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Gradientes
1) Las matemáticas financieras describen gradientes como series de pagos periódicos que aumentan o disminuyen en cantidades fijas. 2) Existen gradientes aritméticos y geométricos, y diferentes formas de presentarlos como anticipados, vencidos o diferidos. 3) Se proveen fórmulas para calcular el valor presente y futuro de gradientes aritméticos y geométricos.
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Gradientes
- 1.
- 2. En matemáticas financieras,gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente. • Cada pago aumenta o disminuye en $25,000 mensual Aritmético Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública • Cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual Geométrico
- 3. Mientras que enel sistema de anualidades los pagos son iguales 0 1 2 3 4 5 6 en el sistema de gradientes los pagos aumentan o disminuyen con relación al pago anterior. 0 1 2 3 4 5 6 Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
- 4. Existen diferentes formasen que se pueden presentar las gradientes: Anticipadas • La fecha de pago se realiza al final de periodo de tiempo Vencidas • La fecha de pago se realiza al comienzo del periodo de tiempo Diferidas • Es aquel que se empieza a pagar después de un periodo de gracia Perpetua • Su aplicación es perpetua, n tiende a infinito Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
- 6. 0 1 23 4 A A + G A + 2G Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública A + 3G 0 1 2 3 4 A A - G A - 2G A - 3G Cuando la cantidad constante es positiva se genera el gradiente aritmético creciente Cuando la cantidad constante es negativa se genera el gradiente aritmético decreciente
- 7. P = 퐴 (1 + 푖)푛 − 1 푖(1 + 푖)푛 ± Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública 퐺 푖 (1 + 푖)푛−1 푖(1 + 푖)푛 − 푛 (1 + 푖)푛 Valor presente gradiente aritmético Valor futuro gradiente aritmético F = 퐴 (1 + 푖)푛 − 1 푖 ± 퐺 푖 (1 + 푖)푛−1 푖 − 푛 Valor presente gradiente aritmético infinito P = 퐴 푖 ± 퐺 푖2
- 8. El valor deuna máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales que aumentan cada vez en $10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la máquina. Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
- 9. A = $150.000 G = $10.000 N = 24 meses i = 3% Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública 0 1 2 3 4 24 150.000 160.000 170.000 150.000 + (n-1)10.000 P = 150.000 (1 + 0,03)24 − 1 0,03(1 + 0,03)24 ± 10.000 0,03 (1 + 0,03)24−1 0,03(1 + 0,03)24 − 24 (1 + 0,03)24 P = 4´250.042,13
- 10. Si la tiendade Don Gustavo le representa unos ingresos mensuales por $350.000, los cuales aumentan en $10.000 todos los meses ¿Cuánto debe exigir Don Gustavo por su negocio si asumimos una tasa de interés del 1% mensual? Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública 푃 = 퐴 푖 + 퐺 푖2 푃 = 350.000 0,01 + 10.000 0,012 P = 135.000.000
- 11. Cuál será elvalor futuro que se acumula en una cuenta de ahorros al termino de 1 año, si hacemos depósitos mensuales anticipados crecientes en $3000, y la cuenta reconoce un interés del 12% nominal mes vencidos, sabiendo además que el primer deposito es por la suma de $12000. Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
- 12. G = $3.000 N = 12 meses I = 12% NMV 1% mensual A = $12000 퐹 = 퐴 + 퐺 푖 (1 + 푖)푛−1 푖 퐹 = 12.000 + Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública − 퐺 ∗ 푛 푖 1 − 푖 … 퐹 = 360.510,35 3.000 0,01 (1 + 0,01)11−1 0,01 − 3000 ∗ 11 0,01 1 − 0,01 … 0 1 2 3 11 12
- 13. Es una seriede pagos periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente y el geométrico decreciente. 0 1 2 3 4 A A*(1 + G) A*(1 + G)^2 Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública A*(1 + G)^3 0 1 2 3 4 A A*(1 - G) A*(1 - G)^2 A*(1 - G)^3
- 14. Valor presentegradiente geométrico 푃 = 퐴 (퐺 − 푖) + (1 + 퐺)푛 (1 + 푖)푛 − 1 퐺 ≠ 푖 푃 = Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública 푛퐴 (1 + 푖) 퐺 = 푖 Valor futuro gradiente geométrico 퐹 = 퐴 (퐺 − 푖) + 1 + 퐺 푛 − (1 + 푖)푛 퐺 ≠ 푖 퐹 = 퐴 (1 + 푖)−푛+1 퐺 = 푖 Valor presente gradiente geométrico infinito 푃 = 퐴 푖 − 퐺 퐺 < 푖
- 15. Obtenga el valorpresente y el valor futuro de una serie de cuotas semestrales crecientes en un 4% durante 5 años y medio suponiendo una tasa de interés del 12% y conociendo que la primera cuota es por $250.000 Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
- 16. A = $250.000 G = 4% semestral N = 11 semestres i = 12% EA 5,830% PMV 푃 = 250.000 (0,04 − 0,583) (1 + 0,04)11 (1 + 0,583)11 − 1 푃 = 2´385.095,95 Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública 퐹 = 250.000 (0,04 − 0,583) (1 + 0,0411−(1 + 0,04)11 퐹 = 4´448.411, 75 0 1 2 3 4 11 250.000 260.000 270.000 150.000*(1 + 4%) P F
- 17. Una persona adquiereuna deuda en una entidad financiera que le cobra un interés del 2,5986% mensual por la suma de $3´000.000, con el propósito de pagarlo mediante cuotas mensuales crecientes en un 5% en un plazo de 3 años. Determine el valor de la primera cuota, sabiendo además que esa entidad otorga un periodo de gracia de 3 meses Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
- 18. i = 2,5986%PM P = $3´000.000 G = 5% Pg = 3 MESES N = 3 AÑOS 36 MESES 퐴 = (1 + 푖)푛−(1 + 퐺)푛 (푖 − 퐺)(1 + 푖)푛 푃(1 + 푖)푝푔 Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública 0 1 2 3 4 34 3´000.000 5 35 36 퐴 = (1 + 0,025986)33−(1 + 0,05)33 (0,025986 − 0,05)(1 + 0,025986)33 3´000.000(1 + 0,025986)3 퐴 =67.907,77
- 19. ¿Cuanto será elvalor acumulado al final de cinco años si se hacen depósitos mensuales anticipados en el primer año por la suma de $200.000? Los depósitos incrementan en un 10% anual, y se invierten en una entidad financiera que reconoce un interés del 2,4288371% mensualmente. A= $200.000. G=10% anual. I = 2,4288371%. N =5 AÑOS. Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública 퐹 = 퐴 (1 + 푖)푛−퐺푛 1 + 푖 − 퐺 1 − 푖 퐹 = 퐴 (1 + 푖)푛−퐺푛 1 + 푖 − 퐺 1 − 푖
- 20. Alex Franco seganó la lotería y desea saber cuanto depositar hoy en una cuenta de ahorros que reconoce un interés del 18% para que su madre pueda retirar mensualmente, y por tiempo indefinido $450.000 los cuales aumentaran en 1% mensual A = 450.000 G = 1% i = 18%EA 1,39% PM Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública 푃 = 퐴 (푖 − 퐺) 푃 = 450.000 (0,0139 − 0,01) 푃 = 115´727.931,24