El documento presenta varias fórmulas y métodos para calcular integrales indefinidas. Explica que la integral es la función antiderivada, es decir, la función cuya derivada es la función dada. Luego, detalla algunos métodos como la integración por sustitución, por partes y de fracciones racionales, así como ejemplos resueltos de su aplicación.

1. Brenda L. Rodriguez Ortiz
CÁLCULO INTEGRAL

2. Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de
áreas a través del teorema fundamental del cálculo.
El Concepto operativo de integral se basa en una operación
contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de:
antiderivada.
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso
de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función
que, al ser derivada produce la función dada.
A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se
deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos.
Estos son:
 Concepto.
 Propiedades.
 Reglas de integración.
 Integrales inmediatas.
 Métodos clásicos de integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales mediante fracciones
simples.
 Uso de tablas.

4. EJEMPLOS
Fórmula 1
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
Resueltos
1° ∫ 9𝑑𝑥 = 9x+C
2° ∫ 142
𝑑𝑥 = 225𝑥 + 𝐶

5. 1° ∫ 𝑥5
𝑑𝑥 =
𝑥5
5+1
=
𝑥6
6
+ C
12° ∫ 33
𝑑𝑥 = 27𝑥 + 𝐶
5° ∫ 82
𝑑𝑥 = 64x + C

6. Fórmula 2
∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶
Resueltos
1° ∫ 𝑥5
𝑑𝑥 =
𝑥5
5+1
=
𝑥6
6
+ C
3° ∫(
3
√ 𝑥
−
𝑥√ 𝑥
4
)𝑑𝑥 = ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥 𝑥1/2
4
)𝑑𝑥

7. = ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
4
)𝑑𝑥
= ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
1
4
1
)𝑑𝑥
=∫
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
4
− ∫
𝑥
3
2
4
𝑑𝑥
= 3x ∫
1
𝑥1/2 −
1
4
𝑥 ∫
𝑥
3
2
4
𝑑𝑥
= 6√ 𝑥 −
1
4
2𝑥√ 𝑥
5
= 6√ 𝑥 −
2𝑥√ 𝑥
10
+ C
4° ∫
𝑥2 𝑑𝑥
√ 𝑥
= ∫
𝑥2
𝑥
1
2
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥2−
1
2
= ∫
𝑥
3
2
+1
3
2
+1
= ∫
𝑥
5
2
5
2
= ∫
2𝑥
5
2
5
= ∫
2√ 𝑥5
5
= ∫
2𝑥2
√ 𝑥
5
+ 𝐶

8. 6° ∫
𝑑𝑥
√ 𝑥
4 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
1
4
=∫
−1
(
1
4
−1 )𝑥
1
4
−1
= ∫
−1
−3
4
𝑥
−3
4
= ∫
4𝑥
3
4
3
= 4
√𝑥34
3
+ 𝐶
7° ∫
2𝑑𝑡
𝑡2 = 2 ∫
1
𝑡2 𝑑𝑡
= 2 ∫ 𝑡−2
𝑑𝑡
= 2 ∫
𝑡−1
−1
𝑑𝑡
= 2 ∫
1
𝑡
𝑑𝑡
=
2
𝑡
+ 𝐶

9. Fórmula 3
∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤 = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤
Resueltos
2° ∫(𝑥 + √ 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 + 𝑥
1
2
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥
= ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
2
=
𝑥2
2
∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥

10. =
𝑥2
2
+
2𝑥 √ 𝑥
3
+ 𝐶
5° ∫ (
1
𝑥2 +
4
𝑥√ 𝑥
+ 2) 𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑥2 +
4
𝑥𝑥
1
2
+ 2) 𝑑𝑥
= ∫
1
𝑥2 +
4
𝑥
1+
1
2
+ 2𝑑𝑥
= ∫
1
𝑥2 +
4
𝑥
3
2
+ 2𝑑𝑥
= ∫
1
𝑥
1
2
𝑑𝑥 + ∫
4
𝑥
3
2
𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥
= -
1
𝑥
+ ∫
4
𝑥
3
2
𝑑𝑥 + 2𝑑𝑥
= -
1
𝑥
− 4 (
2
√ 𝑥
) + ∫ 2𝑑𝑥
= -
1
𝑥
−
8
√ 𝑥
+ 2𝑥 + 𝐶
3° ∫(
3
√ 𝑥
−
𝑥√ 𝑥
4
)𝑑𝑥 = ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥 𝑥1/2
4
)𝑑𝑥
= ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
4
)𝑑𝑥
= ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
1
4
1
)𝑑𝑥
=∫
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
4
− ∫
𝑥
3
2
4
𝑑𝑥

11. = 3x ∫
1
𝑥1/2 −
1
4
𝑥 ∫
𝑥
3
2
4
𝑑𝑥
= 6√ 𝑥 −
1
4
2𝑥√ 𝑥
5
= 6√ 𝑥 −
2𝑥√ 𝑥
10
+ C
7° ∫(𝑥2
+
1
√ 𝑥
3 )2
𝑑𝑥 = ∫(𝑥2
+
1
𝑥
1
3
)2
𝑑𝑥
= (𝑥2
) + 2𝑥2 1
𝑥
1
3
+ (
1
𝑥
1
3
)2
= 𝑥4
+
2𝑥2
𝑥
1
3
+ (
1
𝑥
2
3
)2
= ∫ 𝑥4
+
2𝑥2
𝑥
1
3
+
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥4
+ 𝑥2−
1
3 +
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥4
+ 𝑥2−
5
3 +
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥4
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2−
5
3 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
= ∫
𝑥5
5
+
3𝑥2√𝑥2
4
+ 3√ 𝑥
3
+ 𝐶

12. 1° ∫(4𝑥3
− 3𝑥2
+ 6𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3
𝑑𝑥 − ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥 − ∫ 1𝑑𝑥
= 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶
Fórmula 4
∫(𝑎𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑣
27° ∫
𝑥 𝑑𝑥
√2𝑥2+3
= ∫
1
√2𝑥2+3
√2𝑥2+3
2
𝑑𝑡
𝑡 = √2𝑥2 + 3 + 𝐶 = ∫
1
2
𝑑𝑡
=
1
2
√2𝑥2 + 3 + 𝐶

13. 4° ∫ 18𝑥9
𝑑𝑥 = 18∫ 𝑥9
𝑑𝑥
= 18 (
𝑥9+1
9+1
) 𝑑𝑥
=
18
10
𝑥10
12° ∫ 45𝑥8
𝑑𝑥 = 45 ∫ 𝑥8
𝑑𝑥
= 45 (
𝑥8+1
8+1
) 𝑑𝑥
= 45(
𝑥9
9
)
= 5𝑥9

14. Fórmula 5
∫ 𝑣 𝑛
𝑑𝑣 =
𝑣 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐
Resueltos
1° ∫ √3 + 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(3 + 2𝑥)
1
2 𝑑𝑥
v = 3+2x =
1
2
∫ 83 + 2𝑥92
2𝑑𝑥
n =
1
2
=
1
2
(3+2𝑥)
3
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 2 =
1
2
(3+2𝑥)
1
3
2

15. dv = 2 dx =
1
2
2 (3+2𝑥)
3
2
3
=
2 (3+2𝑥)
3
2
6
=
2 (3+2𝑥)√3+2𝑥
6
=
2 (3+2𝑥)√3+2𝑥
3
+ 𝐶
2° ∫
𝑑𝑥
(3+2𝑥)2 =
1
2
∫(3 + 2𝑥)−2
2𝑑𝑥
v = 3+2x =
1
2
(3+2𝑥)−1
−1
+ 𝐶
n = -2 =
1
2
1
3+2𝑥
+ 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 2 = −
1
6+4𝑥
+ 𝐶
dv = 2dx
c28° ∫
𝑥2 𝑑𝑥
√𝑥3+1
= ∫
1
√𝑥3+1
2√2𝑥3+3
3
𝑑𝑡
t= √𝑥3 + 1 = ∫
3
2
𝑑𝑡
= ∫
2
3
√𝑥2 + 1
=
2
3
√𝑥3 + 1 + 𝐶

16. 29° ∫(4𝑥3
+4)2
𝑑𝑥 =
1
12
∫(4𝑥3
+4)2
12𝑥2
𝑑𝑥
d = 4𝑥3
+ 4 =
1
12
(4𝑥3+4)2+1
2+1
+ 𝐶
dv = 12𝑥2
=
1
12
(4𝑥3+4)3
3
+ 𝐶
=
1
12
(4𝑥3+4)3
36
+ 𝐶
Fórmula 6
∫
𝑑𝑣
𝑣
= 𝐼𝑛 𝑣 + 𝐶 = 𝐼𝑛 + 𝐼𝑛𝐶 = 𝐼𝑛𝐶𝑣
Resueltos

17. 14° ∫
𝑑𝑥
3𝑥−7
=
1
3
∫
1
3𝑥−7
𝑑𝑥
t = 3x-7 =∫
1
3(3𝑥−7)
𝑑𝑡
t =1 = ∫
1
3𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
∫
1
𝑡
𝑑𝑡
=
1
3
𝐼𝑛(| 𝑡|)
=
1
3
𝐼𝑛(|3𝑥 − 7|) + 𝐶
15° ∫
𝑑𝑥
1−𝑥
= ∫
1
1−𝑥
(−1) 𝑑𝑡
t = 1-x = ∫
−1
1−𝑥
𝑑𝑡
t = -1 = ∫
−1
𝑡
𝑑𝑡
= - ∫
1
1−𝑥
𝑑𝑡
= -In ( | t | )
= -In ( | 1-x | ) + C
16° ∫
𝑑𝑥
5−2𝑥
= ∫
1
5−2𝑥
(
1
2
) 𝑑𝑡
t = 5-2x =∫ −
1
2(5−2𝑥)
𝑑𝑡
t = -2 = ∫ −
1
2𝑡
𝑑𝑡

18. = −
1
2
∫
1
𝑡
𝑑𝑡
= −
1
2
𝐼𝑛 (| 𝑡|)
= −
1
2
𝐼𝑛 (|5 − 2𝑥|) + 𝐶
46° ∫
𝑥𝑑𝑥
𝑥2+1
= ∫
1
2𝑡
𝑑𝑡
t= 𝑥2
+ 1 =
1
2
∫
1
𝑡
𝑑𝑡
t= 2x =
1
2
𝐼𝑛 (| 𝑡|)
∫
1
2(𝑥2+1)
𝑑𝑡 =
1
2
𝐼𝑛 (| 𝑥2
+ 1|)
=
1
2
𝐼𝑛 (| 𝑥2
+ 1|) + 𝐶
47° ∫
𝑥𝑑𝑥
𝑥2+1
= ∫
𝑥+1
𝑥2+2𝑥+3
2
2𝑥+2
𝑑𝑡
t= 𝑥2
+ 2𝑥 + 3 = ∫
1
2(𝑥2+2𝑥+3)
𝑑𝑡
t= 2x+2 = ∫
1
2𝑡
𝑑𝑡
=
1
2
∫
1
𝑡
𝑑𝑡
=
1
2
𝐼𝑛 (| 𝑡|)
=
1
2
𝐼𝑛 (| 𝑥2
+ 2𝑥 + 3 |)+ C