Semana 5-6 - Fluidos - Resistencia al flujo en ductos circulares.pdf

Tema:
• Fluidos
• Resistencia al flujo en ductos circulares
Docente:
DR. CARLOS VALDEZ SALAZAR
carlose.valdez@upsjb.edu.pe
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
SESIÓN 5
Semestre 2023 - II

Contenido Temático
1. Definición de Flujo y tipos de flujo,
2. Resistencia al flujo en conductos circulares

Pautas de trabajo:
• Ingresar en la hora que inicia la clase, se mantendrá una tolerancia máxima de 10
minutos.
• Durante cada semana se habilitará un “Foro de consultas en la Plataforma” donde
podrán hacer preguntas sobre los temas a tratarse y cualquier duda relacionado a
ello .
• Mantener siempre en el aula virtual una actitud participativa y de respeto hacia
nuestros compañeros y docentes.
• Cumplir en forma y fecha con las actividades programadas por el docente.

Logro de la sesión:
• Al finalizar la 5° sesión, el estudiante, conocerá y entenderá la teoría
sobre Resistencia de flujo en ductos circulares.
• Además, el estudiante, desarrollará una clasificación y descripción de tubos
y sus accesorios, fabricados de diversos tipos de materiales.

ACTIVIDAD DE EXPERIENCIA / INICIO:
¿Qué entiendes por Accesorios de tuberías?

DEFINICIONES
BÁSICAS
❖ TUBERIA
1) F. Conducto formado por tubos que sirve para distribuir líquidos o gases.

¿QUÉ ES UN FLUIDO?
➢ Son aquellas sustancias cuyas fuerzas intermoleculares no son suficientemente grandes como
para que las moléculas permanezcan fijas en sus posiciones espaciales y fluyen o cambian su
forma cuando se aplican fuerzas externas.
➢ Son sustancias que se deforman constantemente al estar sometidas a un esfuerzo cortante, por
muy pequeño que este sea, sin la tendencia a recuperar su forma original (lo que diferencia de un
sólido elástico).
➢ Son sustancias que no tienen una geometría espacial definida, sino que adoptan la forma del
recipiente que lo contiene.
➢ Los fluidos tienen la capacidad de fluir, es decir, puede ser trasvasada de un recipiente a
otro.

Dentro de los fluidos podemos distinguir dos tipos bien diferenciados:
➢ Líquidos: Aquellos para los que las fuerzas intermoleculares son suficientemente
grandes como para que la distancia de equilibrio intermolecular permanezca
prácticamente fija ante fuerzas externas.
➢ Gases: Aquellos en los que las fuerzas intermoleculares son tan pequeñas que
en realidad cada átomo se mueve casi libremente por todo el espacio.
¿QUÉ ES UN FLUIDO?

REMEMBER
REOLOGÍA: Ciencia que estudia la deformación y/o flujo de los materiales cuando
son sometidos a fuerzas externas.

Deformaciones: , 
Alargamientos unitarios:
, 
Acciones: F, M
Esfuerzos: , 
RELACIONESDEMAGNITUDESFÍSICASREALES
REMEMBER

DEFINICIÓN DE FLUIDO
• El esfuerzo de corte es: 𝑟 =
• Sustancia que cambia de forma en tanto este sometida a un esfuerzo cortante, sin
importar cuan pequeño sea ese esfuerzo.
• Una fuerza cortante es la componente de una fuerza tangente a la superficie, y esta
fuerza dividida por el área de la superficie es la fuerza cortante promedio sobre el
área.
• El esfuerzo cortante () en un punto es el valor límite de la fuerza cortante al área
cuando esta se reduce al punto.
𝐹
𝐴
• En un fluido se verifica que: 𝐹 = 𝜇.
𝐴. 𝑣
𝑦
𝑣
→ 𝑟 = 𝜇.
𝑦

FLUIDO SOMETIDO A UNA FUERZA CORTANTE𝐴. 𝑣
𝐹 = 𝜇.
𝑦
𝑣
𝑟 = 𝜇.
𝑦
𝑑𝑣
𝑟 = 𝜇.
𝑑𝑦
Donde:
𝑟 : Esfuerzocortantequeseejerce
sobrelasuperficiedeunfluido
𝝁 : Viscosidaddelfluido
𝒅𝒗
𝒅𝒚
: Rapidezde

CLASIFICACIÓN REOLÓGICA DE LOS FLUIDOS

CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS
Clasificación Reológica de los fluidos: Fluidos Newtonianos y No Newtonianos
En el caso de los fluidos no newtonianos la
viscosidad en un punto dado se determina
con la pendiente de la recta tangente a la
curva en ese punto dado.

Cuando a un fluido se le aplica una fuerza o un esfuerzo cortante, el fluido presenta
una resistencia al movimiento, conforme continúa dicho esfuerzo el fluido tiende a
deformarse.
Posteriormente fluye y su velocidad aumenta conforme aumenta el esfuerzo.
La resistencia al movimiento relativo entre las capas adyacentes en el fluido es una
de sus propiedades: la viscosidad.
LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON

• Las capas del fluido próximas a una placa
sólida fija tienen velocidades más lentas que
las alejadas debido a los procesos disipativos
que se generan.
• Parte de la energía cinética que poseen las
capas se transforma en calor.
• Se representa el comportamiento de un fluido que se encuentra contenido entre dos
grandes láminas planas y paralelas, de área A, que están separadas entre sí por una
distancia pequeña “y” y si es muy pequeña “dy”.
• Se supone que inicialmente el sistema se encuentra en reposo, t = 0, pero luego la
lámina superior se pone en movimiento en dirección del eje X, con una velocidad
constante v.

• La ley de Newton de la viscosidad no predice el esfuerzo cortante en todos los fluidos
• Los fluidos se pueden clasificar como Newtoniano y NO Newtonianos dependiendo
de la relación entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformación cortante.
• Posteriormente fluye y su velocidad aumenta conforme aumenta el esfuerzo.
• En los fluidos Newtonianos la relación es lineal
como se observa en la figura.
• La gráfica de la relación lineal entre el
esfuerzo cortante y la velocidad de
deformación es una recta de pendiente
“”.

• Aquellos fluidos que muestran una
relación no lineal (es decir, su
viscosidad no es constante) entre
estas variables son llamados
“fluidos no newtonianos”.
• Ej.: agua con maicena.

FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS

UNIDADES DE VISCOSIDAD
Las dimensiones de la viscosidad pueden obtenerse a partir de la relación de Newton
para la viscosidad
𝑟
𝜇 = 𝑑𝑣/
𝑑𝑦
En el SI, la viscosidad dinámica se expresa en Pa.s (Pascal.segundo)
1 Pa.s = 1 N.s/m2
1 Pa.s = 10 poise = 0,02089 slugs/pie.s = 0,02089 lbf.s/pie2 = 0,672 lbm/pie.s

UNIDADES DE VISCOSIDAD
La relación de la viscosidad con la densidad se conoce como viscosidad cinemática y
se representa con el símbolo .
Para distinguir la viscosidad dinámica  de la viscosidad cinemática , con frecuencia
se utiliza cualquiera de los dos nombres: viscosidad absoluta o viscosidad dinámica.
En el SI, la viscosidad cinemática se expresa en metros cuadrado sobre segundo
 = [ m2/s]
• 1 m2/s = 104 stokes = 10,76 pie2/s
𝜈 =
𝜇
𝜌
~
𝑀
𝑀
𝐿3
𝐿. 𝑇 =
𝐿2
𝑇

VARIACIONDELAVISCOSIDADCONLATEMPERATURA

NUMERO DE REYNOLDS
El numero de Reynolds es el parámetro adimensional mas famoso de la Mecánica
de los Fluidos, y se define como la relación entre las fuerzas de inercia y fuerzas
viscosas
Donde:
Re: Número de Reynolds
⍴: Densidad
V: Velocidad media
DH: Diámetro hidráulico
μ: Viscosidad dinámica

MODELO MACROSCÓPICO DE UN FLUIDO
(modelos laminar y turbulento)
Para flujo en cañerías circulares se asumen los
siguientes valores para definir los regímenes.
FLUIDOMASVISCOSODAUN
RÉGIMENLAMINAR
FLUIDOMENOSVISCOSODA
UN RÉGIMENMAS
TURBULENTO

https://www.youtube.com/watch?v=h0r7w1PaRcY

CAPA LIMITE
FLUJO EXTERNO: El numero de Reynolds de comienzo de la transición
típico para flujo externo con aire es de 1 𝑥 105

CAPA LIMITE
FLUJO INTERNO:
El numero de Reynolds de
comienzo de la transición típico
para flujo interno con agua es
de 2300
o abogado de EU

PÉRDIDAS DE ENERGÍA POR ROZAMIENTO
Número de Reynolds
➢ Las fuerzas viscosas son importantes en el flujo de un líquido. Estas fuerzas se deben
al movimiento de una capa de líquido sobre otra.
➢ La perdida de energía de un liquido que circula a través de una conducción cerrada
provoca una perdida de presión del flujo.
Rugosidad relativa
➢ Las pérdidas de energía (de presión) debidas a las fuerzas de fricción varían con las
condiciones existentes en la tubería:
• velocidad del fluido
• propiedades del fluido
• geometría del sistema/conducción
• propiedades material conducción

GRÁFICO DE MOODY (f vs Re,)

https://www.youtube.com/watch?v=2d3WVB8uLyQ

DEGRADACIÓN DE LA ENERGÍA
Es la cantidad de energía mecánica que
se transforma en energía térmica, la cual
se disipa a través de las paredes del
ducto.
Esta degradación implica una variación de
la energía interna, la cual se manifiesta
como una variación de la presión estática.
A esta degradación también se le
denomina pérdida.
PERDIDAS EN EL FLUJO : P. PRIMARIAS

PÉRDIDAS PRIMARIAS POR FRICCIÓN
Es aquella que se genera como
consecuencia de la fricción que sufre el
fluido con las paredes del ducto, también
se incluye el choque de las partículas
entre sí.
La magnitud de esta pérdida se determina
mediante la
ECUACIÓN DE DARCY - WEISBACH
Donde:
hf: Pérdida primaria expresado en columna
de fluido que circula por el ducto.
f: Factor de fricción (es adimensional)
L: Longitud de tubería a través de la cual se
genera la pérdida.
V: Velocidad media del fluido dentro del ducto
g: Aceleración local de la gravedad

A : Área de la sección transversal que ocupa el
fluido en el ducto
Pm: Perímetro mojado
DIÁMETRO HIDRÁULICO
Es un concepto que se aplica cuando el ducto
no tiene sección circular (ya sea parcial o
totalmente lleno).
T
ambién se emplea cuando el ducto es
circular; pero está parcialmente lleno.
Ejemplos:

NÚMERO DE REYNOLDS
Para flujos internos:
Donde:
Re: Número de Reynolds
⍴: Densidad
V: Velocidad media
μ: Viscosidad dinámica
Se cumple que:
Principales tipos de flujo: • Flujodebajavelocidad
• Fluido viscoso
• Nohay transferencia de
cantidad de movimiento
entre capas adyacentes
• Flujodealtavelocidad
• Fluidonoviscoso
• Intenso intercambio
de cantidadde
movimiento entrecapas
adyacentes
Para tubos circulares
consusección
completamentellena.

Donde:
𝜀̅ : Rugosidad Relativa (adimensional)
𝗌 : Rugosidad absoluta de la tubería (longitud)
DH : Diámetro hidráulico (interno) (longitud)
RUGOSIDAD RELATIVA (ES ADIMENSIONAL)
La cantidad utilizada para medir la rugosidad de la superficie interna de la tubería se
denomina rugosidad relativa. Es igual a la media de la altura de las irregularidades de
la superficie (ε) dividida por el diámetro de la tubería (D).

MÉTODO
GRÁFICO:
DIAGRAMADE
MOODY
DETERMINANDO EL FACTOR DE FRICCIÓN (f)

DETERMINANDO EL FACTOR DE FRICCIÓN (f)
MÉTODO ANALÍTICO:
1) Flujo laminar
(Ecuación de Hagen)
2) Flujo turbulento (Ecuación de Colebrook - White)
Tiende a cero si
tiene muy buen
acabado superficial.
Tiende a cero si el flujo
es turbulento plenamente
desarrollado.

REEMPLAZANDO EN LA ECUACIÓN DE DARCY - WEISHBACH
Al reemplazar el factor de fricción (f), se determina las pérdidas primarias:
Para tubos circulares con su sección completamente llenos:

El valor del factor de fricción (f) depende del tipo de régimen del flujo:
a) Flujo laminar: es un flujo linear, perfil de velocidad parabólico. f se calcula
fácilmente.
b) Flujo turbulento:es un flujo errático, perfil de velocidad plano. Se utiliza el
grafico de Moody.
EL FACTOR DE FRICCIÓN (f)
16
𝑓 =
𝑅𝑒 𝜇
(Donde:
𝜌. 𝑣. 𝐷𝐻
𝑅𝑒 = )

PERDIDAS EN EL FLUJO : P. SECUNDARIAS
• k: Coeficiente de pérdida del
accesorio (es adimensional); depende
de la geometría interna del accesorio
y de su acabado superficial.
Son aquellas que se generan cuando el
fluido pasa a través de un accesorio
(válvulas, codos, Ts, filtros, medidores,
expansores, contractores, etc.).
PÉRDIDAS SECUNDARIAS (DEBIDO A LOS ACCESORIOS)
Donde:
V: Velocidad media del fluido antes de
ingresar al accesorio.
g: Aceleración local de la gravedad

1) Bifurcaciones.
2) Cambios de dirección (codos, u-s,…).
3) Ensanchamientos y extrechamientos.
4) Conexiones tubería-depósito.
(2)
(3) (4)
En los sistemas flujo, además de tubería lisa, existen otros accesorios cuya función
es controlar y dirigir el flujo.
pérdida de carga denominada perdida de carga
Estos accesorios generan una
menor. Por ejemplo:
(1)

SINGULARIDAD (Accesorios) Factor K
Válvula esférica (totalmente abierta) 10
Válvula en ángulo recto (totalmente abierta) 5
Válvula de seguridad (totalmente abierta) 2,5
Válvula de retención (totalmente abierta) 2
Válvula de pie con colador 0,8
Válvula de compuerta (totalmente abierta) 0,2
Válvula de compuerta (abierta 3/4) 1,15
Válvula de compuerta (abierta 1/2) 5,6
Válvula de compuerta (abierta 1/4) 24
T por salida lateral 1,80
Codo a 90º de radio corto (con bridas) 0,90
Codo a 90º de radio normal (con bridas) 0,75
Codo a 90º de radio grande (con bridas) 0,60
Codo a 45º de radio corto (con bridas) 0,45
Codo a 45º de radio normal (con bridas) 0,40
Codo a 45º de radio grande (con bridas) 0,35

PERDIDAS EN EL FLUJO : P. TOTALES
En una red de tuberías, existen pérdidas primarias y pérdidas secundarias; las
cuales generan las pérdidas totales.

El resultado de las perdidas es reemplazado en la ecuación general de
Bernoulli.
ECUACION GENERAL DE LA ENERGÍA

EJERCICIO 1: Transporte de leche a través de una conducción horizontal
Se transporta leche de gravedad específica 1,03 y viscosidad 0,0020 Pa.s a través de una conducción
horizontal de acero inoxidable con diámetro interior 1 cm y longitud 15 m. La tubería tiene 3 codos y una
válvula esférica, transporta un caudal de 250 l/h
Calcular las perdidas que presenta esta línea de leche.
➢ Calculo del factor de fricción
𝑅𝑒 =
𝜋. 𝐷2
4
𝜇
𝑄 = 𝑣. 𝑆 = 𝑣.
4. 𝑄
𝑣 =
𝜋. 𝐷2
𝑄 = 250 . .
𝑙 1 𝑚3 1 ℎ
ℎ 1000 𝑙 3600 𝑠
= 6,94. 10−5
𝑚3
𝑠
𝐷 = 1 𝑐𝑚.
1 𝑚
100 𝑐𝑚
= 0,01𝑚
𝑄 = 6,94. 10−5
𝑚3
𝑠
𝐷 = 0,01𝑚
𝜀
𝑓 → (𝑅𝑒, )
𝐷

𝜌𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎, 4°𝐶
𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 = 𝑆𝐺 = 𝐺𝐸𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
=
𝑘𝑔
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1000
𝑚3
𝐺𝐸𝑙𝑒𝑐ℎ
𝜌𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒
= 1,03 =
𝜌𝑎𝑔𝑢
→ 𝜌𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 = 𝐺𝐸𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 .
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑘𝑔
𝜌𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 = 1,03 . 1000
𝑚3
𝑘𝑔
→ 𝜌𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 = 1030
𝑚3
4 . 6,94 . 10
𝑣 =
−5 𝑚3 𝑠
𝜋. (0,01 𝑚)2
→
𝑚
𝑣 = 0,8842
𝑠
4.
𝑄
𝑣 = 𝜋. 𝐷2
𝜇𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒
𝑚2
𝑁
= 0,002 𝑃𝑎. 𝑠 = 0,002 . 𝑠.
𝑘𝑔. 𝑚
𝑠2
𝑁
= 0,002
𝑠 𝑘𝑔. 𝑚
.
𝑚2 𝑠2
𝑘𝑔
𝜇𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 = 0,002
𝑚.
𝑅𝑒 =
𝜇

𝜀 = 0,045 𝑚𝑚.
1𝑚
1000𝑚𝑚
𝜀 = 0,000045
𝑚𝑚
=
0,01𝑚
𝜀 0,000045𝑚
𝐷
𝜀
𝐷
= 0,0045 Fuente:
Thermal-engineering.org
𝑅𝑒 =
𝜇
𝑅𝑒 =
𝑚3 𝑠
1030
𝑘𝑔
. 0,8842 𝑚 . 0,01𝑚
0,002
𝑘𝑔
𝑚. 𝑠
𝑅𝑒 = 4553,63
𝜀 = 0,045 𝑚𝑚

Luego:
Del diagrama de Moody → f = 0,0425
Hallando las pérdidas primarias: Pérdidas en el tubo
𝐿
𝐻
𝑣2
ℎ𝑓 = 𝑓.
𝐷
.
2. 𝑔
ℎ𝑓 = 0,0425.
15𝑚
0,01𝑚
. 𝑠
(0,8842 𝑚)2
𝑠2
2. (9,81 𝑚)
ℎ𝑓 = 2,54 𝑚
Hallando las pérdidas secundarias: Pérdidas por accesorios
𝑣2
ℎ𝑠 = 𝑘.
2. 𝑔

𝑘𝑐𝑜𝑑𝑜 90° = 0,9
𝑘𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 10
𝑣2
ℎ𝑠 = 𝑘.
2. 𝑔
ℎ𝑐𝑜𝑐𝑜90° = 0,9. 𝑠
(0,8842 𝑚)2
𝑠2
2. (9,81 𝑚)
ℎ𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 10. 𝑠
ℎ𝑐𝑜𝑐𝑜90° = 0,036 𝑚
(0,8842 𝑚)2
𝑠2
2. (9,81 𝑚)
ℎ𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎 = 0,4 𝑚
ℎ𝑠 = 3. ℎ𝑐𝑜𝑐𝑜90° + 1.
ℎ𝑣á𝑙𝑣𝑢𝑙𝑎
ℎ𝑠 = 3. (0,036𝑚) + 1. (0,4𝑚)
ℎ𝑠 = 0,508 𝑚

Hallando las pérdidas totales
ℎ𝑃𝑇 = 2,54 𝑚 + 0,508 𝑚
ℎ𝑃𝑇 = 3,048 𝑚

EJERCICIO 2:
Se transporta 5000 l/h de agua de mar (a temperatura ambiente) a través de
una conducción horizontal de HDPE con diámetro nominal 315 mm, SDR 21
y longitud 580m. La tubería tiene 2 codos 90°, 2 codos 45°, un reductor
150/315 mm y una válvula compuerta 315mm. Hallar las perdidas totales
en la tubería.

https://www.youtube.com/watch?v=bqFdb0LPQao

• Cada tipo de fluido tiene sus propias relaciones constitutivas, que definen los
esfuerzos de corte.
• Por ejemplo, Para la formulación matemática de un fluido pseudoplástico en
movimiento simple suele utilizarse la Ley de potencia (Ostwald):
Siendo:
  el esfuerzo cortante [mPa].
D: la velocidad de deformación [s-1]
K: índice de consistencia; sus dimensiones dependen del valor de n.
n: índice de comportamiento de flujo (entero menor que uno).
• Esta ecuación también es válida para fluidos dilatantes.
FLUIDOS NO NEWTONIANOS

• Las ecuaciones que modelan el comportamiento de los fluidos plásticos son:
1) Ecuación generalizada de Bingham (para fluidos plásticos de Bingham):
Siendo:
 : esfuerzo cortante (Pa)
y : esfuerzo de cedencia (Pa).
: viscosidad aparente (Pa·s)
D: velocidad de deformación (s-1)
n: índice de comportamiento de flujo (entero)
2) Ecuación de Casson (para fluidos plásticos):
Siendo
 : esfuerzo cortante (Pa)
y : esfuerzo de cedencia (Pa)
D : velocidad de deformación (s-1)
: viscosidad plástica definida por Casson
FLUIDOS NO NEWTONIANOS

https://www.aiguapres.es/catalago-bombas-agua.pdf

ACTIVIDAD DE ACCIÓN / CIERRE:
• Revisar lo visto el día de hoy en esta presentación, se van a hacer preguntas
al inicio de la clase de la próxima semana sobre el tema visto.

PRÓXIMA SESIÓN
ECUACION DE EULER
ECUACION DE BERNOULLI

Cierre
1. En esta sesión de clase el estudiante conoce de manera teórica los tipos de fluidos
y sus resistencia a flujos circulares siendo fundamental los conceptos para poder
aplicarlos y entenderlo en el área de la ingeniería civil.

Referencias Bibliográficas
1. c.ehu.es/sbweb/fisica3/fluidos/arquimedes/arquimedes.html
2. Santillana J. & Salinas J., Mecánica de fluidos para ingenieros de proceso, Uni M.S. in Ch E, ISBN:
9786124396083
3. Lifshitz, E. M. & Landau, L. D., Mecanica de Fluidos Vol 6, Editorial Reverté, Año 2018, ISBN: 9788429190571
4. Andrés Granados Manzo - Justino González López - Granados Manzo, Andrés, Mecánica de fluidos: teoría
con aplicaciones y modelado,Grupo Editorial Patria, Edición: 2017, ISBN: 9786077446750, 9786077446743
https://elibro.net/es/lc/upsjb/titulos/40497
5. Monteagudo Yanes, José P. - Jiménez Borges, Reinier, Mecánica de fluidos: teoría básica y problemas,
Editorial: Editorial Universo Sur, Edición: 2016, ISBN: 9789592574434
6. Pablo Gómez del Pino - Julio Hernández Rodríguez - Claudio Zanzi, Mecánica de fluidos: problemas y
soluciones,Editorial: UNED - Universidad Nacional de Educación a Distancia, Edición: 2016, ISBN:
9788436271096, 9788436270037.
7. Fundamentos de mecánica de fluidos. Con ejercicios parcialmente resueltos Septiembre de 2021, ISBN: 978
– 958 – 746 – 426 – 9. https://doi.org/10.21676/9789587464269
8. Yunus A. Cengel. Mecánica de Fluidos (Pack) Fundamentos y Aplicaciones Año: 2020, Editorial: Mcgraw-Hill,
Isbn13 9781456277703
9. Merle Potter, David Wiggert, Bassem Ramadan. Mecánica de fluidos. Año: 2018. Editorial CENGAGE
LEARNING: Edición: 4th Edition

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