El documento describe los conceptos de integral definida, sus propiedades y métodos de integración aproximada como la regla del trapecio. También explica los sólidos de revolución, cómo calcular su volumen usando los métodos de los discos y los tubos cilíndricos, ilustrando con un ejemplo de encontrar el volumen generado al girar una región sobre el eje y.

1. La integral definida. Definición:
Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral
definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje
OX y la gráfica de f(x) y se nota
Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define la
integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por las rectas
x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.
La integral definida. Propiedades:
Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a ,b]. Entonces se tiene:
i.
ii. Si f(x) es integrable en el intervalo [a,b] y c [a,b] entonces
iii. Si f y g son dos funciones integrables en [a,b] entonces
Métodos de Integración Aproximada

2.  Método del trapecio
Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del
Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se
conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad
considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos
no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la
integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral
definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud
deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración
numérica: la Regla del trapecio.
Este es un método de integración numérico que se obtiene al integrar
la formula de interpolación lineal.ico
[ ] Ef(b)f(a)
2
ab
f(x)dxI
b
a
++
−
≈= ∫ Respuesta, (error).
Él área sombreada por debajo de la recta de interpolación la llamaremos
g(x) es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio, mientras
que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto.
Él error de la ecuación es igual al área entre g(x) y f(x).
Esta misma ecuación se puede extender a varios intervalos y se puede
aplicar N veces al caso de N intervalos con una separación uniforme h.
Regla del
trapecio

3. Así se propone la regla extendida del trapecio.
[ ]
f(b)fjh),f(ayfh),(aff(a),dondef
Ef2f...........2f2ff
2
h
I
N
a)(b
h
Nj10
N1N210
=+=+==
++++++=
−
=
+





+++≈=
−
−
=
∑∫ Ef(b)jh)f(a2f(a)
2
h
f(x)dxI
1N
1j
b
a
Tomando el siguiente calcularemos el área y luego utilizaremos el Método
del Trapecio.
*Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas de
x= 2 y x = 8
Despejamos la función: entonces nos vas a quedar y= 10-x.
Luego graficamos
Una vez realizado el mismo integramos para los extremos 2 y 8
Luego aplicamos el método del trapecio:

4. ∫ =−
8
2
)10( Tndxx n=5
8
8.6
6.5
4.4
2.3
2
5
4
3
2
1
0
=
=
=
=
=
=
x
x
x
x
x
x
5
3
2
5
6
5
6
5
28
2
===
−
=
−
=
∆
n
abx
3/5 (10-2)+2(10-3.2)+2(10-4.4)+2(10-5.6)+2(10-6.8)+(10-8) =
8+ 13.6+11.2+8.8+6.4+2 3/5= 30 2
u
 Sólidos de Revolución
Definición: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a,b]
se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina
“área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama
“superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de
revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente
se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje
siempre se puede ubicar en esa posición.
 Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):
El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva
de f(x) en el intervalo [a,b] en que f(x) es continua es:

5. El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el
área del círculo se obtiene la expresión previa.
Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el
método de los discos y se le denomina método de las arandelas , en este
caso si f(x)≥g(x) en [a,b] limitan la superficie, se tiene:

6.  Volumen de un sólido de revolución (método de lo tubos o casquillos
cilíndricos):
El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor del
eje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la gráfica de f(x),
tiene un volumen:
En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx y
altura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de
superficie 2πxf(x) y espesor dx.

7. Ejemplo:
• Encontrar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región
limitada por
Al hacer girar la figura sobre el eje Y, podemos "cortar" discos de altura
y el radio sería , entonces:
Al tener esto podemos ver que para encontrar el volumen del disco es lo
mismo que obtener el volumen a un cilindro.
Entonces:
Con esto tenemos el volumen de un disco, y para encontrar el volumen total
para n-discos:
Para optimizar hacemos que sea más grande, haciéndola tender al infinito:
Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8.
Resolviendo nos queda
Mediante el método de los cascarones cilíndricos:

8. Bibliografía:
 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/integral_defi
nida_ejff/primera.htm
 James Stewart CÁLCULO Transcentes Tempranas