s

1. 1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1) Se tiene un sector circular en el cual r, L, θ representan el radio, arco y número de radianes del
ángulo central, respectivamente. Se construye otro sector circular agregando “x” a cada una de
estas cantidades, obteniéndose r + x, L + x y θ + x respectivamente. El valor de “x” en función
de r y θ es:
a) 1 – θ – r b) 1 + θ – r c) 2 + θ – r d) 4+ θ – r e) 8 – θ – r
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 III
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 = 𝜃 𝑟 ….(1) y 𝐿 + 𝑥 = (𝜃 + 𝑥)(𝑟 + 𝑥) ……(2)
 Reemplazando 1 en 2 : 𝜃 𝑟 + 𝑥 = 𝜃 𝑟 + (𝜃 + 𝑟)x + 𝑥2
⇒ x = 1 − θ − r RESPUESTA A
2) El área de la región sombreada es
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑. Hallar el arco del sector BAE si ABCD es un rectángulo
A)
𝜋
5
B)
4𝜋
5
C)
5π
6
D)
7𝜋
15
E)
8𝜋
7
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 II
SOLUCIÓN
Recordar:
 El área del sector circular es: 𝑆 =
𝜃.𝑅2
2

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 2
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ACD : 𝑏2
− 𝑎2
= 22
= 4
 El área del trapecio circular es, la diferencia del sector mayor y el sector menor :
𝑆 =
𝜃(𝑏2−𝑎2)
2
; 𝑆 =
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 ⇒ 𝜃 =
𝜋
12
 Calculando x : 𝑥 =
5𝜋
12
. 2 ⇒ 𝑥 =
5𝜋
6
RESPUESTA C
3) En la figura, si PQ y QT son arcos de circunferencias cuyos centros son O y O’,
respectivamente, entonces la longitud de la curva PQT, es:
A) 8𝜋 𝑐𝑚 B) 4𝜋 𝑐𝑚 C) 7𝜋 𝑐𝑚 D) 6π cm E) 3𝜋 𝑐𝑚
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 I
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo

3. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
 Según los datos :𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2
 Reemplazando: 𝑥 = 12 ∗ 60º ∗
𝜋
180º
+ 10 ∗ 40 𝑔
∗
𝜋
200 𝑔 ⇒ 𝑥 = 6𝜋 𝑐𝑚 RESPUESTA D
4) En la figura , si los perímetros de los sectores circulares son equivalentes, entonces el valor de
“𝜃” es:
A)
(π−2)
2
B)
(𝜋−2)
3
C)
(𝜋−2)
5
D) (𝜋 − 2) E) 𝜋
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 III
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
 El perímetro es : 𝑃 = 2𝑅 + 𝐿
Resolviendo
 Según los datos :𝑃1 = 2𝑅 + 𝐿1 y 𝑃2 = 2(2𝑅) + 𝐿2
 Reemplazando: 2(2𝑅) + 2𝑅 ∗ 𝜃 = 2𝑅 + (𝜋 − 𝜃) ∗ 2𝑅
2𝑅 + 4𝑅𝜃 = 2𝜋𝑅 ⇒ 𝜃 =
𝜋−2
3
RESPUESTA B
5) En un círculo se inscribe un triángulo isósceles, el ángulo formado por los lados congruentes
mide 14º y la base intercepta un arco de longitud 66m. Calcular la longitud del radio de dicho
círculo. ( Considerar
7
22
 )
a) 140m b) 270m c) 40m d) 135m e) 120m
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 II
SOLUCIÓN

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Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 28º ∗
𝜋
180º
∗
22
7
∗
1
𝜋
∗ 𝑅 = 66 𝑚 ⇒ 𝑅 = 135 𝑚 RESPUESTA D
6) La figura adjunta es un semicírculo.
Hallar l 1 + l2 – l 3
A) m2
4
3
 B) m2
2
1
 C) m2
2
3
 D) m2
3
2
 E) m2
12
7

1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 II
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝜃 + 2𝜃 + 3𝜃 = 𝜋 ⇒ 𝜃 =
𝜋
6
 Reemplazando : 𝐿1 + 𝐿2 − 𝐿3 = 2𝜃𝜋 + 3𝜃𝜋 − 𝜃𝜋 ⇒ 𝐿1 + 𝐿2 − 𝐿3 =
2
3
𝜋2
RESPUESTA D
7) Si los sectores circulares AOB y COD , tiene igual área, además OA = 2; entonces el área de la
región sombreada es:

5. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
5 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
a) x – y b) 2( x - y ) c) 2( y - x ) d) 4 ( x – y ) e) 4( y - x)
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 I
SOLUCIÓN
Recordar:
 El área del sector circular es: 𝑆 =
𝜃.𝑅2
2
Resolviendo
 Según los datos, los sectores circulares AOB y COD , tiene igual área : 𝑆 =
𝑥∗22
2
 Reemplazando en el sector circular OBE: 𝑆 + 𝐴𝑠 =
𝑦∗22
2
⇒ 𝐴𝑠 = 2(𝑦 − 𝑥) RESPUESTA D
8) Calcule: 2 3
1
S S
M
S


Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas

S2
S1
S3
2 
A) 12
7
B)
13
2 C) 1
12
D) 5 + 2 E) 5  2
SOLUCIÓN
Resolviendo
 Según los datos 𝑀 =
𝑆2+𝑆3
𝑆1
=
3𝑘+10𝑘
2𝑘
⇒ 𝑀 =
13
2
RESPUESTA B
9) Del gráfico, determinar
NMP
BA
L
L


, Si AOB es sector circular.

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 6
A) ½ B) ¾ C) 2/3 D) ¼ E) 1
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 𝐴𝐵 = 3 ∗ 60º ∗
𝜋
180º
⇒ 𝐿 𝐴𝐵 = 𝜋
𝐿 𝑀𝑁𝑃 = 1 ∗ 240º ∗
𝜋
180º
⇒ 𝐿 𝑀𝑁𝑃 =
4𝜋
3
 Reemplazando :
NMP
BA
L
L


=
3
4
RESPUESTA B
10) Se tienen dos circunferencias concéntricas, en las que se inscribe un ángulo central
determinando longitudes de arco sobre dichas circunferencias de 80cm y 45cm respectivamente.
Calcule; siendo r y R los radios de las circunferencias (𝑟 < 𝑅)
A) 7 B)8 C) 9 D) 10 E) 11
SOLUCIÓN
r
F 16 2
R
 

7. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
7 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝜃 =
80
𝑅
=
45
𝑟
⇒
𝑟
𝑅
=
9
16
 Reemplazando : 𝐹 = 16 (
9
16
) − 2 = 7 RESPUESTA A
11) Se tiene un sector circular cuya longitud de arco es numéricamente igual a la mitad del
área de un cuadrado, cuyo lado es igual al radio del sector. ¿Cuánto mide la longitud de arco del
sector, si la medida del ángulo central expresado en radianes, toma su mayor valor entero posible?
A) 12 B) 24 C) 48 D) 72 E) 144
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 =
𝑅2
2
; 𝜃. 𝑅 =
𝑅2
2
⇒ 𝑅 = 2𝜃 y 𝐿 =
𝑅2
2
 Reemplazando : 𝐿 = 2𝜃2
, 𝐿 = 2 ∗ 62
⇒ 𝐿 = 72 RESPUESTA D
12) En la figura se muestran las A1, A2 y A3, que están en progresión aritmética, además
, y
Calcular:
A) ½ B) 2/3 C)2 D) 3 E) 3–1
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
EF
L a CD
L b AB
L c
2 2
2
b a
c

E
C
A
F
D
B
A1
A3

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 8
Resolviendo
 Según los datos : 𝑎 = 𝜃. 𝑘 ; 𝑏 = 𝜃. 2𝑘 ; 𝑏 = 𝜃. 3𝑘
 Reemplazando :
𝑏2−𝑎2
𝑐2 =
4( 𝜃𝑘)2−( 𝜃𝑘)2
9( 𝜃𝑘)2 ⇒
𝑏2−𝑎2
𝑐2 = 3−1 RESPUESTA E
13) Se tiene un triángulo equilátero de lado 9m. ubicado sobre una pista horizontal, si el
triángulo empieza a girar sin resbalar (ver gráfica) , hasta que el punto A vuelva a tocar el piso
otra vez; calcular el espacio recorrido por dicho punto.
a) 5 m b) 9 m c) 10 m d) 12 m e) 15 m
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿 2
 Reemplazando : 𝐿 =
2𝜋
3
∗ 9 +
2𝜋
3
∗ 9 ⇒ 𝐿 = 12𝜋 RESPUESTA D
14) Una bicicleta avanza barriendo la rueda mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué
ángulo habrá girado la rueda menor si la relación de sus radios es de 1 a 4.
a) 720º B) 1080º C)1440º D)450º E) 90º
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , además 𝐿 𝐴 = 𝐿 𝐵
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 = 360º ∗ 4 = 1 ∗ 𝑋
 Reemplazando : 𝑋 = 1440º RESPUESTA C

9. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
9 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
15) A partir del gráfico, calcular la longitud recorrida por la esferita, hasta impactar en CD. Si
AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.
a) 5 m b) 5/2  m c) 2 m d) 3/2 m e) 8 m
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , además 𝐿 𝐴 = 𝐿 𝐵
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3
 Reemplazando : 𝐿 =
𝜋
3
∗ 10 +
𝜋
6
∗ 6 +
𝜋
3
∗ 2 ⇒ 𝐿 = 5𝜋 𝑚 RESPUESTA A
16) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB,
entonces el perímetro de la región sombreada es:
a)  b)
3
11 c)
3
5 d)
3
7 e) 
SOLUCIÓN

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 10
Como las figuras son simétricas, el perímetro queda: 𝐿1 + 2𝐿2 = 3 (
𝜋
3
) + 2 (1 ∗
2𝜋
3
)
𝑃 =
7𝜋
3
RESPUESTA D
17) Hallar el área de la región sombreada si AOB y COD son sectores circulares, donde y
.
A) B)  C)  D)  E)
SOLUCIÓN
Recordar:
𝑆 =
𝜃𝑅2
2
Por Pitágoras: 𝑎2
− 𝑏2
= 3
Calculo del área sombreada: 𝑆 =
𝜃𝑎2
2
−
𝜃𝑏2
2
𝑆 =
𝜋(𝑎2
− 𝑏2)
9
∴ 𝑆 =
𝜋
3
RESPUESTA A
18) Calcule la altura en términos de R, a la que se encontrará el punto A de la rueda, cuando éste gire un
ángulo de 1305º, desplazándose sobre una pista horizontal.
2
9

 
BC 3m
O
A
C
B D


11. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
11 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Primero dividimos 1305° entre 360° , lo cual indica que da dos vueltas y queda como residuo 225° , por lo
tanto la altura seria : 𝐻 = 𝑅 +
𝑅√2
2
⇒ 𝐻 =
𝑅
2
(2 + √2)
RESPUESTA D
PROBLEMA DE REPASO
1) Determine el número de vueltas que da la rueda de ir de A hacia B. Si AC = CE = 9r/2 , R = 9r
A) 6 B) 5 C) 3 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN
Resolvemos 𝑁𝑉 =
𝐿 𝑐
2𝜋𝑟
=
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
2𝜋𝑟
⇒ 𝑁𝑉 =
9𝜋𝑟
2
+
𝜋𝑟
3
+
9𝜋𝑟
2
+
8𝜋𝑟
3
2𝜋𝑟
R
A
 2 1 R
1 2 2
R
2
 
  
 
1 2 2
R
2
 
  
 
2 2
R
2
 
  
 
2 2 1
R
2
  
  
 

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 12
∴ 𝑁 𝑉 = 6
RESPUESTA A
2) En el esquema mostrado se tiene que al hacer girar la faja, las ruedas A y C giran longitudes
que suman 28  . Determinar cuántas vueltas dará la rueda mayor.
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , además 𝐿 𝐴 = 𝐿 𝐵 ∧ 𝜃 𝐵 = 𝜃 𝐶
 𝑁𝑉 =
𝐿
2𝜋𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 𝐴 + 𝐿 𝐶 = 28𝜋
 Reemplazando : 5𝜃 + 2𝜃 = 28𝜋 ⇒ 𝜃 = 4𝜋
 Además 𝑁𝑉 =
5(4𝜋)
2𝜋∗5
⇒ 𝑁𝑉 =2 RESPUESTA C
3) El ángulo central que subtiende un arco de radio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulo hasta
que mida Sº, ¿Cuánto debe aumentar el radio para que la longitud de dicho arco no varíe? (S y C
son lo convencional)
A) 5 B) 15 C) 19 D) 23 E) 31
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , Sº=9k , Cº=(100/9)k
Resolviendo
 Según los datos : 81𝐶° = 𝐿 = (81 + 𝑥)𝑆º
 Reemplazando : 𝑋 = 19 RESPUESTA C
4) De la figura mostrada, determinar el número de vueltas que da una rueda de radio r para
recorrer el circuito MNP.
A)
r
rR
6
3
B)
r
rR
6
3
C)
r
rR
2
3 D)
r
rR
2
3  E)
r
rR
6
3 
SOLUCIÓN
𝑁 𝑉 =
𝐿1 + 𝐿2
2𝜋𝑟

13. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
13 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
𝑁 𝑉 =
( 𝑅 + 𝑟)
𝜋
3
+ ( 𝑅 − 𝑟)
2𝜋
3
2𝜋𝑟
⇒ 𝑁 𝑉 =
3𝑅 − 𝑟
6𝑟
RESPUESTA E
5) Determinar el valor de “L”
A) 3 B)6 C) 12 D) 15 E) 10
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del ángulo, es : 𝜃 =
𝐿1−𝐿2
𝑛
Resolviendo
 Según los datos :
𝐿−4
3
=
14−𝐿
2
 Reemplazando : 𝑋 = 10 RESPUESTA E
6) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la curva que une
los puntos D,E,F, y B, sabiendo que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.
A) 12cm B) 16 cm C)18cm D)24 cm E) 30 cm
SOLUCIÓN
Como el perímetro es 18 el lado del triángulo es 6cm.
𝐿 = (6 + 12 + 18 )(
2𝜋
3
) = 24𝜋 RESPUESTA D
7) Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de
vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , además 𝐿 𝐴 = 𝐿 𝐵
 Calculo del número de vueltas : 𝑁𝑉 =
𝐿
2𝜋𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 𝐴 = 𝐿 𝐵
 Reemplazando : 4𝜃 = 3 ∗ 8𝜋 → 𝜃 = 6𝜋

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 14
 Además 𝑁𝑉 =
4(6𝜋)
2𝜋∗4
⇒ 𝑁𝑉 =3 RESPUESTA B
8) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 = 3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran inicialmente al
mismo nivel y la rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la diferencia de alturas (h),
después de este giro (en u), es:
A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1
SOLUCIÓN
RESOLVIENDO:
 X = 1 rad. *2
 X = 2
 LAB = 4
 4 = 8* 
 
 y= 1/2 * 3
∴ 𝒙 + 𝒚 = 𝟑, 𝟓RESPUESTA D 
9) De la figura, calcular
2
1
S
S ; siendo S1: Área del sector AOB y S2: Área del sector COD.

15. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
15 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
a)
ba
a

b)
ba
a

c)
ba
a
2
d)
ba
a
2
e)
ba
a
2
SOLUCIÓN
Calculo de las áreas: 𝑆1 =
𝜃𝑎2
2
𝑆2 =
𝜃(𝑎−2𝑏)2
2
Calculamos: ∴ √
𝑆1
𝑆2
=
𝑎
𝑎−2𝑏
RESPUESTA C
10) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su
recorrido de A hasta B (R=7r).
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
SOLUCIÓN
𝑁𝑉 =
𝐿 𝑐
2𝜋𝑟
=
3𝜋
4
(8𝑟)
2𝜋𝑟
= 3
RESPUESTA B
11) Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7
veces y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u).
135º
R
R
A
B
r
r

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 16
A) 88 B) 92 C) 172 D) 168 E) 184
SOLUCIÓN
Recordar:
 La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅
Resolviendo
 Según los datos : 𝐿 = (2𝜋 ∗ 7 +
4𝜋
3
) ∗ 12
 Reemplazando : 𝐿 = 184 𝜋 RESPUESTA E
B
A
120º