El documento presenta una introducción al álgebra, incluyendo definiciones de términos como álgebra, exponentes y grado. Luego explica operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división, incluyendo ejemplos. Finalmente, cubre temas como ecuaciones cuadráticas, factorización, trinomios y productos notables.

1. c<br /> Algebra 12010Kevin armando mendoza reyesMatematicas 118/09/2010<br />1.Introducción.<br />a)Definir los siguientes conseptos!!<br />Algebra: parte de las matematicás qué se encarga del estudio de las relaciones entre los números y las bariables para estableser modelos matemáticos.<br />Aplicaciones: acción y efecto de aplicar o aplicarse.<br />Terminos algebraticos: es el producto y/o división de una o mas variables.<br />Exponentes: numero o expresión qué denota la potencia a qué se ha de elevar otro numero u otra expressión.<br />Grado: unidad de medida de ciertos valores fisicos.<br /> 2.operaciones algebraticas. <br />a)Suma.<br />b)Ejercicios de suma:<br />los coef. De los terminossemejantes se ¨suman¨: signos iguales = suma<br />signos diferentes = resta (signo del mayor).<br />Resolver :<br />a) (5 a2 - 2 a3 + a) + (4 a +3 a2) + (5 a3-2 a +7). 3 a3 + 8 a2 + 3 a. trinomio. Cubico.<br />b) (3/4 x2 - 4/3 x +2) (1/6 x – 5/2 x2 + 7/8).-6/8 x2 ´-21/18 x + 23/8.<br />c) (4y + 5z + 3) + (4z – y + 2) – (3y – 2z -1). 6y + 7z + 4 trinomio.<br />d) (1/2m2 + 3/5m – 4/7) + (3/8m – 5/4) + (5/3m – 3/10m2). 4/2om2 + 39/40m<br />e) (2pq – 3p2q + 4pq2) + (pq – 5pq2 – 7p2q) + (-4pq2 + 3pq – p2q). -11p2q – 5pq2 +6pq. Trinomio Cubico.<br /> resta<br />Ejemplificacion de la resta algebraica (describe describe el problema, agrega imagen o esquema y resuelve)<br />Resuelve las siguientes operaciones.<br />(5m + 4n – 7) – ( 4m – 3n – 5) – ( -6m + 4n – 3 )= 7m + 3n + 1 trinomio.<br />(4m4 – 3m3 + 6m2 + 5m – 4) – (6m3 – 8m2 – 3m + 1)=4m4- 9m3+14m2+ 8m- 5 polin. 4° <br />(6x5 + 3x2 – 7x + 2) – ( 10x 5+ 6x3 – 5x2 – 2x+ 4)=- 4x5 – 6x3 + 8x2 + 5x – 2 polin. 5°<br />( - xy4 – 7y3+ xy2) + ( - 2xy4 + 5y – 2) – ( - 6y3 + xy2 +5)=-3xy4 – y3+ 5y – 7 polin. 4°<br />(1/6x + 3/8y – 5) – (8/3y – 5/4) + (3/2x + 2/9)=20/12x + 73/24 y – 127/36 trinomio.<br />Diseñar otra, esta con fracciones (mínimo trinomio).<br />(1/8x2 + 2/3x – 1/8) – (5x2 + 3/4 - 1/3x)= 39/8x2 + 9/9x – 20/32, trinomio.<br />1.- ley de los signos: + (mas) por + igual al +, - (menos) por – igual a +, + por – igual a -, - por + igual a -.<br />2.-Propiedad distributiva: 5+3=5*4+3*4, se obtiene igual resultado si sumamos 5 mas 3 y luego multiplicamos por 4 o multiplicamos 5 por 4 y le sumamos 3 por 4<br />3.-Ley de los exponentes (multiplicación, división, radical y potencia): <br />Multiplicación: los exponentes de las mismas literales se suman<br />División: los exponentes se restan indicando el residuo donde estaba el mayor<br />Radical: se dividen el exponente de adentro por el de afuera<br />Potencia: se multiplica el exponente de la literal por el de la potencia.<br />4.- resuelve:<br />2x2-x-32x2-5x-2=4x4-12x3-x2+17x 6<br />3x-14x2-2x-1=12x3-2x2+2x-1<br />43a2-54a-1225a+32=815a3+18020a2+13480a-34<br />9xy-4x2y2xy2+6x2y2= 45x4y4-24x4y3-8x3y3+18x2y3<br />5m12-3m234m-34-2m5=20m-¡/4-10m11/2-12m-1/12+6m12/3<br />25z2-12z+4937z2-72z-3=135z3-370z2-474270z-129<br />3y-52y+4=6y2+2y-20<br />3x2-x+75x+2=15x3-x2-33x+14<br />3ab+36a2b-2ab2=24a3b2-8a2b3+18a2b2-6ab3<br />Definición División Algebraica:<br />La división algebraica se puede definir como la operación que tiene por objeto, repartir un número en tantas partes iguales, como unidades que tiene el otro o básicamente hallas las veces que un numero contiene a otro.<br />Propiedades de la división Algebraica:<br />Se aplica ley de signos<br />Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división.<br />Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor<br />Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.<br />Partes de la División Algebraica:<br />El producto dado recibe el nombre de dividendo por lo tanto el factor conocido se llama divisor y por último el termino o resultado que se busca recibe el nombre de Cociente.<br />8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n82m3n3=4m7n-5m5n-10m3n3+6mn5<br />20x4-5x3-10x2+15x-5x=-4x4-x3+2x2+3x<br />4a8-10a6-5a42a3=2a5-5a3-2a<br />2x2y+6xy2-8xy+10x2y22xy=x+3y-4+5xy=5xy+3x+y-4<br />3x2+2x-8x+2=x+23x2+2x-8 -3x2+6x8x-8-8x-16-8=3x+8<br />2x3-4x-22x+2=2x+22x3-4x-2-2x3+2x22x2-4x-2-2x2-2x-6x-26x+64=x2+x-3<br />2a4-a3+7a-32a+3=2a+32a4-a3+7a-3-2a4+3a33a3+7a-3=a3<br />14y2-71y-337y+3=7y+314y2-71y-31-14y2+6y-63y-3363y-27-6=2y+9<br />Productos Notables<br />Se refiere al producto o los productos en cuyo desarrollo o proceso para resolver se, por lo tantos se conoce fácilmente por simple observación.<br />Reglas para su resolución:<br />1) Monomio por monomio <br />a·b = a·b <br />Ejemplo:<br />a) (–4x3y)( –2xy2) = (–4)( –2)( x3x )( yy2 ) = 8x4y3 <br />b) (ab)(4a2b2)( –5a3b4) = 4(–5)( aa2a3 )( bb2b4 ) = –20a6b7<br />2) Monomio por polinomio <br />a(c + d) = ac + ad <br />Ejemplo:<br />a) 3x(5 – x) = 3x(5) – 3x(x) = 15x – 3x2 <br />b) –2(a – b) = –2a + (–2)( –b) = –2a + 2b<br />3) Polinomio por polinomio <br />(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd <br />Ejemplo:<br />4) Binomio cuadrado <br />(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2<br />Ejemplo:<br /> 5) Suma por diferencia <br />(a + b)(a – b) = a2 – b2<br />Ejemplo:<br />3a+42=9a2+24a+16<br />(2x2-5)2=4x4-20x2-25<br />(7m+8n)2=49m2+112m-64n2<br />4a+53=64a3+240a2+300a+125<br />(2a3-7)3=8a9-84a6+1372a3-343<br />5m+43=125m3+300m2+240m+64<br />3x+24=162x4+216x3+216x2+96x+48<br />(2x2-4)5=128x10-320x8+1280x6-3840x4+2560x2-2048<br />(4y3+3)6=24576y18+36864y15+138240y12+276480y9+311040y6+186624y3+186624<br />2x-32x+5=4x2+10x-6x+15=4x2+4x+15<br />(x2-1)x2+1=x4-x2+x2-1=x4-1<br />m+4m-2=m2-2m+4m-6=m2+2m-6<br />3a+73a-7=9a2-21a+21a-49=9a2-49<br />5a+3b5a-2b=25a2-10ab+15ab-6b2=25a2+5ab-6b2<br />(4a3-3)4a3+3=16a9+12a3+12a3-9=16a9-9<br />(a2-1)a2-4=a4-4a2-a2-4=a4-5a2-4<br /> Factorización <br />En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).<br />Factor comúnSacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.4x²+6x= 2x(2x+3)Agrupación de términosPara trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.Un ejemplo numérico puede ser:entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:Aplicamos el caso I (Factor común)Trinomio Cuadrado PerfectoSe identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.Diferencia de cuadradosSe identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro positivo.)Trinomio de la forma x2 + bx + cSe identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.Trinomio de la forma ax2 + bx + cEn este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:Suma o diferencia de cubos1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio. 2) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio. 4) Los factores trinomios se determinan así: El cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.y3 - 27 = (y - 3)(y2 + 3y + 9)<br />a)<br />b)<br />c)<br />d)<br />e)<br />f)<br />i)<br />j)<br />k)<br />l)<br />m)<br />n)<br />o)<br />p)<br />q)<br />r)<br />s)<br />t)<br />Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.Ejemplo: <br />9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 <br />3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 <br />-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10<br />Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:<br />1. Factorización Simple2. Completando el Cuadrado3. Fórmula Cuadrática<br />Factorización Simple: <br /> La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación <br /> <br />x² + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8<br />(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]<br />(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 4 · -2 = -8<br />x + 4 = 0 x – 2 = 0x + 4 = 0 x – 2 = 0x = 0 – 4 x = 0 + 2x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.<br />Completando el Cuadrado: <br /> En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: <br />x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. <br />Ejemplo: <br /> x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] <br />x2 + 2x + ___ = 8 + ___[Colocar los blancos] x2 + 2x + 1 = 9 <br /> ( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. x + 1 = ± 3 <br />x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.] <br />x = -1 + 3 x = -1 – 3x = 2 x = -4 <br />Fórmula Cuadrática: <br /> Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: <br />x2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8<br />CONCLUSION:<br />En ocasiones para poder resolver un problema que involucre expresiones algebraicas es conveniente representarlas como productos, cuando esto sea posible se dirá que se ha factorizado y presentamos algunos casos de los más comunes en álgebra elemental. <br /> Fracciones algebraicas. <br />a)<br />b)<br />c)<br />d)<br />e)<br />f)<br />g)<br />h)<br />i)<br />j)<br />k)<br />l)<br />m)<br />n)<br />ñ)<br />Una fracción compleja es una fracción en la que al menos uno de los términos de uno o ambos miembros es una fracción. Las expresiones racionales siguientes son fracciones complejas:<br />Conclusión:<br />Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminan los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente.<br />Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.<br /> Ecuaciones lineales.<br />Sistema de ecuaciones lineales<br />En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:<br />El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.<br />El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.<br />Sustitución<br />El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.<br />En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:<br />Igualación<br />El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.<br />Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:<br />Reducción<br />Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.<br />Por ejemplo, en el sistema:<br />Método de Gauss<br />La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.<br />a)<br />b)<br />c)<br />d)<br />e)<br />a)<br />b)<br />c)<br />d)<br />e)<br />f)<br />g)<br />Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4.00 para adulto y a $1.50 para niño. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3,500 ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?<br />x= boletos para adulto<br />y=boletos para niño<br /> x=800 boletos<br /> y=200 boletos<br />metal para obtener 800kg de aleación al 40%<br /> ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?<br />a= aleación con 30% de Ag a=120 Kg.<br />b= aleación con 55% de Ag b=680 Kg.<br />