Este documento define conceptos algebraicos fundamentales como grupos, subgrupos y anillos. Explica que un grupo es un conjunto con una operación que cumple cuatro axiomas: clausura, asociatividad, elemento neutro e inverso. Proporciona ejemplos de grupos como los enteros con suma. Define un subgrupo como una parte de un grupo que también forma un grupo. Finalmente, introduce la definición formal de un anillo como un conjunto abeliano con dos operaciones, suma y multiplicación, que cumplen ciertos axiomas.

1. Estructuras Algebraicas
Matemática Discreta
Rafael Brito 16-0847
Edgar Durán 16-0839

2. Definiciónde
Grupos
Si G es un conjunto dotado de una ley de composición
interna (operación) *, se dice que (G, *) es un grupo si se
cumplen los siguientes axiomas:
 Axioma 1. (∀𝒙)(∀𝒚) ∶ (𝒙 ∗ 𝒚) ∈ 𝑮. 𝑪𝒍𝒂𝒖𝒔𝒖𝒓𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂
 Axioma 2. (∀𝒙)(∀𝒚)(∀𝒛) ∶ (𝒙 ∗ 𝒚) ∗ 𝒛 = 𝒙 ∗ (𝒚 ∗
𝒛). 𝑨𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂
 Axioma 3. (∃𝒆)(𝒆 ∈ 𝑮)(∀𝒙) ∶ 𝒆 ∗ 𝒙 = 𝒙 ∗ 𝒆 =
𝒙. 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐.
 Axioma 4. (∀𝒙)(∃𝒙!) ∶ 𝒙 ∗ 𝒙′ = 𝒙′𝒙 =
𝒆. 𝑬𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐.
Se dice que G es un grupo conmutativo o abeliano si la
ley * es conmutativa. Se dice que el grupo es finite si es
grupo tiene un número finite de elementos. El número n
de elementos se llama orden del grupo.

3. Ejemplosde
Grupo
Conjunto Operación
𝑍 𝑆𝑢𝑚𝑎
𝑄 𝑆𝑢𝑚𝑎
𝑅 𝑆𝑢𝑚𝑎
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 𝑆𝑢𝑚𝑎
𝑄 − {0} 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑅 − {0} 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
{−1, 1} 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜. 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜. 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜. 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

4. Imágenesde
ejemplos

5. Subgrupos
Matemática Discreta

6. Definiciónde
Subgrupos
 Sucede que aveces que una parte H de un grupo G
forma ella misma un grupo; se dice entonces que H es
un subgrupo de G.
 Un grupo G con mas de un element admite por lo
menos dos subgrupos: {e} y G.

7. 𝑺𝒊 𝒍𝒂 𝒍𝒆𝒚 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒑𝒐𝒓
∗, °,∙, 𝒐 𝒔𝒊𝒏 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒍𝒆𝒚 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓
+
𝑬𝒍 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒂𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 … 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑨𝒅𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐
𝑬𝒍 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒔𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂 … 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝑺𝒖𝒎𝒂
𝑬𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒎𝒂
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 …
𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅, 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 (°)
𝑪𝒆𝒓𝒐, 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒖𝒍𝒐
𝑬𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐 𝒔𝒆
𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒑𝒐𝒓 …
𝒆, 𝒍, 𝒊, 𝑰, … , 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝟎, 𝟎, 𝟎, … , 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔
𝑬𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒖𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐 𝒕𝒐𝒎𝒂
𝒆𝒍 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 …
𝑰𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐 𝑶𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝑬𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒖𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒂
𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒑𝒐𝒓 …
𝑨−𝟏 −𝒂
𝑳𝒂𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂 ∗ 𝒙
= 𝒃 𝒚 𝒚 ∗ 𝒂
= 𝒃 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒏 𝒑𝒐𝒓 …
𝒙 = 𝒂−𝟏
∗ 𝒃 𝒚 𝒚
= 𝒃 ∗ 𝒂−𝟏 𝐲
𝐛
𝐚
𝐬𝐢 𝐞𝐬 𝐚𝐛𝐞𝐥𝐢𝐚𝐧𝐨
𝒙 = 𝒚 = 𝒃 + −𝒂 𝒐 𝒃 − 𝒂
𝒂 ∗ 𝒂 ∗ ⋯ ∗ 𝒂 𝒑 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒑𝒐𝒓 …
𝒂 ∙ 𝒂 … 𝒂 = 𝒂 𝒑 𝒂 + 𝒂 + ⋯ + 𝒂 = 𝒑𝒂

8. Ejemplode
Subgrupos

9. Imágenesde
Ejemplos

10. Anillo
Matemática Discreta

11. DefinicionesdeAnillos:
Acontinuacionsevanaestudiarconjuntosenloscualessedefinendosleyesdecomposición.
Definición1.SeaungrupoaditivoabelianoA;siademasAsedotadeunasegundaley,llamadamultiplicación,decimosqueAesunanillosiseverificanlossiguientesaxiomas:
Grupoabelianoaditivo.Sean𝑥,𝑦,𝑧 ∈ A
Axioma1.∀𝒙,∀𝒚:𝒙+ 𝒚 ∈ A Clausurativa.
Axioma2.∀𝒙,∀𝒚,∀𝒛: 𝒙+ 𝒚 + 𝒛 = 𝒙+ 𝒚+ 𝒛 Asociativa.
Axioma3.∃0∈A,∀𝒙:0+x=x+0=x Existenciadelelementoneutro
Axioma4.∀𝒙,∃(-x):(-x)+x=x+(-x)=0 Existenciadelelementoinversoaditivo.
Axioma5.∀𝒙,∀𝒚:𝒙+ 𝒚 = 𝒚+ 𝒙 Conmutativa.
Axioma6.∀𝒙,∀𝒚:xy ∈ 𝐴 Clausurativa.
Axioma7.∀𝒙,∀𝒚,∀𝒛:𝒙 𝒚𝒛 = 𝒙𝒚 𝒛 Asociativa.
Axioma8.∀𝒙,∀𝒚,∀𝒛:𝒙 𝒚+ 𝒛 = 𝒙𝒚+ 𝒙𝒛 Distributivasaizquierda.
Axioma9.∀𝒙,∀𝒚,∀𝒛: 𝒚+ 𝒛 𝒙 = 𝒚𝒙+ 𝒛𝒙 Distributivasaizquierda.
Definición2.UnanilloAsellamaanilloconunidadsilamultiplicacióntieneunidad.Elanillosellamaconmutativosilamultiplicaciónesconmutativa.
Definición3.UnelementoudeAsellamainversiblesiAtieneinversomultiplicativeenA.Porejemplo,enZlasunicasunidadesson1y-1
Definición4.Unanillosellamaanillodedivisionsiloselementosdistintosdeceroformanungrupomultiplicativeparalamultiplicación.Oloqueeslomismo,sitodoelemento
deadistintodeceroesunaunidad.

12. EJEMPLOS
Si (A, + , .) es un anillo y 𝒂, 𝒃 ∈ A, y a ∗ a = a para cada a ∈ A, entonces (A, + , .) es un anillo conmuntativo.
Solución:
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 ∗ 𝑎 + 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑏
= 𝑎 + 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏
Entonces 𝑎 + 𝑏 = (𝑎 + 𝑏) + 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏 ∗ 𝑎 . Sumando − 𝑏 ∗ 𝑎 a ambos lados de esta ecuación, se obtiene 0 = a ∗ b + b ∗ a −
𝑏 ∗ 𝑎 ; entonces 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 , es decir (A, + , .) , es un anillo conmutativo.

13. Cuerpo
Matemática Discreta

14. Definiciones de cuerpo:
Definición. Un conjunto K dotado de dos leyes de composicion internas la
una escrita + (adición) y la otra escrita (.) (multiplicación), está dotado de
una estructura de cuerpo si:
1° 𝑲, +, . 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜.
2° 𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐾 ∗= 𝐾 − 0 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 . .
Como K* es un conjunto U de los elementos invertibles, las condiciones
1° 𝑦 2°son equivalentes al hecho de que:
(K,+,.) es un anillo unitario y (K*,.) es un grupo multiplicativo. Un cuerpo es
un anillo con unidad en el cual todo elemento distinto de 0, admite un
simetrico para la segunda ley.
Un cuerpo es la tripla (K,+,.) que verifica las condiciones 1° 𝑦 2°. Si ademas
la ley (.) es conmutativa, el cuerpo (K,+,.) se dice conmuntativo.

15. Otra Definición de Cuerpos: En álgebra abstracta, un
cuerpo (a veces llamado campo como traducción de
inglés field) es una estructura algebraica en la cual
las operaciones llamadas adición y multiplicación se
pueden realizar y cumplen las propiedades:
asociativa, conmutativa y distributiva de la
multiplicación respecto de la adición.