Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones en pre-cálculo, incluyendo: 1) cómo representar funciones algebraicamente y utilizar notación de función, 2) cómo evaluar funciones para diferentes valores de entrada, 3) cómo graficar funciones y analizar sus propiedades como dominio, alcance, máximos y mínimos locales, y 4) cómo transformar gráficas de funciones mediante traslaciones, reflexiones, estiramientos y compresiones. El documento provee ejemplos detallados para ilustrar cada uno de estos conceptos sobre funciones.

1. Funciones
Precálculo

2. Pruebas para Funciones
Representadas Algebraicamente
• ¿Cuales de las ecuaciones representan a y
como una función de x?
1. x  y  1
2
2.  x  y  1
2

3. Notación de Función
• Cuando una ecuación es utilizada para
representar una función utilizamos notación
de función.
• Ejemplo:
f  x  1 x 2
– Encuentra f (1), f (0)

4. Evaluando una Función
Sea g  x    x  4 x  1. Encuentra:
2
(a) g  2 
(b) g  t 
(c) g  x  2 

5. Funciones Definidas a Trozos
• Evalúa la función cuando x = -1 y cuando x = 0.
 x  1, x  0
2
f  x  
 x  1, x  0

6. Dominio de una Función
• Encuentra el dominio de cada función.
(a) f :  3, 0  ,  1, 4  ,  0, 2  ,  2, 2  ,  4, 1
(b) g  x   3 x 2  4 x  5
1
(c) h  x  
x5
4 3
(d) Volumen de una esfera: V   r
3
(e) k  x   4  3 x

7. Diferencia de Cocientes
• Una de las definiciones en cálculo utiliza la
razón
f  x  h  f  x
, h  0.
h

8. Diferencia de Cocientes
f  x  h  f  x
Para f  x   x  4 x  7, encuentra
2
.
h

9. Gráficas de Funciones
Precálculo

10. Gráfica de una Función
• La gráfica de una función es la colección de
pares ordenados (x, f(x)) tal que x está en el
dominio de f.

11. Encontrando el Dominio y el Alcance
de una Función
• Utiliza la gráfica
provista para 4 y
3
encontrar 2
1
x
a) El dominio de f. -3 -2 -1
-1
1 2 3 4 5 6
-2
b) Los valores de f(-1), -3
f(2). -4
-5
c) El alcance de f.

12. Encontrando el Dominio y el Alcance
de una Función
• Encuentra el dominio y el alcance de
f  x  x  4

13. Prueba de la Recta Vertical
Si cualquier recta
vertical toca la gráfica
de una relación en
más de una ocasión,
entonces la relación
no es una función
FUNCIÓN NO ES FUNCIÓN

14. Funciones Pares e Impares
• Una función f es par si para cada número x en su
dominio el número –x también está en su
dominio y f(-x) = f(x).
• Una función f es impar si para cada número x en
su dominio el número –x también está en su
dominio y f(-x) = -f(x).
Teorema
Una función es par si y solamente si es simétrica
con respecto al eje de y. Una función es impar si y
solamente si es simétrica con respecto a origen.

15. Determinando Funciones Pares e
Impares de una Gráfica
• Determina cual de las siguientes gráficas
representa una función par, impar o ninguna.
y y y
x x x

16. Identificando Funciones Pares e
Impares
• Clasifica las siguientes funciones en par, impar
o ninguna. Luego establece si es simétrica con
respecto a el eje de y o con respecto al origen.
(a) f  x   x  5
2
(b) g  x   x 3  1
(c) h  x   5 x  x
3

17. Funciones Crecientes y Decrecientes
y
4
3
2
1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
-2

18. Funciones Crecientes o Decrecientes
Una función f es creciente en un intervalo abierto I si, para cualquier
elección de x1 y x2 en I , con x1  x2 , tenemos que f  x1   f  x2  .
Una función f es decreciente en un intervalo abierto I si, para cualquier
elección de x1 y x2 en I , con x1  x2 , tenemos que f  x1   f  x2  .
Una función f es constante en un intervalo abierto I si, para cualquier
elección de x1 y x2 en I , con x1  x2 , tenemos que f  x1   f  x2  .

19. Máximos Locales; Mínimos Locales
Una función f tiene un máximo local en c si existe un intervalo
abierto I que contenga a c tal que, para toda x  c en I ,
f  x   f  c  . Llamamos a f  c  un máximo local de f .
Una función f tiene un mínimo local en c si existe un intervalo
abierto I que contenga a c tal que, para toda x  c en I ,
f  x   f  c  . Llamamos a f  c  un mínimo local de f .

20. Encontrando Máximos y Mínimos
Locales de la Gráfica de una Función
1. ¿En qué número(s), si alguno, f tiene un
máximo local?
2. ¿Cuál es el máximo local?
3. ¿En qué número(s), si alguno, f tiene un
mínimo local?
4. ¿Cuál es el mínimo local?
5. ¿Para cuáles intervalos la función f es
creciente y para cuáles es decreciente?

21. Razón de Cambio Promedio
Si c está en el dominio de una función y  f  x  , la razón de
cambio promedio de f desde c hasta x está definida como
y f  x   f  c 
Razon de cambio promedio   , xc
x xc

22. Encontrando la Razón de Cambio
Promedio
Encuentra la razón de cambio promedio de f  x   3x 2 :
(a) Desde 1 hasta 3.
(b) Desde 1 hasta 5.
(c) Desde 1 hasta 7.
Encuentra la razón de cambio promedio de:
(a) f  x   2 x  3 desde 0 hasta x.
(b) g  x   3x 2  2 x  3 desde 0 hasta x.

23. Funciones a Trozos
“Piecewise Functions”
• Una función a trozos es aquella que está
definida por diferentes ecuaciones en
diferentes partes del dominio.

24. Funciones a Trozos
“Piecewise Functions”
• Grafique la función f definida por
1  x si x  1
f  x   2
x si x  1

25. Funciones a Trozos
“Piecewise Functions”
• Grafique la función f definida por
 x3 si x  0
f  x  
x  2 si x  0

26. Función Valor Absoluto
• La función valor absoluto puede ser definida a
través de una función a trozos.
y
6
5
x si x  0 4
x 
 x si x  0
3
2
1
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

27. Función Parte Entera
La función parte entera de cualquier número x es
el entero más grande que es menor o igual a x.
La parte entera de x está denotada por x .
Evalúa las siguientes expresiones:
(a) 2.3 (b) 1.9 (c) 0.1 (d) 0.3
(e) 3.7 (f) 3 (g) 2 (h) 0.999

28. Función Parte Entera
• Gráfica de la función parte entera.
y
3
2
1
x
-3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3

29. Transformaciones de Funciones
• Translaciones Verticales de Gráficas
Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica
y  f  x  c
y
Translación de la gráfica de
y = f (x) + c
y = f(x), c unidades hacia c
arriba.
 c  0 y = f (x)
x
Translación de la gráfica de
y  f  x  c
y
y = f(x), c unidades hacia
abajo. y = f (x)
c
 c  0 y = f (x) − c
x

30. Transformaciones de Funciones
• Translaciones Horizontales de Gráficas
Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica
y  f  x  c
y
Translación de la gráfica de
y = f(x), c unidades hacia la y = f (x − c)
derecha.
 c  0
c
y = f (x)
x
Translación de la gráfica de y
y  f  x  c y = f(x), c unidades hacia la
izquierda.
c y = f (x)
 c  0
y = f (x + c)
x

31. Transformaciones de Funciones
• Reflexiones de Gráficas
Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica
y
Reflejando la gráfica de y = y = f (x)
f(x) en el eje de x.
y   f  x x
y = −f (x)
y
Reflejando la gráfica de y =
f(x) en el eje de y.
y  f  x y = f (−x) y = f (x)
x

32. Transformaciones de Funciones
• Estiramientos y Compresiones Verticales de Gráficas
Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica
y  af  x 
y y = af (x)
Estiramiento vertical de la
gráfica de y = f(x), por un
factor de a.
 a  1
y = f (x) x
Compresión vertical de la y
y  af  x  gráfica de y = f(x), por un
factor de a.
y = f (x)
 0  a  1
y = af (x) x

33. Transformaciones de Funciones
• Estiramientos y Compresiones Horizontales de
Gráficas
Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica
y  f  ax 
y
Compresión horizontal de
la gráfica de y = f(x), por un y = f (ax)
factor de 1/a.
 a  1
x
y = f (x)
Estiramiento horizontal de y
y  f  ax  la gráfica de y = f(x), por un
factor de 1/a. y = f (x)
 0  a  1
x
y = f (ax)

34. Ejemplos
• Asume que la gráfica de f está dada. Describe como
podemos obtener la gráfica de las siguientes funciones
partiendo de f.
(1) y  f  x   4
(2) y  f  x  5 
(3) y  3 f  x 
(4) y   f  x 
(5) y   f  x   5
(6) y  4 f  x 
(7) y  f  x  2   3
1
(8) y  f  x   10
2

35. Ejemplos
• Grafica las siguientes funciones utilizando
transformaciones.
(1) f  x    x  2 
2
(2) f  x     x  1
2
(3) f  x   x 3  2
1
(4) y  x  4 3
2
(5) y  3  2  x  1
2

36. Operaciones con Funciones
Operación Notación
Suma  f  g  x   f  x   g  x 
Resta  f  g  x   f  x   g  x 
Multiplicación  fg  x   f  x   g  x 
 f  f  x
División    x  , donde g  x   0
 g g  x

37. Operaciones con Funciones
Sean f y g dos funciones definidas como
1 x
f  x  y g  x 
x2 x 1
Encuentra lo siguiente y determina el dominio en cada caso.
 f 
(a)  f  g  x  (b)  f  g  x  (c)  f  g  x  (d)    x 
g

38. Composición de Funciones
Dadas dos funicones f y g , la funcion compuesta f g
(también llamada la composición de f y g ) está definida
por:
f g  x   f  g  x  

39. Encontrando la Composición de
Funciones
Sea f  x   x 2 y g  x   x  3.
(a) Encuentra las funciones f g y g f y sus dominios.
(b) Encuentra  f g  5  y  g f  7  .

40. Encontrando la Composición de
Funciones
Si f  x   x y g  x   2  x , encuentra las siguientes
funciones y sus dominios.
(a) f g
(b) g f
(c) f f
(d) g g

41. Composición de Tres Funciones
x
Encuentra f g h si f  x   , g  x   x10 y h  x   x  3.
x 1