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Movimiento ondulatorio.pdf

1. Las ondas que suben por una cuerda vertical se mueven más rápidamente que las que bajan debido a que la tensión de la cuerda aumenta hacia arriba por el peso de la parte colgando. 2. La velocidad del sonido en el agua es 1500 m/s y en mercurio es 1410 m/s. El módulo de compresibilidad del mercurio es 27,77 GPa. 3. La velocidad del sonido en el hidrógeno a 300 K es 1450 m/s.

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Movimiento ondulatorio. Tipler. Capítulo 15. Velocidad de ondas. 1. Una cuerda cuelga verticalmente del techo. Cuando las ondas se mueven de abajo hacia arriba por la cuerda, ¿lo hacen más rápidamente, más lentamente o a la misma velocidad que las ondas que se mueven de arriba hacia abajo? Razonar la respuesta. 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; 𝑻𝑻 = 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻ó𝒏𝒏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ,𝝁𝝁 = 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍. En una cuerda que cuelga la tensión aumenta hacia arriba, al aumentar el peso de cuerda que cuelga. Por ello las ondas que suben se mueven más rápidamente hacia arriba. 2. a) El módulo ce compresibilidad del agua es 2,0 109 N/m2 .Utilizar este valor para hallar la velocidad del sonido en el agua. b) La velocidad del sonido en mercurio es 1410 m/s. ¿Cuál es el módulo de compresibilidad del mercurio (ρ=13,6 103 kg/m3 ). a) 𝒗𝒗 = � 𝑩𝑩 𝝆𝝆 = �𝟐𝟐,𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐 3. Calcular la velocidad de las ondas del sonido en el gas hidrógeno a T=300 K. (Tomar M=2 g/mol y ϒ=1,4). 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 = � 𝟏𝟏,𝟒𝟒∗𝟖𝟖,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 4. Un hilo de acero de 7 m de largo tiene una masa de 100 g. Si está sometido a una tensión de 900 N, ¿Cuál es la velocidad de un pulso de onda transversal en este hilo? 𝝁𝝁 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 ; 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = � 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 5. Sobre un alambre de 80 cm de longitud que está bajo una tensión de 550 N viajan ondas transversales a 150 m/s. ¿Cuál es la masa del alambre? 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 ; 𝒎𝒎 = 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟎𝟎,𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 6. Un pulso de onda se propaga a lo largo de un alambre en el sentido positivo del eje de las x a 20 m/s. Cuál será la velocidad del pulso a) ¿Si duplicamos la longitud del alambre, pero mantenemos constante la tensión y la masa por unidad de longitud? b) ¿Si duplicamos la tensión mientras se mantienen constantes la longitud y la masa por unidad de longitud? c) ¿si duplicamos la masa por unidad de longitud mientras se mantienen constantes las demás variables? a) 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 . Per tanto v= 20 m/s. b) 𝒗𝒗 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) Duplicamos la densidad. 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 √𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔
7. Una cuerda de piano de acero tiene 0,7 m de longitud y una masa de 5 g. Se tensa mediante una fuerza de 500 N. a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales de la cuerda? b) Para reducir la velocidad de la onda en un factor 2 sin modificar la tensión, ¿qué masa de alambre de cobre habrá que enrollar alrededor del hilo de acero? a) 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = � 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟎𝟎,𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗′ = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎′ 𝒗𝒗 𝒗𝒗′ = � 𝒎𝒎′ 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎′ = 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∆𝒎𝒎 = 𝒎𝒎′ − 𝒎𝒎 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 − 𝒎𝒎 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒈𝒈 8. El cable de un telesquí de 80 kg de masa asciende 400 m por la ladera de una montaña. Cuando el cable recibe un golpe transversal en un extremo, el pulso de retorno se detecta 12 s después. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? b) ¿Cuál es la tensión del cable? a) 𝒗𝒗 = ∆𝒙𝒙 ∆𝒕𝒕 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 ; 𝑻𝑻 = 𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒎𝒎 𝑳𝑳 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵 9. Una regla práctica común para calcular la distancia a la que cae un rayo es empezar a contar el tiempo cuando se observa el relámpago y detener el cronómetro cuando se oye el estampido del trueno. El número de segundo contados se divide entonces por 3 para obtener la distancia en kilómetros. ¿Cómo se justifica esto? ¿Cuál es la velocidad del sonido en kilómetros por segundo? ¿Cuánta exactitud tiene este procedimiento? ¿Tiene importancia la corrección que tiene en cuenta el tiempo empleado por la luz en llegar a nosotros? (La velocidad de la luz es aproximadamente 3 108 m/s). Para el sonido en el aire v=340 m/s. 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 En un tiempo t el sonido recorrerá: 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕 Si suponemos que la luz llega instantáneamente. El tiempo transcurrido dividido por 3 es: 𝒕𝒕 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕 Como se puede ver las dos expresiones son parecidas. La exactitud del procedimiento: ∆𝒔𝒔 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 % La corrección con el tiempo empleado por la luz: ∆𝒕𝒕𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∆𝒕𝒕𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ~𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 Por tanto, la corrección es irrelevante. 10. Un método para medir la velocidad del sonido utilizando un reloj ordinario (con un segundero) consiste en permanecer a una cierta distancia de una pared plana grande y batir palmas rítmicamente de tal modo que el eco de la pared se oiga en el punto medio entre cada dos palmadas. Demostrar que la velocidad del sonido viene dada
por v=4LN, siendo L la distancia a la pared y N el número de palmadas por segundo. ¿Cuál es un valor razonable para L con objeto de que sea factible realizar este experimento? (Si se tiene acceso a una pared plana en algún sitio, ensáyese este método y comparece el resultado con el valor conocido). 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∆𝒕𝒕 Como el eco llega entre palmada y palmada: ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔 𝑵𝑵 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑵𝑵 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝑵𝑵 Si L=1 m; N= 85. Si L=2m; N=42,5. Si L=5 m; N=17. Nuestro oído sólo puede distinguir dos sonidos como diferentes si los oímos separados al menos una décima de segundo. En ese tiempo el sonido puede recorrer 34 metros en el aire. Si el obstáculo está situado a más de 17 m, cuando el sonido reflejado llegue a nuestro oído, lo entenderá como un sonido diferente a nuestra voz. 11. Una persona deja caer una piedra desde un puente elevado y oye cuando choca directamente debajo de él exactamente 4 s después. a) Estimar la distancia al agua suponiendo que el tiempo que emplea el sonido en alcanzar la persona es despreciable. b) Mejorar el valor estimado utilizando el resultado de la parte (a) correspondiente a esta distancia para estimar el tiempo que tarda el sonido en recorrerla. Entonces calcular la distancia de caída de la piedra en 4 s menos ese tiempo. c) Calcular la distancia exacta y compararla con los valores estimados previamente. a) Suponiendo caída libre: 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝟒𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝒎𝒎 b) Tiempo en recorrer 78,5 m por el sonido: 𝒕𝒕𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = ∆𝒚𝒚 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔 𝒅𝒅′ = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝟒𝟒 − 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝒎𝒎 c) En los 4 s la piedra ha caído y el sonido ha recorrido la distancia desde el fondo hasta llegar al punto inicial. 𝒕𝒕𝑻𝑻 = 𝒕𝒕𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒕𝒕𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒕𝒕𝑻𝑻 = � 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 𝒈𝒈 + 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 𝒈𝒈 = 𝒕𝒕𝑻𝑻 − 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝒔𝒔 ; 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 𝒈𝒈 = 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒔𝒔 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐∗𝒕𝒕𝑻𝑻 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒅𝒅 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝒔𝒔 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐 − � 𝟐𝟐∗𝒕𝒕𝑻𝑻 𝒗𝒗𝒔𝒔 +∗ 𝟐𝟐 𝒈𝒈 �𝒅𝒅 + 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝟖𝟖,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 La solución es: 𝒅𝒅 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝒎𝒎 Respecto al apartado (a): 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓−𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 % 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 en (a) Respecto al (b):
𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓−𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 % 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒆𝒆𝒆𝒆 (𝒃𝒃) 12. (a) Calcular la derivada de la velocidad de una onda en una cuerda con respecto a la tensión 𝒅𝒅𝒅𝒅/𝒅𝒅𝒅𝒅 y demostrar que las diferenciales dv y dF obedecen a la expresión 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝑭𝑭 𝑭𝑭 . (b) Una onda se mueve con una velocidad de 300 m/s sobre un alambre que está sometido a una tensión de 500 N. Utilizando dF para aproximar la variación de tensión, hallar en qué cantidad debe variarse la tensión para aumentar la velocidad a 312 m/s. a) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝑭𝑭∗𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ � 𝟏𝟏 𝑭𝑭∗𝑭𝑭 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑭𝑭 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑭𝑭 b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟎𝟎 𝑵𝑵 13. a) Calcular la derivada de la velocidad del sonido respecto a la temperatura absoluta y demostrar que las diferenciales dv y dT obedecen a la expresión 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 . b) Utilizar esta expresión para calcular la variación porcentual de la velocidad del sonido cuando la temperatura se modifica de 0 a 27º C. c) Si la velocidad del sonido es 331 m/s a 0º C, ¿Cuál es (aproximadamente) a 27º C? ¿Cómo es el resultado obtenido mediante esta aproximación comparado con el que se obtiene mediante un cálculo exacto? a) 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹 𝑻𝑻∗𝑴𝑴 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑻𝑻 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 b) ∆𝒗𝒗 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ ∆𝑻𝑻 𝑻𝑻 ; ∆𝒗𝒗 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗 % c) 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑲𝑲 = 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑲𝑲 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ ∆𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑲𝑲 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Usando el cálculo exacto: 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑴𝑴 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 14. En este problema se ha de obtener una fórmula práctica para determinar la velocidad del sonido en el aire a una temperatura t en grados Celsius. Se empezará para escribir la temperatura como T=To+ΔT, en donde To=273 K corresponde a 0º C y ΔT=t, la TEMPERATURA Celsius. La velocidad del sonido es una función de T, v(T). Con una aproximación de primer orden podemos escribir 𝒗𝒗(𝑻𝑻) = 𝒗𝒗(𝑻𝑻𝒐𝒐) + � 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 � 𝑻𝑻𝒐𝒐 ∆𝑻𝑻 Donde � 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 � 𝑻𝑻𝒐𝒐 es la derivada calculada para T=To. Calcular esta derivada y demostrar que su resultado lleva a
𝒗𝒗 = �𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ��𝟏𝟏 + 𝒕𝒕 𝟐𝟐𝑻𝑻𝒐𝒐 � = (𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒕𝒕)𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑻𝑻 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝒕𝒕+𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∆𝒕𝒕 = 𝒕𝒕 ; ∆𝒗𝒗 = 𝒗𝒗(𝒕𝒕) − 𝒗𝒗𝟎𝟎 𝒗𝒗(𝒕𝒕) = �𝒗𝒗𝟎𝟎 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕∗𝒗𝒗 𝒕𝒕+𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � ≈ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒕𝒕 15. Mientras estudia física en su dormitorio, una alumna escucha en la radio la trasmisión de un partido de baloncesto, que se juega en un campo a 1,6 km de distancia. En la radio, la alumna oye el ruido generado por el pulso electromagnético de un rayo. Dos segundos más tarde, oye también por la radio el trueno que ha sido recogido por el micrófono situado en el campo de baloncesto. Cuatro segundos después de haber escuchado el primer ruido indicado en la radio, el trueno hace temblar sus ventanas. Respecto al campo de baloncesto, ¿en dónde cayo el rayo? L lugar del relámpago; P campo de baloncesto y R dormitorio. Utilizando el teorema del coseno: 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝜽𝜽) = 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 −𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 −𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳∗𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 � 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 � = ±𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟒𝟒𝒐𝒐 16. Un muelle en espiral de tipo Slinky se deforma alargándose hasta una longitud L. Tiene una constante de fuerza k y una masa m. a) Demostrar que la velocidad de las ondas de compresión longitudinales a lo largo del muelle viene dada por 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳�𝒌𝒌/𝒎𝒎. b) Demostrar que este valor es también el de la velocidad de las ondas transversales a lo largo del muelle si la longitud natural del muelle es mucho menor que L.
a) 𝒗𝒗 = � 𝑩𝑩 𝝆𝝆 𝝆𝝆 = 𝒎𝒎 𝑽𝑽 ; 𝑩𝑩 = − 𝑷𝑷 ∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 Si a es el área de la sección transversal del muelle: 𝑽𝑽 = 𝑨𝑨 ∗ 𝑳𝑳 𝝆𝝆 = 𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 ; 𝑷𝑷 = −𝒌𝒌 ∗ ∆𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝑩𝑩 = 𝒌𝒌∗ ∆𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝑨𝑨∗∆𝑳𝑳 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝒗𝒗 = � 𝒌𝒌∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 = 𝑳𝑳 ∗ � 𝒌𝒌 𝒎𝒎 b) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 𝝁𝝁 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 𝑭𝑭 = 𝒌𝒌 ∗ ∆𝑳𝑳 = 𝒌𝒌 ∗ (𝑳𝑳 − 𝑳𝑳𝒐𝒐) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 ∗ �𝟏𝟏 − 𝑳𝑳𝒐𝒐 𝑳𝑳 � Si 𝑳𝑳𝒐𝒐 ≪ 𝑳𝑳: 𝑭𝑭 ≈ 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = � 𝒌𝒌∗𝑳𝑳 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = 𝑳𝑳 ∗ � 𝒌𝒌 𝒎𝒎 La ecuación de onda 17. Demostrar explícitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda: a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗𝒗𝒗)𝟑𝟑 . b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊𝒊𝒊(𝒙𝒙−𝒗𝒗𝒗𝒗) , 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑨𝑨 𝒚𝒚 𝒌𝒌 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒆𝒆 𝒊𝒊 = √−𝟏𝟏. c) 𝒚𝒚(𝒙𝒙.t)=𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒙𝒙 + 𝒗𝒗𝒗𝒗). a) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) Por tanto: 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 b) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = − 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 c) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒌𝒌 𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = − 𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐
𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝒗𝒗∗𝒌𝒌 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = − 𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = − 𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 18. Demostrar que la función y=A senkx coswt satisface la ecuación de onda. 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝒗𝒗 = 𝒘𝒘 𝒌𝒌 ; 𝒘𝒘𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 19. Considerar la siguiente ecuación: 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝟎𝟎 ,𝒊𝒊 = √−𝟏𝟏 En donde α es una constante. Demostrar que 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝒘𝒘𝒘𝒘)no es una solución de esta ecuación, pero que las funciones 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) e 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) sí la satisfacen. 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝒘𝒘𝒘𝒘) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝒘𝒘 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) Por tanto, no se cumple la igualdad dada. 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝜶𝜶 = − 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒊𝒊 ∗ −𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 ∗ �−𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎)� = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎)
𝑺𝑺𝑺𝑺 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝜶𝜶 = 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 ∗ �𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎)� = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 Ondas armónicas sobre una cuerda 20. Un tren de ondas atraviesa un punto de observación. En este punto, el tiempo entre crestas sucesivas es 0,2 s. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) La longitud de onda es 5 m. b) La frecuencia es 5 Hz. c) La velocidad de propagación es 5 m/s. d) La longitud de onda es 0,2 m. e) No hay suficiente información para justificar las afirmaciones anteriores. T=0,2 s ; f=1/T=5 Hz . Respuesta b. 21. Verdadero o falso: La energía de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. Correcto ∆𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 22. Una cuerda cuelga verticalmente. Se sacude el extremo libre de atrás hacia adelante, engendrando un tren de ondas sinusoidales. La longitud de onda en la parte superior, ¿es igual, menor o mayor que en el extremo inferior? 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 ; 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 Debido al peso de la cuerda la tensión es superior en la parte superior, por ello la velocidad también. La longitud de onda también será mayor en la parte superior. 23. Uno de los extremos de una cuerda de 6 m de largo se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple de frecuencia 60 Hz. Las ondas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5 s. Hallar la longitud de onda de las ondas en la cuerda. 𝒗𝒗 = ∆𝒙𝒙 ∆𝒕𝒕 = 𝟔𝟔 𝟎𝟎,𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ;𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 𝒎𝒎 24. La ecuación 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) expresa el desplazamiento de una onda armónica como una función de x y t y de los parámetros de onda k y ω. Escribir expresiones equivalentes que en lugar de k y ω contengan los siguientes pares de parámetros: a) k y v. b) λ y f. c) λ y T. d) λ y v. e) f y v. a) 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ; 𝝎𝝎 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ (𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)) b) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇
𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒙𝒙 𝝀𝝀 − 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕�� c) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒙𝒙 𝝀𝝀 − 𝒕𝒕 𝑻𝑻 �� d) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ; 𝝎𝝎 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒗𝒗 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ (𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)� e) 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ;𝒌𝒌 = 𝝎𝝎 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒇𝒇 𝒗𝒗 ; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒇𝒇 𝒗𝒗 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ � 𝒙𝒙 𝒗𝒗 − 𝒕𝒕�� 25. La ecuación 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 𝑻𝑻 = 𝒇𝒇𝒇𝒇 se aplica a todos los tipos de ondas periódicas, incluidas las electromagnéticas, como la luz y las microondas, que tienen una velocidad de 3 108 m/s en el vacío. a) El intervalo de longitudes de onda de la luz para las que el ojo es sensible abarca desde 4 10-7 a 7 10-7 m. ¿Cuáles son las frecuencias que corresponden a estas longitudes de onda? b) Hallar la frecuencia de una microonda que tiene una longitud de onda de 3 cm. a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 ; 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 ; 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 26. Una onda armónica sobre una cuerda con una masa de 0,05 kg/m y una tensión de 80 N tiene una amplitud de 5 cm. Cada sección de la cuerda se mueve con movimiento armónico simple a una frecuencia de 10 Hz. Hallar la potencia propagada a lo largo de la cuerda. 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ � 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑾𝑾 27. Una cuerda de 2 m de largo tiene una masa de 0,1 kg. La tensión es de 60 N. Una fuente de potencia en uno de sus extremos envía una onda armónica con una amplitud de 1 cm por la cuerda. La onda se extrae por el otro extremo sin ninguna reflexión. ¿Cuál es la frecuencia de la fuente de potencia si la potencia transmitida es de 100 W? 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝒇𝒇 = � 𝟐𝟐∗𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝝁𝝁∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝑨𝑨𝟐𝟐∗� 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝑨𝑨 ∗ � 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎∗√𝝁𝝁 𝝁𝝁∗𝟐𝟐∗√𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝑨𝑨 ∗ � 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐∗�𝝁𝝁∗𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐∗� 𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 28. La función de onda para una onda armónica en una cuerda es
𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = (𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 𝒎𝒎−𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒕𝒕). a) ¿En qué sentido se desplaza esta onda y cuál es su velocidad? b) Hallar la longitud de onda, la frecuencia y periodo de la misma. c) ¿Cuál es el máximo desplazamiento de un segmento cualquiera de la cuerda? a) Dado que tenemos kx+𝝎𝝎t la onda viaja en el sentido de x negativo, si fuera kx-𝝎𝝎t viajaría en el sentido de x positivo. 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 = 𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 ;𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) A=0,001 m 29. Una onda armónica con una frecuencia de 80 Hz y una amplitud 0,025 m se propaga hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s. a) Escribir una expresión que sea adecuada para la función de onda de la misma. b) Determinar la velocidad máxima de un punto sobre la cuerda. c) Determinar la aceleración máxima de un punto sobre la cuerda. a) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ; 𝒌𝒌 = 𝝎𝝎 𝒗𝒗 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟗𝟗 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔 𝒚𝒚 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟗𝟗 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 30. A lo largo de una cuerda que tiene 20 m de largo, una masa de 0,06 kg y una tensión de 50 N se mueven ondas de frecuencia 200 Hz y amplitud 1 cm. a) ¿Cuál es la energía total de las ondas en la cuerda? b) Hallar la potencia transmitida que pasa por un punto determinado de la cuerda. a) 𝑬𝑬𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑱𝑱 b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ � 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟔𝟔 𝑾𝑾 31. En una cuerda real, una onda pierde cierta energía cuando se propaga a lo largo de una cuerda. Tal situación puede describirse por una función de onda cuya amplitud A(x) depende de x: 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨(𝒙𝒙)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) = �𝑨𝑨𝒐𝒐𝒆𝒆−𝒃𝒃𝒃𝒃�𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) a) ¿Cuál es la potencia original transportada por la onda en el origen? b) ¿Cuál es la potencia transportada por la onda en el punto x? a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨(𝟎𝟎)𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨(𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆−𝟐𝟐∗𝒃𝒃∗𝒙𝒙 32. Se ha transmitido una determinada potencia a lo largo de un alambre tenso mediante ondas armónicas transversales. La velocidad de la onda es de 10 m/s y la densidad másica lineal del alambre es 0,01 kg/m. La fuente de potencia oscila con una amplitud de 0,50 mm. a) ¿Qué potencia media se transmite a lo largo del alambre si la frecuencia es de 400 Hz?
b) La potencia transmitida puede aumentarse aumentando la tensión en el alambre, la frecuencia de la fuente o la amplitud de las ondas. Si sólo se varía una de estas magnitudes, ¿cómo habría de modificarse cada una de ellas con objeto de producir un aumento de potencia en un factor de 100? c) ¿Cuál de las variaciones indicadas se podría realizar probablemente con mayor facilidad? a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑾𝑾 b) Si la frecuencia se hace 10*fo, la potencia se hará 100 veces mayor. Si la tensión se aumenta 10000 veces, como 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; la potencia aumenta en un factor 100. Si la amplitud aumenta en un factor de 10, la potencia lo hará en un factor de 100. c) Posiblemente lo más sencillo fuera aumentar f o A. Ondas sonoras armónicas 33. Una onda sonora en aire produce una variación de presión dada por 𝒑𝒑(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝅𝝅/𝟐𝟐 (𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑) En donde p está en pascales, x en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es la amplitud de la presión? b) La longitud de onda. c) La frecuencia. d) La velocidad de la onda sonora. a) Po=0,75 Pa. b) 𝒌𝒌 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒎𝒎 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝅𝝅/𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 𝒎𝒎 c) 𝝎𝝎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔;𝒇𝒇 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 d) 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝝅𝝅 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 34. a) La nota Do central de la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? b) La frecuencia de la nota Do una octava por encima del Do central es el doble que la de este último. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 ; 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 35. a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 100 Hz y amplitud de la presión 10-4 atm? b) La amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 300 Hz 10-7 m. ¿Cuál es la amplitud de presión de esta onda? a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟑𝟑, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔−𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝒎𝒎 = 𝟖𝟖, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷
36. a) Hallar la amplitud de desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 500 Hz cuando la amplitud de presión correspondiente al umbral de dolor es de 20 Pa. b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda sonora con la misma amplitud de presión, pero con una frecuencia de 1 kHz. a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎 37. Una onda de un sonido intenso típico con una frecuencia de 1 kHz tiene una amplitud de presión de 10-4 atm aproximadamente. a) Cuando t=0 la presión es máxima en un cierto punto x1. ¿Cuál es el desplazamiento en dicho punto para t=0? b) ¿Cuál es el valor máximo del desplazamiento en un instante y posición cualquiera? (Considerar que la densidad del aire es 1,29 kg/m3 ). a) Si la presión es máxima el desplazamiento es 0. b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝒎𝒎 38. a) Hallar la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 500 Hz si la amplitud de presión corresponde al umbral de audición que es 2,9 10-5 Pa. b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda de la misma amplitud de presión, pero de frecuencia 1 kHz. a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 Ondas en tres dimensiones: Intensidad 39. Un pistón situado en un extremo de un tubo largo lleno de aire a la temperatura ambiente y a la presión normal, oscila con una frecuencia de 500 Hz y una amplitud de 0,1 mm. El área del pistón es 100 cm2 . a) ¿Cuál es la amplitud de presión de las ondas sonoras generadas en el tubo? b) ¿Cuál es la intensidad de las ondas? c) ¿Qué potencia media se necesita para mantener oscilando el pistón (despreciando el rozamiento)? a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 b) 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒑𝒑𝒐𝒐 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝒎𝒎 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑾𝑾 40. Un foco esférico radia el sonido uniformemente en todas direcciones. A una distancia de 10 m, el nivel de intensidad del sonido es de 10-4 W/m2 . a) ¿A qué distancia del foco el nivel de intensidad es de 10-6 W/m2 ? b) ¿Qué potencia está radiando dicho foco? a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐
𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 ;𝒓𝒓𝟐𝟐 = � 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑰𝑰∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = � 𝑰𝑰𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝒓𝒓𝟐𝟐 = �𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾 41. Un altavoz en un concierto de rock genera 10-2 W/m2 a 20 m a una frecuencia de 1 kHz. Suponiendo que el altavoz extiende su energía uniformemente en tres dimensiones, a) ¿Cuál es la potencia total acústica emitida por el altavoz? b) ¿A qué distancia la intensidad del sonido se encontrará en el umbral del dolor de 1 W/m2 ? c) ¿Cuál es la intensidad a 30 m? a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝑾𝑾 b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ;𝒓𝒓 = � 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑰𝑰∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = � 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 c) 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 42. Cuando se lanza un alfiler de 0,1 g de masa desde una altura de 1 m, el 0,05 por ciento de su energía se convierte en pulso sonoro de duración 0,1 s. a) Estimar el intervalo en el que puede oírse la caída del alfiler si la intensidad mínima que puede llegar a oírse es de 10-11 W/m2 . b) En la práctica, el resultado obtenido en (a) es mucho mayor debido al ruido de fondo. Si en lugar de la suposición anterior se considera que para llegar a oírse el ruido el nivel de intensidad debe ser de al menos 10-8 W/m2 , estimar el intervalo Enel que puede llegar a oírse la caída del alfiler. (Suponer en ambos casos que la intensidad es de P/4πr2 ). a) 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝑱𝑱 𝑷𝑷 = 𝑬𝑬 ∆𝒕𝒕 = 𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑾𝑾 𝒓𝒓 = � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑰𝑰 = �𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝒓𝒓 = � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑰𝑰 = �𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 = 𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 Nivel de intensidad acústica (o sonoridad) 43. Verdadero o falso: Un sonido de 60 dB tiene una intensidad doble a la de un sonido de 30 dB. 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 Para 60 dB: 𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 Para 30 dB: 𝑰𝑰𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝑰𝑰𝟑𝟑𝟑𝟑
Falso. 44. ¿Cuál es el nivel de intensidad en decibelios correspondiente a una onda sonora a) De intensidad 10-10 W/m2 . b) De intensidad 10-2 W/m2 . a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ;𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 45. Hallar la intensidad de una onda sonora si a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅. b) 𝜷𝜷 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. c) Hallar la amplitud de presión correspondiente a ondas sonoras en el aire en condiciones normales para cada una de estas intensidades. a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝝆𝝆∗𝒗𝒗 Para I= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾 𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒑𝒑𝒐𝒐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑰𝑰 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟗𝟗, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝑷𝑷𝑷𝑷 Para I=𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑾𝑾 𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒑𝒑𝒐𝒐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑰𝑰 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝑷𝑷𝑷𝑷 46. El nivel acústico del ladrido de un perro es 50 dB. La intensidad de un concierto de rock es 10 000 veces superior a la del ladrido de un perro. ¿Cuál es el nivel acústico del concierto de rock? 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 : 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒓𝒓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 47. Dos sonidos difieren en 30 dB. La intensidad del sonido más fuerte es IF y la del más débil ID. El valor de la relación IF/ID es a) 1000. b) 30. c) 9. d) 100. e) 300. ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑭𝑭 𝑰𝑰𝒐𝒐 − 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑫𝑫 𝑰𝑰𝒐𝒐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑭𝑭 𝑰𝑰𝑫𝑫 𝟑𝟑 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑭𝑭 𝑰𝑰𝑫𝑫 ; 𝑰𝑰𝑭𝑭 𝑰𝑰𝑫𝑫 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 Respuesta a. 48. Demostrar que, si se duplica la intensidad, el nivel de intensidad aumenta en 3,0 dB. ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒅𝒅
49. ¿Qué fracción de la potencia acústica de un ruido deberá eliminarse Para disminuir su nivel de intensidad sonora de 90 a 70 dB? ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ;𝟐𝟐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑰𝑰𝟏𝟏−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ;𝟗𝟗𝟗𝟗 % 50. La sonoridad de una conversación normal entre personas a 1 m de distancia es de 65 dB. Estimar la potencia con la que hablamos los seres humanos. 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑾𝑾 51. Una fuente esférica irradia un sonido uniformemente en todas las direcciones. A una distancia de 10 m el nivel acústico es de 80 dB. a) ¿A qué distancia de la fuente el nivel acústico es de 60 dB? b) ¿Cuál es la potencia irradiada por la fuente? a) 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 ∗ � 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟏𝟏−𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾 52. Una fuente esférica de intensidad Io irradia un sonido uniformemente en todas las direcciones. Su nivel acústico es β1 a una distancia r1 y β2 a una distancia r2. Determinar β2/ β1. 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟐𝟐−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�𝑰𝑰𝟏𝟏∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐�−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏+𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 �−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 +𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 � 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 +𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 � 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝜷𝜷𝟏𝟏+𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 � 𝜷𝜷𝟏𝟏 53. Un altavoz genera en un concierto de rock 10-2 W/m2 a 20 m a una frecuencia de 1 kHz. Suponiendo que la energía del cantante se extienda uniformemente en todas las direcciones. a) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 20 m? b) ¿Cuál es la potencia acústica total generada por el cantante?
c) ¿A qué distancia alcanzará la intensidad el umbral de dolor de 120 dB? d) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 30 m? a) 𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝑾𝑾 c) 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐� 𝑰𝑰𝒐𝒐 � ;𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐� 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 : 𝒓𝒓 = � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝒓𝒓 = � 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎 54. Un artículo sobre contaminación acústica señala que el nivel de intensidad sonora en grandes ciudades ha estado aumentando en 1 dB anualmente. a) ¿A qué aumento porcentual de intensidad corresponde esto? ¿Parece razonable este incremento? b) ¿Aproximadamente en cuántos años se duplicará la intensidad de sonido si se incremente 1 dB anualmente? a) ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 ;𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝑰𝑰𝟏𝟏−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ;𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔 % b) 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∆𝜷𝜷 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐. 55. Tres fuentes sonoras producen unos niveles de intensidad de 70,73 y 80 dB cuando actúan separadamente. Cuando actúan juntas las intensidades se suman. a) Hallar el nivel de intensidad sonora en decibelios cuando las tres fuentes actúan simultáneamente. b) Estudiar la utilidad de eliminar las dos fuentes menos intensas con objeto de reducir el nivel de ruido. a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏+𝑰𝑰𝟐𝟐+𝑰𝑰𝟑𝟑 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� � 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 � + � 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒐𝒐 � + � 𝑰𝑰𝟑𝟑 𝑰𝑰𝒐𝒐 ��� 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕,𝟑𝟑 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟑𝟑 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕,𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖��𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) Si eliminamos las dos menos intensas: 𝜷𝜷 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅; la reducción no es significativa. 56. La ecuación 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷𝒎𝒎 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 se cumple cuando el medio transmisor no absorbe energía. Sabemos que la absorción del sonido por aire seco da lugar a una disminución de intensidad del orden de 8 dB/km. La intensidad del sonido a una distancia de 120 m de un motor de reacción es 130 dB. Determinar la intensidad a 2,4 km del motor de reacción a) Suponiendo que no hay absorción del sonido por el aire. b) Suponiendo una disminución de 8 dB/km. (Suponer que el sonido irradia por igual en todas direcciones).
a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑾𝑾 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) Suponemos que a 120 m el nivel de intensidad es de 120 dB, Si no hay pérdida de energía el nivel de decibelios a 2,4 km será: 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟐𝟐,𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒅𝒅𝒅𝒅 Si aplicamos la pérdida de dB del enunciado: 𝟐𝟐,𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝟖𝟖 𝒅𝒅𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 Nivel de intensidad después de la pérdida: 𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟓𝟓 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 57. Todas las personas que han acudido a un cocktail se encuentran hablando igual de ruidosamente. Si sólo estuviese hablando una persona, el nivel de sonido sería de 72 dB. Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personas hablan a la vez. 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 Para las 38 personas: 𝑰𝑰 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 58. Cuando un violinista mueve su arco sobre una cuerda, la fuerza que ejerce es pequeña, del orden de 0,6 N. Supongamos que el arco se mueve a través de la cuerda “la”, que vibre con una frecuencia de 440 Hz a 0,5 m/s. Un oyente a 35 m del músico oye un sonido de intensidad 60 dB. ¿Cuál es el rendimiento de la transformación de la energía mecánica de la pulsación en energía sonora? (Suponer que el sonido irradia uniformemente en todas las direcciones). 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝑭𝑭 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎,𝟓𝟓 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝑾𝑾 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝑾𝑾 𝜼𝜼 = 𝑷𝑷𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 % 59. El nivel de ruido en un aula vacía donde se va a realizar un examen es de 40 dB. Cuando 100 alumnos se encuentran escribiendo su examen, los sonidos de las respiraciones y de las plumas escribiendo sobre el papel elevan el nivel de ruido a 60 dB. (No tener en cuenta los carraspeos ocasionales). Suponiendo que la contribución de cada alumno a la potencia de ruido es la misma, calcular el nivel de ruido cuando sólo quedan 50 alumnos en el aula. ∆𝜷𝜷 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝚫𝚫𝜷𝜷𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝑰𝑰𝒐𝒐 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝜷𝜷𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
Efecto Doppler 60. Si la fuente y el receptor están en reposo relativo uno respecto al otro, pero el medio propagador de la onda se mueve respecto a ambos, ¿existirá el desplazamiento Doppler en la frecuencia? Alno haber movimiento relativo entre la fuente y el receptor no existirá efecto Doppler. 61. La frecuencia de la bocina de un coche es fo. ¿Qué frecuencia se observa si tanto el coche como el observador están en reposo, pero un viento sopla hacia el observador? a) fo. b) mayor que fo. c) menor que fo. d) Puede ser mayor o menor que fo. e) Puede ser fo o mayor que fo según los valores relativos de la velocidad del viento y la velocidad del sonido. Al no haber movimiento relativo fuente y observador no se observa efecto Doppler. Respuesta a. 62. Frecuentemente se observan pares de estrellas que giran alrededor de su centro de masas común. Si una de las estrellas es un agujero negro, es invisible. Explicar como la existencia de este agujero negro puede deducirse de la luz observada de la otra estrella visible. La estrella visible sufrirá cambios de la frecuencia de la luz observada según se aleje de La Tierra o se acerque, debido al efecto Doppler. 63. Una cinta transportadora se mueve hacia la derecha con una velocidad v=300 m/min. Un fabricante de pasteles que trabaja muy rápidamente coloca pasteles en la cinta a un ritmo de 20 por minuto y son recibidos en el otro extremo por una persona que se come dichos pasteles. a) Si el fabricante de pasteles no se mueve de su posición, hallar la separación λ entre los pasteles y la frecuencia f con que serán recibidos por la persona que se los ha de comer y que está también en reposo. b) El primero anda ahora con una velocidad de 30 m/min hacia el receptor mientras que continúa colocando pasteles sobre la cinta a 20 por minuto. Hallar la separación de los pasteles y la frecuencia con la que serán recibidos ahora por la persona que se los ha de comer y que sigue estacionaria. c) Repetir los cálculos para un fabricante que está quieto en su posición mientras que la otra persona se mueve hacia él a 30 m/min. a) 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 b) En este caso la velocidad relativa de la cinta es menor, de 270 m/min. 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏 c) 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀
La velocidad de la cinta respecto al receptor es de 330 m/min 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 64. Eb el caso de la situación descrita en el problema 63, deducir las expresiones generales para la separación de los pasteles λ y la frecuencia f con que serán recibidos en función de la velocidad de la cinta v, la velocidad del fabricante up, la velocidad del receptor uR y la frecuencia fo del fabricante de pasteles. 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒑𝒑 𝒇𝒇𝒐𝒐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒖𝒖𝑹𝑹 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗+𝒖𝒖𝑹𝑹 𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒑𝒑 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 En los problemas 65 a 70 la fuente emite un sonido de 200 Hz que se mueve por el aire en reposo con una velocidad de 340 m/s. 65. La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia un oyente estacionario. a) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el que la escucha. b) Hallar la frecuencia oída por este último. a)𝝀𝝀 = 𝒗𝒗−𝒗𝒗𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝒗𝒗−𝒗𝒗𝒇𝒇 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 66. Considerar el caso del problema 65 a partir del sistema de referencia en que la fuente está en reposo. En este sistema el observador se mueve hacia la fuente con una velocidad de 80 m/s y existe un viento de velocidad 80 m/s que sopla del observador hacia la fuente. a) ¿Cuál es la velocidad del sonido desde la fuente al observador en este sistema? b) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador. c) Hallar la frecuencia percibida por el observador. a) La velocidad del sonido en el sistema de referencia se reduce por la velocidad del viento: 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 c) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗𝒔𝒔+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 67. La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s alejándose del observador estacionario. a) Hallar la longitud de onda de las ondas sonoras entre la fuente y el observador. b) Hallar la frecuencia oída por este último. a) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 68. El observador se mueve con velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia una fuente estacionaria. a) ¿Cuál es la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador? b) ¿Cuál es la frecuencia oída por el observador? a) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎
b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 69. Consideremos en caso del problema 68 en el sistema de referencia en que el observador está en reposo. a) ¿Cuál es la velocidad del viento en este sistema? b) ¿Cuál es la velocidad de del sonido de la fuente al observador en este sistema, es decir, relativa a este último? c) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador en este sistema. d) Hallar la frecuencia oída por el observador. a) El observador adjudicará su velocidad al viento en este sistema, por ello velocidad del viento 80 m/s, des de la fuente al observador. b) 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝒗𝒗 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎 d) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗𝒔𝒔 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 70. El observador se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo alejándose de una fuente estacionaria. Hallar la frecuencia oída por dicho observador. 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 71. Un reactor se mueve a un Mach de 2,5 a una altitud de 5000 m. a) ¿Cuál es el ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria del reactor? (Suponer que la velocidad del sonido a esta altura sigue siendo 340 m/s). b) ¿En dónde se encontrará el reactor cuando una persona en el suelo oiga la onda de choque? a) 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝒗𝒗 𝒖𝒖 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝟏𝟏 𝟐𝟐,𝟗𝟗 � = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔𝒐𝒐 b) 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝒉𝒉 𝒙𝒙 ; 𝒙𝒙 = 𝒉𝒉 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕,𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 72. Una persona corre a toda velocidad hacia un foco sonoro de frecuencia 1000 Hz. Estimar la frecuencia del sonido que percibe esta persona. Suponer que esta persona
es capaz de reconocer un cambio en la frecuencia del 3 %. ¿Puede utilizarse esta valoración de la frecuencia para estimar su propia velocidad? 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐∗� 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 −𝟏𝟏� 𝒇𝒇𝒐𝒐 = � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏� Si suponemos una velocidad de 10 m/s: 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗 % 𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐚𝐚𝐚𝐚 𝟑𝟑 % 73. Un dispositivo de radar emite microondas con una frecuencia de 2,00 GHz. Cuando las ondas se reflejan en un coche que se aleja frontalmente del emisor, se detecta una diferencia de frecuencia de 293 Hz. Determinar la velocidad del coche. La velocidad del coche en movimiento es u. La frecuencia recibida por el coche en movimiento es: 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 La frecuencia recibida por el detector será: 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 = � 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ � 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 − 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒖𝒖 = ∆𝒇𝒇∗𝒄𝒄 𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 74. Un destructor que se encuentra en reposo está equipado con un sonar que envía pulsos sonoros de 40 MHz. Los pulsos que se reciben han sido reflejados por un submarino que se encuentra directamente debajo con un retraso de tiempo de 80 ms y con una frecuencia de 39,958 MHz. Si la velocidad del sonido en el agua de mar es de 1,54 km/s, calcular a) La profundidad del submarino. b) Su velocidad vertical. a) Utilizando el tiempo que tardan las ondas en recorrer una distancia 2D, donde D es la distancia entre destructor y submarino: 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝑫𝑫 ∆𝒕𝒕 ; 𝑫𝑫 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒔𝒔 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟔𝟔 𝒎𝒎 La frecuencia recibida por el submarino: 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La frecuencia de vuelta al barco: 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 = � 𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 � ∗ � 𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 ± 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒖𝒖 = ∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗𝒔𝒔 𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = (𝟒𝟒𝟒𝟒−𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗)𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴∗𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 𝟐𝟐∗𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Como la frecuencia se reduce, el submarino se aleja del destructor, va hacia abajo. 75. Dos aviones, volando uno hacia el este y el otro hacia el oeste, están separados 15 km en peligro de colisión frontal cuando el piloto de uno de ellos, que vuela a 900 km/h, observa la presencia del otro en su radar Doppler. La unidad de radar emite ondas electromagnéticas de frecuencia 3 1010 Hz. La pantalla del radar indica que la
velocidad del otro avión es 750 km/h. Determinar la frecuencia de la señal recibida por el radar de este piloto. Utilizando la expresión de la variación de frecuencia de los problemas anteriores: ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 El valor de u será: 𝒖𝒖 = (𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕)𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒉𝒉 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗ (𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗+𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕)𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟗𝟗, 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝟐𝟐 − 𝒇𝒇𝒐𝒐 ; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = ∆𝒇𝒇 + 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟎𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯 76. Una unidad de radar de la policía transmite microondas de frecuencia 3 1010 Hz. La velocidad de estas ondas en el aire es 3,0 108 m/s. Supóngase que un coche se aleja de esta unidad de radar a una velocidad de 140 km/h. ¿Cuál es la diferencia de frecuencia entre la señal transmitida y la señal recibida por el coche? La frecuencia recibida por el coche: 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La recibida de nuevo por el radar: 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′ = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟕𝟕, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 77. Supóngase que el coche de la policía del problema 76 se mueve en la misma dirección que el otro vehículo a lo velocidad de 60 km/h. ¿Cuál es entonces la diferencia de frecuencia entre las señales emitida y reflejada? La frecuencia recibida por el coche: 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La recibida de nuevo por el radar: 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′ = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 78. En el tiempo t=0, un avión supersónico está directamente sobre un punto P volando hacia el oeste a una altura de 12 km y una velocidad Mach 1,6. ¿Dónde está el avión cuando se escucha el estampido sónico?
𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝜽𝜽 = 𝒉𝒉 𝒙𝒙 ;𝒙𝒙 = 𝒉𝒉 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝒗𝒗 𝒖𝒖 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟔𝟔 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕º 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕,𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 79. Un pequeño aparato de radio de masa 0,10 kg está unido a una pista de aire por un extremo a través de un muelle. La radio emite un sonido de 800 Hz. Un observador Enel otro extremo de la pista de aire escucha un sonido cuya frecuencia varía entre 797 y 803 Hz. a) Determinar la energía del sistema vibrante masa-muelle. b) Si la constante del muelle es de 200 N/m, ¿Cuál es la amplitud de vibración de la masa y cuál es el período del sistema oscilante? a) Sea 𝒖𝒖 = 𝒖𝒖𝒔𝒔 ± 𝒖𝒖𝒓𝒓 la velocidad relativa a la fuente y receptor. v la velocidad del sonido. ∆𝒇𝒇 = ± 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒖𝒖𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = ∆𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟑𝟑 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒖𝒖𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑱𝑱 b) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∶ 𝑨𝑨 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬 𝒌𝒌 = �𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ; 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒎𝒎 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 80. Un foco sonoro de frecuencia fo se mueve con velocidad us respecto al aire en reposo hacia un receptor que se mueve con velocidad ur respecto al aire en reposo alejándose del foco. a) Escribir una expresión para la frecuencia recibida f’. b) Utilizar la expresión aproximada (𝟏𝟏 − 𝒙𝒙)−𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 + 𝒙𝒙 para demostrar que sí tanto us como ur son pequeñas en comparación con v, la frecuencia recibida es aproximadamente 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔−𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 En donde urel es la velocidad relativa de la fuente y el receptor. a) 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏± 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏± 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
En nuestro caso, como el receptor se mueve hacia la fuente, disminuye frecuencia, signo negativo. En el caso de la fuente, se mueve hacia el receptor, aumenta la frecuencia, signo negativo. 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 b) 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � −𝟏𝟏 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 − 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 − − 𝒖𝒖𝒓𝒓∗𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗𝟐𝟐 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Si las velocidades del receptor y emisor son pequeñas respecto las velocidades de las ondas: 𝒇𝒇′ ≈ �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 − 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔−𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 81. Dos alumnos con diapasones vibrantes de 440 Hz, pasean alejándose uno del otro con la misma velocidad. ¿Con que rapidez deberán andar para que cada uno de ellos escuche una frecuencia de 438 Hz del otro diapasón? Al alejarse tendremos signo negativo arriba, disminución de frecuencia y positivo abajo, disminución de frecuencia. 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏± 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏± 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 (𝟏𝟏 + 𝒙𝒙)−𝟏𝟏 ≈ 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ � 𝟏𝟏 + 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 − 𝒖𝒖𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∗ 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 𝒖𝒖 = ∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗 𝒇𝒇𝒐𝒐∗𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 82. Un alumno de física anda a lo largo de un vestíbulo grande portando un diapasón que vibra a 512 Hz. El extremo del vestíbulo está cerrado, de forma que el sonido es refleja en él. El estudiante oye un sonido de 516 Hz procedente de la pared. ¿Con qué rapidez está andando? La señal reflejada por la pared tiene una frecuencia: 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗−𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 El receptor se aleja de la fuente: 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗−𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗−𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒗𝒗−𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′ = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
𝒖𝒖 = ∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 83. Un pequeño altavoz que emite un sonido de 1000 Hz está unido a uno de los extremos de una larga barra de 0,8 m que puede girar libremente por el otro extremo. La barra gira en el plano horizontal comuna velocidad angular de 4,0 rad/s. Deducir una expresión para la frecuencia percibida por un observador estacionario alejado del altavoz rotatorio. Como tenemos fuente móvil: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � −𝟏𝟏 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La velocidad tangencial del cuerpo emisor en rotación es: 𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝒓𝒓 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝟒, 𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒,𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝟒𝟒,𝟎𝟎∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒,𝟎𝟎∗𝒕𝒕) 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟗𝟗, 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝒕𝒕), 𝑺𝑺. 𝑰𝑰. 84. Una persona se encuentra a bordo del Queen Elizabeth II en medio del Atlántico rumbo al este a 45 km/h cuando el Concorde pasa directamente sobre su cabeza volando hacia el oeste con velocidad Match 1,6 a una altura de 12500 m. ¿Dónde está el Concorde respecto al QEII cuando el pasajero escucha el estampido sónico? Sea C la posición del Concorde y P la del barco: 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 𝜽𝜽 𝒅𝒅 = 𝒉𝒉 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒗𝒗 𝒖𝒖 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟔𝟔 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕º 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 85. Un globo arrastrado por un viento de 35 km/h emite un sonido de 800 Hz cuando se aproxima a un edificio. a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido percibido por un observador asomado a una ventana de este edificio? b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido reflejado que escucha un viajero del globo? a) Aplicando la fuente móvil:
𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝟑𝟑𝟑𝟑∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Aplicando receptor móvil: 𝒇𝒇𝒓𝒓 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝟑𝟑∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 86. Un coche se aproxima a una pared reflectora. Un observador inmóvil situado detrás del coche escucha un sonido de frecuencia 745 Hz procedente de la bocina del coche y un sonido de frecuencia 863 Hz procedente de la pared. a) ¿Cuál es la velocidad del coche? b) ¿Cuál es la frecuencia de la bocina? c) ¿Cuál es la frecuencia escuchada por el conductor del coche, procedente de la reflexión del sonido en la pared? a) Aplicando el caso de fuente móvil, alejándose del observador: 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La frecuencia procedente de la pared, recibida por la persona: 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 Despejando u: 𝒖𝒖 = 𝒗𝒗 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖−𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖+𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖−𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖+𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = �𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯 87. La conductora de un coche que viaja a 100 km/h hacia un acantilado vertical hace sonar brevemente la bocina. Exactamente un segundo después, ella escucha el eco y observa que su frecuencia es de 840 Hz. ¿A qué distancia del acantilado se encontraba el coche cuando la conductora hizo sonar la bocina y cuál es la frecuencia del sonido emitido? La frecuencia del sonido reflejado es: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La frecuencia captada por el coche es: 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏− 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗ 𝟏𝟏 𝟑𝟑.𝟔𝟔 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗ 𝟏𝟏 𝟑𝟑.𝟔𝟔 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯 Sea d la distancia que separa inicialmente el coche el acantilado, el sonido hace esta distancia d de ida, a la vuelta hace una distancia d-u*t. Por tanto: 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 − 𝒖𝒖 ∗ 𝒕𝒕 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕 ; 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 = (𝒗𝒗 + 𝒖𝒖) ∗ 𝒕𝒕 ; 𝒅𝒅 = 𝒗𝒗+𝒖𝒖 𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑.𝟔𝟔 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
88. Una persona en un vuelo transatlántico viaja hacia el oeste a 800 km/h. Un concorde que vuela con velocidad Match 1,6 se encuentra a 3 km al norte del primer avión y su rumbo es también este-oeste. ¿Cuál es la distancia entre los dos aviones cuando desde el vuelo transatlántico se oye el estampido sónico producido por el Concorde? 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 𝜽𝜽 𝒅𝒅 = 𝒉𝒉 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒗𝒗 𝒖𝒖 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟔𝟔 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕º 𝒅𝒅 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎 89. Los astrónomos pueden deducir la existencia de un sistema binario de estrellas, visualmente irresolubles, observando el desplazamiento Doppler alternativo de una línea espectral. Supongamos que una observación astronómica muestra que la fuente luminosa se eclipsa una vez cada 18 horas. La longitud de onda de la línea espectral observada cambia desde un máximo de 563 nm a un mínimo de 539 nm. Supongamos también que el sistema binario consta de un objeto oscuro muy masivo y una estrella relativamente luminosa que irradia la línea espectral observada. Utilizar los datos para determinar la separación entre los dos objetos (suponer que el ente luminoso se encuentra en una órbita circular alrededor del ente masivo) y la masa del objeto obscuro. (utilizar la aproximación ∆𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 � = 𝒗𝒗/𝒄𝒄) Utilizando efecto Doppler relativista, la longitud de onda mínima: 𝝀𝝀′ = 𝝀𝝀 ∗ � 𝟏𝟏−𝒗𝒗/𝒄𝒄 𝟏𝟏+𝒗𝒗/𝒄𝒄 Usando las aproximaciones: �𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝒄𝒄 � 𝟏𝟏/𝟐𝟐 ≈ 𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 ; �𝟏𝟏 + 𝒗𝒗 𝒄𝒄 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ≈ 𝟏𝟏 + 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 � 𝟏𝟏−𝒗𝒗/𝒄𝒄 𝟏𝟏+𝒗𝒗/𝒄𝒄 ≈ 𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝒄𝒄
𝝀𝝀′ = 𝝀𝝀 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝒄𝒄 � De los datos: 𝝀𝝀 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒏𝒏𝒏𝒏 ; 𝝀𝝀′ = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒗𝒗 = 𝒄𝒄 ∗ �𝟏𝟏 − 𝝀𝝀′ 𝝀𝝀 � = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 � = 𝟔𝟔, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Por tener mcu: 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ∗ 𝒓𝒓 ;𝒓𝒓 = 𝑻𝑻∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟔𝟔,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 Por otra parte: 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 ; 𝑴𝑴 = 𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒓𝒓 𝑮𝑮 = (𝟔𝟔,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌 90. Un estudiante de física deja caer un diapasón vibrante de 440 Hz por el hueco del ascensor de un edificio elevado. Cuando el estudiante oye una frecuencia de 400 Hz, ¿qué longitud ha recorrido en su caída el diapasón? 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐; 𝒖𝒖 = � 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇′ − 𝟏𝟏� ∗ 𝒗𝒗 = � 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 − 𝟏𝟏� ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 La longitud de caída para esta velocidad es de: 𝚫𝚫𝒚𝒚 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒈𝒈 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎 El tiempo en caída libre es: 𝒖𝒖 = 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝟏𝟏; 𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝒖𝒖 𝒈𝒈 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒔𝒔 Hemos de tener en cuenta el tiempo que tarda el sonido en subir estos 58,92 m. 𝒗𝒗 = 𝚫𝚫𝒚𝒚 𝒕𝒕𝟐𝟐 ; 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝒚𝒚 𝒗𝒗 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 El tiempo total de caída hasta que el sonido llega al estudiante es: 𝒕𝒕 = 𝒕𝒕𝟏𝟏 + 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔 La distancia total recorrida por el diapasón es: 𝚫𝚫𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟑𝟑 𝒎𝒎 Problemas generales 91. Cuando se pulsa una cuerda de guitarra, ¿la longitud de onda que produce en el aire es la misma que se produce en la cuerda? 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 Como f se mantiene y la velocidad cambia, la longitud de onda ha de cambiar. 92. Un pulso de onda se propaga a lo largo de una cuerda ligera que está sujeta a una cuerda más pesada, en donde la velocidad de la cuerda es menor. El pulso reflejado es __________________________ y el pulso transmitido es _________________. a) Invertido/invertido. b) Invertido/no invertido. c) No invertido/no invertido. d) No invertido/invertido. e) No existente/ no invertido. La respuesta correcta es la b al ser un extremo libre.
93. Verdadero o falso. a) Los pulsos de onda sobre la cuerda son ondas transversales. b) Las ondas sonoras en el aire son ondas transversales de compresión y rarefacción. c) La velocidad del sonido a 20º C es doble que a 5ºC. a) Verdadero. b) Falso, son longitudinales. c) Falso 94. El sonido se propaga a 340 m/s en el aire y a 1500 m/s en el agua. Un sonido de frecuencia 256 Hz se produce bajo el agua. En el aire la frecuencia será a) La misma, pero la longitud de onda más corta. b) Más elevada, pero la longitud de onda la misma. c) Más baja, pero la longitud de onda más larga. d) Más baja, pero la longitud de onda más corta. e) La misma, y la longitud de onda también será la misma. 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 La frecuencia se mantiene, la velocidad baja, la longitud de onda también ha de disminuir. Respuesta a. 95. El pulso de onda en la cuerda, para un tiempo t=0, indicado en la figura se mueve hacia la derecha. En este instante particular, ¿qué segmentos de la cuerda se están moviendo hacia arriba? ¿Cuáles se están moviendo hacia abajo? ¿Existe algún segmento de la cuerda que éste instantáneamente en reposo? Responder a estas cuestiones haciendo un esquema del pulso en un instante ligeramente posterior y ligeramente anterior
En t=0 el segmento entre 1 y 2 cm se mueve hacia abajo, entre 2 y 3 cm hacia arriba. En x= 2 cm está instantáneamente en reposo. 96. Hacer un esquema de la velocidad de cada segmento de la cuerda en función de la posición en el caso del pulso de la figura anterior. La velocidad es negativa entre1 y 2 cm. Positiva entre dos y 3c. Nula en 2cm. 97. Consideremos una línea larga de coches igualmente separados en la longitud de un coche y moviéndose con la misma velocidad. Uno de ellos repentinamente frena para evitar un perro y luego acelera hasta que de nuevo recupera la distancia de un coche detrás del anterior. Analizar como se propaga la separación entre los coches hacia atrás a lo largo de la línea. ¿En qué se parece a un pulso de onda? ¿Existe transporte de energía? ¿De qué depende la velocidad de propagación? Los coches de atrás frenan y luego aceleran, pues cada uno reacciona en función de la distancia que le separa con el coche que le precede. Esto origina un pulso de ondas longitudinal que se propaga hacia atrás a lo largo de la fila de coches. No se transporta energía. La velocidad de propagación es proporcional a la longitud del coche e inversamente proporcional al tiempo de reacción medio del conductor. 98. En el instante t=0, la forma de un pulso de onda sobre una cuerda viene dada por la función: 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 En donde x está en metros. a) Dibujar y(x,0) en función de x. Expresar la función de onda y(x,t) en un instante cualquiera si b) El pulso se está moviendo hacia la derecha (sentido positivo de las x) comuna velocidad de 10 m/s. c) Si se está moviendo hacia la izquierda (sentido negativo de las x) comuna velocidad del mismo valor. a)
b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+(𝒙𝒙−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 c) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+(𝒙𝒙+𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 99. Una onda de frecuencia 1200 Hz se propaga a lo largo de un alambre que está bajo una tensión de 800 N. La longitud de onda de la onda es de 24 cm. ¿Cuál será la longitud de onda si la tensión decrece a 600 N y la frecuencia se mantiene constante? 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 𝑣𝑣 = � 𝑇𝑇 𝜇𝜇 Si la tensión decrece la velocidad baja y la longitud de onda crece. 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟏𝟏 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝀𝝀𝟐𝟐 ; �𝑻𝑻𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟏𝟏 = �𝑻𝑻𝟐𝟐 𝝀𝝀𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀𝟐𝟐 = �𝑻𝑻𝟐𝟐 �𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝝀𝝀𝟏𝟏 = � 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝒄𝒄𝒄𝒄 100. En clase, una demostración común de pulsos de onda consiste en atar un tubo de goma por uno de sus extremos a un poste fijo, pasarlo por una polea y colgar un peso por su otro extremo. Supóngase que la distancia desde el soporte fijo a la polea es de 10 m. La masa de esta longitud de tubo es de 0,7 kg y el peso suspendido es de 110 N. Si se le da al tubo una sacudida transversal en un extremo, ¿Cuánto tiempo empleará el pulso resultante en alcanzar el otro extremo? 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟕𝟕/𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳 𝚫𝚫𝒕𝒕 ; 𝚫𝚫𝒕𝒕 = 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳 � 𝑻𝑻 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = � 𝒎𝒎∗𝑳𝑳 𝑻𝑻 = � 𝟎𝟎,𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔 101. Las siguientes funciones de onda representan ondas en movimiento: a) 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒌𝒌(𝒙𝒙− 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔 ∗𝒕𝒕) 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 y
c) 𝒚𝒚𝟑𝟑(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄 + ( 𝒌𝒌 ∗ �𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕� ) 𝟐𝟐 En donde x se expresa en metros, t en segundos y A, k, B y C son constantes que tienen las unidades apropiadas para que y resulte en metros. Determinar la dirección de propagación y la velocidad de la onda en cada caso. a) V=34 m/s , dirección de propagación izquierda ( x negativas). b) V= 20 m/s, dirección propagación derecha. c) V= 10 m/s, propagación derecha. 102. Un bote que se mueve a 10 m/s sobre un lago tranquilo forma una onda de proa con un ángulo de 20º con su dirección de movimiento. ¿Cuál es la velocidad de la onda de proa? Donde v es la velocidad de la onda y u la del bote. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 = 𝒗𝒗 𝒖𝒖 ;𝒗𝒗 = 𝒖𝒖 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 103. Si una longitud de onda es mucho mayor que el diámetro de un altavoz, éste irradia en todas direcciones como si fuera un foco puntual. En cambio, si la longitud de onda es mucho menor que el diámetro, el sonido de propaga aproximadamente en línea recta por delante del altavoz. Determinar la frecuencia de una onda sonora que tiene una longitud de onda a) 10 veces mayor que el diámetro de un altavoz de 30 cm. b) Un décimo del diámetro de un altavoz de 30 cm. c) Repetir el problema para un altavoz de 6 cm. a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑 𝒎𝒎 ; 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒄𝒄 ; 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒎𝒎;𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟔𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎;𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 104. Un silbato de 500 Hz de frecuencia se mueve en una circunferencia de 1 m de radio a 3 rev /s. ¿Cuáles son las frecuencias máxima y mínima oídas por un observador estacionario situado en el plano del círculo y 5 m alejado de su centro?
Para una fuente móvil: 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝒓𝒓 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎 ∗ 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒔𝒔 ∗ 𝟐𝟐 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 105. Las olas del mar se mueven hacia la playa con una velocidad de 8,9 m/s y con una separación entre crestas de 15,0 m. Nos encontramos en un pequeño bote anclado junto a la costa. a) ¿Cuál es la frecuencia de las olas del mar? b) Se leva el ancla y nos movemos hacia el mar con una velocidad de 15 m/s. ¿Qué frecuencia de olas se observarán entonces? a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟖𝟖,𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Para un receptor móvil: 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟖𝟖,𝟗𝟗 � ∗ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 106. Dos hilos conectados entre sí tienen unas densidades másicas lineales que se encuentran en la relación 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟑𝟑𝝁𝝁𝟐𝟐 y están sometidos a la misma tensión. Cuando los hilos oscilan con una frecuencia de 120 Hz, ondas de 10 cm de longitud de onda recorren el primer hilo con densidad lineal 𝝁𝝁𝟏𝟏. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda en el primer hilo? b) ¿Y en el segundo hilo? c) ¿Cuál es la longitud de onda en este último? a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁𝟏𝟏
𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁𝟐𝟐 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟑𝟑 = √𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = √𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 107. Un alambre de 12,0 m y masa 85 g se estira bajo una tensión de 180 N. En el extremo izquierdo del alambre se genera un pulso y 25 milisegundos más tarde se genera un segundo pulso en el extremo derecho del alambre. ¿Dónde se encontrarán los dos pulsos? 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Para el pulso que sale de la izquierda: 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕 Para el pulso que sale de la derecha: 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒍𝒍 − 𝒗𝒗 ∗ (𝒕𝒕 − 𝒕𝒕𝒐𝒐) El punto de encuentro: 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕 = 𝒍𝒍 − 𝒗𝒗 ∗ (𝒕𝒕 − 𝒕𝒕𝒐𝒐) 𝒕𝒕 = 𝒍𝒍 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 + 𝒕𝒕𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 ∗ � 𝒍𝒍 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 + 𝒕𝒕𝒐𝒐 𝟐𝟐 � = 𝒍𝒍 𝟐𝟐 + 𝒕𝒕𝒐𝒐∗𝒗𝒗 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 + 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟐𝟐 = 𝟖𝟖,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 108. Una onda armónica se propaga por una cuerda con una velocidad de 12,4 m/s. Una partícula sobre la cuerda experimenta un desplazamiento máximo de 4,5 cm y una velocidad máxima de 9,4 m/s. Determinar: a) La longitud de la onda. b) La frecuencia. c) Expresar mediante una ecuación la función de onda correspondiente. a) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ;𝒇𝒇 = 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟗𝟗.𝟒𝟒 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟒𝟒 𝟑𝟑𝟑𝟑.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) f=33,246 Hz c) Si la onda se mueve hacia la derecha: 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒎𝒎 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖/𝒔𝒔 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒕𝒕) 109. Determinar la velocidad de un coche, cuyo tono de bocina disminuye en un 10 %, según asegura una persona estacionaria en el instante en que el coche pasa junto a ella. Cuando el coche se aleja: 𝒇𝒇′ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Cuando el coche se acerca: 𝒇𝒇′ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇′ 𝟏𝟏 𝒇𝒇′ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ; 𝒇𝒇′ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇′ 𝟐𝟐 Por los datos del problema:
𝒇𝒇′ 𝟐𝟐−𝒇𝒇′ 𝟏𝟏 𝒇𝒇𝟐𝟐 ′ = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏− 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ;𝟎𝟎, 𝟗𝟗 = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ; 𝟎𝟎,𝟗𝟗 ∗ �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � = 𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ;𝟏𝟏, 𝟗𝟗 ∗ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗 𝟏𝟏,𝟗𝟗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔 110. Un altavoz con un diafragma de 20 cm de diámetro vibra con una frecuencia de 800 Hz y una amplitud de 0,025 mm. Suponiendo que las moléculas de aire de las proximidades poseen la misma amplitud de vibración, calcular a) La amplitud de presión justo enfrente del diafragma del altavoz. b) La intensidad del sonido. c) La potencia acústica que se está radiando. a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯)𝟐𝟐 ∗ �𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎� 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 𝑰𝑰 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑾𝑾 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝟎𝟎, 𝟏𝟏 𝒎𝒎)𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾 111. Una onda acústica plana y armónica que oscila en el aire con una amplitud de 10-6 m tiene una intensidad de 100 dB. ¿Cuál es la frecuencia de dicha onda? 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = � 𝟐𝟐∗𝑰𝑰 𝝆𝝆∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗(𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔)𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 112. Por un tubo de radio 5 cm fluye agua a la velocidad de 7 m/s. Una placa de área igual a la sección transversal del tubo se inserta súbitamente en éste para detener el flujo. Determinar la fuerza ejercida sobre la placa. Tomar el valor de 1,4 km/s para la velocidad del sonido en el agua. (Sugerencia: Cuando se inserta la placa, una onda de presión se propaga a través del agua a la velocidad del sonido, vs. La masa de agua detenida en el tiempo Δt es la contenida en una longitud del tubo igual a vsΔt). 𝑭𝑭 = ∆𝒑𝒑 ∆𝒕𝒕 = ∆𝒎𝒎∗𝒗𝒗𝒂𝒂 ∆𝒕𝒕 ∆𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ ∆𝒙𝒙 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ ∆𝒕𝒕 𝑭𝑭 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟕𝟕 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑵𝑵 113. Dos alambres de diferentes densidades másicas lineales se sueldan extremo a extremo y luego se someten a una tensión F (la misma en los dos alambres). La velocidad de la onda en el segundo alambre es triple que en el primero. Cuando una onda armónica que se mueve por el primer alambre se refleja en la unión de ellos, la onda reflejada tiene la tercera parte de amplitud que la onda transmitida. a) Si la amplitud de la onda incidente es A, ¿Cuáles son las amplitudes de la onda reflejada y transmitida?
b) Admitiendo que no hay pérdidas en el alambre, ¿qué fracción de la potencia incidente se refleja en la unión y qué fracción se transmite? c) Demostrar que el desplazamiento justo a la izquierda de la unión es igual al desplazamiento justo a la derecha de la misma. a) 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝑷𝑷𝒕𝒕 + 𝑷𝑷𝒓𝒓 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒊𝒊 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒓𝒓 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁𝟏𝟏 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏; 𝑨𝑨𝒓𝒓 = 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟑𝟑 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ¸ 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒊𝒊 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒓𝒓 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒊𝒊 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝒓𝒓 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 Usando las relaciones entre amplitudes y velocidades: 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 𝟗𝟗 � 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 𝟑𝟑∗𝒗𝒗𝟏𝟏 ; 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝟗𝟗 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑 � ; 𝑨𝑨𝒕𝒕 = 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒓𝒓 = 𝑨𝑨 𝟐𝟐 b) 𝑷𝑷𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒓𝒓 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏/𝟒𝟒 ∗ 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑷𝑷𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗 𝟒𝟒 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒕𝒕 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒 ∗ 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 c) 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝟏𝟏 En el segundo alambre: 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝟏𝟏 De donde los dos desplazamientos son iguales. 114. Una tropa bien entrenada mantiene el paso escuchando la banda de música que está situada a la cabeza de la columna. La música se lleva a un ritmo que corresponde a 100 pasos por minuto. Una cámara de televisión muestra que sólo la tropa que está a la cabeza de la columna y la que está en su parte posterior lleva realmente el paso. Los soldados de la sección intermedia se encuentran adelantando el pie izquierdo cuando los que componen los otros dos grupos mencionados están adelantando el pie derecho. La tropa está tan bien entrenada que, a pesar de esto, están seguros de que llevan el paso de acuerdo con la música. Explicar el origen del problema y calcular la longitud de la columna. El sonido tarda un tiempo en desplazarse desde la cabeza de la columna hasta el final. 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 ∗ ∆𝒕𝒕 ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 115. Asomado sobre los abismos del infierno, el demonio observa cómo se precipita (con velocidad límite) y le sobrepasa un alumno de ingeniería; la frecuencia del grito que da disminuye desde 842 a 820 Hz. a) Calcular la velocidad con que cae el alumno.
b) El grito del alumno se refleja en el fondo del pozo infernal. Determinar la frecuencia del eco escuchado por el alumno. c) Determinar la frecuencia del eco escuchado por el demonio. a) Al acercarse: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Al alejarse: 𝒇𝒇" = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Despejando us: 𝒖𝒖𝒔𝒔 = (𝒇𝒇′−𝒇𝒇")∗𝒗𝒗 𝒇𝒇′+𝒇𝒇" = (𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖−𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖)∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖+𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟒𝟒, 𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) La onda reflejada en el fondo té una frecuencia de 842 Hz. El alumno cae hacia el fondo comuna velocidad de 4,5 m/s. 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒,𝟓𝟓 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) El sonido reflejado tiene una frecuencia de 842 Hz, y esta es la que escuchará el ser demoniaco. 116. Un murciélago que vuela hacia un obstáculo a 12 m/s emite pulsos sonoros breves y de alta frecuencia con una frecuencia de repetición de 80 Hz. ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre los pulsos de eco oídos por el murciélago? 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗+𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 El tiempo entre pulsos: ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒔𝒔 (𝒗𝒗+𝒖𝒖𝒓𝒓)∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟏𝟏𝟏𝟏 (𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟏𝟏𝟏𝟏)∗𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 117. Un diapasón unido a un alambre tenso genera ondas transversas. La vibración del diapasón es perjudicial al alambre. Su frecuencia es de 400 Hz y su amplitud de oscilación es de 0,50 mm. El alambre tiene una densidad de masa lineal de 0,01 kg/m y está sometido a una tensión de 1 kN. Se supone que no hay ondas reflejadas. a) Hallar el periodo y frecuencia de las ondas en el alambre. b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas? c) ¿Cuál es la longitud de onda y el número de ondas? d) Escribir una función de onda adecuada para las ondas sobre el alambre. e) Calcular la velocidad y aceleración máximas de un punto del alambre. f) ¿A qué potencia media debe suministrarse energía al diapasón para mantenerlo oscilando con amplitud constante? a) La frecuencia de las ondas en el alambre será la misma que la del diapasón: 400 Hz. 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟕𝟕,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎−𝟏𝟏 d) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟕𝟕, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝒕𝒕)
e) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ �𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑� 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 f) 𝑷𝑷𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ �𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑� 𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 )𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑾𝑾 118. Un alambre muy largo puede hacerse vibrar hacia arriba y abajo con un motor mecánico con objeto de producir ondas que recorran el alambre. En el otro extremo lejano del alambre, las ondas se absorben de tal forma que no hay ninguna onda reflejada que vuelva hacia el motor. Se observa que la velocidad de la onda es 240 m/s, el máximo desplazamiento transversal del alambre es 1 cm y la distancia entre máximos es 3,0 m. a) Escribir una función de onda para representar la que se propaga por el alambre. b) ¿Cuál es la frecuencia de vibración del motor? c) ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones transversales del alambre? d) ¿Cuál es la máxima velocidad transversal que tendrá un pequeño insecto agarrado al alambre? a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ;𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟑𝟑 𝒎𝒎−𝟏𝟏 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇;𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 ; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕� b) f= 80 Hz c) 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 d) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 = 𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 119. Si una cadena cerrada se hace girar sobre su eje a velocidad alta, rodará como un aro sin caerse. Consideremos una cadena de densidad de masa lineal µ que está rodando sin deslizar con una velocidad elevada vo. a) Demostrar que la tensión de la cadena es F=µ𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐 . b) Si la cadena rueda sobre una pequeña protuberancia, se generará en ella un pulso de onda transversal. ¿A qué velocidad se moverá a lo largo de la cadena? c) ¿Hasta dónde se moverá una onda transversal a lo largo del aro (en grados) en el tiempo en que éste rueda girando una revolución completa? a) Aplicando la segunda ley de Newton al fragmento de cadena representado:
� 𝑭𝑭𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = ∆𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 = 𝑭𝑭𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 ∆𝒎𝒎 = 𝝁𝝁 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝜽𝜽 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 𝑭𝑭 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻ó𝒏𝒏: 𝑭𝑭𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝜽𝜽 𝟐𝟐 � Igualando: 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝜽𝜽 𝟐𝟐 � = 𝝁𝝁 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝜽𝜽 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝑭𝑭 = 𝝁𝝁 ∗ 𝜽𝜽 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝜽𝜽 𝟐𝟐 � Para ángulos pequeños: 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝜽𝜽 𝟐𝟐 � ≈ 𝜽𝜽 𝟐𝟐 𝑭𝑭 = 𝝁𝝁 ∗ 𝜽𝜽 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝜽𝜽 𝟐𝟐 = 𝝁𝝁 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 b) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 c) Un observador en reposo lo verá en el mismo punto siempre dado que su velocidad a lo largo de la cadena es la misma que la de la cadena. Respecto a un punto fijo de la cadena el pulso recorre 360º. 120. Una cuerda larga con una masa por unidad de longitud 0,1 kg/m está bajo tensión constante de 10 N. Un motor en el punto x=0 impone a este extremo de la cuerda un movimiento armónico a 5 oscilaciones por segundo y una amplitud de 4 cm. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? b) ¿Cuál es la longitud de onda? c) ¿Cuál es la cantidad de movimiento transversal máxima de un segmento de 1 mm de la cuerda? d) ¿Cuál es la fuerza máxima neta ejercida sobre 1 mm de la cuerda? a) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎 c) 𝒑𝒑𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝚫𝚫𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝝁𝝁 ∗ 𝚫𝚫𝒍𝒍 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝝁𝝁 ∗ 𝚫𝚫𝒍𝒍 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 𝒑𝒑𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎/𝒔𝒔 d) 𝑭𝑭𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = ∆𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑹𝑹 = 𝝁𝝁 ∗ 𝚫𝚫𝒍𝒍 ∗ (𝑨𝑨∗𝝎𝝎)𝟐𝟐 𝑨𝑨 = (𝝁𝝁 ∗ 𝚫𝚫𝒍𝒍 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇) ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 𝑭𝑭𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝒑𝒑𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑁𝑁 121. Una cuerda pesada de 3 m de largo está colgada del techo libremente. a) Demostrar que la velocidad de las ondas transversales de la cuerda es independiente de su masa y longitud, pero que depende de la distancia y el extremo inferior de acuerdo con la fórmula v=�𝒈𝒈𝒈𝒈. b) Si se le da al extremo inferior de la cuerda un desplazamiento lateral repentino, ¿Cuánto tardará el pulso de onda resultante en subir al techo y regresar al punto inferior de la cuerda? a) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁
𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝝁𝝁 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝒈𝒈 𝒗𝒗 = � 𝝁𝝁∗𝒚𝒚∗𝒈𝒈 𝝁𝝁 = �𝒚𝒚 ∗ 𝒈𝒈 b) La velocidad del pulso no es constante: 𝒗𝒗 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = �𝒚𝒚 ∗ 𝒈𝒈 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒚𝒚∗𝒈𝒈 = 𝟏𝟏 �𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒚𝒚 ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒕𝒕 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 �𝒈𝒈 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒚𝒚 ;𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 �𝒈𝒈 ∗ �𝟐𝟐 ∗ �𝒚𝒚� 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝒚𝒚 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 √𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐 ∗ √𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒊𝒊 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅:𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔 122. La densidad de masa lineal de un alambre no uniforme a tensión constante disminuye gradualmente a lo largo del alambre de modo que se transmite sin reflexión una onda incidente. El alambre es uniforme para -∞≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝟎𝟎. En esta región tiene la forma 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓) en donde x e y están en metros y t en segundos. Desde x=0 hasta x= 20 cm, la masa lineal disminuye gradualmente de µ1 a µ1/4, siendo constante e igual a este último valor para 𝟐𝟐𝟐𝟐 ≤ 𝒙𝒙 ≤ ∞. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda para valores grandes de x? b) ¿Cuál es la amplitud de la onda para valores grandes de x? c) Dar y(x,t) para 𝟐𝟐𝟐𝟐 ≤ 𝒙𝒙 ≤ ∞. a) 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌𝟏𝟏 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐 ∗ � 𝑭𝑭 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) Por conservación de energía: 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ ∆𝒍𝒍 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ ∆𝒍𝒍 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ; 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 c) 𝝎𝝎𝟏𝟏 = 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒌𝒌𝟐𝟐 = 𝝎𝝎 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒎𝒎−𝟏𝟏 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓) 123. En este problema hay que deducir una expresión para la energía potencial de un segmento de una cuerda por el que se propaga un tren de ondas (figura). La energía potencial de un segmento es igual al trabajo realizado por la tensión al estirar la cuerda, de valor ∆𝑼𝑼 = 𝑭𝑭(∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙), en donde F es la tensión, ∆𝒍𝒍la longitud del segmento estirado e ∆𝒙𝒙 su longitud original. En la figura puede verse que ∆𝒍𝒍 = �(∆𝒙𝒙)𝟐𝟐 + (∆𝒚𝒚)𝟐𝟐 = ∆𝒙𝒙 �𝟏𝟏 + � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐
a) Utilizar el desarrollo del binomio para demostrar que ∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙 y por tanto ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑭𝑭 � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙. b) Calcular 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 a partir de la función de onda expresada por la ecuación 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) y demostrar que ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑭𝑭 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝟐𝟐 (𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎)∆𝒙𝒙. c) Utilizar 𝑭𝑭 = 𝝁𝝁 𝒗𝒗𝟐𝟐 y 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 para demostrar que el resultado obtenido en (b) es el mismo que el de la ecuación ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝁𝝁 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 (𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎). a) ∆𝑼𝑼 = 𝑭𝑭 ∗ (∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙) Para ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 ≪ 𝟏𝟏: ∆𝒍𝒍 = ∆𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � ∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙 = ∆𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � − ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 Por tanto: ∆𝑼𝑼 = 𝑭𝑭 ∗ (∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙) = 𝑭𝑭 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ≈ ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ (𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐬𝐬(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕))𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 c) ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙

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    Movimiento ondulatorio. Tipler.Capítulo 15. Velocidad de ondas. 1. Una cuerda cuelga verticalmente del techo. Cuando las ondas se mueven de abajo hacia arriba por la cuerda, ¿lo hacen más rápidamente, más lentamente o a la misma velocidad que las ondas que se mueven de arriba hacia abajo? Razonar la respuesta. 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; 𝑻𝑻 = 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻ó𝒏𝒏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ,𝝁𝝁 = 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍. En una cuerda que cuelga la tensión aumenta hacia arriba, al aumentar el peso de cuerda que cuelga. Por ello las ondas que suben se mueven más rápidamente hacia arriba. 2. a) El módulo ce compresibilidad del agua es 2,0 109 N/m2 .Utilizar este valor para hallar la velocidad del sonido en el agua. b) La velocidad del sonido en mercurio es 1410 m/s. ¿Cuál es el módulo de compresibilidad del mercurio (ρ=13,6 103 kg/m3 ). a) 𝒗𝒗 = � 𝑩𝑩 𝝆𝝆 = �𝟐𝟐,𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐 3. Calcular la velocidad de las ondas del sonido en el gas hidrógeno a T=300 K. (Tomar M=2 g/mol y ϒ=1,4). 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 = � 𝟏𝟏,𝟒𝟒∗𝟖𝟖,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 4. Un hilo de acero de 7 m de largo tiene una masa de 100 g. Si está sometido a una tensión de 900 N, ¿Cuál es la velocidad de un pulso de onda transversal en este hilo? 𝝁𝝁 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 ; 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = � 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 5. Sobre un alambre de 80 cm de longitud que está bajo una tensión de 550 N viajan ondas transversales a 150 m/s. ¿Cuál es la masa del alambre? 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 ; 𝒎𝒎 = 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟎𝟎,𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 6. Un pulso de onda se propaga a lo largo de un alambre en el sentido positivo del eje de las x a 20 m/s. Cuál será la velocidad del pulso a) ¿Si duplicamos la longitud del alambre, pero mantenemos constante la tensión y la masa por unidad de longitud? b) ¿Si duplicamos la tensión mientras se mantienen constantes la longitud y la masa por unidad de longitud? c) ¿si duplicamos la masa por unidad de longitud mientras se mantienen constantes las demás variables? a) 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 . Per tanto v= 20 m/s. b) 𝒗𝒗 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) Duplicamos la densidad. 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 √𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔
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    7. Una cuerdade piano de acero tiene 0,7 m de longitud y una masa de 5 g. Se tensa mediante una fuerza de 500 N. a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales de la cuerda? b) Para reducir la velocidad de la onda en un factor 2 sin modificar la tensión, ¿qué masa de alambre de cobre habrá que enrollar alrededor del hilo de acero? a) 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = � 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟎𝟎,𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗′ = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎′ 𝒗𝒗 𝒗𝒗′ = � 𝒎𝒎′ 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎′ = 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 ∆𝒎𝒎 = 𝒎𝒎′ − 𝒎𝒎 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒎𝒎 − 𝒎𝒎 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒈𝒈 8. El cable de un telesquí de 80 kg de masa asciende 400 m por la ladera de una montaña. Cuando el cable recibe un golpe transversal en un extremo, el pulso de retorno se detecta 12 s después. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? b) ¿Cuál es la tensión del cable? a) 𝒗𝒗 = ∆𝒙𝒙 ∆𝒕𝒕 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 ; 𝑻𝑻 = 𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒎𝒎 𝑳𝑳 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑵𝑵 9. Una regla práctica común para calcular la distancia a la que cae un rayo es empezar a contar el tiempo cuando se observa el relámpago y detener el cronómetro cuando se oye el estampido del trueno. El número de segundo contados se divide entonces por 3 para obtener la distancia en kilómetros. ¿Cómo se justifica esto? ¿Cuál es la velocidad del sonido en kilómetros por segundo? ¿Cuánta exactitud tiene este procedimiento? ¿Tiene importancia la corrección que tiene en cuenta el tiempo empleado por la luz en llegar a nosotros? (La velocidad de la luz es aproximadamente 3 108 m/s). Para el sonido en el aire v=340 m/s. 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 En un tiempo t el sonido recorrerá: 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕 Si suponemos que la luz llega instantáneamente. El tiempo transcurrido dividido por 3 es: 𝒕𝒕 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝒕𝒕 Como se puede ver las dos expresiones son parecidas. La exactitud del procedimiento: ∆𝒔𝒔 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 % La corrección con el tiempo empleado por la luz: ∆𝒕𝒕𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ∆𝒕𝒕𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ~𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 Por tanto, la corrección es irrelevante. 10. Un método para medir la velocidad del sonido utilizando un reloj ordinario (con un segundero) consiste en permanecer a una cierta distancia de una pared plana grande y batir palmas rítmicamente de tal modo que el eco de la pared se oiga en el punto medio entre cada dos palmadas. Demostrar que la velocidad del sonido viene dada
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    por v=4LN, siendoL la distancia a la pared y N el número de palmadas por segundo. ¿Cuál es un valor razonable para L con objeto de que sea factible realizar este experimento? (Si se tiene acceso a una pared plana en algún sitio, ensáyese este método y comparece el resultado con el valor conocido). 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∆𝒕𝒕 Como el eco llega entre palmada y palmada: ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔 𝑵𝑵 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑵𝑵 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝑵𝑵 Si L=1 m; N= 85. Si L=2m; N=42,5. Si L=5 m; N=17. Nuestro oído sólo puede distinguir dos sonidos como diferentes si los oímos separados al menos una décima de segundo. En ese tiempo el sonido puede recorrer 34 metros en el aire. Si el obstáculo está situado a más de 17 m, cuando el sonido reflejado llegue a nuestro oído, lo entenderá como un sonido diferente a nuestra voz. 11. Una persona deja caer una piedra desde un puente elevado y oye cuando choca directamente debajo de él exactamente 4 s después. a) Estimar la distancia al agua suponiendo que el tiempo que emplea el sonido en alcanzar la persona es despreciable. b) Mejorar el valor estimado utilizando el resultado de la parte (a) correspondiente a esta distancia para estimar el tiempo que tarda el sonido en recorrerla. Entonces calcular la distancia de caída de la piedra en 4 s menos ese tiempo. c) Calcular la distancia exacta y compararla con los valores estimados previamente. a) Suponiendo caída libre: 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝟒𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝒎𝒎 b) Tiempo en recorrer 78,5 m por el sonido: 𝒕𝒕𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = ∆𝒚𝒚 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔 𝒅𝒅′ = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ (𝟒𝟒 − 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝒎𝒎 c) En los 4 s la piedra ha caído y el sonido ha recorrido la distancia desde el fondo hasta llegar al punto inicial. 𝒕𝒕𝑻𝑻 = 𝒕𝒕𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒕𝒕𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒕𝒕𝑻𝑻 = � 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 𝒈𝒈 + 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 𝒈𝒈 = 𝒕𝒕𝑻𝑻 − 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝒔𝒔 ; 𝟐𝟐∗𝒅𝒅 𝒈𝒈 = 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒔𝒔 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐∗𝒕𝒕𝑻𝑻 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒅𝒅 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝒔𝒔 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐 − � 𝟐𝟐∗𝒕𝒕𝑻𝑻 𝒗𝒗𝒔𝒔 +∗ 𝟐𝟐 𝒈𝒈 �𝒅𝒅 + 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝟖𝟖,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 La solución es: 𝒅𝒅 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝒎𝒎 Respecto al apartado (a): 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓−𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 % 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 en (a) Respecto al (b):
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    𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓−𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 =𝟏𝟏 % 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒆𝒆𝒆𝒆 (𝒃𝒃) 12. (a) Calcular la derivada de la velocidad de una onda en una cuerda con respecto a la tensión 𝒅𝒅𝒅𝒅/𝒅𝒅𝒅𝒅 y demostrar que las diferenciales dv y dF obedecen a la expresión 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝑭𝑭 𝑭𝑭 . (b) Una onda se mueve con una velocidad de 300 m/s sobre un alambre que está sometido a una tensión de 500 N. Utilizando dF para aproximar la variación de tensión, hallar en qué cantidad debe variarse la tensión para aumentar la velocidad a 312 m/s. a) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝑭𝑭∗𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ � 𝟏𝟏 𝑭𝑭∗𝑭𝑭 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑭𝑭 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑭𝑭 b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟎𝟎 𝑵𝑵 13. a) Calcular la derivada de la velocidad del sonido respecto a la temperatura absoluta y demostrar que las diferenciales dv y dT obedecen a la expresión 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 . b) Utilizar esta expresión para calcular la variación porcentual de la velocidad del sonido cuando la temperatura se modifica de 0 a 27º C. c) Si la velocidad del sonido es 331 m/s a 0º C, ¿Cuál es (aproximadamente) a 27º C? ¿Cómo es el resultado obtenido mediante esta aproximación comparado con el que se obtiene mediante un cálculo exacto? a) 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹 𝑻𝑻∗𝑴𝑴 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑻𝑻 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑻𝑻 b) ∆𝒗𝒗 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ ∆𝑻𝑻 𝑻𝑻 ; ∆𝒗𝒗 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗 % c) 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑲𝑲 = 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑲𝑲 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ ∆𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑲𝑲 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Usando el cálculo exacto: 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑴𝑴 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 14. En este problema se ha de obtener una fórmula práctica para determinar la velocidad del sonido en el aire a una temperatura t en grados Celsius. Se empezará para escribir la temperatura como T=To+ΔT, en donde To=273 K corresponde a 0º C y ΔT=t, la TEMPERATURA Celsius. La velocidad del sonido es una función de T, v(T). Con una aproximación de primer orden podemos escribir 𝒗𝒗(𝑻𝑻) = 𝒗𝒗(𝑻𝑻𝒐𝒐) + � 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 � 𝑻𝑻𝒐𝒐 ∆𝑻𝑻 Donde � 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 � 𝑻𝑻𝒐𝒐 es la derivada calculada para T=To. Calcular esta derivada y demostrar que su resultado lleva a
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    𝒗𝒗 = �𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ��𝟏𝟏+ 𝒕𝒕 𝟐𝟐𝑻𝑻𝒐𝒐 � = (𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒕𝒕)𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗 = � 𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑻𝑻 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝒕𝒕+𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∆𝒕𝒕 = 𝒕𝒕 ; ∆𝒗𝒗 = 𝒗𝒗(𝒕𝒕) − 𝒗𝒗𝟎𝟎 𝒗𝒗(𝒕𝒕) = �𝒗𝒗𝟎𝟎 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕∗𝒗𝒗 𝒕𝒕+𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 � ≈ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒕𝒕 15. Mientras estudia física en su dormitorio, una alumna escucha en la radio la trasmisión de un partido de baloncesto, que se juega en un campo a 1,6 km de distancia. En la radio, la alumna oye el ruido generado por el pulso electromagnético de un rayo. Dos segundos más tarde, oye también por la radio el trueno que ha sido recogido por el micrófono situado en el campo de baloncesto. Cuatro segundos después de haber escuchado el primer ruido indicado en la radio, el trueno hace temblar sus ventanas. Respecto al campo de baloncesto, ¿en dónde cayo el rayo? L lugar del relámpago; P campo de baloncesto y R dormitorio. Utilizando el teorema del coseno: 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝜽𝜽) = 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 −𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 −𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳∗𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 � 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 � = ±𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟒𝟒𝒐𝒐 16. Un muelle en espiral de tipo Slinky se deforma alargándose hasta una longitud L. Tiene una constante de fuerza k y una masa m. a) Demostrar que la velocidad de las ondas de compresión longitudinales a lo largo del muelle viene dada por 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳�𝒌𝒌/𝒎𝒎. b) Demostrar que este valor es también el de la velocidad de las ondas transversales a lo largo del muelle si la longitud natural del muelle es mucho menor que L.
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    a) 𝒗𝒗 =� 𝑩𝑩 𝝆𝝆 𝝆𝝆 = 𝒎𝒎 𝑽𝑽 ; 𝑩𝑩 = − 𝑷𝑷 ∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 Si a es el área de la sección transversal del muelle: 𝑽𝑽 = 𝑨𝑨 ∗ 𝑳𝑳 𝝆𝝆 = 𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 ; 𝑷𝑷 = −𝒌𝒌 ∗ ∆𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝑩𝑩 = 𝒌𝒌∗ ∆𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝑨𝑨∗∆𝑳𝑳 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝒗𝒗 = � 𝒌𝒌∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 = 𝑳𝑳 ∗ � 𝒌𝒌 𝒎𝒎 b) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 𝝁𝝁 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 𝑭𝑭 = 𝒌𝒌 ∗ ∆𝑳𝑳 = 𝒌𝒌 ∗ (𝑳𝑳 − 𝑳𝑳𝒐𝒐) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 ∗ �𝟏𝟏 − 𝑳𝑳𝒐𝒐 𝑳𝑳 � Si 𝑳𝑳𝒐𝒐 ≪ 𝑳𝑳: 𝑭𝑭 ≈ 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = � 𝒌𝒌∗𝑳𝑳 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = 𝑳𝑳 ∗ � 𝒌𝒌 𝒎𝒎 La ecuación de onda 17. Demostrar explícitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda: a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗𝒗𝒗)𝟑𝟑 . b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊𝒊𝒊(𝒙𝒙−𝒗𝒗𝒗𝒗) , 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑨𝑨 𝒚𝒚 𝒌𝒌 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒆𝒆 𝒊𝒊 = √−𝟏𝟏. c) 𝒚𝒚(𝒙𝒙.t)=𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒙𝒙 + 𝒗𝒗𝒗𝒗). a) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) Por tanto: 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 b) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = − 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 c) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒌𝒌 𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = − 𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐
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    𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝒗𝒗∗𝒌𝒌 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = − 𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐= − 𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 18. Demostrar que la función y=A senkx coswt satisface la ecuación de onda. 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝒗𝒗 = 𝒘𝒘 𝒌𝒌 ; 𝒘𝒘𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 19. Considerar la siguiente ecuación: 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝟎𝟎 ,𝒊𝒊 = √−𝟏𝟏 En donde α es una constante. Demostrar que 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝒘𝒘𝒘𝒘)no es una solución de esta ecuación, pero que las funciones 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) e 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) sí la satisfacen. 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝒘𝒘𝒘𝒘) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝒘𝒘 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) Por tanto, no se cumple la igualdad dada. 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝜶𝜶 = − 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒊𝒊 ∗ −𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 ∗ �−𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎)� = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌−𝝎𝝎𝝎𝝎) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎)
  • 8.
    𝑺𝑺𝑺𝑺 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 𝜶𝜶= 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝒊𝒊 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 ∗ �𝑨𝑨 ∗ 𝒊𝒊 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎)� = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆𝒊𝒊(𝒌𝒌𝒌𝒌+𝝎𝝎𝝎𝝎) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 Ondas armónicas sobre una cuerda 20. Un tren de ondas atraviesa un punto de observación. En este punto, el tiempo entre crestas sucesivas es 0,2 s. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) La longitud de onda es 5 m. b) La frecuencia es 5 Hz. c) La velocidad de propagación es 5 m/s. d) La longitud de onda es 0,2 m. e) No hay suficiente información para justificar las afirmaciones anteriores. T=0,2 s ; f=1/T=5 Hz . Respuesta b. 21. Verdadero o falso: La energía de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. Correcto ∆𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 22. Una cuerda cuelga verticalmente. Se sacude el extremo libre de atrás hacia adelante, engendrando un tren de ondas sinusoidales. La longitud de onda en la parte superior, ¿es igual, menor o mayor que en el extremo inferior? 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 ; 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 Debido al peso de la cuerda la tensión es superior en la parte superior, por ello la velocidad también. La longitud de onda también será mayor en la parte superior. 23. Uno de los extremos de una cuerda de 6 m de largo se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple de frecuencia 60 Hz. Las ondas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5 s. Hallar la longitud de onda de las ondas en la cuerda. 𝒗𝒗 = ∆𝒙𝒙 ∆𝒕𝒕 = 𝟔𝟔 𝟎𝟎,𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ;𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 𝒎𝒎 24. La ecuación 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) expresa el desplazamiento de una onda armónica como una función de x y t y de los parámetros de onda k y ω. Escribir expresiones equivalentes que en lugar de k y ω contengan los siguientes pares de parámetros: a) k y v. b) λ y f. c) λ y T. d) λ y v. e) f y v. a) 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ; 𝝎𝝎 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ (𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)) b) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇
  • 9.
    𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) =𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒙𝒙 𝝀𝝀 − 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕�� c) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒙𝒙 𝝀𝝀 − 𝒕𝒕 𝑻𝑻 �� d) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ; 𝝎𝝎 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒗𝒗 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ (𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)� e) 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ;𝒌𝒌 = 𝝎𝝎 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒇𝒇 𝒗𝒗 ; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒇𝒇 𝒗𝒗 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ 𝒕𝒕� = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ∗ � 𝒙𝒙 𝒗𝒗 − 𝒕𝒕�� 25. La ecuación 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 𝑻𝑻 = 𝒇𝒇𝒇𝒇 se aplica a todos los tipos de ondas periódicas, incluidas las electromagnéticas, como la luz y las microondas, que tienen una velocidad de 3 108 m/s en el vacío. a) El intervalo de longitudes de onda de la luz para las que el ojo es sensible abarca desde 4 10-7 a 7 10-7 m. ¿Cuáles son las frecuencias que corresponden a estas longitudes de onda? b) Hallar la frecuencia de una microonda que tiene una longitud de onda de 3 cm. a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 ; 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 ; 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟕𝟕,𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 26. Una onda armónica sobre una cuerda con una masa de 0,05 kg/m y una tensión de 80 N tiene una amplitud de 5 cm. Cada sección de la cuerda se mueve con movimiento armónico simple a una frecuencia de 10 Hz. Hallar la potencia propagada a lo largo de la cuerda. 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ � 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑾𝑾 27. Una cuerda de 2 m de largo tiene una masa de 0,1 kg. La tensión es de 60 N. Una fuente de potencia en uno de sus extremos envía una onda armónica con una amplitud de 1 cm por la cuerda. La onda se extrae por el otro extremo sin ninguna reflexión. ¿Cuál es la frecuencia de la fuente de potencia si la potencia transmitida es de 100 W? 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝒇𝒇 = � 𝟐𝟐∗𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝝁𝝁∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝑨𝑨𝟐𝟐∗� 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝑨𝑨 ∗ � 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎∗√𝝁𝝁 𝝁𝝁∗𝟐𝟐∗√𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝑨𝑨 ∗ � 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐∗�𝝁𝝁∗𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐∗� 𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 28. La función de onda para una onda armónica en una cuerda es
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    𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = (𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 𝒎𝒎−𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒕𝒕). a) ¿En qué sentido se desplaza esta onda y cuál es su velocidad? b) Hallar la longitud de onda, la frecuencia y periodo de la misma. c) ¿Cuál es el máximo desplazamiento de un segmento cualquiera de la cuerda? a) Dado que tenemos kx+𝝎𝝎t la onda viaja en el sentido de x negativo, si fuera kx-𝝎𝝎t viajaría en el sentido de x positivo. 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 = 𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟖𝟖 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 ;𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) A=0,001 m 29. Una onda armónica con una frecuencia de 80 Hz y una amplitud 0,025 m se propaga hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s. a) Escribir una expresión que sea adecuada para la función de onda de la misma. b) Determinar la velocidad máxima de un punto sobre la cuerda. c) Determinar la aceleración máxima de un punto sobre la cuerda. a) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ; 𝒌𝒌 = 𝝎𝝎 𝒗𝒗 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟗𝟗 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔 𝒚𝒚 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟗𝟗 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 30. A lo largo de una cuerda que tiene 20 m de largo, una masa de 0,06 kg y una tensión de 50 N se mueven ondas de frecuencia 200 Hz y amplitud 1 cm. a) ¿Cuál es la energía total de las ondas en la cuerda? b) Hallar la potencia transmitida que pasa por un punto determinado de la cuerda. a) 𝑬𝑬𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑱𝑱 b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ � 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟔𝟔 𝑾𝑾 31. En una cuerda real, una onda pierde cierta energía cuando se propaga a lo largo de una cuerda. Tal situación puede describirse por una función de onda cuya amplitud A(x) depende de x: 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨(𝒙𝒙)𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) = �𝑨𝑨𝒐𝒐𝒆𝒆−𝒃𝒃𝒃𝒃�𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) a) ¿Cuál es la potencia original transportada por la onda en el origen? b) ¿Cuál es la potencia transportada por la onda en el punto x? a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝟎𝟎) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨(𝟎𝟎)𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨(𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒆𝒆−𝟐𝟐∗𝒃𝒃∗𝒙𝒙 32. Se ha transmitido una determinada potencia a lo largo de un alambre tenso mediante ondas armónicas transversales. La velocidad de la onda es de 10 m/s y la densidad másica lineal del alambre es 0,01 kg/m. La fuente de potencia oscila con una amplitud de 0,50 mm. a) ¿Qué potencia media se transmite a lo largo del alambre si la frecuencia es de 400 Hz?
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    b) La potenciatransmitida puede aumentarse aumentando la tensión en el alambre, la frecuencia de la fuente o la amplitud de las ondas. Si sólo se varía una de estas magnitudes, ¿cómo habría de modificarse cada una de ellas con objeto de producir un aumento de potencia en un factor de 100? c) ¿Cuál de las variaciones indicadas se podría realizar probablemente con mayor facilidad? a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑾𝑾 b) Si la frecuencia se hace 10*fo, la potencia se hará 100 veces mayor. Si la tensión se aumenta 10000 veces, como 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; la potencia aumenta en un factor 100. Si la amplitud aumenta en un factor de 10, la potencia lo hará en un factor de 100. c) Posiblemente lo más sencillo fuera aumentar f o A. Ondas sonoras armónicas 33. Una onda sonora en aire produce una variación de presión dada por 𝒑𝒑(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝅𝝅/𝟐𝟐 (𝒙𝒙 − 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑) En donde p está en pascales, x en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es la amplitud de la presión? b) La longitud de onda. c) La frecuencia. d) La velocidad de la onda sonora. a) Po=0,75 Pa. b) 𝒌𝒌 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒎𝒎 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝅𝝅/𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 𝒎𝒎 c) 𝝎𝝎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒔𝒔;𝒇𝒇 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 d) 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝝅𝝅 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 34. a) La nota Do central de la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? b) La frecuencia de la nota Do una octava por encima del Do central es el doble que la de este último. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 ; 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 35. a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 100 Hz y amplitud de la presión 10-4 atm? b) La amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 300 Hz 10-7 m. ¿Cuál es la amplitud de presión de esta onda? a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟑𝟑, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔−𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝒎𝒎 = 𝟖𝟖, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷
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    36. a) Hallarla amplitud de desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 500 Hz cuando la amplitud de presión correspondiente al umbral de dolor es de 20 Pa. b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda sonora con la misma amplitud de presión, pero con una frecuencia de 1 kHz. a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎 37. Una onda de un sonido intenso típico con una frecuencia de 1 kHz tiene una amplitud de presión de 10-4 atm aproximadamente. a) Cuando t=0 la presión es máxima en un cierto punto x1. ¿Cuál es el desplazamiento en dicho punto para t=0? b) ¿Cuál es el valor máximo del desplazamiento en un instante y posición cualquiera? (Considerar que la densidad del aire es 1,29 kg/m3 ). a) Si la presión es máxima el desplazamiento es 0. b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝒎𝒎 38. a) Hallar la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 500 Hz si la amplitud de presión corresponde al umbral de audición que es 2,9 10-5 Pa. b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda de la misma amplitud de presión, pero de frecuencia 1 kHz. a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐; 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔−𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 Ondas en tres dimensiones: Intensidad 39. Un pistón situado en un extremo de un tubo largo lleno de aire a la temperatura ambiente y a la presión normal, oscila con una frecuencia de 500 Hz y una amplitud de 0,1 mm. El área del pistón es 100 cm2 . a) ¿Cuál es la amplitud de presión de las ondas sonoras generadas en el tubo? b) ¿Cuál es la intensidad de las ondas? c) ¿Qué potencia media se necesita para mantener oscilando el pistón (despreciando el rozamiento)? a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 b) 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒑𝒑𝒐𝒐 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝒎𝒎 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑾𝑾 40. Un foco esférico radia el sonido uniformemente en todas direcciones. A una distancia de 10 m, el nivel de intensidad del sonido es de 10-4 W/m2 . a) ¿A qué distancia del foco el nivel de intensidad es de 10-6 W/m2 ? b) ¿Qué potencia está radiando dicho foco? a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐
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    𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟐𝟐∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 ;𝒓𝒓𝟐𝟐 = � 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑰𝑰∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = � 𝑰𝑰𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝒓𝒓𝟐𝟐 = �𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾 41. Un altavoz en un concierto de rock genera 10-2 W/m2 a 20 m a una frecuencia de 1 kHz. Suponiendo que el altavoz extiende su energía uniformemente en tres dimensiones, a) ¿Cuál es la potencia total acústica emitida por el altavoz? b) ¿A qué distancia la intensidad del sonido se encontrará en el umbral del dolor de 1 W/m2 ? c) ¿Cuál es la intensidad a 30 m? a) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝑾𝑾 b) 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ;𝒓𝒓 = � 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑰𝑰∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = � 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 c) 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 42. Cuando se lanza un alfiler de 0,1 g de masa desde una altura de 1 m, el 0,05 por ciento de su energía se convierte en pulso sonoro de duración 0,1 s. a) Estimar el intervalo en el que puede oírse la caída del alfiler si la intensidad mínima que puede llegar a oírse es de 10-11 W/m2 . b) En la práctica, el resultado obtenido en (a) es mucho mayor debido al ruido de fondo. Si en lugar de la suposición anterior se considera que para llegar a oírse el ruido el nivel de intensidad debe ser de al menos 10-8 W/m2 , estimar el intervalo Enel que puede llegar a oírse la caída del alfiler. (Suponer en ambos casos que la intensidad es de P/4πr2 ). a) 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝑱𝑱 𝑷𝑷 = 𝑬𝑬 ∆𝒕𝒕 = 𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑾𝑾 𝒓𝒓 = � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑰𝑰 = �𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝒓𝒓 = � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑰𝑰 = �𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 = 𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 Nivel de intensidad acústica (o sonoridad) 43. Verdadero o falso: Un sonido de 60 dB tiene una intensidad doble a la de un sonido de 30 dB. 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 Para 60 dB: 𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 Para 30 dB: 𝑰𝑰𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝑰𝑰𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝑰𝑰𝟑𝟑𝟑𝟑
  • 14.
    Falso. 44. ¿Cuál esel nivel de intensidad en decibelios correspondiente a una onda sonora a) De intensidad 10-10 W/m2 . b) De intensidad 10-2 W/m2 . a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ;𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 45. Hallar la intensidad de una onda sonora si a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅. b) 𝜷𝜷 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. c) Hallar la amplitud de presión correspondiente a ondas sonoras en el aire en condiciones normales para cada una de estas intensidades. a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒈𝒈 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒑𝒑𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝝆𝝆∗𝒗𝒗 Para I= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾 𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒑𝒑𝒐𝒐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑰𝑰 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟗𝟗, 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝑷𝑷𝑷𝑷 Para I=𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑾𝑾 𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒑𝒑𝒐𝒐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑰𝑰 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝑷𝑷𝑷𝑷 46. El nivel acústico del ladrido de un perro es 50 dB. La intensidad de un concierto de rock es 10 000 veces superior a la del ladrido de un perro. ¿Cuál es el nivel acústico del concierto de rock? 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 : 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒓𝒓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 47. Dos sonidos difieren en 30 dB. La intensidad del sonido más fuerte es IF y la del más débil ID. El valor de la relación IF/ID es a) 1000. b) 30. c) 9. d) 100. e) 300. ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑭𝑭 𝑰𝑰𝒐𝒐 − 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑫𝑫 𝑰𝑰𝒐𝒐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑭𝑭 𝑰𝑰𝑫𝑫 𝟑𝟑 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝑭𝑭 𝑰𝑰𝑫𝑫 ; 𝑰𝑰𝑭𝑭 𝑰𝑰𝑫𝑫 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 Respuesta a. 48. Demostrar que, si se duplica la intensidad, el nivel de intensidad aumenta en 3,0 dB. ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒅𝒅
  • 15.
    49. ¿Qué fracciónde la potencia acústica de un ruido deberá eliminarse Para disminuir su nivel de intensidad sonora de 90 a 70 dB? ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ;𝟐𝟐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑰𝑰𝟏𝟏−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ;𝟗𝟗𝟗𝟗 % 50. La sonoridad de una conversación normal entre personas a 1 m de distancia es de 65 dB. Estimar la potencia con la que hablamos los seres humanos. 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑾𝑾 51. Una fuente esférica irradia un sonido uniformemente en todas las direcciones. A una distancia de 10 m el nivel acústico es de 80 dB. a) ¿A qué distancia de la fuente el nivel acústico es de 60 dB? b) ¿Cuál es la potencia irradiada por la fuente? a) 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 ∗ � 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟏𝟏−𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾 52. Una fuente esférica de intensidad Io irradia un sonido uniformemente en todas las direcciones. Su nivel acústico es β1 a una distancia r1 y β2 a una distancia r2. Determinar β2/ β1. 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟐𝟐−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�𝑰𝑰𝟏𝟏∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐�−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏+𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 �−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 +𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 � 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 +𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 � 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝜷𝜷𝟏𝟏+𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 � 𝜷𝜷𝟏𝟏 53. Un altavoz genera en un concierto de rock 10-2 W/m2 a 20 m a una frecuencia de 1 kHz. Suponiendo que la energía del cantante se extienda uniformemente en todas las direcciones. a) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 20 m? b) ¿Cuál es la potencia acústica total generada por el cantante?
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    c) ¿A quédistancia alcanzará la intensidad el umbral de dolor de 120 dB? d) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 30 m? a) 𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝑾𝑾 c) 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐� 𝑰𝑰𝒐𝒐 � ;𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐� 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 : 𝒓𝒓 = � 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝒓𝒓 = � 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎 54. Un artículo sobre contaminación acústica señala que el nivel de intensidad sonora en grandes ciudades ha estado aumentando en 1 dB anualmente. a) ¿A qué aumento porcentual de intensidad corresponde esto? ¿Parece razonable este incremento? b) ¿Aproximadamente en cuántos años se duplicará la intensidad de sonido si se incremente 1 dB anualmente? a) ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 ;𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝑰𝑰𝟏𝟏−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ;𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔 % b) 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∆𝜷𝜷 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒂𝒂ñ𝒐𝒐. 55. Tres fuentes sonoras producen unos niveles de intensidad de 70,73 y 80 dB cuando actúan separadamente. Cuando actúan juntas las intensidades se suman. a) Hallar el nivel de intensidad sonora en decibelios cuando las tres fuentes actúan simultáneamente. b) Estudiar la utilidad de eliminar las dos fuentes menos intensas con objeto de reducir el nivel de ruido. a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏+𝑰𝑰𝟐𝟐+𝑰𝑰𝟑𝟑 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� � 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 � + � 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒐𝒐 � + � 𝑰𝑰𝟑𝟑 𝑰𝑰𝒐𝒐 ��� 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕,𝟑𝟑 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟑𝟑 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍� 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕,𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖��𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 b) Si eliminamos las dos menos intensas: 𝜷𝜷 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅; la reducción no es significativa. 56. La ecuación 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷𝒎𝒎 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 se cumple cuando el medio transmisor no absorbe energía. Sabemos que la absorción del sonido por aire seco da lugar a una disminución de intensidad del orden de 8 dB/km. La intensidad del sonido a una distancia de 120 m de un motor de reacción es 130 dB. Determinar la intensidad a 2,4 km del motor de reacción a) Suponiendo que no hay absorción del sonido por el aire. b) Suponiendo una disminución de 8 dB/km. (Suponer que el sonido irradia por igual en todas direcciones).
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    a) 𝜷𝜷 =𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑾𝑾 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) Suponemos que a 120 m el nivel de intensidad es de 120 dB, Si no hay pérdida de energía el nivel de decibelios a 2,4 km será: 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟐𝟐,𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒅𝒅𝒅𝒅 Si aplicamos la pérdida de dB del enunciado: 𝟐𝟐,𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝟖𝟖 𝒅𝒅𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 Nivel de intensidad después de la pérdida: 𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟕𝟕,𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟓𝟓 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 57. Todas las personas que han acudido a un cocktail se encuentran hablando igual de ruidosamente. Si sólo estuviese hablando una persona, el nivel de sonido sería de 72 dB. Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personas hablan a la vez. 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 Para las 38 personas: 𝑰𝑰 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟖𝟖 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 58. Cuando un violinista mueve su arco sobre una cuerda, la fuerza que ejerce es pequeña, del orden de 0,6 N. Supongamos que el arco se mueve a través de la cuerda “la”, que vibre con una frecuencia de 440 Hz a 0,5 m/s. Un oyente a 35 m del músico oye un sonido de intensidad 60 dB. ¿Cuál es el rendimiento de la transformación de la energía mecánica de la pulsación en energía sonora? (Suponer que el sonido irradia uniformemente en todas las direcciones). 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝑭𝑭 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎,𝟓𝟓 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝑾𝑾 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝑾𝑾 𝜼𝜼 = 𝑷𝑷𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟑𝟑 % 59. El nivel de ruido en un aula vacía donde se va a realizar un examen es de 40 dB. Cuando 100 alumnos se encuentran escribiendo su examen, los sonidos de las respiraciones y de las plumas escribiendo sobre el papel elevan el nivel de ruido a 60 dB. (No tener en cuenta los carraspeos ocasionales). Suponiendo que la contribución de cada alumno a la potencia de ruido es la misma, calcular el nivel de ruido cuando sólo quedan 50 alumnos en el aula. ∆𝜷𝜷 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 𝚫𝚫𝜷𝜷𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝑰𝑰𝒐𝒐 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝜷𝜷𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
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    Efecto Doppler 60. Sila fuente y el receptor están en reposo relativo uno respecto al otro, pero el medio propagador de la onda se mueve respecto a ambos, ¿existirá el desplazamiento Doppler en la frecuencia? Alno haber movimiento relativo entre la fuente y el receptor no existirá efecto Doppler. 61. La frecuencia de la bocina de un coche es fo. ¿Qué frecuencia se observa si tanto el coche como el observador están en reposo, pero un viento sopla hacia el observador? a) fo. b) mayor que fo. c) menor que fo. d) Puede ser mayor o menor que fo. e) Puede ser fo o mayor que fo según los valores relativos de la velocidad del viento y la velocidad del sonido. Al no haber movimiento relativo fuente y observador no se observa efecto Doppler. Respuesta a. 62. Frecuentemente se observan pares de estrellas que giran alrededor de su centro de masas común. Si una de las estrellas es un agujero negro, es invisible. Explicar como la existencia de este agujero negro puede deducirse de la luz observada de la otra estrella visible. La estrella visible sufrirá cambios de la frecuencia de la luz observada según se aleje de La Tierra o se acerque, debido al efecto Doppler. 63. Una cinta transportadora se mueve hacia la derecha con una velocidad v=300 m/min. Un fabricante de pasteles que trabaja muy rápidamente coloca pasteles en la cinta a un ritmo de 20 por minuto y son recibidos en el otro extremo por una persona que se come dichos pasteles. a) Si el fabricante de pasteles no se mueve de su posición, hallar la separación λ entre los pasteles y la frecuencia f con que serán recibidos por la persona que se los ha de comer y que está también en reposo. b) El primero anda ahora con una velocidad de 30 m/min hacia el receptor mientras que continúa colocando pasteles sobre la cinta a 20 por minuto. Hallar la separación de los pasteles y la frecuencia con la que serán recibidos ahora por la persona que se los ha de comer y que sigue estacionaria. c) Repetir los cálculos para un fabricante que está quieto en su posición mientras que la otra persona se mueve hacia él a 30 m/min. a) 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 b) En este caso la velocidad relativa de la cinta es menor, de 270 m/min. 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏 c) 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝝀𝝀
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    La velocidad dela cinta respecto al receptor es de 330 m/min 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 64. Eb el caso de la situación descrita en el problema 63, deducir las expresiones generales para la separación de los pasteles λ y la frecuencia f con que serán recibidos en función de la velocidad de la cinta v, la velocidad del fabricante up, la velocidad del receptor uR y la frecuencia fo del fabricante de pasteles. 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒑𝒑 𝒇𝒇𝒐𝒐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒖𝒖𝑹𝑹 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗+𝒖𝒖𝑹𝑹 𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒑𝒑 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 En los problemas 65 a 70 la fuente emite un sonido de 200 Hz que se mueve por el aire en reposo con una velocidad de 340 m/s. 65. La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia un oyente estacionario. a) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el que la escucha. b) Hallar la frecuencia oída por este último. a)𝝀𝝀 = 𝒗𝒗−𝒗𝒗𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝒗𝒗−𝒗𝒗𝒇𝒇 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 66. Considerar el caso del problema 65 a partir del sistema de referencia en que la fuente está en reposo. En este sistema el observador se mueve hacia la fuente con una velocidad de 80 m/s y existe un viento de velocidad 80 m/s que sopla del observador hacia la fuente. a) ¿Cuál es la velocidad del sonido desde la fuente al observador en este sistema? b) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador. c) Hallar la frecuencia percibida por el observador. a) La velocidad del sonido en el sistema de referencia se reduce por la velocidad del viento: 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 c) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗𝒔𝒔+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 67. La fuente se mueve con una velocidad de 80 m/s alejándose del observador estacionario. a) Hallar la longitud de onda de las ondas sonoras entre la fuente y el observador. b) Hallar la frecuencia oída por este último. a) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 68. El observador se mueve con velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo hacia una fuente estacionaria. a) ¿Cuál es la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador? b) ¿Cuál es la frecuencia oída por el observador? a) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎
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    b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒗𝒗 ∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 69. Consideremos en caso del problema 68 en el sistema de referencia en que el observador está en reposo. a) ¿Cuál es la velocidad del viento en este sistema? b) ¿Cuál es la velocidad de del sonido de la fuente al observador en este sistema, es decir, relativa a este último? c) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador en este sistema. d) Hallar la frecuencia oída por el observador. a) El observador adjudicará su velocidad al viento en este sistema, por ello velocidad del viento 80 m/s, des de la fuente al observador. b) 𝒗𝒗𝒔𝒔 = 𝒗𝒗 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎 d) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗𝒔𝒔 𝝀𝝀 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 70. El observador se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo alejándose de una fuente estacionaria. Hallar la frecuencia oída por dicho observador. 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 71. Un reactor se mueve a un Mach de 2,5 a una altitud de 5000 m. a) ¿Cuál es el ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria del reactor? (Suponer que la velocidad del sonido a esta altura sigue siendo 340 m/s). b) ¿En dónde se encontrará el reactor cuando una persona en el suelo oiga la onda de choque? a) 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝒗𝒗 𝒖𝒖 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝟏𝟏 𝟐𝟐,𝟗𝟗 � = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟔𝟔𝒐𝒐 b) 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝒉𝒉 𝒙𝒙 ; 𝒙𝒙 = 𝒉𝒉 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕,𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 72. Una persona corre a toda velocidad hacia un foco sonoro de frecuencia 1000 Hz. Estimar la frecuencia del sonido que percibe esta persona. Suponer que esta persona
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    es capaz dereconocer un cambio en la frecuencia del 3 %. ¿Puede utilizarse esta valoración de la frecuencia para estimar su propia velocidad? 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐∗� 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 −𝟏𝟏� 𝒇𝒇𝒐𝒐 = � 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏� Si suponemos una velocidad de 10 m/s: 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗 % 𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐚𝐚𝐚𝐚 𝟑𝟑 % 73. Un dispositivo de radar emite microondas con una frecuencia de 2,00 GHz. Cuando las ondas se reflejan en un coche que se aleja frontalmente del emisor, se detecta una diferencia de frecuencia de 293 Hz. Determinar la velocidad del coche. La velocidad del coche en movimiento es u. La frecuencia recibida por el coche en movimiento es: 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 La frecuencia recibida por el detector será: 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 = � 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ � 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 − 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒖𝒖 = ∆𝒇𝒇∗𝒄𝒄 𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 74. Un destructor que se encuentra en reposo está equipado con un sonar que envía pulsos sonoros de 40 MHz. Los pulsos que se reciben han sido reflejados por un submarino que se encuentra directamente debajo con un retraso de tiempo de 80 ms y con una frecuencia de 39,958 MHz. Si la velocidad del sonido en el agua de mar es de 1,54 km/s, calcular a) La profundidad del submarino. b) Su velocidad vertical. a) Utilizando el tiempo que tardan las ondas en recorrer una distancia 2D, donde D es la distancia entre destructor y submarino: 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝑫𝑫 ∆𝒕𝒕 ; 𝑫𝑫 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒔𝒔 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟔𝟔 𝒎𝒎 La frecuencia recibida por el submarino: 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La frecuencia de vuelta al barco: 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 = � 𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 � ∗ � 𝒗𝒗𝒔𝒔±𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 ± 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒖𝒖 = ∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗𝒔𝒔 𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = (𝟒𝟒𝟒𝟒−𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗)𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴∗𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒔𝒔 𝟐𝟐∗𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Como la frecuencia se reduce, el submarino se aleja del destructor, va hacia abajo. 75. Dos aviones, volando uno hacia el este y el otro hacia el oeste, están separados 15 km en peligro de colisión frontal cuando el piloto de uno de ellos, que vuela a 900 km/h, observa la presencia del otro en su radar Doppler. La unidad de radar emite ondas electromagnéticas de frecuencia 3 1010 Hz. La pantalla del radar indica que la
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    velocidad del otroavión es 750 km/h. Determinar la frecuencia de la señal recibida por el radar de este piloto. Utilizando la expresión de la variación de frecuencia de los problemas anteriores: ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 El valor de u será: 𝒖𝒖 = (𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕)𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒉𝒉 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗ (𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗+𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕)𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟗𝟗, 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝟐𝟐 − 𝒇𝒇𝒐𝒐 ; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = ∆𝒇𝒇 + 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟎𝟎′ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯 76. Una unidad de radar de la policía transmite microondas de frecuencia 3 1010 Hz. La velocidad de estas ondas en el aire es 3,0 108 m/s. Supóngase que un coche se aleja de esta unidad de radar a una velocidad de 140 km/h. ¿Cuál es la diferencia de frecuencia entre la señal transmitida y la señal recibida por el coche? La frecuencia recibida por el coche: 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La recibida de nuevo por el radar: 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′ = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟕𝟕, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 77. Supóngase que el coche de la policía del problema 76 se mueve en la misma dirección que el otro vehículo a lo velocidad de 60 km/h. ¿Cuál es entonces la diferencia de frecuencia entre las señales emitida y reflejada? La frecuencia recibida por el coche: 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La recibida de nuevo por el radar: 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒄𝒄−𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′ = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 78. En el tiempo t=0, un avión supersónico está directamente sobre un punto P volando hacia el oeste a una altura de 12 km y una velocidad Mach 1,6. ¿Dónde está el avión cuando se escucha el estampido sónico?
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    𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝜽𝜽 = 𝒉𝒉 𝒙𝒙 ;𝒙𝒙= 𝒉𝒉 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝒗𝒗 𝒖𝒖 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟔𝟔 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕º 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕,𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 79. Un pequeño aparato de radio de masa 0,10 kg está unido a una pista de aire por un extremo a través de un muelle. La radio emite un sonido de 800 Hz. Un observador Enel otro extremo de la pista de aire escucha un sonido cuya frecuencia varía entre 797 y 803 Hz. a) Determinar la energía del sistema vibrante masa-muelle. b) Si la constante del muelle es de 200 N/m, ¿Cuál es la amplitud de vibración de la masa y cuál es el período del sistema oscilante? a) Sea 𝒖𝒖 = 𝒖𝒖𝒔𝒔 ± 𝒖𝒖𝒓𝒓 la velocidad relativa a la fuente y receptor. v la velocidad del sonido. ∆𝒇𝒇 = ± 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒖𝒖𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = ∆𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟑𝟑 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒖𝒖𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑱𝑱 b) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∶ 𝑨𝑨 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬 𝒌𝒌 = �𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ; 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒎𝒎 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 80. Un foco sonoro de frecuencia fo se mueve con velocidad us respecto al aire en reposo hacia un receptor que se mueve con velocidad ur respecto al aire en reposo alejándose del foco. a) Escribir una expresión para la frecuencia recibida f’. b) Utilizar la expresión aproximada (𝟏𝟏 − 𝒙𝒙)−𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 + 𝒙𝒙 para demostrar que sí tanto us como ur son pequeñas en comparación con v, la frecuencia recibida es aproximadamente 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔−𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 En donde urel es la velocidad relativa de la fuente y el receptor. a) 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏± 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏± 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
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    En nuestro caso,como el receptor se mueve hacia la fuente, disminuye frecuencia, signo negativo. En el caso de la fuente, se mueve hacia el receptor, aumenta la frecuencia, signo negativo. 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 b) 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � −𝟏𝟏 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 − 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 − − 𝒖𝒖𝒓𝒓∗𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗𝟐𝟐 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Si las velocidades del receptor y emisor son pequeñas respecto las velocidades de las ondas: 𝒇𝒇′ ≈ �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 − 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔−𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 81. Dos alumnos con diapasones vibrantes de 440 Hz, pasean alejándose uno del otro con la misma velocidad. ¿Con que rapidez deberán andar para que cada uno de ellos escuche una frecuencia de 438 Hz del otro diapasón? Al alejarse tendremos signo negativo arriba, disminución de frecuencia y positivo abajo, disminución de frecuencia. 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏± 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏± 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 (𝟏𝟏 + 𝒙𝒙)−𝟏𝟏 ≈ 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ � 𝟏𝟏 + 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 − 𝒖𝒖𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∗ 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 𝒖𝒖 = ∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗 𝒇𝒇𝒐𝒐∗𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 82. Un alumno de física anda a lo largo de un vestíbulo grande portando un diapasón que vibra a 512 Hz. El extremo del vestíbulo está cerrado, de forma que el sonido es refleja en él. El estudiante oye un sonido de 516 Hz procedente de la pared. ¿Con qué rapidez está andando? La señal reflejada por la pared tiene una frecuencia: 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗−𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 El receptor se aleja de la fuente: 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗−𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗−𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒗𝒗−𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − 𝒇𝒇′ = 𝒇𝒇𝒐𝒐 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟐𝟐∗𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐
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    𝒖𝒖 = ∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟐𝟐∗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑𝒎𝒎/𝒔𝒔 83. Un pequeño altavoz que emite un sonido de 1000 Hz está unido a uno de los extremos de una larga barra de 0,8 m que puede girar libremente por el otro extremo. La barra gira en el plano horizontal comuna velocidad angular de 4,0 rad/s. Deducir una expresión para la frecuencia percibida por un observador estacionario alejado del altavoz rotatorio. Como tenemos fuente móvil: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � −𝟏𝟏 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 ≈ �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La velocidad tangencial del cuerpo emisor en rotación es: 𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝒓𝒓 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖 ∗ 𝟒𝟒, 𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒,𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝟒𝟒,𝟎𝟎∗𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒,𝟎𝟎∗𝒕𝒕) 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟗𝟗, 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟒𝟒 ∗ 𝒕𝒕), 𝑺𝑺. 𝑰𝑰. 84. Una persona se encuentra a bordo del Queen Elizabeth II en medio del Atlántico rumbo al este a 45 km/h cuando el Concorde pasa directamente sobre su cabeza volando hacia el oeste con velocidad Match 1,6 a una altura de 12500 m. ¿Dónde está el Concorde respecto al QEII cuando el pasajero escucha el estampido sónico? Sea C la posición del Concorde y P la del barco: 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 𝜽𝜽 𝒅𝒅 = 𝒉𝒉 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒗𝒗 𝒖𝒖 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟔𝟔 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕º 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 85. Un globo arrastrado por un viento de 35 km/h emite un sonido de 800 Hz cuando se aproxima a un edificio. a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido percibido por un observador asomado a una ventana de este edificio? b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido reflejado que escucha un viajero del globo? a) Aplicando la fuente móvil:
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    𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝟑𝟑𝟑𝟑∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Aplicando receptor móvil: 𝒇𝒇𝒓𝒓 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝟑𝟑∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 86. Un coche se aproxima a una pared reflectora. Un observador inmóvil situado detrás del coche escucha un sonido de frecuencia 745 Hz procedente de la bocina del coche y un sonido de frecuencia 863 Hz procedente de la pared. a) ¿Cuál es la velocidad del coche? b) ¿Cuál es la frecuencia de la bocina? c) ¿Cuál es la frecuencia escuchada por el conductor del coche, procedente de la reflexión del sonido en la pared? a) Aplicando el caso de fuente móvil, alejándose del observador: 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La frecuencia procedente de la pared, recibida por la persona: 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 Despejando u: 𝒖𝒖 = 𝒗𝒗 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖−𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖+𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖−𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖+𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = �𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑯𝑯𝑯𝑯 87. La conductora de un coche que viaja a 100 km/h hacia un acantilado vertical hace sonar brevemente la bocina. Exactamente un segundo después, ella escucha el eco y observa que su frecuencia es de 840 Hz. ¿A qué distancia del acantilado se encontraba el coche cuando la conductora hizo sonar la bocina y cuál es la frecuencia del sonido emitido? La frecuencia del sonido reflejado es: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 La frecuencia captada por el coche es: 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 � 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏− 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗ 𝟏𝟏 𝟑𝟑.𝟔𝟔 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟏+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗ 𝟏𝟏 𝟑𝟑.𝟔𝟔 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑯𝑯𝑯𝑯 Sea d la distancia que separa inicialmente el coche el acantilado, el sonido hace esta distancia d de ida, a la vuelta hace una distancia d-u*t. Por tanto: 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 − 𝒖𝒖 ∗ 𝒕𝒕 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕 ; 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 = (𝒗𝒗 + 𝒖𝒖) ∗ 𝒕𝒕 ; 𝒅𝒅 = 𝒗𝒗+𝒖𝒖 𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑.𝟔𝟔 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎
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    88. Una personaen un vuelo transatlántico viaja hacia el oeste a 800 km/h. Un concorde que vuela con velocidad Match 1,6 se encuentra a 3 km al norte del primer avión y su rumbo es también este-oeste. ¿Cuál es la distancia entre los dos aviones cuando desde el vuelo transatlántico se oye el estampido sónico producido por el Concorde? 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 𝜽𝜽 𝒅𝒅 = 𝒉𝒉 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝜽𝜽 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 ; 𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝒗𝒗 𝒖𝒖 � = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 � 𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟔𝟔 � = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕º 𝒅𝒅 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟕𝟕 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎 89. Los astrónomos pueden deducir la existencia de un sistema binario de estrellas, visualmente irresolubles, observando el desplazamiento Doppler alternativo de una línea espectral. Supongamos que una observación astronómica muestra que la fuente luminosa se eclipsa una vez cada 18 horas. La longitud de onda de la línea espectral observada cambia desde un máximo de 563 nm a un mínimo de 539 nm. Supongamos también que el sistema binario consta de un objeto oscuro muy masivo y una estrella relativamente luminosa que irradia la línea espectral observada. Utilizar los datos para determinar la separación entre los dos objetos (suponer que el ente luminoso se encuentra en una órbita circular alrededor del ente masivo) y la masa del objeto obscuro. (utilizar la aproximación ∆𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒐𝒐 � = 𝒗𝒗/𝒄𝒄) Utilizando efecto Doppler relativista, la longitud de onda mínima: 𝝀𝝀′ = 𝝀𝝀 ∗ � 𝟏𝟏−𝒗𝒗/𝒄𝒄 𝟏𝟏+𝒗𝒗/𝒄𝒄 Usando las aproximaciones: �𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝒄𝒄 � 𝟏𝟏/𝟐𝟐 ≈ 𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 ; �𝟏𝟏 + 𝒗𝒗 𝒄𝒄 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ≈ 𝟏𝟏 + 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 � 𝟏𝟏−𝒗𝒗/𝒄𝒄 𝟏𝟏+𝒗𝒗/𝒄𝒄 ≈ 𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝒄𝒄
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    𝝀𝝀′ = 𝝀𝝀 ∗�𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝒄𝒄 � De los datos: 𝝀𝝀 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒏𝒏𝒏𝒏 ; 𝝀𝝀′ = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒗𝒗 = 𝒄𝒄 ∗ �𝟏𝟏 − 𝝀𝝀′ 𝝀𝝀 � = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 � = 𝟔𝟔, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Por tener mcu: 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ∗ 𝒓𝒓 ;𝒓𝒓 = 𝑻𝑻∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟔𝟔,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 Por otra parte: 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 ; 𝑴𝑴 = 𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒓𝒓 𝑮𝑮 = (𝟔𝟔,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌 90. Un estudiante de física deja caer un diapasón vibrante de 440 Hz por el hueco del ascensor de un edificio elevado. Cuando el estudiante oye una frecuencia de 400 Hz, ¿qué longitud ha recorrido en su caída el diapasón? 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐; 𝒖𝒖 = � 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇′ − 𝟏𝟏� ∗ 𝒗𝒗 = � 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 − 𝟏𝟏� ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 La longitud de caída para esta velocidad es de: 𝚫𝚫𝒚𝒚 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒈𝒈 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎 El tiempo en caída libre es: 𝒖𝒖 = 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝟏𝟏; 𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝒖𝒖 𝒈𝒈 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒔𝒔 Hemos de tener en cuenta el tiempo que tarda el sonido en subir estos 58,92 m. 𝒗𝒗 = 𝚫𝚫𝒚𝒚 𝒕𝒕𝟐𝟐 ; 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝚫𝚫𝒚𝒚 𝒗𝒗 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 El tiempo total de caída hasta que el sonido llega al estudiante es: 𝒕𝒕 = 𝒕𝒕𝟏𝟏 + 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔 La distancia total recorrida por el diapasón es: 𝚫𝚫𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟑𝟑 𝒎𝒎 Problemas generales 91. Cuando se pulsa una cuerda de guitarra, ¿la longitud de onda que produce en el aire es la misma que se produce en la cuerda? 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 Como f se mantiene y la velocidad cambia, la longitud de onda ha de cambiar. 92. Un pulso de onda se propaga a lo largo de una cuerda ligera que está sujeta a una cuerda más pesada, en donde la velocidad de la cuerda es menor. El pulso reflejado es __________________________ y el pulso transmitido es _________________. a) Invertido/invertido. b) Invertido/no invertido. c) No invertido/no invertido. d) No invertido/invertido. e) No existente/ no invertido. La respuesta correcta es la b al ser un extremo libre.
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    93. Verdadero ofalso. a) Los pulsos de onda sobre la cuerda son ondas transversales. b) Las ondas sonoras en el aire son ondas transversales de compresión y rarefacción. c) La velocidad del sonido a 20º C es doble que a 5ºC. a) Verdadero. b) Falso, son longitudinales. c) Falso 94. El sonido se propaga a 340 m/s en el aire y a 1500 m/s en el agua. Un sonido de frecuencia 256 Hz se produce bajo el agua. En el aire la frecuencia será a) La misma, pero la longitud de onda más corta. b) Más elevada, pero la longitud de onda la misma. c) Más baja, pero la longitud de onda más larga. d) Más baja, pero la longitud de onda más corta. e) La misma, y la longitud de onda también será la misma. 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 La frecuencia se mantiene, la velocidad baja, la longitud de onda también ha de disminuir. Respuesta a. 95. El pulso de onda en la cuerda, para un tiempo t=0, indicado en la figura se mueve hacia la derecha. En este instante particular, ¿qué segmentos de la cuerda se están moviendo hacia arriba? ¿Cuáles se están moviendo hacia abajo? ¿Existe algún segmento de la cuerda que éste instantáneamente en reposo? Responder a estas cuestiones haciendo un esquema del pulso en un instante ligeramente posterior y ligeramente anterior
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    En t=0 elsegmento entre 1 y 2 cm se mueve hacia abajo, entre 2 y 3 cm hacia arriba. En x= 2 cm está instantáneamente en reposo. 96. Hacer un esquema de la velocidad de cada segmento de la cuerda en función de la posición en el caso del pulso de la figura anterior. La velocidad es negativa entre1 y 2 cm. Positiva entre dos y 3c. Nula en 2cm. 97. Consideremos una línea larga de coches igualmente separados en la longitud de un coche y moviéndose con la misma velocidad. Uno de ellos repentinamente frena para evitar un perro y luego acelera hasta que de nuevo recupera la distancia de un coche detrás del anterior. Analizar como se propaga la separación entre los coches hacia atrás a lo largo de la línea. ¿En qué se parece a un pulso de onda? ¿Existe transporte de energía? ¿De qué depende la velocidad de propagación? Los coches de atrás frenan y luego aceleran, pues cada uno reacciona en función de la distancia que le separa con el coche que le precede. Esto origina un pulso de ondas longitudinal que se propaga hacia atrás a lo largo de la fila de coches. No se transporta energía. La velocidad de propagación es proporcional a la longitud del coche e inversamente proporcional al tiempo de reacción medio del conductor. 98. En el instante t=0, la forma de un pulso de onda sobre una cuerda viene dada por la función: 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 En donde x está en metros. a) Dibujar y(x,0) en función de x. Expresar la función de onda y(x,t) en un instante cualquiera si b) El pulso se está moviendo hacia la derecha (sentido positivo de las x) comuna velocidad de 10 m/s. c) Si se está moviendo hacia la izquierda (sentido negativo de las x) comuna velocidad del mismo valor. a)
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    b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) =𝒇𝒇(𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+(𝒙𝒙−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 c) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟑𝟑 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+(𝒙𝒙+𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 99. Una onda de frecuencia 1200 Hz se propaga a lo largo de un alambre que está bajo una tensión de 800 N. La longitud de onda de la onda es de 24 cm. ¿Cuál será la longitud de onda si la tensión decrece a 600 N y la frecuencia se mantiene constante? 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 𝑣𝑣 = � 𝑇𝑇 𝜇𝜇 Si la tensión decrece la velocidad baja y la longitud de onda crece. 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟏𝟏 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝀𝝀𝟐𝟐 ; �𝑻𝑻𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟏𝟏 = �𝑻𝑻𝟐𝟐 𝝀𝝀𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀𝟐𝟐 = �𝑻𝑻𝟐𝟐 �𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝝀𝝀𝟏𝟏 = � 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝒄𝒄𝒄𝒄 100. En clase, una demostración común de pulsos de onda consiste en atar un tubo de goma por uno de sus extremos a un poste fijo, pasarlo por una polea y colgar un peso por su otro extremo. Supóngase que la distancia desde el soporte fijo a la polea es de 10 m. La masa de esta longitud de tubo es de 0,7 kg y el peso suspendido es de 110 N. Si se le da al tubo una sacudida transversal en un extremo, ¿Cuánto tiempo empleará el pulso resultante en alcanzar el otro extremo? 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟕𝟕/𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳 𝚫𝚫𝒕𝒕 ; 𝚫𝚫𝒕𝒕 = 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳 � 𝑻𝑻 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = � 𝒎𝒎∗𝑳𝑳 𝑻𝑻 = � 𝟎𝟎,𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔 101. Las siguientes funciones de onda representan ondas en movimiento: a) 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒆𝒆𝒌𝒌(𝒙𝒙− 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔 ∗𝒕𝒕) 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 y
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    c) 𝒚𝒚𝟑𝟑(𝒙𝒙, 𝒕𝒕)= 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄 + ( 𝒌𝒌 ∗ �𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕� ) 𝟐𝟐 En donde x se expresa en metros, t en segundos y A, k, B y C son constantes que tienen las unidades apropiadas para que y resulte en metros. Determinar la dirección de propagación y la velocidad de la onda en cada caso. a) V=34 m/s , dirección de propagación izquierda ( x negativas). b) V= 20 m/s, dirección propagación derecha. c) V= 10 m/s, propagación derecha. 102. Un bote que se mueve a 10 m/s sobre un lago tranquilo forma una onda de proa con un ángulo de 20º con su dirección de movimiento. ¿Cuál es la velocidad de la onda de proa? Donde v es la velocidad de la onda y u la del bote. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒖𝒖∗𝒕𝒕 = 𝒗𝒗 𝒖𝒖 ;𝒗𝒗 = 𝒖𝒖 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 103. Si una longitud de onda es mucho mayor que el diámetro de un altavoz, éste irradia en todas direcciones como si fuera un foco puntual. En cambio, si la longitud de onda es mucho menor que el diámetro, el sonido de propaga aproximadamente en línea recta por delante del altavoz. Determinar la frecuencia de una onda sonora que tiene una longitud de onda a) 10 veces mayor que el diámetro de un altavoz de 30 cm. b) Un décimo del diámetro de un altavoz de 30 cm. c) Repetir el problema para un altavoz de 6 cm. a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑 𝒎𝒎 ; 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒄𝒄 ; 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒎𝒎;𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟔𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎;𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑯𝑯𝑯𝑯 104. Un silbato de 500 Hz de frecuencia se mueve en una circunferencia de 1 m de radio a 3 rev /s. ¿Cuáles son las frecuencias máxima y mínima oídas por un observador estacionario situado en el plano del círculo y 5 m alejado de su centro?
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    Para una fuentemóvil: 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝒓𝒓 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎 ∗ 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒔𝒔 ∗ 𝟐𝟐 𝝅𝝅 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝟏𝟏 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑯𝑯𝑯𝑯 105. Las olas del mar se mueven hacia la playa con una velocidad de 8,9 m/s y con una separación entre crestas de 15,0 m. Nos encontramos en un pequeño bote anclado junto a la costa. a) ¿Cuál es la frecuencia de las olas del mar? b) Se leva el ancla y nos movemos hacia el mar con una velocidad de 15 m/s. ¿Qué frecuencia de olas se observarán entonces? a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟖𝟖,𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Para un receptor móvil: 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟖𝟖,𝟗𝟗 � ∗ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑯𝑯𝑯𝑯 106. Dos hilos conectados entre sí tienen unas densidades másicas lineales que se encuentran en la relación 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟑𝟑𝝁𝝁𝟐𝟐 y están sometidos a la misma tensión. Cuando los hilos oscilan con una frecuencia de 120 Hz, ondas de 10 cm de longitud de onda recorren el primer hilo con densidad lineal 𝝁𝝁𝟏𝟏. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda en el primer hilo? b) ¿Y en el segundo hilo? c) ¿Cuál es la longitud de onda en este último? a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁𝟏𝟏
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    𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁𝟐𝟐 =� 𝑻𝑻 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟑𝟑 = √𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = √𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 107. Un alambre de 12,0 m y masa 85 g se estira bajo una tensión de 180 N. En el extremo izquierdo del alambre se genera un pulso y 25 milisegundos más tarde se genera un segundo pulso en el extremo derecho del alambre. ¿Dónde se encontrarán los dos pulsos? 𝒗𝒗 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 Para el pulso que sale de la izquierda: 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕 Para el pulso que sale de la derecha: 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒍𝒍 − 𝒗𝒗 ∗ (𝒕𝒕 − 𝒕𝒕𝒐𝒐) El punto de encuentro: 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕 = 𝒍𝒍 − 𝒗𝒗 ∗ (𝒕𝒕 − 𝒕𝒕𝒐𝒐) 𝒕𝒕 = 𝒍𝒍 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 + 𝒕𝒕𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 ∗ � 𝒍𝒍 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 + 𝒕𝒕𝒐𝒐 𝟐𝟐 � = 𝒍𝒍 𝟐𝟐 + 𝒕𝒕𝒐𝒐∗𝒗𝒗 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 + 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟐𝟐 = 𝟖𝟖,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 108. Una onda armónica se propaga por una cuerda con una velocidad de 12,4 m/s. Una partícula sobre la cuerda experimenta un desplazamiento máximo de 4,5 cm y una velocidad máxima de 9,4 m/s. Determinar: a) La longitud de la onda. b) La frecuencia. c) Expresar mediante una ecuación la función de onda correspondiente. a) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 ;𝒇𝒇 = 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟗𝟗.𝟒𝟒 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟒𝟒 𝟑𝟑𝟑𝟑.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 b) f=33,246 Hz c) Si la onda se mueve hacia la derecha: 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓/𝒎𝒎 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖/𝒔𝒔 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝒕𝒕) 109. Determinar la velocidad de un coche, cuyo tono de bocina disminuye en un 10 %, según asegura una persona estacionaria en el instante en que el coche pasa junto a ella. Cuando el coche se aleja: 𝒇𝒇′ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Cuando el coche se acerca: 𝒇𝒇′ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝒇𝒇′ 𝟏𝟏 𝒇𝒇′ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ; 𝒇𝒇′ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇′ 𝟐𝟐 Por los datos del problema:
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    𝒇𝒇′ 𝟐𝟐−𝒇𝒇′ 𝟏𝟏 𝒇𝒇𝟐𝟐 ′ = 𝟎𝟎,𝟏𝟏= 𝟏𝟏− 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ;𝟎𝟎, 𝟗𝟗 = 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ; 𝟎𝟎,𝟗𝟗 ∗ �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 � = 𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ;𝟏𝟏, 𝟗𝟗 ∗ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝒖𝒖𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗 𝟏𝟏,𝟗𝟗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔 110. Un altavoz con un diafragma de 20 cm de diámetro vibra con una frecuencia de 800 Hz y una amplitud de 0,025 mm. Suponiendo que las moléculas de aire de las proximidades poseen la misma amplitud de vibración, calcular a) La amplitud de presión justo enfrente del diafragma del altavoz. b) La intensidad del sonido. c) La potencia acústica que se está radiando. a) 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯)𝟐𝟐 ∗ �𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎� 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 𝑰𝑰 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) 𝑷𝑷 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑾𝑾 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝟎𝟎, 𝟏𝟏 𝒎𝒎)𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾 111. Una onda acústica plana y armónica que oscila en el aire con una amplitud de 10-6 m tiene una intensidad de 100 dB. ¿Cuál es la frecuencia de dicha onda? 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 ; 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = � 𝟐𝟐∗𝑰𝑰 𝝆𝝆∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒔𝒔𝒐𝒐 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗(𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔)𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 112. Por un tubo de radio 5 cm fluye agua a la velocidad de 7 m/s. Una placa de área igual a la sección transversal del tubo se inserta súbitamente en éste para detener el flujo. Determinar la fuerza ejercida sobre la placa. Tomar el valor de 1,4 km/s para la velocidad del sonido en el agua. (Sugerencia: Cuando se inserta la placa, una onda de presión se propaga a través del agua a la velocidad del sonido, vs. La masa de agua detenida en el tiempo Δt es la contenida en una longitud del tubo igual a vsΔt). 𝑭𝑭 = ∆𝒑𝒑 ∆𝒕𝒕 = ∆𝒎𝒎∗𝒗𝒗𝒂𝒂 ∆𝒕𝒕 ∆𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ ∆𝒙𝒙 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ ∆𝒕𝒕 𝑭𝑭 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗𝒔𝒔 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟕𝟕 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑵𝑵 113. Dos alambres de diferentes densidades másicas lineales se sueldan extremo a extremo y luego se someten a una tensión F (la misma en los dos alambres). La velocidad de la onda en el segundo alambre es triple que en el primero. Cuando una onda armónica que se mueve por el primer alambre se refleja en la unión de ellos, la onda reflejada tiene la tercera parte de amplitud que la onda transmitida. a) Si la amplitud de la onda incidente es A, ¿Cuáles son las amplitudes de la onda reflejada y transmitida?
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    b) Admitiendo queno hay pérdidas en el alambre, ¿qué fracción de la potencia incidente se refleja en la unión y qué fracción se transmite? c) Demostrar que el desplazamiento justo a la izquierda de la unión es igual al desplazamiento justo a la derecha de la misma. a) 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝑷𝑷𝒕𝒕 + 𝑷𝑷𝒓𝒓 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒊𝒊 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒓𝒓 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁𝟏𝟏 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏; 𝑨𝑨𝒓𝒓 = 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟑𝟑 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ¸ 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒊𝒊 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒓𝒓 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒊𝒊 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝒓𝒓 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 Usando las relaciones entre amplitudes y velocidades: 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 𝟗𝟗 � 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 𝟑𝟑∗𝒗𝒗𝟏𝟏 ; 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝟗𝟗 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑 � ; 𝑨𝑨𝒕𝒕 = 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒓𝒓 = 𝑨𝑨 𝟐𝟐 b) 𝑷𝑷𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒓𝒓 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏/𝟒𝟒 ∗ 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑷𝑷𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗 𝟒𝟒 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒕𝒕 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒 ∗ 𝑷𝑷𝒊𝒊𝒊𝒊 c) 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝟏𝟏 En el segundo alambre: 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝟏𝟏 De donde los dos desplazamientos son iguales. 114. Una tropa bien entrenada mantiene el paso escuchando la banda de música que está situada a la cabeza de la columna. La música se lleva a un ritmo que corresponde a 100 pasos por minuto. Una cámara de televisión muestra que sólo la tropa que está a la cabeza de la columna y la que está en su parte posterior lleva realmente el paso. Los soldados de la sección intermedia se encuentran adelantando el pie izquierdo cuando los que componen los otros dos grupos mencionados están adelantando el pie derecho. La tropa está tan bien entrenada que, a pesar de esto, están seguros de que llevan el paso de acuerdo con la música. Explicar el origen del problema y calcular la longitud de la columna. El sonido tarda un tiempo en desplazarse desde la cabeza de la columna hasta el final. 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 ∗ ∆𝒕𝒕 ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒔𝒔 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒔𝒔 ∗ 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 115. Asomado sobre los abismos del infierno, el demonio observa cómo se precipita (con velocidad límite) y le sobrepasa un alumno de ingeniería; la frecuencia del grito que da disminuye desde 842 a 820 Hz. a) Calcular la velocidad con que cae el alumno.
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    b) El gritodel alumno se refleja en el fondo del pozo infernal. Determinar la frecuencia del eco escuchado por el alumno. c) Determinar la frecuencia del eco escuchado por el demonio. a) Al acercarse: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Al alejarse: 𝒇𝒇" = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+ 𝒖𝒖𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 Despejando us: 𝒖𝒖𝒔𝒔 = (𝒇𝒇′−𝒇𝒇")∗𝒗𝒗 𝒇𝒇′+𝒇𝒇" = (𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖−𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖)∗𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖+𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟒𝟒, 𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) La onda reflejada en el fondo té una frecuencia de 842 Hz. El alumno cae hacia el fondo comuna velocidad de 4,5 m/s. 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏 + 𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 = �𝟏𝟏 + 𝟒𝟒,𝟓𝟓 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 � ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) El sonido reflejado tiene una frecuencia de 842 Hz, y esta es la que escuchará el ser demoniaco. 116. Un murciélago que vuela hacia un obstáculo a 12 m/s emite pulsos sonoros breves y de alta frecuencia con una frecuencia de repetición de 80 Hz. ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre los pulsos de eco oídos por el murciélago? 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗+𝒖𝒖𝒓𝒓 𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 El tiempo entre pulsos: ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗−𝒖𝒖𝒔𝒔 (𝒗𝒗+𝒖𝒖𝒓𝒓)∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑−𝟏𝟏𝟏𝟏 (𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑+𝟏𝟏𝟏𝟏)∗𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 117. Un diapasón unido a un alambre tenso genera ondas transversas. La vibración del diapasón es perjudicial al alambre. Su frecuencia es de 400 Hz y su amplitud de oscilación es de 0,50 mm. El alambre tiene una densidad de masa lineal de 0,01 kg/m y está sometido a una tensión de 1 kN. Se supone que no hay ondas reflejadas. a) Hallar el periodo y frecuencia de las ondas en el alambre. b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas? c) ¿Cuál es la longitud de onda y el número de ondas? d) Escribir una función de onda adecuada para las ondas sobre el alambre. e) Calcular la velocidad y aceleración máximas de un punto del alambre. f) ¿A qué potencia media debe suministrarse energía al diapasón para mantenerlo oscilando con amplitud constante? a) La frecuencia de las ondas en el alambre será la misma que la del diapasón: 400 Hz. 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔 c) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟕𝟕,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎−𝟏𝟏 d) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟕𝟕, 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝒕𝒕)
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    e) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 =𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ �𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑� 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 f) 𝑷𝑷𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ �𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑� 𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 )𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑾𝑾 118. Un alambre muy largo puede hacerse vibrar hacia arriba y abajo con un motor mecánico con objeto de producir ondas que recorran el alambre. En el otro extremo lejano del alambre, las ondas se absorben de tal forma que no hay ninguna onda reflejada que vuelva hacia el motor. Se observa que la velocidad de la onda es 240 m/s, el máximo desplazamiento transversal del alambre es 1 cm y la distancia entre máximos es 3,0 m. a) Escribir una función de onda para representar la que se propaga por el alambre. b) ¿Cuál es la frecuencia de vibración del motor? c) ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones transversales del alambre? d) ¿Cuál es la máxima velocidad transversal que tendrá un pequeño insecto agarrado al alambre? a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝝀𝝀 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ;𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟑𝟑 𝒎𝒎−𝟏𝟏 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇;𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑯𝑯𝑯𝑯 ; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕� b) f= 80 Hz c) 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔 d) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 = 𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒔𝒔 119. Si una cadena cerrada se hace girar sobre su eje a velocidad alta, rodará como un aro sin caerse. Consideremos una cadena de densidad de masa lineal µ que está rodando sin deslizar con una velocidad elevada vo. a) Demostrar que la tensión de la cadena es F=µ𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐 . b) Si la cadena rueda sobre una pequeña protuberancia, se generará en ella un pulso de onda transversal. ¿A qué velocidad se moverá a lo largo de la cadena? c) ¿Hasta dónde se moverá una onda transversal a lo largo del aro (en grados) en el tiempo en que éste rueda girando una revolución completa? a) Aplicando la segunda ley de Newton al fragmento de cadena representado:
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    � 𝑭𝑭𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 =∆𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 = 𝑭𝑭𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 ∆𝒎𝒎 = 𝝁𝝁 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝁𝝁 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝜽𝜽 𝑺𝑺𝑺𝑺 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 𝑭𝑭 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻ó𝒏𝒏: 𝑭𝑭𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝜽𝜽 𝟐𝟐 � Igualando: 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝜽𝜽 𝟐𝟐 � = 𝝁𝝁 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝜽𝜽 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝑭𝑭 = 𝝁𝝁 ∗ 𝜽𝜽 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝜽𝜽 𝟐𝟐 � Para ángulos pequeños: 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 � 𝜽𝜽 𝟐𝟐 � ≈ 𝜽𝜽 𝟐𝟐 𝑭𝑭 = 𝝁𝝁 ∗ 𝜽𝜽 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝜽𝜽 𝟐𝟐 = 𝝁𝝁 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 b) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 c) Un observador en reposo lo verá en el mismo punto siempre dado que su velocidad a lo largo de la cadena es la misma que la de la cadena. Respecto a un punto fijo de la cadena el pulso recorre 360º. 120. Una cuerda larga con una masa por unidad de longitud 0,1 kg/m está bajo tensión constante de 10 N. Un motor en el punto x=0 impone a este extremo de la cuerda un movimiento armónico a 5 oscilaciones por segundo y una amplitud de 4 cm. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? b) ¿Cuál es la longitud de onda? c) ¿Cuál es la cantidad de movimiento transversal máxima de un segmento de 1 mm de la cuerda? d) ¿Cuál es la fuerza máxima neta ejercida sobre 1 mm de la cuerda? a) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟓 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎 c) 𝒑𝒑𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝚫𝚫𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝝁𝝁 ∗ 𝚫𝚫𝒍𝒍 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝝁𝝁 ∗ 𝚫𝚫𝒍𝒍 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 𝒑𝒑𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎/𝒔𝒔 d) 𝑭𝑭𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = ∆𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑹𝑹 = 𝝁𝝁 ∗ 𝚫𝚫𝒍𝒍 ∗ (𝑨𝑨∗𝝎𝝎)𝟐𝟐 𝑨𝑨 = (𝝁𝝁 ∗ 𝚫𝚫𝒍𝒍 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇) ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 𝑭𝑭𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝒑𝒑𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑁𝑁 121. Una cuerda pesada de 3 m de largo está colgada del techo libremente. a) Demostrar que la velocidad de las ondas transversales de la cuerda es independiente de su masa y longitud, pero que depende de la distancia y el extremo inferior de acuerdo con la fórmula v=�𝒈𝒈𝒈𝒈. b) Si se le da al extremo inferior de la cuerda un desplazamiento lateral repentino, ¿Cuánto tardará el pulso de onda resultante en subir al techo y regresar al punto inferior de la cuerda? a) 𝒗𝒗 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁
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    𝑭𝑭 = 𝒎𝒎∗ 𝒈𝒈 = 𝝁𝝁 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝒈𝒈 𝒗𝒗 = � 𝝁𝝁∗𝒚𝒚∗𝒈𝒈 𝝁𝝁 = �𝒚𝒚 ∗ 𝒈𝒈 b) La velocidad del pulso no es constante: 𝒗𝒗 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = �𝒚𝒚 ∗ 𝒈𝒈 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒚𝒚∗𝒈𝒈 = 𝟏𝟏 �𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒚𝒚 ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒕𝒕 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 �𝒈𝒈 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒚𝒚 ;𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 �𝒈𝒈 ∗ �𝟐𝟐 ∗ �𝒚𝒚� 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝒚𝒚 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 √𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐 ∗ √𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒊𝒊 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅:𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔 122. La densidad de masa lineal de un alambre no uniforme a tensión constante disminuye gradualmente a lo largo del alambre de modo que se transmite sin reflexión una onda incidente. El alambre es uniforme para -∞≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝟎𝟎. En esta región tiene la forma 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓) en donde x e y están en metros y t en segundos. Desde x=0 hasta x= 20 cm, la masa lineal disminuye gradualmente de µ1 a µ1/4, siendo constante e igual a este último valor para 𝟐𝟐𝟐𝟐 ≤ 𝒙𝒙 ≤ ∞. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda para valores grandes de x? b) ¿Cuál es la amplitud de la onda para valores grandes de x? c) Dar y(x,t) para 𝟐𝟐𝟐𝟐 ≤ 𝒙𝒙 ≤ ∞. a) 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌𝟏𝟏 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒔𝒔 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝑭𝑭 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐 ∗ � 𝑭𝑭 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) Por conservación de energía: 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ ∆𝒍𝒍 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ ∆𝒍𝒍 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐,𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ; 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 c) 𝝎𝝎𝟏𝟏 = 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒌𝒌𝟐𝟐 = 𝝎𝝎 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒎𝒎−𝟏𝟏 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓) 123. En este problema hay que deducir una expresión para la energía potencial de un segmento de una cuerda por el que se propaga un tren de ondas (figura). La energía potencial de un segmento es igual al trabajo realizado por la tensión al estirar la cuerda, de valor ∆𝑼𝑼 = 𝑭𝑭(∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙), en donde F es la tensión, ∆𝒍𝒍la longitud del segmento estirado e ∆𝒙𝒙 su longitud original. En la figura puede verse que ∆𝒍𝒍 = �(∆𝒙𝒙)𝟐𝟐 + (∆𝒚𝒚)𝟐𝟐 = ∆𝒙𝒙 �𝟏𝟏 + � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐
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    a) Utilizar eldesarrollo del binomio para demostrar que ∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙 y por tanto ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑭𝑭 � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙. b) Calcular 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 a partir de la función de onda expresada por la ecuación 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎) y demostrar que ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑭𝑭 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝟐𝟐 (𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎)∆𝒙𝒙. c) Utilizar 𝑭𝑭 = 𝝁𝝁 𝒗𝒗𝟐𝟐 y 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 para demostrar que el resultado obtenido en (b) es el mismo que el de la ecuación ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝁𝝁 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 (𝒌𝒌𝒌𝒌 − 𝝎𝝎𝝎𝝎). a) ∆𝑼𝑼 = 𝑭𝑭 ∗ (∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙) Para ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 ≪ 𝟏𝟏: ∆𝒍𝒍 = ∆𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � ∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙 = ∆𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � − ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 Por tanto: ∆𝑼𝑼 = 𝑭𝑭 ∗ (∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙) = 𝑭𝑭 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ � ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ≈ ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ (𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐬𝐬(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕))𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 c) ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙