Tema 03 grafico de funciones en ir

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
TEMA 04:TEMA 04:
GRÁFICO DE FUNCIONES EN IR
I. PROCEDIMIENTO BÁSICO: Para empezar, se
sugiere las siguientes pautas:
a) Determinar los puntos en los que la gráfica
intercepta a los ejes coordenados, de este
modo: La intersección con el eje “x” se logra
haciendo y = 0, y para el eje “y”, haciendo x
= 0.
b) Averiguar si la función es simétrica,
procediendo así:
 Si la función no se altera al sustituir “x”
por “-x”, dicha función será simétrica
respecto al eje “y”
 Si la función no se altera al sustituir “y”
por “-y”, dicha gráfica será simétrica
respecto al eje “x”.
 Si la función no varía al sustituir “x” por
"x"− , e “y” por "y"− , dicha gráfica es
simétrica con respecto al origen.
c) Determinar el dominio y rango de la función
para luego tabular algunos valores
particulares y ubicarlos en un plano
cartesiano.
d) Finalmente bastará con unir dichos puntos
para obtener la gráfica de la función.
Ejemplo:
Para graficar la función:
2x2x)x(f 2
++=
a) Buscamos los puntos que intersecan a los ejes
coordenados:
2y2)0(20y0x 2
=⇒++=⇒=
De acuerdo a este paso, la gráfica corta al eje
“y” en el punto cuyas coordenadas son (0; 2).
11)(x02x2x00y 22
++=⇒++=⇒=
Dado que esta ecuación no tiene solución real
para “x”, diremos que la gráfica no intercepta
al eje “x”.
b) No es simétrica con respecto a ningún eje ni
respecto al origen.
c) IRDf2x2x)x(f 2
=⇒++=
11)(xy11x2xy 2
TCP
2
++=⇒+++= 
1-1-yx1)(x1-y 2
=⇒+=⇒
[ ∞+=⇒≥⇒≥ 1;Rf1y01-y:Luego
d) Finalmente unimos los puntos, previa
tabulación de algunos valores:
x y=F(x)
1
0
-2
-3
:.
:. :.
:.
5
2
2
1
5
-1
(-3;5)
(-2;2)
(-1;1)
(1;5)
(0;2)
x
y
II. FUNCIONES NOTABLES
01.Función Lineal
 Regla de correspondencia
baxf )x( += ; 0b0a ≠∧≠
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = IR
 Gráfico: Recta inclinada que no pasa por
el origen, y cuya ordenada en el origen es
b.
y
x
y=ax+b
0
b
Nota: Si f(x) = ax + b, a ≠ 0 ∧ b = 0
 Regla de correspondencia axf )x( = ;
0a ≠
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = IR
 Gráfico: Recta inclinada que pasa por el
origen.
y
x
y = ax
Caso Especial: (cuando a = 1)
02.Función Identidad
 Regla de correspondencia f(x) = x
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = IR
 Gráfico: Recta que pasa por el origen y
forma un ángulo de 45° con el semieje
positivo de las x.
x F(x)
-2
-1
0
1
:.
:. :.
:.
-2
-1
1
0
22
y
x
y=x
45°
03.Función Constante
 Regla de correspondencia c)x(f = ;
IRc ∈
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = {c}
 Gráfico: Recta paralela al eje x
desplazada en “c” unidades.
x F(x)
-2
-1
0
1
:.
:. :.
:.
c
c
c
c
c2
y
x
y=c
c
04.Función Raíz Cuadrada
 Regla de correspondencia:
x)x(f =
 Dom (f) = [ ∞+;0
 Ran (f) = [ ∞+0;
 Gráfico: Curva semejante a una
semiparábola.
y
x
xy =
x F(x)
0
2
3
4
:. :.
0
2
0
39
2
3
1
05.Función Cuadrática
 Regla de Correspondencia:
cbxax)x(f 2
++= ; 0a ≠
S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV BIMESTREIV BIMESTREIV BIMESTREIV BIMESTRE

 Dom (f) = IR
 Ran (f) =









<










∞−∈




>∞+





−∈
0a;
2a
b-
F;y
0a;;
a2
b
Fy
 Gráfico: Parábola con vértice en













 −−
a2
b
f;
a2
b
V
Si: 0a >
La parábola se abre hacia arriba.
Vértice
cbx2axy ++=
Si: 0a <
La parábola se abre hacia abajo.
Vértice
cbx2
axy ++=
x
y
El gráfico de la POTENCIA ELEMENTAL:
2
x)x(f = es el que se muestra a
continuación:
x F(x)
:.
:.
:.
4
1
1
0
4
-1
0
1
2
-2
:.
2
xy =
x
y
Observaciones:
A) Cómo hallar el vértice de una Parábola:
Cualquiera de los siguientes métodos:
* Graficando la parábola a través del
procedimiento básico y tabulaciones.
* Aplicando la fórmula:





 ∆−
=
4a
;
a2
b
V donde
ac4b2
==∆ o la mostrada al inicio:















−
=
2a
b-
f;
a2
b
V
B) Cómo hallar el máximo o mínimo valor
de una función Cuadrática
Elige cualquiera de las siguientes formas:
* Hallando el vértice y graficando por
cualquiera de las dos formas antes
enumeradas.
* Completando cuadrados en la función y
analizar luego su valor máximo o mínimo.
* Aplicando la DERIVADA a la función, luego
igualamos a cero y despejamos x. El valor
obtenido se reemplaza en la función inicial
obteniéndose así el máximo o mínimo valor
dependiendo del caso.
06.Función Cúbica
 Regla de correspondencia: 3
x)x(f =
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = IR
 Gráfico: Se muestra a continuación:
x F(x)
-1
0
1
:.
:.
:.
8
-1
1
0
82
-2
:.
y=x
y
x
√ En general podemos extender las definiciones
previas y definir la FUNCIÓN POTENCIA
ELEMENTAL:
A) Si: n
x)x(F = ; n es par
→ Dom (F) = IR
Ran (F) = [ ∞+;0
6xy =
4xy =
2xy =
y
x
B) Si: n
x)x(F = ; n es impar
→ Dom (F) = IR
Ran (F) = IR
x
y=x
y=x
5
y=x 7
y=x 2
y
07.Función Valor Absoluto
x)x(f = y se define como:




<−
≥
==
0x;x
0x;x
xy
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = [ ∞+;0
 Gráfico: Se muestra a continuación (tiene
forma de V) con el vértice en el origen.
y=|x|
y
x
x F(x)
-1
0
1
:.
:.
:.
-2
-1
1
0
22
-2
:.
08.Función Signo
)xsgn()x(f = ,

y se define como:





>
=
<
==
0x;1
0x;0
0x;1-
)xsgn(y
 Dom (f) = IR
 Ran (f) = { }1;0;1−
Ejemplos:
* sgn 7 = 1 * sgn 0 = 0
* sgn (-4) = -1 * sgn )1x( 2
+ =1
Pues: IRx,01x2
∈∀>+
 Gráfico: Se muestra a continuación:
x
-1
0
1
y
y=sgn(x)
x F(x)
-1
0
1
:.
:.
:.
-2
-1
1
0
12
-2
:.
3
Propiedad:
IRx;sgn(x)x|x| ∈∀⋅=
09.Función Escalón Unitario
* Regla de correspondencia:
)x(aU)x(f =
Y se define como:




<
≥
==
ax;0
ax;1
Uy )x(a
Ejemplos:
* 41:pues;0U )1(1 <=
* 23:pues;1U )3(2 ≥=
*




<
≥
=
3x;0
3x;1
U )x(3
* 5-1-:queya;1U )1(5 ≥=−−
* π<=
π
2:queya;0U
)2(
*




<
≥
==
0x;0
0x;1
UU )x()x(0
* Dom (f) = IR
* Ran (f) = { }1;0
* Gráfico: Se muestra a continuación:
0
1
y
a
x
)x(aUy =
Propiedad:
)ax(a(x))ax(a)x( UU;UU −+ ==
10.Función Máximo Entero
* Regla de correspondencia: )x(f = x
Se define el MÁXIMO ENTERO de x como
el mayor de todos lo números enteros
menores o iguales que x y se denota por x
es decir:
x Zn1nxnn ∈∧+<≤↔=
Ejemplos:
= 13
....-2 0-1 21 3
Mayor entero 3≤
=-4
....-6 -3-5 -2-4
Mayor entero ≤
π−
π−
π−
-1
= 2 2pues : ≤2
5
2
5
3<
= 3 3porque : ≤ 4<25 + 25 +
= 0 pues,
32x
2
+
332x02x:IRx ≥+→≥∈∀
3
2
32x
20
3
1
32x
10 ≤
+
<→≤
+
<→
1
3
2
32x
200 <≤
+
<≤→
Esto significa que: [ 1;0
3
2
;0 ⊂


*
= 7 pues: 7 7 < 87 ≤
* Luego la función MÁXIMO ENTERO se
define así:
= xF(x)












<≤
<≤
=
<≤ 3x2;2


<≤ 2x1;1
1x0;0
0x1-;1-
<≤ 1-x2-;2
x
:.
:.:.
-
:.
con lo cual: Dom = ; Ran = Z





RI
1 2 3-1-2-3 x
y ...
...
Con lo cual: Dom( ) =IR; Ran ( ) =Z
Propiedades
1. Z:RIx ∈∈∀ x
2. :RIx ∈∀ x x 1x +<≤
x 1-x0 <≤
3. xx+n = +n ; Zn ∈∀
4. Zxx ∈↔=x
5.
x RIx ∈∀x = ;
6.
x2x = + 2
1x +
x3x = + 3
1x + + 3
2x +
En general ; :2nZn ≥∧∈∀
xnx = + n
1x + + n
2x + + n
n-1x++...
11.Función Mantisa
* Regla de correspondencia
xx)x(man)x(f −==
* Dom (f) = IR
* Ran (f) = [ 1;0

... ...
0 1 2 3-1-2-3 x
y
1
12.Función Hiperbólica
x
1
)x(f =
* Dom (f) = IR { }0−
* Ran (f) = IR { }0−
x
y
x
1y =
Observación: La función hiperbólica es una
FUNCIÓN RACIONAL (caso especial) en donde
el numerador es una constante.
Es necesario para graficar este tipo de funciones
hallar las RECTAS ASÍNTOTAS (verticales y
horizontales) igualando a cero a cada
denominador luego de despejar cada variable.
13.Función Dirichlet
* Regla de correspondencia
)x(D)x(F =
Y se define como:




∈
∈
=
Q-IRx;0
Qx;1
Dx
Ejemplos:
*
1D
5
2 =








*
1DD
9
7...)777,0( ==






* 0D
)52(
=
− *
0D
)3(
=
* 0D )( =π * 1D )13( =−
* Dom (f) = IR
* Ran (f) = { }0;1
1
y
0 x
)x(Dy =
14.Función Polinómica
n
1n
1
n
0 a...xaxa)x(F +++= −
Donde “n” es un número entero no negativo y
n10 a...;;a;a son constantes, siendo
0a0 ≠ .
* Notar que las funciones: constante, lineal y
cuadrática, son casos particulares de esta
función y ocurren para n = 0, n = 1 y n = 2,
respectivamente.
15.Función Exponencial
* Regla de correspondencia: x
b)x(F = ;
1b0b ≠∧>
* Dom (f) = IR
* Ran (f) = ∞+;0
* La gráfica de: x
by = con: 1b0 << es:
1
y
x
xby =
* La gráfica de: x
by = con: b >1 es:
1
y
x
xby =
III. PROPIEDADES PARA LA ELABORACIÓN
DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Conociendo la gráfica cartesiana de una
función, es posible elaborara la gráfica de otra
función con características similares a la
primera. Por lo general, a partir de la gráfica
de una función elemental, puede obtenerse la
de otra función, mediante propiedades de
desplazamientos, simetrización,
estiramiento (dilatación), encogimiento
(contracción), etc.
1. Desplazamientos Horizontales
F(x)
x
y
F
x0
g(x) = f(x + h)
x
y
g(x)
x0
h
La gráfica original de f se desplaza “h” unidades
hacia la izquierda
H(x) = f(x-h)
x
y
h(x)
x0
h
La gráfica original de f se desplaza “h” unidades
hacia la derecha.
Ejemplos:

5-3 h=-3 h=50
2)3x(y += 2xy = 2)5x(y −=
x
y

2-4 0
y=|x+4|
x
y
y=|x|
y=|x- 2|
2. Desplazamientos Verticales
f(x)

f
y
x
y
0
g(x)=f(x)- h
h
x
y
y0
g(x)
La gráfica original de f se encuentra
desplazada “h” unidades hacia abajo.
h(x) =f(x)+h
h
x
y
y0
h(x)
La gráfica original de f se encuentra
desplazada “h” unidades hacia arriba.
Ejemplos:
3
x
k=3
-4
y 3xy 2 +=
2xy =
4xy 2 −=
k=-4

0 x
k=-6
-6
y
y=x-6

y=x+2
2
k=2 y=x
Realizando una combinación de ambos
desplazamientos (horizontal y vertical) es posible
obtener la gráfica de: 21 h)h-(xfy +=
Ejemplos:
0 x-4
y


2
-3
2


24xy ++=
4xy +=
xy =
3xy −=
32xy −−=
0 x4
y


3
-3
1


y=|x-4|-3
y=|x-1|+3
y=|x-4|
y=|x|+3
y=|x|
3. Simetrización con respecto al Eje x
(Giros)
En estos casos se puede apreciar la gráfica de
)x(F , luego del giro, aparece invertida
con respecto al eje x.
x
y
g(x)=-f(x)
y
f(x)
x
Podemos observar que el eje x se comporta
como un espejo al anteponer el signo (-) a la
regla de correspondencia de la función. Esto
significa que dada una función f(x), la
función: f(x) resulta ser le giro de f(x) con
relación al eje x.
Ejemplos:
2xy =
2xy =

x
y
3xy =
3xy =

x
y
4. Simetrización con respecto al Eje y
(Giros)
En estos casos se puede apreciar que la
gráfica de f(x) luego del giro, aparece
invertida con relación al eje x.
y
x
g(x)=f(-x)
y
x
f(x)
Podemos observar que el eje y se comporta
como un espejo al anteponer el signo menos
(-) a la variable de la función. Esto significa
que dada una función f(x), la función: f(-x)
resulta ser el giro de f(x) con relación al eje y.
Ejemplos:
xy −= xy =
x
y


y=x
y=-x
x
y
5. Giros originados por Valor Absoluto
Reconocemos que el efecto principal que
tiene el valor absoluto es el de hacer positiva
toda expresión: lo que provoca un gráfico
siempre ubicado sobre el eje x.
Veamos:
Zonas
positivas
x
y
Zonas
negativas
y=F(x)
Ejemplos:
0 x
y
1xy 2 −=
|1x|y 2 −=

0 x
y
xxy 3 −=
|xx|y 3 −=
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01.Sea la función: f: R → R
f(x) = 2x – 1
Indique su gráfica aproximada:
(x)
(y)a)
(x)
(y)b)
(x)
(y)c)
(x)
(y)d)
(x)
(y)e)
02.Señale la alternativa falsa:
a) f(x) = 2x + 3, es una función lineal
b) La función identidad tiene la
particularidad de ser bisectriz del I y III
cuadrante
c) La función constante es una recta paralela
al eje “x”
d) f(x) = x – 1, es una función lineal
e) La función lineal es una recta que
necesariamente pasa por el origen de las
coordenadas.
03.Sea f(x) una función constante con dominio
en los números reales, tal que:
8
3)5(f
)2(f)3(f
=
−
+
Calcular: E = f(1997) + f(1998) + 3
a) 5 b) 11 c) 17
d) 21 e) Faltan datos
04.Se da la gráfica de la función:
(x)
(y)
5
3
Establecer la regla de correspondencia:
a) f(x) =



≥
<
0xsi;5
0xsi;3
b) f(x) =



≥
<
3xsi;0
3xsi;5
c) f(x) =



≥
<
3xsi;5
3xsi;0
d) f(x) =



≤−
>−
3xsi;3
3xsi;5
e) N.A.
05.Un cañón situado en el punto (3, 0) dispara
una bala con una trayectoria y =
3x − . Si un avión viaja por la recta y =
4, y la bala lo destruye. Hallar el punto sobre
el que fue el impacto.
a) (4 ; 18) b) (19; 1) c) (17; 2)
d) (19; 4) e) No llega a destruirlo
06.Determina el vértice de la parábola que
resulta después de graficar:
f(x) = x2
– 4x +3
a) (-1 ; 2) b) (2; -1) c) (-1; -2)
d) (1; 2) e) N.A.
07.El punto P(-1; 4) pertenece a la función
cuadrática: f(x) = 3kx2
+ (n – 2)x – 3k
Hallar el valor de 2n”
a) 6 b) –2 c) 1
d) faltan datos e) N.A.
08.Según la gráfica de la función cuadrática de la
ecuación: f(x) = ax2
+ bx + c; a ≠ 0
(x)
f(x)
Se afirma:
I. a < 0 ∧ c < 0
II. a > 0 ∧ c < 0
III. El vértice es (0; c)
IV. El vértice es (0; - c)
Son verdaderas:
a) I y Iv b) II y III c) II y IV
d) I y III e) N.A.
09.Sea: f(x) = ax2
+ bx + c
(x)
f(x)
2
1
Hallar a x b
a) 4 b) 8 c) – 4
d) 2 e) – 8
10.Una liebre coja describe la trayectoria y = x2
;
un perro que recorre la recta y = x la distingue
y la logra capturar. Hallar el punto donde
ocurre la captura, si sus coordenadas son
positivas.
a) (1; 1) b) (1; 2) c) (2; 1)
d) (2; 2) e) (1/2; 1/2)
11.Halle el máximo valor de la función:
f(x) = 12 + 2x – x2
a) 12 b) 13 c) 10
d) 9 e) 7
12.Hallar el valor mínimo de la función dada
por: g(x) = x2
+ 8x
a) – 12 b) – 14 c) – 16
d) 16 e) 14
13.Un fabricante puede producir radios a un
costo de $10 cada uno y estima que son
vendidos por $x cada uno. Los usuarios
compran aproximadamente (80 – x) radios
cada mes. Halle el precio al cual debe vender
cada radio para obtener la máxima ganancia,
y cuál es ésta.
a) p = $ 45 ∧ Gmáx = 1225

b) p = $ 40 ∧ Gmáx = $ 1250
c) p = $ 35 ∧ Gmáx = $ 2400
d) p = $ 30 ∧ Gmáx = $ 1655
e) N.a
14.El valor mínimo de la función:
f(x) = 1xx 2
++ es “a”; y el valor
máximo de la función g(x) = – 3x2
+ 6x – 1 es
“b”.Entonces
b
a
es:
a) 3 /2 b) 3 /4 c) - 3
/4
d) 3/8 e) 2
15.Un obrero con 160 metros de alambrón desea
cercar una superficie de forma rectangular. Si
uno de los lados no necesita cerco, ¿cuáles
deben ser las dimensiones para que el área sea
máxima?. Dar como respuesta uno de los
lados.
a) 60 b) 20 c) 80
d) 32 e) 50
16.¿Cuál de las siguientes proposiciones es
verdadera?
a) El rango de la función constante es un
conjunto binario
b) La función cúbica tiene como rango los
números reales no negativos
c) Si: f(x) = |x-a| , a ∈ R
∀ x ∈ R entonces: Ran (f) = <0 ; + ∞>
d) Para f(x) = x
Dom (f) = Ran (f)
e) Dado f(x) = ax2
+ bx +c ; {a, b, c} ⊂ R ∧
a ≠ 0 ; si: b2
– 4ac < 0 ; f(x) intercepta al
eje “x” en 2 puntos.
17.La función polinomial; y = f(x) de grado
mínimo tiene una gráfica aproximada.
x
y
3
-1
-1-2
y = f(x)
Si: (- 4; b) ∈ F. Encuentre al valor de “b”
a) 49 b) 16 c) 48
d) 64 e) 14
18.Representar gráficamente la función: y = | x –
2 |
(x)
(y)a)
2
(x)
(y)b)
- 2
(x)
(y)c)
2
(x)
(y)d)
-2
e) N.A.
19.La gráfica de la función: f(x) = x + 1 + |x -1|
con x ∈ [-3; 3], ¿en qué punto corta al eje
“y”?
a) No lo corta b) (0; 2) c) (0; 3)
d) (0; ½) e) (0; -2)
20.Graficar: y = | x – 1 | + x
x
ya)
1
1
x
yb)
-1
1
x
yc)
1
1
x
yd)
-1
1
x
ye)
-1
1
21.Graficar la función: F(x) = x | x |
x
ya)
x
yb)
x
yc)
x
yd)
x
ye)
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
01.Si F(x) es una función donde solamente
intervienen x y senx; entonces el gráfico
siguiente representa a:
x
y
a) F(x) = |x|+ sen x
b) F(x) = x + sen x
c) F(x) = -x + |sen x|
d) F(x) = x + |sen x|
e) F(x) = |x| + |sen x|
02.Proporcionar el dominio de la siguiente
función:
(m ; n)
x
y (a ; b)
(x ; -x + 10x + 75)2
F
(p ; q)
a) [0;15] b) [0 ; 15> c) [0 ; 12]
d) [0 ; 12> e) N.A.
03.Las gráficas de las funciones F(x)=x2
∧ G(x)=
x tienen dos puntos en común, luego el
segmento que une estos puntos mide:
a) 2 b) 22 c) 2
d) 23 e) i
04.Al graficar la función F: y = x2
+ 10x + 21
podemos observar que el menor valor de su
rango es:
a) 21 b) 4 c) 5
d) -4 e) -5
05.A continuación se muestra la gráfica de F(x):
y
x
F(x)
¿Cuál de las siguientes gráficas representa a
la función: -F(-x)?
x
y
a)
x
y
b)

x
y
c)
x
y
d)
e) N.A.
06.La sucesión de Fibonacci se puede definir
como una función en N mediante la siguiente
regla:





≥−+−
=
=
=
3n:si;)2n(F)1n(F
2n:si;1
1n:si;0
)n(F
Según esto, hallar: F(9)
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
07.Hallar el máximo valor de la función:
f(x) = 3 + 2x – x2
a) 0 b) 1 c) –1
d) 1/2 e) 4
08.Hallar el mínimo valor que toma la función:
g(x)= 3x2
+ 12x - 1
a) –10 b) –12 c) –13
d) -9 e) N.A.
09.Sean las funciones:
F(x) = 2x2
+ 4x – 30
G(x) = -3x2
–6x + 24
Donde: b = min (F)
p = máx (G)
Hallar la distancia de M a N.
M(a,b)
N(n,p) F
G
a) 21 b) 34 c) 59
d) 61 e) 93
10.La gráfica de la siguiente función:
F(x) = 4−x es:
x
ya)
4
y=F(x)
x
yb)
4
y=F(x)
x
yc)
-4
y=F(x)
x
yd)
-4
y=F(x)
e) N.A.
11.Graficar la función: f(x) = |x| - 1
x
ya)
1
x
yb)
-1
x
yc)
1
x
yd)
-1
x
ye)
1
12.Graficar: y = |x - 2| + 3
x
ya)
2
3
x
yb)
2
3
x
yc)
4
x
yd)
2
3
e) N.A.
13.Graficar: F(x) =
2
2
+
x
x
x
x
x
ya)
x
yb)
-2
2
x
yc)
x
yd)
-1
12
e) N.A.
14.Graficar: F(x) = sgn (x + 2)
b)
x
y
-1
1
a)
x
y
-1
1
2
d)
x
y
-2
2
c)
x
y
-1
1
-2
e) N.A.
15.Graficar: x |x|
b)
x
ya)
x
y
d)
x
yc)
x
y
e)
x
y
16.Hallar el área de la figura formada por el eje
“x” y la función: F(x) = |2x - 1|- 5.
a) 10 b) 12,5 c) 15
d) 20 e) 25
17.Calcular el área del triángulo que resulta de
interceptar las funciones:
F(x) = 4 ; G(x) = |x - 1| + 3

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
18.Graficar: F(x) = ||x – 2| - 2|
b)
x
ya)
x
y
d)
x
yc)
x
y
e)
x
y
19.Graficar: f(x) = 7 - |x - 2|
b)
x
ya)
x
y
-2 2
d)
x
yc)
x
y
2 2
e)
x
y
-2
20.Graficar la función:
f(x) = 4x(x + m) + m2
; m < 0
b)
x
ya)
x
y
b)
x
yc)
x
y
e) N.A.
CLAVES
01 d 02 a 03 c
04 d 05 c 06 e
07 e 08 c 09 c
10 a 11 d 12 b
13 b 14 c 15 c
16 b 17 e 18 c
19 b 20 b
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01.Hallar el rango de:
F(x) =
x
x
x
x
+
a) <- ∞ ; 0 > b) < 0 ; + ∞ > c) R
d) [-2 ; 2] e) < -2 ; 2 >
02.Graficar la función:
1x
1xxx
)x(f
23
+
+++
=
E indicar como respuesta su domino y su
rango
a) Dom f = R – {1}
Ran f = < -2; 1 >
b) Domf = R
Ranf = <- ∞; -2> ∪ {-1; 1}
c) Dom f= R – {-1}
Ran f=<- ∞; -2> ∪ [1; +∞>
d) Dom f= R – {-1}
Ran f =<-∞; -1> ∪<1 ; +∞>
e) N.A
03.Sea la función F cuya gráfica es:
x
y
-2 -1
-1
-2
1 2
1
Grafique: M(x) = | F(x) | ; x ∈ Dom (F)
x
y
-2
-1
-1-2 1 2
1
a)
x
y
-1
-1 1 2
b)
x
y
-1-2 1 2
1
c)
x
y
-1-2 1 2
1
d)
e) N.A.
04.Dadas las siguientes premisas:
I.- La función signo tiene como rango el
conjunto; {-1; 0; 1}
II.- La función escalón unitario tiene como
dominio a los números reales (R)
III.- La función máximo entero tiene como
rango a los números enteros (Z)
IV.- La función mantisa tiene como rango al
intervalo [0; 1>
V.- El rango de la función Dirichlet es un
conjunto binario
¿Cuál de ellas es falsa?
a) I b) II y III c) IV
d) V e) N.A.
05.Graficar:
F(x) = Sgn 





+
−
2x
1x
x
ya)
-2 1
x
yb)
1-2
-1
x
yc)
-2 1
1
x
yd)
-1
1
1
e) N.A.
06.Hallar la suma de los elementos del rango de
la siguiente función:
F(x) = sgn (x2
– 1) + Sgn ( 1x + )
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
07.Reconocer la gráfica de la función:
F(x) = 1 + U2 





−
+
1x
1x
Donde U(x) → función escalón unitario

x
y
a)
2
1 3
1
x
y
b)
2
1 3
1
x
y
c)
2
1 3
1
x
y
d)
2
1 3
1
x
y
e)
2
1 3
1
08.Calcular:
2
5
25 ++ + π-=λ
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –3
09.Al resolver:
5−=
2
1x3 +
se obtiene como conjunto solución: < a ; b>
Calcule: ab
a) – 11 b) 11 c) 13
d) – 11/2 e) –9/11
10.Dada la función
y = F(x) 2x
∧ Dom (F) = [0; 2>
Identifique la gráfica cartesiana aproximada
de la función: y = F(x)
x
ya)
x
yb)
x
yc)
x
y
d)
x
ye)
11.Determina cuántas asíntotas verticales tiene la
función:
4x
2
)x(F
2
−
=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
12.Determinar las asíntotas de: y =
4x
1
−
a) x = 0 ; y = 4 b) x = 4 ; y = 0
c) x = - 4 ; y = 0 d) x = 0 ; y = - 4
e) N.A.
13.De las gráficas:
F(x) = 8X
; G(x) = 4X
; H(x) = 2X
Hallar: a – c + b
x
y
c a b
16
F(x) G(x) H(x)
a) 2/3 b) 8 c) 5/4
d) 7/4 e) 14/3
14.La gráfica de la función: f(x) = | x – 3 | + 2
es:
x
ya)
x
yb)
c)
x
y
x
yd)
x
ye)
15.Indicar la gráfica de:
f(x) = 2x − - 3
x
ya)
2
x
yb)
2
3
x
yc)
2
-3
x
yd)
-2
x
ye)
2
-3
16.Graficar: y = (x + 1)2
– 2
x
ya)
2
1
x
yb)
2
-1
x
yc)
2
1
x
yd)
-2
-1
x
ye)
2
1
17.Graficar la función “G” definida así:
G(x) = | | x + 1 | - 2 |
x
ya)
-3 1
x
yb)
2
x
yc)
-1
1 x
yd)
-3 1
e) N.A.
18.Sea la función “F” descrita por el gráfico
adjunto:
x
y
F(x)
Indicar el gráfico que describe: F (2 – x)
x
y
2
a)
x
y
2
b)

x
y
-2
c)
x
y
2
d)
x
y
2
e)
20.Hallar la gráfica de la función:
y = |x2
- 2|x| | , x ∈ R
x
y
a)
x
y
b)
c)
x
y
x
y
d)
e)
x
y

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