Este documento trata sobre el cálculo de integrales definidas. Explica conceptos como el área bajo una curva, las sumas de Riemann, la integral definida y sus propiedades. También cubre temas como el teorema del valor medio, el teorema fundamental del cálculo, el cambio de variable y el cálculo del área de regiones delimitadas por funciones.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Documento sobre las diferentes fuentes que han servido para transmitir la cultura griega, y que supone la primera parte del tema 4 de "Descubriendo nuestras raíces clásicas", optativa de bachillerato en la Comunitat Valenciana.
3. Área bajo una curva
Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX
en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).
4. Sumas de Riemann
Las sumas inferiores(suma de los rectángulos)
s(f; Pn) = m1 . ∆x1 + m2 . ∆ x2 + ... + mn . ∆ xn
Las sumas superiores (suma de los rectángulos
superiores) se expresan así
S(f; Pn) = M1 . ∆ x1 + M2 . ∆ x2 + ... + Mn . ∆ xn
Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Como la función es contínua en cada
intervalo existen un mínimo y un máximo
(Tª de Weiersstra)
5. Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante
aproximaciones
Área (Trapecio rectilíneo) =
=
f(a) + f(b)
2
.
(b – a)
Área (Trapecio curvilíneo) ≈
≈
f(a) + f(b)
2
.
(b – a)
Error que se comete al
tomar una por otra
6. Integral definida
Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva)
en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la
partición Pn.
s(f; Pn) = m1 . ∆ x1 + m2 . ∆ x2 + ... + mn . ∆ xn
S(f; Pn) = M1 . ∆ x1 + M2 . ∆ x2 + ... + Mn . ∆ xn
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
7. Integral definida y área bajo una curva I
f(x) ≥ 0 ∀x∈[a, b] f(x)
A(R) = ⌡
⌠
a
b
f(x) dx
f(x)
R
f(x) ≤ 0 ∀x∈[a, b]
A(R) = ⌡
⌠
a
b
– f(x) dx =
– ⌡
⌠
a
b
f(x) dx =
= |⌡
⌠
a
b
f(x) dx |
8. A(R) = ⌡
⌠
a
c
f(x) dx – ⌡
⌠
c
d
f(x) dx + ⌡
⌠
d
e
f(x) dx – ⌡
⌠
e
b
f(x) dx
Integral definida y área bajo una curva II
Si f(x) toma valores
positivos y negativos
en el intervalo [a, b],
se calculan cada una
por separado y se
suman los resultados
teniendo en cuenta los
signos.
9. Propiedades de la integral definida
2. ( ) 0.
a
a
f x dx =∫
3. ( ) siendo un número real.
b
a
kdx k b a k= −∫
( )4. ( ) ( ) ( ) ( ) .
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
5. ( ) ( ) siendo un número real.
b b
a a
kf x dx k f x dx k=∫ ∫
1. ( ) ( ) .
a b
b a
f x dx f x dx= −∫ ∫
10. Propiedades de la integral definida
8. Si ( ) ( ) para todo [ , ],
( ) ( ) .
b b
a a
f x g x x a b
f x dx g x dx
≤ ∈
≤∫ ∫
9. Si ( ) para todo [ , ],
( ) ( ) ( ).
b
a
n f x m x a b
n b a f x dx m b a
≤ ≤ ∈
− ≤ ≤ −∫
.)()(.10 ∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf
7. Si ( ) 0 para todo [ , ], ( ) 0.
b
a
f x x a b f x dx≥ ∈ ≥∫
6. ( ) ( ) ( ) para cualquier [ , ].
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a b= + ∈∫ ∫ ∫
11. Función área o función
integral
Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral
F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:
∫ =
x
a
xFdttf )()(
12. Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y
abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área
del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).
Por tanto R1 = R2
Teorema del valor medio: interpretación geométrica
Enunciado: Si f es continua existe c∈[a,b] en el que ∫ −=
b
a
)c(f)·ab(dx)x(f
13. Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los
valores entre m y M. Por tanto existe un c ∈ [a, b]
tal que:
1
b – a ⌡
⌠
a
b f(x) dx = f(c)
Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función
integral
Enunciado:
Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c ∈ [a, b] en el que ⌡
⌠
a
b f(x) dx = (b – a) f(c).
m (b – a) ≤
⌡
⌠
a
b
f(x) dx ≤M (b – a)
m ≤
1
b – a ⌡
⌠
a
b
f(x) dx ≤ M
a b
m
M
1
b – a ⌡
⌠
a
b
f(x) dx
c
¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los
que la función alcanza el valor medio.
Teorema del valor medio para integrales
Demostración: área pequeña < A.curva < área grande
14. x x+h
Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica
Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).
Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite
cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)
( ) ( )
( ) ( )
F x h F x
f x f x h
h
+ −
≤ ≤ +
Sea ( , ) y 0.x a b h∈ >
( )f x
( )f x h+
( ) ( )F x h F x+ −
( ) ( ) ( )h f x F x h F x≤ + − ( )h f x h≤ +
X
Y
área pequeña < A.curva < área grande
15. Teorema fundamental del cálculo
Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el
intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la
primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).
=
+
=
−
=
−+
=
∫ ∫∫ ∫
+
→
+
→→
h
dt)t(fdt)t(f
lim
h
dt)t(fdt)t(f
lim
h
)x(F)hx(F
lim)x('F
hx
a
a
x
0h
hx
a
x
a
0h0h
Dem.:
)x(f)c(flim
h
h)c(f
lim
h
)xhx)·(c(f
limmediovalordelteoremaelpory
h
dt)t(f
lim
0h0h
0h
hx
x
0h
===
=
−+
==
→→
→
+
→
∫
a c b
Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)
16. Regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)
en [a, b], entonces ⌡
⌠
a
b f(x) dx = G(b) – G(a).
• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x)
se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.
• Como F(a) = 0 ⇔ C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).
• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).
Que también se puede poner así: = G(b) – G(a) =
F(x)
b
a
Demostración:
Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)∫
b
a
dxxf )(
17. El método de «cambio de variable» para integrales definidas
Cambio u = 5 + x2
= g(x)→ du = 2xdx
g(–5) = 30; g(8) = 69
–1
2u 30
69
1
2 ⌡
⌠
30
69
du
u2 dx = =
–1
138
+
1
60
=
13
1380Ejemplo:
⌡
⌠
–5
8
x
(5 + x2
)2 dx=
18. Área del recinto limitada por una función
Área (R) = ⌡
⌠
a
c
f(x) dx -
⌡
⌠
c
d
f(x) dx +
⌡
⌠
d
e
f(x) dx -
⌡
⌠
e
b
f(x) dx
–
+
–
+
X
Y f(x)
c d e
a
b
R
19. Área del recinto limitado por dos funciones
Área (R) = ⌡
⌠
a
c
[g(x) – f(x)] dx +
⌡
⌠
c
b
[f(x) – g(x)] dx
20. Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo
Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3
– 6x2
+ 9x e y = x.
Área (R) = ( )
0
3
2
2
6 9x x x xx d−− +∫
2
0
23
4
42
4
+−= xx
x
4
2
23
4
42
4
−+−+ xx
x
R
0 2 4
y = x3
– 6x2
+ 9x y = x
2
4 4 8u= + =
( )
4
2
x3
+6x2
-9x dxx+ −∫