Este documento presenta conceptos fundamentales para el análisis de circuitos eléctricos de corriente alterna. Explica la representación fasorial y cómo permite representar funciones sinusoidales como vectores en un sistema de coordenadas complejo. También define conceptos como potencia aparente, real y reactiva, y explica cómo la representación fasorial simplifica los cálculos de circuitos RLC.

1. Christhian Sanabria
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Facultad Ingeniería
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
CIRCUITOS ELECTRICOS II
– Fundamentos Ingeniería
Eléctrica
1

2. Contenido
 Introducción
 Representación fasorial
 Relaciones de tensión y corriente
trifásica
 Cargas trifásicas
 Potencia trifásica
 Factor de potencia
2

3. Introducción
Antes de conducir a un análisis detallado de los modelos de
los diferentes componentes que constituyen un circuito
eléctrico de corriente alterna, es importante revisar algunos
conceptos fundamentales para el análisis de redes
eléctricas en CA.
3

4. Representación fasorial
Relación de tensiones y corrientes en el dominio del tiempo
para un circuito serie R-L o R-C con fuente de corriente alterna
(CA) con fuente de excitación tipo sinusoidal 4

5. Representación fasorial
exponencial
cos sin rectangular
polar
J
Ee
E jE
E

 



La representación fasorial permite representar cualquier
función sinusoidal como un fasor o vector en un sistema de
coordenadas complejo. Se puede usar las siguientes formas
En la mayoría de cálculos de redes eléctricas CA, es más
conveniente trabajar en el dominio de la frecuencia, donde
cualquier velocidad angular asociada con el fasor es ignorada, lo
cuales se puede decir que el sistema de coordenadas complejo
rota a velocidad angular constante . 5

6.  Fuente ideal de tensión
 Fuente ideal de corriente
Circuitos Eléctricos Básicos
s
v
+
-
i
+
-
s
i
Carga
Carga
s
i
i
i
v
s
v
v
6

7. Ejemplo – Potencia para
lampara incandescente
 Encontrar R si la lampara toma 60W a 12 V
 Encontrar la corriente, I
 ¿Cuál es P si vs es el doble y R permanece
igual?
12
s
v V

+
-
i
Carga
12
5
2.4
v
i A
R
  
2
v
P v i
R
  
60
P W

2 2
12
2.4
60
v
R
P
   
7

8. Resistencia equivalente para
resistores en serie y paralelo
 Resistores en serie– la tensión se divide, la corriente es la
misma
v
+
-
1
R
2
R
N
R
i
1 2
EQ N
R R R R
  
+
-
v
i
Nodo
Tensiones
8

9. Resistencia equivalente para
resistores en serie y paralelo
 Resistores en paralelo– la corriente se divide, la
tensión es la misma
1 2
1
1 1 1
...
EQ
N
R
R R R

  
Simplificación para 2
resistores
1 2
1 2
EQ
R R
R
R R



+
-
i
i
1
R 2
R N
R
v
Corrientes de rama
v
9

10. Divisores de tensión y
corriente
i
1
R
2
R
+
-
v
+
-
out
v
1 2
EQ
v v
i
R R R
 

2
out
v i R
 
2
1 2
out
R
v v
R R
 

i
1
R 2
R
v
+
-
2
i
1
i 2
2
v
i
R

1 2
1 2
EQ
R R
v i R i
R R
  

1
2
1 2
R
i i
R R
 

Divisor de tensión
Divisor de corriente
10

11. Ángulos de fase
 Los ángulos son medidos con respecto a
una referencia, depende dónde se define
t=0
 Cuando se comparan señales, se define t=0
una vez y se mide toda otra señal con
respecto a la referencia
 La elección de la referencia es arbitrario–
cambio de la fase relativa es lo que importa
 La fase relativa cambia entre las señales
independiente en donde se define t=0
11

12. Ejemplo: angulo de fase de
referencia
 Punto de onda abajo como refencia
1 sin
4
v V t


 
 
 
 
 
2 sin 0
v V t

 
 
1 sin 0
v V t

 
2 sin
4
v V t


 
 
 
 
1 2
4

 
 
1 2
4

 
 
• O punto de onda arriba como referencia, como se ve no
importa!
12

13. Propiedades importantes: RMS
 RMS = the square root of the mean of the
squares of the values
 RMS para una forma de onda períodica
 RMS para una senoide (derive esto para tarea)
 2
1
( )
o
o
t T
RMS
t
V v t
T

 
sea ( ) cos( )
p
v t V t
 
 
2
p
RMS
V
V 
T periodo

13

14. Propiedades importantes:
Valores de potencia instantanea
 Potencia instantanea en una carga
p(t)= ( ) ( )
v t i t

( )
v t
+
-
( )
i t
( )= cos( )
( )= cos( )
p V
p I
v t V t
i t I t
 
 


( )= ( ) ( )
p t v t i t

   
 
( )= cos cos 2
2
p p
V I V I
V I
p t t
    
   
“convención de signo
elemento pasivo” – corriente
y potencia en la carga
   
 
1
cos cos cos cos
2
     
   
Identidad trigonométrica
14

15. Propiedades importantes:
Potencia promedio
 Potencia promedio se encuentra de
 Encontrar la potencia promedio en una carga
(derive esto para tarea)
   
 
( )= cos cos 2
2
p p
V I V I
V I
p t t
    
   
1
( )
o
o
t T
t
P p t dt
T

  T periodo

 
P= cos
2
p p
V I
V I
 
  
P= cos
RMS RMS V I
V I  
 15

16. Propiedades importantes:
Potencia Real
 P se llama Potencia Real
 cos(θV-θI) se llama el Factor de Potencia(pf)
 Antes se debe revisar el tema de fasores y
volver luego a estas definiciones …
 
P= cos
RMS RMS V I
V I  

P= Re{VI*}
16

17. Repaso del análisis fasorial
 Fasores son usados en ingeniería eléctrica
(sistemas de potencia) para representar
senoides de la misma frecuencia
 Una simple deducción…
2 f
 

( ) cos( )
p
A t A t
 
 
 
1
cos( )
2
jx jx
x e e
 
   
 
cos( )
2
j t j t
A
A t e e
   
    
  
Identidad (Euler)
Ap denota el valor píco
(máximo) de A(t)
17

18.  Use la identidad de Euler
 Escrito en notación fasorial como
cos sin
jx
e x j x
 
Identidad
 
( ) cos( )
( ) Re
p
j t j
p
A t A t
A t A e e
 
 
 

 
cos Re jx
x e

or
j
RMS RMS
A A e A A


   “Tilde denota un fasor”
or
j
A A e A A


  
Otra, notación simplificada
Independientemente de la
notación que use, ayuda a ser
consistente
Note, una convención- la amplitud usada aqui es el valor RMS , no el valor de
pico como es usado en otras clases!
Repaso del análisis fasorial
18

19. ¿Por qué fasores?
 Simplifica los cálculos
 Se vuelven derivadas e integrales en ecuaciones
algebráicas
 Hace más fácil resolver circuitos de C.A.
d
A j A
dt


R
( )
R i (t)= R
v t
R

L
( )
L (t)= L
di t
v L
dt

C
( )
C (t)= C
dv t
i C
dt

=
V
R
I
=Lj I
V 
V
j L
I


I=Cj V

1
V
I j C


L
jX j L


1
c
jX j
C


 
  
 
19

20. ¿Por qué fasores?: circuitos
RLC
R j L

1
j C

R L
C
 
( ) cos
v t V t
 
  V V 
 
1
( ) ( ) ( )
di
v t Ri t L i t dt
dt C
   
I
( )
i t
1
V RI j LI I
j C


  
Para resolver la corriente ¿cuál circuito Usted prefiere?
+
-
+
-
20

21. Ejemplo de un circuito RLC
 
( ) 2 100cos 30
v t t

   
3
L
X L

  
2 f
 

60Hz
f 
2 2
4 3 5
Z   
1 3
tan 36.9
4
Z
   
  
 
 
100 30
20 6.9
5 36.9
V
I
Z
 
    
 
( ) 2 20cos( 6.9 )
i t t

    21

22. Potencia Compleja
V
V= RMS
V 

I
I= RMS
I 

Asterisco denota complejo conjugado
 
   
*
*
VI
VI cos sin
RMS RMS V I
RMS RMS V I RMS RMS V I
V I
V I jV I
 
   
  
   
S
Potencia
Aparente
P
Potencia
Real
Q
Potencia
Reactiva
S = P+jQ
S
Q
P
(θV-θI)
Tríangulo de
Potencia
22

23. Potencia Aparente (S), Real
(P), Reactiva (Q)
 P = potencia real (W, kW, MW)
 Q = potencia reactiva (var, kvar, Mvar)
 S = potencia aparente (VA, kVA, MVA)
 Angulo del factor de potencia
 Factor de potencia (p.f.)
 
   
*
*
*
VI
VI
VI cos sin
RMS RMS V I
RMS RMS V I RMS RMS V I
S P jQ
V I
V I jV I
 
   
  
  
   
 
V I
  
 
cos( )
pf 
 23

24.  Recuerde ELI el ICE man
ELI ICE
Cargas inductivas
I atrasa V (o E)
Cargas capacitivas
I adelanta V (o E)
S Q
P
(θV-θI)
P
Q
S
(θV-θI)
Q y θ positivo Q y θ negativo
(generando Q)
“Convención de signo
elemento pasivo” – corriente y
potencia en la carga
Potencia Aparente (S), Real
(P), Reactiva (Q)
24

25.  Relación entre P, Q, y S puede ser deducido
del triangulo de potencia
 Ejemplo: Una carga toma100 kW con p.f. de
0.85 en adelanto. ¿Cuá es el factor de
potencia, el ángulo, Q, y S?
 
 
cos
sin
P S
Q S




 
-1
cos 0.85 31.8
100 kW
117.6 kVA
0.85
Q=117.6 kVA sin( 31.8 ) 62.0 kVAr
S
    
 
    
Potencia Aparente (S), Real
(P), Reactiva (Q)
25

26. Potencia Aparente (S), Real
(P), Reactiva (Q)
26

27. Conservación de la Energía
 Leyes de corrientes y tensiones de Kirchhoff
(LVK y LCK)
 Suma de caidas de tensión en un lazo debe ser
cero
 Suma de corrientes entrando a uno nodo debe
ser cero
 La conservación de la energía
 La suma de potencia real entrando en cada nodo
debe ser igual a cero (potencia nodal)
 La suma de potencia reactiva entrando en cada
nodo debe ser igual a cero (potencia nodal) 27

28. Representación fasorial
28

29. Las impedancias de red se pueden representar como fasores
usando relaciones vectoriales
La necesidad para resolver ecuaciones diferenciales
complejas para determinar las respuestas del circuito
desaparece. Las restricciones que se aplican son:
 las fuentes deben ser sinusoidales
 la frecuencia debe permanecer constante
 R, L, C deben se constantes (linealidad).
Representación fasorial
29

30. Sistemas trifásicos
30

31. 120º
120º
120º 120º 120º
Sistemas trifásicos
BALANCEADO O
EQUILIBRADO
DESBALANCE
Ea(t) + Eb(t) + Ec(t) = 0
31

32. Relaciones de tensión y corriente
trifásica
32

33. Relaciones de tensión y corriente
trifásica
Diagrama fasorial para
diversas potencias y
funciones del operador
“a”
2
0 3
4
2 0 3
2
1 3
1 120 1 0.5 0.866
2 2
1 3
1 240 1 0.5 0.866
2 2
1 0
j
j
a e j j
a e j j
a a


        
        
  
33

34. Relaciones de tensión y corriente
trifásica
Diagrama fasorial de los
tensiones línea a línea
en relación con las
tensiones de línea a
neutro en un circuito
trifásico balanceado.
34

35. Relaciones de tensión y corriente
trifásica
Diagrama fasorial de los corrientes de línea en
relación con las corrientes de fase en una carga
trifásica conectada en delta.
35

36. Cargas trifásicas
producto de las Z
suma de las Z
y
Z 


* Existen
diferentes
modelos de
cargas según
estudios
Impedancia o
admitancia
constante
36

37. Potencia trifásica
Tensiones y corrientes monofásicas
an bn cn
V V V V
   
an bn cn
I I I I
   
Potencias monofásicas
*
~ ~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
.
cos
sin
p
p
S V I P jQ
P V I
Q V I
    
 






  


37

38. Potencia trifásica
Potencias trifásicas a partir de las monofásicas
Relaciones de tensiones y corrientes trifásicas
*
~ ~ ~ ~
3
~ ~ ~
3
~ ~ ~
3
3. 3. .
3. cos
3. sin
p
p
S S V I
P V I
Q V I
   
 






 


~ ~
~ ~ ~
3 3
LL L
LN
V I
V V I
 
  
38

39. Potencia trifásica
Potencias trifásicas
* *
~ ~ ~ ~ ~
3
~ ~ ~ ~ ~
3
3 3
~ ~ ~
3
~ ~ ~
3
3. . 3. .
3.
3. cos
3. sin
LL L LN
LL L
L
LL p
L
LL p
S V I V I
S V I P Q
P V I
Q V I
 

 




 
  


39

40. Factor de potencia
Carga inductiva
Cargas combinadas ( -
Q2)
Triángulos de potencia
40

41. Factor de potencia
Corrección factor de potencia (F.P.)
41

42. Factor de potencia
Factor de potencia (F.P.)
Potencia activa (P)
factor de potencia total
Potencia aparente (S)

* No necesariamente las formas de onda son
sinusoidales
42

43. Potencia trifásica
 Grandes sistemas de potencia son casi
exclusivamente 3
 Se puede transmitir más energía con la
misma cantidad de conductores (más del
doble que con un sistema monofásico)
 El par (torque) producido por máquinas 3
es constante.
 Máquinas trifásicas usan menos material
para la misma potencia nominal.
 Máquinas trifásicas arranca más fácil que
las máquinas monofásicas. 43

44. Potencia trifásicas
Transformadores monofásicos son comunmente en
sistemas de distribución residenciales. La mayoría
de sistemas de distribución son trifásicos 4 hilos, con
un conexión a tierra multipunto.
44

45. Potencia y Energía
 Energía: Integration de la potencia en el
tiempo; energía es lo que realmente quieren
las personas.
 Algunas unidades:
 Joule = 1 Watt-segundo(J)
 kWh = Kilowatt-hora (3.6 x 106 J)
 Btu = 1055 J; 1 Btu = 0.000293 KWh;1
MBtu=0.293 MWh; 1MWh=3.4MBtu
 Un galón (3.7 L) de gas natural tiene alrededor
de 0.125 MBtu (36.5 kWh); un galón de etanol
como 0.084 Mbtu (2/3 que del gas).
 1 hp = 746 watts = 0.746 kW
45

46. Bibliografía
[1]John J. Grainger, William D. Stevenson Jr., Análisis de
Sistemas de Potencia, McGraw-Hill, México, 1996.
[2]A. Gómez Expósito et.al., Análisis y Operación de
Sistemas de Energía Eléctrica, McGraw-Hill, España,
2002
[3]IEEE Std 399-1997, IEEE Recommended Practice for
Industrial and Commercial Power Systems Analysis,
published by IEEE, 1998.
[4] J.D. Glover, M: S. Sarma, T.J. Overbye, Power System
Analysis and Design, CENGAGE Learning, 5th Ed.,
USA, Jan. 2011.
46