Este documento describe conceptos básicos de los números reales y las inecuaciones lineales. Introduce la recta real, sus características y elementos como la dirección positiva y negativa. Explica que los números reales incluyen enteros, fracciones y números irracionales. Luego define desigualdades, intervalos y las propiedades de las inecuaciones lineales como ax + b < 0.

1. Inecuaciones.
Prof. Ing. Carly Tineo
Gregori Jose Mendez
C.I V- 25967286

2. LA RECTA REAL:
Es una representación geométrica de un
conjunto de números reales, que va desde menos
infinito hasta mas infinito y que tiene como origen o
punto de referencia el número cero "0".

3. CARACTERÍSTICAS Y
ELEMENTOS
• Dirección Positiva: (a la derecha) se marca con una
flecha e indica la dirección en que los valores crecen.
• Dirección Negativa: (a la izquierda) se marca con
una flecha e indica la dirección en que los valores
decrecen.
• Coordenada del punto: es el número real
correspondiente a un punto particular de la recta real.
Tal y como se muestra a continuación, a la derecha del
cero, se encuentran los números positivos y a su
izquierda se llaman números negativos.

4. LA
RECTA
NOS
BRINDA
UNA
VISUALIZACIÓN
PERFECTA DE LOS NÚMEROS REALES, ES DECIR, QUE
PODEMOS OBSERVAR EN ELLA UNA CORRESPONDENCIA
BIYECTIVA ENTRE CADA PUNTO DE ÉSTA Y UN NÚMERO
REAL ESPECÍFICO.
En la recta real podemos expresar a los números naturales, a los enteros, a
los racionales y a los irracionales. Los números se representan o bien por
decimales finitos (5/2 = 2,5) o por decimales que se repiten infinitas veces (2/6
= 0,3333 = 0,3).
Como se puede observar en la figura anterior, el punto 3,5
puede expresarse como el cociente de enteros (7/2 = 3,5).

5. NUMEROS REALES:
Los
números
reales son los números que se
puede escribir con anotación
decimal, incluyendo aquellos
que necesitan una expansión
decimal infinita. El conjunto de
los números reales contiene
todos
los
números
enteros, positivos y negativos;
todas las fracciones; y todos los
números irracionales, aquellos
cuyos desarrollos en decimales
nunca se repiten.

6. ¿Y QUE SON LOS NUMEROS REALES?
Este conjunto se denota por R y se describe mediante
una serie de operaciones y propiedades:
OPERACIONES
Sean a,b,c números reales:
Suma y producto: a + b, a . b = a.b
• Leyes asociativas: a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
a . b . c = a (b . c) = (a .b) . C
• Leyes conmutativas: a + b = b + a, a . b = b .a
• Ley distributiva: (b + c) = a . b + a . C
• Existencia de elementos neutros:
• Existencia de opuestos (negativos):
tal que a . (-a) + a = 0
• Existencia de recíprocos:
tal que
• Sustracción: a - b = a + (-b)
• División:
tal que a + 0 = 0 + a = a

7. PROPIEDADES:
TEOREMA:
SI A ES ≥ O, ENTONCES:

8. DESIGUALDAD
Orden en la Recta Real:
Si a y b son números reales, a es mayor que b si b - a es
positivo, lo cual denotaremos por a < b.
Desde el punto de vista geométrico puede comprobarse
dicha definición.
Ejemplo: Dado dos (2) números reales cualesquiera, 3
y 5, se puede demostrar que 1 < 3 debido a que3 está a
la izquierda de 5.

9. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
 Transitiva: Sí a < b y b < c entonces a < c
 Aditiva: Sí a < b y c < d entonces a + b < b + d
 Adición de una constante a ambos miembros de la Igualdad:
Sí a < b y k es un número real cualquiera, entonces a + k < b + k
 Sustracción de una constante a ambos miembros de la Igualdad:
Sí a < b y k es un número real cualquiera, entonces a - k < b - k
 Multiplicación de una constante a ambos miembros de la Igualdad
(caso k > 0):
Sí a < b y k > 0, entonces a * k < b * k
 Multiplicación de una constante a ambos miembros de la Igualdad
(caso k < 0):
Sí a < b y k < 0, entonces a * k > b * k

10. INTERVALOS
Sean a y b dos (2) números reales cualesquiera
tales que a < b. A cada uno de éstos números le
corresponde un punto en la recta real; por ejemplo, al
número a le corresponde el punto A y al número b le
corresponde el punto B:
 Intervalos Abiertos:
Sean a y b dos (2) números reales
cualesquiera pertenecientes a los
extremos del intervalo abierto (a , b) y
se denota:
 Intervalos Cerrados:
Sean a y b dos (2) números reales
cualesquiera pertenecientes a los
extremos del intervalo [a , b] y se
denota:

11.  Intervalos Semi-abiertos
(Abierto en a y Cerrado en b):
 Intervalos Semi-abiertos
(Cerrado en a y Abierto en b):
CASOS ESPECIALES:
Analógicamente se definen las semirrectas de origen en un punto dado.
Cuando uno de los extremos tiende a ser infinito ( + o - )

12. INECUACIONES LINEALES
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen
una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es
del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se
denomina inecuación en sentido amplio.
Las inecuaciones de primer grado o lineales son de forma: a x + b <= 0
a x + b >= 0
ax+b<0
ax+b>0