El documento explica las identidades trigonométricas, definiendo sus conceptos y clasificaciones, incluyendo identidades recíprocas, identidades por división e identidades pitagóricas. También se presentan problemas resueltos y ejercicios de simplificación y reducción con el objetivo de demostrar y practicar estas identidades. Las soluciones incluyen la reducción de expresiones en términos de senos y cosenos.

1. IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
1.- CONCEPTO
Son aquellas igualdades entre las razones
trigonométricas de una cierta variable; las
cuales se verifican para todo valor de la
variable, que no indetermina a la razón
trigonométrica existente en la igualdad
2.- CLASIFICACIÓN
2.1. IDENTIDADES RECÍPROCAS
Senx.Cscx=1;   n  , n Z  Cscx=
Cosx.Secx=1;x(2n+1) ,nZSecx=
Tanx.Cotx = 1; xn , nZ  Cotx=
2.2. IDENTIDADES T. POR
DIVISIÓN
Tanx = ;  x(2n+1) ; nZ
Cotx = ;  x  n; nZ
2.3. IDENTIDADES T.
PITAGÓRICAS
Sen2
x + Cos2
x = 1;  x  R
Sen2
x = 1-Cos2
x
Cos2
x =1-Sen2
x
Tan2
x+1 = Sec2
x;  x(2n+1) , n R
Sec2
x-Tan2
x=1
Tan2
x = Sec2
x - 1
Cot2
x+1 =Csc2
x;  x  n, nR
Cot2
x = Csc2
x-1
Csc2
x - Cot2
x =1
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
1.- CONCEPTO
Son aquellas igualdades entre las razones
trigonométricas de una cierta variable; las
cuales se verifican para todo valor de la
variable, que no indetermina a la razón
trigonométrica existente en la igualdad
2.- CLASIFICACIÓN
2.1. IDENTIDADES RECÍPROCAS
Senx.Cscx=1;   n  , n Z  Cscx=
Cosx.Secx=1;x(2n+1) ,nZSecx=
Tanx.Cotx = 1; xn , nZ  Cotx=
2.2. IDENTIDADES T. POR
DIVISIÓN
Tanx = ;  x(2n+1) ; nZ
Cotx = ;  x  n; nZ
2.3. IDENTIDADES T.
PITAGÓRICAS
Sen2
x + Cos2
x = 1;  x  R
Sen2
x = 1-Cos2
x
Cos2
x =1-Sen2
x
Tan2
x+1 = Sec2
x;  x(2n+1) , n R
Sec2
x-Tan2
x=1
Tan2
x = Sec2
x - 1
Cot2
x+1 =Csc2
x;  x  n, nR
Cot2
x = Csc2
x-1
Csc2
x - Cot2
x =1
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
1.- CONCEPTO
Son aquellas igualdades entre las razones
trigonométricas de una cierta variable; las
cuales se verifican para todo valor de la
variable, que no indetermina a la razón
trigonométrica existente en la igualdad
2.- CLASIFICACIÓN
2.1. IDENTIDADES RECÍPROCAS
Senx.Cscx=1;   n  , n Z  Cscx=
Cosx.Secx=1;x(2n+1) ,nZSecx=
Tanx.Cotx = 1; xn , nZ  Cotx=
2.2. IDENTIDADES T. POR
DIVISIÓN
Tanx = ;  x(2n+1) ; nZ
Cotx = ;  x  n; nZ
2.3. IDENTIDADES T.
PITAGÓRICAS
Sen2
x + Cos2
x = 1;  x  R
Sen2
x = 1-Cos2
x
Cos2
x =1-Sen2
x
Tan2
x+1 = Sec2
x;  x(2n+1) , n R
Sec2
x-Tan2
x=1
Tan2
x = Sec2
x - 1
Cot2
x+1 =Csc2
x;  x  n, nR
Cot2
x = Csc2
x-1
Csc2
x - Cot2
x =1
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
1.- CONCEPTO
Son aquellas igualdades entre las razones
trigonométricas de una cierta variable; las
cuales se verifican para todo valor de la
variable, que no indetermina a la razón
trigonométrica existente en la igualdad
2.- CLASIFICACIÓN
2.1. IDENTIDADES RECÍPROCAS
Senx.Cscx=1;   n  , n Z  Cscx=
Cosx.Secx=1;x(2n+1) ,nZSecx=
Tanx.Cotx = 1; xn , nZ  Cotx=
2.2. IDENTIDADES T. POR
DIVISIÓN
Tanx = ;  x(2n+1) ; nZ
Cotx = ;  x  n; nZ
2.3. IDENTIDADES T.
PITAGÓRICAS
Sen2
x + Cos2
x = 1;  x  R
Sen2
x = 1-Cos2
x
Cos2
x =1-Sen2
x
Tan2
x+1 = Sec2
x;  x(2n+1) , n R
Sec2
x-Tan2
x=1
Tan2
x = Sec2
x - 1
1

2. Cot2
x+1 =Csc2
x;  x  n, nR
Cot2
x = Csc2
x-1
Csc2
x - Cot2
x =1
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Demuestra que
:
Tan2
x . Cosx . Cscx = Tanx
Solución :
En este problema, la idea es reducir el
miembro dela igualdad más complicado y
obtener un resultado igual al otro
miembro. Uno de los criterios más
utilizados, es el de colocar la expresión a
reducir, en términos de senos y/o
cosenos; y para ello es bueno recordar:
Cscx = ; Secx =
Tanx= ; Cotx=
En el problema :
Tan2
x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que :
Tan2
=
. Cosx . = tanx
Reduciendo :
= tanx   tanx = tanx
2) Simplifica :
L = tanx . cos2
x - cotx . sen2
x
Solución :
Vamos a colocar la expresión en términos
de senos y cosenos; así :
L = tanx . cos2
x – cotx . sen2
x
L =
Reduciendo :
L = senx . cosx – cosx . senx
 L = 0
3) Reduce:
L = (secx - cosx) (cscx – senx)
Solución :
Pasando a senos y cosenos:
L =
operando :
L = ;
pero : 1- cos2
x = sen2
x
1- sen2
x = cos2
x
reemplazando :
L =   L = senx.cosx
4) Simplifica :
L =
Solución :
Vamos a colocar toda la expresión en
términos de senos y cosenos; así :
L =
Operando y ordenando :
L =
Reduciendo :
L =  L =
 L = 1
5) Reduce :
L = (secx + tanx –1) (secx – tanx+1)
Solución :
Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un
criterio muy generalizador; no siempre es
necesario tales cambios; sino también al
manejar las otras razones trigonométricas
siempre que tengan relación. En el
problema, por ejemplo :
L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1)
operando :
L = sec2
x – secx . tanx + secx + tanx . secx
– tan2
x + tanx – secx + tanx – 1
2tanx
reduciendo :
L = sec2
x - tan2
x + 2tanx – 1 = 1 + 2tanx – 1
1
 L = 2tanx
PRÁCTICA DIRIGIDA
NIVEL I
1).- Halla “n” para que se cumpla la siguiente
identidad trigonométrica:
(senx + cosx)2
- (senx - cosx)2
= n.senx.cosx
a) 1 b) 2 c) 4 d) -1 e) -4
2).- Calcula el valor de “n” que hace que se
verifique la siguiente identidad
trigonométrica:
cscx + n.cotx
a) –1 b) 1 c) 0 d) 2 e) –2
3).- Calcula “n” de tal manera que se cumpla:
(senx + cosx).(tanx + cotx) = n + cscx
a) senx b) secx c) cosx d) cscx e) tanx
4).- Reduce:
A = (1- cos2
x).(1+cot2
x)+(1-sen2
x).(1+tan2
x)
a) 0 b) -2 c) 2 d) –1 e) 1
5).- Simplifica:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3
6).- Reduce la expresión :
2

3. Q = secx - tanx.senx
a) senx b) cscx c) cosh
d) secx e) N.A.
7).- Simplifica:
H = 16(sen6
x+cos6
x)-24(sen4
x+cos4
x) +
10(sen2
x+cos2
x)
a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2
8).- Simplifica :
E = tan2
x + cot2
x + 2 - sec2
x.csc2
x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.
9).- Reduce la siguiente expresión
trigonométrica:
R =
0° < x < 90°
a) secx b) tanx c) 1
d) 0 e) N.A.
10).- Si los catetos de un triángulo rectángulo
son: ( 3senx + 4cosx ) y (4senx - 3cosx)
respectivamente, luego la hipotenusa será
igual a:
a) 5 b) 5senx.cosx
c) 5senx d) 5cosx e) N.A.
11).- Simplifica: K =
a) senx b) cosx c) cscx
d) secx e) ctgx
12).- Reduce:
P = (tanx+cotx).(senx+cosx+1).(senx+cosx-1)
a) 0 b) –1 c) 1 d) –2 e) 2
13).- Reduce la expresión:
a) 0 b) 1 c) 2 d) –1 e) -2
14).- Simplifica:
a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2
15).- Reduce:
P=
a) –3 b) 3 c) –2
d) 2 e) 1
NIVEL II
1).- Reduce : 0°<0<90°
a) Sen Cos b) Sec Csc c) Tg
d) Ctg e) 1
2).- Si: 0°<<90°
Reduce :
a) Sen b) Cos c) Cos2

d) Sec e) Csc
3).- Simplifica :
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
4).- Reduce :
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
5).- Si: . Calcula :
a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12
6).- Si: Sec Csc=n. Calcula :
a) n (n+1) b) n (n-1) c) n (1-n)
d) 2n (n+1) e) 2n (n-1)
7).- Si: .
Calcula:
a) 4 b) 16 c) 1/2
d) 1/4 e) 1/16
8).- El equivalente de: es:
a) Sec+Tg b) Csc+Ctg
c) Csc-Ctg d) Sec-Tg e) Csc-Sec
9).- Simplifica la siguiente expresión:
a) 0 b) 1 c) d) 2 e) 4
10).- Si : Ctg - Cos = 4
Calcula el valor de: E=4Tg+Sen
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8
11).- Reduce :
a) 1 b) Tg c) Ctg d) Sec e) Csc
12).- Si : 1+Tgx=USecx
1-Tgx=Vsecx
Hallar: U2
+ V2
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) ¼
13).- Si :
Calcula :
a) 1 b) c) 3/4 d) 4/3 e)
14).- Determina el valor de “n” tal que la
siguiente relación sea una identidad.
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
15).- Calcula “Tgx” si:
aSenx + bCosx = a
aCosx – bSenx = b
a) b)
c) d) e)
CLAVES DE RESPUESTAS
NIVEL I
1) c 2) a 3) b 4) c
5) b 6) c 7) d 8) a
9) c 10) a 11) e 12) e
13) d 14) d 15) a
NIVEL II
1)a 2)a 3)c 4)c
5)e 6)a 7)e 8)b
9)b 10)b 11)b 12)b
13)a 14)d 15)d
3
I UNIDAD1ro
II UNIDAD
1ro
III
UNIDAD
1ro
IV UNIDAD
1ro
3ro
I UNIDAD
3ro
I UNIDAD
3ro
I UNIDAD
3ro
I UNIDAD
4to
I UNIDAD
4to
II
UNIDAD
4to
III UNIDAD
4to
IV
UNIDAD
4to
P C A3ro
P C A
P C A1ro