El documento presenta un trabajo de demostración de competencias sobre la implementación de un enjuague bucal con cacao. Incluye la introducción del producto, antecedentes sobre enjuagues bucales, la justificación del uso de cacao, la metodología basada en herramientas de álgebra superior como conjuntos, y los objetivos de analizar el impacto aplicando teoría de conjuntos. Finalmente, aplica conceptos de conjuntos como unión, intersección y diferencia a una encuesta sobre sabores para tomar decisiones económicas.

1. TRABAJO DE DEMOSTRACIÓN
DE COMPETENCIAS
EMPRESA:“FUNNY SMILE”
Estudiantes:
Hinojosa Guardia Saúl
Nogales Echenique Michelle
Garfias Ronjel Sandra
Pérez Condori Sharis
Docente: Lic. Bismar Gutiérrez
Materia: Álgebra Superior
Turno: Mañana
Fecha de presentación: 23 de marzo del 2019
Cochabamba – Bolivia

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Índice
1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................3
2. ANTECEDENTES...........................................................................................................4
3. JUSTIFICACION.............................................................................................................5
4. METODOLOGIA.............................................................................................................6
5. OBJETIVOS....................................................................................................................7
5.1. Objetivo General........................................................................................................7
5.2. Objetivo Específicos...................................................................................................7
6. MARCO TEORICO .........................................................................................................7
6.1. Álgebra .....................................................................................................................7
6.2. Conjunto....................................................................................................................7
6.3. Unión de conjuntos ....................................................................................................8
6.4. Intersección de conjuntos............................................................................................8
6.5. Complemento de conjuntos.........................................................................................8
6.6. Diferencia de conjuntos ..............................................................................................9
6.7. Conjunto Universal ....................................................................................................9
7. APLICACIÓN DE LAS HERRAMIENTAS DEL ALGEBRA SUPERIOR.........................9
8. CONCLUSIONES..........................................................................................................13

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1. INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo daremos a conocer la Empresa de “FUNNY SMILE” un enjuague
vocal innovador, donde ayudara a toda la boca a estar saludable con la planta natural de
cacao, El flúor fue descubierto por Marggraf Scheele (1771) en forma de ácido
hidrofluorhídrico pero debido a la gran afinidad de este elemento de combinarse con
otros, no fue aislado hasta 1886 por Moisen; la presencia de Flúor en materiales
biológicos fue observada por primera vez en 1803 por Morichini en los dientes de
elefantes fósiles. Berzelius en 1823 detecto los niveles del fluoruro en el agua.
Los enjuagues bucales o colutorios son soluciones que se emplean después del cepillado
con el fin de eliminar gérmenes y bacterias, gracias al flúor que tiene esta planta ayuda a
la boca a estar saludable y sentir se bien.
Donde como empresa utilizaremos la teoría de conjuntos que es la unión de unos y
otros para realizar una operación entre ellos para tener un resultado y obtener un análisis
económico para el beneficio de la empresa, el álgebra es la rama de la matemática que
estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas.
Con la implementación de este producto llegaremos a utilizar todo lo aprendido en todo
este tiempo de la teoría de conjuntos, con el fin de tener un marco teórico que permita
familiarizar la teoría de conjuntos, realizar una encuesta que permita saber cómo será
aceptado el producto en el mercado donde los resultados de la encuesta ayudara a
determinar la reacción de las personas ante la implementación para tomar decisiones
económicas en base al a información.
Todo esto ayudara a nuestra empresa a dar resultados eficaces y saber que nuestro
producto innovador será muy exitoso en el futuro, gracias a todo lo acumulado hasta
ahora y poniendo en práctica la teoría de conjuntos en nuestra empresa.

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2. ANTECEDENTES
El enjuague vocal llego a dar inicios gracias a la necesidad de mantener la boca limpia
que es relacionada con la salud un autor que es “Antón van Leeuwenhoek “experimento
que los dientes llegaban a habitar organismos vivos, los cuales serían llamadas las
placas bacterianas por eso debemos tener un boca saludable, en su primer experimento
Provo con la mezcla del vinagre y brandy con lo que no llego a tener buenos resultados,
siguió continuando igual hasta que aumento un producto químico donde llego a dar
buenos beneficios en 1895 llego a ampliarse para la experimentación y así poder
obtener al fin un enjuague vocal.
La pasta de dientes es muy consumido por las personas llega a hacer muy necesitado
para el diario vivir cada 3 veces debemos cepillarnos nuestros dientes; por eso es muy
recomendable el uso del enjuague vocal para el cuidado de los dientes por las bacterias
que habitan en la boca.
En la actualidad podemos obtener enjuague vocal donde es consumido después del
cepillado donde uno necesita tener los dientes limpios e un buen aliento ayuda donde el
cepillo y pasta de dientes en ese instante no puede; por eso es muy utilizado en toda la
gente para no tener un malestar con el mal aliento y los dientes amarillos.
Existen diferentes enjuagues cuyo efecto varía en función de su composición, podemos
encontrar colutorios ricos en flúor, para la prevención de las caries, especialmente
eficaces durante la calcificación del diente. Otros enjuagues están específicamente
indicados para combatir y eliminar la placa bacteriana o la halitosis.
El chocolate negro nos ayuda a que actué como un componente antibacteriano la cual
causa la caries por su acido, el chocolate hace que las bacterias no produzca ese acido
como la manteca ayuda a cubrir los dientes y reducir la acumulación de la placa.

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3. JUSTIFICACION
El producto Funny smile que llega a hacer un enjuague vocal con el beneficio de tener
una boca saludable, con un buen aliento y aun precio accesible para toda la gente, donde
lo innovador sería una planta natural de cacao, nos ayudaría a combatir todo los
malestares de la boca, un enjuague bucal donde puedes utilizar para tener una boca
saludable, el cacao llega a tener muchos beneficios contra las caries e evitar el desgaste
dental con su manteca, este enjuague de cacao aparte de tener un rico sabor te protege
de las placas bacterianas; Los enjuagues bucales o colutorios son soluciones que se
emplean después del cepillado con el fin de eliminar gérmenes y bacterias.
Esta planta natural de cacao donde posee flúor que sería un polvo amargo nos ayuda a
reforzar nuestros dientes y protegerlos ante las caries dentales, al tener todos estos
beneficios de esta planta natural de cacao nos impulsa a hacer un enjuague vocal que
llega donde el cepillo no puede y le da beneficios a sus dientes donde el tener una boca
saludable nos ayuda a tener una gran autoestima y seguridad en sí mismo, donde ya no
tendrá preocupaciones por las caries e acumulación de placas en los dientes y más bien
al solo utilizar un enjuague vocal protegerá de toda bacteria existente.
Por tanto, el planteamiento del problema es el siguiente: ¿Cuál es la importancia de las
herramientas que nos brinda el álgebra superior en una idea de negocio?

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4. METODOLOGIA
Dentro del marco delo proyectos de inversión, los cuales tienen como objetivo lograr
una rentabilidad máxima a costos mínimos. En este sentido el trabajo presentado tiene
un enfoque cuantitativo, en el cual se usa herramientas del algebra superior como ser
conceptos y aplicaciones de teoría de conjuntos, no obstante también es recomendable
usar técnicas y herramientas de la estadística de observación.
El tipo de estudio es exploratorio, descriptivo y explicativo. Exploratorio porque se lo
realiza con información primaria recolectada en un espacio de tiempo determinado, la
información primaria del presente trabajo se la realizo en los meses de febrero y marzo.
Para la recolección de información primaria se utiliza la técnica de observación casos de
estudio1 que es una herramienta de observación, esta técnica usa la herramienta de la
encuesta que no usa una muestra ni un tamaño de muestreo propiamente dicho. Esto
debido a que los estudiantes aún desconocen las técnicas del muestreo como ser los
tipos de muestreo y las clases de muestreo.
Descriptiva porque se realiza un análisis de los conceptos y teorías que importantes para
el estudio, es decir se realiza una descripción del producto, del mercado y de algunas
teorías que ayudaron en la elaboración del trabajo de investigación. Y por último
explicativa porque se realiza la aplicación y el análisis de las herramientas que nos
proporciona el álgebra superior.
El presente trabajo se lo realizo en tres fases. La primera consistió en la recolección de
información primaria y revisión de la bibliografía, la segunda en la sistematización de la
primera fase, y por último en la fase final se realiza un análisis aplicativo a la asignatura
para así poder dar respuesta a los objetivos planteados en el presente trabajo.
1 Esta herramienta puede plantear también la realización de encuestas sin uso del muestreo propiamente
dicho, debido a que es más una práctica empresarial realizable. Tiene mucha relación con las pruebas
pilotos.

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5. OBJETIVOS
5.1. Objetivo General
 Analizar el impacto que tiene la implementación del producto “enjuague vocal”
en el mercado aplicando herramientas de la teoría de conjuntos.
5.2. Objetivo Específicos
 Construir un marco teórico que permita familiarizar con la teoría de conjuntos.
 El Realizar una encuesta que permita saber cómo será aceptado el producto en el
mercado.
 Analizar los resultados de la encuesta para determinar la reacción de las
personas ante la implementación del producto
 Tomar decisiones económicas en base al a información primaria recolectada.
6. MARCO TEORICO
6.1. Álgebra
Es la parte de las matemáticas que trata de la cantidad en general, prestándola por medio
de letras u otros signos, por una parte se define como “La rama de la matemática que
estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas”
(Baldor, 1983, p. 4).Por otra parte también “Es abstracto, como un sistema algebraico
donde es muy importante y es dado en conjunto de cantidades de operaciones
aplicables” (Sigler, 1981, P.330). Por tanto, el álgebra es una rama matemática que
emplea números de la cantidad en general con combinaciones de elementos y es
impórtate donde también emplea letras y signos para las operaciones que quisiera
realizarse.
6.2. Conjunto
Es la agrupación de personas, animales o cosas consideradas como un todo homogéneo
sin distinguir partes “Es un conjunto formado por todo el objeto de estudio en un
contexto dado”2Por otra parte también “No solo son objetos simples como números, si
no también conjuntos de números que llevan propiedades”3Por tanto, es estar unido a
otra cosa por cantidad finita e infinita de elementos considerados un todo homogéneo
2 Extraído por www.org.teoria.com (7:00,21/02/17).
3 Extraído por www.org.teoria.com (9:56,20/02/17).

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por objetos de contexto con los conjuntos de números, llegando a complementarse entre
unos y otros para formar un conjunto.
6.3. Unión de conjuntos
La unión de conjuntos es intersección de dos conjuntos entre si diferentes “Dados dos
conjuntos A y B se llaman unión A y B al conjunto formado por todos los elementos de
A o de B denota por AuB” (Lazo, 1989, P.54). Por otra parte también “la unión de dos
diferentes conjuntos (Kignert, 1954, P.76) Por tanto, la unión de conjuntos es cuando
dos de ellos se unen entre sí con la anotación entre ellos dos y así realizar la unión de
los conjuntos para realizar una operación entre ellos.
6.4. Intersección de conjuntos
La intersección de los conjuntos son cuando los conjuntos son intersectados uno del otro
de tal manera que ellos forman una intersección gracias a que sus elementos son iguales
al de los conjuntos “Dado A y B la intersección de estos dos conjuntos formado por los
elementos que son comunes a los dos conjuntos dados, es decir que pertenece A y B se
denota así A n B”(Lazo,1989, P.4).Por otra parte también “la intersección de conjuntos
es la pertenencia de conjuntos que tiene elementos comunes entre ellos”(Orman,1983,
P.32).Por tanto la intersección de conjuntos están formados o seda porque sus elementos
son comunes a los dos conjuntos y por qué pertenecen a ellos y se anota con una n entre
ellos dos diciendo así que dos conjuntos pertenecen y poseen sus mismos elementos.
6.5. Complemento de conjuntos
El complemento de un conjunto se da cuando un conjunto con existencia y definido en
el universo el conjunto de este son todos los elementos que no pertenecen a este
conjunto definido “Sea A un conjunto definido en el universo U el complemento de A
es el conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al A de
denota A elevado a la c”(lazo,1989, P.55).Por otra parte también “el complemento de
conjuntos es el cual no es perteneciente a un conjunto que está en el
universo”(orman,1983, P.67).Por tanto el complemento de un conjunto en si son todos
los elementos donde A para que llegue a estar completo necesita el complemento para
llegar y ser universal y A se vuelva un complemento conjunto.

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6.6. Diferencia de conjuntos
La diferencia de conjuntos seda cuando los elementos de un conjunto no pertenezcan al
del otro “Sean A y B conjuntos cualesquiera la diferencia de conjuntos A-B es el
conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B” (Lazo, 1989,
P.56). Por otra parte también “Los elementos que posee un conjunto no pertenecen al
otro conjunto es diferencia de conjuntos” (Orman, 1983, P.70).Por tanto se llama
diferencia de conjuntos cuando los elementos de un conjunto no pertenecen al otro
conjunto en sí pues en que el segundo ya siendo B llega a quitar todo lo común que
tenían al conjunto A.
6.7. Conjunto Universal
En el conjunto universal se escoge alguno de los elementos que están en ellos para así
poder dar paso a formar a más conjuntos “El conjunto universal también llamado
universo o referencial es un conjunto de cuyos elementos se escoge algunos de ellos
para formar otros conjuntos de nota por una” (Lazo, 1989, p.58). Por otra parte también
“Es escogido algunos elementos de la referencia para formar a mas conjuntos” (Orman,
1983, P.72). Por tanto, es denominado conjunto universal cuando se denota y se escoge
a algunos de los elementos de la referencia o universo para formar a mas conjuntos
entre si relacionarse y volverse más entre ellos y llegar a complementarse entre sí.
7. APLICACIÓN DE LAS HERRAMIENTAS DEL ALGEBRA SUPERIOR
Para la aplicación de las herramientas del algebra se requiere elaborar y realizar una
encuesta en el cual se plasma los productos que se desean implementar en el mercado.
Los sabores estudiados se relacionaran con tres conjuntos que son el conjunto de
Frutilla, Menta y Cherre La encuesta se realiza a los estudiantes de la Universidad de
Ciencias Administrativas y Tecnológicas, donde haciendo la tabulación de la
información primaria nos dieron los siguientes resultados.
Análisis de los sabores a implementar:
(F)=4
(M)=18
(C)=16
(𝐹 ∩ 𝑀)=2
(𝐹 ∩ 𝐶)=2

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(𝑀 ∩ 𝐶)=3
(𝐹 ∩ 𝑀 ∩ 𝐶)=3
La fórmula de tres conjuntos es la siguiente:
(FUMUC)= n (F)+n (M)+n (C)-n (𝐹 ∩ 𝑀)-n (𝐹 ∩ 𝐶)-n (𝑀 ∩ 𝐶)+n (𝐹 ∩ 𝐶 ∩ 𝑀)
(FUMUC)= 4+18+16-2-2-3+3
(FUMUC)=34
En base a la información en el diagrama de Venn Euler, podemos analizar las siguientes
preguntas.
 ¿A Cuántos Solo Les Gusta El Sabor Frutilla? R.-3 n [F-(M U C)]
 ¿A Cuántos solo les gusta el sabor menta? R.- 16 n [(M)-(F U C)]
 ¿A Cuántos solo les gusta el sabor cherre? R.- 14 n [(C)-(𝐹 ∪ 𝑀)]
 ¿A Cuántos les gusta un solo producto? R.- 33 n [F∆M∆C]
 ¿A cuántos les gusta dos sabores? R.- -2 n [(𝐹 ∩ 𝑀) U (𝐹 ∩ 𝐶) U (𝑀 ∩ 𝐶)]-n
(𝐹 ∩ 𝑀 ∩ 𝐶)
 ¿A cuántos le gusta a menos dos sabores? R.- 1 n [(𝐹 ∩ 𝑀) U (𝐹 ∩ 𝐶) U (𝑀 ∩
𝐶)]
16
14
3
-1
-1
0
3
FRUTILLA MENTA
CHERRE

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 ¿A cuántos les gusta 3 sabores? R.- 3 n (𝐹 ∩ 𝑀 ∩ 𝐶)
 ¿A cuántos le gusta alguno de los sabores? R.- 34 n (F U M U C)
 ¿A cuántos no les gusta ningún sabor? R.- 2 (FUMUC) c
 ¿A cuántos les gusta menta y cherre? R.- 0 n (𝑀 ∩ 𝐶)
Análisis Económico del diagrama de Venn Euler
La implementación de los sabores de menta y cherre son muy recomendables para la
implementación en el mercado; pero la combinación de estos dos productos nos son el
agrado de las personas, el sabor frutilla no es muy gustoso para el paladar de los clientes
ni los 3 sabores combinados, ya que no a la mayoría de toda le gente no le gusto
ninguno de los sabores recomendados para nuestro producto nuevo de enjuague vocal.
Análisis de los precios:
A=4
B=8
C=29
(A ∩ B)=1
(A ∩ C)=1
(B ∩ C)=5
(A ∩ C ∩ T)=2
La fórmula de tres conjuntos es la siguiente:
(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛 (𝐴 + 𝑛 (𝐵) + 𝑛 (𝐶) − 𝑛 (𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛 (𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛 (𝐵 ∩ 𝐶) + (𝐴 ∩
𝐵 ∩ 𝐶)
( 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 4 + 8 + 29 − 1 − 1 − 5 + 2
( 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 36

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En base a la información en el diagrama de Venn Euler, podemos analizar las siguientes
preguntas.
 ¿A cuántos les gusta solo B? R.- 𝑛 [ 𝐵 − ( 𝐴 ∪ 𝐶)]
 ¿Cuántos prefieren B? R.- 𝑛 ( 𝐵)
 ¿Cuántos prefieren 2 precios? R.- 𝑛 [( 𝐴 ∩ 𝐵) ∪ ( 𝐵 ∩ 𝐶) ∪ ( 𝐴 ∩ 𝐶) −
( 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)]
 ¿Cuántos amenos 2 precios? R.- 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵) ∪ ( 𝐴 ∩ 𝐶) ∪ ( 𝐵 ∩ 𝐶)∩
 ¿Cuántos prefieren un solo precio? R.- 𝑛( 𝐴∆𝐵∆𝐶)
 ¿Cuántos prefieren 3 precios? R.- 𝑛 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
 ¿Cuántos prefieren algunos de los precios? R.- 𝑛 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)
 ¿Cuántos prefieren C? R.- 𝑛 ( 𝐶)
 ¿Cuántos prefieren A? R.- 𝑛( 𝐴)
 ¿Cuántos prefieren solo C? R.- 𝑛 [ 𝐶 − (𝐴 ∪ 𝐵)]
4
25
4
-1
PRECIO 1
P

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Análisis Económico del diagrama de Venn Euler
La implementación del enjuague vocal llega a hacer muy recomendable el precio C que
es el de 35 por las personas, porque es muy accesible para el bolsillo y llega a que
utilicen sin preocuparse por el costo, los otros precios no son muy recomendables
porque no es muy accesible para la mayoría y no podrían satisfacer su necesidades de
querer consumir.
8. CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
Baldor, J. (1983). “Algebra de Baldor” San Andrés. Alemania.
Lazo, S. (1984). “Algebra Moderna”Bolivia.La Paz.
Oran, L. (1543). “Big Bang”Europa. Madrid.
www.org.teoria.com (7:00,21/02/17)
www.org.teoria.com (9:56,20/02/17)