1) La notación Sigma se utiliza para abreviar sumatorias y aproximar el área bajo la curva de una función. 2) El área bajo la curva de una función continua f en un intervalo [a,b] se puede calcular mediante una integral definida. 3) El teorema fundamental del cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que la derivada de la integral de una función es igual a la función.

1. 1. Integral definida
Notación Sigma
La notación Sigma (Σ), se utiliza para abreviar una sumatoria, es decir una suma de varios (o
incluso un número infinito) de términos. Tiene muchas aplicaciones, una de las más importantes
es la que se refiere a sus usos para aproximar el área bajo la curva de una función. Hay además
toda una teoría desarrollada en torno a esta cuando se usa como un método para resolver
ecuaciones diferenciales. A continuación se da ejemplo del tema:
Propiedades
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2. Suma superior e inferior
Área bajo curva
Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b],
área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene
dada por:

2. Área
Observemos la siguiente figura 1:
En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está
limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por
medio de una integral definida aplicando la definición anterior.
3. Integral definida
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área
limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales
x = a y x = b.

3. La integral definida se representa por
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se
integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites
de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y
[c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de
integrales·

4. 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
4. Teorema del valor medio para integrales
Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran
que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas
matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor
medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y
diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo
(a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a))
y (b, f(b)). Es decir:
Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que
dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b )
, y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces
existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es
horizontal, es decir f '( c)=0.
Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación
punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un
punto de la curva es:
Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la
curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y
derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es
paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

5. Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g.
Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:
Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b)
tal que g '(c) = 0, y por tanto:
y así
5. Teorema fundamental del cálculo
Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son
operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada
de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas
denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en
el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía
por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac
Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las
integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto
de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una
función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la
operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en
ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una
función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una
curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una
función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre xy x+h. Se podría hacer
hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta
especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un
rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área
buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

6. Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la
precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras,
ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como
límite.
Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene
Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la
derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no
estar h presente.
Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función
de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la
antiderivada de la función original.
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el
área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del
cálculo integral.
-Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre
Por Si f es continua en [a,b] ,
entonces F es derivable en y .
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.
Demostración
Lema
Sea [[ ]] integrable sobre y

7. Entonces
Demostración
Por definición se tiene que .
Sea h>0. Entonces .
Se define y como:
,
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Por lo tanto,
Sea . Sean
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
entonces,
.
Puesto que , se tiene que

8. .
Y como es continua en c se tiene que
,
y esto lleva a que
.
-Segundo teorema fundamental del cálculo
Es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de
la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es
decir F '(x) = f(x). Entonces
Demostración
Sea
.
Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:
.
Por lo tanto,
tal que .
Observamos que
y de eso se sigue que ; por lo tanto,
.
Y en particular si tenemos que:

9. 6. Sustitución y cambio de variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la
derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una
nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical: