Este documento define los conceptos fundamentales de grupo, subgrupo y homomorfismo. Un grupo es un conjunto no vacío con una ley de composición interna asociativa que tiene elemento neutro y cada elemento tiene inverso. Un subgrupo es un subconjunto de un grupo que también es un grupo. Un homomorfismo es una función entre dos estructuras algebraicas que preserva la operación.

1. Actividad 6A.
Grupo:
Un conjunto G, distinto del vacío, es un grupo si tiene definida una ley de composición interna ∗
que cumple las propiedades:
- Asociativa.
- Existe elemento neutro e. (a*e= e*a= a, ∀a ∈ G ).
- Todo elemento tiene simétrico.
Además, si ∗ es conmutativa, llamaremos a (G,∗) grupo abeliano
A modo de ejemplo, notemos que (R,.) no es un grupo pues 0 no posee inverso. Sin embargo,
(R{0},.) sí es un grupo.
Si (G,∗)es un grupo, entonces cumple las siguientes propiedades (las cuales ya vimos):
1. El inverso de cada elemento es único
2. (∀ x ∈ G) (x−1
)−1
=x
3. (∀ x ,y ∈ G) ( x ∗ y)−1
= y−1
∗ x−1

2. 4. Todo elemento x ∈ G es cancelable.
Ejemplo:
El conjunto de números enteros Z, que está formado por números enteros sin decimal,y que
tienen signo positivo o negativo, junto con el 0.
Grupo finito:
Es un grupo cuyo conjunto fundamental G, tiene un número de elementos finitos. Ejemplo:
número de palabras del un libro en particular. Es un conjunto de números que tiene principio y
fin.
Subgrupo:
Sea (G,∗) un grupo, y sea H ⊆ G, H ≠ ∅ . Diremos que H es subgrupo de G si (H, ∗) también es
grupo.
Si consideramos el grupo (R, +), entonces un posible subgrupo es (Q,+). También tenemos a
({−1,1},.) como subgrupo de (R{0},.)

3. Todo grupo (G,∗) tiene dos subgrupos a los cuales llamaremos triviales: (G,∗) y ({e},∗)
Ejemplo: el menor de los subgrupos del grupo <G,*> es <{e}> Donde e es el neutro de (G,∗)
Homomorfismos
Sean (A,∗) y (B,△) dos estructuras algebraicas, y sea f: A→B una función. Sabemos que si x,y
∈ A entonces f(x), f(y) ∈ B. Como sobre A tenemos definida una operación ∗, podemos
hacernos la pregunta: ¿cuánto vale f(x∗y)?
Los homomorfismos serán las funciones de A en B tales que f(x ∗ y) se construye operando f(x) y f(y),
es decir tales que f(x∗y) = f(x) △ f(y) (recordemos que como f(x), f(y) ∈ B, entonces la operación
que podemos aplicarles no es ∗, sino △ ).

4. Una función f: A →B es un homomorfismo, si
(∀ x,y ∈ A) f(x∗y) = f(x)△f(y)
Ejemplo: Sea h : (IR, +) −→ (IR − {0}, ·), se define h(x) = 3x .
Vemos que h(x + y) = 3x+y , = 3x3 y , = h(x)h(y).
Así h es un homomorfismo. .
Fuentes:
_Wikipedia
_ Scribd