Esta guía complementaria presenta: 1) Un plan de estudios con 9 unidades que cubren contenidos matemáticos como números enteros, medidas, álgebra y radicales. 2) Un cronograma con las fechas de inicio y finalización de cada unidad y las fechas probables de las evaluaciones trimestrales. 3) Modelos de planificación didáctica por unidad que incluyen competencias, objetivos, contenidos y estrategias de enseñanza-aprendizaje. 4) Una serie de guías que desarrollan en más de

2. página
Presentación y jornalización 3
Planificaciones didácticas 4
Unidad 1. Apliquemos los números enteros.
Unidad 2. Utilicemos unidades de superficie y agrarias
Guía No 1. Unidades métricas de longitud (el metro, múltiplo y submúltiplos) 22
Guía No 2. Unidades métricas de superficie (metro cuadrado, múltiplos y submúltiplos) 24
Guía No 3. Medidas agrarias 27
Unidad 3. Operemos con números racionales
Guía No 4. Representación de números racionales en la recta 28
Unidad 4. Calculemos áreas circulares y utilicemos medidas
Guía No 5. Unidades de capacidad 29
Guía No 6. Unidades de volumen y capacidad (volumen de cuerpos geométricos) 30
Guía No 7. Medidas de peso 31
Guía No 8. Relación entre capacidad y volumen 32
Unidad 5. Utilicemos proporcionalidad
Guía No 9. Plano cartesiano 34
Guía No 10. Regla de tres compuesta 35
Unidad 6. Conozcamos y utilicemos el álgebra
Guía No 11. Generalidades algebraicas, concepto, signos de operación, agrupación y relación. 37
Guía No 12. Expresiones algebraicas, concepto, término, monomios, polinomios 38
Guía No 13. Grado de un monomio: absoluto y relativo; grado de un polinomio: absoluto y relativo 39
Guía No 14. Términos semejantes, definición, reducción, ejercicios. 40
Guía No 15. Valor numérico de expresiones algebraicas 41
Unidad 7. Utilicemos los exponentes
Guía No 16. Potenciación en Z (potenciación con base entera y exponente natural) 43
Guía No 17. Notación científica 44
Guía No 18. Operaciones con números en notación científica 45
Unidad 8. Operemos con monomios
Guía No 19. Suma de monomios, resta de monomios, suma y resta combinada 46
Guía No 20. Supresión e introducción de signos de agrupación 47
Guía No 21. Multiplicación, división, productos y cocientes notables 48
Guía No 22. Multiplicación de polinomio por monomio, regla, ejercicios 49
Guía No 23. División de un monomio entre otro monomio 50
Guía No 24. División de un polinomio entre un monomio 51
Guía No 25. Operaciones combinadas con monomios 52
Unidad 9. Conozcamos y apliquemos los radicales
Guía No 26. Propiedades de los radicales 53
Guía No 27. Radicales semejantes 54
Guía No 28. Adición y sustracción de radicales semejantes 55
Guía No 29. Multiplicación de radicales 56
Guía No 30. División de radicales 57
2

3. PRESESENTACIÓN
Editorial Santillana, ante la disposición ministerial de que los programas de estudio actuales deben abarcar el 80% de
los contenidos de los programas de estudio anteriores, decide realizar el análisis de los contenidos desarrollados en los
textos escolares “Competentes”, los cuales fueron creados bajo el enfoque por competencias y el modelo
constructivista.
Ante ello, Editorial Santillana decide crear una guía complementaria de estudio con el propósito de apoyar, de forma
responsable, el trabajo que realiza el personal docente que en la actualidad utiliza nuestros textos escolares. Esta
iniciativa pedagógica nace con la intención de cubrir aquellos contenidos que establece la actual propuesta curricular
del MINED (los programas de estudio) y con ello, volver vigentes nuestros textos escolares para facilitarle al personal
docente la búsqueda de información y procesos metodológicos requeridos en dicho programa.
De igual forma, Santillana aprovecha la oportunidad para brindarles una propuesta de:
Jornalización para cada asignatura tomado en consideración: tiempo, unidades, contenidos y sistemas de
evaluación trimestral que indica el MINED.
Planificación del proceso de enseñanza-aprendizaje (unidades didácticas) basada en competencias:
contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; indicadores de logro; y orientaciones
metodológicas y de evaluación, mediante la creación de actividades integradoras.
Desarrollo de nuevos contenidos que nuestros textos no cubre o que desarrolla de forma parcial, o que
necesitan ampliación.
Con este esfuerzo editorial, garantizamos el cumplimiento del programa de estudio.
Jornalización
Evaluación
Nº de
Total de Total de trimestral
Nº de horas Fecha de Fecha de
horas horas Unidades (fecha
unidades clase por inicio finalización
anuales semanales probable de
unidad
exámenes)
200 5 10
15 1. Apliquemos los números enteros 15 de enero 04 de febrero
2. Utilicemos unidades de 19 al 25 de
15 05 de febrero 25 de febrero
superficie y agrarias marzo
3. Operemos con números
20 26 de febrero 25 de marzo
racionales
4. Calculemos áreas circulares y
20 26 de marzo 29 de abril
utilicemos medidas
23 al 26 de
25 5. Utilicemos proporcionalidad 30 de abril 29 de mayo
junio
6. Conozcamos y utilicemos el
20 01 de junio 26 de junio
álgebra
25 7. Utilicemos los exponentes 29 de junio 31 de julio
25 8. Operemos con monomios 03 de agosto 08 de septiembre 22 al 27 de
octubre
9. Conozcamos y apliquemos los
35 radicales
09 de septiembre 27 de octubre
3

4. Planificación de unidad didáctica
Unidad 1. Apliquemos los números enteros Competencias:
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 15 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Resolver con interés las operaciones básicas de los números enteros, utilizando las reglas y propiedades que permitan realizar correctamente dichas operaciones, para
aplicarlas en la resolución de situaciones numéricas del entorno.
Pág. texto
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales
Santillana
Números enteros Identificación de las características y utilidad de los Confianza al identificar características y utilidad de los
números enteros. números enteros. 50-51
Gráfica Ubicación gráfica de los números enteros en la Seguridad al ubicar los números en la recta numérica
recta numérica. 53
Valor absoluto Aplicación del valor absoluto en los números Confianza al aplicar el valor absoluto en los números
enteros. enteros. 54
Operaciones: suma, resta, Resolución de ejercicios y problemas de suma, Seguridad al aplicar la ley de los signos en la suma,
De 62 a 67
multiplicación y división resta, multiplicación y división de números enteros. resta, multiplicación y división de números enteros.
De 74 a 77
Operaciones combinadas Resolución de ejercicios y problemas aplicando Interés de la resolución de ejercicios y problemas
operaciones combinadas. aplicando operaciones combinadas. 68-78
Sugerencias metodológicas:
Inicie con la actividad introductoria de ampliación del conjunto de números naturales de la página 50 del libro de texto.
Motive acerca del uso de los números enteros en aplicaciones de la recta real.
Pídales que, en equipos de trabajo, presenten diversas aplicaciones de los números enteros.
Indicadores de logro: Actividades de evaluación:
1.1 Resuelve con confianza ejercicios y problemas aplicando el valor absoluto. Diagnóstica:
1.2 Determina y explica con seguridad la ley de los signos para la suma, resta, Se desarrollará una evaluación individual, a través de un laboratorio escrito, para
multiplicación y división de números enteros. conocer el manejo de conceptos básicos de números naturales, entre los que se
1.3 Resuelve con interés ejercicios y problemas que involucren suma, resta, destacan el dominio con precisión de las operaciones básicas.
multiplicación y división de números enteros.
4

5. Formativa:
La integración en equipos de trabajo para el desarrollo de ejercicios y su participación
propositiva.
Sumativa:
1. Entrega individual de 3 actividades cortas desarrolladas en el cuaderno de
tareas. 30%
Indicadores de logro: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14
Criterios:
- Contenido completo: 20%
- Orden, aseo y puntualidad: 20%
- Solución correcta: 60%
2. Prueba escrita individual. 40%
Indicadores de logro: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14
3. Exposición de las aplicaciones de los números enteros. 30%
Indicadores de logro: 1.1, 1.2
Criterios:
- Creatividad: 40%
- Claridad: 40%
- Orden y aseo: 20%
5

6. Planificación de unidad didáctica
Unidad 2. Utilicemos unidades de superficie y agrarias Competencias:
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 15 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Utilizar, con seguridad, las unidades de media longitud, unidades métricas de superficie y unidades agrarias, aplicando sus equivalencias al resolver problemas del entorno.
Pág. texto
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales
Santillana
Unidades métricas de longitud: Conversión de unidades métricas de longitud. Seguridad al convertir unidades métricas de
metro, múltiplos del metro, longitud.
Guía de
submúltiplos del metro y Resolución de problemas de conversión de unidades
contenido
conversiones métricas de longitud. Perseverancia en la resolución de problemas
No. 1
de conversión.
Unidades métricas de superficies: Identificación y determinación de múltiplos y Seguridad al identificar y determinar múltiplos
metro cuadrado, múltiplos del metro submúltiplos del metro cuadrado. y submúltiplos del metro cuadrado.
cuadrado, submúltiplos del metro
Guía de
cuadrado y conversiones Conversión de unidades métricas de superficie.
contenido
No. 2
Conversiones Resolución de problemas de conversión de unidades Confianza al convertir unidades métricas de
métricas de superficie. superficie.
Unidades Agrarias: manzana, Identificación y conversión de unidades agrarias. Seguridad al resolver problemas de
caballería, área, hectárea y conversión de unidades agrarias. Guía de
conversiones Resolución de problemas de conversión de unidades contenido
agrarias utilizadas en el país. No. 3
Sugerencias metodológicas:
En esta unidad se darán los conceptos básicos, de forma paulatina, de las diversas unidades métricas de: longitud, superficie y agrarias. Luego en pajeras o tríos
presentaran de manera creativa, cada una de esas unidades. Después, se presenta una variedad de ejemplos de conversaciones y sus respectivas aplicaciones,
generando con esto los conceptos básicos necesarios para que los y las estudiantes puedan desarrollar, en equipos de trabajo, las actividades de las guías de contenido
número 1, 2 y 3.
Indique que elaboren en cartulina un metro que muestre sus respectivos submúltiplos.
Pida que construyan un metro cuadrado con sus respectivos submúltiplos.
Plantee ejercicios de conversiones y aplicaciones.
6

7. Indicadores de logro: Actividades de evaluación:
2.1 Resuelve con perseverancia problemas de conversión de unidades métricas de Formativa:
longitud. La participación activa en la presentación de las diversas actividades trabajadas en
2.2 Convierte con confianza unidades métricas de superficie. equipos.
2.3 Identifica y convierte con interés las unidades agrarias.
Sumativa:
1. Entrega individual de los ejercicios de las guías de contenido números 1, 2 y 3,
presentadas en el cuaderno de tareas. 30%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Criterios:
- Contenido completo 20%
- Orden, aseo y puntualidad 20%
- Solución correcta 60%
2. Laboratorio escrito en pareja. 40%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
3. Exposición del trabajo construido sobre unidades de medida. 30%
Criterios:
- Creatividad 40%
- Claridad 40%
- Aseo y puntualidad 20%
7

8. Planificación de unidad didáctica
Unidad 3. Operemos con números racionales Competencias:
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 20 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Aplicar las operaciones de números fraccionarios comunes y decimales, utilizando las reglas y procedimientos para realizar correctamente dichas operaciones al resolver
situaciones problemáticas en su entorno.
Pág. texto
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales
Santillana
Números racionales Identificación y representación de números Precisión y seguridad en las representaciones en
(fraccionarios) racionales positivos y negativos en la recta la recta numérica de los números fraccionarios. 104
numérica. Guía de contenido
Representación geométrica No. 4
Fracciones equivalentes Identificación de fracciones equivalentes positivas Seguridad en la determinación de fracciones
105
y negativas. equivalentes.
Amplificación y simplificación de Obtención de fracciones equivalentes positivas y Curiosidad e interés por encontrar fracciones
fracciones negativas aplicando los procesos de amplificación equivalentes.
107
y simplificación.
Operaciones: adición, Realización de sumas, restas, multiplicaciones, Valoración del trabajo individual como una forma
sustracción, multiplicación y divisiones y operaciones combinadas de números de desarrollar la confianza en sí mismo y la
De 114 a 125
división fraccionarios positivos y negativos con igual y/o autonomía ante situaciones concretas.
De 127 a 135
diferente denominador.
Fracciones complejas Resolución de problemas y ejercicios con Orden y aseo en la simplificación de fracciones
fracciones complejas positivas y negativas. complejas.
126
Perseverancia en la resolución de operaciones
combinadas con fracciones complejas.
Fracciones decimales Transformación de fracciones en decimales y Interés para convertir fracciones en decimales y
Números decimales decimales en fracciones. viceversa
De 136 a 144
Conversión de fracción decimal
a número decimal y viceversa
8

9. Operaciones con fracciones Realización de las cuatro operaciones Seguridad al realizar operaciones con números
decimales fundamentales con números decimales positivos y decimales positivos y negativos.
De 144 a 147
negativos.
Sugerencias metodológicas:
Comente con el grupo la actividad de la página 100 del libro de texto. Luego se desarrolle un trabajo en forma dirigida, en el cual se les proporcionará una página de papel
de reciclaje para que la doblen en partes iguales y escriban el número fraccionario que representan. Se fortalecerá esta actividad a través de las páginas 104 y 154 del
libro de texto. Se presentarán diversas actividades como el dominio de fracciones equivalentes, trabajando en equipo de la página 105 hasta la 108. Se trabajaran las
operaciones con fracciones y decimales distribuyendo ejercicios en equipo y elaborando cuadros comparativos. Página 114 a la 116, 122 a la 126, 140 a la 148. Se
fortalecerá a través de las diversas actividades presentadas con el tema de los números racionales de las páginas 154 a la 160 del libro de texto y la guía de contenido
Nº 4.
Desarrolle, como actividad introductoria, el uso de papel de reciclaje para formar fracciones, en la cual los y las estudiantes son protagonistas. Deberán ser conducidos
por el o la docente.
Sugiera que, en equipos de trabajo, resuelvan las guías de ejercicios propuestas en el libro de texto.
Indicadores de logro: Actividades de evaluación:
3.1 Obtiene con interés fracciones equivalentes positivas y negativas Diagnóstica:
aplicando los procesos de amplificación y simplificación. Se desarrollará un coloquio sobre la actividad: “Recuerda y Practica” de la página 102 del
3.2 Resuelve ejercicios con operaciones combinadas de los números libro de texto.
fraccionarios.
3.3 Resuelve con seguridad problemas aplicando las operaciones Formativa:
fundamentales de los números fraccionarios positivos y negativos. La dedicación, esmero y solidaridad en la participación de las diversas actividades
3.4 Simplifica con orden y aseo fracciones complejas. contribuirán a la formación integral del o la estudiante.
3.5 Resuelve ejercicios y problemas con operaciones combinadas de
fracciones complejas positivas y negativas. Sumativa:
3.6 Resuelve problemas con números decimales positivos y negativos, y 1. Presentación de 7 actividades de ejercicios. 35%
valora el aporte de los demás miembros de su equipo. Páginas 103, 110 a la 113,118 a la 121, 128 a la 131, 138 a la 139, 150 a la 153, 162 a
la 165.
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Criterios:
- Contenido completo: 20%
- Orden, aseo y puntualidad: 20%
- Solución correcta: 60%
2. Evaluación escrita individual de la página 134 a la 135. 35%
Indicadores de logro: 3, 4, 5, 6 y 7
3. Evaluación escrita, en pareja de la página 168 a la 169. 30%
Indicadores de logro: 8, 9, 11, 12, 13.
9

10. Planificación de unidad didáctica
Unidad 4. Calculemos áreas circulares y utilicemos medidas Competencias:
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 20 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Utilizar los elementos de la circunferencia, al determinar medidas de superficie con forma circular, en la solución de problemas de su entorno.
Aplicar las medidas y estimaciones de volumen, capacidad y peso, al proponer soluciones a situaciones problemáticas de su cotidianidad.
Pág. texto
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales
Santillana
Circunferencia Identificación de los elementos de una Interés por identificar los elementos de la
Elementos: radio, diámetro, cuerda y arco circunferencia. circunferencia.
Longitud 265 – 266
Deducción de la fórmula para calcular la Seguridad en la deducción de la fórmula de la
longitud de la circunferencia. longitud de la circunferencia.
Círculo: perímetros y áreas Relación entre la longitud de la circunferencia Esmero al aplicar las fórmulas de área y
y el perímetro del círculo. perímetro.
Cálculo del área del círculo.
267
Resolución de problemas aplicando las
fórmulas del área y del perímetro.
Medidas de capacidad Identificación de las medidas y unidades de Interés por identificar unidades de capacidad,
Unidades: kilolitro, hectolitro, decalitro, litro, capacidad. volumen y peso.
decilitro, centilitro, mililitro Guía de
Resolución de problemas de aplicación de Seguridad al resolver problemas de aplicación contenido
medidas de capacidad. de las medidas de capacidad utilizando las No. 5
equivalencias.
Medidas de volumen Conversión entre unidades de volumen. Destreza para convertir unidades de volumen
a unidades de capacidad.
Guía de
Unidades: decímetro cúbico, centímetro Conversión de unidades de volumen a
contenido
cúbico, milímetro cúbico, decametro cúbico, unidades de capacidad.
No. 6
hectómetro cúbico, kilómetro cúbico
10

11. Medidas de peso Conversión entre unidades de peso. Destreza para convertir unidades de peso.
Unidades: kilogramo, hectogramo, Guía de
decagramo, gramo, decígramo, centígramo y contenido
miligramo No. 7
Relación entre unidades de capacidad, Resolución de problemas utilizando las Certeza al resolver problemas donde se
Guía de
volumen y peso unidades de capacidad, volumen y peso. apliquen conversiones.
contenido
Conversión de unidades
No. 8
Sugerencias metodológicas:
Genere una discusión por medio de preguntas y actividades como:
1) ¿Cuál es la diferencia entre circunferencia y círculo?
2) Definir y ejemplificar los siguientes elementos de la circunferencia: centro, radio, cuerda y diámetro.
3) Identificar y ejemplificar de las siguientes posiciones relativas de una recta y una circunferencia: recta exterior, tangente o secante a una circunferencia.
4) ¿Cómo se encuentra el área y perímetro del círculo? Ejemplos página 265 a la 268 y 272 del libro de texto.
Trabaje con material concreto las unidades de capacidad, volumen y las medidas de peso, con su respectivo trabajo en equipo en las guías de contenido número 5, 6, 7 y 8.
Utilice un depósito con agua y el peso de una caja cuadrangular para presentar el círculo, las medidas de capacidad de volumen y de peso. Luego las y los estudiantes, en
equipos, elaborarán carteles con las respectivas unidades de capacidad, volumen y peso.
Indicadores de logro: Actividad de evaluación:
4.1 Calcula con seguridad el área de un círculo con figuras planas. Formativa:
4.2 Resuelve con esmero problemas aplicando la fórmula del área y del perímetro. Se observará el entusiasmo y desempeño en clase y en su respectivo trabajo en
4.3 Resuelve con certeza problemas donde se aplique conversiones. equipo, así como la responsabilidad y aseo en la presentación de la tarea asignada.
Sumativa:
1. Presentación de tarea de investigación. 20%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7
Criterios:
- Contenido completo: 20%
- Orden, aseo y ortografía: 20%
- Solución correcta: 60%
2. Laboratorio individual escrito. 50%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15.
11

12. Planificación de unidad didáctica
Unidad 5. Utilicemos proporcionalidad Competencias:
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 25 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Resolver problemas de la vida cotidiana aplicando con seguridad proporciones, regla de tres y tanto por ciento, valorando la opinión de los demás.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
Proporcionalidad Aplicación de las razones en ejercicios y Entusiasmo al determinar y ejemplificar las
Razones problemas. razones. 174 - 175
Proporciones Planteamiento e interpretación de las Interés por identificar las proporciones.
proporciones. 176
Propiedad fundamental de las Deducción y utilización de la propiedad Orden en la aplicación de proporciones.
proporciones fundamental de las proporciones. 176 – 177
Plano cartesiano: par ordenado Localización de pares ordenados en el plano Orden y exactitud al ubicar pares ordenados.
y su gráfico en el plano cartesiano. Guía de contenido
cartesiano No. 9
Proporcionalidad directa Utilización y explicación de la proporcionalidad Seguridad al utilizar y explicar la
directa en ejercicios y problemas. proporcionalidad directa. 184 – 185
Proporcionalidad inversa Utilización y explicación de la proporcionalidad Seguridad al utilizar y explicar la
inversa en ejercicios y problemas. proporcionalidad inversa. 186 - 187
Regla de tres simple: directa, Resolución y explicación de ejercicios y problemas Interés por aplicar la regla de tres.
inversa usando regla de tres directa e inversa. 188
Tanto por ciento (porcentaje) Resolución y explicación de problemas de Valora la utilidad del tanto por ciento.
porcentajes. 194 – 195
Regla de tres compuesta Resolución y explicación de problemas utilizando Seguridad en la resolución de problemas
la regla de tres compuesta. utilizando la regla de tres compuesta. Guía de contenido
No. 10
12

13. Sugerencias metodológicas:
Analice con el grupo la actividad planteada en la página 170 del libro de texto y utilice el mapa de conceptos de la página 171 para hacer un bosquejo general de la unidad.
Para definir: razón, razón aritmética, fundamentales de las proporciones; presente primero una problematización de la vida cotidiana para luego definirlos en forma
participativa, para concluir esta primera parte con las respectivas actividades de las página 173 a la 178. El plano cartesiano se trabajará a través de la guía de contenido
Nº 9.
Dirija un coloquio para definir qué es magnitud y luego pídales que presentaran dos gráficos de magnitudes que se relacionen de manera directa o inversa, auxiliándose de
los ejemplos y ejercicios de las páginas del texto 173, 184 a la 187. La regla de tres simple directa e inversa se desarrollará con la propuesta de la página 188 del libro de
texto, la regla de tres compuesta con la guía de contenido Nº 10 y el tanto por ciento con las página 194 a la 195.
Asigne actividad de investigación previamente y que se socialicen las respuestas.
Utilice aplicaciones de la vida cotidiana para ser resueltas de manera individual y colectiva.
Proporcione tareas para ser desarrolladas en casa (actividades no presenciales).
Indicadores de logro: Actividades de evaluación:
5.1 Aplica las razones en ejercicios y problemas. Formativa:
5.2 Utiliza con orden las proporciones en ejercicios y problemas de aplicación. Se observará la participación propositiva en las diversas actividades desarrolladas en
5.3 Explica con seguridad el plano cartesiano y sus elementos y lo traza con aseo, equipo y la calidad de los aportes en las discusiones propuestas.
a partir de la recta numérica.
5.4 Utiliza y explica con seguridad la proporcionalidad directa en ejercicios y Sumativa:
problemas. 1. Presentación de tres actividades de ejercicio propuestas en las páginas 180 a la
5.5 Resuelve y explica con interés ejercicios y problemas usando la regla de tres 183, 190 a la 193, 198 a la 201 y presentadas en equipos de trabajo.
directa e inversa. 30%
5.6 Resuelve y explica problemas de porcentaje, valorando su utilidad. Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9,10, 11, 12 y 13.
5.7 Resuelve y explica problemas utilizando la regla de tres compuesta, con Criterios:
seguridad y confianza. - Contenido completo: 20%
- Orden, aseo y puntualidad: 20%
- Solución correcta: 60%
2. Evaluación escrita individual de las páginas 204 a la 205 del libro de texto.
50%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9 y 10.
3. Actividad no presencial sobre el plano cartesiano y la regla de 3 compuesta.
20%
Indicadores de logro: 6,7 y 14.
Criterios:
- Contenido completo: 20%
- Orden y puntualidad: 10%
- Solución correcta: 80%
13

14. Planificación de unidad didáctica
Unidad 6. Conozcamos y utilicemos el algebra Competencias:
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 20 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Interpretar y convertir informaciones del entorno al lenguaje algebraico —del valor numérico— con el fin de proponer con seguridad soluciones a situaciones cotidianas.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
Álgebra: notación, Interpretación, aplicación y explicación de la parte Valora la importancia de las letras para
nomenclatura literal, como elemento fundamental dentro de la expresar, de forma general y simple, diversas
nomenclatura algebraica. expresiones matemáticas.
Guía de contenido
Signos algebraicos: de No. 11
operación, de agrupación y de Identificación de los signos algebraicos. Seguridad al identificar signos algebraicos.
relación
Expresiones algebraicas: Identificación y explicación de los elementos de un Seguridad al reconocer y explicar el “término”
término, monomios y polinomios término. en expresiones algebraicas y sus elementos.
Guía de contenido
Diferenciación y explicación del término monomio y Seguridad al expresar un monomio de un No. 12
polinomio. polinomio.
Grado de un monomio: absoluto Determinación del grado relativo y absoluto de un Seguridad al describir las reglas para obtener
Guía de contenido
y relativo monomio. el grado absoluto y relativo de los monomios.
No. 13
Términos semejantes: Simplificación de términos semejantes. Seguridad al simplificar términos semejantes.
reducción
Guía de contenido
Resolución de problemas utilizando resolución de Seguridad al desarrollar ejercicios de
No. 14
términos semejantes. reducción de términos semejantes.
Valor numérico: monomio Utilización del valor numérico de ejercicios Interés por determinar el valor numérico de un
Guía de contenido
aplicación. monomio.
No. 15
Sugerencias metodológicas:
Inicie esta unidad con un trabajo de investigación en equipos de trabajo sobre la historia del álgebra con las siguientes preguntas generadoras:
- ¿Qué es el álgebra?
- ¿Qué aportes se hicieron a lo largo de la historia en esta rama de la Matemática? ¿y quiénes fueron?
- ¿Cuál es la diferencia entre álgebra y aritmética?
14

15. Oriente la socialización de las diferentes participaciones de los equipos expositores. Utilice la propuesta de las guías de contenido 11, 12, 13, 14 y 15 para desarrollar, de
manera participativa, los contenidos de introducción al álgebra en el que debe dársele preponderancia al trabajo en equipo que desarrollarán los y las estudiantes para
solventar cualquier duda surgida en la solución de las diversas actividades.
Asigne ejercicios para ser desarrollados en trabajos colectivos e individuales.
Indicadores de logro: Actividades de evaluación:
6.1 Interpreta, aplica y explica con interés el uso de la parte literal como Formativa:
parte de la nomenclatura algebraica. Se observará el entusiasmo, dedicación y esmero en el desarrollo de las diversas actividades, así
6.2 Establece y explica, con interés, el “valor numérico” que puede como los aportes propuestos en las diferentes actividades.
tomar la parte literal.
6.3 Resuelve problemas utilizando nomenclatura algebraica. Sumativa:
6.4 Determina con seguridad el grado absoluto y relativo de los 1. Presentación de las “actividades de ampliación” propuestas en la Guía de contenido 5,
monomios. que deberán ser presentado en forma individual. 30%
6.5 Simplifica con seguridad términos semejantes. Indicadores de logro: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17 y 18.
6.6 Resuelve problemas utilizando la reducción de términos Criterios:
semejantes. - Contenido completo: 20%
6.7 Interpreta y explica con interés el valor numérico de un monomio. - Orden, aseo y puntualidad: 20%
6.8 Utiliza el valor numérico en el desarrollo de ejercicios. - Solución correcta: 60%
6.9 Resuelve con precisión y orden problemas de valor numéricos. 2. Recopilación de cinco actividades cortas, que deberán ser presentadas en equipos de
trabajo. 30%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18.
Criterios:
- Contenido completo: 20%
- Ortografía y puntualidad: 20%
- Solución correcta: 60%
3. Laboratorio individual. 40%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18.
15

16. Planificación de unidad didáctica
Unidad 7. Utilicemos los exponentes Competencias:
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 25 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Proponer soluciones a problemáticas del aula y del entorno utilizando la potenciación y sus propiedades, respetando la opinión de los demás.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
Potenciación: exponentes Deducción y aplicación del significado del Seguridad al explicar el significado del
enteros positivos, exponentes exponente cero. exponente cero.
ceros, exponentes enteros 210 -211
negativos Simplificación de cantidades numéricas y Seguridad al realizar simplificaciones. Guía de contenido
monomiales, positivas o negativas, elevadas a No. 16
una potencia entera (positiva o negativa).
Propiedades de los exponentes: Simplificación de cantidades numéricas y Seguridad, confianza y orden al aplicar las
producto de bases iguales, algebraicas que requieran de la aplicación de dos propiedades de los exponentes.
cociente de bases iguales, o más propiedades de los exponentes.
potencia de otra potencia, 212-213-214
potencia de un producto y
potencia de un cociente
Notación científica Determinación y explicación de la utilidad de la Seguridad al explicar la utilidad de la notación
notación científica. científica.
Conversión de notación decimal
a científica Conversión de cantidades en notación científica a Seguridad en la conversión de notación
Guía de contenido
Calculadora científica notación decimal sin y con calculadora. científica a notación decimal.
No. 17
Conversión de notación
científica a decimal Conversión de cantidades en notación decimal a
notación científica sin y con calculadora.
Operaciones básicas en Realización de sumas, restas, multiplicaciones y Confianza al resolver problemas de aplicación
notación científica divisiones de cantidades en notación científica, sin que envuelvan la notación científica.
y con calculadora. Guía de contenido
No. 18
Aplicación de la notación científica a problemas de
la vida diaria.
16

17. Sugerencias metodológicas:
Inicie la unidad haciendo uso del mapa de conceptos de la página 207 del libro de texto, para hacer un bosquejo general de la potenciación. También se utilizará la actividad
introductoria de la página 209. Las diferentes actividades introductorias de las páginas 210 a la 214 y 218 a la 219, del libro de texto se fortalecerán con las guías de
contenido número 16, 17 y 18, en las que se utilizará el método participativo, tanto en la definición de conceptos como en el trabajo cooperativo de equipos, para el desarrollo
de los ejercicios propuestos.
Presente, en un cartel, una situación problemática que involucre la potenciación.
Asigne, como tarea individual, la construcción de su árbol genealógico en páginas de papel bond.
Desarrolle los ejercicios propuestos en el libro de texto páginas de la 210 a la 217 y en las guías de contenido No. 17, 18 y 19.
Indicadores de logro: Actividades de evaluación
7.1 Deduce y aplica con claridad los exponentes negativos. Diagnóstica:
7.2 Define con claridad y explica la utilidad de los exponentes mediante su Se asignará en parejas de trabajo la actividad de la página 209 del libro de texto para
notación apropiada. conocer los alcances que poseen los estudiantes.
7.3 Simplifica con seguridad cantidades numéricas y monomiales negativas
elevadas a una potencia entera (positiva o negativa). Formativa:
7.4 Simplifica con confianza cantidades numéricas y monomiales elevadas a La cooperación y deseo de hacer bien las cosas en la solución de las diferentes guías
la potencia cero. contribuirán a la formación integral de los/as estudiantes.
7.5 Simplifica cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la
aplicación de dos o más propiedades de los exponentes. Sumativa:
7.6 Determina y explica con confianza la utilidad de la notación científica. 1. Presentación, en parejas de las páginas 216 a la 217 del libro de texto. 30%
7.7 Aplica con confianza la notación científica en la resolución se problemas. Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.
Criterios:
- Contenido completo 20%
- Orden, aseo y puntualidad: 20%
- Solución correcta: 60%
2. Evaluación escrita individual de las págs. 220 y 221 del libro de texto. 40%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.
3. Actividad no presencial, en pareja, sobre notación científica.
30%
Indicadores de logro: 13, 14, 15,16, 17, 18 y 19.
Criterios:
- Contenido completo: 10%
- Orden y puntualidad: 10%
- Solución correcta: 80%
17

18. Planificación de unidad didáctica
Unidad 8. Operemos con monomios Competencias: Tiempo: 25 horas
Razonamiento lógico matemático
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Utilizar, con seguridad, las operaciones con momios, con el fin de encontrar soluciones a situaciones problemáticas escolares y del entorno.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
Operaciones básicas con Resolución de sumas y restas de monomios y Seguridad al resolver sumas, diferencias y
monomios: suma, diferencia y operaciones combinadas. operaciones combinadas de monomios. Guía de contenido
suma y resta combinadas No. 19
Supresión e introducción de Resuelve problemas aplicando operaciones Interés por comprender y dominar las reglas
signos de agrupación combinadas con signos de agrupación. para introducir y suprimir signos de Guía de contenido
agrupación. No. 20
Potencia de monomios con Resolución de ejercicios con monomios. Seguridad al aplicar potencia de in producto y
exponentes enteros multiplicación de monomio por monomio.
Guía de contenido
Multiplicación de monomios por No. 21
monomios
Multiplicación de monomio por Realización de productos de monomios por
polinomio polinomios aplicando las propiedades de los Guía de contenido
exponentes. No. 22
División de un monomio entre Obtención de cociente entre monomios y de un Esmero en la solución de cociente de
un monomio y de un polinomio polinomio entre monomio. monomio entre monomio y por polinomio entre Guía de contenido
entre un monomio monomio. No. 23 y 24
Operaciones combinadas entre Resolución de problemas algebraicos utilizando Esmero y seguridad al resolver operaciones
monomios operaciones combinadas entre monomios. combinadas.
Guía de contenido
No. 25
18

19. Sugerencias metodológicas:
Inicie con una retroalimentación de la reducción de términos semejantes, después de haber aplicado un taller que desarrollaran en forma individual. Desarrolle los contenidos
con base en la propuesta didáctica de las guías metodológicas 19, 20, 21, 22, 23, 24 y 25. Para el trabajo en equipo de cada guía asigne tutores, quienes coordinaran la
actividad asignada en ese momento. El o la docente verificará el trabajo de cada equipo y retroalimentará tantas veces sea necesario.
Hacer una retroalimentación de las propiedades de la potenciación y las partes que posee un monomio.
Solicite que desarrollen, en equipos de trabajo, los ejercicios de las guías 20, 21, 22, 23, 24, 25 y 26.
Indicadores de logro: Actividades de evaluación:
8.1 Resuelve con satisfacción operaciones combinadas de sumas y diferencias de monomios. Formativa:
8.2 Resuelve problemas aplicando operaciones combinadas con signos de agrupación. Trabajo cooperativo desarrollado en las diversas actividades propuestas.
8.3 Resuelve con seguridad ejercicios con monomios aplicando: potencia de un cociente.
8.4 Convierte con seguridad expresiones con exponentes negativos a expresiones con Sumativa:
exponentes positivos y viceversa. 1. Actividad no presencial desarrollada en equipos de trabajo, coordinadas
8.5 Realiza con esmero productos de monomio por monomio aplicando propiedades de los por los tutores. 40%
exponentes. Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 y 14.
8.6 Realiza con esmero productos de monomio por polinomio aplicando propiedades de los Criterios:
exponentes. - Contenido completo: 10%
8.7 Resuelve con seguridad problemas algebraicos utilizando operaciones combinadas entre - Orden y puntualidad: 20%
monomios. - Solución correcta: 70%
2. Laboratorio individual. 30%
Indicadores de logro: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
3. Laboratorio en parejas. 30%
Indicadores de logro: 10, 11, 12, 13 y 14.
19

20. Planificación de unidad didáctica
Unidad 9. Conozcamos y apliquemos los radicales Competencias:
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 35 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la Matemática al entorno
Objetivo de unidad:
Aplicar, con destreza, la radicación y sus propiedades, al proponer soluciones a situaciones del ámbito escolar y social.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
Radicación Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas exactas. Seguridad al calcular las raíces.
Raíces exactas: cuadradas y
226-227-228-233-234
cúbicas
Propiedades de los radicales: Aplicación de las propiedades de los radicales. Confianza al aplicar las propiedades de los
231
raíz de un producto y de un radicales.
Guía de contenido
cociente, raíz de otra raíz
No. 26
Radicales semejante. Simplificación de radicales cuadrados y cúbicos Confianza al simplificar radicales.
Simplificación semejantes con radicandos enteros numéricos o
algebraicos. Orden al sumar y restar los radicales.
Guía de contenido
Cálculo de la sumas y restas de radicales No. 27
cuadrados y cúbicos semejantes con radicandos
enteros numéricos y algebraicos.
Operaciones con radicales de Cálculo de la multiplicación y división de radicales Autonomía al multiplicar los radicales.
cantidad subradical entera cuadrados y cúbicos con radicales enteros
Guía de contenido
(suma, resta, multiplicación y numéricos y algebraicos. Seguridad al calcular los cocientes de No. 28, 29 y 30
división) radicales.
Sugerencias metodológicas:
Comente con el grupo la actividad de la página 222 del libro de texto. Luego se hará una presentación general de la radicación usando el mapa de conceptos de la página
223. El diagnóstico se desarrollará en equipos de trabajo usando las páginas 224 y 225 para luego socializar los resultados y retroalimentar lo que sea necesario. La
propuesta metodológica de las páginas 226 – 228, 231, 233 – 234 del libro de texto se fortalecerá con las guías de contenido número 26,27, 28, 29 y 30.
Introduzca la radicación con la actividad de la página 225 del libro de texto y en equipos de trabajo desarrollar las actividades de la páginas 236 hasta la 239 del mismo libro.
20

21. Indicadores de logro: Actividades de evaluación
9.1 Resuelve problemas aplicando ordenadamente las raíces Diagnóstica:
exactas. Se asignará, en equipos de trabajo, la actividad de las páginas 224 y 225 del libro de texto, para
9.2 Simplifica ordenadamente las raíces cuadradas y cúbicas retroalimentar lo que sea necesario.
con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.
9.3 Simplifica con confianza los radicales cuadrados y cúbicos Formativa:
semejantes con radicandos enteros numéricos y algebraicos. Se observará la dedicación y esmero en el desarrollo del trabajo en equipo.
9.4 Calcula con orden la suma y resta de radicales cuadrados y
cúbicos semejantes con radicandos enteros numéricos y Sumativa:
algebraicos. 1. Presentación en equipo de ejercicios propuestos en el libro de texto de la pág. 236 a 239. 20%
9.5 Calcula con autonomía la multiplicación de radicales Indicadores de logro. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12.
cuadrada y cúbica con radicandos enteros numéricos y Criterios:
algebraicos. - Contenido completo: 10%
9.6 Calcula con seguridad los cocientes de radicales cuadrados - Orden, aseo y puntualidad: 15%
y cúbicos con argumentos enteros numéricos y algebraicos - Solución correcta: 75%
que den respuestas exactas. 2. Tarea extra aula en parejas. 20%
Indicadores de logro: 9, 10, 11 y 12.
Criterios:
- Contenido completo: 10%
- Orden y puntualidad: 10%
- Solución correcta: 80%
3. Prueba escrita individual. 60%
Indicadores de logro: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12.
21

22. UNIDADES MÉTRICAS DE LONGITUD
EL METRO. MÚLTIPLO Y SUBMÚLTIPLOS
El metro es la unidad básica de longitud y corresponde a la diezmillonésima parte del
Toma nota cuadrante de un meridiano terrestre. Se simboliza m.
La barra de platino e iridio, en
la cual se hicieron dos Existen unidades superiores al metro llamadas múltiplos; se nombran anteponiendo los
marcas separadas a una prefijos: miria-, kilo-, hecto- y deca- a la palabra metro.
distancia de un metro, se
conoce como metro patrón y Múltiplo Símbolo Equivalencia en metros
se puede observar en el
Museo de Pesas y Medidas Miriámetro mam 10 000 m
de París. Kilómetro km 1 000 m
Hectómetro hm 100 m
Decámetro dam 10 m
También existen unidades inferiores al metro llamadas submúltiplos; se nombran
anteponiendo los prefijos: deci-, centi- y mili- a la palabra metro.
Submúltiplo Símbolo Equivalencias en metro
Piensa
¿Cuál es la equivalencia de decímetro dm 0.1 m
una milimicra?
centímetro cm 0.01 m
milímetro mm 0.001 m
El decímetro equivale a la décima parte del metro, el centímetro a la centésima parte y
el milímetro a la milésima parte.
CONVERSIONES
Generalmente, los múltiplos del metro se emplean para medir longitudes grandes, como
distancias entre lugares, y los submúltiplos se emplean para medir longitudes pequeñas,
como el tamaño de un objeto. Sin embargo, a cualquier medida dada en una unidad se
le puede hallar su equivalencia en las otras unidades.
Matemáticos del siglo XVIII
Joseph Louis Lagrance Por ejemplo, la luz recorre 300 000 km en un segundo. Esta distancia equivale a 300
Francia (1736-1813) 000 000 m (trescientos millones de metros) y a 3 000 000 000 dm (tres mil millones de
Matemático y astrónomo que decímetros).
estuvo a cargo de la comisión
que estableció un nuevo La siguiente tabla muestra en orden los múltiplos y los submúltiplos del metro:
sistema de pesas y medidas mam km hm dam m dm cm mm
del cual surgió el sistema
métrico decimal. Para hallar la equivalencia de una unidad de orden mayor a una unidad de orden menor,
Fue uno de los matemáticos se multiplica por 10, 100, 1,000, etcétera.
más importantes del siglo
XVIII.
mam km hm dam m dm cm mm
Para hallar la equivalencia de una unidad de orden menor a una unidad de orden mayor,
se divide entre 10; 100; 1,000; etcétera.
mam km hm dam m dm cm mm
22

23. En el siguiente ejercicio se plantea el procedimiento para hacer este tipo de
conversiones.
Toma nota
Ejemplo resuelto
×10 ×10 ×10 ×10
Halla las equivalencias de las siguientes longitudes.
a. 32 hm en cm b. 12 000 mm en m
hm dam m dm cm
× 10,000
Solución:
Figura 1
a. El ejercicio plantea una conversión de una unidad mayor (Hm) a una unidad menor
(cm). Por lo tanto, se debe multiplicar por 10,000, pues hay cuatro casillas entre Hm y
cm (figura 1).
Luego, la equivalencia de 32 hm en cm es:
÷10 ÷10 ÷10 32 x 10 000 = 320 000
En conclusión, 32 hm = 320 000 cm.
dam m dm cm mm
b. Como en este ejercicio se plantea una conversión de una unidad menor (mm) a
una unidad mayor (m) se debe dividir entre 1,000, pues hay tres casillas entre mm y
÷100 m (figura 2). Así que la equivalencia de 12,000 mm en m es:
Figura 2 12 000 ÷1 000 = 12 m
Por lo tanto, 12 000 mm = 12 m.
1. Realiza cada conversión. 3. Determina si la equivalencia es correcta, si no lo es corregirla.
a. 30 km a m a. 650 km = 650.00 m
b. 159 dam a cm b. 27 hm = 0.27 mam
c. 349 dm a mm c. 48 mam = 4.800 dm
d. 490 hm a m d. 35 m = 0.035 hm
e. 1.954 dam a cm e. 9.7 km = 970 hm
f. 4.250 dam a dm f. 6.24 cm = 0.0624 km
g. 5,31 km a dam g. 195.4 dam = 1.954 m
h. 16,34 hm a cm h. 19.6 mm = 0.00196 m
i. 37.21 hm = 0.3721 km
j. 3.24 mam = 0.324 km
2. Convierte de unidad menor a unidad mayor.
a. 630 m a dam k. 0.624 km = 62.4 dam
b. 749 dm a hm l. 195.63 m = 19563 hm
c. 3.900 mm a m m. 245.61 m = 0.74561 km
d. 4.600 cm a dam n. 35.4 dm = 3.54 m
e. 3.400 hm a mam
4. Ordena de menor a mayor cada grupo de cantidades.
f. 196.5 m a dam
a. 37 km; 64 m; 124 cm; 0.35 mam; 243 mm
g. 189,32 cm a hm
b. 1.49 m; 1.65 dm; 0.34 mam; 124.32m; 1.71 cm
h. 1.43 dm a hm
c. 32.29 km; 129.38 m; 121.3 m; 6.29 km; 2 m
d. 4.35 m; 121 km; 2.51 m; 6 mam; 5.3 mm
e.7.31 dm; 6.31 mm; 6.34 dm; 5.31 cm; 6.8 dam
23

24. UNIDADES MÉTRICAS DE SUPERFICIE
METRO CUADRADO. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS
En el sistema métrico decimal la unidad básica es el metro cuadrado.
Un metro cuadrado es el área de un cuadrado de 1 metro de lado. Se nota
simbólicamente m2.
El metro cuadrado tiene unidades de orden superior y de orden inferior llamadas
Realidad y curiosidad múltiplos y submúltiplos.
Entonces, para nombrar los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado se usan los
mismos nombres de las unidades de longitud y se acompañan de la palabra
cuadrado; así:
Múltiplos Símbolo Equivalencia en m2
Miriámetro cuadrado mam2 100.000.000 m2
Kilómetro cuadrado km2 1.000.000 m2
El área de los cinco continentes se Decámetro cuadrado dam2 100 m2
registra en la siguiente tabla.
Continente Área Submultiplos Símbolo Equivalencia en m2
América 42.262.142 km 2 Decímetro cuadrado dm2 0.01 m2
África 30.365.000 km 2
Asia 44.614.000 km 2 Centímetro cuadrado cm2 0.0001m2
Europa 10.530.740 km 2 Milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2
Oceanía 8.505.700 km 2
La siguiente tabla muestra, en orden, los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado;
cada uno de ellos es 100 veces menor que la unidad de orden inmediatamente
superior y 100 veces mayor que la unidad de orden inmediatamente inferior.
mam2 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Por ejemplo, en la tabla se observa que el dam2 es la unidad de orden
inmediatamente superior al m2, entonces, 1 dm2 es 100 veces 1m2 (1 dm2 = 100m2).
De la misma manera 1 dam2 es la unidad de orden inmediatamente inferior a 1 hm2
por lo cual 1 dam2 es 100 veces menor que 1 hm2
1
1dam2 hm2 0.01hm2
100
Ejemplos resueltos
1. Si la figura A tiene un área de 3 cm2 y la figura B un área de dm2, ¿cuál de las dos
figuras tiene mayor área?
Solución:
La figura B tiene mayor área, porque los decímetros cuadrados son unidades de
orden superior que los centímetros cuadrados.
2. Si la superficie del lote A mide 96m2 y la del lote B mide 150m2, ¿cuál lote es más
extenso?
Solución:
El lote B es más extenso.
24

25. CONVERSIONES
1 cm 2 1mm 2 Un decímetro cuadrado corresponde al área de un cuadrado que mide 1 dm de
lado.
Al construir un cuadrado de 1 dm de lado y recubrirlo con centímetros cuadrados se
puede verificar que 1 dm2 = 100 cm2
1cm = 10mm
Ya que hay 10 cm2, 10 veces, así:
Figura 1 1 dm2 = 10 cm cm2×10 = 100 mm2 1 cm2 = 100 mm2
Un centímetro cuadrado corresponde al área de un cuadrado que mide 1 cm de
Piensa
lado.
¿Una hectárea equivale a
10,000 m 2 ? ¿Por qué? De la misma manera, al construir un cuadrado de 1 cm de 1 dm de lado y recubrirlo con
centímetros cuadrados, se puede verificar que 1 cm2 equivale a 100 mm2 (figura 1).
1 cm2 = 10 mm2 ×10 = 100 mm2 1 cm2 = 100 mm2
En general
Para hallar equivalencias entre unidades métricas de área cualesquiera, se procede
así:
De una unidad de orden mayor a una unidad de orden menor se multiplica por 100, 10
000, 1.00.00, etcétera. Por ejemplo, para convertir 15 km2 en m2 se multiplica por
1 000 000, así: 15 × 1 000 000 = 15 000 000
Así, 15 km2 = 15 000 000 m2
×100 ×100 ×100
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2
×1 000 000
De una unidad de orden menor a una unidad de orden mayor se divide entre 100, 10
000, 1 000 000, etcétera.
Por ejemplo, para convertir 2.48 dm2 a dam2 se divide entre 10 000, así:
2.480 ÷ 10 000 = 0.248.
Por lo tanto, 2.480 dm2 = 0.248 dam2
÷100 ÷100
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2
÷10 000
25

26. Ejemplo resuelto
El Principado de Mónaco tiene un área de 1.95 km2 y la República de Nauru
tiene 1 945 hm2 más que Mónaco. ¿Cuántos hm2 de área tiene la República de
Nauru?
Solución:
Primero se busca la equivalencia de 1.95 km2 en hm2 multiplicado por 100. Así:
1.95 * 100 = 195
Por lo que, 1.95 km2 = 195 hm2
Ahora, como la República de Nauru tiene 1945 hm2 más que Mónaco, se
Principado de Mónaco resuelve la suma:
1 945 hm2 + 195 hm2= 2 140 hm2
Por lo tanto, la República de Nauru tiene 2 140 hm2 de área.
1. Convierte a la unidad dada. 2. Lee y responde.
En la tabla siguiente se registraron las superficies de los
a. 5 km2a hm2
continentes:
b. 49 m2 a mm2
c. 9 dam2 a m2
d. 56 mam2 a km2
e. 16 m2 a dm2
f. 2,651 dm2 a hm2
g. 138 dam2 a hm2 Continente Área
h. 125 dm2 a cm2
América 42 262 142km2
i. 168 cm2 a mm2
j. 4.25 m2 a dm2 África 30 365 000km2
k. 216.2 m2 a cm2 Asia 44 614 000km2
l. 0.01 dm2 a hm2
Europa 10 530 740km2
m. 0.0085 hm2 a km2
n. 0.0097 m2 a dm2 Oceanía 8 505 700 km2
o. 0.0612 cm2 a dam2
a. ¿Cuántos Dm2 es la superficie de los cinco continentes?
p. 5.21 dam2 a mm2
b. ¿Cuál de los continentes tiene mayor superficie?
q. 0.133 cm2 a mm2 c. ¿Cuántos Hm2 más de superficie tiene hacia que
r. 3.7 dm2 a hm2 América?
d. ¿Cuántos Dm2 más tiene África que Oceanía?
s. 3.24 dam2 a km 2 e. Ordena de menor a mayor en Hm2 la superficie de los
continentes.
t. 16.4 mm2 a cm2
26

27. MEDIDAS AGRARIAS
Algunas unidades de área toman diferentes nombres cuando se refieren a medidas
agrarias. Este es el caso del hectómetro cuadrado, llamado hectárea y el decámetro
cuadrado llamado área. También, entre estas medidas, están la caballería y la
manzana.
Realidad y curiosidad
Nombre Símbolo Equivalencia en el SMD
La Ciudad del Vaticano es
Hectárea ha 1 hm2
un Estado independiente y
es el más pequeño del Área a 1 dam2
mundo. Caballería ca 427 956.35 m2
Manzana ma 6 989 m2
La plaza del mercado más
grande del mundo es la
“Central de Abastos” de
Ejemplo resuelto
México. Su superficie mide
328 ha.
Una finca se ha dividido en tres parcelas para sembrar maíz, arroz y fríjol.
La parcela destinada al cultivo de maíz tiene un área de 200 hectáreas; la parcela del
arroz tiene 50 hectáreas más que la parcela del maíz y la parcela del fríjol tiene 70
hectáreas menos que la del arroz. ¿Cuál es el área de cada parcela?
Solución:
Como la parcela del maíz mide 200 ha y la de arroz 50 ha más que ella, se tiene que la
parcela del arroz mide:
200 ha + 50 ha = 250 ha
Y como la parcela del frijol mide 70 ha menos que la del arroz, entonces, la parcela del
sorgo mide:
250 ha – 50 ha = 180 ha
Por lo tanto, A (maíz) = 200 ha; A (arroz) = 250 ha; y A (fríjol) = 180 ha.
Conversiones
Expresar 2 caballerías en hectáreas.
Solución:
Como una caballería es 427 956.75 m, dos caballerías serán 2(427 956.75 m) =
855,913.5 m. Luego se divide este dato en 10 000 m, que tiene una hectárea, y
obtenemos 85.59 ha; por lo tanto, 2 caballerías equivalen a 85.59 hectáreas.
1. Desarrolla en tu cuaderno cada ejercicio y completa 2. Lee cada situación y responde la pregunta. Justifica
las siguientes igualdades. cada respuesta.
a. 5 a = ____________ ma a. Sobre un terreno de 2 ha ¿es posible construir una
piscina de 3 m x 4 m?
b. 7 Ma = ____________ ha
c. 4.6 ha = ____________ a 2
b. Don José compró un terreno de 87 m . ¿Es cierto
d. 4.3 Ca = ____________ ma que tiene 87 ha?
e. 9.5 ha = ____________ ca c. Un arquitecto necesita recubrir una habitación que
f. 0.133 Ma = ____________ a tiene 0.5 ha. ¿Es cierto que necesita 30 baldosas
cuadradas de 30 m de lado?
g. 3.7 ha = ____________ ma
h. 3.24 a = ____________ ha d. Felipe tiene un cultivo de tomate en una ha de su
2
i. 6.7 Ma = ____________ ca finca. ¿Cuántos m tiene cultivados?
j. 5.89 Ca = ____________ ha
27

28. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA
REPRESENTACION DE UN NÚMERO RACIONAL POSITIVO SOBRE LA RECTA
Para ubicar sobre la recta numérica un número racional positivo se debe considerar
la fracción que lo representa: si es propia o si es impropia.
a) Si es propia, se divide la unidad de 0 a 1 en partes iguales según indique el
Recuerda denominador, y a partir de 0 se cuenta hacia la derecha tantas partes como indique
Los números positivos se 2
representan en la recta numérica el numerador. Por ejemplo, observa la representación gráfica de .
a la derecha del 0 y los números 7
negativos, a la izquierda del 0. 2
…-2 -1 0 1 2…
7
b) Si es propia, se transforma la fracción en un número mixto, se cuenta hacia la
derecha la parte entera que indica el número mixto, y a partir de ahí se toma del
siguiente segmento la parte fraccionaria. Por ejemplo, fíjate en la representación
9 1
gráfica de
4 4
Piensa 9 | 4___ 9 = 2 1/4 2
¿Entre qué números enteros 12 4
quedaría representado el número 9
25 …-3 -2 -1 0 1 2 3…
racional en la recta 4
6
numérica?
REPRESENTACION DE UN NÚMERO RACIONAL NEGATIVO SOBRE LA RECTA
Para ubicar sobre la recta numérica un número racional negativo, se debe
25 |6 considerar la fracción que lo representa: si es propia o si es impropia.
14 a) Si es propia, se divide la unidad de 0 a -1 en tantas partes iguales como indica el
denominador, y a partir de 0 se cuenta hacia la izquierda tantas partes como indica
5
el numerador. Por ejemplo, observa la representación gráfica de
6
5
6
… -2 -1 0 1 2…
b) Si es impropia, se transforma la fracción en un número mixto, se cuenta hacia la
izquierda la parte entero que indica el número mixto, y a partir de ahí se toma del
siguiente segmento la parte fraccionaria. Por ejemplo, fíjate en la representación
8 3
gráfica de . 1
5 5
8 3
8|5 = 1
5 5
8
31 ...-2 -1 0 1 2…
5
1. Calcula, ¿dónde se representarán en la recta 3. Representa los siguientes números racionales en una
3 4 recta numérica.
numérica los números racionales y , a la 3 8
8 5 a. f.
8 2 7
derecha o a la izquierda de 0? ¿Y las fracciones 1 27
11 b. g.
4 4 10
y ? 0 16
15 c. h.
2. Escribe tres fracciones que se representen en cada 5 5
uno de los puntos señalados en cada recta. 1 11
d. i.
3 4
..-3 -2 -1 0 1 2 3...
7 81
e. j.
A BC D EF 3 27
28

29. UNIDADES DE CAPACIDAD
Cuando la sustancia que puede contener un cuerpo se trata de líquidos o gases, se
acostumbra emplear la medida de capacidad en litros.
El litro ( ) es la unidad principal de capacidad del sistema métrico decimal y se define
Piensa como la capacidad que tiene un cubo cuya arista mide 1 dm.
¿Cómo se convierte 40h a c?
Los múltiplos del litro son: el kilolitro (k ), el hectolitro (h ), y el decalitro (da ). Y los
submúltiplos del litro son: el decilitro (d ), el centilitro (c ), y el mililitro (m ).
En la siguiente tabla se aprecia la equivalencia entre estas medidas:
Unidad
Múltiplos del litro Submúltiplos del litro
principal
1000 100 10 0.1 0.01 0.001
1
1k 1h 1da 1d 1c 1m
Considerando esta tabla de equivalencias, ¿cuántas botellas de un litro se
necesitarán para vaciar un tonel de un hectolitro?
Como 1 h = 100 , entonces se necesitan 100 botellas de un litro.
Al igual que las unidades de longitud, las unidades de capacidad van de 10 en 10.
Para pasar de una unidad mayor a una menor, se multiplica por la unidad seguida de
ceros; para pasar de una unidad menor a una mayor, se divide entre la unidad
seguida de ceros.
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
1k 1h 1da 1 1d 1c 1m
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
Fíjate, por ejemplo, como se realiza la reducción de 4 c a da :
Como 1 c es una unidad menor a 1 da , se debe dividir 4 entre 1 000 y como
4÷1 000 = 0.004, entonces, 4 c = 0.004 da .
Reduce a las unidades indicadas.
i. 22 cm 3 a dm 3
a. 18 cm 3 a dm 3
3 3 j. 3.5 dm 3 a m 3
b. 2.5 dm a m
3 3 k. 2.3 mm 3 a dm 3
c. 3.2 mm a dm
3 3 l. 24 m 3 a dm 3
d. 50 m a dm
m. 15 hl a ml
e. 20 hl a ml
n. 18 kl a l
f. 96 kl a l
o. 53 ml a dal
g. 79 ml a dal
p. 3.8 kl a ml
h. 15.4 kl a ml
29

30. UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD
VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
En muchas ocasiones se encuentran problemas en los cuales es necesario
Recuerda calcular la cantidad de espacio que ocupa un sólido o cuerpo geométrico. Por
El volumen de un cubo de lado es ejemplo, para saber cuántas cajas caben en la cava de una camioneta se debe
tomar en cuenta el espacio que ocupa cada caja y el espacio disponible en la
igual a 3 . cava; luego, se puede dividir el espacio disponible en la cava entre el espacio
que ocupa cada caja.
El volumen de un sólido es la cantidad de espacio que ocupa el sólido.
La medida del volumen de un sólido depende de la unidad elegida.
El volumen de un sólido se obtiene al calcular el número de unidades cúbicas
que contiene. Por ejemplo, observa los cuerpos A, B, C Y D; si se elige como
A unidad el cuerpo A, entonces el volumen del cuerpo b es 5 unidades A, del C es
3 unidades A y del D es 5 unidades A.
Fíjate, además, en que los cuerpos B y D son diferentes, pero tienen el mismo
volumen.
B UNIDADES DE VOLUMEN
Se pueden usar diferentes unidades cúbicas para medir el volumen de un sólido,
la principal es el metro cúbico.
Un metro cúbico (m 3 ) es el volumen de un cubo de arista igual a un metro.
Los cubos que tienen como arista un submúltiplo del metro son los submúltiplos
C del metro cúbico, estos son: el decímetro cúbico (dm 3 ), el centímetro cúbico
(cm 3 ) y el milímetro cúbico (mm 3 ). Luego:
1 dm 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 dm.
1 cm 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 cm.
1 mm 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 mm.
D Los cubos cuya arista es un múltiplo del metro son los múltiplos del metro
cúbico, los cuales son: el decámetro cúbico (dam 3 ), el Hectómetro cúbico (hm 3 )
y el kilómetro cúbico (km 3 ). Entonces:
1 dam 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 dam.
1 hm 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 hm.
1 km 3 es el volumen de un cubo de arista igual a 1 km.
Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico van de 1 000 en 1 000.
Reduce a las unidades indicada.
a. 20 m3 a dm3 i. 40 dm3a m3
b. 15 cm3 a dam3 j. 25 dam3 a cm3
c. 146 mm3 a km3 k. 124 km3 a mm3
d. 10 hm3 a m3 l. 30 m3 a hm3
e. 0.8 dam3 a hm3 m. 0.5 hm3 a dam3
f. 120 m3 a mm3 n. 115 mm3 a m3
g. 0.96 km3 a m3 o. 0.28 m3 a km3
h. 300 dm3 a dam3 p. 296 dam3 a dm3
30

31. MEDIDAS DE PESO
La masa es la cantidad de materia que tiene un cuerpo. No debe confundirse con el
peso que es la fuerza con que la tierra atrae los cuerpos.
Una unidad es el gramo, que equivale a la masa de 1 cm 3 de agua pura a la
PESO Y MASA temperatura de 4° C.
Peso y masa son dos
conceptos distintos: mientras La unidad básica de las unidades de masa se simboliza por 1 g (gramo).
la masa es la misma en
cualquier lugar, el peso del Múltiplos y submúltiplos
cuerpo puede variar, ya que
la gravedad no es la misma Los múltiplos y submúltiplos del gramo varían de 10 en 10. Es decir, cada unidad de
en todas partes. masa es 10 veces mayor que la inmediatamente inferior y 10 veces menor que la
inmediatamente superior. Así, podemos hallar las siguientes equivalencias.
1 decigramo = 1 dg = 0.1 g
Submúltiplos 1 centigramo = 1cg = 0.01 g
1 miligramo = 1mg = 0.001 g
UNIDADES DE MASA
1
1 libra = kg 1 decagramo = 1 dg = 10 g
2
1 quintal = 100 kg Múltiplos 1 hectogramo = 1hg = 100 g
1 tonelada = 1,000 kg 1 kilogramo = 1kg = 1000 g
1 arroba = 25 libras
1 onza = 28.35 g
Conversión de unidades de masa
Dado que las unidades de masa van de 10 en 10 para pasar de una unidad mayor a una
menor se multiplica por 10, 100, 1000, etcétera, hasta que la unidad corresponda
recíprocamente; para pasar de una unidad menor a una unidad mayor se divide entre
10, 100, 1000, etcétera, hasta encontrar la unidad que se requiere.
Por ejemplo, 0.25 kg se multiplica por 1 000 para obtener gramos. Así: 0.25 kg = 250 g.
Adición y sustracción de unidades de masa
Para sumar o restar unidades de masa se expresan las magnitudes en la unidad que se
requiere y se efectúan las operaciones indicadas.
Por ejemplo, 0.3 kg – 5 cg + 1.23 g equivalen a 301.18 g.
1. Expresa en la unidad indicada la cantidad que se 2. Desarrolla las siguientes operaciones dando la respuesta en
da. gramos.
a. 138 cg a g
b. 12.57 kg a mg 1
5 4
a. 6 dg 0.2 g (0.25kg 1890) kg
c. 3.25 g a kg 2 5 2
d. 127.31 mg a Dg
1 1
e. 0.0032 Hg a g b. 3(23.8hg 15dg ) (2kg 7.1dg ) 2cg kg
3 2
f. 1.2345 g a mg
31

32. RELACIÓN ENTRE CAPACIDAD Y VOLUMEN
Como la capacidad y el volumen son dos magnitudes que están relacionadas se
pueden expresar en las mismas unidades de medida.
PIENSA Si se toma un cubo cuya arista mide 1 dm y se añade un litro de agua, se observará
Si un recipiente A tiene un cubo que el cubo se llena completamente con el litro de agua. Es decir, el volumen del
de arista 10 dm y un recipiente B cubo de un dm de arista es igual a un litro.
tiene un cubo de arista 1 m, ¿en
cuál de los dos recipientes caben Un litro es la capacidad que tiene un cubo de 1 decímetro cúbico.
más cubos de 1cm 3 ?
Lengua y matemática 1 1dm 3 1 1dm 3
Un centímetro cúbico (1cm 3 ) se
puede expresar como 1cc; de Con base en esta equivalencia se pueden establecer relaciones entre las medidas
manera que 1 ml = 1 cc. de capacidad y volumen.
1m 3 = 1 000 dm 3 = 1 000 = 1k 1 m 3 = 1k
Análogamente,
1cm 3 = 0.001 dm 3 = 0.001 litros = 1m 1 cm 3 = 1m
Piensa
¿Cuántos litros de agua caben
en un tanque cuya capacidad
Fíjate en la equivalencia entre las unidades de volumen y capacidad.
es de 1km 3 ? Unidades de 1m 3 1dm 3 1cm 3
volumen
Unidades de 1k 1h 1da 1 1d 1c 1m
capacidad
Por medio de estas equivalencias se puede pasar de una magnitud a otra.
Conversión de unidades de capacidad a unidades de volumen
Para pasar de una unidad de capacidad a una de volumen, primero se lleva la
unidad de capacidad a la unidad de capacidad que tenga un equivalente a una
unidad de volumen y, luego, se realiza la conversión a la unidad de volumen.
Por ejemplo, para pasar 8 h a cm 3 , se pasan los h a m así:
8 * 100 000 = 800 000 8 h = 800 00 m
Luego, se convierten los m a cm 3 así:
Como 1 m = 1 cm 3 , entonces 800 000 m = 800 000 cm 3
Fíjate en el siguiente ejercicio:
Convertir 6.4 da a dm 3 .
6.4 da = 64 = 64 dm 3
Cada unidad de volumen es 1 000 veces mayor que la inmediata inferior y 1 000
veces menor que la inmediata superior.
Conversión de unidades de volumen a unidades de capacidad
Para pasar de una unidad de volumen a una de capacidad, primero se expresa la
unidad de volumen a la unidad de volumen que tenga un equivalente a una unidad
de capacidad y luego, se realiza la conversión a la unidad de capacidad.
Por ejemplo, par pasar 0.5 m 3 a m , se pasan los m 3 a cm 3 así:
0.5 × 1 000 000 = 500 000 0.5 m 3 = 500 000 cm 3
Entonces, 500 000 cm 3 = 500 000 m
32

33. Fíjate ahora en el siguiente ejercicio:
Un recipiente de forma cilíndrica contiene un litro de agua como se muestra en la
figura. Si se introduce una piedra en el recipiente, el nivel de agua sube hasta 1.5
litros. ¿Cuál es el volumen de la piedra en dm 3 ?
Lengua y matemática
Arquímedes descubrió la primera
ley hidrostática: “Un cuerpo que
flora pierde de peso una cantidad
igual a la del líquido que
desaloja”.
1 1.5
El volumen de la piedra es igual al volumen de agua desplazado.
El volumen de agua desplazado = 1.5 - 1 = 0.5 = 0.5 dm 3
Si una medida de volumen está expresada en las distintas unidades se puede
expresar en una misma unidad reduciendo cada medida a una misma unidad o
sumando las medidas obtenidas. Por ejemplo, si un depósito tiene una capacidad de
2.5 k 6.3 h , 68 da , ¿cuál es su capacidad total expresada en litros? y ¿en m 3 ?
Primero se reducen todas las medidas a litros así:
2.5 * 1 000 = 2 500 2.5 k = 2 500
6.3 * 100 = 630 6.3 h = 630
68 * 10 = 680 68 da = 680
Luego, se suman los valores en litros correspondientes así:
2.5 k , 6.3h , 68 da = 2 500 + 630 + 680 = 3 810
Además, como 3 810 = 3 810 dm 3 = 381 m 3 , entonces:
2.5 k 6.3 h 68 da = 3.81 m 3
Ahora, observa la capacidad que corresponde a los tanques 1, 2 y 3: ¿cuántos
kilolitros de agua pueden almacenar los tres tanques juntos?
8.765 dam 3 = 8 765 m 3 = 8 765 k
7.5 dam 3 = 7 500 m 3 = 7 500 k
0.0058 hm 3 = 5 800 m 3 = 5 800 k
8.765 dam 3 + 7.5 dam 3 + 0.0058 hm 3 = 8.765 dam 3 7.5 dam 3 0.0058 hm 3
= 8 765 k , + 7 500 k , + 5 800 k ,
= 22 065 k ,
Entonces, los tres tanques pueden almacenar 22 065 k , de agua.
1. Expresa en litros las siguientes medidas. e. 34 000 m
f. 2.5
a. 3.85 k ,= g. 10 dm3
b. 0.08 h ,= h. 4k
c. 2 dm3= i. 4 000 k
d. 0.3 m3= j. 0.002 11 dam3 4 890 dm3
e. 56 m = k. 5 42 da 900 c
f. 80 cm3= l. 2 dam3 500 da 9
g. 82 m 2.43 d 17.5 c =
h. 6 m3 863 m 13.54 k = 3. Resuelve.
a. ¿Cuántos cubos de madera de 2 cm de arista
2. Calcula en m3 las medidas dadas.
se necesitan para llenar una caja de 50 cm de
a. 4.5 cm3
largo, 40 de ancho y 80 de alto?
b. 800
b. ¿Cuántas botellas de 1 y medio se obtienen
c. 250 dam3
con un depósito lleno de agua con capacidad
d. 25 h
de 2.55 m 3 ?
33

34. PLANO CARTESIANO
RELACIÓN
En la vida diaria es usual establecer relaciones entre personas, lugares u objetos.
Por ejemplo, cuando se dice: “Juan es hijo de Luisa”, se establece una relación
familiar entre Juan y Luisa (“ser hijo de”).
PENSAMIENTO ESPACIAL Y Esta relación se estableció entre un elemento del conjunto de los hijos y un
NUMERICO elemento del conjunto de las madres.
Otro ejemplo cotidiano de relación es “ser empleado de”. En ella se relaciona el
conjunto de los trabajadores con el conjunto de las empresas.
PLANO CARTESIANO
De manera similar se pueden establecer relaciones entre conjuntos de números.
Esta idea fue la que usó Renato Descartes, matemático y filósofo francés, quien
creó un sistema de representación en el cual todos los puntos del plano tienen una
ubicación. A este sistema de representación se le conoce como plano cartesiano,
en honor a su creador.
Figura 1 El plano cartesiano está formado por una recta horizontal y una recta vertical que
se interceptan en un punto llamado origen. La recta vertical recibe el nombre de
“eje y” y la recta horizontal, “eje x”. En cada eje se establece una escala, como se
muestra en la figura 1.
Cada punto en el plano cartesiano se representa por una pareja ordenada de
números (a,b), a se ubica en el eje x y b en el eje y. Entonces, a recibe el nombre
de primera componente o abscisa y b, de segunda componente u ordenada. Por
ejemplo, en la figura 2 se ubicaron las parejas ordenadas (1,1), (-1,1), (-1,-1) y
(2,-3).
Figura 2 Ejemplo resuelto
Ubicar en el plano cartesiano A = (-2, -1), B = (2, -4), C = (1, 2) y D = (-2, 1).
Solución:
Toma nota Primero, se construye el plano cartesiano. Luego se ubican los puntos A, B, C, y D.
El eje de las x, también recibe el
nombre de eje de las abscisas y
al eje de las y se le llama de las
ordenadas.
1. Ubica en un mismo plano cartesiano los pares 2. Determina las coordenadas del siguiente plano.
ordenados de cada literal.
a. (-2, 3); (-6, -4); (3, 4); A
b. (3, -1); (2, 0); (-4, 0); (0, 5); (0, -4)
c. (20, 30); (-40, 60); (10, -40); (-70, -80)
B
d. (1/2, 4); (-2, ¾); (0, 7/3); (-11/5, -3).
C D
34

35. REGLA DE TRES COMPUESTA
REGALA DE TRES COMPUESTA
En algunas situaciones de proporcionalidad intervienen más de dos magnitudes. Por
ejemplo, del alojamiento en un hotel depende del número de personas y del número
de noches de alquiler.
Toma nota
Magnitud Magnitud Magnitud Para resolver problemas relacionados con estas situaciones se utiliza la regla de tres
x y z compuesta.
m q r
n q t
Tabla 1 PROPIEDAD FUNDAMENTALDE LA PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
Si x, y, y z son magnitudes, m y n son valores de la magnitud x que corresponden
respectivamente a los valores p y q de la magnitud y, y a los valores r y t de la
magnitud z (tabla 1), entonces, se pueden presentar los siguientes tipos de
proporcionalidad:
m p r
1. x es directamente proporcional a y y a z, entonces,
n q t
Para responder
Poner un ejemplo de tres m q t
magnitudes en las que una de 2. x es inversamente proporcional a y y z, entonces,
ellas sea inversamente n p r
proporcional a las otras dos.
3. x es directamente proporcional a y y x es inversamente proporcional a z, entonces,
m p t
x
n q r
Los problemas de regla de tres compuesta se resuelven por medio de análisis, como
los que se hacen en los problemas de regla de tres simple, comparando cada
magnitud con la magnitud en la que se encuentra la incógnita.
Para solucionar un problema de regla de tres compuesta se procede así:
1. Se ordenan los datos en una taba.
Toma nota 2. Se compara la magnitud de la incógnita con cada una de las magnitudes
Máquinas Horas Días restantes para determinar el tipo de proporcionalidad que hay entre ellas,
9 8 4 manteniendo constantes las otras magnitudes.
7 7 6 3. Se plantea la proporción teniendo en cuenta la propiedad fundamental de la
Tabla 2 proporcionalidad compuesta y se halla el término desconocido.
Por ejemplo, nueve máquinas realizan la producción requerida trabajando ocho horas
diarias durante nueve días. ¿Cuántas horas deben funcionar siete máquinas para
realizar la misma producción en siete días?
Primero se comparan las magnitudes horas diarias y número de máquinas.
A más horas diarias de trabajo se necesitan menos máquinas. Luego, se comparan
las magnitudes horas diarias y número de días.
A más horas diarias de trabajo se emplearán menos días en hacerlo. Luego, las
magnitudes son inversamente proporcionales.
En la tabla 2 se registran los datos para las tres magnitudes.
35

36. Ejemplos resueltos
1. Cuatro máquinas impresoras imprimen 40 afiches en cinco minutos. ¿Cuánto tiempo se
requiere para imprimir 80 afiches con dos impresoras?
Solución:
Número de impresoras Número de afiches Tiempo
Algo importante 4 40 5
m p r
Si x , entonces, 2 80 t
n q t
m n×p×r
q×t La magnitud de tiempo es inversamente proporcional al número de impresoras y es
directamente proporcional al número de afiches. Por lo tanto,
5 2 40
Propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta
t 4 80
Inversamente 5 1
Se resuelven las operaciones indicadas
proporcionales t 4
1×t=5×4 Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones
Hombres Días Horas
8 5 8 t = 20 Se halla el valor t
m 4 7
Las dos impresoras imprimen 80 afiches en 20 minutos.
Inversamente
proporcionales
2. Para cortar el césped de un complejo urbanístico, ocho hombres tardan cinco días
trabajando ocho horas diarias. Si la administración del conjunto pide que esa misma
labor se realice en cuatro días, pero trabajando solo siete horas diarias, ¿cuántos
hombres se deben contratar?
Solución:
La tabla de al lado muestra la relación entre las magnitudes. Se tiene que
8 4 7
de donde m = 11.4
m 5 8
Para el contexto del problema la respuesta 11.4 hombres no tiene sentido. Así que, se
necesitan 12 hombres para hacer la labor.
Resuelve.
¿Cuántas horas deben trabajar ocho secretarias para
copiar un libro de 1 200 páginas?
1. Cuatro operarios producen 320 sacos en 10 días.
¿Cuántos sacos producirán 10 operarios en 16 días?
4. 12 obreros terminan una obra en nueve días en
jornadas de seis horas. ¿Cuántos obreros se
2. Si ocho pintores tardan 20 días en pintar cuatro casas,
necesitan para realizar la misma obra en tres días
¿cuántos días tardarán 10 pintores en pintar seis casas
pero en jornada de ocho horas?
con las mismas características?
5. Si 270 kg de comida alcanzan para seis personas
3. Para copiar las memorias de un evento se contratan cinco
durante 12 días, ¿cuántos días pueden abastecer
secretarias que trabajan ocho horas diarias y copian 600
330 kg de comida a un grupo de cinco personas?
páginas.
36

37. GENERALIDADES ALGEBRAICAS. CONCEPTO.
SIGNOS DE OPERACIÓN, AGRUPACIÓN Y RELACIÓN
LAS LETRAS COMO NÚMEROS GENERALIZADOS
Como sabes, los números expresan de forma precisa una cantidad o la medida de
Toma nota una magnitud; así decimos: “Ana tiene 15 años” o “el área del rectángulo es 18
cm2”. Sin embargo, cuando se requiere indicar un número no conocido, una
3 cantidad o la medida de una magnitud de forma general, se utilizan letras. Así, si x
cm es un número cualquiera, entonces:
2 × x, o bien, 2x designa su doble x2 designa a su cuadrado
6 cm
Área = 18 cm 2 x + 3 designa a la suma del número y 3 x3 designa a su cubo; si l es la longitud
del lado de un cuadrado cualquiera, entonces:
4l expresa el perímetro del cuadrado l2expresa el área del cuadrado
Lengua y matemática Si l es menor que 3cm, entonces: l < 3 cm, 4l < 12 cm y l2< 9 cm2
Álgebra. Palabra que procede Álgebra: es la rama de la matemática que estudia las propiedades de las
del árabe (alyabra) y significaba operaciones definidas en un conjunto.
“regla para transformar
igualdades”. El álgebra permite
manejar relaciones numéricas EXPRESIONES ALGEBRAICAS
en las que una o más
cantidades son desconocidas. A las letras se les denomina variables. Se pueden utilizar todas las letras del
Las cantidades desconocidas alfabeto: a, b, c,…..x, y, z.
se llaman incógnitas,
variables o indeterminadas y Los signos de operación conocidos: +, -, ÷.
se representan mediante letras. Los signos de agrupación son: ( ), [ ], { }.
Los signos de relación son: >, <, , , =.
En general, una expresión algebraica es una representación de cantidades
mediante números, variables y signos de operación o agrupamiento, por ejemplo:
1
a. 2 b. 2x y
2
5 xy
c. 2x 3 y d. 3ab 2ab 2 a 2b 2
22
Observa:
3( x 2 y )
Z
Coeficiente Término Factor literal
numérico
1. Forma tres expresiones algebraicas, la primera de 2. Resuelve. Dibuja y expresa el largo de una alfombra,
dos términos, la segunda de tres términos y la nombrando debidamente su ancho con un literal, para cada
tercera de cuatro términos, con los números -2, 5, caso.
3 a. El largo es el doble del ancho.
, 5 y las variables x, y, z. b. El largo es el triple del ancho.
4
c. El largo es igual al ancho más su tercera parte.
d. El largo es el triple del ancho más su mitad.
37

38. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
CONCEPTO. TÉRMINO. MONOMIOS. POLINOMIOS
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se clasifican, en función de las operaciones que se
Toma nota deben realizar con sus variables, en los siguientes grupos:
Clasificación de expresiones
algebraicas
Expresiones algebraicas racionales. Son aquellas en las que no aparece
ninguna variable bajo el signo radical.
Enteras
Ejemplos:
Expresiones algebraicas Racionales
Irracionales 1 x2 3y x 3 1 2 3 2 1
3a 2 c b; ; ; x y ; 3x 3 y
2 4 y 2 5 4 5
Las expresiones racionales, a su vez, pueden ser de dos tipos.
a. Expresiones algebraicas enteras. Son aquellas en las que no aparecen
variables en los denominadores.
Ejemplos:
1 2 1
x 2y ; x2 3y 2 ; 7 x 8 y 2 z ; 3x 3 y
5 5
a
b. Expresiones algebraicas irracionales. Son aquellas en las que aparece
Volumen = a 3 alguna variable bajo el signo radical. Las siguientes expresiones son
irracionales.
V = a3 Ejemplos:
3 x x x
; az ; 5 x 2 y 7; y z z ; x2 y z .
y y
Las expresiones algebraicas indicadas en los siguientes ejemplos se llaman
monomios.
Positivos x, ab, 2 1/5 ab, 3xy
Monomios
Negativos -2 1/3, -5abc, -3xyz
Una expresión algebraica formada por la suma o resta de monomios con
diferentes factores literales, se llama polinomio. Por ejemplo:
Binomio: dos términos 3ª + 5ab
Polinomios Trinomio: tres términos 3x + 2x + 11
Polinomio: cuatro o más términos 3ª – 2b + 3ab + c – 2
1. Clasifica cada una de las expresiones algebraicas, como El volumen del cilindro de radio r y altura h se calcula
racionales o irracionales. usando la fórmula:
3 3 y2
a. x y V = r2× h
2 z
2. Halla el volumen de un cilindro cuyo radio mide 3 m y
1 cuya altura mide 4 m.
b. 2u 2 3x
2
1 1
c. a2
b 3
38

39. GRADO DE UN MONOMIO: ABSOLUTO Y RELATIVO.
GRADO DE UN POLINOMIO: ABSOLUTO Y RELATIVO
MONOMIOS
¿Cuál es el área de las figuras 1 y 2 del margen?
El área de la figura 1 es 5x 2 , por ser cinco cuadrados de lado x. El área de la figura 2 es
Figura 1 4xy reciben el nombre de monomios.
En el monomio 5x 2 , el número 5 es el coeficiente y x 2 es la parte literal. Diremos que
x 5x 2 es un monomio en la variable o indeterminada x.
Grado de un monomio
x El grado de un monomio se obtiene sumando los exponentes de los factores de la parte
literal.
Figura 2
Ejemplos:
y
1. El monomio 5x 2 es de grado dos o segundo grado.
x 2. El monomio 7x 2 y 3 z es de 6° grado, ya que la suma de los exponentes de los
factores 2 + 3 + 1 = 6, a esto se le llama grado absoluto.
3. Como 8 = 8x 0 = 1, decimos que 8, o cualquier constante distinta de de cero, es
un monomio de grado 0; con grado absoluto 0.
Toma nota .
Grado relativo de un monomio
es siempre con relación a una POLINOMIOS
letra, así 2m 2 n 5 , es de 2°
grado con respecto a m y 5° Son expresiones algebraicas formadas por la suma o resta de monomios.
grado con respecto a n.
Grado de un polinomio: con respecto a una variable es el mayor exponente de la
misma; si se refiere a dos o más variables, se suman los exponentes de cada una en
El monomio nulo todos los términos; el número mayor determina el grado absoluto.
Como:
Ejemplos:
0 = 0 x 0 ; 0 = 0 x 1 ; 0 = 0 x 2 ;…
0 es el monomio cero o nulo 1. Dado un polinomio x 3 -x 2 y 2 + 5y
que tiene por coeficiente 0 y
que no tiene grado. x 3 -x 2 y 2 +5y - x2 y2 5y
Grado absoluto 3 4 1
Con respecto a x 3 2 0
Con respecto a y 0 2 1
Entonces: grado absoluto 4 Respecto a x:3
Respecto a y:2
2. El polinomio 4 x 3 5 x 2 y 2 8 yx 5 tiene grado absoluto 6, su grado respecto
a x es 5 y su grado respecto a y es 2.
Se pueden representar en orden creciente: 5a 3 8a 2 6a 3 ; o en orden
decreciente: 3 6a 8a 2 5a 3 .
1. Indica en cada caso el grado del monomio y del e. 8m 2 5m 4 m 2 = ____________________
polinomio.
a. 2 x 2 y 3 = ____________________________ f. 3 5x 2 3x 3 x = ______________________
b. -4abc = ______________________
2 3 2 2. Escribe las expresiones algebraicas que satisfaga
c. p q r =______________________ a. Grado absoluto 5 = _______________________
3
b. Grado respecto a z es 4 = __________________
d. 2xz + 8z 3 - 4x 2 = _____________________
39

40. TÉRMINOS SEMEJANTES. DEFINICIÓN. REDUCCIÓN. EJERCICIOS
TÉRMINOS
Las partes de un término algebraico son:
Signo: positivo o negativo
Toma nota Coeficiente: número que multiplica una o más variables.
Suma de monomios Pare literal: todas las variables con sus exponentes.
semejantes
Ejemplo:
ax m bx m ( a b) x m –5x 2 y 3 ; signo – ; coeficiente – 5; parte literal x2 2 y son términos semejantes.
Reducción de términos semejantes
Para reducir términos semejantes se suman o restan los coeficientes y el resultado se
antepone a la parte literal.
Ejemplos:
a. 3m2n + 5m2n = (3 + 5 + 1)m2n = 9m2n
b. – 5ab + 7ab + 8ab – 9ab = ( - 5 +7 + 8 – 9) ab = ab
Observa:
¿Cuál es el volumen total de las figuras 1 y 2 del margen?
Figura 1 Fíjate en que el volumen de los dos ortoedros se expresa por monomios semejantes
y que:
50
Volumen de la figura 1 = V1 V2
x x
0
Volumen de la figura 1: 8x + 2x 2 = (8 + 2) x 2 = 10x 2
2
Para sumar estos monomios semejantes hemos restado sus coeficientes.
Figura 2 Volumen de la figura 2 = volumen ortoedro A – volumen ortoedro B
Volumen de la figura 2: 7x 2 - 3x 2 = (7 – 3) x 2 = 4x 2
Para restar estos polinomios semejantes hemos restado sus coeficientes.
La suma algebraica de monomios semejantes es otro monomio semejante que tiene
por coeficiente la suma algebraica de los coeficientes de los sumandos.
Este proceso se conoce como reducción de términos semejantes.
Ejemplo:
De la suma de 2a 2 con 3xy 2 , restar la suma de xy 2 con – 3 a 2 b. Escribimos el
planteamiento como se sugiere, empleando signos de agrupación.
(2a 2 b + 3xy 2 ) – (xy 2 - 3a 2 b)
Eliminamos los paréntesis aplicando la regla de los signos de la multiplicación y
reducimos términos semejantes entre sí.
2a 2 b + 3xy 2 - xy 2 + 3a 2 b = 5a 2 b + 2xy
1. Reduce términos semejantes en: 2. Suprime signos de agrupación y reduce términos
a. xy 2 - xy 2 - x 2 y 2 - 5x 2 y + 2x 2 y 2 semejantes en:
a. 5xy – [ 2xy + ( - 4xy – 2 ) + 5] + 3xy
b. 2x3 z 2 2 3x 3 z 2 5 3x 3 z 2 3 2x3 z 2
b. – { - 0.02x – [ 0.4x 2 + (0.05x 2 + 0.7x ) ] } – x
7 8 64 8 2 8
c. y y y c. 13m2n + (-2m2n) + m2n =
3 36 3
d. – (5ab – [+ 7ab + 8ab] – 9ab) + 15 ab
d. 0.2 a + 3b – 2.5b – 0.5 a
40

41. VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Cuando en una expresión algebraica las variables se sustituyen por valores
numéricos específicos, al resultado obtenido se le denomina valor numérico de la
expresión algebraica.
Se afirma entonces que:
Toma nota El valor numérico de 3x 2 para x = 3 es 27
1 1
El valor numérico de 3x 2 para x = 2 es 16
En lenguaje común 3 3
En un tortuguero había El valor numérico de 3x 2 para x = 7 es 21
cierta cantidad de tortugas
Dejaron libres a 100 Otros ejemplos son los siguientes.
El número de tortugas se a. Se desea hallar el valor numérico de la expresión 4m5 12b 3 c 4 , para m =
duplicó. 1
Quedaron 250 tortugas
2
b = 2, c = 3.
En lenguaje algebraico
4m5 12b 3 c 4 Expresión original
x
x-100 1 5
(4) 12(2) 3 (3) 4 Se sustituyen las variables por los valores dados
2 (x - 100) 2
2 (x – 100) = 250 25 7776 2 6 12 Se procede a resolver las operaciones indicadas
1
Por lo tanto, el valor numérico de 4m3 12b 3 c 4 para m = , b = 2, c = 3 es 12.
2
33 64b 3 c 6 1
b. se desea hallar el valor numérico de la expresión , para b = ,
2m 2
1
c = , m = 2.
3
6
3
1 1
3 * 3 64
2 3
se sustituyen las variables por los valores dados
2( 2)
1 1
3 * 3 64
8 729
Se realizan las operaciones indicadas en la expresión
4
para obtener el resultado final
8 23 3
3* 3 3* 3 3*
729 93 9 1
4 4 4 6
3 64b 3 c 6
3
1
Por lo tanto, el valor numérico de es
2m 6
Halla el valor numérico de las expresiones algebraicas,
2 1
para a = 3, b = ,c= , d = -3. a. 12a b 2 c 2
3 5
a. 24a 2 b 3 c 18a 2 b 3
b.
24ab 31b 2 c 3
b.
3
3d 3 c 3
41

42. ACTIVIDADES DE AMPLICACIÓN
1. Indica el grado absoluto y relativo de cada monomio. 1
e. T =
a. – 5a 3 b 2 c f
b. 10xy 5 z 2 si f = 0.8
c. 0.25m 3 n 3 T: período; f: frecuencia
2
d. pqr 5. Calcula el valor numérico de cada expresión algebraica; ten en
3
cuenta que:
e. 2x3 y 4 a = 2; b = 5; c = 3; d = -1; f = 0
f. 2ax 3 y
a. 5a 2 - 2bc – 3d i. 7 a 2 c – 8d 3
2. Determina cuál es la expresión que debe sumar para que b. 6 a3f j. 2 a2 - b3- c3 - d5
el resultado sea igual a cero.
c. 3 a 2 -2a 3 + 5 a 5 k. (b + c) a
a. 2 a – 3b
d. d4 - d3- d2 + d 1 l. (c – d + 2 a) f
1 2
b. x 2 y + xy e. 3(a – b) + 2(c – d) m. 2 (c – a) – 3 (d – b) 2
2
c b a c d a b
3 1 f. n.
c. m m 3 5 2 2 7
5 2
3 2 1 7 2b c
d. 2 a – 3b + 5c g. a c b f o.
e. 5c – 3b + 2 a 4 5 2 8 a f
1 b a c
3. Reduce los términos semejantes. h. f
a. 2h – 3p + 5p -2q – 4h + 3q
3 d b d
b. 2 a – 3b – 5 a – 6b + 7 a – 8b
3 3 2 2 3
c. pq - p 3 q 2 - p 3 q + p 3 q 2 - pq 6. Agrupa entre los monomios aquellos que sean semejantes e
2 4 5 3 4 indica los que sean opuestos.
d. 2x 2 - x – 3x - x 2 + 2x 2 - 3x a. 2 x 2 yz e. 5xyu 2 v 3
e. 5m 2 n + 6 mn 3 - 7m 2 n + mn 3 - 2mn + m 2 n
b. -5xyu 2 v 3 f. 5 xyu 2 v 3
2 3 1
f. ab - a 2 b 2 - a 2 b 2 - 0.75ab + 0.5a 2 b 2 c. 2 xy 2 uz g. 2 xy 2 uz
3 4 3
g. 0.2mn + 0.75 mn 4 - 0.03 mn + 0.8 mn 4 d. -3x 2 yz h. -3x 2 yz
4. Calcula el valor numérico de las variables, aplicarla en 7. Si x es la edad de Sergio, expresa en lenguaje algebraico.
cada caso los valores asignados. a. La edad que tenía hace 5 años.
b. La edad que tendrá dentro de 5 años.
a *t2 c. Los años que faltan para que cumpla 70 años.
a. d = v i * t +
2 d. Los años que tendrá cuando tenga el doble de los años
si v i = 8; t = 4; a = 3 que tiene ahora.
d: distancia v i : rapidez inicial
t tiempo a: aceleración 8. Completa la tabla.
b. E p = m * g * h Binomio Polinomio términos Coeficiente
3 2 3 2
si m = 0.8; h = 15; g = 9.8 x 3y z x ,3y x
E p : energía potencial 2x 2
5x 3
m: masa; h: altura; g: aceleración de gravedad y+3
m*v 2
4z 3 3z 2 2z
c. E c =
2 5x 3 4y
si m = 4.5; v = 10 x2 y2 z2
E c : energía cinética; m: masa; v: rapidez.
y+z
d. Q = m * c e * t si m = 6; c e = 0.2 y t = a3 b3 c3 3abc
35
Q: cantidad de calor
m: masa; c e = calor específico; t = variación de
tiempo
42

43. POTENCIACIÓN EN Z
POTENCIA CON BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL
Una potencia con base entera y exponente natural es un producto de factores iguales.
La expresión a n , co a yn , es una potencia en notación exponencial. Está
formada por la base y por el exponente.
Completa base a n exponente La expresión a n se lee: la enésima potencia de a” o “a
Calcula los siguientes exponentes elevado a la n.
enteros.
24 = En las potencias con base entera y exponente natural, la base es el factor que se
multiplica por sí mismo y el exponente expresa la cantidad de veces que se repite
32 = ese factor.
Si a es un número entero y n es un número natural, se define la potencia de base a y
54 = de exponente n como el producto de n factores iguales a a; es decir:
a n = a * a * a *… * a
60 = (a multiplicado por sí misma n veces)
Ejemplos:
La potencia 2 5 se lee: “la quinta potencia de dos” o “dos elevado a la
quinta”.
La base es 2. El exponente es 5.
Como producto de factores se escribe así: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 y el resultado es 32.
La potencia ( 3) 2 se lee “la segunda potencia de menos tres” o “menos
tres elevado a la segunda potencia”
La base es -3. El exponente es 2.
Como producto de factores se escribe así: -3 * -3 y el resultado es 9.
Potencia con exponente cero
Si decides dos potencias que tengan la misma base y el mismo exponente, aplicando
la propiedad correspondiente obtienes el exponente cero; observa:
3 2 ÷ 3 2 = 3 2 2 = 3 0 =?
Como 3 2 = 9 entonces 3 2 ÷ 3 2 = 9 ÷ 9 = 1; en forma general:
a 0 = 1, para todo a distinto de cero.
Potencia con exponente negativo
Observa: 5 2 ÷ 5 3 = 5 2 3 = 5 1 =?
Al representar la división utilizando la notación con fracciones, tenemos:
52 5*5 1 1 1
, entonces 5
53 5*5*5 5 5
n 1
En general: a
an
1. Expresa todos los resultados con exponente positivo 2. Escribe el resultado de las siguientes expresiones:
3 1 1
a. 5 b. a. 35 b.
10 2 2 3
2 43
c. 2 x
d. x 4 c. d.
32 2
5 24
e. f.
e. (b 2 ) 2
f. ( y 2 ) 3 2(6 3)
2 5
43

44. NOTACIÓN CIENTÍFICA
En los estudios científicos es común encontrarse con cantidades sumamente
grandes, por ejemplo, la masa de la Tierra es de aproximadamente:
5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg
Toma nota Del mismo modo hay cantidades extraordinariamente pequeñas, tales como la masa
Utilizando calculadora encuentra
del electrón que es de aproximadamente:
3 x 10 2 y 0.0 000 000 000 000 000 000 000 000 910 953 g
2.4 * 10 3 , así: Operar aritméticamente con estas magnitudes resulta trabajoso y hasta algunas
3 EXP 2 = 300 veces complicado. En estos casos los números se expresan en notación científica.
2.4 3 = 0.0024 Un número está escrito en notación científica cuando se expresa como un producto
EXP
de una potencia de 10 por un número que tiene un valor absoluto mayor o igual a 1 y
menor que 10, y es de la forma a * 10 b .
Por ejemplo, la masa de la Tierra se puede expresar como 5.972*10 24 kg; y la masa
del electrón como 9.109 53 * 10 28 g.
Para expresar un número entero o decimal en notación científica, el punto decimal se
desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda hasta que quede una sola cifra en la
parte entera y se multiplica por 10 elevado al número de lugares que se desplazó el
punto: si fue hacia la izquierda, el signo del exponente debe ser positivo, por ejemplo:
523.47 = 5.234 7 * 10 2
-50 500 000 = -5.05 * 10 7
Lengua y matemática En cambio, si el movimiento del punto fue hacia la derecha, el signo del exponente
En notación científica un millón debe ser negativo. Observa:
(1 000 000) se escribe 10 6 ; un 0.000 319 6 = 3.196 * 10 4
millardo (mil millones), 10 9 ; un -0.0045 = -4.5 * 10 3
billón (un millón de millones), 10 12 ;
un trillón (un millón de billones), Para expresar un número escrito en notación científica como un número entero o
10 18 ; etcétera. ¿Cómo se llamará el decimal se observa el signo del exponente de la potencia de base 10: si es negativo,
número 10 100 ? El sobrino del el punto decimal del número se desplaza hacia la izquierda y se completa con ceros si
matemática Edward Kasner inventó es necesario; pero si es positivo, el punto se desplaza hacia la derecha, y también se
el término “gúgol” para designar este completa con ceros si es necesario.
número (un 1 con 100 ceros). Fíjate en los siguientes ejemplos.
-8.521 * 10 7 = -85 210 000
-7 * 10 5 = -0.000 07
1. Expresa los siguientes números en notación 2. Escribe las siguientes medidas en expresiones
científica. decimales.
a. 0.000 23 = a. Tamaño de los glóbulos rojos: 7.5 × 10 6 m
b. 567.032 2 = b. Tamaño de una bacteria: 2 × 10 6 m
c. -0.000 17 =
d. -781 902 000 = c. Tamaño de un virus: 0.5 × 10 6 m
e. 2 750 000 000 = d. Diámetro del ADN: 2 × 10 9 m
f. -0.000 062 5 = e. Superficie de la tierra: 5.10 × 1011
g. 34 310 000 000 000 =
44

45. OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para realizar operaciones con números expresados en notación científica es necesario
considerar que:
(a · 10 n ) · (b · 10 m ) = (a · b) · 10 n m
(a · 10 n ) ÷ (b · 10 m ) = (a ÷ b) · 10 n m
Recuerda (a · 10 n ) m = a m · 10 n m
Algunas propiedades de la
potenciación son: Recuerda que al final los resultados deben quedar expresados en notación científica.
10 n 10 m 10 n m
10 n 10 m 10 n m Observa el desarrollo de los siguientes ejercicios.
( (10 n ) m 10 n m a. (2.4 * 10 5 ) * (5.3 * 10 3 ) = (2.4 * 5.3) * 10 5 3 = 12.72 * 10 8 = 1.272 * 10 9
b. (4.8 * 10 3 ) ÷ (7.5 * 10 7 ) = (4.8 ÷ 8.5) * 10 3 7 = 0.64 * 10 4 = 6.4 * 10 5
c. (6.5 * 10 4 ) 3 = (6.5) 3 * 10 4*3 = 274.625 * 10 12 = 2.746 25 * 10 14
Efectuar la adición o sustracción de dos números expresados en notación científica,
cuando ambos tienen el 10 elevado al mismo exponente, se puede realizar considerando
lo siguiente:
Piensa a · 10 n + b · 10 n = (a + b) · 10 n
¿Cuánto es 6 trillones más 3 a · 10 n - b · 10 n = (a - b) · 10 n
trillones?
Entonces, ¿cuánto es Pero si los exponentes difieren es necesario realizar un ajuste previo en uno de los
6 10 18 18
3 10 ? términos para que en ambos aparezca la misma potencia de 10. Por ejemplo:
3.47 * 10 9 + 5. 6 * 10 7 = 3.47 * 10 9 + 0.056 * 10 9
Observa que en el factor 5 el 6 se desplazó el punto dos lugares hacia la izquierda, lo que
equivale a dividir entre 100; pero esto se compensó con el aumento del 10 en dos
unidades. Luego:
3.47 * 10 9 + 5. 6 * 10 7 = (3.47 + 0.056) * 10 9 = 3.526 * 10 9
Fíjate ahora en el siguiente ejemplo de operaciones combinadas:
(1.35 * 10 5 - 9.2 * 10 6 ) 2 = (1.35 * 10 5 - 0.9.2 * 10 5 ) 2
= (0.43 * 10 5 ) 2
= (0.43) 2 * 10 10
= 0.184 9 * 10 10
= 1.849 * 10 11
1. Efectúa las operaciones siguientes y escribe el 2. Expresa los términos en notación científica y resuelve;
resultado en notación científica. luego, escribe el resultado en notación científica.
a. (3.7 × 10 9 ) * (1.8 × 10 4 ) =
a. 0.000 408 * 0.000 000 2 =
3 7
b. (1.748 × 10 ) ÷ ( 3.8 × 10 ) =
0.0001 *1(54 *10 29 ) * (210 *10 3 )
b. =
c. (5.7 × 10 8 ) ÷ (1.5 × 10 5 ) = (27 *10 1 ) * 0.0042
d. (1.4 × 10 6 ) 2 = 0.000000675 0.00000443
c. =
0.00005
e. (2.6 × 10 3 ) 4 =
d. 14 * 107 – 40 * 104 =
f. (3.1 × 10 5 ) 3 =
e. 0.08 × 16 000 000
7
g. 3.585 × 10 + 4.5 × 10 = 6 0.04 .032
h. 4.2 × 10 5 + 1.241 68 × 10 9 = (0.000212 * (32000) 3
f.
2 *10 3
45

46. SUMA DE MONOMIOS. RESTA DE MONOMIOS. SUMA Y RESTA COMBINADA
SUMA DE MONOMIOS
Para sumar monomios primero expresamos en forma indicada la suma de dichos
monomios y luego se reducen los términos que no son semejantes. Si los términos no son
semejantes se dejan únicamente expresados.
Toma nota
Observa cómo se encuentra Ejemplos resueltos
el área de la siguiente figura.
Sumar
1. 4m, 5m, 7m, 10m
4m + 5m + 7m + 10m = (4 + 5 + 7 + 10)m = 26m
2. -6b, -4b, -c, -2c
-6b + 4b – c + 2c
xy + xy + xy = 3xy (-6 + 4)b = -2b
(-1 + 2)c = -3c
La respuesta es -2b + c
RESTA DE MONOMIOS
Para restar monomios efectuamos la suma del minuendo y el sustraendo, pero se le
cambia el signo al sustraendo, pero se le cambia el signo al sustraendo.
Ejemplos resueltos
1. de 20x 2 restar 5x 2
20x 2 - 5x 2 = (20 – 5) x 2 = 15x 2
2. restar -4w de -7w
-7w + 4w = ( -7 + 4)w = -3w
SUMA Y RESTA COMBINADAS
Ejemplos resueltos
1. de -5ab restar la suma de 3ab y -10ab
3ab – 10ab = (3 – 10)ab = -7ab
-5ab + 7ab = (-7 + 4)ab = 2ab
2. Restar 5m de la suma de m – 4n – 7m
- m – 7m = (-1 – 7)m = -8m
-8m – 4 – 5m = - 13m – 4 n 0
1. Suma. 3. Opera.
a. -3x, -10x, -20x De:
b. 25y, -20y, -25x a. 15 restar b
1 4 1 b. 7x restar 7y
c. m, m, m 2 2
3 9 6 c. f restar
3 6 2 3 7 2 5 3
d. b, b , b, b 3 x 1 x
7 7 2 6 d. m restar m
1 2 3 3 3 5 3
e. x , x ,x
2 5
4. Resta a de la suma de 3 a con – 5ª.
2. Resta.
a. m 2 de m 2 2b 2 5
b. 6h de 2x 5. Resta de la suma de con b 2 la suma de
3 6
2 3 3 2 3 2
c. f de f b con b .
5 4 8 5
d. abc de abc
e. – x de x
46

47. SUPRESIÓN E INTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Signos de agrupación
Los símbolos o signos de agrupación que se utilizan con más frecuencia en álgebra
son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }.
Se usan para señalar de forma sencilla más de una operación, por ejemplo, cuando
Toma nota
nos referimos al binomio 2x + 3y, como (2x + 3y) queremos indicar la suma de 2x y
3y como una sola cantidad.
Paréntesis
La expresión: m – (p + q), significa que la suma de p y q se va a restar de la cantidad
m.
Redondos ()
Llaves {}
“Siete veces a menos tres veces la suma de b y c” al traducirlo al lenguaje
Corchetes []
algebraico, lo expresamos en la forma:
7 a – 3 (b + c)
Cuando alguien escribe usa signos para agrupar o separar frases, de lo contrario,
cada persona daría una interpretación diferente. En el lenguaje algebraico sucede lo
mismo; si las expresiones no se separan adecuadamente, pueden malinterpretarse.
¿Cómo escribirían el doble del cuadrado de un número, menos cinco, dividido entre
Toma nota tres?
(2 x 2 5)
En algunos casos se usa la barra
– o vínculo, cuando en una 3
expresión algebraica ya se uso ( ),
{ }, [ ].
Supresión o eliminación de signos de agrupación
Ejemplo Suprimir o eliminar signos de agrupación significa realizar las operaciones indicadas
por ellos. La estrategia consiste en suprimir los signos de un en uno, comenzando
{2 x[4 x 2(5 4 x 6) x]}
por el que esté ubicado más adentro y siguiendo el orden correspondiente a las
operaciones que hay que realizar.
En general, las operaciones encerradas entre paréntesis se efectúan primero, luego
se suprimen los corchetes y por último las llaves. A continuación ilustramos el
procedimiento con algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Elimina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes.
5x – [ 3x – 2 (3y – 4x) ]
5x – [ 3x – 6y 8x] eliminamos primero el paréntesis y multiplicamos por 2
5x – 3x + 6y – 8x suprimimos el corchete cambiando el signo cada uno
de los términos
- 6x + 6y reducimos términos semejantes
Ejemplo 2
Suprimir signos de agrupación y reducir términos semejantes.
2 a – {3b +[ 5 – (2 a – b) + (3 a – 1) ] } primero elimina los paréntesis
2 a – { 3b + [ 5 – 2 a + b + 3 a -1] } a continuación los corchetes
2 a – { 3b + 5 – 2 a + b + 3 a – 1} por último las llaves
2 a – 3b – 5 +2 a – b – 3 a +1
A – 4b – 4 reduce términos semejantes
Suprime o elimina signos de agrupación y reduce los e. – 3(x – y) – [x – 2(x + y)
términos semejantes.
f. a – {b – [a – (a – b) ] }
a. 2m – (3m – 5m)
g. 2[m – (n – m) ] – 3[n+ 2(3 – n)
b. – 2(x – 3y) – 3(2x + 5y)
h. 2y – { - [ - y + 2(y – 5 ) ] ] – 3 y
c. – 2(x – 3[2y – 2(x – y)
47

48. MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR MONOMIO
¿Cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura?
Volumen = área base × altura
Volumen = 3x 2 × 2x
= 3 ×2 (x 2 ×x)
Toma nota = 6x 3
Potencia de un monomio
(ax m ) n an xm Observa que para hallar el producto de estos monomios multiplicamos y aplicamos a
sus variables el producto de potencias de la misma base.
Ejemplos:
1. ( 3 x 2 y ) * ( 2 x 3 y 2 ) 6 x 2 3 y1 2
6x 5 y 3
7 4 2 56 1 1 1 1 2 1 1
2. abx 2 * bxz * ayz 2 = a b x yz 2
2 3 3 18
28 2 2 3 3
= a b x yz
9
POTENCIA DE UN MONOMIO
Teniendo en cuenta que la potencia es un caso particular del producto (en el que todos
los factores son iguales), se tiene que:
Para elevar un monomio a una potencia de exponente natural, se eleva el coeficiente a
dicho exponente y cada indeterminada o variables se eleva al producto de su exponente
por el de la potencia.
Ejemplos:
1. ( 2 x 2 y 3 z ) 4 ( 2) 4 * ( x 2 ) 4 * ( y 3 ) 4 * ( z ) 4 16 x 8 y 12 z 4
3 3
2 2 3 2 8 6 3 9
2. a bx * (a 2 ) 3 * b 3 * ( x 3 ) 3 a b x
3 3 27
1. Calcula los productos.
a. (-5m 2 ) (3m) c. ( ab 2 ) 2 (a 2 b) 4
3
2 4 2
b. (0.6 x 3 ) x d. 2( 3 x 3 y ) 2
3
c. ( 0.5a 3 b 2 )(0.05b 4 )(0.4a 3 b) 3. Completa la tabla.
1
d. (2.5 x 1 y 2 )( 4 x 3 y 2 ) xy 2 z
4 M(x) N(x) M(x)*N(x)
2. Encuentra las potencias indicadas. - 2x - 3x (-2x) * (-3x) = 6x 2
2
3 2 3 4
a. x y z 5x 2 - 4x
2
2
b. (x 2 y 4 )n -x 2 6x 2
48

49. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR MONOMIO. REGLA. EJERCICIOS
PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN BINOMIO
¿Cómo puedes abreviar la expresión (a +2b) + (a + 2b) + (a + 2b)?
Toma nota
Producto de monomios Observa: (a +2b) + (a + 2b) + (a + 2b) = 3 (a + 2b)
1 1 2 (a +2b) + (a + 2b) + (a + 2b) = a + 2b + a + 2b + a + 2b al suprimir los paréntesis de
a*x x x manera; luego; a a + 2b + a + 2b + a + 2b = 3ª + 6b de manera que
a * ( a b) a 2 2 * b a 4 b
2 2
3 * (a + 2b) = 3 a + 6b.
(2 x) * ( 5 x 3 y ) 10 x 4 y
En forma similar en la figura se observa que el área del rectángulo ABCD es la suma del
cuadrado verde y el rectángulo azul.
Lo anterior se expresa algebraicamente así:
(x + 4) * x 2 + 4x
Observa que para calcular el producto hemos aplicado la propiedad distributiva del
Piensa
producto respecto de la suma.
La suma de monomios cumple
la propiedad conmutativa.
¿Cumple también esta
propiedad la resta de PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
monomios?
El producto de un monomio por un polinomio se obtiene aplicando la propiedad
distributiva.
Ejemplos:
2 2 2
1. 8a( 5a - 2a+ 1) = (8a* 5a ) – (8a*2a) + (8a*1) = 40a 3 - 16a +8 a
2 2
2. (3 – 2x + x ) * (-3x 3 ) = (-3 * 3x 3 ) + (2x * 3x 3 ) – (x * 3x 3 ) = -9x 3 +6x 4 -3x 5
Observa en los ejemplos anteriores que:
2
M(a) = 8 a es de grado 1, N(a) = 5a - 2 a + 1 es de grado 2 y el producto.
M(a) * N(a) es de grado 1 + 2 = 3
2
P(x) = 3 – 2x + x es de grado 2, Q(x) = -3x 3 es de grado 3 y el producto
P(x) * Q(x) es de grado 2 + 3 = 5
En general si P(x) es de grado m y Q(x) es de grado n, entonces P(x) *Q(x) es de
grado (m + n).
1. Desarrolla en tu cuaderno los productos. 2
2 h. P(x) * (-x )
a. x (x + x) 2
i. P(x) * (-4x )
b. 2 a ( a – b )
2 2
c. 3(x + y )
2 2
d. 3x (x y + xy ) 3. Resuelve.
2 Dado el binomio Q(x) = 3x – 9, escribe un monomio tal que
e. -2x 3 (x - 3y)
f. ab (ab + ac) su producto por Q(x) tenga.
2
g. 3m (2m – 3m )
a. Grado 2
b. Grado 3
2. Opera.
2 c. El mismo grado que Q(x)
Dado P(x) = 5x - 3x + 1, calcula los siguientes
productos e indica su grado.
a. P(x) * x
b. P(x) * 3x
2
c. P(x) * x
2
d. P(x) * 4x
2
e. P(x) * 4x
f. P(x) * (-x)
g. P(x) * (-5x)
49

50. DIVISIÓN DE UN MONOMIO ENTRE OTRO MONOMIO
Para dividir dos monomios se divide el coeficiente numérico del dividendo por el
coeficiente numérico del divisor. De forma análoga se divide los respectivos
factores literales. En la división de los factores literales se aplica la ley de potencias
que dice: “Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los
exponentes a m a n a m n ”
Volumen del ortoedro
Observa:
2 3 5
a. 3a 2 b 3 c a b cd
3
2 9 2
3 (a 2 b 3 c) (ab 3 b 5 cd ) (a a 3 )(b 3 b 5 )(c c)(d 0 d)
3 2
9 2 3 35 11 01 9 1 2 0 1 9
a b c d a b c d
V = 6x * 2x * 4x = 48x 3 2 2 2ab 3 d
4 2 2 2
b. (6x 3 yx 2 z) ÷ x y z
5
4 30 3
6 x3 y 2 z x2 y2 z2 x x2 y2 y2 z z2 =
5 4
15 0 1 15 x
xy z
2 2z
¿Cuál es el volumen del ortoedro de la figura del margen?
2x Volumen del ortoedro 6x * 2x * 4x = 6 * 2 * 4 * x * x *x = 48x 3
Observa que el producto de dos o más monomios es otro monomio que tiene por
coeficiente el producto de los coeficientes y de parte literal el producto de las partes
literales de los factores.
¿Cuántas veces contiene el ortoedro el cubo de la figura?
Volumen del ortoedro 48x 3 = 48 * x 3 = 6* x 3 3 = 6*x 0 = 6.
Volumen del cubo 8 x3 8 x3
En general, para dividir dos monomios. Se dividen por un lado sus coeficientes,
aplicando la ley de signos, y por otra las indeterminadas o variables de la parte
literal, aplicando el cociente de potencias de la misma base.
Ejemplos:
3 42 31 3 2 2
1. (3x 4 y 3 z ) ( 2 x 2 y ) x y z x y z
2 2
12 x 3 2 6
2. 6x
2x5 x2
1. Halla el cociente de los monomios. 2. Realiza las divisiones.
22 3 6 2 2 2 4 2 12 x 6 y 9 z 3
a. x y z x y z a.
9 3 3x 2 y 3 z 2
2
b. (- 5x 3 y) ÷(-25x ) 49m 6 n 2 p 10
3 b.
c. (ab 2 c 3 ) abc 2 . 7m 0 np 5
2 1 4 2 3
a b c
c. 2
1 3 3 2
a b c
3
50

51. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO
De la misma manera, para que la división de un polinomio entero por un monomio sea
Piensa otro polinomio entero, es necesario que todos los términos del polinomio dividendo sea
Cuando se divide un polinomio divisible entre el monomio.
entre un monomio, ¿qué
condiciones se deben cumplir
Ejemplo: (15 x 3 y 2 z 8x 2 y 3 z 2 20 xy 4 z 3 ) ( 5 xy 2 z )
para que el polinomio resultante
tenga coeficientes que sean 15 x 3 y 2 z 8x 2 y 3 z 2 20 xy 4 z 3 8
números enteros? = 3x 2 xyz 4 y 2 z 2
5 xy 2 z 5 xy 2 z 5 xy 2 z 5
Se ha divido cada término del polinomio por el monomio aplicando la propiedad
distributiva y obteniendo como cociente exacto otro polinomio entero. Por tanto: para
dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio entre dicho
monomio.
En el caso de que algún término no fuera múltiplo del monomio divisor, el cociente
correspondiente quedaría expresado en forma de fracción algebraica.
Ejemplo:
Toma nota
ax n a nm
* x ,n m 3x 5 4 x 3 3x 5 4x 3
bx m b
5x 2 5x 2 5x 2
3 4 3
= x5 2
x 2
5 5
3 4
= x3 x
5 5
12a 2 b 9ab 2
(12a 2 b 9ab 2 ) ( 3ab)
3ab 3ab
= 4 a 2 1b 1 1 3a 1 1b 2 1
= 4a 3b
De manera que:
= 3ab( 4a 3b) 12a 2 b 9ab 2
1. Realiza en tu cuaderno las divisiones.
40m 3 n 2 20m 2 n 3 x 2n xn xn 1
a. g.
20m 2 n 2 x2
8r 5 12r 4 16r 3 a4 2a 2 a 1
b. h.
1
4r 2
5 z 2 t 6 zt 2 7 zt 2
c.
8 zt 2. Realiza las divisiones.
d. (10 x 6 8 x 4 6 x 3 4 x 2 ) ( 2 x 2 ) a. (12 x 6 9 x 4 3 x 3 12 x 2 ) ( 3 x 2 )
5ab 9ab 11ab 3 3 3 3 2 2
e. b. 5a 4 b 2 a b 7a 2 b 4 a b
7 ab 2 5
2y6 4y4 8y2
f.
2y2
51

52. OPERACIONES COMBINADAS ENTRE MONOMIOS
COMBINACIONES DE SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
Para operar monomios que incluyen suma y resta simultáneamente, se debe tener en
cuenta la simplificación de signos de agrupación y la reducción de términos semejantes.
Ejemplo resuelto
Plantear y resolver las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes enunciados:
a. De 7a 2 restar la suma de 3a 2 con – 14a 2
b. De la suma de x 2 y con – 5x 2 y restar la suma de – 11xy 2 con – 9x 2 y
c. Restar x 2 de la suma de 4 con x 2
Solución:
Se plantea cada enunciado utilizando signos de agrupación:
a. 7a 2 - [ ( 3a 2 ) + ( - 14a 2 ) ]
= 7a 2 - [ 3a 2 - 14a 2 ]
= 7a 2 - 3a 2 + 14a 2
=18a 2
b. [ (x 2 y ) + ( - 5x 2 y) ] – [ ( - 11xy 2 ) + ( - 9x 2 y)]
= [x 2 y – 5x 2 y ] – [ - 11xy 2 - 9x 2 y ]
= 5x 2 y – 5x 2 y + 11xy 2 + 9x 2 y
= 5x 2 y
c. [ ( 4 ) + ( x 2 ) ] – ( 0.8x 2 - 7.9y 2 )
= [ 4 + x2 ] – ( x2 )
= 4 + x2 - x2
1. Encuentra el monomio que resulta en cada expresión si: 3. Resuelve.
A = 4a 2 B = 8a 2
C = - a2 D = - 9b 2 +12ab a. ¿Qué monomio se debe sumar a 14x 2 y para
obtener 8x 2 y?
a. A–B+C b. Si el minuendo es 7x y la diferencia es -8x, ¿Cuál
b. D–C–B+A es el sustraendo?
c. D–(B–C) c. De la suma de * 8m con 5m 2 restar la suma de
d. (B–D)+(A–C) 14m 2 con – 2m
d. Restar de – 10xy la suma de xy – 6y 2 con 8xy
2. Marca un en los ejercicios que fueron realizados
correctamente. Corregir los que no.
a. [ - ( 5x) – ( 8x ) ] – [ - 9x + ( 4x ) ] = - 8x
4 3 4 4 3
b. [ ( 7a ) + 5a ] – [ - ( 11a ) ] = 18a + 4a
c. [ - ( -5z) – ( - 7z ) ] + [ - 2w ] = 12z
2 2 2
d. [15bx ] – [ - 7bx ] = 18bx
2 2 2
e. [ - 7p q ] – [5p q = 12p q
52

53. PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Propiedades de los radicales
1. si a, b y si n es par
n n
a b a *n b
Toma nota
Para introducir un factor dentro de Ejemplos:
un radical se eleva a dicho factor al
índice de la raíz. a. 98 49 2 49 * 2 7 2
3
b. 25 * 3 10 3
25 * 10 3 250
n n n
a b a b 3
125 2 3 125 * 3 2
Ejemplo:
= 53 2
6 3 6 3
Para dividir radicales del mismo c. 2a 2 a 2 * 2b a 2b
índole se conserva el mismo índice
y se dividen los radicandos.
2. si a, b +, n es par
n
n
a a
n
b b
Ejemplos:
3 3
81 81 27 * 3
a. 3
3
8 8 2
3 3
27 * 3 33 3
2 2
60 60 4 *3*5 4* 3* 5
b.
5 5 5 5
4* 3 2 3
3. si a, m y n
m n m*n
a a
Ejemplos:
3 6
a. 3 3
4
b. x x
c. 6 4
x3 12
x3
Aplica la propiedad correspondiente y simplifica.
e. y
a. 5
a 4b 3
b. 5
c * 5 x2 f. 3 p
c. 33 3 / 8 g. 1/ 2
x 2m h. 5
1024
d. m
y 3m
53

54. RADICALES SEMEJANTES
Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma
cantidad subradical.
Toma nota Ejemplos:
Recuerda que:
1. (a b) 3 y b 3 , son radicales semejantes.
10000 100 * 100
Ca 2. 3
4x y 4 x , no son radicales semejantes ya que no tienen el mismo
10 2 * 10 2 10 4 100 índice
da número puede descomponerse
también en sus factores primos. 3. 4
3a 2 y 4
2b 2 , no son radicales semejantes ya que las cantidades
subradicales son diferentes.
4. 50 * 18 y 32 , son semejantes ya que:
50 52 * 2 5 2; 18 32 * 2 3 2;
4
32 2 *2 4 2
Tienen el mismo subradical
En general; dos o más radicales son semejantes si el índice y la cantidad subradical
son iguales, observa:
a n x b n x si a b de tal forma que: a n x b n x (a b) n x
Ejemplos:
1. 5 98 4 50 5 2 *7 2 4 2 * 5 2
35 2 20 2 como ambos sumandos tienen 2 son semejantes.
De manera que 5 98 4 50 55 2
2 3 2 3 4 6
2. 8 12 4*2 4*3 2 3 como
3 4 3 4 3 4
2 y 3 no tienen la misma cantidad subradical no son semejantes
3. 3
16 8 3 8*2 4 * 2 23 2 2 2
3
2 y 2 son raíces de diferente índice por lo tanto no son semejantes.
4. x2 y x4 y x2 y3 x y x2 y xy y
Los tres términos contienen el mismo radical y ; por lo tanto son semejantes.
Simplifica. d. 5 20 ; 4 5 y 6 30
a. 5 20 ; 3 300 y 2 80
e. x y 2 y3 a y
b. 5 3 ; y 7 36
1 1 1
f. 8 12 20
c. 9 15 ; 3 3 y 4 18 2 3 5
54

55. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES
Al igual que las expresiones algebraicas, para que varios radicales se puedan
sumar o restar es necesario que sean semejantes.
Toma nota Ejemplos:
a n
a Se reducen radicales semejantes.
n
0 0 1. 23 x 2 y 73 x 2 y 53 x 2 y (2 7 5)3 x 2 y
Para cualquier
n 0 = 43 x 2 y • Reducción de términos semejantes
2. 108a 5 3
24a 4 27 a • Primero simplificamos los
radicales
108a 5 2 2 * 33 * a 5 2 * 3a 2 3a 6a 2 3a
3
24a 4 3
23 * 3 * a 4 2a 3 3a
27a 33 a 3 3a
5 4
108a 3
24a 27 a 6a 2 3a 2a 3 3a 3 3a •
Asociando radi cales semejantes
= 6a 2 3a 3 3a 2a 3 3a =
2 3
6a 3 3a 2a 3a
Así: la adición y sustracción de radicales semejantes se efectúan mediante la suma
o resta de sus coeficientes.
Realiza: 3
16 33 2 6
64
Observa que estos radicales a simple vista no son semejantes, por tanto se
transforman, si es posible:
3
2 3 * 2 33 2 6
26
23 2 33 2 2 53 2 2
Simplifica y reduce radicales si es posible en cada
ejercicio. f. a 44 a 28 a
a. 2 363 5 243 192
x x xy
g. 3 3 3
7 1 1 y y2 y2
b. 3 147
3 3 27
a b a b 1
3 3 3 3 3 3 h. (a b) ( a b) (2a 2b)
c. 2a 27 x y 3b 8 x y 6c x y a b a b a b
d. a 320 x 7 5a 2 x (a 4b) 5 x
3
e. 3 81 27 53 3
55

56. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
La multiplicación de radicales del mismo índice, o que pueden reducirse al mismo índice, se
fundamenta en la siguiente propiedad de radicales:
n
a *n b n
a *b
Toma nota
Obtención de potencias y Considera dos casos:
raíces con calculadora. 1. Si los radicales tienen el mismo índice
En este caso se aplica la propiedad: n a * n b n
a *b
Para obtener cuadrados
y raíces cuadradas se Ejemplos: simplifica.
utilizan las teclas: 1 5a 3
x2 y a a. 53 a 2 a 3 7 3
2a 14a 3 • Multiplicando y
5a 2 5a 2
Para la potenciación: x y n
a *n b n
a *b
Para la radicación: x 1 / y .
1 a3
Esto significa que las = * a * 3 14 14 • Simplificando el ra-
raíces deben expresarse 4 a
como potencias de dical y multiplicando
3
exponente = 14 • Simplificando la
y Fracción
fraccionario: x a 1 / y
.
La tecla / cambia el
b. 6 2 3 6* 2 6* 3
signo del último número = 12 18 22 * 3 32 * 3 • n a * n b n
a *b
introducido.
=2 3 3 2 • Simplificando
2 2
c. a b c a a b c d a b c d • (a b)(a b) a2 b2
2 2
= a2 b c2 d • ( a * b) n an * bn
= a 2b c 2 d • Si a > 0 y n es par n
an a
2. Si los radicales tienen distinto índice
Primero se convierten los radicales a índice común y luego se procede como en los
casos anteriores.
Ejemplo: simplifica
5 * 3 32 * 4 7 3 * 6 5x
Observa cómo se convierte a índice común 5 ; 1 3 2 ; 4 7 3 ; 6 5x .
Se halla el m.c.m. de los índices dados y se toma como índice común
m.c.m. ( 2; 3; 4; 6 ) = 12
A continuación se multiplican los radicales convertidos a índice común:
5 * 3 32 * 4 7 3 * 6 5x = 12
5 6 * 12 38 * 12 7 9 * 12 5 2 x 2
= 12
5 6 * 38 * 7 9 * 5 2 * x 2 = 12
5 8 * 38 * 7 9 * x 2
1. Efectúa las operaciones siguientes en tu cuaderno 2. Resuelve las operaciones siguientes en tu cuaderno
de trabajo. de trabajo.
a. 4
a 4 * ab 5 a. 3 * 3 2 b. 4 x * 3 y
b. 4
x3 * 5 x 1 3 1 n
c. * d. x *m y
2 3
c. 3
x * 4 2x 2 * 2 3
d. n
x *m y e. xn * 3 yn
d. 4
a2 * 4 a
56

57. DIVISIÓN DE RADICALES
Para dividir radicales se procede exactamente en la misma forma como para la
multiplicación de radicales.
Toma nota El proceso de la división de radicales se fundamenta en la propiedad:
La radicación no es distributiva n
a a
con respecto a la adición ni a la n
n ; b 0
b b
sustracción.
n n
n a b a b Ejemplos: simplifica.
n
24 30 2 4 30 24 a a
1. 6 •
n
n
34 5 3 5 3 b b
Toma nota
ak 2 2
4x x x y 4x x2 y2 4 x 3 xy z 2 n
a a
Como 1 entonces 2. * *3 * • n
ak y 3 xyz y xyz y z z2 n
b b
am ak a m k
a m
Y simplificando el radical
*
an ak an k
an 4 x 3 xyz 2
4x 3
= = xyz 2
y z3 yz
4 3 12 3 12 2 4 2 3 34
3. 2 9 2 (3 ) 12 * • Reduciendo índice común
38 3 4
12
2 3 * 34 1 12 3 4 n
a a
2 *3 n
3 3 n b b
1 12
648 • Simplificando el radical
3
Realiza las operaciones y expresa el resultado en su i. n
ab n
a nb n
forma simplificada en cada uno de los siguientes
ejercicios. 1 16
3 8 j. 2x 16 x 4
a. 2 4
2 9
12 k. 13 125 5 65
b.
8 1x n 1n x
3 3 4
l. a a
c. a b ab 8 n
1 8
d. 3 3 m. 8 p2q5 32 p 3 q 2
x4 x3
e. 6
18 x 3 y 4 z 5 6
3x 2 y 2 z 3 n. 5
64 x 10 y 5
243x 2 y 6
3 2
f. 8x 3 50 x 4 1 1
4 3 o. 2 3
2 3
57