Este documento presenta los conceptos fundamentales del cálculo integral, incluyendo sumas superiores e inferiores, el teorema de la media, la regla de Barrow, la función integral y el teorema fundamental del cálculo integral. Explica cómo el cálculo integral representa el área bajo una curva y cómo la derivada de la función integral es igual a la función original.

1. ∫
b
a
dxxf )(

3. SUMAS INFERIORES
1inf )1,( mhfS ⋅= abh −=;

4. SUMAS INFERIORES
21inf )2,( mhmhfS ⋅+⋅= 2
ab
h
−
=;

5. SUMAS INFERIORES
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=
4
1
421inf ....)4,(
k
kmhmhmhmhfS
4
ab
h
−
=;

6. SUMAS INFERIORES
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=
8
1
821inf ....)8,(
k
kmhmhmhmhfS
8
ab
h
−
=;

7. SUMAS INFERIORES
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=
16
1
1621inf ....)16,(
k
kmhmhmhmhfS
16
ab
h
−
=;

8. SUMAS INFERIORES
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=
n
k
kn mhmhmhmhnfS
1
21inf ....),(
n
ab
h
−
=;
bxyaxentrefbajoÁreanfS n
== → ∞→
),(inf

9. SUMAS SUPERIORES
1sup )1,( MhfS ⋅= abh −=;

10. SUMAS SUPERIORES
21sup )2,( MhMhfS ⋅+⋅= 2
ab
h
−
=;

11. SUMAS SUPERIORES
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=
4
1
421sup ....)4,(
k
kmhMhMhMhfS
4
ab
h
−
=;

12. SUMAS SUPERIORES
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=
8
1
821sup ....)8,(
k
kMhMhMhMhfS
8
ab
h
−
=;

13. SUMAS SUPERIORES
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=
16
1
1621sup ....)16,(
k
kMhMhMhMhfS
16
ab
h
−
=;

14. SUMAS SUPERIORES
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=
n
k
kn MhMhMhMhnfS
1
21sup ....),(
n
ab
h
−
=;
bxyaxentrefbajoÁreanfS n
== → ∞→
),(sup

15. INTEGRAL DEFINIDA
),(lim),(lim)( supinf nfSnfSdxxfÁrea
nn
b
a ∞→∞→
=== ∫

16. para algún punto c entre a y b
)()( abcfbyaentrefbajoÁrea −⋅=

17. TEOREMA DE LA MEDIA
(INTEGRAL)
para algún punto c entre a y b
)()( abcfbyaentrefbajoÁrea −⋅=

18. TEOREMA DE LA MEDIA
(INTEGRAL)
El punto c está donde el área que sobra y la que falta coinciden
)()( abcfbyaentrefbajoÁrea −⋅=

19. Si f es continua en [a,b], entonces la función:
es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)
xyaentrefbajoÁreaxA =)(

20. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función:
es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)
xyaentrefbajoÁreaxA =)(
ya que …

21. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
)()(lim
)(
lim
)()(
lim)´(
000
xfcf
h
cfh
h
xAhxA
xA
hhh
==
⋅
=
−+
=
→→→
donde c es algún punto entre x y x+h

22. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
Como A(x) es una primitiva de f
se escribe:
∫=
x
a
dttfxA )()(

23. Sea f una función continua en [a,b],
y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b];
entonces:
∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()()(

24. REGLA DE BARROW
∫=
x
a
dttfxA )()(
Esta función cumple:
y como A(a)=0 :
A´(x)=f(x)
por tanto si F es una primitiva de f :
)(0)()( aFCCaFaA −=⇒=+=
Es decir:
)()()()( aFxFdttfxA
x
a
−== ∫
CxFxA += )()(

25. REGLA DE BARROW
∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()()(
Sea f una función continua en [a,b],
y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b];
entonces:

27. INTEGRAL DEFINIDA
),(lim),(lim)( infsup nfSnfSdxxf
nn
b
a ∞→∞→
==∫
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b

28. Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.
FUNCIÓN INTEGRAL
),(lim),(lim)()( infsup nfSnfSdttfxF
nn
x
a ∞→∞→
=== ∫
INTEGRAL DEFINIDA
),(lim),(lim)( infsup nfSnfSdxxf
nn
b
a ∞→∞→
==∫
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b

29. Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.
FUNCIÓN INTEGRAL
),(lim),(lim)()( infsup nfSnfSdttfxF
nn
x
a ∞→∞→
=== ∫
INTEGRAL DEFINIDA
),(lim),(lim)( infsup nfSnfSdxxf
nn
b
a ∞→∞→
==∫
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:
[ ]baxxfxF ,)()´( ∈∀=

30. ∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()()(
Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.
REGLA DE BARROW
FUNCIÓN INTEGRAL
),(lim),(lim)()( infsup nfSnfSdttfxF
nn
x
a ∞→∞→
=== ∫
INTEGRAL DEFINIDA
),(lim),(lim)( infsup nfSnfSdxxf
nn
b
a ∞→∞→
==∫
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:
[ ]baxxfxF ,)()´( ∈∀=
Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f; entonces: