Unidad 3 anualidades y gradientes-01.2019

Especialización en Gerencia de Proyectos
Curso Finanzas del Proyecto
Unidad anualidades y gradientes
Carlos Mario Morales C - 2019©

Operaciones Financieras
 De Corto plazo o largo plazo
 Régimen de interés compuesto
 De pago múltiple
 De capitalización

Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2019
Agenda
 Anualidades
 Anualidades anticipadas
 Anualidades diferidas
 Anualidades perpetuas
 Gradientes
 Gradientes aritméticos
 Gradientes geométricos

Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de
calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación
se hace a través de cuotas periódicas iguales, crecientes o
decrecientes
Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor
actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de
operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.
Objetivo

Serie de pagos de una operación financiera que cumple con
las siguientes condiciones:
1. Pagos de igual valor
2. Intervalos de pago iguales
3. La misma tasa de Interés para todos los pagos
4. Número de pagos igual número de periodos
Anualidades

1 2 …. n0
VP = ¿?
A
Valor presente de una serie de pagos
𝑉𝑃 = 𝐴
1 − (1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
Para estudiar la deducción de la formula ver el libro: Introducción a las Matemáticas financieras de Carlos Mario Morales C

1 2 …. n0
VP
A = ¿?
Pagos a partir del Valor Presente
De la formula de VP se puede deducir el valor de 𝐴.
𝐴 = 𝑉𝑃
𝑖
1 − (1 + 𝑖 −𝑛

1 2 …. n0
VF = ¿?
A
Valor Futuro a partir de una serie de pagos
Para determinar el VF se utiliza el siguiente modelo.
𝑉𝐹 = 𝐴
(1 + 𝑖 𝑛
−1
𝑖
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0

1 2 …. n0
VF
A = ¿?
Pagos a partir del Valor Futuro
𝐴 = 𝑉𝐹
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
De la formula de VF se puede deducir el valor de 𝐴.

1 2 …. n = ¿?0
VP
A
Número de Pagos a partir del Valor Presente
𝑛 =
log 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔 (𝐴 − 𝑖𝑉𝑃
log 1 + 𝑖

1 2 …. n = ¿?0
VF
A
Número de pagos a partir del Valor Futuro
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔(𝑉𝐹𝑖 + 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔𝐴
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖

Tasa de interés a partir del Valor Presente o Valor Futuro
1 2 …. n0
VP
A
𝑖 = ¿?
Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir:
el valor presente 𝑉𝑃 o valor futuro 𝑉𝐹, el valor y numero de
pagos 𝐴 se puede determinar el valor de la tasa de interés 𝑖 a
partir de la formulas de VP o VF, no obstante por tratarse de
ecuaciones con más de una raíz, no es posible hallar la solución
analíticamente; por esta razón se debe utilizar un método de
tanteo y error
La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:
1. Se asigna un valor inicial a la tasa de interés 𝑖 y se calcula la
ecuación.
2. Si el valor es menor que la igualdad VP 𝑜 VF entonces se
disminuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se
aumenta la tasa y se vuelve a calcular
3. Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro
menor, suficientemente aproximados a los valores de la
igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por
interpolación
𝑉𝑃 = 𝐴
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
𝑉𝐹 = 𝐴
(1 + 𝑖 𝑛
−1
𝑖

Anualidades Anticipadas
En algunas operaciones es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo
de cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y
contratos de seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el
nombre de anualidades anticipadas. Una anualidad anticipada es una
sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo
del pago.
0
1 2 3 n-2 n-1 n
Anualidad Vencida
2 31 n-1 n
Anualidad Anticipada

Valor presente a partir de una serie de pagos anticipados
𝑉𝑃 = 𝐴 1 +
1 − (1 + 𝑖 −(𝑛−1
𝑖
0
𝑉𝑃 = ¿?
2 31 n-1 n
A

Valor futuro de una serie de pagos anticipados
𝑉𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
1 + 𝑖
0
𝑉𝐹 = ¿?
2 31 n-1 n
A

Anualidades Diferidas
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑷
𝒊
0
Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia
inmediatamente después de que se plantea la operación; no obstante,
existen transacciones donde los pagos o rentas se realizan después de haber
pasado cierta cantidad de periodos, en estos casos la operación se denomina
anualidad diferida. En la gráfica se ilustran este tipo de actividades.

Para hallar el valor presente de este tipo anualidades, se determina el
valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos
(para el ejemplo n-4); utilizando para ello la formula de anualidad vencida,
para el valor hallado se halla el valor presente en el periodo 0.
Valor Presente de una serie de pagos diferidos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑷
𝒊
0

Para hallar el valor futuro de este tipo anualidades, se determina el valor
presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el
ejemplo n-4); utilizando para ello la formula de anualidad vencida, para el
valor hallado se halla el valor futuro en el periodo n.
Valor Futuro de una serie de pagos diferidos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑭 = ?
𝒊
0

Valor Presente de una serie de pagos perpetuos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 ∞
A
𝑽𝑷
i
0
Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con
exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los
modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por
tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito
𝑉𝑃 =
𝐴
𝑖
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0

Gradientes
Serie de pagos que cumplen con las
siguientes condiciones:
 Los pagos cumplen con una ley de
formación
 Los pagos se efectúan a iguales intervalos
de tiempo
 Todos los pagos se calculan a la misma
tasa de interés
 El número de pagos es igual al número de
periodos
0 1 2 3 n…
A
𝑉𝑃
𝑖

Gradientes
La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un
sinnúmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas
son el gradiente aritmético y el geométrico; las cuales a su vez pueden
generar cuotas crecientes o decrecientes
Creciente
Decreciente
Aritmético
Creciente
Decreciente
Geométrico
Creciente
Decreciente
Otros

Gradiente Aritmético
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌
Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior,
más una constante k; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes,
negativa lo cual genera cuotas decrecientes
Ley de formación
𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴2 = 𝑨 + 𝒌 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴3 = 𝐴2 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴4 = 𝐴3 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟑𝒌 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
… … … … … … … … …
𝐴 𝑛 = 𝑨 + 𝒏 − 𝟏 𝒌 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜

Valor Presente de una serie de pagos crecientes
aritméticamente
𝑉𝑃 = 𝐴
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
+
𝐾
𝑖
1 − (1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
−
𝑛
1 + 𝑖 𝑛
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌

Valor Futuro de una serie de pagos crecientes
aritméticamente
𝑉𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
+
𝐾
𝑖
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
− 𝑛
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑭
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌

Valor presente de una serie de pagos infinitos crecientes
aritméticamente
𝑉𝑃 =
𝐴
𝑖
+
𝐾
𝑖2
∞0 1 2 3 n-2 n-1 …
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌

Gradiente Geométrico
Ley de formación
𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴2 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴3 = 𝐴2(1 + 𝐺 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴4 = 𝐴3(1 + 𝐺 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟑
𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
… … … … … … … … …
𝐴 𝑛 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏
𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏
De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior
multiplicado por una constante, así como se indica

Valor Presente de una serie de pagos crecientes
geométricamente
𝐕𝐏
=
𝑨
𝐺 − 𝑖
1 + 𝐺 𝑛
1 + 𝑖 𝑛
− 1 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖
=
𝑛𝐴
1 + 𝑖
𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏

Valor Futuro de una serie de pagos crecientes
geométricamente
𝑽𝑭
=
𝐀
𝐺 − 𝑖
1 + 𝐺 𝑛
− 1 + 𝑖 𝑛 ; 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖
=
𝑛A
1 + 𝑖 −𝑛+1 ; 𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑭
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏

Valor Presente de una serie de pagos infinito crecientes
geométricamente
𝐕𝐏
=
𝐴1
𝑖 − 𝐺
; 𝑠𝑖 𝐺 < 𝑖
= ∞; 𝑠𝑖 𝐺 ≥ 𝑖
∞
0 1 2 3 n-1 n ….
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏

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