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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Prof. Saúl QUISPE CHINO
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei
Identidades Trigonométricas
DEFINICIÓN: Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.
Demostración de una identidad: Teniendo que Tg x + Ctg x = Sec x . Cosec x Comprobamos que: Si  x = 45º     Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º 1  +  1  =  √2  . √2
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RECÍPROCAS: Sen x =  1  Cosec x =  1  . Cosec  x  Sen x Cos x =  1  .   Sec x =   1  . Sec x  Cos  x Tg x =  1  .   Ctg x =   1  . Ctg x  Tg  x
          sen x  tan x = --------              csc x              cos x ctg x = -------             sen x                cos x  sen x = --------               ctg x              sen x  cos x = ------              tan x  POR COCIENTE:
Pitagóricas sen² x + cos² x = 1 sec² x - tan² x = 1 csc² x - ctg² x = 1
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Demostración: 1. Demostrar que: Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X Solución: Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos: 1  .  –  Cos x  . Cos x = Sen x Sen x  Sen x 1  .  –  Cos ²  x   = Sen x Sen x  Sen x 1 – Cos  ² x   = Sen x Sen x Pero  1- Cos² x = Sen ² x ;  Luego  Sen² x  = Sen x Sen x L.q.q.d  Sen x = Sen x
Simplificación Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas.  Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x Cos x  .  Sen x  + 1 Cos x Cos x . Sen x  + Cos x  Cos x Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
Tipo Condicional Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida. Si Tg x + Ctg x = 4 ¿Tg ²  x + Ctg ²  x ? Solución: (Tg x + Ctg x)  ²  = (4)  ² Tg ²  x + 2Tg x . Ctg x + Ctg ²  x = 16 Tg ²  x + Ctg ²  x = 16 – 2 Tg ²  x + Ctg ²  x = 14
Eliminación Angular Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. ß  de: x = 4 Sen ß   y = 5 Cos ß   x = 4Cos ß   x/4 = Senß  x²/16  =  Sen²ß y= 5Cosß  y/5 = Cscß  y²/25  =  Cos²ß X²/16  +  y²/25 =  Sen²ß + Cos²ß X²/16 + y²/25 = 1
 

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  • 2. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei
  • 4. DEFINICIÓN: Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.
  • 5. Demostración de una identidad: Teniendo que Tg x + Ctg x = Sec x . Cosec x Comprobamos que: Si x = 45º  Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º 1 + 1 = √2 . √2
  • 7. RECÍPROCAS: Sen x = 1 Cosec x = 1 . Cosec x Sen x Cos x = 1 . Sec x = 1 . Sec x Cos x Tg x = 1 . Ctg x = 1 . Ctg x Tg x
  • 8.           sen x tan x = --------              csc x             cos x ctg x = -------             sen x             cos x sen x = --------               ctg x              sen x cos x = ------              tan x POR COCIENTE:
  • 9. Pitagóricas sen² x + cos² x = 1 sec² x - tan² x = 1 csc² x - ctg² x = 1
  • 10. Ejercicios con Identidades Trigonométricas
  • 11. Demostración: 1. Demostrar que: Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X Solución: Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos: 1 . – Cos x . Cos x = Sen x Sen x Sen x 1 . – Cos ² x = Sen x Sen x Sen x 1 – Cos ² x = Sen x Sen x Pero 1- Cos² x = Sen ² x ; Luego Sen² x = Sen x Sen x L.q.q.d Sen x = Sen x
  • 12. Simplificación Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas. Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x Cos x . Sen x + 1 Cos x Cos x . Sen x + Cos x Cos x Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
  • 13. Tipo Condicional Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida. Si Tg x + Ctg x = 4 ¿Tg ² x + Ctg ² x ? Solución: (Tg x + Ctg x) ² = (4) ² Tg ² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg ² x = 16 Tg ² x + Ctg ² x = 16 – 2 Tg ² x + Ctg ² x = 14
  • 14. Eliminación Angular Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. ß de: x = 4 Sen ß y = 5 Cos ß x = 4Cos ß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ß y= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß X²/16 + y²/25 = 1
  • 15.