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 Ecuaciones de Regresión
 Diagrama de Dispersión
 Coeficiente de Correlación e Interpretación
 Covarianza
 Error Típico
 Representación de la recta de regresión
 Ejercicios
LVLG Pág 2
Teoría de la Correlación
Correlación
Grado de Interconexión entre las
variables que intenta determinar con que
precisión se explica o se describe la
relación entre las variables por medio de
una ecuación lineal u otra
Permite construir un modelo que permita
predecir el comportamiento de una variable
dada.
Si las variables satisface la ecuación se dice que
están “Perfectamente Correlacionadas”
LVLG Pág 3
TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
• Expresa la
dependencia
entre las
variables
CORRELACIÓN
• Describe el
comportamiento
analítico de las
variables
• Es la ecuación que
describe el mejor
comportamiento de
los puntos
ECUACIÓN
• Indica el grado
de conexión de
las variables, si
es alto o no, si es
directo o inverso
COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN
LVLG Pág 4
ANÁLISIS DE LA CORRELACIÓN
• Cuando dos fenómenos sociales, físicos o biológicos crecen o
decrecen de forma simultánea y proporcional debido a factores
externos, se dice que los fenómenos están correlacionados.
• Si uno ambas variables crecen en la misma proporción se dicen
que la correlación es positiva
• Si uno crece en la proporción que el otro decrece, los dos
fenómenos están negativamente correlacionados.
• El grado de correlación se calcula aplicando un coeficiente de
correlación (r) a los datos de ambos fenómenos.
• Una correlación positiva perfecta tiene un coeficiente + 1, y para
una correlación negativa perfecta es -1. La ausencia de
correlación da como coeficiente 0. Por ejemplo, el coeficiente
0,89 indica una correlación positiva fuerte, -0,76 es una
correlación negativa fuerte y 0,13 es una correlación positiva
pequeña.
LVLG Pág 5
Correlación
Simple Dos Variables
Múltiple
Más de dos
Variables
Gráficamente Plano
Cartesiano
Diagrama de
Dispersión
LVLG Pág 6
Tipos de la Correlación
Puede
ser
Se
representa
Por
medio
1) ECUACIONES DE REGRESIÓN
REGRESIÓN ECUACIÓN
Lineal y = A + Bx
Logarítmica y = A + BLn(x)
Exponencial y = Ae(Bx)
Cuadrática y = A+ Bx +Cx2
LVLG Pág 7
El tipo de regresión va depender de la dependencia entre las variables,
la más usual es la regresión lineal que será la que abordaremos.
ECUACIÓN LINEAL
Regresión de x
sobre y
Regresión de y
sobre x
LVLG Pág 8
Explica la relación entre las variables
En esta caso la variable “Y”
depende de “X”
En esta caso la variable “X”
depende de “Y”
1) ECUACIÓN DE REGRESIÓN
RECTA DE REGRESIÓN DE MINIMOS
CUADRADOS
LVLG Pág 9
ECUACIÓN DE REGRESIÓN
2) DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
LVLG Pág 10
Note como los puntos se
acercan a una función
exponencial creciente
Note como los
puntos no se
ajustan a ningún
comportamiento,
es decir a
ninguna función
Note como los
puntos se
acercan a una
recta que este
caso es creciente
• Coeficiente de Correlación: si los cambios en
una de las variables influyen en los valores de
la otra. Si ocurre esto decimos que las variables
están correlacionadas o bien que hay
correlación entre ellas.
• El rango “r” está comprendido entre:
• Se calcula por medio de la ecuación
LVLG Pág 11
3) COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
LVLG Pág 12
Correlación
Negativa
Correlación
Positiva
Observe como la recta no necesariamente pasa por los puntos sino es aquella recta que mejor
se ajusta al comportamiento. Dicha recta se conoce como Recta de regresión y se grafica
usando la ecuación de regresión correspondiente
CORRELACIÓN VALOR O RANGO
Perfecta |r| = 1
Fuerte 0.9  |r| < 1
Buena 0.8  |r| < 0.9
Aceptable 0.5  |r| <0.8
Bajo |r|< 0.5
Ninguna r= 0
El signo indicará si es Directa o Inversa
3) CLASIFICACIÓN DEL GRADO DE
CORRELACIÓN
LVLG Pág 13
Existen parámetros que indican que tan perfecta y
directa es la relación entre las variables, a continuación
se presenta:
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN SEGÚN EL GRADO DE
CORRELACIÓN
LVLG Pág 14
Las siguientes gráfica de dispersión muestra el comportamiento de los puntos en base a
su correlación. Observe como los puntos se encuentran más unidos o separados
dependiendo de la interrelación entre las variables descrita por “r”. Las gráficas de
dispersión se pueden realizar usando EXCEL
También se puede calcular “r” usando la covarianza (xy)
por medio de la fórmula (otra fórmula) :
LVLG Pág 15
En todo cálculo siempre existe un error, en esta caso se
calcula por medio de la ecuación:
3) CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
4) Error Típico Estimado
COVARIANZA
RECTA DE REGRESIÓN
COVARIANZA
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
LVLG Pág 16
EN SINTESIS
EJERCICIO 1
La siguiente tabla representa las nota obtenida por un grupo de
estudiantes en el pre-test y post-test de una práctica. Determine:
(x variable Independiente)
a) Ecuación de la Recta de Regresión
b) Coeficiente de Regresión y análisis.
c) Diagrama de Dispersión y recta de regresión
X (PRE-TEST) Y (POST-TEST)
A 45 80
B 39 76
C 37 52
D 25 50
E 23 33
LVLG Pág 17
X Y XY X2
Y2
A 45 80 3600 2025 6400
B 39 76 2964 1521 5776
C 37 52 1924 1369 2704
D 25 50 1250 625 2500
E 23 33 759 529 1089
Total
N=5
169 291 10497 6069 18469
b) r = 0,894 es
Directa y Buena
a) La Ecuación será:
Donde:
a) Al Calcular queda:
A0 =-4,43609865
A0 =-4,44
A1 =1,85313901
A1 =1,85
La Ecuación de
Regresión por
aproximación queda:
Y = -4,44 + 1,85 X
LVLG Pág 18
RESPUESTA DEL EJERCICIO 1
c) Recta de
Regresión (o de
mínimos cuadrados)
c) Diagrama de
Dispersión
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50
LVLG Pág 19
Puede realizar ambas gráficas usando EXCEL
RECTA DE REGRESIÓN Y DIAGRAMA DE
REGRESIÓN
A continuación se presentan las estaturas y pesos de 10
jugadores de baloncesto de un equipo son:
Determine :
• Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.
• El coeficiente de correlación.
• Covarianza y Error
• El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.
EJERCICIO 2
LVLG Pág 20
Estatura
(X)
186 189 190 192 193 193 198 201 203 205
Pesos
(Y)
85 85 86 90 87 91 93 103 100 101
LVLG Pág 21
x y x2 y2 x ·y
186 85 34 596 7 225 15 810
189 85 35 721 7 225 16 065
190 86 36 100 7 396 16 340
192 90 36 864 8 100 17 280
193 87 37 249 7 569 16 791
193 91 37 249 8 281 17563
198 93 39 204 8 649 18 414
201 103 40 401 10 609 20 703
203 100 41 209 10 000 20 300
205 101 42 025 10 201 20 705
1 950 921 380 618 85 255 179 971
RESPUESTA DEL EJERCICIO 2
Correlación positiva muy
fuerte
Covarianza
Error Estimado
Ey/x=14,70
Ecuación de Regresión
Peso de jugador
0
20
40
60
80
100
120
185 190 195 200 205 210
OBSERVACIÓN
LVLG Pág 22
A veces se presentan la correlación entre variables por medio de una
tabla de intervalos cuyo procedimiento es más laborioso, al final se
dejará un ejercicio planteado para que sepa como realizarlo. (ver
diapositiva 23)
A pesar que la correlación lineal es la más utilizada a veces las
variables se interrelacionan de forma no lineal por ello se requiere
realizar la representación gráfica para ver como es el comportamiento
Note que aunque
existe una
correlación
perfecta en cada
caso no es lineal
La siguiente tabla representa los años de servicio de un empleado
(xi) en la empresa “P” relacionado con su sueldo diario en $. (yi).
Determine :
a) Si existe una correlación adecuada y cuál será
b) Ajuste los datos a una recta de regresión
c) Calcule el error típico estimado
d) Si un empleado tiene 12,5 años de servicio, ¿qué sueldo se
estima que tiene sabiendo el trabajador pertenece a la
empresa?
EJERCICIO 3
LVLG Pág 23
A veces se presentan la correlación entre variables por medio de
una tabla de intervalos, por ello a continuación se presenta un
ejemplo adaptado a esto
(Años de
servicio) Li-Lf 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15 16 - 18 19 - 21
xi 2 3 8 11 12 17 20
Li-Lf
yi
(sueldo
en $)
50-70 60 5 7
70-90 80 10 14 4
90-110 100 2 4 8
110-130 120 2 15 20 6
130-150 140 6 30 2 1
150-170 160 5 13 4 1
LVLG Pág 24
(Años)/
Sueldo Xi/Yi
1 - 3
2
4 - 6
5
7 - 9
8
10 - 12
11
13 - 15
12
16 - 18
17
19 - 21
20 Gi Sy Sy2 Sx Sxy
50-70 60 5 7
5+7=
12
60*12=
720
602*12=
43200
(2*5)+(5*7)=
45
60*45=
2700
70-90 80 10 14 4
10+14+4
=28
80*28=
2240
802*28=
179200
(5*10)+(8*14)
¨(11*3)=206
80*206=
16480
90-110 100 2 4 8 14 1400 140000 130 13000
110-130 120 2 15 20 6 43 5160 619200 422 50640
130-150 140 6 30 2 1 39 5460 764400 419 58660
150-170 160 5 13 4 1 23 3680 588800 299 47840
Ji 5=5
7+10
+2+2= 21 39 67 21 5 1 159 18660 2334800 1521 189320
Sx
2*5=
10
5*21=
105 312 737 252 85 20 1521
Sx2
22*5=
20
52*21=
525 2496 8107 3024 1445 400 16017
Sy
60*5=
300
60*7+80*
10+100*2
+120*2=
1660 4160 8520 3080 780 160 18660
Sxy
2*300=
600
5*1660=
8300 33280 93720 36960 13260 3200 189320
TABLA
LVLG Pág 25
RESPUETA DEL EJERCICIO 2
r =0,744 es
Directa y Aceptable
Y = 57,26 +2,53 X
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 2 4 6 8 10 12 14
X= 12,5 entonces
Y =88,89
Ey/x= 20,158
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  • 1. Estadística Aplicada a la Investigación Dra. Lila Virginia Lugo García Santa Ana de Coro, 2022 Tema 3. Sesión de Clase Semana 3 LVLG UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DECANATO DE POSTGRADO PROGRAMA MAESTRIA EN GESTIÓN Y PLANIFICACIÓN DEPORTIVA Interpretación de la Correlación de Variables
  • 2. TEMA 3: CORRELACIÓN LINEAL Puntos a tratar:  Teoría de Correlación  Análisis de Correlación  Tipos de Correlación  Ecuaciones de Regresión  Diagrama de Dispersión  Coeficiente de Correlación e Interpretación  Covarianza  Error Típico  Representación de la recta de regresión  Ejercicios LVLG Pág 2
  • 3. Teoría de la Correlación Correlación Grado de Interconexión entre las variables que intenta determinar con que precisión se explica o se describe la relación entre las variables por medio de una ecuación lineal u otra Permite construir un modelo que permita predecir el comportamiento de una variable dada. Si las variables satisface la ecuación se dice que están “Perfectamente Correlacionadas” LVLG Pág 3
  • 4. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN • Expresa la dependencia entre las variables CORRELACIÓN • Describe el comportamiento analítico de las variables • Es la ecuación que describe el mejor comportamiento de los puntos ECUACIÓN • Indica el grado de conexión de las variables, si es alto o no, si es directo o inverso COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LVLG Pág 4
  • 5. ANÁLISIS DE LA CORRELACIÓN • Cuando dos fenómenos sociales, físicos o biológicos crecen o decrecen de forma simultánea y proporcional debido a factores externos, se dice que los fenómenos están correlacionados. • Si uno ambas variables crecen en la misma proporción se dicen que la correlación es positiva • Si uno crece en la proporción que el otro decrece, los dos fenómenos están negativamente correlacionados. • El grado de correlación se calcula aplicando un coeficiente de correlación (r) a los datos de ambos fenómenos. • Una correlación positiva perfecta tiene un coeficiente + 1, y para una correlación negativa perfecta es -1. La ausencia de correlación da como coeficiente 0. Por ejemplo, el coeficiente 0,89 indica una correlación positiva fuerte, -0,76 es una correlación negativa fuerte y 0,13 es una correlación positiva pequeña. LVLG Pág 5
  • 6. Correlación Simple Dos Variables Múltiple Más de dos Variables Gráficamente Plano Cartesiano Diagrama de Dispersión LVLG Pág 6 Tipos de la Correlación Puede ser Se representa Por medio
  • 7. 1) ECUACIONES DE REGRESIÓN REGRESIÓN ECUACIÓN Lineal y = A + Bx Logarítmica y = A + BLn(x) Exponencial y = Ae(Bx) Cuadrática y = A+ Bx +Cx2 LVLG Pág 7 El tipo de regresión va depender de la dependencia entre las variables, la más usual es la regresión lineal que será la que abordaremos.
  • 8. ECUACIÓN LINEAL Regresión de x sobre y Regresión de y sobre x LVLG Pág 8 Explica la relación entre las variables En esta caso la variable “Y” depende de “X” En esta caso la variable “X” depende de “Y” 1) ECUACIÓN DE REGRESIÓN
  • 9. RECTA DE REGRESIÓN DE MINIMOS CUADRADOS LVLG Pág 9 ECUACIÓN DE REGRESIÓN
  • 10. 2) DIAGRAMA DE DISPERSIÓN LVLG Pág 10 Note como los puntos se acercan a una función exponencial creciente Note como los puntos no se ajustan a ningún comportamiento, es decir a ninguna función Note como los puntos se acercan a una recta que este caso es creciente
  • 11. • Coeficiente de Correlación: si los cambios en una de las variables influyen en los valores de la otra. Si ocurre esto decimos que las variables están correlacionadas o bien que hay correlación entre ellas. • El rango “r” está comprendido entre: • Se calcula por medio de la ecuación LVLG Pág 11 3) COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
  • 12. LVLG Pág 12 Correlación Negativa Correlación Positiva Observe como la recta no necesariamente pasa por los puntos sino es aquella recta que mejor se ajusta al comportamiento. Dicha recta se conoce como Recta de regresión y se grafica usando la ecuación de regresión correspondiente
  • 13. CORRELACIÓN VALOR O RANGO Perfecta |r| = 1 Fuerte 0.9  |r| < 1 Buena 0.8  |r| < 0.9 Aceptable 0.5  |r| <0.8 Bajo |r|< 0.5 Ninguna r= 0 El signo indicará si es Directa o Inversa 3) CLASIFICACIÓN DEL GRADO DE CORRELACIÓN LVLG Pág 13 Existen parámetros que indican que tan perfecta y directa es la relación entre las variables, a continuación se presenta:
  • 14. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN SEGÚN EL GRADO DE CORRELACIÓN LVLG Pág 14 Las siguientes gráfica de dispersión muestra el comportamiento de los puntos en base a su correlación. Observe como los puntos se encuentran más unidos o separados dependiendo de la interrelación entre las variables descrita por “r”. Las gráficas de dispersión se pueden realizar usando EXCEL
  • 15. También se puede calcular “r” usando la covarianza (xy) por medio de la fórmula (otra fórmula) : LVLG Pág 15 En todo cálculo siempre existe un error, en esta caso se calcula por medio de la ecuación: 3) CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN 4) Error Típico Estimado COVARIANZA
  • 16. RECTA DE REGRESIÓN COVARIANZA COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LVLG Pág 16 EN SINTESIS
  • 17. EJERCICIO 1 La siguiente tabla representa las nota obtenida por un grupo de estudiantes en el pre-test y post-test de una práctica. Determine: (x variable Independiente) a) Ecuación de la Recta de Regresión b) Coeficiente de Regresión y análisis. c) Diagrama de Dispersión y recta de regresión X (PRE-TEST) Y (POST-TEST) A 45 80 B 39 76 C 37 52 D 25 50 E 23 33 LVLG Pág 17
  • 18. X Y XY X2 Y2 A 45 80 3600 2025 6400 B 39 76 2964 1521 5776 C 37 52 1924 1369 2704 D 25 50 1250 625 2500 E 23 33 759 529 1089 Total N=5 169 291 10497 6069 18469 b) r = 0,894 es Directa y Buena a) La Ecuación será: Donde: a) Al Calcular queda: A0 =-4,43609865 A0 =-4,44 A1 =1,85313901 A1 =1,85 La Ecuación de Regresión por aproximación queda: Y = -4,44 + 1,85 X LVLG Pág 18 RESPUESTA DEL EJERCICIO 1
  • 19. c) Recta de Regresión (o de mínimos cuadrados) c) Diagrama de Dispersión 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 10 20 30 40 50 LVLG Pág 19 Puede realizar ambas gráficas usando EXCEL RECTA DE REGRESIÓN Y DIAGRAMA DE REGRESIÓN
  • 20. A continuación se presentan las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son: Determine : • Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. • El coeficiente de correlación. • Covarianza y Error • El peso estimado de un jugador que mide 208 cm. EJERCICIO 2 LVLG Pág 20 Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205 Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101
  • 21. LVLG Pág 21 x y x2 y2 x ·y 186 85 34 596 7 225 15 810 189 85 35 721 7 225 16 065 190 86 36 100 7 396 16 340 192 90 36 864 8 100 17 280 193 87 37 249 7 569 16 791 193 91 37 249 8 281 17563 198 93 39 204 8 649 18 414 201 103 40 401 10 609 20 703 203 100 41 209 10 000 20 300 205 101 42 025 10 201 20 705 1 950 921 380 618 85 255 179 971 RESPUESTA DEL EJERCICIO 2 Correlación positiva muy fuerte Covarianza Error Estimado Ey/x=14,70 Ecuación de Regresión Peso de jugador 0 20 40 60 80 100 120 185 190 195 200 205 210
  • 22. OBSERVACIÓN LVLG Pág 22 A veces se presentan la correlación entre variables por medio de una tabla de intervalos cuyo procedimiento es más laborioso, al final se dejará un ejercicio planteado para que sepa como realizarlo. (ver diapositiva 23) A pesar que la correlación lineal es la más utilizada a veces las variables se interrelacionan de forma no lineal por ello se requiere realizar la representación gráfica para ver como es el comportamiento Note que aunque existe una correlación perfecta en cada caso no es lineal
  • 23. La siguiente tabla representa los años de servicio de un empleado (xi) en la empresa “P” relacionado con su sueldo diario en $. (yi). Determine : a) Si existe una correlación adecuada y cuál será b) Ajuste los datos a una recta de regresión c) Calcule el error típico estimado d) Si un empleado tiene 12,5 años de servicio, ¿qué sueldo se estima que tiene sabiendo el trabajador pertenece a la empresa? EJERCICIO 3 LVLG Pág 23 A veces se presentan la correlación entre variables por medio de una tabla de intervalos, por ello a continuación se presenta un ejemplo adaptado a esto
  • 24. (Años de servicio) Li-Lf 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15 16 - 18 19 - 21 xi 2 3 8 11 12 17 20 Li-Lf yi (sueldo en $) 50-70 60 5 7 70-90 80 10 14 4 90-110 100 2 4 8 110-130 120 2 15 20 6 130-150 140 6 30 2 1 150-170 160 5 13 4 1 LVLG Pág 24
  • 25. (Años)/ Sueldo Xi/Yi 1 - 3 2 4 - 6 5 7 - 9 8 10 - 12 11 13 - 15 12 16 - 18 17 19 - 21 20 Gi Sy Sy2 Sx Sxy 50-70 60 5 7 5+7= 12 60*12= 720 602*12= 43200 (2*5)+(5*7)= 45 60*45= 2700 70-90 80 10 14 4 10+14+4 =28 80*28= 2240 802*28= 179200 (5*10)+(8*14) ¨(11*3)=206 80*206= 16480 90-110 100 2 4 8 14 1400 140000 130 13000 110-130 120 2 15 20 6 43 5160 619200 422 50640 130-150 140 6 30 2 1 39 5460 764400 419 58660 150-170 160 5 13 4 1 23 3680 588800 299 47840 Ji 5=5 7+10 +2+2= 21 39 67 21 5 1 159 18660 2334800 1521 189320 Sx 2*5= 10 5*21= 105 312 737 252 85 20 1521 Sx2 22*5= 20 52*21= 525 2496 8107 3024 1445 400 16017 Sy 60*5= 300 60*7+80* 10+100*2 +120*2= 1660 4160 8520 3080 780 160 18660 Sxy 2*300= 600 5*1660= 8300 33280 93720 36960 13260 3200 189320 TABLA LVLG Pág 25 RESPUETA DEL EJERCICIO 2
  • 26. r =0,744 es Directa y Aceptable Y = 57,26 +2,53 X 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 8 10 12 14 X= 12,5 entonces Y =88,89 Ey/x= 20,158 LVLG Pág 26