1. Las ondas que suben por una cuerda vertical se mueven más rápidamente que las que bajan debido a que la tensión de la cuerda aumenta hacia arriba por el peso de la parte colgando.
2. La velocidad del sonido en el agua es 1500 m/s y en mercurio es 1410 m/s. El módulo de compresibilidad del mercurio es 27,77 GPa.
3. La velocidad del sonido en el hidrógeno a 300 K es 1450 m/s.
también denominado movimiento vibratorio armónico simple, es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición pero en sentido opuesto
La punta de una aguja de una máquina de coser se mueve en MAS sobre el eje X con una frecuencia de 2.5 Hz. En t=0 sus componentes de posición y velocidad son +1.1 cm y – 15 cm/s. (a) Calcule la componente de la aceleración de la aguja en t=0. (b) Escribe ecuaciones para las componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo.
también denominado movimiento vibratorio armónico simple, es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición pero en sentido opuesto
La punta de una aguja de una máquina de coser se mueve en MAS sobre el eje X con una frecuencia de 2.5 Hz. En t=0 sus componentes de posición y velocidad son +1.1 cm y – 15 cm/s. (a) Calcule la componente de la aceleración de la aguja en t=0. (b) Escribe ecuaciones para las componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo.
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Movimiento ondulatorio.pdf
1. Movimiento ondulatorio. Tipler. Capítulo 15.
Velocidad de ondas.
1. Una cuerda cuelga verticalmente del techo. Cuando las ondas se mueven de abajo
hacia arriba por la cuerda, ¿lo hacen más rápidamente, más lentamente o a la misma
velocidad que las ondas que se mueven de arriba hacia abajo? Razonar la respuesta.
𝒗𝒗 = �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
; 𝑻𝑻 = 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻ó𝒏𝒏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ,𝝁𝝁 = 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍.
En una cuerda que cuelga la tensión aumenta hacia arriba, al aumentar el peso de
cuerda que cuelga. Por ello las ondas que suben se mueven más rápidamente hacia
arriba.
2. a) El módulo ce compresibilidad del agua es 2,0 109
N/m2
.Utilizar este valor para
hallar la velocidad del sonido en el agua.
b) La velocidad del sonido en mercurio es 1410 m/s. ¿Cuál es el módulo de
compresibilidad del mercurio (ρ=13,6 103
kg/m3
).
a) 𝒗𝒗 = �
𝑩𝑩
𝝆𝝆
= �𝟐𝟐,𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔
b) 𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝟐𝟐
∗ 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
= 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐
3. Calcular la velocidad de las ondas del sonido en el gas hidrógeno a T=300 K. (Tomar
M=2 g/mol y ϒ=1,4).
𝒗𝒗 = �
𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻
𝑴𝑴
= �
𝟏𝟏,𝟒𝟒∗𝟖𝟖,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔
4. Un hilo de acero de 7 m de largo tiene una masa de 100 g. Si está sometido a una
tensión de 900 N, ¿Cuál es la velocidad de un pulso de onda transversal en este hilo?
𝝁𝝁 =
𝒎𝒎
𝑳𝑳
; 𝒗𝒗 = �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
= �
𝑻𝑻∗𝑳𝑳
𝒎𝒎
= �
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟕𝟕
𝟎𝟎,𝟏𝟏
= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔
5. Sobre un alambre de 80 cm de longitud que está bajo una tensión de 550 N viajan
ondas transversales a 150 m/s. ¿Cuál es la masa del alambre?
𝒗𝒗 = �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
= �
𝑻𝑻∗𝑳𝑳
𝒎𝒎
; 𝒎𝒎 =
𝑻𝑻∗𝑳𝑳
𝒗𝒗𝟐𝟐 =
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟎𝟎,𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌
6. Un pulso de onda se propaga a lo largo de un alambre en el sentido positivo del eje
de las x a 20 m/s. Cuál será la velocidad del pulso
a) ¿Si duplicamos la longitud del alambre, pero mantenemos constante la tensión y
la masa por unidad de longitud?
b) ¿Si duplicamos la tensión mientras se mantienen constantes la longitud y la masa
por unidad de longitud?
c) ¿si duplicamos la masa por unidad de longitud mientras se mantienen constantes
las demás variables?
a) 𝒗𝒗 = �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
. Per tanto v= 20 m/s.
b) 𝒗𝒗 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔
c) Duplicamos la densidad.
𝒗𝒗 =
𝟐𝟐𝟐𝟐
√𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔
2. 7. Una cuerda de piano de acero tiene 0,7 m de longitud y una masa de 5 g. Se tensa
mediante una fuerza de 500 N.
a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales de la cuerda?
b) Para reducir la velocidad de la onda en un factor 2 sin modificar la tensión, ¿qué
masa de alambre de cobre habrá que enrollar alrededor del hilo de acero?
a) 𝒗𝒗 = �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
= �
𝑻𝑻∗𝑳𝑳
𝒎𝒎
= �
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟎𝟎,𝟕𝟕
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔
b) 𝒗𝒗′ = �
𝑻𝑻∗𝑳𝑳
𝒎𝒎′
𝒗𝒗
𝒗𝒗′
= �
𝒎𝒎′
𝒎𝒎
= 𝟐𝟐
𝒎𝒎′
= 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎
∆𝒎𝒎 = 𝒎𝒎′
− 𝒎𝒎 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 − 𝒎𝒎 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒈𝒈
8. El cable de un telesquí de 80 kg de masa asciende 400 m por la ladera de una
montaña. Cuando el cable recibe un golpe transversal en un extremo, el pulso de
retorno se detecta 12 s después.
a) ¿Cuál es la velocidad de la onda?
b) ¿Cuál es la tensión del cable?
a) 𝒗𝒗 =
∆𝒙𝒙
∆𝒕𝒕
=
𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔
b) 𝒗𝒗 = �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
= �
𝑻𝑻∗𝑳𝑳
𝒎𝒎
; 𝑻𝑻 =
𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒎𝒎
𝑳𝑳
=
𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
= 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵
9. Una regla práctica común para calcular la distancia a la que cae un rayo es empezar a
contar el tiempo cuando se observa el relámpago y detener el cronómetro cuando se
oye el estampido del trueno. El número de segundo contados se divide entonces por
3 para obtener la distancia en kilómetros. ¿Cómo se justifica esto? ¿Cuál es la
velocidad del sonido en kilómetros por segundo? ¿Cuánta exactitud tiene este
procedimiento? ¿Tiene importancia la corrección que tiene en cuenta el tiempo
empleado por la luz en llegar a nosotros? (La velocidad de la luz es
aproximadamente 3 108
m/s).
Para el sonido en el aire v=340 m/s.
𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔
En un tiempo t el sonido recorrerá:
𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕
Si suponemos que la luz llega instantáneamente. El tiempo transcurrido dividido por
3 es:
𝒕𝒕
𝟑𝟑
= 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕
Como se puede ver las dos expresiones son parecidas.
La exactitud del procedimiento:
∆𝒔𝒔
𝒔𝒔
=
𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
=
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
= 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 %
La corrección con el tiempo empleado por la luz:
∆𝒕𝒕𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
∆𝒕𝒕𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
=
𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝒗𝒗 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ~𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
Por tanto, la corrección es irrelevante.
10. Un método para medir la velocidad del sonido utilizando un reloj ordinario (con un
segundero) consiste en permanecer a una cierta distancia de una pared plana grande
y batir palmas rítmicamente de tal modo que el eco de la pared se oiga en el punto
medio entre cada dos palmadas. Demostrar que la velocidad del sonido viene dada
3. por v=4LN, siendo L la distancia a la pared y N el número de palmadas por segundo.
¿Cuál es un valor razonable para L con objeto de que sea factible realizar este
experimento? (Si se tiene acceso a una pared plana en algún sitio, ensáyese este
método y comparece el resultado con el valor conocido).
𝒗𝒗𝒔𝒔 =
𝟐𝟐∗𝑳𝑳
∆𝒕𝒕
Como el eco llega entre palmada y palmada:
∆𝒕𝒕 =
𝟏𝟏 𝒔𝒔
𝑵𝑵 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑
∗
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒗𝒗𝒔𝒔 =
𝟐𝟐∗𝑳𝑳
𝟏𝟏
𝟐𝟐∗𝑵𝑵
= 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝑵𝑵
Si L=1 m; N= 85.
Si L=2m; N=42,5.
Si L=5 m; N=17.
Nuestro oído sólo puede distinguir dos sonidos como diferentes si los
oímos separados al menos una décima de segundo. En ese tiempo el
sonido puede recorrer 34 metros en el aire. Si el obstáculo está
situado a más de 17 m, cuando el sonido reflejado llegue a nuestro
oído, lo entenderá como un sonido diferente a nuestra voz.
11. Una persona deja caer una piedra desde un puente elevado y oye cuando choca
directamente debajo de él exactamente 4 s después.
a) Estimar la distancia al agua suponiendo que el tiempo que emplea el sonido en
alcanzar la persona es despreciable.
b) Mejorar el valor estimado utilizando el resultado de la parte (a) correspondiente a
esta distancia para estimar el tiempo que tarda el sonido en recorrerla. Entonces
calcular la distancia de caída de la piedra en 4 s menos ese tiempo.
c) Calcular la distancia exacta y compararla con los valores estimados previamente.
a) Suponiendo caída libre:
𝒅𝒅 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝟐𝟐
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝟒𝟐𝟐
= 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝒎𝒎
b) Tiempo en recorrer 78,5 m por el sonido:
𝒕𝒕𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 =
∆𝒚𝒚
𝒗𝒗𝒔𝒔
=
𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
= 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔
𝒅𝒅′
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝟒𝟒 − 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐
= 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝒎𝒎
c) En los 4 s la piedra ha caído y el sonido ha recorrido la distancia desde el fondo hasta
llegar al punto inicial.
𝒕𝒕𝑻𝑻 = 𝒕𝒕𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒕𝒕𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝒕𝒕𝑻𝑻 = �
𝟐𝟐∗𝒅𝒅
𝒈𝒈
+
𝒅𝒅
𝒗𝒗𝒔𝒔
�
𝟐𝟐∗𝒅𝒅
𝒈𝒈
= 𝒕𝒕𝑻𝑻 −
𝒅𝒅
𝒗𝒗𝒔𝒔
;
𝟐𝟐∗𝒅𝒅
𝒈𝒈
= 𝒕𝒕𝒕𝒕
𝟐𝟐
+
𝒅𝒅𝟐𝟐
𝒗𝒗𝒔𝒔
𝟐𝟐 −
𝟐𝟐∗𝒕𝒕𝑻𝑻
𝒗𝒗𝒔𝒔
∗ 𝒅𝒅
𝟏𝟏
𝒗𝒗𝒔𝒔
𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐
− �
𝟐𝟐∗𝒕𝒕𝑻𝑻
𝒗𝒗𝒔𝒔
+∗
𝟐𝟐
𝒈𝒈
�𝒅𝒅 + 𝒕𝒕𝒕𝒕
𝟐𝟐
= 𝟎𝟎
𝟖𝟖,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐
− 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎
La solución es:
𝒅𝒅 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝒎𝒎
Respecto al apartado (a):
𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓−𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓
𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 % 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 en (a)
Respecto al (b):
4. 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓−𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕
𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 % 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒆𝒆𝒆𝒆 (𝒃𝒃)
12. (a) Calcular la derivada de la velocidad de una onda en una cuerda con respecto a la
tensión 𝒅𝒅𝒅𝒅/𝒅𝒅𝒅𝒅 y demostrar que las diferenciales dv y dF obedecen a la expresión
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒗𝒗
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒅𝒅𝑭𝑭
𝑭𝑭
.
(b) Una onda se mueve con una velocidad de 300 m/s sobre un alambre que está
sometido a una tensión de 500 N. Utilizando dF para aproximar la variación de
tensión, hallar en qué cantidad debe variarse la tensión para aumentar la velocidad a
312 m/s.
a) 𝒗𝒗 = �
𝑭𝑭
𝝁𝝁
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ �
𝟏𝟏
𝑭𝑭∗𝝁𝝁
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 ∗ �
𝟏𝟏
𝑭𝑭∗𝑭𝑭
=
𝒗𝒗
𝟐𝟐∗𝑭𝑭
;
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒗𝒗
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑭𝑭
b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
𝒔𝒔
; 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒗𝒗
= 𝟐𝟐 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
= 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟎𝟎 𝑵𝑵
13. a) Calcular la derivada de la velocidad del sonido respecto a la temperatura absoluta
y demostrar que las diferenciales dv y dT obedecen a la expresión
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒗𝒗
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑻𝑻
.
b) Utilizar esta expresión para calcular la variación porcentual de la velocidad del
sonido cuando la temperatura se modifica de 0 a 27º C.
c) Si la velocidad del sonido es 331 m/s a 0º C, ¿Cuál es (aproximadamente) a 27º
C? ¿Cómo es el resultado obtenido mediante esta aproximación comparado con
el que se obtiene mediante un cálculo exacto?
a) 𝒗𝒗 = �
𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻
𝑴𝑴
;
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ �
𝜸𝜸∗𝑹𝑹
𝑻𝑻∗𝑴𝑴
;
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝒗𝒗
𝑻𝑻
;
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒗𝒗
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑻𝑻
b)
∆𝒗𝒗
𝒗𝒗
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
∆𝑻𝑻
𝑻𝑻
;
∆𝒗𝒗
𝒗𝒗
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗 %
c) 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑲𝑲 = 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑲𝑲 +
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗
∆𝑻𝑻
𝑻𝑻
𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑲𝑲 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 +
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
� = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔
Usando el cálculo exacto:
𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = �
𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑴𝑴
𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = �
𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝑴𝑴
𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= �
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
; 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ �
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ �
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔
14. En este problema se ha de obtener una fórmula práctica para determinar la
velocidad del sonido en el aire a una temperatura t en grados Celsius. Se empezará
para escribir la temperatura como T=To+ΔT, en donde To=273 K corresponde a 0º C y
ΔT=t, la TEMPERATURA Celsius. La velocidad del sonido es una función de T, v(T).
Con una aproximación de primer orden podemos escribir
𝒗𝒗(𝑻𝑻) = 𝒗𝒗(𝑻𝑻𝒐𝒐) + �
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
�
𝑻𝑻𝒐𝒐
∆𝑻𝑻
Donde �
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
�
𝑻𝑻𝒐𝒐
es la derivada calculada para T=To. Calcular esta derivada y demostrar
que su resultado lleva a
5. 𝒗𝒗 = �𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
��𝟏𝟏 +
𝒕𝒕
𝟐𝟐𝑻𝑻𝒐𝒐
� = (𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒕𝒕)𝒎𝒎/𝒔𝒔
𝒗𝒗 = �
𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻
𝑴𝑴
;
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝒗𝒗
𝑻𝑻
;
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝒗𝒗
𝒕𝒕+𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
∆𝒕𝒕 = 𝒕𝒕 ; ∆𝒗𝒗 = 𝒗𝒗(𝒕𝒕) − 𝒗𝒗𝟎𝟎
𝒗𝒗(𝒕𝒕) = �𝒗𝒗𝟎𝟎 +
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝒕𝒕∗𝒗𝒗
𝒕𝒕+𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
� ≈ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 +
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
∗ 𝒕𝒕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒕𝒕
15. Mientras estudia física en su dormitorio, una alumna escucha en la radio la
trasmisión de un partido de baloncesto, que se juega en un campo a 1,6 km de
distancia. En la radio, la alumna oye el ruido generado por el pulso electromagnético
de un rayo. Dos segundos más tarde, oye también por la radio el trueno que ha sido
recogido por el micrófono situado en el campo de baloncesto. Cuatro segundos
después de haber escuchado el primer ruido indicado en la radio, el trueno hace
temblar sus ventanas. Respecto al campo de baloncesto, ¿en dónde cayo el rayo?
L lugar del relámpago; P campo de baloncesto y R dormitorio.
Utilizando el teorema del coseno:
𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳
𝟐𝟐
= 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳
𝟐𝟐
+ 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟐𝟐
− 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝜽𝜽) = 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳
𝟐𝟐
+ 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟐𝟐
+ 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �
𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳
𝟐𝟐
−𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳
𝟐𝟐
−𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳∗𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷
�
𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎
𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎
𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
� = ±𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟒𝟒𝒐𝒐
16. Un muelle en espiral de tipo Slinky se deforma alargándose hasta una longitud L.
Tiene una constante de fuerza k y una masa m.
a) Demostrar que la velocidad de las ondas de compresión longitudinales a lo largo
del muelle viene dada por 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳�𝒌𝒌/𝒎𝒎.
b) Demostrar que este valor es también el de la velocidad de las ondas
transversales a lo largo del muelle si la longitud natural del muelle es mucho
menor que L.
8. 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝜶𝜶 =
𝒌𝒌𝟐𝟐
𝒘𝒘
𝒊𝒊𝒊𝒊
𝝏𝝏𝝏𝝏
𝝏𝝏𝝏𝝏
= 𝒊𝒊 ∗
𝒌𝒌𝟐𝟐
𝒘𝒘
∗ �𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎)� = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐
∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎)
=
𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚
𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐
Ondas armónicas sobre una cuerda
20. Un tren de ondas atraviesa un punto de observación. En este punto, el tiempo entre
crestas sucesivas es 0,2 s. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) La longitud de onda es 5 m.
b) La frecuencia es 5 Hz.
c) La velocidad de propagación es 5 m/s.
d) La longitud de onda es 0,2 m.
e) No hay suficiente información para justificar las afirmaciones anteriores.
T=0,2 s ; f=1/T=5 Hz . Respuesta b.
21. Verdadero o falso: La energía de una onda es proporcional al cuadrado de la
amplitud de la onda.
Correcto
∆𝑬𝑬 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐
𝟐𝟐
∗ ∆𝒙𝒙
22. Una cuerda cuelga verticalmente. Se sacude el extremo libre de atrás hacia adelante,
engendrando un tren de ondas sinusoidales. La longitud de onda en la parte
superior, ¿es igual, menor o mayor que en el extremo inferior?
𝝀𝝀 =
𝒗𝒗
𝒇𝒇
; 𝒗𝒗 = �
𝑭𝑭
𝝁𝝁
Debido al peso de la cuerda la tensión es superior en la parte superior, por ello la
velocidad también.
La longitud de onda también será mayor en la parte superior.
23. Uno de los extremos de una cuerda de 6 m de largo se mueve hacia arriba y abajo
con un movimiento armónico simple de frecuencia 60 Hz. Las ondas alcanzan el otro
extremo de la cuerda en 0,5 s. Hallar la longitud de onda de las ondas en la cuerda.
𝒗𝒗 =
∆𝒙𝒙
∆𝒕𝒕
=
𝟔𝟔
𝟎𝟎,𝟓𝟓
= 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
𝒔𝒔
;𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 =
𝒗𝒗
𝒇𝒇
=
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟔𝟔𝟔𝟔
= 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 𝒎𝒎
24. La ecuación 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) expresa el desplazamiento de una onda
armónica como una función de x y t y de los parámetros de onda k y ω. Escribir
expresiones equivalentes que en lugar de k y ω contengan los siguientes pares de
parámetros:
a) k y v.
b) λ y f.
c) λ y T.
d) λ y v.
e) f y v.
a) 𝒗𝒗 =
𝝎𝝎
𝒌𝒌
; 𝝎𝝎 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌
𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ (𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕))
b) 𝒌𝒌 =
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝝀𝝀
; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇
9. 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝝀𝝀
∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �
𝒙𝒙
𝝀𝝀
− 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕��
c) 𝒌𝒌 =
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝝀𝝀
; 𝝎𝝎 =
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝑻𝑻
𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝝀𝝀
∗ 𝒙𝒙 −
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝑻𝑻
∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �
𝒙𝒙
𝝀𝝀
−
𝒕𝒕
𝑻𝑻
��
d) 𝒌𝒌 =
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝝀𝝀
; 𝒗𝒗 =
𝝎𝝎
𝒌𝒌
; 𝝎𝝎 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒗𝒗 ∗
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝝀𝝀
𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅
𝝀𝝀
∗ 𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗
𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅
𝝀𝝀
∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅
𝝀𝝀
∗ (𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)�
e) 𝒗𝒗 =
𝝎𝝎
𝒌𝒌
;𝒌𝒌 =
𝝎𝝎
𝒗𝒗
=
𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒇𝒇
𝒗𝒗
; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇
𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒇𝒇
𝒗𝒗
∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ �
𝒙𝒙
𝒗𝒗
− 𝒕𝒕��
25. La ecuación 𝒗𝒗 =
𝝀𝝀
𝑻𝑻
= 𝒇𝒇𝒇𝒇 se aplica a todos los tipos de ondas periódicas, incluidas las
electromagnéticas, como la luz y las microondas, que tienen una velocidad de 3 108
m/s en el vacío.
a) El intervalo de longitudes de onda de la luz para las que el ojo es sensible abarca
desde 4 10-7
a 7 10-7
m. ¿Cuáles son las frecuencias que corresponden a estas
longitudes de onda?
b) Hallar la frecuencia de una microonda que tiene una longitud de onda de 3 cm.
a) 𝒇𝒇 =
𝒗𝒗
𝝀𝝀
; 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯
; 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒂𝒂𝒂𝒂 =
𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯
b) 𝒇𝒇 =
𝒗𝒗
𝝀𝝀
=
𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯
26. Una onda armónica sobre una cuerda con una masa de 0,05 kg/m y una tensión de
80 N tiene una amplitud de 5 cm. Cada sección de la cuerda se mueve con
movimiento armónico simple a una frecuencia de 10 Hz. Hallar la potencia
propagada a lo largo de la cuerda.
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗
𝒗𝒗 = �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐
∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐
∗ �
𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑾𝑾
27. Una cuerda de 2 m de largo tiene una masa de 0,1 kg. La tensión es de 60 N. Una
fuente de potencia en uno de sus extremos envía una onda armónica con una
amplitud de 1 cm por la cuerda. La onda se extrae por el otro extremo sin ninguna
reflexión. ¿Cuál es la frecuencia de la fuente de potencia si la potencia transmitida es
de 100 W?
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐
∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
𝒇𝒇 = �
𝟐𝟐∗𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝝁𝝁∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝑨𝑨𝟐𝟐∗�
𝑻𝑻
𝝁𝝁
=
𝟏𝟏
𝝅𝝅∗𝑨𝑨
∗ �
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎∗√𝝁𝝁
𝝁𝝁∗𝟐𝟐∗√𝑻𝑻
=
𝟏𝟏
𝝅𝝅∗𝑨𝑨
∗ �
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟐𝟐∗�𝝁𝝁∗𝑻𝑻
=
𝟏𝟏
𝝅𝝅∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎
∗ �
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐∗�
𝟎𝟎,𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗𝟔𝟔𝟔𝟔
𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯
28. La función de onda para una onda armónica en una cuerda es
10. 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = (𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 𝒎𝒎−𝟏𝟏
𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔−𝟏𝟏
𝒕𝒕).
a) ¿En qué sentido se desplaza esta onda y cuál es su velocidad?
b) Hallar la longitud de onda, la frecuencia y periodo de la misma.
c) ¿Cuál es el máximo desplazamiento de un segmento cualquiera de la cuerda?
a) Dado que tenemos kx+𝝎𝝎t la onda viaja en el sentido de x negativo, si fuera kx-𝝎𝝎t
viajaría en el sentido de x positivo.
𝒗𝒗 =
𝝎𝝎
𝒌𝒌
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖
= 𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔
b) 𝝀𝝀 =
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝒌𝒌
=
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖
= 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎; 𝝎𝝎 =
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝑻𝑻
=
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
= 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 ;𝒇𝒇 =
𝟏𝟏
𝑻𝑻
=
𝟏𝟏
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯
c) A=0,001 m
29. Una onda armónica con una frecuencia de 80 Hz y una amplitud 0,025 m se propaga
hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s.
a) Escribir una expresión que sea adecuada para la función de onda de la misma.
b) Determinar la velocidad máxima de un punto sobre la cuerda.
c) Determinar la aceleración máxima de un punto sobre la cuerda.
a) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔
𝒗𝒗 =
𝝎𝝎
𝒌𝒌
; 𝒌𝒌 =
𝝎𝝎
𝒗𝒗
=
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟗𝟗 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔
𝒚𝒚 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟗𝟗 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝒕𝒕)
b) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔
c) 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟐𝟐
= 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
𝒎𝒎/𝒔𝒔
30. A lo largo de una cuerda que tiene 20 m de largo, una masa de 0,06 kg y una tensión
de 50 N se mueven ondas de frecuencia 200 Hz y amplitud 1 cm.
a) ¿Cuál es la energía total de las ondas en la cuerda?
b) Hallar la potencia transmitida que pasa por un punto determinado de la cuerda.
a) 𝑬𝑬𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟐𝟐
∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐
∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐
∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑱𝑱
b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟐𝟐
∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐
∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐
∗ �
𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟔𝟔 𝑾𝑾
31. En una cuerda real, una onda pierde cierta energía cuando se propaga a lo largo de
una cuerda. Tal situación puede describirse por una función de onda cuya amplitud
A(x) depende de x:
𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨(𝒙𝒙)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) = �𝑨𝑨𝒐𝒐𝒆𝒆−𝒃𝒃𝒃𝒃�𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎)
a) ¿Cuál es la potencia original transportada por la onda en el origen?
b) ¿Cuál es la potencia transportada por la onda en el punto x?
a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎) =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨(𝟎𝟎)𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐
𝟐𝟐
b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝒙𝒙) =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨(𝒙𝒙)𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐
𝟐𝟐
∗ 𝒆𝒆−𝟐𝟐∗𝒃𝒃∗𝒙𝒙
32. Se ha transmitido una determinada potencia a lo largo de un alambre tenso
mediante ondas armónicas transversales. La velocidad de la onda es de 10 m/s y la
densidad másica lineal del alambre es 0,01 kg/m. La fuente de potencia oscila con
una amplitud de 0,50 mm.
a) ¿Qué potencia media se transmite a lo largo del alambre si la frecuencia es de
400 Hz?
11. b) La potencia transmitida puede aumentarse aumentando la tensión en el
alambre, la frecuencia de la fuente o la amplitud de las ondas. Si sólo se varía
una de estas magnitudes, ¿cómo habría de modificarse cada una de ellas con
objeto de producir un aumento de potencia en un factor de 100?
c) ¿Cuál de las variaciones indicadas se podría realizar probablemente con mayor
facilidad?
a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒)𝟐𝟐
∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟐𝟐
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑾𝑾
b) Si la frecuencia se hace 10*fo, la potencia se hará 100 veces mayor.
Si la tensión se aumenta 10000 veces, como 𝒗𝒗 = �
𝑻𝑻
𝝁𝝁
; la potencia aumenta en
un factor 100.
Si la amplitud aumenta en un factor de 10, la potencia lo hará en un factor
de 100.
c) Posiblemente lo más sencillo fuera aumentar f o A.
Ondas sonoras armónicas
33. Una onda sonora en aire produce una variación de presión dada por
𝒑𝒑(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝅𝝅/𝟐𝟐 (𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑)
En donde p está en pascales, x en metros y t en segundos.
a) ¿Cuál es la amplitud de la presión?
b) La longitud de onda.
c) La frecuencia.
d) La velocidad de la onda sonora.
a) Po=0,75 Pa.
b) 𝒌𝒌 =
𝝅𝝅
𝟐𝟐
𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓
𝒎𝒎
; 𝝀𝝀 =
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝒌𝒌
=
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝝅𝝅/𝟐𝟐
= 𝟒𝟒 𝒎𝒎
c) 𝝎𝝎 =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅
𝟐𝟐
𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔;𝒇𝒇 =
𝝎𝝎
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅
𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
= 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯
d) 𝒗𝒗 =
𝝎𝝎
𝒌𝒌
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅
𝟐𝟐
𝝅𝝅
𝟐𝟐
= 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔
34. a) La nota Do central de la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz. ¿Cuál es la
longitud de onda de esta nota en el aire?
b) La frecuencia de la nota Do una octava por encima del Do central es el doble que
la de este último. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire?
a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇; 𝝀𝝀 =
𝒗𝒗
𝒇𝒇
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎
b) 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 ; 𝝀𝝀 =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
= 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎
35. a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de
frecuencia 100 Hz y amplitud de la presión 10-4
atm?
b) La amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de
frecuencia 300 Hz 10-7
m. ¿Cuál es la amplitud de presión de esta onda?
a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 =
𝒑𝒑𝒐𝒐
𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗
=
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗
𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
= 𝟑𝟑, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝒎𝒎
b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔−𝟏𝟏
∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕
𝒎𝒎 = 𝟖𝟖, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
𝑷𝑷𝑷𝑷
12. 36. a) Hallar la amplitud de desplazamiento correspondiente a una onda sonora de
frecuencia 500 Hz cuando la amplitud de presión correspondiente al umbral de dolor
es de 20 Pa.
b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda sonora con la misma
amplitud de presión, pero con una frecuencia de 1 kHz.
a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 =
𝒑𝒑𝒐𝒐
𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗
=
𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
= 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝒎𝒎
b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 =
𝒑𝒑𝒐𝒐
𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗
=
𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
= 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝒎𝒎
37. Una onda de un sonido intenso típico con una frecuencia de 1 kHz tiene una
amplitud de presión de 10-4
atm aproximadamente.
a) Cuando t=0 la presión es máxima en un cierto punto x1. ¿Cuál es el
desplazamiento en dicho punto para t=0?
b) ¿Cuál es el valor máximo del desplazamiento en un instante y posición
cualquiera? (Considerar que la densidad del aire es 1,29 kg/m3
).
a) Si la presión es máxima el desplazamiento es 0.
b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 =
𝒑𝒑𝒐𝒐
𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗
=
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗
𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
= 𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
𝒎𝒎
38. a) Hallar la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de
frecuencia 500 Hz si la amplitud de presión corresponde al umbral de audición que es
2,9 10-5
Pa.
b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda de la misma amplitud de
presión, pero de frecuencia 1 kHz.
a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 =
𝒑𝒑𝒐𝒐
𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗
=
𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒈𝒈
𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
= 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 =
𝒑𝒑𝒐𝒐
𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗
=
𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
= 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
Ondas en tres dimensiones: Intensidad
39. Un pistón situado en un extremo de un tubo largo lleno de aire a la temperatura
ambiente y a la presión normal, oscila con una frecuencia de 500 Hz y una amplitud
de 0,1 mm. El área del pistón es 100 cm2
.
a) ¿Cuál es la amplitud de presión de las ondas sonoras generadas en el tubo?
b) ¿Cuál es la intensidad de las ondas?
c) ¿Qué potencia media se necesita para mantener oscilando el pistón
(despreciando el rozamiento)?
a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏
∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
𝒔𝒔
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷
b) 𝑰𝑰 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐
∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐
𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒑𝒑𝒐𝒐 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
𝒎𝒎
𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
c) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐
∗
𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑾𝑾
40. Un foco esférico radia el sonido uniformemente en todas direcciones. A una
distancia de 10 m, el nivel de intensidad del sonido es de 10-4
W/m2
.
a) ¿A qué distancia del foco el nivel de intensidad es de 10-6
W/m2
?
b) ¿Qué potencia está radiando dicho foco?
a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
13. 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟐𝟐
;𝒓𝒓𝟐𝟐 = �
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝑰𝑰∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅
= �
𝑰𝑰𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟐𝟐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅
𝒓𝒓𝟐𝟐 = �𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
= 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾
41. Un altavoz en un concierto de rock genera 10-2
W/m2
a 20 m a una frecuencia de 1
kHz. Suponiendo que el altavoz extiende su energía uniformemente en tres
dimensiones,
a) ¿Cuál es la potencia total acústica emitida por el altavoz?
b) ¿A qué distancia la intensidad del sonido se encontrará en el umbral del dolor de
1 W/m2
?
c) ¿Cuál es la intensidad a 30 m?
a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝑾𝑾
b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐
;𝒓𝒓 = �
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝑰𝑰∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅
= �
𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑
𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅
= 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎
c) 𝑰𝑰 =
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 =
𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
42. Cuando se lanza un alfiler de 0,1 g de masa desde una altura de 1 m, el 0,05 por
ciento de su energía se convierte en pulso sonoro de duración 0,1 s.
a) Estimar el intervalo en el que puede oírse la caída del alfiler si la intensidad
mínima que puede llegar a oírse es de 10-11
W/m2
.
b) En la práctica, el resultado obtenido en (a) es mucho mayor debido al ruido de
fondo. Si en lugar de la suposición anterior se considera que para llegar a oírse el
ruido el nivel de intensidad debe ser de al menos 10-8
W/m2
, estimar el intervalo
Enel que puede llegar a oírse la caída del alfiler. (Suponer en ambos casos que la
intensidad es de P/4πr2
).
a) 𝑰𝑰 =
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐
𝑬𝑬 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 =
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕
𝑱𝑱
𝑷𝑷 =
𝑬𝑬
∆𝒕𝒕
=
𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕
𝟎𝟎,𝟏𝟏
= 𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
𝑾𝑾
𝒓𝒓 = �
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑰𝑰
= �𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
b) 𝒓𝒓 = �
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑰𝑰
= �𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 = 𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎
Nivel de intensidad acústica (o sonoridad)
43. Verdadero o falso: Un sonido de 60 dB tiene una intensidad doble a la de un sonido
de 30 dB.
𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
Para 60 dB:
𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔
𝑰𝑰𝒐𝒐
; 𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐
Para 30 dB:
𝑰𝑰𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐
𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
∗ 𝑰𝑰𝟑𝟑𝟑𝟑
14. Falso.
44. ¿Cuál es el nivel de intensidad en decibelios correspondiente a una onda sonora
a) De intensidad 10-10
W/m2
.
b) De intensidad 10-2
W/m2
.
a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
; 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅
b) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
;𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅
45. Hallar la intensidad de una onda sonora si
a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅.
b) 𝜷𝜷 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑.
c) Hallar la amplitud de presión correspondiente a ondas sonoras en el aire en
condiciones normales para cada una de estas intensidades.
a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
∶
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
b) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
∶
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
c) 𝑰𝑰 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗
𝒑𝒑𝒐𝒐
𝟐𝟐
𝝆𝝆∗𝒗𝒗
Para I=
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾
𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒑𝒑𝒐𝒐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑰𝑰 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟗𝟗, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
𝑷𝑷𝑷𝑷
Para I=𝟐𝟐 ∗
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑾𝑾
𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒑𝒑𝒐𝒐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑰𝑰 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
𝑷𝑷𝑷𝑷
46. El nivel acústico del ladrido de un perro es 50 dB. La intensidad de un concierto de
rock es 10 000 veces superior a la del ladrido de un perro. ¿Cuál es el nivel acústico
del concierto de rock?
𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
: 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑰𝑰𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
𝑰𝑰𝒓𝒓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
47. Dos sonidos difieren en 30 dB. La intensidad del sonido más fuerte es IF y la del más
débil ID. El valor de la relación IF/ID es
a) 1000.
b) 30.
c) 9.
d) 100.
e) 300.
∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝑭𝑭
𝑰𝑰𝒐𝒐
− 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝑫𝑫
𝑰𝑰𝒐𝒐
� = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝑭𝑭
𝑰𝑰𝑫𝑫
𝟑𝟑 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝑭𝑭
𝑰𝑰𝑫𝑫
;
𝑰𝑰𝑭𝑭
𝑰𝑰𝑫𝑫
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
Respuesta a.
48. Demostrar que, si se duplica la intensidad, el nivel de intensidad aumenta en 3,0 dB.
∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒅𝒅
15. 49. ¿Qué fracción de la potencia acústica de un ruido deberá eliminarse Para disminuir
su nivel de intensidad sonora de 90 a 70 dB?
∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
;𝟐𝟐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
;
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑰𝑰𝟐𝟐−𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝟐𝟐
=
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑰𝑰𝟏𝟏−𝑰𝑰𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑰𝑰𝟏𝟏
= 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ;𝟗𝟗𝟗𝟗 %
50. La sonoridad de una conversación normal entre personas a 1 m de distancia es de 65
dB. Estimar la potencia con la que hablamos los seres humanos.
𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
∶
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
𝑰𝑰 =
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐
= 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐
= 𝟑𝟑, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝑾𝑾
51. Una fuente esférica irradia un sonido uniformemente en todas las direcciones. A una
distancia de 10 m el nivel acústico es de 80 dB.
a) ¿A qué distancia de la fuente el nivel acústico es de 60 dB?
b) ¿Cuál es la potencia irradiada por la fuente?
a) 𝑰𝑰𝟏𝟏 =
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟐𝟐 =
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝟐𝟐
=
𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 ∗ �
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷𝟏𝟏−𝜷𝜷𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
b) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
= 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾
52. Una fuente esférica de intensidad Io irradia un sonido uniformemente en todas las
direcciones. Su nivel acústico es β1 a una distancia r1 y β2 a una distancia r2.
Determinar β2/ β1.
𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
; 𝑰𝑰𝟏𝟏 =
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝒐𝒐
; 𝑰𝑰𝟐𝟐 =
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝟐𝟐
=
𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗
𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝜷𝜷𝟐𝟐
𝜷𝜷𝟏𝟏
=
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝒐𝒐
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
=
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟐𝟐−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐
𝜷𝜷𝟐𝟐
𝜷𝜷𝟏𝟏
=
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�𝑰𝑰𝟏𝟏∗
𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟐𝟐�−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐
=
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏+𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�
𝒓𝒓𝟏𝟏
𝒓𝒓𝟐𝟐
�−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐
=
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
+𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�
𝒓𝒓𝟏𝟏
𝒓𝒓𝟐𝟐
�
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
=
𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
+𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�
𝒓𝒓𝟏𝟏
𝒓𝒓𝟐𝟐
�
𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
𝜷𝜷𝟐𝟐
𝜷𝜷𝟏𝟏
=
𝜷𝜷𝟏𝟏+𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�
𝒓𝒓𝟏𝟏
𝒓𝒓𝟐𝟐
�
𝜷𝜷𝟏𝟏
53. Un altavoz genera en un concierto de rock 10-2
W/m2
a 20 m a una frecuencia de 1
kHz. Suponiendo que la energía del cantante se extienda uniformemente en todas
las direcciones.
a) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 20 m?
b) ¿Cuál es la potencia acústica total generada por el cantante?
16. c) ¿A qué distancia alcanzará la intensidad el umbral de dolor de 120 dB?
d) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 30 m?
a) 𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
� = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅
b) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏
𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝑾𝑾
c) 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�
�
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐�
𝑰𝑰𝒐𝒐
� ;𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
=
�
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐�
𝑰𝑰𝒐𝒐
; 𝟏𝟏 =
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 : 𝒓𝒓 = �
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
𝒓𝒓 = �
𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
= 𝟐𝟐 𝒎𝒎
54. Un artículo sobre contaminación acústica señala que el nivel de intensidad sonora en
grandes ciudades ha estado aumentando en 1 dB anualmente.
a) ¿A qué aumento porcentual de intensidad corresponde esto? ¿Parece razonable
este incremento?
b) ¿Aproximadamente en cuántos años se duplicará la intensidad de sonido si se
incremente 1 dB anualmente?
a) ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
;
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟏𝟏
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟏𝟏
= 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 ;𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝟐𝟐−𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝟐𝟐
=
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝑰𝑰𝟏𝟏−𝑰𝑰𝟏𝟏
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝑰𝑰𝟏𝟏
= 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ;𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔 %
b) 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎
∆𝜷𝜷 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐.
55. Tres fuentes sonoras producen unos niveles de intensidad de 70,73 y 80 dB cuando
actúan separadamente. Cuando actúan juntas las intensidades se suman.
a) Hallar el nivel de intensidad sonora en decibelios cuando las tres fuentes actúan
simultáneamente.
b) Estudiar la utilidad de eliminar las dos fuentes menos intensas con objeto de
reducir el nivel de ruido.
a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟏𝟏+𝑰𝑰𝟐𝟐+𝑰𝑰𝟑𝟑
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� �
𝑰𝑰𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
� + �
𝑰𝑰𝟐𝟐
𝑰𝑰𝒐𝒐
� + �
𝑰𝑰𝟑𝟑
𝑰𝑰𝒐𝒐
���
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕,𝟑𝟑
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
𝑰𝑰𝟑𝟑 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕
+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕,𝟑𝟑
+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖��𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅
b) Si eliminamos las dos menos intensas:
𝜷𝜷 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅; la reducción no es significativa.
56. La ecuación 𝑰𝑰 =
𝑷𝑷𝒎𝒎
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 se cumple cuando el medio transmisor no absorbe energía.
Sabemos que la absorción del sonido por aire seco da lugar a una disminución de
intensidad del orden de 8 dB/km. La intensidad del sonido a una distancia de 120 m
de un motor de reacción es 130 dB. Determinar la intensidad a 2,4 km del motor de
reacción
a) Suponiendo que no hay absorción del sonido por el aire.
b) Suponiendo una disminución de 8 dB/km. (Suponer que el sonido irradia por
igual en todas direcciones).
17. a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
∶
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
𝑷𝑷 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
= 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
𝑾𝑾
𝑰𝑰𝟐𝟐 =
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟐𝟐 =
𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
b) Suponemos que a 120 m el nivel de intensidad es de 120 dB, Si no hay pérdida de
energía el nivel de decibelios a 2,4 km será:
𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝟐𝟐,𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒅𝒅𝒅𝒅
Si aplicamos la pérdida de dB del enunciado:
𝟐𝟐,𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗
𝟖𝟖 𝒅𝒅𝑩𝑩
𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌
= 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑
Nivel de intensidad después de la pérdida:
𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟓𝟓
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
57. Todas las personas que han acudido a un cocktail se encuentran hablando igual de
ruidosamente. Si sólo estuviese hablando una persona, el nivel de sonido sería de 72
dB. Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personas hablan a la vez.
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟕𝟕𝟕𝟕
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
Para las 38 personas:
𝑰𝑰 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
58. Cuando un violinista mueve su arco sobre una cuerda, la fuerza que ejerce es
pequeña, del orden de 0,6 N. Supongamos que el arco se mueve a través de la
cuerda “la”, que vibre con una frecuencia de 440 Hz a 0,5 m/s. Un oyente a 35 m del
músico oye un sonido de intensidad 60 dB. ¿Cuál es el rendimiento de la
transformación de la energía mecánica de la pulsación en energía sonora? (Suponer
que el sonido irradia uniformemente en todas las direcciones).
𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝑭𝑭 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎,𝟓𝟓 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝑾𝑾
𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜷𝜷
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
𝑷𝑷𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐
= 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
𝑾𝑾
𝜼𝜼 =
𝑷𝑷𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊
=
𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
𝟎𝟎,𝟑𝟑
= 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 %
59. El nivel de ruido en un aula vacía donde se va a realizar un examen es de 40 dB.
Cuando 100 alumnos se encuentran escribiendo su examen, los sonidos de las
respiraciones y de las plumas escribiendo sobre el papel elevan el nivel de ruido a 60
dB. (No tener en cuenta los carraspeos ocasionales). Suponiendo que la contribución
de cada alumno a la potencia de ruido es la misma, calcular el nivel de ruido cuando
sólo quedan 50 alumnos en el aula.
∆𝜷𝜷 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
;
𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐
𝚫𝚫𝜷𝜷𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝑰𝑰𝟓𝟓𝟓𝟓
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝑰𝑰𝒐𝒐
𝑰𝑰𝒐𝒐
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝜷𝜷𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
18. Efecto Doppler
60. Si la fuente y el receptor están en reposo relativo uno respecto al otro, pero el medio
propagador de la onda se mueve respecto a ambos, ¿existirá el desplazamiento
Doppler en la frecuencia?
Alno haber movimiento relativo entre la fuente y el receptor no existirá efecto
Doppler.
61. La frecuencia de la bocina de un coche es fo. ¿Qué frecuencia se observa si tanto el
coche como el observador están en reposo, pero un viento sopla hacia el
observador?
a) fo.
b) mayor que fo.
c) menor que fo.
d) Puede ser mayor o menor que fo.
e) Puede ser fo o mayor que fo según los valores relativos de la velocidad del viento
y la velocidad del sonido.
Al no haber movimiento relativo fuente y observador no se observa efecto
Doppler. Respuesta a.
62. Frecuentemente se observan pares de estrellas que giran alrededor de su centro de
masas común. Si una de las estrellas es un agujero negro, es invisible. Explicar como
la existencia de este agujero negro puede deducirse de la luz observada de la otra
estrella visible.
La estrella visible sufrirá cambios de la frecuencia de la luz observada según se aleje
de La Tierra o se acerque, debido al efecto Doppler.
63. Una cinta transportadora se mueve hacia la derecha con una velocidad v=300
m/min. Un fabricante de pasteles que trabaja muy rápidamente coloca pasteles en la
cinta a un ritmo de 20 por minuto y son recibidos en el otro extremo por una
persona que se come dichos pasteles.
a) Si el fabricante de pasteles no se mueve de su posición, hallar la separación λ
entre los pasteles y la frecuencia f con que serán recibidos por la persona que se
los ha de comer y que está también en reposo.
b) El primero anda ahora con una velocidad de 30 m/min hacia el receptor mientras
que continúa colocando pasteles sobre la cinta a 20 por minuto. Hallar la
separación de los pasteles y la frecuencia con la que serán recibidos ahora por la
persona que se los ha de comer y que sigue estacionaria.
c) Repetir los cálculos para un fabricante que está quieto en su posición mientras
que la otra persona se mueve hacia él a 30 m/min.
a)
𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑
∗
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎
𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀
𝒇𝒇 =
𝒗𝒗
𝝀𝝀
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑
= 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
b) En este caso la velocidad relativa de la cinta es menor, de 270 m/min.
𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑
∗
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎
𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
= 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀
𝒇𝒇 =
𝒗𝒗
𝝀𝝀
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑
= 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏
c)
𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑
∗
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎
𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀
19. La velocidad de la cinta respecto al receptor es de 330 m/min
𝒇𝒇 =
𝒗𝒗
𝝀𝝀
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑
= 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
64. Eb el caso de la situación descrita en el problema 63, deducir las expresiones
generales para la separación de los pasteles λ y la frecuencia f con que serán
recibidos en función de la velocidad de la cinta v, la velocidad del fabricante up, la
velocidad del receptor uR y la frecuencia fo del fabricante de pasteles.
𝝀𝝀 =
𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒑𝒑
𝒇𝒇𝒐𝒐
; 𝒇𝒇 =
𝒗𝒗+𝒖𝒖𝑹𝑹
𝝀𝝀
=
𝒗𝒗+𝒖𝒖𝑹𝑹
𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒑𝒑
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
En los problemas 65 a 70 la fuente emite un sonido de 200 Hz que se mueve por el
aire en reposo con una velocidad de 340 m/s.
65. La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia un
oyente estacionario.
a) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el que la escucha.
b) Hallar la frecuencia oída por este último.
a)𝝀𝝀 =
𝒗𝒗−𝒗𝒗𝒇𝒇
𝒇𝒇𝒐𝒐
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎
b) 𝒇𝒇 =
𝒗𝒗
𝒗𝒗−𝒗𝒗𝒇𝒇
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖
∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯
66. Considerar el caso del problema 65 a partir del sistema de referencia en que la
fuente está en reposo. En este sistema el observador se mueve hacia la fuente con
una velocidad de 80 m/s y existe un viento de velocidad 80 m/s que sopla del
observador hacia la fuente.
a) ¿Cuál es la velocidad del sonido desde la fuente al observador en este sistema?
b) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador.
c) Hallar la frecuencia percibida por el observador.
a) La velocidad del sonido en el sistema de referencia se reduce por la velocidad del
viento:
𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔
b) 𝝀𝝀 =
𝒗𝒗𝒔𝒔
𝒇𝒇𝒐𝒐
=
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎
c) 𝒇𝒇 =
𝒗𝒗𝒔𝒔+𝒗𝒗𝒐𝒐
𝒗𝒗𝒔𝒔
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯
67. La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s alejándose del observador
estacionario.
a) Hallar la longitud de onda de las ondas sonoras entre la fuente y el observador.
b) Hallar la frecuencia oída por este último.
a) 𝝀𝝀 =
𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇
𝒇𝒇𝒐𝒐
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
b) 𝒇𝒇 =
𝒗𝒗
𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖
∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯
68. El observador se mueve con velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia una
fuente estacionaria.
a) ¿Cuál es la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador?
b) ¿Cuál es la frecuencia oída por el observador?
a) 𝝀𝝀 =
𝒗𝒗
𝒇𝒇𝒐𝒐
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎
20. b) 𝒇𝒇 =
𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯
69. Consideremos en caso del problema 68 en el sistema de referencia en que el
observador está en reposo.
a) ¿Cuál es la velocidad del viento en este sistema?
b) ¿Cuál es la velocidad de del sonido de la fuente al observador en este sistema, es
decir, relativa a este último?
c) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador en este
sistema.
d) Hallar la frecuencia oída por el observador.
a) El observador adjudicará su velocidad al viento en este sistema, por ello
velocidad del viento 80 m/s, des de la fuente al observador.
b) 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝒗𝒗 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔
c) 𝝀𝝀 =
𝒗𝒗
𝒇𝒇𝒐𝒐
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎
d) 𝒇𝒇 =
𝒗𝒗𝒔𝒔
𝝀𝝀
=
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕
= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯
70. El observador se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo
alejándose de una fuente estacionaria. Hallar la frecuencia oída por dicho
observador.
𝝀𝝀 =
𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇
𝒇𝒇𝒐𝒐
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝒎𝒎
𝒇𝒇 =
𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯
71. Un reactor se mueve a un Mach de 2,5 a una altitud de 5000 m.
a) ¿Cuál es el ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria del reactor?
(Suponer que la velocidad del sonido a esta altura sigue siendo 340 m/s).
b) ¿En dónde se encontrará el reactor cuando una persona en el suelo oiga la onda
de choque?
a)
𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂�
𝒗𝒗∗𝒕𝒕
𝒖𝒖∗𝒕𝒕
� = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂�
𝒗𝒗
𝒖𝒖
� = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂�
𝟏𝟏
𝟐𝟐,𝟗𝟗
� = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔𝒐𝒐
b) 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 =
𝒉𝒉
𝒙𝒙
; 𝒙𝒙 =
𝒉𝒉
𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕
=
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕,𝟔𝟔
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
72. Una persona corre a toda velocidad hacia un foco sonoro de frecuencia 1000 Hz.
Estimar la frecuencia del sonido que percibe esta persona. Suponer que esta persona
21. es capaz de reconocer un cambio en la frecuencia del 3 %. ¿Puede utilizarse esta
valoración de la frecuencia para estimar su propia velocidad?
𝒇𝒇 =
𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝚫𝚫𝒇𝒇
𝒇𝒇
=
𝒇𝒇𝒐𝒐∗�
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
−𝟏𝟏�
𝒇𝒇𝒐𝒐
= �
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
− 𝟏𝟏�
Si suponemos una velocidad de 10 m/s:
𝚫𝚫𝒇𝒇
𝒇𝒇
=
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
− 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗 %
𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐚𝐚𝐚𝐚 𝟑𝟑 %
73. Un dispositivo de radar emite microondas con una frecuencia de 2,00 GHz. Cuando
las ondas se reflejan en un coche que se aleja frontalmente del emisor, se detecta
una diferencia de frecuencia de 293 Hz. Determinar la velocidad del coche.
La velocidad del coche en movimiento es u.
La frecuencia recibida por el coche en movimiento es:
𝒇𝒇𝟏𝟏 =
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
La frecuencia recibida por el detector será:
𝒇𝒇𝟐𝟐 =
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 = �
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
� ∗ �
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
� ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
≈ �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
� ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
− 𝒇𝒇𝟐𝟐 =
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
𝒖𝒖 =
∆𝒇𝒇∗𝒄𝒄
𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 =
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔
74. Un destructor que se encuentra en reposo está equipado con un sonar que envía
pulsos sonoros de 40 MHz. Los pulsos que se reciben han sido reflejados por un
submarino que se encuentra directamente debajo con un retraso de tiempo de 80
ms y con una frecuencia de 39,958 MHz. Si la velocidad del sonido en el agua de mar
es de 1,54 km/s, calcular
a) La profundidad del submarino.
b) Su velocidad vertical.
a) Utilizando el tiempo que tardan las ondas en recorrer una distancia 2D, donde D
es la distancia entre destructor y submarino:
𝒗𝒗 =
𝟐𝟐∗𝑫𝑫
∆𝒕𝒕
; 𝑫𝑫 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗 ∗ ∆𝒕𝒕 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎
𝒔𝒔
∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝒔𝒔 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟔𝟔 𝒎𝒎
La frecuencia recibida por el submarino:
𝒇𝒇𝟏𝟏 =
𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖
𝒗𝒗𝒔𝒔
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
La frecuencia de vuelta al barco:
𝒇𝒇𝟐𝟐 =
𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖
𝒗𝒗𝒔𝒔
∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 = �
𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖
𝒗𝒗𝒔𝒔
� ∗ �
𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖
𝒗𝒗𝒔𝒔
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 ±
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗𝒔𝒔
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇𝟐𝟐 =
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗𝒔𝒔
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
𝒖𝒖 =
∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗𝒔𝒔
𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒐𝒐
=
(𝟒𝟒𝟒𝟒−𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗)𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴∗𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔
𝟐𝟐∗𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
= 𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔
Como la frecuencia se reduce, el submarino se aleja del destructor, va hacia
abajo.
75. Dos aviones, volando uno hacia el este y el otro hacia el oeste, están separados 15
km en peligro de colisión frontal cuando el piloto de uno de ellos, que vuela a 900
km/h, observa la presencia del otro en su radar Doppler. La unidad de radar emite
ondas electromagnéticas de frecuencia 3 1010
Hz. La pantalla del radar indica que la
22. velocidad del otro avión es 750 km/h. Determinar la frecuencia de la señal recibida
por el radar de este piloto.
Utilizando la expresión de la variación de frecuencia de los problemas anteriores:
∆𝒇𝒇 =
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
El valor de u será:
𝒖𝒖 = (𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕)𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒉𝒉
∆𝒇𝒇 =
𝟐𝟐∗
(𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗+𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕)𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒉𝒉
∗
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌
∗
𝟏𝟏 𝒉𝒉
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔
𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔
∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟗𝟗, 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒
𝑯𝑯𝑯𝑯
∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝟐𝟐 − 𝒇𝒇𝒐𝒐 ; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = ∆𝒇𝒇 + 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟎𝟎′
𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
𝑯𝑯𝑯𝑯
76. Una unidad de radar de la policía transmite microondas de frecuencia 3 1010
Hz. La
velocidad de estas ondas en el aire es 3,0 108
m/s. Supóngase que un coche se aleja
de esta unidad de radar a una velocidad de 140 km/h. ¿Cuál es la diferencia de
frecuencia entre la señal transmitida y la señal recibida por el coche?
La frecuencia recibida por el coche:
𝒇𝒇 =
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
La recibida de nuevo por el radar:
𝒇𝒇′
=
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇
𝒇𝒇′
=
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′
= 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
∆𝒇𝒇 =
𝟐𝟐∗
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒉𝒉
∗
𝟏𝟏 𝒉𝒉
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔
∗
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔
∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟕𝟕, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
𝑯𝑯𝑯𝑯
77. Supóngase que el coche de la policía del problema 76 se mueve en la misma
dirección que el otro vehículo a lo velocidad de 60 km/h. ¿Cuál es entonces la
diferencia de frecuencia entre las señales emitida y reflejada?
La frecuencia recibida por el coche:
𝒇𝒇 =
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
La recibida de nuevo por el radar:
𝒇𝒇′
=
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇
𝒇𝒇′
=
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗
𝒄𝒄−𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′
= 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒄𝒄
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
∆𝒇𝒇 =
𝟐𝟐∗
𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒉𝒉
∗
𝟏𝟏 𝒉𝒉
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔
∗
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔
∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
𝑯𝑯𝑯𝑯
78. En el tiempo t=0, un avión supersónico está directamente sobre un punto P volando
hacia el oeste a una altura de 12 km y una velocidad Mach 1,6. ¿Dónde está el avión
cuando se escucha el estampido sónico?
23. 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝜽𝜽 =
𝒉𝒉
𝒙𝒙
;𝒙𝒙 =
𝒉𝒉
𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 =
𝒗𝒗∗𝒕𝒕
𝒖𝒖∗𝒕𝒕
; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂�
𝒗𝒗
𝒖𝒖
� = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �
𝟏𝟏
𝟏𝟏,𝟔𝟔
� = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕º
𝒙𝒙 =
𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕,𝟕𝟕
= 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌
79. Un pequeño aparato de radio de masa 0,10 kg está unido a una pista de aire por un
extremo a través de un muelle. La radio emite un sonido de 800 Hz. Un observador
Enel otro extremo de la pista de aire escucha un sonido cuya frecuencia varía entre
797 y 803 Hz.
a) Determinar la energía del sistema vibrante masa-muelle.
b) Si la constante del muelle es de 200 N/m, ¿Cuál es la amplitud de vibración de la
masa y cuál es el período del sistema oscilante?
a) Sea 𝒖𝒖 = 𝒖𝒖𝒔𝒔 ± 𝒖𝒖𝒓𝒓 la velocidad relativa a la fuente y receptor. v la velocidad del
sonido.
∆𝒇𝒇 = ±
𝒖𝒖
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
𝒖𝒖𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =
∆𝒇𝒇
𝒇𝒇𝒐𝒐
∗ 𝒗𝒗 =
𝟑𝟑
𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖
∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔
𝑬𝑬 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒖𝒖𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟐𝟐
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝑱𝑱
b) 𝑬𝑬 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∶ 𝑨𝑨 = �
𝟐𝟐∗𝑬𝑬
𝒌𝒌
= �𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎
𝒌𝒌 = 𝒎𝒎 ∗
𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐
𝑻𝑻𝟐𝟐 ; 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �
𝒎𝒎
𝒌𝒌
= 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �
𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔
80. Un foco sonoro de frecuencia fo se mueve con velocidad us respecto al aire en reposo
hacia un receptor que se mueve con velocidad ur respecto al aire en reposo
alejándose del foco.
a) Escribir una expresión para la frecuencia recibida f’.
b) Utilizar la expresión aproximada (𝟏𝟏 − 𝒙𝒙)−𝟏𝟏
= 𝟏𝟏 + 𝒙𝒙 para demostrar que sí tanto
us como ur son pequeñas en comparación con v, la frecuencia recibida es
aproximadamente
𝒇𝒇′
= �𝟏𝟏 +
𝒖𝒖𝒔𝒔−𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 +
𝒖𝒖𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
En donde urel es la velocidad relativa de la fuente y el receptor.
a) 𝒇𝒇′
=
𝟏𝟏±
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
𝟏𝟏±
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
24. En nuestro caso, como el receptor se mueve hacia la fuente, disminuye
frecuencia, signo negativo.
En el caso de la fuente, se mueve hacia el receptor, aumenta la frecuencia, signo
negativo.
𝒇𝒇′
=
𝟏𝟏−
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
𝟏𝟏−
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
b) 𝒇𝒇′
=
𝟏𝟏−
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
𝟏𝟏−
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 −
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
� ∗ �𝟏𝟏 −
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
�
−𝟏𝟏
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 −
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
� ∗ �𝟏𝟏 +
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
𝒇𝒇′
= �𝟏𝟏 +
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
−
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
− −
𝒖𝒖𝒓𝒓∗𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗𝟐𝟐
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
Si las velocidades del receptor y emisor son pequeñas respecto las velocidades
de las ondas:
𝒇𝒇′
≈ �𝟏𝟏 +
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
−
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 +
𝒖𝒖𝒔𝒔−𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 +
𝒖𝒖𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
81. Dos alumnos con diapasones vibrantes de 440 Hz, pasean alejándose uno del otro
con la misma velocidad. ¿Con que rapidez deberán andar para que cada uno de ellos
escuche una frecuencia de 438 Hz del otro diapasón?
Al alejarse tendremos signo negativo arriba, disminución de frecuencia y positivo
abajo, disminución de frecuencia.
𝒇𝒇′
=
𝟏𝟏±
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
𝟏𝟏±
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
𝒇𝒇′
=
𝟏𝟏−
𝒖𝒖𝒓𝒓
𝒗𝒗
𝟏𝟏+
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 (𝟏𝟏 + 𝒙𝒙)−𝟏𝟏
≈ 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙
𝒇𝒇′
= �𝟏𝟏 −
𝒖𝒖
𝒗𝒗
� ∗ � 𝟏𝟏 +
𝒖𝒖
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗
−
𝒖𝒖𝟐𝟐
𝒗𝒗𝟐𝟐
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∗
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗
𝒖𝒖 =
∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗
𝒇𝒇𝒐𝒐∗𝟐𝟐
=
𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟐𝟐
= 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔
82. Un alumno de física anda a lo largo de un vestíbulo grande portando un diapasón
que vibra a 512 Hz. El extremo del vestíbulo está cerrado, de forma que el sonido es
refleja en él. El estudiante oye un sonido de 516 Hz procedente de la pared. ¿Con
qué rapidez está andando?
La señal reflejada por la pared tiene una frecuencia:
𝒇𝒇 =
𝒗𝒗−𝒖𝒖
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
El receptor se aleja de la fuente:
𝒇𝒇′
=
𝒗𝒗−𝒖𝒖
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇
𝒇𝒇′
=
𝒗𝒗−𝒖𝒖
𝒗𝒗
∗
𝒗𝒗−𝒖𝒖
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′
= 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 −
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 =
𝟐𝟐∗𝒖𝒖
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
25. 𝒖𝒖 =
∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗
𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒐𝒐
=
𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
= 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔
83. Un pequeño altavoz que emite un sonido de 1000 Hz está unido a uno de los
extremos de una larga barra de 0,8 m que puede girar libremente por el otro
extremo. La barra gira en el plano horizontal comuna velocidad angular de 4,0 rad/s.
Deducir una expresión para la frecuencia percibida por un observador estacionario
alejado del altavoz rotatorio.
Como tenemos fuente móvil:
𝒇𝒇′
=
𝟏𝟏
𝟏𝟏−
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 −
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
�
−𝟏𝟏
∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 +
𝒖𝒖𝒔𝒔
𝒗𝒗
� ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
La velocidad tangencial del cuerpo emisor en rotación es:
𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝒓𝒓 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕)
𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝟒, 𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒,𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕)
𝒇𝒇′
= �𝟏𝟏 +
𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝟒𝟒,𝟎𝟎∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒,𝟎𝟎∗𝒕𝒕)
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
� ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟗𝟗, 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝒕𝒕), 𝑺𝑺. 𝑰𝑰.
84. Una persona se encuentra a bordo del Queen Elizabeth II en medio del Atlántico
rumbo al este a 45 km/h cuando el Concorde pasa directamente sobre su cabeza
volando hacia el oeste con velocidad Match 1,6 a una altura de 12500 m. ¿Dónde
está el Concorde respecto al QEII cuando el pasajero escucha el estampido sónico?
Sea C la posición del Concorde y P la del barco:
𝒅𝒅𝟐𝟐
= 𝒉𝒉𝟐𝟐
+ 𝒅𝒅𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐
𝜽𝜽
𝒅𝒅 = 𝒉𝒉 ∗ �
𝟏𝟏
𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 =
𝒗𝒗∗𝒕𝒕
𝒖𝒖∗𝒕𝒕
; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �
𝒗𝒗
𝒖𝒖
� = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �
𝟏𝟏
𝟏𝟏,𝟔𝟔
� = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕º
𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �
𝟏𝟏
𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕
= 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎
85. Un globo arrastrado por un viento de 35 km/h emite un sonido de 800 Hz cuando se
aproxima a un edificio.
a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido percibido por un observador asomado a una
ventana de este edificio?
b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido reflejado que escucha un viajero del globo?
a) Aplicando la fuente móvil:
