La ecuación de Cauchy-Euler es una ecuación diferencial de segundo orden donde los coeficientes son constantes. El documento explica que se examinarán las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden y que luego se podrá resolver la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. También resume los métodos de solución para cuando las raíces son distintas o repetidas.

1. Ecuación
de
CAUCHY-
EULER

2. Ecuación de CAUCHY-EULER
Toda ecuacion diferencial de forma:
Donde los coeficientes an, an-1, …, a0 son son
constentes , tiene lso nombres de ecuacion de Cauchy-
Euler.

3. Comenzaremos el desarrollo examinando
detarlladamente las formas de soluciones generales de la
ecuacion homogenea de segundo orden.
La solucion de ecuaciones de orden superior sera
analoga. Una vez determinada la funcion complementaria
yc(x) tambien podemos resolver la ecuacion no
homogenea ax^2y’’ + bxy’ + cy = g(x) con el metodo de
variacion de parametros.

4. Metodo de solucion
Intentaremos una solucion de la forma ,
donde m esta por determinar. La primera y la segunda
derivadas son, respectivamente.

5.  En consecuencia:

6. Metodo de solucion: Caso 1
RAICES DISTINTAS
Sean m1y m2 las raices reales de una ecuacion,
tales que .
Entonces forman un conjunto
fundamental de soluciones. Asi pues, la solucion general
es:

7. Metodo de solucion: Caso 2
RAICES REALES REPETIDAS
Si las raices de la ecuacion son m1=m2 solo
llegaremos a una solucion que es y=x^m1. Cuando las
raices de la ecuacion cuadratica am^2 + (b-a)m +c = 0 son
iguales, el discriminante de los coeficientes tiene que ser
cero. De acuerdo con la formula cuadatica, la raiz debe
ser m1 = - (b-a)/2ª.
Escribimos la ecuacion Cauchy-Euler en la forma

8.  E identificamos
 Entonces la solucion general es: