Este documento describe las estructuras algebraicas de grupos, anillos y cuerpos. Define los grupos como conjuntos con una operación que cumple cuatro axiomas: clausurativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico. Da ejemplos de grupos como números racionales y enteros. Luego define subgrupos y da ejemplos. Explica que un anillo es un conjunto con dos operaciones que cumplen propiedades de grupo conmutativo y semigrupo. Finalmente define un cuerpo como un anillo unitario donde los elementos no nulos forman un grupo

1. ESTRUCTURASALGEBRAICAS.
ANILLOS. CUERPOS
Frank Portorreal 16 - 0281

2. Estructura de Grupo
Grupo. Si G es un conjunto dotado de una ley de composición interna (operación) *, se
dice que (G, *) es un grupo si se cumplen los siguientes axiomas:
■ Axioma 1: ∀𝑥 ∀𝑦 : 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺. Clausurativa
■ Axioma 2: ∀𝑥 ∀𝑦 ∀𝑧 : 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) Asociativa
■ Axioma 3: ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐺 ∀𝑥 : 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 Existencia del elemento neutro.
■ Axioma 4: ∀𝑥 ∃𝑥! : 𝑥 ∗ 𝑥′
= 𝑥′
𝑥 = 𝑒 Existencia del elemento simétrico
■ Se dice que el grupo es finito si el grupo tiene un numero finito de elementos.

4. Ejemplos de Grupos

5. Ejemplos
■ El conjunto de posibles parejas de números racionales (a,b) es un grupo con respecto a la
adición cuando la ley de composición se define de la siguiente manera:
■ (𝑎1, 𝑏1 ) + (𝑎2, 𝑏2 ) = (𝑎1+𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 )
■ Todo grupo cíclico G es abeliano, pues si x, y ∈ G = <a>, x = am y y = an para
algunos m, n enteros, con lo cual, xy = aman = am + n = an +m = anam = yx. En particular, el
grupo Z de enteros bajo la suma es abeliano, al igual que el grupo de enteros módulo n, Zn.
■ Los números reales forman un grupo abeliano con la adición, al igual que los reales no nulos
con la multiplicación.
■ Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su adición. En un anillo conmutativo, los
elementos invertibles forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.
■ Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal, y por lo tanto, para todo subgrupo hay
un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes, y sumas directas de grupos abelianos son
también abelianos.

6. Subgrupo
■ Sucede a veces que una parte H de un grupo G forma ella misma un grupo; se dice
entonces que H es un subgrupo de G.
■ Un grupo G con mas de un elemento admite por lo menos 2 subgrupos: e y G.

7. Ejemplos de Subgrupos
Grupo Subgrupo
(Z, +) Grupo aditivo de los enteros pares
(𝐶 𝑞 0 , °) (𝑄 ∗ +, °)
(𝐶 𝑞 0 , °) ( −1,1 , . )
Grupo del triangulo equilátero Grupo de las rotaciones del triangulo equilátero.

8. Ejemplo 1
■ El menor de los subgrupos del grupo <G,*> es <{e},*> donde e es el elemento
neutro para * en G, es decir el subgrupo trivial.
Ejemplo 2
■ Sea el grupo <{0;1;2;3;4},+5> cuya operación +5 (suma módulo 5) viene definida por la
tabla:
no tiene otro subgrupo que el trivial, porque para el resto de los subconjuntos de G se
incumple el axioma del cierre de los grupos.
+5 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

9. Definición de Anillos
■ Consideremos un conjunto no vacíoA, dotado de dos operaciones que convenimos en
llamar suma y producto y en simbolizarlas como tales, aunque su naturaleza no sea la
de las operaciones aritméticas usuales. Decimos que A es un anillo si respecto a la
suma es un grupo conmutativo, respecto al producto es un semigrupo y el producto
es distributivo respecto a la suma por ambos lados. Es decir, si para cualesquiera
es

10. Propiedades
Se verifican las propiedades:
1a) * es una operación interna.
2a) * es asociativa.
3a) Hay elemento neutro para *.
4a) Todo elemento de A tiene su inverso para *.
5a) * es conmutativa. -- (A, *) es un grupo abeliano--
1b) º es una operación interna.
2b) º es asociativa. -- (A, º) es un semigrupo ---
1c) La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

11. Ejemplos de
Anillo

12. Definicion de Cuerpo
■ Un conjunto 𝐾 dotado de dos leyes de composición internas la una escrita + (adicion) y
la otra escrita (.) (multiplicacion), esta dotado de una estructura de cuerpo si:
■ 1. (K, +, . ) es un anillo unitario.
■ 2. (K*, . ) es un grupo multiplicativo.

13. Ejemplos de Cuerpo