1) El documento habla sobre hidrodinámica y los principios que rigen el movimiento de fluidos. 2) Explica conceptos como tubo de flujo, ecuación de continuidad y ecuación de Bernoulli. 3) La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, velocidad y altura de un fluido en movimiento.

1. Hidrodinámica Se estudian fenómenos con fluidos en movimiento Hernán Verdugo Fabiani, www.hverdugo.cl

2. Ideas previas Los fluidos que se considerarán son líquidos que cumplen con las siguientes características: Fluidos incompresibles: de densidad constante. Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya velocidad y presión no dependen del tiempo. Flujos laminares: no turbulentos, las líneas de flujo no se cruzan entre sí. Flujos irotacionales: sus líneas de flujo no se cierran sobre sí mismas. Flujos no viscosos: no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido. Si no son viscosos se podrá hablar de conservación de la energía, ya que no habrá disipación de energía por efecto de roce.

3. Tubo de flujo Está formado por líneas de flujo adyacentes que corresponden a un fluido en movimiento y cuya sección transversal no es necesariamente uniforme. En la figura, cada línea representa una capa de fluido, también se le puede llamar línea de corriente. Una molécula de fluido tiene una velocidad que en cada punto es tangente a la línea de corriente. En condiciones ideales, tal como se ha presentado hasta ahora, en el movimiento de un fluido se cumplen los siguientes principios: - Conservación de la masa - Conservación de la cantidad de movimiento - Conservación de la energía v 1 v 2

4. Ecuación de continuidad Supongamos un fluido, de densidad ρ , que se mueve por un tubo con distintas secciones. 1 2 Movimiento del fluido La cantidad de fluido que entra por la sección 1, de área A 1 , es igual a la que sale por la sección 2, de área A 2 , en todo momento. v 1 v 2 Δ m 1 Δ m 2 A 1 A 2 Δ x 1 Δ x 2 Por la sección 1 ingresa una cantidad Δ m 1 de fluido, con volumen Δ V 1 , con velocidad v 1 y recorre una distancia Δ x 1 en un tiempo Δ t. En el mismo tiempo Δ t, por la sección 2 sale una cantidad Δ m 2 de fluido, con volumen Δ V 2 , a una velocidad v 2 recorriendo una distancia Δ x 2 . Δ m 1 = Δ m 2 ρ Δ V 1 = ρ Δ V 2 ρ A 1 Δ x 1 = ρ A 2 Δ x 2 ρ A 1 v 1 Δ t = ρ A 2 v 2 Δ t A 1 v 1 = A 2 v 2

5. Un ejercicio Primero una observación: A la expresión Av se le llama “tasa de flujo”, y se mide en m 3 /s. Una manguera para incendios tiene un diámetro de 12 cm y en la boquilla se reduce a un diámetro de 3 cm. Si el agua en la manguera se mueve a razón 2 m/s. ¿Cuál es la velocidad con que sale el agua por la boquilla? Se tiene: A 1 v 1 = A 2 v 2 Datos: R 1 = 0,06 m v 1 = 2 m/s R 2 = 0,015 m Entonces: A 1 = π R 1 2 A 2 = π R 2 2 Despejando: v 2 = A 1 v 1 /A 2 v 2 = π R 1 2 v 1 / π R 2 2 Haciendo los cálculos, se tiene: v 2 = 32 m/s Y.. ¿la tasa de flujo? A 2 v 2 = π R 2 2 v 2 A 2 v 2 = 0,00226 m 3 /s

6. Ecuación de Bernoulli Corresponde a una consecuencia del teorema del Trabajo y la Energía. Es decir, el trabajo realizado – sobre el fluido en un tubo de flujo – es equivalente al cambio de energía cinética que experimenta el fluido. Vamos a considerar un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida, están en desnivel además de tener diferentes secciones. h 1 ≠ h 2 A 1 ≠ A 2 A 1 A 2

7. F 1 P 1 F 2 P 2 Δ x 1 Δ x 2 v 1 v 2 A 1 A 2 En el segmento inferior actúa una fuerza F 1 que produce una presión P 1 , y se cumple: F 1 = P 1 A 1 A su vez, en el segmento superior actúa una fuerza F 2 que produce una presión P 2 , y se cumple: F 2 = P 2 A 2 El trabajo realizado por F 1 es: Δ W 1 = F 1 Δ x 1 = P 1 A 1 Δ x 1 = P 1 Δ V El trabajo realizado por F 2 es: Δ W 2 = - F 2 Δ x 2 = - P 2 A 2 Δ x 2 = - P 2 Δ V Δ V Δ V Por lo tanto, el trabajo realizado por las fuerzas es: Δ W F = Δ W 1 + Δ W 2 = (P 1 – P 2 ) Δ V Δ m = ρ Δ V La cantidad Δ m sube desde h 1 hasta h 2 , contra la gravedad, por lo tanto el trabajo hecho por la fuerza gravitacional, es: Δ W g = - Δ mg(h 2 – h 1 ) = - ρ Δ Vg(h 2 – h 1 )‏ Por otro lado, el cambio de energía cinética de Δ m es: Δ K = ½ Δ m(v 2 2 – v 1 2 ) = ½ ρ Δ V(v 2 2 – v 1 2 )

8. F 1 P 1 Δ x 1 Δ x 2 v 1 v 2 A 1 A 2 Δ V Δ V Δ m = ρ Δ V F 2 P 2 Según el teorema del trabajo y la energía, se tiene: Δ W = Δ K por lo tanto: Δ W F + Δ W g = Δ K (P 1 – P 2 ) Δ V - ρ Δ Vg(h 2 – h 1 ) = ½ ρ Δ V(v 2 2 – v 1 2 ) Dividiendo por Δ V y ordenando se tiene la expresión: P 1 + ½ ρ v 1 2 + ρ gh 1 = P 2 + ½ ρ v 2 2 + ρ gh 2 A esta expresión se le conoce como la Ecuación de Bernoulli

9. Interpretación de la Ecuación de Bernoulli P 1 + ½ ρ v 1 2 + ρ gh 1 = P 2 + ½ ρ v 2 2 + ρ gh 2 En la ecuación se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la suma de las condiciones finales. Esto significa que: P + ½ ρ v 2 + ρ gh = constante Se puede deducir que: Si en un sector la velocidad del fluido aumenta, en ese sector la presión disminuye. Si en un sector la velocidad del fluido disminuye, en ese sector la presión aumenta. Si un fluido asciende su presión puede disminuir. Si un fluido asciende su velocidad puede disminuir.

10. Efecto Venturi Ahora se considera un tubo donde h 1 = h 2 Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli queda: P 1 + ½ ρ v 1 2 = P 2 + ½ ρ v 2 2 Entonces: P 1 – P 2 = ½ ρ (v 2 2 – v 1 2 )‏ Si v 1 > v 2 , entonces P 1 – P 2 < 0 Y ello ocurre solo si P 2 > P 1 Por lo tanto, se puede afirmar que donde la velocidad es mayor la presión es menor, o también, que donde la velocidad es menor la presión es mayor. P 1 P 2 v 1 v 2

11. Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi En una carretera, si dos vehículos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehículos, por lo tanto en esa zona disminuye la presión del aire y con ello se justifica que los vehículos se atraen entre sí. Esto es más manifiesto si uno de los vehículos es mucho más pequeño que el otro. v 1 v 2 P P interior Velocidad del aire Se tiene P > P interior por lo tanto el vehículo más pequeño es atraído hacia el más grande. F

12. Tubo de Venturi Es un tubo donde hay un angostamiento. Esto se aprecia en la figura, donde en un sector hay una sección de área A 1 y en otro tiene una sección reducida a A 2 . En el sector más grande la velocidad del fluido es v 1 y en el más pequeño la velocidad aumenta a v 2 . De acuerdo a la ecuación de continuidad A 1 v 1 = A 2 v 2 , entonces v 2 = A 1 v 1 /A 2 Por otro lado, de acuerdo a la ecuación de Bernoullí, en el efecto Venturi, se tiene: P 1 – P 2 = ½ ρ (v 2 2 – v 1 2 )‏ Reemplazando v 2 P 1 – P 2 = ½ ρ (A 1 2 v 1 2 /A 2 2 – v 1 2 )‏ Si se despeja v 1 , se tendrá:

13. Ejercicio Supongamos que un estanque con agua tiene un orificio pequeño en la parte inferior. Según la información de la figura que se muestra: ¿con qué velocidad sale el chorro de agua en el orificio? v 2 h 1 h 2 P 2 P 1 v 1 El agua cae lentamente, por lo tanto se puede considerar v 1 = 0 m/s También se tiene que P 1 = P 2 = P 0 P 1 + ½ ρ v 1 2 + ρ gh 1 = P 2 + ½ ρ v 2 2 + ρ gh 2 Si aplicamos la ecuación de Bernoulli: Se tendrá: ρ gh 1 = ½ ρ v 2 2 + ρ gh 2 Y, despejando v 2 , se obtiene que: