El documento resume conceptos básicos de trigonometría como identidades trigonométricas, tipos de identidades, ecuaciones trigonométricas y cómo resolverlas. Explica que las identidades son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor angular. También define ecuaciones trigonométricas como igualdades entre expresiones trigonométricas cuya solución son valores angulares, y distingue entre ecuaciones elementales y no elementales.

1. El maravilloso mundo de Trigonometría

2. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei

3. Identidades Trigonométricas

4. Definición: Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.

5. Demostración de una identidad: Teniendo que Tg x + Ctg x = Sec x . Cosec x Comprobamos que: Si x=45º  Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º 1 + 1 = √2 . √2

6. Tipos de Identidades

7. Recíprocas: Sen x = 1 . Cosec x = 1 . Cosec x Sen x Cos x = 1 . Sec x = 1 . Sec x Cos x Tg x = 1 . Ctg x = 1 . Ctg x Tg x

8. sen x tan x = -------- csc x cos x ctg x = ------- sen x cos x sen x = -------- ctg x sen x cos x = ------ tan x Por cociente

9. Pitagóricas sen² x + cos² x = 1 sec² x - tan² x = 1 csc² x - ctg² x = 1

10. Ejercicios con Identidades Trigonométricas

11. Demostración: Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos: Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X 1 . – Cos x . Cos x = Sen x Sen x Sen x 1 . – Cos ² x = Sen x Sen x Sen x 1 – Cos ² x = Sen x Sen x Pero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x Sen x L.q.q.d Sen x = Sen x

12. Simplificación Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones algebraicas. Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x Cos x . Sen x + 1 Cos x Cos x . Sen x + Cos x Cos x Sen x + Cos x = Sen x + Cos x

13. Tipo Condicional Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida. Si Tg x + Ctg x = 4 ¿Tg ² x + Ctg ² x ? Solución: (Tg x + Ctg x) ² = (4) ² Tg ² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg ² x = 16 Tg ² x + Ctg ² x = 16 – 2 Tg ² x + Ctg ² x = 14

14. Eliminación Angular Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. ß de: x = 4 Sen ß y = 5 Cos ß x = 4Cos ß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ß y= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß X²/16 + y²/25 = 1

15. "Ecuaciones Trigonométricas"

16. Definición: Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre ecuaciones trigonométricas de una misma variable angular o variables angulares diferentes, la cual se verifica para un conjunto de valores que asumen dichas variables angulares, que constituyen el conjunto solución de la ecuación trigonométrica. Para que una igualdad sea una ecuación trigonométrica, las variables angulares deben estar afectadas por funciones trigonométricas (directas o inversas), de lo contrario no son consideradas ecuaciones trigonométricas.

17. Ejemplo: Sen 2x + Cos x = 0  sí es E.T. 2x + 3 Tan x = √2  no es E.T. Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1  sí es E.T.

18. Soluciones Generales: Para Sen y Cosc: n Л + (-1) V.P. k Para Cos y Sec: 2n Л + - V.P k Para Tag y Cotg: m Л + V.P. k

19. "Tipos de Ecuaciones Trigonométricas"

20. Elementales

21. Son aquellas igualdades de 2 expresiones trigonométricas en donde no se utilizaran identidades trigonométricas. Son aquellas que presentan la siguiente forma: Donde: K Є R – {0} ; a Є R F.T. (Kx) = a

22. Ejemplo: Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg 3x – 1 = 0 Resolución: Resolviendo la ecuación tenemos: Cotg 3 X -1 = 0  Cotg 3x = 1 Hallando la soluciones generales para la cotangente: x = n Л + arc Cotg (1) 3 x = n Л + Л ; o también; 3 12 x = 60° n + 15° Solución General

23. Luego (n Є Z) n = 0  x = 60° (0) + 15° = 15° n = 1  x = 60° (1) + 15° = 75° n = 2  x = 60° (2) + 15° = 135° C.S = { 15° ; 75° ; 135°}

24. No Elementales

25. Son aquellas ecuaciones que para ser resueltas se aplicarán propiedades algebraicas y propiedades trigonométricas que nos permitan su resolución.

26. Ejemplo: Hallar el menor valor positivo de “x” en: 4 Sen x Cos x – 1 = 0 Resolución: Recordemos que: En la ecuación tenemos: 2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0 2 Sen 2x – 1 = 0 Sen 2x = 1 2 2x = {30º ; 150º ; 390º ; …} x = {15º ; 75º ; 195º ; …} Solución principal Sen 2 x = 2 Sen x Cos x x = 15º

27. Recomendaciones Generales para resolver una E.T. Toda ecuación debe tratar de expresarse en términos de una sola función y de un solo ángulo, de manera que dicha función se calcule mediante un proceso algebraico. Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se debe dividir entre el Cos elevado al grado de homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación en la función Tag únicamente.

28. “ La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles” Gracias

29. Integrantes : Ana María Guerrero Diana Rodríguez Vannia Rivera Estefanía Rengifo Solandge Fanton Sandra Saavedra