El documento trata sobre el concepto de derivadas en matemáticas. Explica que la derivada permite cuantificar la rapidez del cambio de una función y tiene aplicaciones importantes en ciencias como física y economía. También define conceptos clave como límite, recta tangente y cálculo diferencial e integral, los cuales son fundamentales para entender el cálculo de derivadas.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL – TÁCHIRA
Derivadas
Autora: María Valeria González
C.I.: v-30.397.703
Tutor: Jesús Gámez
San Cristóbal, Noviembre 2021

2. Introducción
En este trabajo se hablara sobre un tema esencial para las matemáticas el cual es
la derivada que es el estudio del cálculo juega un rol importante cuando es
necesario cuantificar o medir algún fenómeno. La matemática juega un rol
importante cuando es necesario cuantificar o medir cualquier fenómeno y las
variaciones que se producen. El cálculo tiene reconocida su importancia porque
permite encontrar las leyes que describen esos cambios, medirlos y predecirlos.
En particular, la derivada permite cuantificar, describir y pronosticar la rapidez de
la variación en fenómenos de la naturaleza o de la práctica. El concepto de
derivada conlleva diversos aspectos: su perspectiva gráfica, como pendiente de la
tangente a la curva; su perspectiva analítica, como límite del cociente incremental;
su carácter puntual o global –es decir, en intervalos– y, según exija la resolución
de una determinada tarea, se pueden utilizar aspectos que relacionan a f ' y f " En
conjunto, las características de los problemas planteados pueden mostrar a la
derivada desde la integración de una perspectiva analítica y gráfica

3. Desarrollo
La derivada como todo en el mundo tuvo un inicio, los problemas típicos que
dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica
de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos
de resolución hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac
Newton y Gottfried Leibniz). Se crearon El problema de la tangente a una
curva (Apolonio de Perge) y El Teorema de los extremos: máximos y mínimos
(Pierre de Fermat)
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los
infinitesimales: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en
usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al
descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII las cantidades
infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos
de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial,
los otros al integral.
A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por
sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de
la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores
del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las
derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y
la integración son operaciones inversas.

4. La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor
aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de
valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de
la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En
dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la
transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de
ese punto.
La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas
de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. La derivada de
una función está representada gráficamente como una línea recta superpuesta
sobre cualquier curva (función), el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el
cual está siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada.
Por otro lado la derivada de una función matemática se haya íntimamente
relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación
que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos
de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que
transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los
fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.
Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su
dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f (x1). Cuando esta diferencia
es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función
es decreciente.

5. También existe la derivada de una función en un punto, Dada una función f (x), y
considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese
punto, denotada como f.
La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación
instantánea. Expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es
lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h
que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el
punto x = a.
Otra derivada muy común es las derivadas laterales se puede definir los
conceptos de derivadas laterales de una función en un punto. En cálculo
diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de
cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según
se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función
es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio
media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la
variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla Del
valor de la derivada de una función en un punto dado.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica
de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción

6. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos
casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de
una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los
estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y
la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones
de, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en
el punto. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como
el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una
recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta
tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades
geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si
es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por
ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad
de las funciones que se consideran en las aplicaciones prácticas son continuas y
su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable),
son aproximables linealmente. Se suele poner el ejemplo de un automóvil en
movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al
tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto para todos los momentos.

7. Un coche que realice un trayecto de 700 km entre las 10:00 y las 17:00, viaja a
una velocidad media de 100 km/h, pero puede viajar a velocidades mayores o
menores en distintos tramos del trayecto. Por ejemplo, si entre las 11:00 y las
11:30 recorre 40 km, su velocidad media en ese tramo es de 80 km/h. Para saber
cuál es su velocidad instantánea a las 11:20, por ejemplo, hay que calcular la
velocidad media en intervalos de tiempo cada vez más pequeños en torno a esta
hora: entre las 11:15 y las 11:25, entre las 11:19 y las 11:21.
Algunos de los conceptos más importantes y referentes a las derivadas son:
 Cálculo diferencial: estudia cómo cambian las funciones continuas según
sus variables cambian de estado. La derivada es el principal objeto de
estudio en el cálculo diferencial.
 Variables independientes: representan insumos o causas, es decir,
razones potenciales de variación. En un experimento, cualquier variable
que el experimentador manipule puede denominarse variable
independiente.
 Límite: formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto
concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de
esa sucesión o función se acercan a un determinado valor.
 Recta tangente: la tangente a una curva en un punto P es una recta que
toca a la curva solo en dicho punto, llamado punto de tangencia.
 Recta secante: es una recta que corta a una curva en 2 puntos. Conforme
estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere
el nombre de recta tangente.
 Cálculo infinitesimal (o simplemente cálculo): es el estudio del cambio y la
continuidad, en la misma manera que la geometría estudia el espacio

8. Conclusión
Para concluir, en este trabajo se mencionaron temas sumamente importantes para
la matemática, puesto a que sin las derivadas no es posible entender el
mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de los
cálculos científicos y en casi todo lo que nos rodea. A lo largo de los siglos,
otros matemáticos y científicos han aportado muchísimos estudios para
mejorar y hacer más exactos los cálculos. Aunque no es un elemento
tangible, su valor radica en que, desde el punto de vista científico, se aplica
a numerosas investigaciones importantísimas y de las que
sus aplicaciones revierten en la propia sociedad. Así, las derivadas son
esenciales para estudios tan importantes como el de la relatividad, la
mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las
probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc.
Actualmente también son necesarios en la computación, etc.

9. Referencias bibliográficas
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variación y el cambio: resultados de una investigación con estudiantes de
primer año de la universidad. Recuperado de https://www.scielo.br/
 Sánchez, G. García, M. Llinares, S. (2008) LA COMPRENSIÓN DE LA
DERIVADA COMO OBJETO DE INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA. Recuperado de http://www.scielo.org.mx/
 ¿Para que sirven las derivadas? / Tabla de Derivadas e Integrales. (s.f.)
Recuperado de https://www.tusclases.pe/
 Importancia de las Derivadas. (s.f.) Recuperado de
https://www.importancia.org/
 Derivadas. (s.f.) Recuperado de https://www.superprof.es/
 Rosas, O. (2017) Todo lo que necesitas saber de las Derivadas.
Recuperado de https://compilandoconocimiento.com/
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 Stewart, James (2002). Calculus (5ª edición). Brooks Cole.

10.  Derivada de una función. (s.f.) Recuperado de
http://recursostic.educacion.es/
 Derivada de una función. (s.f.) Recuperado de https://www.hiru.eus/
 Derivada de una función. (s.f.) Recuperado de https://economipedia.com/