El documento describe la historia del desarrollo de las derivadas por Isaac Newton y Gottfried Leibniz en los siglos XVII y XVIII. Ambos desarrollaron el cálculo de manera independiente pero con enfoques diferentes. Más tarde surgieron disputas sobre la autoría entre Newton y Leibniz, aunque actualmente se les reconoce a ambos como los descubridores del cálculo. El documento también explica conceptos clave como derivadas, incrementos y derivadas de funciones.
Este documento describe el mecanismo biela-manivela, el cual convierte el movimiento circular de una manivela en movimiento rectilíneo alternativo de una biela. El mecanismo es reversible y se usa comúnmente en motores de automóviles, limpiaparabrisas, máquinas de coser y otros aparatos. Explica que la biela une la manivela giratoria con el pistón rectilíneo para transformar los movimientos.
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta un libro sobre geometría analítica e introducción al cálculo vectorial. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como coordenadas cartesianas, vectores, rectas y planos, transformación de coordenadas, coordenadas polares, cónicas, superficies y coordenadas esféricas y cilíndricas. El libro fue escrito por John Alexander Pérez Sepúlveda y Juan Guillermo Paniagua Castrillón y publicado por el Instituto Tecnológico Metropolitano en el
El documento explica los conceptos básicos de cálculo diferencial, incluyendo las derivadas de funciones constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas, implícitas y compuestas. También cubre temas como derivadas sucesivas, derivadas enésimas, diferenciales de funciones y derivadas de funciones implícitas. El documento proporciona fórmulas y ejemplos para cada tipo de derivada.
La tabla resume las derivadas e integrales de funciones comunes como constantes, identidades, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También cubre reglas para derivar sumas, restas, productos y cocientes de funciones. No hay ejemplos provistos para las integrales.
Este documento describe el mecanismo biela-manivela, el cual convierte el movimiento circular de una manivela en movimiento rectilíneo alternativo de una biela. El mecanismo es reversible y se usa comúnmente en motores de automóviles, limpiaparabrisas, máquinas de coser y otros aparatos. Explica que la biela une la manivela giratoria con el pistón rectilíneo para transformar los movimientos.
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta un libro sobre geometría analítica e introducción al cálculo vectorial. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como coordenadas cartesianas, vectores, rectas y planos, transformación de coordenadas, coordenadas polares, cónicas, superficies y coordenadas esféricas y cilíndricas. El libro fue escrito por John Alexander Pérez Sepúlveda y Juan Guillermo Paniagua Castrillón y publicado por el Instituto Tecnológico Metropolitano en el
El documento explica los conceptos básicos de cálculo diferencial, incluyendo las derivadas de funciones constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas, implícitas y compuestas. También cubre temas como derivadas sucesivas, derivadas enésimas, diferenciales de funciones y derivadas de funciones implícitas. El documento proporciona fórmulas y ejemplos para cada tipo de derivada.
La tabla resume las derivadas e integrales de funciones comunes como constantes, identidades, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También cubre reglas para derivar sumas, restas, productos y cocientes de funciones. No hay ejemplos provistos para las integrales.
Se resuelven exámenes o relaciones de ejercicios de Bachillerato para las asignaturas de Matemáticas, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, Física y Química; y de nivel universitario para Estadística, Bioestadistica, Calculo y Álgebra.
A cargo de un Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos y de un Licenciado en Matemáticas.
Envios por correo en PDF.
Pagos por transferencia o Paypal.
Precios de acuerdo al numero de ejercicios y dificultad de la materia.
Contacto en granada.clases.particulares@gmail.com
http://granada-clases-matematicas.blogspot.com/
La tabla resume los tipos básicos de integrales inmediatas, incluyendo potenciales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas y sus inversas. Proporciona ejemplos de cada tipo para ilustrar cómo calcular las integrales correspondientes de forma directa.
Esta tabla resume las derivadas de varias funciones comunes. Incluye derivadas de constantes, identidades, funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También cubre reglas para derivar sumas, restas, productos y cocientes de funciones.
La profesora Jimena Rodríguez impartió una clase sobre integrales elementales. Revisó ejemplos y ejercicios de diferentes tipos de integrales como integrales de funciones racionales, logarítmicas y exponenciales. Asignó 6 tareas a los estudiantes relacionadas con el tema cubierto en clase.
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. .
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS
6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA..
7.- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES
8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
9.1.- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L´HÔPITAL
9.2.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS. OPTIMIZACIÓN
9.3.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
9.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
10.- ACTIVIDADES
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
La tabla proporciona fórmulas para derivar funciones comunes como polinomios, exponenciales, logaritmos y trigonométricas. Incluye la derivada de funciones como x^n, e^x, ln(x), sin(x), cos(x) y más, mostrando cómo calcular la derivada de cada función paso a paso usando las reglas básicas de derivación.
Este informe trimestral presenta los valores promedio del metro cuadrado para viviendas nuevas en Bogotá y municipios cercanos durante el primer trimestre de 2016. Los resultados muestran variaciones en los precios entre las diferentes zonas, con descensos en zonas como Nororiente y Centro-Chapinero, e incrementos en Occidente y la zona Campestre. Adicionalmente, se proporciona información sobre el rango de áreas y tipos de proyectos disponibles en cada zona.
1) La tabla resume las reglas de integración de funciones comunes como sen(x), cos(x), e^(x), entre otras.
2) Se describen métodos para integrar fracciones racionales con raíces reales múltiples o complejas simples.
3) También incluye una tabla de identidades trigonométricas útiles para realizar transformaciones antes de integrar.
El documento demuestra que la derivada de la función raíz cuadrada es 1/2√x. Primero descompone la definición de derivada y luego aplica operaciones como multiplicar arriba y abajo por raíces cuadradas para eliminar los radicales. Finalmente, al aplicar el límite se obtiene que la derivada es 1/2√x.
Este documento presenta las reglas básicas para calcular derivadas de funciones. Resume las reglas para derivar sumas, productos por un número, productos, cocientes, composiciones, potencias, funciones trigonométricas, funciones arco y exponenciales y logarítmicas.
This table summarizes the derivatives of common elementary and composite functions. For elementary functions, the derivative is given. For composite functions f(u) with u = u(x), the derivative is the derivative of the inner function u' multiplied by the derivative of the outer function evaluated at u.
El documento resume las teorías conductuales de aprendizaje, incluyendo los experimentos de Pavlov sobre el condicionamiento clásico y las contribuciones de Watson, Thorndike y otros. Explica cuatro procesos de aprendizaje conductual: 1) Condicionamiento clásico, 2) Aprendizaje por ensayo y error, 3) Aprendizaje asociativo, y 4) Condicionamiento operante.
La derivada se define geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. La recta tangente solo intersecta la curva en un punto, mientras que la recta secante intersecta en dos o más puntos. Cuando el cambio en el eje x (Δx) tiende a cero, la recta secante se aproxima a la tangente. El cálculo del límite de la pendiente de la recta secante equivale al cálculo de la pendiente de la tangente y es equivalente a la definición geométrica de la derivada.
Este documento describe las ruedas dentadas o engranajes, incluyendo sus características, tipos, partes y aplicaciones. Las ruedas dentadas son mecanismos circulares que transmiten movimiento a través de dientes y se usan comúnmente en automóviles, molinos de viento y relojes. Existen diferentes tipos de ruedas dentadas como cónicas y helicoidales que varían en la forma y disposición de los dientes.
La derivada se define geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. La recta tangente tiene solo un punto de intersección con la curva, mientras que una recta secante corta la curva en dos o más puntos. Cuando la distancia entre los puntos donde la recta secante corta la curva tiende a cero, la recta secante se aproxima a la recta tangente. Esto permite definir la derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando la distancia entre los puntos tiende a
El documento describe la historia del desarrollo del cálculo diferencial y las contribuciones de Isaac Newton, Gottfried Leibniz y otros matemáticos. Explica que Newton y Leibniz desarrollaron independientemente las ideas del cálculo diferencial en el siglo XVII. Aunque ambos reclamaron la autoría, actualmente se les reconoce a ambos como los descubridores del cálculo y se utilizan sus notaciones.
El documento presenta información sobre el desarrollo histórico del cálculo diferencial. Explica que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron independientemente las ideas del cálculo a finales del siglo XVII. Aunque ambos realizaron contribuciones importantes, mantuvieron un conflicto por la autoría de su invención. Actualmente se reconoce a ambos como los fundadores del cálculo y se utilizan notaciones mixtas de sus trabajos.
Se resuelven exámenes o relaciones de ejercicios de Bachillerato para las asignaturas de Matemáticas, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, Física y Química; y de nivel universitario para Estadística, Bioestadistica, Calculo y Álgebra.
A cargo de un Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos y de un Licenciado en Matemáticas.
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La tabla resume los tipos básicos de integrales inmediatas, incluyendo potenciales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas y sus inversas. Proporciona ejemplos de cada tipo para ilustrar cómo calcular las integrales correspondientes de forma directa.
Esta tabla resume las derivadas de varias funciones comunes. Incluye derivadas de constantes, identidades, funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También cubre reglas para derivar sumas, restas, productos y cocientes de funciones.
La profesora Jimena Rodríguez impartió una clase sobre integrales elementales. Revisó ejemplos y ejercicios de diferentes tipos de integrales como integrales de funciones racionales, logarítmicas y exponenciales. Asignó 6 tareas a los estudiantes relacionadas con el tema cubierto en clase.
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. .
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.
5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS
6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA..
7.- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES
8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
9.1.- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L´HÔPITAL
9.2.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS. OPTIMIZACIÓN
9.3.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
9.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
10.- ACTIVIDADES
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
La tabla proporciona fórmulas para derivar funciones comunes como polinomios, exponenciales, logaritmos y trigonométricas. Incluye la derivada de funciones como x^n, e^x, ln(x), sin(x), cos(x) y más, mostrando cómo calcular la derivada de cada función paso a paso usando las reglas básicas de derivación.
Este informe trimestral presenta los valores promedio del metro cuadrado para viviendas nuevas en Bogotá y municipios cercanos durante el primer trimestre de 2016. Los resultados muestran variaciones en los precios entre las diferentes zonas, con descensos en zonas como Nororiente y Centro-Chapinero, e incrementos en Occidente y la zona Campestre. Adicionalmente, se proporciona información sobre el rango de áreas y tipos de proyectos disponibles en cada zona.
1) La tabla resume las reglas de integración de funciones comunes como sen(x), cos(x), e^(x), entre otras.
2) Se describen métodos para integrar fracciones racionales con raíces reales múltiples o complejas simples.
3) También incluye una tabla de identidades trigonométricas útiles para realizar transformaciones antes de integrar.
El documento demuestra que la derivada de la función raíz cuadrada es 1/2√x. Primero descompone la definición de derivada y luego aplica operaciones como multiplicar arriba y abajo por raíces cuadradas para eliminar los radicales. Finalmente, al aplicar el límite se obtiene que la derivada es 1/2√x.
Este documento presenta las reglas básicas para calcular derivadas de funciones. Resume las reglas para derivar sumas, productos por un número, productos, cocientes, composiciones, potencias, funciones trigonométricas, funciones arco y exponenciales y logarítmicas.
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La derivada se define geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. La recta tangente solo intersecta la curva en un punto, mientras que la recta secante intersecta en dos o más puntos. Cuando el cambio en el eje x (Δx) tiende a cero, la recta secante se aproxima a la tangente. El cálculo del límite de la pendiente de la recta secante equivale al cálculo de la pendiente de la tangente y es equivalente a la definición geométrica de la derivada.
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El documento describe la historia del desarrollo del cálculo diferencial y las contribuciones de Isaac Newton, Gottfried Leibniz y otros matemáticos. Explica que Newton y Leibniz desarrollaron independientemente las ideas del cálculo diferencial en el siglo XVII. Aunque ambos reclamaron la autoría, actualmente se les reconoce a ambos como los descubridores del cálculo y se utilizan sus notaciones.
El documento presenta información sobre el desarrollo histórico del cálculo diferencial. Explica que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron independientemente las ideas del cálculo a finales del siglo XVII. Aunque ambos realizaron contribuciones importantes, mantuvieron un conflicto por la autoría de su invención. Actualmente se reconoce a ambos como los fundadores del cálculo y se utilizan notaciones mixtas de sus trabajos.
Este documento describe las contribuciones de Newton y Leibniz al desarrollo del cálculo. Ambos matemáticos trabajaron de forma independiente a finales del siglo XVII. Aunque Newton tuvo las ideas primero, Leibniz también descubrió los principios del cálculo diferencial e integral de forma independiente. Leibniz hizo contribuciones clave como la notación para derivadas y integrales que se usa hoy en día. Ambos hicieron avances fundamentales en las matemáticas y la física.
El documento describe la evolución del cálculo desde sus orígenes en los métodos de los antiguos griegos hasta su desarrollo moderno por Newton y Leibniz. Los antecedentes se encuentran en los métodos de los geómetras griegos como Eudoxo y Diofanto. Aristóteles fue el primero en formalizar el razonamiento lógico. Newton y Leibniz perfeccionaron los métodos infinitesimales de sus predecesores y establecieron las bases del cálculo diferencial e integral moderno, aunque cada uno desarrolló not
1) Isaac Newton e independientemente Gottfried Leibniz desarrollaron por separado el cálculo diferencial y integral en la década de 1670.
2) Leibniz fue el primero en publicar sobre el cálculo en 1684, pero no mencionó los trabajos previos de Newton, lo que llevó a acusaciones de plagio contra Leibniz.
3) Aunque Newton descubrió primero los conceptos clave del cálculo en la década de 1660, no los publicó formalmente, mientras que la notación introducida por Leibniz
El documento compara las contribuciones de Newton y Leibniz al desarrollo del cálculo integral y diferencial. Ambos matemáticos compartieron el crédito por este descubrimiento y cada uno hizo contribuciones importantes a las matemáticas, aunque inicialmente hubo desacuerdos entre ellos.
1) El documento describe las contribuciones de importantes matemáticos al desarrollo del cálculo diferencial e integral, incluyendo a Leibesgue, Kovalevski, Gibbs, Riemann, Weierstrass, Cauchy, Gauss, Lagrange, Agnesi, Hopital, Leibniz, Newton, Pascal, Descartes, Kepler y Bernoulli.
2) Algunas de sus contribuciones clave fueron la definición de derivada por parte de Weierstrass, la integral de Lebesgue, el principio de mínima acción de Euler, el teorema del bin
El documento describe la evolución del concepto matemático de función a través de la historia. Comenzó como una idea intuitiva de cantidades interdependientes en la antigua Grecia. Con el tiempo, los matemáticos desarrollaron definiciones más precisas, considerando funciones no geométricas y dependencias no expresadas por fórmulas. La definición moderna de Dirichlet define una función como una correspondencia única entre valores de un conjunto. Esto permitió funciones con propiedades inesperadas como discontinuidades o infinitos máximos en intervalos finitos.
El documento resume las contribuciones de varios matemáticos al desarrollo del cálculo integral desde la antigua Grecia hasta el siglo XVII. Zenón de Elea planteó problemas sobre el infinito en el siglo V a.C. que influyeron en el desarrollo posterior. Arquímedes en el siglo III a.C. realizó algunas de las primeras integraciones y aproximaciones de áreas y volúmenes. En el siglo XVII, Fermat, Roberval, Cavalieri y Descartes sentaron las bases del cálculo riguro
El documento describe los orígenes históricos del cálculo infinitesimal en los siglos XVII y XVIII. Isaac Newton e Isaac Leibniz sentaron las bases del cálculo diferencial al estudiar el problema fundamental de las tangentes a una curva. Posteriormente, matemáticos como Euler, Cauchy y Weierstrass proporcionaron fundamentos más sólidos basados en límites y cantidades finitas. El cálculo infinitesimal se ha consolidado como una herramienta científica y técnica ampliamente utilizada.
El documento describe el origen y desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales. Se menciona que Isaac Newton y Gottfried Leibniz sentaron las bases del cálculo infinitesimal en el siglo XVII y con ello originaron las ecuaciones diferenciales. Posteriormente, la familia Bernoulli, incluyendo a Jakob, Johann y Daniel, formuló y resolvió ecuaciones diferenciales para muchos problemas de mecánica usando el cálculo. Más adelante, matemáticos como Riccati, Euler, Lagrange y Laplace hic
El documento describe las contribuciones de importantes matemáticos como Arquímedes, Descartes, Newton y Leibniz al desarrollo del cálculo diferencial e integral. Arquímedes realizó cálculos que anticiparon el cálculo integral, mientras que Descartes estableció las bases de la geometría analítica. Tanto Newton como Leibniz descubrieron de forma independiente los principios del cálculo diferencial y ambos hicieron contribuciones fundamentales a su desarrollo.
El documento describe los orígenes y desarrollo del cálculo diferencial. Se originó en el siglo XVII para estudiar el movimiento de cuerpos en caída libre. Isaac Newton y Gottfried Leibniz son considerados los fundadores del cálculo al estudiar el problema de las tangentes. El cálculo diferencial se ha utilizado desde entonces para modelar situaciones del mundo real relacionadas con cambios como velocidad, áreas y volúmenes.
Newton y Leibniz desarrollaron independientemente el cálculo diferencial y integral en la década de 1670. Aunque Newton había estado trabajando en el concepto de flujo desde 1665, Leibniz publicó sus descubrimientos primero en 1684 sin reconocer el trabajo previo de Newton, lo que llevó a una disputa sobre la prioridad de la invención del cálculo.
Línea del tiempo de los personajes más importantes del calculo diferencialFernanda Castillejos
Los documentos presentan breves biografías y las principales contribuciones de importantes matemáticos a lo largo de la historia. Entre ellos se encuentran Arquímedes, quien calculó el área bajo una parábola; Descartes, pionero del álgebra y las coordenadas cartesianas; Newton y Leibniz, descubridores independientes del cálculo diferencial y integral; y otros como Cauchy, Riemann, Hilbert y Lebesgue, que realizaron avances fundamentales en análisis matemático.
El documento describe la historia de las matemáticas desde las civilizaciones antiguas hasta el desarrollo del cálculo diferencial e integral por Newton y Leibniz en el siglo XVII. Explica cómo los conceptos matemáticos como los números se desarrollaron gradualmente y cómo las matemáticas avanzaron a medida que las sociedades se hicieron más complejas. También describe las contribuciones clave de Newton y Leibniz al cálculo y su impacto en las matemáticas modernas.
1) Newton y Leibniz inventaron de forma independiente el cálculo diferencial e integral en el siglo XVII, uniendo diversas técnicas matemáticas en dos conceptos generales: la derivada y la integral.
2) Newton desarrolló el cálculo de flujos y fluencias para resolver problemas como determinar tangentes, máximos, mínimos y áreas. Presentó tres versiones con el objetivo de fundamentar su trabajo de manera rigurosa.
3) Tanto Newton como Leibniz sentaron las bases del cálculo moderno a través del desarrol
El cálculo diferencial e integral tiene sus orígenes en problemas de la Grecia Clásica pero no fue hasta el siglo XVII que Newton y Leibniz desarrollaron los conceptos modernos de derivada e integral. Estos conceptos resolvieron problemas como calcular tangentes y extremos de curvas y áreas bajo curvas. Aunque Newton descubrió primero estas ideas, Leibniz hizo contribuciones importantes al desarrollo de la notación y símbolos del cálculo.
Newton e independientemente Leibniz inventaron el cálculo en el siglo XVII, desarrollando los conceptos de integral y derivada para unificar diversas técnicas matemáticas y resolver problemas. Reconocieron la relación fundamental entre derivación e integración. En los siglos posteriores, matemáticos como Taylor, Euler, Lagrange y Fourier expandieron el cálculo diferencial y contribuyeron al desarrollo de conceptos como series de potencias y series de Fourier. El análisis matemático se fundamentó formalmente en el siglo XIX con los trabajos de
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El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
TEMA IV: DERIVADAS
HISTORIA DE LAS DERIVADAS
Los grandes creadores del Cálculo diferencial fueron el inglés Isaac Newton (1642-1727) y
el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). De manera diferente pero
independientemente estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y
generalizaron ideas y procedimientos que habían sido abordados (de diferentes maneras) y
con éxito parcial desde la Antigüedad. Antes de Newton y Leibniz fueron realizados
diversos aportes de importancia asociados al nombre de grandes personalidades, como por
ejemplo: Gilles de Roberval (1602-1675), Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes
(1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), Galileo Galilei (1564-1642), Christian
Huygens (1629--1695, amigo de Leibniz), John Wallis (1616-1703, amigo de
Newton), Bon aventura Cavalieri (1598-1647, discípulo de Galileo), Evangelista Torricelli
(1608-1647, discípulo de Galileo), Isaac Barrow (1630-1677, maestro de Newton).
Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe decirse que una de las
contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue la Geometría
Analítica (la expresión de puntos geométricos en coordenadas y el uso de métodos
algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat. Debemos destacar que
cada uno trabajo en otros campos diferentes a las matemáticas. Newton es un
conocido científico que hizo grandes descubrimientos en los campos
de física y matemáticas. Por otra parte Leibniz destaco en las matemáticas y la filosofía.
Los dos son personajes destacados en la historia de las matemáticas, ahora nos centraremos
en explicar los antecedentes que condujeron al conflicto que mantuvieron por defender
la autoría de la invención y desarrollo del cálculo. Newton empezó a desarrollar su cálculo
diferencial hacia el 1665, dio un enfoque geométrico y analítico a las derivadas. Su
principal aplicación era para calcular tangentes, curvaturas y áreas.
Para Newton un fluente x era la cantidad de movimiento continuo de un punto que traza una
curva y una fluxión x_ su velocidad. El problema se basa en hallar la relación entre las
fluxiones (valores) dadas una relación de fluentes. Se trataba de un conjunto de reglas para
poder calcular máximos, mínimos y tangentes. El mismo Newton reconoció que
su interpretación era algo dificultosa y la perfecciono en trabajos posteriores.
Newton no solía publicar sus trabajos inmediatamente. De hecho su investigación sobre las
derivadas las escribió en un tratado informal, De Analysi en 1669, que compartió con sus
compañeros del Trinity College. Este manuscrito contenía una introducción al cálculo
diferencial e integral que desarrollo más tarde. No se llegó a publicar, en una obra propia
hasta después de su muerte en De Methodis Serierumet Fluxionum escrito en 1671 y
publicado en 1673. El propio Newton escribió dos cartas enunciando sus descubrimientos
para que fueran remitidas a Leibniz. Newton desarrollo y perfecciono la serie del binomio
hacia el año 1664. En particular se podía usar para exponentes que sean fracciones
o números negativos, por lo que una aplicación práctica era el cálculo de raíces cuadradas.
2. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA I
Las cartas, que detallaban este método y citaban algunos ejemplos, las mando a la Royal
Society of London para que se encargaran de hacerlas llegar a Leibniz. Mientras tanto
Leibniz también había estado trabajando en esta materia pero de forma independiente a
Newton. Leibniz trabajaba con sumas de sucesiones para aproximar la cuadratura de una
curva, de forma que cuanto más pequeña fuera la distancia entre dos números de
la sucesión mejor apreciación seria a la curva. De esta manera también se aproxima la
tangente como la diferencia entre dos puntos. Por tanto Leibniz observa que la integración
y la derivación son operaciones inversas. Leibniz fue desarrollando su notación hasta
encontrar una que le permitiera trabajar más intuitivamente. Leibniz consideraba una
curva como infinitas porciones de recta donde dx es la diferencia infinitesimal de dos
puntos consecutivos del eje de abscisas. Por tanto R y dx es la suma
de rectángulos infinitesimales y dx, el símbolo R es la alargación de una S que significa
suma. Esta notación es la que aun usamos en la actualidad.
Si comparamos: Newton consideraba las variables en función del tiempo, en cambio
Leibniz tenía un enfoque diferente. Él pensaba que las variables tomaban secuencias de
valores infinitamente cercanos, de aquí las notaciones dx y dy (donde x, y son variables)
que representan las diferencias entre valores consecutivos de las secuencias. También
dedujo que el cociente dx/dy da la tangente. Sobre la integración, para Newton se basaba en
encontrar la relación entre lo que denomina fluxiones, es decir, las derivadas. De esta forma
implica que la integración es la operación inversa a la derivación.
Por otra parte, Leibniz usa la integral como una suma de infinitesimales, en cambio Newton
usaba velocidades finitas. Aunque ninguno de los dos usaba las funciones tal como se usan
actualmente, más bien pensaban en términos de gráficas. Sin embargo, a pesar de que el
conflicto se tenía como finalidad dar la autoría de la invención del Cálculo a uno de los dos,
y el reconocimiento que eso conlleva, la verdad es que ambos acabaron mal
parados. Ambos habían cometido errores: Newton, al no publicar formalmente sus
descubrimientos, y Leibniz, al no mencionar que había tenido contacto con el trabajo de
Newton y no compartir la autoría del descubrimiento. ¿Este conflicto se pudo haber
evitado? Según algunas hipótesis la guerra anglo-alemana que hubo nunca debería haber
comenzado, y mucho debería haberse desarrollado como se desarrolló. Aunque ambos
pusieron las bases del Cálculo de manera independiente, ni mucho menos fueron los
primeros en dar las nociones iniciales de esta rama matemática.
El precursor de estas ideas fue Pierre de Fermat. Leibniz reconocía en una carta a Wallis,
un matemático inglés, que le debía mucho a Fermat; y Newton escribió que desarrollo su
cálculo diferencial en base al método de trazar tangentes de Fermat, que
trataba exactamente los máximos y mínimos de curvas polinómicas. Actualmente, toda la
comunidad científica reconoce a ambos como los descubridores del cálculo, y se sigue
utilizando la notación de ambos, con diferencias entre matemáticas y física.
En física, se utiliza la notación de Newton para la diferenciación, la cual consiste en un
punto sobre el nombre de la función, y que Newton denomino fluxión. Es muy utilizada
para la derivada respecto del tiempo. En la notación de Leibniz se representa la operación
de diferenciar mediante el operador d/dx.
3. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA I
Esta notación permite recordar intuitivamente varios conceptos del cálculo como la regla de
la cadena, o el de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales.
La notación de Leibniz resulta muy útil cuando se trabaja con derivadas parciales de
funciones multivariables y sus operadores derivados, ya que indica que variable de la
función es independiente en cada momento.
INCREMENTOS
f(a+h)
f(a)
a a+h
Incremento de la variable independiente: x = (a + h ) – a = h
Incremento de la variable dependiente: y = f(a+h) – f(a)
Cociente incremental (o tasa o razón) media de variación, en el intervalo [a, a+h] es:
h
f(a)h)f(a
Δx
Δy
Ejemplos: Hallar el incremento y el cociente incremental de las siguientes funciones:
1º) f(x) = 432
xx
El incremento en a es y = f(a+h) – f(a) = )4343 22
a(ah)(ah)(a
Operando y = (2a + 3 +h) h
El cociente incremental es ha
h
h)ha(
Δx
Δy
32
32
4. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA I
2º) f(x) = x
e3
y = f(a+h) – f(a) = )(eee·eeee haahaah)(a
13333333
El cociente incremental es
h
)(ee
Δx
Δy ha
133
3º) f(x) = sen(x)
y = f(a+h) – f(a) = sen(a+h) – sen(a) = 2cos
2
aha
sen
2
aha
y = 2cos
2
h
a sen
2
h
El cociente incremental es
h
h
sen
h
a
Δx
Δy
22
cos2
DERIVADA
Dada una función f : D R, y un punto de abscisa a Int(D), se considera el límite del
cociente incremental cuando el incremento h 0, si ese límite existe y es finito diremos
que las función es derivable en a y al resultado de ese límite le llamaremos derivada de y =
f(x) en ese punto.
DEFINICIÓN 1: f : D R es derivable en a Int(D) R
h
f(a)h)f(a
h
0
lim
f(a+h)
f(a)
a a+h
5. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA I
DEFINICIÓN 2: Si f : D R es derivable en a Int(D), se define derivada de f en a al límite:
h
f(a)h)f(a
(a)f
oh
lim
EJEMPLOS: Consideremos las mismas funciones de los ejemplos de incrementos; ahora
calculemos sus derivadas:
1º) 432
xxxf
Habíamos llegado a que: ha
h
hha
x
y
32
)32(
Si ahora calculamos el límite cuando 0h tenemos lo siguiente:
3232limlim
00
aha
h
f(a)h)f(a
hh
Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier a R, y que la derivada es
.32 a(a)f
2º) x
= exf 3
Teníamos que:
h
)(ee
Δx
Δy ha
133
De donde: a
a
h
ha
hh
·e
h
h·e
h
)(ee
h
f(a)h)f(a 3
3
0
33
00
3
3
lim
1
limlim
Se concluye que f es derivable y su derivada es a
·e(a)f 3
3
3º) x= senxf
El cociente incremental es:
h
h
sen
h
a
Δx
Δy
22
cos2
6. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA I
Entonces: (a)
h
a
h
h
·
h
a
h
h
sen
h
a
hhh
cos
2
coslim
22
cos2
lim
22
cos2
lim
000
Luego: f es derivable y (a)(a)f cos
CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE (PUNTOS SINGULARES)
a) CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE.
TEOREMA: Toda función derivable en un punto es continua en ese punto.
Hipótesis) f : D R es derivable en a
Tésis) f : D R es continua en a
DEMOSTRACIÓN:
afaf·h
h
afhaf
afafhafhaf
hhh
1
000
limlimlim
En el paso (1) se utilizó que f es derivable en a: El límite del cociente incremental es finito,
y está multiplicado por h que tiende a 0, entonces el producto tiene límite 0. a es interior de
D porque f es derivable en a y afxf
ax
lim y entonces f es continua en a. #
EJEMPLO: Dada la función
1
11
2
1
1
xsiba·xx
xsi·exf(x)
x
Determinar a y b para que f sea derivable en x = 1.
Por el teorema previo, ser derivable implica ser continua:
f(x)+ a + b=f
x
1
lim=11
01 =a + b +
01lim 1
1
1
x
x
·ex
Y por definición, tenemos:
7. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA I
a
h
hah
h
babhah
h
fhf
hhh
2
2
lim
111
lim
11
lim
2
0
2
00
Y demás:
0lim
0
lim
11
lim
1
0
1
00
h
h
h
hh
e
h
h·e
h
)f(h)f(
Para que exista la derivada: 202 a =+a= y de .1101 b=ab ==a +b+
b) DERIVADAS LATERALES
I. f : D R, es derivable a la izquierda de a
> 0 / ( a - , a ] D y R)(af
h
f(a)h)f(a
h
0
lim
A ese límite le llamaremos derivada lateral a la izquierda de a.
II. f : D R, es derivable a la derecha de a
> 0 / [ a, a + ) D y R)(af
h
f(a)h)f(a
h
0
lim
A ese límite le llamaremos derivada lateral a la derecha de a.
EJEMPLO:
00
0
1
1
xsi
xsi
e
x
xf x
y = f(x) es continua en 0 ya que: .00
1
lim 10
f
e
x
xx
,
Pero no es derivable en 0, ya que no existen las derivadas laterales en
0
0
1
1
lim1lim
0
lim0 1
0
1
00
hh
h
hh
eh
e
h
h
fhf
f
Análogamente 1
1
1
lim0 1
0
hh
e
f
8. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA I
Geométricamente esto significa que por la derecha de 0 la tangente al gráfico de f es el
eje OX y por la izquierda de 0 la tangente es la recta y = x.
EJEMPLOS:
1º) Sea f : R R definida por .|x| xf Cuya gráfica es:
A simple vista se observa que presenta un punto anguloso es x = 0, lo que se confirma
formalmente calculando las derivadas laterales:
1lim
0
lim0
1lim
0
lim0
00
00
h
|h|
h
fhf
f
h
|h|
h
fhf
f
hh
hh
2º) Más general que el ejemplo precedente, si f(x) es una función derivable, en los
puntos donde cambie de signo, la función g(x) = | f(x) | presentará puntos angulosos. Por
ejemplo: se considera la parábola 42
xf(x) con valor absoluto ||xg(x) 42
9. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 9 MATERIA: MATEMÁTICA I
- 2 2
-2 2
y = f(x) es una función derivable en R y cambia de signo en 2x , además:
xxf 2 42 f de donde se deduce que .4242
gg
3º) Hallar los puntos angulosos de la función f : R R /
2
4
1
201
0
2
xsix
xsi
xsie
xf
x
1
0 2
En x = 0: 001
1
lim
0
lim0
00
f
h
e
h
fhf
f
h
hh
En x = 2:
1
12
4
1
lim
22
lim202
2
00
h
h
h
fhf
ff
hh
10. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 10 MATERIA: MATEMÁTICA I
FUNCIÓN DERIVADA
Desde otro enfoque, ahora veremos la derivada como una función.
Si f : D R es una función derivable en un conjunto de puntos D’ D, definimos la
función:
f : D’ R /
h
xfhxf
xf
h
0
lim
Que llamaremos función derivada de y = f(x). Además, se puede definir así:
f : D’ R /
12
12
12
lim
xx
xfxf
xf
xx
EJERCICIO: Realice el cambio para llegar a esta nueva definición equivalente.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:
1°) f(x) = K (función constante)
0limlim
00
h
KK
h
xfhxf
xf
hh
2°) f(x) = x (función identidad)
11limlimlimlim
0000
hhhh h
h
h
xhx
h
xfhxf
xf
2°) f(x) = x2
(función cuadrática)
xxhx
h
h
h
xh
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhhh
hhhh
202lim2limlim
2
lim
2
lim
2
limlimlim
00
2
00
2
0
222
0
22
00
11. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 11 MATERIA: MATEMÁTICA I
TABLA DE DERIVADAS
FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA
1
y = k y ´ = 0
19 y =
v
u
y ´ = 2
v
'v·uv'·u
2
y = x y ´ = 1
20
y = u y ´ =
u·2
'u
3
y = n
x y ´ = 1n
x·n 21
y = 3 u y ´ =
3 2
u·3
'u
4
y = x
e y ´ = x
e
22
y = n u y ´ =
n 1n
u·n
'u
5
y = x
a y ´ = )a(L·ax 23
y = v
u y ´ = 'u·u·v'v)·u(L·u 1vv
6
y = L(x) y ´ =
x
1 24 y =
v
u
L y ´ =
v·u
'v·uv'·u
7 y = )x(logb y ´ =
)b(L·x
1 25
y = v
e·u y ´ = v
e·'v·u'u
8
y = sen(x) y ´ = cos(x)
26
y = )x(f 1 y ´ =
)x('f
1
9
y = cos(x) y ´ = - sen(x)
27
y = Arc sen(x) y ´ =
2
x1
1
10
y = tg(x)
y ´ = )x(tg1 2
=
)x(cos
1
2
=
)x(sec2
28
y = Arc cos(x) y ´ =
2
x1
1
11
y = cotg(x) y ´ = ))x(gcot1( 2
=
)x(sen
1
2
29
y = Arc tg(x) y ´ = 2
x1
1
12
y = f(g(x)) y ´ = f ´ (g(x))·g ´ (x)
30
y = Arc cotg(x) y ´ = 2
x1
1
13
y = n
))x(g( y ´ = )('·))(·( 1
xgxgn n 31
y = sh(x) y ´ = ch(x)
14
y = )x(g
e y ´ = g ‘(x)· )x(g
e
32
y = ch(x) y ´ = sh(x)
15
y = L(g(x)) y ´ = )x('g·
)x(g
1
)x(g
)x('g
33
y = th(x) y ´ =
)x(ch
1
)x(th1 2
2
16
y = k·u y ´ = k·u ´
34
y = Arg sh(x) y ´ =
1x
1
2
12. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 12 MATERIA: MATEMÁTICA I
17
y = u + v y ´= u´.v + u.v ´
35
y = Arg ch(x) y ´=
1x
1
2
18
y = u·v y ‘ = u‘· v + u · v ‘
36
y = Arg th(x) y ´ = 2
x1
1
ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS
a) PROPIEDAD HOMOGÉNEA: xuaxf xuaxf
DEMOSTRACIÓN:
xua
h
xuhxu
a
h
xuhxua
h
xuahxua
xf
hhh
000
limlimlim
b) PROPIEDAD ADITIVA (O TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA SUMA):
f(x) =u(x)+v(x) xvxuxf
DEMOSTRACIÓN:
h
xvhxvxuhxu
h
xvxuhxvhxu
(x)f
hh 00
limlim
xvxu
h
xvhxv
h
xuhxu
h
0
lim #
c) LINEALIDAD (O PROPIEDAD LINEAL):
xvbxuaxf xvbxuaxf
DEMOSTRACIÓN:
xvbxuaxvbxuaxvbxuaxf
)()(
21
En el paso (1) se utilizó la propiedad aditiva y en el (2) la propiedad homogénea.
d) DERIVADA DEL PRODUCTO:
)()()( xvxuxf xvxuxvxuxf
13. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 13 MATERIA: MATEMÁTICA I
DEMOSTRACIÓN:
h
xvxuhxvxuhxvxuhxvhxu
xf
h
xvxuhxvhxu
xf
h
h
0
0
lim
lim
h
xvhxv
xuhxv
h
xuhxu
xf
h
xvhxvxuhxvxuhxu
xf
hh
h
00
0
limlim
lim
xvxuxvxuxf #
e) DERIVADA DEL COCIENTE:
xv
xu
xf
2
xv
xvxuxvxu
xf
DEMOSTRACIÓN: Ejercicio.
EJERCICIOS:
1. Hallar las derivadas de las funciones:
a) xsenxxxf 3cos23
b) 4232 23
xxxxf
c) 0,62263 32
xxexsenxxf x
d) xsenxxf 3
e) xxsenxf cos2
f) xsenxxxxf 23
cos
g) xx
x
xxf cos
1
ln 2
h) Zn
n
xxtgxf
,
2
12
,
i)
365
13
23
2
xx
xx
xf
14. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 14 MATERIA: MATEMÁTICA I
j)
xx
xsenx
xf
cos
k) Znnxxctgxf ,,
l) xxf 2cos
2. Hallar la derivada por definición de:
a) 3
xxf b) xxf c) xxxf 23
3. Consideremos la función
1)(
8,8:
xxfx
Rf
calculemos los limites laterales
en .1x ¿Es derivable la función?
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
g g(a) f
a f(g(a))
f o g
Si suponemos que g es derivable en a y f es derivable en g(a), entonces f o g es derivable en
a y se verifica: )())(()( agagfagf
TEOREMA (REGLA DE LA CADENA): Si g es derivable en a y f es derivable en g(a),
entonces f g es derivable en a y aga·gfagf
DEMOSTRACIÓN:
h
agfhagf
h
agfhagf
agf
hh 00
limlim
h
aghag
·
k
agfkagf
h
aghag
·
aghag
agfhagf
hkh
00
1
0
limlimlim
agagf
15. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 15 MATERIA: MATEMÁTICA I
En el paso (1) se definió k = g(a+h) – g(a) g(a+h) = g(a) + k además como g es
derivable en a, también es continua en a k 0. También es necesario suponer que g es
inyectiva en un entorno de a y así se cumple que k = g(a+h) – g(a) 0 0h
EJEMPLO: Hallar la derivada de la función xxf cosln .
Solución: Notemos que es una composición de dos funciones xhgxf con la función
interna xxh cos y la función g dada por .ln xxg
Como la función h es derivable (Con xsenxh ), entonces podemos aplicar la regla
de la cadena y se cumple que: .xhxhgxf
Así,
xtg
x
xsen
xsen
x
xxxf
coscos
1
coscosln
EJERCICIO: Hallar la derivada de la función 2
xsen
exf .
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede
suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la
primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo
modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así
sucesivamente hasta la enésima derivada. En general, si ,Nn entonces n
f denota la
enésima derivada de la función f . n
f se calcula derivando a f, sucesivamente n veces.
NOTACIONES:
niv
n
n
x
n
xxxx
niv
yyyyy
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yDyDyDyDyD
xfxfxfxfxf
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
4
4
3
3
2
2
432
16. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 16 MATERIA: MATEMÁTICA I
EJEMPLOS: Obtenga la primera y la segunda derivada de la función .2 35
xxxxf
SOLUCIÓN: Justifica lo siguiente:
165132522 24243535
xxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxf 1222002645165165 3132424
EJERCICIOS: Obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.
1. xxxxf 52
2. 2
cos4 xxf
3. xxf 2
cos4
4. xtgxxf 22sec
5. Obtenga
12
3
4
4
xdx
d
DERIVADA IMPLICITA
Sea una función 2x4x3y 3
donde y es función de x. Esta ecuación se puede escribir
como yx4x32 3
e incluso como 4y2x8x6 3
. En este caso se puede decir
que y es una función implícita de x ya que está definida mediante una ecuación en donde y,
la variable dependiente, no es dada de manera directa.
EJEMPLO 1: La función 0x4xf3 2
está escrita de manera implícita para x, variable
independiente, y f(x), variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no implícita.
3
x4
xf
2
Muchas veces, al tener una ecuación escrita de manera implícita, ésta puede representar una
o más funciones.
EJEMPLO 2: Sea 6
3
y
xy
, escribir la ecuación de manera no implícita y determinar la
o las funciones que describe.
17. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 17 MATERIA: MATEMÁTICA I
0x3y18y
y18x3y
6
y3
x3y
2
2
2
Para poder despejar y como función de x, habría que resolver la fórmula general.
2
x1232418
2
x1232418
2
x1232418
y
12
x3141818
y
2
Este resultado implica que tenemos dos funciones de x descritas por la misma ecuación.
En muchos casos, no es sencillo o práctico el despejar y para encontrar la o las funciones
dadas, por lo tanto, y dado que las funciones existan y sean derivables, se puede resolver la
derivada sin necesidad de tener la función expresada en su forma clásica.
EJEMPLO 3: Sea la función 1x37xy2y3
, hallar la derivada
dx
dy
.
En éste ejemplo, se utilizará la notación
dx
dy
y ´ para simplificar el manejo de la ecuación,
así como acostumbrar al lector a diferentes formas de escritura.
Se busca la derivada de la expresión 1x37xy2y3
.
De la regla de la cadena, se sabe que
dx
du
dx
df
xuf
dx
d
, lo cual puede expresarse para
potencias como
dx
du
uxu
dx
d nn 1
.
Por lo tanto, ´3´ 233
yyyy
dx
d
.
En cuanto al segundo término, éste cuenta con un producto de dos funciones, por tanto:
´22´2´2´2 xyyxyxyxy .
Así, nos queda que:
18. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 18 MATERIA: MATEMÁTICA I
x2y3
y23
´y
y23x2y3´y
y23´xy2´yy3
3´xy2y2´yy3
2
2
2
2
EJEMPLO 4: Encontrar la derivada de y suponiendo que la ecuación
x3x53y2 332
describe una función derivable y que y=f(x).
22
2
222
222
332
3y2y12
3x15
´y
3x153y2´yy12
3x15´yy43y23
x3x53y2
OBSERVACIÓN:
Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en
lugar de la habitual.
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la
variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable
dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable
independiente: Dada una función yxF , , implícita, si queremos calcular la derivada de
y respecto de x: .xf
dx
dy
EJERCICIOS:
1. Obtener la derivada de: .12356 22232
yxxyyx
2. Dada ,122
yx demuestre que .
1
32
2
ydx
yd
SERIES DE TAYLOR Y DE MCLAURIN
Sea la fórmula de McLaurin:
xR+x
n!
0f
+...+
2!
x0f
+x0f+0f=xf 1+n
n
(n)2
19. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 19 MATERIA: MATEMÁTICA I
Siendo
x
!1+n
(z)f
=xR
1+n
1)+(n
1+n con 0 < z < x.
Es decir
xR+x
n!
0f
=xf 1+n
n
(n)n
0
.
Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión:
...+x
n!
0f
....++x
2!
0f
+x0f+0f=x
n!
(0)f n
(n)
2n
(n)
0
Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de
McLaurin y para ello deberá cumplirse que:
1) Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y
2) 0=(x)Rn
lím 1+n
.
EJEMPLO: Sea ,x
exf hallar la serie de MacLaurin.
SOLUCIÓN: Tenemos que:
,10,
,10,
,10,
,10,
0
0
0
0
efexf
efexf
efexf
efexf
nxn
x
x
x
Así.
x
2 3 n z n+1
e = 1+x+
x
2!
+
x
3!
+...+
x
n!
+
e x
(n+1)!
Veremos si 0=(x)Rn
lím 1+n
.
En efecto:
0=.0e=
1)!+(n
x
n
líme=
1)!+(n
xe
n
lím z
1+n
z
1+nz
20. TEMA IV: DERIVADA DE FUNCIONES
PROFESOR: JULIO BARRETO 20 MATERIA: MATEMÁTICA I
Y así
0=
1)!+(n
x
n
lím
1+n
.
Veamos las aproximaciones gráficamente:
EJERCICIO: Desarrollar en serie de potencias:
a) xsenxf
b) xxf cos
OBSERVACIÓN: Si f es par, entonces f(−x)=f(x) para todo x∈I. Derivando y usando la
regla de la cadena, f′(−x)(−1)=f′(x). Es decir, f′(−x)=−f′(x) para todo x∈I lo cual implica
que f′ es impar. Si f es impar, entonces f(−x)=−f(x) para todo x∈I. Derivando y usando la
regla de la cadena, f′(−x)(−1)=−f′(x). Es decir, f′(−x)=f′(x) para todo x∈I lo cual implica
que f′ es par. Lo anterior implica que si f es par, son impares las funciones
derivadas f(2n+1)
con lo cual f(2n+1)
(0)=0 y la serie de Maclaurin de f no hace intervenir más
que términos pares. Si f es impar, son impares las funciones derivadas f(2n)
con lo
cual f(2n)(
0)=0 y la serie de Maclaurin de f no hace intervenir más que términos impares.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
Orellana, M. y Marqués, L. (1998). Funciones y representaciones gráficas.
Matemática I (175-176-177). Estudios generales. Módulo II. UNA Caracas,
Venezuela.
Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"
Sir. Isaac Newton