Este documento trata sobre inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Explica qué son las inecuaciones, cómo resolver inecuaciones de primer grado, sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones polinómicas de segundo grado o superior e inecuaciones racionales. También cubre cómo resolver inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales de dos incógnitas.

1. Tema 4
Inecuaciones
y
Sistemas de
inecuaciones

2. Introducción.
Inecuaciones.
Una Inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas
que sólo es cierta para determinados valores de las incógnitas. A
estos valore se les denominan soluciones de la inecuación.
Ejemplos:
x ²−1≤x
Inecuaciones equivalentes.
Dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Reglas de equivalencia.
● Si a los dos terminos de una inecuación se les suma o resta una misma
expresión algebraica la inecuación resultante es equivalente a la original.
● Si a los dos termino de una inecuación se les multiplica o se divide por
un número real positivo no nulo, la inecuación resultante es equivalente a
la original.
● Si el número es negativo, la inecuación resultante es equivalente a la
Original cambiando el signo de desigualdad

3. Inecuaciones de 1er grado
Una inecuación de primer grado es aquella que por transformaciones de
equivalencia se pueden escribir como:
ax>b ax≥b
ax<b ax≤b
Resolución de Inecuaciones.
Se resuelven como las ecuaciones de primer grado teniendo en cuenta las
Reglas de equivalencia. Ejemplo:
2(x−3)≤4 (x−2)+10⇒2 x−6≤4 x+2
⇒−2 x≤8 dividimos por -2 ⇒ x≥ 8
−2
Cuya solución es el intervalo [−4, ∞)

4. Sistemas de Inecuaciones de
1er grado con una incognita
Definición:
Un sistema de inecuaciones de 1er grado con una incognita es un
conjunto de inecuaciones de primer grado, todas en la misma variable.
La Solución de un sistema será el conjunto de números que verifican
todas las inecuaciones.
Resolución:
1.Se resuelven las inecuaciones por separado.
2.Se representan cada uno de los intervalos.
3.Se calcula la intersección de los intervalos.
La Solución será el resultado de la intersección

5. Inecuaciones polinómicas
de 2º Grado.
Son reducibles a las formas
ax 2+ bx + c < 0 ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≤ 0 ax 2 + bx + c ≥ 0
con a ≠0
Aplicamos la siguiente propiedad de los polinomios:
Sea P(x) un polinomio de grado n y x1, x2, …, xn sus raíces ordenadas de
menor a mayor, entonces el polinomio P(x) toma valores del mismo signo
dentro de los intervalos:
(−∞, x1) ;(x1, x2); (x2, x3);⋯;( xn ,+∞)
Las inecuaciones polinómicas de grado superior se resuelven aplicando esta
Propiedad.

6. Inecuaciones polinómicas
de grado 2 o superior
Para resolver las inecuaciones de grado dos o superior, calculamos
las raíces del polinomio. Las ordenamos de menor a mayor y
estudiamos los signos en los distintos intervalos.
Ejemplo.
Factorizamos el polinomio.
x3 – 3 x2 – x+3≤ 0
P( X)=x3 –3 x2 – x+3=(x+1)⋅(x – 1)⋅( x – 3)
Estudiamos los signos en los intervalos:
(−∞,−1) ; (−1,1) ;(1, 3)y (3,+∞)
P(−2)=−15 P(0)=3 P(2)=−3 P(4)=15
Luego la solución será la unión de los intervalos donde se cumple la
desigualdad:
(−∞,−1]∪[1,3 ]

7. Inecuaciones Racionales
P(x)
Q(x)
≤0
Las inecuaciones del tipo se denominan racionales
Ejemplo:
x+3
x−2
≥0
Para resolver una inecuación racional se siguen los siguientes pasos:
1.Se calculan las raíces de los dos polinomios.
x1=−3 Y x2=2
2.Se ordenan de menor a mayor
x1=−3< x2=2
3.Se estudian los signos en cada intervalo.
(−∞ , −3 ) ; (− 3,2 ) y ( 2, + ∞ )
R(−4)= 1
6
R(0)= −32
R(3)=6
4.Se encuentran los intervalos que cumplen la desigualdad. Hay que
tener en cuenta que las raíces del denominador (polos de la fracción
algebraica) nunca pertenecen a las soluciones.
( −∞ , −3 ] ∪( 2,+ ∞ )

8. Inecuaciones lineales con
dos incógnitas
Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación
que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes
formas: ax+by>c ax+by<c
ax+by≥c ax+by≤c
Resolución de la inecuación de primer grado con dos incógnitas:
1. Representamos gráficamente la función afín o lineal:
ax+by=c
asociada a la inecuación y obtenemos la recta correspondiente.
2. La recta divide al plano en dos semiplanos. Discutimos cuál de los
semiplanos es solución utilizando un punto y estudiando si verifica o no
la inecuación
3. Inclusión o no de la recta o frontera en la solución dependiendo si
los puntos de la recta son solución

9. Inecuaciones lineales con
dos incógnitas
Ejemplo: 3 x−2 y>6
1. Representamos gráficamente la función afín o lineal:
Para ello hacemos una tabla de valores:
x 0 2−2
y −3 0−6
2. La recta divide al plano en dos
semiplanos. Discutimos cuál de los
semiplanos es solución utilizando
un punto
y estudiando si verifica o No la inecuación
3 x−2 y=6
3⋅1−2⋅1>6
1>6 No
La solución sera el semiplano
3. No se incluye la recta ya que no verifica la desigualdad.

10. Sistemas de Inecuaciones
Lineales de dos incógnitas
{a11 x1+a12 x2<k 1
Definición:
Un sistema de inecuaciones lineales de m ecuaciones con 2 incógnitas
tiene la forma
a21 x1+a22 x2≥k2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
am1 x1+am2 x2<km
El conjunto solución de un sistema de
inecuaciones está formado por las
soluciones que verifican a la vez todas
las inecuaciones.
Al conjunto solución también se le
llama región factible.
Ejemplo
{ 2 x+ y≤2
x+ y>−3
x−y≤2
2 x−3 y>−6