Álgebra Intermedia - Angel - 06.pdf

Álgebra
interm edia
Sexta edidón
Alien R. Angel
M o n ro e C o m m u n ity C ollege
Con la colaboración de
R ich a rd S e m m le r
N o rth e rn V irg in ia C o m m u n ity C o lle g e
y
D ennis C. Runde
M a n a te e C o m m u n ity C o lle g e
T R A D U C C IÓ N
Víctor Hugo ¡barra Mercado
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Instituto Politécnico Nacional
REVISIÓN TÉCNICA
CarlosArmando Martínez Reyes
Departamento de Matemáticas
División Preparatoria
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey
Campus Estado de México
Alejandro Chávez Ochoa
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey
Campus Ciudad de México
PEARSON
M éxico • A rgentina • Brasil • C olom bia • C osta R ica • C hile • E cuador
España • G uatem ala • Panam á • Perú • P uerto R ic o • U ruguay •Venezuela
Luis Martínez Vázquez
Coordinador del Area de Matemáticas de
Preparatoria
Universidad PopularAutónoma del Estado de Puebla
Juan Manuel Rodríguez Marín
Profesor de Matemáticas
Escuela Preparatoria
Universidad LaSalle
Pascual Gallegos Mqyorga
Profesor de tiempo completo
ColegioAnáhuac, extensión Chapalita

bibliográfica
ANGEL, ALLEN R.
Álgebra interm edia. Sexta edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004
ISBN: 970-26-0499-0
Área: Bachillerato
Formato: 20 x 25.5 cm Faginas: 848
Authorized translation fiom the English language edition, entitled intermedíate Algebrafo r College Students, S xth Edition, by Alien R. Angel,
published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright ©2004. All rights reserved.
ISBN 0-13-140059-2
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Intermedíate Algebrafo r College Students, Sixth Edition, por Alien R. Angel, publi
cada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE-HALL INC., Copyright ©2004. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español
Editor Guillermo Trujano Mendoza
e-mail: Euillermo.tniiano@pearsoned.com
Supervisor de desarrollo: M iguel B. Gutiérrez Hernández
Supervisorde producción: José D. Hernández Garduño
Edición en inglés
Sénior Acquisitions Editor: Paul Murphy
Editor in Chief: Christine Hoag
Project Manager: AnnHeath
Media Project Manager, Developmental Math: Audra J.Walsh
Vice President/Director of Production and Manufacturing: David
W. Riccardi
Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli
Sénior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens
Production Editor: Elm Street Publishing Services, Inc.
Production Assistant: Nancy Bauer
Assistant Managing Editor,Math Media Productiore John Matthews
Manufacturing Buyer: Michael Bell
Manufacturing Manager: Ttudy Pisciotti
Executive Marketing Manager: Eilish Collins Main
Marketing Assistant: AnnettUebel
DevelopmentEditor: DonGecewicz
SupplementsCoordinator: LizCovello
SEXTA EDICIÓN, 2004
D.R. © 2004 por Pearson Educación de México, SA . de C.V.
Atlacomulco 500-5to. piso
IndustrialAtoto
53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México
E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. N úm . 1031
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recu
peración de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por foto
copia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejem plar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 970-26-0499-0
Impreso en México. Printed in México.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 0 7 0 6 05 04
PEARSON
Editor in Chief, Development Carol Trueheart
Editorial Assistant/Supplements Editor: Kerri-Ann O’Donnell
Art Director/Cover Designen John Christiana
Interior Designer: Jonathan Boylan
Art Editor: Thomas Benfatti
Creative Director: CaroleAnson
Director ofCreative Services: Paul Belfanti
Director, Image Resource Center: Melinda Reo
Manager, Rights and Permissions: Zina Arabia
Interior Image Specialist: Beth Brenzel
Cover Image Specialist: Karen Sanatar
Image Coordinator: Charles Morris
Photo Researcher: Sheila Norman
Cover Photo: © Royalty-Free/CORBIS
Art Studio: Scientific Illustrators
Compositor: Preparé, Inc.

A mi madre,
Sylvia Angel-Baumgarten
Y a la m em oria de mi padre,
Isaac Angel

C o nte nid o
Prefacio xiii
Al estudiante xxvi
C o n c e p t o s b á s ic o s 1
1.1 Habilidades d e estudio para tener éxito en m atem áticas
y uso de la calculadora 2
1 .2 Conjuntos y otros co n ce p to s b ásico s 6
1 .3 Propiedades de los núm eros reales y operaciones
con ellos 18
1 .4 O rden d e las op eracion es 2 9
1 .5 Expo nentes 4 2
1 .6 Notación científica 5 2
Resum en del capítulo 6 0
Ejercicios d e rep aso del capítulo 6 2
Exam en de práctica del capítulo 6 4
2 E c u a c io n e s y d e s ig u a ld a d e s 6 6
2.1 Resolución d e e cua cio n e s lineales 6 7
2 .2 Resolución de problem as y uso d e fórm ulas 7 9
2 .3 Aplicaciones del álge bra 9 0
2 .4 Problem as adicionales d e aplicación 1 0 4
2 .5 Resolución d e desigualdades lineales 115
2 .6 Resolución d e e cuaciones y desigualdades co n valores
absolutos 1 2 9
Resum en del capítulo 1 4 0
Ejercicios d e rep aso del capítulo 141
Exam en de práctica del capítulo 1 4 4
Exam en de rep aso acum ulativo 1 4 5
3 G rá fic a s y fu n c io n e s 14-7
3.1 Gráficas 1 4 8
3 .2 Funciones 1 6 3
3 .3 Funciones lineales: gráficas y aplicaciones 1 7 9
3 .4 La form a pendiente intersección de una ecuación lineal 191
3 .5 La form a punto pendiente de una ecuación lineal 2 0 5
3 .6 Álgebra de funciones 2 1 5
3 .7 Graficación d e desigualdades lineales 2 2 4
s F i r m a
i x

x • C o n te n id o
R esum en del capítulo 2 2 8
Ejercicios d e rep aso del capítulo 2 2 9
S is te m a s d e e c u a c io n e s y d e s ig u a ld a d e s 2 3 6
4.1 Resolución d e sistem as de e cuaciones con d o s
variables 2 3 7
4 .2 Resolución d e sistem as d e e cuaciones con tres
variables 2 4 9
4 .3 Sistem as d e ecuaciones lineales: aplicaciones
y resolución d e p ro b lem a s 2 5 6
4 .4 Resolución d e sistem as d e e cuaciones p o r m edio
de m atrices 2 7 0
4 .5 Resolución d e sistem as de ecuaciones p o r m edio de
determ inantes y la regla d e C ra m e r 2 7 9
4 .6 Resolución d e sistem as d e desigualdades lineales 2 8 7
P o lin o m io s y fu n c io n e s p o lin o m ia le s 2 9 9
5.1 Su m a y resta d e polinom ios 3 0 0
5 .2 Multiplicación de polinom ios 311
5 .3 División d e polinom ios y división sintética 3 2 1
5 .4 Factorización del factor co m ú n d e los térm inos
de un polinom io y factorización p o r a grupación 3 3 2
5 .5 Factorización d e trinom ios 3 4 0
5 .6 Fórm ulas especiales de factorización 3 5 1
5 .7 Repaso general d e factorización 3 5 9
5 .8 Ecuaciones polinom iales 3 6 4
E x p re s io n e s ra c io n a le s y e c u a c io n e s 3 8 5
6.1 Dom inios d e funciones racionales y multiplicación y división
de expresiones racionales 3 8 6
6 .2 Su m a y resta d e expresiones racionales 3 9 6
6 .3 Fracciones com plejas 4 0 8
6 .4 Resolución d e e cuacio nes racionales 4 1 4
6 .5 Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución
de p rob lem a s 4 2 7
6 . 6 Variación 4 3 8

C o n te n id o • x i
R a íc e s , ra d ic a le s y n ú m e r o s c o m p le jo s 4 5 4
7.1 Raíces y radicales 4 5 5
7 .2 Exponentes racionales 4 6 4
7 .3 Simplificación de radicales 4 7 3
7 .4 Sum a, resta y multiplicación d e radicales 4 8 1
7 .5 División de radicales 4 8 8
7 .6 Resolución d e e cuacio nes con radicales 4 9 7
7 .7 N ú m ero s co m p lejo s 5 0 9
F u n c io n e s c u a d r á tic a s 5 2 5
8.1 Resolución d e e cuaciones cuadráticas com pletando
el cu a d ra d o 5 2 6
8 .2 Resolución d e e cuaciones cuadráticas m ediante
fc
afórm ula cuadrática 5 3 6
8 .3 Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución
de p rob lem a s 5 4 9
8 .4 Planteam iento de e cuacio nes en form a cuadrática 5 5 9
8 .5 Graficación d e funciones cuad rá ticas 5 6 6
8 . 6 Desigualdades cuadráticas y d e otros tipos co n
tria variable 5 8 5
Exam en de rep aso acum ulativo 601
F u n c io n e s e x p o n e n c ia le s y lo g a rítm ic a s 6 0 3
9.1 R jncio n es co m p u e sta s e inversas 6 0 4
9 .2 R jncio n es exponenciales 6 1 6
9 .3 R jncio n es logarítm icas 6 2 6
9 .4 P ropiedades d e los logaritm os 6 3 2
9 .5 Logaritm os co m u n e s 6 3 8
9 .6 Ecuaciones exponenciales y logarítm icas 6 4 6

x ii • C o n te n id o
9 .7 Función exponencial natural y función logarítm ica
natural 6 5 2
10 S e c c io n e s c ó n ic a s 671
La parábola y el círculo 6 7 2
La elipse 6 8 3
La hipérbola 6 9 0
Sistem as d e ecuaciones no lineales y sus
aplicaciones 6 9 8
11 S u c e s io n e s , s e rie s y el te o re m a del b in o m io 712
11.1 Sucesiones y series 7 1 3
1 1 .2 Sucesiones y series aritm éticas 721
1 1 .3 Sucesiones y series ge om étricas 7 2 8
1 1 .4 Te o re m a del binom io 7 4 0
A p é n d ic e
Fórmulas geom étricas 751
R e s p u e s ta s A1
ín d ice 1
1
C ré d ito s d e las fo to g ra fía s F1

Prefacio
E
l objetivo principal d e este libro es ofrecer una ob ra
que los estudiantes puedan leer,entender y disfrutar.
Para lograrlo hem os utilizado oraciones cortas, explica
ciones claras y muchos ejem plos resueltos con detalle. A
fin d e q u e el libro tenga más relevancia p ara los estudian
tes,se abordan aplicaciones prácticas a lo largo d e todo el
texto.
Características d el libro
F o rm ato a d o s c o lo re s Los colores se utilizan d e for
ma pedagógica d e la m anera siguiente:
• Se resaltan e n recuadros las definiciones y procedi
m ientos más im portantes.
• El color se utiliza p ara resaltar otros conceptos im por
tantes, adem ás de las definiciones y procedim ientos.
• E n las ilustraciones se resaltan los conceptos explica
dos en el texto.
• El segundo color perm ite q u e el estudiante identifique
con facilidad las características im portantes o varia
bles q u e se vayan a modificar en los ejemplos.
• E l texto se hace más atractivo y am eno debido a que
se resaltan los títulos y subtítulos.
Legibilidad U na d e las características más im portantes
del texto es q u e resulta muy fácil d e com prender, incluso
por aquellos q u e no son muy hábiles en la lectura. Se uti
lizan oraciones breves y claras y, siem pre q u e es posible,
en un lenguaje fácil d e entender y reconocer.
R -eásió n E n los textos d e matem áticas, la precisión es
esencial;para garantizarla, m atem áticos tanto d e Estados
U nidos com o d e Latinoam érica leyeron el contenido con
sumo cuidado, a fin d e detectar errores tipográficos y ve
rificar todas las respuestas.
R e la c io n e s M uchos estu d ian tes tien en problem as
para dom inar com pletam ente los nuevos conceptos la pri
m era vez q u e se les presentan. E n este texto, se pide a los
estudiantes q u e establezcan relaciones;esto es, se presen
ta un concepto, lo volvemos a m encionar brevem ente y,
más adelante, proporcionam os ejem plos donde se le uti
liza. Los conceptos im portantes se utilizan en m uchas sec
ciones del texto. C uando esto sucede, le recordam os al
estudiante en dónde se em pleó y en dónde se usará de
nueva cuenta. Esto sirve p ara hacer hincapié en la im por
tancia del concepto. Adem ás, los conceptos d e m ayor re
levancia se refuerzan a lo largo d e todo el texto, especial
m ente en los “Ejercicios d e repaso acumulativo” y en los
“E xám enes d e repaso acum ulativo”.
Problema de aplicación al inicio de cada capítulo
C ada capítulo inicia con un problem a d e la vida real, en
donde se sugiere cóm o aplicar en la práctica el m aterial
que se abordará en seguida. C uando los estudiantes ter
m inen d e estudiar el capítulo, habrán adquirido los cono
cim ientos necesarios para resolver el problem a.
Avance de lalección E sta sección, q u e encontrará al
inicio d e cada capítulo,proporciona un adelanto d e lo que
se abordará en el mismo, e indica en q u é otros capítulos
del libro se utilizará. E ste m aterial ayuda al estudiante a
establecer relaciones entre los diferentes tem as del libro,
y su aplicación en situaciones reales.
Iconos Al inicio d e cad a capítulo y d e cada sección
aparecen varios iconos q u e indican en dónde puede o b te
ner ayuda adicional en caso d e necesitarla. Estos
iconos hacen referencia al C D y las videocintas
q u e acom pañan al libro, y el sitio W eb d e Alien A n g el,
g j f . M ás adelante encontrará inform ación adicional.
Objetivos clave de cada sección C ada sección ini
cia con una lista d e las habilidades q u e el estudiante d e
berá adquirir. Los objetivos están num erados e n la
secuencia en q u e se revisarán a lo largo d e la sección.
R esolución de problemas En la sección 2.2se analiza
el procedim iento d e G eorge Polya de cinco pasos p ara la
resolución d e problemas. A lo largo del libro se hace hinca
pié en la resolución d e problem as a partir d e este modelo.
Aplicaciones prácticas En todo el texto se hace énfasis
en las aplicaciones prácticas del álgebra. Los estudiantes
necesitan aprender cóm o traducir problem as d e aplica
ción a sím bolos algebraicos. E l m étodo d e resolución de
problem as utilizado en este texto proporciona una am
plia práctica en este sentido. Las aplicaciones prácticas
motivan a los estudiantes.
Ejemplos resueltos detalladamente A lo largo del
texto se presenta la resolución detallada, paso a paso, de
m uchos ejem plos. Los pasos m ás im portantes en cada
x iii

x iv • Prefacio
procedim iento d e resolución aparecen resaltados, y no se
om ite ninguno d e ellos hasta q u e los estudiantes hayan
visto un núm ero suficiente d e ejem plos similares.
Ahora resuelva el ejercicio E n cada sección se pide re
solver problem as específicos al mismo tiem po q u e se dan
los ejem plos necesarios. Estas secciones, identificadas con
la frase “A hora resuelva el ejercicio”, pretenden q u e los
estudiantes se vuelvan sujetos activos durante el proceso
de aprendizaje. Al resolver los problem as, refuerzan los
conceptos analizados,d e tal m anera que puedan aplicar de
form a inm ediata lo q u e han aprendido.
Problemas d e aplicación Muchos d e los estudiantes
que tom an cursos d e álgebra tienen malos hábitos d e estu
dio. La sección 1.1, la prim era del texto, analiza los hábitos
de estudio necesarios p ara tener éxito en m atem áticas.
Esta sección será d e gran utilidad p ara sus estudiantes, y
tos ayudará a alcanzar el éxito en sus estudios.
Sugerencias Los recuadros d e “Sugerencias” ofrecen
consejos p ara la resolución de problem as y otros temas
diversos. Se han resaltado d e m anera especial dentro del
texto p ara asegurar su lectura.
Sugerencias - Consejos para estudiar E sta es una
nueva característica del texto; los recuadros “Sugerencia-
Consejo para estudiar” ofrecen información valiosa sobre
tem as relacionados con el estudio y el aprendizaje del
m aterial q u e se presenta.
Cóm o ©vitar errores comunes E n esta sección se
presentan los errores q u e se com eten con más frecuen
cia,explicando las razones p o r las q u e los procedim ientos
son incorrectos, e ilustrando el procedim iento correcto
para resolver el problem a.
Matemáticas en acción Esta nueva característica evi
dencia la necesidad d e utilizar las m atem áticas en situa
ciones de la vida real. E n ella se proporcionan ejem plos
del uso d e las m atem áticas en m uchas profesiones,y d e la
form a en q u e las utilizam os en la vida cotidiana, a veces
sin darles m ucha importancia. Esto puede m otivar a sus
estudiantes y ayudarles a apreciar m ejor las matemáticas.
C ó m o utilizar su calculadora Los recuadros “Cóm o
utilizar su calculadora” se encuentran en lugares estraté
gicos dentro del texto, d e tal m anera q u e ayuden a refor
zar los tem as algebraicos q u e se presentan en la sección
inm ediata anterior, y proporcionen al estudiante infor
mación pertinente sobre el uso d e calculadoras científi
cas p ara resolver problem as algebraicos.
C ó m o utilizar su calculadora graficadora E ste libro
está diseñado para d ar al profesor la opción d e utilizar o
no calculadoras graficadoras en sus cursos. Los recuadros
“Cóm o utilizar su calculadora graficadora” se encuentran
en lugares estratégicos dentro del texto, d e tal m anera
que ayuden a reforzar los tem as algebraicos analizados
en la sección inm ediata anterior, ofreciendo, en ocasio
nes, métodos alternativos p ara resolver problemas. Muchos
de estos recuadros contienen ejercicios p ara calculadoras
graficadoras, cuyas soluciones aparecen en la sección de
respuestas del libro. Las ilustraciones q u e se m uestran en
los recuadros corresponden a la calculadora Texas Instru
ments 83 Plus (TI-83 Plus). U sted puede utilizar la calcu
ladora gradicadora o el softw are d e m atem áticas (que le
perm ita graficar) lo q u e prefiera. Estos recuadros se escri
bieron suponiendo q u e el estudiante no tiene experiencia
con calculadoras graficadoras.
Conjunto d e ejercicios
El “C onjunto d e ejercicios” se divide en tres categorías
principales: “E jercicios conceptuales”, “Problem as de
aplicación” y “Resolución d e problem as”. M uchos con
juntos d e ejercicios tam bién presentan “R etos” y “A cti
vidades en equipo”. L a dificultad d e cada conjunto de
ejercicios está graduada; los prim eros ejercicios ayudan a
desarrollar la confianza del estudiante antes d e plantearle
problem as más difíciles. E n cada sección ap arece una
cantidad suficiente y variada d e ejem plos p ara q u e el es
tudiante resuelva con éxito los problem as m ás difíciles.
La cantidad d e ejercicios d e cada sección es más q u e su
ficiente p ara q u e los alum nos hagan tareas y practiquen.
Enerados conceptuales Casi todos los conjuntos de
ejercicios incluyen u n a sección en d o n d e se le p id e al
estu d ian te responder p o r escrito a fin d e reforzar los
conceptos analizados. Estos ejercicios m ejoran la com
prensión del m aterial cubierto en el texto e im plican la
resolución d e problem as p ara el m ejoram iento d e las ha
bilidades d e razonam iento y de pensam iento crítico de
los alumnos. Los ejercicios conceptuales se indican m e
diante el sím bolo .
Resolución de problemas Estos ejercicios ayudan a
acostum brarse a la resolución y análisis d e problem as. Es
muy im portante q u e los estudiantes sean capaces d e apli
car en situaciones d e la vida real lo que han aprendido,por
lo q u e en esta sección se plantean muchos ejercicios de
este tipo.
R eto Los problem as d e la sección “R eto”, q u e form an
parte d e muchos de los conjuntos d e ejercicios,proporcio
nan una am plia variedad d e situaciones. Muchos d e ellos se
escribieron p ara estim ular la reflexión; otros más propor
cionan aplicaciones adicionales de álgebra o presentan m a
terial q u e se analizará e n secciones posteriores, d e tal
m anera que se estudien por su cuenta los tem as antes de
erlos en clase;en otros casos,estos problem as representan
un reto mayor que los del conjunto d e ejercicios general.

Prefacio • x v
Ejercidos de repaso acumulativo Todos los conjun
tos d e ejercicios (salvo los dos prim eros) contienen p re
guntas referentes a secciones y capítulos anteriores. Los
ejercicios planteados en la sección “Ejercicios d e repaso
acumulativo” refuerzan los tem as estudiados con anterio
ridad, y ayudan a retener el m aterial ya analizado mien
tras se estudia el nuevo. Para beneficio d e los estudiantes,
los ejercicios d e repaso acum ulativo indican, p o r m edio
de corchetes com o [3.4], la sección en donde se revisó el
material.
Ejercicioscon icono de vídeo Los ejercicios q u e se re
suelven con detalle en las videocintas aparecen m arcados
con el icono « , lo cual perm ite una identificación fácil y
rápida. E ste m aterial se adquiere p o r separado y se en
cuentra en idiom a inglés.
Actividad ©n equipo Muchos conjuntos d e ejercidos
tienen ejercicios de “Actividad en equipo” q u e conducen a
interesantes discusiones en grupo. A lgunos estudiantes
aprenden m ejor en un am biente cooperativo,y estos ejer
cicios perm itirán q u e los alum nos hablen d e m atem áticas
entre ellos.
Resumen del capítulo Al final d e cada capítulo se
m uestra un resum en q u e incluye “Térm inos y frases im
portantes”.
Ejercicios de repaso del capítulo Al final d e cada
capítulo hay ejercicios d e repaso q u e abarcan todos los
temas analizados en el mismo. Los núm eros en color rojo
y en tre corchetes sirven p ara identificar la sección en
donde se presen tó el m aterial p o r p rim era vez.
Exámenes de práctica del capítulo El am plio exa
m en q u e se encuentra al final de cad a capítulo perm ite
q u e los estudiantes determ inen q u é tan preparados es
tán p ara presentar el exam en real d e cada p arte del cu r
so. Las respuestas a las preguntas del exam en d e repaso
acum ulativo aparecen en seguida del m ism o, d e m odo
q u e se p u ed an verificar ráp id am en te sus resultados.
D espués d e cad a respuesta se incluye una leyenda en
tre corchetes, com o [Sec. 4.2, Obj. 5], p ara indicar la sec
ción y el objetivo en d o n d e se e stu d ió el m aterial
correspondiente.
Examen de repaso acumulativo El propósito d e es
tos exámenes,q u e aparecen al final d e cada capítulo (salvo
en el prim ero), es verificar los conocim ientos adquiridos
respecto del m aterial analizado desde el principio del li
bro hasta el capítulo en el q u e se encuentre. Puede utili
zar estos exám enes como repaso o com o preparación para
el exam en final. A l igual q u e los “Ejercicios d e repaso
acum ulativo”, estos exám enes sirven p ara reforzar lo
aprendido de los tem as analizados con anterioridad. Las
respuestas a las preguntas del exam en d e repaso acum ula
tivo aparecen en seguida del mismo, d e m odo q u e se p u e
d an verificar rápidam ente sus resultados. D espués de
cada respuesta se incluye una leyenda en tre corchetes,
com o [Sec. 4.2, Obj. 5], para indicar la sección y el objeti
vo en donde se estudió el m aterial correspondiente.
Respuestas E l libro proporciona las respuestas a los
problem as de núm ero im par d e cada conjunto d e ejerci
cios, así com o las respuestas a todos los ejercicios d e las
secciones d e uso d e calculadora graficadora, los “Ejerci
cios d e repaso acum ulativo”, los ejercicios d e repaso, los
exám enes y los exám enes d e repaso acumulativo del capí
tulo. Por otro lado, no se d a la respuesta a los ejercicios de
“A ctividad en equipo”, y a q u e su intención es q u e los
estudiantes logren acuerdos al respecto.
M o d o s d e e n se ñ a n za
El constante refuerzo d e los conceptos d a p o r resultado
una m ayor com prensión y retención del m aterial p o r p ar
te d e sus estudiantes. Por otro lado, el form ato y la legibi
lidad d e este libro lo hacen apropiado p ara m uchos estilos
de enseñanza, p o r ejemplo:
• clase institucional (clásica)
• educación a distancia
• aprendizaje autodidacta
• clase modificada
• estudio en equipo o cooperativo
• laboratorio d e enseñanza
C a m b io s en la sexta edición
Cuando escribí la sexta edición, tom é en cuenta muchos
com entarios y revisiones d e los estudiantes y profesores.
Quiero agradecer a todos aquellos q u e hicieron sugeren
cias p ara m ejorar este libro. Tam bién quiero agradecer a
la gran can tid ad d e profesores y estudiantes q u e escri
bieron p ara inform arm e lo m ucho q u e disfrutaron y
aprendieron del texto.
Algunos d e los cam bios realizados en esta sexta edi
ción son:
• E l capítulo d e raíces, radicales y núm eros com plejos
se reorganizó y reescribió p ara darle m ayor claridad.
A hora puede leerse d e m anera más fluida.
• Se hizo m ayor hincapié en la geom etría; en el texto
hay m ás ejem plos y ejercicios relacionados con esta
disciplina.
• Se agregó una gran variedad d e problem as a los con
juntos d e ejercicios d e todo el libro. E n general, se am
pliaron d e m anera notable.
• E n secciones seleccionadas se agregaron problem as
d e m ayor com plejidad al final d e los conjuntos de
ejercicios.

x v i • Prefacio
• E n los ejem plos y ejercicios se agregó una m ayor va
riedad d e situaciones del m undo real q u e im plican
el uso del álgebra y d e los conceptos analizados en el
texto.
• E n ediciones anteriores d e este libro, el análisis d e los
ángulos com plem entarios y suplem entarios se encon
traba únicam ente en los ejercicios; ahora, este tem a se
aborda tam bién en el cuerpo del texto.
• Parte del material del capítulo de gráficas y funciones se
reorganizó y reescribió para facilitar su comprensión.
• Se agregaron más ejercicios conceptuales en donde era
necesario.
• E n el capítulo d e polinom ios y funciones polinom ia-
les se repasan las reglas pertinentes d e los exponen
tes y se proporcionan ejem plos, antes de p resen tar
el m aterial so b re m ultiplicación y división d e poli
nomios.
• H ay más m aterial sobre multiplicación d e radicales.
• Al analizar las fracciones com plejas se indica con m a
yor claridad cuándo es m ejor usar los distintos m éto
dos d e simplificación d e fracciones complejas.
• Para d ar m ayor claridad al texto,p arte del m aterial del
capítulo d e funciones exponenciales y logarítmicas fue
reescrito.
• Las características básicas d e las funciones exponen
ciales y logarítmicas ahora se analizan d e m anera más
com pleta.
• E n el capítulo d e funciones exponenciales y logarítmi
cas se am plió la cantidad d e ejem plos y ejercicios.
• E n el capítulo d e secciones cónicas se agregó el m ate
rial para determ inar el área d e una elipse.
• Algunas d e las definiciones del capítulo d e sucesiones,
series y el teorem a del binom io se reescribieron p ara
facilitar la com prensión del estudiante.
• E l libro tiene un nuevo diseño q u e perm ite identificar
con m ayor facilidad los ejercicios.
• Las respuestas al “E xam en d e repaso acum ulativo”
aparecen ahora justo después d e ellos, d e form a que
se tenga una retroalim entación inm ediata. Además, se
indica el núm ero d e la sección y el objetivo en donde
se analizó el m aterial.
• L a sección “Avance d e la lección” reem plazó a la sec
ción “Vista prelim inar y perspectiva”. L a inform ación
que se proporciona ahora ofrece a los estudiantes un
panoram a general del capítulo, y d e la form a en que
su contenido se relaciona con otros tem as del libro y
con situaciones del m undo real.
• Se agregó la sección “M atem áticas en acción”, con el
propósito d e reforzar la necesidad d e las m atem áticas
en la vida real y su im portancia en la resolución d e p ro
blemas cotidianos. Esta sección puede ser una gran m o
tivación p ara sus estudiantes.
• Se agregaron recuadros d e sugerencias y sobre “Cómo
evitar errores com unes” en lugares estratégicos.
• Para reforzar y am pliar las habilidades d e estudio ne
cesarias p ara tener éxito en el aprendizaje y aplicación
d e las m atem áticas (analizadas a detalle en la sección
1.1) se agregaron recuadros d e “Sugerencia-Consejo
p ara estudiar”.
• Los “Problem as d e aplicación” se actualizaron y se hi
cieron m ás interesantes a lo largo d e todo el libro.
• E n esta edición, los recuadros “Cómo utilizar su calcu
ladora graficadora” m uestran, a m anera d e ejem plo,
secuencias d e teclas y p an tallas d e una calculadora
Texas Instrum ents 83 Plus.
• Al factorizar p o r agrupación, el factor com ún ahora se
coloca del lado izquierdo, p ara ser consistentes con
otros problem as d e factorización.
• Para hacer más atractivo e interesante el texto se agre
garon más fotografías q u e se relacionan con el texto.
S u ple m en to s d e la sexta edición
Para esta edición del libro, el autor coordinó personal
m ente e l desarrollo d el Instructor’s Solution M anual.
Para su redacción se seleccionaron con sum o cuidado
profesores con basta experiencia en la enseñanza d e las
m atem áticas y e n el desarrollo d e este tipo d e m ateria
les. C abe hacer mención d e q u e todo el m aterial com ple
m entario m encionado en esta sección aparecen en
idiom a inglés.
Para los profesores (en inglés)
Suplem entos im presos
hstructor’s Solutions Manual (0-13-140061-4)
• Soluciones a los ejercicios d e núm ero par.
• Soluciones a todos los ejercicios d e las secciones de
“Ejercicios d e repaso del capítulo”, “Exam en d e prác
tica del capítulo” y “Exam en d e repaso acum ulativo”.
hstructor’s Test Manual (0-13-140063-0)
• D os exám enes d e práctica p o r cada capítulo (de res
puestas abiertas).
• Ocho exám enes p o r cada capítulo (tres d e opción m úl
tiple y cinco d e respuesta abierta).
• D os exám enes d e repaso acumulativo (uno d e opción
m últiple, uno d e respuesta abierta) cada dos capítulos.
• Ocho exám enes finales (tres d e opción múltiple, cinco
d e respuesta abierta).

Prefacio • x v ii
• Veinte ejercicios adicionales p o r sección p ara agregar
se a los ejercicios d e exam en, e n caso necesario.
Suplem entos electrónicos
2SJUEVO! CD-ROM TestGen-EQ con QuizMaster
(Windows y Macintosh) (0-13-140064-9)
• Programa de prueba específico de texto,ejecutado algo
rítmicamente.
• Se puede utilizar en red para adm inistrar los exám enes
y calificarlos en línea.
• E dite y agregue sus propias preguntas para crear un
núm ero casi ilimitado d e exámenes.
• U tilice la nueva característica “Function Plotter” p ara
crear gráficas.
• Los exám enes se p u ed en exportar con facilidad a
HTM L,d e modo que puedan colocarse en un sitio Web
para q u e los estudiantes practiquen.
• Para los usuarios en red, incluye una función d e correo
electrónico (e-m ail), q u e perm ite a los profesores en
viar mensajes a un estudiante específico o bien a todo
un grupo.
• D isponibilidad d e inform es y resúm enes d e califica
ciones acum uladas o seleccionadas para una clase o
para un estudiante a través d e la red.
• A signe cuestionarios (o exám enes rápidos), o super
vise a los estudiantes y envíeles resultados d e sus exá
m enes vía correo electrónico.
• Incluye vínculos a otros sitios W eb en donde se ofrece
inform ación adicional sobre los temas.
Para los estudiantes (en inglés)
Serie de videocintas
(0-13-140069-X)
• Clasificadas p o r cada sección del texto.
• B rinda soluciones paso a paso p ara los ejercicios del
texto identificados con el icono d e vídeo.
S fe Sitio W eb Companion
(w ww .pearsoneducacion.net/argel)
• Problem as y exám enes d e práctica con retroalim enta-
ción inmediata.
• Instrucciones d e las secuencias d e teclas p ara realizar
operaciones en calculadoras graficadoras.
• Incluye vínculos a otros sitios W eb en donde se ofrece
inform ación adicional sobre los temas.
Stio W eb Companion
(www.pearsoneducacion.net/angel)
• Cree un temario personalizado en línea con el Syllabus
Manager.

R e co n o cim ie n to s
E
scribir un libro d e texto es un proyecto q u e exige una
gran cantidad d e tiempo. M uchas personas m erecen
mi agradecim iento p o r su em peño y p o r su apoyo en la
realización d e este proyecto. A quien m ás deseo agrade
cer su ayuda es a m i esposa Kathy y a mis hijos R obert y
Steven. Sin su apoyo y com prensión constantes, este p ro
yecto no se hubiera convertido en realidad.Tam bién quie
ro agradecer a mi nuera todo su apoyo.
D eseo d ar las gracias a R ichard Sem m ler, del N o rt
hern Virginia Com unity College, y a D ennis Runde, del
M anatee Com munity College,p o r ayudarm e con muchos
detalles del libro. Mi agradecim iento especial a Richard,
quien tam bién trabajó conmigo a lo largo d e todo el p ro
ceso d e producción.
Q uiero agradecer a Aim ee Calhoun y a Larry Ciar,del
M onroe Com m unity College, y a Lauri Sem arne p o r leer
las pruebas y verificar las respuestas del libro. A M itchel
Levy, del B row ard Com m unity C ollege tam bién le doy
las gracias p o r ayudar con los exám enes d e repaso acu
mulativo.
Asimismo agradezco a mis editores d e Prentice Hall,
Paul M urphy y A nn H eath, a mi ed ito ra d e desarrollo,
D on Grecewicz, y a mi editor d e proyecto, Phyllis Crit-
tenden, d e E lm Street Publishing Service, Inc., p o r sus
valiosas sugerencias y su m eticulosidad e n la realización
de este proyecto.
Agradezco tam bién a quienes trabajaron conmigo en
el desarrollo d e los diferentes suplem entos q u e acom pa
ñan este libro. A continuación listo algunos d e ellos.
Instructor’s Solutions M anual: D on Lavigne, Austin
Com munity College.
Instructor’s Test M anual: C harles O dion, H ouston C om
munity College.
Tam bién m e gustaría expresar mi agradecim iento a los
siguientes revisores y lectores d e pruebas, p o r sus ra
zonables com entarios y sugerencias.
Laura A dkins, M issouri Southern State College
A rthur A ltshiller, L os Angeles Valley College
Peter Arvanites, State University o fN ew York-Rockland
C om m unity College
Jon Becker, Indiana University
Paul Boisvert, O akton Com m unity College (IL)
Beverly Broom ell, S uffolk C ounty C om m unity College
(N Y)
Lavon B urton, Abilene Christian University (TX )
M arc Cam pbell, D aytona Beach C om m unity College
(FL)
Mitzi C haffer, Central Michigan University
Térry Cheng, Irvine Vallege College (CA)
Ted Corley,A rizona State University y Glendale
C om m unity College
Charles Curtís, Missouri Southern State College
Gary Egan, M onroe Com m unity College (N Y )
Elizabeth Farber, Bucks C ounty C om m unity College
(PA)
W arrene Ferry, Jones C ounty Júnior College (M S)
G ary Glaze, Spokane Falls C om m unity College (W A)
Jam es Griffiths, San Jacinto College (T X )
K athy Gross, Cayuga C om m unity College (N Y)
A bdollah H ajikandi, State University o f
New York-Buffalo
Mary B eth Headlee, Manatee C om m unity College (FL)
Kelly Jahns, Spokane C om m unity College (W A)
Judy Kasabian, E l Camino College (CA)
M aryanne Kirkpatrick, Laramie C ounty C om m unity
College (W Y)
M arcia Kleinz, Atlantic Cape Com m unity College (NJ)
Shannon Lavey, Cayuga C om m unity College (N Y)
Shywanda M oore, Meridian C om m unity College (M S)
Catherine M oushon, Elgin C om m unity College (IL)
K athy Nickell, College ofD uP age (IL)
Shelle Patterson, M oberly Area C om m unity College
(M O)
D ennis Reissig, Suffolk C ounty C om m unity College
(N Y)
Linda R etterath, Mission College (CA)
Dale R ohm , University ofW isconsin-Stevens Point
TVoy Rux, Spokane Falls C om m unity College (W A)
H assan Saffari, Prestonburg C om m unity College (K Y )
Rick Silvey, S t M ary College (KS)
Julia Simms, Southern Illinois University-Edwardsville
Jed Soifer, Atlantic Cape C om m unity College (NJ)
Elizabeth Suco,M iam i-D ade C om m unity College (FL)
H arold Tanner, Orangeburg-Calhoun Technological
College (SC)
D ale Thielker, Ranken Technological College (M O)
Patrick W ard, Illinois Central College
Cindy W ilson, Henderson State University (A Z )
x i x

Enfoque P edagógico
La serie Angel es bien conocida y muy respetada por su enfoque realista y práctico del álgebra, que incluye ejemplos y
datos del mundo real, y conjuntos de ejercicios con un enfoque pedagógico, integrado y actualizado.
Avance
de la lección
Cada capítulo inicia con un
Avance de la lección para dar al
estudiante un panorama global
del capítulo y explicar cómo se
relaciona éste con el resto del
material y con situaciones reales.
Habilidades
de estudio para
tener éxito en
m atem áticas
(sección 1.1)
Desarrollar las habilidades de
estudio que se presentan en esta
sección aumenta de manera
considerable las oportunidades
para tener éxito en éste y en
todos los demás cursos de
matemáticas.
A va n ce d e
la lección E
n e s te ca p ítu lo repasarem os lo s c o n c e p to s d e álgebra fu n d am en tales para q u e
u sted a lca n ce lo s ob jetivos d e esta materia. A l o largo d e to d o e l libro usarem os
d a to s d e ejem p lo s reales q u e m u estran la im p ortan cia d e las m atem áticas e n la vida
diaria. E n la secció n 1 . 1 p resentam os algun os con sejos q u e le ayudarán a estab lecer há
b itos y h abilidad es d e estu d io efectivos. E n la sec ció n 1 .2 hablarem os d e lo s con ju n tos,
incluyendo b s co n cep to s d e u nión e intersección . E stos co n ce p to s estarán p resentes
en cu alqu ier cu rso d e m atem áticas q u e u sted llegu e a lom ar. E n las seccio n es L 3 ,1.4
y 1 3 , analizarem os las p rop iedad es d e b s n ú m ero s reales, e l o rd en d e las o p eracion es y
las reglas d e les ex p o n en to s respectivam ente. E stas secciones cubren casi todas las reglas
básicas para dom inar e l álgebra, y su co n te n id o será útil a lo largo d e to d o este libro,
s í co m o e n les d e álgebra avan zad a,d e p rcc á b u lo y d e cálcu lo.
1.1 H A B IL I D A D E S D E E S T U D IO P A R A T E N E R É X IT O E N M A T E M Á T I C A S ,
Y U S O D E L A C A L C U L A D O R A
1 Mantener u n a actitud positiva.
2 Prepararse p ara laclase y p o ne r atención e n a la .
3 Estudiar y presentar exám enes.
4 Buscar ayuda.
5 A p rende r a utfear una cakxáadora.
A n tes q u e n a d a .e s n ecesario q u e usted a d q u iera ciertas h abilidad es d e estu d io q u e le
lau d arán a com p letar c o n éx ito n o s ó lo este cu rso, s in o cu alcsq u ier otros, re la cio n a
d o s c o n las m atem áticas,qu e torn een e l fu tu ra
E s im p ortan te q u e tom e e n cu en ta q u e e s te cu rso e s e l fu n dam ento d e cu rso s d e
m atem áticas m ás avan zad as S i u sted tien e una b uena com pren sión d e l álgeb ra, le s e
rá m ás sen cillo ten er éx ito e n cu rsos p osteriores d e m atem áticas
▲P á g in a 2
Ejem plos en el
texto
Una gran cantidad de
ejemplos ilustran el concepto
que se presenta en el texto, y
proporciona una solución
detallada, paso a paso.
Ahora resuelva
el ejercicio
Ahora resuelva el ejercicio
aparece después de algunos
ejemplos seleccionados, y su
propósito es reforzar conceptos
importantes. Esta sección
permite practicar sus nuevos
conocimientos de manera
inmediata, convirtiendo a los
estudiantes en sujetos activos.
EJEM PLO 2
Solución
EJEM PLO 3
Solución
AHORAINTENTEELEJERCIQ0 39
A P á g in a 1 9
M ediante la definición d e valor ab so lu to , evalúe: a ) - |5 | b ) - |- 6 . 4 3 |
a ) T enem os q u e d e te rm in a r e l o p u esto (o in v erso ad itiv o ) d e l v alo r ab so lu to d e 5.
C o m o e l valor ab so lu to d e 5 es positivo, su o p u esto d eb e ser negativo.
_ |5 | = - (5 ) = - 5
b ) D ebem os d e te rm in a r e l o p u esto d el valor ab so lu to d e -6 .4 3 . C o m o e l v alo r a b so
luto d e —6.43 es positivo, su o p u esto d e b e ser negativo.
—|—
6 .4 3 1= - ( 6 .4 3 ) = - 6 .4 3 f t
E scriba < , > o = e n e l á re a som breada e n tre los d o s v alo res p ara hacer q u e cada afir
m ación sea v e rd a d e ra
a ) (8| ■ |- 8 | b ) |- 1 | ■ —|—3|
a ) C óm o tan to |8| co m o |—8 | so n iguales a 8, tenem os q u e |8 | = |- 8 |.
b ) C óm o | - l | = 1 y —|—3 | = - 3 , tenem os q u e | - l | > —|—3 |. #
X X

La serie Angel está diseñada para ayudar a los estudiantes a identificar rápidamente la información importante que
necesitan para aprender conceptos y temas.
Definiciones,
procedim ientos
y hechos
im portantes
Definiciones, procedimientos
y hechos im portantes. se
presentan en recuadros a lo
largo del texto, lo cual
permite localizar fácilmente
el material y concentrarse en
él al estudiar o prepararse
para los exámenes.
D E F I N I C I Ó N
P á g in a 1 8
Inverso acJttvo
E l inverso aditivo d e cualquier núm ero real a, i
C b m id ereel número - 5 . S u inverso aditivo e s - ( - 5 ) . Com o sa h emes,e l inverso
aditivo d e u n número negativo debe ser positiva lo cual implica q u e - ( - 5 ) - 5. Éste
a un ejem plo d e la propiedad d el doble negativa
FYoptedad d e l d o b le negativo
Paracualquier número reala, - ( - a ) - a
D ebido a la propiedad d el d cb le negativo, - ( - 7 . 4 ) = 7 .4 y - ( — y ) = r -
S U G E R E N C IA Existen varias formas d e escribir la solución d e un problema d e desigualdad. A segú
rese d e indicar la solución e n la form a solicitada por su profesor. A continuación p ro
porciónam e» ejem p los d e varias formas.
N o ta ció n d o C o n ju n to
intervalo so lución
D esigualdad
* < f
- ‘ < “ 5
R ecta
n u m é ric a
5
I
-6 -S - 4 - 3 -2 -1
-6 - S - 4 - 3 -2 -1 I 2 3 4 S 6
-<•!
*<f
-4 < “ í
Sugerencias
Las Sugerencias ofrecen
instrucciones útiles para resolver
problemas y otros temas.
a P á g in a 1 2 5
S U G E R E N C IA
U S E JO PARA ESTUDIAR
A continuación s e Están algunas sugerencias, por si usted tiene dificultades con los
problem as d e aplicadón.
L Profesor - H aga una rita para ver a su profesor. A segúrese d e haber leído e l m a
terial d el libro y d e haber intentado resolver todcs le s problemas d e tarea. A cu
d a a la cita con su instructor, llevando preguntas específicas.
2 A sesoría - Si su escu ela ofrece asesoría gratuita, aprovéchela.
3, G rupo d e estucho - Forme un grupo d e estudio con sus compartere» d e dase. In
tercam bie num eres telefónicos y direcciones d e correo electrónico. Podrían ayu
darse u ñ osa otros
4 Sitio W eb - S i dispone d e una com putadora, visite e l sitio W eb d e Pearson Educa
ción y A lien A ngel enpearsoneducarion.net/angel y estudie e l material relaciona
d o con este cap itu la Encontrará m ás ejem p los y ejerrirics resuelles.
a P á g in a 9 9
C Ó M O E V IT A R Siempre recuerde el término de com edio al calcular el cuadrado de un binomio.
E R R O R E S C O M U N E S
GCfiRECTO iMXflRECTO
{ x + 2 f - { x + 2 ) { x + 2 )
- x 3 + 4 x + 4
- x 1 - 6* + 9
A P á g in a 3 1 5
Sugerencias—
Consejos para
estudiar
Las Sugerencias— Consejos para
estudiar refuerzan las habilidades
de estudio para tener éxito en
matemáticas, que se analizan en la
sección 1 .1 .
C ó m o evitar
errores com unes
Los recuadros Cómo evitar errores
comunes ilustran errores
frecuentes, explican por qué ciertos
procedimientos están equivocados
y muestran métodos correctos para
resolver el problema.
x x i

en la resolución de problem as
En la sexta edición de este libróse sigue haciendo hincapié en la resolución de problemas de tal m anera que los es
tudiantes aprendan a trabajar con ellos cada vez con más confianza. En el proceso, el texto ayuda a entender p o r qué
se realiza cierta operación y, al mismo tiempo, se enseña cómo realizarla. Aunque aparece a lo largo de todo el texto,
la resolución de problemas se presenta al principio del libro.
Procedim iento
d e cinco pasos
para la resolución
de problem as
Los ejemplos en el texto
demuestran cómo resolver
cada ejercicio de aplicación
con base en el procedimiento
cinco pasos, de Polya, para la
resolución de problemas debe:
Entender el problema,
traducir, realizar los cálculos,
com probar y responder.
G u ía p a ra la re so lu ció n d e p ro b le m a s
L Entienda el problema
• Lea el problema cuidadosamente al menos dos veces. E n la primera lectura,
hágase una idea general del problema. En la segunda,determine a) exactamen
te qué se le está pidiendo,y b) qué información proporciona el problema.
• De ser posible, haga un bosquejo que ilustre el problema. Identifique la infor
mación proporcionada.
• Liste la informaciónen una tabla,si cree que hacerlo le ayudará a resolver el
problema.
2. Traduzca el problema a lenguaje matemático.
• R>r lo general,esto quiere decir expresar el problema en forma algebraica.
• E n ocasiones esto incluye la selección de una fórmula específica a utilizar;en
otras, usted tendrá que crear su propia ecuación. Incluso,podría ser necesario
verificarotras fuentes de información para encontrar la fórmula apropiada que
se debe utilizar.
3. Realice los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema.
4 Compruebe la respuesta obtenida en el paso 3.
• Pregúntese: “¿esta respuesta tiene sentido?, ¿es razonable?". Si la respuesta no
es razonable,vuelva a verificar el método que utilizópara resolver el problema
y compruebe sus cálculos.
• De ser posible,verifique la solución en el problema original.
5. Responda la pregunta. Asegúrese de haber respondido la pregunta realizada. Es
tablezca las respuestas con claridad.
Enfoque
▲P á g in a 8 0
R e s o lu c ió n d e p ro b le m a s
93. Grosord e l vidrio Ciertos tipos de vidrio tienen, idealmen
te. un grosor de 0.089 pulgada. Sin embargo, debido a las
limitaciones en el proceso d e fabricación,se permite que
el grosor varié en 0.004 pulgada respecto del grosor ideal.
Si i representa el grosor real del vidrio, entonces el rango
de grosor permitido puede representarse por medio de la
desigualdad |r - 0.089| s 0.004. Fuente: «ww.ppg.com
a) Resuelva esta desigualdad para <(utilice la notación
de intervalo).
b) ¿Cuál es el menor grosor permitido para el vidrio?
c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para el vidrio ?
94. Garantía d e calidad f-.l grosor de cierto tipo de madera la
minada está garantizado en j de pulgada con una toleran
cia d e hasta x; de pulgada.Si r representa el grosor real de
la madera laminada,entonces el rango permitido puede
representarse por m edio de la desigualdad |r — ^ •%.
Fuente: www.sticktrade.com
a ) Resuelva esta desigualdad para i (utilice la notación
d e intervalo).
h) ¿Cuál es el menor grosor permitido para la madera la
minada?
c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para la madera la
minada?
95. Exploración subm arina Un submarino está 160 pies por
b) ¿Entre qué distancias verticales <o profundidades),me
didas respecto del nivel del mar.puede moverse el sub
marino?
96. R ebote d e resorte Un resorte sujeto al techo describe un
movimiento de rebote hacia arriba y hacia abajo, de mo
do que su distancia, d. respecto del piso satisface la desi
gualdad ¿I — 4| £ 7 píe (vea la figura).
a) Resuelva esta desigualdad para <
1. Escriba su respues
ta en notación d e intervalo.
b) ¿Entre qué distancias,medidas respecto del piso, rebo
ta el resorte?
% ---------
Ejercicios de
resolución de
problem as
Están diseñados para ayudar
a los estudiantes a ser más
analíticos.
▲P á g in a 1 3 9

Enfoque en problem as d e aplicación del m u n d o real
M a t e m á t i c a s e n a c c i ó n
Cada capítulo inicia con una aplicación ilustrada del mundo real para motivar a los estudiantes y estimularlos a utilizar
el álgebra como una parte importante de su vida cotidiana. A lo largo de todo el libro aparecen problemas que tienen
como base datos reales de una amplia diversidad de temas.
M atem áticas
en acción
La sección
Matemáticas en acción enfatiza
la necesidad y la importancia de las
matemáticas en el mundo real.
4 P á g in a 1 3
Aplicaciones
del m un d o real
Una gran cantidad de maravillosos ejem
plos del mundo real, totalmente actualiza
dos, hacen que el estudiante realmente
ponga en práctica sus conocimientos
sobre álgebra. El em pleo de datos reales
en situaciones cotidianas realzan la im
portancia del material estudiado.
< P á g in a 2 2 2
y d e s ig u a ld a d e s
Aplicaciones al inicio del capítulo
Nuevas aplicaciones al inicio de cada capítulo hacen
hincapié en el papel que juegan las matemáticas en
la vida cotidiana y en el mercado de trabajo, lo que
permite introducir a los estudiantes a los temas que
s abordarán desde una perspectiva real.
P á g in a 6 6 ►
2 . 1 Roootoctondo to u to b n o o
In sola*
2 Í R oso licto n d o (r o & o n ta a y
i s o d o tV n x to o
2 3 « p lb a O n a s ú a “ O * * *
2 A O o d a n a s « m o n d o s do
a p la a to n
2 . 6 n a c o tiO ú n d o d a ag isik io -
(tasln oas
2 .6 R sso U cttn d a routoD n ae
ydoaQ Q JrtalO B io n «sto
r e s CÉtSO
UtO
O
conjunto. Bueno, eso es corred!
Un* calegori/acton rtgkla como
Cuna imprecaque reúnen íoi
una Urnade productos parí
En 1965 fue mendonado |
cepto de ion/un» difuso. Par*
tondfla.digamos que un eleme*
a.Vóhtondo *1 ejempto de Fed.
cabeftfra comptola",cuando Federico se levantó en la
maftana era miembro de ew conjunto con un valor de
1 (0 de 100porciento). Despuót de la ducha.Federico
seguía perteneciendo en ese conjunto,pero con un va-
to*de. digamos,0.999.
El rconttffittAto t o o ido a kw conjuntos dífusot,
gobernado por las regí» de la lógica difusa, es la b » e
paraque tos program» de cómputo togrenel reconocí-
m anto de patronee,por epmpto el roonodm ento de
Lapronuncácton de un ganaderode Monterrey.en
difieveconsklcfshknvntc de li de un cofftdor
de boba de Madrid. Espafta. Parareconocer ladMeren
da, el programaapiicará unagran cantUad de pruebas
de la lógica difusapara determinarel gradohasta el que
untonálo coincide con otro alm*cn*do en su base de
datosde conjuntosdilusos.A lno insistiren que haya una
correspondencia exacU para cualquier letra osflaba
—p or serdifusa—, el programapuede~entender” d ha
bla humanacon sorprendente precisión.
C onjuntos b ie n d efln id oe y con ju n tos d fu e o e
A ltipo deconjuntos m rca de los que ustedestá apren
diendo en este capíuto. muchasv e o s se les conoce co
m o conjunto» bien definidos. Un elemento es o no es
miembrode un conjunto bien definido Ese tálente que
Q es un elemento del conjunto ( T,R, Q , / | y que B no
lo es. Mis alládel mundo de lasmatemáíkas.podemos
reconocer que la afirmación: ’Abraham Lincoln es un
elemento d d conguito de todos los pvctidentcs de Es*
Udos Unidos , ícfk ji d a>ncq>tode los conjuntos ben
definido*.
Ahorapiense en elconjunto de todos tos hombres
con cabellera completa, y digamos que una cabellera
completa es aqueBaque cuenta con 100 mBo más ca
bellos. Federico se levanta en la maftana con 100 mil
cabcftts en su cabera,de modo que a pertenece alcon
juntaAl tomarunadicha,dnco cabdbscaen desu cabe-
ra y se tan por el desagüe.Ahora é l no pertenece al
V > ’i* D eprv n o o .líS ilitty S T v m lu n
a) ¿Cómo se determinó la grifa» para tos gastos totato*
a partird e l» re d » de tos gastosen instituckmespri.
tadase instituctonespúbltoas?
b | ¿Durante qué pertodo de 10 artos el monto total de
gastos en salud aumento menos?
c) ¿Durante qué pertodo de 10 aftos el monto total de
gastos salud aumento más?
Fuentes de electricidad La siguknte gráfi* muestra I»
( ¿MOi ir vdi»d i ii I nirhe.
a) Calcule el número de
masito hospitalarto en
tejer en 2000.
Rrrvfid araesrk*«n¡n rulad w fo l
Ir/unkm
afc»|toliic
x x i i i

Enfoque en ejercicios
Los conjuntos de ejercicios se desarrollaron con mucho cuidado. Cada ejercicio es más difícil que el anterior con
el objetivo de ayudar al estudiante a ganar confianza e intentar ejercicios de mayor complejidad. Al final de cada
conjunto de ejercicios se incluye también un conjunto de problemas de reto.
Ejercicios
conceptuales
Los ejercicios conceptuales
alientan al estudiante a analizar y
escribir sobre los conceptos que
está aprendiendo.
▼ P á g in a 5 7
Ejercicios conceptuales
1 . ¿Cuáles la forma de un número en notación d e MUc¿?
2. ¿ 1 X 10"puede 9er un número negativo para algún ente
ro positivo n i Explique.
Práctica d e habilidades
3. ¿Cuál deestasexpresiones esm ayor.l X 10**ol X 10~*?
Explique.
4. ¿ 1 X 10 -* puede ser un núnKto negativo para algún ente
ro positivo n i Explique.
Exprese cada número en notación científica
S. 47(0 6. S60
8. 000X 00718 9. 36000)
7. 0031
ltt 5^60000.000
Ejercicios de
problem as
de aplicación
Los ejercicios de la sección Proble
mas de aplicación cubren todos los
tipos de problemas presentados en
el capítulo.
A P á g in a 4 9
Problem as d e aplicación
R zu e lv a cada expresión.
D. 23 .2Í u . 3 J-3’ 15.
3’
35
16.
r
7J
n . 6-J K. 4 -’ 19.
1
2-3 20.
1
3-'
2 1. 13° 22. 17° 23. (2*)’ 24. (.y f
25. (2 -3 )1 26. (3*5)* 27.
ÍIT 28.
(IT
R e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s
9J. O r o u n M vidrio C ierto* Upo*«le iid rio llenen, iifcahncn-
ic. u n ¿ ro to r d e O lí- " p ulgada. Sin em bargo, d é b alo a Us
lim itaciones e n e l p ro ce so d e fabricación, w p erm ite que
e l ¡ r o to r varic e n <1(01pulgada te sp e c io d e l p o to » id e a l
*¡l r re p rése n la e l ¿ ro to r re a l d e l vidno. entonces el rungo
d e g ro so r p e rm itid o puede representarse p o r m edio d e U
desigualdad |r — (LÓ89f * QOOt. Fuente: *w w .p p y co m
al R e su e lta c ria desigualdad para i (u tilice la notación
d é intervalo»
h ) ¿C uál e s e l m enor grosor perm itido p a ra d vidrio .
'
t ) ¿C uál e s e l m ayor g r o o * p e rm itid o p a ra el vidrio?
94. tianmtia d ttaUdod I I grosor d e lic ito tl|Xl ilc m ad era la
m inada e s tá g a ra n tiz ad o e n í d e p u lgada c o n u n a toleran
c ia de hasta T íd e pulgada. Si t re p rese n ta e l grosor real de
la m adera lam inada, e n tu m e s e l ra n g o p e rm itid o puede
rep rese n ta rse p o r m edio d e la d esig ualdad |i — - ~
Flurae: w unsticktrude.com
a | R c tu d v * e sta d esigualdad p u ra i (u tilice la notación
d e intervalo»
b ) ¿.Cuál e s el m e n o r grosor p e rm itid o para la m ad era la
minada'.1
b) ¿ E ntre q u é distancias «v tlk alesto p rofundábales» m e
d id )* respecto d e l nivel d e l m a r.puede m overse e l stib-
9ft. Itcho u de rtsoN t U n re so rte sujeto a l techo d c scn b c un
m o lim ie n to de re b o te hacia a rrib a y h a cia abajo, d e m u
d o q u e su distancia, rf. resp e cto d e l p iso satisface la desi
gu ald ad |rf— 4 j p ie (v e a lo I p ira )
a l R e su e b a e sta desigualdad p a ra d E scriba su respues
ta e n n o ta ció n d e in te rv alo
1..... ñu ili’ji-~ri-h
r
Ejercicios
de resolución de
problem as
Los ejercicios de la sección
Resolución de problemas están
diseñados para ayudar a los
estudiantes a ser más analíticos.
a P á g in a 139
x x i v

Problem as d e reto
Los problemas de la sección Reto
estimulan el interés de los
estudiantes con ejercicios más
demandantes o difíciles en los
aspectos conceptual o de realización.
Actividad en equipo
Las actividades en equipo
proporcionan a los estudiantes
oportunidades para desarrollar el
aprendizaje colaborativo.
Ejercicios d e repaso
acumulativo
Los Ejercicios de repaso acumulativo
refuerzan los temas tratados con
anterioridad. Estos ejercicios indican
las secciones en donde se explicó el
material.
5 2 • C a p JtiJo 1 • C o n c e p to s b á s ic o s
R eto
H t la sección 72 aprenderá que las reglas de lo s ex ponentes que acabam os de presentar,tam bién se aplican cuando Ios ex ponentes
son números racionales. Con base en esta Inform ación y en las reg/as de Ios exponentes, resuelva cada expresión
- $r - m - (*
- g? - m
Actividad e n eq u ipo______________
Analice y responda en equipo el ejercido 143.
M3. C entavos qu e crecen B día 1 se le da un centavo. Cada
uno de lo s días que siguen se le dará e l doble d e la canti
dad que se le entregó el d b anterior.
a) Escriba1» cantidades que le darbn en cada uno de lo s
primeros 6 días.
b) Señale rata uno de estos números com o una expresión
exponencial con una base de 2.
c) Buscando un patrón determine una expresión ex p o
nencial para e l núm ero de centavos que recibirá el
día 10.
Ejercicios d e rep aso acum ulativo
[ 1 ¿ ] 144.Si A - { 3 . 4, 6) y B - { 1 . 2. 5. 8 ). determine
a )A U f iy b)<4 C fl.
145.1ustre e l siguiente conjunto en la recu numérica:
{*|-3 * x < 2 ) .
d) Eacxiha unaexpresión exponencial general para e l nú-
merode centavos que redará e l día n
el Escriha una expratión exponencial para e l número de
centavos que recibirá e l d b 30.
f) Q d cu led valor de b expresión en taparle e ) S i tiene
calculadora, utiícela.
V) Determine la cantidad,en pesos, que obtuvo com o re-
s u lu d o e n b parte I),
h) Escriba unaexpresiónexponencbl general para el nú
mero d e p a o s que re d a r á en e l día n.
[1.4] MóXblcule: 6 + |12 | + |- 3 | - 4 -2 1.
147ívaluate S^=T25.
1.6 NO TAC IÓ N C IENTIFICA
1 E s c rb ir n ú m e ro s e n n o tación científica.
2 C a m b ia r n ú m e ro s e n no tació n clentfflca a fo rm a d ecim a l.
3 U s a r no tació n clentfflca e n la resolución d e p ro blem a s.
1 Escribir números en notación clentfflca____________________________________________
C on m u ch a frecu en cia, lo s cien tíficos c ingenieros tien en q u e trabajar co n núm eros
m uy gran d es y m uy p e q u e ñ o s Por ejem p lo, la frecuencia d e la señ a l d e u n rad io FM
p u e d e ser d e 14,200,000,000 hertz (o c ic lo s p o r seg u n d o ), y e l d iám etro d e u n átom o
d e h id rógeno e s d e alred ed or d e 0.0000000001 m etros D e b id o a la dificultad q u e im
p lica trabajar c o n m uchas ceros, a m enu d o las cien tíficos exp resan tales num eres co n
exp on en tes. Por ejem p lo, e l n ú m ero 14,200,000,000 p od ría escribirse co m o 1.42 X 10'°
y 0.0000000001 com o 1 X 10“ '".Esta representación abreviada s e co n o ce com o n o ta d ó n
d e n tífica. E n n o ta d ó n cien tífica, b s núm eros ap arecen com o un núm ero m ayor o igual
a 1 y m en or q u e 10, m u ltip licad o p o r alg u n a p o ten cia d e 10. E l ex p o n en te d e 10 d e
b e ser u n en te ro . C u a n d o una p o ten cia d e 10 n o tie n e co e ficien te n u m érico , co m o
A P á g in a 5 2
X X V

Al estudiante
E
l álgebra es una disciplina q u e no puede aprender
se p o r observación: usted deb e convertirse en un
participante activo; debe leer el texto, poner atención en
d ase y,lo q u e es más im portante, resolver ejercicios. C uán
tos más ejercicios resuelva, mejor.
El texto se escribió teniéndolo a u sted en m ente. Se
utilizan oraciones breves y claras, y se proporcionan m u
chos ejem plos p ara ilustrar puntos específicos. E l texto
hace hincapié en las aplicaciones prácticas del álgebra.
E speram os q u e, co n fo rm e avance en e l cu rso , se d é
cuenta q u e el álgebra no es só lo o tro curso obligatorio
d e m atem áticas, sin o u n a disciplina co n aplicaciones
útiles.
E ste texto incluye varios tipos d e inform ación que
u sted identificará fácilm ente gracias al uso d e recua
dros.
Por ejem plo, los recuadros titulados Sugerencia deben
estudiarse con cuidado, ya q u e resaltan la inform ación
más im portante. Los recuadros Cóm o evitar errores co
m unes tam bién deben analizarse atentam ente, dado que
señalan los errores q u e con más frecuencia com eten los
estu d ian tes y m u estran los procedim ientos co rrecto s
p ara evitarlos en la resolución d e problem as.
Pregunte a su profesor lo más pronto si podrá usar una
calculadora durante el curso. Si su respuesta es positiva,
preste particular atención a las secciones Cóm o utilizar
su calculadora y Cóm o utilizar su calculadora graficado-
ra (esto último aunque no se le perm ita utilizarla e n cla
se). Tal vez la inform ación q u e se presenta allí le ayude a
com prender m ejor los conceptos algebraicos.
Algo más q u e deb e preguntar a su profesor al inicio
del curso es: ¿cuáles d e los suplem entos del libro están
disponibles? ¿E n dónde puede obtener ayuda cuando el
profesor no esté disponible? Los suplem entos disponibles
y los iconos em pleados p ara representarlos en el texto
son: V ideocintas y (incluyendo u n a videocinta
sobre las habilidades d e estudio p a ra ten er éxito en
m atem áticas). O tra fuente d e ayuda es el sitio W eb de
A ngel, . E stos com plem entos se analizan en la
sección 1 .1 d e este libro.
Tal vez desee form ar un grupo d e estudio con otros es
tudiantes d e su clase. M uchos estudiantes han descubier
to q u e el trabajo en grupos pequeños resulta un excelente
mecanismo d e aprendizaje. Al discutir con otras personas
o explicar los conceptos y ejercicios, se refuerza su propia
com prensión. U na vez determ inados los criterios y proce
dim ientos con los q u e trabajará su grupo d e estudio, ase
gúrese d e cumplirlos.
U na de las prim eras cosas q u e deb e hacer es leer la
sección 1 .1 ;en ella se listan los hábitos d e estudio necesa
rios p ara tener éxito en matemáticas. Lea esta sección len
ta y cuidadosam ente, y preste particular atención a los
consejos q u e se brindan en ella. R elea estas recom enda
ciones d e vez en cuando. L ea el m aterial con cuidado al
hacer su tarea o asistir a clase.
Al final d e todos los conjuntos d e ejercicios (salvo los
dos prim eros) están los Ejercicios de repaso acumulativo.
U sted deb e resolver estos problem as d e m anera regular,
incluso si no se le han asignado. Estos problem as se re
fieren a secciones y capítulos anteriores del texto, así que
le servirán p ara refrescar su m em oria y reforzar su apren
dizaje d e los tem as correspondientes. Si tiene problem as
al resolver estos ejercicios, lea la sección adecuada del
texto o estudie sus notas respecto d e ese m aterial. L a sec
ción del texto en donde se presenta la inform ación rela
tiva a los ejercicios de repaso acum ulativo se indica
m ediante corchetes / / , a la izquierda del ejercicio. Si aun
después d e revisar el m aterial tiene problem as, haga una
cita con su profesor. TVabajar con los ejercicios d e repaso
acumulativo durante todo el sem estre le ayudará a prepa
rarse p ara el exam en final.
Al final d e cada conjunto d e ejercicios están las sec
ciones R esum en del capítulo. Ejercicios de repaso del ca
pítulo y Exam en del capítulo. A ntes d e cada exam en debe
revisar estas secciones con m ucho cuidado y realizar el
exam en propuesto. Si usted obtiene buenos resultados en
él, seguram ente tam bién logrará una buena calificación
en el exam en form al q u e aplique su profesor. Al lado de
las preguntas d e los ejercicios d e repaso aparece el nú
mero de la sección en donde se presentó el m aterial co
rrespondiente p o r prim era vez. Si tiene problem as con
alguna pregunta d e los ejercicios d e repaso, vuelva a leer
la sección indicada. Por o tro lado, tal vez sería convenien
te q u e realizara el E xam en de repaso acum ulativo que
aparece al final de cada capítulo.
E n la últim a parte del texto esta la sección de respues
tas con las soluciones a los ejercicios d e núm ero im par,
incluyendo los problem as d e Reto. Tam bién se propor
cionan todas las respuestas a los ejercicios p ara calculado
X X V i

Al estudiante • x x v i i
ra graficadora, a los ejercicios d e repaso acum ulativo, a
qercicio s d e repaso del capítulo y a los exám enes del
capítulo. Sin em bargo, no se proporcionan las respuestas
a los ejercicios de actividades en equipo, ya q u e deseam os
que los estudiantes lleguen a soluciones acordadas entre
ellos p ara responderlos. Sólo deb e utilizar las respuestas
para verificar su trabajo. L as respuestas a los ejercicios
del exam en d e repaso acumulativo aparecen inm ediata
m ente después d e él, p ara q u e tenga una retroalim enta
ción inm ediata. D espués d e cada respuesta, aparecen los
núm eros d e sección y objetivo en donde se abordó ese ti
po d e problem as.
Intenté hacer este libro lo más claro posible y evitar
b s errores en la m edida d e mis posibilidades. Sin em bar
go, ningún texto es perfecto. Si el libro le gustó, si en
cuentra algún error e n él, o si advierte q u e un ejem plo o
sección puede m ejorarse, m e encantaría saberlo. Puede
ponerse en contacto conm igo en www.pearsoneducacion.
net/angel.
Alien R. Angel

C a p ít u lo 1
■
11 kA*
C onceptos básicos
1.1 Habilidades d e estudio
para tener éxito en
m atem áticas y uso
de la calculadora
1 .2 Conjuntos y otros
co n ce pto s básicos
1 .3 P ropiedades d e los
núm eros reales y
operaciones con ellos
1 .4 O rden d e las operaciones
1 .5 Exponentes
1 .6 Notación científica
R esum en del capítulo
Ejercicios d e repaso
del capítulo
Exam en d e práctica
del capítulo
A
lguna vez se ha preguntado: “¿cuándo voy a usar las m atem áticas?”. E n este capítulo v ere
mos m uchas áreas en las q u e se puede utilizar el álgebra p ara analizar y resolver situaciones
de la vida diaria. Estas situaciones van desde el uso d e rem edios d e medicina alternativa (ejemplo
10, página 35) hasta el cálculo del aum ento d e las em isiones d e dióxido d e carbono (ejercicio 116,
página 40). G racias a éstos y otros ejem plos,descubrirem os q u e las m atem áticas pueden usarse en
prácticam ente todas las áreas de nuestras vidas.
A S
(Tí })

2 • Capítulo 1 • C o n c e p to s básicos
A va n ce d e
la lección
T~¡* n este capítulo repasarem os los conceptos d e álgebra fundam entales p ara que
1 —j usted alcance los objetivos d e esta m ateria. A lo largo d e todo el libro usaremos
datos d e ejem plos reales q u e m uestran la im portancia d e las m atem áticas en la vida
diaria. E n la sección 1 .1 presentam os algunos consejos q u e le ayudarán a establecer há
bitos y habilidades d e estudio efectivos. E n la sección 1.2 hablarem os d e los conjuntos,
incluyendo los conceptos d e unión e intersección. E stos conceptos estarán presentes
en cualquier curso d e m atem áticas q u e usted llegue a tomar. E n las secciones 1.3,1.4
y 1.5, analizaremos las propiedades d e los núm eros reales, el orden de las operaciones y
las reglas de los exponentes, respectivamente. Estas secciones cubren casi todas las reglas
básicas p ara dom inar el álgebra, y su contenido será útil a lo largo d e todo este libro,
así com o en los d e álgebra avanzada, d e precálculo y d e cálculo.
1.1 H A B IL ID A D E S D E E S T U D IO P A R A T E N E R É X IT O E N M A T E M Á T IC A S
Y U S O D E L A C A L C U L A D O R A
s
1 Mantener una actitud positiva.
2 Prepararse para la clase y poner atención en ella.
3 Estudiar y presentar exámenes.
4. Buscar ayuda.
5 Aprender a utilizar una calculadora.
A ntes que nada, es necesario q u e usted adquiera ciertas habilidades d e estudio q u e le
ayudarán a com pletar con éxito no sólo este curso, sino cualesquier otros, relaciona
dos con las matem áticas, q u e tom e en el futuro.
Es im portante q u e tom e en cuenta q u e este curso es el fundam ento d e cursos de
m atem áticas más avanzadas. Si usted tiene una buena com prensión del álgebra, le se
rá m ás sencillo tener éxito en cursos posteriores d e matemáticas.
1 M a n te n e r u n a a c titu d p o s itiva
Podría estar pensando: “O dio las m atem áticas”, u “Ojalá no tuviera q u e tom ar esta
clase”. Tal vez haya escuchado el concepto fobia a las matemáticas, y considere que
usted cae en esa categoría. Lo prim ero q u e necesita hacer p ara ten er éxito en este
curso es cam biar esta actitud p o r o tra m ás positiva. D eb e estar dispuesto a darse y
darle a este curso una oportunidad justa.
Con base en su experiencia previa con las m atem áticas es probable q u e piense
qu e esto será difícil. Sin em bargo, las m atem áticas son una disciplina en la q u e es p re
ciso trabajar. M uchas d e las personas q u e tom an este curso son más m aduras d e lo que
era n cuando tom aron cursos anteriores d e m atem áticas. Su m adurez y su deseo de
aprender son extrem adam ente im portantes, y pueden hacer una gran diferencia para
tener éxito con las matemáticas. C reo q u e usted puede tener éxito en este curso, pero
tam bién necesita usted creerlo.
2 P re p a ra rs e p a r a la c la s e y p o n e r a te n c ió n e n ella
R e v is e el m a te ria l
A ntes d e clase, es recom endable que destine algunos m inutos a revisar cualquier m a
terial nuevo en el libro d e texto. No es necesario q u e entienda todo; se trata solam en
te d e q u e tenga una idea d e las definiciones y conceptos q u e se estudiarán. E ste rápido
repaso le ayudará a com prender lo q u e explique su profesor d u ran te la clase. Después

Sección 1.1 • Habilidades d e estudio p ara te n e r éxito e n m a te m á tica s y u so d e la ca lcu la d o ra • 3
q u e el m aterial haya sido explicado en clase, lea lenta y cuidadosam ente, palabra por
palabra, las secciones correspondientes e n el texto.
L e a el libro d e te x to
Los libros d e texto d e m atem áticas no son novelas, así q u e deben leerse despacio y
cuidadosam ente. Si usted no com prende lo q u e está leyendo, vuelva a leer el m aterial.
Cuando encuentre un concepto o definición nuevos, tal vez sería bueno q u e los subra
yara o resaltara con un m arcador,d e m odo q u e sobresalga. D e esta m anera,cuando los
busque posteriorm ente le será m ás fácil encontrarlos. Cuando vea un ejem plo desarro
llado, léalo y analice con cuidado su solución. No se conform e con exam inarlo super
ficialmente; trate d e desarrollarlo p o r su cuenta en o tra hoja.Tam bién es recom endable
q u e resuelva los ejercicios d e las secciones A hora resuelva el ejercido, q u e aparecen
en el texto después d e varios ejemplos. Estas secciones están diseñadas para q u e usted
tenga la oportunidad d e aplicar nuevos conceptos d e m anera inm ediata. Tom e nota
d e todo lo q u e no entienda, para pedirle a su profesor q u e se lo explique.
H a g a la ta re a
L o s dos com prom isos m ás importantes que usted debe contraerpara tener éxito en es
te curso son:asistira clase y hacerla tarea con regularidad. U sted debe resolver p o r com
pleto y a co n d en cia las tareas q u e le dejen. No e s posible apren d er m atem áticas
m ediante la observación; es necesario practicar lo visto en clase. Sólo haciendo sus
tareas com prenderá el material.
No olvide com probar las respuestas d e sus tareas. Las respuestas a los ejerd d o s
de núm ero im par están al final d e este libro, en donde tam bién encontrará la solución
a todos los Ejercicios d e repaso acumulativo, Ejercicios d e repaso del capítulo y a los
Exám enes d e práctica del capítulo. Las respuestas a las preguntas d e los Exám enes de
repaso acumulativo aparecen justo después d e los mismos exámenes. Además,después
de cada respuesta encontrará en tre corchetes los núm eros d e la sección y del objetivo
en donde se presentó p o r prim era vez el concepto relacionado. Las respuestas a los
E jerdcios d e actividades en equipo no se proporcionan porque querem os q u e las o b
tengan precisam ente m ediante el trabajo en equipo.
Si tiene alguna dificultad con algunos d e los ejercicios, m árquelos y no dud e en
preguntar acerca d e ellos e n clase. No se detenga hasta q u e entienda todos los concep
tos necesarios p ara resolver todos los problem as asignados.
Cuando haga su tarea, asegúrese d e escribirla con claridad y cuidado. Ponga espe
cial atención en copiar correctam ente los signos y los exponentes. H aga su tarea paso
a paso. D e esta m anera podrá consultarla posteriorm ente y com prender con claridad
lo q u e haya escrito.
A s is ta a c la s e y p a rtic ip e
E s recom endable q u e asista a todas las clases. Casi todos los profesores coinciden en
que hay una relación inversa en tre las inasistencias y las calificaciones: entre más inasis
tencias tenga, m enor será su calificación. C ada vez q u e usted falta a una clase, pierde
inform ación im portante; cuando esto ocurra, contacte cuanto antes a su profesor y
averigüe q u é tarea dejó y q u é deb e leer p ara m antenerse al día.
Cúando esté en clase, ponga atención a lo q u e dice su profesor. Si no com pren
d e algo, pídale q u e repita la lección o q u e la vuelva a explicar. Si leyó el m aterial por
anticipado y tiene dudas, pregunte a su profesor; si no lo hace, éste no sabrá q u e usted
tiene problem as p ara com prender la lección.
En clase, sea cuidadoso al tom ar notas. Escriba d e m anera clara los núm eros y
las letras para q u e pueda leerlos después. No es necesario q u e escriba todo lo q u e di
ce el profesor; tom e no ta d e los puntos principales y d e los ejem plos q u e no estén en
el libro d e texto. No es aconsejable q u e escriba d e m anera frenética, ya que, al hacer
lo, podría perder la secuencia d e lo q u e está diciendo su profesor. C reer q u e puede es-

cribir todo lo q u e se discute en clase sin entenderlo y suponer q u e podrá com prender
lo después, es un error.
E s tu d ie
E studie en el am biente apropiado,es decir,e n un área donde no se le interrum pa cons
tantem ente, d e tal m anera que toda su atención esté dedicada a lo q u e está leyendo.
E sta área deb e estar bien ventilada e ilum inada; su escritorio deb e tener suficiente
espacio p ara distribuir en él todo su m aterial, y su silla debe ser cóm oda. E s recom en
dable q u e minimice las distracciones m ientras estudia. Por otro lado, no deb e estudiar
sin parar; lo m ejor es tom ar breves periodos d e descanso cada cierto tiempo.
Al estudiar no sólo deb e entender cóm o resolver un problem a, sino tam bién por
q u é sigue unos pasos específicos p a ra hacerlo. Si no com prende p o r q u é está si
guiendo un proceso específico, no podrá resolver problem as similares.
A d m in is tre s u tie m p o
Es recom endable q u e los estudiantes dediquen, en prom edio, dos horas p ara estudiar
y hacer tareas p o r cada hora d e clase. E ncontrar el tiem po necesario para estudiar no
siem pre es fácil; éstas son algunas sugerencias q u e podrían serle d e utilidad:
1 . H aga un plan. D eterm ine cuándo tendrá tiempo p ara estudiar y hacer su tarea. No
program e otras actividades en esos horarios, y trate d e distribuir equitativam en
te sus horas d e estudio a lo largo d e la sem ana.
2. O rganícese d e m odo q u e no pierda tiem po en buscar sus libros, bolígrafo, calcu
ladora o notas.
3. U tilice su calculadora p ara realizar cálculos tediosos.
4. Cuando deje d e estudiar, m arque con claridad en su libro d e texto el lugar donde
se detuvo.
5. Intente no adquirir responsabilidades d e más. D ebe establecer sus prioridades: si
su educación es im portante, com o deb e ser,quizá tenga q u e reducir el tiem po que
dedica a otras actividades.
6. Si el tiempo es un problem a, no se agobie con dem asiados cursos. Si el sistem a de
su escuela lo perm ite, considere la posibilidad d e cursar m enos m aterias. Si no
cuenta con suficiente tiem po para estudiar,tanto su aprendizaje com o las califica
ciones d e todos sus cursos se verán afectados.
3 E s tu d ia r y p re s e n ta r e x á m e n e s
E s tu d ie p a r a s u s e x á m e n e s
Si estudia un poco todos los días, no necesitará cargarse d e inform ación la noche an
terior a su exam en. Por el contrario, si espera hasta el último m inuto, no tendrá tiem
po d e buscar ayuda si la necesita. Al prepararse p ara presentar un exam en, tom e en
cuenta estas sugerencias:
1 . L ea las notas q u e tom ó en clase.
2. R epase sus tareas.
3. E studie las fórm ulas, definiciones y procedim ientos q u e necesitará en el examen.
4. L ea con cuidado los recuadros sobre Cóm o evitar errores com unes y los d e Suge
rencias.
5. L ea el resum en q u e aparece al final d e cada capítulo.
6. Resuelva los ejercicios d e repaso q u e se ofrecen al final d e cada capítulo. Si tiene
dificultades con alguno d e ellos, vuelva a estudiar las secciones correspondientes;
si aún así tiene problem as, busque ayuda.
7. Resuelva el exam en d e práctica del capítulo.

Sección 1.1 • Habilidades d e estudio p ara te n e r éxito e n m a te m á tica s y u so d e la ca lcu la d o ra • 5
8. R epase los exám enes que haya tenido con anterioridad si el m aterial q u e se trata
en ellos form ará p arte del próxim o examen.
9. E n caso d e q u e el exam en abarque m aterial d e los capítulos anteriores, resuelva
el Exam en d e repaso acumulativo.
P a ra p re s e n ta r el e x a m e n
Asegúrese d e dorm ir bien la víspera del exam en; si estudió apropiadam ente, no tendrá
que desvelarse haciéndolo e n el último momento. Llegue tem prano al lugar en donde
se aplicará el exam en p ara tener unos m inutos d e relajam iento. Si llega d e m anera
apresurada al sitio del exam en, se sentirá nervioso e inquieto. Al recibir el exam en,
haga lo siguiente:
1 . Escriba con cuidado todas las fórm ulas o conceptos que quiera recordar.
2. Revise rápidam ente todo el exam en p ara tener una idea d e su longitud y asegu
rarse d e q u e no falta ninguna página. Necesitará hacer una distribución d e su tiem
po para estar seguro d e q u e podrá com pletar todo el exam en; tenga en cuenta que
deberá destinar más tiempo a la resolución d e los problem as q u e valen más puntos.
3. L ea con cuidado las instrucciones del examen.
4. Lea con atención cada problem a. R esponda com pletam ente cada pregunta y ase
gúrese d e q u e su respuesta corresponda exactam ente con lo q u e se pregunta.
5. Inicie con la pregunta 1; responda las preguntas en orden. Si tiene dificultades p a
ra responder a una pregunta, no le dedique dem asiado tiempo: continúe y respon
d a las preguntas q u e entienda; después, regrese y responda aquellas d e cuya
contestación no esté seguro. No pierda dem asiado tiempo en responder una sola
pregunta.
6. Intente resolver todos los problem as, d e esta m anera tendrá m ayores oportunida
des d e obtener una m ejor calificación o adquirir más créditos.
7. TVabaje con cuidado y escriba claram ente a fin d e q u e su profesor pueda leer y en
tender sus respuestas. E s com ún com eter errores cuando la escritura no es clara.
8. Si tiene tiem po, verifique su trabajo y sus respuestas.
9. No se preocupe si otras personas term inan su exam en antes q u e usted. No se
apure si usted es el último en com pletarlo;ocupe todo el tiempo d e q u e disponga
para verificar sus respuestas.
4 B u s c a r a y u d a
U tilice lo s s u p le m e n to s
Este libro de texto cuenta con varios suplementos. Averigüe cuáles d e ellos están dispo
nibles y cuáles podrían ser útiles. La lectura d e esos suplem entos no deb e considerarse
com o un reem plazo d e la lectura del texto, sino com o un recurso com plem entario.
Visite el sitio W eb d e este libro en www.pearsoneducacion.net/angel donde encontrará
muchísimo m aterial, en inglés, q u e le ayudará en sus lecciones: ejercicios adicionales,
cuestionarios de práctica que pueden calificarse, instrucciones para el uso d e calculado
ras graficadoras d e todas las marcas, y proyectos d e los capítulos.
B u s q u e a y u d a
U n consejo q u e subrayo mucho a mis estudiantes es: i'obtenga ayuda tan pronto com o
la necesite! £No espere! E n m atem áticas, p o r lo general el m aterial q u e se revisa un
día se basa en el q u e se analizó el día anterior. A sí q u e si no entiende el m aterial de
hoy, no podrá entender el d e mañana.
¿E n dónde buscar ayuda? C on frecuencia en los cam pus universitarios existen
varios lugares en donde o b ten er ayuda. Sería bueno q u e trata ra d e hacer un amigo
en clase, alguien con quien pueda estudiar; a m enudo podrán ayudarse m utuam ente.

O tra idea sería form ar un grupo d e estudio con algunos com pañeros d e su clase. A n a
lizar los conceptos y hacer las tareas junto con sus com pañeros reforzará su propia
com prensión del m aterial.
No dude en acudir a su profesor cuando tenga problem as con el m aterial. Sin
em bargo, asegúrese d e leer el m aterial asignado e intente resolverlo antes d e consul
tarlo. Llegue preparado con preguntas específicas.
Con frecuencia hay o tras fuentes d e ayuda a su disposición. M uchos colegios
tienen un laboratorio o un centro d e aprendizaje d e m atem áticas co n asesores p a
ra ayudar a los estudiantes. Pregunte a su profesor al principio del curso si la insti
tución cu en ta co n este servicio y e n d ó n d e se localiza. U tilice la asesoría cuando
sea necesario.
5 A p r e n d e r a utilizar u n a c a lc u la d o ra
M uchos profesores solicitan a sus estudiantes q u e com pren una calculadora y la utili
cen en clase; d e ser así, usted deb e saber lo más pronto posible cuál es la calculadora
que su profesor espera q u e utilice. Si planea llevar cursos adicionales d e matem áticas,
deb e determ inar q u é tipo d e calculadora necesitará, y evaluar la posibilidad d e com
p rar una sola q u e se adapte a todos los cursos, si es q u e su profesor lo perm ite. Muchos
profesores solicitan una calculadora científica, y otros una calculadora graficadora.
En este libro se proporciona inform ación acerca d e am bos tipos d e calculadora.
Siem pre lea y guarde el m anual del usuario d e cualquier calculadora q u e compre.
C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1.1
■k L ¿Cuál es el nombre de su profesor?
2. ¿Cuál es el horario en que su profesor puede atenderlo?
3. ¿En dónde se localiza la oficina de su profesor?
4. ¿Cómo puede encontrar más fácilmente a su profesor? m
5. ¿En dónde puede obtener ayuda si su profesor no está
disponible?
6. ¿De qué complementos dispone como ayuda para su
aprendizaje?
7. ¿Su profesor recomienda o requiere una calculadora es
pecífica? Si es así, ¿cuál?
8. ¿Cuándo puede utilizar su calculadora? ¿Puede utilizarla
en clase,para hacer las tareas, o durante los exámenes?
9. ¿Cuáles son las reglas de asistencia a clases estipuladas
par su profesor?
« 10. ¿Por qué es importante que asista a todas las clases po
sibles?
IL ¿Sabe el nombre y número telefónico de alguno de sus
compañeros de clase?
ft>rcada hora de clase, ¿cuántas horas se recomienda que
dedique al estudio y a la realización de tareas?
13. liste lo que debe hacer a fin de estar bien preparado para
la clase.
14 Explique cómo debe leerse un texto de matemáticas.
15. Escriba un resumen de los pasos que deben seguirse para
presentar un examen.
16. Mantener una actitud positiva es muy importante para
tener éxito en este curso. ¿Está comenzando este curso
con una actitud positiva? ffis importante que lo haga!
17. Debe comprometerse a dedicar el tiempo necesario para
aprender el material, hacer las tareas y para asistir a las
dases con regularidad. Explique por qué piensa que este
compromiso es necesario para tener éxito en este curso.
18. ¿Cuáles son sus razones para tomar este curso?
19. ¿Cuáles son sus metas para este curso?
20. ¿Ha pensado en estudiarcon un amigo o grupode amigos?
¿Ve alguna ventaja en hacerlo? ¿Ve alguna desventaja en
hacerlo?
¿Conoce usted toda la información siguiente? Si no,pregúntesela a su profesor lo más pronto posible.
12.
1 .2 C O N J U N T O S V O T R O S C O N C E P T O S B Á S IC O S
1 Identificar conjuntos.
2 Identificar y utilizar desigualdades.
3 Usar la notación de construcción de conjuntos.
A Determinar la unión e intersección de conjuntos.
5 Identificar conjuntos importantes de números.

S ección 1.2 • C o n ju n to s y o tro s c o n c e p to s básicos • 7
Comencemos con algunas definiciones importantes. Cuando una letra se usa para repre
sentar varios números, recibe el nombre de variable. Por ejemplo, si t = tiempo en horas
que dura el viaje de un automóvil, entonces t es una variable, ya que el tiempo cambia de
m anera constante conforme el automóvil viaja. Con frecuencia usamos las letras x ,y ,z y
t para representar variables;sin embargo,pueden emplearse tam bién otras letras. Cuando
presentam os propiedades o reglas, a m enudo las letras a,b y c,se utilizan como variables.
Si una letra representa un valor particular, se le denom ina constante. Por ejem
plo, si s = núm ero d e segundos q u e hay en un m inuto, entonces s representa una cons
tante, ya q u e en un minuto siem pre hay 60 segundos. E l núm ero d e segundos q u e hay
en un minuto no varía. E n este libro, las letras q u e representan variables y constantes
aparecen en itálicas (o cursivas).
El térm ino expresión algebraica,o sim plem ente expresión,se usará con frecuencia
en el texto. U na expresión es cualquier com binación d e números, variables,exponentes,
símbolos m atem áticos (distintos del signo igual) y operaciones matemáticas.
1 Identificar c o n ju n to s
Los conjuntos se em plean en m uchas áreas d e las matem áticas, d e m odo q u e es im
po rtan te com prenderlos y conocer su notación. U n conjunto es una colección o grupo
de partes. Las partes q u e conform an un conjunto reciben el nom bre de elem entos del
conjunto. Los elem entos q u e integran un conjunto se indican m ediante llaves { } y,
con frecuencia, los conjuntos se identifican con letras mayúsculas. C uando los ele
m entos d e un conjunto están listados dentro d e las llaves, com o se ilustra a conti
nuación, se dice q u e el conjunto está e n form a de lista.
A = {a, b, c}
B = {am arillo, verd e, azul, rojo}
C = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
E l conjunto A tiene tres elem entos, el conjunto B tiene cuatro elem entos, y el conjun
to C tiene cinco elementos. E l sím bolo e se utiliza p ara indicar q u e cierto elem ento
form a parte d e un conjunto. Com o 2 es un elem ento del conjunto C ,podem os escribir
2 e C; esto se lee “2 es un elem ento del conjunto C ”.
U n conjunto puede ser finito o infinito. Los conjuntos A , B y C tienen, cada uno,
un núm ero determ inado d e elem entos; p o r lo tanto, son conjuntos finitos. E n algunos
conjuntos es imposible listar todos los elem entos; a éstos se les conoce com o conjuntos
infinitos. E l siguiente conjunto, llam ado conjunto d e los núm eros naturales o conjun
to d e los núm eros para contar, es un ejem plo d e conjunto infinito.
N = {1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,...}
Los tres puntos después d e la últim a com a, llam ados puntos suspensivos, indican que
el conjunto continúa d e la misma m anera.
O tro im portante conjunto infinito es el d e los núm eros enteros. E l conjunto de
los enteros es
Z = { . . . , - 4 , - 3 ,- 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . }
O bserve q u e el conjunto d e los núm eros enteros incluye tanto a los enteros positivos
com o a los enteros negativos y al núm ero cero.
Si escribimos
D = { 1 ,2 , 3 ,4 ,5 ,...,2 8 0 }
querem os decir q u e el conjunto continúa, incluyendo los núm eros 6 al 279 y hasta el
número 280. E l conjunto D es el conjunto d e los prim eros 280 núm eros naturales; por
lo tanto, D es un conjunto finito.
Los conjuntos especiales q u e no contienen elem entos reciben el nom bre de con
juntos nulos o conjuntos vados, y se indican con { } o 0 . Por ejem plo, el conjunto de
estudiantes d e su clase q u e tienen más d e 150 años, es un conjunto vacío o nulo.
2 Identificar y utilizar d e s ig u a ld a d e s
A ntes d e p resen tarle un segundo m étodo p ara representar conjuntos, denom inado
notación constructiva de conjuntos, hablarem os d e los sím bolos d e desigualdad.

E J E M P L O 1
Solución
AHORARESUELVAELEJERCICIO29
Sím bolos d e desigualdad
> se lee “es mayor que".
> se lee “es mayor que o igual a".
< se lee “es m enor que".
< se lee “es m enor que o igual a".
* se lee “no es igual a".
Las desigualdades pueden explicarse p o r medio d e la recta d e los núm eros reales
(figura 1 .1 ).
« : i I I t I I I I I I I I ►
F I G U R A 1.1- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
El núm ero a es m ayor q u e el núm ero b (es decir, a > b ), cuando a e stá a la
derecha d e b en la recta num érica (figura 1 .2). Tam bién podem os establecer q u e el
núm ero b es m enor q u e a (b < a),cuando b está a la izquierda d e a en la recta num éri
ca. L a desigualdad a # b significa q u e a < b o q u e a > b.
M enor M ayor
------ ♦----------------------------------♦----*-
FIGURA 1.2 b a
E scriba > o < en el área som breada en tre los núm eros p ara q u e cada afirm ación sea
verdadera.
a) 6 ■ 2 b) - 7 ■ 1 c) - 4 ■ - 5
Trace una recta num érica p ara ilustrar la localización d e todos los valores señalados
(figura 1.3).
FIGURA 1.3 - 7 -6 - 5 - 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
a) 6 > 2 O bserve q u e 6 está a la derecha d e 2 en la recta numérica.
b) - 7 < 1 O bserve q u e - 7 está a la izquierda d e 1 en la recta numérica.
c) - 4 > - 5 O bserve q u e - 4 está a la derecha d e - 5 e n la recta num érica. #
Recuerde que, si la desigualdad es verdadera, el sím bolo siempre señala o apunta
al m ás pequeño de los dos números.
U tilizam os la notación x > 2 , q u e se lee ux es m ayor q u e 2", p ara representar
a todos los núm eros reales m ayores q u e 2 . Utilizam os la notación x < - 3 , q u e se lee
ux es m enor q u e o igual a - 3 ”, para representar a todos los núm eros reales q u e son
m enores q u e o iguales a - 3 . E n la notación - 4 < x < 3, la variable x representa a
todos los núm eros m ayores q u e o iguales a - 4 , y a todos los m enores q u e 3. E n las d e
sigualdades x > 2 y x < - 3 , el núm ero 2 y el núm ero - 3 reciben el nom bre de puntos
extrem os. E n la desigualdad - 4 < x < 3, el - 4 y el 3 son los puntos extrem os. Las
soluciones d e las desigualdades en q u e se usan los sím bolos < o > no incluyen a los
puntos extrem os, pero las soluciones d e las desigualdades en q u e se utilizan < o > sí
los incluyen. C uando las desigualdades se ilustran en la recta num érica, se em plea un
círculo relleno p ara indicar q u e el punto extrem o está incluido en la respuesta, y se
usa un círculo vacío p ara indicar q u e el punto extrem o no está incluido. E n seguida
se m uestran algunos ejem plos d e cómo se indican algunas desigualdades en la recta
numérica.

Sección 1.2 • C o n ju n to s y o tro s c o n c e p to s b á sico s • 9
Desigualdad
x > 2
Desigualdad indicada en la recta numérica
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
- 4 X < 3 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
A lgunos estudiantes confunden el significado de la palabra entre. L a palabra
entre indica q u e los puntos extrem os no están incluidos en la respuesta. Por ejem plo,
puntos extrem os, podem os usar la p alab ra inclusive. Por ejem plo, el conjunto de
núm eros naturales en tre 2 y 6 inclusive es {
2,3 ,4,5 ,6).
A hora q u e hem os revisado los sím bolos d e desigualdad, analizarem os otro m étodo
para indicar un conjunto, denom inado notación de construcción d e conjuntos. Un
ejem plo d e este tipo de notación es
E sta expresión se lee: “el conjunto E es el conjunto d e todos los elem entos x, tales que
a: es un núm ero natural m ayor q u e 6 ” . E n form a d e lista, este conjunto se escribe
E l m étodo general q u e se usa para crear una notación d e construcción d e conjuntos es
A m enudo usarem os la variable x cuando utilicemos la notación d e construcción de
conjuntos, aunque cualquier variable puede em plearse.
D os form as abreviadas d e escribir el conjunto E = {xx es un núm ero natural
m ayor q u e 6 } en notación d e construcción d e conjuntos son:
E l conjunto A = {x - 3 < x < 4 y x e Z} es el conjunto d e núm eros enteros mayores
q u e - 3 y m enores q u e o iguales a 4. E l conjunto escrito en form a d e lista es {- 2 , - 1 ,
0 ,1 ,2 ,3 ,4 } . O bserve que el punto extrem o - 3 no está incluido en el conjunto, pero el
punto extrem o 4 sí.
¿E n qué difieren los conjuntos B = {xx > 2 y x e N } y C = {xx > 2 (? ¿Puede
escribir cada uno d e estos conjuntos en form a d e lista? ¿Puede ilustrar am bos conjun
tos en la recta num érica? E l conjunto B sólo contiene los núm eros naturales mayores
q u e 2 , esto es, {3,4,5,6,...}. E l conjunto C contiene no sólo los núm eros naturales m a
yores q u e 2 , sino tam bién fracciones y núm eros decim ales m ayores q u e 2 . Si usted in
tentara escribir el conjunto C en form a d e lista, ¿por dónde em pezaría? ¿C uál es el
núm ero más pequeño m ayor q u e 2 ? ¿Es 2.1 o 2.01 o 2.001? Com o no hay núm ero más
pequeño m ayor q u e 2,este conjunto no puede escribirse en form a d e lista. A continua
ción se ilustran estos dos conjuntos en la recta num érica, así com o otros dos con p ro
blem as similares.
el conjunto d e los núm eros naturales en tre 2 y 6 es {3,4, 5). Si deseam os incluir los
3 U s a r la n o ta c ió n d e c o n s tru c c ió n d e c o n ju n to s
E = {xx es un núm ero natural m ayor q u e 6 }
E = { 7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 , ...}
{ x | x tien e la p ro p ied ad p }
elementos x que propiedad dada
E = { x x > 6 y N } o E = { x x > 7 y x e N }

10 • C apítulo 1 • C o n c e p to s básicos
Conjunto Conjunto indicado e n la recta numérica
{*1* > 2 y x<=N}
{ x x > 2 }
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - I 0 1 m 5 6
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
{ * |-1 < * < 4 y * e / }
{*1-1 < * < 4} - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
I i ! I + + ♦ ♦ +
* 1
O tro m étodo p ara indicar desigualdades, denom inado notación de intervalos, se estu-
AHORARESUELVAELEJERCICIO 75 diará en la sección 2.5.
4 D e te rm in a r la u n ió n e in te rs e c c ió n d e c o n ju n to s
A l igual q u e se realizan operaciones, tales com o la sum a y la multiplicación, con los
núm eros, tam b ién es posible hacer operaciones co n los conjuntos. D os d e estas
operaciones son la unión y la intersección
to d e elem entos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.
Ya q u e la palabra o , tal com o se usa en este contexto, significa pertenencia al
conjunto A , o al conjunto f i ,o a am bos conjuntos, la unión está form ada p o r la com-
m ento form a p arte del conjunto A , o del conjunto B, o d e am bos conjuntos, entonces
es un elem ento d e la unión d e los conjuntos.
Con la notación d e construcción d e conjuntos, podem os expresar A U B como
d e todos los elem entos q u e son com unes a am bos conjuntos, A y B.
Ya q u e la palabra y, tal com o se utiliza en este contexto, significa pertenencia a
am bos conjuntos, al conjunto A y al conjunto B , la intersección se form a usando sólo
aquellos elem entos q u e están en am bos conjuntos. Si un elem ento está en sólo uno de
los dos conjuntos, entonces no es un elem ento d e la intersección d e los conjuntos.
O bserve que,en el último ejem plo, los conjuntos A y B no tienen elem entos en común.
Por lo tanto, su intersección es un conjunto vacía C on la notación d e construcción de
conjuntos, podem os expresar A C B como
D E F IN IC IÓ N L a unión del conjunto A y el conjunto B , indicada m ediante A U B, es el conjun-
binación o reunión d e los elem entos del conjunto A con los del conjunto B. Si un ele-
D E F IN IC IÓ N L a iitersección del conjunto A y el conjunto B, indicada p o r A n B,es el conjunto
AHORARESUELVAELEJERCICIO 57 A C B = { x x e A y * e 5 }

Sección 1.2 • Conjuntos y otros conceptos básicos • 1 1
5 Identificar c o n ju n to s im p o rta n te s d e n ú m e ro s
E n este m om ento contam os con toda la inform ación necesaria para estudiar conjuntos
im portantes d e núm eros reales. E n el siguiente recuadro se describen estos conjuntos, y
se indican las letras q u e se utilizan con frecuencia para representarlos.
C o n j u n to s i m p o r t a n t e s d e n ú m e r o s r e a l e s
Números reales IR = {xx es un punto de la recta numérica}
Números naturales o para contar N = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,...}
Enteros no negativos W = {0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,...}
Números enteros Z = { ...,- 3 , -2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,...}
Números racionales Q = | ~ | p Y9 son enteros, q * 0 j
Números irracionales / = {xx es un número real que no es racional}
Echem os un vistazo rápido a los núm eros racionales, irracionales y reales. Un
núm ero racional es cualquier núm ero q u e puede representarse com o un cociente de
dos enteros, con el denom inador distinto d e cero.
Ejemplos de núm eros racionales
| , 0, 1.63, 7, -1 2 , V 4
O bserve q u e 0, o cualquier otro núm ero entero, tam bién es un núm ero racional, ya
que puede escribirse com o una fracción con un denom inador igual a 1. Por ejem plo
0 = ? y 7 = '-
E l núm ero 1.63 puede escribirse com o -¡óoy, por lo tanto, es un cociente d e dos
enteros. C om o V 4 = 2 y 2 es un entero, V 4 es un núm ero racional. Todo núm ero
racional, cuando se escribe com o un núm ero decimal, será un núm ero cuya parte deci
m al se repite, o bien, que termina.
Ejemplos de decim ales Ejemplos de decim ales
que se repiten que terminan
| = 0.6666... | = 0-5
El número 6 ee repite.
y = 0.142857142857... y = 1.75
El bloque 142857 ee repite.
Para indicar q u e un dígito o que un grupo d e dígitos se repite, podem os colocar
una barra o línea horizontal sobre ellos. Por ejem plo, podem os escribir
2
- = 0.6 y - = 0.142857
3 J 7
A unque V 4 es un núm ero racional, las raíces cuadradas d e casi todos los dem ás nú
m eros enteros no lo son. L a mayoría d e las raíces cuadradas tendrán decim ales q u e no
term inan ni se repiten cuando se expresan com o núm eros decimales, y serán núm eros
irracionales. Algunos núm eros irracionales son V 5 , V 3 , V 5 y V 6 . O tro número irra
cional es pi, 7r. C uando dam os un valor decim al a un núm ero irracional, sólo estam os
representando una aproximación a su valor. El símbolo % significa “es aproxim adam en
te igual a”.
7T » 3.14 V 2 « 1.41

Álgebra Intermedia - Angel - 06.pdf

Álgebra Intermedia - Angel - 06.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Álgebra Intermedia - Angel - 06.pdf

Similar a Álgebra Intermedia - Angel - 06.pdf (20)

Más de Manuel Ortiz

Más de Manuel Ortiz (20)

Último

Último (20)

Álgebra Intermedia - Angel - 06.pdf