Este documento describe dos métodos numéricos para encontrar las raíces o soluciones de ecuaciones no lineales: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. Explica los pasos de cada método, incluidos la fórmula iterativa de Newton-Raphson y los criterios de parada. También presenta ejemplos ilustrativos de la aplicación de ambos métodos para resolver ecuaciones específicas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA
AREA DE CIENCIAS DE LA SALUD
PROGRAMA DE INGENIERIA BIOMEDICA
UNIDAD CURRICULAR: CALCULO NUMERICO.PROF.ING.GILBERTO ISEA DELMORAL MSc.
Gilbertoisea760@gmail.com
SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES
En este parte estudiaremos uno de los problemas básicos de la aproximación
numérica: el problema de la búsqueda de raíces o solución de una ecuación
dada. El problema de encontrar a la raíz de una ecuación se remonta por lo menos
al año 1700 a.C. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian
Collection, y que data de este periodo da un número sexagesimal (base 60)
equivalente a 1.414222 como aproximación a 2, resultado que tiene una precisión
de hasta 10-5. Los métodos numéricos que se tratarán se utilizan para obtener tales
raíces, cuando no es posible obtener respuestas exactas con métodos algebraicos.
METODO DE BISECCION:
El método de bisección (conocido también como de corte binario, de partición de
intervalos o de Bolzano), es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo
se divide a la mitad.
Teorema del valor intermedio de Bolzano Supongamos que f es una función
continua definida en el intervalo [a,b] con f(a) y f(b) de signos diferentes,
entonces existe un número c en (a,b) tal que f(c)=0
Descripcion del método.
Si la funcion cambia de signo sobre un intervalo 1, 1 , se evalúa el valor de la
función en el punto medio. 1 , el siguiente subintervalo 2, 2 es aquel
dentro del cual ocurre un cambio de signo. Luego 2 .
El proceso se repite, dividiendo los subintervalos en intervalos cada vez más
pequeños , , donde

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Criterio de paro.
Si llamamos a ε, la tolerancia, el proceso de iteración termina cuando o
también puede usarse el siguiente criterio
Ejemplo.
La funcion 4 5 tiene una raíz 1,2 . Utilice el método de bisección
para aproximar la raíz. Tome y utilice el criterio .
Solución.
4 5
": 1,2
10
1 4 1 5 0.63212056
2 4 2 5 27.13533528
2
1 2
2
1.5
.*
4 1.5 5 8.72313016
2
2 1
2
0.5

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n an bn Pn F(Pn) F(an) Bn-an/2
1 1 2 1.5 8.72313016 -0.632120558 0.5
2 1 1.5 1.25 3.0990048 -0.632120558 0.25
3 1 1.25 1.125 1.019965 -0.632120558 0.125
4 1 1.125 1.0625 0.1434423151 -0.632120558 0.0625
5 1 1.0625 1.03125 -0.256598199 -0.632120558 0.03125
6 1.03125 1.0625 1.046875 -0.0596878 -0.256598 0.015625
7 1.046875 1.0625 1.05469 0.0410941469 -0.0596878 7.8125e-3
8 1,046875 1,0546875 1,05078125 -0,0094919 -0,05968781 0,00390625
9 1,05078125 1,0546875 1,05273438 0,01575227 -0,0094919 0,00195313
10 1,05078125 1,0527343
8
1,05175781 0,00311798 -0,0094919 0,00097656
METODO DE NEWTON - RAPHSON:
El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson)
es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de
una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de
una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
Descripción del método:
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente
cercano a la raíz (denominado valor inicial xi), entonces se traza la tangente a la
función desde el punto (xi, f(xi)) hasta cortar el eje x en xi+1.

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+ ,
+ 0
+ -
- -
+
+ ,
Este xi+1 será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego,
se aplican tantas iteraciones como se deseen.
,
La cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson
Criterio de paro:
Si llamamos a ε, la tolerancia, el proceso de iteración termina cuando,
./0 .
./0
o
Ejemplo.
Utilice el método de Newton para calcular raíz de la función 4 5
tomando como valor inicial 1.5. Tome 10 y utilice el criterio
./0 .
./0
Solución.
1.5 .*
4 1.5 5 8.72313016
1.5 , .*
12 1.5 26.7768
1.5
8.72313016
26.7768
1.17422891
2
1.17422891 1.5
1.17422891
2 1.17422891

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n xi F(xi) F`(xi) Xi+1 2 2
1 1.5 8.72313016 26.7768 1.7422891 0.27743
2 1.174228917 1.785228047 16.2367052 1.064278768 0.103309
3 1.064278768 0.1669652472 13.247294 1.0516750 0.011984
4 1.051675044 2.04828e-3 12.923 1.051517 1.50e-4
Ejercicios propuestos.
1. Determine las raíces reales mediante el método de bisección de
3 2 0 , en el intervalo [0, 1]. Tome ε=0.5% y utilice
el criterio ∗ 100%
2. Utilice el método de bisección para aproximar la solución de
5
en un intervalo de 0,1 tome 10 y use el criterio
3. Utilice el método de Newton para calcular la raíz de la función
678 tomando como valor inicial -1. tome 10
4. Utilice el método de Newton para calcular la raíz de la función
6 3 tomando como valor inicial 1.5. tome 10