Este documento define y da ejemplos de grupos, subgrupos, anillos y cuerpos en matemática discreta. Define un grupo como un conjunto con una operación interna que cumple cuatro axiomas relacionados con la clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Define un subgrupo como una parte de un grupo que también forma un grupo. Define un anillo como un grupo abeliano con una segunda operación de multiplicación que cumple ciertos axiomas, y un cuerpo como un anillo donde toda operación distinta de cero tiene inverso multiplicativo.

1. Matemática Discreta
Definicion y ejemplos de: grupos, subgrupos,
anillos y cuerpos.
Integrantes:
•Francisco Osorio 17-0713
•Angel Beltre 16-0904

2. Definicion de Grupo
Si G es un conjunto dotado de una ley de composición interna (operación) *, se dice
que (G, ..) es un grupo si se cumplen los siguientes axiomas:
Axioma 1. (Vx)(Vy): (x .. y) EG. Clausurativa.
Axioma 2. (Vx)(Vy)(tiz): (x * y) * z .= x * (y * z). Asociativa.
Axioma 3. (3e)(e E G)(Vx) : e * x = x * e = x. Existencia del elemento neutro.
Axioma 4. (Vx)(3x!): X" x' = x~ = e. Existencia del elemento simétrico.
Se dice que G es un grupo conmutativo o abeliano si la ley * es conmutativa. Se dice
que el grupo es finito si el grupo tiene un número finito de elementos. El número n de
elementos se llama orden del grupo.

3. Definicion de Grupo
Comentario.
El Axioma 2 dice que si se dan tres elementos de G no importa el orden en que se
realicen los dos productos. El Axioma 3 dice que G no es vacío, es decir, contiene
por lo menos a e. Si x opera sobre la pareja (x, e) o (e, x), el resultado es x; como no
afecta a x, se llama elemento neutro o elemento identidad de O: Si G = {e} ~ e * e = e,
en este caso es fácil ver que [{e}, *) es un grupo, que se llama grupo trivial.
El Axioma 4 hace corresponder a cada x E G el elemento x' llamado inverso de x.

4. Ejemplo de Grupo

5. Ejemplo de Grupo

6. Definicion de Subgrupo
Sucede a veces que una parte H de un grupo G forma ella misma un grupo; se dice
entonces que H es un subgrupo de G.
Un grupo G con más de un elemento admite por lo menos dos subgrupos: {e} y G.

7. Definicion de Subgrupo

8. Ejemplo de Subgrupo

9. Definicion de Anillo
Definición l. Sea un grupo aditivo abeliano A; si además A se dota de una segunda ley,
llamada multiplicación, decimos que A es un anillo si se verifican los siguientes axiomas:

10. Definicion de Anillo
Definición 2.
Un anillo A se llama anillo con unidad si la multiplicación tiene unidad. El anillo se llama
conmutativo si la multiplicación es conmutativa.
Definición 3.
Un elemento u de A se llama inversible si A tiene inverso multiplicativo en A. Por ejemplo, en Z,
las únicas unidades son 1 y-1.
Definición 4.
Un anillo se llama anillo de división si los elementos distintos de cero forman un grupo
multiplicativo para la multiplicación ..0,,,10 que es 10 mismo, si todo elemento de A distinto de
cero es una unidad.

11. Ejemplo de Anillo

12. Ejemplo de Anillo

13. Definicion de Cuerpo
Definición. Un conjunto K dotado de dos leyes de composición internas la una escrita +
(adición) y la otra escrita (.) (multiplicación), está dotado de una estructura de cuerpo si:
O sea que un cuerpo es un anillo con unidad en el cual todo elemento distinto de O,
admite un simétrico para la segunda ley.
Un cuerpo es la tripla (K,+ ,.) que verifica las condiciones 1ro y 2do Si además, la ley (.) es
conmutativa, el cuerpo (K,+,.) se dice conmutativo.
(K, +, .) es un anillo unitario,
y (K*,.) es un grupo multiplicativo.

14. Ejemplo de Cuerpo

15. Ejemplo de Cuerpo

16. GRACIAS