Integrales dobles

1. INTEGRALES DOBLES: INTEGRALES ITERADAS

2. INTEGRALES DOBLES
En sesiones anteriores se vio cómo derivar funciones de varias variables con respecto a
una variable manteniendo constantes las demás variables. Empleando un
procedimiento similar se pueden integrar funciones de varias variables. Por ejemplo,
dada la derivada parcial
xy
y
x
fx 2
)
,
( 
entonces, considerando y constante, se puede integrar con respecto a x para obtener
y
de
función
una
es
y
C
y
C
y
x
x
es
x
de
da
antideriva
o
primitiva
una
y
C
x
y
te
cons
factor
como
y
sacar
xdx
y
te
cons
y
mantener
xydx
x
a
respecto
con
Integrar
dx
y
x
f
y
x
f x
)
(
)
(
2
)
(
)
(
tan
2
tan
2
)
,
(
)
,
(
2
2
2











3. INTEGRALES DOBLES
La constante de integración, , es una función de y. En otras palabras, al
integrar con respecto a x, se pude recobrar solo parcialmente.
)
(y
C
)
,
( y
x
f
y
de
función
una
es
y
C
y
C
y
x
dx
y
x
f
y
x
f x )
(
)
(
)
,
(
)
,
( 2


 
Por ahora, lo que interesa es extender las integrales definidas a funciones de varias
variables. Por ejemplo, al considerar y constante, se puede aplicar el teorema
fundamental del cálculo para evaluar
y
y
y
y
y
y
x
xydx
y
y






3
2
2
2
1
2
2
1
4
)
1
(
)
2
(
2
Observaciones:
• x es la variable de integración y y es fija.
• Sustituir x por los límites de integración.
• El resultado es una función de y.

4. INTEGRALES DOBLES
De manera similar se pude integrar con respecto a y, manteniendo x fija. Ambos
procedimientos se resumen como sigue.
Nótese que la variable de integración no puede aparecer en ninguno de los
límites de integración. Por ejemplo, no tiene ningún sentido escribir

x
ydx
0
   
2
2
1
1
( )
( )
2 1
( )
( )
( , ) ( , ) , ( ) , ( )
g x
g x
y g x
g x
f x y dy f x y f x g x f x g x con respecto a y
  

    x
a
respecto
con
y
y
h
f
y
y
h
f
y
x
f
dx
y
x
f
y
h
y
h
y
h
y
h
x ),
(
),
(
)
,
(
)
,
( 1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1





5. EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 1 a 10, evaluar la integral

6. INTEGRAL ITERADA
Ejemplo 2 La integral de una integral
Evaluar  
  




 

2
1 1
2
2
2
2 dx
dy
y
y
x
x
Solución
   
 
3
)
1
(
2
.
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
1
2
2
1 1
2
2















  
 

x
a
respecto
con
Integrar
x
x
x
dx
x
x
dx
dy
y
y
x
x
La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejemplo 2
normalmente no se escriben

7. INTEGRAL ITERADA
Las integrales iteradas se escriben normalmente como
 
d
c
y
h
y
h
dxdy
y
x
f
)
(
)
(
2
1
)
,
(
y
• Los límites interiores de integración pueden ser variables con respecto a la variable
exterior de integración.
• Los límites exteriores de integración deben ser constantes con respecto a ambas
variables de integración.
• Después de realizar la integración interior, se obtiene una integral definida
“ordinaria” y la segunda integración produce un número real.
Observación
 
b
a
x
g
x
g
dydx
y
x
f
)
(
)
(
2
1
)
,
(

8. INTEGRAL ITERADA
Los límites de integración de una integral iterada definen dos intervalos para las
variables. Así, en el ejemplo 2, los límites exteriores indican que x está en el intervalo
y los límites interiores indican que y está en el intervalo
Juntos, estos dos intervalos determinan la región de integración R de la integral
iterada, como se muestra en la figura
2
1 
 x
x
y 

1
Ejemplo 2 La integral de una integral
Evaluar  
  




 

2
1 1
2
2
2
2 dx
dy
y
y
x
x

9. EJERCICIOS
En los ejercicios 11 a 28, evaluar la integral iterada

10. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
En el resto de esta sesión se verá desde una perspectiva nueva un viejo problema, el
de hallar el área de una región plana. Considérese la región plana R acotada por
b
x
a 
 )
(
)
( 2
1 x
g
y
x
g 

y
El área de R está dada por la integral
definida
 dx
x
g
x
g
b
a
  )
(
)
( 1
2
Usando el teorema fundamental del
cálculo, se puede reescribir el
integrando como una
integral definida. Concretamente, si se
considera x fija y se deja que y varíe
desde hasta , se puede
escribir
)
(
)
( 1
2 x
g
x
g 
)
(
1 x
g )
(
2 x
g
 )
(
)
( 1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
x
g
x
g
y
dy
x
g
x
g
x
g
x
g





11. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Combinando estas dos integrales, se puede expresar el área de la región R mediante
una integral iterada

 dx
x
g
x
g
R
de
Área
dx
y
dx
dy
b
a
b
a
x
g
x
g
b
a
x
g
x
g


 



)
(
)
( 1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
Colocar un rectángulo representativo en la región R ayuda a determinar el orden
y los límites de integración.
¿Cómo determinamos el orden y los limites de integración?

12. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Un rectángulo vertical implica el orden dy dx, donde los límites interiores
corresponden a los límites o cotas superior e inferior del rectángulo, como se
muestra en la figura. Este tipo de región se llama verticalmente simple, porque los
límites exteriores de integración representan las rectas verticales x = a y x = b.

13. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
De manera similar, un rectángulo horizontal implica el orden dx dy, donde los límites
interiores están determinados por los límites o cotas izquierda y derecha del
rectángulo, como se muestra en la figura anterior. Este tipo de región se llama
horizontalmente simple, porque los límites exteriores representan las rectas
horizontales y = c y y = d.

14. Las integrales iteradas utilizadas en estos dos tipos de regiones simples se resumen
como sigue
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

15. EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 29 a 32, utilizar una integral iterada para hallar el área de la región

16. EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 29 a 32, utilizar una integral iterada para hallar el área de la región

17. EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral iterada para calcular el área de la región
limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones