SOLUCIONARIO AL +51 970302148

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
INGENIERÍA
TALLER N°5
UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA LINEAL
SESIÓN 5: SUBESPACIOS VECTORIALES. COMBINACIONES LINEALES Y BASES
GUÍA DE ESTUDIO
SUBESPACIO VECTORIAL
DEFINICIÓN: Sea 𝑉 un espacio vectorial real, un subconjunto 𝑆 ≠ ∅ de 𝑉 se llama subespacio vectorial
de 𝑉 si es un espacio vectorial con las mismas operaciones de 𝑉.
Se puede decir que el subespacio 𝑆 hereda las operaciones del espacio vectorial 𝑉.
TEOREMA 1: Sea 𝑉 un espacio vectorial y 𝑆 un subconjunto no vacío de V, decimos que 𝑆 es un subespacio
vectorial de 𝑉 si cumple las dos reglas de cerradura, es decir
i) Si 𝑎 ∈ 𝑆, 𝑏 ∈ 𝑆 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑆.
ii) Si 𝜆 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, 𝑎 ∈ 𝑆, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝜆𝑎 ∈ 𝑆.
TEOREMA 2: Sean 𝑆 𝑦 𝑊 dos subespacios de un espacio vectorial 𝑉. Entonces 𝑆 ∩ 𝑊 es un subespacio
de 𝑉.
Ejemplo.
Sea V un espacio vectorial con vector nulo 0. Entonces 𝑊 = {0} es un subespacio de V, llamado
subespacio trivial.
Ejemplo.
Considere 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
: 𝑦 = 3𝑥 } un subconjunto del espacio ℝ2
. Justifique que S es un subespacio
vectorial de ℝ2
.
En efecto. Es claro que S es un conjunto no vacío, ya que (1,3) ∈ 𝑆.
(i) Sean (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆, (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆, luego
{
𝑦 = 3𝑥
𝑏 = 3𝑎
Por lo tanto, tenemos 𝑦 + 𝑏 = 3(𝑥 + 𝑎), es decir (𝑥, 𝑦) + (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆.
(ii) Sean 𝑣 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 , 𝜆 ∈ ℝ , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑦 = 3𝑥, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 (𝜆 𝑦) = 3(𝜆 𝑥) entonces
𝜆 𝑣 ∈ 𝑆.
Ejemplo.
Sea 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0} un conjunto. Justifique que S es un subespacio de ℝ3.

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INGENIERÍA
Veamos, es claro que S es un conjunto no vacío.
(i) Sean 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑢 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑆 dos elementos de S, luego
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 , 2𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 0
Luego tenemos
2(𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏) − (𝑧 + 𝑐) = 0
Con lo cual tenemos
𝑣 + 𝑢 ∈ 𝑆.
(ii) Sean 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆, 𝑘 ∈ ℝ, luego tenemos
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
Entonces se tiene 2(𝑘𝑥) + (𝑘𝑦) − (𝑘𝑧) = 0
Por lo tanto 𝑘𝑣 ∈ 𝑆.
Ejemplo.
Considere 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6} la cual no es un subespacio de ℝ3, ya que no tiene
verifica la clausura, es decir: 𝑣 = (3,0,0) ∈ 𝑊, 𝑢 = (1,2,2) ∈ 𝑊, pero
𝑣 + 𝑢 = (4,2,2) ∉ 𝑊.
Debe notar que es un plano que no pasa por el origen.
Ejemplo.
De manera similar el conjunto siguiente no es un subespacio de ℝ3
, ya que es un plano que no pasa por el
origen del sistema
𝑃 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
: 2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 + 3 = 0}
Ejemplo.
Sean los vectores 𝑣 = (2,3,5) 𝑦 𝑢 = (0,1, −1) fijos. Considere el siguiente conjunto
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
∶ 𝑡𝑣 + 𝑘𝑢, 𝑡, 𝑘 ∈ ℝ }
Compruebe que W es un Subespacio de ℝ3
.
En primer lugar tenemos que W es un conjunto no vacío.
(i) Sean 𝑤1 = 𝑡𝑣 + 𝑘𝑢, 𝑤2 = 𝑎𝑣 + 𝑏𝑢 ∈ 𝑊, luego tenemos
𝑤1 + 𝑤2 = (𝑡 + 𝑎)𝑣 + (𝑘 + 𝑏)𝑢 ∈ 𝑊 .

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INGENIERÍA
(ii) Sean 𝑤1 = 𝑡𝑣 + 𝑘𝑢 ∈ 𝑊, 𝜆 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, luego tenemos
𝜆 𝑤1 = 𝜆 (𝑡𝑣 + 𝑘𝑢) = (𝜆𝑡)𝑣 + (𝜆𝑘)𝑢 ∈ 𝑊 .
Con todo lo anterior comprobamos que W es un Subespacio vectorial de ℝ^3.
Ejemplo.
El conjunto de matrices 𝑀 = { (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
): 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 ∈ ℝ} juntamente con las operaciones básicas de adición
de matrices y de multiplicación por un escalar, es un espacio vectorial real, recordar que
(
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
) + (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏
𝑧 + 𝑐 𝑤 + 𝑑
)
𝜆 (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
) = (
𝜆𝑥 𝜆𝑦
𝜆𝑧 𝜆𝑤
).
Ejemplo.
Sea 𝑉 = {(
𝑥 𝑥
𝑥 0
) : 𝑥 ∈ ℝ} un subconjunto del espacio M. Compruebe que V es un Subespacio de M.
En primer lugar se comprueba que V es no vacío.
(i) Sean 𝐴 = (
𝑥 𝑥
𝑥 0
) , 𝐵 = (
𝑎 𝑎
𝑎 0
) ∈ 𝑀, luego operando tenemos
𝐴 + 𝐵 = (
𝑥 𝑥
𝑥 0
) + (
𝑎 𝑎
𝑎 0
) = (
𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎
𝑥 + 𝑎 0
) ∈ 𝑉.
(ii) Sean 𝐴 = (
𝑥 𝑥
𝑥 0
) ∈ 𝑉, 𝜆 ∈ ℝ, entonces operando
𝜆 𝐴 = (
𝜆𝑥 𝜆 𝑥
𝜆 𝑥 0
) ∈ 𝑉.
Concluimos por definición, que V es un Subespacio vectorial de M.
Ejemplo.
El conjunto 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
∶ 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1 } no es un subespacio vectorial de ℝ2
. Este conjunto en el
círculo de radio 1, y no es espacio vectorial, ya que 𝑣 = (1,0) ∈ 𝑊, 𝑝𝑒𝑟𝑜 2𝑣 = 2(1,0) = (2,0) ∉ 𝑊.
Ejemplo.
Considere el conjunto 𝑊 = {(𝑥. 𝑦) ∈ ℝ2
: 𝑥2
+ 𝑦2
≥ 1}. Justifique que W no es un subespacio vectorial
ℝ2
.
COMBINACIÓN LINEAL
Sean 𝑣1, … , 𝑣𝑛, vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛
donde 𝑎1, … , 𝑎𝑛 son escalares se denomina una combinación lineal de 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛.

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CONJUNTO GENERADOR
Se dice que los vectores 𝑣1, 𝑣2, , … , 𝑣𝑛 de un espacio vectorial V genera a V si todo vector de V se
puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo 𝑣 ∈ 𝑉 existen
escalares 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 tales que
𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑣𝑛
ESPACIO GENERADO POR VECTORES
Sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 k vectores en V. El espacio generado por dichos vectores es el conjunto de
todas las combinaciones lineales de ellas. Es decir
𝑔𝑒𝑛{𝑣1, 𝑣2, … . , 𝑣𝑘} = {𝑣 ∈ 𝑉: 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ⋯ 𝑎𝑘𝑣𝑘}
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

5. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
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INGENIERÍA
BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL

6. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
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INGENIERÍA
HOJA DE PROBLEMAS
NIVEL I
CONOCIMIENTO / COMPRENSIÓN
1. Determine la verdad o falsedad de las siguientes expresiones
(i) Toda recta en el plano es un subespacio de ella.
(ii) Una circunferencia en el plano R2, no es un subespacio de R2.
(iii) La resta de dos vectores en un subespacio, tiene que estar en dicho subespacio.
2. Identifique cuál de los siguientes conjuntos, dados gráficamente, son subespacios vectoriales del
espacio respectivo:
I II III
IV V VI

7. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
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NIVEL II
APLICACIÓN / ANÁLISIS
3. Determine si el conjunto 𝑉 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ ∶ 𝑦 = 5𝑥} es un subespacio vectorial de ℝ2
.
4. Dada el conjunto 𝐿 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
: 𝑦 = 2𝑥 − 1 } , ¿el conjunto L es un subespacio vectorial de ℝ2
?
5. Considere S el subconjunto de las matrices de orden 2 definidos por medio de
𝑆 = {(
𝑥 0
−4𝑥 3𝑥
) : 𝑥 ∈ ℝ }.
Justifique de S es un subespacio del espacio de matrices de orden 2.
6. Considere S el subconjunto de las matrices de orden 2 definidos por medio de
𝑆 = {(
𝑎 0
7𝑏 𝑎 + 𝑏
) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ }.
Justifique que S es un subespacio del espacio de matrices de orden 2.
7. Considere el siguiente conjunto 𝐻 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
∶ −𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 0 }. Compruebe que H es un
subespacio de ℝ3
.
8. Se tiene dos subespacios de ℝ3
definidos por 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
: 4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0 } y
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
∶ 5𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0}. Determine el subespacio intersección en su forma simétrica,
es decir 𝑊 ∩ 𝑉.
9. Determine cual de los conjuntos siguientes es un subespacio
a) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
: 𝑥 = 1}
b) {[
𝑎 2𝑎
𝑏 2𝑏
] ∈ 𝑀2: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅}
c) {𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ∈ 𝑃2 ∶ 2𝑎 + 𝑏 = 4𝑐}

8. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
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NIVEL III
SÍNTESIS / EVALUACIÓN
10. Se tiene un techo plano que pasa por los puntos en coordenadas
𝐴(1, 2, 3), 𝐵(3, 2, 1)𝑦 𝐶(1,0 ,0)
¿dicho plano es un subespacio vectorial?
11. Un arquitecto al diseñar sus planos y maquetas para la nueva edificación de una vivienda, tiene
que unir tres puntos para generar una plataforma plana, dichos puntos son
𝐴(1,2,3), 𝐵(−4, −3,1) 𝑦 𝐶(−2,3,7)
(i) Determine la ecuación de dicha
plataforma plana en su forma
general.
(ii) ¿Dicha plataforma plana
corresponde a un subespacio de
ℝ3
?
12. Un arquitecto al diseñar sus maquetas para la edificación de un centro comercial, tiene que
unir tres puntos para generar una plataforma plana, dichos puntos son
𝐴(1,1,1), 𝐵(7,0,1) 𝑦 𝐶(0,3,2)
(i) Determine la ecuación de dicha plataforma plana en su forma general.
(ii) ¿Dicha plataforma plana corresponde a un subespacio de ℝ3
?
13. Se quiere reforzar un puente colgante, para ello el ingeniero analiza la situación y concluye
que se requiere dos cables reforzados en la dirección de los vectores 𝑣 = (6,5,2) 𝑦 𝑢 =
(1,5,1), las cuales se cortan en el punto 𝑃0 = (1,4,1).

9. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
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INGENIERÍA
(i) Calcule la ecuación general
del plano que forman ambos
cables reforzados.
(ii) ¿El plano determinado por
dichos cables constituye un
subespacio de ℝ3
?
14. Se quiere reforzar la pared de un colegio en Puente piedra, para ello el ingeniero recomienda
colocar dos varillas sujetas al techo. Las direcciones de dichas varillas están dadas por los
vectores directores siguientes 𝑣 = (1,3,2) 𝑦 𝑢 = (5,4,1). Las varillas se sueldan en el punto
𝑃0 = (1,1,3).
(i) Calcule la ecuación general del plano que forman ambos cables reforzados.
(ii) ¿El plano determinado por dichos cables constituye un subespacio de ℝ3
?
15. ¿Recuerda siempre que deberías estar atento a
los asteroides y a los movimientos que se
producen en el Universo? De esta idea se ha
establecido una base del espacio vectorial para
el Sistema Solar basándose en las posiciones
del Sol, Saturno y Urano, obteniendo
respectivamente los vectores 𝑢
⃗ = (1, 2, 0)
(vector Tierra-Sol), 𝑣 = (1, 0, 1) (Vector Tierra-Saturno) y 𝑤
⃗⃗ = (2, 2, 5) (vector Tierra-
Urano). Comprueba si son una base para el espacio de tres dimensiones.
También se sabe que el vector que determina la posición de Plutón (vector Tierra-Plutón) es
𝑚
⃗⃗ = (6, 6, 7), pero hay que expresarlo como una combinación lineal de la base anterior, es decir:
𝑚
⃗⃗ = 𝑎 𝑢
⃗ + 𝑏 𝑣 + 𝑐 𝑤
⃗⃗ . Ahora responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Los tres primeros vectores forman una base para el espacio ℝ3
b) Determinar el valor de “2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 “

10. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
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INGENIERÍA
16. Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma (a − 3b, b − a, a, b), donde a y b son escalares
arbitrarios. Esto es, sea H = {(a − 3b, b − a, a, b) / a y b en R}. Demuestre que H es un subespacio
de R4
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
N° CITA
1 Grossman, Stanley. Algebra Lineal.
2 Poole, David. Algebra lineal: una introducción moderna.
3 Antón, Howard. Introducción al algebra lineal.