1) El documento presenta la resolución de 8 ejercicios relacionados con el campo gravitatorio y el movimiento de satélites. 2) Los ejercicios calculan fuerzas gravitatorias, campos gravitatorios, energía potencial gravitatoria y trabajo realizado por la fuerza gravitatoria en diferentes situaciones físicas. 3) Se demuestra la validez de la expresión m·g·h para la variación de energía potencial gravitatoria en puntos próximos a la superficie terrestre.
Guía de problemas de Gravitación Universal (Resuelta) ILeonardo Desimone
La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Fue formulada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. Para grandes distancias de separación entre cuerpos se observa que dicha fuerza actúa de manera muy aproximada como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro de gravedad, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.
Prueba para evaluar los contenidos de cinemática de segundo medio.
Dentro de la evaluación aparecen conceptos de velocidad rapidez desplazamiento.
Se analizan los movimientos rectilíneo y uniforme acelerado
Guía de problemas de Gravitación Universal (Resuelta) ILeonardo Desimone
La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Fue formulada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. Para grandes distancias de separación entre cuerpos se observa que dicha fuerza actúa de manera muy aproximada como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro de gravedad, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.
Prueba para evaluar los contenidos de cinemática de segundo medio.
Dentro de la evaluación aparecen conceptos de velocidad rapidez desplazamiento.
Se analizan los movimientos rectilíneo y uniforme acelerado
El Beechcraft 60 Duke es un avión de ala fija bimotor estadounidense fabricado por Beechcraft. El avión tiene tren de aterrizaje retráctil y cabina presurizada. Los dos motores de pistón están sobrealimentados, y los sobrealimentadores también presurizan la cabina con aire sangrado.
Diagrama usado para determinar la estructura conociendo su composición química. También en base a la posición del material en cuestión en el diagramase puede determinar los procesos de soldado y con que material hacerlo.
Practica, ensayos, ejercicios y normas de Transformadores Leonardo Desimone
Se denomina transformador a una máquina eléctrica que permite aumentar o disminuir la tensión en un circuito eléctrico de corriente alterna, manteniendo la potencia. La potencia que ingresa al equipo, en el caso de un transformador ideal (esto es, sin pérdidas), es igual a la que se obtiene a la salida. Las máquinas reales presentan un pequeño porcentaje de pérdidas, dependiendo de su diseño y tamaño, entre otros factores.
El transformador es un dispositivo que convierte la energía eléctrica alterna de un cierto nivel de tensión, en energía alterna de otro nivel de tensión, basándose en el fenómeno de la inducción electromagnética. Está constituido por dos bobinas de material conductor, devanadas sobre un núcleo cerrado de material ferromagnético, pero aisladas entre sí eléctricamente. La única conexión entre las bobinas la constituye el flujo magnético común que se establece en el núcleo. El núcleo, generalmente, es fabricado bien sea de hierro o de láminas apiladas de acero eléctrico, aleación apropiada para optimizar el flujo magnético. Las bobinas o devanados se denominan primario y secundario según correspondan a la entrada o salida del sistema en cuestión, respectivamente. También existen transformadores con más devanados; en este caso, puede existir un devanado "terciario", de menor tensión que el secundario.
Laboratorio de Ensayos industriales por Gonzalez AriasLeonardo Desimone
En la presente edición los autores, alentados continuamente por las sugerencias y sanas críticas de profesores, profesionales y alumnos, han puesto sus mejores esfuerzos en actualizase de las continuas y cambiantes teorías que hacen al estudio y ensayo de los materiales. La concepción inicial de este libro esté basada en desarrollar en un solo texto, en forma simple y concisa, un curso completo de la materia acorde con los requerimientos de las modernas técnicas de proyecto y control.
Han tratado de realizar las experiencias que justifiquen o aclaren determinadas teorías y conceptos normalizados, y cuando ello no fue posible recurrieron a investigadores y a otros autores con el objeto de mejorar la información dentro del alcance del mismo.
Por otra parte, aclaran que no es necesario que el estudiante de ingeniería se esfuerce en recordar procedimientos teóricos complejos, que sin duda olvidará en poco tiempo, pero insisten en la necesidad de que el lector comprenda conceptualmente el por qué y para qué se determinan las propiedades mecánicas de los materiales.
Pretenden también que conozca las muchas variables que pueden modificarlos, y las posibilidades de empleo en los diseños de máquinas y estructuras.
La hidrodinámica estudia la dinámica de los líquidos.
Para el estudio de la hidrodinámica normalmente se consideran tres aproximaciones importantes:
que el fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases;
se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento;
se supone que el flujo de los líquidos es un régimen estable o estacionario, es decir, que la velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo.
La hidrodinámica tiene numerosas aplicaciones industriales, como diseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas, etc.
Daniel Bernoulli fue uno de los primeros matemáticos que realizó estudios de hidrodinámica, siendo precisamente él quien dio nombre a esta rama de la física con su obra de 1738, Hydrodynamica.
Cálculo de errores y presentación de resultados experimentalesLeonardo Desimone
El objetivo de la Teoría de Errores es identificar las diversas fuentes que generan error en la medición, determinar el verdadero valor de las magnitudes físicas medidas de forma directa (medir la altura de un cilindro con el calibrador Vernier) e indirecta (medir el volumen de un cilindro, midiendo su altura y diámetro con el calibrador Vernier).
Además es muy importante en esta práctica que el alumno se familiarice y posea un adecuado manejo de los equipos de medición de laboratorio.
Aeronavegación; surgimiento, tipos de aeronaves y ámbitos de influencia.Leonardo Desimone
La navegación aérea o aeronavegación es el conjunto de técnicas y procedimientos que permiten pilotar eficientemente una aeronave a su lugar de destino, asegurando la integridad de los tripulantes, pasajeros, y de los que están en tierra. La navegación aérea se basa en la observación del cielo, del terreno, y de los datos aportados por los instrumentos de vuelo.
Análisis Matemático (Calculo 1) por Hebe T. Rabuffetti.Leonardo Desimone
El análisis matemático es una rama de las matemáticas que estudia los números reales, los complejos, tanto del punto de vista algebraico como topológico, así como las funciones entre esos conjuntos y construcciones derivadas. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa de límite y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la derivación de diversos tipos.
Una de las diferencias entre el álgebra y el análisis es que en este segundo recurre a construcciones que involucran sucesiones de un número infinito de elementos, mientras que álgebra usualmente es finitista.
Una lista de comprobación (checklist, en inglés) es una herramienta de ayuda en el trabajo diseñada para reducir los errores provocados por los potenciales límites de la memoria y la atención en el ser humano. Ayuda a asegurar la consistencia y exhaustividad en la realización de una tarea.Un ejemplo sencillo de una lista de comprobación sería una lista de tareas pendientes. Un ejemplo más complejo sería una planificación, donde se detallan las tareas que hay que realizar dependiendo del horario, el día, u otros factores.
En química, la estequiometría (del griego στοιχειον, stoicheion, 'elemento' y μετρον, métrón, 'medida') es el cálculo de las relaciones cuantitativas entre los reactivos y productos en el transcurso de una reacción química.1 Estas relaciones se pueden deducir a partir de la teoría atómica, aunque históricamente se enunciaron sin hacer referencia a la composición de la materia, según distintas leyes y principios.
El primero que enunció los principios de la estequiometría fue Jeremias Benjamin Richter (1762-1807), en 1792, quien describió la estequiometría de la siguiente manera:
«La estequiometría es la ciencia que mide las proporciones cuantitativas o relaciones de masa de los elementos químicos que están implicados (en una reacción química)».
También estudia la proporción de los distintos elementos en un compuesto químico y la composición de mezclas químicas.
La química es la ciencia que estudia tanto la composición, la estructura y las propiedades de la materia como los cambios que esta experimenta durante las reacciones químicas y su relación con la energía. Linus Pauling la define como la ciencia que estudia las sustancias, su estructura (tipos y formas de acomodo de los átomos), sus propiedades y las reacciones que las transforman en otras sustancias en referencia con el tiempo.
La química moderna se desarrolló a partir de la alquimia, una práctica protocientífica de carácter filosófico, que combinaba elementos de la química, la metalurgia, la física, la medicina, la biología, entre otras ciencias y artes. Esta fase termina al ocurrir la llamada Revolución de la química, basada en la ley de conservación de la materia y la teoría de la combustión por oxígeno postuladas por el científico francés Antoine Lavoisier.
La química es la ciencia que estudia tanto la composición, la estructura y las propiedades de la materia como los cambios que esta experimenta durante las reacciones químicas y su relación con la energía. Linus Pauling la define como la ciencia que estudia las sustancias, su estructura (tipos y formas de acomodo de los átomos), sus propiedades y las reacciones que las transforman en otras sustancias en referencia con el tiempo.
La química moderna se desarrolló a partir de la alquimia, una práctica protocientífica de carácter filosófico, que combinaba elementos de la química, la metalurgia, la física, la medicina, la biología, entre otras ciencias y artes. Esta fase termina al ocurrir la llamada Revolución de la química, basada en la ley de conservación de la materia y la teoría de la combustión por oxígeno postuladas por el científico francés Antoine Lavoisier.
La química es la ciencia que estudia tanto la composición, la estructura y las propiedades de la materia como los cambios que esta experimenta durante las reacciones químicas y su relación con la energía. Linus Pauling la define como la ciencia que estudia las sustancias, su estructura (tipos y formas de acomodo de los átomos), sus propiedades y las reacciones que las transforman en otras sustancias en referencia con el tiempo.
La química moderna se desarrolló a partir de la alquimia, una práctica protocientífica de carácter filosófico, que combinaba elementos de la química, la metalurgia, la física, la medicina, la biología, entre otras ciencias y artes. Esta fase termina al ocurrir la llamada Revolución de la química, basada en la ley de conservación de la materia y la teoría de la combustión por oxígeno postuladas por el científico francés Antoine Lavoisier.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Guía de problemas de Gravitación Universal (Resuelta) II
1. Ejercicios resueltos
Bolet´ın 2
Campo gravitatorio y movimiento de sat´elites
Ejercicio 1
En el punto A(2,0) se sit´ua una masa de 2 kg y en el punto B(5,0) se coloca otra masa
de 4 kg. Calcula la fuerza resultante que act´ua sobre una tercera masa de 5 kg cuando se
coloca en el origen de coordenadas y cuando se sit´ua en el punto C(2,4).
Soluci´on 1
En una distribuci´on de masas la fuerza resultante que act´ua sobre una de ellas es la
suma vectorial de las fuerzas con las que act´uan las dem´as masas sobre ella.
a) Al colocar la masa de m = 5 kg en O (0,0). Las masas m1 = 2 kg y m2 = 4 kg
interaccionan con la masa m = 5 kg con unas fuerzas que tienen de direcci´on el eje X y
sentido hacia las masas m1 y m2.
m = 2 kg1 m = 4 kg2
F1
F2
O(0, 0)
A(2, 0) B(5, 0)
Y
X
Aplicando la ley de gravitaci´on universal:
F = F1 + F2 =
G · m1 · m
r2
1
i +
G · m2 · m
r2
2
i = G · m
m1
r2
1
+
m2
r2
2
i
Sustituyendo:
F = 6,67 · 10−11
· 5
2
22
+
4
52
i = 2,20 · 10−10
i N
b) Al colocar la masa m = 5 kg en C(2,4). Las fuerzas que act´uan sobre la masa m
tienen de direcci´on las rectas que unen la citada masa con las otras dos y por sentido
hacia las masas m1 y m2.
F1 =
G · m1 · m
r2
1
(−j) = −
6,67 · 10−11
· 2 · 5
42
j = −4,17 · 10−11
j N
El m´odulo de la fuerza con la que act´ua la masa m2 = 4 kg es:
F2 =
G · m2 · m
r2
2
=
6,67 · 10−11
· 4 · 5
(
√
32 + 42)2
= 5,34 · 10−11
N
1
2. F2x
F2
F2y
F1
m = 2 kg1
A(2, 0)
m = 4 kg2
B(5, 0)
C(2, 4)
ϕ ϕ
Y
XO
De la figura se deduce que cos ϕ = 4/5 y sin ϕ = 3/5 por lo que las componentes de la
fuerza que ejerce la masa m2 son:
F2x = F2 · sin ϕ i = 5,34 · 10−11
·
3
5
i = 3,20 · 10−11
i N
F2y = F2 · cos ϕ(−j) = −5,34 · 10−11
·
4
5
j = −4,27 · 10−11
j N
La fuerza resultante que act´ua sobre la part´ıcula de masa m tiene de componentes:
Fx = F2x = 3,20 · 10−11
i N
Fy = F1 + F2y = −4,17 · 10−11
j − 4,27 · 10−11
j = −8,44 · 10−11
j N
Su m´odulo es:
|F| = F2
x + F2
y = (3,20 · 10−11)2 + (8,44 · 10−11)2 = 9,03 · 10−11
N
Ejercicio 2
Calcula el m´odulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia de 100 km sobre
la superficie de la Tierra. Datos: MT = 5,98 · 1024
kg, RT = 6370 km
Soluci´on 2
Aplicando la definici´on de intensidad del campo gravitatorio y como la Tierra se com-
porta como una part´ıcula con su masa concentrada en su centro, se tiene:
g =
G · MT
r2
=
G · MT
(RT + h)2
Sustituyendo:
g =
6,67 · 10−11
· 5,98 · 1024
(6,37 · 106 + 105)2
= 9,53 N/kg
2
3. Ejercicio 3
Una part´ıcula de masa m1 = 2 kg est´a situada en el origen de un sistema de referencia
y otra part´ıcula de masa m2 = 4 kg est´a colocada en el punto A(6,0). Calcula el campo
gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4) y la fuerza que act´ua sobre una
part´ıcula de 3 kg de masa situada en el punto C.
Soluci´on 3
Aplicando el principio de superposici´on, el campo gravitatorio en un punto es igual a
la suma vectorial de los campos individuales que act´uan en ese punto.
1m = 2 kg
O(0, 0)
2m = 4 kg
A(6, 0)
ur1
ur2g1 g2
Y
X
B(3, 0)
a) Campo gravitatorio en el punto B(3,0).
g1 = −G
m1
r2
1
ur1 = −G
2
32
i = −G
2
9
i
g2 = −G
m2
r2
2
ur2 = −G
4
32
(−i) = G
4
9
i
Sumando:
gB = g1 + g2 = −G
2
9
i + G
4
9
i = G
2
9
i = 1,48 · 10−11
i N/kg
b) Campo gravitatorio en el punto C(3,4). El punto C est´a situado a la misma distancia
de cada una de las part´ıculas, aplicando el teorema de Pit´agoras: d = 5 m. Los m´odulos
de los campos creados por cada una de las part´ıculas son:
g1 = G
m1
r2
1
= G
2
52
= G
2
25
g2 = G
m2
r2
2
= G
4
52
= G
4
25
Teniendo en cuenta la figura para determinar las relaciones trigonom´etricas de los
respectivos ´angulos y aplicando el principio de superposici´on, se tiene:
g1x = g1 · sin ϕ1 · (−i) = −G
2
25
3
5
i = −G
6
125
i
g2x = g2 · sin ϕ2 · i = G
4
25
3
5
i = G
12
125
i
gx = G
6
125
i
3
4. m = 4 kg2
B(6, 0)
g2x
m = 2 kg1
g2
g2y
g1
g1x
ur 1
ur 2
ϕ1 ϕ2
g1y
Y
X
A(3, 0)
C(3, 4)
O
g1y = g1 · cos ϕ1 · (−j) = −G
2
25
4
5
j = −G
8
125
j
g2y = g2 · cos ϕ2 · (−j) = −G
4
25
4
5
j = −G
16
125
j
gy = −G
24
125
j
Sustituyendo:
gC = gx + gy = (3,20 · 10−12
i − 12,8 · 10−12
j) N/kg
|gC| = g2
x + g2
y = (3,20 · 10−12)2 + (12,8 · 10−12)2 = 1,32 · 10−11
N/kg
c) La fuerza que act´ua sobre la part´ıcula colocada en el punto C es:
F = m · gC = 3 · (3,20 · 10−12
i − 12,8 · 10−12
j) = 9,6 · 10−12
i − 38,4 · 10−12
j N/kg
|F| = m · |gC| = 3 · 1,32 · 10−11
= 3,96 · 10−11
N
Ejercicio 4
Demuestra la validez de la expresi´on m · g · h para la variaci´on de energ´ıa potencial
gravitatoria en puntos pr´oximos a la superficie terrestre.
Soluci´on 4
La variaci´on de la energ´ıa potencial al trasladar un objeto de masa m desde la superficie
de la Tierra hasta un punto situado a una altura h, con h << RTierra, es:
∆Ep = Ep,h − Ep,T = −
G · MT · m
RT + h
− −
G · MT · m
RT
= G · MT · m
1
RT
−
1
RT + h
4
5. Operando, y como g0 = G·MT
R2
T
, se tiene:
∆Ep = g0 · m · R2
T
h
RT (RT + h)
Si la distancia h es mucho menor que el radio de la Tierra, entonces se puede realizar la
aproximaci´on RT · (RT + h) ≈ R2
T y por tanto: ∆Ep = m · g · h
Ejercicio 5
Dos part´ıculas de masas m1 = 4 kg y m2 = 0,5 kg que est´an situadas a una distancia
de 20 cm se separan hasta una distancia de 40 cm. calcula la energ´ıa potencial asociada
a las dos posiciones relativas y el trabajo realizado durante el proceso.
Soluci´on 5
a) La energ´ıa potencial asociada a las dos posiciones relativas es:
Ep,inicial = −
G · M · m
rinicial
= −6,67 · 10−11 4 · 0,5
0,2
= −6,67 · 10−10
J
Ep,final = −
G · M · m
rfinal
= −6,67 · 10−11 4 · 0,5
0,4
= −3,335 · 10−10
J
b) Aplicando la ley de la energ´ıa potencial, el trabajo realizado por la fuerza gravita-
toria es:
WFg = −∆Ep = −(Ep,final−Ep,inicial) = −(−3,35·10−10
−(−6,67·10−10
)) = −3,335·10−10
J
El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria tiene el signo negativo, como corresponde a
una transformaci´on no espont´anea, aumentando la energ´ıa potencial de la distribuci´on.
Ejercicio 6
La gr´afica adjunta representa la energ´ıa potencial gravitatoria asociada a la posici´on
de una masa de 1 kg en puntos pr´oximos a la superficie de un planeta de 5000 km de
radio. Determina la intensidad del campo gravitatorio en su superficie.
Soluci´on 6
Si se elige como origen del sistema de referencia la superficie del planeta, entonces para
puntos pr´oximos a dicha superficie la energ´ıa potencial gravitatoria asociada a la posici´on
de un objeto de masa m es Ep = m · g · h
El valor de la pendiente de la representaci´on gr´afica es igual al producto m · g. Por
tanto:
pendiente =
100 J
25 m
= 4 N = m · g = 1 · g
Despejando:
g = 4 N/kg
5
6. E (J)p
5 10 15 20 25 h(m)
20
40
60
80
100
Ejercicio 7
Una part´ıcula de masa m1 = 2 kg est´a situada en el origen de un sistema de referencia
y otra part´ıcula de masa m2 = 4 kg est´a colocada en el punto A(6,0). Calcula el potencial
gravitatorio en los puntos de coordenadas B(3,0) y C(3,4). ¿Qu´e trabajo se realiza al
transportar una masa de 5 kg desde el punto B hasta el punto C?
Soluci´on 7
aplicando el teorema de Pit´agoras, el punto C est´a situado a 5 m de cada una de las
dos masas.
a) El potencial gravitatorio en un punto es igual a la suma de los potenciales creados
por cada una de las masas.
VB = V1 + V2 = −
G · m1
r1
−
G · m2
r2
= −G
2
3
+
4
5
= −1,334 · 10−10
J/kg
VC = V1 + V2 = −
G · m1
r1
−
G · m2
r2
= −G
2
5
+
4
5
= −8,004 · 10−11
J/kg
b) Aplicando la relaci´on entre el trabajo de la fuerza conservativa y la energ´ıa potencial:
WB→C = −∆Ep = −m · ∆U = −m · (VC − VB) =
= −5 · (−8,004 · 10−11
− (−1,334 · 10−10
)) = −2,668 · 10−10
J
El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria tiene el signo negativo por lo que el proceso
no es espont´aneo, ya que el sistema evoluciona hacia una situaci´on de mayor energ´ıa
potencial.
Ejercicio 8
Considerando a la Tierra y a la Luna aisladas de toda influencia exterior se desea
saber el potencial gravitatorio en el punto en el que se anula el campo gravitatorio. La
masa de la Tierra es igual a 5,98·1024
kg y equivale a 81 veces la de la Luna y la distancia
desde la Tierra hasta la Luna es de 384000 km.
6
7. Soluci´on 8
Sea d la distancia Tierra-Luna y P el punto pedido, que supongamos est´a a una
distancia x del centro de la Tierra. En ese punto los m´odulos de los campos gravitatorios
creados por cada astro son iguales, gT = gL.
G · MT
x2
=
G · ML
(d − x)2
G · 81 · ML
x2
=
G · ML
(d − x)2
⇒
92
x2
=
1
(d − x)2
Por tanto:
9 · (d − x) = x
;
9 d = 10 x ⇒ x =
9
10
· 384 · 106
m = 3,456 · 108
m
El potencial gravitatorio en ese punto es el debido a la Tierra y a la Luna:
VP = VT + VL = −
G · MT
x
−
G · ML
d − x
= −
G · MT
9/10 d
−
G · MT /81
d − 9/10 d
Operando:
VP = −
G · 10 · MT
9 d
−
G · 10 · MT
81 d
= −
100
81
G · MT
d
Sustituyendo:
VP = −
100
81
6,67 · 10−11 5,98 · 1024
3,84 · 108
= −1,3 · 106
J/kg
Ejercicio 9
Un meteorito de 1000 kg de masa se encuentra en reposo a una distancia sobre la
superficie de la Tierra de cinco veces el radio terrestre. ¿Cu´al es el valor de la energ´ıa
mec´anica asociada al meteorito en esa posici´on? Justifica el signo obtenido. Prescindiendo
de la fricci´on con el aire, calcula la velocidad con la que impactar´a contra la superficie de
la Tierra. ¿Depender´a esa velocidad de la trayectoria que siga el meteorito?
Dato: RT = 6370 km.
Soluci´on 9
a) El meteorito est´a situado a una distancia 6 RT del centro de la Tierra y en re-
poso, por lo que la energ´ıa mec´anica asociada a su posici´on es exclusivamente potencial
gravitatoria.
Emec´anica = Epotencial = −
G · MT · mm
6 · RT
Multiplicando y dividiendo por RT , como
g0 =
G · MT
R2
T
7
8. y sustituyendo, resulta que:
Emec´anica = −
g0 · RT · mm
6
= −
9,8 · 6,37 · 106
· 1000
6
= −1,04 · 1010
J
El signo negativo significa que el meteorito est´a ligado al campo gravitatorio terrestre.
b) Al prescindir de la fricci´on con el aire, la ´unica fuerza que act´ua sobre el meteorito
es la que aplica el campo gravitatorio terrestre, por lo que la energ´ıa mec´anica asociada
a la posici´on del meteorito se conserva durante su ca´ıda.
∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ Ec,inicial + Ep,inicial = Ec,superficie + Ep,superficie
La energ´ıa potencial gravitatoria asociada a la posici´on inicial del meteorito se transforma
en energ´ıa potencial gravitatoria y energ´ıa cin´etica en la superficie de la Tierra.
0 −
G · MT · mm
6 RT
=
1
2
mm v2
superficie −
G · MT · mm
RT
Simplificando, multiplicando y dividiendo por RT y como
g0 =
G · MT
R2
T
se tiene:
1
2
v2
= −
1
6
g0 · RT + g0 · RT =
5
6
g0 · RT ⇒ v =
5
3
g0 · RT
Sustituyendo:
v =
5
3
9,8 · 6,37 · 106 = 10200 = 10,2 km/s
El campo gravitatorio es conservativo, por lo que el trabajo que realizan las fuerzas del
campo para modificar la posici´on del meteorito es independiente de la trayectoria seguida.
Por tanto, la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra es independiente de la
trayectoria que recorra.
Ejercicio 10
Se lanza verticalmente, desde la superficie de la Tierra, un objeto con una velocidad
inicial de 5 km/s. ¿Hasta qu´e altura subir´a, si se prescinde del rozamiento con el aire?
Dato: RT = 6370 km.
Soluci´on 10
Si se prescinde del rozamiento con el aire, la ´unica fuerza que act´ua sobre el objeto es
la atracci´on gravitatoria, por lo que la energ´ıa mec´anica se conserva.
∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ Ec,superficie + Ep,superficie = Ec,final + Ep,final
La energ´ıa cin´etica y potencial en la superficie de la Tierra se transforman en energ´ıa
potencial gravitatoria asociada a su posici´on final.
1
2
· ms · v2
superficie −
G · MT · ms
RT
= 0 −
G · MT · ms
RT + h
8
9. Operando:
v2
superficie · RT − 2 · G · MT
2 RT
= −
G · MT
RT + h
⇒
RT + h
G · MT
=
2 · RT
2 · G · MT − v2
superficie · RT
Despejando:
h =
2 · G · MT · RT
2 · G · MT − v2
superficie · RT
− RT =
v2
superficie · R2
T
2 · G · MT − v2
superficie · RT
Como
g0 =
G · MT
R2
T
se tiene que:
h =
v2
superficie
2 · g0 −
v2
superficie
RT
=
v2
superficie · RT
2 · g0 · RT − v2
superficie
Sustituyendo:
h =
(5000)2
· 6,37 · 106
2 · 9,8 · 6,37 · 106 − (5000)2
= 1,59 · 106
m
Ejercicio 11
El radio de la Tierra es de 6400 km y el valor de la aceleraci´on de la gravedad en su
superficie es de 9,8 m/s2
; la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra y su radio
1/4 veces el radio terrestre. Con estos datos, determina la velocidad de escape desde
la superficie de la Luna. Con el resultado obtenido, ¿se podr´ıa explicar la ausencia de
atm´osfera en la Luna?
Soluci´on 11
Una part´ıcula se desliga de la Luna cuando su energ´ıa mec´anica es igual a cero.
1
2
· m · v2
escape −
G · ML · m
RL
= 0 ⇒ vescape =
2 · G · ML
RL
Sustituyendo:
vescape =
2 · G · MT /81
RT /4
=
2
9
2 · G · MT
RT
=
2
9
vescapeTierra
Operando, y como
g0 =
G · MT
R2
T
se tiene:
vescape =
2
9
2 · g0 · RT
Sustituyendo:
vescape =
2
9
2 · 9,8 · 6,4 · 106 = 2,5 · 103
m/s
Este valor es menor que el de la velocidad media de agitaci´on de las part´ıculas gaseosas,
por lo que la Luna no es capaz de retener una atm´osfera.
9
10. Ejercicio 12
En la Tierra un saltador de altura alcanza los 2 m con un brinco que le comunica una
velocidad inicial adecuada. Calcula el radio m´aximo que debe tener un asteroide esf´erico
(de densidad igual a la terrestre), para que el saltador, al dar en el asteroide el mismo
brinco que en la Tierra, salga despedido de ´este escapando de su acci´on gravitatoria.
Dato: radio medio de la Tierra, R = 6,37 · 106
m
Soluci´on 12
La velocidad con que salta el atleta en la superficie de la Tierra es:
v = 2 · g0 · h = 2 · g0 · 2 = 2
√
g0
Para que el atleta se desligue del asteroide su energ´ıa mec´anica tiene que ser como m´ınimo
igual a cero.
Sea m la masa del atleta, MA la del asteroide y RA su radio.
Ec + Ep =
1
2
· m · v2
−
G · m · MA
RA
= 0
Simplificando y sustituyendo:
1
2
(2
√
g0)2
= G
MA
RA
⇒ 2 · g0 = G
MA
RA
Las densidades de los astros son iguales, entonces:
MT
R3
T
=
MA
R3
A
⇒
MA
RA
=
MT
R3
T
R2
A
Como
g0 =
G · MT
R2
T
se tiene que:
2 · g0 = G
MA
RA
⇒ 2 · G
MT
R2
T
= G
MT
R3
T
R2
A ⇒ R2
A = 2 RT
Por tanto, el radio del asteroide es:
RA = 2 RT = 3569 m
Ejercicio 13
Un veh´ıculo explorador recorre una ´orbita de radio r alrededor de un planeta. ¿Qu´e ocu-
rre si accidentalmente se encienden los motores de forma que la velocidad lineal del veh´ıcu-
lo se multiplica por
√
2?
10
11. Soluci´on 13
La velocidad de un objeto en ´orbita alrededor de un planeta es:
v´orbita =
G · Mplaneta
r
Al encenderse los motores la velocidad del veh´ıculo pasa a ser:
v =
√
2 · v´orbita =
2 · G · Mplaneta
r
La energ´ıa mec´anica del veh´ıculo espacial es igual a la suma de su energ´ıa cin´etica y
potencial gravitatoria.
E = Ec + Ep =
1
2
m · v2
−
G · Mplaneta · m
r
Sustituyendo la velocidad por su nuevo valor, se tiene:
E =
1
2
m ·
2 · G · Mplaneta
r
−
G · Mplaneta · m
r
= 0
Por lo que el veh´ıculo espacial deja de orbitar al planeta quedando desligado de ´el.
Para cualquier objeto puesto en ´orbita alrededor de un astro cuya velocidad lineal se
multiplique por
√
2, su eneg´ıa mec´anica es igual a cero y se desliga del astro.
Ejercicio 14
Un sat´elite de 250 kg de masa, est´a en ´orbita circular en torno a la Tierra a una altura
de 500 km sobre su superficie. Calcula su velocidad y su periodo de revoluci´on. ¿Cu´al es
la energ´ıa involucrada en el proceso de poner al sat´elite en ´orbita con esa velocidad?
Datos: Radio de la Tierra = 6380 km y g0 = 9,8 m/s2
Soluci´on 14
a) Aplicando al sat´elite la segunda ley de Newton y como la ´unica fuerza que act´ua
sobre ´el es la interacci´on gravitatoria, se tiene:
F = m · aN
G
MT · ms
r2
= ms
v2
r
Despejando y como
g0 =
G · MT
R2
T
se tiene que la velocidad orbital es:
v =
G · MT
r
=
g0 · R2
T
r
=
9,8 · (6,38 · 106)2
6,38 · 106 + 500 · 103
= 7,6 · 103
m/s
11
12. El periodo de revoluci´on es
T =
2 π r
v
=
2 π (6,38 · 106
+ 500 · 103
)
7,6 · 103
= 5687,9 s ≈ 1,6 h
b) Aplicando la ley de la conservaci´on de la energ´ıa entre la superficie de la Tierra y
la ´orbita del sat´elite, se tiene que el trabajo realizado es igual a la variaci´on de la energ´ıa
mec´anica del sat´elite.
Wrealizado = ∆Ec + ∆Ep = Emec´anica final − Emec´anica inicial = E´orbita − Esuperficie
La energ´ıa asociada al sat´elite en ´orbita es:
E´orbita = Ep,´orbita + Ec,´orbita = −
G · MT · ms
r
+
1
2
ms · v2
orbital
Sustituyendo la velocidad orbital por su valor:
v2
orbital =
G · MT
r
E´orbita = −
G · MT · ms
r
+
1
2
ms ·
G · MT
r
= −
1
2
G · MT · ms
r
Operando y sustituyendo:
E´orbita = −
1
2
· g0 · R2
T
ms
r
= −
1
2
9,8 · (6,38 · 106
)2 250
6,38 · 106 + 500 · 103
= −7,25 · 109
J
Si se considera que el sat´elite se lanza siguiendo la vertical, sin aprovechar el movi-
miento de rotaci´on de la Tierra, la velocidad inicial en la superficie de la Tierra es igual
a cero y la energ´ıa asociada a la posici´on del sat´elite sobre la superficie de la Tierra es
solamente potencial:
Esuperficie = Ep,superficie = −
G · MT · ms
RT
= −g0 · RT · ms
Sustituyendo:
Esuperficie = −9,8 · 6,38 · 106
· 250 = −1,56 · 1010
J
Por tanto, la energ´ıa necesaria para poner el sat´elite en ´orbita es:
Wrealizado = ∆E = E´orbita − Esuperficie = −7,25 · 109
− (−1,56 · 1010
) = 8,35 · 109
J
Ejercicio 15
Determina la energ´ıa necesaria para colocar en una ´orbita de radio r = 3 · RT a
un sat´elite artificial de 65 kg de masa, lanz´andolo desde un punto del ecuador terrestre y
teniendo en cuenta el movimiento de rotaci´on de la Tierra. ¿Cu´al es el periodo del sat´elite?
Dato: RT = 6380 km y g0 = 9,8 m/s2
12
13. Soluci´on 15
Debido al movimiento de rotaci´on de la Tierra, los puntos situados sobre el ecuador
tienen velocidad m´axima. Al lanzar los sat´elites artificiales desde puntos pr´oximos al
ecuador y hacia el este, se aprovecha la energ´ıa cin´etica debida a la rotaci´on de la Tierra.
La velocidad del sat´elite es la misma que la del punto de lanzamiento, por lo que la
energ´ıa mec´anica asociada al sat´elite cuando est´a situado sobre la superficie de la Tierra
es:
Esuperficie = Ec + Ep =
1
2
ms · v2
T −
G · MT · ms
RT
Como:
g0 =
G · MT
R2
T
⇒ Esuperficie =
1
2
ms · v2
T − g0 · ms · RT
La velocidad del sat´elite en su ´orbita se determina aplicando la segunda ley de Newton:
F = ms · an
G · MT · ms
r2
= ms
v2
´orbita
r
⇒ v2
´orbita =
G · MT
r
La energ´ıa mec´anica asociada al sat´elite en su ´orbita es:
E´orbita =
1
2
ms · v2
´orbita −
G · MT · ms
r
=
1
2
ms ·
G · MT
r
−
G · MT · ms
r
= −
1
2
G · MT · ms
r
Como r = 3 RT , se tiene:
E´orbita = −
1
2
G · MT · ms
3 RT
= −
1
6
g0 · ms · RT
Aplicando la ley de la conservaci´on de la energ´ıa, el trabajo realizado es igual a la variaci´on
de la energ´ıa mec´anica del sat´elite.
Wponer en ´orbita = E´orbita − Esuperficie = −
1
6
g0 · ms · RT −
1
2
ms · v2
T − g0 · ms · RT
Operando:
Wponer en ´orbita =
5
6
g0 · ms · RT −
1
2
ms · v2
T
La velocidad de un punto del ecuador es:
vT =
2 π RT
T
=
2 π 6,38 · 106
24 · 3600
= 464 m/s
Sustituyendo:
Wponer en ´orbita =
5
6
· 9,8 · 65 · 6,38 · 106
−
1
2
· 65 · (464)2
= 3,38 · 109
J
b) Aplicando las relaciones entre el periodo y la velocidad, se tiene:
v´orbita =
G · MT
r
⇒ T =
2 π r
v
=
2 π r
G·MT
r
= 2 π
r3
G · MT
Como r = 3 RT , se tiene:
T = 2 π
27 R3
T
G · MT
= 6 π
3 RT
g0
= 26342,6 s ≈ 7,3 h
13
14. Ejercicio 16
Un sat´elite artificial de comunicaciones, de 500 kg de masa, describe una ´orbita circular
de 9000 km de radio en torno a la Tierra. En un momento dado, se decide variar el radio de
su ´orbita, para lo cual enciende uno de los cohetes propulsores del sat´elite, comunic´andole
un impulso tangente a su trayectoria antigua. Si el radio de la nueva ´orbita descrita por el
sat´elite, en torno a la Tierra, es de 13000 km, calcula la velocidad del sat´elite en la nueva
´orbita y la energ´ıa involucrada en el proceso.
Datos: Radio de la Tierra = 6380 km y g0 = 9,8 m/s2
Soluci´on 16
a) Aplicando al sat´elite la segunda ley de Newton y como la ´unica fuerza que act´ua
sobre ´el es la interacci´on gravitatoria, se tiene:
F = m · an
G
MT · ms
r2
= ms
v2
r
Despejando, como
g0 =
G · MT
R2
T
y sustituyendo, se tiene que:
vfinal =
G · MT
rfinal
= g0
R2
T
rfinal
= 9,8
(6,38 · 106)2
13 · 106
= 5,5 · 103
m/s
b) El trabajo realizado por un agente externo para modificar la ´orbita del sat´elite es
igual a la variaci´on de su energ´ıa mec´anica.
Wrealizado = ∆Ec + ∆Ep = Emec´anica,final − Emec´anica,inicial
La energ´ıa asociada al sat´elite en ´orbita es igual a la denominada energ´ıa de enlace:
E´orbita = Epotencial + Ecin´etica = −
G · MT · ms
r
+
1
2
ms · v2
orbital
Sustituyendo la velocidad orbital por su valor:
v2
orbital =
G · MT
r
E´orbita = −
G · MT · ms
r
+
1
2
ms ·
G · MT
r
= −
1
2
G · MT · ms
r
Operando y como
g0 =
G · MT
R2
T
se tiene que:
E´orbita = −
1
2
· g0 · R2
T
ms
r
14
15. La energ´ıa involucrada en el proceso es la diferencia de las energ´ıas mec´anicas de las
dos ´orbitas:
Wrealizado = ∆E = E´orbita final − E´orbita inicial = −
1
2
· g0 · R2
T
ms
rfinal
+
1
2
· g0 · R2
T
ms
rinicial
Operando:
∆E =
1
2
· g0 · R2
T · ms ·
1
rinicial
−
1
rfinal
=
1
2
· g0 · R2
T · ms ·
rfinal − rinicial
rinicial · rfinal
Sustituyendo:
∆E =
1
2
· 9,8 · (6,38 · 106
)2
· 500 ·
13 · 106
− 9 · 106
9 · 106 · 13 · 106
= 3,4 · 109
J
Que l´ogicamente es una cantidad positiva.
15