1. Se describen diferentes tipos de funciones de primer, segundo y tercer grado, así como funciones constantes, valor absoluto, exponenciales, logarítmicas, raíz cuadrada y funciones definidas a trozos. 2. Se explican conceptos como funciones pares e impares, periódicas y racionales. También se diferencian funciones algebraicas de funciones trascendentes. 3. Se proveen ejemplos gráficos de diferentes funciones y se explican algunos de sus comportamientos y propiedades fundamentales.

1. GUIA DE FUNCIONES
1. FUNCION DE PRIMER GRADO: Función Afín
y f (x) f (x) y
· f(x) = ax + b
a>0
a<0 m negativa
m positiva
x x
y
2. FUNCION LINEAL Q PASA POR EL ORIGEN:
f (x) = ax
· Función de primer grado f (x) = ax + b, con b = 0:
f(x) = ax , con a ≠ 0
x
· La recta pasa por el origen.
3. FUNCION IDENTIDAD: y
· Función lineal f(x) = ax, con a =1:
f(x) = x f (x) = x
x
· La recta pasa por el origen.
· Existe una proporcionalidad directa entre x e y.
4. FUNCION VALOR ABSOLUTO: y
· Asigna a cada número real x, un número no-negativo:
f (x) = – x f(x) = x
x , si x ≥ 0
x
f(x) = │x│=
– x , si x < 0
y
5. FUNCION CONSTANTE: 3
· Función de grado cero.
· Su gráfico es una recta horizontal. x
f (x) = 3
a˃˃
6. FUNCION
a˂0
y f (x) = ax2 + bx + c
CUADRATICA: x
· Función de segundo
grado
f(x) = ax2 + bx + c
· Se grafica una curva x
llamada parábola. f (x) = ax2 + bx + c y
a˃0

2. 7. FUNCION RAIZ CUADRADA:
y
+
· Su dominio son los IR U {0}.
f(x) = ± x
(x ≥ 0) f (x) = + √x
x
f (x) = – √x
8. FUNCION EXPONENCIAL:
· Función del tipo f(x) = ax, con a perteneciente a IR+ y a ≠ 1.
· Existen dos casos: a > 1 y 0 < a < 1
· La curva es asintótica (se acerca sin tocar) al eje x (1º y 4º cuadrante)
PRIMER CASO: a > 1 SEGUNDO CASO: 0 < a < 1
· La función es creciente · La función es decreciente
y y
f (x) = ax
a>1 0<a<1 f (x) = ax
x x
9.
FUNCION LOGARITMICA:
· Inversa a la función exponencial.
· De tipo f(x) = log b (x) = x , con b perteneciente a IR+ y b ≠ 1.
· Existen dos casos: a > 1 y 0 < a < 1
· La curva es asintótica al eje y (1º y 2º cuadrante)
PRIMER CASO: a > 1
· La función es creciente
SEGUNDO CASO: 0 < a < 1
. La función es decreciente
10. FUNCIÓN CÚBICA:
f (x) = x3 y
x
3
F(x)=-x

3. 11.FUNCIÓN HIPERBÓLICA:
1
f(x)= x
x≠0
x=0 e y=0 asíntotas x
12 . función mayor entero
f: Z
y
donde n es un número entero tal que .
La expresión se lee: "mayor entero que no supera a x".
Asi, para
También,
La gráfica de la función se muestra en la fig. 6. y está constituida por una serie de
segmentos unitarios faltándole a cada uno su extremo derecho.
fig. 6.
13. Función definida a trozos
f :A
donde (dominio de f).
CASOS PARTICULARES
i. Función Valor Absoluto:

4. f:
La gráfica de la función valor absoluto, está formada por las rectas perpendiculares
y = x e y = -x. (Ver fig. 7) .
fig. 7
ii. Función Signo:
f: Z
Su gráfica se muestra en la fig. 8. y está constituida por el origen de coordenadas y dos
semirectas a las cuales les falta el punto inicial.
fig. 8
Note que el dominio es el conjunto , mientras que el rango es el conjunto {-1, 0, 1}.
14. función racional
f:
donde Pn(x) y Qm(x) son polinomios de grados n y m respectivamente.
Nótese que el Dominio de una función racional f viene dado por :
Df = {x / Qm(x) ≠ 0} = - {x / Qm(x) = 0}.
Es decir, el Dominio f lo constituye el conjunto de los números reales, excepto los valores

5. que anulan el denominador.
Para la gráfica de una función racional se precisa conocer otros conceptos (asíntotas, máx.,
mín., concavidad, puntos de inflexión) que mas adelante se discutirán.
14. funcionalgebraicas y trascendentes
Una función algebráica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un
número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones
algebráicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de
raices.
Un ejemplo de una función algebráica explícita es aquella para la cual la regla de
correspondencia viene dada por:
.
Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas,
exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:
15. funciones pares o impares
DEFINICIONES:
i. Una función f es PAR, si los números x y -x están en su dominio y además: f(-x) = f(+x).
ii. Una función f es IMPAR, si los números x y -x están en su dominio y además:
f(-x) = -f(x).
OBSERVACIONES
i. Es evidente desde el punto de vista geométrico que la gráfica de una función par es
simétrica con respecto al eje y. (Ver fig. 9.).
fig. 9.
También, es evidente que toda función racional que solo contiene potencias pares (x0, x2,
x4, ...) de la variable x es PAR.
Asi, la función es PAR.
ii. Igualmente, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. (Ver fig.
10).

6. fig. 10.
16 . funciones periodicas
Definición.
Una función es PERIODICA con período P ≠ 0, si su dominio contiene al número (x + P)
siempre que contenga a x y si además:
f(x + P) = f(x) para todo x D(f).
El mínimo número positivo P con esta propiedad se denomina: PERIODO PRIMITIVO DE f.
La definición anterior significa geométricamente, que para cualquier a D(f), la gráfica
entre a y (a + P) es exactamente igual a la gráfica entre (a + P) y (a + 2P) y asi
sucesivamente (fig. 11).
fig. 11.
Son ejemplos de funciones periódicas:
1. Las funciones trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante, tienen periodo
P = 2π , mientras que las funciones tangente y cotangente tienen periodo P = π .
En efecto,
Si f(x) = Sen x, entonces, f(x + 2π ) = Sen (x + 2π ) = Sen x = f(x).
Si g(x) = Cos x, entonces, g(x + 2π ) = Cos (x + 2π ) = Cos x = g(x).
Si h(x) = Tan x, entonces, h(x + π ) = Tan (x + π ) = Tan x = h(x).

7. En la fig. 12. aparecen las gráficas de las funciones trigonométricas en las cuales se
indica el período correspondiente.
fig. 12.
2. La función constante (sección 7.2.2.) f(x) = k es una función periódica, puesto que para
cualquier número P, f(x + P) = k = f(x).
Nótese , sin embargo, que esta función carece de periodo primitivo.
EJERCICIOS
− 2x + 3
1): Si f(x) =
−2
, entonces f(7) es igual a:

8. A) 4
17
B)
2
11
C) −
2
11
D)
2
17
E) −
2
2) En el gráfico de la figura, se muestran las
tarifas de un estacionamiento por horas. Un
automovilista estaciona durante 4 días: el
primer día 152 minutos, el segundo día 180
minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día
210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los
días que estacionó?
A) $ 1.900
B) $ 2.300
C) $ 2.400
D) $ 2.000
E) Ninguno de los valores anteriores.
3) ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1?
A) B) C)
D) E)
4) Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) = ?
A) 8
B) 4
C) 3
D) 2
E) Ninguna de las anteriores
5) Si f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) = ?
A) −1
B) −6
C) 15
D) 26
E) No se puede determinar

9. 6) ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la
figura?
A) y = x − 1
B) y = x − 1
C) y = x − 2
D) y = x − 1 − 1
E) y = x − 1 − 1
7) ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = x2 −4 en los números reales?
A) [2,+∞[
B) [− 2,+∞[
C) [0,+ [
∞
D) ]− ∞ − ] ∪ [2,+ [
, 2 ∞
E) [4,+ [
∞
8) ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la
función f(x), en la figura?
I) f(– 2) > f(4)
II) f(– 1) + f(3) = f(– 3)
III) f(– 6) – f(8) = 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
9) ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura?
A) y = (– x + 1)(x – 2)
B) y = (x + 1)(x – 2)
C) y = (– x + 1)(x + 2)
D) y = (– x – 1)(x – 2)
E) y = (x + 1)(– x – 2)
10) Sea f(x) una función tal que: f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) es
A) 1
B) 1 − a
C) 2 − a
D) 1 + a
E) 3 − 2a
11) Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(-2) = 5 ¿Cuál es el
valor de t?
A) -3
B) -2
C) 3
D) 2
3
E) 2
12) Del gráfico de la función real f(x) = −
1 x
, se puede afirmar que:
I) tiene su vértice en el punto (0,0)
II) sus ramas se abren hacia abajo
III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1
Es(son) verdadera(s):

10. A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
13) Si f(x) = 5x, entonces 5 • f(5x) es igual a
A) 125x
B) 25x
C) 125x2
D) 25x2
E) ninguna de las expresiones anteriores.
14) Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. El menor valor
que alcanza la función es
A) 5
B) 3
C) 2
D) 0
E) –1
15) Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) f(x) ≠ g(x), para todo número real x distinto de cero.
II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero.
III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
16) Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 9, entonces a =
A) 9
B) 4
C) 3
D) 2
E) 8
1−x
17) Sea f una función cuyo dominio es R –{-1} definida por f(x) =
x +1
, entonces f(-2)
A) 1
B) -1
C) 3
D) -3
1
E) - 3
18) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +1]

11. 19) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = -(x + 1)2 + 1?
20) Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es) de las afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El gráfico de la función intercepta en dos puntos al eje x
II) Su valor mínimo es -1
III) f(-3) > 0
A) Solo I
B) Solo II intersectar interceptar
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
21) El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. ¿Cuál de las
siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua y con el
número de semana x?
A) y = -12 + 0,5x
B) y = - 0,5 + 12x
C) y = 12 + 0,5x
D) y = 12 – 3,5x
E) y = 12 – 0,5x
22) De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)
verdadera(s)?
I) f(-1) + f(1) = f(0)
II) 3⋅f(-2) – f(0) = 2⋅f(2)
III) f(-2) – f(1) = f(2) -1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

12. 23) Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto de los números reales
t que satisfacen f(t) = 1?
A) {-2}
B) {-2,2}
C) {2}
D) {4}
E) No tiene solución en el conjunto de los números reales
24) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x2 – 5x + 6?
25) La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) =
A) 2x
B) x + x
C) x − x
D) x − x
E) 3 x − x
26) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor
al gráfico de la función f(x) = x2 – 1?
27) El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según
tramo de consumo:
Consumo en m3 Precio
0-9 $3.000
10 – 19 $ 8.000
20 o más $11.000
Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un
número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos
interpreta el sistema de cobros de la empresa?

13. 28) En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) La pendiente de la recta es igual a 5
II) El punto (1,15) pertenece a la recta
III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
29) Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa al gráfico de la
figura?
A) y = x2
B) y = x3
C) y = 4x4
D) y = 4x
E) y = 4x2
30) La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: A =π ⋅r 2 ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
1I. π
es variable.
2II. r es variable y A sólo toma valores positivos.
3III. A es función de r.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II

14. D) Sólo II y III
E) I, II y III
x −3 − x
31) Dada la función f(x) =
2 −x
, entonces f(-4)=
11
A)
6
1
B) −
2
1
C)
2
11
D) −
6
E) Otro valor
32) Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cada Km. recorrido.
Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es:
A) y = 150 + 300 ⋅ [ x ]
B) y = 150 ⋅ [ x ] + 300
C) y = 150 ⋅ [ x − 1] + 300
D) y = 150 + 300 ⋅ [ x − 1]
E) y = 150 + 300 ⋅ [ x + 1]
33) Dada la función , se puede afirmar que:
f( x) =( x −2)
I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2
II) f(3) = 1
III) El punto (5,3) pertenece a la función
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
34) Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f(3) = 8
y f(2) = 6?
1
A) 2
y5
1
B) - 1 y 2
C) 2 y 2
1 13
D) 2
y 2
E) 2 y 10
35) Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes:
Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horario
diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno.
Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en
cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas
en cualquier horario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con
respecto a las llamadas mensuales de los clientes?
I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario
nocturno, entonces le conviene el plan Q.

15. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario
nocturno, entonces le conviene el plan P.
III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en
horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
36) Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1.000.000 mensuales y
costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número de lámparas producidas en
un mes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)?
A) C(x) = x + 1.005.000
B) C(x) = 1.000.000x + 5.000
C) C(x) = 1.005.000x
D) C(x) = 5.000x + 1.000.000
E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000
37) Dada la función f(x)= 21 −x −x
, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)
verdadera(s)?
I) f(− ) = f(− )
2 1
1  1
II) f   =
2  2
III) f(2) = 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
38) Si f(x) = log2x, entonces f(16) – f(8) es:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 7
39) Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a:
A) x2 + 3x - 2
B) x2 + 5x – 3
C) x2 + 5x – 2
D) x2 + 5x
E) x2 + 3x
40) dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) Si a > 1, la parábola intercepta en dos puntos al eje x
II) Si a = 1, la parábola intercepta en un solo punto al eje x
III) Si a < 1, la parábola no intercepta al eje x
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y II E) Solo II y III