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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS (1).pptx
- 1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO
- 2. DEFINICIÓN Las identidades trigonométricasson relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular. DEFINICIÓN 𝑡𝑔 𝛼 + cotg 𝛼 = sec 𝛼 ∙ cos𝑒𝑐 𝛼 PROF. MANUEL MARTIN PAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO
- 3. DEFINICIÓN Es una identidadtrigonométrica cuya variable angular es “𝛼”. • Comprobamos para algunos valores de “𝛼”: i. Si 𝛼 = 45° 𝑡𝑔 45° + cot𝑔 45° = sec 45° ∙ cos𝑒𝑐 45° 1 + 1 = 2 ∙ 2 2 = 2 (se verifica) PROF. MANUEL MARTIN PAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO
- 4. DEFINICIÓN • Luego, concluiremosque la identidad dada se verifica si y solo si 𝛼 ≠ 90° n; n ∈ ℤ i. La igualdad: (x – 3) (x + 3) = 0, es cierta y solamente si, cuando: ó Este tipo de igualdad se denomina Ecuaciones Condicionales ii. En cambio la igualdad: (x + 3) (x – 3) ≡ x2 – 9, se cumple para todo valor de “x”. Este tipo de igualdad se denomina Identidades iii. Para indicar una identidad usaremos el símbolo “≡” que se lee: idéntico a iv. Recuerde que no existe la división entre cero porque toda expresión matemática entre cero no existe (∄) X = 3 PROF. MANUEL MARTIN PAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO x= -3
- 5. IDENTIDADES FUNDAMENTALES IDENTIDADES Para obtenerdichas identidades, hacemos uso de la circunferencia trigonométrica: Identidades recíprocas PROF. MANUEL MARTIN PAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO • En el ⊿OMP: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 1 ; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∙ cos𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1 Donde: I. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ≡ 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 II. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ;
- 6. IDENTIDADES PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO • En el ⊿OMP: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑎 1 ; 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ s𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1 Donde: I. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ≡ 1 𝑠𝑒𝑐 𝛼 II. 𝑠𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ; • En el ⊿OMP: 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑏 𝑎 ; 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑎 𝑏 𝑡𝑔 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ≡ 1 Donde: I. 𝑡𝑔 𝛼 ≡ 1 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 II. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ≡ 1 𝑇𝑔 𝛼 ;
- 7. IDENTIDADES Identidades por división PROF.MANUEL MARTIN PAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO • En el ⊿OMP: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 1 ; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ≡ 𝑡𝑔 𝛼 Ahora, tomamos la inversa a cada miembro de esta última expresión, obteniendo: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ≡ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼
- 8. IDENTIDADES Identidades pitagóricas PROF. MANUELMARTIN PAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO • En el ⊿OMP por el teorema de Pitágoras: 1 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 Dividimos entre "𝑐𝑜𝑠2 𝛼" a ambos miembros de la expresión: 1 ≡ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 ; • Por razones trigonométricas en el ⊿OMP, obtenemos: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑎 • Reemplazamos los valores de (ϕ) en (w): 𝑠𝑒𝑐2 𝛼 ≡ 𝑡𝑔2 𝛼 + 1 De igual manera, dividimos a ambos miembros de la expresión entre "𝑠𝑒𝑛2 𝛼" : 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝛼 ≡ 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝛼
- 9. RESUMEN Identidades recíprocas PROF. MANUELMARTIN PAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO RESUMEN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∙ cos𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ s𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1 𝑡𝑔 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ≡ 1 Identidades por división 𝑡𝑔 𝛼 ≡ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ≡ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 Identidades pitagóricas 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 1 + 𝑡𝑔2 𝛼 ≡ 𝑠𝑒𝑐2 𝛼
- 10. IDENTIDADES AUXILIARES IDENTIDADES AUXILIALES PROF.MANUEL MARTIN PAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO I. 𝑠𝑒𝑛4 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠4 𝛼 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 II. 𝑠𝑒𝑛6 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠6 𝛼 = 1 − 3 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 IV. 𝑠𝑒𝑐2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝛼 III. 𝑡𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 V. (1 ± 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ± 𝑐𝑜𝑠 𝛼)2 = (1 ± 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(1 ± 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
- 11. EJERCICIOS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO TIPOS DE EJERCICIOS Ejercicio tipo demostración 1. Demuestre: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 Demostración: • Expresamos el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno, entonces: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 • Simplificando tenemos: 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 L.q.q.d:
- 12. EJERCICIOS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO 2. Demuestre: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑡 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 Demostración: • Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno, tenemos: • Pero: 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ; luego: 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 L.q.q.d: 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
- 13. EJERCICIOS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO Ejercicio tipo simplificación 1. Simplifica: 𝐸 = 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 Resolución: • Operando la expresión dada: 𝐸 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 ∴ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃) 𝐸 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝜃
- 14. EJERCICIOS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO 2. Simplifica 𝑃 = 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐4 𝜃 − 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐4 𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃 Resolución: • Trabajando en el numerador: • Pero: 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑃 = 2 ∴ 𝑃 = (𝑠𝑒𝑐2 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃) − 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐4 𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑃 = 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 + 2𝑠𝑒𝑐2 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐4 𝜃 − 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐4 𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑃 = (𝑠𝑒𝑐2 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃)2 − 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐4 𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑃 = 2𝑠𝑒𝑐2 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃
- 15. EJERCICIOS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO Ejercicio tipo codicional 1. Si: 𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛼 = 𝛼, halla 𝐸 = 𝑠𝑒𝑐 𝛼 − 𝑡𝑔 𝛼 Resolución: • Ordenando y trabajando con la condición y la expresión a calcular tenemos: 𝐸 = 1 𝑎 ∴ 𝐸 = 𝑠𝑒𝑐 𝛼 − 𝑡𝑔 𝛼 a = 𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛼 𝐸 ∙ 𝑎 = (𝑠𝑒𝑐 𝛼 − 𝑡𝑔 𝛼)(𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛼) 𝐸 ∙ 𝑎 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼 − 𝑡𝑔2 𝛼 𝐸 ∙ 𝑎 = 1
- 16. EJERCICIOS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO 2. Si Resolución: • Elevando al cuadrado ambos miembros de la condición, tenemos: M= 14 ∴ 𝑡𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 4, halla 𝑀 = 𝑡𝑔2𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝛼 (𝑡𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼)2 = 4 2 𝑡𝑔2𝛼 + 2𝑡𝑔 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∙ 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝛼 = 16 𝑡𝑔2𝛼 + 2 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝛼 = 16 𝑡𝑔2𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝛼 = 14
- 17. EJERCICIOS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO Ejercicios tipo eliminación angular 1. Elimina “𝛼” de: sean (1) 𝛼 + 1 = 𝑎 y (2) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 + 1 = 𝑏 Resolución: • Trabajando las expresiones (1) y (2) tenemos: 𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑏 ∴ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑎 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑏 − 1 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = (𝑎 − 1)(𝑏 − 1) 1 = 𝑎𝑏 − 𝑎 − 𝑏 + 1
- 18. EJERCICIOS PROF. MANUEL MARTINPAUCA I.E. SANTA ROSA DE VITERBO Resolución: • Elevando al cuadrado las expresiones (1) y (2): 1 = 𝑏 − 𝑎 ∴ (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃)2 = ( 𝑎 + 1)2 2. Elimina “𝜃” de: (1) cotgθ = 𝑎 + 1 y (2) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 = 𝑏 + 1 (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃)2 = ( 𝑏 + 1)2 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑎 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 = 𝑏 + 1 • Restando miembro a miembro las expresiones: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 = 𝑏 + 1 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑎 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑏 + 1 − 𝑎 − 1