El documento habla sobre gradientes aritméticos crecientes. Explica que son series de pagos periódicos donde cada pago es igual al anterior más una cantidad constante. Detalla las condiciones para que una serie de pagos sea un gradiente, y clasifica los gradientes en aritméticos o lineales, y geométricos o exponenciales. Luego profundiza en gradientes aritméticos o lineales, explicando sus fórmulas y cómo calcular valores de cuotas iniciales y valores futuros. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para ilustrar

1. UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
ING. GESTIÓN EMPRESARIAL
TEMA:
GRADIENTES ARITMETICAS CRECIENTES
INTEGRANTES:
MICHELLE CHILÁN
ANNABELL PILLAJO
JAHILY SALGADO
ALISON QUISHPI
DENISSE REYES

2. GRADIENTES
ARITMETICAS
Son serie de pagos
periódicos, en los
cuales cada pago es
igual al anterior más
una cantidad
Esta cantidad puede
ser constante o
proporcional al pago
inmediatamente
anterior.
El monto en que varía
cada pago determina la
clase de gradiente

3. CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UN GRADIENTE
*Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de
tiempo.
*A todos los pagos se les aplica la misma tasa de
interés.
*El número de pagos es igual al número de periodos.
*Los pagos pueden ser trimestrales, semestrales o
anuales, etc.
*Las variaciones se empiezan a presentar a partir del
segundo pago.

4. CLASIFICACION
GRADIENTES ARITMETICA O
LINEAL
GEOMETRICA O
EXPONENCIAL

5. Gradiente Lineal o Aritmético
Se produce un incremento lineal en pago de cada
periodo.

6. Gradiente Lineal o Aritmético
𝑉𝑝 = 𝐴1
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
+
𝐺
𝑖
(1 + 𝑖) 𝑛
−1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
−
𝑛
1 + 𝑖 𝑛
Valor Futuro Gradiente Aritmético
𝑉𝑓 = 𝐴1
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
+
𝐺
𝑖
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
− 𝑛
VENCIDOS
Es una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior
aumentada en una cantidad constante de dinero y se realiza al final del
periodo

7. VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL
CRECIENTE VENCIDO EN FUNCIÓN DEL VALOR PRESENTE
𝐴1 =
𝑉𝑃 −
𝐺
𝑖
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛 −
𝑛
1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛

8. Gradiente Lineal o Aritmético
Valor Futuro Gradiente Aritmético
ANTICIPADOS
𝑉𝑝 = 𝐴1
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1
+
𝐺
𝑖
(1 + 𝑖) 𝑛
−1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1
−
𝑛
1 + 𝑖 𝑛−1
𝑉𝑓 = 𝐴1
1 + 𝑖 𝑛+1
− 1
𝑖
+
𝐺
𝑖
1 + 𝑖 𝑛+1
− 1
𝑖
− 𝑛(1 + 𝑖)
Es una serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al
anterior aumentado en una cantidad constante de dinero y que se
realiza al comienzo del periodo.

9. VALOR DE LA 1RA CUOTA DE UN GRADIENTE LINEAL
CRECIENTE ANTICIPADO EN FUNCIÓN DEL PRESENTE
𝐴1 =
𝑉𝑃 −
𝐺
𝑖
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1 −
𝑛
1 + 𝑖 𝑛−1
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1

10. GRADIENTES VENCIDOS (VALOR PRESENTE)
 Una deuda bancaria se está cancelando con 10 cuotas al final de cada mes, se
conoce que el valor de la primera cuota es de $200, la cual aumenta cada mes
en $ 20 y la tasa de interés de financiación es del 10.5% interés anual con
capitalización mensual. Calcular el valor inicial de la obligación.
DATOS
n = 10 Cuotas Mensuales
A1 = $ 200 Mensuales
i = 10.5% Anual
= 10/12 =0,875/100= 0,00875
G = $ 20 Mensuales Crecientes
VP = $ ?

11. PERIODO PAGO INTERES ABONO SALDO
0 $ 2.751,48
1 $ 200,00 $ 24,08 $ 175,92 $ 2.575,56
2 $ 220,00 $ 22,54 $ 197,46 $ 2.378,09
3 $ 240,00 $ 20,81 $ 219,19 $ 2.158,90
4 $ 260,00 $ 18,89 $ 241,11 $ 1.917,79
5 $ 280,00 $ 16,78 $ 263,22 $ 1.654,57
6 $ 300,00 $ 14,48 $ 285,52 $ 1.369,05
7 $ 320,00 $ 11,98 $ 308,02 $ 1.061,03
8 $ 340,00 $ 9,28 $ 330,72 $ 730,31
9 $ 360,00 $ 6,39 $ 353,61 $ 376,70
10 $ 380,00 $ 3,30 $ 376,70 $ (0,00)

12. GRADIENTES VENCIDOS (VALOR PRIMERA CUOTA)
La Sra. Liliana Herrera debe pagar $900 por la adquisición de una laptop.
Cuál será el valor de la primera cuota que debe abonar la Sra. Herrera al
final del mes considerando que la misma aumenta en $5 cada periodo y
el tiempo de la deuda es de 1 año; cobrándole el 10% de interés anual
capitalizable mensualmente.
DATOS:
VP=$900
t= 1año*12= 12
i= 10%/12= 0,008333333
G= $5

13. PERIODO CUOTA INTERES ABONO SALDO
0 $ 900,00
1 $ 52,12 $ 7,50 $ 44,62 $ 855,38
2 $ 57,12 $ 7,13 $ 49,99 $ 805,39
3 $ 62,12 $ 6,71 $ 55,41 $ 749,98
4 $ 67,12 $ 6,25 $ 60,87 $ 689,11
5 $ 72,12 $ 5,74 $ 66,38 $ 622,74
6 $ 77,12 $ 5,19 $ 71,93 $ 550,81
7 $ 82,12 $ 4,59 $ 77,53 $ 473,28
8 $ 87,12 $ 3,94 $ 83,17 $ 390,11
9 $ 92,12 $ 3,25 $ 88,87 $ 301,24
10 $ 97,12 $ 2,51 $ 94,61 $ 206,63
11 $ 102,12 $ 1,72 $ 100,40 $ 106,23
12 $ 107,12 $ 0,89 $ 106,23 $ 0,00
Se desea conocer el valor de la cuota 8 aplicando la formula
correspondiente sería de la siguiente manera:
𝐶𝑁 = 𝐴1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝐺 => c8 = 52,12+(8-1)*5 => c8 = 87,12

14. El valor de maquinarias se está cancelando con 8 cuotas al inicio de cada
semestre, que aumentan cada mes en 25 y el valor de la primera cuota es de
$950. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 8.4% interés anual,
calcular el valor de la máquina.
GRADIENTES ANTICIPADOS (VALOR PRESENTE)
DATOS:
n = 8 semestres
A1 = $950
i = 8.4% Anual
= 8.4/2 =4.2%/100= 0,042
G = $ 25 Mensuales Crecientes
VP = $ ?

15. PERIODO PAGO INTERES ABONO SALDO
$ 7.181,36
1 $ 950,00 $ - $ 950,00 $ 6.231,36
2 $ 975,00 $ 261,72 $ 713,28 $ 5.518,08
3 $ 1.000,00 $ 231,76 $ 768,24 $ 4.749,84
4 $ 1.025,00 $ 199,49 $ 825,51 $ 3.924,33
5 $ 1.050,00 $ 164,82 $ 885,18 $ 3.039,15
6 $ 1.075,00 $ 127,64 $ 947,36 $ 2.091,80
7 $ 1.100,00 $ 87,86 $ 1.012,14 $ 1.079,65
8 $ 1.125,00 $ 45,35 $ 1.079,65 $ (0,00)

16. GRADIENTES ANTICIPADOS (PRIMERA CUOTA)
Peter García cancela una deuda de $600 al inicio de cada periodo
durante 2 años en un banco que le cobra una tasa de interés del 11%
anual capitalizable trimestralmente. Se desea conocer el valor del
primer pago, conociendo que el mismo que aumenta $20 cada
período.
DATOS:
VP=$600
t= 2*4= 8
i= 11%/4=0,0275
G= $20

17. PERIODO CUOTA INTERES ABONO SALDO
0 $ 600,00
1 $ 15,16 $ 15,16 $ 584,84
2 $ 35,16 $ 16,08 $ 19,07 $ 565,77
3 $ 55,16 $ 15,56 $ 39,60 $ 526,17
4 $ 75,16 $ 14,47 $ 60,69 $ 465,48
5 $ 95,16 $ 12,80 $ 82,36 $ 383,12
6 $ 115,16 $ 10,54 $ 104,62 $ 278,50
7 $ 135,16 $ 7,66 $ 127,50 $ 151,00
8 $ 155,16 $ 4,15 $ 151,00 $ -
Se desea conocer el valor de la cuota 6 aplicando la formula
correspondiente sería de la siguiente manera:
𝐶𝑁 = 𝐴1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝐺 => c6 = 15,16+(6-1)*20 => c6 = 115,16

18. GRADIENTES ARITMETICOS VENCIDOS CON VALOR FUTURO
EJEMPLO 1:
Usted realiza depósitos al final de cada periodo, siendo el valor del primero de $ 500 aumentando cada mes en $ 10,
durante 6 meses en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 8% anual capitalizable
mensualmente. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.
𝑓 = 𝐴1
(1 + 𝑖) 𝑛
−1
𝑖
+
𝐺
𝑖
(1 + 𝑖) 𝑛
−1
𝑖
− 𝑛
𝑓 = 500
(1 + 0.006666667 )6
−1
0.006666667
+
10
0.006666667
(1 + 0.006666667)6
−1
0.006666667
− 6
𝑓 = 500 6.100893345 + 1500 0.100893345
𝑓 = 3050,446673 + 151 , 3400175
𝒇 = 𝟑. 𝟐𝟎𝟏, 𝟕𝟗
Datos:
A1 = $ 500
G = $ 10
n = 6 meses
i = 8% = 8%/12 = 0.006666666667

19. TABLA DE AMORTIZACION

20. EJEMPLO 2
Usted realiza depósitos trimestrales, siendo el valor del primer depósito de $ 300, aumentando cada bimestre en $ 9
durante 1 año, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% anual con capitalización
bimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.
𝑓 = 𝐴1
(1 + 𝑖) 𝑛−1
𝑖
+
𝐺
𝑖
(1 + 𝑖) 𝑛−1
𝑖
− 𝑛
𝑓 = 300
(1 + 0,01666667 )6−1
0,01666667
+
9
0,01666667
(1 + 0,01666667 )6−1
0,01666667
− 6
𝑓 = 300 6,255625452 + 539,9999989 0,255625452
𝑓 = 1.876,68 + 138,0377438
𝒇 = 𝟐. 𝟎𝟏𝟒, 𝟕𝟑
Datos:
A1 = $ 300
G = $ 9
n = 1 año = 6 cuotas
i = 10%/6 = 0,0166666667

21. TABLA DE AMORTIZACION

22. EJEMPLO 3
Un padre de familia decide realizar un ahorro en un fondo que reconoce una tasa del 1,1% bimensual, en el cual
hizo su primer depósito de $ 400 al final del periodo. Se requiere establecer cuál es el valor final del ahorro
después de un año, si se efectúan aumentos de $ 10 en cada periodo.
𝑓 = 𝐴1
(1 + 𝑖) 𝑛
−1
𝑖
+
𝐺
𝑖
(1 + 𝑖) 𝑛
−1
𝑖
− 𝑛
𝑓 = 400
(1 + 0,011 )6
−1
0,011
+
10
0,011
(1 + 0,011 )6
−1
0,011
− 6
𝑓 = 400 6,167440053 + 909,0909091 0,167440053
𝑓 = 2466,976021 + 152,21823
𝒇 = 𝟐. 𝟔𝟏𝟗, 𝟏𝟗
DATOS
Tasa de interés: 1,1%
Gradiente: 10
Periodos: 12 meses = 6 cuotas
Cuota 1: 400

23. TABLA DE AMORTIZACION

24. EJEMPLO 4
Usted realiza depósitos al final de cada trimestre de $ 450 el primero, que aumentan en $25 en cada
periodo, durante un año en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2.8%
Trimestral. Calcule el valor acumulado en la cuenta al final del tiempo.
𝑓 = 𝐴1
(1 + 𝑖) 𝑛−1
𝑖
+
𝐺
𝑖
(1 + 𝑖) 𝑛−1
𝑖
− 𝑛
𝑓 = 450
(1 + 0,028 )4
−1
0,028
+
25
0,028
(1 + 0,028 )4
−1
0,028
− 4
𝑓 = 450 4,171157952 + 892,8571429 0,171157952
𝑓 = 1877,021078 + 152,8196
𝒇 = 𝟐. 𝟎𝟐𝟗, 𝟖𝟒
Datos:
A1 = $ 450
G = $ 25
n = 1 Año = 4 Cuotas
i = 2.8% = 2,8 /100 = 0.028

25. TABLA DE AMORTIZACION