcularse con la función P(t) = -3.62/ + 87.4. Suponiendo que esta ten dencia continúa, ¿en qué año el porcentaje de devolución por medios electrónicos será igual al porcentaje de devo lución mediante cheque? Medios de devolución de impuestos federales 100 * 8 V ) ¿ •8i 80 60 o ¥ 1 4 0 M 20 £ Devolución m ediante cheque Devolución por medios electrónicos 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Año R ien te: S ervid o d e Ingreses Internos.
- 296. 2 6 8• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades 38. Doctorado El número de hombres que recibieron docto rado, Af,en mües,en Estados Unidos, puede calcularse por medio de la función M(t) = -0.861 + 27.1, en donde / es el número de años desde 1999. El número de mujeres que recibieron el mismo grado, IV,en miles, puede determinar se mediante la función W(t) = 0.43/ + 17.5. Determine en qué año recibirán el grado de doctor el mismo número de mujeres que de hombres. 39. Planes de larga distancia Un plan de pago por llama das telefónicas de larga distancia incluye una cuota men sual de $8.95 más 5 centavos por minuto de uso. Otro plan incluye un costo mensual de $5.95 más 7 centavos por minuto. a) Sea C el costo mensual total y í el número de minutos de uso. Escriba un sistema de ecuaciones en el que las ecuaciones representen estos planes de pago por llamadas telefónicas de larga distancia. b) Grafique este sistema de ecuaciones para valores de / de 0 a 180 minutos. c) Con base en la gráfica, calcule el número de minutos necesarios para que el costo de ambos planes sea igual. d) Resuelva el sistema de manera algebraica. Si su res puesta no coincide con la que dio en la parte c), expli ca por qué. 40. Costo defotocopias Un centro de fotocopiado ofrece dos planes de pago. Plan 1:$0.10 por copia. Plan 2: una cuota anual de $120 más 4 centavos por copia. a) Represente esta informacióncomo un sistema de ecua ciones. b) Grafique el sistema de ecuaciones hasta 4000 copias. c) Con base en la gráfica, calcule el número del copias que se tendría que hacer en un año para que los dos planes tuvieran el mismo costo total. d) Resuelva el sistema de manera algebraica. En los ejercicios 41 a 52, a) exprese elproblema como un sistema lineal con tres variables, y b) resuelva el problema. 41. Volumen decorreo Una familiaestadounidense promedio recibe 24 piezas de correo cada semana. El número de es tados de cuenta es de 2 piezas menos que el doble del nú mero de piezas de correo personal. El número de anuncios es de 2 piezas más que cinco veces el número de piezas de correo personal. ¿Cuántas piezas de correo personal, esta dos de cuenta y anuncios recibe cada semana la familia promedio? Fuente: Arthur D. Little, Inc. 42. Personal de submarino En un submarino trabajan 141 hambres. El número de contramaestres (enlistados) es cua tro veces más que el número de oficiales comisionados. El resto de la tripulación está constituido por tres hombres menos que ocho veces el número de oficiales comisionados. Determine el número de oficiales comisionados, de con tramaestres y del resto de la tripulación del submarino. 43. Zona minera Los países que tienen el mayor número de zonas mineras son, en orden descendente: Irán, Ango la e Irak. Se calcula que el número total de zonas mine ras en estos tres países es de 41 millones. En Irán hay aproximadamente 14 millones menos que tres veces las que hay en Irak. EnAngola hay alrededor de 5 millones menos que el doble de las que hay en Irak. Determine el número estimado de zonas mineras que hay en Irak, Angola e Irán. 44. Boletos deconcierto Hay tres clases de boletos para asis tir a un concierto de rock: luneta, piso principal y palco. Los boletos más caros, losde luneta, son dos veces más ca ros que los boletos de palco. Los boletos de palco cuestan $10 menos que los boletos del piso principal y $30 menos que los boletos de luneta. Determine el precio de cada ti po de boleto. 45. TUángulo La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°. El ángulo más pequeño del triángulo mide de lo que mide el segundo ángulo. El ángulo más grande mide 30° menos que tres veces lo que mide el segundo ángulo. Determine cuánto mide cada ángulo.
- 297. Sección 4 .3• Sistem as de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución d e problem as • 2 6 9 46. Otro triángulo El ángulo másgrande de un triángulo mi de 10° menos que tres veces lo que mide el segundo ángu lo. El ángulo más pequeño es igual a la diferencia entre lo que mide el ángulo más grande y el doble de lo que mide el segundo ángulo. Determine cuánto miden los tres ángu los del triángulo. 47. Inversiones María Maldonado recibió un cheque de $10,000 y decidió dividir el dinero (no equitativamente) en tres cuentas de inversión diferentes. Colocó parte de su dinero en una cuenta de ahorros que paga 3% de inte rés; la segunda cantidad, que fue el doble del primer mon to, fue colocada en un certificado de depósito que paga 5% de interés María invirtió el resto en un fondo del mer cado de valores que paga 6% de interés. Si el interés total que recibió Maríaen un periodo de un año, fue de $525.00, ¿cuánto invirtió en cada cuenta? 48. Bonos Mauricio Cortés, un abogado, dividió su bono de Navidad en tres inversiones diferentes. Con parte del di nero compró un bono municipal que paga 5.5% de interés ampie; después, invirtióel doble del monto del dinero que pagó por el bono municipal en un certificado de depósito que paga 4.5% de interés simple. Mauricio colocó el res todel dinero en una cuenta del mercado de valores que pa ga 3.75% de interés simple. Si el interés total que recibió Mauricio por un año fue de $692.50, ¿cuánto invirtió en cada cuenta? 49. Peróxido dehidrógeno Tres soluciones de peróxido de hi drógeno con concentraciones de 10%, 12% y 20%, respec tivamente, se mezclaron para obtener ocho litros de una solucióncon concentraciónde 13%. ¿Cuántos litros de ca da una se mezclaron, si el volumen de la solución de 20% debíaserde dos litros menos que el volumen de la solución de 10%? 50. Ácido sulfúrico Tres soluciones de ácido sulfúrico con concentraciones de 8%, 10% y 20%, respectivamente, se mezclan para obtener 100 mi de una solución con concen tración de 12%. Si el volumen de ácido de la solución de 8% es igual a la mitad del volumen de ácido proveniente de las otras dos soluciones, ¿qué cantidad de cada solu ciónse necesita? 51. Fabricación de muebles Una fábrica de muebles produ ce tres tipos de mecedora: el modelo para niños, el mode lo estándar y el modelo ejecutivo. La fabricación de cada mecedora consta de tres etapas: corte, construcción y aca bado. El tiempo que se dedica a cada etapa de la fabrica ción de las mecedoras se indica en la siguiente tabla. Durante una semana específica, la fábrica dispone de un máximo de 154 horas para corte, 94 horas para construc ción y 76 horas para acabado. Determine cuántas mece doras de cada tipo deben producirse para que la fábrica opere a su máxima capacidad. Etapa Para niños Estándar Ejecutiva Cortes 5 horas 4 horas 7 horas Construcción 3 horas 2 horas 5 horas Acabado 2 horas 2 horas 4 horas 52. Fabricación de bicicletas Una compañía de bicicletas produce tres modelos de bicicletas: Dakar, Komodo y Aragón. La fabricación de cada bicicleta consta de tres etapas: soldadura, pintura yensamblaje. El tiempo que se dedica a cada etapa de fabricación se indica en la siguien te tabla. Durante una semana específica, la compañía dis pone de un máximo de 133 horas para soldadura, 78 horas para pintura y % horas para ensamblaje. Determine cuán tas bicicletas de cada tipo deben producirse para que la compañía opere a su máxima capacidad. Etapa Dakar Komodo Aragón Soldadura 2 3 4 Pintura 1 2 2.5 Ensamblaje 1.5 2 3 53. Flujo decorriente En electrónica es necesario analizar el flujo de corriente a través de las redes de un circuito. En tres redes (A, B y C) de un circuito, las relaciones son las siguientes: ¡A + J fl + ¡C = 0 - 81B +10¡c = 0 4IA - 81B = 6 en donde IA, I Be I crepresentan la corriente en las redes A, B y C,respectivamente. Determine la corriente en ca da red del circuito. 54 Fuerzas en una viga En física se analizan con frecuencia las fuerzas que actúan sobre un objeto. Para tres fuerzas, F,F2y Fy, que actúan sobre una viga, se obtuvieron las ecuaciones siguientes. 3F, + F2- F3= 2 F - 2F2+ F3= 0 4F, - F2+ F3= 3 Determine las tres fuerzas.
- 298. Actividad en equipo_________________________ 27 0 • C apítulo 4 • Sistem as de e cu a cio n e s y desigualdades Analicen y respondan en equipo el ejercicio 55. 55. Dos automóviles Un sistema no lineal de ecuaciones es aquel que contiene al menos una ecuación que no es li neal. (Los sistemas no lineales de ecuaciones se estudiarán en el capítulo 10). La gráfica muestra un sistema no lineal de ecuaciones. Las curvas representan velocidad contra tiempo para dos automóviles. a) ¿Las dos curvas son funciones? Expliquen. b) Analicen el significado de esta gráfica. c) En el momento t = 0.5 h, ¿cuálde los automóviles está viajando a mayor velocidad? Expliquen su respuesta. d) Supongan que los dos automóviles inician en la misma posición y viajan en la misma dirección. ¿Cuál auto móvil,A o B, viaja más lejos en una hora? Expliquen su respuesta. Tiempo (horas) Ejercicios de repaso acumulativo [1.4] 56. Evalúe x + x y + y cuando x = - 2 , y = 5. 57. Resuelva 4 - 2[(x - 5) + 2x] = ~(x + 6). 58. Explique cómo determinar si una gráfica represen ta una función. 59. Escriba una ecuación para la recta que pasa por los puntos (6, -4 ) y (2, -8). I 4 . 4 R E S O L U C IÓ N D E S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S P O R M E D IO D E M A T R IC E S 1 Escribir una m atriz aum entada. é k 2 Resolver sistemas de ecuaciones lineales. 3 Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables. f t a Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes. 1 Escribir una matriz aumentada U n a m atriz es un arreglo rectangular d e núm eros dentro d e corchetes. E jem plos de m atrices son "4 ó l [ 5 7 2 1 9 - 2 j [ - 1 3 4 j Los núm eros dentro d e los corchetes se denom inan elem entos de la matriz. La m atriz d e la izquierda contiene 2 filas y 2 colum nas; p o r lo tanto, se le llama matriz d e 2 p o r 2 (2 X 2). L a matriz d e la derecha contiene 2 filas y 3 columnas; p o r lo tanto,es una m atriz d e 2 p o r 3 (2 X 3). Al escribir las dim ensiones d e una m atriz, siem p re se indican prim ero las filas y luego las colum nas d e q u e consta. U na m atriz cuadra da tiene el mismo número d e filas q u e d e columnas. Así, la matriz d e la izquierda es una matriz cuadrada. E n esta sección utilizarem os m atrices p ara resolver sistem as d e ecuaciones li neales. Para ello, prim ero hay q u e escribir cada ecuación en la form a ax + b y = c. El
- 299. Sección 4 .4• R esolución d e sistem as de e cu a cio n e s p o r m edio d e m atrices • 2 7 1 siguientepasoconsisteenescribir lamatrizaumentada,esdecir,unamatriz conform a da por dos matricespequeñasseparadas por una barravertical. Los números a la izquierdade lalíneaverticalsonloscoeficientesde lasvariablesdelsistemadeecua ciones,y losnúmeros aladerechasonlasconstantes. Parael sistemadeecuaciones a xx + b xy = ci a2x + b2y = c2 lamatrizaumentadaseescribe a x bi c 'l _a2 ¿2 c J A continuacióntenemosunsistemadeecuacionesy sumatriz aumentada. Sistem a de e cuacio nes M atriz aum entada - * + 2 y = 4 ■3* 1 2 -3 -5 Observequelabarraverticalde lamatriz aumentadaseparaloscoeficientesnuméri cosde lasconstantes. Como lamatrizessólo unaformaabreviadadeescribirelsiste made ecuaciones, podemos resolver un sistema lineal utilizando matricesde una manerasimilar acomo lohacemosmedianteel métodode lasuma. 2 R e s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s lineales Pararesolverunsistemadedosecuacioneslinealesmediantematrices,reescribimosla matriz aumentadaen form a triangular, IkJ:] endondea, p y q sonconstantes. A partir deestetipo de matriz aumentadapode mosescribir unsistemadeecuacionesequivalente. Esta matriz representaal siste malineal 1x + ay = p Ox + 1y = q x + ay = p y = q Porejemplo, 1 3 0 1 representa * + 3y = 4 y = 2 Observequeelsistemadel ladoderechopuederesolversefácilmenteporsustitución. Susoluciónes(-2,2). Parareescribir lamatrizaumentadaenformatriangular,utilizamostransform a ciones d e fila, mismasquepuedenrealizarsemediantetresprocedimientos.
- 300. 2 7 2• C apítulo 4 • Sistem as de e cu a cio n e s y desigualdades E J E M P L O 1 Solución P rocedim ientos p a ra la transform ación d e filas L Todos los números de una fila pueden multiplicarse por (o dividirse entre) cualquier número real distinto de cero. (Esto es lo mismo que multiplicar ambos lados de una ecuaciónpor un número real distinto de cero). 2. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por cualquier número real distinto de cero. Los productos resultantes pueden sumarse a los números correspondientes en cualquier otra fila. (Esto es equivalente a eliminar una variable del sistema de ecuacio nes utilizando el método de la suma). 3. Dos filas de una matriz pueden intercambiarse. (Esto es b mismo que intercambiar dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones). Por logeneral, al cambiar unelementode lamatriz aumentadapor 1seutiliza elprimerodelosprocedimientosdescritos,y alcambiarunode loselementospor0uti lizamoselsegundoprocedimiento.Se trabaja por columnas,comenzando por la de la izquierda;enotraspalabras,inicieconlaprimerafilade laprimeracolumna. Resuelvaelsiguientesistemadeecuacionesutilizando matrices. 2 x - 3 y = 10 2 x + 2 y = 5 Primeroescribimos lamatriz aumentada. 2 -3 2 2 10 Nuestroobjetivoesobtener unamatrizdelaforma [kJ:].Paraello,comenza mospor utilizarel procedimiento 1delastransformacionesdefilaparacambiar el 2 en laprimerafilade laprimeracolumnapor 1. Parahacerlo,multiplicamoslaprime rafilade númerospor1. (Abreviamosestamultiplicacióncomo R Xy colocamosla expresiónaladerechadelamatriz,en lamismafilaendondese realizó laoperación. Estopuedeayudarleaseguir elprocedimientoconmásclaridad). Conestoseobtiene 2 (1 ) -3 (1 2 2 10(¿ 5 i - i El paso siguienteesobtener 0 en lasegundafilade laprimera columna,dondepor el momentoseencuentraun2. Lo haremosmultiplicando por-2 los númerosdela primerafila,y sumamoslosproductosalosnúmerosde lasegundafila. (Esto seabre via - 2 R X + R2). Losnúmerosde laprimerafila,multiplicadospor -2 son l(-2 ) - - ( - 2 ) 5(-2) Ahorasumamosestosproductosasusnúmerosrespectivosdelasegundafila. Cones toobtenemos 2 + l(-2 ) 2 + ( - f ) ( - 2 ) 5 + 5(-2) -2 R, + R-
- 301. Sección 4 .4• Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s p o r m edio de m atrices • 2 7 3 A hora tenem os 1 " I 0 5 5 Para obtener 1 en la segunda fila d e la segunda colum na, multiplicam os la segunda fi la d e núm eros p o rj. so) i -5(i; [M I 4] L a m atriz se encuentra ahora en la form a q u e buscábamos. E l sistem a d e ecuaciones triangular equivalente es 3 . * " 2 :V = 5 y = - i A hora podem os despejar * m ediante sustitución. * - y = 5 * - | ( - D = 5 * + 2 = 5 7 X = 2 AHORARESUELVAELEJERCICI019 Com pruebe q u e la solución del sistem a es ( | , —1). 3 R e s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s lineales c o n tre s v a ria b le s A hora utilizaremos las matrices p ara resolver un sistema d e tres ecuaciones lineales con tres variables. Usarem os el mismo procedim iento d e transform aciones d e filas q u e em pleam os para resolver un sistem a d e dos ecuaciones lineales. N uestro objetivo es o b tener una m atriz aum entada en form a triangular P < i1 r _ donde a, b , c , p yq y r son constantes. E sta m atriz representa el siguiente sistem a de ecuaciones. 1x + a y + b z = p x + a y + b z = p 0* + 1y + cz = q o y + c z = q Ox + Oy + i z = r z = r Al construir una matriz aum entada, trabajep o r columnas, com enzando p o r la del extremo izquierdo y finalizando con la del extremo derecho. Siempre termine las ope raciones en una colum na antes de pasar a la siguiente. E n cada colum na, prim ero ob-
- 302. 2 7 4• C apítulo 4 • Sistem as de e cu a cio n e s y desigualdades tenga 1 en la posición indicada, y después obtenga los ceros. E l ejem plo 2 ilustra este procedim iento. SU G ER EN C IA Al usar matrices, tenga cuidado de mantener todos los números alineados de forma apro piada en filas y columnas. Un pequeño error al copiar números de una matriz a otra provocará que nuestro intento de resolver un sistema de ecuaciones sea incorrecto. x - 3y + z = 3 Por ejemplo, el sistema de ecuaciones, 4x + 2y - 5z = 20 , cuando se representa , da lugar a la C 0 N 5 E J0 PARA - 5 x - y - 4z = 13 ESTUDIAR " 1 - 3 1 3~ de manera correcta con la matriz aumentada. 4 2 - 5 20 — 5 — i -4 13_ solución (1 , - 2, -4).Sin embargo,una matrizque parece muysimilar, 206 53 conduce a la terna ordenada incorrecta í - )■ 1 -3 1 3" 4 - 1 -5 20 . - 5 2 -4 13. E JE M P L O 2 U tilice m atrices p ara resolver el siguiente sistem a d e ecuaciones x - 2 y + 3 z = ~ 7 Solución 2x - y - z = 7 - x + 3 y + 2 z = - 8 Prim ero escriba la m atriz aum entada. 1 - 2 3 - 7 " 2 - 1 - 1 7 i 1 to — 8_ D espués utilice las transform aciones d e filas p ara cam biar la prim era colum na a o. Com o el núm ero d e la prim era fila d e la prim era colum na ya es 1, trabajarem os con el número 2 d e la segunda fila, prim era colum na. M ultiplique los núm eros d e la prim era fila p o r - 2 y sum e los productos a los núm eros respectivos d e la segunda fila, con lo qu e cam biará el 2 p o r 0. A hora la m atriz es - 2 R, + R, C ontinúe hacia abajo en la prim era colum na y cam bie el núm ero - 1 d e la tercera fi la p o r 0. M ultiplique los núm eros d e la prim era fila p o r - 1 , y sum e los productos a la tercera fila p ara obtener 1 - 2 3 - 7 " 0 3 - 7 21 _ - l 3 2 -8 _ ' i - 2 3 - 7 “ 0 3 - 7 21 _0 1 5 ~ 15. 1/?, + Rz A hora trabajarem os con la segunda colum na. Q uerem os cam biar los núm eros d e es ta colum na a la form a í, donde a representa un número. Com o hay un 1 en la tercera
- 303. Sección 4 .4• Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s p o r m edio de m atrices • 2 7 5 AHORA RESUEU/A EL EJERCICIO 33 fila d e la segunda colum na, y querem os un 1 en la segunda fila d e la segunda colum na, intercam biam os la prim era y segunda filas d e la matriz. Esto da “ l - 2 3 - 7 " 0 1 5 -1 5 _0 3 - 7 2 ! _ IntercambiarR¡ y R2. Continuando el trabajo hacia abajo e n la segunda colum na, ahora cam biarem os el nú mero 3 d e la tercera fila p o r 0, m ultiplicando los núm eros d e la segunda fila p o r - 3 y sum ando los productos a la tercera fila. Esto d a p o r resultado “l - 2 3 - 7 " 0 1 5 -1 5 _0 0 -2 2 66_ -3 R 2 + /?3 A hora trabajarem os con la tercera colum na. Q uerem os cam biar los núm eros de esta colum na a la form a c, donde b y c representan núm eros. D ebem os cam biar el núm ero - 2 2 d e la tercera fila p o r 1. Podem os lograrlo multiplicando los núm eros de la tercera fila p o r - ^ . E sto d a com o resultado - 7 -15 - 3 22^3 A hora esta m atriz tiene la form a deseada. A partir d e ella obtenem os el siguiente sis tem a d e ecuaciones x - 2 y + 3 z = - 1 y + 5 z = - 1 5 z = - 3 L a tercera ecuación nos d a el valor d e z en la solucióa A hora podem os despejar y,sus tituyendo z por -3 en la segunda ecuación. y + 5 z = - 1 5 y + 5( 3) = - 1 5 y - 15 = - 1 5 y = 0 A hora despejam os x, sustituyendo y p o r 0 y z por -3 en la prim era ecuación. x - 2 y + 3 z = - 1 x - 2(0) + 3 (— 3) = - 7 x - 0 - 9 = - 7 x - 9 = -7 x = 2 La solución es (2,0, -3 ). Compruébelo sustituyendo los valores apropiados en cada una d e las ecuaciones originales. #
- 304. 2 7 6• Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades 4 R e c o n o c e r s is te m a s in c o n s is te n te s y s is te m a s d e p e n d ie n te s Al resolver un sistem a d e dos ecuaciones, si usted obtiene una m atriz aum entada en la q u e todos los núm eros d e una fila al lado d e la barra vertical son ceros, pero no hay ceros q u e les correspondan en el o tro lado, significa q u e el sistem a es inconsistente y no tiene solución. Por ejemplo, un sistem a d e ecuaciones con el q u e se obtiene la si guiente m atriz aum entada es un sistem a inconsistente. Sistema inconsistente. L a segunda fila d e la m atriz representa la ecuación Ox + O y = 4 qu e nunca es verdadera. Si obtiene una matriz con ceros en toda una fila, el sistem a d e ecuaciones es d e pendiente. Por ejemplo, un sistem a d e ecuaciones q u e produce la siguiente m atriz au m entada es un sistem a dependiente. I - 3 -2~| ) 0 0 I «----------Sistema dependiente. L a segunda fila d e la m atriz representa la ecuación Ox + Qy = 0 qu e siem pre es verdadera. Los sistem as d e ecuaciones con tres ecuaciones cum plen reglas similares. Sistema inconsistente. AHORARESUELVAELEJERCICIO27 " l 2 4 5" 0 0 0 - 1 _0 1 - 2 3_ " l 3 - 1 2~ 0 0 0 0 _0 4 1 - 3 _ Sistema dependiente. 30 C ó m o utilizar su ca lcu la d ora g ra fica d o ra M uchas calculadoras graficadoras p u ed en trab ajar con m atrices y realizar operaciones en las filas. Por consiguiente, estas calculadoras graficadoras pueden utilizarse p ara resolver sistem as d e ecuaciones m ediante matrices. Lea el m anual d e instrucciones q u e viene con su calculadora graficadora p ara ver si puede m anipular m atri ces. Si es así, aprenda a utilizarla p ara resolver sistem as d e ecuaciones m ediante matrices. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 4 . 4 Ejercicios conceptuales L ¿Qué es una matriz cuadrada? 2. Explique cómo construir una matriz aumentada. 3. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para completar el procedimiento? Explique. 1 3 I ó ] 0 - 1 4
- 305. Sección 4 .4• Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s p o r m edio d e m atrices • 2 7 7 Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para completar el procedimiento? Explique su respuesta. "l 3 7 - l " 0 - 1 5 3 _2 4 6 8_ Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sis tema de ecuaciones, ¿cuál seríael siguiente paso para com pletar el procedimiento? Explique su respuesta. 4 - 7 5 2 1 4 7 -1 2 Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sis tema de ecuaciones, ¿cuál seríael siguiente paso para com pletar el procedimiento? Explique su respuesta. '1 3 -2 r 0 1 2 -3 _0 0 4 -1 2 7. 8. Al resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante ma trices,si dos filas son idénticas, ¿el sistema será consisten te,dependiente o inconsistente? Al resolver un sistema de ecuaciones mediante matrices, ¿cómo se sabe si el sistema es a) dependiente, b) inconsistente? Problemas de aplicación Realice cada una de las transformaciones defila indicadas y escriba la nueva matriz. 9. 10. 11. 12. 13. 14 15. 16. "5 -1 0 3 ’l 8 0 4 - 3_ "4 7 2 3 2 1 1 1 3 " l 5 0 6 -1 .0 1 3 1 3 12' 0 0 1 1 - 6 . "l 5 i 10 -A " 1 0 8 5 2 2 _6 -3 1 " l 2 -1 0 1 5 0 0 2 J Multiplique por jlos números de la primera fila. Multiplique por los números de la segunda fila. Intercambie las filas 1 y 3. 2 5 - 4 Intercambie las filas 2 y 3. Multiplique los números del primer renglón por — y sume los productos al segundo renglón. Multiplique por -5 los números de la primera fila,y sume los productos a la segunda fila. i 4 - 2 0 6 0 4 Multiplique por — . los números de la tercera fila. Resuelva cada sistema utilizando matrices. 17. * + 3y = 3 - x + y = - 3 20. 3x - 6y = 15 2x - y = 4 23. 2x - 5y = - 6 -4 * + 10y = 12 18. x + 2y = 5 3x - y = 1 21. 5a - 10¿> = - 1 0 2a + b = 1 24 -2 m - 4n = 7 3m + 6 n = — 11 19. * + 3y = 4 -4 * - y = 6 22. 3s - 2t = 1 -2 s + 4f = - 6 25. 12* + 10y = -1 4 4* - 3y = -1 1
- 306. 2 7 8• C apítulo 4 • Sistem as de e cu a cio n e s y desigualdades 26. 4r + 2s = -1 0 27. - 3 x + 6 y = 5 28. 6* - 3y = 9 -2 r + s = - 7 2x - 4y = 8 - 2 x + y = - 3 29. 9x - 8 y = 4 30. 2x - 3y = 3 3L lOm = 8 n + 15 32. 8 x = 9y + - 3 x + 4y = -1 - 3 x + 9y = - 3 16n = -15m - 2 24x + 6y = Resuelva cada sistema utilizando matrices. 33. x — 3y + 2z = 5 34. a - 3b + 4c = 13 £ 35. x + 2y = 5 2x + 5y - 4z = - 3 4a + b + c = - 4 y - z = - l - 3 x + y - 2z = -1 1 -2 a - 3b - 5c = -2 2 x - 3 z = 0 36. 4a + 3c = -1 2 37. * - 2y + 4z = 5 38. 3x - 5y + 2z = 8 a + 2 b = - 1 - 3 x + 4y - 2z = - 8 - x - y - z = -3 cr 1 í* II -J 4x + 5y —4z = - 3 3x - 2y + 4z = 10 39. 2x - 5y + z = 1 40. x + 2y + 3z = 1 41. 4p — q + r = 4 3x - 5y + z = 2 4* + 5y + 6 z = - 3 - 6 p + 3q - 2r = - 5 - 4 x + 10y - 2z = - 2 7* + 8 y + 9z = 0 2p + 5q - r = 7 42. — 4r + 3s —6í = 14 43. 2x - 4y + 3z = -1 2 44. 3x - 2y + z = -1 4r + 2s —2i = — 3 3* - y + 2z = -3 12* - lOy - 3z = 2 2r — 5s — 8 t = — 23 - 4 x + 8 y - 6 z = 10 -9 * + 8 y - 4z = 5 45. 5x - 3y + 4z = 22 46. 9x — 4y + 5z = — 2 - x - 15y + 10z = “ 15 — 9* + 5y - 10z = -1 - 3 x + 9y - 12z = - 6 9* + 3y + 10z = 1 Resolución de problemas 47. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices, si se intercambian dos filas de la matriz, ¿cam biará la solución del sistema? Explique. 48. ¿Puede decir si un sistema de tres ecuaciones con tres va riables es consistente, dependiente o inconsistente sin re- sriverlo? Explique. Resuelva los ejercicios 49 a 51 mediante matrices. 49. Ángulos de un tejado En una sección triangular de un te jado, el ángulo más grande es 55° mayorque el ángulo más pequeñoque es 20° mayor que el ángulo restante. Deter- nine la medida de cada ángulo. 5 1 . Plátanos Sesenta y cinco por ciento de la producción mundial de plátano es controlada por las empresas Chi quita, Dole y Del Monte (todas de Estados Unidos). Chiquita, la empresa más grande, controla 12% más de la producciónque Del Monte. Dole, la segunda empresa en tamaño, controla 3% menos que el doble del porcentaje que controla Del Monte. Determine los porcentajes que corresponden a cada sector del círculo de la gráfica que se muestra. Producción mundial de plátanos Ángulo recto Un ángulo recto se divide en tres ángulos más pequeños. El más grande de los tres ángulos mide el doble del más pequeño. El tercer ángulo mide 10° másque el ángulo más pequeño. Determine la medida de cada ángulo. 50.
- 307. Se cció n4 .5 • Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s por m edio d e d e term inantes... • 2 7 9 52. Navegadores Web La siguiente gráfica muestra que en 2002, Microsoft y Netscape controlaron la mayorparte del mercado de navegadores Web. Microsoft controló alrede dor de 49% más mercado que Netscape, y Netscape con troló alrededor de ocho veces la cantidad que controlaban todos los demás productores de este tipo de programas. Determine el porcentaje que corresponde a cada sector de la gráfica que se muestra. Ejercicios de repaso acumulativo Distribución del mercado de navegadores Web Otras Netscape Microsoft Fuente: www.wcbrcvlew.ccm [1.2] 53. A = (1,2,4,6,9}; B = {3,4,5,6,10}. Determine a ) á U 8 ; b) A n B. [2.5] 54. Indique la desigualdad - 2 < x < 4 a) en una recta numérica, b) como un conjunto solución, y c) en notaciónde intervalo. [3.2] 55. ¿Qué representa una gráfica? [3.4] 56. 56.Si/(a:) = - I x 2 + 4x - 6, determ ine/(-5). 4 . 5 R E S O L U C IÓ N D E S IS T E M A S D E E C U A C I O N E S P O R M E D IO D E D E T E R M I N A N T E S Y L A R E G L A D E C R A M E R a f e 1 Evaluar un determinante de una matriz 2 x 2 . 2 Utilizar la regla de Cramer. 3 Evaluar un determinante de una matriz 3 x 3 . 4 Utilizar la regla de Cram er con sistemas de tres variables. 1 Evaluar un determinante de una matriz 2 x 2 Hemosestudiadovariosmétodospararesolversistemasdeecuacioneslineales:grafi- cación,sustitución,el métodode lasuma(o eliminación) y m atrices. Los sistemasde ecuaciones linealestambiénpuedenresolversemediantedeterminantes. Todaslasmatricescuadradastienenunnúmeroasociadoqueseconocecomosu determinante. Enelcasodeunamatrizde2 X 2,eldeterminantesedefinecomosigue. D E F IN IC IÓ N El determinante de una matrizde 2 X 2 evalúacomo a M , sedenotapor _a2 b2J a x bx a2 ¿>2 y se a x bx a2 bi = abi ~ a2bx E J E M P L O 1 Evalúecadadeterminante. 2 - 1 a) 3 5 Solución a) a ¡ = 2 , a 2 = 3yb, = -1 yb2 = 5 b) -2 3 -1 4 2 x _ 1 3 5 = 2 (5) - (3 )(—1) = 10 + 3 = 13
- 308. = (—2 )(4)-( -l ) (3 ) = -8 + 3 = -5 2 8 0 • C apítulo 4 • Sistem as d e e cu a cio n e s y de sigualdades AHORA RESUELVA E L EJER CIC IO 7 b) 2 „3 1 4 2 Utilizar la regla de Cramer Si comenzamosconlasecuaciones a xx + b xy = c, a2x + b2y = c2 podemosutilizarel métodode lasumaparamostrarque C b 2 - C 2¿ > , a¡C2 ~ 02CX x = — y y = axbí - a2b x axb2 - a2b x (veaelproblema61de lasecciónReto). Observequelosdenominadores de*y y son ambosaxb2 - a-px.A continuaciónestáeldeterminante,D,queproduceestedenomi nador. D = a x b x a2 b2 = a xb2 - a2b x Losnumeradores dex y y sondiferentes. A continuaciónseencuentrandosdetermi nantes,Dx y Dy conlosqueseobtienenlosnumeradoresdea: y y. Dx = cx b x L = cxb2 - c2bx ° y = a x cx = a xC 2 - a2cx c2 b2 a2 c2 LosdeterminantesD yDx y Dyseutilizanenlaregla de Cram er,quesepuedeemplear pararesolversistemasdeecuacioneslineales. R egla d e C ra m e r p a ra sistem as de e cu a cio n e s lineales Paraunsistem adeecuacioneslinealesconlaforma axx + b^y = cx a2x + b?y = c2 C b a C C2 b2 Dx a2 C2 < * bx D y y 0i b x a2 b2 «2 b2 S U G E R E N C IA Loselem entosdeldeterm inanteD sjnloscoeficientesnum éricosdelostérm inos*yyen la sdosecuacionesdadas,listadosenel m ism oordenenqueaparecendentrodela secua ciones.Paraobtenereldeterm inanteD, apartirdeldeterm inanteD, reem placeloscoefi cientesdelostérm inosdex (losvaloresdelaprim eracolumna) conla sconstantesdela s dosecuacionesdadas.Paraobtenereldeterm inanteDyapartirdeldeterm inanteD, reem placeloscoeficientesdelostérm inosdey(losvaloresdelasegundacolumna)conla scons tantesdela sdosecuacionesdadas.
- 309. Sección 4 .5• Resolución d e sistem as de e c u a c io n e s p o r m e dio d e de term inantes... • 2 8 1 E J E M P L O 2 S o lu c ió n AHORARESUELVAELEJERCICIO 15 Utilice laregladeCramerpararesolverelsiguientesistema. 3x + 5y = 7 4 x - y = - 6 Ambas ecuacionesestánen laformadeseada,ax + by = c. Cona ,b y c nos referi mosa3x + 5y = 7como laecuación1,y 4x - y = - 6 como laecuación2 (en lossu bíndices). a¡ b¡ c¡ i i i 3x + 5y = 1 4X - l y = -6 T t T a2 b2 Ci AhoradeterminamosD,Dx y Dy. 5 ' D = a ¿i = 3 a 2 b2 4 D , = C bi 7 < h . b2 -6 D = «i = 3 y a2 C i 4 = 3(—1) - 4(5) = -3 - 20 = -23 = 7(—1) - (-6 )(5) = -7 + 30 = 23 = 3(—6) - 4(7) = -18 - 28 = -46 Ahoraencontramoslosvaloresdex y dey. x = y = £ x D El D 23 -23 -46 -23 = - 1 = 2 Así,lasoluciónesx = -1, y = 2,oelparordenado (-1,2). Compruebequeestepar ordenadosatisfaceambasecuaciones. # Cuando eldeterminanteD = 0, lareglade Cramer nosepuedeaplicar,yaque ladivisiónentreceroesindefinida. Entoncesdeberáutilizar un métododiferentepa raresolverel sistema,oevaluar Dx y Dy paradeterminarsi elsistemaesdependiente o inconsistente. SiD = 0,Dx = 0,Dy = 0,entonceselsistem ae sdependiente. SiD = 0,yDx ¥ =0oDy # 0 ,entonceselsistem ae sinconsistente. 3 E v a lu a r u n d e te rm in a n te d e u n a m a triz 3 x 3 Paraeldeterminante a, b, c, «2 b2 c2 a3 b¡ c, el d eterm in an te m en o r deai seencuentratachando loselementosde lamismafilay lamismacolumnadondeapareceelelementoah Losdemáselementosformanelde-
- 310. 2 8 2• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades E J E M P L O 3 S o lu c ió n terminantemenorde Losdeterminantesmenoresde losdemáselementosseloca lizandemanerasimilar. b¿ c 2 bi c3 Determinante menorde a,. b Ci bi c3 Determinante menorde a2- bx c, b i c 2 Determinante menorde a3. Paraevaluar losdeterminantesde unamatriz de3 X 3,utilizamoslosdeterminan tes menores. En el siguiente recuadro semuestracómo evaluarlospor el desarrollo d e m enores delaprimeracolumna. Desarrollo d e los dete rm in an tes m ediante los m e n o re s de la p rim e ra co lu m n a Determinante Determinante Determinante menor menor menor d e a d e a 2 d e a 3 i i 1 a, b { cj a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = a b 2 c 2 b 3 c3 - a 2 b C i b $ c3 + a 3 b i c, b2 c2 4 - 2 6 Evalúe 3 5 0 1 -3 -1 resde laprimeracolumna. utilizandoel desarrollo del determinantemediantelosmeno- Seguiremoselprocedimiento indicadoenelcuadro. 4 - 2 6 3 5 0 1 -3 -1 = 4 [5 (-l) - (-3)0] - 3[(—2)( —1) - (-3)6] + l[(-2 )0 - 5(6)] = 4(—5 + 0) - 3(2 + 18) + 1(0 - 30) = 4(—5) - 3(20) + 1(—30) = -20 - 60 - 30 = -1 1 0 = 4 5 0 3 -1 - 3 2 6 3 -1 + 1 - 2 6 5 0 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13 E l d e te rm in a n te tie n e u n v a lo r d e - 1 1 0 . #
- 311. Sección 4 .5• Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s p o r m edio d e determ inantes... • 2 8 3 4 Utilizar la re g la d e C ra m e r c o n siste m a s d e tres va riables E J E M P L O 4 Solución La reglade Cramerpuedeaplicarsetambiénalossistem asdeecuacionescontresva riablescomosigue. R egla de C ra m e r p a ra un sistem a d e e cua cio n e s con tre s variables Para evaluar el sistema con entonces f>x + bxy + cxz = d x a2x + b&+ c2z = d2 a3x + b3y+ c$z = d3 b < h dx bx 0 i D = a2 b2 Oí Dx = di b2 0 2 * 3 ¿>3 % d3 b3 0 3 d x cx 0 1 b d Dy = 0 2 d2 Oí 0 2 b2 di 0 3 d3 < 4 0 3 ¿>3 d3 D, Dy D. D *° Observequelosdenominadoresdelasexpresionesparax, y yz sontodosel mis mo determinante, D. Lasconstantesd reemplazan alasa,loscoeficientes numéricos delostérminosx en Dx alasb ,loscoeficientes numéricosde los términosy enDy>y alasc,loscoeficientesnuméricosde lostérminosz enDz. Resuelvaelsiguientesistemadeecuacionesutilizandodeterminantes. 3x - 2 y - z = -6 2x + 3y - 2 z = 1 x - 4y + z = ~3 a x = 3 a2 = 2 a3 = l bx = -2 b2 = 3 ¿3 = -4 c, = -1 c2 = -2 c3 = 1 d x = - 6 d 2 = 1 d 3 = -3 Utilizaremoseldesarrollode losdeterminantesmenoresdelaprimeracolumnapara evaluar D, Dxy Dy y Dz. D = 3 -2 -1 3 -2 -2 -1 -2 -1 2 3 -2 = 3 -4 1 - 2 -4 1 + 1 3 -2 1 -4 1 = 3(—5) - 2(—6) + 1(7) = -15 + 12 + 7 = 4
- 312. 2 B 4• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y d e sigualdades D.. = - 6 - 2 - 1 3 - 2 - 2 - 1 - 2 - 1 1 3 - 2 - 3 - 4 1 = - 6 - 4 1 - 1 - 4 1 + ( - 3 ) 3 - 2 = —6 ( — 5 ) - 1( 6) - 3(7) = 30 + 6 - 21 = 15 D = 3 - 6 - 1 1 - 2 - 6 - 1 - 6 - 1 2 1 - 2 = 3 - 3 1 - 2 - 3 1 + 1 1 - 2 1 - 3 1 D z = = 3 (—5) - 2 ( - 9 ) + 1(13) = - 1 5 + 18 + 13 = 16 - 2 - 6 3 1 - 4 - 3 = 3 3 1 - 4 - 3 - 2 - 2 -6 - 4 - 3 + 1 - 2 - 6 3 1 = 3 (—5) - 2 ( - 1 8 ) + 1(16) = - 1 5 + 36 + 16 = 37 Encontram os q u e D = 4, D x = 15, Dy = 16 y D z = 37. Por lo tanto, Z = Dx 15 Dy 16 . D , 37 £> L a solución del sistem a es ( ^ , 4, ^ ).O b serv e q u e la terna ordenada lista a x, y y z en AHORARESUELVAELEJERCICIO 33 este orden. # C uando tenem os un sistem a d e ecuaciones con tres variables en donde u n a o m ás ecuaciones no tienen u n a variable, insertam os la variable co n el coeficiente 0. Así, 2 x — 3 y + 2 z = —1 2 x - 3 y + 2 z = - 1 x + 2y = 14 se escribe x + 2 y + Oz = 14 * - 3 z = - 5 x + Oy - 3 z = ~ 5 S U G E R E N C I A Al evaluar los determinantes, si cualesquiera dos filas (o columnas) son idénticas, excepto por signos opuestos, el determinante tiene un valor de 0. Por ejemplo, 5 - 2 5 -2 5 - 2 = 0 y - 5 2 = 0 5 - 3 4 5 -3 4 2 6 5 = 0 y - 5 3 - 4 = 0 5 - 3 4 6 8 2 Como en el caso de los determ inantes de una matriz d e 2 X 2, cuando el determ inante D = 0, no se puede utilizar la regla d e Cram er, ya q u e la división entre cero es indefi nida. Entonces, hay q u e utilizar un m étodo distinto p ara resolver el sistema, o evaluar D x, Dy y Dz para determ inar si el sistem a es dependiente o inconsistente. Si D = 0,D x = 0,D y = 0 o D z = 0, entonces el sistema es dependiente. Si D = 0, Dx # 0, Dy # Oo Dz 0, entonces el sistema es inconsistente.
- 313. Sección 4 .5• Resolución d e sistem as d e e c u a c io n e s p o r m edio d e determ inantes... • 2 8 5 C ó m o utilizar su ca lcu la d o ra g ra fica d o ra E n la sección 4.4 m encionam os q u e algunas calculadoras graficadoras pueden m anejar m atrices. Estas calculadoras tam bién pueden evaluar determ inantes d e m atrices cuadradas. L ea el m anual d e su calculadora gra- fícadora p ara saber si ésta puede evaluar determ inantes. Si es así, aprenda cóm o hacerlo. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 4 . 5 Ejercicios conceptuales h Explique cómo evaluar un determinante de 2 X 2. 2. Explique cómo evaluar un determinante de 3 X 3, median te el desarrollo de menores de la primera columna. 3. Explique cómo se puede saber si un sistema de tres ecua ciones lineales es inconsistente usando determinantes. 4 Explique cómo se puede saber si un sistema de tres ecua ciones lineales es dependiente usando determinantes. Al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales median te la regla de Cramer, se determina que D = 4, D , = -8 y Dy = -2 . ¿Cuáles la solución para este sistema? Al resolver un sistema de tres ecuaciones lineales median te la regla de Cramer, se determina que D = -2 , Dx = 6, Dy = 10y Dz = -2 . ¿Cuál es la solución para este sistema? Problemas de aplicación Evalúe cada determinante. 7. 2 3 1 5 8 . 3 5 - 1 -1 S 9. 1 3 2 -4 10. 5 -1 2 3 0 3 2 0 4 1 1 2 3 1 5 -8 6 1 L 0 5 3 12. 0 0 3 13 . 1 - 3 - 6 1 4 3 0 4 -1 4 2 2 2 7 - 4 5 9 -5 -2 1 Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes. 15. * + 3y = 1 - 2 x - 3y = 4 16. 2x + 4y = -2 -5 * - 2y = 13 17. x - 2y = —1 x + 3y = 9 18. 2r + 3s = — 2 3r + 55 = - 2 1 9 . 5p - Iq = -2 1 - 4 p + 3q = 22 20. 6* + 3y = - 4 9x + 5y = - 6 21. 4* = - 5 y - 2 - 2 x = y + 4 22. 4* = 3y + 5 8* - 2 = - 2y 23. x + 5 y = 3 2x + 10 y = 6 2 4 9x + 6 y = -3 6* + 4y = -2 25. 3r = -4 s - 6 3s = -5 r + 1 2 6 . x = y - 1 3y = 2x + 8 27. 5 x - 5y = 3 x - y = - 2 28. 2x - 5y = -3 — 4* + 10y = 1 29. 6.3* - 4.5y = -9.9 -9.1* + 3.2y = -2.2 30. -1 .1 * + 8.3y = 36.5 3.5* + 1.6y = -4.1 Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes. 31. * + y + z = 2 32. 2* + 3y = 4 33. 3* - 5y - 4z = - 4 - 3 y + 4z = 11 3* + 7y - 4z = - 3 4* + 2y = 1 -3 * + 4y - 2z = -1 1 * - y + 2z = 9 6 y - 4z = -11 34 2* + 8y + 3z = 1 35. x + 4y - 3z = - 6 36. 2* + y - 2 z = 4 6* - 9y = 5 2* - 8 y + 5z = 12 2* + 2y - 4Z = 1 -3 y + z = 2 3* + 4y - 2z = - 3 6* + 8 y - 4z = 1
- 314. 2 8 6• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades 37. a - b + 2c = 3 a - b + c = 1 la + ¿> + 2c = 2 38. 2* + y - 2 = 0 3x + 2 y + z = 3 x - 3y - 5z = 5 39. a + Ib + c = 1 a - b + c = 1 2a + ¿> + 2c = 2 40. 4x - 2y + 6z = 2 -6 * + 3y - 9z = - 3 2x - l y + l l z = -5 4L 1.1* + 2.3y - 4.0z = -9.2 -2.3* + 4.6z = 6.9 -8.2y - 7.5z = -6.8 42. 4.6y - 2.1z = 24.3 -5.6* + 1.8y = -5.8 2.8* - 4.7y - 3.1z = 7.0 43. -6 * + 3y - 9z = - 8 5* + 2y - 3z = 1 2* - y + 3z = -5 46. i * - + 3z = -3 2* —3y + 2z = -1 1 1 1 i 6^ + F ' 3Z = 1 44. x —2y + z = 2 4* - 6y + 2z = 1 2* - 3y + z = 0 47. 0.2* - O.ly - 0.3z = -0.1 0.2* - O.ly + O.lz = -0.9 0.1* + 0.2y - 0.4z = 1.7 45. 2* + - y - 3z = 5 -3 * + 2y + 2z = 1 4x ~ y ~ i z = 4 48. 0.6« - 0.4u +0.5w = 3.1 0.5w + 0.2ü +0.2w = 1.3 0.1a + O.lv +0.1w = 0.2 Resolución de problemas 49. Dado un determinante de la forma , ¿cómo carn a l b i Ü 2 th biará el valor del determinante si se intercambian entre sí a2 b2 las a y se intercambian entre sí las b, su respuesta. a, bx ? Explique 50. Dado un determinante de la forma , ¿cómo cam- a, by Ü 2 b > 2 biará el valor del determinante si las a son intercambia- by O y das con las b. b2 02 ? Explique su respuesta. 5L Si las dos filas de un determinante de 2 X 2 son iguales, ¿cuál es el valor del determinante? Determine el valor de la letra dada. - 57. Reto 4 6 - 2 y = 32 58. b - 2 - 4 b + 3 - 6 = 14 52. Si todos loselementos de una fila o de una columna de un determinante de 2 X 2son 0, ¿cuáles el valor del determi nante? 53. Si todos loselementos de una fila o de una columna de un determinante 3 X 3 son 0, ¿cuál es el valor del determi nante? 54 Dado un determinante de 3 X 3,si todos los elementos de una fila se multiplican por - 1, ¿cambiará el valor del de terminante? Explique. 55. Dado un determinante de 3 X 3, si la primera y segunda fi lasse intercambian, ¿cambiará el valordel determinante? Explique. 56. En un determinante de 3 X 3,si cualesquiera dos filas son iguales, ¿puede hacer una generalización acerca del valor del determinante? 59. 4 7 y 3 - 1 2 4 1 5 = -3 5 60. 3 * -2 0 5 - 6 1 4 -7 = -3 1 61. Utilice el método de la suma para resolver el siguiente sistema para a) *, y b) y. axx + byy = c, a2x + b rf = c2 Ejercicios de repaso acumulativo 12.5] 62. Resuelva la desigualdad 3(x - 2) < j( x - 4) e indique la solución en notaciónde intervalo. Grafique 3* + 4y = 8, mediante el método indicado. [3.2] 63. ft>r medio del trazo de puntos. 64. Utilizando las intersecciones de los ejes x y y. [3.3] 65. Utilizando la pendiente y la intersección del eje y.
- 315. S e cción 4 .6 • Resolución d e sistem as d e d e sigu a ld a d es lineales • 2 8 7 4 . 6 R E S O L U C IÓ N D E S IS T E M A S D E D E S IG U A L D A D E S L IN E A L E S A & 1 Ftesolver sistemas de desigualdades lineales. 2 Ftesolver problem as de program ación lineal. 3 Resolver sistemas de desigualdades lineales con valor absoluto. 1 R e s o lv e r s is te m a s d e d e s ig u a ld a d e s lineales En lasección3.7seexplicócómograficardesigualdadeslinealescondosvariables. En lasección4.1aprendimosaresolvergráficamentesistemasdeecuaciones.Enestasec ciónanalizaremoscómo resolvergráficamentesistemas de desigualdades lineales. P a ra re so lve r un siste m a d e d esig u a ld a d e s lineales Grafiquetodasla sdesigualdadesdelsistem aenlosm ism oejes.Lasolucióne selconjunto depuntoscuyascoordenadassatisfacentodasla sdesigualdadesdelsistem a. E J E M P L O 1 Determine lasolucióndel sistemadedesigualdades. y < - x + 2 x - y < 4 Solución Primerografiqueladesigualdady < - x + 2 (vealafigura4.8).Ahora,enlosmismos ejes,grafiqueladesigualdadx - y <4(vealafigura4.9). Lasolucióneselconjuntode puntoscomunesalasgráficasdeambasdesigualdades. Éstaeslapartedelagráficaque tiene ambossombreados. La líneapunteada no espartede lasolución,pero laparte delalíneasólidaquesatisfaceambasdesigualdadessí loe s. n 5- —U- i- - 5 - 4 - 3 - 2 - i , j 1 2 3 4 ' ^ X _ 2 * -2 . _3 y<~x + 2 - 5 + FIGURA 4.8 E J E M P L O 2 Determine lasolucióndel sistemadedesigualdades. 3 x - y < 6 2 x + 2y > 5 Solución Grafique3x - y < 6 (vealafigura4.10). Grafique2x + 2y > 5en losmismosejes(fi gura4.11). Lasolucióneslapartedelagráficaconambossombreadosy lapartede la líneasólidaquesatisfaceambasdesigualdades.
- 316. 2 8 8• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades t 3x —y <6 l / / / i / -5-4-3— 2— i, 1/2 3 5 / L / / — 4 . / —« * / — ____1 ___ — '/ o f y Solución A a m AHORARESUELVAELEJERCICIO7 FIGURA 4.10 FIG U RA 4.11 E J E M P L O 3 D eterm ine la solución del sistem a d e desigualdades. y > - 1 x < 4 Solución L a solución se ilustra en la figura 4.12. Solución / > > - l - 2 - 3 + 1J L 2. x * 4 AHORARESUELVAELEJERCICIO 15 FIGURA 4.12 2 Resolver problemas de programación lineal Existe un proceso m atem ático llamado program ación lineal, en el que,con frecuencia, hay q u e graficar más d e dos desigualdades lineales en los mismos ejes. E stas desigual dades se llaman restricciones. Los siguientes dos ejem plos ilustran cóm o determ inar la solución d e un sistem a d e más d e dos desigualdades. EJ E M PL O 4 D eterm ine la solución del siguiente sistem a d e desigualdades. x 2: 0 y > 0 l x + 3 y < 12 l x + y < 8 S o l u c i ó n Las prim eras dos desigualdades,x > 0 y y > 0, indican q u e la solución deb e estar en el prim er cuadrante, ya q u e es el único en donde x y y son positivas. L a figura 4.13 ilus tra las gráficas d e las cuatro desigualdades.
- 317. Sección 4 .6• Resolución d e sistem as d e desigualdades lineales • 2 8 9 Solución FIGURA 4.13 La figura 4.14 ilustra las gráficas en los mismos ejes y lasolución del sistemade desigualdades. Observequetodoslospuntosqueestánenel áreasombreaday todos los puntos sobre las rectas que forman la región poligonal forman parte de la respuesta. # EJ E M P L O 5 Determinelasolucióndelsiguientesistemadedesigualdades. x y X S x + Sy Ax + 12y 0 0 15 160 180 Lasprimerasdosdesigualdades indicanque lasolucióndebeestarenel primer cua drante.Laterceradesigualdadindicaquex debeserunvalor menoro igualque 15.La figura4.15amuestralasgráficasde lastresúltimasrestricciones. Lafigura4.15bindi calasolucióndel sistemadedesigualdades. AHORARESUELVAELEJERCICIO29 FIGURA 4.15 y 30- 2 0 - 1 0 - - j v Solución . 10 20 30 40 X (a) (b) 3 R e s o lv e r s is te m a s d e d e s ig u a ld a d e s lineales c o n v a lo r a b s o lu to Ahoragraficaremossistemas de desigualdades lineales con valor absoluto enel siste madecoordenadascartesianas.Antesdedar algunosejemplos,recordemoslasreglas para lasdesigualdadescon valor absolutoque aprendimosen lasección2.6. Recuer deque Si | * |< a y a > 0,entonces - a < x < a . Si |a:| > a y a > 0, entonces x < - a o x > a.
- 318. 2 9 0• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades E J E M P L O 6 Solución Grafiquex < 3enelsistemadecoordenadascartesianas. Tomandoencuentalasreglasde valor absoluto,sa bemosque| * |< 3significa -3 < *< 3.Trazamoslí neaspunteadas verticalesque pasenpor -3 y 3,y sombreamosel áreaentrelasdos(figura4.16). FIGURA 4.16 - 5 - 4 - 2 - i M < 3 1 2 4 5 EJ E M PL O 7 Grafique |y+ 1 |> 3enel sistemadecoordenadascartesianas. Solución Tomandoencuentalasreglasdevalor absoluto,sa bemosque y + 1 |> 3significaquey + 1< -3 oy + 1> 3. Primero resolvemoscadadesigualdad. y + 1 < -3 y < -4 y + 1 > 3 y >2 Ahora graficamos ambasdesigualdadesy conside ramoslaunión de lasdosgráficas. Lasoluciónesel áreasombreadade lafigura4.17. FIGURA 4.17 y. 5- 4 3 1 - 5 - 4 - 3 - 2 - L , . 1 2 3 -2 - 3 - E J E M P L O 8 Solución Grafiqueel sistemadedesigualdades. M < 3 |y + l| > 3 Graficamosambasdesigualdadesenlosmismosejes. Por lo tanto, combinamos lagráficadel ejemplo 6 conladelejemplo7(vealafigura4.18). Lospuntos comunesaambasdesigualdadesformanlasolución del sistem a. FIGURA 4.18 y Solución ! í ' * i i i i i — i ’ ! J- 1 1- 1 ' ' i < 1 _ - ¡— ¿ " ii- 1 2 ! ! ■ _i • i ■ i J i i - i V * Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO41 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 4 . 6 Ejercicios conceptuales h Explique cómo determinar gráficamente la solución para un sistema de desigualdades lineales. 2. Sien un sistema de dos desigualdades, una contiene < y la N otra >, ¿el punto de intersección de las dos rectas fronte ra de las desigualdades está en el conjunto solución? Ex plique. 3. Sien un sistema de dos desigualdades, una contiene < y la otra >, ¿el punto de intersección de las dos rectas fronte ra de las desigualdades está en el conjunto solución? Ex plique. 4 . Sien un sistema de dos desigualdades, una contiene < y la otra >, ¿el punto de intersección de las dos rectas fronte ra de las desigualdades está en el conjunto solución? Ex plique.
- 319. S e cción 4 .6 • Resolución d e sistem as d e de sigualdades lineales • 291 Problemas de aplicación Determine la solución de cada sistema de desigualdades. 5. 2 * - y < 4 6. y < - 2 * + 1 7 . y < 3 * - 2 S» Ni IV 1 n - IV I * + Ni y > - 3 * y < - 2 * + 3 y > - 3 * + 5 9. y < x 10. - 2 * + 3 y < - 5 11. - 3 * + 2 y > - 12. - 4 * + 3 y > - 4 y > - 3 * + 3 y > 3x + 2 3 * - 8 y > 4 y — —4 * + 7 13. - 4 * + 5 y < 2 0 P IV 1 i|N > * + 15. * < 4 16. * > 0 * IV 1 UJ ^ Tí 1 A IV 1 Ni * - 3 y < 6 17. 5x + 2 y > 10 18. 3 * + 2 y > 8 19. - 2 * > y + 4 20. y < 3 * - 2 3 * - y > 3 2 L y < 3 * - 4 6 * ^ 2 y + 8 * - 5 y < 5 ^ x + v - 2 2 * - 3 y < - 6 l * A N > | — Ni 1 t— i ± y < * + 1 Determínela solución de cada sistema de desigualdades. Utilice el método analizado en los ejemplos 4 y 5. 23. * > 0 2 4 * > 0 25. * > 0 26. * > 0 y > 0 y > 0 y > 0 y > 0 2 * + 3 y ^ 6 2 * + 3 y < 8 * + y — 6 3 * + y < 9 4 * + y < 4 4 * + 2 y < 8 7 * + 4 y < 28 2 * + 5 y < 10 27. * > 0 28. * > 0 « 29. * > 0 30. * > 0 y > 0 y > 0 y > 0 y > 0 3 * + 2 y < 18 5 * + 4 y < 16 * < 4 * < 4 2 * + 4 y < 2 0 * + 6 y ^ 18 31. * > 0 32. * > 0 y > 0 y > 0 * < 15 * < 15 4 0 * + 2 5 y < 1000 3 0 * + 2 5 y < 75 0 5 * + 3 0 y < 9 0 0 1 0 * + 4 0 y < 80 0 Determine la solución de cada sistema de desigualdades. * + y — 6 * + 2 y < 8 2 * + 3 y < 18 4 * + 2 y < 2 0 33. |*| > 1 3 4 |* | > 2 35. |* | > 1 36. |*| < 2 y < * y * 4 en Al j Ñ 37. M > 2 38. |* | > 1 39. | y | < 4 40. |* - 2| < 3 y < * + 3 y < 3 * + 2 y a - 2x + 2 * - y > 2 41. |* + 2| < 3 42. |* - 2| > 1 43. x - 3| s 4 44. |* + 1| < 2 |y| > 4 y > - 2 Resolución de problemas |y + 2 | s 1 r i VI "cñ" 1 J N 45. ¿Es posible que un sistema de desigualdades lineales no 46. ¿Es posible que un sistema de dos desigualdades lineales tenga solución? Explique. Construya un ejemplo para apo yar su respuesta. tenga exactamente una solución? Explique. Si contesta sí, construya un ejemplo para apoyar su respuesta.
- 320. 2 9 2• C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades Sin graficar, determine el número de soluciones para cada uno délos siguientes sistemas de desigualdades. Explique sus respuestas. 47. 2x + y < 6 48. 3x - y < 4 2x + y > 6 3* - y > 4 49. 5^ - 2y < 3 £ 5jc - 2y > 3 50. 2x - y < 7 V 5L 5* - 3y > 5 3x - y < 4 5* - 3y > 6 5Z x + y < 0 * - y > 0 Reto Determine la soluciónpara cada sistema de desigualdades. 53. y ^ x 2 54. y < 4 - x? 55. y < |x y < 4 y > - 5 y < 4 56. y > |x - 2| y < - |x - 2| Ejercicios de repaso acumulativo /2 .2 J 57. En física, una fórmula para palancas es fd i + f1dl = Despeje fi de esta fórmula. [3.2] Establezca el dominio y rango de cada función. 58. {(4,3), (5 ,-2 ), (-1 ,2 ), (0 ,-5 )} 60. y k 59. f { x ) = x - 4 2' j . . / , --1 --1 -- -2- . y i ** (2.-1) R e s u m e n d e l C A P IT U L O Términos y frases importantes 4.1 Sistemadeecuaciones 4.4 4.6 Métodode lasuma(o lineales Matriz aumentada Restricciones eliminación) Elementos Programaciónlineal Sistemadeecuaciones 4.2 Matriz Sistemadedesigualdades consistente Interpretacióngeométrica Transformacióndefilas lineales Sistemadeecuaciones de unsistemade Matrizcuadrada Sistemadedesigualdades dependiente ecuacioneslineales Formatriangular linealesconvalor Sistemadeecuaciones contresvariables absoluto inconsistente 4.5 Témaordenada 4.3 Reglade Cramer Soluciónde unsistema Anguloscomplementarios Determinante deecuaciones Ángulossuplementarios Desarrollodel determi Sustitución nantepor menores Determinantemenor (continúa en la página siguiente)
- 321. R e sum en del capítulo • 2 9 3 H e c h o s im p o r ta n tes M atrices aum entadas 1 a p 0 1 q l a b p 0 1 c q 0 0 1 r La matriz La matriz representa al sistema x + a = p y = q x + a y + b z = p representa al sistema y + c z = q Z = r V&lor de un determ inante d e se g u n d o orden “ i . h , a C % = a x b 2 - a 2 b { Regla d e C ram e r: Para un sistema con la forma: x = a x + b i y = c, a 2 x + b 2 y = c 2 C b x a ¡ C Cl b 2 Dx <h c2 «1 bx ~ D y y ~ « i lh a2 b 2 a2 b 2 D y D ' D * 0 V&lor de un determ inante d e terce r orden Determinante Determinante Determinante menor menor menor de a, de a 2 de a 3 i i l a i b i c i a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = a ¡ b 2 c 2 b 3 c3 - ‘h b c , b , c 3 + a ¡ b q k c2 Regla d e C ra m e r: Para un sistema con la forma a x x + b 3 y + c ¡ z = d , a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 d i b i C l «1 d i C l < * i b i d i d 2 k 2 C 2 a 2 d 2 c 2 a 2 b 2 d 2 d 3 b * C i Dx V - “ 3 d 3 C 3 D y * 3 b 3 « i b i C i D ’ y «1 b i C i D ' Z a i b i C l a 2 b 2 C 2 a 2 b 2 C 2 a 2 b 2 c 2 a 3 b > C 3 «3 *3 C 3 «3 b i C 3
- 322. Ejercicios de repasodel capítulo 2 9 4 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y d e sigualdades [4.1] Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección. Sin graficar ni resolver, determine si el sistema de ecuaciones linea les es consistente, inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones. 1. 2* - 3y = - 1 2. 2* - 5y = 8 3. y = x + 4 4. 6 x = 4y - & - 4 x + 6 y = 1 3* + 4y = 9 x + 2y = 8 4* = 6y + 8 Determine gráficamente la solución de cada sistema de ecuaciones. Si el sistema es inconsistente o dependiente, indíquelo. 5. y = x + 3 6 . x = - 2 7. 2* + 2y = 8 8 . 2y = 2x - 6 y = 2x + 5 y = 3 2x - y = - 4 1 _ 1 = 3 2 X 2 y 2 Determínela solución de cada sistema de ecuaciones mediante sustitución. 9. y = —4x + 2 10. 4x —3y = - 1 11. a = 2b - 8 12. 3* + y = 17 y = 3 x - 12 y = - 3x - 4 21, - 5a = 0 1 3 2X ~ 4y = 1 Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma. 13. * - 2y = 5 14 - 2 x - y = 5 15. 2a + 3b = 1 2* + 2y = 4 2* + 2y = 6 a - 2b = - 7 16. 0.4* - 0.3y = 1.8 17. 4r - 3s = 8 18. - 2 m + 3n = 15 -0.7* + 0.5y = -3.1 2r + 5s = 8 3m + 3* = 10 2 9 3 5 19. * + - y = - 20. 2* + 2y = 8 2L y = - - * + - 3 . y = 4x - 3 5 7 X ~ 2 y = X + 4 y = 2 22. 2* - 5y = 12 23. 2x + y = 4 24 2* = 4y + 5 4 1 2y = * —6 x - - y = -2 x + - y = 2 [4.2] Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución o el de la suma. 2 5 . * —2y —4z = 13 2 6 . 2 a + ¿ > - 2 c = 5 27. * + 2y + 3z = 3 3y + 2z = - 2 3b + 4c = 1 -2 * - 3y - z = 5 5z = -2 0 3c = - 6 4* + 2y + 5z = -8 28. - * —4y + 2z = 1 29. 3y - 2z = - 4 30. 3a + 2b - 5c = 19 2* + 2y + z = 0 3* - 5z = - 7 2a - 3b + 3c = -1 5 -3 * - 2y - 5z= 5 2* + y = 6 5 a - 4 b - 2 c = - 2 31. * - y + 3z = 1 - * + 2y - 2z = 1 * - 3y + z = 2 32. -2 * + 2y - 3z = 6 4* - y + 2z = -2 2* + y - z = 4
- 323. Ejercicios d ere p a so del capítulo • 2 9 5 [4 .3 ] Exprese cada problem a com o un sistema de ecuaciones lineales y utilice el m étodo de su elección para determinar la solución. 33. 34. 35. EdadesJorge Valdés es 10 años mayorque su sobrina Jen- 36. nifer. Si la suma de sus edades es 66,determine la edad de Jorge y la edad de Jennifer. Velocidad del viento Un avión puede viajar a 560 millas por hora con el viento a favor y a 480 millas por hora con 37. el viento en contra. Determine la velocidad del viento y la velocidad del avión sin viento. Mezcla de soluciones Jaime Cervantes tiene dos solucio nes áridas con las características que se muestran en la si guiente figura. ¿Qué cantidad de cada una debe mezclar para obtener6 litros de una solución de ácido con concen tración de 40%? 38. .. 7 0 - 60 50 40 - 30 2 0 - 10 20% 50% o Solución Solución A B [4.4] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando matrices. Fútbol La admisión a un partido de fútbol cuesta $15 por adulto y $11 por niño.Si se vendió un total de 650 boletos por un monto de $8790, determine cuántos boletos para niños y cuántos boletos para adultos se vendieron. Regresó al espacio John Glenn fue el primer astronauta estadounidense en dar la vuelta a la Tierra. Muchos años después de esta hazaña, Glenn regresó al espacio. Esta vez tenía cinco años menos que el doble de su edad cuando hizo el primer viaje. La suma de la edad que tenía en cada ocasión es 118. Determine qué edad tenía en cada uno de sus viajes. Cuenta de ahorros MarciaTorres tiene un total de $40,000 invertidos en tres cuentas de ahorro diferentes. Parte del dinero está invertido en una cuenta que otorga 7% de in terés; en la segunda cuenta tiene $5,000 menos que en la primera, y recibe 5% de interés; la tercera cuenta le da 3% de interés Si el monto total que recibe Marcia al año por concepto de interés es de $2300,determine cuánto dinero tiene invertido en cada cuenta. 39. x + 5 y = 1 - 2 x - Sy = - 6 40. 2x - 3y = 3 2x + 4y = 10 4L y = 2x - 4 4x = 2y + 8 4Z 2 x - y - z = 5 x + 2y + 3z = -2 3x - 2y + z = 2 43. 3a - b + c = 2 2a - 3b + 4c = 4 a + 2b - 3c = - 6 44 x + y + z = 3 3x + 2y = l y - 3 z = -1 0 [4.5] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes. 45. l x - Sy = -1 0 -5 * + 4y = 2 46. x + 4y = 5 - 2 x - 2y = 2 47. 4m + 3n = 2 Im - 2n = -1 1 48. p + q + r = 5 2p + q ~ r = - 5 - p + 2q - 3r = - 4 49. -2 a + 3b - 4c = -7 a + b + c = 4 -2 a - 3b + 4c = 3 50. y + 3z = 4 - x - y + 2z = 0 x + 2y + z = l [4.6] Determine gráficamente la solución de cada sistema de desigualdades. 51. - x + 3y > 6 2x - y < 2 52. 5* - 2y < 10 3x + 2y > 6 53. y > 2x + 3 y < - x + 4 54 x > ~2y + 4 1 3 y < ~ 2x~2 Determine la solución de cada sistema de desigualdades. 55. x > 0 y > 0 x + y < 6 4x + y < 8 56. x > 0 y > 0 2x + y < 6 4 r + 5y < 20 57. x < 3 Ivl > 2 58. |*| > 4 |y - 2| £ 3
- 324. 2 9 6• C apítulo 4 • Sistem as d e e cu a cio n e s y de sigualdades Examen de práctica del capítulo 1. Defina a) un sistema de ecuaciones consistente, b) un sistema de ecuaciones dependiente, y c) un sistema de ecuaciones incon sistente. Determine, sin resolverlo, si cada sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente. Establezca si el sistema tiene exac tamente una solución, ninguna solución, o un número infinito de soluciones. 2. 5* + 2y = 4 5x = 3y - 7 3. 5x + 3y = 9 2y = - y * + 6 4 5* - 4y = 6 -1 0 * + 8y = -1 0 Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante el método indicado. 5. y = 3x - 2 y = - 2x + 8 gráficamente 6 . y = - x + 6 y = 2x + 3 gráficamente 7. y = -3 * + 4 y = 5x - 4 por sustitución 8. 7a + 4b = 2 5a + b = -1 3 por sustitución 9. 4* + 3y = 10 6 x + y = 1 par suma 10. 0.3* = 0.2y + 0.4 -1.2* + 0.8y = -1.6 por suma 13. Escriba la matriz aumentada para el siguiente sistema de ecuaciones. -2 * + 3y + 7z = 5 3* - 2y + z = -2 x - 6 y + 5z = -1 3 11. — a + b = 6 a - = - 4 por suma 12. x + y + z = 2 -2 * —y + z = 1 * - 2y - z = 1 por suma 14 Cbnsidere la siguiente matriz aumentada. 6 - 2 4 3 2 - 1 4 6 - 3 Muestre los resultados obtenidos al multiplicar los ele mentos de la tercera fila por - 2 y sumando los productos asus elementos correspondientes en la segunda fila. Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante matrices. 15. * - 3y = 7 3* + 5y = 7 16. * - 2y + z = 7 -2 * - y - z = - 7 3* - 2y + 2z = 15 Evalúe cada determinante. 17. 3 -1 8 2 - 1 4 -2 18. 3 0 5 6 -3 4 Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante determinantes y la regla de Cramer. 19. 4* + 3y = - 6 20. 2r —4s + 3/ = —1 -2 * + 5y = 16 — 3r + 5s - 4í = 0 - 2 r + í - 3/ = -2 Utilice el método de su elección para determinar la solución de cada problema. 2L Cacahuates y almendras Roberto Romero vende almen dras a $7 la libra, y cacahuates a $5.50 la libra. ¿Qué can tidad de cada semilla debe utilizar para obtener 20 libras de una mezcla que se venda a $6.00 la libra?
- 325. E x am e n de re p a so acum ulativo • 2 9 7 22. Mezcla de soluciones Teresa Muñoz, una química, tiene soluciones con concentración de 6% y 15% de ácido sul fúrico. ¿Qué cantidad de cada solución debe mezclar pa ra obtener 10 litros de una solución con concentración de 9%? 23. Suma de números La suma de tres números da por resul tado 25. El número más grande es tres veces el número más pequeño, y el tercer número es uno más que el doble del número más pequeño. Determine los tres números. Determine la soluciónpara cada sistema de desigualdades. 24 3* + 2y < 9 - 2 x + 5y < 10 25. x Examen de repaso acumulativo Resuelva el examen y verifique sus respuestas con lasque aparecen alfinal. Revise laspreguntas que haya respondido incorrectamen te . Los números de la sección y el objetivo en donde seanaliza el material correspondiente seindican después de cada respuesta. L Evalúe 16 -s- “ 32 j- 2. Considere el siguiente conjunto de números. -4 ,9 ,0 , V5, -4.63,1} Indique los elementos del conjunto que sean a) números naturales; b) números racionales; c) números reales. 3. Escriba los siguientes números de menor a mayor. -1. M .f .f .- |- 8 |,|- i o | Resuelva. 4. - [ 3 - 2 (x - 4)] = 3 (x - 6) 6. 2 x - 3| - 4 = 5 7. Despeje x de la fórmula A 1 - ^ (a + x) por x 8. Determine el conjunto solución de la desigualdad. o < ^ 2 , 8 9. Simplifique 3 * y 10. Grafique 2y = 3x - 8 11. Escriba en forma pendiente intersección la ecuación de la recta paralela a la recta 2x - 3y = 8 y que pasa porel pun to (2,3). 12. Grafique la desigualdad 6 x - 3y < 12. 13. Determine cuáles de las gráficas siguientes representan funciones. Explique. b) y 2*4- C) - 2 - - 2 x - 2 2 * - 2 - 14. si / W = 4 ^ f . determine a) / ( — 4) b) f ( h) y O /(3) Resuelva cada sistema de ecuaciones. 15. 3x + y = 6 y = 2x + 1 16. 2p + 3q = 11 - 3 p - 5q = -1 6 17. x - 2 y = 0 2x + z = 7 y - 2 z = - 5 18. Ángulos de un triángulo Si el ángulo mayor de un trián gulo mide nueve veces lo que el ángulo menor, y el ángu lo mediano mide 70° más que el más pequeño, determine la medida de tos tres ángulos. 19. Caminar y trotar Dolores Castro camina a una velocidad efe4 millaspor hora, y Judit Páez trota a 6 millaspor hora. Dolores comienza a caminar { hora antes de que Judit comienza a trotar. Si Judit trota siguiendo la misma ruta que Dolores, ¿en cuánto tiempo Judit alcanzará a Dolores? 20. Concierto de rock Las entradas a un concierto de rock tie nen dos precios diferentes. Las más caras se venden a $20 y las más baratas a $16.Si se vende un total de 1000 boletos por un monto de $18,400, ¿cuántas entradas de cada tipo se vendieron?
- 326. Respuestas al examende repaso acumulativo 2 9 8 • C apítulo 4 • Sistem as d e e c u a c io n e s y de sigualdades L l ; [Sec 1.4,Obj.3] l a ) 9,1 b) | , -4 ,9 ,0 , -4.63,1 c) -4 ,9 ,0 , V 3, -4.63,1; [Sec. 1.2,Obj. 5] 3 .- | - 8 | , - l , f . f , |-4 |, |-1 0 |; [Sec. 1.3,O bj.l] 4 7; [Sec. 2,1, Obj. 3] 5 .^ -; [Sec. 2.1,Obj. 4] 6 .6 ,-3 ; [Sec.2.6,Obj. 2] 1.x = 2 M - a; [Sec 2.2,Obj. 2] 8. j * | | < * < y }; [Sec.2.5,Obj.3] 9 . ^ ; [Sec. 1.5,Obj. 7] ; [Sec.3.3, Obj. 2] 11. y = + | ; [Sec 3.5, Obj. 3] 12. y 4 2+ / m u — i / - 4 - 2 -- / 2 4 - 2 - / [Sec. 3.7, Obj. 1] 13.a) función b) función c) no es función; [Sec.3.2, Obj. 3] 1 4 a) ~ b) ^ + ^ c) indefinido; [Sec. 3.2, Obj. 4] 15.(1, 3); [Sec. 4.1, Obj. 2] 16. (7 ,-1 ); [Sec. 4.1, Ob. 3] 17. (2,1, 3); [Sec. 4.2, Obj. 1] 18.10°, 80°, 90°; [Sec. 2.3, Obj. 2) 19.1 hora; [Sec. 2.4, Obj. 1] 20.600 a $20,400 a $16; [Sec. 43, Obj. 1]
- 327. C a pí t u l o 5 Polinom ios y funciones polinomiales 5.1 S u m a y r e s t a d e p o lin o m io s 5.2 M u lt ip lic a c ió n d e p o lin o m io s 5.3 D iv is ió n d e p o lin o m io s y d iv is ió n s in t é t ic a 5.4 F a c t o r iz a c ió n d e l f a c t o r c o m ú n d e lo s t é r m i n o s d e u n p o lin o m io y f a c t o r iz a c ió n p o r a g r u p a c ió n 5.5 F a c t o r i z a c i ó n d e t r in o m io s 5.6 F ó r m u la s e s p e c ia l e s d e f a c t o r iz a c ió n 5.7 R e p a s o g e n e r a l d e f a c t o r iz a c ió n 5.8 E c u a c i o n e s p o lin o m ia le s R e s u m e n d e l c a p ít u lo E je r c ic io s d e r e p a s o d e l c a p ít u lo E x a m e n d e l c a p ít u lo E x a m e n d e r e p a s o a c u m u la t iv o I nternetestácambiando laformaen queserealizanlas reservacionesdeviajey lacomprade boletosparaavión.A findesatisfacerlasnecesidadesdesusclientesen un ambientede rápida expansión,lasagenciasde viajesutilizanmodelosmatemáticosparapredecirel númerodeclientes quesolicitaránsusserviciosatravésde Internet.En lapágina302evaluamosunafunciónpolino- minal queprediceel montode los ingresosanualesquepuedeobtener unaagenciadeviajespor sus transaccionesen línea. Conforme aumentaesemonto,el tipo de empleadosque requiere la agenciatambiénsemodifica. ¿Cuálescreequeseríanlascualidadesquelasagenciasde viajesbus canalcontratar nuevosempleados? ÉÉ f i 2 9 9 C ÍZ B
- 328. 3 0 0• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E n este capítulo estudiarem os los polinom ios, las funciones polinom iales y la factorización. E n las prim eras secciones sum arem os, restarem os, multiplicarem os y dividirem os polinom ios y funciones polinom iales. Puesto q u e la graficación es una p arte m uy im portante d e este curso, es recom endable q u e se asegure d e entender las gráficas d e funciones polinom iales. D espués d e analizar los polinom ios, enfocarem os nuestra atención en la factori zación. Para resolver los problem as de m uchos de los capítulos siguientes, será necesa rio que usted haya com prendido bien el tem a de factorización. E n la sección 5.8 se explica cóm o resolver ecuaciones cuadráticas m ediante la factorización, y se m uestra cómo resolver problem as d e aplicación a partir d e ella. Pónga particular atención a cómo utilizar la factorización para determ inar las intersecciones del eje * de las funciones cua dráticas. M ás adelante volverem os a hablar d e este tema. 5.1 S U M A Y R E S T A D E P O L IN O M IO S 1 Determinar el grado d e un polinomio. 2 Evaluar funciones polinomiales. 3 Entender las gráficas d e funciones polinomiales. 4 Sum a y resta de polinomios. 1 D e te rm in a r el g r a d o d e u n p o lin o m io Recuerde que,según se explicó en el capítulo 2, las partes q u e se sum an o restan en una expresión m atem ática se denom inan térm inos. E l grado de un térm ino con exponen tes enteros no negativos es la sum a d e los exponentes d e las variables, si las hay. Las constantes distintas d e cero tienen grado O,y al térm ino O no se le asigna grado. U n polinom io es una sum a finita d e térm inos en la q u e todas las variables tienen exponentes enteros no negativos, y en donde los denom inadores no incluyen varia bles. L a expresión 3X2+ 2x + 6 es un ejem plo d e un polinom io con una variable, x. La expresión x2 y - 2x + 3 es un ejem plo d e un polinom io con dos variables, x y y. Las ex presiones d * 2y —(o x ~l ) no son polinomiales,ya q u e los exponentes d e las variables no x son enteros, ni no negativos. L a expresión — ——no es un polinom io, ya q u e el deno- x i m inador incluye una variable. El térm ino principal de un polinom io es el térm ino de grado más alto. E l coefi ciente principal es el coeficiente del térm ino principal. Indique el núm ero d e térm inos, el grado, el térm ino principal y el coeficiente princi pal d e cada polinom io. a) 2 x5 - 3x2+ 6 x - 4 b) 2x 2 y 4- 6 x y 3+ 3x y 2 z* O rganizarem os las respuestas en una tabla. Polinom io N úm ero de térm inos G rado del polinom io Térm ino principal Coeficiente principal a) 2x5- 3x2+ 6 x - 4 b) 2x 2 y 4- 6 xy 3+ 3xy2 z* 4 3 5 (de 2*5) 7 (de 3x y Y ) 2x5 3x y2 z4 2 3 E J E M P L O 1 Solución 2 A van ce d e la lección AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 20 #
- 329. Los polinom iosse clasifican d e acuerdo con el núm ero de térm inos d e q u e cons tan, tal com o se indica en la siguiente tabla. Sección 5.1 • S u m a y resta d e polinom ios • 301 Upo de polinomio Descripción Ejemplos Monomio Un polinomio con un término 4x2, 6 x 2 y, 3, - 2xyz5, 7 Binomio Un polinomio con dos términos x 2+ 1 , 2x2- y, 6*3 - 5y2 Trinomio Un polinomio con tres términos x 3+ 6 x - 4, x 2y - 6 x + y 2 A los polinom ios q u e constan d e más d e tres térm inos no se les d a un nom bre específico, ya q u e el prefijo p o li significa m uchos. Se considera q u e un polinom io es lineal si es d e grado Oo 1; cuando el polinom io tiene una variable se le denom ina cua- drático si es d e grado 2, y cúbico si es d e grado 3. Tipo d e polinomio Lineal Cuadrático Cúbico Ejemplos l x — 4, 5 3x2+ x - 6, 4 x2- 6 - 4 x 3+ 3X2+ 5 , 2x3+ 6 x 2X3+ 4x2 - 6x + 3 y 4x2- 3xy + 5y2son ejemplos de polinom ios en orden des- cendente de la variable x, ya q u e los exponentes d e la variable x descienden (o van d e creciendo) al recorrer los térm inos de izquierda a derecha. Por lo gsneral, los polinomios se escriben en orden descendente respecto d e alguna variable. E J E M P L O 2 Escriba cada uno d e los siguientes polinom ios en orden descendente d e la variable x. a) 5* + 4 x 2- 6 b) x y - 6 x 2+ 3y 2 Solución a) 5x + 4 x2- 6= 4 x2+ 5* - 6 b) x y - 6 x 2+ 3 / = - ó x 2+ x y + 3y 2 # 2 Evaluar funciones polinomiales L a expresión 2X3+ óx2+ 3 es un polinom io, y si escribim os P(x) = l x 3+ óx2 + 3, tenem os una función polinom ial. E n u n a función polinom ial, la expresión utilizada para describir la función es un polinomio. Para evaluar una función polinom ial se uti liza la sustitución, tal com o se hizo p ara evaluar otras funciones en el capítulo 3. E J E M P L O 3 Para la función polinom ial P(x ) = 4x* - óx2- 2x + 8, determ ine a) P (0 ) b) P(3) c) P ( - 2 ) Solución a) P { x ) = 4 x 3 - 6 x 2 - 2 x + 8 P (0 ) = 4 (0 )3 - 6(0)2 - 2 (0) + 8 = 0 - 0 - 0 + 8 = 8 b) P { 3) = 4 (3 )3 - 6(3)2 - 2 (3) + 8 = 4(27) - 6 (9) - 6 + 8 = 56 c) P ( - 2 ) = 4 ( - 2 ) 3 - 6( —2)2 - 2( - 2 ) + 8 AHORARESUE1VAa EJERCICIO 35 = 4 (—8) - 6 (4) + 4 + 8 = - 4 4 # Con frecuencia las em presas, los gobiernos y otras organizaciones necesitan lle var registros y hacer proyecciones d e ventas, utilidades, cam bios en la población, efec tividad d e nuevas drogas, etcétera. Para realizar estas tareas, m uchas veces se utilizan gráficas y funciones; el ejem plo 4 ilustra precisam ente uno d e esos casos.
- 330. 3 0 2• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 4 Ingresos de agencias de viajes por transacciones en línea 1996 97 98 99 00 01 02 Año F u en te A sociación d e la Industria d e Ttirismo d e E s ta d » U n id o s FIGURA 5.1 AHORARESUELVAELEJERCICIO 97 Ingresos de agencias de viajes L a gráfica d e barras d e la figura 5.1 m uestra el ingreso qu e reciben las agencias d e viajes estadounidenses p o r transacciones en línea (servi do s a través d e Internet),en miles d e millones d e dólares,entre 1996y 2002. U na función polinomial que puede usarse para calcular estos ingresos es R ( t ) =0.18^ + 0.37f + 0.28, en donde t representa los años desde 1996,0 < / < 6, y R es el ingreso en m iles de m illones d e dólares. a) Por m edio d e la función, calcule el m onto d e los ingresos q u e recibieron las agen cias d e viajes en 1996, p o r transacciones en línea. b) M ediante la función,calcule el monto d e los ingresos p o r el mismo concepto en 2002. S o lu c ió n a) Entienda el problema Prim ero necesitam os determ inar con qué valor sustituirem os a / en la función. Ya q u e t es los años desde 1996, el año 1996 corres ponde a t = 0. Así, p ara calcular el m onto d e los ingresos en 1996, evaluam os /?(0). Traduzca y realice los cálculos R ( t ) = 0.1& 2 + 0.37/ + 0.28 R ( 0) = 0.18(0)2 + 0.37(0) + 0.28 = 0 + 0 + 0.28 = 0.28 Compruebe y responda Por lo tanto, el m onto d e los ingresos q u e recibieron las agencias d e viaje en 1996 es d e más o m enos $0.28 miles d e m illones (280 millo nes d e dólares). L a gráfica sustenta esta respuesta. b) Entienda el problema E n tre 1996 y 2002 hay 6 años de diferencia (2002 - 1996 = 6). Por lo tanto, p ara calcular el m onto d e los ingresos obtenidos en 2002, evaluam os/? (6). Traduzca y realice los cálculos R { t ) = 0.18í2 + 0.37/ + 0.28 R ( 6 ) = 0.18(6)2 + 0.37(6) + 0.28 = 6.48 + 2.22 + 0.28 = 8.98 Compruebe y responda El m onto d e los ingresos fue d e más o menos $8.98 miles de millones, lo cual es consistente con la información correspondiente en la gráfica. # 3 Entender las gráficas de funciones polinomiales A l graficar cualquier función polinom ial se obtienen curvas suaves y continuas. E n la figura 5.2 se m uestra la gráfica d e una función polinom ial cuadrática. Las gráficas de todas las funciones polinom iales cuadráticas con un c o e f i c i e n t e p r i n c i p a l p o s i t i v o , ten drán la form a d e la gráfica ilustrada en la figura 5.2. FIGURA 5.2 FIGURA 5.3 FIGURA 5.4 La gráfica d e una función polinom ial cúbica con un c o e f i c i e n t e p r i n c i p a l p o s i t i v o , p u ed e tener la form a de las gráficas q u e se ilustran en las figuras 5.3 o 5.4.
- 331. Sección 5.1 •S u m a y resta d e polinom ios • 3 0 3 Observeques i e m p r e q u e s u c o e f i c i e n t e p r i n c i p a l s e a p o s i t i v o , l a f u n c i ó n p o l i n o m i a l c r e c e r á ( o s e m o v e r á h a c i a a r r i b a c o n f o r m e a u m e n t e e l v a l o r d e x , t a l c o m o m u e s t r a l a p a r t e e n n e g r o d e l a c u r v a ) h a c i a l a d e r e c h a p a r a a l g ú n v a l o r d e x . Por ejemplo, enlafigura 5.2, lagráficacontinúacreciendo hacialaderechade x = - 1 . En lafi gura5.3, lagráficacrecede maneracontinua,y en lafigura5.4lo hacehacialade recha apartir del puntox = 1 .4. L a s f u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s c o n u n c o e f i c i e n t e p r i n c i p a l n e g a t i v o d e c r e c e r á n ( o s e m o v e r á n h a c i a a b a j o c o n f o r m e e l v a l o r d e x a u m e n t e , t a l c o m o m u e s t r a l a p a r t e r o j a d e l a c u r v a ) h a c i a l a d e r e c h a d e a l g ú n v a l o r d e x . En lafigura5.5semuestraunafunción polinomialcuadráticaconcoeficienteprincipalnegativo;enlasfiguras5.6y5.7seilus tranfuncionespolinomialescúbicasconcoeficientesprincipalesnegativos. En lafigu ra5.5,lafuncióncuadráticaestádecreciendo hacialaderechadex = 2,mientrasque enlafigura5.6,lafuncióncúbicadecrecedemaneracontinua,yen lafigura5.7lafun dóncúbicadisminuyehacialaderechaapartirdelpuntox = 1 2 , aproximadamente. Función ^ 4-f creciente Función decreriente FIGURA 5.5 - - y = - x 3+ 4x + 2 FIGURA 5.7 ¿Porquéelcoeficienteprincipaldeterminasiunafuncióncreceráodecreceráha cialaderechade algúnvalordex ? El coeficienteprincipaleselcoeficientedel térmi no conel exponente de la variablecon el valor más alto. Conforme el valor de x aumenta,estetérmino terminarápordominar atodoslosdemásde lafunción. Por lo tanto,si el coeficientede estetérmino espositivo,e n a l g ú n m o m e n t o lafunciónco menzaráacreceramedidaqueel valordex aumente. Sielcoeficienteprincipalesne gativo,e n a l g ú n m o m e n t o lafuncióncomenzaráadecrecer amedidaqueel valordex disminuya. Esta información,juntocon laverificaciónde lainterseccióndel ejey de lagráfica,puedeser útilparadeterminarsi unagráficaescorrectaosiestácompleta. Lea el siguiente recuadro Cómo utilizar sucalculadoragraficadora, incluso si usted noempleauna,y luego resuelvalosejercicios93 a96. Cóm o utilizar su ca lcu la d o ra g ra fica d o ra Siempreque grafique una funciónpolinomial en sucalculadoragraficadora, asegúresede que supantalla muestre todosloscambiosdedirecciónensugráfica. Porejemplo,supongaquegráficay = O . l x * - l x 2 + 5 x - 8 ensucalculadoragraficadora. Si emplealaventanaestándar,obtendrálagráficaquesemuestraen lafigura5.8. Sinembargo,apartirde loque acabamosde analizardebedarsecuentadeque,comoel coeficienteprin cipal (0.1) espositivo, lagráficadebecrecer hacialaderechade algúnvalor dex . Esto no resultaclaroen lagrá ficade lafigura5.8,pero si usted ajustasuventanaparaque aparezcacomo en lafigura5.9, logrará una mejor visualización.Ahoraesposiblevercómocrecelagráficahacialaderechamáso menosapartirdex = 12.Al graficar, muchas vecesdeterminar lainterseccióndel ejey es útil paraestablecerqué valoressedeben usaren un rango. Recuerdequeparadeterminar lainterseccióndelejey,establecemosx = Oy despejamosy.Porejemplo,sisegrá ficay = 4 X 3 + ó x 2 + x - 180lainterseccióndel ejey estaráen -180,esdecirelpunto (0, -180). (continúa en la página siguiente)
- 332. 3 0 4• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales = 0 .1 a 3 - 2 a 2 + 5 a - 8 = 0 .1 a 3 - 2x2+ 5 a - 8 í X T FIGURA 5.8 FIGURA 5.9 [-10,30,2,-100,60,101 E je rc ic io s Utilicesu calculadorapara graficarcadapolinomio.Asegúrese que su ventana muestre todos los cambios de dirección de la gráfica. h y = 0 . 2 a 3 + 5 . 1 a 2 - 6 . 2 a + 9.3 2. y = 4 . 1 a 3 - 1 9 . 6 a 2 + 5 . 4 a - 6 0 . 2 4 S u m a y re s ta d e p o lin o m io s E J E M P L O 5 Solución E J E M P L O 6 Solución Cuando determ inam os sum as y diferencias d e funciones en la sección 3.6, sum am os y restam os polinom ios, aunque en ese m om ento no los llam ábam os así. P ara sum ar o restar polinom ios, prim ero quitam os los paréntesis (si los hay), y después reducim os los térm inos semejantes. Simplifique (4a2 - 6 a + 3) + (2a:2 + 5a - 1). (4a:2 - 6 a + 3 ) + (2a:2 + 5 * - 1) = 4 a 2 - 6 a + 3 + 2 a 2 + 5 a - 1 = 4a:2 + 2 a2 - 6 a + 5a: + 3 - 1 Eliminarparénteeie. Reacomodar térmlnoe. = 6 x : - x + 2 Reducir térmlnoe eemejantee. Simplifique (3x 2y - 4 x y + y ) + (x2y + 2 x y + 3 y - 2). (3A2y - 4 x y + y ) + (a:2y + 2 x y + 3 y - 2) = 3A2y - 4x y + y + X2y + 2Ay + 3y - 2 Eliminarparénteeie. 3x 2y + x 2y - 4x y + 2x y + y + 3 y - 2 Reacomodar térmlnoe. 4x 2y - 2x y +4y — 2 Reducir térmlnoe eemejantee. S U G E R E N C IA Recuerde que - a significa -1 •a.Así - ( 2 a 2 - 4 a + 6) significa -1 (2 ^ - 4 a + 6 ) y se apli ca la propiedad distributiva. Cuando usted resta un polinomio de otro, los signos de cada tér mino del polinomio que se resta deben cambiaree. Por ejemplo a 2 - 6 a + 3 - ( 2 a 2 - 4 a + 6 ) = a2 - 6 a + 3 - 1 ( 2 a 2 - 4 a + 6 ) = a 2 - 6 a + 3 - 2 a 2 + 4 a - 6 II i * 1 ts> * 1 W E J E M P L O 7 R este ( - a 2 - 2 x + 3 ) d e (a 3 + 4 x + 6). Solución ( x 3 + 4 x + 6 ) - { - x 2- 2 x + 3 ) = (a3 + 4 a + 6) - 1 ( - a? - 2a: + 3 ) Ineertarl = A3 + 4 a + 6 + A2 + 2a - 3 Propiedaddietributiva. = A3 + A2 + 4 a + 2a + 6 ~ 3 Reacomodarloetérmlnoe. = X3 + X2+ 6 x + 3 Reducirtérmlnoe eemejantee. ^
- 333. Sección 5.1 •S u m a y resta d e polinom ios • 3 0 5 E J E M P L O 8 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO45 E J E M P L O 9 Solución j2+2x + 3 FIGURA 5.10 AHORARESUELVAELEJERCICIO79 Simplifiquex2y - 4x y 2 + 5 - (2x2y - 3y 2 + 4). x2y - Axy2 + 5 - l(2x2y - 3 f + 4) neertar 1. = x 2y - 4x y 2 + 5 - 2x2y + 3y 2 - 4 Propiedad distributiva. = x 2y ~ 2x 2y - 4x y 2 + 3y 2+ 5 - 4 Reacomodarlos términos. = ~ x 2y ~ 4 x y2 + 3y2 + 1 Reducirtérminos semejantes. Observeque-x? y y -4 xy2nosontérminossemejantes,yaquelasvariablestienenex ponentesdiferentes.Tampoco -4 xy2y 3 f son términossemejantes,yaque3y2 no in cluyelavariablex. # Perím etro Encuentreunaexpresiónparadeterminarelperímetrodelcuadriláterode lafigura5.10. Elperímetroeslasumadelaslongitudesde losladosde lafigura. Enelcasodeuncua drilátero,elperímetroes lasumade laslongitudesdesuscuatro lados. Perímetro = (x2 + 2x + 3) + (x2 + 1) + (5* + 3) + (3* + 2) Suma de los lados. .2 , 1 , c ~ i o , o .. , n Bminarlosparéntesis Reacomcdartérminos = 2x2 + lOx + 9 Reducirtérminos semejantes. El perímetrodel cuadriláteroesZt2+ 10x+ 9. # = *2 + 2 x + 3 + *2+ 1 + 5x + 3 + 3x + 2 = x 2+ x 2+ 2x + 5 x + 3 x + 3 + 1 + 3 + 2 M atem áticas en a cció n Com ercio entre Estados Unidos y China EstadosUnidostienemuchosacuerdoscomercialescon paísesde todo el mundo. Los beneficios vendidos a esospaísessedenominanexportaciones,mientrasquelos beneficiostraídosdeesospaísessellamanim portaciones. Estosacuerdostiendenafacilitarlaimportaciónentrelas naciones. El siguientediagramarepresentaelcomercio entreChinay EstadosUnidosenelperiodo1990-2000. Brecha comercial entre Estados Unidos y China Importaciones Im portación Estad o s U n id o s -O iin a Im portación C ttn a -E s ta d o s U n id o s 100 80 | 60 i 40 1 2 0 1 o ¿ -20 c/> 1 -40 2 -60 -80 Año Fuente: O ficina d e C en ses d e E stados Unidos, D ivisión d e C om ercio Exterior. Las barrassuperiores muestran las importacio nesde productos chinos a Estados Unidos, mientras quelasbarrasgrisesmuestranlasimportacionesdepro- Balanza comercial ductosestadounidensesaChina. Lasbarras inferiores representan ladiferenciaentre ambas importaciones. Losnúmerosnegativosdelladoizquierdodeldiagrama indicanque lasimportacionesdeChinaaEstadosUni dosexceden a lasimportacionesde Estados Unidos a China,creandoloquesedenominaunabalanzacomer cial negativa,odéficitcomercial. El aumentoenlalongituddelasbarrasinferiores confirmaloqueseveclaramenteenlapartesuperiorde lagráfica: las importacionesde China aEstados Uni dos tuvieron un alza vertiginosaen el periodo, mien trasquelasimportacionesde EstadosUnidos aChina aumentaronsólo ligeramente. LasimportacionesdeproductoschinosaEstados Unidos,I(t), en miles de millonesde dólares,pueden calcularsemediantelafunción I { t ) = 0.37í2+ 3.971 + 15.35 endondet esel númerode añosdesde1990. La balanzacomercial, B ( t ) , en milesde millones dedólares,puedecalcularsepor mediode lafunción B(f) = -(0.38ót2 + 3.071 + 8.38) endondet esel númerode añosdesde1990. Elsignodemenosalfrentedelafuncióncuadráti caB ( t ) indicaunabalanzacomercialn e g a t i v a . Podemos distribuirelsignodemenosparaexpresarB ( t ) como B(t) = -0.386t2 - 3.07t - 8.38 (continúa en la página siguiente)
- 334. 3 0 6• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales La informacióncomercial puede representarse enunahojadecálculoelectrónica,condiagramascircu lares (odepastel)y cualesquieraotrostiposdeforma tosgráficos. Sinembargo,lacapturade lainformación relativa a las importaciones entredospaíses abre un caminode análisismáscomplejo,que laspersonasque tomanlasdecisionesal negociar acuerdoscomerciales deben tomar encuenta. Siestosehacede maneraco rrecta,el resultado podría ser una balanzacomercial m ásequitativaentreEstados Unidos y China,o entre cualesquieraotrospaísesque mantengan un acuerdo comercial. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5.1 Ejercicios conceptuales L ¿Qué son los términos de una expresión matemática? 2. ¿Cuál es el grado de una constante diferente de cero? 3. ¿Qué es un polinomio? 4 ¿ Qué es el término principal de un polinomio? 5. ¿ Qué es el coeficiente principal de un polinomio? 6. a) ¿Cómo se determina el grado de un término? b) ¿Cuál es el grado de 6x*y3 z7 7. a) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio? b) ¿Cuál es el grado de - 4x4+ 6 x3 / + z57 8. ¿Qué significa que un polinomio esté en orden descen dente en la variable x7 9. a) ¿Cuándo es lineal un polinomio? b) ftoporcione un ejemplo de un polinomio lineal. 10. a) ¿Cuándo es cuadrático un polinomio? b) Proporcione un ejemplo de un polinomio cuadrático. ÍL a) ¿Cuándo es cúbico un polinomio? b) Proporcione un ejemplo de un polinomio cúbico. 12. Cuando se resta un polinomio de otro, ¿qué les sucede a los signos de todos los términos del polinomio que será restado? 13. Escriba un trinomio en * de grado cinco,en orden descen dente de x que carezca de términos de cuarto, tercero y segundo grados. 14 Escriba un polinomio en y de grado siete en orden des cendente de y que carezca de términos de quinto, tercero y segundo grados. Problemas de aplicación Determine si cada expresión es un polinomio. Si el polinomio indíquelo. Si la expresión no es un polinomio, explique por quéL 15. - 6 16. 2x-1 18. 5*2 - 6 r + 9 19. 5*"3 21. 3xI/ 2+ 2xy 22. 2xy + 5y2 Escriba cadapolinomio en orden descendente de la variable x. £ el grado de cada polinomio. 23. - 5 + 4x - x 2 25. 9y 2+ 3x y + 10a:2 « 27. - 2 x 4+ 5x2- 4 un nombre específico, por ejemplo, "monomio" o “binomio", 17. 5y 20. 8 X2- 2x + 8y2 iel polinomio ya está en orden descendente, indíquelo. Proporcione 2 4 3 x - A - x 2 26. - 2 + * - 8-r2 + 4*3 28. 5xy2+ 3*2y - 6 - 2 a:3
- 335. Sección 5.1 •S u m a y resta d e polinom ios • 3 0 7 Indique a) d grado de cada polinomio y b) su coeficiente principal. 2 9 . a 4 + 3 a 6 - 2 a - 1 0 - 3L 4 * y + 6xy* + 9 x / 33. -J m V p ® + | m 3p6 - Evalúe cada función polinomial en el valor dado. 35. Determine P(2),si P(x) = x2- 6 a + 1. « 37. Determine ^ Q ^ - s i p (/ = 2 x2- 3 x - 6 . 39. Determine P(0.4),si P(x) = 0 .2 a 3 + 1.6*2 - 2.3. Simplifique. 4L ( a 2 + 3 * - 7 ) + ( 6 * - 5 ) 43. (x 2- 8 a + 2) - (5x + 9) 45. ( 4 / + 9y - 1) - ( 2 / + 1 0 ) 47. ( - J , +« ) + ( “ I " 2 - - X) 49. (1 .4 a:2 + 1 .6 a - 8 .3 ) - (4 .9 a 2 + 3 .7 a + 1 1 .3 ) 5L ( - J*3+x*y + 8*y2 ) + (-*3- |A + x f) £ 53. (3a - 6 b + 5c) - ( - 2 a + 4b - 8 c) 55. (3a2b - 6ab + 5b2) - (4ab - 6b2- 5a2 b) 57. (8r2- St2+ 2rt) + (-6 /7 + I t2- r2) 59. 6 a 2 - 2 a - [3 a - (4 a 2 - 9 ) ] 61. 5to - (no2~ [(3to - 2w 2) - (4w + w 2)] 63. Reste (4 a - 1 1 ) de (7 a + 3). « 65. Sume - 2 a 2 + 4a - 12 y - a2 - 2a . 67. Reste 0.2a2 - 3.9a + 26.4 de -4.2a2 - 9.6a. 69. Reste ^ A 2y + de ( - x 2y + A y2 + | 30. - 2 a 4 + 6 a 5 - a 7 + 5 a 3 32. - a W + 7 a W - 5 fl?c2# 34. - 0 . 6 a 2/ / - 2 . 9 a > / - 1 .3 a 8/ 36. Determine P( - 1) ,si P ( a ) = 4 a 2 + 6a + 12. 38. Determine si P (a ) = ^ a3 - a 2 + 6. 40. Determine P (-1.2),si P (a) = -1.6*3 - 4 .6 a 2 - 0 .1 a . 42 ( 5 b 2 - 4 b + 7) - (2¿>2 - 3 b - 5 ) 44. ( 2 a - 5) - ( 3 a 2 - 4 a + 1 6 ) 46. (5 /í2 - 7) + (2 /i2 + 3 n + 1 2 ) 48. ( 6 / - 9 y + 4 ) - ( - 2 / - y - 8 ) 50. ( - 12.4A 2y - 6.2a> - + 9 . 3 / ) - ( - 5 .3 A 2y + 1.6xy - 1 0 . 4 / ) a ( - k + l ) - ( - l " , + ! ) 54 ( 6 r + 7s - t ) + ( - 2 r - 2s - 5 t ) 56. ( 3 a 2 - 5 / - 2 a / - ( 4 a 2 + 8 / - 9 a / 58. (a2 - ¿> 2 + 5a¿) + ( - 3 b 2- lab + a2) 60. 3 a / - 2 a - [ - ( 4 a / + 3 a ) - 5 a / 62 - [ —(5r2 - 3r) - (2r - 3r2) - 2 / ] 64 Reste ( —a 2 + 3 a + 5 ) de (4 a 2 — 6 a + 2 ). 66. Reste (5 a 2 - 6 ) de (2 a 2 - 4 a + 8). 68 . Sume 6 a 2 + 3Ay y - 2 a 2 + 4Ay + 3y. 70. Reste (6x2y + 3 a / de (2 /y + 1 2 a / . Simplifique. Suponga que todos los exponentes representan números naturales. 7L ( 3 a * - 7 a ' + 1) + ( 2 a 2' - 3a ' + 2 ) 72 (bx2 ' - 5 a ' + 4) + ( 2 a 2' + a ' + 3 ) 73. (a25 - 8a s + 6) - (2 a 2* - 4 a 5 - 9) 74. (5a2" - 6a" + 4) - (2a2" + 7) 75. (7b*" - 5b2 " + 1) - (3b3" - b2 ") 76. (-3 r 3*+ r* - 6) - ( - 2 r3*- 5 r* + 6) Resolución de problemas En los ejercicios 77 a 82, determine una expresión para el perímetro de cadafigura. Véase el ejemplo 9. 78. Cuadrado Rectángulo í 2 + 2 t + 5 x ? - x + 7
- 336. 3 0 8• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales 79. 81. *2 + 8 x2+ 3x + 1 80. 8Z x2 + 3 7x + 9 8x + 7 83. ¿La suma de dos trinomios siempre da por resultado un trinomio? Explique y proporcione un ejemplo que susten te su respuesta. 84. ¿La suma de dos binomios siempre da por resultado un binomio? Explique y proporcione un ejemplo que susten te su respuesta. 85. ¿La suma de dos polinomios cuadráticos siempre da por resultado un polinomio cuadrático? Explique y propor cione un ejemplo que sustente su respuesta. 86. ¿La diferencia de dos polinomios cúbicos siempre da por resultado un polinomio cúbico? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su respuesta. 87. Área El área de un círculo es una función de su radio, en donde A(r) = i t i2. Determine el área de un círculo si su radio mide 6 pulgadas. Utilice la tecla [tt] de su calcula dora. 88. Globo El volumen de una esfera es una función de su ra dio, en donde V (r) = j i r r Determine el volumen de un globo esférico cuando su radio mide 4 pulgadas. ^ 89. Altura Cuando un objeto se deja caer desde el edificio Empire State (altura = 1250 pies), la altura del objeto, h, en pies, respecto del piso en el instante t, en segundos, des pués de que se ha soltado, puede determinarse mediante h = P{t) = -1 6 í2 + 1250 Determine a qué distancia del piso se encuentra un obje to 6 segundos después de que se ha dejado caer. 90. Concurso de ortografía El número de maneras en que puede seleccionarse a los ganadores del primero, segun do y tercer lugares en un concurso de ortografía entre n participantes, está dado por P(n) = n3- 3n2+ 2n. Si hay seis participantes, ¿de cuántas maneras pueden seleccio narse el primero, segundo y tercero lugares? Utilidad La utilidad de una compañía se determina restando sus costos de sus ingresos. En los ejercicios 91 y 92, R(x) representa el ingreso de la compañía cuando se venden x artículos, y C(x) representa el costo de la compañía cuando seproducen x artículos, a) Determine una función déla utilidad P(x). b) Evalúe P(x), cuando x = 10 0 . x2+ 9L R(x ) = 2x2- 60x, C( x) = 8050 - 420x 92. R(x) = 5.5x2 - 80.3* C( x ) = 1.2*2 + 16.3* + 12,040.6
- 337. Sección 5.1 •S u m a y resta d e polinom ios • 3 0 9 En los ejercicios 93 a 96, determine cuáles de las gráficas a), b) o c) corresponde a la gráfica de la ecuación dada. Explique cómo determinó su respuesta. 93. y = x 2+ 3x - 4 95. y = - x 3+ 2x - 6 a) -10 mo/ 96. y = x 3+ 4x2- 5 a) I10 -10 l -10 10 b) 10 1 - 1 0 4 J ” c) " V - 1 0 10 97. Robo de automóviles Eldiagrama de la derecha, tomado del New York Times del 1 de enero de 2002, muestra que el número de robos de automóviles en la ciudad de Nue va York ha descendido desde 1993. La función/(r) = 1.55i2- 22.031+ 113.65,en don de t es el número de años desde 1993,0 < f < 10, puede usarse para estimar el número de robos de automóviles, en miles. a) Utilice esta función para estimarel número de robos de automóviles en la ciudad de Nueva York en 2001. b) Cbmpare su respuesta de la parte a) con la gráfica de barras. ¿La gráfica apoya su respuesta? Robo de automóviles en Nueva York 2 o 40 •93 ^ 4 ^5 ’96 Y7 ^ 8 "99 W T >1 Año fu en te: D epartam ento d e Policía d e N u e v a Y ork.
- 338. 3 1 0• C a p ítu lo s • Polinom ios y fun cione s polinom iales 98. Plano inclinado Una bola rueda hacia abajo por un pla no inclinado. La distancia, d(t), en pies, que la bola ha re corrido está dada por la función d(t) = 2.361 2 en donde t es el tiempo en segundos, O< / < 5. Determine la distancia que la bola ha recorrido hacia aba- ’ p por el plano inclinado en a) 1segundo, b) 3 segundos, c) 5 segundos, 99. Inflación La inflación afecta el poder de compra. A con secuencia de la inflación, pagaremos más por los mismos bienes en el futuro que lo que pagamos porellos ahora. La función C(í) = 0.31/2 + 0.591 + 9.61, en donde t es años desde 1997, sirve para calcular cuánto costará en el futu ro, en miles de dólares, lo que en 1997 se compraba con $10,000. Esta función está basada en una tasa de inflación anual de 6% y 0 ^ t ^ 25.Calcule el costo que tendrán en 2012 los bienes que en 1997 costaban $10,000. 100. Escuelassin drogas La función/(a) = -232a2+ 76.85a - 559.87puede utilizarse para calcularel porcentaje de estu diantes que afirman que en su escuela hay tráfico de dro gas. En esta función, a representa la edad del estudiante, en donde 12 < a < 17. Utilice esta función para calcularel porcentaje de estudiantes de 13 años que dicen que en sus escuelas hay tráfico de drogas. Si cuenta con una calculadora graficadora, responda los ejercicios 101y 10 2con ayuda de ella*Si no tiene calculadora graficadora, dibuje la gráfica de la parte a) por medio del trazo de puntos. Luego responda laspartes de b) a e). ÍOL a) Grafique y2= x 3- 3x2- 3 b) En ambas gráficas, para valores de x > 3, ¿la función crece o decrece conforme aumenta el valor de xl c) Cuando el término principal de una función polino mial es x3, el polinomio debe aumentar para x > a, en donde a es algún número real mayor que 0. Expli que por qué. d) En ambas gráficas, para valores de x < -3, ¿la función (rece o decrece cuando disminuye el valor de x? e) Cuando el término principal de una función polino mial es polinomio debe disminuir para x < a,en donde a es algún número real menor que 0. Explique por qué. 102. a) Grafique y, = x 4 y¿= x 4- 6 x 2 b) En ambas gráficas, para valores de x > 3, ¿la función crece o decrece cuando aumenta el valor de x? c) Cuando el término principal de una función polino mial es x4,el polinomio debe aumentar para x > a,en donde a es algún número real mayor que 0. Explique por qué. d) En ambas gráficas, para valores de x < -3 , ¿la función crece o decrece cuando disminuye el valor de x? e) Cuando el término principal de una función polino mial es x4,el polinomio debe disminuir para x < a, en donde a es algún número real menor que 0. Explique por qué. R e t o Determine cuál de las gráficas, aX b) o cXcorresponde a la ecuación dada Explique cómo determinó su respuesta 103. y = —x 4+ 3 r3 - 5
- 339. S e cción 5.2 • M ultiplicación d e polinom ios • 311 104. y = 2x4 + 9x¿ - 5 c) Actividad en equipo Analicen y respondan en equipo los ejercicios 105 y 106. 105. Siel término principal de una función polinomial es 3X3, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Expliquen. Consideren lo que sucede cuando x tiene valores positivos grandes, y cuando x tiene valores negativos grandes. c) 106. Si el término principal de un polinomio es - 2x4, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Explique. a) l) b) Ejercicios de repaso acumulativo [1.4] 107. Evalúe-^81. 1 4 1 [2.1] 108. Resuelva - = [2.4] 109. Máquinasdemodelado Una vieja máquina de mo delado puede producir 40 cubetas de plástico en una hora. Una máquina más nueva puede fabricar 50 cubetas en una hora. ¿Cuánto tiempo les tomará a las dos máquinas producir un total de 540 cubetas? [3.4] 110. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (8, — 4) y ( — 1, - 2). [4.2] 111. Resuelva el sistema de ecuaciones. —4s + 3/ = 16 2t - 2u = 2 —s + 6 u = -2 5 . 2 M U L T IP L IC A C IÓ N D E P O L IN O M IO S 1 M u lt ip lic a r u n m o n o m i o p o r u n p o lin o m io . 2 M u lt ip lic a r u n b i n o m i o p o r u n b in o m io . 3 M u lt ip lic a r u n p o lin o m io p o r u n p o lin o m io . 4. D e t e r m i n a r e l c u a d r a d o d e u n b in o m io . 5 D e t e r m i n a r e l p r o d u c t o d e la s u m a y d i f e r e n c ia d e lo s m is m o s d o s t é r m i n o s ( p r o d u c t o d e b i n o m io s c o n j u g a d o s ) . 6 D e t e r m i n a r e l p r o d u c t o d e f u n c i o n e s p o lin o m ia le s .
- 340. 312 • Capítulos• Polinomios y funciones polinomiales 1 Multiplicar un monomio por un polinomio S U G E R E N C IA C 0 N 5 E J 0 P A R A E 5 T U D I A R E J E M P L O 1 Solución E n la sección 3.6 sum am os y restam os funciones, pero no m ultiplicam os funciones polinom iales. D espués d e estudiar esta sección, usted será capaz d e determ inar el p ro ducto d e funciones, esto es, (/• g){x). Para multiplicar polinom ios, hay q u e recordar q u e cada término de un polinom io debe multiplicarse p o r cada térm ino del otro. E n otras palabras, se está multiplicando un m onom ios p o r otro. Para m ultiplicar m onom ios se utilizan las reglas d e los expo nentes q u e se analizaron en la sección 1.5. En este capítulo trabajaremos con exponentes. Aunque se estudiaron en la sección 1.5, las reglas de los exponentes que necesitará para resolver los problemas de este capítulo se pre sentan de nueva cuenta al lado de cada ejemplo. A continuación explicaremos la regla del producto para exponentes, y en la sección 5.3 se analizarán las reglas del cociente para exponentes y del exponente cero. Si requiere ejemplos adicionales a los aquí presentados, repase la sección 1.5. Regla del producto para exponentes: am • a" = am+n. E n el ejem plo 1 m ostram os cóm o m ultiplicar m onom ios utilizando la regla del producto p ara exponentes; al hacerlo, mencionam os la palabra factores. R ecuerde que cualesquiera expresiones q u e se multipliquen se denom inan factores. M ultiplique, a) (4x2)(5x6) b) (3x2.y )(4 * y ) c) (- 2 a V ) ( - 3 a V c ) Se em plea la regla del producto p ara exponentes para m ultiplicar los factores. a) ( 4 a 2 ) (5 a 6 ) = 4 •5 •A2 ■A6 Eliminarparénteeiey reacomodartérmlnoe. = 2 0 a 2+6 Regladelproducto, x2'X6 = x2*6. = 2 0 a 8 b) (3a 2 y ) (4A5y3) = 3 ■4 •a 2 •A5•y •y3 Eliminarparénteeiey reacomodartérmlnoe. = 1 2 a 2+5y ,+3 Reglade!producto. = 12A7y4 . ) ( - 2 .V K - 3 .W c ) - ( 2)( 3)a- -a8■ í»7- ¿i3■c = 6a4 + & b1+3c Regladel producto. = 6a l2 b l0c # E n el ejem plo l a ) , 4 a 2 y 5 a 6 son factores del producto 2 0 a 8. E n el ejem plo Ib ), 3x2y y 4 a 5y3son factores del producto 12A7y4. Al m ultiplicar un m onom io p o r un binom io, podem os utilizar la propiedad distributiva. A l m ultiplicar un monomio p o r un polinom io (que tiene más d e dos tér m inos), podem os usar la form a desarrollada de la propiedad distributiva. P ropiedad distributiva, fo rm a desarrolla d a a(b + c + d + ••• + n ) = ab + ac + ad + ••• + an
- 341. S e cción 5.2 • M ultiplicación d e polinom ios • 3 1 3 EJ E M PL O 2 Multiplique. a) 3* 2( | * 3 - 5 / j b ) 2 x y ( 3 x 2 y + 6x y 2 + 4) c) 0 .4 /0 .3 / + 0.7x y 2 - 0.2y 4 ) Solución a) 3 / Q * 3 - 5 / ) = 3*2( | / ) - 3 / ( 5/ ) = - 15/ b ) 2 x y ( 3 x 2 y + ó x y 2 + 4) = ( 2 x y ) ( 3 x 2 y ) + ( 2 x y ) ( 6 x f ) + ( 2 x y ) ( 4 ) = 6/ / + 1 2 x 2 y 3 + 8 x y c) 0 .4/0.3/ + 0.7x y 2 - 0.2/) = (0.4*)(0.3/) + (0.4*)(0.7x y 2 ) - ( 0 . 4 x ) ( 0 . 2 / ) AHORARESUELVAELEJERCICI013 = 0.12/ + 0 .2 8 // - 0.08*/ # 2 M u ltip lica r u n b in o m io p o r u n b in o m io E n la multiplicación (a + b)(c + d), si consideram os a (a + b) com o un solo térm ino y utilizam os la propiedad distributiva, obtenem os (a + b ) { c + d ) = (a + b ) c + (a + b ) d = ac + be + a d + b d Al multiplicar un binom io p o r un binom io,cada térm ino del prim er binom io d e be multiplicarse p o r cada térm ino del segundo binomio, para después sum ar todos los térm inos semejantes. Los binomios pueden m ultiplicarse tanto vertical com o horizontalm ente. EJ E M P LO 3 M ultiplique (3* + 2 )(* - 5). SoIU C ¡Ón M ultiplicarem os d e m anera vertical. Escriba los binomios d e acuerdo con sus variables en orden descendente, uno debajo del otro. No im porta cuál d e ellos se coloque en la p arte superior. D espués m ultiplique cada térm ino del binom io d e la p arte superior; luego m ultiplique cada térm ino del binom io d e la p arte superior p o r cada térm ino de abajo,com o se m uestra Recuerde alinear los térm inos sem ejantes para poder sumarlos. 3 x + 2 x - 5 — 5 (3a: + 2 ) ------------ * — 15* — 10 Multiplicarel binomio superior por -5. X (3 x + 2 ) ---» 3 x 2+ 2 x Multiplicarel binomio superior por x. 3 x2 — 13* — 10 Sumar lo6términos semejantes en columnas. E n e l ejem plo 3, los binom ios 3* + 2 y x - 5 so n factores del trinom io 3*2 - 13* - 10. El m é to d o P IE S U n m étodo sencillo p ara m ultiplicar dos binom ios es el denom inado m étodo PIES. Para multiplicar dos binomios m ediante este m étodo, liste los binom ios uno a continua ción del otro. L a palabra PIES indica q u e usted m ultiplica los Prim eros térm inos, los térm inos Internos, los térm inos E xternos y los Segundos térm inos de los dos bino mios. E ste procedim iento se ilustra en el ejem plo 4, en donde m ultiplicam os los dos binom ios del ejem plo 3.
- 342. 3 1 4• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 4 M ultiplique (3* + 2)(x - 5) utilizando el m étodo PIES. Solución c (3 * + 2)(X - 5) AHORARESUELVAELEJERCICIO21 ( 3 x ) ( x ) + (2 )(* ) + ( 3 * ) ( - 5 ) + ( 2 )(—5) 3a:2 + 2a: - 15a: - 10 = 3a:2 - 13a: - 10 Realizam os la multiplicación siguiendo el orden PIES. Sin em bargo, es posible hacerlo siguiendo cualquier orden, siem pre q u e cada térm ino d e un binom io se mul tiplique p o r cada térm ino del otro. Utilizam os PIES en lugar d e E ISP o d e cualquier otro orden d e letras, ya q u e éste es fácil d e recordar. 3 M u ltip lica r u n p o lin o m io p o r u n p o lin o m io A l m ultiplicar un trinom io p o r un binomio o un trinom io p o r un trinomio, cada térm i no del prim er polinom io deb e ser m ultiplicado p o r cada térm ino del segundo. E s útil alinear los térm inos colocando cada polinom io en orden descendente, si no están d a dos d e esa manera. E J E M P L O 5 M ultiplique j 2 + 1 - 4a: por 2X2 - 3. Solución Ya q u e el trinom io no está en orden descendente, rescríbalo com o x2- 4x + 1. A ntes d e m ultiplicar, coloque el polinom io más largo en la p arte superior. A se gúrese d e alinear los térm inos sem ejantes conform e multiplique, d e m odo q u e pueda sum arlos con más facilidad. X2— 4 x + 1 El trinomio escrito en orden descendente. 2a:2 - 3 - 3 (a:2 - 4a:+ 1 )---------------------> - 3a:2 + 12a: - 3 Multiplique la expresión superiorpor - 3 . 2 x2(x 2~ 4 x+ 1 ) * 2a:4 - 8a:3 + 2a^___________ Multiplique la expresión superiorpor2x2. 2 x 4— 8 x 3 — x 2+ 12x — 3 5ume los términos semejantes en columnas. E J E M P L O 6 M ultiplique 3a^ + 6 xy - Sy2por x + 3y. Solución 3a:2 + 6 x y - 5y 2 ____________ a: + 3y 3 y (3 x2+ 6 x y - 5y 2) ------------------- * 9 x2y + 18A:y2 - 15y3 Multiplique la expresión superior por3y. X (3 x2+ 6 x y - 5y 2) --------> 3a:3 + 6x 2y - S x y 2 ________ Multiplique la expresión superior porx. AHORARESUELVAELEJERCICIO31 3a:3 + 15A:2y + 13A:y2 - 15y3 5ume los términos semejantes en columnas. ^
- 343. S e cción 5.2 • M ultiplicación d e polinom ios * 3 1 5 4 Determinar el cuadrado de un binomio Ahoraestudiaremosalgunasfórmulasespeciales. Confrecuencianecesitamoscalcular elcuadrado de un binomio, asíque contamosconfórmulasespecialesparahacerlo. C u a d ra d o d e un binom io (a + f> )2= a2+ lab + b2 (a - b)2 = a2 - lab + b2 Siustedolvidalasfórmulas,puedededucirlasfácilmentemultiplicando (a + b)(a - b) y ( a - b ) ( a - b ) . Los ejemplos7y8ilustranelusodelafórmulaparaelcuadradodeun binomio. E J E M P L O 7 Desarrolle, a) (3* + 5)2 b) (4X2 - 3y f S o lu c ió n a) (3* + 5)2 = (3a:)2 + 2(3*)(5) + (5)2 = 9x2 + 30* + 25 b) (4** - 3y)2= (ó*2)2 - 2(4*2)(3y) + (3y)2 = 16*4 - 24*2 y + 9y2 # El cuadrado de los binomios, comoen el ejemplo 7, también sepuede calcular medianteel método PIES. C Ó M O E V IT A R Siem prerecuerdeeltérminodeenm edioalcalcularelcuadradodeunbinom io. E R R O R E S C O M U N E S C o r r e c t o In c o r r e c t o (x + 2 ) 2 = (x + l) (x + 2 ) = x2+ 4x + 4 ( * - 3 ) 2= ( * - 3 ) ( * - 3 ) p ^ - S ) ? - j £ = l|=9 = x 2 - 6 * + 9 E J E M P L O 8 D esarrolle [x + (y - 1)]2. Solución E ste problem a parece más com plicado q u e los ejem plos anteriores, pero se resuelve d e la misma form a q u e los otros cuadrados d e binomios. C onsidere a x com o el prim er térm ino y a (y - 1 ) com o el segundo. Utilice dos veces la fórmula. [* + (y - l)]2 = ( * ) 2 + 2(*)(y - 1) + (y - l)2 = x 2+ {2x ) ( y - 1) + y 2- 2y + 1 = x 2+ 2x y - 2x + y 2- 2y + 1 N inguno d e los seis térm inos son térm inos sem ejantes, p o r lo q u e no se pueden re ducir. O bserve q u e (y - 1)2 tam bién es el cuadrado d e un binomio, y fue desarrollado AHORARESUELVAELEJERCICIO 51 com o tal. # 5 Determinar el producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados) A continuación m ultiplicarem os (x + 6)(x - 6) utilizando el m étodo PIES. ( x + 6 )(* - 6) = x 2- 6 x + 6 x - (6)(6) = x 2- (? O bserve q u e los productos externos e internos sum an cero. A l exam inar este ejem plo, vemos q u e el producto d e la sum a y la diferencia d e los mismos dos térm inos es la di ferencia d e los cuadrados d e los dos términos.
- 344. 3 1 6• C a p ítu lo s • Polinom ios y fun cione s polinom iales P rod ucto d e la su m a y diferencia d e los m ism o s d o s térm inos (b in o m io s co n ju g a d o s ) E J E M P L O 9 (a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 1 E n otras palabras, p ara m ultiplicar dos binom ios q u e sólo difieren en el signo en tre sus dos térm inos, reste el cuadrado del segundo térm ino del cuadrado del prim e ro. O bserve q u e a2- b2 representa una diferencia de dos cuadrados. M ultiplique, a) - | j b) (0.2* + 0.3z2)(0.2* - 0.3Z2) S o l u c i ó n C ada uno es un producto d e la sum a y diferencia d e los mismos dos térm in o s, es d e cir, son binom ios conjugados. Por lo tanto, . , ( „ +i ) ( 3 , ( ! ) ’ = » , - ± b) (0.2* + 0.3Z2) (0.2* - 0.3z 2) = (0.2*)2- (0.3z2)2 = 0.04*2 - 0.09z4 # E J E M P L O 1 0 M ultiplique (5* + y 3) (5* - y3). Solución (5* + / ) ( 5 * - y3) = (5*)2 - (y5)2 = 2S*2 - y6 # E J E M P L O 11 M ultiplique [4* + (3y + 2)][4* - (3y + 2)]. S o l u c i ó n TVatamos a 4* com o el prim er térm ino y a 3y + 2 com o el segundo. E n consecuencia, obtenem os la sum a y la diferencia d e los mismos dos términos. [4* + (3y + 2)][4* - (3y + 2)] = (4*)2 - (3y + 2)2 = 16*2 - (9y2 + 12y + 4) AHORARESUELVAELEJERCICIO 55 = 16*2 - 9y2 - 12y - 4 # E J E M P L O 1 2 Área La figura 5.11 consiste d e un cuadrado y dos rectángulos. D eterm ine una expre sión polinom ial p ara calcular el área total d e la figura. S o IU C ¡Ó n Para determ inar el área total, encuentre las áreas d e las tres regiones y luego súmelas. Á rea del cuadrado = * • * = x2 Á rea del rectángulo d e la derecha = * - 4 = 4* Á rea del rectángulo inferior = * * 5 = 5* FIGURA 5.11 , E l área total es la sum a d e estas tres cantidades. AHORARESUELVAELEJERCICIO 85 Á rea total = X? + 4* + 5* = X2+ 9*. # 6 D e te rm in a r el p ro d u c to d e fu n c io n e s p o lin o m ia le s A ntes se m encionó q u e p ara funciones /(* ) y g(*), ( /• g)(*) = /(* ) • g(*). A hora re solverem os un ejem plo q u e incluye multiplicación d e funciones polinomiales. E J E M P L O 1 3 Sea /(* ) = * + 4 y g(*) = * - 2. D eterm ine a > /( 3 ) ’*(3) b) (/-g )(* ) c) (/'g ) ( 3 ) Solución a) /(* ) y g(*) son funciones polinom iales, ya q u e las expresiones a la derecha d e los signos d e igual son polinomios.
- 345. S e cción 5.2 • M ultiplicación de polinom ios • 3 1 7 AHORARESUELVAELEJERCICIO79 f(x) = a: (f'g)=x2 f ( x ) = x + 4 g{x) = x - 2 /(3) =3 + 4 = 7 g(3) = 3 - 2 = 1 /(3)’g(3) =7-1 =7 b) De la sección 3.6, sabem os que ( f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = (x + 4)(x - 2) = x 2 - 2 x + 4 x - 8 = x 2 + 2 x - 8 c) Paraevaluar (/• g)(3),sustituimoscadax por3en (/• g)(*). ( f - g ) ( x ) = x 2 + 2 x - 8 (/•«)(3) = 32+ 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 Observequeenlapartec) encontramos(/•g)(3) = 7,y en lapartea) /(3) • g(3) = 7. Por lotanto, (/• g)(3) = /(3) •g(3),justo loqueesperábamosconbaseen loanaliza doen lasección3.6. # En el ejemplo 13,encontramosquesi f(x) = x + 4 y g(x) = x - 2, entonces ( f ' g ) ( x ) =¡? + 2x - 8. Lasgráficasdey = /(*) = x + 4,y = g(x) = x - 2 y y = f - g)(x) = x2 + 2x - 8 semuestranen lafigura5.12.A partirde lasgráficasvemosque /(3) = 7,g(3) = 1y (/•g)(3) = 7, talcomosupusimosconbaseenelejemplo 13.To- doslospuntosdey = x2 + 2x - 8puedendeterminarsedelamismamanera.Porejem plo,/(-4) = 0y g(-4) = -6. Como 0(-6) = 0, (/•g)(-4) = 0.También/(2) = 6y g(2) = 0;por lo tanto, f • g)(2) =6*0 = 0. Observeen lafigura5.12que al multipli cardosfuncioneslineales,el productoesunafuncióncuadrática. g ( x ) = X - 2 FIGURA 5.12 C o n j u n t o d© e j e r c i c i o s 5 . 2 Ejercicios conceptuales 1. a) Explique cómo multiplicar dos binomios utilizando el método PIES. b) Elabore dos binomios y multiplíquelos utilizando el método PIES. c) Multiplique los mismos dos binomios utilizando el or den SIEP (segundos, internos,extemos, primeros). d) Cbmpare los resultados de las partes b) y c).Si son di ferentes, expliqué por qué. 2. a) Explique cómo multiplicar un monomio por un po linomio. b) Multiplique 3a:(4a^ - 6 x - 5) mediante su procedi miento de la parte a). 3t a) Explique cómo multiplicar un polinomio por un poli nomio. b) Utilizando su procedimiento de la parte a), multipli que 4 + x por .r2 - 6* + 3. 4 a) Explique cómo desarrollar (2x - 3)2mediante la fór mula para el cuadrado de un binomio, b) Mediante su procedimiento de la parte a), desarrolle (2* —3)2.
- 346. 3 1 8• C a p ítu lo s • Polinom ios y fun cione s polinom iales 5 . a ) ¿Qué se entiende por el producto de la suma y la dife rencia de los mismos dos términos (producto de bino mios conjugados)? b) Proporcione ejemplo de un problema que sea produc to de la suma y diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados). c) ¿Cómo se multiplicaelproducto de la suma y la diferen- da de los mismos dos términos (binomios conjugados)? d) Multiplique el ejemplo que dio en la parte b) median te el procedimiento de la parte c). Problemas de aplicación______________ Multiplique. 9. {4 x y ){6 x /) - "■ 6 'V ) ( I 'W ) 1 3 . - 3 x 2 y ( - 2 x 4 y 2+ 3xy 3+ 4 ) 15. | y z ( 3 * + 4 y - 9 y 2) 17. 0 .3 (2 a 2 - 5 a + 7 y ) 19. 0.3a5 b4 (9.5a6b - 4 .6 a4 b3+ 1 .2 ab5) Multiplique los siguientes binomios. 2 1 . (4 a - 6 ) (3 a - 5 ) £ 23. ( 4 - a ) ( 3 + 2 a 2) 2 5 . [ x + 2 y ) ( l x - | r ) 2 7 . (0.3a + 5b)(2a - 0 .7 b) Multiplique los siguientes polinomios. 29. (a 2 + 3a + 1 ) ( a - 2 ) 3 1 . (a - 3b)(2a2- ab + 2b2) 3 3 . (a 3 - a 2 + 3 a + 7 ) (a + 1 ) 3 5 . (5 a 3 + 4 a 2 - 6 a + 2 ) ( a + 5 ) 3 7 . (3 m 2- 2m + 4 )(m 2- 3m - 5 ) 3 9 . ( 2 a - l ) 3 4 1 . ( 5 r 2 — rs + 2s2)(2r2 — s2) Multiplique mediante lafórmulapara el cuadrado de un binomio mismos dos términos (producto de binomios conjugados). & 4 3 . ( a + 2 ) ( a + 2 ) 4 5 . (2 a - 3 ) ( 2 a - 3 ) 4 7 . (4 a - 3 y ) 2 £ 4 9 . ( 5 m 2 + 2n)(5m2- 2n) 5 1 . [ y + ( 4 - 2 a ) ] 2 5 3 . [5 a + ( 2 y + 3 ) ] 2 5 5 . [a + (b + 2 )][a - (b + 2 ) ] 6. ¿El producto de dos binomios siempre da por resultado un a) binomio? b) ¿Trinomio? Explique. 7. ¿El producto de dos polinomios de primer grado siempre será un polinomio de segundo grado? 8. a) Dadas f(x) y g(A), explique cómo determinaría (f ' g) ( *)• b) Sif(x) = x - 2 y g(x) = x + 2,determine (f •g) (a). 10. ( - 2 A y 4)(3 A 4y 6) 12. 2y3(3y2 + 2y - 6) 14. 3A4(2 A y 2 + 5 a 7 - 6y) 16. ~ x 2 y(4x5 y 2+ 3a - 6y2) 18. 0.8(0.2a + 0.9b - 1.3c) 20. - 2.bm3 r? + 5.9n4) 22. ( 2 a - 1 ) (5 a + 7 ) 24. (5 a + y)(6A - y) *• 6 a + - b) 28. (4.6r - 5.8s)(0.2r - 2.3s) 30. (a + 3 )(2 a 2 - a - 9) 32. ( I p - 3 )(-2 p 2 - 4 p + 1) 34. ( 2 a - 1 ) ( a 3 + 3 a 2 - 5 a + 6 ) 36. (a3- 2a2+ 5a - 6)(2a2- 5a - 2) 38. (2 a 2 - 6 a + 3)(3a2- 5a - 2) 40. (3 a + y)3 42. (4 a 2 - 5Ay + y2)(A2 - 2y2) bien utilizando la delproducto de la suma y diferencia de los 44. (y - 4)(y - 4) 46. (3z + 5)(3z + 5) 48. (2a + 5b)2 50. (5p2 + 6c/2)(5p2 + ó^2) 52. [(a + b) + 9]2 54. [ 4 — ( p — 3^)]2 56. [2 a + (y + 5 ) ] [ 2 a - (y + 5)]
- 347. S e cción 5.2 • M ultiplicación d e polinom ios • 3 1 9 Multiplique. 59. x y 4 x 2 + 3*y - l y 2) 6L - y x y V ^ - x y V - 5x y + 63. (3a + 4 )(7a - 6) 65. ( a * + i ) ( s x - 67. (2* - 9y)2 f i 69. (x + 3 )(2*2 + 4* - 3) 7L (2 p - 3q)(3p2+ 4W - 2*2) 73. [(3x + 2) + y)[(3* + 2 ) - y] 75. (a + b)(a - b)(a2 - ¿> 2) 77. (x - 4 )(6 + x )(2 x - 8) Rtra las funciones dadas, determine a) (/• g)(x) y b) (f- g)(4). 79. f ( x ) = x - 5 , g ( x ) = x + 4 £ 8L f ( x ) = l x 2+ 6 x - 4, g(x) = 5x + 3 83. /( x ) = - x 2+ 3x, g(x) = x 2+ 2 57. 2 x y ( x 2 + x y + 3 y 2) 58. 60. + ^ x y + 3) 62- f * 2/ ( f * > 3 - x ' y + 2x y h s) 64. (5p - 9q)(4p - q ) 66. f a - j f a + j ) 68. ( 2* + i ) 3 70. (5a + 4)(a2- a + 4) 72. (2m + /i)(3/w2 —m n + 2a2) 74. [ a + (3b + 4)][a - (3Z> + 4)] 76. (2a + 3)(2a - 3)(4a2 + 9) 78. (3x - 5)(5 - 2*)(3* + 8) 80. f ( x ) = 2 x - 3,g(x) = x - 6 82. f ( x ) = 4 x 2+ 7, g(x) = 2 - x & 84. f ( x ) = - x 2 + 2x + 7, g(x) = x 2 - l Resolución de problemas En los ejercicios 85 a 8 8 , determine una expresión polinomialpara calcular el área total de cada figura. 85. 86.
- 348. 3 2 0• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales En los ejercicios 89 y 90, a) determine el área del rectángulo estableciendo el área de las cuatro secciones y sumando los resultados, y b) multiplique los dos lados y compare el producto con su respuesta a la parte a). 89. 90. Escriba una expresión polinomialpara calcular el área de cada figura. Todos los ángulos son rectos. 9L 9 2 . 1 6 + A 6 - A 5 - x En tos ejercicios 93 y 94, a) escriba una expresión polinomialpara calcular el área de la parte sombreada de la figura, b) El área de laparle sombreada se indica arriba de cada figura. Determine el área de los rectángulos pequeño y grande. 93. Área de la región sombreada =67 pulgadas cuadradas x + 4 2x + 3 95. Escriba dos binomios cuyo producto sea x2 - 25. Explique cómo determinó su respuesta. 96. Escriba dos binomios cuyo producto sea 4a2 - 9 . Explique cómo determinó su respuesta. ^ 97. Escriba dos binomios cuyo producto sea a2 + 12a + 36. ™ Explique cómo determinó su respuesta. 98. Escriba dos binomios cuyo producto sea 4y2- 12y + 9. Explique cómo determinó su respuesta. 99. Cbnsidere la expresión a(x - n)3. Escriba esta expresión como producto de factores. 100. Cbnsidere la expresión P( 1 - r)4. Escriba esta expresión como producto de factores. 101. Área La expresión (a + b ) 2puede representarse con la sguiente figura. b b 94. Área de la región sombreada = 139 pulgadas cuadradas 2 a + 4 b) Con ayuda de la figura, determine (a + bj2estable ciendo el área de cada una de sus cuatro partes, y lue go sumándolas. c) Simplifique (a + b)2multiplicando (a + b)(a + b). d) Compare las respuestas de las partes b) y c), ¿cómo son? Si no son iguales,explique por qué. 102. Volumen La expresión (a + b ) 3puede representarse con lasiguiente figura. a) Explique por qué esta figura representa (a + b a) Explique por qué esta figura representa (a + b)3. b) Determine (a + b ) 3sumando el volumen de cada una de las ocho partes de la figura. c) Simplifique (a + b)3multiplicando. d) Compare las respuestas de las partes b) y c), ¿cómo son? Si no son iguales,explique por qué.
- 349. S e cción 5.3 • División d e polinom ios y división sintética • 3 2 1 103. Interés compuesto La fórmula para calcular el interés compuesto es / r '* A = - K i + í ) ' donde A es el monto, P es el capital invertido, r es la tasa de interés anual, n es el número de veces que el interés se paga cada año y t es el tiempo en años, a) Simplifique esta fórmula para n = 1. b ) Determine el valor de ;4 ,s i P = $1000, n = 1, r = 6% y t = 2años. 104. Interés compuesto Utilice la fórmula indicada en el ejer cicio 103 para determinar y4,si P = $4000,n = 2,r = 8% y t = 2años. 105. Si f(x) = x2- 3x + 5,determinef(a + b) sustituyendo ca da x de la fórmula por (a + b). 106. Si/(x) = 2X2 - x + 3, determine/(a +b). En los ejercicios 107 a 112, simplifique. Suponga que todas las variables representan números naturales. 107. 3*'(5*2'" 1 + 6**) 109. (6 x m - 5 )(2 x ^ - 3) m. ( y - T b 108. 5kr+2 (4kr + 2- 3k ' - k) 110. (**" - y 2 j')(x2jt + 2y 4n) 112. (am+n)m+n En los ejercicios 113 y 114, realice la multiplicación polinomio!. m (x - 3,)* 115. a) Explique cómo puede verificarse por medio de una cal culadora graficadora una multiplicación en una variable, tal como {x1+ 2 x + 3)(x + 2) = x3 + 4x2+ Ix + 6. b) Compruebe la multiplicación indicada en la parte a) con ayuda de su calculadora graficadora. 114. (2a - 4b)4 1 116. a) Con ayuda de su calculadora graficadora, muestre que b multiplicación (x2- 4x - 5)(* - l j ^ j ^ + ó ^ - S x + ó. b) Multiplique (x2 - 4x - 5)(x - 1). c) Compruebe en su calculadora graficadora la respues ta que dio en la parte b). Reto Multiplique. 117. [ ( y + l ) - ( x + 2 )]2 118. [(a - 2) - (a + 1)]= Ejercicios de repaso acumulativo 4 / 3 1.3] 119. Evalúe y - [ - .5] 120. Simplifique 4 - 1 ) 2r V Y [2.5] 12L Resuelva la desigualdad -1 2 < 3x - 5 ^ -4 ,e in dique la solución en notación de intervalo. [3.2] 122. Sig(x) = -x 2 —2x + 3, determine 5 . 3 D IV IS IÓ N D E P O L IN O M IO S Y D IV IS IÓ N S I N T É T IC A S 1 Dividir un polinomio entre un monomio. 2 Dividir un polinomio entre un binomio. 3 Dividir polinomios mediante la división sintética. 4 Utilizar el teorem a del residuo. 1 D ividir u n p o lin o m io e n tre u n m o n o m io E n la división d e polinom ios, la división entre 0 no está perm itida. C uando se nos da un problem a d e división con una variable en el denom inador, siempre supondremos que el denom inador es diferente de 0.
- 350. 3 2 2• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 1 Solución E J E M P L O 2 Solución Para dividir un polinom io en tre un monom io, partim os del hecho d e que A + B _ A fí c ~ c + c Si el polinom io tiene más d e dos térm inos, am pliam os este procedim iento. P ara dividir un polinom io entre un m on om io Divida cada término del polinomio entre el monomio. Para dividir un polinom io entre un monom io, necesitam os utilizar dos d e las reglas de los exponentes q u e se presentaron en la sección 1.5: la regla del cociente p ara expo nentes y la regla del exponente cero. A continuación se indican am bas reglas, y luego se proporcionan ejem plos p ara revisarlas. am R egla del cociente p ara exponentes: — = am ", a * 0 Regla del exponente cero: a° = 1, a * 0 x 1 5 * y D ivida a) b) — r . U tilizarem os la regla del cociente p ara dividir. x 1 a) = X1 4 Regladel cociente. = * 3 b) 5 * y = 5 * 3 y 5 2x y 2 2 x y 2 $ ,3 -1 ,,5 —2 = —x y Zeqla de* cociente. 2 2 ,.3 5 ^zy 2 p 4 8r 5s7 D ivida a) j t b) 3 —5-. U tilizarem os la regla del cociente y la regla del exponente cero p ara dividir. a) ^ = p44 Regladel cociente. = P ° = 1 Regladel exponente cero. 8 r V 8 r 5 s 1 b) 3rs1 3 r s 1 8 3 = —r 51 s 7 7 Regla del cociente. - | r V g = ~ r (1) Regla del exponente cero. 8 . 8r4 = 3 0 T
- 351. S e cción 5.3 • División d e polinom ios y división sintética • 3 2 3 8 4 8r 4 E n el ejem plo 2, tanto —r com o son respuestas aceptables. A hora estam os prepa rados p ara dividir un polinom io entre un monomio. 4a:2 - 8a : - 3 E J E M P L O 3 Divida Solución 2a: 2a : 2a: = 2a: - 4 - 2a: 4X2- 8 x - 3 4 x 2 &x 3 2a : 2a: 2a: 2a : _3_ 2a : ^ . 4y - 6 x V - 3a: V + 5a: E J E M P L O 4 D ivida----------------- — «----------------. 2x y Solución 4 y - W - W + 5 x m ^ W _ 3 * £ + S x 2x / 2x y 2 2xy L 2x y 2 2x f = A _ 3, 3 y _ ^ + _5_ AHORARESUEU/A ELEJERCICI017 x y 7 2 2y 2 2 Dividir un polinomio entre un binomio Para dividir un polinom io entre un binom io se sigue un procedim iento muy sem ejan te al q u e se usa p ara realizar una división larga. E n un problem a d e división, la expre sión q u e vamos a dividir se denom ina dividendo, y la expresión q u e divide se llama divisor. c i c u m a c •, X2+ 7x + 10 E J E M P L O 5 D iv id a . x + 2 SoIUC¡Ón Reescriba el problem a d e división como * + 2)x 2+ l x + 10 Divida x 1(el prim er térm ino del dividendo x2+ l x + 10) entre x (el prim er térm ino del divisor a : + 2 ). x2 — = x x C oloque el cociente, a :, arriba del térm ino del dividendo q u e incluye x. x x + l ) x 2+ l x + 10 A hora multiplique x p o r a : + 2,tal com o lo haría e n una división larga,y coloque el p ro ducto debajo del dividendo, alineando los térm inos semejantes.
- 352. 3 2 4• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 6 Solución Ahora restex1 + 2*dex1 + 7*. x x + 2)x* + 7x + 10 ~(*2+ 2x) 5x Bajeel términosiguiente, +10. Divida5*entre*. * * + 2)x2 + 7* + 10 x 2 + 2 x 5x + 10 — = +5 * Coloque +5 arribade laconstantedeldividendo,y multiplique5porx + Z Por último,reste. Igual a 5(* + 2) residuo x 2 + I x + 10 Por lo tanto,--------- — - = * + 5. No hayresiduo. x + z ip En el ejemplo 5 no hubo residuo. Asíquex2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5). Ob serveque* + 2 y * + 5 sonfactores dex2 + Ix + 10. En unproblemadedivisión,si no hayresiduo,eldivisory elcocientesonfactoresdeldividendo. Cuando larespuestade unproblemadedivisióntenga residuo,escribael resi duosobreeldivisory sumeestaexpresiónalcociente. Porejemplo,supongaqueenel 4 ejemplo 5 tuviéramosun residuo de4; larespuestaseescribiría* + 5 + Si -7 el residuo fuera -7, larespuestaseescribiría* + 5 + -------- , quepuede reescribir- 7 secomo* + 5 --------— . * + 2 6x2 - 7 x + 3 Divida 2* + 1 En esteejemplo restaremosmentalmentey no mostraremoselcambiodesignoen las restas.
- 353. S e cción 5.3 • División d e polinom ios y división sintética • 3 2 5 AHORARESUEU/AELEJERCICIO31 E J E M P L O 7 Solución AHORA RESUELVA EL EJER CICIO 4 5 3 x — 5 2 x + l ) 6 x 2- I x + 3 6 x 2 + 3 x < 3x(2x + 1) - 10* + 3 — 10^: — 5 < 5(2x + 1) 8 « Residuo 6 x* - I x + 3 „ r 8 Por lo tanto, = 3 x - 5 + - . 2x + 1 2x + 1 Al dividir un polinom io en tre un binom io, la respuesta puede verificarse m ul tiplicando el divisor p o r el cociente, y luego sum ando el residuo. E l resultado debe ser el polinom io con el q u e se em pezó. Para com probar el ejem plo 6, hacem os lo si guiente: (2* + 1)(3* - 5) + 8 = 6 x 2- 10* + 3x - 5 + 8 = 6 x 2- I x + 3 Como obtuvim os el polinom io con el q u e em pezam os, nuestra división es correcta. Al dividir un polinomio entre un binomio, debe listarse primero el polinomio y luego el binomio, en orden descendente. Si un término de cualquier grado no apare ce, con frecuencia es útil incluir ese término con un coeficiente numérico de 0. Por ejem plo, cuando tenem os (ó*2 + x 3- 4) -s- (x - 2),reescribim os el problem a com o (x 3+ óx2+ Ox - 4) -s- (x - 2) antes d e iniciar la división. Divida (4X2- 1 2 X + 3X5 - 17) en tre ( - 2 + jc2). Escriba el dividendo y el divisor en potencias descendentes d e la variable *. Esto da (3X5 + 4a^ - 12r - 17) -J- (jr2 - 2). Si una potencia d e x no aparece, sum e esa poten cia d e x con un coeficiente d e 0; luego divida. 3 * 3 + 6x + 4 x 2+ Ox - 2 J 3 * 5 + O*4+ O x 1 + 4 x 2- 12* - 17 3 x s + Ox4 - 6 x 3* 3x3( x 2+ 0 x - 2 ) 6 x 3+ 4x2- 12* 6 x 3+ O*2 - 12* --------------6 x ( x 2+ 0* - 2) 4 x 2+ Ox - 17 4 x 2+ Ox- 8 ------ 4 ( x 2+ Ox - 2) - 9 *— R esiduo Para obtener la respuesta, realizam os las divisiones 3*5 3 6a:3 4a:2 , —T = 3at — = 6a: — t- = 4 x 2 x 2 x 2 Los cocientes 3a ^, 6a : y 4 fueron colocados arriba d e sus térm inos sem ejantes en el di- 9 videndo. L a respuesta es 3a:3 + 6a: + 4 - ^ Verifique la respuesta usted mis mo, m ultiplicando el divisor p o r el cociente y sum ando el residuo. #
- 354. 326 • Ca p ít u lo 5 • P o lin o m io s y f u n c io n e s p o lin o m ia le s 3 Dividir polinomios mediante la división sintética C uando se divide un polinom io entre un binomio con la form a x - a , el procedim ien to se puede reducir m ucho gracias a un m étodo llam ado división sintética. C onside re los siguientes ejem plos. E n el d e la d erech a sólo utilizam os los coeficientes numéricos. 2 x 2+ 5x - 4 2 + 5 - 4 * - 3)2*3 - x 2- 19* + 15 1 - 3)2 - 1 - 19 + 15 2*3 ~ ó x 2 2 - 6 5X2- 19x 5 - 19 5X2- 15x 5 - 1 5 - 4 x + 15 - 4 + 15 - 4 x + 12 - 4 + 12 3 3 O bserve q u e las variables no desem peñan un papel en la determ inación d e los coefi cientes num éricos del cociente. E ste problem a d e división puede realizarse con mayor rapidez y facilidad m ediante la división sintética. A continuación se explica cóm o utilizar la división sintética. Analicemos nueva m ente la división 2*3 - - 19* + 15 * - 3 1. Escriba el dividendo en potencias descendentes d e x. Luego liste los coeficientes num éricos d e cada térm ino en el dividendo. Si falta el térm ino d e cualquier gra do, sustitúyalo con 0 en la posición apropiada. E n el problem a anterior, los coefi cientes num éricos del dividendo son 2 -1 -19 15 2. A l dividir en tre un binom io con la form a x - a , coloque a a la izquierda d e la fila de núm eros q u e se obtuvo en el paso 1. E n este problem a, dividimos en tre x - 3; p o r lo tanto, a = 3, así q u e escribim os 3j 2 -1 -19 15 3. D eje un espacio debajo d e la fila d e los coeficientes; luego trace una recta horizon tal. C opie debajo d e ésta el prim er coeficiente d e la izquierda, com o sigue: 3| 2 -1 -19 15 4. Multiplique3porel númeroquecolocódebajode lalínea,2,paraobtener6. Escri bael6debajodelsiguientecoeficiente, -1. Luegosume - 1 + 6 paraobtener5. 3j 2 -1 -19 15 6 5 . Multiplique3porel resultadode lasumaanterior,5,paraobtener 15. Escriba15 debajode -19. Luegosume ambosnúmerosparaobtener - 4 . Repitaesteproce dimientocomoseilustra. 3j 2 -1 -19 15 6 15 -12 2 5 - 4 3
- 355. S e cción 5.3 • División de polinom ios y división sintética • 3 2 7 Losprimerostresnúmerosdelaúltimafilasonloscoeficientesnuméricosdelco ciente,comosemostróen ladivisiónlarga. El último número,3,esel residuoque se obtieneen ladivisiónlarga.El cocientedebeserdeungradounaunidadmenor aldel dividendo,ya queestamosdividiendoentrex - 3. El dividendooriginal eraunpoli nomiodetercergrado;porlotanto,elcocientedebeserunpolinomiodesegundogra do. Utilice los primeros tres números de la última fila como coeficientes de un polinomiodesegundogradodex. Estodaporresultado2x2+ 5 x - 4,queeselcocien te. El último número,3,esel residuo. Por lo tanto, 2X3- x2- 19x + 15 * - 3 E JE M P L O 8 * - 3 Utilice ladivisiónsintéticaparadividir ( 6 - a 2 + a 3 ) + {x + 2) Solución Primero listelostérminosdeldividendoenordendescendentedex. (x3 - x 2 + 6) + ( x + 2) Cómo no haytérminodeprimer grado,ocupesulugarconun0cuando listeloscoe ficientesnuméricos.Yaquex + 2 = x - (-2), a = -2. - 2 1 - 1 -2 0 6 6 -1 2 1 - 3 6 - 6 Re6Íduo E J E M P L O 9 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 61 Comoeldividendoesunpolinomiodetercergrado,elcocientedebeserunpolinomio desegundogrado. La respuestaesa 2 - 3 a + 6 ----------------------------------------------------------------# X I z Utilicedivisiónsintéticaparadividir. (3 a:4 + 1 1 a 3 - 2 0 a 2 + 7 a + 3 5 ) - (a + 5 ) - 5 3 11 - 2 0 - 1 5 2 0 7 3 5 0 - 3 5 3 —4 0 7 0 Residuo Como eldividendoesdecuartogrado,elcocientedebeserdetercergrado. El cocien tees3 a 3 - 4 a 2 + 0* + 7 , sinresiduo.Estopuedesimplificarsecomo3 a 3 - 4 a 2 + 7 . # Ya q u e no hubo residuo en el ejem plo 9, a + 5 y 3 a 3 - 4 a + 7 son factores de 3 a 4 + 11a 3 - 2 0 a 2 + 7 a + 35. Además, com o am bos son factores, ( a + 5 ) ( 3 a 3 - 4 a 2 + 7 ) = 3 a 4 + 11a 3 - 2 0 a 2 + 7 a + 35 4- Utilizar el teorema del residuo E n el ejem plo 8 , cuando dividim os a 3 - a 2 + 6 en tre a + 2, encontram os q u e el re siduo fue - 6 . Si escribim os a + 2 com o a - ( - 2 ) y evaluam os la función polinom ial P(x) = a 3 - a 2 + 6 en - 2 , obtenem os - 6 . P(a ) = a 3 - a 2 + 6 P( - 2 ) = ( —2 ) 3 - ( - 2 ) 2 + 6 = - 8 - 4 + 6 = - 6 ¿Es una sim ple coincidencia q u e P( - 2 ) , el valor d e la función en - 2 , sea igual al re siduo cuando la función P(x) se divide entre a - ( - 2 ) ? L a respuesta es no.
- 356. 3 2 8• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales Puede dem ostrarse q u e para cualquier función polinom ial P(x),e1valor d e la fun ción en a, P(a), tiene el mismo valor q u e el residuo cuando P(x) se divide entre x - a . Para obtener el residuo cuando un polinom io P(x ) se divide en tre un polinom io con la form a x - a , podem os usar el teorem a del residuo. T e o re m a d el residuo Siel polinomio P(x) se divide entre x - a,el residuo es igual a P(a). E J E M P L O 1 0 Utilice el teorem a del residuo p ara determ inar el residuo cuando 3x4+ óx3- 2x + 4 se divide entre x + 4. Solución Prim ero escribim os el divisor x + 4 en la form a x - a . Com o x + 4 = x - ( - 4 ) , eva luam os P ( -4 ). P { x ) = 3 x 4 + 6 x 2 - 2 x + 4 P ( -4 ) = 3 (-4 )4 + 6 (-4 )3 - 2 (-4 ) + 4 = 3(256) + 6( — 64) + 8 + 4 = 768 - 384 + 8 + 4 = 3% Así, cuando 3a:4 + óx3- 2x + 4 se divide en tre x + 4, el residuo es 396. # M ediante la división sintética, m ostrarem os q u e la respuesta del ejem plo 10 es correcta. —4| 3 6 0 - 2 4 - 1 2 24 - 9 6 392 3 - 6 24 - 9 8 3 % « - Residuo Si graficáram os el polinom io P(x) = 3a? + 6a? - 2a: + 4, el valor d e P(x ) , o y , en x = - 4 sería 396. E J E M P L O 11 U tilice el teorema del residuo para determinar si x - 5 es un factor de 6a? - 25a: - 25. Solución Sea P(x) = 6a? - 25a: - 25. Si P (5 ) = 0, entonces elresiduo de (6x 2- 25x - 25)1{x - 5) es 0, y x - 5 es un factor del polinom io. Si P (5) # 0, existe un residuo y x - 5 no es un factor. P ( x ) = 6a:2 - 25a: - 25 P { 5) = 6 (5)2 - 25(5) - 25 = 6(25) - 25(5) - 25 = 150 - 125 - 25 = 0 Com o P (5) = 0, x - 5 es un factor d e 6a? - 25a: - 25. O bserve que AHORARESUELVAELEJERCICIO79 6a2 - 25a: - 25 = (a: - 5)(6a: + 5). # C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5 . 3 Ejercicios conceptuales L a) Explique cómodividir un polinomioentre un monomio. b) Utilizando el procedimiento que explicó en la parte a), „ 5 a:4 - 6 a:3 - 4 X 2 - 1 2 x + 7 d iv id a ----------------------------------- . 3 a: 2. a) Explique cómo dividir un trinomio en a: entre un bino mio en a:. b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a), divida 2 a? — 1 2 + 5 a entre x + 4 .
- 357. S e cción 5.3 • División d e polinom ios y división sintética • 3 2 9 3. Un trinomiodividido entre un binomio tiene un residuo de 0. ¿El cociente es un factor del trinomio? Explique. 4 a) Explique cómo puede verificaise la respuesta cuando sz divide un polinomio entre un binomio. b) Utilice la explicación que dio en la parte a) para com probar si la siguiente división es correcta. 8- 2; V 5 = 2, + 3 4* —5 c) Verifique si la siguiente división es correcta. 6*2 - 23* + 14 = 2* - 5 - 8 3* - 4 3* - 4 5. Cuando se divide un polinomio entre un polinomio, ¿qué hay que hacerle a los polinomios antes de comenzar? 6. Explique por qué no es un polinomio. 7. a) Describa cómo se divide un polinomio entre (x - a) mediante la división sintética, b) Utilizando el procedimiento que indicó en la parte a), divida*2 + 3* - 4 entre* - 5. 8. a) Establezca el teorema del residuo con sus propias pa labras. b) Mediante el procedimiento que indicó en la parte a), determine cuál es el residuo cuando x2- 6* - 4 se di vide entre * - 1. 9. Enel problemade división * + 11* + 21 = * + 9 + - x + 2 " ~ * + 2 ’ ¿* + 9 es un factor de x2+ 11* + 21? Explique. 10. En el problema de división *2 - 3* - 28 * + 4 ¿* - 7 es un factor de x2- 3* - 28? Explique. = * - 7 , Problemas de aplicación da. 4* + 18 12. 9* + 17 2 3 4*2 + 2* 14 12*2 - 8* - 20 2* 4 5 / + 6y 2- 9y 16. 1 8 / + 1 2 / 3y 6 / 4*5 - 6*4 + 12*3 - 8*2 18. 15* V - 2 5 * / 4*2 5*y 8*2/ - 1 0 * / - 5y 20. 4*13 + 12*9 - 7*7 2y 2 4*6 9x 2y - 12x3 y 2+ 7 / 22. a2 b2c - babc2+ 5a3 b5 2xy 2 2 abc2 3xyz + 6 xyz2- 9x3 y sz7 24 6 abe3- 5a2 b3 c4+ 8 ab5c 6 xy 3ab2 c? iL & 13. 15. 17. 19. 21. £ 23. Dividapor medio de la división larga. . *2 + 3* + 2 *2 + 2* - 15 x + l “ • * + 5 „ 2x2+l l x + 12 ^ 6 x2+ 16* + 8 7 7 4 * • 3 * + 2 ~ » 6 x 2+ * ~ 2 m 12*2 + 25* + 7 " 2* - 1 3* + 1 31. * ± £ i l a £ i ^ i 3 * + 1 a + 3 „ 2b2+ b - 9 2c2 + c - 1 *■ b - 2 34 2c + 5 „ Sx2+ 6 x - 2 5 8z* - 18z - 9 55. ------ Jo . 2* - 3 4z + 1 * 2 - 25 ló p 2 - 9 2* - 5 4p + 3
- 358. 3 3 0• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales 39. 4L x3 + 3x2 + 5* + 4 x + 1 963 - 3 b 2- 3 b + 4 3 6 + 2 43. (2x3 + 6x - 4) + (x + 4) 3x5 + 4x2- 12* - 8 45. x 2-2 , 3x4 + 4x3 - 32x2 - 5x - 20 4Z 3x3 - 8x2 - 5---------- 2c4 - 8c3 + 19c2 - 33c + 15 vflQ 1 c2 - c + 5 40. 42. - a 3 - 6a2 + 2a - 3 a - 1 4 y 3 + 1 2 y 2 + 7y - 8 2 y + 3 44. (4a3 - 5a) + (2a - 1) 465 - 1863 + 8 b2+ 1 8 6 - 1 2 46. - 50. 2 6 2 - 3 3a 4 - 9a3 + 13a2 - l i a + 4 a2 - 2a + 1 2 y 5 + 2 / - 3y3 - 1 5 / + 18 2 y 2 —3 Dividapor medio de la división sintética. 51. (x2+ l x +6) -i- (x + 1) 53. (x2+ 5* +6) + (x + 2) 55. (x2- l l x + 28) + (x - 4) 57. (x2+ 5* - 12) -s- (x - 3) £ 59. (3x2 - l x - 10) - (x - 4) 61. (4x3 - 3x2 + 2x) + (x - 1) 63. (3c3 + 7c2 - 4c + 18) + (c + 3) 6 5 . ( / _ 1 } + ( y _ 1 } x4 + 16 67. 69. 71. x + 4 x 5+ x4 - 10 X + 1 65 + 464 - 12 6 + 1 73. (3*3 + 2 x2 - 4* + 1) + ( * - 75. (2-t4 - x3 + l t 2 - 3* + 1) - ( * - | ) 52. ( j 2 - l x + 6) + ( i - 1) 54. (x2 - 5* + 6) + (x - 2) 56. (x2 +x - 72) + (x + 9) 58. (x2 - 2x - 37) + (x + 5) 60. (262 - 96 + 15) + (6 - 6) 62. (z3 - - 13z + 15) - (z - 2) 64. ( 3 / - 25y2 - 29) + (y - 3) 66. (a4 - 16) + ( a - 2) z4 + 81 68. 70. 72. z + 3 a1- 2a6+ 19 a -2 z5 - 3Z3 - 7z z - 2 74. (8x3 - 6x2 - 5x + 3) + ^x + 76. (9y3 + 9 / - y + 2) + (j- + | ) Determine el residuo de las siguientes divisiones mediante el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, in diquelo. 77. (4x2 - 5x + 4) -i- (x - 2) 78. (-2 x 2 + 3x - 2) -i- (x + 3) - 79. (x3 - 2x2 + 4x - 8) + (x - 2) 80. (-3 x 3 + 4x - 12) + (x + 4) 8L (-2 x 3 - 6x2 + 2x - 4) + ( x - 82. (-5 x 3 - 6) - ( x - j ) Resolución de problemas 83. Área El área de un rectángulo es 6x2 - 8x - 8. Si su Ion- 84. Área El área de un rectángulo es 15X2 - 29x - 14. Si su gitud es 2x - 4,determine su ancho. ancho es 5x + 2,determine su longitud.
- 359. S e cción 5.3 • División d e polinom ios y división sintética • 331 En los ejercicios 85 y 8 6 , ¿cuántas veces es mayor el área o volumen de la figura de la derecha que el de lafigura de la izquierda? Explique cómo determinó su respuesta. 85. x + 8 I 2x +4 -kx + 4 12x + 24 86. x + 1 4x + 4 x + 2 3x + 6 N 87. ¿Es posible dividir un binomio entre un monomio y obte ner un monomio como cociente? Explique. 88. a) ¿La suma, diferencia y producto de dos polinomios es áempre un polinomio? b) ¿El cociente de dos polinomios es siempre un polino mio? Explique. 89. Explique cómo puede determinarse, mediante la división sintética, si una expresión con la forma x - a es un factor de un polinomio en x. V 90. Dados P(x) =ax2+ bx + c y un valor d tal que P(d) = 0, explique por qué d es una solución de la ecuación ax2+ bx + c = 0. » 9L Si = x + 2,determine ^(x). 92. Si 2x + 4~ x ~ 3, determine P(x). 93, Si—- -7 = x + 5 + — r, determine P{x). x + 4 x + 4 P(x) 7 94 S' 7 1 7 = 2 r - 1- - L - 2x —3 2x —3 En los ejercicios 95 y 96, divida. 2x3 - x 2y - Ix y 2+ 2y3 ,determine P(x). 95. 96. x - 2 y x3 + y x + y En los ejercicios 97 y 98, divida. Las respuestas contienen frac ciones. 97. 98. 2x2 + 2x - 2 2x - 3 3x3 - 5 3x - 2 99. Volumen El volumen de la siguiente caja es Ir3+ Ar2+ 2r. Determine w en términos de r. 2r + 2 100. Volumen Elvolumen de la siguiente caja es 6a3 + o2 - 2a. Determine b a i términos de a. 3a + 2 10L Giando un polinomio se divide entre x - 3, el cociente es 2 x - 3x + 4 + . ¿Cuáles el polinomio? Explique có- x - 3 mo determinó su respuesta. 102. Qiando un polinomio se divide entre 2x - 3, el cociente es 2x2 + 6x - 5 + ^ - y ¿Cuál ^ el P°,inomio? Ex' plique cómo determinó su respuesta. En los ejercicios 103 y 104, divida. Suponga que todas las varia bles de los exponentes son números naturales. 4x"*‘ + 2x" - 3X"-1 - x""2 2x' 103. 104 3x" + 6X *'1 - 2xT 2xn~1 105. ¿Es x - 1factor de x100+ x " + ••• + x' + 1? Explique. 106. ¿Es x + 1factor de x100+ x " + ••• + x1 + 1? Explique. 107. ¿Es x + 1factor de x " + x98 + ••• + x' + 1? Explique. 108. Divida 0.2X3 - 4x2 + 0 .3 2 x - 0.64 entre x - 0.4.
- 360. 3 3 2• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales 109. Ladivisiónsintética puede utilizarse paradividirpolinomios entre binomios con la forma ax - b, a J=1. Para realizar esta operación, divida ax - b entre a para obtener x ~ ~- Luego coloque la izquierda de los coeficientes numéri cos del polinomio. Resuelva el problema como se explicó previamente. Después de sumar los valores numéricos de bajo de la línea, divida todos ellos, excepto el residuo, entre a. Después escriba el cociente del problema utilizan do esos números. a) Utilice este procedimiento para dividir 9X3 + 9x* + 5x + 12entre 3x + 5. b) Explique por qué no dividimos el residuo entre a. Ejercicios de repaso acumulativo 8.45 X 102 5 [1.6 ] 110. Divida ‘ --- —tj y exprese la respuesta en no- 4.225 X 10 tación científica. [2.3] 111. Triángulo Determine los tres ángulos de un trián gulo, si uno de ellos mide el doble del ángulo más pequeño, y el tercero mide 60° más que el ángulo más pequeño. [2.6 ] 112. Determine el conjunto solución para 5* ~ 3 + 3 = 7. [3.6] 113. Sea f(x) = x1- 4 y g(x) = - 5 x + 3. Determine /(6)*(6). [5.1] 114 Sume (6r + 5s - /) + (— 3 r - 2s - 5l). 5 .4 FACTO RIZACIÓ N D EL FA C TO R C O M Ú N DE LO S TÉR M IN O S DE UN PO LIN O M IO Y FACTO R IZACIÓ N POR A G R U P A CIÓ N t 1 Determinar el máximo factor com ún. 2 Factorizar un m onom io de un polinomio (factorizar el factor com ún). 3 Factorizar un factor binomial com ún. 4. Factorizar por agrupación. L a facíorización es la operación opuesta a la multiplicación. Factorizar una expresión significa escribirla com o un producto d e otras expresiones. Por ejem plo, en la sec ción 5.2 aprendim os a realizar las siguientes multiplicaciones: 3 * 2(6* + 3 y + 5 x 3) = l S x 3+ 9 x2y + 15x5 y (6x + 3y ) ( 2 x ~ 5y ) = 12x2- 24x y - 1 5 f E n esta sección, aprenderem os a determ inar los factores efe una expresión dada. Por ejem plo, aprenderem os cóm o realizar cada una d e las siguientes factorizaciones. 18*3 + 9 * 2.y + 15X5 = 3 x 2{6x + 3y + 5 x3) y 12a:2 - 24*y - 15y2 = (6 x + 3 y ) ( 2 x - 5y ) 1 D e te rm in a r el m á x im o fa c to r c o m ú n Para factorizar un monomio d e un polinom io, factorizam os al m áxim o factor común (M FC) d e cada térm ino del polinomio. E l M FC es el producto d e los factores com u nes a todos los térm inos del polinom io. Por ejemplo, el M FC p ara 6 x + 15 es 3, ya que
- 361. Sección 5 .4• Factorización del fa ctor c o m ú n d e los té rm inos d e un polinom io... • 3 3 3 E J E M P L O 1 3 es el núm ero más grande q u e es factor tanto d e 6 x com o de 15. Para factorizar, uti lizamos la propiedad distributiva. 6 x + 15 = 3 (2* + 5) E l 3 y el 2x + 5 son factores del polinom io 6 x + 15. Considere los térm inos x3,* 4,*5y x6. E l M FC d e estos térm inos es x3, ya q u e x3 es la potencia d e * más alta q u e divide a los cuatro términos. D eterm ine el M FC d e los siguientes términos. a) y 12, y 4, y9, y 1 b) x ? y x y x V c) 6 x 2 y h , 9*3y 4, 24* V S o lu c ió n a) O bserve q u e y4es la potencia d e y más alta com ún a los cuatro térm inos. Por lo tanto, el M FC es y4. b ) L a potencia d e * más alta com ún a los tres térm inos es * (o *1). L a potencia d e y más alta com ún a los tres térm inos es y2.Así, el M FC d e los tres térm inos es xy2. c) El MFC es dx2. Com o y no aparece en 2 4 * V ,n o es p arte del M FC; com o z no apa rece en 9* y , no es p arte del M FC. # E J E M P L O 2 D eterm ine el M FC d e los siguientes términos. 6 ( * - 3 ) 2, 5 ( * - 3 ) , 1 8 ( * - 3 ) 4 S o l u c i ó n Los tres núm eros,6,5 y 18, no tienen factor com ún distinto d e 1. L a potencia más alta d e (* - 3) com ún a los tres térm inos es (* - 3). A sí, el M FC d e los tres térm inos es ( * " 3 ) . # 2 Factorizar un monomio de un polinomio Cuando factorizam os un monomio d e un polinom io, estam os factorizando el máximo factor com ún. E lprim er paso en cualquierproblem a de factorización consiste en deter m inar y luego factorizar el MFC. P a ra factoriza r un m o n o m io de un polinom io 1. Determine el máximo factor común de todos los términos del polinomio. 2. Escriba cada término como el producto del MFC y otro factor. 3. Use la propiedad distributiva para factorizar el MFC. E J E M P L O 3 Factorice 15x4 - 5x? + 20*2. Solución E l M FC es Sx2. Escriba cada térm ino com o producto del M FC y o tro producto. L ue go factorice el MFC. 15a:4 - 5.x3 + 20X2= Sx2 -3X2- 5x> x + 5.x2 -4 = 5x?(3x2- x + 4 ) # Pára comprobar el procedimiento de factorización, multiplique los factores me diante la propiedad distributiva. El producto debe ser la expresión con la que se ini ció. Por ejem plo, en el ejem plo 3 C o m p r o b a c ió n 5*2(3*2 - * + 4) = 5*2(3*2) + + 5 * 2(4) = 15*4 - 5*3 + 20*2
- 362. 3 3 4• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 4 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 19 E J E M P L O 5 Solución E J E M P L O 6 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 65 Factorice20a3 / + 6a2 / -12*/. El MFC es2a/. Escribacadatérminocomoproductodel MFC y otroproducto. Luego factoriceel MFC. 20a3/ + 6 a2/ - 12a/ = 2a/ • 10a2 + 2a/ ■3a^ - 2 a/ - 6 / = 2a/(10a2+ 3xy - 6/) C o m p ro b a c ió n 2a/(10a2 + 3xy - 6 / ) = 20a3 / + 6a2 / - 12a/ # Cuandoelcoeficienteprincipalde unpolinomioesnegativo,por logeneral factoriza- mos un factor común con un coeficiente negativo. Esto da como resultado que el polinomio restantetengauncoeficienteprincipal positivo. Factorice a) -12a - 18 b) -2b3 + 6b2- 18b Como loscoeficientesprincipalesenlaspartesa) y b) sonnegativos,factorizamosfac torescomunesconuncoeficientenegativo. a) —12a — 18 = —6(2a + 3) Factorizar-6 . b) ~2b3 + 6b2 - 18b = -2 b(b2 - 3b + 9) Factorizar-2b. # L a n z a m ie n to d e u n a p e lo ta Cuandoselanzaunapelotahaciaarribaconunaveloci dadde32piesporsegundodesdelapartemásaltade unedificiode160piesdealtu ra, su distancia, d , respecto del piso en cualquier instante /, puede determinarse mediantelafunciónd(t) = -16/2+32t + 160. a) Determine ladistanciadelapelota respecto del piso despuésde3 segundos;es decir,determined(3). b) Factoriceel MFC del ladoderechode lafunción. c) Evalúed(3) en laformafactorizada. d) Comparesusrespuestasde laspartesa) y c). a) d(t) = -1612 + 32/ + 160 d (3) = —16(3)2 + 32(3) + 160 Sustituya t por3. = -16(9) +96 + 160 = 112 Ladistanciaes112pies. b) Factorice -16 de lostrestérminosaladerechadel signo igual. d(t) = -16(/2 - 2 1 - 10) c) d(t) = -16(/2 - 2t - 10) d (3) = —16[32 — 2(3) — 10] Sustituya t por3. = -16(9 - 6 - 10) = —16(—7) = 112 d) Lasrespuestassoniguales. Puededeterminar loscálculosde lapartec) conmayor facilidadque loscálculosde lapartea). # 3 Factorizar un factor binomial común A lgunas veces la factorización exige factorizar un binomio com o el máximo factor co m ún, com o se ilustra en los ejem plos 7 a 9.
- 363. E J EM P L O 7 Factorice 3*(5* - 2 ) + 4(5* - 2 ). Solución El M FC es (5* - 2). A l factorizar el M FC se obtiene 3 x (5 x - 2) + 4 (5* - 2) = (5* - 2) ( 3x + 4) # E n el ejem plo 7, tam bién podríam os haber colocado el factor com ún a la d ere cha p ara obtener 3* (5* - 2)+ 4 (5* - 2) = (3* + 4)(5* - 2) Las form as factorizadas (5* - 2)(3* + 4) y (3* + 4)(5* - 2) son equivalentes de acuerdo con la propiedad conm utativa d e la multiplicación,y am bas son correctas. Por lo general, cuando listamos la respuesta a un ejem plo o ejercicio, colocam os el térm i no com ún q u e se ha factorizado a la izquierda. E J E M P L O 8 Factorice 9(2* - 5) + 6(2* - 5)2. Solución EL M FC es 3(2* - 5). Reescriba cada térm ino com o producto del M FC y otro factor. 9(2* - 5) + 6(2* - 5)2 = 3(2* - 5) *3 + 3(2* - 5) *2(2* - 5) = 3(2* — 5) [3 + 2(2* — 5 )] Factorizar 3(2* —5). = 3 (2* — 5 )[3 + 4 * — 10] Propiedad distributiva. = 3 (2* — 5 ) (4* — 7 ) Simplificar. E J E M P L O 9 Factorice (2* - 5 )(a + b ) - (* - l)(fl + b). S o l u c i ó n E l binom io a + b es el M FC d e los dos terrenos. Por lo tanto, lo factorizamos. (2* - 5 )(a + ¿f) ~ (x ~ l ) ( a + b) = (a + b)[(2x - 5) - (* - 1)] Factorizar(a + b). = (a + b )(2 * — 5 — * + 1) Simplificar. AHORARESUELVAELEJERCICIO43 = (a + b ) ( x - 4) Factores. # E J E M P L O 1 O Á rea E n la figura 5.13, el área del rectángulo grande es 7*(2* + 9 ),y el área del rec tángulo pequeño es 3(2* + 9). D eterm ine una expresión, en form a factorizada, para calcular la diferencia entre las áreas d e estos dos rectángulos. Sección 5 .4 • Factorización del fa ctor c o m ú n d e los té rm inos d e un polinom io... • 3 3 5 A = 7*(2x + 9) A = 3(2* + 9) Solución Para determ inar la diferencia en tre las áreas, reste el área del rectán gulo pequeño del área del rectángulo grande. 7 * (2 * + 9 ) - 3(2* + 9) Restariasáreas. FIGURA 5.13 = (2* + 9 )(7 * — 3) Factorizar (2* + 9). AHORARESUELVAELEJERCICIO 59 L a diferencia d e las áreas p ara los dos rectángulos es (2* + 9)(7* - 3). 4 Factorizar por agrupación Cuando un polinom io contiene cuatro términos, es posible factorizarlo p o r agrupa ción. Para factorizar por agrupación, quitam os los factores com unes d e grupos d e tér minos. E ste procedim iento se ilustra en el siguiente ejemplo.
- 364. 3 3 6• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 11 Solución E JE M P L O 12 Solución E JE M P L O 13 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 51 S U G ER EN C IA Factoricea x + a y + b x + b y . No hayfactor común (diferentede 1) para todos los términos. Sinembargo,aesco mún alosprimerosdostérminos,y b escomúnalosúltimosdos. Factoricea delospri merosdostérminosy b de losúltimos. 0 * + M y + b x + b y =gg(* + y ) + b ( x + y ) Ahora (* + y ) escomúnaambostérminos. Factorice (* + y). b a x + b = m n ( a + 9 ) Así, a x + a y + b x + b y = ( x + y ) ( a + b ) o ( a + b ) ( x + y ) . P ara fa cto riza r térm ino s p o r a grupación 1* Acomode los cuatro términos en dos grupos de dos términos cada uno. Cada grupo de be tener un MFC. 2. Factorice el MFC de cada grupo de dos términos. 3. Si los dos términos formados en el paso 2tienen un MFC,factorícelo. Factoricepor agrupaciónx 3 - S x 2 + 2 x - 10. No hayfactorescomunesaloscuatro términos. Sinembargo,x 2 escomúnalosprime rosdostérminos,y 2escomúnalosúltimosdos. j 3 - 5*2 + 2 x - 10 = x 2 ( x - 5) + 2 ( x - 5) = ( x - 5 ) ( x 2 + 2 ) # Enelejemplo12,( x 2 + 2 ) ( x - 5) tambiénesunarespuestaaceptable.¿Cambiaría larespuestadelejemplo 12si intercambiamoselordende2 x y - S x 2 ? Intentémosloen el ejemplo 13. Factoricex 3 + 2 x - S x 2 - 10. Factoricex de losprimerosdostérminosy -5 delosúltimosdos. x3 + 2 x - 5 x 2 - 10 = x ( x 2 + 2 ) - 5 { x 2 + 2 ) = ( x 2 + 2 ) { x - 5) # Observequeobtuvimosresultadosequivalentesen losejemplos 12y 13. Cuando utilizamos la agrupación para factorizar cuatro términos, si los términos primero y tercero son positivos debemos factorizar una expresión positiva tanto de los primeros dos términos como de los segundos dos términos para obtener un factorcomún para tos dos tér minos restantes (vea el ejemplo 12). Si elprimer término es positivo y el tercero es negati vo,debemos factorizar una expresión positiva de losprimeros dos términos y una expresión negativa de los últimos dos términos para obtener un factor común para los dos términos restantes (vea el ejemplo 13). El prim er paso p ara resolver cualquier problem a d e factorización consiste en determ inar si todos los térm inos tienen un factor com ún. Si es así, em piece p o r facto rizar el factor com ún. Por ejem plo, p ara factorizar x4- 5X3+ 2X2- lOx, prim ero fac- torizam os x d e cada térm ino. Luego factorizam os los cuatro térm inos restantes por agrupación, com o se hizo en el ejem plo 12. ,4 _ 5,3 + ^ _ 1Qx = ^ - 5*2 + 2x - 10) = x ( x - 5 )(* 2 + 2) Factores ¿el ejemplo 12.
- 365. Sección 5 .4• Facto rización del fa ctor c o m ú n d e los té rm in os d e un polinom io... • 3 3 7 C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5 . 4 Ejercicios conceptuales L ¿Cuál es el primer paso en cualquierproblema de factori zación? Z ¿Qué es el máximo factor común de los términos de una expresión? 3. a) Explique cómo determinarel máximo factorcomún de tos términos de un polinomio. b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a), de termine el máximo factor común del polinomio 6 * V - 2x>y + 1 2 * V c) Factorice el polinomio de la parte b). 4 Si uno de los términos de un polinomio es también el MFC, ¿qué se escribe en lugar de ese término cuando se factoriza el MFC? Explique. 5. a) Explique cómo factorizar por agrupación un polino mio de cuatro términos, b) Factorice ó*3 - Ixy3+ 3x*y2- y5mediante el procedi miento que indicó en la parte a). 6. ¿Cuál es el primer paso para factorizar - x 2+ Sx - 15? Explique su respuesta. 7. Determine el MFC de los siguientes términos: * y . * y . v . * v Explique cómo determinó su respuesta. 8. Determine el MFC de los siguientes términos: 12(x - 4)3 ,6(* - 4)4,3 (* - 4)5 Explique cómo determinó su respuesta. Problemas de aplicación factorice el máximo factor común. 9. 7a + 7 10. 15p + 25 1L 2X2- 4x + 8 1Z 6 x 2- 12x + 21 13. 12y2 - 16y + 24 14. 12x3 - Sx2- 6 x 15. 9x4- 3 x 3+ l l x 2 16. 45y12 + 30y10 17. -24a1 + 9a6 - 3a2 18. -1 6 c5- 12c4+ 6c3 £ 19. 3*2y + 6x 2 y 2+ 3*y 20. 24a2 b2+ 16ab4 + 64a¿>3 2h 80a5b4c - 16a4b2c2 + 8a2c 2Z 3 6 ry V + 36x3y 2z + 9x2yz 23. 9p4 q5r - 3p2 q2 r2+ 6 pq5 r3 24 24m6 + 8m 4- 4m3n 25. -5 2 p 2q2 - 16pq3 + 26r 26. -1 4 y V - 2 8 y V + 9 x y V factorice un factor con un coeficiente negativo. 27. - S x + 4 28. -2 0 a - 10 29. - x 2+ 4 x - 12 30. 1 n S 1 > 1 £ 3 1 . -3Z2 - 6 r + 9 3Z i — Isj M + fe 1 O J O n 33. - 6 r V + 4 r V + 2tí5 3 4 - 5 p6 q3- 1 0 p V + 25pq7 35. - a 4 b2c + 5a3 be2+ a2b 36. -2 0 x5 y iz - 4x4 yz2- Sx2/ factorice. 3 7 . x(a + 3 ) + 1(a + 3 ) 3 8 . y(b - 2 ) - 5(b - 2) 39. 3 c ( * - 4) + 2(x - 4) 40. 4d(y + 1 ) - 7 (y + 1) 41. (x - 2 ) ( 3 * + 5 ) - (x - 2)(5x- 4 ) 4Z (z + 4 ) ( z + 3 ) + (z - 1 )(z + 3 ) 4 3 . (2a + 4 ) ( a - 3 ) - (2a + 4 ) ( 2 a - 1) 44 (6b - 1)(¿> + 4 ) + (6b - 1) ( 2 b + 5) 45. *2 + 3* — 5* - 15 46. a2 + 3a —2a —6 47. 8 / - 4y - 20y + 10 48. 18/w2 + 30m + 9m + 15 49. ax + ay + bx + by 50. ex - cy - dx + dy 5 1 . *3 - 3x2+ 4* - 12 52. 2Z3 + 4Z2 - 5z - 10 5 3 . 10m2 - 12m n - 25m n + 30n2 54 12x2 + 9xy - 4xy - 3y2 55. 5a3 + 15a2 - 10a - 30 56. 2r4 - 2r3 - Ir2+ Ir 58. b4 - b3 - b + b2
- 366. Resolución de problemas 33 8 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales En los ejercicios 59 a 62, A representa una expresión para el áreade lafigura. Determine una expresión, en formafactorizada, para calcular la diferencia entre las áreas de lasfiguras geomé tricas. Vea el ejemplo 10 . 59. A = 6x(2x + 1) 60. A = 5 ( 2 t + 1) 66. 71ro en movimiento Cuando un basquetbolista lanza un tiro mientras salta, la altura, h, en pies, del balón por encima del piso en cualquier instante t, bajo ciertas circunstancias, puede determinarse mediante la función h(t) = -16t2 + 2 0 t + 8 . a) Determine la altura del balón en el segundo 1. b) Exprese la función con el lado derecho en forma fac torizada. En los ejercicios 63 y 64, V representa una expresión para el volumen de la figura. Determine una expresión, en forma facto rizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de los sólidos geométricos. 63. % 64. V = 9x(3x + 2) V = 5(3x + 2) Q 65. V = í8 x2+ 24x V = 3x + 4 Bengala Qiando se dispara hacia arriba una bengala con nía velocidad de 128pies porsegundo,su altura,/!,en pies, respecto del piso a lost segundos, puede determinarse me diante la función h(t) = -16t2 + 1281. a) Determine la altura de la bengala tres segundos des pués de ser disparada. b) Exprese la función con el lado derecho en forma fac torizada. c) Evalúe h(3) mediante la forma factorizadade la parte b). 67. a) Determine A cuando r = 20 pies y / = 40 pies. b) Escriba el área, A, en forma factorizada. c) Determine A cuando r = 20 pies y l = 40 pies; utilice la forma factorizada que indicó en la parte b). 68. Área La fórmula para determinar el área de un trapecio puede escribirse como A = h b x + h b 2. Exprese esta fórmula en forma factorizada. 69. Precio deautomóviles Qiando salieron a la venta los auto móviles modelo 2003,su precio de lista era superioren 6% respecto del de los modelos 2002. Más tarde, el precio de todos los automóviles 2003 se redujo en 6%. El precio de venta puede representarse mediante (x + 0.06x) - 0.06(x + 0.06x),en donde x es el precio de listadel modelo 2002. a) Factorice (x + 0.06x) de cada término. b) ¿El precio es mayor o menor que el precio del mode lo 2002? c) Evalúe 6(1) utilizando la forma factorizada en la parte b). Pista de patinaje
- 367. Sección 5 .4• Factorización del fa ctor c o m ú n d e los té rm inos d e un polinom io... • 3 3 9 Lea el ejercicio 69 antes de resolver los ejercicios 70 a 72. 70. Precio de un vestido El precio de un vestido se reduce en 10%, y luego se le aplica un nuevo descuento de 10%. a) Escriba una expresión para calcular el precio final del vestido. b ) Cbmpare el precio final con el precio normal del ves tido; ¿cómo son? Utilice factorización para obtener su respuesta. 7L Precio de una segadora El precio de una segadora au mentó 15%. Más tarde, en una venta especial, su precio se redujo en 20%. Rtctorice. 73. 5fl(3* - 2)5 + 4(3* - 2)4 75. 4*2(* - 3)3 - 6*(* - 3)2 + 4(* - 3) 77. ax2 + 2ax - 3 a + bx2+ 2bx - 3b a) Escriba una expresión para calcular el precio final de la segadora. b) Compare el precio final con el precio normal; ¿cómo s>n? Utilice factorización para obtener su respuesta. 72. Determinación deprecio ¿En cuál de las siguientes par tes, a) o b),el precio final será menor y por cuanto? a) Disminuya el precio de un artículo en 6% y luego au méntelo en 8%. b) Aumente el precio de un artículo en 6% y luego dis minuyalo en 8%. 74 4p(2r - 3)7 - 3(2r - 3)6 76. 12(p + 2q)A - 40(p + 2q f + 12(p + 2q)2 78. 6a2 - a2c + 18a - 3ac + 6ab - abe 80. x2mn + *‘ 82. r>'+4 + r y * 3 + r>+2 84. 6akbk - 2akck - 9bk + 3c* .4mu Rtclorice. Suponga que todas las variables de los exponentes representan números naturales. 79. **" - 2x4m 8L 3x4m - 2x3m + **" 83. arbr + ¿ V - ardr - <?dr 8 5 . a) ¿ó*3 —3x2 +9x = 3*(2*2 —* + 3)? b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser el valor de 6*3 - 3*2 + 9* - f3*(2*2 - * + 3)] para cualquier valor de *? Explique. c) Seleccione un valor para * y evalúe la expresión de la parte b). ¿Obtuvo loque esperaba? Si no,explique por qué. 86. a) Determine si la siguiente factorización es correcta. 3(* - 2)2 - 6(x - 2) = 3(* - 2 ) [ ( x - 2) - 2] = 3(x - 2 ) ( x - 4) b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser el valor de 3(* - 2)2 - 6(* - 2) - [3(* - 2)(* - 4)J para cualquier valor de*? Explique. c) Seleccione un valor para * y evalúe la expresión de la parte b). ¿Obtuvo loque esperaba? Si no,explique por qué. 8 7 . Considere la factorización 8X3 - 16*2- 4* = 4*(2*2 - 4* - i ) . a) Sideterminamos y , = 8*3 - 16*2 - 4* = 4*(2*2 - 4* - 1) y graficamos cada función, ¿qué debería suceder? Ex plique. b) En su calculadora graficadora, grafique y1y y2como se dieron en la parte a). c) ¿Obtuvo los resultados que esperaba? d) Al verificar un procedimiento de factorización me diante esta técnica, ¿qué significa si las gráficas no se intersecan? Explique. Considere la factorización 2*4 - ó*3 - 8*2 = 2*2(*2 - 3* - 4). a) Introduzca y! = 2*4 - 6*3 - 8*2 * = 2*2(*2 - 3* - 4) en su calculadora. b) Si utiliza la característicaTABLE de su calculadora, al comparar la tabla de valores para y, con la tabla de va lores para y2,¿qué esperaría? Explique. c) Utilice la característicaTABLE para mostrar los valo res de y, y y2 para valores de * de 0 a 6. d) ¿Obtuvo los resultados que esperaba? e) Cuando comprueba un proceso de factorización me diante la característica TABLE, ¿qué significa que los valores deyi y y2sean diferentes? Ejercicios de repaso acumulativo 1 12 [1.4] [2.1] [3.1] 89. Evalúe . 2. ■ “ m *I si 90. Resuelva 3(2* - 4) + 3(* + 1) = 9. 91. Grafique y = ** —1. [4.3] 92. Ejercicio Javier Bernal hace ejercicio todos los días: camina a 3 mph y luego trota a 5 mph. Si tar da 0.9 horas en recorrer un total de 3.5 millas, ¿cuánto tiempo trota? [5.2] 93. Multiplique (7a - 3 ) (-2 a 2- 4a + 1).
- 368. 3 4 0• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales 1 5 . 5 F A C T O R IZ A C IÓ N D E T R IN O M IO S z* 1 F a c t o r i z a r t r in o m io s c o n la f o r m a x 2 + b x + c. 2 F a c t o r i z a r u n f a c t o r c o m ú n . 3 F a c t o r i z a r t r in o m io s c o n la f o r m a a x 2 + bx + c, a # 1, m e d ia n t e p r u e b a y e r r o r . m 4 F a c t o r i z a r t r in o m io s c o n la f o r m a a x 2 + bx + c, a * 1 m e d ia n t e a g r u p a c ió n . 5 F a c t o r i z a r t r in o m io s m e d ia n t e s u s t it u c ió n . 1 F a c to riz a r trin o m io s c o n la f o rm a x 2 + b x + c E n esta sección aprenderem os a facto rizar trinom ios con la form a ax2+ b x + c,a 0. Trinomios Coeficientes 3x2+ 2x - 5 a = 3 , b = 2, c = - 5 - 4 x + 3 a = b = - 4 . c = 3 z z P ara factorizar trinom ios con la fo rm a x 2 + b x + c (nota: a = 1) 1. Determine dos números (o factores) cuyo producto sea c y cuya suma sea b. 2. Los factores del trinomio tendrán la forma ( x + ■ ) ( * + ■ ) T T Unfactor Otrofactor determinado determinado enelpaeo 1 enelpaeo 1 Si los núm eros determ inados en el paso 1 son, p o r ejem plo, 3 y - 5 , los factores se es cribirían (x + 3)(x - 5). E ste procedim iento se ilustra en los siguientes ejemplos. E J E M P L O 1 Factorice x2 - x - 12 . S o l u c i ó n a = 1 ,b = - 1 , c = -1 2 . D ebem os determ inar dos núm eros cuyo producto sea c, que es -12,y cuya sum a es b , q u e es - 1 . Iniciamos listando los factores d e - 1 2 p ara encon trar un p ar cuya sum a sea -1 . F a c t o r e s d e - 1 2 S u m a d e f a c t o r e s (1 ) ( 12) 1 + ( - 1 2 ) = -1 1 ( 2 ) ( - 6 ) 2 + ( - 6 ) = - 4 ( 3 ) ( - 4 ) 3 + ( - 4 ) = - 1 (4 )(—3 ) 4 + ( - 3 ) = 1 (6 )(— 2 ) 6 + ( - 2 ) = 4 (1 2 )(—1) 12 + ( - 1 ) = 11 Los núm eros q u e estam os buscando son 3 y -4 , ya q u e su producto es - 1 2 y su sum a es - 1 . A hora factorizam os el trinom io utilizando estos números.
- 369. Sección 5.5 •Factorizacíón d e trinom ios • 3 4 1 S U G E R E N C IA E J E M P L O 2 Solución AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 23 S U G E R E N C IA Unfactor Otro factor d e-12 de —12 # Observeque,enelejemplo1,listam ostodoslosfactoresde-12.Sinembargo,des puésde quesehanencontradodosfactorescuyoproductoesc y cuyasumaesb, no hay necesidadde listar losdemás factores. Los factoresselistaronpara mostrar,por ejemplo,que (2)(-6) esunconjuntodefactoresdiferenteque(-2)(6). Observeque conformeel factorpositivo aumenta,tambiénlohacelasumade losfactores. Considere los factores (2 )(-6 ) y (-2 )(6 ) ysus sumas. Factores Su m a de factores 2 (-6 ) 2 + ( - 6 ) = - 4 -2 (6 ) - 2 + 6 = 4 Observe que si se cambia el signo de cada número del producto, el signo de la suma de los factores se modifica. Podemos utilizar este hecho para determinar con más rapidez los fac tores que estamos buscando. Si al buscar una suma específica obtiene el opuesto de esa su ma, cambie el signo de cada factor para obtener la suma que está buscando. Factoricep 2 - Ip + 6. Debemosdeterminardosnúmeroscuyoproductosea6ycuyasumasea-7. Puestoque lasumadedosnúmerosnegativosesun número negativo,y elproductodedosnúme ros negativosesun númeropositivo, ambosnúmerosdebenser negativos. Los facto res negativosde 6 son (—1)(—6) y (—2)( —3). Como semuestra acontinuación, los númerosqueestamosbuscandoson -1 y -6. Factores d e 6 S u m a de factores ( - l ) ( - 6 ) - 1 + ( - 6 ) = -7 Por lo tanto, ( 2)( 3) -2 + (-3) = -5 p2 - 7p + 6 = (p - l)(p - 6) Como losfactorespuedencolocarseencualquierorden, {p - 6){p - 1) tambiénesuna respuestaaceptable. # C o m p r o b a c ió n d e la fa c to riz a c íó n Las respuestas a problemas de factorizacíón pueden verificarse multiplicando los facto res que se obtuvieron. Si la factorizacíón es correcta, usted obtendrá el polinomio con el que inició. Para comprobar el ejemplo 2, multiplicaremos los factores utilizando el mé todo PIES. ( p - 1) ( p — 6 ) = p 2 - 6 p — p + 6 = p 2 - 7 p + 6 Como el producto de los factores es el trinomio con el que empezamos, nuestra factoriza- ción es correcta. No olvide verificar siempre su factorizacíón. El procedimiento utilizado parafactorizar trinomioscon laformax2 + bx + c puedeutilizarseconotrostrinomios,comoenelsiguienteejemplo.
- 370. 3 4 2• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 3 Solución Factoricex2+ 2xy - 15/. Debemosdeterminardosnúmeroscuyoproductosea-15 y cuyasumasea2.Losdos númerosson5y -3. Factores d e -1 5 S u m a de los factores 5(—3) 5 + (-3) = 2 Como el último términodel trinomiocontieneay2 ,elsegundo términodecadafactor debecontener ay. Comprobación x 2 + 2x y - 15/ = (x + 5y ) ( x - 3y) (x + 5y ) ( x - 3y ) = x 2 - 3x y + S x y - 15y 2 = x 2 + 2 x y - 15y 2 2 Factorizar un factor común E lprimerpaso para factorizar cualquier trinomio consiste en determinar si los tres tér minos tienen un factor común. Sies así, factoriceesefactorcomúny luegoel polino mio restante. E J E M P L O 4 Solución AHORA RESUEU/A EL EJER CIC IO 33 Factorice 3x4 - óx3 - 12¿. E l factor 3X2es com ún a los tres térm inos del trinomio. Prim ero factorícelo. 3x4 ~ 6 x3 ~ 1 2 xi = 3x2(x2 ~ 2 x ~ 24) Factorizar 3x2. E l térm ino 3c¿ que se factorizó es p arte d e la respuesta,pero ya no desem peña papel al guno en el procedim iento d e factorización. A hora continúe factorizando x2 - 2x - 24. D eterm ine dos núm eros cuyo producto sea - 2 4 y cuya sum a sea - 2 . Los núm eros son - 6 y 4. 3 x 2(x2 - 2 x - 24) = 3x2(x - 6 )(x + 4) Por lo tanto, 3x4 - 6 x> -7 2 a 2 = 3x2(x - 6 )(x + 4). # 3 F a c to riz a r trin o m io s c o n la f o rm a a x2 + b x + c , a i = 1, m e d ia n te p ru e b a y e rro r A continuación analizarem os algunos ejem plos d e factorización d e trinom ios con la form a a x 2 + b x + c y a * 1 Se ilustrarán dos m étodos p ara factorizar este tipo d e trinomios. E l prim er m é todo, llam ado d e prueba y error, implica ensayar diferentes com binaciones hasta en contrar la correcta. El segundo m étodo hace uso d e la factorización p o r agrupación, un procedim iento q u e se presentó en la sección 5.4. Analicemos prim ero el m étodo de prueba y error p ara factorizar trinomios. En ocasiones, a este procedim iento se le denom ina el m étodo PIES (o PIES inverso). Para facilitar nuestra explicación, multiplicaremos (2x + 3 )(x + 1) mediante el m étodo PIES. Producto de primeros términos (2* + 3 )(x + 1) = Productodesegundos I E S í + 3(x) + 2x(l) +3(1) = 2 i2 + 5x +3 Sumade losproductosde lostérminosexternoseinternos
- 371. Sección 5.5 •Factorización d e trinom ios • 3 4 -3 E J E M P L O 5 Solución Por lo tanto, si usted factoriza el trinom io l x 2 + 5* + 3, se d ará cuenta d e q u e el producto d e los prim eros térm inos d e los factores deb e ser 2a^, el producto d e los segundos térm inos debe ser 3, y la sum a d e los productos d e los térm inos externos e internos deb e ser 5*. Para factorizar l x 2 + 5x + 3, em pezam os com o se m uestra aquí. 2a:2 + 5a: + 3 = (2a: )(a: )EIproducto de loe primeros términos ee 2x?. A hora com pletam os los segundos térm inos utilizando enteros positivos cuyo produc to sea 3. Sólo tom arem os en cuenta enteros positivos, ya q u e el producto d e los últi mos térm inos es positivo y la sum a d e los productos d e los térm inos externos e internos tam bién lo es. Las dos posibilidades son (2a: + 1)(a: + 3)1El producto del (2 x + 3 ) (a: + 1) j último término ee 3. Para determ inar cuál factorización es correcta,determ inam os la sum a d e los p ro ductos d e los térm inos externos e internos. Si alguna d e las sum as d a p o r resultado 5a:, el térm ino central del trinomio, la factorización es correcta. (2a: + 1)(a:+ 3) = 2a:2+ 6 x + x + 3 = 2 x 2 + l x + 3 Términocentral incorrecto. (2x + 3 )( a:+ 1) = 2a^ + 2a: + 3a: + 3 = 2a^ + 5a: + 3 Términocentral correcto. Por consiguiente, los factores d e 2a2 + 5a: + 3 son 2a: + 3 y x + 1. Así, 2a:2 + 5a: + 3 = (2a: + 3 ) ( a: + 1) O bserve q u e si hubiésem os em pezado la factorización escribiendo 2 * 2 + 5a: + 3 = (a: )(2a: ) tam bién habríam os obtenido los factores correctos. A continuación se indican algunas directrices p ara utilizar el m étodo de prueba y e rro r de factorización d e un trinomio, en donde a ± 1 y los tres térm inos carecen de factores comunes. P a ra fa cto riza r trinom ios c o n la fo rm a ax2 + b x + c, a ^ 1, m ediante p ru e b a y e rro r L Escriba todos los pares de factores del coeficiente del término cuadrático, a. 2. Escriba todos los pares de factores de la constante, c. 3. Intente diferentes combinaciones con estos factores hasta encontrar el término central correcto, bx. Factorice 3f2 - 13f + 10. Prim ero com probam os si los tres térm inos carecen d e factor com ún. Luego, determ i nam os q u e a es 3 y q u e los únicos factores de 3 son 1 y 3. Por consiguiente, escribimos 312 - 131 + 10 = (31 ){ t ) El núm ero 10 tiene factores positivos y negativos. Sin em bargo, ya q u e el producto de los segundos térm inos deb e ser positivo (+ 1 0 ) y la sum a d e los productos d e los tér m inos exterior e interior deb e ser negativa (-1 3 ), los dos factores del 10 deben ser negativos. (¿Por qué?) Los factores negativos d e 10 son ( —1 )(—10) y ( - 2 ) ( - 5 ) . A continuación se ofrece una lista d e los factores posibles. Buscam os los factores que nos proporcionen el térm ino central correcto, - 13í.
- 372. 3 4 4• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales S u m a d e p r o d u c t o s d e t é r m i n o s F a c t o r e s p o s i b l e s e x t e r n o s e i n t e r n o s (31 - 1)(* - 10) - 3 1 í (31 — 10) ( t ~ 1) —131 *------ Términocentral (31 - 2 ) { t - 5 ) - 1 7 1 ( 3 1 - 5 ) { t - 2 ) - l l í Por lo tanto, 3r2 - 13t + 10 = (3í - 10)(í - 1). # La siguiente sugerencia es muy im portante. E stúdiela cuidadosam ente. SUGERENCIA Factorización por prueba y error Al factorizar un trinomio con la forma ax2+ bx + c,el signo del término constante,c,es muy útil para determinar la solución. Si a > 0,entonces: L Cuando el término constante, c,es positivo y el coeficiente numérico del término x,b, es positivo, ambos factores numéricos serán positivos. E j e m p l o ¿ W * + 1 2= ( * 1 ¡3 ) (* Ü 4 ) T T T T Positivo Positivo Positivo Positivo 2. Giando c es positivo y bes negativo, ambos factores numéricos serán negativos. E je m p lo a 2 - 5a + 6 = ( a - 2)(a - 3) T T T T Negativo Positivo Negativo Negativo Siempre que la constante c sea positiva (como en los dos ejemplos anteriores) el signo en ambos factores será igual que el signo del término a del trinomio. 3. Cuando c es negativo, uno de los factores numéricos será positivo y el otro será ne gativo. E j e m p l o a 2 + a - 6 = ( a +!3)(a - 2) T T T Negativo Positivo Negativo EJ E M P LO 6 Factorice 8 a 2 + 8 a - 30. Solución Prim ero verificamos si los tres térm inos tienen un factor com ún. O bserve q u e 2 p u e d e factorizarse com o tal. 8 a 2 + 8 a - 30 = 2 (4a2 + 4 x - 15) Los factores d e 4, el coeficiente principal, son 4 • 1 y 2 • 2. Por lo tanto, la factoriza- ción será d e la form a (4a ) ( a ) o (2a )(2a ). No im porta si inicia con el prim er conjunto de factores o co n el segundo. Por lo general, iniciam os prim ero co n facto res d e tam año medio, p o r lo q u e com enzarem os con (2a )(2a ). Si al em plear estos factores no se obtiene la respuesta, trabajarem os co n el o tro conjunto. Los factores d e -1 5 son ( 1)( —15), ( 3 )(—5), ( 5 ) ( - 3 ) y (1 5 )(—1). N ecesitam os q u e el térm ino central sea 4a.
- 373. Sección 5.5 •Factorización d e trinom ios • 3 4 5 F a c to re s p o s ib le s S u m a d e p r o d u c t o s d e lo s t é r m i n o s e x t e r n o s e i n t e r n o s (2* + 1 )(2 * - 15) -2 8 * (2 * + 3 )(2 * - 5) - 4 x (2 x + 5 )(2 * - 3) 4x Como encontram os el conjunto d e factores q u e proporcionan el término correcto para *, podem os detenernos. Así, 8 * 2 + 8* - 30 = 2 (2* + 5)(2* - 3) # E n el ejem plo 6,si com param os el segundo y tercer conjuntos d e factores, vemos que están constituidos p o r los mismos núm eros, excepto p o r los signos d e los segun dos términos. O bserve q u e cuando los signos del segundo térm ino d e cada factor se in tercam bian, la sum a d e los productos d e los térm inos externos e internos tam bién cam bia d e signo. Cómo utilizar su calculadora graficadora L a calculadora graficadora puede utilizarse para com probar problem as d e factorización. Para verificar la factorización del ejem plo 6, 8*2 + 8 * - 30 = 2 (2* + 5) (2* - 3) determ inam os y 1 = Sx2+ 8* - 30 y y2 = 2(2* + 5)(2* - 3). Luego utilizam os la característica TA BLE p ara com parar resultados, com o se m uestra en la figura 5.14. FIGURA 5.14 X V i Y 2 *3 -2 1 2 3 IB -1 1 -30 -30 -1 1 IB 66 IB -1 1 -30 -30 -1 1 IB bb X= 0 Como y 1y y2 tienen los mismos valores p ara cada valor d e *,no se han com etido errores. E ste procedim ien to sólo puede indicarle si se han com etido equivocaciones, pero no si ha factorizado p o r com pleto. Por ejem plo, Sx2 + 8* - 30 y (4* + 10)(2* - 3) darán el mismo conjunto d e valores. E je rc ic io s Utilice su graficadorapara determinar si cada trinomio se ha factorizado correctamente. 1. 30*2 + 37* - 84 = (6* - 7)(5* + 12) Factorice ó*2 - 11xy - 10y2. 2. 72*2 + 20* - 35 = (9* - 5)(8x + 7) E J E M P L O 7 Solución Los factores d e 6 son 6 • 1 o 2 • 3. Por lo tanto, los factores del trinom io pueden ser de la form a (6* ) (* ) o (2* ) (3* ). Com enzarem os con los factores de tam año m edio; escribimos ó*2 - 11x y - 10y 2 = (2* )(3 * ) Los factores d e - 1 0 son ( —1)(10), (1 )( —10), ( — 2)(5) y (2 )(-5 ).C o m o hay ocho fac tores d e - 1 0 , habrá ocho parejas d e posibles factores p o r probar. ¿Puede enum erar los? L a factorización correcta es ó*2 - 11xy - 10y 2 = (2* - 5y)(3* + 2y)
- 374. 3 4 6• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E n el ejem plo 7 fuimos afortunados d e encontrar los factores correctos usando la form a (2x )(3x ). Si no hubiésem os encontrado los factores correctos em plean do esa form a, tendríam os q u e haber probado (6x )(* ). Al factorizar un trinom io cuyo coeficiente principal es negativo,em pezam os fac- torizando un núm ero negativo. Por ejem plo, -24JC3 - 60a:2 + 36a: = -1 2 a : (2a2 + 5a: - 3 ) Factorizar -12x. = —12a:(2 a: - 1 )(a: + 3) AHORA RESUELVA ELEJERCICIO 49 -3 a :2 + 8a: + 16 = -1 (3 a :2 - 8a: - 16) = -( 3 a : + 4 ) { x - 4) Factorizar —1. Solución x + 3 FIGURA 5.15 E J E M P L O 8 Área de una región sombreada D eterm ine una expresión, en form a factorizada, para calcular el área d e la región som breada en la figura 5.15. P ara calcular el área d e la región som breada, necesitam os restar el área del rectán gulo pequeño del área del rectángulo grande. R ecuerde q u e el área del rectángulo es largo • ancho. Á rea del rectángulo grande = (x + 3) (x + 2) = x 2 + 2 x + 3 x +6 = x 2 + 5x + 6 Á rea del rectángulo pequeño = (2)( 1) = 2 Á rea d e la región som breada = área grande - área pequeña = a:2 + 5a: + 6 - 2 = X2 + 5 x + 4 Simplificar. = (x + 4)(a: + 1) Factorizar. AHORARESUELVAELEJERCICIO89 E l área d e la región som breada es (x + 4)(a: + 1). # 4 F a c to riz a r trin o m io s c o n la f o rm a a x2 + b x + c , a i = 1 m e d ia n te a g ru p a c ió n A hora estudiarem os el m étodo p o r agrupación p ara factorizar trinom ios con la form a ax2 + b x + c, a # 1. P a ra fa cto riza r trinom ios co n la fo rm a ax2 + b x + c a ¿ 1 m edíante a grupación L Determine dos números cuyo producto sea a • c,y cuya suma sea b. 2. Rescriba el término central, bx, mediante los números determinados en el paso 1. 3. Factorice por agrupación. E J E M P L O 9 FactoriceI x 1 - 5x - 12 . Solución Vemos q u e a = 2, b = - 5 y c = -1 2 . D ebem os encontrar dos núm eros cuyo produc to sea a • c o 2( - 1 2 ) = -2 4 , y cuya sum a sea b, -5 . Los dos núm eros son - 8 y 3, ya qu e ( —8)(3) = - 2 4 ,y - 8 + 3 = - 5 . A hora reescriba el térm ino cen tral,-5 a:, utilizan do - 8 x y 3a:. - 5 x I x 2 - 5 x - 12 = I x 2 - S x + 3 x - 12
- 375. Sección 5.5 •Factorización de trinom ios • 3 4 7 E JE M P L O 10 Solución Factorice p o r agrupación com o se explicó en la sección 5.4; factorice 2x d e los prim e ros dos térm inos, y 3 d e los últimos dos. l x 2 - 5 x - 12 = 2 x ( x - 4 ) + 3 (* - 4) = ( x - 4 )(2 x + 3) Factorizar (x - 4). # Observe q u e en el ejem plo 9 escribimos - 5 x como - S x + 3x.Com o se dem uestra en seguida, se tendrían los mismos factores si escribiéram os - S x com o 3x - Sx. Por lo tanto,cuando se factoriza por agrupación no im porta cuál factor se liste primero. A con tinuación factorizamos x d e los prim eros dos térm inos y - 4 d e los últim os dos. - 5 x 2 x2 - 5 x - 12 = 2 x2 + 3 x — S x - 12 = x (2 x + 3) - 4(2* + 3) = (2* + 3 ) ( x - 4) Factorizar (2x + 3). Factorice 12a2 - 19ab + 5b2. D ebem os encontrar dos núm eros cuyo producto sea (12) (5) = 60, y cuya sum a sea -1 9 . Com o el producto d e los núm eros es positivo y su sum a es negativa, los dos nú m eros deben ser negativos. (¿Por qué?) Los dos núm eros son -1 5 y - 4 ya q u e ( —15)( — 4) = 60 y -1 5 + ( - 4 ) = -1 9 . A hora reescribim os el térm ino central, -1 9 ab, utilizando - 1 5 ab y -4 a b . Luego fac torizam os p o r agrupación. - 1 9 ab AHORA RESUEU/A EL EJER CIC IO 37 2 ¿ - 19ab + 5b2 = 12a2 - 15a b - 4 ab + 5b2 = 3a{4a - 5b) - b{4a - 5b) = { 4 a - 5b)(3a - b) E J E M P L O 11 Solución R esuelva nuevam ente el ejem plo 10, pero esta vez escribiendo -1 9 a b com o - 4 ab - 15ab. Si lo hace d e m anera correcta, obtendrá los mismos factores. Es im portante q u e sepa q u e no todos los trinom ios pueden factorizarse p o r los m étodos q u e se presentaron e n esta sección. E n las secciones 8.1 y 8.2 se explicarán al gunos procedim ientos p ara factorizar polinom ios q u e no pueden factorizarse usando sólo enteros (o sobre el conjunto d e enteros). U n polinom io q u e no puede factorizar se (sobre un conjunto específico d e núm eros) se denom ina polinomio primo. Factorice 2X2 + 6x + 5. Cuando intente factorizar este polinom io, verá q u e no es posible hacerlo p o r los m é todos d e prueba y erro r o agrupación. É ste es un polinom io prim o sobre el conjunto d e enteros. # 5 Factorizar trinomios mediante sustitución E n ocasiones un trinom io m ás com plicado p u ed e factorizarse sustituyendo una va riable p o r o tra. Los siguientes tres ejem plos ilustran la factorización mediante sus titución. E JE M P L O 12 Factorice y4 - y2 - 6. Solución Si podem os reescribir esta expresión en la form a ax2 + b x + c, será más fácil factori- zarla. C om o (y2)2 = y4, si sustituim os y2p o r x, el trinom io se convierte en y* - / - 6 = ( / ) 2 - 6 = x2 - x - 6 Sustituirx pory2.
- 376. A hora factoricex2 - x - 6. = (x + 2 ){ x - 3) Finalm ente, sustituya x con y2p ara obtener = (y2 + 2 ) ( / - 3) Sustituir y2porx. Así, y4 - y2 - 6 = (y2 + 2 ) ( / - 3). O bserve q u e y2se sustituyó p o r x, y después * se sustituyó nuevam ente p o r y2. # E J E M P L O 1 3 Factorice 3z4 - 17z 2 - 28. Solución Sea * = z 2. Entonces el trinomio puede escribirse 3z4 - 17z2 - 28 = 3 (z2)2 - 17z2 - 28 = 3 / - 17x - 28 Sustituir z2porx. = (3a: + 4 )(x — 7) Factorizar. A hora sustituya x por z2. - (3Z2 + 4JÍZ2 “ 7) S uet/tu/rjporz2. AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 69 Así, 3z4 - 17z2 - 28 = (3z2 + 4 )(z2 - 7). # E J E M P L O 1 4 Factorice 2 (a: + 5)2 - 5 (x + 5) - 12 . Solución N uevam ente usarem os una sustitución, com o en los ejem plos 12 y 13. A l sustituir a = x + 5 en la ecuación, obtenem os 2 (a: + 5 )2 - 5 (a: + 5) - 12 = 2a2 — 5a — 12 Sustituir(x + 5) pora. A hora factorice 2a1 - 5a - 12. = (2a + 3 ){a - 4) Por últim o, reem place a con x + 5 p ara obtener = [2(a: + 5) + 3][(a: + 5) — 4] Sustituirá por(x + 5). = [2x + 10 + 3] [a: + 1] = (2a: + 13) (a : + 1) Así, 2(a: + 5)2 - 5(a: + 5) - 12 = (2 a: + 13)(a: + 1). O bserve q u e a: + 5 se sustituyó AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 7 3 po r a, y luego a p o r a: + 5 . # E n los ejem plos 12 y 13 usamos x en nuestra sustitución, m ientras q u e en el ejem plo 14 utilizam os a. L a letra seleccionada no afecta la respuesta final. 3 4 8 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5 . 5 Ejercicios conceptuales L ¿Cuál debe ser siempre el primer paso para factorizar un trinomio? 2. En un examen, Luis González escribió la siguiente facto rización,pero el profesor la consideró incompleta. Expli que por qué. 15*2 - 21* - 18 = (5* + 3)(3* - 6). 3. a) Explique paso a paso el procedimiento para factorizar ó * 2 - * - 12. b ) Factorice ó*2 - * - 12 mediante el procedimiento que explicó en la parte a). 4. a) Explique paso a paso el procedimiento para factorizar Sx2- 26* + 6.
- 377. Sección 5.5 •Factorización d e trinom ios • 3 4 9 b) Factorice Sx2 - 26x + 6 mediante el procedimiento que explicó en la parte a). El polinomio Ix2 + Sx + 6 = (* + 3) (2* + 2), ¿se ha fac- torizado completamente? Si no es así, proporcione la factorización completa. Explique. El polinomio x3 - 3x* - 10* = (x2 + 2*)(* - 5), ¿se ha factorizado completamente? Si no es así, proporcione la factorización completa. Explique. 7. El polinomio 3*3 + ó*2 - 24* = *(* + 4)(3* - 6), ¿se ha factorizado completamente? Si no es así, proporcione la factorización completa. Explique. 8. El polinomio *4 + 11*3 + 30*2 = x*(x + 5)(* + 6), ¿se ha factorizado completamente? Si no es así, proporcione la factorización completa. Explique. Alfactorizar un trinomio con la forma ax2 + bx + c, ¿cuál será el signo entre los términos de los factores binomiales, si: 9. a > 0,b > 0 ,y c > 0 1L a > 0 ,b < 0, ye < 0 10. a > 0,6 > 0 ,y c < 0 12. a > 0 ,6 < 0, y c > 0 Problemas de aplicación Rtctorice deforma completa cada trinomio. Si el polinomio esprimo, indíquelo. 13. *2 + 7* + 12 14 a 2 - 2a - 15 15. b2 - 10b + 9 16. y 2 - 9y + 20 17. c2 - 12c + 36 18. z2 + 4z + 4 19. y 2 - 18y + 81 20. r 2 + 22r + 121 2 t *2 - 34* + 64 22. *2 + 11* - 210 £ 2 3 . *2 - 13* - 30 24 p2 - 6p - 19 25. - a 2 + 18a - 45 26. - * 2 - 15* - 56 27. *2 + *y + 6 / 28. a2 + 6ab + 8b2 29. m 2 - Im n + 10a2 30. -3 * 2 - 12* - 9 3L 4r2 + 12r - 16 3Z b2 - 12be - 45c2 33. *3 - 3*2 - 18* 34 *3 + 14*2 + 33* 35. 5a2 - 8a + 3 36. 4to2 + 13w + 3 37. 3*2 - 3* - 6 38. -3¿>2 - 1 4 6 + 5 39. 6c2 - 13c - 63 40. 30Z2 - 71z + 35 4L 8b2 - 2 b - 3 4Z 4a2 + 43a + 30 43. 6c2 + 11c - 10 44. 5Z2 - ll z + 6 45. 16p 2- 16pq - 12q2 46. 6r4 + 5r3 - 4r2 47. 4*2 + 4x y + 9 / 48. 32x2- 2 2 x y + 3 / 49. 18a2+ 18 a b - 8 b 2 50. 6r2 + Irs + 8s2 5L 9y 2 - 104y - 48 SZ 8*2+ 3 0 * y - 2 7 / £ 5 3 . 100b2 - 9 0 b + 20 54 x 5y - 3x4y - 18x3y 55. a'b5 - a2b5 - 12ab5 56. a3b + 2a2b - 35ab 57. 3b4c - 18b3c2 + 21b2c3 58. 6 p 'q 2 - 2Ap2q ' - 30pq4 59. 8m8n3 + 4m7n4 - 24m 6n5 60. 18*2 + 9* - 20 6L 30*2 - * - 20 62. 3Ó*2 - 23* - 8 63. 8*4y4 + 24*3/ - 32*2y' 64 8b3c2 + 28b2c3 + 12bc4 Factorice deforma completa cada trinomio. 65. *4 + *2 - 6 67. 64 + 9b2 + 20 69. 6a4 + 5a2 - 25 ¡ 7L 4(* + l) 2 + 8(* + 1) + 3 73. 6(a + 2)2 - 7(a + 2) - 5 75. *Y + 9x y + 14 TI.2*2y2 - 9xy - 11 79.2y2(5 - y ) - 7y(5 - y ) + 5(5- y ) 8L 2p p - 3) + lp (p - 3) +6(p- 3) 83. a 6 - la ' - 30 85. x?(x + 3) + 3*(* + 3) + 2(* + 3) ; 87. 5a5b2 - 8a4b3 + 3a'b4 66. 68. 70. 71 74 76. 78. 80. 82. 84. 86. / + ly 2 + 12 c4 - 8c2 + 12 (2* + l) 2 + 2(2* + 1) - 15 (2y + 3)2 - (2y + 3) - 6 6(p - 5)2 + 11( p - 5) + 3 a2b2 + 6ab - 27 3b2<? - b e - 2 2y 2(y + 2) + 13y (y + 2) + 15(y + 2) 3*2(* - 2) + 5*(* - 2) - 2(* - 2) 2y 6 - 9y3 - 5 *2(* + 6) - *(* + 6) - 30(* + 6) 2*2>-6 + 3 * / - 9y4
- 378. Resolución de problemas 35 0 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales En los ejercicios89 a 92, determine una expresión, en formafactorizada, para calcularel áreade cada región sombreada Veael ejemplo 8. x + 5 93. Si los factores de un polinomio son (2x + 3y) y ( a - 4y), ub encuentre el polinomio. Explique cómo determinó su res puesta. 94. Si los factores de un polinomio son 3, (4 a - 5 ) y ( 2 a -3 ), encuentre el polinomio. Explique cómo determinó su res puesta. 95. Sisabemos que un factor del polinomio a 2 + 3 a - 18es a - 3, ¿cómo podemos determinar el otro factor? Determi ne el otro factor. 96. Sisabemos que un factor del polinomio a 2 - xy - óy2es a - 3y,¿cómo podemos determinar el otro factor? Deter mine el otro factor. 97. a) De los siguientes trinomios, ¿cuál será más difícil de factorizar por el método de prueba y error? Explique su respuesta. 3 0 a 2 + 2 3 a - 40 o 4 9 a 2 - 9 8 a + 13 b) Factorice ambos trinomios. 98. a) De los siguientes trinomios, ¿cuál será más difícil de factorizar por el método de prueba y error? Explique su respuesta. 4 8 a 2 + 2 6 a - 35 o 3 5 a 2 - 8 0 8 a + 69 b) Factorice ambos trinomios. 99. Determine todos los valores enteros de b para los que 2 a 2 + bx - 5 es factorizable. 100. Determine todos los valores enteros de b para los que 3 a 2 + bx - les factorizable. 101. Si a 2 + bx + 5 es factorizable, ¿cuáles son los únicos dos valores posibles d e b í Explique. 102. Si a 2 + bx + c es factorizable y c es un número primo, ¿cuáles son los únicos dos factores posibles de b l Explique. Considere el trinomio ax2 + bx + c. Más adelante en el curso aprenderá que si la expresión b2 - 4ac, denominada el discriminante, no es un cuadrado perfecto, el trinomio no puede factorizarse en el conjunto de enteros. Cuadrados perfectos son 1,4,9,16,25,49, etcétera. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es un número entero no negativo. En ¡os ejercicios 103 a 106, a) determine el va lor de b2 - 4ac. b ) Si b2 - 4ac es un cuadrado perfecto,factorice el polinomio;si b2 - 4acno es un cuadrado perfecto, indique que el polinomio no puedefactorizarse. 103. a 2 - 8 a + 15 104. 6 y 2 - 5y - 6 105. a 2 - 4 a + 6 106. 3t2 - 6t + 2 107. Construya un trinomio factorizable con la forma a 2 + 108. Construya un trinomio factorizable con la forma a 2 - (c + 1)a + c,en donde c es un número real. (c + 1) a + c,en donde c es un número real. Factorice completamente. Suponga que las variables en los exponentes representan enteros positivos. 109. 4a2 *- 4a" - 15 110. a a + b) - 2ab(a + b) - 3b2(a + b) 111. a ^ a + y)2 - lx y (x + y)2 + 1 2 / ( a + y )2112. 3m2(m - 2n)- 4m n(m - 2n)- 4n2{m - 2n) 113. a 2" + 3 a " - 10 114. 9r4y + 3r*y - 2
- 379. Sección 5 .6• Fó rm u la s especiales de factorización • 3 5 1 115. Considerex2 + 2x - 8 = (x + 4 )(x - 2 ) . a) Explique cómo puede comprobar esta factorización mediante gráficas en su calculadora graficadora. b) Compruebe si la factorización es correcta siguiendo el procedimiento que explicó en la parte a). Ejercicios de repaso acumulativo a) Explique cómo puede comprobar esta factorización utilizando la característicaTABLE de una calculadora graficadora. b) Cbmpruebe si la factorización es correcta siguiendo el procedimiento que explicó en la parte a). 116. Cbnsidere dr’ - l l x 2 - 10* = x(2 x - 5)(3x + 2). [2.2] 117. Resuelva F = j C + 32 para C. [3.3] 118. Grafique y = -3 x + 4. [4.5] 119. Evalúe el determinante 3 - 2 -1 2 3 - 2 1 - 4 1 [5.2] 120. Multiplique [ (x + y) + 5]2. [5.3] 12L Factorice 2x3 + 4x2 - 5x - 10. 5 .6 F Ó R M U L A S E S P E C IA L E S D E F A C T O R IZ A C IÓ N Ü ÉÉ 1 Factorizar la diferencia d e dos cuadrados. 2 Factorizar trinomios cuadrados perfectos. 3 Factorizar la sum a y la diferencia de dos cubos. 1 Factorizar la diferencia de dos cuadrados E n esta sección se presentan algunas fórm ulas especiales para factorizar la diferencia de dos cuadrados, trinomios cuadrados perfectos, y la sum a y diferencia d e dos cubos. L e será d e utilidad m em o rizar estas fórmulas. La expresión jc 2 - 9 es un ejem plo d e la diferencia d e dos cuadrados. x 2 - 9 = (x ) 2 - (3 )2 Para factorizar la diferencia d e dos cuadrados,es conveniente usar la fórmula para la di ferencia de dos cuadrados, misma q u e se analizó en la sección 5.2 cuando hablamos del producto de la sum a y diferencia de los mismos dos térm inos (binomios conjugados). Diferencia de d o s cu a d ra d o s a2 - b2 = (a + b )(a - b) E J E M P L O 1 Solución E J E M P L O 2 Solución Factorice las siguientes expresiones m ediante la fórm ula d e la diferencia d e dos cua drados. a) r 2 - 16 b) 25a:2 - 9 / Reescriba cada expresión como una diferencia de dos cuadrados. Luego utilice la fórmula. a) ¿ — 16 = (.x )2 ~ (4)2 = (x + 4 )(x - 4) b) 25x2 - 9 y 2 = (5a:)2 - (3y )2 = (5x + 3 y ) ( 5 x - 3 y ) # Factorice las siguientes diferencias d e cuadrados, a) * 6 - y 4 b) 2 z4 ~ 162a:6 R eescriba cad a expresión com o una diferencia d e d o s cuadrados. Luego utilice la fórm ula. a) ¿ - / = (x3)2 - (y2)2 = ( x ¡ + ? ) { j ? - / )
- 380. 3 5 2• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales b) 2 z4 - 162x6 = 2 (z4 ~ 81a:6) = 2[(z2)2 - (9X3)2] = 2(z2 + ftO í* 2 - 9X3) # Factorice x4 - 16y4. x 4 - 16y 4 = í*2)2 - (4y*)2 = (x2 + 4y2)(* 2 - 4 / ) O bserve q u e (x2 - 4y2) tam bién es una diferencia d e dos cuadrados. Utilice la fórm u la d e la diferencia d e dos cuadrados una segunda vez p ara obtener = (a 2 + 4y2)[(x )2 - (2y )2] = ( x 2 + 4 / ) ( x + 2 y ) ( x - 2 y ) # Factorice (* - 5)2 - 49 m ediante la fórm ula p ara la diferencia d e dos cuadrados. Prim ero expresam os (* - 5)2 - 49 com o una diferencia d e dos cuadrados. (x - 5 )2 - 49 = (x - 5 )2 - l 2 = [ ( * - 5 ) + ? ] [ ( * - 5 ) - 7 ] = (x + 2 )(x - 12) # Observación: No es posible factorizar la suma de dos cuadrados con la forma a2 + b2 en el conjunto de los números reales. Por ejem plo, no es posible factorizar x2 + 4, ya q u e x2 + 4 = x2 + 22, es una su m a d e dos cuadrados (y no una diferencia d e cuadrados). 2 Factorizar trinomios cuadrados perfectos E n la sección 5.2, vimos que (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 (a ~ b )2 = a2 - 2ab + b2 Si invertim os los lados izquierdo y derecho d e estas dos fórm ulas, obtenem os dos fórmulas especiales de factorización. Trinom io s cu a d ra d o s p e rfe cto s a2 + lab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Estos dos trinom ios se denom inan trinomios cuadrados perfectos, ya q u e ca d a uno es el cuadrado d e un binom io. Para ser un trinom io cuadrado perfecto, el p ri m ero y el últim o térm inos debe ser el cuadrado de alguna expresión, y el térm ino central debe ser eldoble delproducto delprimero y último términos. Cuando se le pida factorizar un trinom io, determ ine si es un trinom io cuadrado perfecto antes d e inten tar factorizarlo m ediante los procedim ientos explicados en la sección 5.5. Si es un trinom io cuadrado perfecto, puede factorizarlo m ediante las fórm ulas indicadas con anterioridad. Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos y 1 + 6 y + 9 o y 2 + 2 (y )(3 ) + 32 9a2b2 - 24a b + 16 o (3ab)2 - 2(3aZ>)(4) + 42 (r + s ) 2 + 1 0(r + s) + 25 o {r + s)2 + 2(r + s)(5 ) + S2 A hora factoricem os algunos trinom ios cuadrados perfectos. AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 17 E J E M P L O 3 Solución E J E M P L O 4 Solución AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 25
- 381. Sección 5 .6• Fó rm u la s especiales d e factorización • 3 5 3 E J E M P L O 5 Solución AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 29 E J E M P L O 6 Solución E J E M P L O 7 Solución AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 39 E J E M P L O 8 Solución AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 45 E J E M P L O 9 Solución Factorice x 2 - Sx + 16. Com o el prim ero y último térm inos,*2y 42, son cuadrados, este trinom io podría ser un trinom io cuadrado perfecto. Para determ inar si lo es, tom e el doble del producto d e * y 4 para ver si obtiene 8*. 2 (* )(4 ) = 8* Com o Sx es el térm ino central, y com o su signo es negativo, factorice com o sigue: a2 - 8* + 16 = ( x ~ 4)2 # Factorice 9a :4 - 12*2 + 4. E l prim er térm ino es un cuadrado, (3a2 )2, lo mismo q u e el último térm ino, 22. Com o 2(3x¿)(2) = 12a2, factorizam os com o sigue: 9x* - 1 2 a 2 + 4 = (3 a 2 — l f # Factorice (a + b )2 + 6 (a + b) + 9. E l prim er térm ino, (a + b)2,es un cuadrado. E l último térm ino, 9 o 32, también. E l tér mino central es 2(a + b )(3 ) = 6(a + b). Por lo tanto,éste es un trinomio cuadrado p er fecto. Así, (a + b )2 + 6 (a + b ) + 9 = [(a + b) + 3]2 = (a + b + 3 )2 # Factorice a2 - 6 a : + 9 - y 2. Como a2 - 6a: + 9 es un trinomio cuadrado perfecto que puede expresarse com o (a: - 3)2, escribim os {x - 3)2 - / A hora (a: - 3 )2 - y2 es una diferencia d e cuadrados; p o r lo tanto ( * - 3 ) 2 - y2 = [ ( x - 3 ) + y] [ ( x - 3 ) - y] = ( x - 3 + y ) ( x - 3 - y ) Así, a2 - 6a: + 9 - y2 = {x - 3 + y )(x - 3 - y ) . # El polinom io del ejem plo 8 tiene cuatro términos. E n la sección 5.4 aprendim os a factorizar p o r agrupación los polinom ios con cuatro térm inos. Si analiza el ejem plo 8, verá q u e sin im portar cuánto se trate, los cuatro térm inos no pueden acom odarse de m odo q u e tanto los prim eros dos térm inos com o los últim os dos tengan un factor co mún. Siem pre q u e un polinom io con cuatro térm inos no pueda factorizarse p o r agru pación, intente reescribir tres d e los térm inos com o el cuadrado d e un binomio, y luego factorice m ediante la fórm ula d e la diferencia de dos cuadrados. Factorice 4a2 + 12ab + 9b2 - 25. Prim ero com probam os q u e este polinom io d e cuatro térm inos no puede factorizarse p o r agrupación. Después, lo analizamos p ara determ inar si tres d e los térm inos q u e lo conform an pueden expresarse com o el cuadrado d e un binomio. Ya q u e esto es posi ble, escribim os los tres térm inos com o el cuadrado d e un binomio. P ara com pletar la factorización, utilizam os la fórm ula d e la diferencia d e dos cuadrados. 4a2 + Ylab + 9b2 - 25 = (2a + 3b)2 - 52 = [(2a + 3b) + 5][(2a + 3b) - 5] = (2a + 3b + 5 )(2a + 3b - 5 ) #
- 382. 3 5 4• Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales 3 Factorizar la suma y la diferencia de dos cubos E JE M P L O 10 Solución E J E M P L O 11 Solución AHORA RESUELVA EL EJER CICIO 57 E JE M P L O 12 Solución Al principio d e esta sección factorizam os la diferencia d e dos cuadrados. A hora fac- torizarem os la sum a y la diferencia d e dos cubos. C onsidere el producto d e (a + b) (a2 - ab + b2). a2 - ab + b2 a + b a2b - ab2 + b3 a3 - a2b + ab2 a 3 + b 3 Así, a3 + b3 = (a + b )(a 2 - ab + b2).Tam bién m ediante la multiplicación podem os m ostrar q u e a3 - b3 = (a - b )(a 2 + ab + b2). Las fórm ulas p ara factorizar la sum a y la diferencia de dos cubos aparecen en los siguientes recuadros. S u m a d e d o s cu b o s a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Diferencia de d o s c u b o s a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Factorice x3 + 64. Reescriba x 3 + 64 com o una sum a d e dos cubos, x 3 + 43. D eterm ine q u e x correspon d a a a y 4 a b. Luego factorice m ediante la fórm ula d e la sum a d e dos cubos. a3 + b3 = (a + b )(a 2 - a b + b2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ¿ + 43 = (* + 4 )[jc2 - x{4) + 4 2] = (* + 4)(*2- 4x + 16) A sí,*3 + 64 = (x + 4)(*2 - 4x + 16). # Factorice 27X3 - 8y6. Prim ero observam os q u e 27*3y 8y6 no tienen factores com unes distintos d e 1. Como podem os expresar a 27*3y a 8y6com o cubos, podem os factorizar m ediante la fórm u la para la diferencia de dos cubos. 27X3 - 8 / = (3 x)3 - ( 2 / f = (3x - 2 /) [ ( 3 x ) 2 + ( 3 x ) ( 2 f ) + [ 2 / f ] = (3* - 2y2){9x2 + 6xy* + 4y 4) A sí, 21x3 - 8 / = (3x - 2y2)(9x2 + 6 x f + 4 / ) . # Factorice 8 / - 6 4 /'. Prim ero factorice 8, q u e es com ún a los dos términos. 8y3 - 64*6 = 8 { f - 8*6) A hora factorice y3 - 8*0escribiéndolo com o una diferencia d e dos cubos.
- 383. Sección 5 .6• Fó rm u la s especiales d e factorización • 3 5 5 E JE M P L O 13 Solución AHORARESUELVAELEJERCICIO 65 - 8*”) = q [ y y - ( Z rT J = 8(y - 2x2) [ f + y (Ix 2) + ( Ix 2)2] = 8( y - 2 x 2 ) ( y 2 + 2x 2 y + 4x4) A sí,8 y2 - t o x 6 = 8 ( y - 2 x 2)(y2 + 2x2y + 4xi ). # Factorice (x - 2)3 + 125. Escriba (x - 2)3 + 125 com o una sum a de dos cubos; luego factorice utilizando la fór- m uía p ara la sum a d e dos cubos. (x - 2 Y + (5)3 = [(x - 2 ) + 5 ][(* - 2 )2 - (X - 2 ) (5) + (5)2] = {x - 2 + SJÍx2 - 4x + 4 - 5* + 10 + 25) = (* + 3)(x2- 9 x + 39) m S U G E R E N C I A El cuadrado de un binomio tiene un 2 como parte del término central del trinomio. (a + b)2 = a2 + la b + b2 (a ~ b)2 = a2 - la b + b1 La suma o la diferencia de dos cubos tiene un factor similar al del trinomio en el cuadrado del binomio.Sin embargo, el término central no incluye un 2. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) no es lab EJ E M PL O 14 Volumen Utilizando los cubos d e la figura 5.16, determ ine una expresión, en form a factorizada, p ara calcular la diferencia en tre sus volúmenes. 4* FIGURA 5.16 Solución Para encontrar la diferencia en tre los volúmenes, reste el volum en del cubo pequeño del volum en del cubo grande. Volumen del cubo grande = (4*)3 Volumen del cubo pequeño = 33 Diferencia en tre los volúm enes = (4*)3- 33 te sta r volúmenes. = (4x " 3)[(4x:)2 + (4*)3 + 3*] Factorizar. = (4x - 3X16*2 + 12* + 9 ) Simplificar. AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 87 L a d ife re n c ia e n tr e lo s v o lú m e n e s d e los d o s c u b o s e s (4 * - 3 )(1 6 x* + 12* + 9 ). # Cubo grande Cubo pequeño
- 384. 3 5 6• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5 . 6 Ejercicios conceptuales 5. froporcione la fórmula para factorizar la suma de dos cu bos. 6. Proporcione la fórmula para factorizar la diferencia de dos cubos. 7. El polinomio x2 + 14* - 49 = (* + 7)(* - 7), ¿está fac- torizado de manera correcta? Explique 8. El polinomio x2+ 14* + 49 = (* + 7)2, ¿está factorizado de manera correcta? Explique 9. El polinomio x2- 81 = (* - 9)2,¿está factorizado de ma nera correcta? Explique 10. El polinomio *2 - 64 = (x + 8)(* - 8),¿está factorizado de manera correcta? Explique Problemas de aplicación Utilice la fórmulapara la diferencia de dos cuadrados o lafórmula del trinomio cuadrado perfecto parafactorizar cada polinomio. 11. / - 81 12. / - 25 13. a2 - 100 14 1 - 4*2 15. 1 - 36b2 16. *2 - 8 1 / 17. 25 - 1 6 / 18. a6 - 144b4 19. h - * 2L / / - 121c2 22. 4 flV -1 6 * 2/ 23. 0 .0 4 /-0 .0 9 24 Q 1 6 /-0 .8 1 / 25. 36 - (* - 6)2 26. 144 —(a + b)2 ™ 27. a2 - (3b + 2) 28. (2c + 3)2 - 9 29. x2 + 10* + 25 30. 4 9 - 1 4 1 + t2 3L 4 + 4a + a2 32. b2 - m + 81 33. 4x2 - 20xy + 2 5 / 34 3 6 / / + 12pq + 1 35. Q.81*2 - 0.36* + 0.04 36. Q25*2 - 0.40* + 0.16 37. / + 4/ + 4 38. b4 - 12b2 + 36 39. (* + y)2 + 2(* + y ) + 1 40. (a + l ) 2 + 6(a + 1) + 9 4L (y - 3)2 + 8(y - 3) + 16 4Z a4 - 2a2b2 + b4 ™ 43. *2 + 6* + 9 - / 44. / + 2pq + q2 - 16r2 45. 25 - (*2 + 4* + 4) 46. 9a2 - 12ab + 4b2 - 9 47. 9 - (c2 - 8c + 16) 48. (4a - 3b)2 - (la + 5b)2 49. / - 6 / + 9 50. z6 - 14z3 + 49 Rictorice mediante lafórmulapara la suma o diferencia de dos cubos. 51. jc 3 - 27 5Z / + 125 » 53. 64 - a 3 54 8 - b3 55. / - 27a3 56. w 3 - 216 57. 2 7 / - 8 * 3 58. 5*3 + 4 0 / 59. 32a3 - 108¿>3 60. / + / 6L 2b3 - 250c3 6Z 16*6 - 2 5 0 / 63. (* + l) 3 + 1 64. (a - 3)3 + 8 65. (a - b)3 - 27 66. (2* + y)3 - 64 “ 67. b3 - (b + 3)3 68. (m - n)3 - (m + n)3 Factorice usando una de lasfórmulas especialespara factorizar. a) Explique cómo factorizar la diferencia de dos cuadra dos. b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a), factorice x2 - 16. Explique por qué una suma de dos cuadrados, o2 + ¿> 2, no puede factorizarse en el conjunto de los números reales. Explique cómo se determina si un trinomio es un trinomio cuadrado perfecto. a) Explique cómo factorizar un trinomio cuadrado per fecto. b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a), fartnrir** r2 + 1 ? r + ^ 6 69. 1 2 1 / - 4 9 * 2 72. 49 - 6 4 * V 75. x3 —64 70. a4 - 4b4 73. 25*4 - 8 1 / 76. 2a2 - 24a + 72 7L 1 6 / - 81*2 74 {x + y)2 - 16 TI. 9x 2y 2 + 24xy + 16
- 385. 78. a 4+ 12a2 + 36 É¡ 79. a 4 + 2a2b2 + b4 80. 8y3 - 1 2 5 a 6 8L a 2 - 2 a + 1 - y 2 82. 4r2 + 4rs + í 2 - 9 83. ( a + y )3 + 1 84. 9 a 2 - 6 x y + y 2 - 4 85. (m + n )2 - (2m - n)2 86. ( r + p )3 + (r - p f Resolución de problemas Sección 5 .6 • Fó rm u la s especiales d e factorización • 3 5 7 En los ejercicios 87 a 90, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de cada pa rejade cubos. Vea el ejemplo 14. En los ejercicios 91 y 92, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la suma de los volúmenes de cada pareja de cubos. En los ejercicios 93 a 97, a) determine el área o volumen de la figura sombreada mediante la sustracción del área o volumen más pe queño del más grande. Lafórmula para encontrar el área o volumen se indica debajo de cada figura. b) Escriba la expresión obteni da en la parte a) en forma factorizada. Parte del MFC de los ejercicios 94,96 y 97 es ir. A = sl Círculos A — ir/2 95. Sólido rectangular 96. Cilindro l— 97. Esfera V = ±irr3 V = Iwh V = irr2h
- 386. 3 5 8• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales 98. Área y volumen Se hace un agujero circular en un cubo de madera, tal como se muestra en la figura. a) Escriba una expresión en forma factorizada, en térmi nos de *,para calcular el área de la sección transversal de la madera restante. b) Escriba una expresión en forma factorizada, en tér minos de *, para calcular el volumen de la madera restante. 99. Determine dos valores de b que hagan de 4x* + bx + 9 un trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su respuesta. 100. Determine dos valores de c que hagan de 16*2 + ex + 4 un trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su respuesta. 101. Determine el valor de c que hace de 2Ó*2 + 20* + c un trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su respuesta. 102. Determine el valor de d que hace de 4 9 X 2 - 42* + d un tri nomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su respuesta. 103. Área Una fórmula para calcularel área de un cuadrado es A = s2,donde s es la longitud de un lado. Suponga que el área de un cuadrado es la que se indica a continuación. A(x)= 25*2-30* + 9 s(x) a) explique cómo determinar la longitud del lado *, s(*), b) determine s(x), c) determine s(2). 104. Área La fórmula para calcular el área de un círculo es A = 7rr2, donde r es el radio. Suponga que el área de un círculo es la que se indica a continuación. a) explique cómo determinar el radio, r(*), b) determine r(*), c) determine r(4). 105. Factorice x4 + 64 escribiendo la expresión como (*4 + 16*2 + 64) - ló^.que es una diferencia de dos cuadrados. 106. Factorice x4 + 4 sumando y restando 4*2. (Vea el ejerci cio 105). 107. Si P(x) = **, utilice la diferencia de dos cuadrados para simplificar P(a + h) —P(a). 108. Si P(x) = x 2, utilice la diferencia de dos cuadrados para simplificar P(a + 1) - P(a). 109. Suma de áreas La figura muestra cómo completar el cua drado. La suma de las áreas de las tres partes del cuadra do que están sombreadas en gris es *2 + 4* + 4* o *2 + 8* * 4 a) Determine el área de la cuarta parte (en rojo) para completar el cuadrado. b) Determine la suma de las áreas de las cuatro partes del cuadrado. c) Este procedimiento ha dado como resultado un trino mio cuadrado perfecto en la parte b). Escriba el tri nomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio. 110. Factorice (m —/i)3 —(9 —n)3. x 4 Factorice completamente. 111. 64x4a - 9 1 1 2 . 16f?w - 49p6™ 113. a7n - 16an + 64 114. 144r“ + 48 r“ + 4 115. x * - 8 116. 27*3m + 64**" En los ejercicios 117 y 118, utilice su calculadora graficadorapara comprobar la factorización. Indique si la factorización es correcta o no. Explique sus respuestas. 117. 2*2 - 18 = 2(x + 3)(* - 3) N 118. 8*3 + 27 = 2*(4*2 + 5* + 9) 477
- 387. Sección 5.7 •R e p a so general de factorización • 3 5 9 Reto 119. La expresión x6 - 1 puede factorizarse usando la dife rencia de dos cuadrados o la diferencia de dos cubos. Al principio los factores no parecen ser los mismos, pero con un poco de manipulación algebraica puede demos trarse que son iguales. Factorice x6 - 1 mediante a) la diferencia de dos cuadrados, y b) la diferencia de dos cu bos. c) Muestre que ambas respuestas son iguales, facto- rizando completamente las respuestas obtenidas en la parte a). Luego multiplique los dos binomios por los dos trinomios. O Actividad en equipo Analice y responda en equipo el ejercicio 120. 120. Más adelante en el curso necesitaremos construir trino mios cuadrados perfectos. Examinen algunos trinomios cuadrados perfectos con coeficiente principal 1. a) Expliquen cómo están relacionados b y c, si el trino mio x2 + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto. Ejercicios de repaso acumulativo b) Cbnstruyan un trinomio cuadrado perfecto, si los pri meros dos términos son x1+ 6x. c) Construyan un trinomio cuadrado perfecto, si los pri meros dos términos son x2 -ÍO x. d) Cbnstruyan un trinomio cuadrado perfecto, si los pri meros dos términos son x2 -1 4 x. [2.1] 121. Simplifique -2[3x - (2y - 1) - 5.r] + y. [5.4] 124 Factorice el máximo factor común de 45y12+ 30y10. [3.6] 122. Si/)*) = ** - 3 í + 4 y g(x) = 2 x - 5 , determine l2S- Factorice U x2 - 9xy + 4xy - 3>2 . ( * - / ) ( - ! ) • [4.4] 123. Ángulos Un ángulo recto se divide en tres ángulos más pequeños. El más grande de los tres mide el do ble del más pequeño. El ángulo restante mide 10° más que el ángulo más pequeño. Determine la me dida de cada ángulo. 5 . 7 R E P A S O G E N E R A L D E F A C T O R IZ A C IÓ N 8 m 1 F a c to riz a r p o lin o m io 1 Factorizar polinomios mediante una com binación d e técnicas. >s m e d ia n te u n a c o m b in a c ió n d e té c n ic a s H em os presentado varios m étodos p ara factorizar. A hora com binarem os problem as y técnicas d e las secciones anteriores. U n procedim iento general p ara factorizar cualquier polinom ios es el siguiente. P a ra facto riza r un polinom io L Determine si todos los términos del polinomio tienen un máximo factor común distin to de 1.Si es así, factorice el MFC. 2. Siel polinomio tiene dos términos, determine si es una diferencia de dos cuadrados o una suma o diferencia de dos cubos. En cualquiera de estos casos, factorice utilizando la fórmula adecuada. (continúa en la página siguiente)
- 388. 3 6 0• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 1 Solución E J E M P L O 2 Solución AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 27 E J E M P L O 3 Solución E J E M P L O 4 Solución E J E M P L O 5 Solución AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 10 E J E M P L O 6 Solución 3. Si el polinomio tiene tres términos, determine si es un trinomio cuadrado perfecto. Si lo es, factorícelo como corresponde. De lo contrario, factorice el trinomio utilizando el método de prueba y error, por agrupación o por sustitución, como se explicó en la sección 5.5. 4 Siel polinomio tiene más de tres términos, intente factorizarlo mediante agrupación. Si eso no funciona, vea si tres de los términos son el cuadrado de un binomio. 5. Como paso final, examine el polinomio factorizado para ver si los factores enumera dos tienen un factor común y se pueden factorizar más. Si encuentra un factor común, factorícelo. Los siguientes ejem plos ilustran cóm o utilizar este procedim iento. Factorice 3x4 - 48 / . Prim ero verifique si existe un máximo factor com ún distinto d e 1. Com o 3 / es com ún a am bos térm inos, factorícelo. 3a:4 - 48a:2 = 3a:2(a:2 - 16) = 3 x 2(x + 4 )(* - 4) O bserve q u e / - 16 se factoriza com o una diferencia d e dos cuadrados. # Factorice 3 / / - 2 4 a:/ + 4 8 /. Com ience factorizando el M FC, 3 / , de cada térm ino. 3a:2/ - 2 4 a :/ + 4 8 / = 3 / { x 2 - 8 x + 16) = 3y x - 4 )2 Observe q u e x2 - 8x +16 es un trinomio cuadrado perfecto. Si no lo reconoce, tam bién podrá obtener la respuesta correcta factorizando el trinom io en (x - 4 )(x - 4). % Factorice 2 4 / - 6xy + 16xy - 4 / . Como siem pre,com ience p o r determ inar si todos los térm inos del polinom io tienen un factor com ún. E n este ejem plo, el núm ero 2 es com ún a todos los términos. Factorice el 2;después factorice el polinom io d e cuatro térm inos resultante m ediante agrupación. 24a:2 - 6 x y + 16xy - 4 / = 2(12a:2 - 3a:^ + 8 x y - 2y 2) = 2[3x{4x - y ) + 2 y (4 x - y )] = 2 (4a: - y )(3 x + 2y ) # Factorice 1 0 /6 - 15ab + 206. 1 0 / 6 - 15ab + 206 = 5 6 ( 2 / - 3a + 4) Com o 2a1 - 3 a + 4 no puede factorizarse, concluim os aquí. # Factorice 2x4y + 54xy. 2x 4y + 54x y = 2 x y (x 3 + 27) = 2 a :/a : + 3 ){ x 2 - 3 x + 9) O bserve q u e factorizam os / + 27 com o una sum a d e dos cubos. # Factorice 6x2 - 3 x + 6 / - 9. Prim ero factorizamos el 3 d e los cuatro términos. 6a:2 - 3 x + 6 / - 9 = 3(2a:2 - a: + 2 / - 3)
- 389. Se cció n5.7 • R e p a so general de factorización • 361 A hora verem os si podem os factorizar los cuatro térm inos dentro d e los paréntesis m e diante agrupación. Com o puede ver, esto no es posible, así q u e analizarem os si p ode mos escribir tres d e los térm inos com o el cuadrado d e un binomio. Sin im portar cómo los reordenem os, esto tam poco es posible. Concluim os q u e esta expresión no se p u e d e factorizarse más. Por lo tanto, 6 x2 - 3 x + 6 y 2 - 9 = 3{2x2 - x + 2 y 2 - 3) # E J E M P L O 7 F actorice3x* - 18* + 2 7 - 3 y 2. Solución Factorizam os el 3 de los cuatro términos. 3 x2 - 18* + 27 - 3 / = 3 {x 2 - 6 x + 9 - y 2) A hora intentarem os factorizar p o r agrupación. Com o los cuatro térm inos entre p a réntesis no pueden factorizarse p o r este m étodo, veam os si podem os escribir tres de los térm inos com o el cuadrado d e un binomio. Ya q u e esto sí es posible, expresam os x2 ~ 6x + 9 com o (x - 3)2y después utilizam os la fórm ula p ara la diferencia d e dos cuadrados. Así, S x2 - 18* + 27 - 3 / = 3[(x - 3)2 - y 2] = 3 [(* - 3 + y ) ( x - 3 - y ) ] AHORA RESUEU/A EL EJER CICIO 4 3 = 3 {x ~ 3 + y ) { x ~ 3 ~ y ) # SU G ER EN CIA C 0 N 5 E J 0 P A R A E 5 T U D I A R En esta sección hemos repasado todas las técnicas para la factorización de expresiones. Si todavía tiene problemas para factorizar, vuelva a estudiar el material de las seccio nes 5.4 a 5.6. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5 . 7 Ejercicios conceptuales L Explique los procedimientos que pueden utilizarse para 2. ¿Cuál es el primer paso en el procedimiento de factori- factorizar un polinomio de a) dos términos, b) trestérminos, zación ? y c) cuatro términos. Problemas de aplicación Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios. 3. 3*2 - 75 4 3x2 - 24* + 48 £ 5. lOs2 + 19s - 15 6. 6 * y + io * v 3 + s*2/ 7. — 8r2 + 26r - 15 8. 4*3 - 16*2 - 48* 9. 0.4*2 - 0.036 10. 0.5*2 - 0.08 1L 6x5 - 54* 12. l x 2y 2z 2 - 28*2^ 2 13. 3*6 - 3x5 + 12*5 - 12*4 14 2*2^ 2 + 6 * / - 10xy2 - 30y 15. 5 * V + 2 0 * Y + 15*3/ + 6 0 * Y 16. 6*2 - 15* - 9 £ 17. *4 - * y 18. 6*3 + 162 £ — 19. *y - * y 20. *4 - 81 2L *5 - 16* 22. i l x 2y 2 + 3 3 * / - 9 / 23. 2x6 + 1 6 / 24 8*4 - 4*3 - 4*3 + 2*2 25. 2(a + b f - 50 26. 12*3y2 + 4*2/ - 4 0 * / £ 27. 6*2 + 36*y + 5 4 / 28. 3*2 - 30* + 75 £ 29. (x + 2)2 - 4 30. 4 / - 36x6
- 390. 3 6 2• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales 3L (la + b )(la - 3b) - (la + b)(a - b) 32. pq - 6q + pr - 6r 33. (y + 5)2 + 4(y + 5) + 4 34. b* + Ib 2 + 1 35. 45a4 - 30a3 + 5a2 36. (x + l) 2 - (x + 1) “ 6 37. 38. 39. 3x3 + 2x2 - 27x - 18 40. 6y3 + 14/ + 4y 41. a3b - 64a¿>3 42. x6 + y 6 43. 81 - (x2 + Ix y + y 2) 44. x 2 ~ Ix y + y 2 - 49 45. lA x2 - 34x + 12 46. 40x2 + 52x - 12 47. 16x2 + 34x - 15 48. 7(a - b)2 + 4(a - b ) - 3 49. x4 - 16 50. (x + 2)2 - 12(x + 2) + 36 Sh 5be - 10ex - Iby + 14xy 52. 16y4 - 9 / 53. 3x4 - x2 - 4 54. x 2 + 16x + 64 - 100y 2 55. / - (x2 - 12x + 36) 56. 4a3 + 32 57. l ( y + 4)2 + 5(y + 4) - 12 58. x6 + llx 3 + 30 59. a2 + lla b + 36b2 - 16c2 60. y - y * 61. 6x4y + 15x3y - 9x2y 62. 4xY + 12xy + • 9 63. x4 - 2x2y2 + y4 64. 6r2s2 + rs - 1 Resolución de problemas Relacione cada ejercicio del 65 al 72 con las expresiones etiquetadas con los incisos del a) a h) a la derecha de ellos. 65. a2 + b2 69. a3 - b3 a) ( a + b)(a2- ab + b 2 ) e) no es factorizable 66. a2 + la b + b2 70. a2 - la b + b2 b) (a - b)2 f) (a - b)(a2 + ab + b2) 67. a3 + b3 71. un factor de a3+ b3. c) a2- ab + b2 g) a2+ ab + b2 68. a2 - b2 72. un factor de o3- b3. d) (a + b)2 h) (a + b)(a - b) En los ejercicios 73 y 74, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el perímetro de cada figura. 73. 74. 5x + 3 Ix + 13 5*+ 12 x2+ 3 x*+ n En los ejercicios 75 a 78, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada de cada figura. 75. 76. 77. 78. X 4 x + 4 x + 5
- 391. En los ejercicios79 y 80, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de cada par de cubos. Sección 5.7 • R e p a so general d e factorización • 3 6 3 En los ejercicios 81 a 84, a) escriba una expresión para calcular el área sombreada de la figura, y b) escriba la expresión en for ma factorizado. 85. Área de la superficie V 86. Explique cómo puede utilizarse la fórmula de factoriza- a) Escriba una expresión para calcular el área de la su- ción de la diferencia de dos cubos para factorizar x3 + 27. perfide dé los cuatro lados de la caja que se ¡lustra a y „ a) Ex^ique cómo constair un trinomio cuadrado perfecto, continuación (no tome en cuenta la tapa ni la base). b) Construya un trinomio cuadrado perfecto y luego b) Escriba la expresión en forma factorizada. muestre sus factores. ^ a Reto En este capítulo sólo hemos trabajado con exponentes enteros;sin embargo, en una expresión también pueden factorizarse ¡os expo nentesfraccionarios. Las siguientes expresiones no son polinomios, a) En cada expresión factorice la variable con el exponente me nor (o más negativo). (Los exponentes fraccionarios se analizarán en la sección 7.2). b) Factorice completamente. 88. x '1 - 5x~3+ 6x~4,factorice x“4. 89. x-3 - 2x~4 - 3x~5,factorice x-5. 90. x*2+ 3X3* - 4X"2,factorice x1 *. 9L óx1 '2 + 2x-l/2 - 3x-3í2,factorice x-3f2.
- 392. Ejercicios de repasoacumulativo 3 6 4 • C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales [2.1] 92. Resuelva 6{x + 4) - 4(3* + 3) = 6. [2.6] 93. Determineel conjunto solución para 6 + 2 z > 2 . [4.3] 94. Mezcla decafés Aian Morales piensa abrir una tien da de abarrotes, y desea mezclar 30 libras de café para vender a un costo total de $170. Por obtener la mezcla, utilizará café que vende a $5.20 por libra y café que vende a $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de cada café debe utilizar? [5.2] 95. Multiplique (Sx + 4)(*2 - x + 4). [5.4] 96. Factorice Ix 3 + 4x2 - S x - 10. 5 . 8 E C U A C I O N E S P O L IN O M IA L E S 1 Usar la propiedad del factor nulo para resolver ecuaciones. 2 Usar la factorización para resolver ecuaciones. 3 Usar la factorización para resolver problem as de aplicación. 4 Usar la factorización para determ inar las intersecciones del eje x d e una función cuadrática. Siem pre q u e se establece q u e dos polinom ios son iguales entre sí, tenem os una ecua ción polinomial. Ejemplos d© ecuaciones polinomiales x 2 + 2 x = x - 5 y 3 + 3 y - 2 = 0 4a:4 + 2 x 2 = - 3 x + 2 El g'ado de una ecuación polinomial esel mismo que el del término con mayor grado. Por ejemplo, las tres ecuaciones anteriores tienen grados 2,3 y 4, respectivamente. Con frecuen cia, una ecuación d e segundo grado con una variable se denom ina ecuación cuadrática. Ejemplos de ecuaciones cuadráticas 3 X 2 + 6 x - 4 = 0 5 x = 2 x 2 - 4 ( x + 4 )(x - 3) = 0 Cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma general. Fo rm a ge n era l de u n a ecua ció n cu a d rá tica ax2 + bx + c = 0, a * 0 donde a, b y c son números reales. A ntes d e continuar, asegúrese d e q u e puede convertir cada una d e las tres ecua ciones cuadráticas dadas anteriorm ente a su form a general, con a > 0. 1 U s a r la p ro p ie d a d d el fa c to r n u lo p a r a re s o lv e r e c u a c io n e s P ara resolver ecuaciones utilizando factorización, em pleam os la propiedad del fac tor nulo. P ropiedad d el fa cto r nulo Para todos los números reales a y b, sia •b = 0, entonces a = 0 o 6 = 0, o bien a y b = 0.
- 393. Sección 5 .8• E cu a cio n e s polinom iales • 3 6 5 Lapropiedaddel factor nulo indicaque,si elproducto de dos factores es igual a cero, uno o ambos factores deben ser cero. EJ E M P LO 1 Resuelvalaecuación (* + 5)(* - 2 )= 0. Solución Como elproductode losfactoresesigual a0,segúnlapropiedaddelfactor nulo,uno o ambosfactoresdebenser iguales acero. Igualamos cadafactor a0 y resolvemos cadaecuaciónpor separado. * + 5 = 0 o * - 2 = 0 * = -5 * = 2 Por lo tanto,si*es -5 o2,elproductode losfactoreses0. C o m p r u e b e x = - 5 x = 2 (* + 5)(* - 3) = 0 (* + 5)(* - 2) = 0 (-5 + 5)(—5 - 3) = 0 (2 + 5)(2 - 2) = 0 0(—8) = 0 7(0) = 0 0 = 0 brdadero 0 = 0 brdadero ^ 2 Usar la factorización para resolver ecuaciones A continuaciónseindicaunprocedimientoquepuedeutilizarseparaobtener lasolu ciónde unaecuaciónmediantefactorización. P a ra re so lve r u n a ecua ció n m ediante factorización L Utilice la p ro p ie d a d d e la s u m a p a ra elim inar to d o s lo s té rm in o s d e u n lado d e la e c u a c ió n . C o n e s to s e o b te n d rá u n la d o d e la e c u a c ió n Igual a 0. 2. S u m e lo s té rm in o s s e m e ja n te s e n la e c u a c ió n y d e s p u é s fa c to ric e . 3. Iguale a c e r o c a d a fa c to r q u e contenga una variable. R e s u e lv a las e c u a c io n e s y d e te rm in e las s o lu c io n e s . 4. ferifique las s o lu c io n e s e n la e c u a c ió n original. EJ E M PL O 2 Resuelvalaecuación2 **= 1 2 *. Solución Primero igualamosacero el ladoderechode laecuación, restando 1 2 *en ambos la dos. Despuésfactorizamosel lado izquierdode laecuación. 2*2 - 12* = 0 2 * (* - 6) = 0 Ahora igualamosacerocadafactory despejamos*. 2* = 0 o * - 6 = 0 * = 0 * = 6 UnaverificaciónmostraráquelosnúmerosOyó satisfacenlaecuaciónIx 2 = 12*. # C Ó M O EV ITA R La propiedad del factor nulo sólo puede utilizarse cuando un lado de la ecuación es igual a 0. E R R O R E S C O M U N E S C o r r e c t o In c o r r e c t o 0 II co + H 1 * - 4 = 0 o * + 3 = 0 * = 4 * = - 3 * II O n * II 1 * — (continúa en lapágina siguiente)
- 394. 3 6 6• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales En el procedimiento incorrecto, ilustrado a la derecha, no se puede utilizar la propiedad del factor nulo,ya que el lado derecho de la ecuación no es igual a 0. El ejemplo 3 muestra cómo resolver estos problemas correctamente. E J E M P L O 3 Resuelvalaecuación( a - 1 ) ( 3 a + 2) = 4x. Solución Como el ladoderechodelaecuaciónnoesigual a0,nopodemosutilizar aúnlapro piedaddel factornulo;en lugardeesocomenzamospormultiplicar losfactoresdella do izquierdode laecuación. Despuésrestamos4x en ambos ladosparaobtener0del ladoderecho. Luegofactorizamosy resolvemos laecuación. (x - 1)( 3 a : + 2 ) = 4 x 3 x 2 - x ~ 2 = 4x Multiplicarloefactores. 3x2 — 5x — 2 = 0 Hacerun lado Igual a O. ( 3 a + 1 ) ( a — 2 ) = 0 Factorizarel trinomio. 3 a + 1 = 0 O a — 2 = 0 Propiedaddelfactor nulo. 3 x = —1 x — 2 Resolverlae ecuaciones. 1 Las soluciones son - 1y 2. C om pruebe estos valores en la ecuación original. # EJ E M P LO 4 Resuelva la ecuación 3a2 + 2x - 12 = -7 a . Solución 3a2 + 2a - 12 = -7 a 3a2 + 9a — 12 = 0 Haga un lado Iguala O. 3 (a 2 + 3a - 4 ) = 0 Factorizar 3. 3 (a + 4 ) (a - 1) = 0 Factorizarel trinomio. A + 4 = 0 OA - 1 = 0 Propiedaddel factor nulo. A = - 4 A = 1 Despejar x. Com o el factor 3 no contiene una variable, no tenem os q u e igualarlo a cero. Sólo los AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45 núm eros - 4 y 1 satisfacen la ecuación 3a2 -f 2a -1 2 = -7 a . S U G E R E N C IA Al resolver una ecuación cuyo término principal tiene un coeficiente negativo, por lo gene ral lo convertimos en positivo multiplicando ambos lados de la ecuación por — 1. Esto faci lita el procedimiento de factorización,como se muestra en el siguiente ejemplo. - a 2 + 5 a + 6 = 0 - H - a 2 + 5 a + 6 ) = - 1 -0 a 2 - 5 a - 6 = 0 Ahora podemos resolver la ecuación x2- 5 a - 6 = 0 factorizando. ( a - 6 ) ( a + 1 ) = 0 A - 6 = 0 O A + 1 = 0 r - t 1 II K 'O II K Los números 6 y -1 satisfacen la ecuación original: - a 2 + 5 a + 6 = 0. Todaslasecuacionesde losejemplos1a4fueronecuacionescuadráticasquese reescribieronen laformaoA2+ ¿)A+c = 0yse resolvieronpor factorización. Otros
- 395. Sección 5 .8• E c u a c io n e s polinom iales • 3 6 7 E J E M P L O 5 Solución E J E M P L O 6 Solución m étodos q u e pueden usarse p ara resolver ecuaciones cuadráticas son: com pletar el cuadrado y la fórm ula cuadrática; analizarem os estos m étodos en el capítulo 8. La propiedad del factor nulo puede extenderse a tres o más factores, com o se m uestra en el ejem plo 5. Resuelva la ecuación 2p3 + Ip 2 + 3p = 0. Prim ero factorizamos, y después igualam os a 0 cada factor q u e tenga p. 2 p 3 + 7/t2 + 3 p = 0 p (2 p 1 + I p + 3) = 0 Factorizarp. p ( 2 p + 1)(p + 3) = 0 Factorizarel trinomio, p = 0 O 2 p + 1 = 0o p + 3 = 0 ñvpiedad de! factornulo. 2 p = —1 p = —3 Deepejarp. 1 P = " 2 Los núm eros 0 , - 1, y - 3 son soluciones d e la ecuación. # Observe que la ecuación del ejem plo 5 no es una ecuación cuadrática,ya que el ex ponente del térm ino principal es 3, no 2. Ésta es una ecuación cúbica o d e tercer grado. E n la función f ( x ) = 2 x 2 - 13x - 16, d eterm ine todos los valores d e a p ara los q u e f(a ) = 8 . Primero reescribimos la función com o f(a) = 2a2- 1 3 a - 16. Como f(a) = 8, escribimos 2a2 - 1 3 a ~ 16 = 8 Determíne f(a) Iguala &. 2a2 — 13fl — 24 = 0 Haga que un lado eea Igual a O. (2a + 3) (a — 8) = 0 Factorice el trinomio. 2a + 3 = 0 o a— 8 = 0 Propiedad del factor nulo. 2a = —3 a = 8 Deepejea. 3 “ = ~ 2 AHORARESUELVAELEJERCICIO69 Si revisa estas respuestas, encontrará q u e f y - —J = 8 y / ( 8 ) = 8. # 3 U s a r la fa c to riz a c ió n p a ra re s o lv e r p ro b le m a s d e a p lic a c ió n A hora veamos algunos problem as d e aplicación p ara cuya solución se utiliza la facto rización. E J E M P L O 7 Solución Triángulo U na gran tienda d e cam paña tendrá una entrada en form a triangular (vea la figura 5.17). D eterm ine la base y la altura d e la entrada, si la altura m edirá 3 pies m enos que el doble d e la base, y el área total d e la entrada es d e 27 pies cuadrados. E n tie n d a e l p ro b le m a H aga un dibujo d e la en trad a e incluya la inform ación in dicada (figura 5.18). Área =27 pies2 - 2 r - 3 FIGURA 5.17 FIGURA 5.18
- 396. 3 6 8• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E J E M P L O 8 Solución Traduzca Para resolver el problem a, usarem os la fórm ula p ara calcular el área de un triángulo. A = - ( b a s e ) (altu ra) 2 27 = ± ( x ) (2 * - 3) Realice los cálculos 2(27) = 2 j ( x ) ( 2 x ~ 3) 5 4 = x {2 x - 3) 5 4 = 2 x2 — 3x o 2 x2 - 3 x - 5 4 = 0 (2 x + 9 ) ( x - 6) = 0 2* + 9 = 0 o * - 6 = 0 2 x = - 9 x = 6 9 * = - — 5uetitulr la baee, laaltura y elárea con expreeionee. Multiplicaramboe ladoe por2 para eliminarfrac- clonee. Hacerque un lado eea Iguala O. Factorizarel trinomio. Propiedad del factor nulo. Deepejar x. Responda Com o las dim ensiones d e una figura geom étrica no pueden ser negati vas,podem os elim inar * = - f como una respuesta para nuestro problem a. Por lo tanto, base = x = 6 pies altura = 2x - 3 = 2(6) - 3 = 9 pies. # A ltura U n cañón se coloca en la cima d e un risco cuya altura es d e 288 pies sobre el nivel d e un lago q u e se encuentra junto a su base. TVas apuntar el cañón hacia arriba, se dispara una bala con una velocidad d e 112 pies p o r segundo. L a altura,h, en pies, en q u e se encuentra la bala d e cañón respecto del nivel del lago en cualquier instante, t, se determ ina m ediante la función h{t) = - 1 6 í2 + 112í + 288 D eterm ine el tiempo q u e le tom a a la bala d e cañón golpear el agua después d e haber sido disparada. Entienda el problema N ecesitam os hacer un dibujo p ara analizar m ejor el p ro blem a (vea la figura 5.19). C uando la bala golpea el agua, su altura respecto del lago es d e 0 pies. Valor máximo de /»(/) 288 pies ■ h(t) = “ 16/2+ 112f + 288 FIGURA 5.19 Traduzca Para resolver el problem a necesitam os determ inar el tiem po, t, cuando h(t) = 0. Para ello establecemos que la función indicada sea igual a cero y despejam os t. - 1 6 12 + 112í + 288 = 0 - 1 6 ( í2 - I t - 18) = 0 - 1 6 ( í + 2 )(í - 9 ) = 0 / + 2 = 0 o 1 - 9 = 0 t = - 2 t = 9 Determinarh(t) = O. Factorizar -16. Factorizar el trinomio. Propiedaddel factor nulo. Deepejar t.
- 397. Sección 5 .8• E cu a cio n e s polinom iales • 3 6 9 Responda Com o t es el núm ero d e segundos, - 2 no es una respuesta posible. La AHORA RESUEU/A EL E JE R C IC I0 105 bala d e cañón golpeará el agua 9 segundos después d e haber sido disparada. # Teorema de Pitágoras Caieio e i sigUiente problem a d e aplicación utiliza el teorem a d e Pitágoras. Los dos lados más Ángulo cortos d e un triángulo rectángulo (vea la figura 5.20) se denom inan catetos, y el lado opuesto al ángulo recto se llam a hipotenusa. E l teorem a de Pitágoras expresa la rela ción en tre los catetos y la hipotenusa del triángulo. Católo recio FIGURA 5.20 T e o re m a d e P itágoras H cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus dos catetos; esto es cateto2 + cateto2= hipotenusa2 Si a y b representan las longitudes de los catetos, y c representa la longitud de la hipotenu sa,entonces a1 + b2 = c2 a E J E M P L O 9 Solución AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 90 I K I A lam bre p ara un árbol Para ayudarle a crecer recto, Javier A ndrade coloca un cable tirante en un árbol. L a localización d e los puntos d e donde se am arra el cable (una es taca sobre el suelo y la p arte superior e inferior del árbol), se indica en la figura 5.21. D eterm ine la longitud del cable. O bserve q u e la longitud del cable es la hipotenusa del triángulo imaginario. Entienda el problema Para resolver este problem a utilizamos el teorem a d e Pitá goras. D e acuerdo con la figura, vem os q u e los catetos son x y x + 1, y q u e la hipote nusa es a: + 2. Traduzca cateto2 + cateto2 = hipotenusa2 x 2 + {x + l ) 2 = ( x + 2 )2 Teoremade Pitágoras. Realice los cálculos x 2 + x 2 + 2 x + l = x 2 + 4 x + 4 Sustituirexpresiones para ios catetosy la hipotenusa. Elevar al cuadrado los términos. 2 x 2 + 2 x + 1 = x ‘ x 2 - 2 x - 3 = 0 + 4 x + 4 Simplificar. Hacerque un lado sea iguala O . (x ~ 3 ) ( x + 1) = 0 Factorizar. X - 3 = 0 O * + 1 = 0 Resolver, x = 3 x = - 1 Responda Con base en la figura, sabem os q u e * no puede tener un valor negati vo. Por lo tanto, la única respuesta posible es 3. L a estaca está colocada a tres pies de distancia respecto del árbol. E n la p arte superior, el cable se sujeta al árbol a * + 1 o 4 pies d e altura respecto del piso. L a longitud del cable es igual a * + 2 o 5 pies. # Cómo utilizar su calculadora graficadora Tánto los problem as d e aplicación com entados en esta sección com o el conjunto d e ejercicios q u e sigue,se han escrito d e m odo q u e las ecuaciones cuadráticas sean factorizables. E n la vida real, las ecuaciones cuadráticas por lo general no se pueden factorizar (en el conjunto d e los núm eros enteros), y necesitan resolverse d e otras formas. Analizarem os m étodos p ara resolver ecuaciones cuadráticas q u e no son factorizables en las secciones 8.1 y 8.2. (continúa en la página siguiente) FIGURA 5.21
- 398. 3 7 0• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales Puede determ inar soluciones aproxim adas a ecuaciones cuadráticas q u e no son factorizables p o r m edio de su calculadora graficadora. C onsidere el siguiente ejem plo d e la vida real. E J E M P L O A n ten a s d e celulares E n E stados U nidos, el núm ero de antenas repetidoras d e señales d e telefonía celular ha estado creciendo; entre 1996 y 2002, el núm ero d e estas antenas, N , en miles, puede calcularse p o r medio d e la función N ( t ) = -1 .4 5 t2 + 21.88* + 25.44 en donde t es el núm ero d e años desde 1996. D eterm ine el año en q u e el núm ero de antenas repetidoras llegó a 80,000. S o lu c ió n E n tie n d a e l p ro b le m a y tr a d u z c a Para responder esta pregunta necesitam os q u e la función N (t) sea igual a 80, y despejar t. -1 .4 5 12 + 21.88/ + 25.44 = 80 OitermlnarN(l) = 80. No podem os resolver esta ecuación m ediante factorización, pero sí utilizando una calculadora graficadora. Para hacerlo, denom inam os a un lado d e la ecuación y! y al o tro y2. y, = - í .4 5 x 2 + 21.88* + 25.44 > ■2 = 80 R ealice lo s c á lc u lo s A hora grafique las dos funciones en su calculadora grafica dora y utilice las teclas T R A C E Z O O M u otras teclas (por ejem plo la tecla C A L C con la opción 5yintersect, en la T I-8 3 Plus) p ara obtener su respuesta. La [0,6,1,0,120,30] FIGURA 5.22 figura 5.22 ilustra la pantalla de una T I-8 3 Plus, m ostrando q u e la coordenada x de la intersección d e las ecuaciones está aproxim adam ente en x = 3.1520. R e s p o n d a ftjr consiguiente,en 1999 (3 años a partir d e 1996) había casi 80,000 an tenas repetidoras. 4 Utilizar la factorización para determinar las intersecciones del eje x de una función cuadrática Considere la gráfica d e la figura 5.23. E n las intersecciones del eje x , el valor d e la función, o y, es 0. A sí, si desea m os determ inar las intersecciones del eje x d e una gráfica, podem os establecer la función = Oy despejar x. E J E M P L O 10 D eterm ine las intersecciones del eje x de la gráfica q u e se obtiene al graficar y = x2 - 2x -8 . Solución E n las intersecciones del eje x , y tiene un valor d e 0. Por lo tanto, para determ inar las y * intersecciones del eje x escribim os x 2 ~ 2 x - 8 = 0 (x ~ 4 ) ( x + 2 ) = 0 x — 4 = 0 o * + 2 = 0 * = 4 x = - 2 Las soluciones d e x2 - 2x - 8 = 0, son 4 y -2 . Las intersecciones del eje * de la grá fica que se obtiene d e y = x2 - 2x - 8son ( -2 ,0 ) y (4,0),como se ilustra en la figura 5.24.
- 399. Sección 5 .8• E c u a c io n e s polinom iales • 3 7 1 FIGURA 5.24 AHORA RESUEU/A EL E JER CIC IO 75 Si conocem os las intersecciones del eje a:de una gráfica, podem os determ inar la ecuación d e la gráfica. L ea el siguiente recuadro p ara aprender cóm o hacerlo con ayu d a d e su calculadora graficadora. Cómo utilizar su calculadora graficadora E n el ejem plo 10 vimos q u e la gráfica q u e se obtuvo d e y = x L- 2 x - 8 tenía las intersecciones del eje a: en - 2 y 4. Si conocem os las intersecciones del eje x de una gráfica,podem os determ inar ecuaciones cuyas gráficas sean esas intersecciones. Por ejemplo, Intersecciones del eje a: en Factores Ecuación - 2 y 4 (x + 2 )(x - 4) y = (x + 2)(a: - 4) o y = x 2 - 2 x - 8 Ténga en cuenta q u e otras ecuaciones pueden tener gráficas con las mismas intersecciones del eje a:. Por ejem plo, la gráfica d e y = 2(a^ - 2a: - 8 ) o y = Ix2 - 4x - 16 d a p o r resultado gráficas q u e tam bién tienen intersecciones del eje a: en 4 y - 2 . D e hecho, la gráfica d e y = a f é - 2x - 8), p ara cualquier núm ero real distinto d e cero a, ten d rá intercepciones del eje a: en 4 y -2 . C onsidere la gráfica d e la figura 5.25. [ - 10,10,1, - 10,20,2] FIGURA 5.25 FIGURA 5.26 Si suponem os q u e las intersecciones son valores enteros, las intersecciones del eje a : están en 2 y 8. Por con siguiente, Intersecciones del eje x en Factores Ecuación 2 y 8 i S i 1 00 y = ( x - 2)(x - 8) o y = x 2 - 1 0 a : + 16 Si cam biam os la ventana,vem os q u e la intersección del eje y de la gráfica está en 16 (vea la figura 5.26). Por lo tan t o ^ = x2 - 10a: + 16 podría ser la ecuación q u e dio lugar a la gráfica. Si, p o r ejem plo, la intersección del eje y de la gráfica estuviese en 32, entonces la ecuación d e la gráfica podría ser y = 2(x2 - 10a: + 16) o y = Ix 2 - 20x + 32. (continúa en la página siguiente)
- 400. 3 7 2• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales E j e r c i c i o s Escriba una ecuación para cada gráfica que se ilustra. Suponga que todas las intersecciones del ejex tienen valores enteros y que se muestra la ventana estándar. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 5 . 8 Ejercicios conceptuales 1. ¿Cómo se determina el grado de una función polinomial? 2. ¿Qué es una ecuación cuadrática? 3. ¿Cuál es la forma general de una ecuación cuadrática? 4. a) Explique la propiedad del factor nulo. b) Resuelva la ecuación (3x - 7) (2x + 3) = 0 por medio de la propiedad del factor nulo. 5. a) Explique por qué la ecuación (x + 3)(x + 4) = 2 no puede resolverse escribiendo x + 3 = 2 o x + 4 = 2 b) Resuelva la ecuación (x + 3)(x + 4) = 2. 6. Qiando se factoriza una constante de una ecuación, ¿por qué no es necesario determinar que la constante sea igual a 0 al resolver la ecuación? 7. a) Explique cómo resolver una ecuación polinomial me diante factorización. b) Resuelva la ecuación —x - 2 0 = - 1 2 X 2 mediante el procedimiento explicado en la parte a). 8. a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la ecuación -x 2 + 2x + 35 = 0? b) Resuelva la ecuación de la parte a). 9. a) ¿Cómo se denominan los lados más cortos de un trián gulo rectángulo? b) ¿Cómo se denomina al lado más largo de un triángulo rectángulo? 10. Exprese el teorema de Pitágoras y explique su significado. 11. Si la gráfica de y = x2 + lOx + 16 tiene intersecciones del eje x en - 8 y - 2, ¿cuál es la solución de la ecuación x2 + lQx + 16 = 0? Explique. 12. Si las soluciones para la ecuación Ix2 - 15x + 18 = 0 son | y 6, ¿cuáles son las intersecciones del eje x de la gráfica que se obtiene de y = Ix2 - 15x + 18? Explique. 13. ¿Es posible que una función cuadrática no tenga intersec ciones del eje x? Explique. 14. ¿Es posible que una función cuadrática tenga sólo una in tersección del eje x? Explique. 15. ¿Es posible que una función cuadrática tenga dos inter secciones del eje x? Explique. 16. ¿Es posible que una función cuadrática tenga tres intersec ciones del eje x? Explique. Problemas de aplicación Resuelva. 17. x(x - 4) = 0 18. x(x + 2) = 0 19. £ * 1 — II 0 20. o II <o + H ¿5 2L 2(x + l)(x - 7) = 0 22. 3(a - 5){a + 2) = 0 23. 1 + ii o 24 2a(a + 3)(a + 8) = 0 25. (2x + 3)(4x + 5) = 0 26. (3x - 2)(7x - 1) = 0 £ 2 7 . 4x2 = 12x 28. 3y 2 = -2 4 y 29. o II Ü + 30. 2a2 —Sa = 0 31. - x 2 + 6x = 0 32. -3 x 2 - 9x = 0 33. 3x2 = 15x 34 9a2 = - 1 8a 35. x2 - 6x + 5 = 0 36. a2 + 6a + 5 = 0 £ 3 7 . x2 + x - 12 = 0 38. + cr 1 -J II O 39. Ho + + — 0 II O 40. c2 - 10c = -2 5 41. x(x - 12) = -2 0 42. b{b - 2) = 48 43. 2x2 = — 14x - 12 44 3a2 = - a + 2 £ 4 5 . 3x2 - 6x - 72 = 0 46. 4a2 + 36a + 80 = 0 47. x3 - 3x2 = 18x 48. x3 = -1 9 x 2 + 42x 49. 12a2 = 16a + 3
- 401. Sección 5 .8• E c u a c io n e s polinom iales • 3 7 3 50. 3b3 -- 8b2 - 3b = 0 5L 4c3 + 4c2 - 48c = 0 5Z 18Z3 = 15Z2 + 12z 53. x 2 - 36 = 0 54 6y 2 = 16y 55. O' II N 9 56. 49c2 = 25 57. 25x? -- 16* = 0 58. 3*4 - 48*2 = 0 59. - * 2 = 2* - 99 60. - x 2 + 16* = 63 61. (* + 4)2 - 16 = 0 62. (* “ 4)2 -■4 = 0 63. (2* + 5)2 - 9 = 0 64. (* + l) 2 - 3* = 7 65. 6a2 -- 12 -- 4a = 19a - 32 66. 4(a2 - •3 ) = 6a + 4{a + 3) 67. 2b3 + 16¿>2 = -3 0 b 68. (a - l)(3 a + 2) = 4a 69. Para f(x) =3x* +7x +9, determine todos los valores de a para los que f(a) = 7. 70. Para f(x) = 4** -11*, determine todos los valores de a para los que f(a) = -6. 7L Para g(*) = 1Q*2 - 31* + 19, determine todos los valores de a para los que g(a) = 4. 72. Para g(*) = ó*2 + * - 3, determine todos los valores de a para los que g(a) = -2. 73. Para r(x) = x2 - x, determine todos los valores de a para los que r(a) = 30. 74 Para r(*) = 10*2 - 19* + 2, determine todos los valores de a para los que r(a) = -4. Utilicefactorización para determinarlas intersecciones del eje x délas gráficas de cada ecuación (vea el ejemplo 10). 75. y = *2 + 2* - 24 76. y = *2 - 13* + 42 77. y = *2 + 16* + 64 78. y = 15*2 - 14* - 8 79. y = 6*3 - 23*2 + 20* 80. y = 12*3 - 39*2 + 30* En los ejercicios 81 a 86, utilice el teorema de Pitágoras para determinar x. 82. * + 8 * + 3 83. * + 7 * + 11 * + 10 * + 3 84. * + 1 85. Resolución de problemas En los ejercicios 87a 90, determínelas intersecciones del ejex de cada gráfica;luego relacione la ecuación con la gráfica apropiada, marcada con los incisos a) a d). 87. y = x 2 - 5* + 6 I. y = x 2 - x - 6 89. y = x 2 + 5* + 6 90. y = x 2 + * - 6 b) / d) 1
- 402. 3 7 4• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales Escriba una ecuación cuya gráfica tenga intersecciones del eje x en los valores dados. 9h 2 y 5 92. 3y - 7 93. 4y —1 94. § y 6 95. ! y 2 96. -0 .4 y 2.6 « 97. Mesa rectangular para café Una mesa para café es rec tangular; si el largo de su área superficial mide 1pie más que el doble de su ancho, y el área superficial de la tabla superior mide 10 pies cuadrados, determine su largo y ancho. 98. Cobertizo rectangular El piso de un cobertizo tiene un área de 54 pies cuadrados Determine el largo y ancho, si el largo mide tres pies menos que el doble de su ancho. 99. Vela triangular La vela de un bote es triangular y su al tura mide seis pies más que su base. Si el área de la vela es 80 pies cuadrados, determine su base y su altura. 100. Tienda triangular Una tienda de campaña triangular tie- ik una altura que mide 4 pies menos que su base. Siel área de un lado es 70 pies cuadrados, determine la base y la al tura de la tienda. 101. Marco de una pintura El marco de una pintura mide 28 cm por 23 cm. El área de la pintura es de 414 centímetros cuadrados. Determine el ancho del marco. 103. Hortaliza Una hortaliza rectangular mide 20 pies por 30 pies. Además para cubrir el terreno con mantillo, se quiere hacer un pasillo de ancho uniforme alrededor. Si se tiene suficiente mantillo para cubrir un área de 936 pies cuadrados, ¿cuál debe ser el ancho del pasillo? 104. Jardín cuadrado Daniel Dávila tiene unjardín cuadrado, a cuyo alrededor agrega un pasillo de 2 pies de ancho. Si el área total del pasillo y eljardín es de 196 pies cuadrados, determine las dimensiones del jardín. 105. Esculturas de agua En un edificio de Chicago, una fuen te de agua dispara pequeños chorros sobre un pasillo. Los chorros de agua alcanzan una altura máxima, y luego caen en un estanque al otro lado del pasillo. La altura respecto del disparador, h, de un chorro de agua t segundos des pués de que sale puede determinarse mediante la función h(t) = -16/2 + 32/. Determine el tiempo que le toma al diorro de agua regresar a la altura del disparador, esto es, cuando h(t) = 0. 106. Proyectil Un modelo de cohete será lanzado desde una colina que se encuentra a 80 pies sobre el nivel del mar. El lugar del lanzamiento está cercano al océano (nivel del mar) yel cohete caerá en él. La distancia del cohete, s,por encima del nivel del mar en cualquier instante, t, se de termina mediante la ecuación s(/) = -1 6 1 2 + 64/ + 80. Determine el tiempo que le toma al cohete para caer en el océano. 102. Rectángulo Unjardín está rodeado por un pasillo de an cho uniforme. Eljardín y el pasillo juntos cubren un área de 320 pies cuadrados. Sieljardín mide 12pies por 16pies, determine el ancho del pasillo. 28 cm 23 cm
- 403. Sección 5 .8• E c u a c io n e s polinom iales • 3 7 5 107. Paseo en bicicleta Dos ciclistas, Andrés y Antonio, ini cian su paseo en el mismo punto. Andrés conduce hacia el oeste y Antonio hacia el norte. En algún momento, se en cuentran separados entre sí por una distancia de 13 millas. Si Andrés recorrió 7 millas más que Antonio, determine la distancia que recorrió cada uno de ellos. 108. Marcoparapintura Augusto está haciendo un marco para una pintura rectangularque le regalará a su mamá. La dia gonal del marco es de 10 pulgadas. Determine las dimen siones del marco, si su longitud mide 2 pulgadas más que su ancho. 109. Cables de una tienda decampaña Una tienda de campa ña se estabiliza mediante cables. Un cable se sujeta al sue lo a 12pies de distancia de la tienda. La longitud del cable utilizado mide 8 pies más que la altura a donde se sujeta el otro extremo del cable. ¿Cuál es la longitud del cable? - 12- 110. Bocinas En elpunto donde se unen el techo y lasparedes en las esquinas de un cuarto rectangular se colocarán una bocinas. Los cables irán pegados al techo y se conectarán en el punto A, como se muestra en la figura. El ancho del cuarto es de 12 pies, y la distancia entre una esquina y el punto A es de 3 pies menos que el doble de la distancia del punto A a la pared. Determine la longitud del cable desde el punto A a una de las esquinas opuestas de la ha bitación (una de las líneas que se muestran en la figura). 111. Tienda de bicicletas Una tienda de bicicletas utiliza una ecuación para calcular sus ingresos mensuales, R(x) = 60x - x2, y otra para determinar sus costos mensuales, C(x) = Ix + 150, en donde x es el número de bicicletas vendidas y x > 10. Determine el número de bicicletas que debe vender la tienda para alcanzar el punto de equilibrio ( no ganar ni perder);esto es,el punto en donde los ingre sos son iguales a los costos. 112. Floresdeseda Edith Rodríguez fabrica flores de seda y las vende a diferentes tiendas. Edith tiene una ecuación para calcular sus ingresos, R(x) = 30* - x2,y otra para determi nar sus costos, C(x) = 4x + 25,en donde Xes el número de flores vendidas y x > 5. Determine el número de flores que debe vender Edith para alcanzarel punto de equilibrio. 113. Fabricación de una caja Para fabricar una caja de dos pulgadas de altura se cortan piezas de 2 por 2 pulgadas de un cartón cuadrado, y se doblan hacia arriba los lados. 2 pulgadas —| h ¿Cuál es el tamaño del cartón necesario para fabricar una caja de 2 pulgadas de altura con un volumen de 162 pul gadas cúbicas? 114. Ribricación de una caja Una caja rectangular se forma rá cortando cuadrados de cada esquina de una pieza rec tangular de hojalata y doblando hacia arriba los lados. La caja tendrá 3 pulgadas de altura, el largo será el doble del ancho, y el volumen será de 96 pulgadas cúbicas. Deter mine el largo y el ancho de la caja. 115. Cubo A un cubo sólido con dimensiones í^.se le quita un s51ido rectangular con dimensiones ab2. A A b * a a) Escriba una fórmula para determinar el volumen que queda, V. b) Factorice el lado derecho de la fórmula de la parte a). c) Si el volumen es de 1620 pulgadas cúbicas y a es igual a 12 pulgadas, determine b. 116. Hoja de una sierra circular Una sierra circular de ace ro tiene un agujero en su centro, como se muestra en la figura. a) Escriba una fórmula para calcular el área de la hoja. b) Factorice el lado derecho de la fórmula de la parte a). c) Determine A, si R = 10 cm y r = 3 cm.
- 404. 3 7 6• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales 117. Cbnsidere la gráfica siguiente de una función cuadrática. y 118. a) Escriba una función cuadrática que tenga las intersec ciones del eje x indicadas. b) Escriba una ecuación cuadrática con una variable cuya salución sea - 2 y -5. c) ¿Cuántas funciones cuadráticas diferentes pueden te ner intersecciones del eje x de - 2 y -5? Explique. d) ¿Cuántas ecuaciones cuadráticas diferentes con una va riable pueden tenersoluciones de - 2 y -5? Explique. Lagráfica de laecuacióny = x2 + 4se ilustra acontinuación. a) ¿Cuántas intersecciones del eje x tiene la gráfica? b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x2 + 4 = 0? Explique su respuesta. 119. Cbnsidere la función cuadrática P(x) = ax2 + bx + c,a > 0. a) La gráfica de este tipo de función puede no tener inter secciones del eje x, una intersección del eje x o dos in tersecciones del eje x. Bosqueje cada una de estas posibilidades. b) ¿Cuántas posibles soluciones reales puede tener la ecuación ax1+ bx + c = 0,a > 0! Explique su respues ta a la parte b) utilizando los bosquejos de la parte a). 120. Distanciapara detenerse Ladistancia, d en pies,para de tener un automóvil común que viaja sobre pavimento se co puede calcularse mediante la función d(s) = 0.034s2 + 0.56s - 17.11,en donde s es la velocidad del automóvil an tes de frenar y 60 =2s ^ 80 millas por hora. Si un automó vil requiere de 190pies para detenerse después de aplicar tos frenos, ¿qué tan rápido va el automóvil? 12L Distanciapara detenerse Ladistancia, d en pies, para de tener un automóvil común que viaja sobre pavimento mo jado puede calcularse mediante la función d(s) = -0.031S2 + 59.82s - 2180.22, en donde s es la velocidad del auto móvil antes de frenar y 60 < s < 80 millas por hora. Si un automóvil requiere de 545 pies para detenerse después de aplicar los frenos, ¿qué tan rápido va el automóvil? Reto Resuelva* 122. x4 - 5x2 + 4 = 0 123. x4 - 13x2 = -3 6 124 x6 - 9X3 + 8 = 0 2. Actividad en equipo En cursos más avanzados de matemáticas podría necesitar despejar y' (se lee “ y prima”) en una ecuación. Cuando esto ocurra, trate a y' como una variable diferente de y De forma individual despeje y' de cada ecuación. En equipo, compare sus respuestas y obtenga las respuestas correctas. 125. xy' + yy ' = 1 126. xy - xy ' = 3y ' + 2 127. 2x y y ' - x y = x - 3y' Ejercicios de repaso acumulativo [1.5] 128. Simplifique (4x“2y3)”2. [4.1] 130. Resuelva el sistema de ecuaciones [2.5] 129. Resuelva la desigualdad y grafique la solución en 3x + 4y = 2 la recta numérica. 2x = - 5 y —1 [5.2] 131. Si f(x) = - x 2 + 3x y g < 4 (3 * _ -2 ) ^ 5 ( f .g)(4). [5.7] 132. Factorice (x + 1) — (x + 1 ) — 6.
- 405. R e sum en del capítulo • 3 7 7 R e s u m e n d e l c a p i t u l o Términos y frases importantes 5.1 Suma d e polinom ios Polinomio cúbico G rado d e un térm ino O rden descendente Coeficiente principal Térm ino principal Polinomio lineal Polinomio Función polinom ial Polinomio cuadrático R esta d e polinom ios Térm inos 5.2 D iferencia d e dos cuadrados Form a desarrollada d e la propiedad distributiva Factores d e un trinomio M étodo PIES M ultiplicación d e polino mios Cúadrado d e un binom io 5.3 División d e polinom ios Teorem a del residuo División sintética 5.4 Factorizar un monomio de un polinom io Factorización p o r agrupa ción Máximo factor com ún 5.5 Factorización por agrupación Factorización p o r ensayo y error Factorizar trinomios Factorización mediante sustitución Polinomio prim o 5.6 D iferencia d e dos cubos D iferencia d e dos cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Fórm ulas especiales para factorizar Suma de dos cubos 5.8 Ecuación cúbica G rado d e una ecuación polinom ial Ecuaciones en form a cuadrática Flipotenusa d e un triángulo rectángulo C ateto d e un triángulo rectángulo Ecuación polinom ial Teorem a d e Pitágoras Ecuación cuadrática Solución p ara una ecuación polinom ial Form a general d e una ecuación cuadrática Intersecciones del eje * d e una gráfica Propiedad del factor nulo H e c h o s im p o r ta n tes M é to do P IES para multiplicar binom ios S r (a + b)(c + d) P— Multiplique los Primeros términos. I — Multiplique los términos Internos. E—Multiplique los términos Externos. S— Multiplique los Segundos términos. ac + ad + be + bd Fórm ulas especiales para el p rod ucto (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . , ,»> Cuadradode un binomio. (.a - b)2 = a2 - 2ab + b2) (a + b)(a - b) = a2 - b2 ñ-oductode la sumay diferencia de los mismos dos términos (diferenciade dos cuadrados oproductode binomios conjugados). Te o re m a del residuo Si el polinom io P (x) se divide en tre * - a, el residuo es igual a P(a). Fórm ulas especiales de factorización a2 — b2 = (a + b)(a — b) Diferenciade dos cuadrados, a2 + 2a b + b2 = (a + b )2 a2 - 2a¿> + b2 = (a - b)1) Trinomio cuadrado perfecto. a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) Sumade dos cubos. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Diferenciade dos cubos. Nota: L a sum a d e dos cuadrados, a2 + b2,no puede factorizarse en el conjunto d e los núm eros reales. (continúa en la página siguiente
- 406. 3 7 8• C a p ít u lo 5 • P o lin o m io s y f u n c io n e s p o lin o m ia le s F o r m a g e n e r a l d e u n a e c u a c i ó n c u a d r á t i c a : ax? + bx + c = 0, a # 0. P r o p i e d a d d e l f a c t o r n u lo : Si a • b = 0 , entonces a = 0 o b = 0 ,o am bos a y b = 0. T e o r e m a d e P i t á g o r a s : cateto2 + cateto2 = hipotenusa2o a2 + b2 = c¿. a Ejercicios de repaso del capítulo [5.1] Determine si cada expresión es un polinomio. Si la expresión es un polinomio, a) proporcione el nombre especial del polino mio, si lo tiene, b)escriba el polinomio en orden descendente de la variable x, y c) indique el grado del polinomio. L 3x2 + 2 3. 8a: - x"1 + 6 Realice cada operación indicada. 5. (x 2 - 5x + 6) + (2x + 3) 7. (2a - 3b - 2) - ( - a + 5b - 8 ) 9. (3x 2y + 6xy - 5y 2) - (4y 2 + 3a:>-) 11. Sume x2- 3x + 5 con 4x*2 + l(k - 9. 13. Determine P ^ . s i P(x) =2x2 - 3 x + 13. 2. 5a: + 4a:3 - 9 4. - 3 - 10*2y + 6xy3 + 2xA 6. ( lx 2 + 2 x - 5) - (2a:2 - 9 x - 1) 8. (4a:3- 4a:2- 2a:) + (2 a3 + 4a:2- 7a: + 10) 10. (-8 a b + 2b2 - 3 a ) + ( - b 2 + 5ab + a) 12. Reste 3a1b - 5ab de -7 a2/» - ab. 14 Determine P(-3 ), si P(x) = x3 - 3 X 2 + 4x - 9. En los ejercicios 15 y 16, determine una expresión polinomialpara calcular el perímetro de cada figura. 15. , . ^ 16. _ ^ + 7 , x 2 + 1 13a : + 8 A^ + 2r En ¡os ejercicios17y 18de la página 379, utilizamos la siguiente gráfica, en donde semuestran los ingresos y egresos de laAdministración de Seguridad Social de Estados Unidos entre 1997y 2025. Ingresos y egresos de seguridad social $2000j | $1600 % $1200 1 $800 $400 97 98 99 00 01 02 03 Ot 05 06 10 15 20 25 Año Fuente: A dm inistración d e S egundad Social de Estados Unidos
- 407. Ejercicios de rep a so del capítulo • 3 7 9 17. Ingresos en seguridad social La función R(¡) = 0.78/2 + 20.28/ + 385.0, en donde / representa los años desde 1997 y 0 ^ / ^ 28,sirve para calcular los ingresos aproximados que genera la industria de la seguridad social en Esta dos Unidos,/?(/), en miles de millones de dólares. a) Mediante la función proporcionada, estime los ingresos en 2010. b) Cbmpare su respuesta en la parte a) con la gráfica en la página 378. ¿La gráfica apoya su respuesta? [5.2] Multiplique. 19. 2x(3x2 - I x + 5) 2L (3x - 5){2x + 1) 23. (x + 8y)2 25. (2xy - l)(5x + 4y) TI. (2a + 9 b f 29. ( I x + 5y)(7x - 5y) 31. (5xy + 6)(5xy - 6) 33. [(x + 3y) + 2]2 35. (3x2 + 4x - 6)(2x - 3) 18. Egresos en seguridad social La función G(t) = 1.74/2 + 7.32i + 383.91, en donde / representa años desde 1997 y 0 < / < 28, sirve para calcular los egresos de la industria de seguridad social, G(/),en miles de millones de dólares. a) Mediante la función proporcionada, estime los egresos en 2010. b) Campare su respuesta de la parte a) con la gráfica en la página 378. ¿La gráfica apoya su respuesta? 20. - 3 x / ( x 3 + xy4 - 6y5) 22. (5a + 9)( 10a - 3) 24. (a - 11b)2 26. (2pq - r)(3pq + Ir) 28. (3x - 2y)2 30. (2a - 5b2)(2a + 5b2) 32. (9a2 - 2b2)(9a2 + 2b2) 34. [(2p - q ) - 5]2 36. (4x3 + 6x - 5)(x + 3) En los ejercicios 37 y 38, determine una expresión para calcular el área total de cada figura. 37. 38. ñtra cada par de funciones, determine a) ( f •g) (x) y b) ( f ‘ g)(3). 39. f ( x ) = x + 2,g (x ) = x - 3 4L f ( x ) = x2 + x - 3, g (x) = x - 2 [5.3] Divida. 6x2 + 9x + 12 43. 45. 47. 21y3 + 6y + 2 4x3y2 + 8x2y3 + 12xy4 8xy3 4 9 . (2x4 - 3x3 + 4X2 + 17x + 7) + (2x + 1) 5L (x2 + x - 18) + (x - 3) 40 . f ( x ) = 2x - 4 , g(x) = x2 - 3 42 . f ( x ) = x2 - 2,g (x ) = x2 + 2 44. 46. l a 2 - 1 6 a + 2 0 45pq - 2 5 c f - 10q 48. (8x2 + 14x - 15) + (2x + 5) 50. (4a4 - la 2 - 5a + 4) + (2a - 1) 52. (4x3 + 12x2 + x - 10) + (2x + 3) Utilice la división sintéticapara obtener el cociente de cada expresión. 53. (3x3 - 2x2 + 10) + (x - 3) 54. (2y5 - 10y3 + y - 1) + (y + 1) 55. ( í s - 20) + (jc - 2) 56. {2x3 + *2 + 5jt - 3 ) (jr - i ) Determine el residuo de cada división mediante el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indiquelo. 57. (x2 - 4x + 11) + (x - 3) 58. (2x3 - 6x2 + 3x) + (x + 4) 59. (3*3 - 6) -5 - ( x - j ) 60. (2x‘ - 6x2 - 8) *• (x + 2)
- 408. 3 8 0• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales [5.4] En cada expresión, factorice el máximo factor común. 61. 4*2 + 8* + 24 63. 10a3¿> 3 - 12a2b6 Factoricepor agrupación. 65. 5*2 - x y + 20xy - 4 / 67. (2x - 3)(2x + 1) - (2* - 3)(x - 8) 62. 15*4 + 6*3 - 12*4/ 64. 12*yV + 6*2/ z2 - 15x 3y V 66. 12a2 - 8 a b + 15ab - 10b2 68. 7*(3* - 5) + 3(3* - 5)2 En los ejercicios 69 y 70, A representa el área de la figura. Determine una expresión en forma factorizada, para calcular la diferencia entrelas áreas de lasfiguras geométricas. 69. A = 13*(5* + 2) 70. I A = 7(5* + 2) A = 14*2+ 18* A = 7* + 9 En los ejercicios 71 y 72, V representa el volumen de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la dife rencia entre los volúmenes de lasfiguras geométricas. e y = 7(17*+ 3) [5.5] Factorice cada trinomio. 73. / + 8* + 12 75. / - 4* - 21 77. - * 2 + 12* + 45 79. 2*3 + 13*2 + 6* 81. 4a3 - 9a2 + 5a 83. / - 15xy - 54y2 85. *4 + 8*2 + 15 87. (* + 5)2 + 10(* + 5) + 24 72. © V = 20x2 + 25x V = 8x+10 74. *2 + 2* - 15 76. *2 - 10* + 16 78. - * 2 + 13* - 12 80. 8*3 + 10*2 - 25* 82. 1 2 / + 6 1 / + 5 / 84. 6p2 - 19p q + 1 0 / 86. *4 + 2*2 - 63 88. ( * - 2 )2 - ( * - 2) - 20 En los ejercicios 89 y 90, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada en cada figura. 89. 90. x + 2 x + 9 x + 4 [5.6] Utilice unafórmula especial defactorización parafactorizar las siguientes expresiones. 91. x2 - 49 92. *2 - 100 93. *4 - 16 94 *4 - 81 95. 4a2 + 4a + 1 96. 4 / - 12y + 9 97. (* + 2)2 - 9 98. (3y - l) 2 - 25
- 409. Ejercicios de rep a so del capítulo • 381 99. p* + 16p2 + 64 100. bA - 14b2 + 49 101. *2 + 8* + 16 - y 2 102. a2 + 6ab + 9b2 - 4c2 103. 9*2 + 6xy + y 2 104. 36b2 - 60bc + 25c2 105. *3 - 27 106. / + 64 107. 125*3 - 1 108. 8a3 - 21b3 109. (* + l) 3 - 8 110. (* - 2)3 - 27 111. y 3 - 6 4 / 112. (a + 3)3 + 1 En los ejercicios113 y 114, determine una expresión, en formafactorizada, para calcularel área de la región sombreada en cadafigura. 113. 115. Volumen Determine una expresión, en forma factoriza da, para calcular la diferencia entre los volúmenes de es tos dos cubos. 116. Volumen Determine una expresión, en forma factoriza da, para calcular el volumen de la región sombreada de esta figura. [5.4-5.7] Factorice completamente. 117. x 2/ - 2xy2 - 15y 2 119. 3*3/ + 18*y - 6X2/ - 3 6 * / 121. 2x3y + 16y 123. 6*3 - 21x2 - 12* 125. 3*3 + 2 4 / 127. 4(2* + 3)2 - 12(2* + 3) + 5 129. (* - l) * 2 - (* - 1 )* - 2(x - 1) 131. 6p 2q2 - Spq - 6 133. 4y 2 - (* 2 + 4* + 4) 135. 6*4/ + 9*3/ - 27* Y a c 118. 3*3 - 18*2 + 24* 120. 3y5- 27y 122. 5x*y + 20x 3y + 20*2y 124. *2 + 10* + 25 - / 126. *2(* + 4 ) + 3 * (* + 4 ) - 4 (x + 4) 128. 4*4 + 4*2 - 3 130. 9ax - 3 bx + 12ay - 4by 132. 9*4 - 12*2 + 4 134. 6(2a + 3 )2 - 7 (2 a + 3 ) - 3 ^ x 3 " ^ f y6 Área En los ejercicios 137 a 142, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada de cada figura. 137. y + 7
- 410. 3 8 2• C apítulo 5 • Polinom ios y fun cione s polinom iales 139. b ¿ > h b b b b 140. b b 14L a + 3b a b a b ü 142. a a a b [5.8] Resuelva.. 143. (x - 3)(4* + 1) = 0 146. 15*2 + 20* = 0 149. x2 = 8x - 7 152. 20/t2 - 6 = 7p 144. (2 * + 5)(3* + 7) = 0 147. j*2 + Ix + 12 = 0 150. c3 - 6c2 + 8c = 0 153. 5*2 = 20 145. 148. 2x2 = 4* a2 + a - 30 = 0 151. 12d2 = 13d + 4 154. x (x + 3) = 2(x + 4) - 2 íM/ce factorización para determinar las intersecciones del eje x de la gráfica de cada ecuación. 155. y = 2x2 - 2x - 60 156. y = 20*2 - 49* + 30 Escriba una ecuación cuya gráfica tenga las intersecciones del eje x en los valores dados. 3 5 157. - 3 y 6 “ * • - F - 6 En los ejercicios 159 a 163, responda la pregunta. 159. Alfombra El área de una alfombra rectangular es de 99 piescuadrados. Determine el largo y ancho de la alfombra, si el largo es 2 pies mayor que el ancho. 160. Anuncio triangular La base de un anuncio triangular mi de 3 pies más que el doble de la altura. Determine la base y la altura, si el área del triángulo es 22 pies cuadrados. 161. Cuadrado Un cuadrado tiene un lado de 4 pulgadas ma yorque el lado de un segundo cuadrado. Siel área del cua cad o más grande es de 49 pulgadas cuadradas,determine la longitud de cada lado de ambos cuadrados. 162. Velocidad Un proyectil es lanzado hacia arriba, desde la parte más alta de un edificio de 144 pies de altura, con una velocidadde 128pies porsegundo. La distancia del proyec til respecto del suelo en cualquier instante /, en segundos, está dada mediante la fórmula s(/) = -161 2 + 128/ + 144. Determine el tiempo que tarda el proyectil en estrellarse contra el suelo. 163. Postes telefónicos Sesujetan dos cables tensados a un pos te telefónico para ayudar a estabilizarlo. El cable se suje ta a * pies de la base del poste, sobre el suelo. La altura del poste es * + 31 y el largo del cable es * + 32. Deter mine *.
- 411. Exa m en d e p rá ctica del capítulo • 3 8 3 Examen de práctica del capítulo L a) Proporcione el nombre específico del siguiente poli nomio. -4 x 2 + 2 x - 6*4 b) Escriba el polinomio en potencias descendentes de la variable x. c) Indique el grado del polinomio. d) ¿Cuál es el coeficiente principal del polinomio? Realice cada operación. 2. ( l x 2 y - 5y 2 + 2x) - (3x 2 y + 9y2 - 6y ) 4. (2a - 3b)(5a + b) 6. (12x6 - 15x 2y + 21) -i- 3-r2 8. Utilice la división sintética para obtener el cociente. (3x4 - 12x3 - 60* + 4) + (* - 5) 3. 2*3y 2( - 4 * 5y + 10*V - 6 * ) 5. (2 x 2 + 3xy - 6 / ) ( 2 x + y) 7. (2 * 2 - 7 * + 10) + (2 * + 3 ) 9. Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo cuando 2x* - ó*2 - 5* + 4se divide entre* + 3. Factorice completamente. 10. 12*3y + 10*2y 4 - 8*y3 12. 2a2 + 4ab + 3ab + 6b2 14 4(x - 3)2 + 20(* - 3) 16. 27p3q6 - 8q6 lh x 3 - 2X2 - 3x 13. 2b4 + 5b2 - 18 15. (* + 5)2 + 2(x + 5) - 3 17. Si f(x) = 3* - 4 y g(x) = x - 5,determine a) (/• g)(x) y b) (f •g)(2). En los ejercicios 18 y 19, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada. 19. 2x x + 7 x + 8 Resuelva. 20. l x 2 + 25* - 12 = 0 2L *3 + 3*2 - 4* = 0 22. Utilice factorización para determinar las intersecciones del eje * de la gráfica de la ecuación y = 8X2 + 10* - 3. 23. Determine una ecuación cuya gráfica tenga interseccio nes del eje * en 2 y 6. 24 Área El área de un triángulo es de 28 metros cuadrados. Si la base del triángulo es 2 metros mayor que 3 veces la altura, determine la base y la altura del triángulo. 25. Béisbol Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba, desde la parte más alta de un edificio de 448 pies de altu ra, con una velocidad inicial de 48 pies por segundo. La distancia, s, de la pelota de béisbol respecto del suelo en cualquier instante /, en segundos, está dada por la ecua ción s(t) = -16/2 + 48/ + 448. Determine el tiempo que tarda la pelota de béisbol en golpear el suelo.
- 412. E x am e n d e r e p a s o a c u m u la t iv o 3Q A • C apítulo 5 • Polinom ios y funcion e s polinom iales Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrecta mente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta. L Determine A U B para A = {2,4,6,8} y B = (3,5,6,8}. 2. Ilustre {r|x ^ -5} en la recta de los números reales. 3. Divida + (-2 ). 4 Evalúe ( -3 )3 - 22 - ( - 2 ) 2 + (7 - 7)2. implifique [ y - 2 rV Y 5. Simplifique { 2 . . 6. Resuelva 4(2* —2) —3(* + 7) = — 4. 7. Resuelva k =2(d + e) para e. 8. Terreno Un arquitecto desea cercardos áreas iguales, co mo se ilustra en la figura. Si ambas áreas son cuadrados y el largo total de la cerca utilizada es de 91 metros, deter mine las dimensiones de cada cuadrado. 9. Copias Cecilia Sánchez tiene un manuscrito y necesita obtener 6 copias del mismo antes de enviárselo a un edi tor en Argentina. La primera copia cuesta 15 centavos por página y cada copia adicional cuesta 5 centavos por pági na. Si el pago total es de $248, ¿cuántas páginas tiene el manuscrito? 10. Promedio de calificaciones Las primeras cuatro califi caciones que obtuvo Luis Ruiz en sus exámenes son 68, 72, 90 y 86. ¿Qué rango de calificaciones de su quinto examen producirá un promedio mayor o igual que 70 y menor que 80? IL ¿(4,1) es una solución de la ecuación 3x + 2y = 9? 12. Escriba la ecuación 2 = 6x - 3y en la forma general. 13. Determine la pendiente de la línea que pasa por los pun tos (8, — 4) y ( — 1 , - 2). 14 Sif{x) = 2x* - 4X2 + x - 16,determine/(-4 ). 15. Grafique la desigualdad 2x - y ^ 6. 16. Resuelva el sistema de ecuaciones. 2 8 r - y = 3 17. Resuelva el sistema de ecuaciones. x - 2 y = 2 2x + 3y = 11 - y + 4z = 7 18. Evalúe el determinante. 7 3 - 2 1 19. Divida (2x3 - 9 x + 15) - (x - 6). 20. Factorice 64.r’ - 27y3. R e s p u e s t a s a l e x a m e n d e r e p a s o a c u m u la t iv o -5 16 4 - 3 5 ; [Sec. 1.4,O bj.3] 5 .8 rV s;[Sec. 1.5,Obj.7] 6.5; [Sec. 2.1,Obj. 3) 7.e = - ~ — ; [Sec.2 2 ,Obj.2] 13 metros; [Sec. 2.3, Obj. 2] 9.620 páginas; [Sec. 2.3, Obj. 2] 10.34 £ * < 84; [Sec. 2.5,Obj. 3] 11. No; 12.6* - 3y = 2; [Sec. 3.3, Obj. 2] 13. - 1 ; [Sec. 3.4, Obj. 2] 14. - 212; [Sec. 3.6, Obj. 1] 15. y [Sec. 3.7, Obj. 1] 16. (10, 4); [Sec.4.1, Obj. 3] 17. (4,1,2); [Sec. 42, Obj. 1] 2; 393 18.13; [Sec.4.5, Obj. 1] 19.2*2 + 12* + 63 + [Sec. 5.3, Obj. 2] M M l_ 20. (4* - 3y)(16*2 + 12*y + 9y 2); [Sec. 5.6, Obj. 3] " 2I -4 - i Obj. 5] 8. 13 metros por Sec.3.1,Obj. 2] 1 1/ l 1 ----í - Y 4 x
- 413. C a pí t u l o 6_______________ Expresiones racionales y ecuaciones 6 . 1 Dominios de funciones racionales y muitiplicación y división de expresiones racionales 6 . 2 Sum a y resta de expresiones racionales 6 .3 Fracciones complejas 6 .4 Resolución de ecuaciones racionales 6 .5 Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas 6 . 6 Variación Resum en del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Exam en del capítulo Exam en de repaso acumulativo E n ocasiones un problem a parece más difícil d e lo q u e es en realidad, a causa del contexto en que se presenta. C uando esto le suceda, intente escribir un problem a similar usando un con texto q u e le sea más conocido. Por ejem plo, en la página 437 se pide determ inar q u é tan lejos es tá una estación espacial respecto d e las oficinas generales d e la NASA,p o r medio d e una ecuación basada en el tiem po q u e le tom a a dos transbordadores, q u e viajan a velocidades diferentes, llegar a la estación. A unque los núm eros específicos serán diferentes, el problem a es el mismo q u e si se le pidiera determ inar la distancia que hay entre su colegio y su casa con base en el tiempo relativo que necesitarían usted y sus padres p ara llegar a la escuela, si condujeran hacia ella p o r separado, a diferentes velocidades. C O D 385
- 414. 3 8 6• C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s A vance de la lección E n este capítulo se explicará cóm o sum ar, restar, m ultiplicar y dividir expresiones racionales, es decir, expresiones q u e contienen fracciones. Tam bién se hablará de cóm o resolver ecuaciones con expresiones racionales. Las ecuaciones con expresiones racionales tam bién se conocen com o ecuaciones racionales. E n la sección 6.1 se presentan las expresiones racionales, y se analizan los d o minios d e las expresiones y las funciones racionales. E n los cursos más avanzados de m atem áticas se analizan las funciones racionales y su graficación con más detalle. Pára com prender a cabalidad las secciones 6.1 y 6.2, es necesario utilizar las téc nicas d e factorización q u e se presentaron en el capítulo 5. E n el capítulo 2 resolvimos algunas ecuaciones con fracciones. E n la sección 6.4 presentarem os y resolveremos m uchos tipos d e ecuaciones con expresiones racionales. E n las secciones 6.4 y 6.5 se incluyen problem as d e aplicación con ecuaciones q u e in cluyen expresiones racionales. Cbnocer el concepto d e variación es im portante en muchos cursos d e ciencias y,por supuesto, lo mismo ocurre en las matemáticas. Por ello, en la sección 6.6 se analizarán di versos tipos d e variaciones, incluyendo la directa, la inversa, la conjunta y la combinada. 6 .1 D O M IN IO S D E F U N C I O N E S R A C IO N A L E S Y M U L T IP L IC A C IÓ N Y D IV IS IÓ N D E E X P R E S IO N E S R A C IO N A L E S q a 1 Determinar el dom inio de funciones racionales. 2 Reducir expresiones racionales. 3 Multiplicar expresiones racionales. 4- Dividir expresiones racionales. 1 D e te rm in a r el d o m in io d e fu n c io n e s ra c io n a le s Para entender las expresiones racionales, es preciso com prender las técnicas de factori zación que se analizaron en el capítulo 5. Una expresión racional es una expresión de la form a p/q, donde p y q son polinom ios y q # 0. Ejemplos de expresiones racionales * + 3 x 2 + 4x l2 - 5í + 7 x ’ x - 3 ' a2 - 4 ’ i3 + 12 - 3l O bserve q u e el denom inador d e una expresión racional no puede ser igual a 0, x + 3 ya q u e la división en tre 0 no está definida. E n la expresión---------, x no puede ser igual x x f + 4 x a 0, ya q u e el denom inador tendría un valor 0. E n :— ZTT~X 1,0 Puet* e *8ua*a ya X ó qu e el denom inador tendría un valor 0. ¿Q ué valores de a no pueden utilizarse en la expresión ^ Si respondió 2 y - 2 , contestó correctam ente. Al escribir una expresión racional con una variable en el denominador,siempre suponemos que el valor o valores de la variable que hacen el denominador igual a cero quedan excluidos. Por ejemplo, si escribimos — , suponemos x t 3, aunque x * esto no se indique de manera específica. E n la sección 5.1 estudiam os las funciones polinom iales; a continuación analiza rem os las funciones racionales. U na función racional es aquella con la form a /(* ) = p /q o y = p / q , d o n d ep y q son polinom ios y q # 0.
- 415. Sección 6.1 •D om inios d e funciones racionales y multiplicación y división d e e xp re sione s... • 3 8 7 E J E M P L O 1 Solución E je m p lo s d e f u n c io n e s r a c io n a le s ^ x 5 x 2 + 9 x a + 1 , , x l x - 3 f { x ) = ~x y = T T T = ^ E l dom inio de una función racional será el conjunto d e valores q u e pueden utilizarse x + 2 para reem plazar la variable. Por ejemplo, en la función racional f ( x ) = — ^ r , el do- x ó m inio será el conjunto d e todos los núm eros reales, excepto el 3, lo q u e se escribe {xx # 3(. Si x fuera 3, el denom inador sería 0, y la división entre 0 no está definida. O Para las funciones d ad as/(* ) y g(x), determ ine el dom inio d e ( — a) f ( x ) = x g ( x ) = x 2 - 4 b) f ( x ) = x - 2 , g ( x ) = x 2 + 3 x - 10 c) f ( x ) = x , g ( x ) = x 2 + 6 a) Com o f ( x ) y g (x) so n funciones polinom iales, el dom inio de cada una es el con ju n to d e todos los núm eros reales. Por lo tanto, el dom inio del cociented elas fu n ciones (f/g ) (x ) se rá el con ju n to d e todos los núm eros reales p a ra los q u e el denom inador del cociente sea d iferente d e 0. C on b ase en lo aprendido en la sec ción 3.6 sabem os que s r 1 g ( x Y Por lo tanto, ( £ ) ( * ) = ^ 7 7 Sustituir expresiones para Factorizareldenominador. x 2 (x + 2 ) ( x - 2) Con base en esta form a factorizada, vem os q u e x no puede ser 2 ni - 2 . Así, el dom i nio está form ado p o r todos los núm eros reales excepto 2 y - 2, y puede expresarse co mo {xx * 2 y x * - 2}. x 2 6 u6tituirexpresionespara . 2 + 3a: — 10 f(x)yg(x). x - 2 (x - 2 ) ( x + 5) Factorizareldenominador. O bserve q u e * - 2 en el num erador se cancelaría con x - 2 en el denom inador. Sin em bargo, cuando determ inam os el dom inio del cociente d e funciones, lo hacem os antes d e simplificar la expresión. Como el denom inador no puede ser 0,* no puede tener va lores d e 2 ni de - 5 . E l dom inio es {xx ¥^2yx¥= -5 } .
- 416. 3 8 8• C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s C om o ningún valor d e x puede resultar e n un denom inador 0 ,el dom inio está fo r m ado p o r todos los núm eros reales y p u ed e escribirse com o {*1* es un núm ero AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 21 real}. # Cómo utilizar su calculadora graficadora Si usted tiene una calculadora graficadora, sería recom endable q u e practicara en ella la graficación d e algu nas funciones racionales. Esto le d ará una idea d e la gran variedad d e gráficas q u e pueden producir las funciones racionales. Si graficara en su calculadora la expresión y = d e la figura 6.1. x2 - 4 del ejem plo la ), la pantalla podría verse com o la FIGURA 6.1 FIGURA 6.2 E l dom inio d e esta función está form ado p o r todos los núm eros reales, excepto 2 y -2 . O bserve lo que parecen ser líneas verticales en x = 2 y x = - 2 , los valores d e x en donde la función no está definida. E sta calculadora está en un m odo llam ado m odo de conexión, lo cual significa q u e conectará todos los puntos q u e grafique, pasando del punto con la coordenada a: m ás pequeña al siguiente mayor. Justo a la izquierda d e - 2 , el valor d e y es un número positivo grande, y justo a la derecha d e - 2, el valor de y es un núm ero negativo grande. L a recta vertical es el intento d e la calculadora p ara conectar estos dos puntos d e * y y. U na situación sim ilar ocurre en x = 2. E n algunas ocasiones es preferible q u e la calculadora esté en m odo de puntos,d e tal m anera q u e m uestre des conectados los puntos q u e se han calculado. L ea el m anual q u e acom paña a su calculadora p ara aprender cómo cam biar d e m odo d e conexión a m odo d e puntos y viceversa. E n la figura 6.2 se m uestra la misma gráfica d e la figura 6.1, pero esta vez en una calculadora en m odo d e puntos. 2 R e d u c ir e x p re s io n e s ra c io n a le s A l resolver problem as q u e incluyen expresiones racionales, debem os asegurarnos de escribir la respuesta en los térm inos mínimos. U na expresión racional está simplifica da cuando el num erador y el denom inador no tienen factores com unes, salvo el 1. La fracción f no está simplificada, ya q u e 6 y 9 tienen com o factor com ún el núm ero 3. Cuando se factoriza el núm ero 3, la fracción sim plificada e s f . 6 _ 3 ^ 2 _ 2 9 “ 3*-3 " 3 i ab — b2 L a expresión racional — — — no está sim plificada, ya q u e el num erador y el denom i- Lo nador tienen un factor, b. Para sim plificar este expresión, factorice b en cada térm ino del num erador; luego, divida. a b - & t í (a - b ) a - b 2b I t í 2
- 417. ab - &. a - b Así, — —— se convierte en — - — cuando se simplifica. ¿b L P a ra sim plificar e xp re sio n e s racionales L Factorice tanto como sea posible el numerador y el denominador. 2. Divida el denominador y el numerador entre los factores comunes. E J E M P L O 2 Simplifique, a) X + ** + 3 b) ^ — — X t j X X Solución a) Factoriceel numerador;luegodivídaloentreel factor común. x 2 + 4 x + 3 _ 4 * -i-3 T (* + 1) * + 3 X --+ S X Laexpresiónracionalsesimplificaa* + 1 . b) Factoriceel numerador y el denominador. Luego divida entre los factoresco munes. 3 * 3 - 3 x 2 = 3 x 2( x - 1) * 3 - * *(** - 1) 3 > 4 * — t y = — —TT7--------ZZZFactorizarx - 1. <*4* + 1)4* t j 3* Sección 6.1 • D om inios d e funciones racionales y multiplicación y división d e expresiones... • 3 8 9 La expresión racional se simplifica a * + 1 3 x x + 1 Cuando los térm inos d e un num erador sólo difieren en el signo respecto d e los térm inos d e un denom inador, podem os factorizar - 1 del num erador o bien del d eno m inador. Cuando se factoriza -1 en un polinomio, los signos de todos los término del polinom io cambian. Por ejemplo, - 2 x + 3 = - 1 ( 2 * - 3) = - ( 2 * - 3) 6 - 5* = —1 (—6 + 5 * ) = - ( 5 * - 6) - 3 * 2 + 5 * - 6 = -1 Í3 * 2 - 5* + 6) = - ( 3 * 2 - 5 * + 6) E JE M P L O 3 Simplifique Z J * 0 . , 27*3 — 8 _ (3*)3 — (2)3 E6criba el numerador como una d- o O lU C IO n 2 — 3* _ 2— 3 * ferenda de do& cuboe. _ (3*~ 2 )(9 * 2+ 6* + 4) Factorice;recuerdequea*- b3 = 2 - 3 * ( a - b ) ( á 2 + a b + b 2). 43*— ~ T f(9 x2 + 6* + 4) Factorice —1del denominadory —1 4 3 * divida entre loe factoree comunee. = 9 x2 + 6 * + 4 - 1 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41 = “ í 9 * 2 + 6 * + 4 ) O - 9 X 2 ~ 6 * - 4 #
- 418. 3 9 0• C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s C Ó M O EV ITA R In c o r r e c t o In c o r r e c t o ER R O R ES C O M U N E S Í + S Recuerde que sólo se puede dividir entre factorescomunes. Solamente cuando las ex presiones están multiplicadas pueden factorizarse. Por lo tanto, ninguna de las expresiones anteriores puede simplificarse. C o r r e c t o In c o r r e c t o * 2 - 4 ( X + 2)4*- ~2J = x + 2 3 Multiplicar expresiones racionales A hora q u e sabem os cóm o simplificar una expresión racional,podem os analizar la m ul tiplicación d e expresiones racionales. P a ra m ultiplicar e xp re sio n e s racionales Para multiplicar expresiones racionales, utilice la siguiente regla: Para multiplicar expresiones racionales, siga estos pasos: L Factorice tanto como sea posible todos los numeradores y los denominadores. 2. Divida entre los factores comunes. 3. Multiplique usando la regla anterior. 4. Ciando sea posible, simplifique la respuesta. (Este paso no es necesario si se realiza correctamente el paso 2). E J E M P L O 4 Si dividió entre todos los factores com unes en el paso 2, no podrá reducir la res puesta en el paso 4. Sin em bargo, si olvidó un factor com ún en el paso 2, puede facto rizarlo en el paso 4 p ara obtener una respuesta más simplificada. Solución a) M ultiplique, a) a: — 5 * - 5 x 2 - 2 x 2 x - 5 x 2 - 8 x + 16 6* x2 - 7x + 10 4 x - - — 2 T ( -x -— S T b) 2x - 5 x 2 - 8* + 16 = 2x - 5 (* ~ 4 )(* - 4) x - 4 5 - 2 * x - 4 5 - 2* = 2* - 5 j * — "4X (* - 4) x - 4 ' - 1 ( 2 * - 5)' = * ~ 4 - 1 = ~ ( x - 4) Factorice;divida entre loe factoree comunee. Factorice. Factorice —1del denominador, divida entre loe factoree comunee. o —x + 4 o 4 - X
- 419. Sección 6.1 •D om inios d e funciones racionales y multiplicación y división d e e xp re sione s... • 391 E J E M P L O 5 M ultiplique x2 - y 2 x + 2y Solución AHORA RESUELVA EL EJER CICIO 55 E J E M P L O 6 Solución ■ 2 - y2 x + y 2x 2 - x y - y 2' X + 2y x + 2y x + y 2a2 - x y - y ‘ j h H-y x + 2y Factorice: ___________________ dividaentre (2 x + y) ^ X y ) los factores comunes. M ultiplique 2 x + y ab - ac + b d - cd b2 + be + b d + cd ab + ac + b d + cd b2 + b d - be - cd Factorice los num eradores y denom inadores m ediante agrupación. Luego divida en tre los factores comunes. ab - ac + b d - cd b2 + be + b d + cd ab + ac + b d + cd b2 -F b d - b e - cd a {b - c ) + d (b - c) b (b + c) + d {b + c) a {b + c) + d (b + c ) ’ b (b + d ) - c (b + d ) {-b-— cj±a-+-dy ±b-+-cJi-b-4-dy = 1 Propiedad distributiva. Factorice completamente;divida entre loe factores comunes. 4. D ividir e x p re s io n e s ra c io n a le s A continuación analizarem os la división d e expresiones racionales. P a ra dividir e xp re sio n e s racionales Para dividir expresiones racionales, utilice la siguiente regla: — £. _ - a 'd b d b c b ' c ’ 5* 0, c 5* 0, d 5*0 Para dividir expresiones racionales, invertimos el divisor (la segunda fracción, o fracción in ferior) y procedemos como cuando multiplicamos expresiones racionales. E J E M P L O 7 Divida Solución 1 2 a:4 5 y 3 3a: 2 5 y 12x4 S y 3 3 x s 25y 4 . 5 :l2 x 4 2 S y Invierta el divisor; dividaentre lo6 factores comunes. y X 4 -5 20 y 2* x f E n el ejem plo 7 todos los num eradores y denom inadores fueron monomios. Cuando los num eradores o denom inadores son binom ios o trinom ios, los factoriza- mos,si es posible,p ara dividir en tre factores com unes. E ste procedim iento se ilustra en el ejem plo 8. E J E M P L O 8 Divida, a) x 2 — 2 5 . x - 5 x + 4 x + 4 b) 12a2 - 22a + 8 3 a 2 + 2 a - 8 3 a 2a1 + 4a
- 420. 3 9 2• C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s Solución a) comunes. b) x 2 — 25 x - 5 x 2 - 25 x + 4 — --------7= -----------—•--------— Invierta el divisor. x + 4 x + 4 x + 4 x - 5 (x + 5)-(-X -5 ) jc-+ ~4 Factorice;divida entre loe factores ~ X -+ -4 3 = * + 5 12a2 — 22a + 8 ^ 3a2 + 2a - S 3a 2a2 + 4a 12a2 - 2 2 a + 8 2a2 + 4a 3a 3a2 + 2a - 8 2(6a2 - l i a + 4) 2a (a + 2) 3a ' ( 3 a - 4 ) ( a + 2) 2{3a— 4J(2a - 1) 3 tí 4(2a - 1) 3 ¡nvierta el divisor Factorice. Factorice una vez más; divida entre los factores comunes. E J E M P L O 9 Divida x 2 + x y Solución AHORA RESUELVA EL EJER CICIO j 4 - y4 . _____________ X - y X2 - 2x y + y 2' x 2 + xy ~ / : _____________ x - y x 2 - 2 x y + y 2 - y 4 x 2 - 2 x y + y 2 x - y x 2 + x y (x 2 + ? ) { # - y 2) ( x - y ) ( x - y) x - y x ( x + y) Invierta el divisor. Factorice. = (*2+ y ) ( * - y ) ( * - y ) Factorice una vez má6;divida X-(x--+~~yy entre los factores comunes. (x 2 + f ) ( x - y ) 2 SUGERENCIA C O N S E J O F A K A E S T U D I A R A lo largo de este capítulo necesitaremos factorizar polinomios. Es importante que usted entienda las técnicas de factorización que se trataron en el capítulo 5.Si tiene dificultad al factorizar, repase ahora ese tema. C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 6.1 Ejercicios conceptuales L a) ¿Qué es una expresión racional? b) Proporcione su propio ejemplo de una expresión ra cional. yfx 2. Explique por qué n< >es una expresión racional. 3. a) ¿Qué es una función racional? b) Proporcione su propioejemplo de una función racional. 4. Explique por qué f ( x) = V x T T no es una función racional. 5. a) ¿Qué es el dominio de una función racional? 3 b) ¿Cuáles el dominio de /( * ) = -? x2 - 16 6. a) Explique cómo simplificar una expresión racional.
- 421. Sección 6.1 •D om inios d e funciones racionales y multiplicación y división d e e xp re sione s... • 3 9 3 b) Medíanle el procedimiento que establecióen la parte a), simplifique ó * 2 + 2 3 * + 2 0 4 ^ - 2 5 7. a) Explique cómo simplificar una expresión racional en donde el numeradory el denominadorsólo difieren en el signo. b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a), amplifique 3 * 2 - 2 a: - 8 - 3 * 2 + 2 * + 8 Problemas de aplicación 8. a) Explique cómo multiplicar expresiones racionales. b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a), multiplique 6a2 + a - 1 3a2+ 4a+1 3o2 + 2a - 1 '6a2 + 5a + 1 9. a) Explique cómo dividir expresiones racionales. b) Medianteel procedimiento indicadoen la parte a),divida r + 2 . (r + 2)2 r2 + 9r + 18 ' r2+ 5r+6 10. Cbnsidere f ( x ) = —. ¿Será/(*) = 1 para todos los valo res de *? Explique. x Determine los valores que deben excluirse en las siguientes expresiones. 4x x + 2 11. 15. 3 * - 12 x - 3 * 2 + 4 12. 16. x 2 - 6 4 - 2 16 - r 2 13. 17. 2 * 2 - 1 5 * + 2 5 * 2 + 36 * 2 - 36 14 18. (x - 5)2 * 2 - 3 6 * 2 + 3 6 Determine el dominio de cada función. p + 1 W. f Í P) = 22. y = p - 2 * - 3 * 2 + 4 * - 21 / X2 - x + 2 25. g(x) = j--------- 28. k(b) = x ¿ + 1 b2 - 49 b2 + 49 20. f ( z ) = 23. f(a ) = 26. h(x) = - S z + 4 3g2 - 6a + 4 2a2 + 3a - 2 * 3 - 6 4 * ^ + 100 21* y = * 2 + * - 6 Simplifique cada expresión racional, x - xy 29. 35. 38. 4L * 2 + 3 * *2 - 2* 5r - 4 4 — 5r 4 * 2 - 1 6 * 4 + 6 * 5y 8*3y2 8*3 - 1 2 5 / 2* - 5y (2* — 5)( * + 4 ) — (2* - 5)(* + 1) 30. 33. 36. ^ 39. 42. 3 ( 2 * - 5 ) 47. a3 - b 3 a2 - b 2 45. 48. *2 - 2* *2 - 1 4*2 - 9 2*2 - * - 3 a2 - 3 a - 1 0 a2 + 5a + 6 *(* - 3) + *(* - 4) 2* - 7 a2 + 3a - ab - 3 b a2 - ab + 5a - 5b x 2 + * - 6 x 3 + 21 3L 34 £ 37. 40. 5*2 - 10*y 15* 4*2y + 12*y + 18*3/ 8*y2 p 2 - 2p - 24 6 - p y 2 - 10y z + 24z2 y2 - 5yz + 4Z2 43. (* + 5)(X ~ 3) + (* + 5){x - 2) 46. 2 ( * + 5 ) x y — y w + x z - zw x y + yio + x z + zw
- 422. 3 9 4• C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s Multiplique o divida como se indica. Simplifique todas las respuestas. 2x y 3 16a2 ó* 3 49. - — — 50. — T ' T i 3y 6 y 4 4yr ^ _jL_ ^ so™ 4 U x ' 2 y 5 4 ' 16y2 4 9 * V 25/zi5 3 - r r - 6 la + Ib a2 - b2 53. 54-------------+ -------- - r - 3 6 - r 3 a - b ' p 2 + l p + 10 l x2 + 3* - 10 *2 _ 5 5 . _ ‘ . . 5 o . a: /? + 5 /> + 2 4 a : x2 - 5a + 6 r 2 + lOr + 21 . . *2 + 3* - 18 57. ------— (r2 - 5r - 24) 58. (x - 3) - —-------- x2 + 12a: + 35 . *2 + 3* - 28 _ a: + 1 3* + 3 59. , 60. x2 + 4a: - 5 a: - 1 *2 - 17* + 30 *2 + 7* - 18 a - b a2 - b2 2x2 + 8*y + Sy2 2x2 + Ix y + óy2 6L 9a + 9b ^ a2 + 2a + S1 7 T 4 ¡ 7 7 ¡ 7 ' 4 ? T Í 4 ¡ ^ T T 2 P 3a:2 - x - 4 2a:2 - 5a: - 12 6a:3 - a:2 - a: a:2 - 1 63. r r — :— — • „ — 64. 4 a :2 + 5 a : + 1 6a:2 + x - 12 2a:2 + a: — 1 a:3 - 2 a :2 + a: * + 2 (* - 2)2 _ x2 - y2 (x + y)2 “ 65. — “ * — — 66. 67. 3 - 8 *2 + 4 *2 - 2*y + y2 ' (* - y)2 x A - / *2 - y 4 (x2 - y 2)2 x 2 + y 2 2 + / *4 (x2 - y2)3 *4 “ / 2 a :4 + 4 * 2 a:2 + 2 8a3 - 1 a2 - 2a + 1 6 a :2 4* 1 4 a: ■ + ■ 4 3 a:2 + x m 4a2 + 2 a + 1 ' ( a - l ) 2 (fl - b)3 a2 - b2 r 2 — 9 r 2 + 6r + 9 a3 - ¿> 3 ‘ (a - 6)2 r 3 - 27 ’ r 2 + 3r + 9 4 a : + y 10*2 - * y - 2 y 2 2*3 - 7*2 + 3* x 2 + 3x 73. 7— ~ T 74 5a: + 2y 8a 2 —2*y —y2 *2 + 2* - 3 (x - 3)2 ac - ad + be - bd pe + p d - qc - qd3r2+ l l r s + 10s2 . 6r2 + rs - 2S2 ac + ad + be + bd pe - pd + qc - qd6r2+ 13rs - 5s2 6r2 - 5 rs +s2 x 3 - 4a:2 + a: - 4 2x3 + 2x2 + x + 1 2p 2 + 2pq - pq2 - q3 _ p 3 + p+ p 2q + g 7 7 - 4 ’ ’ ' i r 3 - 8-t2 + * - 4 p> + p> + pq1 + q> p> + p + p* + 1 Resolución de problemas 79. Construya una expresión racional que no esté definida en a = 2 y a = -3 . Explique cómo determinó su res puesta. 80. Construya una expresión racional que no esté definida en a = 4 y a = - 2 . Explique cómo determinó su res puesta. 81. Considere la función racional /(* ) = y Explique por qué esta función nunca puede ser igual a 0. 82. Considere la función racional g(*) = x y Explique par qué esta función nunca puede ser igual a 0. x —4 83. Considere la función racional /(* ) = — ----— . ¿Para cuáles valores de a :,si los hay,esta función a) es igual a 0? b) no está definida? Explique. 84. Considere la función /( * ) = ¿Para cuáles valo- Ar — 81 res de x, si los hay,esta función a) es igual a 0; b) no está definida? Explique. 85. Roporcione una función que no esté definida en x = 3 y ^ x = - l ,y que tenga un valorde 0 en x = 2. Explique cómo determinó su respuesta. 86. Roporcione una función que no esté definida en a : = -4 y * = -2 , y que tenga un valor de 0 en a : = 5. Explique có mo determinó su respuesta.
- 423. Sección 6.1 •D om inios d e funciones racionales y multiplicación y división d e e xp re sione s... • 3 9 5 Determine elpolinomio que debe colocarse en el área sombreadapara obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó su respuesta. 87. 1 * 2 + 2x - 15 * - 3 y 1 - y - 20 y + 4 “ 7 + í 3* + 4 = x - 3 90. ____________ _ 2p - l óp2 + p - 15 2/7 — 3 Determine elpolinomio que debe colocarse en el área sombreadapara obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó su respuesta. 9L 93. * 2 - * - 12 = 1 * 2 + 2x - 3 * 2 - 2x - 8 * 2 - 9 . 2x2 - 9x + 9 2 ^ + 3* - 2 * + 3 2x - 1 95. Considere el siguiente rectángulo. Su área es 3a2 + lab + 262, y su longitud es 2a + 4b. Determine su ancho, w, en términos de a y b,dividiendo su área entre su longitud. 2a + 4b 97. Cbnsidereel siguiente triángulo. Sisu área es a2+ 2ab + 362 y su base es a + 36,determine su altura,h. Utilice la fórmu la área = 5 (base)(altura). 92. 94 x 2 - 4 2X2 + x - 6 x - 2 (x + 2)2 4Z2 —r - 18 2* + 5 4r3 - 9r2 3 (r - 1) 6r - 9r + 3 96. Cbnsidere el siguiente rectángulo. Su área es o2 + 2ab + 62,y su longitud es 3a + 36. Determine su ancho, h en tér minos de a y 6,dividiendo su área entre su longitud. 3a +36 98. Considere el siguiente trapecio.Si su área es a2+ 2ab + 62 cbtermine su altura, h.Utilice la fórmula área = h(a + 6). Realice cada operación indicada. 2x2 - 3x - 14 6*2 + * - 15 6*2 - 7* - 3 99. 10L 103. 2* 2 - 9* + 7 3* 2 + 2x - 5 J 2x2 - x - 3 5x?(x - 1) - 3x{x - 1) - 2{x - 1) 2* + 1 10*2(* - 1) + 9x(x - 1) + 2{x - 1 ) ' x + 3 (x - p Y . (x - p )2 ” Simplifique. x 5y + 3xA y 105. 3*3> ' + 100. 102. 104. 106. a2 - b2 2a2- la b 4- 362 2a — 3ab + b* a2 + ab ab - 362 a2 + 2ab + b2 x 2{3x - y ) - 5*(3* - y) - 2A(3x - y ) x - 1 x2(3* - y ) - 9*(3* - y ) + 8(3* - y) ‘ x + 3 --3 .--5 (* - b)r (a - b f m 2* - m x - 2 m2* —4 £>i /os ejercicios 107 a 110, a) Determine el dominio de la función. b) Grafique la función en modo de conexión. c) ¿La función crece, decrece o permanece igual conforme x se aproxima a 2, acercándose a 2 por el lado izquierdo? d) ¿La función crece, decrece o permanece igual conforme x se aproxima a 2, acercándose a 2 por el lado derecho? 107. /( * ) = x - 2 108. /( * ) = x - 2 109. f ( x ) = x - 2 110 . f ( x ) = x - 2 x - 2
- 424. 3 9 6• C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s 111. Cbn base en la función racional f ( x ) - —. a) Determine el dominio de la función. b) Cúmplete la siguiente tabla. X -1 0 - i -0.5 -0.1 -0.01 0.01 0.1 0.5 1 10 y c) Trace la gráfica de f ( x) = —. Indique qué le sucede a x la función conforme x se aproxima a 0, tanto por la izquierda como por la derecha. d) ¿Esta gráfica puede tener un valor de 0? Explique su respuesta. Actividad en equipo 112. Analicen la función racional f ( x ) = x2 - 4 x - 2 a) Determinen en equipo su dominio. b) De manera individual cada miembro del equipo com plete la siguiente tabla para la función. x - 2 -1 0 1 1.9 1.99 2.01 2.1 3 4 5 6 y c) Cbmparen sus respuestas a la parte b),y pónganse de acuerdo acerca de cuáles son los valores correctos de la tabla. x 2 — 4 d) Tracen en equipo la gráfica de f ( x) = — — r-. ¿La x ¿ función está definida cuando x = 2? e) ¿Esta gráfica puede tener algún valor de 0? Si es así, ¿para qué valor o valores de a es f(a) = 0? Ejercicios de repaso acumulativo [2.2] 113. Despeje y de 3(x - 2) + 3y = 6x. 4x [2.5] 114 Resuelva 4 + — < 6 y proporcione la respuesta en notación de intervalo. 2x - 4 [2.6] 115. Resuelva = 12. [3.2] 116. Sea f{x) = |6 - 3x| - 2 Determine/(1.3). [4.1] 117. Resuelva el sistema de ecuaciones. 3x + 4y = 2 2x + 5y = - 1 [5.6] 118. Factorice 9X2 - 6xy + y2 - 4. 6 . 2 S U M A Y R E S T A D E E X P R E S IO N E S R A C IO N A L E S i ÉÉ 1 Sum ar y restar expresiones con un denom inador com ún. 2 Determinar el mínimo com ún denom inador (M C D ). 3 Sum ar y restar expresiones sin denom inadores com unes. 4. Analizar aplicaciones de expresiones racionales. 1 S u m a r y re s ta r e x p re s io n e s c o n u n d e n o m in a d o r c o m ú n A l sum ar (o restar) dos expresiones racionales con un com ún denom inador,sum am os (o restam os) los num eradores y conservam os el denom inador común. P a ra su m a r o re s ta r e xp re sio n e s racionales Para sumar o restar expresiones racionales, utilice las siguientes reglas. Suma R e sta c * 0 c * 0 c c c c c c (continúa en la página siguiente)
- 425. Sección 6.2 •S u m a y resta de exp re sione s racionales • 3 9 7 E J E M P L O 1 Solución C Ó M O E V ITA R ER R O R ES C O M U N E S Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador común: L Sume o reste los numeradores, tal como indican las reglas de la página anterior. 2. Sies posible, simplifique las expresiones. v 3 x - 4 Sume, a) — —- + — —- x + 2 x + 2 b) x 2 + 3 x - 2 + 4 x + 12 (x + 5 ) ( x - 3) ( x + 5 ) ( x - 3) a) Com o los denom inadores son iguales, sum am os los num eradores y conservam os el denom inador común. + - 4 3 + (x ~ 4) x + 2 x + 2 x + 2 = x - 1 x + 2 Sumarnumeradores. b) * 2 + 3 * - 2 + 4* + 12 x2 + 3 x - 2 + (4x + 12) ( x + 5 ) ( x - 3 ) (x + 5 ) (x -3 ) ( x + 5 ) ( x - 3 ) x2 + 7x + 10 (x + 5)(x - 3) ^ - t - 5 7 ( x + 2) 4 * ^ 7 ( x - 3) = x + 2 x - 3 Sumar numeradores Reducirtérminos semejantes. Factorizar, dividir entre losfactores comunes. A l restarexpresiones racionales, asegúrese de restar todo el num erador de la frac ción. L ea con atención el recuadro Cómo evitar errores comunes. En ocasiones, los estudiantes cometen el siguiente error. Estudie la información que se pre senta para evitarlo. ¿Cómo simplificaría este problema? 4x 2x + 1 x - 2 x - 2 In c o r r e c t o 2x + 1 _ 4x - 2 x ^ r x - 2 < 2 2 C o r r e c t o 4x 2x + 1 _ 4x — (2x + 1) x - 2 x - 2 x - 2 = 4x - 2x - 1 x - 2 = 2x ~ 1 x - 2 El procedimiento del lado derecho es incorrecto, ya que hay que restar todo el numerador, 2x + 1, de 4x,y no sólo 2x.Observe que debe cambiar el signo de cada téimmo del numera dor de la fracción restada (no sólo el signo del primer término). Además, tenga en cuenta que, de acuerdo con la propiedad distributiva, -(2x + 1) = - 2 x - 1.
- 426. 3 9 8• C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s E JE M P L O 2 R este — . a - 6 a - 6 Solución a - 6 a2 - 4a - 6 a - (a2 - 4a - 6) a - 6 a - 6 _ a - a2 + 4a + 6 a - 6 _ - a 2 + 5a -I- 6 a - 6 - ( a2 - 5a - 6) í j - 6 _ - ^ i — 6T (« + 1) AHORA RESUELVA EL EJER CIC IO 13 = - ( a + 1) o - a - 1 Reetarnumeradores. Reducirtérminos semejantes. Factorizar -1. Factorizar, dividir entre loe factores comunes. 2 D e te rm in a r el m ín im o c o m ú n d e n o m in a d o r (M C D ) Para sum ar o restar dos fracciones num éricas con denominadores distintos, prim ero debem os obtener un denom inador común. Para obtener el denom inador com ún, muchas veces es necesario escribir los valores numéricos com o productos d e núm eros primos. U n núm ero prim o es un número m ayor q u e 1 q u e sólo tiene dos divisores,él mismo y 1. Algunos núm eros prim os son 2,3,5,7,11,13 y 17. A continuación se m uestra cóm o los núm eros 36 y 48 se escriben com o un producto d e núm eros primos: 36 = 2 - 2 - 3 - 3 = 2 2 - 3 2 4 8 = 2 - 2 - 2 - 2 - 3 = 2 4 - 3 Para determ inar el mínimo común denominador de unaexpresión racional, también podría ser necesario escribir coeficientes numéricos como productos d e números primos. P a ra d e te rm in a r el m ínim o co m ú n d e n o m in a d o r (M C D ) de expre sione s racionales 1. Escriba como producto de números primos cada coeficiente no primo (distinto de 1) de los monomios del denominador. 2. Factorice cada denominador completamente. Cualquier factor que aparezca más de una vez debe expresarse como potencia. Por ejemplo, (x + 5)(x + 5) debe expresarse como (x + 5)2. 3. Liste todos los factores diferentes (dstintos de 1) que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cuando el mismo factor aparezca en más de un denominador, escríbalo con la mayor potencia. 4 El mínimo común denominador es el producto de todos los factores encontrados en el paso 3. E J E M P L O 3 Solución D eterm ine el M C D d e cada expresión. b , _ L _ + _ 5 5* 3 2 a) — ~ ~ 2 2y 3 x - ' 1&x3y ' 2 7 C) x x + 5 x 2(x + 1) * * (* + l ) 3 a) Los factores q u e aparecen e n el denom inador son 5 y x. Liste cad a factor con su m áxim a potencia. E l M C D es el producto d e estos factores. I— Mayor potencia de x d) + 3 z M C D = 5 ' X 2 = 5 x
- 427. Sección 6.2 •S u m a y resta d e expresiones racionales • 3 9 9 b) Los coeficientes num éricos escritos com o productos d e núm eros prim os son 18 = 2 • 32y 27 = 33. Los factores variables q u e aparecen son x y y. Utilizam os las máximas potencias d e los factores p ara obtener el MCD. M C D = 2 • 33 • = 5 4 * V c) Los factores son x y x + 5. O bserve q u e la x del segundo denom inador,x + 5, no es un factor del denom inador, ya q u e la operación es una sum a y no una multiplicación. M C D = x(x + 5) d) Los factores so n * y * + 1. L a m ayor p o ten cia d e x e s 2, y la m ayor potencia de x + 1 es 3. M C D = x 2( r + l ) 3 # E n ocasiones es necesario factorizar todos los denom inadores p ara obtener el MCD. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. E J E M P L O 4 D eterm ine el M C D d e cada expresión. 3 , l x 5 x 6 x : a) ^ r - + :— — r b) 2 x 2 - 4 x x 2 - 4 x + 4 x 2 - x - 12 x 2 - l x + 12 Solución a) Factorice am bos denom inadores. 3 l x m 3 l x l x 2 - 4 x x 2 - 4 x + 4 2 x ( x - 2 ) ( x - 2)2 Los factores son 2 ,x y x - 2 . M ultiplique los factores elevados a la m ayor potencia a la q u e aparezca cada uno. M C D = 2 - x - ( x - 2 ) 2 = 2 x { x - 2)2 b) Factorice am bos denom inadores. 5 x 6 x 2 5x 6 x 2 x 2 - X - 12 x2 — l x + 12 ( x + 3 ) ( x - 4) ( x - 3 ) { x - 4) M C D = ( x + 3 )(* - 4 ) ( x - 3) Observe que aunque x - 4 es un factor com ún a cada denom inador, la máxima potencia d e ese factor q u e aparece en cada denom inador es 1. # 3 S u m a r y re s ta r e x p re s io n e s sin d e n o m in a d o re s c o m u n e s E l procedim iento q u e se usa para sum ar o restar expresiones racionales sin denom i nadores com unes, se explica a continuación. P a ra su m a r o re s ta r e xp re sio n e s racionales con d e n o m in a d o re s distintos L Determine el MCD. 2. Reescriba cada fracción como una fracción equivalente con el MCD. Esto se hace mul tiplicando el numerador y el denominador de cada fracciónpor los factores necesarios para obtener el MCD. 3. Cbnserve el denominador en forma factorizada, pero desarrolle el numerador. 4. Sume o reste los numeradores, conservando el MCD. 5. Giando sea posible reducir la fracción mediante factorizacióndel numerador, hágalo.
- 428. 4 0 0• C apítulo 6 • Expresiones racionales y e cu a cio n e s E J E M P L O 5 Solución AHORA RESUELVA EL E JER CIC IO 39 E J E M P L O 6 S o lu ció n Sume, a) — + - b) + 3 x y 4a2 14ab3 a ) Prim ero determ inam os el MCD. M C D - x y A continuación escribim os cada fracción con el MCD. Para esto, m ultiplicam os tanto el num erador com o el denom inador d e cada fracción p o r los factores necesarios para obtener el MCD. ^ E n este problem a, la p rim era fracción deb e m ultiplicarse p o r —, y la segun- x ^ d a p o r —. 2 + 7 = y 2 + 7 * = 2 y + 7* x y y x y x x y x y A l m ultiplicar el num erador y el denom inador p o r el mismo factor, en realidad esta mos multiplicando p o r 1 , lo cual no cam bia el valor d e la fracción, pero sí su aparien cia. Así, la nueva fracción es equivalente a la fracción original. A hora sum am os los num eradores y dejam os solo al MCD. 2y l x 2y + I x I x + 2y H = --------------- O