SOLUCIONARIO AL +51 970302148

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 6 ÁREA DE MATEMÁTICAS
INGENIERÍA
3) Identifique los puntos 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4, 𝑃5 que se encuentra en la roseta polar:
4) Transforme los siguientes puntos a coordenadas polares, donde 𝜃𝜖[0,2𝜋]:
❖ (3,0)
❖ (-4,0)
❖ (2,2)
❖ (4,3)
❖ (𝟏, √𝟑)
5) Graficar las siguientes expresiones en el plano polar
a) 𝑟 =
4
3−2sen𝜃
b) 𝑟 =
1
1−cos 𝜃
c) 𝑟 =
2
1+2cos 𝜃
NIVEL 2: [Aplicación/análisis]
6) Relacione cada gráfico con su ecuación correspondiente:
𝑷𝟏 = ( , )
𝑷𝟐 = ( , )
𝑷𝟑 = ( , )
𝑷𝟒 = ( , )
𝑷𝟓 = ( , )

2. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 7 ÁREA DE MATEMÁTICAS
INGENIERÍA
ALTERNATIVAS:
𝐴) 𝜃 =
𝜋
3
𝐵) 𝑟 = 2
𝐶) 𝑟 = 𝑠𝑒𝑐 𝜃
7) Se tiene el gráfico de las ecuaciones polares 𝑟 = 4 y 𝑟 = 4 + 4cos (𝜃).
Se pide lo siguiente:
a) Sombree la región que se encuentra en el interior del cardioide

3. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 8 ÁREA DE MATEMÁTICAS
INGENIERÍA
𝑟 = 4 + 4cos (𝜃) y exterior a la circunferencia 𝑟 = 4.
b) Sombrear la región que se encuentra en el interior de la circunferencia 𝑟 = 4
y exterior al cardioide 𝑟 = 4 + 4cos (𝜃).
c) Exprese como conjunto por comprensión la región sombreada obtenida en la
parte a).
d) Exprese como conjunto por comprensión la región sombreada obtenida en la
parte b).
8) Sombree la región que represente al conjunto 𝐴. Donde:
𝐴 = {(𝒓, 𝜽)/𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝟑, −
𝝅
𝟒
≤ 𝜽 ≤
𝝅
𝟒
}
9) Exprese la región polar sombreada como conjunto, indicando las restricciones:

4. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 9 ÁREA DE MATEMÁTICAS
INGENIERÍA
𝑅 = {(𝑟, 𝜃): … … . ≤ 𝑟 ≤. . … . ., … . . ≤ 𝜃 ≤ ⋯ … … … }
10) En cada caso, determine la excentricidad 𝑒 de la conica dada. Después convierta
la ecuación polar en una ecuación rectangular y verifique que 𝑒 =
𝑐
𝑎
a) 𝑟 =
1
1++2sen𝜃
b) 𝑟 =
10
2−3cos 𝜃
c) 𝑟 =
12
3−2cos 𝜃
NIVEL 3: [Síntesis/evaluación]
11) Exprese la región polar sombreada como conjunto, indicando las restricciones:
𝑅 = {(𝑟, 𝜃): … … . ≤ 𝑟 ≤. . … . ., … . . ≤ 𝜃 ≤ ⋯ … … … }

5. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 10 ÁREA DE MATEMÁTICAS
INGENIERÍA
12) Sombree la región exterior al círculo con ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
= 8𝑥 e interior al
círculo con ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
= 12𝑥, limitada por las rectas 𝑦 = 𝑥; 𝑦 + √3𝑥 = 0.
Halle la región limitada en términos de las coordenadas polares.
13) Un ingeniero desea construir una piscina cuya forma es como la que se muestra en la
imagen en un lugar recreacional campestre en el siguiente verano. Entonces:

6. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 11 ÁREA DE MATEMÁTICAS
INGENIERÍA
a) ¿Qué clase de curva representa el contorno de la piscina
b) ¿Qué datos necesitamos para modelar matemáticamente la curva señalada?
c) ¿Cómo podríamos conseguir el área superficial interna de la piscina? ¿qué
elementos como datos necesitaría?
14) Recordemos que una sección cónica es el
conjunto de puntos 𝑃 en el plano para los
cuales la distancia del punto 𝑃 al Foco F
dividida entre la distancia del punto 𝑃 a la
directriz 𝐿 es una constante, es decir,
𝑑(𝑃; 𝐹)
𝑑(𝑃; 𝐿)
= 𝑒
𝑒 se denomina la excentricidad de la cónica. Se adjunta una interpretación gráfica
de la anterior ecuación.
a) la gráfica adjunta, verifique que se tiene la siguiente ecuación
𝑟 = 𝑒(𝑑 + 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃)
b) De la anterior ecuación, muestre que
𝑟 =
𝑒𝑑
1 − 𝑒 cos 𝜃
, compruebe que la ecuación equivalente a

7. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 12 ÁREA DE MATEMÁTICAS
INGENIERÍA
(1 − 𝑒2)𝑥2
− 2𝑒2
𝑑𝑥 + 𝑦2
= 𝑒2
𝑑2
c) De la anterior ecuación, muestre que:
• Si 𝑒 = 1, la cónica es una parábola
• Si 0 < 𝑒 < 1 la cónica es una elipse.
• Si 𝑒 > 1, la cónica es una hipérbola.
V. Referencia bibliográfica
VI. # CÓDIGO UPN CITA
1 516.3 OROZ
Orozco Mayren, Gilberto. (2007), Geometría Analítica: Teoría y
Aplicaciones. Editorial Trillas.
2 516.182 ESPI/E Espinoza, Ramos Eduardo (2004). Geometría Vectorial en R3
Enlaces web:
• https://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/conicas.pdf
• https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-3/las-conicas
• https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica
• https://matematica.laguia2000.com/general/las-conicas