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![51 52COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria
3. Si a ambos miembros de una desigualdad se
les multiplica o divide por una misma
cantidad negativa, entonces el sentido de la
desigualdad se invierte.
Sí a < b ∧ n < 0 ⇒
>
>
n
b
n
a
bnan
Aplicaciones:
–2 > 10 ⇒ x <
2
10
−
⇒ x< - 5
5
x
−
< 7 ⇒ x > 7 (-5) ⇒ x > -35
4. Si se suma miembro a miembro
desigualdades del mismo sentido, entonces el
sentido de la desigualdad se conserva.
Si: a < b; c < d ⇒ a + c < b + d
5. Si se resta miembro a miembro desigualdades
de sentidos contrarios, entonces se conserva
el sentido de la desigualdad que hizo de
minuendo.
Si a > b; c< d ⇒ a – c > b – d
6. Si se multiplica miembro a miembro
desigualdades del mismo sentido y con todos
sus miembros positivos, entonces se conserva
el sentido de la desigualdad.
Si: 0<a<b; 0 < c < d ⇒ ac < bd
7. Si se divide miembro a miembro
desigualdades de sentidos contrarios y con
todos sus miembros positivos, entonces se
conserva el sentido de la desigualdad que
hizo de dividendo.
Si a > b > 0 ∧ 0 < c < d ⇒
c
a
>
d
b
8. Si se eleva ambos miembros de una expresión
o un mismo exponente impar entonces el
sentido de la desigualdad se conserva.
Si a > b ⇒ 1n2
a +
> 1n2
b +
9. Si se eleva ambos miembros de una
desigualdad a un mismo exponente por
entonces se conserva el sentido de la
desigualdad siempre que ambos miembros
sean positivos.
Si a<b y a > 0 ∧ b > 0 ⇒ n2n2
ba >
RECTA NUMÉRICA REALRECTA NUMÉRICA REAL
Es una recta geométrica donde se establece una
biyección, es decir a cada número real se hace
corresponder un único punto de la recta y para
cada punto de la recta sólo le corresponde un único
número real.
Números
Negativos
Números
Positivos
x > 0
x < 0
+ ∞- ∞ +
-
0
INTERVALOSINTERVALOS
3. Sea I un subconjunto de IR (I ⊂ IR). Decimos
que I es un intervalo, si y sólo sí es el
conjunto de todos los número reales que están
comprendidos entre dos extremos (que
pueden ser finitos o ideales).
Si I es un intervalo, puede ser: acotado o no
acotado
A. Intervalos Acotados
Son intervalos cuyos extremos son números
reales (finitos) y a su vez serán:
1. Intervalo Cerrado
a b
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ [a; b] ⇒ a ≤ x ≤ b
En dicho intervalo se incluyen los extremos
“a” y “b”.
2. Intervalo Abierto
a b
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <a; b> ⇒ a < x < b
En dicho intervalo no están incluidos los
extremos “a” y “b”.
3. Intervalo Semi – abierto Mixto
Semiabierto por la izquierda
a b
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <a; b] ⇒ a < x ≤ b
En dicho intervalo sólo se incluye el extremo
“b”.
Semi-abierto por la derecha
a b
x
-∞ + ∞
Si x ∈[a; b> ⇒ a ≤ x < b
En dicho intervalo sólo se incluye el extremo
“a”.
B. Intervalos No Acotados
Se denomina así cuando por lo menos uno de
los extremos es el ideal +∞ ó -∞.
Estos son de la forma:
1.
a
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <a; +∞> ⇒ x > a
2.
a
x
-∞ + ∞
S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."](https://image.slidesharecdn.com/algebra44b-140516103207-phpapp02/85/Algebra-4-4-b-2-320.jpg)
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Si: x ∈ [a; +∞> ⇒ x ≥ a
3.
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <-∞; a> ⇒ x < a
4.
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <-∞; a] ⇒ x ≤ a
5.
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <-∞; +∞> ⇒ x ∈ R
OBSERVACIONES IMPORTANTES
1. La notación ∞, que se lee infinito no es un
número real, sino un símbolo que se utiliza
para indicar que un intervalo es ilimitado por
la derecha (+∞) o por la izquierda (– ∞)
2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2
formas: <a; b> =] a; b [
Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1
forma: [a; b]
3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este
siempre irá como ABIERTO.
[a; +∞> ; <a; +∞> ; <-∞; a] ; <-∞; -a>
4. Los intervalos son sumamente útiles:
a) Para expresar el conjunto solución de
inecuaciones.
Ejemplo:
El conjunto solución de la inecuación:
2 +3x –
2x ≥ 0 es el intervalo
cerrado: x ∈ [1; 2]
b) Para expresar el dominio y rango de una
relación y de una función de R en R.
Ejemplo:
y
f(x)
4
7 x
El dominio de la función f(x) es:
x ∈ <0; 7]
El rango de f(x) es: y ∈ <0; 4]
c) Para “ACOTAR”
Ejemplo: Sí x ∈ <-2; 3] , ¿entre qué valores
estará (x + 2)?
Si:
x ∈] –2; 3[ ⇒ 0 <
(Infimo)
cota
inferior
(Supremo)
cota
superior
x + 2 < 5
OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS
Puesto que los intervalos en IR son conjuntos
especiales de los números reales, podemos operar
con ellos.
Sean A y B intervalos, se definen y se denotan:
A ∪ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∈ B}
A – B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∉ B}
'AAC C
A == = {X ∈ IR / x ∈ IR ∧ x ∉ A}
Aplicación: Sean los conjuntos (intervalos)
A = {x ∈ IR / x ≤ 5}
B = {x ∈ IR / - 8 ≤ x < 12}.
Hallar:
A ∪ B , A ∩ B , A – B , B – A , A’ , B’
Cota superior, Cota Inferior, Supremo,
Ínfimo, Máximo y Mínimo de un Conjunto
Definición 1:
Un subconjunto S no vacío de números reales está
acotado superiormente si existe un número M,
tal que:
x ≤ M , ∀ x ∈ S
se llama "Cota
Superiores"
Es decir:
M es cota superior S ⇔ x ≤ M, ∀ x ∈ S
Ejemplos:
1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo
superior 3 o cualquier número mayor que 3
es una cota superior del intervalo A.
Ver el siguiente gráfico:
-2 3-∞ + ∞
conjunto de
cotas
superiores
• El número 3 es una cota superior del
intervalo <-2, 3>, porque x < 3,
∀ x ∈ <-2,3>
• El número 3,002 es cota superior del
intervalo <-2, 3>, porque x < 3,002
∀ x ∈ <-2, 3>, etc. Todos los números
mayores o iguales a 3 son cotas
superiores.
2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior
1/2 o cualquier número mayor que 1/2 es una
cota superior del intervalo [-1; 1/2]
-1 1/2
conjunto de
cotas
superiores
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ACOTACIONES](https://image.slidesharecdn.com/algebra44b-140516103207-phpapp02/85/Algebra-4-4-b-3-320.jpg)
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Definición 2:
Un subconjunto S no vacío de números reales
está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe
un número m, tal que:
se llama "Cota
Inferiores"
m ≤ x , ∀ x ∈ S
Es decir:
m es cota inferior de S ⇔ m ≤ x, ∀ x ∈ S
Ejemplos:
1) En un intervalo A = <-3; 2], son cotas
inferiores los números –3, -3,002; -3,5; -4,
etc. Todos los números menores o iguales que
–3 son COTAS INFERIORES.
Pues:
-3 ≤ x, ∀ x ∈ <-3; 2]
-3,002 ≤ x ∀ x ∈ <-3; 2]
-3 2
conjunto de
cotas
inferiores
Definición 3:
Un número se llama SUPREMO de un conjunto,
si éste es la menor de las cotas superiores.
Ejemplos:
1) En el intervalo: A =
− 3;
2
1
, el
supremo es 3.
2) En el intervalo: B = 5;∞− , el
supremo es 5.
Definición 4:
Un número se llama INFIMO de un conjunto, si
éste es el mayor de las cotas inferiores.
Ejemplos:
1) En el intervalo: A =
− 3;
2
1
, el ínfimo
es –1/2.
2) En el intervalo: B = [5; ∞>, el ínfimo es 5.
OBSERVACIONES:
A. El supremo y el ínfimo representan al
máximo y mínimo valor que toma un
conjunto, respectivamente.
B. Un conjunto de números está ACOTADO si y
sólo si está acotado superior e
inferiormente.
Ejemplos:
• El intervalo: A =<–2;7> es ACOTADO.
• El intervalo: B = < 8; +∞> no es
ACOTADO.
C. El supremo y el ínfimo de un conjunto
pueden ser o no un elemento del conjunto.
TEOREMAS ADICIONALESTEOREMAS ADICIONALES
Sean a, b, c, d, x ∈ IR
1. ∀ a ∈ IR: a2
≥ 0
2. 0 ≤ a < b ∧ 0 ≤ c < d ⇒ 0 ≤ ac < bd
3. ab > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
4. ab < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
5. 0
a
1
0a >⇔>
6. 0
a
1
0a <⇔<
7. Si a y b tiene el mismo signo, entonces:
b
1
x
1
a
1
bxa >>⇔<<
8. bxa <<
<<<<
>∧<<≤
<<<<
⇒
0baSi;axb
0b0aSi;]b;a[maxx0
ba0Si;bxa
222
222
222
9.
+
∈∀≥+ IRa;2
a
1
a
10.
−
∈∀≤+ IRb;2
b
1
b
11. a2
+ b2
≥ 2ab; ∀ a, b ∈ IR
12. a2
+ b2
+ c2
≥ ab+ ac+ bc;∀ a, b, c ∈ R
13.
+
∈∀
+
≥≥
+
IRb,a;
2
b
1
a
1
1
ab
2
ba
+
∈∀
++
≥≥
++
IRc,b,a;
3
c
1
b
1
a
1
1
abc
3
cba 3
14.
+
∈∀≥
+++
IRd,c,b,a;abcd
4
dcba 4
15.
;a...a.a.a
n
a...aaa n
n321
n321
≥
++++
niIRai ;...;3;2;1, =∈∀ +
16.
mmm
2
ba
2
ba
+
>
+
; 0 < a < b; “m” no
es fracción propia positiva.
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01. Marque verdadero (V) o falso (F):
I. 2 ≤ 3 II. 0 ≥ 0
III. -1 < 0 IV. π ≥ 3,14
a) FFVV b) VVVV c) FFVF
d) VVVF e) FFFF
02. Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor
valor de la expresión:
xyz
)zy)zx)(yx( +++
a) 1 b) 4 c) 6
d) 8 e) 8/3
3. Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la
correcta afirmación acerca de λ siendo:
dcba
abcd4
+++
=λ
a) λ=1/4 b) λ ≥ 4 c) λ ≤ 1/8
d) λ ≥ 1/4 e) λ < 1/2
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04. Si:] x; y [ ⊂ ] a; b [, entonces es verdad
que:
a) x ≤ a ∧ y ≤ b d) x ≥ a ∧ y ≥ b
b) x ≥ a ∧ y > b e) x ≤ a ∧ y ≥ b
c) x ≥ a ∧ y ≤ b
05.Hallar el menor número racional “m” donde
∀ x ∈ [2; 4] satisface la desigualdad:
m
5x
3x
≤
−
+
a) -2/3 b) -1/3 c) -5/3
d) -7 e) -6
06.Dar el mayor número entero M que satisface
la desigualdad:
2x2
- 4x +1 > 2M, ∀x ∈ R
(Tal desigualdad la llamaremos absoluta)
a) 3 b) -2 c) 0
d) 1 e) -1
07. Hallar el menor número M con la propiedad
de que para todo x ∈ R se cumpla:
1 +6x - x2
≤ M
a) 11a) 11 b) 9b) 9 c) 12c) 12
d) 10d) 10 e) 0e) 0
08. Si: x2
- 6x + 8 < 0 y demás
consideraremos: λ=x2
- 6x + 8, entonces se
puede afirmar que:
a) λ e cualquier real negativo
b) -1 < λ < 0 c) -1/2 ≤ λ<0
d) -1 ≤ λ < 0 e) -1 < λ ≤ 0
09.Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al
que pertenece, conociendo:
axaax +−+ )21(2
∈ R; ∀x
∈ R
a) ]-∞; 2[ b) [1/4; +∞[ c) [2; -3[
d) [1; +∞[ e) ]1/4; +∞[
10. Sea S el área de un triángulo de lados a; b y
c. ¿Qué podemos afirmar de λ si:
?
S.3
cba 222
++
=λ
a) λ ≤ 4 b) λ >4 c) λ < 4
d) λ ≥ 4 e) λ < 1
11. Dado el conjunto:
Ζ∈= +
n
n
A /
1
Determine si existe el supremo y el ínfimo
de A y establecer si pertenecen o no al
conjunto A.
12. Hallar el menor número “m” con la
propiedad
ℜ∈∀≤−+ xmxx ,2127 2
Sea S
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01
01. Sean los intervalos:
C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C ∪ D
a) [-4; 4] b) ]4; 8[ c) ]-4;8]
d) [0;8] e) [-4; 8[
02. Si la unión de los intervalos:
p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11]
Es: [p + q; m [ ∪ ] p - q; n]
Calcular: “p + q + m + n”
a) -11 b) 11 c) 1
d) -1 e) 0
03. Sean los intervalos:
A = [-6; 5] B = ]-2; 9[
Calcular la suma de los valores enteros de
A∩B
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
04. Si la intersección de los intervalos:
A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4]
Es [a; b [ U ]c; d].
Calcula “a + b + c + d”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05. Para los reales afirmamos:
I. Si a > 0 a2
> 0
II. Si a < b ac < bc
III. Si 0 < a < b 0 < b-1
< a-1
Son verdaderas:
a) Todas b) I y II c) Sólo I
d) I y III e) N.A.
06. Para reales afirmamos:
I. Si a < b a + c < b + c
II. Si a < 0 -a > 0
III. (a + b)2
> 2 ab
Son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Todas e) N.A.
07. Si: a < 0 < b, afirmamos
I. a2
> ab
II. a – b–1
< 1
III. a–1
< b–1
IV. a2
< b2
¿Cuántas son verdaderas?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
08. Si: a/b < 0, entonces se cumple que:
a) a < 0 y b > 0 d) ab > 0
b) a > 0 y b < 0 e) ab < 0
c) a > b
09. Hallar los valores de “m” para los cuales
“x” es un número positivo, si x = m - 2
a) m > 2 b) m < 2 c) m > -2
d) m ≤ 2 e) m < -2
10. Resolver: 2x + 4 ≤ x +12
a) ]-∞; -8] b) ]-∞; -16] c) ]-∞; 8]
d) [8; +∞[ e) [-8; +∞[
11. Resolver: (x - 5) (x - 2) ≤ (x + 3) (x + 1)
a) x ≥ 7 b) 7/11 ≤ x c) x ≤ 7/11
d) x ≤ 7 e) N.A.
12. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la
desigualdad: 2x+3 <
m
mx 43 −
. Tenga
como solución ]3; ∞[
a) 6/13 b) 5/17 c) 19/14
d) -17/14 e) 9/13
13. Hallar el complemento del conjunto
solución luego de resolver:
(x - 5) (x - 3) ≤ (x - 4) (x - 3)
a) [3; +∞[ b) ]-∞; 3[ c) [4; +∞[
d) ]-∞; 4[ e) ]-∞; -3[
14. Calcule el conjunto solución de la
desigualdad:
17
5432
−>+++ x
xxxx
a) [-60; +∞[ d) ]-60; 0[
b) ]-60; +∞[ e) x ∈ φ
c)]-∞; -60[
15. Resolver: 3x+4 ≤ 2x+10 < 5x+8
a) [2/3; 6] b) φ c) IR
d) ]2/3; 6] e) ]2/3;6[
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01. Si la unión de los intervalos:
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E = [-4; 5[
F = ]-2; 5]
Es: [a; b]. Calcular “ab”
a) -20 b) -10 c) 2
d) 8 e) 25
02. Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N = [-2b;
2b]
Indicar M ∩ N
a) [-2a ; 2b] b) [-2b; 2a] c) [-a; b]
d) [-2b; 2b] e) [-2a; 2a]
03. Sean los intervalos:
M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17]
N = [-12; -1] U [1; 13]
Luego de calcular la intersección, indique
un intervalo
a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3; 13]
d) [-3; -1] e) [-9; 10]
04. Sean los intervalos:
A = ]-∞; ∞[
B = [-3; 4[
C = ]-1; 3[ . Calcular: A ∩ B ∩ C
a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-1;3[
d) ]3; 4[ e) [-3; -1[
05. Para los números reales “a” y “b”. ¿Cuál
de las siguientes afirmaciones es siempre
verdadera?
a) Si: a2
- b2
= 0 a = b
b) Si: a2
- b2
= 0 a = -b
c) Si: a2
- b2
= 0 a = b ∧ a = -b
d) Si: a2
- b2
= 0 a = b = 0
e) Si: a2
- b2
= 0 a = b ∨ a = -b
06. Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las
siguientes proposiciones es verdadera?
a) 0 < x2
< x3
< 1
b) 0 < x3
< x2
< 1
c) 0 < 1-x < x < 1
d) 0 < x-1 < x < 1
e) 0 < 1-x < x < 1
07. Dados los números racionales U, V y W
que satisfacen:
V
U
> W, entonces se cumple:
a) U > V + W d) U + V > W
b)
V
VU +
> W + 1 e) U + W > V
c) V > U
08. Si: “x” es entero. ¿Qué valor no puede
tomar “x” en:
5
1x
3
1x −
>
+
?
a) 1 b) -3 c) 0
d) -6 e) 11
09. Resolver:
1
1a
a
a
x
>
+
+
, Si a = 1 -
5
a) x > 1 + 5 d) x > 1- 5
b) x < 1 + 5 e) x < 1- 5
c) x ∈ φ
10. Resolver el sistema:
2x+4 ≤ 3x+6 ≤ 5x-10
a) [-2; +∞[ b) [8; +∞[ c) [-8; +∞[
d) φ e) [2; +∞[
11. Resuelve el sistema y marque el intervalo
solución:
2 ≤ 5-3x < 11
2 > -3-3x ≥ -7
a)
− 1;
3
5
b)
− 1;
3
5
c) ]-2; 1]
d)
−−
3
5
;2 e)
−
3
4
;
3
5
12. ¿Cuántos números enteros satisfacen el
sistema:
5x - 6 > 3x-14
2
6x7 +
< x + 12
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
13. Resolver el sistema:
2(2x-3) < 5x-3/4
8x-5 <
2
8x15 −
Y dar como respuesta la suma de todos los
valores enteros de “x”
a) -11 b) -12 c) -13
d) -14 e) -15
14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el
siguiente sistema?
5x+4 > 10 6x-5 < 12
4x+3 > 8 7x-6 < 14
3x+2 > 6 8x-7 < 16
a) 14 b) 8 c) 4
d) sólo 1 e) Ningún valor
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OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:
SSaber resolver inecuaciones polinomiales enaber resolver inecuaciones polinomiales en
base a los teoremas sobre desigualdades y albase a los teoremas sobre desigualdades y al
método de los intervalos.método de los intervalos.
Generar las condiciones para un estudioGenerar las condiciones para un estudio
adecuado del dominio y rango de lasadecuado del dominio y rango de las
funciones.funciones.
Reconocer y saber resolver inecuacionesReconocer y saber resolver inecuaciones
fraccionarias, irracionales, etc.fraccionarias, irracionales, etc.
COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:
Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más la
capacidad de análisis, pues la diversidad de
problemas que se presentan aquí requiere que el
estudiante sea analítico, pues de esa manera
lograremos determinar la solución respectiva al
problema.
En algunos casos las soluciones de las
inecuaciones se dan en gran cantidad, por lo que
serán agrupadas en intervalos.
ESQUEMA
CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:
INECUACION POLINOMIAL
DE GRADO SUPERIOR
Es aquella inecuación, que tiene la siguiente
forma general:
P(x) =
>
−
<+++ n
1n
1
n
0 a....xaxa 0 ....
(*)
Donde: {a0, a1,....... an}⊂ R
a0 ≠ 0; n ∈ Z+
; n > 2
Resolución de una ecuación polinomial:
Para resolver esta inecuación se procede de la
siguiente manera:
I. Se factoriza el polinomio P(x) en R.
II. Los factores primos obtenidos que resultan
positivos, luego de factorizar el polinomio, se
pueden omitir (El C.S. de esta inecuación no
se altera).
III. Para luego aplicar el método de los puntos
críticos.
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En (*) consideramos que P(x) se factoriza de la
siguiente manera:
P(x) =
)c-x)...(bc-x)(bc-x)(bc-x(b nn332211
Para la aplicación del método, se debe tener en
cuenta:
Los valores que anulan a P(x) son diferentes.
Los coeficientes de “x” en todos los factores
lineales, deberán ser positivos; si uno de estos
coeficientes en un factor no fuese positivo, se
tendrá que multiplicar por (-1) a dicho factor,
cambiándose el sentido de la desigualdad.
Procedimiento
• Se iguala a cero, cada factor lineal,
obteniéndose así valores diferentes para “x”,
a los cuales se les denomina: puntos críticos.
• Estos valores se ubican en la recta numérica
en forma creciente (de menor a mayor),
dividiendo a la recta numérica en (n+1)
zonas.
• El polinomio va a tomar valores positivos y
negativos de forma intercalada en cada zona,
según la figura.
• El conjunto solución toma en consideración a
la reunión de las zonas positivas o negativas,
dependiendo del sentido de la inecuación.
+- + -
n
n
b
c
3
3
b
c
2
2
b
c
1
1
b
c
n-1
n-1
b
c
Sea:
n
n
3
3
2
2
1
1
b
c
.......
b
c
b
c
b
c
>>>>
Ejemplos:
Resolver:
1. x3
- 6x2
+ 11x - 6 ≥ 0
Resolución:
Factorizando:
(x-1)(x-2)(x-3) ≥ 0
Puntos críticos: {1, 2, 3}
- + +-
1 2 3
+∞−∞
CS = x ∈ [1, 2] U [3, +∞>
2. (x + 2) (x3
- 27) < 0
Factorizando:
(x + 2) (x - 3) (x2
+ 3x + 9) < 0
(+) ∀ x ∈ R
(x + 2)(x - 3) < 0
- ++
-1 2
+∞−∞
3. (x + 1)(x - 4)(x - 5)4
≤ 0
Es equivalente a:
(x + 1)(x - 4) ≤ 0 ⇔ (x - 5)4
≥ 0
∀ x ∈ R
Observación: x = 5 verifica la inecuación:
- ++
-1 4
CS = x ∈ [-1, 4] U {5}
4. (x - 2)(x - 5)(x - 7)6
> 0
Es equivalente a:
(x - 2) (x - 5) > 0 ⇔ x ∈ R - {7}
2 5
- ++
7
CS = x ∈ <-∞, 2> U <5; +∞> - {7}
Teoremas: Dado x ∈ R: , m ∈ N
I. x > 0 ⇔ x2m+1
> 0
II. x ≤ 0 ⇔ x2m+1
≤ 0
Así por ejemplo:
(x - 1)3
> 0 ⇔ (x - 1) > 0
(x + 4)5
≤ 0 ⇔ (x + 4) ≤ 0
Conclusión:
Los polinomios de la forma 1m2
)ax( +
−
; m ∈ N ∧ a ∈ R tienen el mismo signo que
su base (x-a).
5. (x + 4)3
(x - 1) (x - 3)5
≥ 0
Es equivalente a: (x + 4)(x - 1)(x - 3) ≥ 0
−∞ +∞
-4 1 3
- + - +
CS = x ∈ [-4; 1] U [3; +∞>
S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
INECUACIO
InecuacionesInecuaciones FraccionariasFraccionarias
PolinomialesPolinomiales
IrracionalesIrracionales](https://image.slidesharecdn.com/algebra44b-140516103207-phpapp02/85/Algebra-4-4-b-7-320.jpg)
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INECUACIÓN FRACCIONARIA E
IRRACIONAL
Antes de estudiar estas inecuaciones, definiremos
al conjunto de valores admisibles de una expresión
matemática en R.
Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.):
El conjunto de Valores Admisibles de una
expresión matemática en R, es el conjunto de todos
los valores reales que puede tomar la variable de la
expresión, para los cuales dicha expresión está bien
definida en R.
Ejemplos:
1) Sea f(x) =
2x
5
−
→ C.V.A. (f) = R -{2}
2) Sea g(x)= 4
6x2 − → C.V.A. (g) = [3; +∞>
INECUACIÓN FRACCIONARIA
Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma
general.
0
)x(Q
)x(P >
<
Donde P(x) y Q(x) son polinomios y además: Q(x)
de grado n ≥ 1.
Resolución de la inecuación fraccionaria:
e sigue los siguientes pasos:
I. Se factoriza los polinomios P(x) y Q(x) en R.
II. Se halla el C.V.A. de la expresión
)x(Q
)x(P
C.V.A.
Q
P
= R - {x/Q(x) ≠ 0}
III. Multiplicando a la inecuación por 2
)x(Q , se
obtiene la inecuación equivalente:
P(x). Q(x) >
< 0 la cual será resuelta por el método
de los puntos críticos.
IV. El conjunto solución es la intersección del
C.V.A. con la solución de III.
Ejemplo:
Resolver:
12xx
2xx
2
2
−−
−+
≥ 0
I. Factorizando:
)4x)(3x(
)2x)(1x(
−+
+−
≥ 0
II. C.V.A. = R - {-3, 4}
III. Multiplicando la inecuación por:
(x + 3)2
(x – 4)2
, la inecuación es equivalente
a:
(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 4) ≥ 0
-3 1 4
+ - +
-2
-+
CS = x ∈ <-∞; -3> U [-2; 1] U <4; +∞>
INECUACIÓN IRRACIONAL
Es toda inecuación que tiene la siguiente forma
general:
0F(x)
>
<
Donde: F(x) es una expresión matemática
irracional.
Resolución:
A continuación presentaremos los casos más
frecuentes, de una inecuación irracional.
)x(h)x(f <
;
)x(h)x(f >
;
)x(g)x(f >
Los cuales se resuelven aplicando los siguientes
criterios:
Sea f(x) y h(x) expresiones no irracionales.
I.
)x(f <h(x) ↔ f(x)≥ 0 ∧ h(x) > 0 ∧ f(x) <
2
)x(h
(1) (2) (3)
CS : S1 ∩ S2 ∩ S3
II.
)x(f >h(x)↔{h(x)<0∧f(x)≥0}v{h(x)≥0∧f(x)>
2
)x(h
(1) (2)
CS = S1 U S2
III.
)x(f > g(x) ↔f(x)≥0 ∧ g(x)≥0∧ f(x)
>g(x)
Ejemplos:
Resolver:
1) 2x5 − ≥ 3
2) 1x3 + > - 2
3) 6x2 + > x + 1
4) 2xx 2
−− < 5 - x
5) 1x2 + - 8x − > 3
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01. Resolver:
2x2x
2x
2x
4
2
+−
+
−
−
≥
1x
3
−
si su intervalo solución es:
x∈<-∞; a] U [b, c> U <d,+∞>
Hallar: (a + b + c + d)
a) -2 b) 0 c) 1
d) 2 e) 10
02. Resolver:
372
452392
)3x()3x()1x(
)3x()5x4x()6x()3x(
−+−
−+−++
≤ 0
Indicar su intervalo solución:
a) x ∈ <-∞ ; -6] U <-3; 1> U <1, 3>
b) x ∈ <-∞ ; -3] U <1, 3>
c) x ∈ <-∞ ; -2] U <-1; 1> U <2, +∞>
d) x ∈ ∅
e) x ∈ R
03. Resolver:
153x10x2x5xx 2345
+++++ ≥ 0
Indicar el intervalo solución.
a) x ∈ [-5, +∞> b) x ∈ [5, +∞>
c) x ∈ <-∞, -5] d) x ∈ <-∞, 9]
e) x ∈ R
04. Resolver:
2
1
)3x2)(2x(
3x3x2 2
−>
+−
+−
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Indicar su intervalo solución.
a) x ∈ <-∞, -3/2> U <0, 7/6> U <2, +∞>
b) x ∈ <-∞, 2> U <4, +∞>
c) x ∈ <-∞, -1> U <1, 2> U <3, +∞>
d) x ∈ R e) N.A.
05. Resolver:
1
5x
5
1x
2
−<
−
+
+
su conjunto solución es: x ∈ <a, b> U <c, d>
Hallar: E = a + b + c + d.
a) -5 b) -1 c) 2
d) 5 e) 1
06. Resolver:
2
2x
4
2x
x 2
−
+
>
+
a) x ∈ <0, +∞> b) x ∈ <-2, +∞>
c) x ∈ <2, +∞> d) x ∈ <-1, +∞>
e) x ∈ <-4, +∞>
07. Resolver:
A = {x ∈ R /
5x
3x
−
+
≥ 0}
B = {x ∈ R/
4x
2x
+
−
≥ 2 }
Hallar (A ∩ B)
a) <- ∞, -3] U <5; +∞>
b) <-10, +∞>
c) <-∞, 10>
d) [-10, -4>
e) N.A.
08. Hallar F U G.
F = {x ∈ R+
/2x2
- 5x + 7 ≥ 0}
G = {x ∈ R+
/2x2
- 5x + 30 ≥ 0}
a) <0, 1] U [3/2, + ∞> b) R
c) R+
d) R - {1}
e) R - {3/2}
09. Hallar J ∩ K siendo:
J = {x ∈ R-
/x2
- 7 < 0]
G = {x ∈ R /x2
- 5 > 0}
a) 7,7− b) 5,5−
c) 5,7 −− d) 5,−∞−
e) 7,−∞−
10. Resolver: 4816x 2
<−
a) <-8, -4] U [4, 8> b) <- ∞, -4] U [4, +∞]
c) <- ∞, -4] U [8, +∞> d) <-∞, 6>U<8, +∞>
e) <-8, 8>
11. ¿Cuáles son los valores de y para que la ecuación
x2
+ xy + y2
- 4 = 0, defina valores reales de x?
a)
−
3
34
,
3
34
b)
3
32
,0
c) ∅ d) R
e) [-2, 2]
12. Determine los valores de x que impiden que y tome
valores reales en la ecuación:
xy2
- y2
- x = 0
a) R -{1} b) [1, +∞> c) <-∞, 0]
d) <1, +∞> e) <0, 1>
13. Resolver: 5625x 2
<−
a) <-9, -5] U [5, 9> b) <-9, 9>
c) <-∞, -9> U <9, +∞> d) R
e) <-∞, -5] U [5, +∞>
14. Resolver: 7 235
9x1xx2 −+− ≥ 0
a) <-1, 2] U [3, +∞> b) R
c) <-∞, -3> d) [-1, -3] U <-∞,-3]
e) [-3, -1] U [2, 3]
15. Resolver la siguiente inecuación :
5x21x6x3 +++<+
a) {2} b) R+
c) <-∞, -1>
d) <-1, +∞> e) [-1, +∞>
16.Determine cuántos valores enteros de k satisfacen el
sistema:
x2
- 4x + 2k < 0 ...(1)
x2
+ k x + 0.5 > 0 ... (2)
a) 2 b) 4 c) 5
d) 16 e) Infinitos
17.Si k > 1/4, hallar el conjunto solución en:
x2xx
kxx
23
2
−−
++
≤ 0
a) <0, 1> b) <1/4, 2> c) <1, 2>
d) <-∞, -1> U <0, 2> e) <-∞,0>U<0,1>
18.Si:
7x
6
3x
7
−
+
+
> 2, el conjunto solución
es:
a) [-3, -1/2]U<7, 11> b) <-3, -1/2>U<7, 11>
c) <-3, -1/2] d) <-6, -1>
e) <-∞, -6] U [-1, +∞>
19.Resolver:
x14
4
x1
2
≥
−
a) <-∞, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)
c) <0, -1/8) d) <-1, ∞>
e) R
20.Resolver:
1x
2x3
+
−
< 4
a) <-∞, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)
c) <0, -1/8> d) <-1, +∞>
e) <-∞, -6> U <-1, + ∞)
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02
01. Resolver: x3
- 18x2
+ 77x > 60
a) x ∈ <1; 5> U <12; +∞>
b) x ∈ <1; 4> U <10; +∞>
c) x ∈ <-1; 5> U <12; +∞>
d) x ∈ <0; 5> U <10; +∞>
e) x ∈ <-12; -5> U <-1; +∞>
02. Resolver: x4
- 2x3
- 16x2
+ 2x + 15 < 0
a) x ∈ <-3; -1> U <1; 5>
b) x ∈ <-2; 0> U <1; 4>
c) x ∈ <-1; 1> U <2; 5>
d) x ∈ <3; 5>
e) x ∈ <-3; 0>
03. Resolver:
3xx3x
20xx
23
2
+−−
−−
≤ 0
a) x ∈ <-∞, -4] U <-1; 1> U <3; 5]
b) x ∈ <-∞, 2] U <-1/2; 1> U <4; 7]
c) x ∈ <-4, -1> U <-1; 3>
d) x ∈ <-∞, 4] U <8; 7>
e) x ∈ ∅
04. Resolver:
abx
bax
+
+
> 1, donde: 0 < a < b.
a) x ∈<- ∞; -
b
a
> b) x ∈<- a; 1>
c) x ∈<- b; 1> d) x ∈<-
b
a
; 1>
e) x ∈<a; b>
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05. Resolver la inecuación:
ax
a3
ax
x
+
−
−
≥
22
2
ax
a6
−
Considerando que: a < 0.
a) <-3a; a]
b) <-∞ ; 3a] U <a; +∞> - {- a}
c) [-3a; a>
d) <-∞ ; a] U <3a; +∞>
e) R - {-a; a}
06. Resolver:
)1x)(4x(
)4x()9x)(8x(
2
2223
−−
+−−
≤ 0
si su intervalo solución es:
x ∈ <-a; b> U {-c, c}
Hallar: E = a + b + c.
a) 4 b) 2 c) 3
d) 1 e) 6
07. Resolver:
2x
x
2x
2x
2
2
+
<
+
−
a) x∈[-2; +∞> b) x∈<-2; +∞>
c) x∈<-1; +∞> d) x∈[-2; 1]
e) x∈[1; +∞>
08. Resolver:
2x
4x
1x
2x
2
3
2
3
+
−
<
+
−
a) x∈<-∞; -2> b) x∈<-∞; 3>
c) x∈<-∞; 4> d) x∈<-∞; 2>
e) x ∈ ∅
09. Resolver:
( )
5 2
32
3x4x
4x4x
+−
+−
< 0
a) x ∈ <-∞ ; -4> U <2; 3>
b) x ∈ <-∞ ; -3> U <2; 3>
c) x ∈ <-∞ ; -2> U <3; +∞>
d) x ∈ R
e) x ∈ ∅
10. Resolver:
34578 2
x)1x(3x)2x(x4 +−+− ≥ 0
Indicar un intervalo solución:
a) [-2; 2] b) <-∞; -2> c) <3; +∞>
d) [-2; 0] e) [-2; 0] U {2}
11. Resolver: x2x >+
Dar un intervalo solución:
a) x ∈ [-2; 2] b) x ∈ <-2; 2] c) x ∈ [-2; 8]
d) x ∈ <2, 7> e) x ∈ R
12. Resolver:
5x210x2x 2
−<+−
a) x > 3 b) 2 < x < 5 c) x > 1
d) x > 5 e) x ∈ ∅
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01. Resolver:
)8x()8x(7x
x812x7x)2x()1x(9x
336
45 247
−−+
−+−+++
≤ 0
a) x ∈ <-7, -2] U <2, 3] U [4, 8> U {-1}
b) x ∈ <-7, -1] U <2, 3] U [4, 8>
c) x ∈ <-4, -1] U <2, 3] U [4, +∞>
d) x ∈ <-1, 1> U <2, +∞>
e) N.A.
02. Resolver: 1x6 + ≥ 2 x - 3
a) x ∈
− 4,
6
1
b) x ∈
4,
2
1
c) x ∈
∞+− ,
6
1
d) x ∈ ∅
e) x ∈ R
03. Resolver: 2x6x5x3x
3 23
−>−+−
a) x ∈ <-∞, 1/3> U <2, +∞>
b) x ∈ <-∞, -1/4> U <1/4, +∞>
c) x ∈ R
d) x ∈ ∅
e) x ∈ <-1/6, +∞>
04. Resolver:
0)6xx(|1x|8 22
<−−−−
a) x ∈ <-2, 3> b) x ∈ <-1, 1> c) x ∈ <-2, 2>
d) x ∈ R e) N.A.
05. Resolver:
4x
|1x|
+
+
< 1
a) <-∞, -4> U <-5/2, +∞>
b) <-∞, -4> U <1, 2>
c) <-4, +∞>
d) <-5/2, +∞>
e) N.A.
06. Resolver:
32
2
4x2
22xx
+−
−−−
≥ x - 4
su intervalo solución es: x ∈ [a, b] U [c, d]
Hallar: (a + b + c + d)
a) -4 b) -2 c) 2
d) 3 e) -1
07. Resolver:
x11x
1
−++
≥ x - 4
a) x ∈ [-4, +∞> b) x ∈ <-∞, -1] U [1, +∞>
c) x ∈ [-1, 1] d) x ∈ ∅ e) x ∈ R
08. Resolver:
8
x4
x
1
x −+− ≥ 0
a) x ∈ [-1,0> U [1, 4] b) x ∈ [-1,4]
c) x ∈ <-1,0> U [1, 7] d) x ∈ R
e) x ∈ ∅
09. Resolver: x20x >+
su intervalo solución es [a, b>. Hallar (a+b).
a) -20 b) 5 c) -15
d) 10 e) N.A.
10. Resolver:
( )
6x2x)3x()5x2()2x3(
xx1x)5x4x(1x)5x(
31367
343245 3
++−++
−+−++
≤ 0
a) x ∈ <-∞, -5] U <-2, -2/3> U <0,3>
b) x ∈ <-∞, -4] U <-2, 1> U <2,3>
c) x ∈ [1, 3> d) x ∈ <-3,3>
e) N.A.
11. Resolver: )2xx(8x 22
−−− ≥ 0
a) x ∈ <-∞, -2 2 ] U [2 2 , +∞>
b) x ∈ <-∞, -2 2 ] U [4, +∞>
c) x ∈ <-1, 1>
d) x ∈ <-∞, -1] U [2, +∞>
e) x ∈ R
12. Resolver; hallar su intervalo solución
3x2x 2
−+ > -2
a) x ∈ <-∞, -3] U [1, +∞>
b) x ∈ <-∞, -2] U [4, +∞>
c) x ∈ <-∞, -1] U [2, +∞>
d) x ∈ <-∞, 0] U [4, +∞>
e) x ∈ R
13. Hallar todos los valores reales “x” que verifican:
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![51 52COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria
)8x)(1x()xx)(1x2)(1x8(
)3x()xx)(xx()1x6x24x64(
332
4422323
−+−−+
++−−−+
≥ 0
a) x∈<-∞;-3]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<2,+∞>
b) x∈<-∞;-2]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<3,+∞>
c) x∈<-∞;-1]U<-1;-1/2>U[1/4,1/2]U<2,+∞>
d) x ∈ R
e) N.A.
14. Hallar el conjunto solución en:
3x2x
2|x|
2
−−
−
≤ 0
a) [5/2, 3> b) [2, 5] c) <2, 3/2>
d) [2, 3> e) {2, -2}
15. El conjunto solución en: |x|2
- 4 > |3x - 6|
a) [-6, 3]’ b) [-7, 5/2]’ c) [-5, 2]’
d) <3, +∞> e) <-∞ , -6>
16. Si x ∈ <-2, 1] entonces x2
+ 2x + 2 pertenece al
intervalo:
a) [0,2] b) [0, 2> c) [0, 4>
d) [1, 4> e) [1, 5]
17. Si
1x
1
+
∈ <1/3, 1] entonces x2
+ 2x + 3
pertenece al intervalo:
a) [2, 4> b) [0, 9> c) [3, 11>
d) [3, 9> e) [2, 10>
18. Determinar la verdad o falsedad en:
I. x ∈ [1, 3] ⇒
5x
4x
−
−
∈
4
3
,
2
1
II. x ∈ [1, 2] ⇒
1x
7x
+
+
∈ [3, 4]
III. x2
∈ <4, 9> ⇒ x+1 ∈ <-2, -1> U <3, 4>
a) FVV b) FFF c) VVV
d) VVF e) FFV
19. Sea J = {x ∈ R/x ≤ |4x-7| < x+5}, entonces J es
igual a:
a) <2/5, 7/5] U [7/3, 4> b) R
c) [7/3, 4] d) <1/3, 2/5]
e) <0, 1]
OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:
Diferenciar las Relaciones de las funciones.
Encontrar dominios e imágenes de las
funciones
Graficar las funciones más importantes
Hallar el número real (valor numérico) o la
expresión algebraica (cambio de variable) que
resulta de reemplazar una o más variables por
valores numérico o algebraico.
COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:
Par ordenado: Un par ordenado es un conjunto
formado por dos elementos en el que se
introduce un orden “natural”.
Notación:
( a; b )
2do. componente
1er. componente
Propiedad:
Producto cartesiano:
Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano
de ambos se denota por A x B y se define como el
conjunto de pares ordenados, cuyo primer
elemento pertenece al primer conjunto y el
segundo elemento al segundo conjunto.
Es decir:
Propiedad:
Si: n representa el número de elementos de un
conjunto determinado. Se cumple que:
RELACIONES BINARIAS:
Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío,
decimos que el conjunto “R es una relación
binaria de A es B”, si R es un subconjunto del
producto cartesiano A x B
Simbólicamente:
R: A → B; R ⊂ A x B con A ≠ φ y B ≠ φ
Donde:
A x B = {(a; b) / a ε A ∧ b ε B}
Gráficamente:
R
A
Dominio de R
Conjunto de partida Conjunto de llegada
Rango de R
B
Dominio:
Es el conjunto formado por los primeros
componentes de los pares ordenados (a: b) que
pertenece a R.
Simbólicamente:
S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
FUNCIO
Si (a; b) = (c; d) ⇒ a = c ∧ b = d
n (A x B) = n (A) x n (B)
A x B = {(a; b)/a ∈ A ∧ b ∈ B }](https://image.slidesharecdn.com/algebra44b-140516103207-phpapp02/85/Algebra-4-4-b-11-320.jpg)
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y
C
C > 0
C = 0
C < 0
x
2. Función Identidad
Regla de correspondencia: f(x) = x ó I(x) = x
y
f
x
Df = R
Rf = R
45°
3. Función Valor Absoluto
Regla de correspondencia
y
f
x
45°45°
f(x) = |x| =
<−
≥
0xx ;
0xx ;
Df = R
Rf = +
0
R
4. Función Lineal
Regla de correspondencia
f(x) = ax + b; a ≠ 0
Df = R
Rf = R
y
b
x-b/a
a > 0
b > 0
5. Función cuadrática
Regla de correspondencia
f(x) = ax2
+ bx + c; a ≠ 0, {a, b, c}⊂ R
Df = R
Toda función cuadrática se puede llevar a la
forma:
f(x) = a(x-h)2
+ k
Donde: V = (h; k) vértice.
x
y > 0
v
v
a<0
a>0
x
y = 0
v
a<0
a>0
∆∆
x
y
< 0
v
a<0
a>0
v
∆= discriminante
∆
2
= b - 4ac
∆Donde:
6. Función Raíz Cuadrada
Regla de correspondencia: f(x) = x
y
F
x
Df = R
Rf = R
+
0
+
0
7. Función Signo
Regla de correspondencia
<−
=
>
==
0xsi1
0xsi0
0xsi1
Sgn(x)F(x)
:,
:,
:,
Dom F = R; Rang F = {-1; 0; 1}
y
x
-1
1
Álgebra de funciones
1. Igualdad de Funciones:
Las funciones f y g son iguales si se
cumple:
a. Df = Dg (igual dominio)
b. f(x) = g(x), ∀ x ∈ Df = Dg
A continuación vamos a definir las diferentes
operaciones que se pueden establecer con las
funciones.
Sean las funciones f, g con dominios Df y Dg
respectivamente.
i. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
D(f + g) = Df ∩ Dg
ii. (f – g)(x) = f(x) – g(x)
D(f – g) = Df ∩ Dg
iii. (f.g) (x) = f(x). g(x)
D(f. g) = Df ∩ Dg
iv. (f/g)(x) =
)(
)(
xg
xf
; g(x) ≠ 0
D(f/g) = Df ∩ Dg ∧ g(x) ≠ 0
Observación:
Si:
(f. f. f. f. . . . . . f)(x) = f(x) . f(x) . . . . . f(x)
n veces n veces
Entonces:
n
xf )( = Df;][f nn
(x) = Df : n ∈
N
Ejemplo:
Dadas las funciones:
F = {(-3;4); (-1;0); (2;0); (3;1); (4;1); (5;3);
(6;6)}
G= {(-4;3); (-3;0); (1;0); (2;3); (3;3); (4;6);
(6;6); (7;5)}
Determinar:
a) f ± g
b) f . g
c) f/g
d) g/f
e) f2
- 2g
S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."](https://image.slidesharecdn.com/algebra44b-140516103207-phpapp02/85/Algebra-4-4-b-13-320.jpg)
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PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01.Sean A = {1, 2, 3} B = {4, 5}
Cuáles de los siguientes conjuntos son
relaciones de A en B.
I.- {(1, 4) (2, 4)}
II.- {(1, 5) (2, 4) (4, 3)}
III.- {(3, 5) (2, 5)}
a) Sólo I b) sólo I y II c) sólo I y III
d) III y II e) N.A.
02. Dado el número U = {1, 2, 3, 4} y las
relaciones:
R1 = {(x, y) / x = y}
R2 = {(x, y) / y = 4}
R3 = {(x, y) / x > y}
El número de elementos de R3 – (R1 U R2) es:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
03.Si R es una relación en A = {2, 3, 9} tal que
R ={(x, y) ∈ A x A/ y + 1 <x2
} entonces:
I) Dom(R) = {2, 3}
III) Dom(R)=Ran(R)
II) Ran(R)= {9}
IV) R tiene 7 elementos
a) Sólo I y II b) sólo II y IV c) I, II y III
d) sólo III y IV e) N.A.
04.Dada la relación R definida con los números
reales: R = {(x, y) / |x-y| < 5}
Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas:
I) R es reflexiva
II) R es simétrica
III) R es transitiva
IV) R no es de equivalencia
a) Sólo I b) sólo II y III c) I, III y II
d) sólo I, II y IV e) N.A.
05.Si R = {(x, y) / 2x – y = 5} ⊂ M x M, donde:
M = {1, 2, 3, 4, ......, 9} y si “m” es la suma
de todos los elementos del dominio de R y
“n” es la suma de todos los elementos del
rango de R, entonces:
Hallar el valor de m.n.
a) 620 b) 625 c) 630
d) 635 e) N.A.
06.De un conjunto A a un conjunto B se pueden
formar 1024 relaciones, si el conjunto A tiene
dos elementos. Cuántos elementos tiene el
conjunto B.
a) 10 b) 6 c) 8
d) 5 e) 7
07.Sean las relaciones:
R ={(1;3) (2;4)(3;5)(1;1)(2;2)(4;2)(3;1)}
T = {(x, y) / (y, x) e R}. Entonces ¿Cuáles de
las afirmaciones siguientes son falsas?
I) R es transitiva pero no simétrica
II) R ∩ T = {(1; 1) , (2; 2)}
III) Dom (R) - Dom (T) ≠ ∅
a) Sólo I b) sólo II c) sólo III
d) sólo I y II e) todas
08.Hallar el dominio (Df) y el rango (Rf) de la
siguiente función:
f={(2,5);(-1,-3);(2,2a-b);(-1,b-a);(a+b2
, a)}
Luego indicar: Df ∩ Rf
a) {3} b) {-1} c) {2}
d) {5} e) {φ}
09. Hallar a + b, si el dominio de la función:
F(x) = 1x4
x87x3
1x 2
2
2
−+
−−
−
Es x ∈ [-a; -b] U [b; a]
a) 1/2 b) 1 c) 3/2
d) 2/3 e) 1/6
10.Calcular el rango de:
f(x) = 1x4x2
++
Sabiendo que: x ∈ <2, 4>
a) <-15; 35> b) < 35;15 >
c) <13;33> d) < 33;13 >
e) < 21;10 >
11. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) = 2x2
+ 3x + 2; x ∈ R
a) [1/8; +∞> b) [7/8; +∞> c) [-1; 2]
d) <-∞; 7/8> e) N.A.
12.Hallar el rango de la función:
F(x) =
64x5
x
2
2
+
a) [0; 1/5> b) <-∞; 1/5] c) [0; 5>
d) [1/5; +∞> e) N.A.
13.Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) =
4x2x
4x2x
2
2
++
+−
a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6]
d) [1/3; 4] e) [-3; 1]
14.Hallar el rango de:
F(x) =
3|3x|x
|3x|x
−−−
−+
a) {0} b) [3; +∞> c) <-∞; 3]
d) {3; -3} e) <-∞; 0>
15.Hallar el rango de la función:
G(x) = x2
- 6x + 3; si x ∈ <-2; 5>
a) <-6; 19> b) [-5; 10> c) [-6; 19> d)
<-6; 6> e) [-7; 10>
16. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) =
10x3x6x
)8x6x)(x5x4x(
23
223
++−
+−−−
a) <-2; 5> U <5; +∞>
b) <-4; 3> U <3; +∞>
c) <-4; 6>
d) <-4; 5> U <5; +∞>
e) <-3; 5>
17. Determinar el rango de:
F = {(x; y) ∈ R2
/y = 25x4x 2
++− }
a) R b) [3; +∞> c) <2; +∞> d)
[2; +∞> e) <3; +∞>
18. Si: F(x) = 3x2x −−
G(x) = )3x)(2x( −−
Indicar lo correcto:
a) F = G b) F = 2G c) F = 3G
d) F + G = 0 e) F ≠ G
19. Sean las funciones:
F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1), (4,3)}
G = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)}
Hallar la suma de valores extremos de:
(F + G).
a) 6 b) 10 c) 3
d) 13 e) N.A.
20. Hallar la gráfica de la siguiente función:
F(x) = (x + 2)2
– 4
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e) N.A.
a)
x
y b)
x
y
d)
x
yc)
x
y
21. Hallar la gráfica de: F(x) = 23x −−
e) N.A.
a)
x
b)
d)c)
y
-2
3
y
3
y
3
y
2
x x
x
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03
01. Si F(x) = 4 |x|3−
G = {(-4,1); (-3,0); (-1,5); (2,-1); (7,4)}
Indicar el número de elementos de G/F.
a) 3 b) 1 c) 2
d) 4 e) 5
02.Dado el conjunto A = {a, b, c, d} y las
relaciones:
R1 = {(a, a), (d, d), (a, d), (d, a)}
R2 = {(c, c), (b, b)}
R3 = {(a, a), (b, b), (c, b), (d, a)}, son
transitivas:
a) R1, R2 b) R1, R3 c) R2, R3
d) N.A. e) Todas
03.Sea R una relación definida en el conjunto
{x/x=2n , n e Z+
,5 < x < 25} y sea n(R) el
número de elementos de R. Cuáles de las
siguientes proposiciones son verdaderas.
I) n(R) = 10 ⇒ R no es reflexiva
II) n(R) = 10 ⇒ R es reflexiva
III) R es transitiva ⇒ n(R) > 3
Son verdaderas:
a) Sólo I b) sólo II c) sólo III
d) sólo I y II e) Todas
04.En el conjunto [1,8] ∩ Z se define la relación
R cómo. a R b ⇔ a es divisor de b. Hallar
n(R)
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
05.Si el conjunto M tiene 2 elementos, entonces
el número de relaciones binarias en MxM es:
a) 22
b) 24
c) 28
d) 216
e) N.A.
06.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la siguiente relación
en A:
R = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,z), (x,y) ,
(x,z) , (2,3) , (z,y) , (3,1)} Si R es una
relación de equivalencia.
Hallar el valor de: 3x + 2y – z
a) 2 b) 4 c) 0
d) 7 e) N.A.
07.Sea R una relación en: A={1,2,3,4,5,6}
definida por “x es divisor de y”, entonces:
1. R es reflexiva
2. R es simétrica
3. R es Transitiva
Son ciertas solamente:
a) Todas b) 1,2 c) 1,3
d) 2,3 e) N.A.
08.Son funciones:
a
b
c
1
2
3
4
A B
a
b
c
1
2
A B
(1) (2)
a
b
1
2
A B
3
a
b
1
2
A B
(3) (4)
Son ciertas solamente:
a) Todas b) 1; 2 y 3 c) 2; 3 y 4
d) 3 y 4 e) N.A.
09.Se tiene los siguientes conjuntos de pares
ordenados:
1.- {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3)}
2.- {(2,1), (3,2), (4,3), (3,4)}
3.- {(3,4), (2,3), (4,1), (2,3)}
4.- {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
Son funciones solamente:
a) Todas b) 1,2 y 3 c) 1,3 y 4
d) 1,3 y 5 e) N.A.
10.Sea f: A → R definida por f (x) = 4x
– 4.
Hallar el rango de f si:
A = {-1/2; -1; 0; 1; ½}
a) {0, -1, -2, -3, -4}
b) {-2, -3, 0, 3, 2}
c) {7/2, 15/4, 2, 3, 0}
d) {-15/4, -7/2, 0}
e) {–7/2, –15/4, –3, –2, 0}
11.Los siguientes gráficos representan funciones:
y
x
y
x
(1) (2)
y
x
(3)
Son ciertas solamente:
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.
12.Sean los conjuntos:
A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y las siguientes
relaciones de A en B.
1.- {(2, 3), (3, 4), (4, 5)}
2.- {(3, 2), (4, 3), (5,4)}
S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."](https://image.slidesharecdn.com/algebra44b-140516103207-phpapp02/85/Algebra-4-4-b-15-320.jpg)
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3.- {(3, 3), (4, 4)}
Son funciones de A en B:
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.
13.¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen
a una función A x A:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
1.- {(x, y) ∈ A2
/ x = 4}
2.- {(x, y) ∈ A2
/ y = 4}
3.- {(x, y) ∈ A2
/ x + y = 6}
4.- {(x, y) ∈ A2
/ x2
+ y2
= 25
5.- {(x, y) ∈ A2
/ x < y}
a) Todas b) 1,2 y 5 c) 2,3 y 4
d) 1,3 y 4 e) 3,4 y 5
14.Sea A = {x ∈ N / 0 < x < 5}
¿Cuántos de los siguientes conjuntos son
funciones de A en A?
R1 = {(x, y) ∈ A x A / x = 2}
R2 = {(x, y) ∈ A x A / y = 2}
R3 = {(x, y) ∈ A x A / x + y = 5}
R4 = {(x, y) ∈ A x A / x = y2
}
a) R1 ∧ R2 b) R2 ∧ R3 ∧ R4 c) sólo R3
d) todas e) R1 y R4
15.Para A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5}
Sean f y g dos aplicaciones de A en B tales
que:
f = {(1, 3), (2, 4), (a, b)} y
g = {(3, 3), (2, 4), (c, d)}
Si: ∀x ∈ A, f(x) ≠ x,
Rango (f) ≠ B y g(1) = 3
Hallar el valor de: (b – a) – (c – d)
a) 2 b) 4 c) –2
d) –1 e) N.A.
16.Si f es una función. ¿Cuáles son verdaderas?
I) Si a = b ⇒ f(a) = f(b)
II) Si a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b)
III) Si f(a) = f(b) ⇒ a = b
a) I b) II c) III
d) todas e) I y III
17.Sean:
A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {a, b, c, d, e}
¿Cuáles de las siguientes relaciones definen
aplicaciones de A en B?
R1 = {(2, a), (4, c), (10, c), (8, e), (6, e)}
R2 = {(10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d)}
R3 = {(6, a), (4, b), (8, c), (10, e)}
R4 = {(a, b), (4, e), (6, a)}
R5 = {(10, b), (8, b), (4, b), (2, b), (6, b)}
a) R1 ∧ R3 b) R1 ∧ R5 c) R3, R4; R5
d) todas e) N.A.
18.¿Cuál de los siguientes conjuntos es función?
I) {(1, 3), (2, -2), (-1, 7), (2, -4)}
II) {(1, 0), (0, 0), (2, 0), (3, 0)}
III) {(1/2,3), (1/3,2), (1/5,1)
IV) {(3,4), (5,2), (6,2), (3,4)}
a) I y II b) I, II y III c) II, III, IV
d) I e) todas
19.Si el siguiente conjunto es una función
{(3,-2), (4,2a - b), (8,1), (3,a + b), (4,-4)}, el
valor de a2
+ b2
es:
a) 1 b) 3 c) 0
d) 4 e) 5
20. Sean las funciones:
F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1); (4,3)}
G = {(2,0); (3,4); (4,7); (5,2)}
Hallar la suma de elementos del rango de:
(F2
+ 3 G)
a) 16 b) 13 c) 30
d) 59 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01.Dado el conjunto: A = {2; 4; 6} y las
relaciones en A:
R1 = {(2; 2), (2; 4), (4; 4 ), (6; 6), (4; 2)}
R2 = {(x, y) / y – x = 0}
R3 = {(x; y) / y – 2 = x};
¿Cuáles son relaciones de equivalencia?
a) R1 b) R2 c) R1 y R3
d) R2 y R3 e) R1 y R2
02.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las
relaciones en A:
I) R1={(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4)}
II) R2 = {(x; y) /x2
+ y2
= 5} ∪ {(1; 1)}
III) R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3)}
Indicar las relaciones transitivas.
a) II b) I ∧ II c) II ∧ III
d) I, II ∧ III e) I ∧ III
03.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las
relaciones en A:
R1={(1;2), (2 ;3), (2;1), (3;4), (3;2), (4; 3),
(3;3)}
R2 = {(x; y) / x2
+ y2
= 5}
R3 = {(x; y) / y = x – 2};
¿Cuáles son simétricas?
a) R1 ∧ R3 b) R1 c) R1 ∧ R2
d) R2 e) R3
04.Dado el conjunto: A = {-2; -1; 3; 4} y las
relaciones en A:
R1 = {(-2,-1), (-2;-2), (-1; 2), (-1;-1), (3;3),
(4; 4)} …........... ( )
R2 = {(x; y) / | x | = | y | ............... ( )
R3 = {(x; y) / y = x – 2} ............... ( )
Indicar con una V si es reflexiva y con una F
si no lo es.
a) VVF b) VFF c) FVF
d) VVV e) VFV
05.Dados los conjuntos:
A = {x ∈ R / 3 < x < 6}
B = {x ∈ R / x ∈ [-1; 4]}. Calcular el área
que determina la gráfica de A x B
a) 22µ2
b) 6µ2
c) 15µ2
d) 12µ2
e)
8µ2
06. Son funciones inyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
A B
3
(1) (2)
a
b
c
1
2
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.
07.Son funciones sobreyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
3
A B
(1) (2)
a
b
c
1
2
3
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) 3
08.Son funciones biyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
3
A B
(1) (2)
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a
b
c
1
2
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) 1
09. Graficar la función: F(x) = ||x-2| - 2|
a)
x
b)y y
2
x
c) y
4
x
d) y
x
e) y
x
10. Graficar: F(x) = | 1x2 −− |
e) N.A.
a) b)
d)c)
x
y
2
y
-2
x
x
y
2
x
y
2
-1
1
11. Sean las funciones:
F = {(0, 2 ); (1, 52 + ); (2, 0)}
G = {(0, 8 ); (2, 1/2); (4; 3 )}
Hallar M = (F.G)(2)
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) N.A.
12. Graficar la función: F(x) = Sgn
+
−
2x
1x
e)N.A.
a)
x
y
-1
1-2
1
c)
x
y
-1
1
-2 1
b)
x
y
-1
1
d)
x
y
-1
1
13. Dadas las funciones:
F(x) = 3x - 5; x ∈ [0, 6]
G(x) =
∈<
−∈−
],;
],[;
42xx
21xx2x 2
Hallar: (F + G)
a)(F+G)(x)=
∈<−+
∈−+
]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
b) (F+G)(x) =
∈<+−
∈++
]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
c) (F+G)(x) =
∈<−+
∈−+
]5,4xSi;5xx3
]3,0[xSi;5xx2
d) (F+G)(x) =
∈<++
∈+−
]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
e) N.A.
14. Hallar el rango de la función:
F = ( )
≥−
−
04xx/
4x
x
,x 2
a) <-∞; 1]
b) <-∞; 1] U <1, +∞] U {0}
c) <1; +∞>
d) [-1; 1>
e) <-∞; 0> U <1; +∞>
15. Hallar el rango de la función:
F(x) = x2
- 2|x| - 3
a) [-4; +∞> b) [-2; +∞> c) [-1; +∞>
d) [-6; +∞> e) [1; +∞>
16. Hallar el rango de la función:
F(x) =
|1x|
1xxx 23
+
+++
a) <-∞; -1> U [2; +∞>
b) <-∞; -3> [2; +∞>
c) <-∞; -2> [1; +∞>
d) <-∞; -2] U <2; 4>
e) R - {-1}
17. Determinar el rango de:
F(x) = |x + 8| - |x – 8|
a) [-4; 4] b) [-8; 8] c) [-16; 16]
d) [8; +∞> e) <-∞; 8]
18. Graficar F(x) = x|x|.
e) N.A.
a)
x
y
c)
x
y
b)
x
y
d)
x
y
19. Sean las funciones en R:
h(x) = x2
- 4x + 7
g(x) = x2
- 10x - 27
Si: h(xO) ≤ h(x); ∀ x ∈ Dom h
y g(x1) ≥ g(x); ∀ x ∈ Dom g.
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a) – 12 b) – 6 c) 6
d) 9 e) 12
14. Resolver:
1nloglog)
10
x4
(log1 x −=
−
+
¿Cuántas raíces tiene esta ecuación para un
valor determinado de “n”?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Resolver la siguiente ecuación:
27)xlog(log ))xlog((loglog
)x(loglog3
=−
a) 102
b) 103
c) 104
d) 10 e) 105
16. Hallar el valor de:
( )
04,0
125,03
log
2 3log
93 25log135log −
a) x b) 3 c) 0
d) 4 e) 5
17. Resolver:
......)b.(log)b.(log)b(log
32
xlogxlogxlog
a) 200 b) 100 c) 400
d) 20 e) 150
18. Qué valor de “x” verifica la igualdad:
)]3log3(logco[logantixloganti 3624 =
a) -1 b) 1 c) 3
d) 4 e) -2
19. Calcular E si x = 10
3
++=
xlogxlogxlog
x
623
643logE
a) 11 b) 3 c) 10
d) 9 e)12
20. Resolver el sistema. Hallar “x”:
8
y
x
logxylog 22
=− . . . . . . . . . (1)
ylogxlog
42 = ……. . . . . (2)
a) 100 b) 1/ 100 c) 2/ 50
d) 1 e) 300
OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:
Diferenciar los términos: Progresión
Aritmética y Progresión Geométrica.
Interpolar Medios Aritmética y Medios
Geométrica.
COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:
En muchas ocasiones los conjuntos de elementos
cualesquiera se ordenan de igual manera que
están ordenados los números naturales.
Siempre que los elementos de un conjunto estén
en correspondencia con los números naturales 1;
2; 3; … , de forma que a cada elemento le
asignamos un número natural correspondiente, el
conjunto se convierte en una SUCESION.
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Es una función definida de N a R en la forma
siguiente:
S: N R
S: n an
N R
S
n
an
n an
1 a1
2 a2
3 a3
4 a4
: :
: :
n an
Sucesión: a1; a2; a3;…; an
Ejemplos:
1; 4; 9; 16; 25; 36; 49
1; -x;
2
x2
; –
3
x3
;
4
x4
; –
5
x5
;
6
x6
;
….
Cuando el número de términos es limitado, se
dice que la sucesión es finita. Cuando el número
de términos es ilimitado, la sucesión es infinita.
El término general o término enésimo es una
expresión que indica la ley de formación de los
términos de la sucesión.
Ejemplo: El término general de la sucesión:
1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 es n2
∀ n ∈ N
Dentro de las sucesiones tenemos las
PROGRESIONES.
CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es aquella, en la cual un término cualquiera,
excepto el primero, es igual al anterior aumentado
en una cantidad constante llamada razón
aritmética. A la progresión aritmética también se
le denomina progresión por diferencia.
Representación
÷ a1. a2 . a3 ..................… an
÷ a1. (a1 + r). (a1 + 2r). … [a1 + (n – 1) r]
Elementos de una progresión aritmética
÷ = Inicio de la progresión aritmética.
a1= primer término
an= término enésimo
r = razón de la progresión aritmética
Sn= Suma de los “n” primeros términos
Clases de progresión aritmética:
De acuerdo a la razón:
* Si: r > 0 Progresión Aritmética Creciente
S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
PROGRESI](https://image.slidesharecdn.com/algebra44b-140516103207-phpapp02/85/Algebra-4-4-b-22-320.jpg)
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* Si: r < 0 Progresión Aritmética Decreciente
Propiedades:
Sea la P.A: ÷ a1. a2. a3..... ak... ax… ay... an
I. Razón: r = a2 – a1 = a3 – a2 .... = ak – ak – 1
1kk aar −−= ; 1 ≤ k ≤ n
II. Término General
r)yx(aa yx −+=
r)1n(aa 1n −+=
III. Términos equidistantes de los extremos
Sean ellos: aP; aq
÷a1............ aP............. aq............ an
p términos p términos
n1qp aaaa +=+
IV. Término Central: Cuando “n” es impar.
2
aa
a n1
c
+
=
* Corolario:
2
aa
a 1x1x
x
+− +
=
V. Suma:
n
2
aa
S n1
n
+
= cn anS =
[ ]r)1n(a2
2
n
S 1n −+=
Medios Aritméticos: Son los términos
comprendidos entre dos extremos. Ejemplo:
4.7. 10. 13. 16. 19. 22
extremo extremo
anterior posterior
Interpolación de Medios Aritméticos:
b............................a
cosaritmétimediosm
÷
Dados: a, b, m
De (II) r)1n(aa 1n −+=
[ ] r1)2m(ab −++= →
1m
ab
ri
+
−
=
ri: Razón de interpolación aritmética
PROGRESION GEOMETRICA
Es aquella sucesión numérica, en la cual el primer
término y la razón son diferentes de cero y
además un término cualquiera, excepto el
primero, es igual al anterior multiplicado por una
misma cantidad llamada razón geométrica, a una
progresión geométrica también se le denomina
progresión por cociente.
Representación.
÷÷ t1 : t2 : t3 : t4 : .........: tn
÷÷ t1 : t1q : t1q2
: t1q3
: ......... : t1qn-1
Elementos de la progresión geométrica.
÷÷ = Inicio de la progresión geométrica.
t1 = Primer término [t1 ≠ 0]
: = Separación de términos
q = Razón [q ≠ 0]
tn = Término enésimo
Sn = Suma de “n” primeros términos
Pn = Producto de “n” primeros términos
Clases de P.G.
* Si: q > 1 P.G. Creciente
* Si: 0<q<1 P.G. Decreciente
* Si: q < 0 P.G. Oscilante
Propiedades:
Sea la P.G. ÷÷ t1 : t2 : t3 ........ tk : .......... tn
I. Razón:
1k
k
2
3
1
2
t
t
...
t
t
t
t
q
−
====
1k
k
t
t
q
−
= ; 1 ≤ k ≤ n
II. Término General
yx
yx q.tt −
=
1n
1n q.tt −
=
III. Siendo: ta, tb, dos términos equidistantes de
los extremos: t1 , tn , se cumple:
÷÷ t1 .......... ta ............ tb ............. tn
a términos a términos
n1ba t.tt.t =
IV. Términos Central: (tc)
n1
2
c t.t)t( =
Cuando el número de término es impar
V. Producto: n
n1
2
n )t.t()P( =
VI. Suma:
1q
tqt
S 1n
n
−
−
=
−
−
=
1q
1q
tS
n
1n
VII. Suma límite: Suma de todos los términos
de una progresión geométrica ilimitada y
decreciente.
q1
t
S 1
lim
−
= Si: -1 < q < 1
Medios Geométricos: Son los términos
comprendidos entre dos extremos. Ejemplo:
÷÷3 . 9. 27. 81. 243. 729
extremo extremo
anterior posterior
Interpolación de Medios Geométricos
÷÷
b............................a
cosgeométrimediosm
Dados: a, b, m
De (II): 1n
1n q.tt −
= ,
1)2m
aqb −+(
=
1m
1
a
b
q +=
q1 = Razón de interpolación geométrica
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
Si “n” es impar
5 mediosaritméticos
4 mediosgeométricos](https://image.slidesharecdn.com/algebra44b-140516103207-phpapp02/85/Algebra-4-4-b-23-320.jpg)
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Algebra 4° 4 b
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales y define los diferentes tipos de desigualdades. Explica la noción de intervalos en los números reales y describe las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. Finalmente, introduce conceptos como cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo de un conjunto.
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- 1. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS: Conoce los diferentes axiomas y teoremas sobre los números reales, respecto a la relación de orden entre ellos. Sabe operar adecuadamente con intervalos. Forma una base matemática para el estudio de las inecuaciones. COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO: La Resolución de Ecuaciones lineales y cuadráticas, la congruencia de figuras geométricas y las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas son temas relacionados con la igualdad. A medida que avancemos en el desarrollo de las ideas matemáticas, veremos que las desigualdades son tan importantes en las aplicaciones de la matemática como las ecuaciones. Una desigualdad está involucrada cuando estamos mas interesados en el tamaño aproximado de una cantidad que en su valor exacto; por ejemplo, si decimos que el diámetro “d” de un planeta es aproximadamente 18 700 millas, queremos decir que: 18 650< d < 18 750. Si realizamos un análisis nos daremos cuenta que la medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física; tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc. ... es completamente imposible, la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden usarse sólo para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente. Por todo lo expuesto concluimos que es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades. Nos ocuparemos a continuación de las desigualdades entre números reales y enseguida desarrollaremos algunos conceptos y leyes fundamentales que conciernen a ellos. CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO: RELACIÓN DE ORDENRELACIÓN DE ORDEN Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales. El campo real es un CAMPO ORDENADO. Símbolos de la relación de orden: >: “mayor que” < : “menor que” ≥ : “mayor o igual que” ≤ : “menor o igual que” (estrictos) (no estrictos) DESIGUALDADDESIGUALDAD Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor. Existen dos tipos de desigualdades: 1. Desigualdad Absoluta: Es aquella que se verifica para todos los valores reales que se asignen a sus variables. Ejemplos: * x + 6 > x + 2; se verifica ∀ x ∈ R * 2x + 1 > 0; Se verifica ∀ x ∈ R 2. Desigualdad Relativa: Es aquella que se verifica sólo para cierto conjunto solución de sus incógnitas. Ejemplos: * 2x – 3 > 5; se verifica ⇔ x > 4 * 3x – 2 ≤ x + 4; se verifica ⇔ x ≤ 3 DEFINICIÓN DE < ; >DEFINICIÓN DE < ; > Dados a, b, c ∈ R se asevera: 1. a < b si y sólo si b – a es positivo. 2. a > b si y sólo si a – b es positivo. Ejemplos: 7 < 9 porque 9 – 7 = 2 y 2 es un número real positivo. – 6 < –5 porque –5 – (–6) = 1 y 1 es un número real positivo. – 3 > –9 porque –3 – (–9) = 6 y 6 es un número real positivo. De la definición también se concluye: a > 0 si y sólo si a es positivo. a < 0 si y sólo si a es negativo. DEFINICIÓN DE ≤; ≥DEFINICIÓN DE ≤; ≥ Dados a, b ∈ R se asevera: 1. a ≤ b si y sólo si a < b ó a = b 2. a ≥ b si y sólo si a > b ó a = b Las proposiciones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se denominan desigualdades. En particular, a < b y a > b se llaman desigualdades estrictas, mientras que a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades no estrictas. TEOREMAS:TEOREMAS: Dados a, b, c, d ∈ R 1. Sí a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 2. Sí a > 0 y b > 0, entonces a .b > 0 3. Sí a < b y b< c, entonces a < c 4. Sí a < b, entonces a + c < b + c 5. Sí a < b y c < d, entonces a + c < b + d 6. Sí a < b y c > 0, entonces a.c < b.c 7. Sí a < b y c < 0, entonces a.c > b.c LEY DE TRICOTOMIALEY DE TRICOTOMIA Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple: 0av0av0a >=< Corolario: Dado dos números reales a y b; sólo se puede establecer una de las tres relaciones. bavbavba >=< Propiedades 1. Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, entonces el sentido de la desigualdad no se altera. Sí a > b → a ± n > b ± n Aplicaciones: x + 5 < 9 ⇒ x < 9 – 5 ⇒ x < 4 y – 11 > 5 ⇒ y > 5 + 11 ⇒ y > 16 2. Si a ambos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva, entonces el sentido de la desigualdad no se altera. Si: a < b ∧ n > 0 ⇒ < < n b n a bnan Aplicaciones: 3 x > 75 ⇒ x > 3 75 ⇒ x > 25 8 y < 2 ⇒ y < 2 (8) ⇒ y < 16 S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." IV DESIGUAL
- 2. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 3. Si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad negativa, entonces el sentido de la desigualdad se invierte. Sí a < b ∧ n < 0 ⇒ > > n b n a bnan Aplicaciones: –2 > 10 ⇒ x < 2 10 − ⇒ x< - 5 5 x − < 7 ⇒ x > 7 (-5) ⇒ x > -35 4. Si se suma miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, entonces el sentido de la desigualdad se conserva. Si: a < b; c < d ⇒ a + c < b + d 5. Si se resta miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios, entonces se conserva el sentido de la desigualdad que hizo de minuendo. Si a > b; c< d ⇒ a – c > b – d 6. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades del mismo sentido y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad. Si: 0<a<b; 0 < c < d ⇒ ac < bd 7. Si se divide miembro a miembro desigualdades de sentidos contrarios y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad que hizo de dividendo. Si a > b > 0 ∧ 0 < c < d ⇒ c a > d b 8. Si se eleva ambos miembros de una expresión o un mismo exponente impar entonces el sentido de la desigualdad se conserva. Si a > b ⇒ 1n2 a + > 1n2 b + 9. Si se eleva ambos miembros de una desigualdad a un mismo exponente por entonces se conserva el sentido de la desigualdad siempre que ambos miembros sean positivos. Si a<b y a > 0 ∧ b > 0 ⇒ n2n2 ba > RECTA NUMÉRICA REALRECTA NUMÉRICA REAL Es una recta geométrica donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real. Números Negativos Números Positivos x > 0 x < 0 + ∞- ∞ + - 0 INTERVALOSINTERVALOS 3. Sea I un subconjunto de IR (I ⊂ IR). Decimos que I es un intervalo, si y sólo sí es el conjunto de todos los número reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales). Si I es un intervalo, puede ser: acotado o no acotado A. Intervalos Acotados Son intervalos cuyos extremos son números reales (finitos) y a su vez serán: 1. Intervalo Cerrado a b x -∞ + ∞ Si: x ∈ [a; b] ⇒ a ≤ x ≤ b En dicho intervalo se incluyen los extremos “a” y “b”. 2. Intervalo Abierto a b x -∞ + ∞ Si: x ∈ <a; b> ⇒ a < x < b En dicho intervalo no están incluidos los extremos “a” y “b”. 3. Intervalo Semi – abierto Mixto Semiabierto por la izquierda a b x -∞ + ∞ Si: x ∈ <a; b] ⇒ a < x ≤ b En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “b”. Semi-abierto por la derecha a b x -∞ + ∞ Si x ∈[a; b> ⇒ a ≤ x < b En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “a”. B. Intervalos No Acotados Se denomina así cuando por lo menos uno de los extremos es el ideal +∞ ó -∞. Estos son de la forma: 1. a x -∞ + ∞ Si: x ∈ <a; +∞> ⇒ x > a 2. a x -∞ + ∞ S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 3. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Si: x ∈ [a; +∞> ⇒ x ≥ a 3. x -∞ + ∞ Si: x ∈ <-∞; a> ⇒ x < a 4. x -∞ + ∞ Si: x ∈ <-∞; a] ⇒ x ≤ a 5. x -∞ + ∞ Si: x ∈ <-∞; +∞> ⇒ x ∈ R OBSERVACIONES IMPORTANTES 1. La notación ∞, que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que un intervalo es ilimitado por la derecha (+∞) o por la izquierda (– ∞) 2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2 formas: <a; b> =] a; b [ Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1 forma: [a; b] 3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este siempre irá como ABIERTO. [a; +∞> ; <a; +∞> ; <-∞; a] ; <-∞; -a> 4. Los intervalos son sumamente útiles: a) Para expresar el conjunto solución de inecuaciones. Ejemplo: El conjunto solución de la inecuación: 2 +3x – 2x ≥ 0 es el intervalo cerrado: x ∈ [1; 2] b) Para expresar el dominio y rango de una relación y de una función de R en R. Ejemplo: y f(x) 4 7 x El dominio de la función f(x) es: x ∈ <0; 7] El rango de f(x) es: y ∈ <0; 4] c) Para “ACOTAR” Ejemplo: Sí x ∈ <-2; 3] , ¿entre qué valores estará (x + 2)? Si: x ∈] –2; 3[ ⇒ 0 < (Infimo) cota inferior (Supremo) cota superior x + 2 < 5 OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS Puesto que los intervalos en IR son conjuntos especiales de los números reales, podemos operar con ellos. Sean A y B intervalos, se definen y se denotan: A ∪ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∨ x ∈ B} A ∩ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∈ B} A – B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∉ B} 'AAC C A == = {X ∈ IR / x ∈ IR ∧ x ∉ A} Aplicación: Sean los conjuntos (intervalos) A = {x ∈ IR / x ≤ 5} B = {x ∈ IR / - 8 ≤ x < 12}. Hallar: A ∪ B , A ∩ B , A – B , B – A , A’ , B’ Cota superior, Cota Inferior, Supremo, Ínfimo, Máximo y Mínimo de un Conjunto Definición 1: Un subconjunto S no vacío de números reales está acotado superiormente si existe un número M, tal que: x ≤ M , ∀ x ∈ S se llama "Cota Superiores" Es decir: M es cota superior S ⇔ x ≤ M, ∀ x ∈ S Ejemplos: 1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo superior 3 o cualquier número mayor que 3 es una cota superior del intervalo A. Ver el siguiente gráfico: -2 3-∞ + ∞ conjunto de cotas superiores • El número 3 es una cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3, ∀ x ∈ <-2,3> • El número 3,002 es cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3,002 ∀ x ∈ <-2, 3>, etc. Todos los números mayores o iguales a 3 son cotas superiores. 2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior 1/2 o cualquier número mayor que 1/2 es una cota superior del intervalo [-1; 1/2] -1 1/2 conjunto de cotas superiores S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." ACOTACIONES
- 4. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Definición 2: Un subconjunto S no vacío de números reales está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe un número m, tal que: se llama "Cota Inferiores" m ≤ x , ∀ x ∈ S Es decir: m es cota inferior de S ⇔ m ≤ x, ∀ x ∈ S Ejemplos: 1) En un intervalo A = <-3; 2], son cotas inferiores los números –3, -3,002; -3,5; -4, etc. Todos los números menores o iguales que –3 son COTAS INFERIORES. Pues: -3 ≤ x, ∀ x ∈ <-3; 2] -3,002 ≤ x ∀ x ∈ <-3; 2] -3 2 conjunto de cotas inferiores Definición 3: Un número se llama SUPREMO de un conjunto, si éste es la menor de las cotas superiores. Ejemplos: 1) En el intervalo: A = − 3; 2 1 , el supremo es 3. 2) En el intervalo: B = 5;∞− , el supremo es 5. Definición 4: Un número se llama INFIMO de un conjunto, si éste es el mayor de las cotas inferiores. Ejemplos: 1) En el intervalo: A = − 3; 2 1 , el ínfimo es –1/2. 2) En el intervalo: B = [5; ∞>, el ínfimo es 5. OBSERVACIONES: A. El supremo y el ínfimo representan al máximo y mínimo valor que toma un conjunto, respectivamente. B. Un conjunto de números está ACOTADO si y sólo si está acotado superior e inferiormente. Ejemplos: • El intervalo: A =<–2;7> es ACOTADO. • El intervalo: B = < 8; +∞> no es ACOTADO. C. El supremo y el ínfimo de un conjunto pueden ser o no un elemento del conjunto. TEOREMAS ADICIONALESTEOREMAS ADICIONALES Sean a, b, c, d, x ∈ IR 1. ∀ a ∈ IR: a2 ≥ 0 2. 0 ≤ a < b ∧ 0 ≤ c < d ⇒ 0 ≤ ac < bd 3. ab > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) 4. ab < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) 5. 0 a 1 0a >⇔> 6. 0 a 1 0a <⇔< 7. Si a y b tiene el mismo signo, entonces: b 1 x 1 a 1 bxa >>⇔<< 8. bxa << <<<< >∧<<≤ <<<< ⇒ 0baSi;axb 0b0aSi;]b;a[maxx0 ba0Si;bxa 222 222 222 9. + ∈∀≥+ IRa;2 a 1 a 10. − ∈∀≤+ IRb;2 b 1 b 11. a2 + b2 ≥ 2ab; ∀ a, b ∈ IR 12. a2 + b2 + c2 ≥ ab+ ac+ bc;∀ a, b, c ∈ R 13. + ∈∀ + ≥≥ + IRb,a; 2 b 1 a 1 1 ab 2 ba + ∈∀ ++ ≥≥ ++ IRc,b,a; 3 c 1 b 1 a 1 1 abc 3 cba 3 14. + ∈∀≥ +++ IRd,c,b,a;abcd 4 dcba 4 15. ;a...a.a.a n a...aaa n n321 n321 ≥ ++++ niIRai ;...;3;2;1, =∈∀ + 16. mmm 2 ba 2 ba + > + ; 0 < a < b; “m” no es fracción propia positiva. PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE 01. Marque verdadero (V) o falso (F): I. 2 ≤ 3 II. 0 ≥ 0 III. -1 < 0 IV. π ≥ 3,14 a) FFVV b) VVVV c) FFVF d) VVVF e) FFFF 02. Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor valor de la expresión: xyz )zy)zx)(yx( +++ a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 8/3 3. Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la correcta afirmación acerca de λ siendo: dcba abcd4 +++ =λ a) λ=1/4 b) λ ≥ 4 c) λ ≤ 1/8 d) λ ≥ 1/4 e) λ < 1/2 S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 5. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 04. Si:] x; y [ ⊂ ] a; b [, entonces es verdad que: a) x ≤ a ∧ y ≤ b d) x ≥ a ∧ y ≥ b b) x ≥ a ∧ y > b e) x ≤ a ∧ y ≥ b c) x ≥ a ∧ y ≤ b 05.Hallar el menor número racional “m” donde ∀ x ∈ [2; 4] satisface la desigualdad: m 5x 3x ≤ − + a) -2/3 b) -1/3 c) -5/3 d) -7 e) -6 06.Dar el mayor número entero M que satisface la desigualdad: 2x2 - 4x +1 > 2M, ∀x ∈ R (Tal desigualdad la llamaremos absoluta) a) 3 b) -2 c) 0 d) 1 e) -1 07. Hallar el menor número M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumpla: 1 +6x - x2 ≤ M a) 11a) 11 b) 9b) 9 c) 12c) 12 d) 10d) 10 e) 0e) 0 08. Si: x2 - 6x + 8 < 0 y demás consideraremos: λ=x2 - 6x + 8, entonces se puede afirmar que: a) λ e cualquier real negativo b) -1 < λ < 0 c) -1/2 ≤ λ<0 d) -1 ≤ λ < 0 e) -1 < λ ≤ 0 09.Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al que pertenece, conociendo: axaax +−+ )21(2 ∈ R; ∀x ∈ R a) ]-∞; 2[ b) [1/4; +∞[ c) [2; -3[ d) [1; +∞[ e) ]1/4; +∞[ 10. Sea S el área de un triángulo de lados a; b y c. ¿Qué podemos afirmar de λ si: ? S.3 cba 222 ++ =λ a) λ ≤ 4 b) λ >4 c) λ < 4 d) λ ≥ 4 e) λ < 1 11. Dado el conjunto: Ζ∈= + n n A / 1 Determine si existe el supremo y el ínfimo de A y establecer si pertenecen o no al conjunto A. 12. Hallar el menor número “m” con la propiedad ℜ∈∀≤−+ xmxx ,2127 2 Sea S EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01 01. Sean los intervalos: C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C ∪ D a) [-4; 4] b) ]4; 8[ c) ]-4;8] d) [0;8] e) [-4; 8[ 02. Si la unión de los intervalos: p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11] Es: [p + q; m [ ∪ ] p - q; n] Calcular: “p + q + m + n” a) -11 b) 11 c) 1 d) -1 e) 0 03. Sean los intervalos: A = [-6; 5] B = ]-2; 9[ Calcular la suma de los valores enteros de A∩B a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 04. Si la intersección de los intervalos: A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4] Es [a; b [ U ]c; d]. Calcula “a + b + c + d” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05. Para los reales afirmamos: I. Si a > 0 a2 > 0 II. Si a < b ac < bc III. Si 0 < a < b 0 < b-1 < a-1 Son verdaderas: a) Todas b) I y II c) Sólo I d) I y III e) N.A. 06. Para reales afirmamos: I. Si a < b a + c < b + c II. Si a < 0 -a > 0 III. (a + b)2 > 2 ab Son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Todas e) N.A. 07. Si: a < 0 < b, afirmamos I. a2 > ab II. a – b–1 < 1 III. a–1 < b–1 IV. a2 < b2 ¿Cuántas son verdaderas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 08. Si: a/b < 0, entonces se cumple que: a) a < 0 y b > 0 d) ab > 0 b) a > 0 y b < 0 e) ab < 0 c) a > b 09. Hallar los valores de “m” para los cuales “x” es un número positivo, si x = m - 2 a) m > 2 b) m < 2 c) m > -2 d) m ≤ 2 e) m < -2 10. Resolver: 2x + 4 ≤ x +12 a) ]-∞; -8] b) ]-∞; -16] c) ]-∞; 8] d) [8; +∞[ e) [-8; +∞[ 11. Resolver: (x - 5) (x - 2) ≤ (x + 3) (x + 1) a) x ≥ 7 b) 7/11 ≤ x c) x ≤ 7/11 d) x ≤ 7 e) N.A. 12. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la desigualdad: 2x+3 < m mx 43 − . Tenga como solución ]3; ∞[ a) 6/13 b) 5/17 c) 19/14 d) -17/14 e) 9/13 13. Hallar el complemento del conjunto solución luego de resolver: (x - 5) (x - 3) ≤ (x - 4) (x - 3) a) [3; +∞[ b) ]-∞; 3[ c) [4; +∞[ d) ]-∞; 4[ e) ]-∞; -3[ 14. Calcule el conjunto solución de la desigualdad: 17 5432 −>+++ x xxxx a) [-60; +∞[ d) ]-60; 0[ b) ]-60; +∞[ e) x ∈ φ c)]-∞; -60[ 15. Resolver: 3x+4 ≤ 2x+10 < 5x+8 a) [2/3; 6] b) φ c) IR d) ]2/3; 6] e) ]2/3;6[ TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA 01. Si la unión de los intervalos: S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 6. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria E = [-4; 5[ F = ]-2; 5] Es: [a; b]. Calcular “ab” a) -20 b) -10 c) 2 d) 8 e) 25 02. Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N = [-2b; 2b] Indicar M ∩ N a) [-2a ; 2b] b) [-2b; 2a] c) [-a; b] d) [-2b; 2b] e) [-2a; 2a] 03. Sean los intervalos: M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17] N = [-12; -1] U [1; 13] Luego de calcular la intersección, indique un intervalo a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3; 13] d) [-3; -1] e) [-9; 10] 04. Sean los intervalos: A = ]-∞; ∞[ B = [-3; 4[ C = ]-1; 3[ . Calcular: A ∩ B ∩ C a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-1;3[ d) ]3; 4[ e) [-3; -1[ 05. Para los números reales “a” y “b”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? a) Si: a2 - b2 = 0 a = b b) Si: a2 - b2 = 0 a = -b c) Si: a2 - b2 = 0 a = b ∧ a = -b d) Si: a2 - b2 = 0 a = b = 0 e) Si: a2 - b2 = 0 a = b ∨ a = -b 06. Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) 0 < x2 < x3 < 1 b) 0 < x3 < x2 < 1 c) 0 < 1-x < x < 1 d) 0 < x-1 < x < 1 e) 0 < 1-x < x < 1 07. Dados los números racionales U, V y W que satisfacen: V U > W, entonces se cumple: a) U > V + W d) U + V > W b) V VU + > W + 1 e) U + W > V c) V > U 08. Si: “x” es entero. ¿Qué valor no puede tomar “x” en: 5 1x 3 1x − > + ? a) 1 b) -3 c) 0 d) -6 e) 11 09. Resolver: 1 1a a a x > + + , Si a = 1 - 5 a) x > 1 + 5 d) x > 1- 5 b) x < 1 + 5 e) x < 1- 5 c) x ∈ φ 10. Resolver el sistema: 2x+4 ≤ 3x+6 ≤ 5x-10 a) [-2; +∞[ b) [8; +∞[ c) [-8; +∞[ d) φ e) [2; +∞[ 11. Resuelve el sistema y marque el intervalo solución: 2 ≤ 5-3x < 11 2 > -3-3x ≥ -7 a) − 1; 3 5 b) − 1; 3 5 c) ]-2; 1] d) −− 3 5 ;2 e) − 3 4 ; 3 5 12. ¿Cuántos números enteros satisfacen el sistema: 5x - 6 > 3x-14 2 6x7 + < x + 12 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13. Resolver el sistema: 2(2x-3) < 5x-3/4 8x-5 < 2 8x15 − Y dar como respuesta la suma de todos los valores enteros de “x” a) -11 b) -12 c) -13 d) -14 e) -15 14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente sistema? 5x+4 > 10 6x-5 < 12 4x+3 > 8 7x-6 < 14 3x+2 > 6 8x-7 < 16 a) 14 b) 8 c) 4 d) sólo 1 e) Ningún valor S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 7. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS: SSaber resolver inecuaciones polinomiales enaber resolver inecuaciones polinomiales en base a los teoremas sobre desigualdades y albase a los teoremas sobre desigualdades y al método de los intervalos.método de los intervalos. Generar las condiciones para un estudioGenerar las condiciones para un estudio adecuado del dominio y rango de lasadecuado del dominio y rango de las funciones.funciones. Reconocer y saber resolver inecuacionesReconocer y saber resolver inecuaciones fraccionarias, irracionales, etc.fraccionarias, irracionales, etc. COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO: Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más la capacidad de análisis, pues la diversidad de problemas que se presentan aquí requiere que el estudiante sea analítico, pues de esa manera lograremos determinar la solución respectiva al problema. En algunos casos las soluciones de las inecuaciones se dan en gran cantidad, por lo que serán agrupadas en intervalos. ESQUEMA CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO: INECUACION POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma general: P(x) = > − <+++ n 1n 1 n 0 a....xaxa 0 .... (*) Donde: {a0, a1,....... an}⊂ R a0 ≠ 0; n ∈ Z+ ; n > 2 Resolución de una ecuación polinomial: Para resolver esta inecuación se procede de la siguiente manera: I. Se factoriza el polinomio P(x) en R. II. Los factores primos obtenidos que resultan positivos, luego de factorizar el polinomio, se pueden omitir (El C.S. de esta inecuación no se altera). III. Para luego aplicar el método de los puntos críticos. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS En (*) consideramos que P(x) se factoriza de la siguiente manera: P(x) = )c-x)...(bc-x)(bc-x)(bc-x(b nn332211 Para la aplicación del método, se debe tener en cuenta: Los valores que anulan a P(x) son diferentes. Los coeficientes de “x” en todos los factores lineales, deberán ser positivos; si uno de estos coeficientes en un factor no fuese positivo, se tendrá que multiplicar por (-1) a dicho factor, cambiándose el sentido de la desigualdad. Procedimiento • Se iguala a cero, cada factor lineal, obteniéndose así valores diferentes para “x”, a los cuales se les denomina: puntos críticos. • Estos valores se ubican en la recta numérica en forma creciente (de menor a mayor), dividiendo a la recta numérica en (n+1) zonas. • El polinomio va a tomar valores positivos y negativos de forma intercalada en cada zona, según la figura. • El conjunto solución toma en consideración a la reunión de las zonas positivas o negativas, dependiendo del sentido de la inecuación. +- + - n n b c 3 3 b c 2 2 b c 1 1 b c n-1 n-1 b c Sea: n n 3 3 2 2 1 1 b c ....... b c b c b c >>>> Ejemplos: Resolver: 1. x3 - 6x2 + 11x - 6 ≥ 0 Resolución: Factorizando: (x-1)(x-2)(x-3) ≥ 0 Puntos críticos: {1, 2, 3} - + +- 1 2 3 +∞−∞ CS = x ∈ [1, 2] U [3, +∞> 2. (x + 2) (x3 - 27) < 0 Factorizando: (x + 2) (x - 3) (x2 + 3x + 9) < 0 (+) ∀ x ∈ R (x + 2)(x - 3) < 0 - ++ -1 2 +∞−∞ 3. (x + 1)(x - 4)(x - 5)4 ≤ 0 Es equivalente a: (x + 1)(x - 4) ≤ 0 ⇔ (x - 5)4 ≥ 0 ∀ x ∈ R Observación: x = 5 verifica la inecuación: - ++ -1 4 CS = x ∈ [-1, 4] U {5} 4. (x - 2)(x - 5)(x - 7)6 > 0 Es equivalente a: (x - 2) (x - 5) > 0 ⇔ x ∈ R - {7} 2 5 - ++ 7 CS = x ∈ <-∞, 2> U <5; +∞> - {7} Teoremas: Dado x ∈ R: , m ∈ N I. x > 0 ⇔ x2m+1 > 0 II. x ≤ 0 ⇔ x2m+1 ≤ 0 Así por ejemplo: (x - 1)3 > 0 ⇔ (x - 1) > 0 (x + 4)5 ≤ 0 ⇔ (x + 4) ≤ 0 Conclusión: Los polinomios de la forma 1m2 )ax( + − ; m ∈ N ∧ a ∈ R tienen el mismo signo que su base (x-a). 5. (x + 4)3 (x - 1) (x - 3)5 ≥ 0 Es equivalente a: (x + 4)(x - 1)(x - 3) ≥ 0 −∞ +∞ -4 1 3 - + - + CS = x ∈ [-4; 1] U [3; +∞> S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." INECUACIO InecuacionesInecuaciones FraccionariasFraccionarias PolinomialesPolinomiales IrracionalesIrracionales
- 8. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria INECUACIÓN FRACCIONARIA E IRRACIONAL Antes de estudiar estas inecuaciones, definiremos al conjunto de valores admisibles de una expresión matemática en R. Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.): El conjunto de Valores Admisibles de una expresión matemática en R, es el conjunto de todos los valores reales que puede tomar la variable de la expresión, para los cuales dicha expresión está bien definida en R. Ejemplos: 1) Sea f(x) = 2x 5 − → C.V.A. (f) = R -{2} 2) Sea g(x)= 4 6x2 − → C.V.A. (g) = [3; +∞> INECUACIÓN FRACCIONARIA Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma general. 0 )x(Q )x(P > < Donde P(x) y Q(x) son polinomios y además: Q(x) de grado n ≥ 1. Resolución de la inecuación fraccionaria: e sigue los siguientes pasos: I. Se factoriza los polinomios P(x) y Q(x) en R. II. Se halla el C.V.A. de la expresión )x(Q )x(P C.V.A. Q P = R - {x/Q(x) ≠ 0} III. Multiplicando a la inecuación por 2 )x(Q , se obtiene la inecuación equivalente: P(x). Q(x) > < 0 la cual será resuelta por el método de los puntos críticos. IV. El conjunto solución es la intersección del C.V.A. con la solución de III. Ejemplo: Resolver: 12xx 2xx 2 2 −− −+ ≥ 0 I. Factorizando: )4x)(3x( )2x)(1x( −+ +− ≥ 0 II. C.V.A. = R - {-3, 4} III. Multiplicando la inecuación por: (x + 3)2 (x – 4)2 , la inecuación es equivalente a: (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 4) ≥ 0 -3 1 4 + - + -2 -+ CS = x ∈ <-∞; -3> U [-2; 1] U <4; +∞> INECUACIÓN IRRACIONAL Es toda inecuación que tiene la siguiente forma general: 0F(x) > < Donde: F(x) es una expresión matemática irracional. Resolución: A continuación presentaremos los casos más frecuentes, de una inecuación irracional. )x(h)x(f < ; )x(h)x(f > ; )x(g)x(f > Los cuales se resuelven aplicando los siguientes criterios: Sea f(x) y h(x) expresiones no irracionales. I. )x(f <h(x) ↔ f(x)≥ 0 ∧ h(x) > 0 ∧ f(x) < 2 )x(h (1) (2) (3) CS : S1 ∩ S2 ∩ S3 II. )x(f >h(x)↔{h(x)<0∧f(x)≥0}v{h(x)≥0∧f(x)> 2 )x(h (1) (2) CS = S1 U S2 III. )x(f > g(x) ↔f(x)≥0 ∧ g(x)≥0∧ f(x) >g(x) Ejemplos: Resolver: 1) 2x5 − ≥ 3 2) 1x3 + > - 2 3) 6x2 + > x + 1 4) 2xx 2 −− < 5 - x 5) 1x2 + - 8x − > 3 PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE 01. Resolver: 2x2x 2x 2x 4 2 +− + − − ≥ 1x 3 − si su intervalo solución es: x∈<-∞; a] U [b, c> U <d,+∞> Hallar: (a + b + c + d) a) -2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 10 02. Resolver: 372 452392 )3x()3x()1x( )3x()5x4x()6x()3x( −+− −+−++ ≤ 0 Indicar su intervalo solución: a) x ∈ <-∞ ; -6] U <-3; 1> U <1, 3> b) x ∈ <-∞ ; -3] U <1, 3> c) x ∈ <-∞ ; -2] U <-1; 1> U <2, +∞> d) x ∈ ∅ e) x ∈ R 03. Resolver: 153x10x2x5xx 2345 +++++ ≥ 0 Indicar el intervalo solución. a) x ∈ [-5, +∞> b) x ∈ [5, +∞> c) x ∈ <-∞, -5] d) x ∈ <-∞, 9] e) x ∈ R 04. Resolver: 2 1 )3x2)(2x( 3x3x2 2 −> +− +− S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 9. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Indicar su intervalo solución. a) x ∈ <-∞, -3/2> U <0, 7/6> U <2, +∞> b) x ∈ <-∞, 2> U <4, +∞> c) x ∈ <-∞, -1> U <1, 2> U <3, +∞> d) x ∈ R e) N.A. 05. Resolver: 1 5x 5 1x 2 −< − + + su conjunto solución es: x ∈ <a, b> U <c, d> Hallar: E = a + b + c + d. a) -5 b) -1 c) 2 d) 5 e) 1 06. Resolver: 2 2x 4 2x x 2 − + > + a) x ∈ <0, +∞> b) x ∈ <-2, +∞> c) x ∈ <2, +∞> d) x ∈ <-1, +∞> e) x ∈ <-4, +∞> 07. Resolver: A = {x ∈ R / 5x 3x − + ≥ 0} B = {x ∈ R/ 4x 2x + − ≥ 2 } Hallar (A ∩ B) a) <- ∞, -3] U <5; +∞> b) <-10, +∞> c) <-∞, 10> d) [-10, -4> e) N.A. 08. Hallar F U G. F = {x ∈ R+ /2x2 - 5x + 7 ≥ 0} G = {x ∈ R+ /2x2 - 5x + 30 ≥ 0} a) <0, 1] U [3/2, + ∞> b) R c) R+ d) R - {1} e) R - {3/2} 09. Hallar J ∩ K siendo: J = {x ∈ R- /x2 - 7 < 0] G = {x ∈ R /x2 - 5 > 0} a) 7,7− b) 5,5− c) 5,7 −− d) 5,−∞− e) 7,−∞− 10. Resolver: 4816x 2 <− a) <-8, -4] U [4, 8> b) <- ∞, -4] U [4, +∞] c) <- ∞, -4] U [8, +∞> d) <-∞, 6>U<8, +∞> e) <-8, 8> 11. ¿Cuáles son los valores de y para que la ecuación x2 + xy + y2 - 4 = 0, defina valores reales de x? a) − 3 34 , 3 34 b) 3 32 ,0 c) ∅ d) R e) [-2, 2] 12. Determine los valores de x que impiden que y tome valores reales en la ecuación: xy2 - y2 - x = 0 a) R -{1} b) [1, +∞> c) <-∞, 0] d) <1, +∞> e) <0, 1> 13. Resolver: 5625x 2 <− a) <-9, -5] U [5, 9> b) <-9, 9> c) <-∞, -9> U <9, +∞> d) R e) <-∞, -5] U [5, +∞> 14. Resolver: 7 235 9x1xx2 −+− ≥ 0 a) <-1, 2] U [3, +∞> b) R c) <-∞, -3> d) [-1, -3] U <-∞,-3] e) [-3, -1] U [2, 3] 15. Resolver la siguiente inecuación : 5x21x6x3 +++<+ a) {2} b) R+ c) <-∞, -1> d) <-1, +∞> e) [-1, +∞> 16.Determine cuántos valores enteros de k satisfacen el sistema: x2 - 4x + 2k < 0 ...(1) x2 + k x + 0.5 > 0 ... (2) a) 2 b) 4 c) 5 d) 16 e) Infinitos 17.Si k > 1/4, hallar el conjunto solución en: x2xx kxx 23 2 −− ++ ≤ 0 a) <0, 1> b) <1/4, 2> c) <1, 2> d) <-∞, -1> U <0, 2> e) <-∞,0>U<0,1> 18.Si: 7x 6 3x 7 − + + > 2, el conjunto solución es: a) [-3, -1/2]U<7, 11> b) <-3, -1/2>U<7, 11> c) <-3, -1/2] d) <-6, -1> e) <-∞, -6] U [-1, +∞> 19.Resolver: x14 4 x1 2 ≥ − a) <-∞, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8) c) <0, -1/8) d) <-1, ∞> e) R 20.Resolver: 1x 2x3 + − < 4 a) <-∞, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8) c) <0, -1/8> d) <-1, +∞> e) <-∞, -6> U <-1, + ∞) EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01. Resolver: x3 - 18x2 + 77x > 60 a) x ∈ <1; 5> U <12; +∞> b) x ∈ <1; 4> U <10; +∞> c) x ∈ <-1; 5> U <12; +∞> d) x ∈ <0; 5> U <10; +∞> e) x ∈ <-12; -5> U <-1; +∞> 02. Resolver: x4 - 2x3 - 16x2 + 2x + 15 < 0 a) x ∈ <-3; -1> U <1; 5> b) x ∈ <-2; 0> U <1; 4> c) x ∈ <-1; 1> U <2; 5> d) x ∈ <3; 5> e) x ∈ <-3; 0> 03. Resolver: 3xx3x 20xx 23 2 +−− −− ≤ 0 a) x ∈ <-∞, -4] U <-1; 1> U <3; 5] b) x ∈ <-∞, 2] U <-1/2; 1> U <4; 7] c) x ∈ <-4, -1> U <-1; 3> d) x ∈ <-∞, 4] U <8; 7> e) x ∈ ∅ 04. Resolver: abx bax + + > 1, donde: 0 < a < b. a) x ∈<- ∞; - b a > b) x ∈<- a; 1> c) x ∈<- b; 1> d) x ∈<- b a ; 1> e) x ∈<a; b> S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 10. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 05. Resolver la inecuación: ax a3 ax x + − − ≥ 22 2 ax a6 − Considerando que: a < 0. a) <-3a; a] b) <-∞ ; 3a] U <a; +∞> - {- a} c) [-3a; a> d) <-∞ ; a] U <3a; +∞> e) R - {-a; a} 06. Resolver: )1x)(4x( )4x()9x)(8x( 2 2223 −− +−− ≤ 0 si su intervalo solución es: x ∈ <-a; b> U {-c, c} Hallar: E = a + b + c. a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 6 07. Resolver: 2x x 2x 2x 2 2 + < + − a) x∈[-2; +∞> b) x∈<-2; +∞> c) x∈<-1; +∞> d) x∈[-2; 1] e) x∈[1; +∞> 08. Resolver: 2x 4x 1x 2x 2 3 2 3 + − < + − a) x∈<-∞; -2> b) x∈<-∞; 3> c) x∈<-∞; 4> d) x∈<-∞; 2> e) x ∈ ∅ 09. Resolver: ( ) 5 2 32 3x4x 4x4x +− +− < 0 a) x ∈ <-∞ ; -4> U <2; 3> b) x ∈ <-∞ ; -3> U <2; 3> c) x ∈ <-∞ ; -2> U <3; +∞> d) x ∈ R e) x ∈ ∅ 10. Resolver: 34578 2 x)1x(3x)2x(x4 +−+− ≥ 0 Indicar un intervalo solución: a) [-2; 2] b) <-∞; -2> c) <3; +∞> d) [-2; 0] e) [-2; 0] U {2} 11. Resolver: x2x >+ Dar un intervalo solución: a) x ∈ [-2; 2] b) x ∈ <-2; 2] c) x ∈ [-2; 8] d) x ∈ <2, 7> e) x ∈ R 12. Resolver: 5x210x2x 2 −<+− a) x > 3 b) 2 < x < 5 c) x > 1 d) x > 5 e) x ∈ ∅ TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA 01. Resolver: )8x()8x(7x x812x7x)2x()1x(9x 336 45 247 −−+ −+−+++ ≤ 0 a) x ∈ <-7, -2] U <2, 3] U [4, 8> U {-1} b) x ∈ <-7, -1] U <2, 3] U [4, 8> c) x ∈ <-4, -1] U <2, 3] U [4, +∞> d) x ∈ <-1, 1> U <2, +∞> e) N.A. 02. Resolver: 1x6 + ≥ 2 x - 3 a) x ∈ − 4, 6 1 b) x ∈ 4, 2 1 c) x ∈ ∞+− , 6 1 d) x ∈ ∅ e) x ∈ R 03. Resolver: 2x6x5x3x 3 23 −>−+− a) x ∈ <-∞, 1/3> U <2, +∞> b) x ∈ <-∞, -1/4> U <1/4, +∞> c) x ∈ R d) x ∈ ∅ e) x ∈ <-1/6, +∞> 04. Resolver: 0)6xx(|1x|8 22 <−−−− a) x ∈ <-2, 3> b) x ∈ <-1, 1> c) x ∈ <-2, 2> d) x ∈ R e) N.A. 05. Resolver: 4x |1x| + + < 1 a) <-∞, -4> U <-5/2, +∞> b) <-∞, -4> U <1, 2> c) <-4, +∞> d) <-5/2, +∞> e) N.A. 06. Resolver: 32 2 4x2 22xx +− −−− ≥ x - 4 su intervalo solución es: x ∈ [a, b] U [c, d] Hallar: (a + b + c + d) a) -4 b) -2 c) 2 d) 3 e) -1 07. Resolver: x11x 1 −++ ≥ x - 4 a) x ∈ [-4, +∞> b) x ∈ <-∞, -1] U [1, +∞> c) x ∈ [-1, 1] d) x ∈ ∅ e) x ∈ R 08. Resolver: 8 x4 x 1 x −+− ≥ 0 a) x ∈ [-1,0> U [1, 4] b) x ∈ [-1,4] c) x ∈ <-1,0> U [1, 7] d) x ∈ R e) x ∈ ∅ 09. Resolver: x20x >+ su intervalo solución es [a, b>. Hallar (a+b). a) -20 b) 5 c) -15 d) 10 e) N.A. 10. Resolver: ( ) 6x2x)3x()5x2()2x3( xx1x)5x4x(1x)5x( 31367 343245 3 ++−++ −+−++ ≤ 0 a) x ∈ <-∞, -5] U <-2, -2/3> U <0,3> b) x ∈ <-∞, -4] U <-2, 1> U <2,3> c) x ∈ [1, 3> d) x ∈ <-3,3> e) N.A. 11. Resolver: )2xx(8x 22 −−− ≥ 0 a) x ∈ <-∞, -2 2 ] U [2 2 , +∞> b) x ∈ <-∞, -2 2 ] U [4, +∞> c) x ∈ <-1, 1> d) x ∈ <-∞, -1] U [2, +∞> e) x ∈ R 12. Resolver; hallar su intervalo solución 3x2x 2 −+ > -2 a) x ∈ <-∞, -3] U [1, +∞> b) x ∈ <-∞, -2] U [4, +∞> c) x ∈ <-∞, -1] U [2, +∞> d) x ∈ <-∞, 0] U [4, +∞> e) x ∈ R 13. Hallar todos los valores reales “x” que verifican: S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 11. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria )8x)(1x()xx)(1x2)(1x8( )3x()xx)(xx()1x6x24x64( 332 4422323 −+−−+ ++−−−+ ≥ 0 a) x∈<-∞;-3]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<2,+∞> b) x∈<-∞;-2]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<3,+∞> c) x∈<-∞;-1]U<-1;-1/2>U[1/4,1/2]U<2,+∞> d) x ∈ R e) N.A. 14. Hallar el conjunto solución en: 3x2x 2|x| 2 −− − ≤ 0 a) [5/2, 3> b) [2, 5] c) <2, 3/2> d) [2, 3> e) {2, -2} 15. El conjunto solución en: |x|2 - 4 > |3x - 6| a) [-6, 3]’ b) [-7, 5/2]’ c) [-5, 2]’ d) <3, +∞> e) <-∞ , -6> 16. Si x ∈ <-2, 1] entonces x2 + 2x + 2 pertenece al intervalo: a) [0,2] b) [0, 2> c) [0, 4> d) [1, 4> e) [1, 5] 17. Si 1x 1 + ∈ <1/3, 1] entonces x2 + 2x + 3 pertenece al intervalo: a) [2, 4> b) [0, 9> c) [3, 11> d) [3, 9> e) [2, 10> 18. Determinar la verdad o falsedad en: I. x ∈ [1, 3] ⇒ 5x 4x − − ∈ 4 3 , 2 1 II. x ∈ [1, 2] ⇒ 1x 7x + + ∈ [3, 4] III. x2 ∈ <4, 9> ⇒ x+1 ∈ <-2, -1> U <3, 4> a) FVV b) FFF c) VVV d) VVF e) FFV 19. Sea J = {x ∈ R/x ≤ |4x-7| < x+5}, entonces J es igual a: a) <2/5, 7/5] U [7/3, 4> b) R c) [7/3, 4] d) <1/3, 2/5] e) <0, 1] OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS: Diferenciar las Relaciones de las funciones. Encontrar dominios e imágenes de las funciones Graficar las funciones más importantes Hallar el número real (valor numérico) o la expresión algebraica (cambio de variable) que resulta de reemplazar una o más variables por valores numérico o algebraico. COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO: Par ordenado: Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos en el que se introduce un orden “natural”. Notación: ( a; b ) 2do. componente 1er. componente Propiedad: Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano de ambos se denota por A x B y se define como el conjunto de pares ordenados, cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: Propiedad: Si: n representa el número de elementos de un conjunto determinado. Se cumple que: RELACIONES BINARIAS: Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, decimos que el conjunto “R es una relación binaria de A es B”, si R es un subconjunto del producto cartesiano A x B Simbólicamente: R: A → B; R ⊂ A x B con A ≠ φ y B ≠ φ Donde: A x B = {(a; b) / a ε A ∧ b ε B} Gráficamente: R A Dominio de R Conjunto de partida Conjunto de llegada Rango de R B Dominio: Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados (a: b) que pertenece a R. Simbólicamente: S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." FUNCIO Si (a; b) = (c; d) ⇒ a = c ∧ b = d n (A x B) = n (A) x n (B) A x B = {(a; b)/a ∈ A ∧ b ∈ B }
- 12. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Dom (R) = {a ε A / ∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R} Rango: Es el conjunto formado por los segundos componentes de los pares ordenados (a; b) que pertenecen a R. Simbólicamente: Rango (R) = {b ∈ B / ∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R} Nota importante: Las siguientes notaciones son equivalentes y se usan indistintamente. Lo que el estudiante debe saber es interpretarlos. a R b ⇔ b = R (a) ⇔ ( a; b ) ∈ R Equivalente: x R y ⇔ y = R(x) ⇔ (x; y) ∈ R Si: R: IR → IR, además IR x IR = {(x, y) / x ∈ IR ∧ y ∈ IR} Relación de equivalencia: Se dice que “R” es una relación de equivalencia sobre un conjunto A ≠ φ, a toda relación de A en A que goza de las tres siguientes propiedades: a) ∀ x ∈ A ⇒ (x, x) ∈ R ⇔ x R x (Reflexiva). b) Si (x, z) ∈ R ⇒ (z, x) ∈ R (simétrica). c) Si (x, z)∈R ∧(z, t)∈R ⇒ (x, t)∈R (transitiva) Ejemplos de relaciones de IR en IR 1. x2 +y2 = 25 2. x2 + y2 < 9 3. x2 + y2 > 9 4. x2 + y2 ≤ 9 5. (2, − 1), donde R: 2x − y − 5= 0 6. S ⊂ T, donde S: x2 + y2 < 4 T: x2 + y2 < 25 7. L1 // L2, donde L1: x − y=0, L2: y = x + 5 8. L1 ⊥ L2, donde L1: x+y–1=0; L2: y =x–2 CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A y con valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento, x ∈ A un único elemento y ∈ B. Notación funcional: f : A → B v A B→ f Se lee f es función de A en B. Condición de existencia y unicidad: Sea: f: A → B I. Para cada x ∈ A, ∃! y ∈ B / (x; y) ∈ f. II. Si: (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f ⇒ y = z Ejemplo: 1 2 3 4 a b c d A B f Conjunto de Partida Conjunto de Llegada f = {(1; a); (2; b); (3; b); (4; c)} Cumple la definición ∴ es función. En cambio: 5 9 13 a b c A B f f = {(5, a); (9, b); (9, c); (13, a)} No se cumple la condición de unicidad ∴ no es función. Observación: No deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento; en caso exista de acuerdo a la definición, las segundas componentes tendrán que ser iguales si no es así entonces no es función. Ejemplo: F = {(3; a-3); (5; 7); (3; 8); (5; b-1); (2; 9)} Es función siempre y cuando: a – 3 = 8 ∧ b – 1 = 7 Es decir: a = 11 ∧ b = 8. Dominio de una función: Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes pertenecientes a una función f, y se denota de la siguiente manera: Df ó Dom f. Df = {x ∈ A/ ∃! y ∈ B / (x, y) ∈ f} Rango de una función: Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la función f y se denota; Rf ó Rang f. Rf = {y ∈ B/ x ∈ A ∧ (x; y) ∈ f} Ejemplo: Sea: f = {(1; 2); (4; 7); (5; 4); (9; 10)} ⇒ Df = {1; 4; 5; 9} Rf = {2; 7; 4; 10} Regla de correspondencia.- Es la relación que existe entre las primeras y segundas componentes de una función. Donde: x: variable independiente y: variable dependiente Sea la siguiente función: f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9); (4; 16)….} Luego: f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9; f(4) = 16 .......... En general: f(x) = x2 ; x ∈ N Función real de variable real Sea f una función de A en B. (f: A → B), si: A ⊂ R B ⊂ R Diremos que f es una función real de variable real. Gráfica: Si f es una función real de variable real, la gráfica de f es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a f. Gráfica. = {(x; y) ∈ R2 / y = f(x), x ∈ Df} Teorema.- Si f es una función de R en R ⇔ toda recta paralela al eje “y” corta la gráfica a lo más en un punto. x y f Es función x y f No es función x y f No es función Funciones especiales 1. Función Constante Regla de Correspondencia: f(x) = C; Df = R, Rf ={C} S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 13. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria y C C > 0 C = 0 C < 0 x 2. Función Identidad Regla de correspondencia: f(x) = x ó I(x) = x y f x Df = R Rf = R 45° 3. Función Valor Absoluto Regla de correspondencia y f x 45°45° f(x) = |x| = <− ≥ 0xx ; 0xx ; Df = R Rf = + 0 R 4. Función Lineal Regla de correspondencia f(x) = ax + b; a ≠ 0 Df = R Rf = R y b x-b/a a > 0 b > 0 5. Función cuadrática Regla de correspondencia f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0, {a, b, c}⊂ R Df = R Toda función cuadrática se puede llevar a la forma: f(x) = a(x-h)2 + k Donde: V = (h; k) vértice. x y > 0 v v a<0 a>0 x y = 0 v a<0 a>0 ∆∆ x y < 0 v a<0 a>0 v ∆= discriminante ∆ 2 = b - 4ac ∆Donde: 6. Función Raíz Cuadrada Regla de correspondencia: f(x) = x y F x Df = R Rf = R + 0 + 0 7. Función Signo Regla de correspondencia <− = > == 0xsi1 0xsi0 0xsi1 Sgn(x)F(x) :, :, :, Dom F = R; Rang F = {-1; 0; 1} y x -1 1 Álgebra de funciones 1. Igualdad de Funciones: Las funciones f y g son iguales si se cumple: a. Df = Dg (igual dominio) b. f(x) = g(x), ∀ x ∈ Df = Dg A continuación vamos a definir las diferentes operaciones que se pueden establecer con las funciones. Sean las funciones f, g con dominios Df y Dg respectivamente. i. (f + g)(x) = f(x) + g(x) D(f + g) = Df ∩ Dg ii. (f – g)(x) = f(x) – g(x) D(f – g) = Df ∩ Dg iii. (f.g) (x) = f(x). g(x) D(f. g) = Df ∩ Dg iv. (f/g)(x) = )( )( xg xf ; g(x) ≠ 0 D(f/g) = Df ∩ Dg ∧ g(x) ≠ 0 Observación: Si: (f. f. f. f. . . . . . f)(x) = f(x) . f(x) . . . . . f(x) n veces n veces Entonces: n xf )( = Df;][f nn (x) = Df : n ∈ N Ejemplo: Dadas las funciones: F = {(-3;4); (-1;0); (2;0); (3;1); (4;1); (5;3); (6;6)} G= {(-4;3); (-3;0); (1;0); (2;3); (3;3); (4;6); (6;6); (7;5)} Determinar: a) f ± g b) f . g c) f/g d) g/f e) f2 - 2g S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 14. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE 01.Sean A = {1, 2, 3} B = {4, 5} Cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B. I.- {(1, 4) (2, 4)} II.- {(1, 5) (2, 4) (4, 3)} III.- {(3, 5) (2, 5)} a) Sólo I b) sólo I y II c) sólo I y III d) III y II e) N.A. 02. Dado el número U = {1, 2, 3, 4} y las relaciones: R1 = {(x, y) / x = y} R2 = {(x, y) / y = 4} R3 = {(x, y) / x > y} El número de elementos de R3 – (R1 U R2) es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 03.Si R es una relación en A = {2, 3, 9} tal que R ={(x, y) ∈ A x A/ y + 1 <x2 } entonces: I) Dom(R) = {2, 3} III) Dom(R)=Ran(R) II) Ran(R)= {9} IV) R tiene 7 elementos a) Sólo I y II b) sólo II y IV c) I, II y III d) sólo III y IV e) N.A. 04.Dada la relación R definida con los números reales: R = {(x, y) / |x-y| < 5} Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I) R es reflexiva II) R es simétrica III) R es transitiva IV) R no es de equivalencia a) Sólo I b) sólo II y III c) I, III y II d) sólo I, II y IV e) N.A. 05.Si R = {(x, y) / 2x – y = 5} ⊂ M x M, donde: M = {1, 2, 3, 4, ......, 9} y si “m” es la suma de todos los elementos del dominio de R y “n” es la suma de todos los elementos del rango de R, entonces: Hallar el valor de m.n. a) 620 b) 625 c) 630 d) 635 e) N.A. 06.De un conjunto A a un conjunto B se pueden formar 1024 relaciones, si el conjunto A tiene dos elementos. Cuántos elementos tiene el conjunto B. a) 10 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7 07.Sean las relaciones: R ={(1;3) (2;4)(3;5)(1;1)(2;2)(4;2)(3;1)} T = {(x, y) / (y, x) e R}. Entonces ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son falsas? I) R es transitiva pero no simétrica II) R ∩ T = {(1; 1) , (2; 2)} III) Dom (R) - Dom (T) ≠ ∅ a) Sólo I b) sólo II c) sólo III d) sólo I y II e) todas 08.Hallar el dominio (Df) y el rango (Rf) de la siguiente función: f={(2,5);(-1,-3);(2,2a-b);(-1,b-a);(a+b2 , a)} Luego indicar: Df ∩ Rf a) {3} b) {-1} c) {2} d) {5} e) {φ} 09. Hallar a + b, si el dominio de la función: F(x) = 1x4 x87x3 1x 2 2 2 −+ −− − Es x ∈ [-a; -b] U [b; a] a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2/3 e) 1/6 10.Calcular el rango de: f(x) = 1x4x2 ++ Sabiendo que: x ∈ <2, 4> a) <-15; 35> b) < 35;15 > c) <13;33> d) < 33;13 > e) < 21;10 > 11. Hallar el rango de la siguiente función: F(x) = 2x2 + 3x + 2; x ∈ R a) [1/8; +∞> b) [7/8; +∞> c) [-1; 2] d) <-∞; 7/8> e) N.A. 12.Hallar el rango de la función: F(x) = 64x5 x 2 2 + a) [0; 1/5> b) <-∞; 1/5] c) [0; 5> d) [1/5; +∞> e) N.A. 13.Hallar el rango de la siguiente función: F(x) = 4x2x 4x2x 2 2 ++ +− a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6] d) [1/3; 4] e) [-3; 1] 14.Hallar el rango de: F(x) = 3|3x|x |3x|x −−− −+ a) {0} b) [3; +∞> c) <-∞; 3] d) {3; -3} e) <-∞; 0> 15.Hallar el rango de la función: G(x) = x2 - 6x + 3; si x ∈ <-2; 5> a) <-6; 19> b) [-5; 10> c) [-6; 19> d) <-6; 6> e) [-7; 10> 16. Hallar el rango de la siguiente función: F(x) = 10x3x6x )8x6x)(x5x4x( 23 223 ++− +−−− a) <-2; 5> U <5; +∞> b) <-4; 3> U <3; +∞> c) <-4; 6> d) <-4; 5> U <5; +∞> e) <-3; 5> 17. Determinar el rango de: F = {(x; y) ∈ R2 /y = 25x4x 2 ++− } a) R b) [3; +∞> c) <2; +∞> d) [2; +∞> e) <3; +∞> 18. Si: F(x) = 3x2x −− G(x) = )3x)(2x( −− Indicar lo correcto: a) F = G b) F = 2G c) F = 3G d) F + G = 0 e) F ≠ G 19. Sean las funciones: F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1), (4,3)} G = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)} Hallar la suma de valores extremos de: (F + G). a) 6 b) 10 c) 3 d) 13 e) N.A. 20. Hallar la gráfica de la siguiente función: F(x) = (x + 2)2 – 4 S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 15. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria e) N.A. a) x y b) x y d) x yc) x y 21. Hallar la gráfica de: F(x) = 23x −− e) N.A. a) x b) d)c) y -2 3 y 3 y 3 y 2 x x x EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03 01. Si F(x) = 4 |x|3− G = {(-4,1); (-3,0); (-1,5); (2,-1); (7,4)} Indicar el número de elementos de G/F. a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 02.Dado el conjunto A = {a, b, c, d} y las relaciones: R1 = {(a, a), (d, d), (a, d), (d, a)} R2 = {(c, c), (b, b)} R3 = {(a, a), (b, b), (c, b), (d, a)}, son transitivas: a) R1, R2 b) R1, R3 c) R2, R3 d) N.A. e) Todas 03.Sea R una relación definida en el conjunto {x/x=2n , n e Z+ ,5 < x < 25} y sea n(R) el número de elementos de R. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. I) n(R) = 10 ⇒ R no es reflexiva II) n(R) = 10 ⇒ R es reflexiva III) R es transitiva ⇒ n(R) > 3 Son verdaderas: a) Sólo I b) sólo II c) sólo III d) sólo I y II e) Todas 04.En el conjunto [1,8] ∩ Z se define la relación R cómo. a R b ⇔ a es divisor de b. Hallar n(R) a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 05.Si el conjunto M tiene 2 elementos, entonces el número de relaciones binarias en MxM es: a) 22 b) 24 c) 28 d) 216 e) N.A. 06.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la siguiente relación en A: R = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,z), (x,y) , (x,z) , (2,3) , (z,y) , (3,1)} Si R es una relación de equivalencia. Hallar el valor de: 3x + 2y – z a) 2 b) 4 c) 0 d) 7 e) N.A. 07.Sea R una relación en: A={1,2,3,4,5,6} definida por “x es divisor de y”, entonces: 1. R es reflexiva 2. R es simétrica 3. R es Transitiva Son ciertas solamente: a) Todas b) 1,2 c) 1,3 d) 2,3 e) N.A. 08.Son funciones: a b c 1 2 3 4 A B a b c 1 2 A B (1) (2) a b 1 2 A B 3 a b 1 2 A B (3) (4) Son ciertas solamente: a) Todas b) 1; 2 y 3 c) 2; 3 y 4 d) 3 y 4 e) N.A. 09.Se tiene los siguientes conjuntos de pares ordenados: 1.- {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3)} 2.- {(2,1), (3,2), (4,3), (3,4)} 3.- {(3,4), (2,3), (4,1), (2,3)} 4.- {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} Son funciones solamente: a) Todas b) 1,2 y 3 c) 1,3 y 4 d) 1,3 y 5 e) N.A. 10.Sea f: A → R definida por f (x) = 4x – 4. Hallar el rango de f si: A = {-1/2; -1; 0; 1; ½} a) {0, -1, -2, -3, -4} b) {-2, -3, 0, 3, 2} c) {7/2, 15/4, 2, 3, 0} d) {-15/4, -7/2, 0} e) {–7/2, –15/4, –3, –2, 0} 11.Los siguientes gráficos representan funciones: y x y x (1) (2) y x (3) Son ciertas solamente: a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) N.A. 12.Sean los conjuntos: A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y las siguientes relaciones de A en B. 1.- {(2, 3), (3, 4), (4, 5)} 2.- {(3, 2), (4, 3), (5,4)} S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 16. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 3.- {(3, 3), (4, 4)} Son funciones de A en B: a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) N.A. 13.¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen a una función A x A: A = {1, 2, 3, 4, 5} 1.- {(x, y) ∈ A2 / x = 4} 2.- {(x, y) ∈ A2 / y = 4} 3.- {(x, y) ∈ A2 / x + y = 6} 4.- {(x, y) ∈ A2 / x2 + y2 = 25 5.- {(x, y) ∈ A2 / x < y} a) Todas b) 1,2 y 5 c) 2,3 y 4 d) 1,3 y 4 e) 3,4 y 5 14.Sea A = {x ∈ N / 0 < x < 5} ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son funciones de A en A? R1 = {(x, y) ∈ A x A / x = 2} R2 = {(x, y) ∈ A x A / y = 2} R3 = {(x, y) ∈ A x A / x + y = 5} R4 = {(x, y) ∈ A x A / x = y2 } a) R1 ∧ R2 b) R2 ∧ R3 ∧ R4 c) sólo R3 d) todas e) R1 y R4 15.Para A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5} Sean f y g dos aplicaciones de A en B tales que: f = {(1, 3), (2, 4), (a, b)} y g = {(3, 3), (2, 4), (c, d)} Si: ∀x ∈ A, f(x) ≠ x, Rango (f) ≠ B y g(1) = 3 Hallar el valor de: (b – a) – (c – d) a) 2 b) 4 c) –2 d) –1 e) N.A. 16.Si f es una función. ¿Cuáles son verdaderas? I) Si a = b ⇒ f(a) = f(b) II) Si a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b) III) Si f(a) = f(b) ⇒ a = b a) I b) II c) III d) todas e) I y III 17.Sean: A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {a, b, c, d, e} ¿Cuáles de las siguientes relaciones definen aplicaciones de A en B? R1 = {(2, a), (4, c), (10, c), (8, e), (6, e)} R2 = {(10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d)} R3 = {(6, a), (4, b), (8, c), (10, e)} R4 = {(a, b), (4, e), (6, a)} R5 = {(10, b), (8, b), (4, b), (2, b), (6, b)} a) R1 ∧ R3 b) R1 ∧ R5 c) R3, R4; R5 d) todas e) N.A. 18.¿Cuál de los siguientes conjuntos es función? I) {(1, 3), (2, -2), (-1, 7), (2, -4)} II) {(1, 0), (0, 0), (2, 0), (3, 0)} III) {(1/2,3), (1/3,2), (1/5,1) IV) {(3,4), (5,2), (6,2), (3,4)} a) I y II b) I, II y III c) II, III, IV d) I e) todas 19.Si el siguiente conjunto es una función {(3,-2), (4,2a - b), (8,1), (3,a + b), (4,-4)}, el valor de a2 + b2 es: a) 1 b) 3 c) 0 d) 4 e) 5 20. Sean las funciones: F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1); (4,3)} G = {(2,0); (3,4); (4,7); (5,2)} Hallar la suma de elementos del rango de: (F2 + 3 G) a) 16 b) 13 c) 30 d) 59 e) N.A. TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA 01.Dado el conjunto: A = {2; 4; 6} y las relaciones en A: R1 = {(2; 2), (2; 4), (4; 4 ), (6; 6), (4; 2)} R2 = {(x, y) / y – x = 0} R3 = {(x; y) / y – 2 = x}; ¿Cuáles son relaciones de equivalencia? a) R1 b) R2 c) R1 y R3 d) R2 y R3 e) R1 y R2 02.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A: I) R1={(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4)} II) R2 = {(x; y) /x2 + y2 = 5} ∪ {(1; 1)} III) R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3)} Indicar las relaciones transitivas. a) II b) I ∧ II c) II ∧ III d) I, II ∧ III e) I ∧ III 03.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A: R1={(1;2), (2 ;3), (2;1), (3;4), (3;2), (4; 3), (3;3)} R2 = {(x; y) / x2 + y2 = 5} R3 = {(x; y) / y = x – 2}; ¿Cuáles son simétricas? a) R1 ∧ R3 b) R1 c) R1 ∧ R2 d) R2 e) R3 04.Dado el conjunto: A = {-2; -1; 3; 4} y las relaciones en A: R1 = {(-2,-1), (-2;-2), (-1; 2), (-1;-1), (3;3), (4; 4)} …........... ( ) R2 = {(x; y) / | x | = | y | ............... ( ) R3 = {(x; y) / y = x – 2} ............... ( ) Indicar con una V si es reflexiva y con una F si no lo es. a) VVF b) VFF c) FVF d) VVV e) VFV 05.Dados los conjuntos: A = {x ∈ R / 3 < x < 6} B = {x ∈ R / x ∈ [-1; 4]}. Calcular el área que determina la gráfica de A x B a) 22µ2 b) 6µ2 c) 15µ2 d) 12µ2 e) 8µ2 06. Son funciones inyectivas: a b c 1 2 3 A B a b 1 2 A B 3 (1) (2) a b c 1 2 A B (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) N.A. 07.Son funciones sobreyectivas: a b c 1 2 3 A B a b 1 2 3 A B (1) (2) a b c 1 2 3 A B (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) 3 08.Son funciones biyectivas: a b c 1 2 3 A B a b 1 2 3 A B (1) (2) S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 17. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria a b c 1 2 A B (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) 1 09. Graficar la función: F(x) = ||x-2| - 2| a) x b)y y 2 x c) y 4 x d) y x e) y x 10. Graficar: F(x) = | 1x2 −− | e) N.A. a) b) d)c) x y 2 y -2 x x y 2 x y 2 -1 1 11. Sean las funciones: F = {(0, 2 ); (1, 52 + ); (2, 0)} G = {(0, 8 ); (2, 1/2); (4; 3 )} Hallar M = (F.G)(2) a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) N.A. 12. Graficar la función: F(x) = Sgn + − 2x 1x e)N.A. a) x y -1 1-2 1 c) x y -1 1 -2 1 b) x y -1 1 d) x y -1 1 13. Dadas las funciones: F(x) = 3x - 5; x ∈ [0, 6] G(x) = ∈< −∈− ],; ],[; 42xx 21xx2x 2 Hallar: (F + G) a)(F+G)(x)= ∈<−+ ∈−+ ]4,2xSi;5xx3 ]2,0[xSi;5xx2 b) (F+G)(x) = ∈<+− ∈++ ]4,2xSi;5xx3 ]2,0[xSi;5xx2 c) (F+G)(x) = ∈<−+ ∈−+ ]5,4xSi;5xx3 ]3,0[xSi;5xx2 d) (F+G)(x) = ∈<++ ∈+− ]4,2xSi;5xx3 ]2,0[xSi;5xx2 e) N.A. 14. Hallar el rango de la función: F = ( ) ≥− − 04xx/ 4x x ,x 2 a) <-∞; 1] b) <-∞; 1] U <1, +∞] U {0} c) <1; +∞> d) [-1; 1> e) <-∞; 0> U <1; +∞> 15. Hallar el rango de la función: F(x) = x2 - 2|x| - 3 a) [-4; +∞> b) [-2; +∞> c) [-1; +∞> d) [-6; +∞> e) [1; +∞> 16. Hallar el rango de la función: F(x) = |1x| 1xxx 23 + +++ a) <-∞; -1> U [2; +∞> b) <-∞; -3> [2; +∞> c) <-∞; -2> [1; +∞> d) <-∞; -2] U <2; 4> e) R - {-1} 17. Determinar el rango de: F(x) = |x + 8| - |x – 8| a) [-4; 4] b) [-8; 8] c) [-16; 16] d) [8; +∞> e) <-∞; 8] 18. Graficar F(x) = x|x|. e) N.A. a) x y c) x y b) x y d) x y 19. Sean las funciones en R: h(x) = x2 - 4x + 7 g(x) = x2 - 10x - 27 Si: h(xO) ≤ h(x); ∀ x ∈ Dom h y g(x1) ≥ g(x); ∀ x ∈ Dom g. S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 18. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Hallar: x-x 10 . a) -3 b) 3 c) 7 d) -7 e) N.A. 20. Si las gráficas de F(x) y G(x) son: x y b F a x y G Hallar la gráfica de: H(x) = 2 |)x(G)x(F|)x(G)x(F −++ x ya) x yb) y x c) x yd) e) N.A. OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS: CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO: I. Definición Se denomina logaritmo de un número real “N”, al exponente a que debe elevarse una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesta o sea “N”: Notación Loga N = b Se lee: “logaritmo de N en base a es igual a b”. Ejemplo: Hallar el logaritmo de 3 48 en base 5 2 Resolución Sea “x” el logaritmo buscado: x48log 3 25 = Por definición: ( ) 3x5 482 = 3/135 x 4.22 = 3/235 x 2.22 = 3/115/x 22 = Cuando las bases son iguales, entonces los exponentes son iguales. 3 11 5 x = De donde: x = 55/3 II. Propiedades generales de los logaritmos 1) Solamente existen sistemas de logaritmo cuya base es una cantidad positiva diferente de 1. a ∈ < 0; 1 > ∪ < 1; +∞ > 2) En el campo de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas. 3) El logaritmo de la base es la unidad. 1aloga = 4) El logaritmo de la unidad es cero 01loga = 5) Logaritmo de un producto Es igual a la suma de los logaritmos de sus factores. NlogMlog)N.M(log aaa += 6) Logaritmo de un cociente Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. NlogMlog N M log aaa −= 7) Logaritmo de una Potencia Es igual al producto del exponente por el logaritmo dado con su respectiva base. MlogNMlog a N a = 8) Logaritmo de una Raíz S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." LOGARITM
- 19. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Es igual al cociente del logaritmo del radicando entre el índice de la raíz. N Mlog Mlog aN a = 9) En todo sistema de logaritmos, si se eleva la base a un número “n”, para que no varía, también debe elevarse el número. Igual sucede cuando se le extrae la raíz “n”. Esta propiedad sólo se basa en Potenciación y Radicación. n a n aa MlogMlogMlog nn == III. Cambio de base Permite escribir el logaritmo de un número con su base conocida, en otro logaritmo del mismo número pero en otra base. Sea la base original “a” y el número N, se desea cambiar a una base “b” del mismo número N. Esta transformación se realiza de la siguiente; manera: alog Nlog Nlog b b a = * PROPIEDAD EN EL CAMBIO DE BASE blogclog aa cb = * CONSECUENCIAS DE LA FORMA DE CAMBIO DE BASE 1) alog 1 Nlog N a = 2) Regla de la Cadena 1alog.Nlog Na = 3) Extensión de la regla de la cadena elogelog.dlog.clog.blog adcba = IV. Cologaritmo De un número en una base “a” es el logaritmo de la inversa del número en la misma base. También es equivalente al logaritmo del número en la base, precedido del signo menos. Nlog N 1 logNlogCo aaa −= = V. Antilogaritmo Se denomina antilogaritmo en una base “a” al número que dio origen al logaritmo. x a axlogAnti = Por definición, el antilogaritmo y logaritmo, expresados en la misma base son funciones inversas, por tanto: ( ) xxloglogAnti aa = VI. Sistemas de logaritmos Sistemas de logaritmo neperiano o natural Es aquel sistema de logaritmo, en el cual la base a emplear es el número “e”, donde: 2 < e < 3. (e ≅ 2,7182) siendo sus notaciones: NlnNloge = Logaritmo decimales vulgares o de Brigss Definición: Recibe este nombre, el sistema de logaritmos, cuya base es 10. La base no se escribe y su representación es: NlogNlog10 = Características: Es la parte entera del logaritmo decimal de un número. Puede ser positiva o negativa. Determinación de la característica de log N Cuando N>1: La característica es positiva igual al número de cifras que hay en su parte entera menos uno. Ejemplos: log 657⇒ la característica es: 3 – 1 = 2 log 3287,17⇒la característica es: 4 – 1= 3 Cuando: 0<N<1: la característica es negativa; siendo en valor absoluto igual al número de lugares que se debe desplazar la coma decimal para que el número resulte con una cifra entera. Ejemplo: log 0,0023: la característica es: - 3= 3 log 0,0000426: la característica es: –5= 5 log 0,00050007: la característica es:– 4= 4 Mantisa Es la parte decimal del logaritmo vulgar. Observaciones - La Mantisa en los logaritmos decimales, se halla mediante tablas. - La Mantisa es siempre positiva Cuando se trata de calcular el Nº cifras enteras, se tiene: • log E = 24.56786 ⇒ 24 + 1 = 25 cifras enteras • log E = 2.32723 ⇒ 2+1 = 3 cifras enteras • log E = 6.42345 ⇒ 6 + 1 = 7 cifras enteras. PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE 01.Calcular el valor de “E” 3loglogloglogE 389/464= a) 2/3 b) – 1/6 c) 3/2 d) –6 e) 1 02.Calcular el valor de: logloglog36logloglogE 4 6 100 2 1624/1 += a) 4 b) –3 c) ¼ d) –1/2 e) –2 03.Calcular “x” en la expresión: 3xlog.xlog,xlog x x x x x x xxx = a) 1/3 b) 3 c) 1 d) - 3 e) 3/3 04.Calcular “x” a partir de las igualdades ( ) 146135,0Nlog 1x =+ ...................... .. (I) ( ) 292270,0Nlog 1x =− ...................... . (II) a) 0 b) 2 c) 3 d) a + c e) – 1/3 05.Calcular “x” en: ( ) 27log2x 3 2xlog3 2 x = + S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 20. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6 06.Calcular “x” en: clog.xlog.xlog)alog1(clog.xlog acbcba =+ a) 1 b) a c) c d) ac e) a/b 07.Calcular el valor de: 2log 16log5log27log4log2 9423 42549.4E = a) 4 b) 6 c) 12 d) log 2 e) 2 08.Calcular: 2log 5.0log 7log7log 7 7 22 5.07E = a) 49 b) 14 c) 172 d) log2 7 e) log 0,5 09.Calcular: 5log blog1 alog1 alog1 blog1 a a b 5blog b a baE + + + + += a) 5 b) 10 c) a d) b e) logb a 10.Si: 16blog.clogblog.alogclog.alog abacbc =++ Calcular: 2 a 2 c 2 b clogblogalogE ++= a) 8 b) 16 c) log abc d) 8 e) 32 11.Calcular el valor de: antilog125 antilog3 colog25 antilog5 log7 49 a) 7 b) 5 c) 2 d) 3 e) 25 12.Calcular “x” en: 6253logantilogantiloganti 22x 4 = a) 2 b) 3 c) 2 d) 8 e) 5 13.Calcular el valor de: − + += 38621 8 27 loglogantiloglogantilogcoE 82397 a) –2 b) 7 c) 3 d) 2 e) – 3 14.Si: ( ) ( ) ( ) 9432 2x4log4x3log3x2log 432 =++ −−− Calcular “x”: a) 10 b) 3 c) 2 d) 12 e) 7 15.Calcular el valor de: 625log.loganti.log.log.loganti.logcoE 2,05,02224= a) – 3 b) –1 c) 2 d) 4 e) ½ 16.Calcular el número de cifras que tendrá el desarrollo de: 202928 5x3x2E = Si: log 2 = 0,30103, log 3 = 0,47712 a) 25 b) 28 c) 32 d) 37 e) 36 17.Calcular el valor de. 8 25.781logE = , si log 2 = 0,30103 a) 0.3615 b) 0.8737 c) 0.3737 d) 0.69897 e) 1.7257 18.Calcular el valor de: 5log 20log25logE −= ,si log 2=0.30103 a) 0,69897 b) 0,3615 c) 0,7257 d) 0,2117 e) 0,8436 19.Calcular el valor de “x” en: ( ) 8e 71229xxln 24 =−+ a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 20. Resolver la ecuación: e 1 ln exln exln log xlog x = + − . Hallar “x”. a) e9e/11 b) e3e/7 c) e5e/7 d) e11e/9 e) N.A. EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04 01.Calcular “x” en: 4log32log33log26log3xlog 55555 −+−= a) 1 b) 2 c) 3 d) – 2 e) – 4 02.Calcular “x” en: x log 2 + log log 2 = log log 16 a) 4 b) 1 c) ¼ d) 2 e) –2/3 03.Calcular “x” en: 27logxlog5 3 x log3 2 x log4 7777 −= + a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1 04.Calcular “x” en: 2/15xlogxlogxlogxlog 242/12 =+++ a) 15/2 b) ½ c) 2 d) 15 e) 8 05.Calcular “x” en: x 9 3log 274 1227 log 8 = + a) –2/3 b) (1/4)-1/3 c) 4 d) 1 e) 3 06.Si se cumple que: 1cloglogblog.log aaaa =− Calcular “x” en: xlog xlog a c balogx = a) 2a b) 1/a c) bc d) ab/c e) 1 07.Calcular “x” en: ( ) ( ) 343x572 7logxlog aa =+ a) 1/a b) 2a c) a2 d) log 7 e) 7 08.Calcular: S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 21. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 2log 14log5log2 7 77 5 52 E + = + a) 3 b) 5/3 c) 1/3 d) ½ log7 5 e) 9 09.Al reducir: Nlog 1 ........ Nlog 1 Nlog 1 Nlog 1 1999432 ++++ ; Donde: N = 1999! , se obtiene: a) 1997 b) 0 c) 1998 d) 1 e) F.d. 10.¿Qué valor asume la expresión: 5logxlog aa x65E += .Si x = alog57 a) 5 b) 3 c) 7 d) 6 e) 4 11. Resolver: b xlog x b alog 1 a = a) ab b) ba c) a d) b e) -ab 12. Al resolver la ecuación: ( ) 25x 2 x 4xlog =+ podemos afirmar: a) Admite como solución a la unidad b) Se verifica para x = -9 c) Conjunto solución = {-9; 1} d) Es inconsistente e) Es indeterminado 13. Hallar “x” en: xLog 2+Log Log 2= Log Log 16 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 14.Calcular: 3 8 16Log 5 a) 20 b) 9 c) 15/4 d) 20/9 e) 9/20 15.Calcular: 43Log 7 4 Log 7 5Log 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 16.Calcular: ( )81LogLog)25,0( 35,0 9Log16 +− a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a 17.Calcular: + − = 243 32 Log 9 5 Log2 16 75 LogP a) Log 3 b) Log 2 c) Log 5 d) Log 6 e) N.a 18.Resolver: Log (2 – x) + Log (3 – x) = Log 20 a) 7 b) – 7 c) – 2 d) 2 e) 14 19.Si: Log x – 3 Log 2 = 1 hallar “x”: a) 2 b) 8 c) 80 d) 40 e) 1 20.Halle de: 2010 )xx(Log 2 =+ a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 4 y – 5 TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA 01. Calcular: 27Log2Log 364 + a) 73/6 b) 73/12 c) 6/73 d) 12/73 e) 1/2 02. Calcular: 2LogLogLog 2816 a) 1/2 b) – 1/2 c) 1/4 d) – 1/4 e) 1 03. Hallar “x” en: 4)3x2(LogLog 524 =− a) 10 b) 14 c) 6 d) 2 e) 4 04. Calcular: 43Log74Log 7 5Log 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 05. Calcular: 3Log 4Log 5Log 3Log 4Log 2Log a c c b b a 5 a) 2 b) 25 c) 5 d) 1/5 e) 125 06. Calcular: 3LogxLog aa x73 + si se sabe que: aLog32x = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Reducir: cLog1 1 bLog1 1 aLog1 1 abacbc + + + + + a) 1/2 b) abc c) a + b + c d) ab + ac + bc e) 2 08. Señalar la menor raíz de la ecuación: 17 10 103.100 xLog 10LogxLog = + a) 2/3 b) 2/5 c) 3/2 d) 5/2 e) 5 09. Si: F(x + logx) = x – logx; hallar: F (11) a) 2 b) 3 c) 7 d) 9 e) 11 10. Si: 2a4Logy3bLog ba == , indicar el valor de “b” a) 5 82 b) 5 22 c) 3 24 d) 2 e) 3 22 11. Resolver: Loga64 Logxa = 3 a) 2 b) 8 c) 6 d) 4 e) 5 12.Si: 5b b1 b = − . Simplificar: ( ) b2b bxlogb b b bxlogb − = a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 13. Resolver: a x a log a x logaxlogaxlog 4 x 4 a 4 x 4 a =+++ a) a b) a a c) 2a a d) a e) a a 14. Simplificar la expresión: 34log 3 8log 2 a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 3 e) 8 15. Si: a y b son las raíces de la ecuación: x2 – 3x + n4 = 0 Calcular: b nnn a n blogblogaalogbalog +++ S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 22. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria a) – 12 b) – 6 c) 6 d) 9 e) 12 14. Resolver: 1nloglog) 10 x4 (log1 x −= − + ¿Cuántas raíces tiene esta ecuación para un valor determinado de “n”? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Resolver la siguiente ecuación: 27)xlog(log ))xlog((loglog )x(loglog3 =− a) 102 b) 103 c) 104 d) 10 e) 105 16. Hallar el valor de: ( ) 04,0 125,03 log 2 3log 93 25log135log − a) x b) 3 c) 0 d) 4 e) 5 17. Resolver: ......)b.(log)b.(log)b(log 32 xlogxlogxlog a) 200 b) 100 c) 400 d) 20 e) 150 18. Qué valor de “x” verifica la igualdad: )]3log3(logco[logantixloganti 3624 = a) -1 b) 1 c) 3 d) 4 e) -2 19. Calcular E si x = 10 3 ++= xlogxlogxlog x 623 643logE a) 11 b) 3 c) 10 d) 9 e)12 20. Resolver el sistema. Hallar “x”: 8 y x logxylog 22 =− . . . . . . . . . (1) ylogxlog 42 = ……. . . . . (2) a) 100 b) 1/ 100 c) 2/ 50 d) 1 e) 300 OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS: Diferenciar los términos: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica. Interpolar Medios Aritmética y Medios Geométrica. COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO: En muchas ocasiones los conjuntos de elementos cualesquiera se ordenan de igual manera que están ordenados los números naturales. Siempre que los elementos de un conjunto estén en correspondencia con los números naturales 1; 2; 3; … , de forma que a cada elemento le asignamos un número natural correspondiente, el conjunto se convierte en una SUCESION. ¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN? Es una función definida de N a R en la forma siguiente: S: N R S: n an N R S n an n an 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 : : : : n an Sucesión: a1; a2; a3;…; an Ejemplos: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 1; -x; 2 x2 ; – 3 x3 ; 4 x4 ; – 5 x5 ; 6 x6 ; …. Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión es infinita. El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos de la sucesión. Ejemplo: El término general de la sucesión: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 es n2 ∀ n ∈ N Dentro de las sucesiones tenemos las PROGRESIONES. CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO: PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es aquella, en la cual un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior aumentado en una cantidad constante llamada razón aritmética. A la progresión aritmética también se le denomina progresión por diferencia. Representación ÷ a1. a2 . a3 ..................… an ÷ a1. (a1 + r). (a1 + 2r). … [a1 + (n – 1) r] Elementos de una progresión aritmética ÷ = Inicio de la progresión aritmética. a1= primer término an= término enésimo r = razón de la progresión aritmética Sn= Suma de los “n” primeros términos Clases de progresión aritmética: De acuerdo a la razón: * Si: r > 0 Progresión Aritmética Creciente S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." PROGRESI
- 23. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria * Si: r < 0 Progresión Aritmética Decreciente Propiedades: Sea la P.A: ÷ a1. a2. a3..... ak... ax… ay... an I. Razón: r = a2 – a1 = a3 – a2 .... = ak – ak – 1 1kk aar −−= ; 1 ≤ k ≤ n II. Término General r)yx(aa yx −+= r)1n(aa 1n −+= III. Términos equidistantes de los extremos Sean ellos: aP; aq ÷a1............ aP............. aq............ an p términos p términos n1qp aaaa +=+ IV. Término Central: Cuando “n” es impar. 2 aa a n1 c + = * Corolario: 2 aa a 1x1x x +− + = V. Suma: n 2 aa S n1 n + = cn anS = [ ]r)1n(a2 2 n S 1n −+= Medios Aritméticos: Son los términos comprendidos entre dos extremos. Ejemplo: 4.7. 10. 13. 16. 19. 22 extremo extremo anterior posterior Interpolación de Medios Aritméticos: b............................a cosaritmétimediosm ÷ Dados: a, b, m De (II) r)1n(aa 1n −+= [ ] r1)2m(ab −++= → 1m ab ri + − = ri: Razón de interpolación aritmética PROGRESION GEOMETRICA Es aquella sucesión numérica, en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero y además un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una misma cantidad llamada razón geométrica, a una progresión geométrica también se le denomina progresión por cociente. Representación. ÷÷ t1 : t2 : t3 : t4 : .........: tn ÷÷ t1 : t1q : t1q2 : t1q3 : ......... : t1qn-1 Elementos de la progresión geométrica. ÷÷ = Inicio de la progresión geométrica. t1 = Primer término [t1 ≠ 0] : = Separación de términos q = Razón [q ≠ 0] tn = Término enésimo Sn = Suma de “n” primeros términos Pn = Producto de “n” primeros términos Clases de P.G. * Si: q > 1 P.G. Creciente * Si: 0<q<1 P.G. Decreciente * Si: q < 0 P.G. Oscilante Propiedades: Sea la P.G. ÷÷ t1 : t2 : t3 ........ tk : .......... tn I. Razón: 1k k 2 3 1 2 t t ... t t t t q − ==== 1k k t t q − = ; 1 ≤ k ≤ n II. Término General yx yx q.tt − = 1n 1n q.tt − = III. Siendo: ta, tb, dos términos equidistantes de los extremos: t1 , tn , se cumple: ÷÷ t1 .......... ta ............ tb ............. tn a términos a términos n1ba t.tt.t = IV. Términos Central: (tc) n1 2 c t.t)t( = Cuando el número de término es impar V. Producto: n n1 2 n )t.t()P( = VI. Suma: 1q tqt S 1n n − − = − − = 1q 1q tS n 1n VII. Suma límite: Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada y decreciente. q1 t S 1 lim − = Si: -1 < q < 1 Medios Geométricos: Son los términos comprendidos entre dos extremos. Ejemplo: ÷÷3 . 9. 27. 81. 243. 729 extremo extremo anterior posterior Interpolación de Medios Geométricos ÷÷ b............................a cosgeométrimediosm Dados: a, b, m De (II): 1n 1n q.tt − = , 1)2m aqb −+( = 1m 1 a b q += q1 = Razón de interpolación geométrica PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...." Si “n” es impar 5 mediosaritméticos 4 mediosgeométricos
- 24. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 01.Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos de 4. a) 1680 b) 1800 c) 1600 d) 1860 e) 1620 02.En una P.A. se conoce que t1 = a – 2; r = 2 - a y S=10 − 5a. ¿Cuántos términos tiene la progresión? a) 1 b) 7 c) 4 d) 3 e) 5 03.¿Cuántos medios aritméticos se pueden interpolar entre 8 y 48 de tal manera que se forme una P.A. cuya suma de términos sea 588? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) N.A. 04.Siendo (x + y), (4x – 3y), (5y + 3x), los tres términos consecutivos de una P.A. Hallar x/y. a) 1 b) 2 c) 3 d) 2/3 e) 3/2 05.¿Cuántos números bases consecutivos después de 12 suman 378 ? a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10 06.Expresar en función del número de términos la suma de los términos de la progresión aritmética ÷4. 10. 16. . . a) n (2n + 1) d) n (n + 1) b) n (3n + 1) e) N.A. c) n (4n + 1) 07.La suma del cuarto y décimo término de una Progresión Aritmética es 60 y la relación del segundo al décimo es 1/3. Hallar el primer término. a) 10 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 08.Determinar “q” para que las raíces de la ecuación: 0q 2 x5 x 2 4 =+− Formen una P.A. a) 9/4 b) 4/9 c) 1/4 d) 4 e) 9/16 09.A las nueve de la noche término una de las clases en una academia y en el tiempo que duró la sesión dio el reloj 48 campanadas. ¿A qué hora empezó la sesión, si el reloj de control da las horas y medias horas? a) 1 pm b) 2 pm c) 3 pm d) 4 pm e) 8 pm 10.Determinar la razón de una P.G. de 7 términos, sabiendo que la suma de los 3 primeros es 26 y la suma de los 3 últimos 2106. a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 27 11.La suma de los términos de una P.G. decreciente y prolongada indefinidamente es “m” veces la suma de sus “n” primeros términos. Hallar la razón. a) m n 1n − b) n m 1m − c) m n nm − d) m − n e) N.A. 12.En un cuadrado de lado “l” se unen los puntos medios de los 4 lados y se forman otro cuadrado cuyos puntos medios de sus lados se unen también para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Hallar el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así formados? a) 4 l2 b) 2 l2 c) 144l2 d) l2 e) N.A. 13.La suma del sétimo y quinceavo término de una P.A. es 106 y la relación del término 19 al término 13 es 31/21. Calcular el valor del término 31. a) 158 b) 148 c) 153 d) 168 e) N.A. 14.En una P.A. con un número impar de términos el término central vale 31 y el producto de los extremos es 520. La diferencia de los cuadrados del término final y del término inicial es: a) 42 b) 2604 c) 62 d) 1302 e) N.A. 15.Sea la P.A. ÷ a, b, c, d de razón “r”. Calcular: 2 2222 r cbda k −−+ = a) 2 b) 1 c) 0 d) 1/2 e) 4 16.Halle la siguiente suma: ....... 7 2 7 1 7 2 7 1 S 432 ++++= a) 1/5 b) 1/24 c) 1/16 d) 5/48 e) N.A. 17.Hallar la suma de los “p” primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que el enésimo término es 2n+1. a) p (p + 2) b) p (2p + 2) c) p + 3 d) 2 (p + 5) e) N.A. 18.Hallar los valores reales de “x” e “y” tales que los números x, 2x − y, 2x + y forman una P.A. y los números y x , xy, 3( x − y )2 representen una P.G. Dar como respuesta xy . a) 64 b) 32 c) 6 d) 36 e) N.A. 19.Si las raíces de la ecuación: x3 – 13mx2 + 13 mx − 3m = 0 Están en progresión geométrica, hallar la suma de los cuadrados de las raíces de dicha ecuación. a) 71/9 b) 81/9 c) 91/9 d) 61/9 e) 51/9 20.Dada la progresión: 5. 10. 5....... ¿Cuántos términos de esta progresión hay que tomar a partir de la posición 14 para que sumen tanto como los 9 primeros? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 05 01.Una compañía comercial decide poner 20 avisos separados por intervalos iguales a partir del kilómetro 50 hasta el kilómetro 164 de la Panamericana Norte. ¿En qué kilómetro estará ubicado el doceavo aviso? a) 106 b) 112 c) 116 d) 120 e) 124 02.Si a1, a2, a3,.... están en progresión aritmética. Calcula la suma: 1nn433221 aa 1 ... aa 1 aa 1 aa 1 S + ++++= a) n1aa 1 b) 1n1aa n + c) n1aa n S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 25. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria d) 1n1aa 1 + e) n1aa 1n + 03.Dada 2 progresiones, una geométrica y la otra aritmética cuyo primer término es el mismo e igual a 1/3 la razón común. Sabiendo que los 5 primeros términos de la aritmética son iguales a la suma de los infinitos términos de la geométrica. Hallar el 1er. término. a) – 15/7 b) – 2/3 c) 13/14 d) – 20/21 e) N.A. 04.Se tiene una P.A. creciente en la 6324 excede al término de lugar 797 en el término de lugar 19. Si la progresión tiene 815 términos. Hallar la suma de los términos de la progresión. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicha suma. a) 19 b) 24 c) 31 d) 28 e) N.A. 05.Sean a1 y a2 las raíces de la ecuación a2 − 15ª + m = 0, y a3 y a4 las raíces de la ecuación a2 − 60 a + n = 0. Se sabe que a1, a2, a3, a4 (en este orden) forman una P.G. creciente. el valor de n/m es: a) 8 b) 16 c) 25 d) 81 e) N.A. 06.Calcule el valor de “E” : ........ 16 7 8 5 4 3 2 1 S ++++= a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07.El producto de los términos de lugar par de una P.G. de número impar de términos positivos es 387420489 y el producto de los de lugar impar es 31381059609. Calcular el valor del cuadrado del término central de dicha progresión: Datos: log3 387420489 = 18 log3 31381059609 = 22 a) 729 b) 2187 c) 6561 d) 1963 e) N.A. 08.Hallar: S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +.... 0 < x < 1 a) (1–x)−2 b) (1–x)−1 c) (1–x)−3 d) (1–x)−4 e) N.A. 09.En una P.G. de razón 2, la suma de los términos es 93 y la suma de sus cuadrados es 3069. El valor del término central es: a) 6 b) 24 c) 12 d) 8 e) N.A. 10.Si a, b y c son tres números positivos en P.A. (en ese orden). Diga usted que tipo de progresión forman los siguientes números: cb 1 y ca 1 , ba 1 +++ a) Progresión aritmética b) Progresión geométrica c) Progresión armónica d) Progresión trivial e) No forman ninguna progresión 11.La suma de los “n” primeros términos de una progresión es: Sn = n2 –n +3 Halle usted el décimo término. a) 20 b) 16 c) 15 d) 17 e) 18 12.Un alpinista escala una montaña de 5700 m. de altura. En el transcurso de la primera hora alcanzó una altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m. menor que en la precedente. ¿Cuántos metros ascendió durante la última hora, en que alcanzó la cima? a) 600 b) 625 c) 630 d) 640 e) 650 13.Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación x2 − 6x + p = 0, x3 y x4 las raíces de la ecuación: x2 − 54x + q = 0. Se sabe que los números x1, x2, x3, x4 (en la sucesión dada) forman un P.G. creciente. El valor 8p + 4q es: a) 2241 b) 2187 c) 2214 d) 2160 e) N.A. 14.Si x, y, z, w son cuatro números en P.A. Entonces xyzw + (y + x)4 ; es: a) Cero b) Un cuadrado perfecto c) Un cubo perfecto d) Divisible entre xyzw e) No se puede afirmar nada 15.En una progresión aritmética con un número impar de términos, el término central vale 27 y el producto de los extremos es 329. La diferencia del término mayor menos el término menor es: a) 30 b) 40 c) 16 d) 27 e) N.A. 16.Formar una ecuación bicuadrada, sabiendo que sus raíces forman una P.A. donde el valor máximo de un término es 15. a) z4 + 25z2 – 225 = 0 b) z4 − z2 +250 = 0 c) z4 − 250z2 + 5625 = 0 d) z4 + 225z2 – 5625 = 0 e) N.A. 17.Se tiene “n” montones de granos con un número de granos en P.A. creciente. Si del primer montón se quita un grano, del segundo 2, y así sucesivamente, queda en el último doble número de granos que en el primero. Se sabe además que existen en total 460 granos. Y finalmente, que si del primero se quitan 2, del segundo 4, del tercero 6 y así sucesivamente, en el último quedan 18 granos más que en el primero. Calcule el último montón. a) 60 b) 62 c) 68 d) 64 e) 70 18.En una P.G. de razón 3, la suma de los términos es 120 y la suma de sus cuadrados 7380. Las suma de los términos extremos es : a) 243 b) 84 c) 85 d) 106 e) N.A. 19.Evaluar la siguiente serie: ... 81 15 27 7 9 3 3 1 1W +++++= a) 7/2 b) 5/2 c) 9/2 d) 11/2 e) N.A. 20.Si: S1 , S2 , S3 , ....... Sp ; son las sumas de “n” términos de “p” progresiones aritméticas, cuyos primeros términos son: 1, 3, 5, 7, ... etc. Hallar la suma : Σ = S1 + S2 + S3 + ....... + Sp a) np d) )1np( 2 np + b) np (p + 1) e) )1np( 2 np − c) )2np( 2 np + TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA 01.Hallar el término 12 de la progresión aritmética cuyo primer término es 5 y la razón 2. a) 29 b) 27 c) 25 d) 23 e) 21 02.Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión: ÷, 2, 7, 12, ......... a) 980 b) 990 c) 1020 d) 960 e) N.A. S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 26. 51 52COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 03.El cuarto término de una progresión aritmética es 9 y el noveno término es –6, la razón “r” vale: a) 3 b) − 3 c) 2 d) − 2 e) − 1 04.La suma de los tres números que están en P.A. creciente es 27 y su producto 243. Hallar la razón. a) 2 6 b) 3 6 c) 4 6 d) 5 6 e) N.A. 05.Hallar la razón de una P.A. si la suma de “n” términos es n( 5n − 3 ). a) 8 b) 10 c) 7 d) 5 e) N.A. 06. En la P.A. siguiente: ÷ . . . 5. . . 47. . . 159 El número de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del número de términos que hay entre 5 y 47, Hallar la razón de la P.A. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) N.A. 07. Dada la progresión: ÷ a1. a2. a3. … .an −7 Calcular el cociente que resulta de dividir la sumatoria de todos sus términos entre el término medio. a) − 2 7n b) ( n − 6 ) c) + 2 7n d) n − 7 e) 3 2 ( n − 7 ) 08. La suma del cuarto y noveno término de una P.A. es 32 y la relación del sexto al octavo término, 15 19 . El término doceavo es: a) 27 b) 16 c) 8 d) 29 e) N.A. 09.Si: xa 5 , x 4 , xa 3 +− están en P.A. Señale la afirmación correcta. a) 3 x = 2 a b) 3 x = a c) 3x= 3 a d) 3 x = 4 a e) 3 x = 4 a 10.Si se sabe que: (x – 4); (x); (x + 2); (y + 1); (3y); (9y – 6) es una progresión geométrica. Además que x, y, z es una progresión aritmética. Halle z. a) 6 b) 4 c) 8 d) 2 e) 5 SOLUCIONARIO N° Ejercicios Propuestos 01 02 03 04 05 01. E A C C C 02. C A E D B 03. E A B D D 04. B D C E B 05. D B B E B 06. D E E B C 07. C B C C C 08. E A C A A 09. A A C D C 10. C D E C A 11. B A B A E 12. E D B D B 13. A C B A 14. B B B B 15. D B D B 16. A A C 17. B B D 18. C C B 19. D C B 20. D E B GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."