El documento describe los conceptos fundamentales del cálculo integral, incluyendo sumas inferiores y superiores, la integral definida, la función integral, el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow. Explica cómo la integral definida representa el área bajo una curva y cómo la función integral F(x) también representa este área acumulada hasta el punto x.

1. b
∫
a
f ( x) dx

3. SUMAS INFERIORES
Sinf ( f ,1) = h ⋅ m1 ; h =b−a

4. SUMAS INFERIORES
b−a
Sinf ( f ,2) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 ; h=
2

5. SUMAS INFERIORES
4
b−a
S inf ( f ,4) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m4 = ∑ h ⋅ mk ; h=
k =1 4

6. SUMAS INFERIORES
8
b−a
Sinf ( f ,8) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m8 = ∑ h ⋅ mk ; h=
k =1 8

7. SUMAS INFERIORES
16
Sinf ( f ,16) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m16 = ∑ h ⋅ mk b−a
; h=
k =1 16

8. SUMAS INFERIORES
n
S inf ( f , n) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ mn = ∑ h ⋅ mk b−a
; h=
k =1 n
Sinf ( f , n) n→∞ → Área bajo f entre x = a y x = b


9. SUMAS SUPERIORES
Ssup ( f ,1) = h ⋅ M 1 ; h =b−a

10. SUMAS SUPERIORES
Ssup ( f ,2) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 ; h=
b−a
2

11. SUMAS SUPERIORES
4
b−a
Ssup ( f ,4) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 4 = ∑ h ⋅ mk ; h=
k =1 4

12. SUMAS SUPERIORES
8
b−a
Ssup ( f ,8) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 8 = ∑ h ⋅ M k ; h=
k =1 8

13. SUMAS SUPERIORES
16
S sup ( f ,16) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 16 = ∑ h ⋅ M k ; h = b − a
k =1 16

14. SUMAS SUPERIORES
n
Ssup ( f , n) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M n = ∑ h ⋅ M k b−a
; h=
k =1 n
Ssup ( f , n) n→∞ → Área bajo f entre x = a y x = b


15. INTEGRAL DEFINIDA
b
Área = ∫ f ( x) dx = lim Sinf ( f , n) = lim Ssup ( f , n)
a n →∞ n →∞

16. Área bajo f entre a y b = f (c) ⋅ (b − a )
para algún punto c entre a y b

17. TEOREMA DE LA MEDIA
(INTEGRAL)
Área bajo f entre a y b = f (c) ⋅ (b − a )
para algún punto c entre a y b

18. TEOREMA DE LA MEDIA
(INTEGRAL)
Área bajo f entre a y b = f (c ) ⋅ (b − a )
El punto c está donde el área que sobra y la que falta coinciden

19. Si f es continua en [a,b], entonces la función:
A( x ) = Área bajo f entre a y x
es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)

20. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función:
A( x ) = Área bajo f entre a y x
es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)
ya que …

21. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
A( x + h) − A( x) h ⋅ f (c )
A´(x) = lim = lim = lim f (c) = f ( x)
h →0 h h →0 h h →0
donde c es algún punto entre x y x+h

22. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO INTEGRAL
Como A(x) es una primitiva de f
se escribe:
x
A( x) = ∫ f (t ) dt
a

23. Sea f una función continua en [a,b],
y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b];
entonces:
b
∫ a
f ( x) dx = F (b) − F (a )

24. REGLA DE BARROW
x
A( x) = ∫ f (t ) dt
a
Esta función cumple: A´(x)=f(x)
por tanto si F es una primitiva de f : A( x) = F ( x) + C
y como A(a)=0 : A(a) = F (a) + C = 0 ⇒ C = − F (a)
Es decir:
x
A( x) = ∫ f (t ) dt = F ( x) − F (a )
a

25. REGLA DE BARROW
Sea f una función continua en [a,b],
y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b];
entonces:
b
∫a
f ( x) dx = F (b) − F (a )

27. INTEGRAL DEFINIDA
b
∫a
f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n→∞ n →∞
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b

28. INTEGRAL DEFINIDA
b
∫a
f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n→∞ n →∞
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
FUNCIÓN INTEGRAL
x
F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
a n →∞ n →∞
Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.

29. INTEGRAL DEFINIDA
b
∫a
f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n→∞ n →∞
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
FUNCIÓN INTEGRAL
x
F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
a n →∞ n →∞
Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:
F ´(x) = f ( x) ∀ x ∈ [ a, b]

30. INTEGRAL DEFINIDA
b
∫a
f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
n→∞ n →∞
Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b
FUNCIÓN INTEGRAL
x
F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n)
a n →∞ n →∞
Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:
F ´(x) = f ( x) ∀ x ∈ [ a, b]
REGLA DE BARROW
Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f; entonces:
b
∫ a
f ( x) dx = F (b) − F (a )