teorema de pitagoras

1. TEOREMA DE PITÁGORAS
Aplicaciones al cálculo de
longitudes y distancias
En un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se
les llama catetos y al opuesto al ángulo recto hipotenusa.
La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide
al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y también
semejantes al original.
El teorema de Pitágoras señala:
La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa.
Dicho de otra manera: En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre cada uno de los catetos.
c2
= a2
+ b2

2. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE LONGITUDES
Se aplicará la relación pitagórica –c2
= a2
+ b2
–, para resolver algunos
problemas en los que aparecen triángulos rectángulos y se pretende
calcular alguno de los catetos o la longitud de la hipotenusa.
1. Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado cuyos lados
miden 8 m.
Si se considera una parte del cuadrado, se tiene un
triángulo rectángulo en el que c = d, a = 8 y b = 8.
Al utilizar la relación pitagórica c2
= a2
+ b2
, se sustituyen
los datos:
d2
= 82
+ 82
= 64 + 64 = 128
2. Calcular el área de un hexágono regular conociendo que la longitud
de cada uno de sus lados es de 4 m.
El perímetro es igual que P = 6 x l

3. P = 6 x 4 = 24 m
Para calcular la longitud del apotema, obsérvese que el triángulo
ABC es equilátero, se utiliza una parte de uno de los triángulos
equiláteros. Para saber que la longitud de los lados del triángulo
rectángulo:
Sustituir estos datos en la relación:
c2
= a2
+ b2
42
= a2
+ 22
16 = a2
+ 4
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
3. La versión moderna de un problema resuelto por los babilonios es la
siguiente: encontrar la altura que alcanza una escalera de 6 m sobre la
pared si la distancia entre la pared y el punto de apoyo
es de 2.5 m.
En este caso a = 2.5 m, c = 6 m, b = x; si se sustituye en
c2
= a2
+ b2
, se obtiene:
62
= 2.52
+ x2
Resolviendo la ecuación se obtiene:
36 = 2.52
+ x2
x2
= 36 –
6.25
x = 5.45 m

4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO CARTESIANO
Para obtener la distancia entre dos puntos del plano cartesiano:
Si se calcula la distancia entre P y Q; contando los segmentos
unitarios que separan a P y Q, se encuentra que d = 9 para el primer
caso, d = 7 para el segundo caso, y d = 8 para el tercero. Se resolverá
con este método el problema de P(-101) y Q(30).
Recuérdese que la diferencia entre números con signo permite
resolver este tipo de problemas:
Primer caso:
Segundo caso:
Tercer caso:
Cuarto caso:
d = 4 – (–5) = 9
d = 8 – 1 = 7
d = –2 – (–10) = 8
d = 30 – (–101) =
131
El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la distancia entre
dos puntos P y Q en un plano cartesiano.
Dados dos puntos en el plano, se pueden trazar un triángulo
rectángulo de la siguiente manera.

5. 1. Por el punto Q se traza una paralela
al eje Y.
2. Por el punto P se traza una paralela
al eje X.
3. Las paralelas trazadas se intersectan
en el punto R.
4. Se traza el y se completa el
triángulo PQR, que resulta ser
rectángulo en R. El segmento es
la hipotenusa y los segmentos
y son los catetos.
5. Se calculan las longitudes de los
catetos mediante las fórmulas:
= | x2 - x1 | = | y2 - y1 |
6. De la relación pitagórica c2
= a2
+ b2
, se despeja c:
7. Se sustituye c = , a = , b = y se obtiene:
Ésta es la fórmula de la distancia entre dos
puntos en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Si P = (2, -1) y Q = (-3, -5), se tiene:
x1 = 2, x2 = -3 x2 - x1 = -5 | x2 – x1 | = 5
y1 = -1, y2 = -5 y2 – y1 = -4 | y2 – y1 | = 4