Este documento presenta un resumen de las identidades trigonométricas fundamentales. Explica que una identidad trigonométrica es una igualdad que involucra expresiones trigonométricas y es válida para cualquier valor de la variable. Luego, describe las tres categorías principales de identidades: pitagóricas, por cociente y recíprocas. Finalmente, incluye ejemplos de cómo demostrar, reducir y simplificar expresiones utilizando estas identidades.

1. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS LUIS ENRIQUE JACINTO SIFUENTES
INSTITUCION EDUCATIVA PARTICULAR PARROQUIAL
“SANTA ROSA DE LIMA”
Promovida por la Diócesis de Chimbote
Dirigida por la Congregación Canonesas de la Cruz
DÉCIMAQUINTA PRÁCTICA DE CLASE DE TRIGONOMETRÍA
Tema: Identidades Trigonométricas
Apellidos y Nombres:…………………………………………………………… Grado: 5to Sección: A – B – C
Profesor: Luis Enrique Jacinto Sifuentes Bimestre: III
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
Una identidad trigonométrica es una igualdad
que contiene expresiones trigonométricas que
se cumplen para todo valor admisible de la
variable.
Ejemplos
Identidad Algebraica: (a+b)² = a² + 2ab + b²
Identidad Trigonométrica: Sen²θ + Cos²θ = 1
Ecuación Trigonométrica: Senθ + Cosθ = 1
Para: θ = 90º Cumple
Para: θ = 30º No cumple
2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Las identidades trigonométricas fundamentales
sirven de base para la demostración de otras
identidades más complejas.
Se clasifican:
• Pitagóricas
• Por cociente
• Recíprocas
2.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS
1. Sen²θ + Cos²θ = 1
2. 1 + Tan²θ = Sec²θ
3. 1 + Cot²θ = Csc²θ
2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE
4.
θ
θ
=θ
cos
sen
Tg
5.
θ
θ
=θ
sen
cos
Ctg
2.3 IDENTIDADES RECIPROCAS
6. Senθ × Cscθ = 1
7. Cosθ × Secθ = 1
8. Tgθ × Ctgθ = 1
3. IDENTIDADES AUXILIARES
A) Sen4
θ + Cos4
θ = 1 – 2Sen²θ . Cos²θ
B) Sen6
θ + Cos6
θ = 1 – 3Sen²θ . Cos²θ
C) Tanθ + Cotθ = Secθ . Cscθ
D) Sec²θ + Csc²θ = Sec²θ . Csc²θ
E) (1+Senθ + Cosθ)² = 2(1+Senθ)(1+Cosθ)
4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR
Demostrar una identidad consiste en que
ambos miembros de la igualdad propuesta son
equivalentes, para lograr dicho objetivo se
siguen los siguientes pasos:
1. Se escoge el miembro “más complicado”
2. Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general)
3. Se utilizan las identidades fundamentales y
las diferentes operaciones algebraicas.
Ejemplo:
Demostrar:
Secx (1 – Sen²x) Cscx = Cotx
Prueba:
Se escoge el 1º miembro y se lleva a senos y
coseno:
TRIGONOMETRÍA 5º AÑO

2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS LUIS ENRIQUE JACINTO SIFUENTES
Secx (1-Sen²x) Cscx = ( ) Senx
.xCos.
Cosx
11 2
=
Senx
.Cosx
1
= ctgx
Yed.
5. PROBLEMAS PARA REDUCIR Y
SIMPLIFICAR
Ejemplo:
Reducir: K = Sen4
x – Cos4
x + 2Cos²x
Solución:
Por diferencia de cuadrados
1
K = (Sen²x + Cos²x) (Sen²x – Cos²x) +
2Cos²x
K = Sen²x - Cos²x + 2Cos²x
K = Sen²x + Cos²x
K = 1
6. PROBLEMAS CON CONDICIÓN
Dada una o varias condiciones se pide hallar
una relación en términos de dicha o dichas
condiciones.
Ejemplo
Si: Senx + Cosx =
2
1
. Hallar: Senx . Cosx
Solución:
Del dato: (Senx + Cosx)² =
2
2
1






Sen²x + Cos²x + 2Senx . Cosx =
4
1
1
2Senx . Cosx =
4
1
- 1
2Senx . Cosx =
4
3
−
Senx . Cosx = -
8
3
7. PROBLEMAS PARA ELIMINACIÓN DE
ÁNGULOS
La idea central es eliminar todas las
expresiones trigonométricas, y que al final
queden expresiones independientes de la
variable.
Ejemplo:
Eliminar “x”, a partir de:
Senx = a
Cosx = b
Solución:
De: Senx = a → Sen²x = a²
De: Cosx = b → Cos²x = b²
Sumamos:
Sen²x + Cos²x = a² + b²
1 = a² + b²
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Reducir : = +2E Sen x.Secx Cosx
a) Secx b) Cscx c) Tgx
d) Ctgx e) 1
2. Simplificar :
Secx Tgx 1
E
Cscx Ctgx 1
- -
=
- -
a) Tgx b) Cscx c) Secx
d) Ctgx e) Secx.Cscx
3. Reducir :
qSen1
1
1qCsc
1
qCos1
1
E 222
−
−
−
+
−
=
a) 2Tg q b) 2Sec q c) 2Csc q
d) 2Ctg q e) 2Sen q
4. Reducir:






+
+
×





+
+
=
Senx1
CtgxCosx
Cosx1
TgxSenx
G
a) 1 b) Tgx c) Ctgx
d) Secx.Cscx e) Senx.Cosx
TRIGONOMETRÍA 5º AÑO

3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS LUIS ENRIQUE JACINTO SIFUENTES
5. Calcular el valor de “K” si :
qSec2
k1
1
k1
1 2
=
−
+
+
a) Cosq b) Senq c) Cscq
d) Secq e) Tgq
6. Reducir:
W (Senx Cosx 1)(Senx Cosx 1)= + + + −
a) 2 b) Senx c) Cosx
d) 2Senx e) 2Senx.Cosx
7. Reducir :
3
CosxSecx
SenxCscx
G
−
−
=
a) Ctgx b) Tgx c) 1
d) Secx e) Cscx
8. Reducir :
( )2K Ctgx.Cosx Cscx 1 2Sen x= − −
a) Senx b) Cosx c) Tgx
d) Ctgx e) Secx
9. Si :
5
1
CtgqCscq =−
Calcular : E = Secq + Tgq
a) 5 b) 4 c) 2
d) 2/3 e) 3/2
10. Reducir :
2 4 2H Tg x Tg x 3Tg x 3 1 = + + +
  
a) 6Sec x b) 6Cos x c) 6Tg x
d) 6Ctg x e) 1
11. Reducir :
Senx Tgx Cosx 1
G
1 Cosx Senx
+ −
= +
+
a) 1 b) Cosx c) Senx
d) Cscx e) Secx
12. Reducir
3 3 4J Cos .(Sec Csc ) Tg .(Ctg Ctg )= - - -qq q qq q
a) 1 b) 2Ctgq c) 2Cosq
d) 2Senq e) 2Sec q
TAREA DOMICILIARIA Nº 15
13. Reducir :
2 4 2W (Sec 1)(Sec 1) Ctg= + + +q q q
a) 2Ctg q b) 8Csc q c) 8Sec q
d) 8Tg q e) 8 2Sec .Ctgq q
14. Reducir :
2 2(2Tgx Ctgx) (Tgx 2Ctgx)
M
2 2Tg x Ctg x
+ + -
=
+
a) 2 b) 10 c) 5
d) 3 e) 7
15. Reducir :
1
E 1
1
1
1
1
2Sen x
1
(1 Senx)(1 Senx)
= +
− +
−
+
− +
a) 2Sen x b) 2Cos x c) 2Tg x
d) 2Ctg x e) 2Sec x
16. Si :
[ ]
3 3Tg Ctg m Sen Cos
3Tg Ctg 2 Sen Cos
θ + θ + θ + θ
=
θ + θ + θ + θ
Calcular el valor de “ m “
a) 0 b) 1 c) – 1
d) 2 e) – 2
17. Simplificar :
3 2(Cos x.Sec x Tgx.Senx)Cscx
E
Ctgx.Senx
+
=
a) 2Csc x b) 8Sec x c) Secx.Csc x
d) Secx.Ctgx e) 2Sec x.Csc x
18. Si :
14 4Sen Cos
3
θ − θ =
Calcular : 2 2E Sec .(1 Ctg )= θ + θ
a) 2 b) 4 c) 7/2
d) 9/2 e) 5
TRIGONOMETRÍA 5º AÑO