Guia Mate 9°

Índice

N° de
pagina
Presentación y jornalización. 3
Planificaciones didácticas. 4
Unidad 1. Utilicemos ecuaciones con radicales
Guía N° 1. Determinantes. Elementos y orden. Filas, columnas y diagonales. Determinantes de
22
segundo orden 2 x 2.
Guía N° 2. Ecuaciones con radicales que se reducen a ecuaciones de primer grado. Eliminación
23
de la raíz por la propiedad potencia de otra potencia.
Unidad 2. Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales
Guía N° 3. Línea recta, sistema de coordenadas cartesianas, coordenadas de un punto (abscisa,
24
ordenada).
Guía N° 4. Pendiente (m), pendiente positiva, pendiente negativa, pendiente cero, pendiente
25
indefinida.
Guía N° 5. Gráfica: intercepto con el eje de las ordenadas, ecuación de una recta y = mx + b 26
Guía N° 6. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método de determinantes. 27
Unidad 3. Calculemos la dispersión
Unidad 4. Midamos ángulos
Guía N° 7. Ángulos coterminales. 28
Unidad 5. Resolvamos ecuaciones de segundo grado
Unidad 6. Apliquemos técnicas de conteo
Unidad 7. Resolvamos sistemas de ecuaciones
Guía N° 8. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Métodos de solución. 29
Guía N° 9. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Regla de Sarrus. 30
Guía N° 10. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Regla de Cramer. 31
Guía N° 11. Resolución de problemas que conllevan sistemas de ecuaciones de tres incógnitas. 33
Unidad 8. Utilicemos potencias algebraicas
Unidad 9. Utilicemos radicales

2

PRESENTACIÓN

Editorial Santillana, ante la disposición ministerial de que los programas de estudio actuales
deben abarcar el 80% de los contenidos de los programas de estudio anteriores, decide realizar
el análisis de los contenidos desarrollados en los textos escolares “Competentes”, los cuales
fueron creados bajo el enfoque por competencias y el modelo constructivista.

Con este fin, Editorial Santillana decide crear una guía complementaria de estudio con el
propósito de apoyar, de forma responsable, el trabajo que realiza el personal docente que
actualmente utiliza nuestros textos escolares. Esta iniciativa pedagógica nace con la intención de
cubrir aquellos contenidos que establece la nueva propuesta curricular del MINED (los programas
de estudio) y, con ello, volver vigentes nuestros textos escolares para facilitarle al personal
docente la búsqueda de información y procesos metodológicos requeridos en dicho programa.

De igual forma, Santillana aprovecha la oportunidad para brindarles una propuesta de:

Jornalización para cada asignatura tomado en consideración: el tiempo, las unidades, los
contenidos y los sistemas de evaluación trimestral que indica el MINED.
Planificación del proceso de enseñanza-aprendizaje (unidades didácticas) basada en
competencias: contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; indicadores de
logro; y orientaciones metodológicas y de evaluación, mediante la creación de actividades
integradoras.
Desarrollo de nuevos contenidos que nuestros textos no cubren, que desarrollan de forma
parcial o que necesitan ampliación.

Con este esfuerzo editorial, garantizamos el cumplimiento del programa de estudio.

Jornalización

Nº de
Total de Total de horas
Nº de Fecha de Fecha de Evaluación
horas horas clase Unidades
unidades inicio finalización trimestral
anuales semanales por
unidad
1. Utilicemos
12 de
200 5 9 20 ecuaciones con 6 de febrero
enero
radicales
2. Resolvamos
23 de
sistemas de dos 9 de
20 6 de marzo marzo al 27
ecuaciones febrero
de abril
lineales
3. Calculemos la 9 de
15 27 de abril
dispersión marzo
30 de
15 4. Midamos ángulos 24 de abril
marzo
5. Resolvamos
30 ecuaciones de 27 de abril 8 de junio 10 al 14 de
segundo grado julio
6. Apliquemos
25 9 de junio 14 de julio
técnicas de conteo
7. Resolvamos
18 de
20 sistemas de 15 de julio
agosto
ecuaciones
8. Utilicemos 15 de julio
19 de 23 de al 26
25 potencias
agosto septiembre octubre
algebraicas
9. Utilicemos 24 de 26 de
23
radicales septiembre octubre

3

Planificación de unidad didáctica

Unidad 1. Utilicemos ecuaciones con radicales Competencias
Razonamiento lógico matemático
Tiempo: 20 horas
Comunicación con lenguaje matemático
Aplicación de la matemática al entorno
Objetivo de la unidad:
Utilizar con seguridad los determinantes y las ecuaciones con radicales, aplicando sus propiedades en la propuesta de soluciones a situaciones
problemáticas del aula y del entorno.

Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
Determinantes Explicación del proceso de formación de un Confianza al explicar el proceso de
determinante. formación de un determinante.
Elementos y orden
Filas, columnas y Identificación de los elementos de los Seguridad al identificar los elementos
diagonales determinantes: filas, columnas, diagonales y de un determinante.
orden.

Construcción de determinantes a partir de Guía Nº 1
las ecuaciones.
Segundo orden Resolución de ejercicios de determinantes Orden al resolver ejercicios y problemas
de 2 x 2, aplicando la diferencia del producto de determinantes de 2 x 2.
2 x 2 aplicando la de sus diagonales.
diferencia del producto
de sus diagonales Resolución de problemas aplicando
determinantes de segundo orden.
Ecuaciones con Identificación y explicación de las Seguridad al identificar ecuaciones con
radicales que se ecuaciones con radicales transformables en radicales.
reducen a ecuaciones ecuaciones de primer grado.
de primer grado. Guía Nº 2

4

Eliminación de la raíz Aplicación de reglas de los exponentes en la Interés por aplicar reglas de los
por la propiedad solución de ecuaciones con radicales. exponentes al resolver ecuaciones con
potencia de otra radicales.
potencia. Resolución de ejercicios y problemas,
utilizando las ecuaciones con radicales
transformables en ecuaciones de primer
grado.

Sugerencias metodológicas:
Orienta al grupo a explorar métodos de solución de ecuaciones.
Presente diferentes matrices, pídales que enumeren sus elementos y construyan el concepto de determinantes.
Proporcione la guía de ejercicios y problemas aplicando determinantes de segundo orden.

Indicadores de logro: Actividades de evaluación:
1.1 Explica con confianza el proceso de formación de un determinante Elaborar una actividad donde las y los estudiantes, organizados en equipo,
e identifica sus elementos. resuelvan ejercicios y problemas de determinantes de segundo orden.
1.2 Construye y resuelve de manera ordenada ejercicios y problemas Presentar una situación problemática en la cual los alumnos y las alumnas
aplicando determinantes de segundo orden. plantean ecuaciones con radicales encontrando el conjunto solución.
1.3 Identifica y explica con seguridad serie de ecuaciones con
radicales transformables en ecuaciones de primer grado aplicando Criterios de evaluación:
reglas de los exponentes. Colaboración
1.4 Resuelve ejercicios y problemas utilizando ecuaciones con Respeto
radicales transformables en ecuaciones de primer grado. Orden
Aseo

5


Unidad 2. Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales Competencias
Tiempo: 20 horas
Graficar la línea recta e interpretar sus elementos y características, con el fin de proponer soluciones a problemas relacionados con el ámbito
escolar y del entorno.
Proponer alternativas de solución a situaciones problemáticas de la vida diaria aplicando los sistemas de ecuaciones lineales, utilizando los
diferentes métodos de solución y valorar el aporte de los demás.

Línea recta Identificación de los elementos de un Seguridad al identificar elementos
sistema de coordenadas cartesianas. del sistema cartesiano.

Sistemas de coordenadas Identificación y colocación de las Seguridad al colocar en el plano
cartesianas. coordenadas de un punto p(x, y) en el cartesiano las coordenadas de
plano cartesiano. puntos.
Guía N° 3
Coordenadas de un punto P Interpretación y explicación del uso de la Valoración del uso de la fórmula de
(abscisa, ordenada). fórmula de la pendiente de la recta, la pendiente.
cuando se conoce el valor de dos puntos
por donde esta pasa.
Guía Nº 4
Pendiente (m) Exactitud al calcular la pendiente
m= y2 – y1 Cálculo del valor de la pendiente positiva, cuando se conocen las
Pendiente positiva negativa, cero e indefinida de una recta, coordenadas de dos puntos.
Pendiente negativa cuando se conoce el valor de dos puntos
Pendiente cero por donde esta pasa.
Pendiente indefinida Esmero para encontrar la solución
Resolución de problemas donde se utilice a problemas de pendiente.
la pendiente.
Gráfica: intercepto con el Construcción del gráfico de la recta Seguridad al graficar la recta,
Guía Nº 5
eje de las ordenadas. identificando la pendiente y el intercepto utilizando el intercepto.

6

con el eje de las ordenadas si se conocen
las coordenadas de dos puntos. Interés al calcular correctamente la
pendiente y el intercepto en la
Ecuación de una recta Utilización de la ecuación y = mx + b en ecuación punto pendiente y = mx +
y = mx + b ejercicios de aplicación. b de la recta.

Resolución de problemas de la ecuación Perseverancia en la resolución de
pendiente- intercepto. problemas.
Sistema de dos ecuaciones Determinación y explicación de un sistema Esmero al plantear situaciones
de ecuaciones lineales con dos incógnitas. cotidianas, mediante un sistema de
Ecuaciones con dos dos ecuaciones lineales.
48
incógnitas. Resolución de un sistema de dos
51
ecuaciones lineales con dos incógnitas. Interés al identificar un sistema de
Sistema de ecuaciones ecuaciones con dos variables.
lineales.
Método para resolver un Resolución de sistemas de ecuaciones Valoración de la importancia del
sistema de ecuaciones con usando el método gráfico. método gráfico para la solución de
dos variables: un sistema de ecuaciones.
Utilización del método gráfico para
Gráfico solucionar problemas de aplicación. Seguridad y precisión en el trazo
Sustitución de las rectas.
Igualación Resolución de sistemas de ecuaciones
Reducción usando el método de igualación, Interés en utilizar el método gráfico
52
sustitución y reducción. en problemas de aplicación.
54
53
Utilización del método de igualación, Seguridad al resolver un sistema 55
resolución y reducción para solucionar de ecuaciones usando el método
problemas de sistema de ecuaciones. de sustitución, igualación y
reducción.

Interés y orden al aplicar el método
de sustitución, igualación y
reducción en problemas de
aplicación.

7

Determinantes. Resolución de sistemas de ecuaciones Seguridad al resolver un sistema
usando el método de determinantes. de ecuaciones usando el método
de determinantes.
Utilización del método de determinantes
Guía Nº 6
para solucionar problemas de sistema de Interés en utilizar el método de
ecuaciones. determinantes en problemas de
aplicación.

Presentar un plano cartesiano, en un cartel, para que los alumnos y las alumnas escriban las coordenadas de los puntos señalados.
Proporcionar, en los sistemas de ecuaciones, situaciones de su entorno para que las expresen como ecuaciones y encuentren el conjunto
solución.
Proponer ecuaciones de rectas conocidos dos puntos para calcular la pendiente y su clasificación.

2.1 Identifica y coloca con seguridad las coordenadas de un punto, Presentar una hoja de ejercicios para que, las alumnas y los alumnos
en el plano cartesiano. organizados en equipo, calculen los diferentes tipos de pendientes y
2.2 Utiliza, valora y calcula con exactitud el valor de la pendiente resuelvan problemas usando la fórmula.
positiva, negativa, cero e identifica de una recta al conocer los Desarrollar la actividad de la página 56 del texto como síntesis de la
valores de las coordenadas de dos puntos. aplicación de sistemas de ecuaciones.
2.3 Construye con seguridad el gráfico de la pendiente y el
intercepto con el eje de las ordenadas y resuelve problemas. Criterios de evaluación:
2.4 Determina, explica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales Colaboración
con dos incógnitas. Respeto
Orden
Aseo

8


Unidad 3. Calculemos la dispersión Competencias
Tiempo: 15 horas
Aplicar la desviación típica al analizar críticamente fenómenos numéricos y hechos sociales, con el fin de proponer y sustentar sus ideas,
respetando la opinión de los y las demás.

Medidas de dispersión Cálculo de medias aritméticas Interés por calcular medias
aritméticas
Dispersión Explicación de las medidas de
dispersión. Seguridad al explicar las medidas de
Amplitud o rango dispersión.
10
Establecimiento de la dispersión de
Desviación típica para datos a partir del rango Establece con orden y seguridad la
datos sin agrupar. dispersión de datos a partir del
11
Resolución de ejercicios y/o problemas rango.
aplicando la amplitud o rango en series
de datos. Orden al resolver ejercicios y/o
problemas aplicando el rango en
Resolución de ejercicios y problemas series de datos.
aplicando las fórmulas para el cálculo de
la desviación típica de un conjunto de Dominio y confianza al aplicar las
datos no agrupados. fórmulas de las medidas de
dispersión.

Plantee una situación del entorno para introducir las medidas de dispersión.
Realice comparaciones de series de datos; recolectados por los estudiantes, aplicando la desviación típica.

9

3.1 Calcula con interés las medidas aritméticas Calcular, con los datos recolectados por los y las estudiantes, el rango y
3.2 Explica las medidas de dispersión y establece con orden y la desviación típica para datos no agrupados.
seguridad la dispersión de datos a partir del rango.
3.3 Resuelve con dominio y confianza ejercicios y problemas Criterios de evaluación:
aplicando las fórmulas para el cálculo de la desviación típica para Participación activa
datos no agrupados. Orden
Respeto
Colaboración

10


Unidad 4. Midamos ángulos Competencias
Tiempo: 15 horas
Aplicar los ángulos y sus propiedades, en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno.

Ángulos. Utilización de giros en sentido horario y anti- Seguridad al utilizar giros en
Positivos y negativos. horario para construir y señalar ángulos sentido horario y anti-horario. 142
positivos y negativos.
Coterminales. Construcción de parejas de ángulos Precisión al construir ángulos
coterminales. coterminales.

Cálculo y explicación del menor ángulo Confianza al calcular ángulos
positivo y el mayor ángulo negativo que sea coterminales.
coterminal a un ángulo dado. Guía Nº 7

Resolución de problemas determinando el
menor ángulo positivo y el mayor ángulo
negativo que sean coterminales a un ángulo
dado.
Sistema de medida Determinación y explicación de las medidas Esmero al determinar y
sexagesimal y circular. de ángulos en grados sexagesimales y explicar las diferentes medidas
radianes. de los ángulos.
Conversiones 143
Conversión de medidas de ángulo expresadas Confianza en la utilización de 144
Arco como sección de una de grados a radianes y viceversa. factores de conversión. 145
circunferencia. 204
Resolución de problemas utilizando los Seguridad en la construcción 240
Longitud de arco factores de conversión. de longitud de arco.
Construcción y explicación del arco

11

Área de un sector circular. Interés por el uso de S = rt del
Deducción y explicación de la fórmula para cálculo de la longitud de arco.
determinar la longitud de un arco S = rt
Esmero para encontrar el área
Cálculo de áreas de sector utilizando la de un sector circular.
fórmula A r2n / 360

Resolución de problemas utilizando las
fórmulas de área y longitud de arco.

Circunferencia y círculo. Definición. Elementos
de una circunferencia.

Área de la corona, del sector y del trapecio
circular.

Presente un reloj de pared y que las y los alumnos experimenten el giro de las manecillas, para encontrar ángulos positivos y negativos.
Continúe con la propuesta del texto que se encuentra páginas 143 y 204.

4.1 Utiliza con seguridad los giros en sentido horario y anti-horario Retomar la actividad del inicio de unidades y que las y los alumnos
para construir y señalar ángulos positivos y negativos. construyan los ángulos y efectúen conversiones del sistema
4.2 Calcula y resuelve problemas determinando el menor ángulo sexagesimal al sistema circular y viceversa.
positivo y el mayor ángulo negativo que sean coterminales a un Partir de una situación del entorno, construir la circunferencia y el círculo
ángulo dado. y calcular la longitud del arco y su área.
4.3 Utiliza con confianza factores de conversión para resolver
problemas que involucran medidas angulares. Criterios de evaluación:
4.4 Construye, calcula y resuelve problemas de la longitud de arco S = Creatividad
rt y el área de un sector circular. Precisión
Orden
Aseo

12


Unidad 5. Resolvamos ecuaciones de segundo grado Competencias
Tiempo: 30 horas
Interpretar y resolver con seguridad, situaciones problemáticas, escolares y sociales, utilizando las ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de Determinación de los elementos y las Interés por determinar una ecuación
segundo grado. características que tiene una ecuación de de segundo grado a partir de sus
segundo grado. características.
Ecuación general:
Ax2 + bx + c = 0 Diferenciación y resolución de las ecuaciones Confianza al diferenciar y resolver las
completas e incompletas, puras y mixtas, a ecuaciones cuadráticas.
Ecuaciones partir del número de sus términos.
incompletas: Perseverancia al resolver problemas
Resolución de problemas aplicando aplicando ecuaciones cuadráticas
Puras ecuaciones cuadráticas incompletas, puras y incompletas, puras y mixtas.
Mixtas mixtas.
Interés y disposición por encontrar las
116
Aplicación del método completando trinomios raíces de una ecuación de segundo
117
para encontrar raíces en ecuaciones grado.
cuadráticas.
Interés por deducir y explicar, de
Resolución de ecuaciones cuadráticas manera correcta, la fórmula general
aplicando cuadrados perfectos. que desarrolla ecuaciones de
segundo grado.
Deducción y aplicación de la fórmula general
que desarrolla ecuaciones de segundo grado a Orden y seguridad al utilizar la
partir de una ecuación cuadrática. fórmula general en ecuaciones
cuadráticas.
Resolución de problemas utilizando la fórmula
general. Seguridad y confianza al deducir,

13

explicar y resolver ejercicios y
Deducción, explicación y resolución de problemas utilizando el discriminante:
ejercicios y problemas utilizando el b2 4ac
discriminante en la fórmula general: b2 4ac
Métodos de solución: Métodos de solución para la ecuación general.

Por factorización Factorización. Justificación. Ejercicios.
Por complementación
de cuadrados. Complementación de trinomios cuadrados 119
Fórmula general perfectos. Justificación. Ejercicios. 120
Discriminante 121
Fórmula para resolver una ecuación de 122
segundo grado.

Discriminante y naturaleza de las soluciones.

Elabore una guía de ejercicios de factorización, especialmente de trinomios y diferencias de cuadrados.
Fabrique un rompecabezas de cuadrados y rectángulos y, organizados en equipos, orientar a los alumnos y las alumnas para completar
trinomios que se conviertan en cuadrados perfectos.
Oriente al grupo para que deduzca la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

5.1 Determinar con interés los elementos y características que tiene Presentar situaciones problemáticas y, organizados en equipos, que
una ecuación de segundo grado. las y los estudiantes planteen las ecuaciones y las resuelvan.
5.2 Diferenciar las ecuaciones completas e incompletas, puras y Elaborar un juego de cartas para que, en equipos, determinen los
mixtas a partir del número de sus términos, mostrando confianza. elementos y características de una ecuación cuadrática, su
5.3 Resolver con perseverancia problemas utilizado ecuaciones discriminante y los diferentes métodos de resolución.
cuadráticas incompletas, puras y mixtas. Criterios de evaluación:
Participación
Cautividad
Perseverancia
Aseo
Colaboración.

14


Unidad 6. Apliquemos técnicas de conteo Competencias
Tiempo: 25 horas
Tomar decisiones, a partir de la valoración de la ocurrencia de un suceso, al aplicar las probabilidades y respetar la opinión de los demás.

Técnicas de conteo Determinación, construcción y explicación Seguridad al determinar y explicar
del principio de la multiplicación. correctamente el principio de
Principio de la multiplicación.
multiplicación. Aplicación del principio de multiplicación al
resolver ejercicios y problemas de conteo. Seguridad al resolver problemas
Factorial de un aplicando el principio de la
número Determinación, interpretación y explicación multiplicación.
del factorial de un número. 13
Permutación Seguridad al determinar e interpretar 15
Resolución de problemas de conteo el factorial de un número. 16
aplicando el factorial de un número.
Perseverancia al resolver problemas
Interpretación, aplicación y explicación de la aplicando el factorial de un número.
permutación.
Seguridad al determinar el número
Resolución de permutaciones tomando de permutaciones de un conjunto
todos los elementos de un conjunto. tomando todos los elementos.
Número de Determinación del número de Confianza al resolver problemas
ordenamientos permutaciones de un conjunto tomando aplicando permutaciones.
parte de los elementos.
Tomando todos los Interés en interpretar combinaciones. 17
elementos del Resolución de problemas utilizando las 18
conjunto. permutaciones. Seguridad en la determinación del
número de combinaciones de un
Tomando parte de los

15

elementos del Deducción, interpretación y explicación de conjunto de elementos.
conjunto. combinaciones.
Seguridad al resolver problemas
Combinación Determinación del número de aplicando las combinaciones
combinaciones de un conjunto de
elementos.

Resolución de problemas que involucren
combinaciones.
Inicie la unidad con una actividad similar a la planteada en el texto, en la página 13.
Plante diversas situaciones de su entorno y aplicar las diferentes técnicas de conteo, haciendo énfasis en sus diferencias.
Finalice con la actividad del texto planteada en las páginas 24 y 25.
6.1 Determina, construye y aplica con seguridad el principio de la Retomar la actividad del texto sugerida al inicio de la unidad y que, en
multiplicación en la resolución de ejercicios y problemas de parejas, resuelvan problemas que involucren permutaciones y
conteo. combinaciones.
6.2 Determina, interpreta y resuelve con perseverancia problemas de
conteo aplicando el factorial de un número. Criterios de evaluación:
6.3 Interpreta, aplica y resuelve con seguridad permutaciones Colaboración
tomando todos o parte de los elementos de un conjunto. Respeto
6.4 Deduce, interpreta y determina con seguridad el número de Orden
combinaciones de un conjunto de elementos. Limpieza
6.5 Resuelve con seguridad problemas que involucran permutaciones
y combinaciones.

16


Unidad 7. Resolvamos sistemas de ecuaciones Competencias
Comunicación con lenguaje matemático Tiempo: 20 horas
Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales y aplicar sus métodos y técnicas en la propuesta de alternativas de solución a problemas de su
realidad.

Sistemas de ecuaciones Identificación, construcción y explicación Seguridad al identificar y formar un
lineales. de un sistema de ecuaciones lineales de sistemas lineal con tres incógnitas.
tres incógnitas. Confianza al aplicar los métodos Guía Nº 8
Métodos de solución: interpretación, aplicación y explicación de de solución para un sistema lineal Guía Nº 9
Reducción (suma y los métodos de solución para un sistema de tres incógnitas. Guía Nº 10
resta) lineal de tres incógnitas. Orden y perseverancia al resolver Guía Nº 11
Regla de Sarrus Resolución de problemas que conlleven sistemas de ecuaciones lineales
Regla de Cramer sistemas de ecuaciones de tres incógnitas de tres incógnitas.

Inicie con una actividad sobre los conocimientos previos de sistemas de ecuaciones lineales.
Oriente la construcción de sistemas de ecuaciones lineales de tres incógnitas y los diferentes métodos de resolución: guías 8, 9, 10 y 11.

7.1 Identifica, construye y explica con seguridad un sistema de Elaborar una guía de situaciones problemáticas, en la cual, los y las
ecuaciones lineales de tres incógnitas. estudiantes, planteen sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas y
7.2 Interpreta, aplica y explica los métodos de solución para encuentren el conjunto solución.
sistemas lineales de tres incógnitas.
7.3 Resuelve problemas que conlleva sistemas de ecuaciones de Criterios de evaluación:
tres incógnitas, con orden y perseverancia. Responsabilidad
Colaboración
Orden
Aseo

17


Unidad 8. Utilicemos potencias algebraicas Competencias
Tiempo: 25 horas
Proponer con criticidad soluciones a diversos problemas relacionados con el ámbito escolar y social, aplicando la potenciación algebraica y sus
propiedades.
Potenciación en números Resolución de ejercicios y problemas Esmero al utilizar las potencias en
reales con polinomios aplicando la potenciación en números ejercicios y problemas de aplicación.
como base y exponentes reales con polinomios como base y
enteros. exponentes enteros. Perseverancia al aplicar el Binomio de
Newton. 74
Binomio de Newton. Aplicación del Binomio de Newton, 75
Desarrollo de la para obtener la potencia de un Orden y aseo en la construcción del 76
potencia n-ésima de un binomio. triángulo de Pascal. 79
binomio:
(a+b)n=an + an-1b + an- Construcción del triángulo de Pascal
2 2
b +….+ abn-1 + bn hasta n = 9.
Triángulo de Pascal
Término general Deducción, aplicación y explicación de Seguridad al aplicar la fórmula para el
la fórmula para el cálculo del término cálculo del término general.
general del desarrollo de un binomio.
Confianza al resolver problemas 80
Resolución de problemas utilizando la utilizando la fórmula que determina el
fórmula que determina el término término general de un binomio.
general de un binomio.
- Inicie la unidad con la actividad propuesta en el texto de la página 75.
- Explore los conocimientos previos de las combinaciones para aplicar el binomio de Newton al obtener las potencias de un binomio.
- Proponga que deduzcan la fórmula que determina el término general.

18

8.1 Resuelve con esmero ejercicios y problemas aplicando la Solicitar a las alumnas y los alumnos que, organizados en equipos,
potenciación en: números reales con polinomios como base y construyan el triángulo de Pascal hasta n= 9.
exponentes enteros. Desarrollar, en parejas, las actividades de las páginas 76 y 77 del libro
8.2 Aplica con perseverancia el binomio de Newton para obtener la de texto.
potencia de un binomio.
8.3 Construye con orden y aseo el triángulo de Pascal hasta n = 9. Criterios de evaluación:
8.4 Deduce, aplica y resuelve con confianza problemas utilizando el Perseverancia
término general de un binomio. Orden
Aseo
Responsabilidad

19


Unidad 9. Utilicemos radicales Competencias:
Tiempo: 23 horas
Aplicar, con seguridad, las leyes de los radicales para la resolución de problemas relacionados con el aula y el entorno.

Radicación algebraica. Identificación de los elementos de un Confianza y seguridad al reconocer los
radical y explicación de raíz n-enésima. elementos de una raíz.

Raíz n-enésima. Extracción de la raíz n-enésima. Perseverancia al extraer una raíz n-
enésima.
86
Simplificación de diversas expresiones Seguridad y perseverancia al 88
Reglas de los radicales: con radicales aplicando las simplificar expresiones con radicales. 87
Potencia n-ésima de la propiedades.
raíz n-enésima.
Raíz n-enésima de un
producto.
Raíz n-enésima de un
cociente.
Raíz n-enésima de una
88
potencia m-enésima.
Raíz n-enésima de otra Conversión de una expresión radical a Interés y esmero al transformar un
raíz m-enésima. potencias con exponentes fraccionarios radical en potencia con exponente 88
Exponente fraccionario. y viceversa. fraccionario.
Métodos para cambiar la Identificación y reducción de radicales Seguridad al identificar y reducir 90
forma de un radical. semejantes. radicales semejantes. 91
Extraer factores de un 92
radical. Extracción de factores de un radical. Valoración y seguridad al extraer un 94
Introducir factores bajo el factor de un radical. 95
signo radical. Introducción de factores bajo el signo 96

20

Cambio del índice de un radical. Perseverancia al introducir un factor 97
radical. bajo el signo radical.
Operaciones con Transformación de radicales utilizando
radicales. cambio de índice. Seguridad al transformar el índice de
Suma y resta. un radical.
Multiplicación. Suma y resta radicales.
División Seguridad al efectuar sumas y restas
Racionalización. Multiplicación y división de radicales. de radicales.
Racionalización de expresiones
radicales. Destreza y seguridad al efectuar
multiplicación y división de radicales.
Resolución de problemas utilizando
radicales y sus operaciones. Orden al aplicar la racionalización.

Perseverancia y orden al resolver
problemas.

Inicie con la propuesta del texto que define la radicalización como la operación inversa de la potenciación (página 86).
Identifique los elementos de un radical y continuar con la propuesta del texto que se encuentran en las páginas 86 a la 102.

9.1 Identifica con seguridad todas las partes de un radical, extrae la raíz n – Proporcionar una guía de ejercicios de propiedades de radicales,
enésima y simplifica expresiones que contengan radicales, empleando operaciones y radicación, para que lo resuelvan en pareja.
sus propiedades. Realizar una prueba individual, que puede ser de simplificación
9.2 Convierte expresiones con radicales a potencias con exponentes de expresiones que contengan radicales, empleando sus
fraccionarios e identifica radicales semejantes. propiedades.
9.3 Extrae e introduce factores de y bajo un radical. Criterios de evaluación:
9.4 Resuelve operaciones: suma, resta, multiplicación y división de radicales. Perseverancia
9.5 Resuelve problemas utilizando radicales y sus operaciones con Colaboración
perseverancia y orden. Orden
Aseo

21

DETERMINANTES. ELEMENTOS Y ORDEN. FILAS COLUMNAS Y DIAGONALES.
DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN 2 X 2

Una matriz es un arreglo de números reales.
4 6 0 Fila 1 Columna 1 Columna 2 Columna 3
Para comenzar 1 6 0
2 2 3 Fila 2 -2 2 3
Escribe verdadero (v) o falso 3 1 1 Fila 3 3 1 1
(f).
Las filas son los números escritos en forma horizontal.
Los coeficientes de la ecuación Las columnas de la matriz son los números que aparecen en
2x3 – 3x = 1 son:
forma vertical.
a) 3, 1, 0 _________
b) 2, - 3 _________ El orden de una matriz se expresa como m x n, donde “m”
c) 2, - 3, 1 _________ representa el número de filas y “n” el número de columnas.
6 7 2 0 3
2 1 3
7 3 6 7 8
Matriz 1 x 3 Matriz 2 x 2 Matriz 2 x 3
A cada matriz cuadrada B se le asocia un número llamado
determinante de B.
El valor de un determinante se calcula restando el producto de sus
diagonales
a b 3 2
ad bc (3)(5) ( 2)(1) 15 2 17
c d 1 5
+ -
Un sistema de ecuación se puede expresar en términos de un
determinante.
ax by e
El sistema le asignamos tres determinantes.
cx dy f
a b
P Se llama determinante principal P formada por los
c d
coeficientes de las variables x e y, tomados en ese mismo orden.
e b a e
x y Determinantes de las variables x y
f d c f
que se obtiene reemplazando la columna respectiva por los
constantes del sistema, en ese mismo orden.

Ejercicio resuelto
2x 2 y 6
En el sistema , encuentre las matrices P , x y y
x 4y 2
3 2 6 2 3 6
P x y
1 4 2 4 1 2

1. De los siguientes determinantes 3. Encuentra el determinante principal P y los
1 2 3 determinantes de las variables ( x, y ) en los siguientes
m n p 2 4 sistemas de ecuaciones.
a) b) c) 4 5 6
r s t 3 5
7 8 9 mx ny c
Identifica las filas, columnas y el orden de cada uno. a)
dx ey f
2. Encuentra el valor de los siguientes determinantes de
segundo orden
3 1 2x 3y 1
a) b)
2 3 x y 3
22

ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ELIMINACIÓN DE LA RAÍZ POR LA PROPIEDAD POTENCIA DE OTRA POTENCIA.

Mediante la experimentación y la aplicación de modelos
matemáticos se ha logrado determinar que la distancia “d” en
Para comenzar metros a la que cae un objeto partiendo del reposo en “t”
El producto notable d
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 segundos, esta expresado por la fórmula t .
5
Desarrolla los siguientes Un grupo de alumnos decidió verificar esta fórmula dejando caer
productos notables: una piedra desde un puente y, tomando el tiempo en que la piedra
(2 + x)2 = tarda en llegar al suelo ¿Cuál será la altura del puente, según la
(m – n)2 =
fórmula, si la piedra cayó en 2 segundos?
(2 + a )2 = d d d
t 2 4 d 20m
5 5 5
Luego, la altura del puente es 20 m sobre el río.

Para solucionar este problema fue necesario resolver una
ecuación que contenía raíces y cuya incógnita formaba parte de su
cantidad subradical.

Observa el siguiente ejercicio
Toma nota Encuentra el conjunto solución de: x 5 + x 2 =6
1. Trasladamos al miembro derecho el término que contiene
Los elementos de una raíz
son: radical.
Índice x 5 =6 x 2
2. Elevamos al cuadrado ambos miembros
n
a ( x 5 ) 2 = (6 x 2 )2
Signo radical Cantidad
subradical Resolvemos
1089
x + 5 = 36 – 12 x 2 +x+2x+2=
144
2
33 2 9
( x 2) = Luego x= 5
12 16
Problema resuelto
Toma nota
Ecuación con radicales es una El área de un cuadrado mide 256 m2, ¿cuál es la medida de su
igualdad en la que intervienen diagonal?
raíces y cuya incógnita forma 1º) Escribimos la fórmula del área del cuadrado
parte de una o más cantidades a = l2
subradicales.
2º) Sustituimos las variables por su valor
256 m2 = l2
3º) Resolvemos
256m 2 = l 2 16 m = l
La medida del lado es 16 m; pero como nos pregunta la medida de
su diagonal
16m
x 16m d= (16m) 2 (16m) 2 d = 256m 2 256m 2
X
16 d= 512m 2 d = 22.6 m Luego, la medida de
su diagonal es 22.6 m
1. Resuelve las siguientes ecuaciones. 2. Resuelve los siguientes problemas.
a. x 5 5 a. La resistencia de un circuito es de R = 18 ohms, su potencia P = 980 watts.
Utiliza la fórmula I P para calcular la intensidad de la corriente I.
b. 2 3 x 4 16 R

c. x 5 3 x 7 b. Calcula la velocidad, sustituyendo d por 6 en la ecuación v2 = 64 d.
d. 9x 1 1 3 3
23

LINEA RECTA, SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS, COORDENADAS DE UN
PUNTO (ABSCISA, ORDENADA)

Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas
numéricas perpendiculares entre si, cuyo punto en común es el
cero de cada una.
Para representar un punto (a, b) en el plano se localiza el primer
elemento de la pareja en el eje horizontal y el segundo en el eje
Para comenzar vertical.
y
Escribe el signo igual (=) o no es (a, b)

igual ( ) entre los siguientes pares (a, b) (b, a)

ordenados.
(b, a)

(1, 2) (2, 1) x

(- 1, 2) (- 1, 2)
Las coordenadas cartesianas dividen al plano cartesiano en cuatro
cuadrantes que se enumeran en dirección contraria a las agujas
del reloj.
Eje de las ordenadas (y)

II cuadrante + I cuadrante

- +
0
Eje de las abscisas (x)

III cuadrante - IV cuadrante

1) Escribe, en cada cuadrado, el 2) Observa el plano cartesiano.
cuadrante donde se ubica el punto que (2, 3) D

corresponde a cada par ordenado. 3

A C
2

a. (2, 3) 1
B E

b. (- 2, 3) 1 2 3 4 5

Escribe, en los espacios en blanco, las
c. (3, - 2)
coordenadas con que se identifican cada
uno de los puntos.
d. ( - 2, - 3)
a) A ____
b) B ____
c) C ____
d) D ____
e) E ____
Coloca, en el mismo plano de coordenadas,
los siguientes puntos.
a) (3, 1)
b) (1, 1)
c) (4, 0)
d) (0, 5)
e) (2, 3)
f) (5, 1)

24

PENDIENTE (M); PENDIENTE POSITIVA, PENDIENTE NEGATIVA, PENDIENTE CERO,
PENDIENTE INDEFINIDA

Observa el gráfico
y
P2(x2,y2) y2 - y1

Para comenzar P1(x1,y1)
x2 - x1

Dado los pares ordenados
x 1y1 x 2y2
x
(2, 3) (5, 7)

Encuentra
3 7
?
2 5
7 3 Figura 1
? Una recta representada en el plano cartesiano tiene una
5 2 inclinación que está determinada por medio del concepto de
pendiente (figura 1).

Si P1 y P2 son puntos de una recta representados por las
coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente se define la
y2 y1
pendiente m de la recta como m .
x2 x1
Ejemplo resuelto
1. Determina la pendiente de la recta que representa la función f(x)
= 3x + 4 que pasa por los puntos (0, 4) y (1, 7).
(- 0, 4) (1, 7) y2 y1 7 4 3
x1y1 x2y2 Solución: m 3
x2 x1 1 0 1
La pendiente de la recta que representa la función f(x) = 3x + 4 es 3.
En una recta, cuando la variable “x” aumenta y la variable “y”
aumenta, la pendiente es positiva (recta creciente) ejemplo: f(x) =
3x + 4.
La función f(x) = - 3x + 2 es decreciente; es decir, cuando la
variable “x” aumenta, la variable “y” disminuye. Su pendiente es
negativa.
Si la gráfica de la función es paralela al eje “x” la pendiente
m = 0.
Si la gráfica de la función es paralela al eje “y” la pendiente no
esta definida.

1. Calcula la pendiente de la recta que pasa por 3. Indica cuáles de las siguientes rectas tienen pendiente:
cada par de puntos. negativa, positiva, cero o indefinida.
b) (1, 2); (3, 4)
c) (0, -3); (-6, 7) y y
y y
2. Dibuja las rectas que corresponden a cada par x x x
de puntos, en el plano cartesiano.

25

GRÁFICA: INTERCEPTO CON EL EJE DE LAS ORDENADAS, ECUACIÓN DE UNA RECTA
Y = MX + B

Dado que una función se puede representar por medio de una
expresión algebraica y además una función afín se representa por
una línea recta, la expresión y = mx + b representa una línea recta.

La expresión y = mx + b se denomina ecuación de la recta. En esta
Para comenzar
ecuación “m” es la pendiente y “b” es el valor de “y” en la cual la
Indica el eje (x, - x, y, - y) en que recta corta al eje “y”, este valor se llama intercepto.
se localizan los puntos que Ejemplo:
corresponden a los siguientes La ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y que corta al eje
pares ordenados “y” en -4 es
a. (0, - 2)____ y = mx + b
b. (2, 0)_____ y = -3x – 4
c. (5, 0)_____
d. (0, - 5)____ Pendiente Intercepto
Ejercicio resuelto
Encuentra la pendiente y el intercepto de la recta y = 3x -1.
Solución:
Como la ecuación de la recta es de la forma y = mx + b; la pendiente
es m = 3 y el intercepto es b = -1.
Representa gráficamente la ecuación anterior.
Solución:
1. Se ubica en el plano el punto (0, -1); pues el intercepto en y
es -1.
2. Como la pendiente es m =3, entonces por cada unidad que
aumenta el valor de la variable “x”, la variable “y” aumenta 3
unidades, por lo tanto la recta pasa por el punto (1, 2)
Y
4
3
2 (1,2)
1
X
-3 -2 -1 1 2 3 4
-1 (0,-1)
-2
-3
-4

1) Identifica en cada una de las ecuaciones 2) Escribe la ecuación de cada recta a
la pendiente y el intercepto con el eje “y”. partir de los datos dados.
a. m = 4, b = -6
b. m = - 3, b = -2
Intercepto 1 2
Ecuación Pendiente
con el eje y c. m = , b =
7x + 4 = y 4 3
y = -2x + 10 d. m = 1, b = 5
y = -3 -2x
3) Grafica cada recta a partir de los datos
y = 1 + 7x
dado:
a) Pendiente 2; intercepto igual a -3
3
b) Pendiente ; intercepto igual a 0
5

26

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. MÉTODO DE
DETERMINANTES

¿Que método se utiliza para resolver el sistemas de ecuaciones en el
método de determinantes? Regla de Cramer.
Ejemplo: Resolver el sistema 3 x 2y 6
Para comenzar x 4y 2
Encierra en un círculo el 3 2
proceso correcto de la 1. Encontrar el determinante principal P
división de fracciones. 1 4
a c ac 2. Determinantes de las variables x, y 6 2 3 6
1. ÷ = x y
b d bd 2 4 1 2
a c ad El valor de las incógnitas se calcula así:
2. ÷ = 6 2
b d bc 2 4
x ( 6 )( 4 ) ( 2 )( 2 ) 24 4 28
x x 2
P 3 2 ( 3 )( 4 ) ( 2 )( 1 ) 12 2 14
1 4
3 6
y 1 2 ( 3 )( 2 ) ( 6 )( 1 ) 6 6 0
y y 0
P 3 2 ( 3 )( 4 ) ( 2 )( 1 ) 12 2 14
1 4
Ejemplos: Resolver
La suma de dos números enteros pares consecutivos es 30 y su
diferencia es 2.
Encuentra los números.

Solución:
Paso 1: Sea “x” un número entero par y “y” el otro número entero par.
x y 30
Paso 2: Las ecuaciones que se forman son:
x y 2
Paso 2: Las ecuaciones que se forman son: x y 30
x y 2
30 1
x 2 1 (1 )( 2 ) ( 30 )( 1 ) 30 2 32
x 16
P 1 1 (1 )( 1 ) (1 )( 1 ) 1 1 2
1 1
1 30
x 1 2 (1 )( 2 ) ( 30 )( 1 ) 2 30 28
y 14
P 1 1 (1 )( 1 ) (1 )( 1 ) 1 1 2
1 4
Los números son 16 y 14.

1. Resuelve, aplicando el método de 2. Aplicando el método de determinantes,
determinantes. resuelve:

x 2y 1 x 4 y 16 Entre monedas de 10 y de 5 centavos Ana
a) b) reúne US$1.05; tiene en total 12 monedas.
3x y 3 x 2 y 10 Responde: ¿Cuántas monedas de 10 y
cuántas monedas de 5 tiene Ana?

27

ÁNGULOS COTERMINALES

En una circunferencia, una rotación completa en sentido contrario a
las agujas del reloj equivale a 360º grados ó 2 radianes.

Los ángulos coterminales son aquellos que en posición normal
Para comenzar tienen el mismo lado inicial y terminal.

360º = 2 radianes Si es un ángulo cualquiera, por ello para encontrar el menor
180º = radianes ángulo positivo coterminal, se encuentra así:
Escribe en radianes la medida que
corresponde a los siguientes ángulos:
+ 360º +2
90º ______ Y el mayor ángulo negativo
30º ______
60º ______ – 360º -2
45º ______
Ejemplo resuelto

a. Encontrar el mayor ángulo negativo y menor ángulo positivo a
= 60º
60º + 360º = 420º 60º - 360º = - 300º
b. Encontrar dos ángulos entre 0 y 2 , que sean coterminales
11
con y dibujar uno de ellos.
4
11
Como 2 < < 3 restamos una vuelta 2 radianes
4
11 11 8 3
-2 = =
4 y
4 4
3
4 11
Otro ángulo coterminal a
4
x
3 3 8 5
2
11
4 4 4
4

c. Si = 40º 16’ 10’’, encontrar el mayor ángulo negativo que sea
coterminal a dicho ángulo.
Se descompone 360º en grados, minutos y segundos
360º = 359º 59’ 60’’; luego
(40º 16’ 10’’) – (359º 59’ 60’’) = - (319º 43’ 50’’)

1. Dibuja el ángulo dado en posición 2. Encuentra el ángulo entre 0 y 2 radianes
normal y determina dos ángulos coterminales al ángulo dado.
coterminales positivos y dos negativos. a.
a. 120º 4
b. 35º 23’ 38’’ b. 17
c. – 30º 2
2 c. 5.3
d. d. – 4
3
e. 7

28

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
- Reducción (suma y resta)
Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas forman un sistema de
de ecuaciones lineales
Para comenzar ax by cz p
dx ey fz q
Cuando en una expresión
gx hy kz r
algebraica las variables se
sustituyen por valores numéricos Resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas es
específicos, al resultado obtenido encontrar una solución única, es determinar el trío ordenado(x, y,
se le denomina valor numérico de la z) de números reales que satisfacen a la vez a las tres
expresión algebraica.
El valor numérico de 3x2 para x = 3 ecuaciones.
es 27 Método de reducción
Encuentra el valor numérico Observa cómo se resuelve el siguiente sistema
2x – 3y + z
Si x = - 1 2 x 3 y 3z 10 (1)
y= 3 3x 2 y 3z 1 (2)
z= 5
2x 5 y 2z 5 (3)

Eliminamos la incógnita z, sumando las ecuaciones (1) y (2)
2x + 3y + 3z = 10
+ 3x – 2y – 3z = - 1
5x + y = 9 (4)
Eliminamos la misma incógnita z de las ecuaciones (2) y (3),
multiplicando estas ecuaciones por 2 y 3 respectivamente y
las sumamos:
2x – 2y – 3z = - 1 x 2 6x – 4y – 6z = - 2
2x + 5y + 2z = - 1 x 3 6x + 15y + 6z = 15
12x + 11y = 13 (5)
Formamos un nuevo sistema con las ecuaciones (4) y (5).
Multiplicamos la ecuación (4) por ( - 11) para reducir la
incógnita “y” y hallamos “x”:
5x + y = 9 x - 11 - 55x – 11y = - 99
12x + 11y = 13 12x + 11y = 13
- 43x = - 86 x=2
Ahora, reemplazamos el valor x = 2 en la ecuación (4):
5x + y = 9 5(2) + y = 9 10 + y = 9 y=-1
Para calcular el valor de la incógnita z, reemplazamos x = 2 e
y = - 1 en la ecuación (1)
2x + 3y + 3z = 10 2(2) + 3(- 1) + 3z = 10 z=3
El conjunto solución es (2; 1;3)

1. En los espacios en blanco, numera del 1 al 5 para ordenar el 2. Encuentra el conjunto solución de los
proceso de respuesta de un sistema de ecuaciones lineales siguientes sistemas de ecuación, por el
con tres incógnitas. método de reducción.
______ Formamos un nuevo sistema con las 4 x y 3 z 15
ecuaciones (4) y (5). a) x 3 y z 15
______ Para calcular el valor de la incógnita z
reemplazamos los valores encontrados para x, y. 2 x y 4 z 14
______ Reemplazamos el valor de x en la ecuación (4) x y z 1
para encontrar el valor de y. b) 2x y z 3
______ Eliminamos la incógnita z sumando, las
ecuaciones (1) Y (2). 3x 2 y 5z 8
______ Eliminamos la misma incógnita z de la ecuación
(2) y (3).

29

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS

La regla de Sarrus es útil para calcular el valor de
determinantes de orden 3.

Para comenzar Para calcular el valor del determinante.
Los términos con signo positivo (+) se encuentran multiplicando los
Para sumar cantidades con signos elementos de la diagonal principal y los de las diagonales
iguales. paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
Se suman las cantidades y se
escribe el signo común.
-2+-3=-5
2+ 3=5 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
Signos diferentes, se restan las
cantidades y se escribe el signo Los términos con signo negativo se forman al multiplicar los
del numero de mayor valor
absoluto. elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales
-8+3=-5 paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
Resolver
- 2 + - 10 = _______
6 + - 10 = _______
- 9 + 3 – 10 = _______
= - a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a32

Ejemplo.
Halla el valor de:
1 3 2
= (1)(5)(8) + (3)(9)(4) + (6)(2)(7) – (9)(5)(2) – (1)(7)(4)
A 6 5 4 – (6)(3)(8)
9 7 8 = 40 + 108 + 84 – 90 – 28 – 144 = - 30
Partiendo de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
se puede formar un determinante de orden 3 x 3.
3x y 2 z 3
Ejemplo x y z 2
x 2 y 3z 5
El determinante se forma con los coeficientes de las variables
3 1 2
1 1 1
1 2 3

1. Escribe los determinantes 2. Evalúa los siguientes
correspondientes a los siguientes determinantes, utilizando la regla
sistemas de ecuaciones. de Sarrus.
3x 3y z 2
a. 2x y 9z 1 1
6 7 2 3 2
a. 2
b. 3
x y z 3
3 6 1 6 7
x 3y z 7 1 1 1 5
b. 1
2x y 3z 2 2 4
3
5x 3y z 1

30

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Regla de Cramer
Para comenzar
Para resolver sistemas de ecuaciones por la regla de
Regla de los signos del
Cramer, seguimos el siguiente proceso:
producto
ax by cz p
(+) x (+) = + Supongamos que queremos resolver
dx ey fz q
(+) x (-) = -
gx hy kz r
(-) x (+) = -
(-) x (-) = +
Tendremos 4 matrices de las cuales calcularemos sus
Resuelve: determinantes:
a) (-2)(3)(-1) = ______
b) (5)(2)(-1) = ______
c) (-3)(-1)(-2) = ______ La primera matriz, la principal, se formará utilizando los
coeficientes de las variables.
a b c
P d e f
g h k

Otras tres, las determinantes de las variables, se obtienen
reemplazando en la matriz principal la columna respectiva
por las constantes o términos independientes del sistema:
p b c a p c a b p
x q e f ; P d q f ; P d e q
Importante
r h k g r k g h r
Todo determinante tiene un valor que
se calcula como se indica:
Recuerda que primero se debe El valor de cada incógnita del sistema será encontrado
repetir las dos primeras calculando los cocientes que siguen:
columnas a la derecha de la
x y z
matriz y luego operamos. x ; y ; z
P P P
a b c a b
P d e f d e
x 2y 3z 3
g h k g h Resolver el sistema
x y z 2
2x 3y 5z 5

P -(aek- + bfg- + cdh) – (ceg + afh + bdk)
+ + + 1º) Encontramos la determinante principal

1 2 3 (1)(1)(-5) + (-2) (-1) (2) + (-3) (1) (-3) = 8
P 1 1 1 (-3)(1)(2) + (1) (-1) (-3) + (-2) (1) (-5) = 7
2 3 5 Finalmente 8 – 7 = 1 P 1

31

2º) Reemplazamos los coeficientes de dicha variable por la
columna de los términos independientes

3 2 3 (3)(1)(- 5) + (- 2) (- 1) (5) + (- 3) (1) (- 3) = 13
x 2 1 1 (- 3)(1)(5) + (3) (- 1) (- 3) + (- 2) (2) (- 5) = 14
5 3 5 Finalmente 13 – 14 = - 1 x 1
Toma nota

Para resolver un sistema de 1 3 3 (1)(2)(- 5) + (3) (- 1) (2) + (- 3) (1) (5) = - 31
ecuaciones se debe ordenar y 1 2 1 (- 3)(2)(2) + (1) (- 1) (5) + (3) (1) (- 5) = - 32
alfabéticamente. 2 5 5 Finalmente – 31 – (- 32) = 1 y 1

1 2 3 (1)(1)(5) + (-2) (2) (2) + (3) (1) (-3) = - 12
y 1 1 2 (3)(1)(2) + (1) (2) (-3) + (-2) (1) (5) = - 10
2 3 5 Finalmente – 12 – (- 10) = - 2 z 2

x 1 y 1 z 2
Luego x 1; y 1; z 2
P 1 P 1 P 1

Conjunto solución ( 1;1; 2)

1. Calcula el valor de los determinantes. 3. Encuentra el conjunto solución.
2 1 3 x 2y 3z 9
a. 3 0 2 a) 2x y 6
2 5 1 4 x 3 y 6 z 24
1 1 1 m 4n 5j 11
b. 1 1 1 b) 3m 2 n j 5
1 1 1 4m n 3 j 26

2. Encuentra P en el siguiente sistema de
ecuaciones.
3x 2y 1 2z
2x 2z 3y 3
y 4 2z 8x

32

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONLLEVAN SISTEMAS DE ECUACIONES
DE TRES INCÓGNITAS

A continuación se presenta un problema que se resuelve mediante un
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Para comenzar Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que los
Escribe en lenguaje algebraico: hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de los niños.
1. El doble de un número. También se sabe que los hombres y las mujeres duplican el número de
2. El triple de un número, niños.
disminuido en cinco. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar el número de
3. El cuadrado de un número
aumentado en tres.
hombres, mujeres y niños.

Solución.
Llamamos x, y, z al número de hombres, mujeres y niños
respectivamente.
A partir de los datos del problema obtenemos el siguiente sistema lineal
de tres ecuaciones E1, E2, E3 con tres incógnitas x, y, z:

E1 x + y + z = 30
E2 x + 3y = 20 + 2z
E3 x + y = 2z

Ordenamos las ecuaciones y formamos la determinante principal
Toma nota
x y z 30 1 1 1
Para resolver un problema: x 3 y 2z 20 P 1 3 2 6
1. Lee y comprende el
problema. x y 2z 0 1 1 2
2. Plantea la solución. Luego encontramos
3. Desarrolla el plan.
30 1 1 1 30 1 1 1 30
4. Revisa y reflexiona sobre
la solución. x 20 3 2 60 y 1 20 2 60 z 1 3 20 60
0 1 2 1 0 2 1 1 0
x 60 y 60 z 60
Luego 10 ; 10 ; 10
P 6 P 6 P 6
El número de hombres es 10, mujeres 10 y niños 10

1. Calcula el valor de los 2. Resuelve los siguientes problemas aplicando el método de
determinantes. determinantes.
b. Un ganadero tiene a su cargo 110 animales entre
6 1 6 gallinas, cerdos y pavos. Si 1 del número de gallinas,
8
c. 3 2 2 1 del número de cerdos, más 1 del número de
más
0 2 3 9 5
pavos, equivalen a 15 y la suma del número de gallinas
1 con el de pavos es 65. ¿Cuántos animales de cada
0 3
2 clase posee dicho ganadero?
d. 2 2 4 c. Rosa, Fanny y Gisela tienen juntas $140. Sabiendo que
3 1 1 Gisela tiene la mitad de lo que tiene Rosa, y Rosa posee
$10 más que Fanny. ¿Cuánto dinero tiene cada una?
d. La suma de tres números es 12. El tercero es el
cuádruplo del segundo y el segundo es igual a 6 veces
el primero. ¿Cuáles son los números?

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